八年级数学三角形中考真题专题练习汇总
八年级上册《数学》三角形专项练习题(含答案)
八年级上册《数学》三角形专项练习题11.1.1三角形的边一、能力提升1.如图,在图形中,三角形有()A.4个B.5个C.6个D.7个2.已知三角形三边长分别为2,x,13,若x为正整数,则这样的三角形个数为()A.2B.3C.5D.133.若一个三角形的两条边长分别为3和8,而第三条边长为奇数,则第三条边长为()A.5或7B.7C.9D.7或94.在△ABC中,若三条边长均为整数,周长为11,且有一条边长为4,则这个三角形最长边可能取值的最大值是()A.7B.6C.5D.45.若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”,则图中以BC 为公共边的“共边三角形”有对.6.若等腰三角形的腰长为6,则它的底边长a的取值范围是.7.用7根相同的火柴棒首尾顺次连接摆成一个三角形,能摆成的不同的三角形的个数为.8.已知等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm,求这个三角形的周长.9.已知等腰三角形的周长是16cm.(1)若其中一边的长为4cm,求另外两边的长;(2)若其中一边的长为6cm,求另外两边的长.10.若a,b,c是△ABC的三边长,请化简|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|.11.已知等腰三角形的周长为20cm,设腰长为xcm.(1)用含x的式子表示底边长.(2)腰长x能否为5cm,为什么?(3)求x的取值范围.二、创新应用12.在平面内,分别用3根、5根、6根、…小棒首尾依次相接,能搭成什么形状的三角形?通过尝试,形状如表所示.小棒数目3 5 6 ……示意图……形状等边三角形等腰三角形等边三角形……(1)4根小棒能搭成三角形吗?(2)8根、12根小棒能搭成几种不同形状的三角形?并画出它们的示意图.答案一、能力提升1.B2.B;由题意知2+x>13,且x<13+2,解得11<x<15,因为x为正整数,所以x 可以是12,13,14.故选B.3.D;由题意知第三条边长大于5小于11.因为第三条边长为奇数,所以它的大小为7或9.4.C由题意知三角形的三条边长分别为2,4,5或3,4,4,所以最长边可能取值的最大值为5.5.3;△BDC与△BEC,△BDC与△BAC,△BEC与△BAC,共3对.6.0<a<12.7.2.8.解：若腰长为3cm,则三边长分别为3cm,3cm,7cm,而3+3<7,此时不能构成三角形;若腰长为7cm,则三边长分别为3cm,7cm,7cm.此时能构成三角形,其周长为3+7+7=17(cm).故这个三角形的周长为17cm. 9.解：(1)若腰长为4cm,则底边长为16-4-4=8(cm).三边长分别为4cm,4cm,8cm,不符合三角形的三边关系,所以应该是底边长为4cm.所以腰长为(16-4)÷2=6(cm).三边长分别为4cm,6cm,6cm,符合三角形的三边关系.所以另外两边的长都为6cm.(2)若腰长为6cm,则底边长为16-6-6=4(cm).三边长分别为4cm,6cm,6cm,符合三角形的三边关系.所以另外两边的长分别为6cm 和4cm.若底边长为6cm,则腰长为(16-6)÷2=5(cm).三边长分别为6cm,5cm,5cm,符合三角形的三边关系.所以另外两边的长都为5cm.10.解：因为a,b,c是△ABC的三边长,所以a<b+c,b<c+a,c<a+b,即a-b-c<0,b-c-a<0,c-a-b<0.所以|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|=-(a-b-c)-(b-c-a)-(c-a-b)=a+b+c.11.解：(1)底边长为(20-2x)cm.(2)不能.理由如下:若腰长为5cm,则底边长为20-2×5=10(cm).因为5+5=10,不满足三角形的三边关系.所以腰长不能为5cm.(3)根据题意,得解得0<x<10.由三角形的三边关系,得x+x>20-2x,解得x>5.综上所述,x的取值范围是5<x<10.二、创新应用12.解：(1)4根小棒不能搭成三角形.(2)8根小棒能搭成一种三角形,示意图如图甲;12根小棒能搭成三种不同形状的三角形,示意图如图乙.11.1.2三角形的高、中线与角平分线一、能力提升1.若一个三角形中仅有一条高在三角形的内部,则该三角形是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.直角三角形或钝角三角形2.如图,AE⊥BC于点E,BF⊥AC于点F,CD⊥AB于点D.在△ABC中,边AC上的高是线段()A.AEB.CDC.BFD.AF3.如图,线段AE是△ABC的中线,已知EC=6,DE=2,则线段BD的长为()A.2B.3C.4D.64.如图,在△ABC中,∠C=90°,D,E为AC上的两点,且AE=DE,BD平分∠EBC,则下列说法不正确的是()A.线段BC是△ABE的高B.线段BE是△ABD的中线C.线段BD是△EBC的角平分线D.∠ABE=∠EBD=∠DBC5.如图,在△ABC中,E,F分别是AB,AC的中点,△CEF的面积为2.5,则△ABC的面积为()A.6B.7C.8D.106.如图,BD和CE是△ABC的两条角平分线,且∠DBC=∠ECB=31°,则∠ABC=度,∠ACB=度.7.