南芬区第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学卷

南芬区第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 函数f （x ）=（）x2﹣9的单调递减区间为（ ） A ．（﹣∞，0） B ．（0，+∞） C ．（﹣9，+∞） D ．（﹣∞，﹣9）
2． 已知f （x ）
=
，g （x ）
=（k ∈N *
），对任意的c ＞1，存在实数a ，b 满足0＜a ＜b ＜c ，使得f （c ）
=f （a ）=g （b ），则k 的最大值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
3． “p q ∨为真”是“p ⌝为假”的（ ）条件
A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分也不必要 4． 已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 4•a 8=2a 52，a 2=1，则a 1=（ ） A
．
B ．2
C
．
D
．
5． 利用计算机在区间（0，1）上产生随机数a ，则不等式ln （3a ﹣1）＜0成立的概率是（ ） A
．
B
．
C
．
D
．
6． 设n S 为数列{}n a 的前n 项的和，且*3
(1)()2
n n S a n =
-∈N ，则n a =（ ） A ．3(32)n n
-
B ．32n +
C ．3n
D ．132n -⋅
7． 执行如图所示的程序框图，若a=1，b=2
A ．9
B ．11
C ．13
D ．15
8．设F为双曲线
22
22
1(0,0)
x y
a b
a b
-=>>的右焦点，若OF的垂直平分线与渐近线在第一象限内的交点到
另一条渐近线的距离为1||
2
OF，则双曲线的离心率为（）
A．B C．D．3
【命题意图】本题考查双曲线方程与几何性质，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、方程思想．
9．设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题：
①若m∥l，m⊥α，则l⊥α；
②若m∥l，m∥α，则l∥α；
③若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，则l∥m∥n；
④若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，n∥β，则l∥m．
其中正确命题的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知双曲线C 的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，且双曲线C过点P（﹣2，0），则双曲线C的渐近线方程是（）
A．y=±x B．y=±C．xy=±2x D．y=±x
11．由两个1，两个2，两个3组成的6位数的个数为（）
A．45 B．90 C．120 D．360
A．甲B．乙C．丙D．丁
二、填空题
13．已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x．给出如下结论：
①对任意m∈Z，有f（2m）=0；②函数f（x）的值域为[0，+∞）；③存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；④“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2k，2k+1）”；其中所有正确结论的序号是．
14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且，B=45°，面积S=2，则b 等于 ．
15．已知椭圆+
=1（a ＞b ＞0）上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其左焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF=θ，
且θ∈[，
]，则该椭圆离心率e 的取值范围为 ．
16．已知实数x ，y 满足约束条，则z=
的最小值为 ．
17．若x ，y 满足线性约束条件
，则z=2x+4y 的最大值为 ．
18．命题：“∀x ∈R ，都有x 3≥1”的否定形式为 ．
三、解答题
19．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，S n =na n ﹣n （n ﹣1）． （1）求证：数列{a n }为等差数列，并分别求出a n 的表达式；
（2）设数列的前n 项和为P n ，求证：P n ＜；
（3）设C n =，T n =C 1+C 2+…+C n ，试比较T n 与
的大小．
20．（本题满分15分）
如图AB 是圆O 的直径，C 是弧AB 上一点，VC 垂直圆O 所在平面，D ，E 分别为VA ，VC 的中点. （1）求证：DE ⊥平面VBC ；
（2）若6VC CA ==，圆O 的半径为5，求BE 与平面BCD 所成角的正弦值.
【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系，线面等基础知识，意在考查空间想象能力和运算求解能力．
21．（本小题满分10分）直线l 的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R ，ρ≠0），其中α∈[0，π），曲线C 1的参数方
程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t y ＝1＋sin t
（t 为参数），圆C 2的普通方程为x 2＋y 2＋23x ＝0.
（1）求C 1，C 2的极坐标方程；
（2）若l 与C 1交于点A ，l 与C 2交于点B ，当|AB |＝2时，求△ABC 2的面积．
22．（本小题满分10分）已知函数f （x ）＝|x －a |＋|x ＋b |，（a ≥0，b ≥0）． （1）求f （x ）的最小值，并求取最小值时x 的范围； （2）若f （x ）的最小值为2，求证：f （x ）≥a ＋b .
23．（本小题满分12分） 已知函数2()x f x e ax bx =--.
（1）当0,0a b >=时，讨论函数()f x 在区间(0,)+∞上零点的个数； （2）证明：当1b a ==，1[,1]2
x ∈时，()1f x <.
