北京市师大附中2023年数学高一第二学期期末统考模拟试题含解析

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．为了得到函数πsin(2)3
y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点
A ．向左平行移动
π
3个单位长度 B ．向右平行移动π
3个单位长度
C ．向左平行移动π
6个单位长度
D ．向右平行移动π
6
个单位长度
2．化简sin 2013o 的结果是 A ．sin 33o
B ．cos33o
C ．-sin 33o
D ．-cos33o
3．若实数,x y 满足2
2
1x y xy ++=，则x y +的最大值是（） A ．6
B ．
23
3
C ．4
D ．
23
4．如图所示是()()sin 0y A wx A w ϕ=+>>0,的图象的一段，它的一个解析式为( )
A ．2sin 233y x π⎛
⎫=
+ ⎪⎝⎭ B ．2sin 234y x π⎛
⎫=
+ ⎪⎝⎭ C ．2sin 233y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭ D ．22sin 233y x π⎛⎫
=
+ ⎪⎝
⎭
5．若直线过(1,2)A ，(3,6)B ，则该直线的斜率为 A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
6．连续掷两次骰子，分别得到的点数作为点P 的坐标，则点P 落在圆22
15x y +=内
的概率为 A ．
19
B ．
29
C ．
59
D ．
79
7．已知点(tan ,cos )P αα在第三象限，则角α的终边在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 8．已知函数
若函数
有4个零点，则实数
的取值范围是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
9．如图所示，PA 垂直于以AB 为直径的圆O 所在的平面，C 为圆上异于A B ，的任一点，则下列关系中不正确的是（ ）
A ．PA BC ⊥
B ．B
C ⊥平面PAC C ．AC PB ⊥
D ．PC BC ⊥
10．已知向量()4,a x =，()8,4b =--且//a b ，则x 的值为（ ） A ．2-
B ．2
C ．8-
D ．8
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．函数()2
sin cos 3cos f x x x x =-的单调递减区间为______.
12．如图，AD ，BE 分别为ABC ∆的中线和角平分线，点P 是AD 与BE 的交点，若
22BC BA ==，2
3
AP CP ⋅=-，则ABC ∆的面积为______.
13．已知数列{}n a 的通项公式是2n a n =，若将数列{}n a 中的项从小到大按如下方式分组：第一组：(2,4)，第二组：(6,8,10,12)，第三组：(14,16,18,20,22,24)，…，
则2018位于第________组. 14．设sin 2sin ,(
,)2
π
αααπ=-∈,则tan(2)πα-的值是____.
15．若a 、b 为单位向量，且()
2
3
a a
b ⋅+=，则向量a 、b 的夹角为_______.（用反三角函数值表示）
16．走时精确的钟表，中午12时，分针与时针重合于表面上12的位置，则当下一次分针与时针重合时，时针转过的弧度数的绝对值等于_______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知数列{}n a 中，11
2
a =
，点()1,2n n n a a +-在直线y x =上，其中1,2,3,n =⋅⋅⋅. （1）令11n n n b a a +--=，求证数列{}n b 是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项；
（3）设n S 、n T 分别为数列{}n a 、{}n b 的前n 项和是否存在实数λ，使得数列
n n S T n λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭
为等差数列？若存在，试求出λ，若不存在，则说明理由. 18．某企业生产一种产品，质量测试分为：指标不小于90为一等品；指标不小于80且小于90为二等品；指标小于80为三等品。

其中每件一等品可盈利50元，每件二等品可盈利25元，每件三等品亏损10元。

现对学徒甲和正式工人乙生产的产品各100件的检测结果统计如下：
根据上表统计得到甲、乙生产产品等级的频率分别估计为他们生产产品等级的概率。

求： （1）乙生产一件产品，盈利不小于25元的概率；
（2）若甲、乙一天生产产品分别为30件和20件，估计甲、乙两人一天共为企业创收多少元？
（3）从甲测试指标为[)90,95与乙测试指标为[)70,75共9件产品中选取2件，求两件产品的测试指标差的绝对值大于10的概率.
