木材最优切割

五一数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了五一数学建模竞赛的竞赛规则。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、

网上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其它公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用

处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞

赛规则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。

我们授权五一数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示

（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

参赛题号（从A/B/C 中选择一项填写）： B

参赛队号：

参赛组别（研究生、本科、专科、高中）：

所属学校（学校全称）：

参赛队员：队员1 姓名：XXX

队员2 姓名：XXX

队员3 姓名：XXX

联系方式：Email：联系电话：

日期：年月日（除本页外不允许出现学校及个人信息）

五一数学建模竞赛

题目：木料切割最优化问题

关键词：

矩形件下料切割问题guillotine

摘要：

随着社会的发展、人们对环境资源的重视，提高材料的利用率、获得最大利润就成了不可

避免的问题，而解决这个问题的关键就是对产品的生产进行紧凑型的布局。本文旨在解决家具

厂木料的切割问题，由一维问题（或者说是 1.5 维问题）递推到二维问题，通过寻找合适的切

割方法（采用guillotine ，贪心启发式算法的多目标二维切割），使得我们从目标木板上切割出

的所需产品的面积和最大或者利润最大，后对方案进行优化处理，最终得出最优方案。问题一

用guillotine 方法切割可得一块木板上P1 最多能切割59 个。问题二在问题一的基础上，通过迭代的方法，分析得出前三甲利用率分别为99.64%，99.23%和99.03%的最佳方案。问题三又在

问题二的基础上，引入了生产任务作为限制因素，并结合贪心启发式算法的多目标二维切割和

问题使问题得到解决。问题四在问题三的基础上，又增添了两个长宽不同的矩形件，用lingo 找寻它的最下限后，用循环得出最大利用率为99.64%，这时候使用的木板数为359 块。问题五改变了问题四的目标函数，消除了生产任务对木块切割的限制。在这种情形下，得到最优方案

是在一块木板上切割59 块矩形件P1，从而得出最大利润为1174100 元，木板的利用率为98.2979%。

WORD文档

五一数学建模竞赛

题目：木料切割最优化问题

关键词：

矩形件下料切割问题guillotine

摘要：

随着社会的发展、人们对环境资源的重视，提高材料的利用率、获得最大利润就成了不可

避免的问题，而解决这个问题的关键就是对产品的生产进行紧凑型的布局。本文旨在解决家具

厂木料的切割问题，由一维问题（或者说是 1.5 维问题）递推到二维问题，通过寻找合适的切

割方法（采用guillotine ，贪心启发式算法的多目标二维切割），使得我们从目标木板上切割出

的所需产品的面积和最大或者利润最大，后对方案进行优化处理，最终得出最优方案。问题一

用guillotine 方法切割可得一块木板上P1 最多能切割59 个。问题二在问题一的基础上，通过迭代的方法，分析得出前三甲利用率分别为99.64%，99.23%和99.03%的最佳方案。问题三又在

问题二的基础上，引入了生产任务作为限制因素，并结合贪心启发式算法的多目标二维切割和

问题使问题得到解决。问题四在问题三的基础上，又增添了两个长宽不同的矩形件，用lingo 找寻它的最下限后，用循环得出最大利用率为99.64%，这时候使用的木板数为359 块。问题五改变了问题四的目标函数，消除了生产任务对木块切割的限制。在这种情形下，得到最优方案

是在一块木板上切割59 块矩形件P1，从而得出最大利润为1174100 元，木板的利用率为98.2980%。

h

i

表示第i 种方案所用原料木板的数量

模型建立与优化

1、问题一

（1）算法分析

分析第一题，其采用单一材料形式进行分割，我们通过guillotine 切割方案进行初步求解，其采用“一刀切”的形式对问题进行求解，得出在一块木板上P1 切割的最大数为56，但是（相对误差比较大）利用率比较低。后通过贪心算法再次对问题进行优化求解，得出切割的最大数为

60，接近于木板切割（装载）的上限，针对于该问题，贪心策略能得到较好的解，但它不适用

于其他问题。

图例1：贪心算法图例2：guillotine 切割

（2）模型建立

建立一个 1.5 维的切割问题模型来求近似解

min LW

n

' l w x

1 1 i

i 1

s.t .'

l x

1 i

L , i 1,...,n

n W w

1

或者

s.t .'

l x

1 i

W , i 1,..., n

n L w

1

（3）模型求解

P1的数量木板利用率

59 98.29793%

2、问题二

（1）算法分析