24．如图，已知椭圆C ：
+y 2=1，点B 坐标为（0，﹣1），过点B 的直线与椭圆C 另外一个交点为A ，且
线段AB 的中点E 在直线y=x 上 （Ⅰ）求直线AB 的方程
（Ⅱ）若点P 为椭圆C 上异于A ，B 的任意一点，直线AP ，BP 分别交直线y=x 于点M ，N ，证明：OM •ON 为定值．
南芬区第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】B
【解析】解：原函数是由t=x 2
与y=（
）t
﹣9复合而成，
∵t=x 2在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）为增函数； 又y=（
）t
﹣9其定义域上为减函数，
∴f （x ）=（）x2
﹣9在（﹣∞，0）上是增函数，在（0，+∞）为减函数， ∴函数ff （x ）=（）x2
﹣9的单调递减区间是（0，+∞）．
故选：B ．
【点评】本题考查复合函数的单调性，讨论内层函数和外层函数的单调性，根据“同増异减”再来判断是关键．
2． 【答案】B
【解析】解：∵f （x ）=
，g （x ）=（k ∈N *
），
对任意的c ＞1，存在实数a ，b 满足0＜a ＜b ＜c ，使得f （c ）=f （a ）=g （b ），
∴可得：＞，对于x ＞1恒成立．
设h （x ）=x •
，h ′（x ）=
，且y=x ﹣2﹣lnx ，y ′=1﹣＞0在x ＞1成立，
∴即3﹣2﹣ln3＜0，4﹣2﹣ln4＞0，
故存在x 0∈（3，4）使得f （x ）≥f （x 0）＞3， ∴k 的最大值为3． 故选：B
【点评】本题考查了学生的构造函数，求导数，解决函数零点问题，综合性较强，属于难题．
3． 【答案】B 【解析】
试题分析：因为p 假真时，p q ∨真，此时p ⌝为真，所以，“p q ∨ 真”不能得“p ⌝为假”，而“p ⌝为假”时p 为真，必有“p q ∨ 真”，故选B. 考点：1、充分条件与必要条件；2、真值表的应用. 4． 【答案】D
【解析】解：设等比数列{a n }的公比为q ，则q ＞0，
∵a 4•a 8=2a 52，∴a 62=2a 52
， ∴q 2
=2，∴q=
， ∵a 2=1，∴a 1
=
=
．
故选：D
5． 【答案】C
【解析】解：由ln （3a ﹣1）＜0
得＜a
＜，
则用计算机在区间（0，1）上产生随机数a ，不等式ln （3a ﹣1）＜0成立的概率是
P=， 故选：C ．
6． 【答案】C
【解析】1111223(1)2
3(1)2
a S a a a a ⎧
==-⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，12
39a a =⎧⎨=⎩，
经代入选项检验，只有C 符合． 7． 【答案】C
【解析】解：当a=1时，不满足退出循环的条件，故a=5， 当a=5时，不满足退出循环的条件，故a=9， 当a=9时，不满足退出循环的条件，故a=13， 当a=13时，满足退出循环的条件， 故输出的结果为13， 故选：C
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．
8． 【答案】B 【
解
析
】
9．【答案】B
【解析】解：∵①若m∥l，m⊥α，
则由直线与平面垂直的判定定理，得l⊥α，故①正确；
②若m∥l，m∥α，则l∥α或l⊂α，故②错误；
③如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
平面ABB1A1∩平面ABCD=AB，
平面ABB1A1∩平面BCC1B1=BB1，
平面ABCD∩平面BCC1B1=BC，
由AB、BC、BB1两两相交，得：
若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，则l∥m∥n不成立，故③是假命题；
④若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，n∥β，
则由α∩γ=n知，n⊂α且n⊂γ，由n⊂α及n∥β，α∩β=m，
得n∥m，同理n∥l，故m∥l，故命题④正确．
故选：B．
【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
10．【答案】A
【解析】解：抛物线y2
=8x的焦点（2，0），
双曲线C 的一个焦点与抛物线y2
=8x的焦点相同，c=2，
双曲线C过点P（﹣2，0），可得a=2，所以b=2．
双曲线C的渐近线方程是y=±x．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线方程的应用，抛物线的简单性质的应用，基本知识的考查．
11．【答案】B
【解析】解：问题等价于从6个位置中各选出2个位置填上相同的1，2，3，
所以由分步计数原理有：C62C42C22=90个不同的六位数，
故选：B．
【点评】本题考查了分步计数原理，关键是转化，属于中档题．
12．【答案】C
【解析】解：∵甲、乙、丙、丁四人的平均环数乙和丙均为8.8环，最大，
甲、乙、丙、丁四人的射击环数的方差中丙最小，
∴丙的射击水平最高且成绩最稳定，
∴从这四个人中选择一人参加该运动会射击项目比赛，
最佳人选是丙．
故选：C．
【点评】本题考查运动会射击项目比赛的最佳人选的确定，是基础题，解题时要认真审题，注意从平均数和方差两个指标进行综合评价．
二、填空题
13．【答案】①②④．
【解析】解：∵x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x．
∴f（2）=0．f（1）=f（2）=0．
∵f（2x）=2f（x），
∴f（2k x）=2k f（x）．
①f（2m）=f（2•2m﹣1）=2f（2m﹣1）=…=2m﹣1f（2）=0，故正确；