19．给定常数0c >，定义函数()24f x x c x c =++-+，数列123,,,
a a a 满足
*1(),n n a f a n N +=∈.
（1）若12a c =--，求2a 及3a ；
（2）求证：对任意*
1,n n n N a a c +∈-≥，；
（3）是否存在1a ，使得12,,,n a a a 成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ，若
不存在，说明理由.
20．已知()cos ,sin a αα=，()cos ,sin b ββ=-，α，β均为锐角，且10
5
a b -=. （1）求()cos αβ+的值； （2）若3
cos 5
α=
，求cos β的值. 21．在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边，作两个角,αβ，它们终边分别经过点P 和Q ，其中21,cos 2P θ⎛⎫
⎪⎝⎭
,()
2sin ,1,Q θθ-∈R ，且4
sin 5
α. （1）求cos2θ的值； （2）求tan()αβ+的值.
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、D 【解析】
试题分析：由题意，为得到函数sin(2)sin[2()]36
y x x π
π
=-
=-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点向右平行移动
π
6
个单位长度，故选D. 【考点】三角函数图象的平移
【名师点睛】本题考查三角函数图象的平移，在函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象平移变换中要注意“ω”的影响，变换有两种顺序：一种sin y x =的图象向左平移ϕ个单位
得sin()y x ϕ=+的图象，再把横坐标变为原来的
1
ω
倍，纵坐标不变，得
sin()y x ωϕ=+的图象，另一种是把sin y x =的图象横坐标变为原来的
1
ω
倍，纵坐标
不变，得sin y x ω=的图象，再向左平移ϕ
ω
个单位得sin()y x ωϕ=+的图象． 2、C 【解析】
试题分析：sin 2013o =(
)
(
)
00
00
sin 1800+213=sin 213=sin 180+33=-sin33． 考点：诱导公式．
点评：直接考查诱导公式，我们要熟记公式．属于基础题型． 3、B 【解析】
根据2
2x y xy +⎛⎫≤ ⎪
⎝⎭
，将等式转化为不等式，求x y +的最大值.
【详解】
()2
2211x y xy x y xy ++=⇒+-=,
2
2x y xy +⎛⎫≤ ⎪
⎝⎭
， ()2
2
12x y x y +⎛⎫
∴+-≤ ⎪⎝⎭
，
解得
()2
314x y +≤，x y ≤+≤
x y ∴+故选B. 【点睛】
本题考查了基本不等式求最值，属于基础题型. 4、D 【解析】
根据函数的图象，得出振幅A 与周期T ，从而求出ω与ϕ的值． 【详解】
根据函数的图象知，振幅23A =，周期57()1212
T ππ
π=
--=， 即2π
πω
=，解得2ω=；
所以12
x π
=-时，2()212
2
x k π
π
ωϕϕπ+=⨯-
+=
+，k Z ∈；
解得223
k π
ϕπ=
+，k Z ∈， 所以函数y 的一个解析式为22sin(2)33
y x π=+． 故答案为D ． 【点睛】
本题考查了函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质的应用问题，考查三角函数的解析式的求法， 属于基础题． 5、A 【解析】
由直线的斜率公式，即可求解，得到答案． 【详解】
由题意，直线过点(1,2)A ，(3,6)B ，由斜率公式，可得斜率62
231
k -==-，故选A ． 【点睛】
本题主要考查了斜率公式的应用，其中解答中熟记直线的斜率公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 6、B 【解析】
由抛掷两枚骰子得到点P 的坐标共有36种，再利用列举法求得点P 落在圆22
15
x y +=内所包含的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解． 【详解】
由题意知，试验发生包含的事件是连续掷两次骰子分别得到的点数作为点P 的坐标， 共有6636⨯=种结果，
而满足条件的事件是点P 落在圆22
15x y +=内，列举出落在圆内的情况：（1，1）（1，
2）（1，3）（2，1）（2，2）（2，3）（3，1）（3，2），共有8种结果， 根据古典概型概率公式，可得8236
9
P ==
，故选B ．
【点睛】
本题主要考查的是古典概型及其概率计算公式.，属于基础题．解题时要准确理解题意，先要判断该概率模型是不是古典概型，正确找出随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数，令古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查