如图,线段AD,CE分别是△ABC中边BC,AB上的高.若AD=10,CE=9,AB=12,则BC的长是.8.如图,在△ABC中,AB=AC,线段AD是△ABC的中线,△ABC的周长为34cm,△ABD的周长为30cm,求AD的长.9.已知在等腰三角形ABC中,AB=AC,若腰AC上的中线BD将等腰三角形ABC的周长分成15和6两部分,求三角形ABC的腰长及底边长.10.如图,AD是△CAB的角平分线,DE∥AB,DF∥AC,EF交AD于点O.请问:DO是△EDF的角平分线吗?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.二、创新应用11.有一块三角形优良品种试验基地,如图,由于引进四个优良品种进行对比试验,需将这块土地分成面积相等的四块,请你制定出两种以上的划分方案供选择.(画图即可)答案一、能力提升1.D;直角三角形和钝角三角形都只有一条高在三角形的内部.2.C3.C4.D5.D;∵F为AC的中点,∴线段EF为△AEC的中线,∴S△AEC=2S△CEF=5.∵E为AB的中点,∴线段CE为△ABC的中线,∴S△ABC=2S△AEC=10.6.62;62.7.10.8;S△ABC=BC·AD=AB·CE,则BC===10.8.8.解：∵线段AD是△ABC的中线,∴BC=2BD.∵AB=AC,△ABC的周长为34cm,∴2AB+2BD=34cm,即AB+BD=17cm.又△ABD的周长为30cm,即AB+BD+AD=30cm,∴AD=13cm.9.解：设AB=AC=2x,则AD=CD=x.当AB+AD=15,BC+CD=6时,有2x+x=15,所以x=5,AB=AC=2x=10,BC=6-5=1.当BC+CD=15,AB+AD=6时,有2x+x=6,所以x=2,AB=AC=2x=4,BC=13.因为4+4<13,所以不能组成三角形.故三角形ABC的腰长为10,底边长为1.10.解：DO是△EDF的角平分线.证明如下:∵AD是△CAB的角平分线,∴∠EAD=∠FAD.∵DE∥AB,DF∥AC,∴∠EDA=∠FAD,∠FDA=∠EAD.∴∠EDA=∠FDA,即DO是△EDF的角平分线.二、创新应用11.解：如图(答案不唯一).11.1.3三角形的稳定性一、能力提升1.如图,桥梁的斜拉钢索是三角形的结构,主要是为了()A.节省材料,节约成本B.保持对称C.利用三角形的稳定性D.美观漂亮2.下列不是利用三角形稳定性的是()A.伸缩晾衣架B.三角形房架C.自行车的三角形车架D.矩形门框的斜拉条3.如图,一扇窗户打开后,用窗钩AB可将其固定,这里所运用的几何原理是()A.三角形的稳定性B.两点之间线段最短C.两点确定一条直线D.垂线段最短4.王师傅用四根木条钉成一个四边形木架.如图,要使这个木架不变形,他至少还要再钉上()根木条.A.0B.1C.2D.35.如图,要使四边形木条框架ABCD变“活”(具有不稳定性),应将木条拆除.6.伸缩铁门能自由伸缩,主要是应用了四边形的.7.我们所用的课桌和所坐的凳子,时间长了总是摇摇晃晃的,这是什么原因?要使自己用的桌凳不晃动应该怎么办?如图,如果有六边形木框,要使它不变形,应该怎么办?二、创新应用8.如图,我们知道要使四边形木架不变形,至少要钉一根木条.那么要使五边形木架不变形,至少要钉几根木条?要使七边形木架不变形,至少要钉几根木条?要使n边形木架不变形,又至少要钉多少根木条呢?答案一、能力提升1.C.2.A.3.A;打开的那一扇窗户下边的一部分OB、窗户框下边的一部分OA 及AB组成一个三角形,根据三角形的稳定性,知可用AB固定窗户.4.B.5.AC.6.不稳定性.7.解：这是因为课桌和凳子的四个侧面都是四边形木架,当交接处松动后就具有不稳定性.解决这类问题的方法是在每个侧面加上一根木条(或木板),使之成为三角形.要使六边形木框不变形,至少应加3根木条使其划分为三角形.二、创新应用8.解：要使五边形木架不变形,至少要钉2根木条;要使七边形木架不变形,至少要钉4根木条;要使n边形木架不变形,至少要钉(n-3)根木条.11.2.1三角形的内角一、能力提升1.在△ABC中,∠A=55°,∠B比∠C大25°,则∠B的度数为()A.50°B.75°C.100°D.125°2.如图,CD∥AB,∠1=120°,∠2=80°,则∠E等于()A.40°B.60°C.80°D.120°3.(2020·辽宁锦州中考)如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=50°,CD平分∠ACB,则∠ADC的度数是()A.80°B.90°C.100°D.110°4.在△ABC中,若∠A=∠B+∠C,则∠A的度数是.5.如图,点B,C,D在同一条直线上,CE∥AB,∠ACB=90°.如果∠ECD=36°,那么∠A的度数是.6.如图,一个直角三角形纸片,剪去直角后,得到一个四边形,则∠1+∠2的度数是.7.在△ABC中,若最大角∠A等于最小角∠C的两倍,最大角又比另一个角大20°,则△ABC的三个角的度数分别是多少?8.如图,E是△ABC中边AC上的一点,过点E作ED⊥AB,垂足为D.若∠1=∠2,则△ABC是直角三角形吗?为什么?9.如图,在△ABC中,D是BC上一点,F是BA延长线上一点,连接DF交AC于点E,且∠B=42°,∠C=59°,∠DEC=47°,求∠F的度数.