勾股定理的实际应用(人教版)(含答案)
勾股定理(人教版)(含答案)
勾股定理（人教版）一、单选题(共10道，每道9分)1.一个直角三角形两直角边长分别为5和12，下列说法正确的是( )A.斜边长的平方为119B.三角形的周长为29C.斜边长为13D.三角形的面积为60答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理2.如图，在Rt△ABC中，AC=3，BC=5，阴影部分是以AB为边的一个正方形，则此正方形的边长为( )A.16B.4C.34D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理3.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB 的长度为( )A.5B.6C.7D.25答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理4.等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为( )A.6B.C. D.5答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理5.如图，∠B=∠ACD=90°，AD=13，CD=12，BC=3，则AB的长为( )A.4B.3.5C.2D.无法确定答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理6.已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE=( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理7.如图，直线上有三个正方形A，B，C，若A，C的边长分别为3和4，则正方形B的面积为( )A.5B.25C.24D.无法确定答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：弦图8.如图，以第①个等腰直角三角形的斜边长作为第②个等腰直角三角形的腰，以第②个等腰直角三角形的斜边长作为第③个等腰直角三角形的腰，依此类推，若第⑨个等腰直角三角形的斜边长为厘米，则第①个等腰直角三角形的斜边长为( )厘米．A.1B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理9.一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为( )A.5B.C. D.5或答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理10.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=3，以斜边AC为边作正方形ACDE，连接BE，则BE的长是( )A.5B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：弦图二、填空题(共1道，每道10分)11.如图，∠OAB=∠OBC=∠OCD=90°，AB=BC=CD=1，OA=2，则OD2=____．答案：7解题思路：试题难度：知识点：勾股定理。
人教版八年级下册数学第十七章 勾股定理含答案
人教版八年级下册数学第十七章勾股定理含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是（）A.1米B.1.5米C.2米D.2.5米2、长度分别为9cm、12cm、15cm、36cm、39cm五根木棍首尾连接，最多可搭成直角三角形的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个3、如图，分别以直角三角形的三边作三个半圆，且，，则等于（）A.60B.40C.50D.704、已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（）A.12B.7+C.12或7+D.以上都不对5、一个直角三角形木架的两条直角边的边长分别是，．现要做一个与其相似的三角形木架，如果以长的木条为其中一边，那么另两边中长度最大的一边最多可达到（）A. B. C. D.6、有下列命题中是真命题的为（）A.有一个角是锐角的三角形是锐角三角形B.三边长为，，的三角形为直角三角形 C.等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 D.三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等7、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，AB=7cm，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，则EB的长是（）A.3 cmB.4 cmC.5 cmD.不能确定8、如图，直线y=x+1分别与x轴、y轴相交于点A，B，以点A为圆心、AB长为半径画弧交x轴于点A1，再过点A作x轴的垂线交直线于点B1，以点A为圆心、AB1长为半径画弧交x轴于点A2按此做法进行下去，则点A2020的坐标是( )A.(2 2020， 0)B.(2 1010， 0)C.(2 1010+1，0)D.(2 1010-1，0)9、下列图形中，面积最大的是（）A.边长为6的正三角形；B.长分别为3、4、5的三角形；C.半径为的圆； D.对角线长为6和8的菱形；10、如图,在△ABC中，三边a、b、c的大小关系是( )A.a<b<cB.c<a<C.c<b<aD.b<a<c11、已知△ABC中，a、b、c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）A.∠A＝∠C－∠BB.a 2＝b 2－c 2C.a:b:c＝2:3:4D.a＝，b＝，c＝112、如图，正方形ABCD的边长为4，点E，点F分别是边BC，边CD上的动点，且BE=CF，AE与BF相交于点P.若点M为边BC的中点，点N为边CD上任意一点，则MN+PN的最小值等于（）A. B.5 C. D.13、如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为PQ，则△PQD的面积为（）A. B. C. D.14、“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形.如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则大正方形与小正方形的面积差是( )A.9B.36C.27D.3415、如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交边BC于点E，则△ACE的周长为（）A.16B.15C.14D.13二、填空题(共10题，共计30分)16、一个三角形的三边长分别为15cm、20cm、25cm，则这个三角形最长边上的高是________ cm．17、如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是________。
人教版八年级数学下册《勾股定理》勾股定理在实际生活中的应用
第二十一章 一元二次方程：本章主要是掌握配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程，并运用一元二次方程解决实际问题。本章重点是解一元二次方程的思路及具体方法。
（3）利用勾股定理等列方程； 本章的难点是解一元二次方程。
4.最后，就是冲刺阶段，也称为“备考篇”。在这一阶段，老师会将复习的主动权交给你自己。以前，学习的重点、难点、方法、思路都是以老师的意志为主线，但是，现在你要直接 、主动的研读《考试说明》，研究近年来的高考试题，掌握高考信息、命题动向。
小技巧 化非直角三角形为直角三角形 将实际问题转化为直角三角形模型
归纳小结
1、勾股定理： 如__果__直_角__三__角__形_的__两__直__角_边__长__分__别_为__a_,_b_,_斜_边__为__c.
那__么____________________________ 2、勾股定理有广泛的应用.
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第2课时 勾股定理在实际生活中的应用
教学目标 1．会用勾股定理解决简单的实际问题． 2．树立数形结合的思想．
勾股定理的应用
例1：一个门框的尺寸如图所示，一块长3m， 宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过？ 为什么？
已知条件有哪些？
C
2m
A 1m B
1.木板能横着或竖着从门框通过吗？ 2.这个门框能通过的最大长度是多少？ 3.怎样判定这块木板能否通过木框？
3、学习反思：
____________________________ __________________ ____B
拓展迁移
在数轴上作出表示 20的点. 一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽的长方形薄木板能否从门框内通过?为什么?