了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 7、B 【解析】
根据同角三角函数间基本关系和各象限三角函数符号的情况即可得到正确选项. 【详解】
因为点(tan ,cos )P αα在第三象限，则tan 0α<，cos 0α<， 所以sin tan cos 0ααα=>， 则可知角α的终边在第二象限. 故选：B. 【点睛】
本题考查各象限三角函数符号的判定，属基础题.相关知识总结如下： 第一象限：sin 0,cos 0,tan 0x x x >>>； 第二象限：sin 0,cos 0,tan 0x x x ><<； 第三象限：sin 0,cos 0,tan 0x x x <<>； 第四象限：sin 0,cos 0,tan 0x x x <><. 8、B 【解析】
令g(x)=0得f(x)=a,再利用函数的图像分析解答得到a 的取值范围. 【详解】
令g(x)=0得f(x)=a, 函数f(x)的图像如图所示，
当直线y=a 在x 轴和直线x=1之间时，函数y=f(x)的图像与直线y=a 有四个零点，
所以0＜a ＜1. 故选：B 【点睛】
本题主要考查函数的图像和性质，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题. 9、C 【解析】
由PA ⊥平面ABC ，得PA BC ⊥，再由BC AC ⊥，得到BC ⊥平面PAC ，进而得到PC BC ⊥，即可判断出结果. 【详解】
因为PA 垂直于以AB 为直径的圆O 所在的平面， 即PA ⊥平面ABC ，得PA BC ⊥，A 正确； 又C 为圆上异于A B ，的任一点，所以BC AC ⊥，
BC ∴⊥平面PAC ，BC PC ∴⊥，B ，D 均正确.
故选C. 【点睛】
本题主要考查线面垂直，熟记线面垂直的判定定理与性质定理即可，属于常考题型. 10、B 【解析】
由向量平行可构造方程求得结果. 【详解】
//a b ()448x ∴⨯-=-，解得：2x =
故选：B 【点睛】
本题考查根据向量平行求解参数值的问题，关键是明确两向量平行可得1221x y x y =.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣
⎦ 【解析】
利用二倍角降幂公式和辅助角公式可得出()sin 232
f x x π⎛
⎫
=-
- ⎪
⎝
⎭，然后解不等式
()32222
3
2
k x k k Z π
π
π
ππ+≤-
≤
+∈，即可得出函数()y f x =的单调递减区间. 【详解】
()
211cos 21sin cos sin 2sin 2cos 222222
x f x x x x x x x +===--
sin 232x π⎛
⎫
=-
- ⎪⎝
⎭
， 解不等式
()32222
3
2
k x k k Z π
π
π
ππ+≤-
≤
+∈，得()5111212
k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 因此，函数()y f x =的单调递减区间为()511,1212k k k Z ππππ⎡
⎤+
+∈⎢⎥⎣
⎦
. 故答案为：()511,1212k k k Z ππππ⎡
⎤++∈⎢⎥⎣
⎦
. 【点睛】
本题考查正弦型三角函数单调区间的求解，一般利用三角恒等变换思想将三角函数解析式化简，考查计算能力，属于中等题.
12 【解析】
设(0,0),(1,0),(2,0)B D C ,2ABC α∠=,求点A 的坐标，运用换元法，求直线方程，再解出交点P 的坐标，再利用向量数量积运算求出sin 2α，最后结合三角形面积公式求解即可. 【详解】
解：由22BC BA ==，可设(0,0),(1,0),(2,0)B D C ,2ABC α∠=, 则(cos 2,sin 2)A αα，
设tan t α=，则222
12(,)11t t
A t t -++ ，
直线BE 的方程为y tx =，直线AD 的方程为1(1)y x t
=--，
联立直线BE 、AD 方程解得22
1(
,)11t P t t ++，
则222,11t t AP t t ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，22212,11t t CP t t ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭
，
可得242222222
(1)(1)3
t t t AP CP t t --⋅=-=-++，
解得：22
t =
， 即2tan 2
α=
， 即2
2tan 22
sin 21tan 3
ααα=
=+， 所以112222
sin 2122233
ABC S AB BC α∆=
⋅⋅=⨯⨯⨯=
， 故答案为：
223
.