二、创新应用10.如图,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线相交于点D.(1)若∠ABC+∠ACB=110°,则∠BDC=;(2)若∠A=100°,则∠BDC=;(3)若∠A=n°,求∠BDC的度数.答案一、能力提升1.B;设∠C的度数为x°,则∠B的度数为x°+25°,则55°+x°+x°+25°=180°,解得x=50,则∠B=75°.2.A;∵CD∥AB,∠1=120°,∴∠CDB=∠1=120°,∴∠EDC=60°.∵∠2=80°,∴∠E=180°-80°-60°=40°.3.C∵∠A=30°,∠B=50°,∴∠ACB=180°-∠A-∠B=100°.又CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠ACB=50°.∴∠ADC=180°-∠A-∠ACD=100°.4.90°.5.54°.6.270°.由三角形三内角之间的关系,得∠3+∠4=90°,所以∠1+∠2=(180°-∠3)+(180°-∠4)=2×180°-(∠3+∠4)=360°-90°=270°.7.解：设∠C=x°,则∠A=2x°,∠B=2x°-20°,根据三角形的内角和定理,有2x+(2x-20)+x=180,解得x=40,即∠C=40°.所以2x=80,∠A=80°,2x-20=60,∠B=60°.故△ABC的三个角的度数分别为∠A=80°,∠B=60°,∠C=40°.8.解：△ABC是直角三角形.理由如下:∵ED⊥AB,∴∠ADE=90°,∴∠1+∠A=90°.又∠1=∠2,∴∠2+∠A=90°.∴△ABC是直角三角形.9.解：在△EDC中,∠EDC=180°-(∠C+∠DEC)=180°-(59°+47°)=74°.∴∠FDB=180°-∠EDC=180°-74°=106°.在△BDF中,∠F=180°-(∠B+∠FDB)=180°-(42°+106°)=32°.二、创新应用10.解：(1)125°.(2)140°.(3)∵∠A=n°,∴∠ABC+∠ACB=180°-n°.∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,∴∠DBC+∠DCB=∠ABC+∠ACB=(∠ABC+∠ACB)=×(180°-n°)=90°-.∴∠BDC=180°-(∠DBC+∠DCB)=180°-=90°+.11.2.2三角形的外角一、能力提升1.一副三角尺有两个直角三角形,如图叠放在一起,则∠α的度数是()A.165°B.120°C.150°D.135°2.如图,在△ABC中,AD为边BC上的中线,在△ABD中,AE为边BD上的中线,在△ACD中,AF为边DC上的中线,则下列结论错误的是()A.∠1>∠2>∠3>∠CB.BE=ED=DF=FCC.∠1>∠4>∠5>∠CD.∠1=∠3+∠4+∠53.如图,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE等于()A.120°B.115°C.110°D.105°4.(2020·湖北中考)将一副三角尺按如图摆放,点E在AC上,点D在BC 的延长线上,EF∥BC,∠B=∠EDF=90°,∠A=45°,∠F=60°,则∠CED的度数是()A.15°B.20°C.25°D.30°5.如图,∠ABC的平分线与∠ACD的平分线相交于点P.若∠A=60°,则∠P等于()A.30°B.40°C.50°D.60°6.(2020·湖北黄冈中考)如图,AB∥EF,∠ABC=75°,∠CDF=135°,则∠BCD=.7.如图,已知在△ABC中,D是AB上一点,E是AC上一点,BE与CD相交于点F,∠A=62°,∠ACD=35°,∠ABE=20°,则∠BDC=,∠BFC=.8.如图,D,E,F分别是△ABC三边延长线上的点,求∠D+∠E+∠F+∠1+∠2+∠3的度数.9.如图,在△ABC中,E是AC延长线上的一点,D是BC上的一点.求证:(1)∠BDE=∠E+∠A+∠B.(2)∠BDE>∠A.10.如图,在△ABC中,D是边BC上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63°,求∠DAC的度数.二、创新应用11.如图①,有一个五角形图案ABCDE,你能说明∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E=180°吗?如果点B向下移动到AC上(如图②)或AC的另一侧(如图③),上述结论是否依然成立?请说明理由.答案一、能力提升1.A如图,∵∠2=90°-45°=45°,∴∠1=∠2-30°=15°.∴∠α=180°-∠1=165°.2.C由三角形的一个外角大于与它不相邻的内角,知∠1>∠2>∠3>∠C,故选项A正确;根据三角形中线的定义,知BE=ED=DF=FC,故选项B正确;∠4与∠5的大小不能判定,故选项C错误;根据三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角的和,知∠1=∠2+∠4,∠2=∠3+∠5,所以∠1=∠3+∠4+∠5,故选项D正确.3.B4.A5.A利用三角形的外角性质,得∠P=∠PCD-∠PBD=(∠ACD-∠ABC)=∠A=30°.6.30°.7.97°;117°.8.