人教版八年级下册数学第十七章 勾股定理含答案
人教版八年级下册数学第十七章勾股定理含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、在正方形网格中，∠AOB如图所示放置，则sin∠AOB的值为（）A. B. C. D.2、一直角三角形三边长分别为a，a，c，那么由an，an，cn（n为自然数）为三边组成的三角形一定是（）A.等腰三角形B.等腰直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形3、如图，△AB C的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）A. B. C. D.4、直角三角形中，有两条边长分别为3和4，则第三条边长是（）A.1B.5C.D.5或5、如图，点A在双曲线上，且OA=4，过A作AC⊥ 轴，垂足为C，OA 的垂直平分线交OC于B,则△ABC的周长为（）A.4B.5C.D.6、在我国古代数学名著《算法统宗》里有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地.送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和身高为5尺的人一样高，秋千的绳索始终是拉直的，试问绳索有多长？”设绳索长为x尺，则x满足的方程为（）A.x 2=10 2+（x-5-1）2B.x 2＝（x﹣5）2+10 2C.x 2＝10 2+（x+1-5）2 D.x 2＝（x+1）2+10 27、如图，四边形中，，在边上确定一点使得则（）A. B. C. D.8、已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n（m＜n），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（）A.m 2+2mn+n 2=0B.m 2﹣2mn+n 2=0C.m 2+2mn﹣n 2=0D.m 2﹣2mn﹣n 2=09、给出下列命题：①在直角三角形ABC中，已知两边长为3和4，则第三边长为5；②△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，则△ABC是直角三角形；③三角形的三边a、b、c满足a2+c2=b2，则△ABC是∠C为直角的直角三角形；④△ABC中，若 a：b：c=1：2：，则这个三角形是直角三角形．其中，正确命题的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个10、小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他制了如图2所示的图形，图2中留个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接六边和一个小正六边形，若PQ所在的直线经过点M，PB=5cm，小正六边形的面积为，则该圆的半径为（）cm.A. B. C.7 D.811、如图，在正方形网格中，以格点为顶点的的面积等于3，则点A到边BC的距离为（）A. B. C.4 D.312、下列三角形中，是直角三角形的是( )A.三角形的三边满足关系a+b=cB.三角形的三边长分别为2、3、4 C.三角形的一边等于另一边的一半 D.三角形的三边长为7、24、2513、如图，BD为矩形ABCD的对角线，将△BCD沿BD翻折得到，与边AD交于点E．若AB＝x1， BC＝2x2， DE＝3，其中x1、x2是关于x的方程x2﹣4x+m＝0的两个实根，则m的值是（）A. B. C.3 D.214、如图，矩形ABCD的对角线AC与数轴重合(点C在正半轴上)，AB=5，BC=12，若点A在数轴上表示的数是-1，则对角线AC、BD的交点在数轴上表示的数为（）A.5.5B.5C.6D.6.515、如图，有一张直角三角形的纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上且与重合，则的长为（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C，D两点．若∠CMA=45°，则弦CD的长为________．17、如图，点C是⊙O优弧ACB上的中点，弦AB=6cm，E为OC上任意一点，动点F从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB方向向点B匀速运动，若y=AE2﹣EF2，则y与动点F的运动时间x（0≤x≤6）秒的函数关系式为________．18、如图，在直角坐标系中，的圆心A的坐标为，半径为1，点P 为直线上的动点，过点P作的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是________．19、如图，在中，，，，点、分别在、上，将沿翻折，使与的中点重合，则的长为________.20、如图，在中，，为的角平分线，且于D，若，则的长为________.21、若a、b、c满足(a-5)2+ + =0，则以a，b，c为边的三角形面积是________.22、如图，中，，、分别在、边上，，、相交于点，且，若，，则的长为________．23、△ABC中，AB= ，AC=8，∠ACB=30°，则BC的长为________．24、如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1， S2，则S1＋S2=________．25、将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点处，交AD于点E.若，对角线，则________.三、解答题(共5题，共计25分)26、在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为a、b、c．若a∶c＝15∶17，b＝24，求a.27、如图，在同一平面内，有一组平行线l1、l2、l3，相邻两条平行线之间的距离均为4，点O在直线l1上，⊙O与直线l3的交点为A、B，AB=12，求⊙O的半径．28、如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD），经测量，在四边形ABCD中，AB=3m，BC=4m，CD=12m，DA=13m，∠B=900．小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？29、有一块土地，如图所示，已知AB=8，∠B=90°，BC=6，CD=24，AD=26，求这块土地的面积．30、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形.若AB=2，求△ABC的周长.（结果保留根号）参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C2、B3、B4、D5、C6、C7、A8、C9、B10、D11、D12、D14、A15、A二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、。
人教版八年级下册数学第十七章 勾股定理 含答案