【点睛】
本题考查了向量的数量积运算，重点考查了两直线的交点坐标及三角形面积公式，属中档题. 13、1 【解析】
根据题意可分析第一组、第二组、第三组、…中的数的个数及最后的数，从中寻找规律使问题得到解决． 【详解】
根据题意:第一组有2＝1×
2个数，最后一个数为4； 第二组有4＝2×2个数，最后一个数为12，即2×（2+4）； 第三组有6＝2×3个数，最后一个数为24，即2×（2+4+6）；
…
∴第n 组有2n 个数，其中最后一个数为2×（2+4+…+2n ）＝4（1+2+3+…+n ）＝2n （n+1）． ∴当n ＝31时，第31组的最后一个数为2×31×1＝1984，
∴当n ＝1时，第1组的最后一个数为2×1×33＝2112，∴2018位于第1组． 故答案为1． 【点睛】
本题考查观察与分析问题的能力，考查归纳法的应用，从有限项得到一般规律是解决问题的关键点，属于中档题．
14【解析】
根据二倍角公式得出tan α= 【详解】
解：由题意知：sin 22sin cos sin αααα==-
(,)2
π
απ∈sin 0α∴≠
故2cos 1α=-，
∴1
cos 2α=-即sin α=
tan α=()
tan 2tan παα∴-=-=
【点睛】
本题考查了二倍角公式和诱导公式的应用，属于基础题． 15、1
arccos 3
π-. 【解析】
设向量a 、b 的夹角为θ，利用平面向量数量积的运算律与定义计算出cos θ的值，利用反三角函数可求出θ的值. 【详解】
设向量a 、b 的夹角为θ， 由平面向量数量积的运算律与定义得
()
2
22cos 1cos 3a a b a a b a a b θθ⋅+=+⋅=+⋅=+=
，1cos 3
θ∴=-，1
arccos 3θπ∴=-，因此，向量a 、b 的夹角为1arccos 3π-，故答案为1arccos 3π-.
【点睛】
本题考查利用平面向量的数量积计算平面向量所成的夹角，解题的关键就是利用平面向量数量积的定义和运算律，考查运算求解能力，属于中等题. 16、
211
π
. 【解析】
设时针转过的角的弧度数为α，可知分针转过的角为12α，于此得出122ααπ=+，由此可计算出α的值，从而可得出时针转过的弧度数的绝对值α的值. 【详解】
设时针转过的角的弧度数的绝对值为α，
由分针的角速度是时针角速度的12倍，知分针转过的角的弧度数的绝对值为12α， 由题意可知，122ααπ=+，解得211πα=，因此，时针转过的弧度数的绝对值等于211
π
，
故答案为211
π
. 【点睛】
本题考查弧度制的应用，主要是要弄清楚时针与分针旋转的角之间的等量关系，考查分析问题和计算能力，属于中等题.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）证明过程见详解；（2）322=-+
n
n n a ；（3）存在实数2λ=，使得数列n n S T n λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭
为等差数列. 【解析】
（1）先由题意得到12+-=n n a a n ，再由11n n n b a a +--=，得到
12111
2
11++++-=--=-n n n n n n b a a b a a ，即可证明结论成立； （2）先由（1）求得1
132+⎛⎫-⋅ ⎪
⎝⎭
=n n b ，推出11
1132++⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭
-n n n a a ，利用累加法，即
可求出数列{}n a 的通项；
（3）把数列a n }、{b n }通项公式代入a n +2b n ，进而得到S n +2T 的表达式代入T n ，进而推断当且仅当λ＝2时，数列n n S T n λ+⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列． 【详解】
（1）因为点()1,2n n n a a +-在直线y x =上，所以12+-=n n a a n ，因此
2121++-=+n n n a a
由11n n n b a a +--=得112111(1)1
12112
++++++--==-+++-----n n n n n n n n n n a a b a a b a a a n n
a 1111(1)21
2112
21++++===-++--------n n n n n n n n a a a a a a n a n a
所以数列{}n b 是以1
2
为公比的等比数列； （2）因为112a =
，由2121=-a a 得234
a =，故211314--=-=
b a a ，
由（1）得1
1
1
1131132422--+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅=-⋅ ⎪
⎪
⎪
⎝⎭⎭
⎭