解：∵∠D+∠3=∠CAB,∠E+∠1=∠ABC,∠F+∠2=∠ACB,∴∠D+∠E+∠F+∠1+∠2+∠3=∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°.9.证明：(1)∵∠BDE,∠DCE分别是△CDE,△ABC的一个外角,∴∠BDE=∠E+∠DCE,∠DCE=∠A+∠B,∴∠BDE=∠E+∠A+∠B.(2)由(1)得∠BDE=∠E+∠A+∠B,∴∠BDE>∠A.10.解：∵∠3是△ABD的外角,∴∠3=∠1+∠2.∵∠1=∠2,∠3=∠4,∴∠4=2∠2.在△ABC中,∵∠2+∠4=180°-∠BAC=180°-63°=117°,∴∠1=∠2=117°÷(1+2)=39°.∴∠DAC=∠BAC-∠1=63°-39°=24°.二、创新应用11.解：在题图①中,∠A+∠C=∠DNM, ①∠DBE+∠E=∠DMN, ②①+②,得∠A+∠DBE+∠C+∠E=∠DNM+∠DMN.∵∠D+∠DNM+∠DMN=180°,∴∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E=180°.在题图②、题图③中,上述结论仍然成立,理由与题图①完全相同.11.3.1多边形一、能力提升1.在下列关于正多边形的特征说法中,错误的是()A.每一条边都相等B.每一个内角都相等C.每一个外角都相等D.所有对角线都相等2.过多边形的一个顶点可以引2017条对角线,则这个多边形的边数是()A.2017B.2018C.2019D.20203.如果过多边形的一个顶点的对角线把多边形分成8个三角形,那么这个多边形的边数为()A.8B.9C.10D.114.将一个四边形截去一个角后,它不可能是()A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形5.在n边形的一边上任取一点(不包含顶点)与各顶点相连,可得三角形的个数是()A.nB.n-2C.n-1D.n+16.过m边形的一个顶点有7条对角线,n边形没有对角线,则m n=.7.已知一个多边形的边数恰好是从这个多边形的一个顶点出发所作的对角线的条数的2倍,求此多边形的边数.二、创新应用8.观察下面图形,解答下列问题:(1)在上面第四个图中画出六边形的所有对角线;(2)观察规律,把下表填写完整.边数 3 4 5 6 7 …n对角线条0 2 5 …数答案一、能力提升1.D2.D3.C4.D一个多边形截去一个角后,可能出现三种情况:少一个角、角的个数不变或多一个角.5.C6.1000;从m边形的一个顶点出发有(m-3)条对角线,由m-3=7,得m=10. n边形没有对角线,所以n=3.所以m n=103=1000.7.解：设这个多边形的边数为n,则从多边形的一个顶点出发所作的对角线的条数为n-3.依题意,得n=2(n-3),解得n=6.二、创新应用8.解：(1)(2)边数 3 4 5 6 7 …n对角线条数0 2 5 9 14 …n(n-3)11.3.2多边形的内角和一、能力提升1.如果一个正多边形的每一个外角都是锐角,那么这个正多边形的边数一定不小于()A.3B.4C.5D.62.(2020·山东济宁中考)一个多边形的内角和是1080°,则这个多边形的边数是()A.9B.8C.7D.63.若一个多边形的边数由5增加到11,则内角和增加的度数是()A.1080°B.720°C.540°D.360°4.如图,∠1,∠2,∠3,∠4是五边形ABCDE的外角,且∠1=∠2=∠3=∠4=70°,则∠AED的度数是()A.110°B.108°C.105°D.100°5.如果一个多边形的内角和是其外角和的一半,那么这个多边形是()A.六边形B.五边形C.四边形D.三角形6.若凸n边形的内角和为1260°,则从一个顶点出发引的对角线条数是.7.如图,在四边形ABCD中,∠A+∠B=210°,且∠ADC的平分线与∠DCB的平分线相交于点O,则∠COD的度数是.8.一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°,求这个多边形的边数和内角和.9.如图,求∠A+∠B+∠OCD+∠ODC+∠E+∠F的度数.二、创新应用10.在一个多边形中,一个内角相邻的外角与其他各内角的和为600°.(1)如果这个多边形是五边形,请求出这个外角的度数;(2)是否存在符合题意的其他多边形?如果存在,请求出边数及这个外角的度数;如果不存在,请说明理由.答案一、能力提升1.C每个外角都是锐角,即小于90°,设边数为n,则这些锐角的和一定小于n×90°.而外角和为360°,所以360°<n×90°,n>4,即n不小于5.2.B设这个多边形的边数是n,则(n-2)×180°=1080°,解得n=8.3.A因为每增加一条边,内角和增加180°,所以增加6条边,内角和增加180°×6=1080°.4.D由题意知∠AED的补角为80°,则∠AED=100°.5.D多边形的外角和是360°,内角和等于外角和的一半,则内角和是180°,可知此多边形为三角形.6.6因为凸n边形的内角和为1260°,所以(n-2)×180°=1260°,得n=9.故从一个顶点出发引的对角线的条数为9-3=6.7.105°∵四边形的内角和为360°,∠A+∠B=210°,∴∠ADC+∠BCD=360°-210°=150°.∵DO,CO分别为∠ADC与∠BCD的平分线,∴∠ODC=∠ADC,∠OCD=∠BCD.