人教版八年级下册数学第十七章勾股定理含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于AC的长为半径作弧，分别交AC、AB于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点O；③作射线OA，交BC于点E，若CE＝6，BE＝10.则AB的长为（）A.11B.12C.18D.202、如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知S1+S2＝7，且AC+BC＝8，则AB的长为( )A.6B.2C.5D.3、如图，菱形ABCD的周长为52，对角线AC的长为24，，垂足为E，则DE的长为（）A. B. C. D.4、△ABC满足下列条件中的一个，其中不能说明△ABC是直角三角形的是（）A.b 2＝（a+c）（a﹣c）B.a：b：c＝1：：2C.∠C＝∠A﹣∠BD.∠A：∠B：∠C＝3：4：55、下列各组数为勾股数的是（）A.6，12，13B.3，4，7C.8，15，16D.5，12，136、如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，BC边的垂直平分线交AB于E，交BC于点D，若CD=5，则AE的长为（）A. B.2 C. D.47、一只蚂蚁从圆柱体的下底面点沿着侧面爬到上底面点，已知圆柱的底面半径为，高为（取3），则蚂蚁所走过的最短路径是（）A.8B.9C.10D.128、如图，点是矩形的对角线的中点，是边的中点，若，则的长为（）A.5B.6C.8D.109、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A.2，3，4B.10，8，4C.7，25，24D.7，15，1210、如图所示，在a、b、c、d、e中，是无理数的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个11、以下列各组数为三角形的三边，能构成直角三角形的是( )A.4，5，6B.1，1，C.6，8，11D.5，12，2312、如图，在△ABC中，AC=6，BC=8，若AC，BC边上的中线BE,AD 垂直相交于点O，则AB=（）A.5B.4C.3D.213、一个直角三角形的两条边长分别为3cm，5cm，则该三角形的第三边长为（）．A.4cmB.8cmC. cmD.4cm或cm14、若△ABC的三边长a，b，c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形或直角三角形15、如图，直线AB与⊙O相切于点A，弦CD∥AB，若⊙O的直径为5，CD=4，则弦AC的长为（）A.4B.C.5D.6二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在△ABC中，CD⊥AB交AB于点D，BE⊥AC交AC于点E，F为BC的中点，BC = 10，DE = 8，则△DEF的面积为________．17、如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、AC于点M、N；②分别以点M、N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线AE；④以同样的方法作射线BF，AE交BF于点O，连接OC，则OC＝________.18、如图，P是等边△ABC外一点，把△ABP绕点B顺时针旋转60°到△CBQ，已知∠AQB＝150°，QA：QC＝a：b（b＞a），则PB：QA＝________（用含a，b 的代数式表示）19、菱形ABCD中，若周长是20cm，对角线AC＝6cm，则对角线BD＝________cm.20、如图，已知的两直角边，，平分，则________.21、如图，在正方形ABCD中，AB=2，M为CD的中点，N为BC的中点，连接AM 和DN交于点E，连接BE，作AH⊥BE于点H，延长AH与DN交于点F，连接BF 交延长与CD交于点G，则MG长度为________。
17.1.2勾股定理在实际生活中的应用(课件)八年级数学下册(人教版)
解：根据题意可以构建一直角三角形模型，
A
如图.在Rt△ABC中，AC=6米，BC=8米，
由勾股定理得
6米
AB AC2 BC2
62 82
10米.
C
∴这棵树在折断之前的高度是10+6=16（米）.
B 8米
如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内
部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的
蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，你能帮蚂蚁设计
一条线路吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？
B
B
B
a
B
b
c
Aa
c
A b
c a
c
A
b
bA
a
前、右展开图 上、前展开图 上、左展开图
（1）相邻两面的展开图是一个长方形，有三种展开方式， 其中沿最长的棱长展开得到的路线（即将最长的棱长作为一 条直角边的长），距离是最短的。
A
长度可能是（ D ）
A.9cm
B.12cm
C.15cm
D.18cm
解：根据题意可以构建一直角三角形模型，
如图.在Rt△ABC中，AC=12cm，BC=9cm，
C
B
由勾股定理得
AB AC2 BC2 122 92 15(cm)
∴这这只铅笔的长度至少是15cm,故选D.
小明听说“Y市城际列车”已经经开通，便设计了如下问题：如图， 以往从A坐客车到B，现在可以在A坐城际列车到C，再从C坐市内公 共汽车到B.AB=80km,BC=20km, ∠ABC=120°,请你帮助小明求A
A.24m B.12m C. 74 m D.2 6 m
2.湖的两端有A、B两点，从与BA方向成直角的BC方向
2023年人教版数学中考复习高频考点突破——勾股定理的应用(含答案)
2023年人教版数学中考复习高频考点突破——勾股定理的应用一、单选题1．如图，为了求出湖两岸A、B两点之间的距离，观测者从测点A、B分别测得=，15BC m=，则A、B两点之间的距离为∠=︒，又量得9AC m90BAC（）A．10m B．11m C．12m D．13m 2．长度为下列四组数据的线段中，可以构成直角三角形的是()A．1，2，3B．2，3，4C．3，4，5D．4，5，63．如图，在□ABCD中，AB ⊥AC，若AB=4，AC=6，则BD的长是（）A．11B．10C．9D．8 4．在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=（）A．4B．5C．6D．7 5．如图，有一个绳索拉直的木马秋干，绳索AB的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即DE=3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（）A．1米B米C．2米D．4米6．直线l上有三个正方形A、B、C放置如图所示，若正方形A、C的面积分别为1和12，则正方形B的面积为（）．A．11B．12C．13D 7．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形.如图所示，如果大正方形的面积是100，小正方形的面积为20，那么每个直角三角形的周长为（）A．10+ B．10+ C．10+ D．24 8．如图，是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）A．5≤a≤12B．5≤a≤13C．12≤a≤13D．12≤a≤159．如图使用4个全等三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x、y表示直角三角形的两直角边(x>y)，下列四个说法：①x 2+y 2=49；②x−y=2；③2xy+4=49；④x+y=9. 其中正确的是（ ）A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④ 10．如图，四边形ABCD 中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD ，AC=4BC ，设CD 的长为x ，四边形ABCD 的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式是( )A ．2225y x =B ．2425y x =C ．225y x = D ．245y x = 二、填空题11．如图，在Rt∠ABC 中，∠BAC ＝90°，AB=4，AC=3，AD∠BC 于点D ，则∠ACD 与∠ABC 的面积比为12．某物体沿着坡比为4∠3的坡面上升了8米，那么在坡面上移动了 米． 13．如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB ＝20cm ，底面直径BC ＝12cm ，球的最高点到瓶底面的距离为32cm ，则球的半径为 cm （玻璃瓶厚度忽略不计）.14．如图，在 ABC 中， 90ACB ∠=︒ ，点D, E 分别在 ,AC BC 上，且 CDE B ∠=∠ ，将 CDE 沿DE 折叠，点C 恰好落在AB 边上的点F 处，如果 8AC = ， 10AB = ，那么CD 的长为 ．15．如图，在Rt∠ABC 中，∠ABC=90°，AB=8cm ，BC=6cm ，点D 以每秒1cm 的速度从点C 出发，沿边CA 往A 运动，当运动到点A 时停止。
