富顺县三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

富顺县三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 在《张邱建算经》中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布比同数递减，初日织五尺， 末一日织一尺，计织三十日”，由此推断，该女子到第10日时，大约已经完成三十日织布总量的（ ） A ．33% B ．49% C ．62% D ．88%
2． 求值：
=（ ）
A ．tan 38°
B ．
C ．
D ．﹣
3． 如图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为（ ）
A ．11
B ．11.5
C ．12
D ．12.5
4． 已知a ＞b ＞0，那么下列不等式成立的是（ ）
A ．﹣a ＞﹣b
B ．a+c ＜b+c
C ．（﹣a ）2＞（﹣b ）2
D ．
5． 函数()f x 在定义域R 上的导函数是'()f x ，若()(2)f x f x =-，且当(,1)x ∈-∞时，'
(1)()0x f x -<，
设(0)a f =，b f =，2(log 8)c f =，则（ ）
A ．a b c <<
B ．a b c >>
C ．c a b <<
D ．a c b <<
6． 方程x= 所表示的曲线是（ ）
A ．双曲线
B ．椭圆
C ．双曲线的一部分
D ．椭圆的一部分
7． 在极坐标系中，圆的圆心的极坐标系是( )。

A
B
C
D
8．记,那么
A
B
C
D
9．《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布．
A．B．C．D．
10．=（）
A．﹣i B．i C．1+i D．1﹣i
11．若a＞b，则下列不等式正确的是（）
A．B．a3＞b3C．a2＞b2D．a＞|b|
12．椭圆=1的离心率为（）
A．B．C．D．
二、填空题
13．定义某种运算⊗，S=a⊗b的运算原理如图；则式子5⊗3+2⊗4=．
14．等比数列{a n }的前n 项和S n ＝k 1＋k 2·2n （k 1，k 2为常数），且a 2，a 3，a 4－2成等差数列，则a n ＝________． 15
由表中数据算出线性回归方程为=
x+
．若该公司第五名推销员的工作年限为8年，则估计他（她）的年
推销金额为 万元．
16．已知双曲线的标准方程为，则该双曲线的焦点坐标为， 渐近线方程
为 ．
17．若数列{}n a 满足212332n a a a a n n =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则数列{}n a 的通项公式为 .
18．已知直线5x+12y+m=0与圆x 2﹣2x+y 2
=0相切，则m= ．
三、解答题
19．已知函数()2
ln f x x bx a x =+-.
（1）当函数()f x 在点()()
1,1f 处的切线方程为550y x +-=，求函数()f x 的解析式； （2）在（1）的条件下，若0x 是函数()f x 的零点，且()*
0,1,x n n n N ∈+∈，求的值；
（3）当1a =时，函数()f x 有两个零点()1212,x x x x <，且12
02
x x x +=，求证：()00f x '>．
20．在平面直角坐标系xOy中，F1、F2分别为椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，B为短轴的一
个端点，E是椭圆C上的一点，满足，且△EF
F2的周长为．
1
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点M是线段OF2上的一点，过点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆C于P、Q两点，若△MPQ是以M为顶点的等腰三角形，求点M到直线l距离的取值范围．
21．已知椭圆的离心率，且点在椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线与椭圆交于、两点，且线段的垂直平分线经过点．求（为坐标原点)面积的最大值．
22．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，S2=4，且a2，a5，a14成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）从数列{a n }中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n
项，…，按原来顺序组成一个新数列{b n }，
记该数列的前n 项和为T n ，求T n 的表达式．
23．在平面直角坐标系xOy 中，过点(2,0)C 的直线与抛物线24y x 相交于点A 、B 两点，设
11(,)A x y ，22(,)B x y ．
（1）求证：12y y 为定值；
（2）是否存在平行于y 轴的定直线被以AC 为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线方程 和弦长，如果不存在，说明理由．
24．如图，在Rt △ABC 中，∠EBC=30°，∠BEC=90°，CE=1，现在分别以BE ，CE 为边向Rt △BEC 外作正△EBA 和正△CED ．
（Ⅰ）求线段AD 的长；
（Ⅱ）比较∠ADC 和∠ABC 的大小．
富顺县三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】B
【解析】
2．【答案】C
【解析】解：=tan（49°+11°）=tan60°=，
故选：C．
【点评】本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题．
3．【答案】C
【解析】解：由题意，0.06×5+x×0.1=0.5，所以x为2，所以由图可估计样本重量的中位数是12．
故选：C．
4．【答案】C
【解析】解：∵a＞b＞0，∴﹣a＜﹣b＜0，∴（﹣a）2＞（﹣b）2，
故选C．
【点评】本题主要考查不等式的基本性质的应用，属于基础题．
5．【答案】C
【解析】
考点：函数的对称性，导数与单调性．
【名师点睛】函数的图象是研究函数性质的一个重要工具，通过函数的图象研究问题是数形结合思想应用的不可或缺的重要一环，因此掌握函数的图象的性质是我们在平常学习中要重点注意的，如函数()f x 满足：
()()f a x f a x +=-或()(2)f x f a x =-，则其图象关于直线x a =对称，如满足(2)2()f m x n f x -=-，
则其图象关于点(,)m n 对称． 6． 【答案】C
【解析】解：x=两边平方，可变为3y 2﹣x 2