∴∠ODC+∠OCD=(∠ADC+∠BCD)=×150°=75°.∴∠COD=180°-75°=105°.8.解：由题意知这个多边形的内角和为3×360°-180°=900°.设这个多边形的边数为n,根据题意,得(n-2)×180°=900°,解得n=7.故这个多边形的边数为7.9.解：如图,连接BE,则在△COD与△BOE中,∠ODC+∠OCD+∠COD=180°,∠OBE+∠OEB+∠BOE=180°.∵∠COD与∠BOE是对顶角,∴∠COD=∠BOE.∵∠ODC+∠OCD=180°-∠COD,∠OBE+∠OEB=180°-∠BOE,∴∠ODC+∠OCD=∠OBE+∠OEB.∴题图中的∠A+∠B+∠OCD+∠ODC+∠E+∠F等于上图中的∠A+∠F+∠ABC+∠DEF+∠OBE+∠OEB=∠A+∠F+∠ABE+∠BEF=360°,即所求六个角的和为360°.二、创新应用10.解：(1)设这个外角的度数是x°,则(5-2)×180-(180-x)+x=600,解得x=120.故这个外角的度数是120°.(2)存在.设边数为n,这个外角的度数是x°,则(n-2)×180-(180-x)+x=600,整理得x=570-90n.因为0<x<180,即0<570-90n<180,并且n为正整数,所以n=5或n=6.故这个多边形的边数是6,这个外角的度数为30°.。
八年级数学三角形专题训练
八年级数学三角形专题训练一、三角形的基本概念1. 三角形的定义题目：下列图形中，属于三角形的是（）选项：A. 由三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形；B. 由三条线段组成的图形；C. 由不在同一直线上的三条直线组成的图形。
解析：三角形的定义是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形。
选项B中只说三条线段组成的图形，没有强调首尾顺次相接和封闭，选项C中说三条直线是错误的，所以答案是A。
2. 三角形的分类题目：三角形按角分类可分为（）选项：A. 锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；B. 等腰三角形、等边三角形、不等边三角形；C. 直角三角形、等腰三角形、锐角三角形。
解析：三角形按角分类分为锐角三角形（三个角都是锐角）、直角三角形（有一个角是直角）、钝角三角形（有一个角是钝角）。
选项B是按边分类，选项C分类混乱，所以答案是A。
二、三角形的三边关系1. 定理内容题目：已知三角形的两边长分别为3和5，则第三边的取值范围是（）解析：根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
设第三边为x，则5 3<x<5+3，即2<x<8。
2. 应用解析：对于①，3+4 = 7<8，不满足两边之和大于第三边，所以不能组成三角形。
对于②，5+6 = 11>10，6 + 10=16>5，5+10 = 15>6，且10 5 = 5<6，10 6=4<5，6 5 = 1<10，满足三边关系，可以组成三角形。
对于③，5+5 = 10<11，不满足两边之和大于第三边，所以不能组成三角形。
三、三角形的内角和定理1. 定理内容题目：三角形的内角和等于（）选项：A. 90°；B. 180°；C. 360°。
解析：三角形内角和定理表明三角形的内角和等于180°，所以答案是B。
2. 应用题目：在△ABC中，∠A = 50°，∠B = 60°，求∠C的度数。
八年级数学全等三角形中考真题汇编[解析版]
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八年级数学全等三角形中考真题汇编[解析版]一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．如图，在等边ABC ∆中取点P 使得PA ，PB ，PC 的长分别为3， 4， 5，则APC APB S S ∆∆+=_________．【答案】936 【解析】【分析】把线段AP 以点A 为旋转中心顺时针旋转60︒得到线段AD ，由旋转的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定定理SAS 证得△ADB ≌△APC ，连接PD ，根据旋转的性质知△APD 是等边三角形，利用勾股定理的逆定理可得△PBD 为直角三角形，∠BPD ＝90︒，由△ADB ≌△APC 得S △ADB ＝S △APC ，则有S △APC ＋S △APB ＝S △ADB ＋S △APB ＝S △ADP ＋S △BPD ，根据等边3S △ADP ＋S △BPD ＝332＋12×3×4＝936+． 【详解】将线段AP 以点A 为旋转中心顺时针旋转60︒得到线段AD ，连接PD∴AD ＝AP ，∠DAP ＝60︒，又∵△ABC 为等边三角形，∴∠BAC ＝60︒，AB ＝AC ，∴∠DAB ＋∠BAP ＝∠PAC ＋∠BAP ，∴∠DAB ＝∠PAC ，又AB=AC,AD=AP∴△ADB ≌△APC∵DA ＝PA ，∠DAP ＝60︒，∴△ADP 为等边三角形，在△PBD 中，PB ＝4，PD ＝3，BD ＝PC ＝5，∵32＋42＝52，即PD 2＋PB 2＝BD 2，∴△PBD 为直角三角形，∠BPD ＝90︒，∵△ADB ≌△APC ，∴S △ADB ＝S △APC ，∴S △APC ＋S △APB ＝S △ADB ＋S △APB ＝S △ADP ＋S △BPD ＝34×32＋12×3×4＝9364+． 