勾股定理中的面积问题(人教版)(含答案)
勾股定理中的面积问题（人教版）一、单选题(共7道，每道11分)1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,BC=12,则点C到AB的距离是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：等面积法2.如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,点M为BC的中点,MN⊥AC于点N,则MN=( )A. B. C. D.8答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：等腰三角形三线合一3.如图,一块四边形菜地ABCD,已知∠B=90°,AB=9m,BC=12m,AD=8m,CD=17m,求这块菜地的面积为( )A.114m2B.228m2C.122m2D.244m2答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：割补法求面积4.已知Rt△ABC中,∠C=90°,若a+b=16cm,c=10cm,则Rt△ABC的面积是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：知二求二5.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠D=90°,M是AB的中点.若CM=6.5,BC+CD+DA=17, 则梯形ABCD的面积为( )A.15B.30C.45D.60答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：类倍长中线6.如图所示,等边三角形ABC内一点P到三边距离分别为,,,且,其中,,,则△ABC的边BC上的高为( )A.6B.3C.4D.5答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：等面积法7.如图,在△ABC中,∠C=90°,两直角边AC=5,BC=12,在三角形内有一点P,它到各边的距离相等,则这个距离是( )A.1B.2C.3D.无法确定答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：等面积法二、填空题(共2道，每道11分)8.如图所示的一块地，已知∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=25m，BC=20m，则这块地的面积为____m2．答案：96解题思路：试题难度：一颗星知识点：割补法求面积9.如图，△ABC为等边三角形，D为BC边上一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若，则△ABC的周长为____．答案：36解题思路：试题难度：知识点：等面积法。
八年级数学下册 勾股定理应用第二课时的类型题 人教版
勾股定理应用第二课时的类型题知识点一：勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为：a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．要点诠释：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。
（2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。
（3）理解勾股定理的一些变式：c2=a2+b2, a2=c2-b2， b2=c2-a2，c2=(a+b)2-2ab知识点二：用面积证明勾股定理方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。
图（1）中，所以。
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。
图（2）中，所以。
方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相同的正方形。
在（3）—1中，甲的面积=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,在（3）—2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：.方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。
，所以。
知识点三：勾股定理的作用1．已知直角三角形的两条边长求第三边；2．已知直角三角形的一条边，求另两边的关系；3．用于证明平方关系的问题；4．利用勾股定理，作出长为的线段。
2. 在理解的基础上熟悉下列勾股数满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形。
熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的：①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤10、24、26；⑥9、40、41．如果(a,b,c)是勾股数，当t>0时，以at,bt,ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形。
经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中，∠C=90°(1)已知a=6， c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。
勾股定理之最短路程、实际应用(人教版)(含答案)
勾股定理之最短路程、实际应用（人教版）一、单选题(共6道，每道11分)1.如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别为50寸，30寸和10寸，A和B是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长是( )A.13寸B.40寸C.130寸D.169寸答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：蚂蚁怎么爬最短2.如图，一只蚂蚁从长、宽都是6，高是16的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长为( )A.20B.22C.28D.18答案：A解题思路：有三种爬行方式：前侧面和右侧面；前侧面和上底面；左侧面和上底面.对应展开即可．把长方体纸箱的侧面展开，得到相应矩形．找到A,B两点的对应点并连接，则可与原纸箱的边构成一直角三角形．可求得三种情况下，前侧面和右侧面爬行最短，为20.故选A．试题难度：三颗星知识点：勾股数3.如图，一个直径为8cm的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子露出杯子外1cm，当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端刚好触到杯口，则筷子长度和杯子的高度分别为( )cm．A.8，7B.8.5，7.5C.9，8D.10，9答案：B解题思路：根据实际问题构造直角三角形，斜边比其中一条直角边长1cm，另一条直角边为杯子横截面的半径长，由勾股定理可知答案为B．试题难度：三颗星知识点：勾股定理的应用4.