=1（x ≥0），
表示的曲线为双曲线的一部分；
故选C ．
【点评】本题主要考查了曲线与方程．解题的过程中注意x 的范围，注意数形结合的思想．
7． 【答案】B 【解析】，圆心直角坐标为（0,-1），极坐标为
，选B 。

8． 【答案】B 【解析】【解析1】
,
所以
【解析2】
，
9． 【答案】D
【解析】解：设从第2天起每天比前一天多织d 尺布m
则由题意知，
解得d=
．
故选：D ．
【点评】本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式的求解．
10．【答案】 B
【解析】解： =
=
=i ．
故选：B ．
【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，复数的除法的运算法则的应用，考查计算能力．
11．【答案】B
【解析】解：∵a＞b，令a=﹣1，b=﹣2，代入各个选项检验可得：
=﹣1，=﹣，显然A不正确．
a3=﹣1，b3=﹣6，显然B正确．
a2 =1，b2=4，显然C不正确．
a=﹣1，|b|=2，显然D 不正确．
故选B．
【点评】通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．
12．【答案】D
【解析】解：根据椭圆的方程=1，可得a=4，b=2，
则c==2；
则椭圆的离心率为e==，
故选D．
【点评】本题考查椭圆的基本性质：a2=b2+c2，以及离心率的计算公式，注意与双曲线的对应性质的区分．
二、填空题
13．【答案】14．
【解析】解：有框图知S=a⊗b=
∴5⊗3+2⊗4=5×（3﹣1）+4×（2﹣1）=14
故答案为14
【点评】新定义题是近几年常考的题型，要重视．解决新定义题关键是理解题中给的新定义．
14．【答案】
【解析】当n＝1时，a1＝S1＝k1＋2k2，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝（k1＋k2·2n）－（k1＋k2·2n－1）＝k2·2n－1，∴k1＋2k2＝k2·20，即k1＋k2＝0，①
又a2，a3，a4－2成等差数列．
∴2a3＝a2＋a4－2，
即8k2＝2k2＋8k2－2.②
由①②联立得k 1＝－1，k 2＝1， ∴a n ＝2n －1. 答案：2n －1 15．【答案】
．
【解析】
解：由条件可知
=（3+5+10+14）=8
，
=（2+3+7+12）=6， 代入回归方程，可得a=
﹣
，所以
=
x
﹣
，
当x=8时，
y=
，
估计他的年推销金额为万元．
故答案为：
．
【点评】本题考查线性回归方程的意义，线性回归方程一定过样本中心点，本题解题的关键是正确求出样本中心点，题目的运算量比较小，是一个基础题．
16．【答案】 （
±，0） y=±2x ．
【解析】
解：双曲线的a=2，b=4，
c=
=2
，
可得焦点的坐标为（
±，0），
渐近线方程为y=
±x ，即为y=±2x ． 故答案为：（
±
，0），y=±2x ．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是焦点的求法和渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．
17．【答案】 6,12,2,n n a n n n n *
=⎧⎪
=+⎨≥∈⎪⎩N
【解析】【解析】()()12312n a a a a n n =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
11:6n a ==；
()()()
123112312:12 1n n n n a a a a a n n a a a a n n --≥⋅=++=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
故2
2:n n n a n
+≥=
18．【答案】8或﹣18
【解析】【分析】根据直线与圆相切的性质可知圆心直线的距离为半径，先把圆的方程整理的标准方程求得圆心和半径，在利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离为半径，求得答案．
【解答】解：整理圆的方程为（x ﹣1）2++y 2
=1 故圆的圆心为（1，0），半径为1 直线与圆相切
∴圆心到直线的距离为半径
即
=1，求得m=8或﹣18
故答案为：8或﹣18
三、解答题
19．【答案】（1）()26ln f x x x x =--；（2）3n =；（3）证明见解析. 【解析】
试
题解析： （1）()2a
f'x x b x =+-，所以(1)251(1)106f'b a b f b a =+-=-=-⎧⎧⇒⎨⎨
=+==⎩⎩
， ∴函数()f x 的解析式为2
()6ln (0)f x x x x x =-->；
（2）22
626
()6ln '()21x x f x x x x f x x x x
--=--⇒=--=，
因为函数()f x 的定义域为0x >，
令(23)(2)3
'()02
x x f x x x +-=
=⇒=-或2x =， 当(0,2)x ∈时，'()0f x <，()f x 单调递减，
当(2,)x ∈+∞时，'()0f x >，函数()f x 单调递增， 且函数()f x 的定义域为0x >，
（3）当1a =时，函数2
()ln f x x bx x =+-，
21111()ln 0f x x bx x =+-=，2
2222()ln 0f x x bx x =+-=，
两式相减可得22
121212()ln ln 0x x b x x x x -+--+=，121212ln ln ()x x b x x x x -=
-+-． 1'()2f x x b x =+-，0001
'()2f x x b x =+-，因为1202x x x +=，
所以12120121212
ln ln 2
'()2()2x x x x f x x x x x x x +-=⋅+-+-
-+ 212121221221122112211
1
21ln ln 2()211ln ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤
⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤--⎝⎭⎢⎥=-=--=-⎢⎥⎢⎥-+-+-⎣⎦+⎢⎥⎢⎥⎣⎦
设21
1x
t x =>，2(1)()ln 1t h t t t -=-+，
∴22
222
14(1)4(1)'()0(1)(1)(1)
t t t h t t t t t t t +--=-==>+++， 所以()h t 在(1,)+∞上为增函数，且(1)0h =，
∴()0h t >，又
21
1
0x x >-，所以0'()0f x >．
考点：1、导数几何意义及零点存在定理；2、构造函数证明不等式.