=⎝⎝n n n n b b ，
所以11
1132++⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭
-n n n a a ，即11
1132++⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭
-n n n a a ，
所以2
211132⎛⎫=-⋅ ⎪⎝-⎭a a ，3
321132⎛⎫=-⋅ ⎪⎝-⎭a a ，…，11132-⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭
-n n n
a a ， 以上各式相加得：()12311113222⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++⋅⋅⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
-n
n n a a
2
1111223313112212
-⎡⎤⎛⎫
⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎢⎥⎣⎦=--⨯
=--+-n n
n n
所以322=-+
n
n n a ； （3）存在λ＝2，使数列n n S T n λ+⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列． 由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，a n +2b n ＝n ﹣2
∴()()
12213222222n n
n n n n n
n n n T T n n S T n S T n T n n n
λλλ+--+++--+=-==+ 又1231
131
42
112212
n n n n
T b b b ⎛⎫-- ⎪
⎛⎫⎝⎭=++
+=
=--
⎪⎝⎭
-=13322n +-+，
∴
13233222n n n S T n n n λλ++--⎛⎫
=+-+ ⎪⎝⎭
， ∴当且仅当λ＝2时，数列n n S T n λ+⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列． 【点睛】
本题主要考查等差数列与等比数列的综合，熟记等比数列的定义，等比数列的通项公式，以及等差数列与等比数列的求和公式即可，属于常考题型. 18、 (1) 910
；(2) 1195元；(3) 7
18
【解析】
（1）设事件A 表示“乙生产一件产品，盈利不小于25元”，即该产品的测试指标不小于80，由此能求出乙生产一件产品，盈利不小于25元的概率．
（2）由表格知甲生产的一等品、二等品、三等品比例为即1:7:2，所以甲一天生产30件产品，其中一等品有3件，二等品有21件，三等品有6件；由表格知乙生产的一等品、二等品、三等品比例为3:6:1，所以乙一天生产20件产品，其中一等品有6件，二等品有12件，三等品有2件，由此能求出甲、乙两人一天共为企业创收1195元． （3）设甲测试指标为[90，95)的7件产品用1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ，7x 表示，乙测试指标为[70，75)的7件产品用8x ，9x 表示，利用列举法能求出两件产品的测试指标差的绝对值大于10的概率． 【详解】
（1）设事件A 表示“乙生产一件产品，盈利不小于25元”，即该产品的测试指标不小
于80，则()20402010910010
P A +++=
=；
（2）甲一天生产30件产品，其中一等品有
73
303100
+⨯=件；二等品有3535
3021100
+⨯=件；
三等品有
515
306100
+⨯=件； 甲一天生产20件产品，其中一等品有2010206100+⨯=件；二等品有2040
2012100
+⨯=件； 三等品有
28
202100
+⨯= ()()()()365021122562101195∴+⨯++⨯++⨯-=，即甲、乙两人一天共为企业创
收1195元；
（3）设甲测试指标为[)90,95的7件产品用1x ，2x ，3x ，
,7x 表示，乙测试指标为
[)70,75的7件产品用8x ，9x 表示，用{},i j x x （1i ≤，9j ≤且i j ≠）表示从9件产
品中选取2件产品的一个结果.
不同结果为{}12,x x ，{}13,x x ，{}14,x x ，{}15,x x ，{}16,x x ，{}17,x x ，{}18,x x ，{}19,x x ，
{}23,x x ，{}24,x x ，{}25,x x ，{}26,x x ，{}27,x x ，{}28,x x ，{}29,x x ，{}34,x x ，{}35,x x ，{}36,x x
{}37,x x ，{}38,x x ，{}39,x x ，
，{}89,x x ，共有36个不同结果.