如图,将一根木棒垂直或倾斜的放进长、宽、高分别为12cm，4cm，3cm的水箱中，能放入水箱内木棒的最大长度为( )cm.A.13B.12C.15D.16答案：A解题思路：长方体的体对角线长度即为可放入木棒的最大长度．试题难度：三颗星知识点：勾股定理的应用5.一辆卡车装满货物后宽3.2米，这辆卡车要通过如图所示的隧道（上方是一个半圆，下方是边长为4米的正方形），则装满货物后卡车的最大高度为( )米．A.5.2B.5.8C.7.6D.5.4答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理应用之拱桥问题6.某工厂大门形状如图所示，其上部分为半圆，工厂门口的道路为双行道．要想使宽为1.5米，高为3.1米的卡车安全通过，那么此大门的宽至少应增加( )米．A.1.7B.2C.0.3D.1答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理应用之拱桥问题二、填空题(共3道，每道11分)7.如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为16cm，BC是上底面的直径．一只昆虫从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则昆虫爬行的最短路程为____cm．答案：20解题思路：把圆柱体展开，则与点A，B，C，D相对应的四点构成一个矩形，且所求最短路径为对角线AC的长．在矩形ABCD中AB长为圆柱体的高，AD长为圆柱体底面周长的一半．由勾股定理可知AC=20．试题难度：知识点：平面展开最短路径问题8.如图，长方体的长，宽，高分别为8，4，10．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为____．答案：26解题思路：如图，将该长方体沿过点P的高展开，连接PQ，则线段PQ即为所求．在中，由勾股定理，得（利用勾股数、放缩法计算更快）试题难度：知识点：蚂蚁怎么爬最短9.一架5m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯脚距离墙角1.4m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.8m，那么梯脚移动的距离是____m．答案：1.6解题思路：据题意知墙角为一直角．在梯子的初始状态下，运用勾股定理知梯子顶端距地面4.8m．梯子下滑后，顶端距地面4m．再次运用勾股定理可知梯角距墙3m．所以梯脚移动1.6m．试题难度：知识点：勾股定理。
人教版八年级下册数学第十七章 勾股定理 含答案
人教版八年级下册数学第十七章勾股定理含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，已知，矩形ABCD中，AB=3 cm，AD=9 cm，将此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则AE的长为（）A.3 cmB.4 cmC.5 cmD. cm2、如图，东西方向上有A，C两地相距10千米，甲以16千米/时的速度从A地出发向正东方向前进，乙以12千米/时的速度从C地出发向正南方向前进，那么最快经过（）小时，甲、乙两人相距6千米？A. B. C.1.5 D.3、下列说法中，不正确的是（）A.三个角的度数之比为1∶3∶4的三角形是直角三角形B.三个角的度数之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形C.三边长度之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形D.三边长度之比为9∶40∶41的三角形是直角三角形4、如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，且中间夹的三角形是直角三角形，则字母A所代表的正方形的面积为( )A.4B.8C.16D.645、下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中不能构成直角三角形的是（）A.3，4，5B.C.6，8，10D.9，12，156、如图，矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为（ )A.14B.16C.20D.287、如图，⊙O的半径为5，弦心距OC=3，则弦AB的长是（）A.4B.6C.8D.58、在下列三角形中，外心在它一条边上的三角形是（）A.三角形的边长分别为2cm，2cm，3cmB.三角形的边长都等于4cm C.三角形的边长分别为5cm，12cm，13cm D.三角形的边长分别为4cm，6cm，8cm9、若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比可以为（）A.2∶3∶4B.7∶24∶25C.5∶12∶14D.4∶6∶1010、如果将直角三角形的两直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的（）A.2倍B.4倍C.3倍D.以上结论都不对11、如图，在中，，，平分交于，于，交的延长线于，连接，给出四个结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个12、《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（）A.x 2﹣6=（10﹣x）2B.x 2﹣6 2=（10﹣x）2C.x 2+6=（10﹣x）2 D.x 2+6 2=（10﹣x）213、如图，已知△ABC中，AB=6，AC=8，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2-MB2等于（）A.28B.36C.45D.5214、如图，在中，AD⊥BC于 D， AB=3，DB=2，DC=1，则AC等于（）A.6B.C.D.415、如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC=60°，，则下列结论：①=AB•AC ④，正确的个数是∠CAD=30°②③S平行四边形ABCD（）A.1B.2C.3D.4二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点A、B、C为顶点的三角形的面积是________，周长是________．17、已知菱形的面积为24，一条对角线长为6，则其周长等于________.18、有一组勾股数，其中的两个分别是8和17，则第三个数是________19、已知，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，若线段CD=2，且CD∥AB，则AD的长度等于________．20、如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，若AB=5cm，BC=6cm，则AD=________cm．21、如图，将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和10㎝的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是________㎝．22、如图，在矩形中，点E为边上一点，连接，作的平分线，交于点F，连接，若，，且，则________.23、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小刚头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离小刚5000米，则飞机每小时飞行________千米．24、《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，书中的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短.横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出.问户高、广、邪各几何?译文是：今有门不知其高、宽，有竿，不知其长、短，横放，竿比门宽长出尺；竖放，竿比门高长出尺；斜放，竿与门对角线恰好相等.问门高、宽、对角线长分别是多少?若设门对角线长为尺，则可列方程为________.25、如图，有一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上，OA ＝6，OC＝10，如图，在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使O点落在AB边上的D点处，则点E的坐标为________。