故答案为：9364+．【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，解题的关键是熟知旋转的性质作出辅助线进行求解．2．如图，ABC 中，ABC=45∠︒，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连接DH 与BE 相交于点G ，下列结论：BF=AC ①；A=67.5∠︒②；DG=DF ③；ADGE GHCE S S =四边形四边形④，其中正确的有__________（填序号）．【答案】①②③【解析】【分析】只要证明△BDF ≌△CDA ，△BAC 是等腰三角形，∠DGF=∠DFG=67.5°，即可判断①②③正确，作GM ⊥BD 于M ，只要证明GH ＜DG 即可判断④错误．【详解】解：∵CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°，∴∠A ＋∠ABE=90°，∠ABE ＋∠DFB=90°，∴∠A=∠DFB ，∵∠ABC=45°，∠BDC=90°，∴∠DCB=90°−45°=45°=∠DBC ，∴BD=DC ，在△BDF和△CDA中，∠BDF=∠CDA，∠A=∠DFB，BD=CD，∴△BDF≌△CDA（AAS），∴BF=AC，故①正确．∵∠ABE=∠EBC=22.5°，BE⊥AC，∴∠A=∠BCA=67.5°，故②正确，∵BE平分∠ABC，∠ABC=45°，∴∠ABE=∠CBE=22.5°，∵∠BDF=∠BHG=90°，∴∠BGH=∠BFD=67.5°，∴∠DGF=∠DFG=67.5°，∴DG=DF，故③正确．作GM⊥AB于M．如图所示：∵∠GBM=∠GBH，GH⊥BC，∴GH=GM＜DG，∴S△DGB＞S△GHB，∵S△ABE=S△BCE，∴S四边形ADGE＜S四边形GHCE．故④错误，故答案为：①②③．【点睛】此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点的综合运用，第五个问题难度比较大，添加辅助线是解题关键，属于中考选择题中的压轴题．3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法：①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的垂直平分线上；④S△DAC：S△ABC＝1：3.其中正确的是__________________．(填所有正确说法的序号)【答案】4【解析】【分析】①连接NP ，MP ，根据SSS 定理可得△ANP ≌△AMP ，故可得出结论；②先根据三角形内角和定理求出∠CAB 的度数，再由AD 是∠BAC 的平分线得出∠1=∠2=30°，根据直角三角形的性质可知∠ADC =60°；③根据∠1=∠B 可知AD =BD ，故可得出结论；④先根据直角三角形的性质得出∠2=30°，CD =12AD ，再由三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】 ①连接NP ，MP ．在△ANP 与△AMP 中，∵AN AM NP MP AP AP =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ANP ≌△AMP ，则∠CAD =∠BAD ，故AD 是∠BAC 的平分线，故此选项正确；②∵在△ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，∴∠CAB =60°．∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠1=∠2=12∠CAB =30°，∴∠3=90°﹣∠2=60°，∴∠ADC =60°，故此选项正确；③∵∠1=∠B =30°，∴AD =BD ，∴点D 在AB 的中垂线上，故此选项正确；④∵在Rt △ACD中，∠2=30°，∴CD =12AD ，∴BC =BD +CD =AD +12AD =32AD ，S △DAC =12AC •CD =14AC •AD ，∴S △ABC=12AC •BC =12AC •32AD =34AC •AD ，∴S △DAC ：S △ABC =1：3，故此选项正确． 故答案为①②③④．【点睛】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．4．如图，已知∠MON ＝30°，点A 1，A 2，A 3，…在射线ON 上，点B 1，B 2，B 3，…在射线OM 上，△A 1B 1A 2，△A 2B 2A 3，△A 3B 3A 4，…均为等边三角形，若OA 2＝4，则△A n B n A n +1的边长为_____．【答案】2n ．【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，以及A 2B 2＝2B 1A 2，得出A 3B 3＝4B 1A 2＝8，A 4B 4＝8B 1A 2＝16，A 5B 5＝16B 1A 2…进而得出答案．