【方法点睛】本题主要考查导数几何意义及零点存在定理、构造函数证明不等式，属于难题.涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.
20．【答案】
【解析】（本小题满分12分）
解：（1）由已知F
（﹣c，0），设B（0，b），即=（﹣c，0），=（0，b），
1
∴=（﹣c，），即E（﹣c，），
∴，得，①…
又△PF
F2的周长为2（），
1
∴2a+2c=2+2，②…
又①②得：c=1，a=，∴b=1，
∴所求椭圆C的方程为：=1．…
（2）设点M（m，0），（0＜m＜1），直线l的方程为y=k（x﹣1），k≠0，
由，消去y，得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ中点为N（x0，y0），
则，∴y1+y2=k（x1+x2﹣2）=，
∴，=，
即N（），…
∵△MPQ是以M为顶点的等腰三角形，∴MN⊥PQ，
即=﹣1，
∴m=∈（0，），…
设点M到直线l：kx﹣y﹣k=0距离为d，
则d2==＜=，
∴d∈（0，），
即点M到直线距离的取值范围是（0，）．…
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查点到直线的距离的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理、中点坐标公式、点到直线的距离公式的合理运用．
21．【答案】
【解析】【知识点】圆锥曲线综合椭圆
【试题解析】（Ⅰ）由已知，
点在椭圆上，，解得．
所求椭圆方程为
(Ⅱ)设，，的垂直平分线过点, 的斜率存在．
当直线的斜率时，
当且仅当时，
当直线的斜率时，设．
消去得：
由．①
，
，的中点为
由直线的垂直关系有，化简得②
由①②得
又到直线的距离为，
时，．
由，，解得；
即时，；
综上：；
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）依题意得：，解得．
∴a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．
即a n=2n﹣1；
（Ⅱ）由已知得，．
∴T n=b1+b2+…+b n=（22﹣1）+（23﹣1）+…+（2n+1﹣1）
=（22+23+…+2n+1）﹣n=．
【点评】本题主要考查等比数列和等差数列的性质，考查了等比数列的前n项和的求法，考查了化归与转化思想方法，是中档题．
x=.
23．【答案】（1）证明见解析；（2）弦长为定值，直线方程为1
【解析】
（2，进而得a=时为定值.
1
试题解析：（1）设直线AB 的方程为2my x =-，由22,
4,
my x y x =-⎧⎨=⎩
得2480y my --=，∴128y y =-，
因此有128y y =-为定值．111]
（2）设存在直线：x a =满足条件，则AC 的中点11
2(
,)22
x y E +，AC =，
因此以AC 为直径圆的半径12r AC ==
=E 点到直线x a =的距离12||2
x d a +=-，
所以所截弦长为==
=
当10a -=，即1a =时，弦长为定值2，这时直线方程为1x =．
考点：1、直线与圆、直线与抛物线的位置关系的性质；2、韦达定理、点到直线距离公式及定值问题. 24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）在Rt △BEC 中，CE=1，∠EBC=30°，∴BE=，
在△ADE 中，AE=BE=，DE=CE=1，∠AED=150°，
由余弦定理可得AD=
=
；
（Ⅱ）∵∠ADC=∠ADE+60°，∠ABC=∠EBC+60°， ∴问题转化为比较∠ADE 与∠EBC 的大小．
在△ADE 中，由正弦定理可得，
∴sin ∠ADE=＜=sin30°，
∴∠ADE ＜30° ∴∠ADC ＜∠ABC ．
【点评】本题考查余弦定理的运用，考查正弦定理，考查学生分析解决问题的能力，正确运用正弦、余弦定理是关键．。