八年级数学下册《第十七章 勾股定理的应用》练习题-附答案(人教版)
八年级数学下册《第十七章勾股定理的应用》练习题-附答案(人教版)一、选择题1.如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要( )A.4米B.5米C.6米D.7米2.某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形土地时，在BC上有一处古建筑D，使得BC 的长不能直接测出，工作人员测得AB＝130米，AD＝120米，BD＝50米，在测出AC＝150米后，测量工具坏了，使得DC的长无法测出，请你想办法求出BC的长度为( )A.90米B.120米C.140米D.150米3.《九章算术》第九章有如下题目，原文：今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐.引木却行一尺，其木至地.问木长几何？译文是：今有墙高1丈，倚木杆于墙.使木杆之上端与墙平齐.牵引木杆下端退行1尺，则木杆(从墙上)滑落至地上.间木杆长是多少？(1丈＝10尺，1尺＝10寸)( )A.5尺5寸B.1丈1尺C.5丈5寸D.5丈5尺4.如图，长方形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是( )A.2.5B.2 2C. 3D. 55.如图，小明在广场上先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米.则小明到达的终止点与原出发点的距离是( )A.90米B.100米C.120米D.150米6.如图，有一个由传感器控制的灯A装在门上方离地高4.5 m的墙上，任何东西只要移至距该灯5 m及5 m以内时，灯就会自动发光，请问一个身高1.5 m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？( )A.4 mB.3 mC.5 mD.7 m7.如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺.突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，则水深是( )尺A.3.5B.4C.4.5D.58.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度为(滑轮上方的部分忽略不计)( )A.12 mB.13 mC.16 mD.17 m9.如图，数轴上点A，B分别对应1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是( )A. 3B. 5C. 6D.710.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F.若AC＝3，AB＝5，则CE的长为( )A.32B.43C.53D.8511.如图，已知线段BC，分别以B、C为圆心，大于12BC为半径作弧，两弧相交于E、F两点，连接CE，过点E作射线BA，若∠CEA＝60°，CE＝4，则△BCE的面积为( )A.4B.4 3C.8D.8 312.如图，圆柱形纸杯高8 cm，底面周长为12 cm，在纸杯内壁离杯底2 cm的点C处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁正好在纸杯外壁，离杯上沿2 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为( )3 B.6 2 C.10 D.以上答案都不对二、填空题13.上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A、B望灯塔C，测得∠BAC＝60°，点C在点B的正西方向，海岛B与灯塔C之间的距离是海里.14.在平面直角坐标系中，点P(﹣5，2)到原点的距离是．15.如图，要做一个两条直角边的长分别是7 cm和4 cm的三角尺，斜边长应为 cm.16.如图，A，B，C，D为四个养有珍稀动物的小岛，连线代表连接各个小岛的晃桥(各岛之间也可以通过乘船到达)，四边形ABCD为长方形，如果黄芳同学想从A岛到C岛，则至少要经过________米.17.某快递公司要在街道旁设立一个派送还点，向A、B两居民区投送快递，派送点应该设在什么地方，才能使它到A、B的距离之和最短？快递员根据实际情况，以街道为x轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，测得坐标A(﹣2，2)、B(6，4)，则派送点的坐标是.18.如图，在平面直角坐标系中，已知点P(2，1)，点A是x轴上的一个动点，当△PAO是等腰三角形时，点A的坐标为．三、解答题19.如图所示，一棵36米高的树被风刮断了，树顶落在离树根24米处，求折断处的高度AB.20.如图，飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶50000米.飞机每小时飞行多少千米？21.如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了5003m 到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点.(1)求A、C两点之间的距离；(2)确定目的地C在营地A的什么方向？22.如图，∠AOB＝90°，OA＝45cm，OB＝15cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球.如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？23.如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝∠90°，D为AB边上一点．(1)求证：△ACE≌△BCD；(2)若AD＝6，BD＝8，求ED的长．24.如图，在△ABC中，AD是BC边的中线，∠BAD＝90°，AB＝2，AC＝11，求BC的长．25.如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m.假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？参考答案1.D2.C3.C4.D5.B.6.A.7.C8.D.9.B.10.A11.B.12.C.13.答案为：30 3.14.答案为：3.15.答案为：65.16.答案为：370.17.答案为：(23，0).18.答案为：A(4，0)，(5，0)，(﹣5，0)．19.解：设AB＝x米，则AC＝(36﹣x)米∵AB⊥BC∴AB2＋BC2＝AC2∴x2＋242＝(36﹣x)2.∴x＝10∴折断处的高度AB是10米.20.解：如图，在Rt△ABC中，根据勾股定理可知BC＝3000(米).3000÷20＝150米/秒＝540千米/小时.所以飞机每小时飞行540千米.21.解：(1)过B点作BE∥AD如图，∴∠DAB＝∠ABE＝60°.∵30°＋∠CBA＋∠ABE＝180°∴∠CBA＝90°.即△ABC为直角三角形.由已知可得：BC＝500 m，AB＝500 3 m由勾股定理可得：AC2＝BC2＋AB2所以AC＝1 000(m)；(2)在Rt△ABC中，∵BC＝500 m，AC＝1 000 m∴∠CAB＝30°∵∠DAB＝60°∴∠DAC＝30°.即点C在点A的北偏东30°的方向.22.