设事件B 表示“选取的两件产品的测试指标差的绝对值大于10”，即从甲、乙生产的产品中各取1件产品，不同的结果为{}81,x x ，{}82,x x ，{}83,x x ，{}84,x x ，{}85,x x ，
{}86,x x ，{}87,x x ，{}91,x x ，{}92,x x ，{}93,x x ，{}94,x x ，{}95,x x ，{}96,x x ，{}97,x x ，
共有14个不同结果. 则()147
3618
P B ==. 【点睛】
本题主要考查古典概型概率的求法，即按照古典概型的概率计算公式分别求出基本事件总数以及有利事件数即可算出概率，以及列举法和随机抽样的应用． 19、见解析 【解析】
（1）因为0c >，1(2)a c =-+，故2111()242a f a a c a c ==++-+=，
3122()2410a f a a c a c c ==++-+=+
（2）要证明原命题，只需证明()f x x c ≥+对任意x R ∈都成立，
()24f x x c x c x c x c ≥+⇔++-+≥+
即只需证明24+x c x c x c ++≥++
若0x c +≤，显然有24+=0x c x c x c ++≥++成立；
若0x c +>，则24+4x c x c x c x c x c ++≥++⇔++>+显然成立 综上，()f x x c ≥+恒成立，即对任意的*n N ∈，1n n a a c +-≥
（3）由（2）知，若{}n a 为等差数列，则公差0d c ≥>，故n 无限增大时，总有0n a > 此时，1()2(4)()8n n n n n a f a a c a c a c +==++-+=++ 即8d c =+
故21111()248a f a a c a c a c ==++-+=++， 即111248a c a c a c ++=++++，
当10a c +≥时，等式成立，且2n ≥时，0n a >，此时{}n a 为等差数列，满足题意； 若10a c +<，则11448a c a c ++=⇒=--， 此时，230,8,
,(2)(8)n a a c a n c ==+=-+也满足题意；
综上，满足题意的1a 的取值范围是{}[,)8c c -+∞⋃--． 【考点定位】考查数列与函数的综合应用，属难题． 20、（1）4
5；（2）
2425
【解析】
(1)计算表达出a b -,再根据10
5
a b -=
,两边平方求化简即可求得()cos αβ+. (2)根据()cos cos βαβα=+-⎡⎤⎣⎦,再利用余弦的差角公式展开后分别计算
()sin ,sin αβα+求解即可.
【详解】
（1）由题意,得()cos cos ,sin sin a b a βαβ-=-+,
10
5
a b -=
,
5
==()222cos 5αβ∴-+=
,()4cos 5
αβ∴+=. （2）()4
cos 05
αβ+=
>,α,β均为锐角,αβ∴+仍为锐角
,()3sin 5αβ+==
3
cos
5
α=,4sin 5α∴==,
()()433424
cos cos cos()cos sin sin 555525
βαβααβααβα∴=+-=+++=⨯+⨯=⎡⎤⎣⎦. 【点睛】
本题主要考查了根据向量的数量积列出关于三角函数的等式,再利用三角函数中的和差角以及凑角求解的方法.属于中档题. 21、（1）
13
；（2）1
3-.
【解析】
(1)根据正弦的定义求得2cos θ，再运用余弦的二倍角公式求解， (2)由(1)问可得P 、Q 两点的坐标，从而再运用正切的和角公式求解. 【详解】
（
1）由24
sin 5
α==
得：2
221cos ,sin 33
θθ=
= 所以：2
2
1
cos 2cos sin 3
θθθ=-= （2）由2
212sin ,cos 33
θθ== 则121,,,1233P Q ⎛⎫⎛⎫
-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
故4
tan ,tan 33
αβ=
=- 因此tan tan 1
tan()1tan tan 3
αβαβαβ++==--.
【点睛】
本题考查三角函数的定义和余弦的二倍角公式和正切的和角公式，属于基础题.。