②设x∈（2，4]时，则x∈（1，2]，∴f（x）=2f（）=4﹣x≥0．
若x∈（4，8]时，则x∈（2，4]，∴f（x）=2f（）=8﹣x≥0．
…
一般地当x∈（2m，2m+1），
则∈（1，2]，f（x）=2m+1﹣x≥0，
从而f（x）∈[0，+∞），故正确；
③由②知当x∈（2m，2m+1），f（x）=2m+1﹣x≥0，
∴f（2n+1）=2n+1﹣2n﹣1=2n﹣1，假设存在n使f（2n+1）=9，
即2n﹣1=9，∴2n=10，
∵n∈Z，
∴2n=10不成立，故错误；
④由②知当x∈（2k，2k+1）时，f（x）=2k+1﹣x单调递减，为减函数，
∴若（a，b）⊆（2k，2k+1）”，则“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”，故正确．
故答案为：①②④．
14．【答案】5．
【解析】解：∵，B=45°，面积S=2，
∴S=acsinB==2a=2．
∴a=1
由余弦定理得b2
=a2+c2﹣2accosB=12+（4）2﹣2×1××=25
∴b=5．
故答案为：5．
【点评】本题考查三角形的面积公式：三角形的面积等于任意两边与它们夹角正弦的一半、考查利用三角形的余弦定理求边长．
15．【答案】[，﹣1]．
【解析】解：设点A（acosα，bsinα），则B（﹣acosα，﹣bsinα）（0≤α≤）；
F（﹣c，0）；
∵AF⊥BF，
∴=0，
即（﹣c﹣acosα，﹣bsinα）（﹣c+acosα，bsinα）=0，
故c2﹣a2cos2α﹣b2sin2α=0，
cos2α==2﹣，
故cosα=，
而|AF|=，
|AB|==2c，
而sinθ=
==，
∵θ∈[，]，
∴sinθ∈[，]，
∴≤≤，
∴≤+≤，
∴，
即，
解得，≤e≤﹣1；
故答案为：[，﹣1]．
【点评】本题考查了圆锥曲线与直线的位置关系的应用及平面向量的应用，同时考查了三角函数的应用．
16．【答案】．
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z==32x+y，
设t=2x+y，
则y=﹣2x+t，
平移直线y=﹣2x+t，
由图象可知当直线y=﹣2x+t经过点B时，直线y=﹣2x+t的截距最小，
此时t最小．
由，解得，即B（﹣3，3），
代入t=2x+y得t=2×（﹣3）+3=﹣3．
∴t最小为﹣3，z有最小值为z==3﹣3=．
故答案为：．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
17．【答案】38．
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=2x+4y得y=﹣x+，
平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点A时，
直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大，
由，解得，
即A（3，8），
此时z=2×3+4×8=6+32=32，
故答案为：38
18．【答案】∃x0∈R，都有x03＜1．
【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题．所以，命题：“∀x∈R，都有x3≥1”的否定形式为：命题：“∃x0∈R，都有x03＜1”．
故答案为：∃x0∈R，都有x03＜1．
【点评】本题考查全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）证明：∵S n=na n﹣n（n﹣1）
∴S n+1=（n+1）a n+1﹣（n+1）n…
∴a n+1=S n+1﹣S n=（n+1）a n+1﹣na n﹣2n…
∴na n+1﹣na n﹣2n=0
∴a n+1﹣a n=2，
∴{a n}是以首项为a1=1，公差为2的等差数列…
由等差数列的通项公式可知：a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，
数列{a n}通项公式a n=2n﹣1；…
（2）证明：由（1）可得，
…
=…
（3）∴
，
=，
两式相减得…
=
，
=，
=，
=，
∴…
∴…
∵n ∈N *
，
∴2n
＞1，
∴，
∴…
20．【答案】（1）详见解析；（2）
146
. 【解析】（1）∵D ，E 分别为VA ，VC 的中点，∴//DE AC ，…………2分
∵AB 为圆O 的直径，∴AC BC ⊥，…………4分 又∵VC ⊥圆O ，∴VC AC ⊥，…………6分 ∴DE BC ⊥，DE VC ⊥，又∵VC
BC C =，∴DE VBC ⊥面；…………7分
（2）设点E 平面BCD 的距离为d ，由D BCE E BCD V V --=得11
33
BCE BCD DE S d S ∆∆⨯⨯=
⨯⨯，解得
d =
12分 设BE 与平面BCD 所成角为θ，∵8BC =，
BE =sin d BE θ==.…………15分 21．【答案】
【解析】解：（1）由C 1：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝cos t
y ＝1＋sin t （t 为参数）得
x 2＋（y －1）2＝1， 即x 2＋y 2－2y ＝0，
∴ρ2－2ρsin θ＝0，即ρ＝2sin θ为C 1的极坐标方程， 由圆C 2：x 2＋y 2＋23x ＝0得
ρ2＋23ρcos θ＝0，即ρ＝－23cos θ为C 2的极坐标方程． （2）由题意得A ，B 的极坐标分别为 A （2sin α，α），B （－23cos α，α）． ∴|AB |＝|2sin α＋23cos α| ＝4|sin （α＋π
3）|，α∈[0，π），
由|AB |＝2得|sin （α＋π3）|＝1
2，
∴α＝π2或α＝5π
6
.