解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等即BC＝CA设AC为x，则OC＝45﹣x由勾股定理可知OB2＋OC2＝BC2又∵OA＝45，OB＝15把它代入关系式152＋(45﹣x)2＝x2解方程得出x＝25(cm)．答：如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是25cm．23.(1)证明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝∠90°∴AC＝BC，EC＝DC，∠B＝∠CAB＝45°，∠ACE＝∠BCD＝90°﹣∠ACD在△ACE和△BCD中∴△ACE ≌△BCD(SAS)；(2)解：∵△ACE ≌△BCD∴∠CAE ＝∠B ，AE ＝BD ＝8∵∠CAB ＝∠B ＝45°∴∠EAD ＝45°＋45°＝90°在Rt △EAD 中，由勾股定理得：ED ＝10．24.解：延长AD 至点E ，使AD ＝ED ，连结CE.∵D 是BC 的中点，∴BD ＝CD.在△ABD 和△ECD 中∵⎩⎨⎧AD ＝ED ，∠ADB ＝∠EDC ，BD ＝CD ，∴△ABD ≌△ECD(SAS)∴EC ＝AB ＝ 2∴∠CED ＝∠BAD ＝90°.在Rt △AEC 中，∵AE 2＝AC 2﹣EC 2∴AE ＝（11）2－（2）2＝3∴AD ＝12AE ＝32. 在Rt △ABD 中，∵BD 2＝AB 2＋AD 2∴BD ＝172∴BC ＝2BD ＝17.25.解：作AB⊥MN，垂足为B在 RtΔABP中，∵∠ABP＝90°，∠APB＝30°， AP＝160∴ AB＝12AP＝80∵点 A到直线MN的距离小于100m∴这所中学会受到噪声的影响.如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响那么AC＝100(m)由勾股定理得： BC2＝1002﹣802＝3600∴ BC＝60.同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响那么AD＝100(m)，BD＝60(m)∴CD＝120(m).拖拉机行驶的速度为：18km/h＝5m/s，t＝120m÷5m/s＝24s.答：拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒.。
17.1 第2课时 勾股定理的应用
第17章勾股定理17．1勾股定理第2课时勾股定理的应用1．熟练运用勾股定理解决实际问题；(重点)2．掌握勾股定理的简单应用，探究最短距离问题．(难点)一、情境导入如图，在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A 处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？二、合作探究探究点一：勾股定理的实际应用【类型一】勾股定理在实际问题中的应用如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳．问6秒后船向岸边移动了多少米(假设绳子始终是直的，结果保留根号)?解析：开始时，AC＝5米，BC＝13米，即可求得AB的值，6秒后根据BC，AC长度即可求得AB的值，然后解答即可．解：在Rt△ABC中，BC＝13米，AC＝5米，则AB＝BC2－AC2＝12米.6秒后，B′C＝13－0.5×6＝10米，则AB′＝B′C2－AC2＝53(米)，所以船向岸边移动的距离为(12－53)米．方法总结：本题直接考查勾股定理在实际生活中的运用，可建立合理的数学模型，将已知条件转化到同一直角三角形中求解．【类型二】利用勾股定理解决方位角问题如图所示，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了1003km到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了100km到达目的地C点，求出A、C两点之间的距离．解析：根据所走的方向可判断出△ABC是直角三角形，根据勾股定理可求出解．解：∵AD∥BE，∴∠ABE＝∠DAB＝60°.∵∠CBF＝30°，∴∠ABC＝180°－∠ABE－∠CBF＝180°－60°－30°＝90°.在Rt△ABC中，AB＝1003km，BC＝100km，∴AC＝AB2＋BC2＝（1003）2＋1002＝200(km)，∴A、C两点之间的距离为200km.方法总结：先确定△ABC是直角三角形，再根据各边长，用勾股定理可求出AC的长．【类型三】利用勾股定理解决立体图形最短距离问题如图，长方体的长BE＝15cm，宽AB＝10cm，高AD＝20cm，点M在CH上，且CM＝5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少？解：分两种情况比较最短距离：如图①所示，蚂蚁爬行最短路线为AM，AM＝102＋（20＋5）2＝529(cm)，如图②所示，蚂蚁爬行最短路线为AM，AM＝202＋（10＋5）2＝25(cm)．∵529＞25，∴第二种短些，此时最短距离为25cm.答：需要爬行的最短距离是25cm.方法总结：因为长方体的展开图不止一种情况，故对长方体相邻的两个面展开时，考虑要全面，不要有所遗漏．不过要留意展开时的多种情况，虽然看似很多，但由于长方体的对面是相同的，所以归纳起来只需讨论三种情况：前面和右面展开，前面和上面展开，左面和上面展开，从而比较取其最小值即可．【类型四】运用勾股定理解决折叠中的有关计算如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3，则AM的长是()A．1.5B．2C．2.25D．2.5解析：连接BM，MB′.设AM＝x，在Rt△ABM中，AB2＋AM2＝BM2. 在Rt△MDB′中，MD2＋DB′2.∵MB＝MB′，∴AB2＋AM2＝BM2＝B′M2＝MD2＋DB′2，即92＋x2＝(9－x)2＋(9－3)2，解得x＝2，即AM＝2.故选B.方法总结：解题的关键是设出适当的线段的长度为x，然后用含有x的式子表示其他线段，然后在直角三角形中利用勾股定理列方程解答．【类型五】勾股定理与方程思想、数形结合思想的应用如图，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上C处有一筐水果，一只猴子从D处向上爬到树顶A处，然后利用拉在A处的滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D处先滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经过的路程都是15m，求树高AB.解析：在Rt△ABC中，∠B＝90°，则满足AB2＋BC2＝AC2. 设AD＝x m，根据两只猴子经过的路程一样可列方程组，从而求出x的值，即可计算树高．解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，设AD＝x m.∵两猴子所经过的路程都是15m，则10＋BC＝x＋AC＝15.∴ BC＝5，AC＝15－x，AB＝x＋10.又∵在Rt△ABC中，由勾股定理得(10＋x)2＋52＝(15－x)2，解得x＝2，即AD＝2米．∴AB＝AD＋DB＝2＋10＝12(米)．答：树高AB为12米．方法总结：勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个己知量，通常需要巧设未知数，灵活地寻找题中的等量关系，然后利用勾股定理列方程求解．探究点二：勾股定理与数轴如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是()A.5＋1 B ．－5＋1 C.5－1 D. 5解析：先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出A 点的坐标．图中的直角三角形的两直角边为1和2，∴斜边长为12＋22＝5，∴－1到A 的距离是 5.那么点A 所表示的数为5－1.故选C.方法总结：本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点A 的位置，再根据A 的位置来确定a 的值．