【详解】解：∵△A 1B 1A 2是等边三角形，∴A 1B 1＝A 2B 1，∵∠MON ＝30°，∵OA 2＝4，∴OA 1＝A 1B 1＝2，∴A 2B 1＝2，∵△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4是等边三角形，∴A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，B 1A 2∥B 2A 3，∴A 2B 2＝2B 1A 2，B 3A 3＝2B 2A 3，∴A 3B 3＝4B 1A 2＝8，A 4B 4＝8B 1A 2＝16，A 5B 5＝16B 1A 2＝32，以此类推△A n B n A n +1的边长为 2n ．故答案为：2n ．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质，由条件得到OA 5=2OA 4=4OA 3=8OA 2=16OA 1是解题的关键．5．如图，ABC ∆中，AB AC =，点D 是ABC ∆内部一点，DB DC =，点E 是边AB 上一点，若CD 平分ACE ∠，100AEC =∠，则BDC ∠=______°【答案】80【解析】【分析】根据角平分线得到∠ACE=2∠ACD，再根据角的和差关系得到∠ECB =∠ACB－2∠ACD，然后利用外角定理得到∠ABC+∠ECB=100°，代换化简得出∠ACB－∠ACD=50°，即∠DCB=50°，从而求出∠BDC即可.【详解】∵CD平分∠ACE，∴∠ACE=2∠ACD=2∠ECD，∴∠ECB=∠ACB－∠ACE=∠ACB－2∠ACD，∵∠AEC=100°，∴∠ABC+∠ECB=100°，∴∠ABC+∠ACB－2∠ACD=100°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB,∴2∠ACB－2∠ACD=100°，∴∠ACB－∠ACD=50°，即∠DCB=50°，∵DB=DC，∴∠DBC=∠DCB，∴∠BDC=180°－2∠DCB=180°－2×50°=80°.【点睛】本题考查了角平分线，三角形内角和，外角定理，及等边对等角的性质等知识，熟练掌握基本知识，找出角与角之间的关系是解题的关键.6．如图，∠AOB＝45°，点M、点C在射线OA上，点P、点D在射线OB上，且OD＝2，则CP+PM+DM的最小值是_____．【答案】34．【解析】【分析】如图，作点C关于OB的对称点C′，作点D关于OA的对称点D′，连接OC′，PC′，D′M，OD′，C′D′，根据轴对称的性质得到OC′＝OC＝2，OD′＝OD＝32，CP＝C′P，DM＝D′M，∠C′OD＝′COD＝∠COD′＝45°，于是得到CP+PM+MD＝C′+PM+D′M≥C′D′，当仅当C′，P，M，D′三点共线时，CP+PM+MD最小为C′D′，作C′T⊥D′O于点T，于是得到结论．【详解】解：如图，作点C关于OB的对称点C′，作点D关于OA的对称点D′，连接OC′，PC′，D′M，OD′，C′D′，则OC′＝OC＝2，OD′＝OD＝32，CP＝C′P，DM＝D′M，∠C′OD＝′COD＝∠COD′＝45°，∴CP+PM+MD＝C′+PM+D′M≥C′D′，当仅当C′，P，M，D′三点共线时，CP+PM+MD最小为C′D′，作C′T⊥D′O于点T，则C′T＝OT＝2，∴D′T＝42，∴C′D′＝34，∴CP+PM+DM的最小值是34．故答案为：34．【点睛】本题考查了最短路径问题，掌握作轴对称点是解题的关键.7．如图，过边长为1的等边三角形ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当AP＝CQ时，PQ交AC于D，则DE的长为______．【答案】1 2【解析】过点Q作AD的延长线的垂线于点F.因为△ABC是等边三角形，所以∠A=∠ACB=60°.因为∠ACB=∠QCF，所以∠QCF=60°.因为PE⊥AC，QF⊥AC，所以∠AEP=∠CFQ=90°，又因为AP=CQ，所以△AEP≌△CFQ，所以AE=CF，PE=QC.同理可证，△DEP≌△DFQ，所以DE=DF.所以AC=AE+DE+CD=DE+CD+CF=DE+DF=2DE，所以DE=12AC=12.故答案为1 2 .8．如图，△ABC中，AC＝DC＝3，BD垂直∠BAC的角平分线于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为________．【答案】9 2【解析】【分析】首先证明两个阴影部分面积之差＝S△ADC，当CD⊥AC时，△ACD的面积最大．【详解】延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O．∵AD⊥BH，∴∠ADB＝∠ADH＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∠H＋∠HAD＝90°，∵∠BAD＝∠HAD，∴∠ABD＝∠H，∴AB＝AH，∵AD⊥BH，∴BD＝DH，∵DC＝CA，∴∠CDA＝∠CAD，∵∠CAD＋∠H＝90°，∠CDA＋∠CDH＝90°，∴∠CDH＝∠H，∴CD＝CH＝AC，∵AE＝EC，∴S△ABE＝14S△ABH，S△CDH＝14S△ABH，∵S△OBD−S△AOE＝S△ADB−S△ABE＝S△ADH−S△CDH＝S△ACD，∵AC＝CD＝3，∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为12×3×3＝92．