当α＝π2时，B 点极坐标（0，π2）与ρ≠0矛盾，∴α＝5π6，
此时l 的方程为y ＝x ·tan 5π6
（x ＜0），
即3x ＋3y ＝0，由圆C 2：x 2＋y 2＋23x ＝0知圆心C 2的直角坐标为（－3，0）， ∴C 2到l 的距离d ＝|3×（－3）|（3）2＋32＝3
2
，
∴△ABC 2的面积为S ＝1
2
|AB |·d
＝12×2×32＝32
. 即△ABC 2的面积为3
2
.
22．【答案】
【解析】解：（1）由|x －a |＋|x ＋b |≥|（x －a ）－（x ＋b ）| ＝|a ＋b |得，
当且仅当（x －a ）（x ＋b ）≤0，即－b ≤x ≤a 时，f （x ）取得最小值， ∴当x ∈[－b ，a ]时，f （x ）min ＝|a ＋b |＝a ＋b . （2）证明：由（1）知a ＋b ＝2，
（a ＋b ）2＝a ＋b ＋2ab ≤2（a ＋b ）＝4， ∴a ＋b ≤2，
∴f （x ）≥a ＋b ＝2≥a ＋b ， 即f （x ）≥a ＋b .
23．【答案】（1）当2(0,)4e a ∈时，有个公共点，当24e a =时，有个公共点，当2
(,)4
e a ∈+∞时，有个公共
点；（2）证明见解析. 【解析】
试题分析：（1）零点的个数就是对应方程根的个数,分离变量可得2x e a x
=,构造函数2()x
e h x x =,利用()'h x 求出
单调性可知()h x 在(0,)+∞的最小值2
(2)4
e h =,根据原函数的单调性可讨论得零点个数；（2）构造函数
2()1x h x e x x =---,利用导数可判断()h x 的单调性和极值情况,可证明()1f x <.1
试题解析：
当2
(0,
)4
e
a ∈时，有0个公共点； 当2
4e a =，有1个公共点；
当2
(,)4
e a ∈+∞有2个公共点.
（2）证明：设2()1x h x e x x =---，则'()21x
h x e x =--，
令'
()()21x
m x h x e x ==--，则'
()2x
m x e =-，
因为1(,1]2x ∈，所以，当1[,ln 2)2
x ∈时，'
()0m x <；()m x 在1[,ln 2)2
上是减函数，
当(ln 2,1)x ∈时，'
()0m x >，()m x 在(ln 2,1)上是增函数，
考点：1.函数的极值；2.函数的单调性与导数的关系；3.不等式；4.函数的零点.
【方法点睛】本题主要考查函数的极值，函数的单调性与导数的关系，不等式，函数的零点.有关零点问题一类题型是直接求零点,另一类是确定零点的个数.确定函数零点的常用方法:（1）解方程判定法,若方程易求解时用此法；（2）零点存在的判定定理法,常常要结合函数的性质,导数等知识；（3）数形结合法.在研究函数零点,方程的根及图象交点的问题时,当从正面求解难以入手,可以转化为某一个易入手的等价问题求解,如求解含绝对值,分式,三角式等较复杂的函数零点问题,常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解.
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号. 24．【答案】
【解析】（Ⅰ）解：设点E（t，t），∵B（0，﹣1），∴A（2t，2t+1），
∵点A在椭圆C上，∴，
整理得：6t2+4t=0，解得t=﹣或t=0（舍去），
∴E（﹣，﹣），A（﹣，﹣），
∴直线AB的方程为：x+2y+2=0；
（Ⅱ）证明：设P（x0，y0），则，
直线AP方程为：y+=（x+），
联立直线AP与直线y=x的方程，解得：x M=，
直线BP的方程为：y+1=，
联立直线BP与直线y=x的方程，解得：x N=，
∴OM•ON=|x M||x N|
=2•||•||
=||
=||
=||
=．
【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求直线的方程、线段乘积为定值等问题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．。