➢ 练习1 如图，有两棵树，一棵高10m ，另一棵高4m ，两树相距8m.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行( )A.8mB.10mC.12mD.14m【解析】如图，设大树高为AB ＝10m ，小树高为CD ＝4m ，过C 点作CE ⊥AB 于E ，四边形EBDC 是长方形，连接AC ，⊥EB ＝4m ，EC ＝8m ，AE ＝AB －EB ＝6 m ，在Rt⊥AEC 中，m 1022=+=EC AE AC . 故选B.➢ 练习2 如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1m 处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB ＝2m ，则树高为( ) A.5m B.3m C.(5+1)m D.3m【解析】在Rt △ABC 中，AC=1m ，AB=2m ，由勾股定理，得m 522=+=EC AE BC ;∴树的高度为AC+BC=(5+1)m. 故选C.➢ 练习3 如图，图中有一长、宽、高分别为5cm ，4cm ，3cm 的木箱，在它里面放入一根细木条(木条的粗细、变形忽略不计)，要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是( )A.41cmB.34cmC.25cmD.35cm【解析】如图，连接BC ，BD ，在Rt △ABC 中，AB=5cm ，AC=4cm ，根据勾股定理，m 25222=++=CD AC AB 体对角线. 故选C.➢ 练习4 如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB于B ，已知DA ＝15km ，CB ＝10km ，现在要在铁路AB 附近建一个土特产收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在距A 站多少千米处?【解析】设AE ＝x km ，则AE ＝(25－x ) km ，因为C ，D 两村到E 站的距离相等，所以DE ＝CE ，即DE 2＝CE 2，由勾股定理，得152+x 2＝102+(25－x )2，解得x ＝10.故E 点应建在距A 站10km 处.➢ 练习5 如图所示，圆柱的底面周长为6cm ，AC 是底面圆的直径，高BC=6cm ，点P是母线BC 上一点且PC=32BC. 一只蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离是 ( ) A.⎪⎭⎫ ⎝⎛+π64cm B.5 cm C.53cm D.7 cm【解析】圆柱的侧面展开图如图所示，则蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离为线段AP 的长. 在Rt⊥ACP 中，AC=621⨯=3(cm)，PC=32BC=4cm ，所以AP=√32+42=5(cm). 故选B.【归纳整合】应用勾股定理解决实际问题(1) 解决两点间距离问题:正确画出图形,已知直角三角形两边,利用勾股定理求第三边.(2) 解决折叠问题:正确画出折叠前、后的图形,运用勾股定理及方程思想解题.(3) 解决梯子问题:梯子架到墙上,梯子、墙、地面可构成直角三角形,利用勾股定理等知识解题.(4) 解决侧面展开问题:将立体图形的侧面展开成平面图形,利用勾股定理解决表面距离最短的问题.三、板书设计1．勾股定理的应用方位角问题；路程最短问题；折叠问题；数形结合思想．2．勾股定理与数轴本节课充分锻炼了学生动手操作能力、分类比较能力、讨论交流能力和空间想象能力，让学生充分体验到了数学思想的魅力和知识创新的乐趣，突现教学过程中的师生互动，使学生真正成为主动学习者．。
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勾股定理的实际应用（人教版）
一、单选题(共8道，每道10分)
1.如图,这是一个供滑板爱好者使用的U型池,该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成,中间可供滑行部分的截面是半径为3的半圆,其边缘AB=CD=16,点E在CD上,CE=4,一滑板爱好者从A点滑到E点,则他滑行的最短距离为( )(π按3计算)
A.15
B.
C. D.21
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：平面展开最短路径问题
2.如图,圆柱底面半径为,高为9cm,点A,B分别是圆柱两底面圆周上的点,且点A,B在同一母线上,用一根棉线从点A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点,则这根棉线的长度最短为( )
A.12cm
B.
C.15cm
D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：平面展开最短路径问题
3.如图是一个三级台阶,它的每一级的长,宽和高分别为50寸,30寸和10寸,A和B是这个台阶的两个相对端点,A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物,则它所走的最短路线长是( )
A.13寸
B.40寸
C.130寸
D.169寸
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：平面展开最短路径问题
4.如图,一只蚂蚁从长、宽都是6,高是16的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点,那么它所爬行的最短路线的长为( )
A.20
B.22
C.28
D.18
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：平面展开最短路径问题
5.如图,一个直径为8cm的杯子,在它的正中间竖直放一根筷子,筷子露出杯子外1cm.当筷子倒向杯壁时(筷子底端不动),若筷子顶端刚好触到杯口,则筷子长度和杯子的高度分别为( )cm.
A.8,7
B.8.5,7.5
C.9,8
D.10,9
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：勾股定理的应用
6.如图,将一根木棒垂直或倾斜的放进长、宽、高分别为12cm,4cm,3cm的水箱中,能放入水箱内木棒的最大长度为( )cm.
A.13
B.12
C.15
D.16
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：勾股定理的应用
7.一辆卡车装满货物后宽3.2米,这辆卡车要通过如图所示的隧道(上方是一个半圆,下方是边长为4米的正方形),则装满货物后卡车的最大高度为( )米.
A.5.2
B.5.8
C.7.6
D.5.4
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：勾股定理应用之拱桥问题
8.某工厂大门形状如图所示,其上部分为半圆,工厂门口的道路为双行道(双行道中间隔离带
忽略不计).要想使宽为1.5米,高为3.1米的卡车安全通过,那么此大门的宽度至少应增加( )米.
A.1.7
B.2
C.0.3
D.1
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：勾股定理应用之拱桥问题
二、填空题(共2道，每道10分)
9.如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为16cm，BC是上底面的直径．一只昆虫从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则昆虫爬行的最短路程为____cm．
答案：20
解题思路：
试题难度：知识点：平面展开最短路径问题
10.如图，长方体的长、宽、高分别为4cm，2cm，5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为____cm．
答案：13
解题思路：
试题难度：知识点：平面展开最短路径问题。