故填：92．【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．9．如图，∠BOC=60°，点A是BO延长线上的一点，OA=10cm，动点P从点A出发沿AB 以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t=_____s时，△POQ是等腰三角形.【答案】103或10【解析】【分析】根据△POQ是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点P在AO上，点P在BO上，分别计算，即可得解.【详解】当PO=QO时，△POQ是等腰三角形，如图1所示当点P在AO上时，∵PO=AO-AP=10-2t，OQ=t当PO=QO时，102t t-=解得103 t=当PO=QO 时，△POQ 是等腰三角形，如图2所示当点P 在BO 上时∵PO=AP-AO=2t-10，OQ=t当PO=QO 时，210t t -=解得10t = 故答案为：103或10 【点睛】本题考查等腰三角形的性质及动点问题，熟练掌握等腰三角形的性质以及分类讨论思想是解题关键.10．如图：在ABC ∆中，D ，E 为边AB 上的两个点，且BD BC =，AE AC =，若108ACB ∠=︒，则DCE ∠的大小为______.【答案】036【解析】【分析】根据三角形内角和求出∠A+∠B,再根据AC=AE,BC=BD ，用∠A 表示∠AEC,用∠B 表示∠BDC，然后根据内角和求出∠DCE 的度数.【详解】∵∠ACB=1080，∴∠A+∠B=1800-1080=720,∵AC=AE,BC=BD,∴∠ACE=∠AEC,∠BCD=∠BDC,∴01(180)2AEC A ∠=-∠01902A =-∠ 01(180)2BDCB ∠=-∠ =01902B -∠ ∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=1800，∴0180DCE CDE CED ∠=-∠-∠ = 00011180(90)(90)22A B --∠--∠ =1122A B ∠+∠ =1()2A B ∠+∠ =360【点睛】此题考察等腰三角形的性质，注意两条等边所在三角形，依此判断对应的两个底角相等.二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）11．已知∠AOB =30°，点P 在∠AOB 内部，P 1与P 关于OB 对称，P 2与P 关于OA 对称，则P 1，O ，P 2三点构成的三角形是 （ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形 【答案】C【解析】【分析】根据题意，作出相应的图形，然后对相应的角进行标记；本题先证明P 1，O ，P 2三点构成的三角形中1260POP ∠=︒，然后证边12OP OP OP ==，得到P 1，O ，P 2三点构成的三角形为等腰三角形，又因为该等腰三角形有一个角为60︒，故得证P 1，O ，P 2三点构成的三角形是等边三角形。
第1章 全等三角形-解答题中考经典常考题)-江苏省2023-2024学年上学期八年级数学单元培优专题
第1章全等三角形-解答题（中考经典常考题）-江苏省2023-202 4学年上学期八年级数学单元培优专题练习（苏科版）一．全等三角形的判定与性质（共5小题）1．（2023•南通）如图，点D，E分别在AB，AC上，∠ADC＝∠AEB＝90°，BE，CD相交于点O，OB＝OC．求证：∠1＝∠2．小虎同学的证明过程如下：证明：∵∠ADC＝∠AEB＝90°，∴∠DOB+∠B＝∠EOC+∠C＝90°．∵∠DOB＝∠EOC，∴∠B＝∠C．……第一步又OA＝OA，OB＝OC，∴△ABO≌△ACO．……第二步∴∠1＝∠2．……第三步（1）小虎同学的证明过程中，第 步出现错误；（2）请写出正确的证明过程．2．（2023•淮安）已知：如图，点D为线段BC上一点，BD＝AC，∠E＝∠ABC，DE∥AC．求证：DE＝BC．3．（2023•苏州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线．以点A圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF．（1）求证：△ADE≌△ADF；（2）若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数．4．（2022•淮安）已知：如图，点A、D、C、F在一条直线上，且AD＝CF，AB＝DE，∠BAC ＝∠EDF．求证：∠B＝∠E．5．（2021•无锡）已知：如图，AC，DB相交于点O，AB＝DC，∠ABO＝∠DCO．求证：（1）△ABO≌△DCO；（2）∠OBC＝∠OCB．第1章全等三角形-解答题（中考经典常考题）-江苏省2023-202 4学年上学期八年级数学单元培优专题练习（苏科版）参考答案与试题解析一．全等三角形的判定与性质（共5小题）1．（2023•南通）如图，点D，E分别在AB，AC上，∠ADC＝∠AEB＝90°，BE，CD相交于点O，OB＝OC．求证：∠1＝∠2．小虎同学的证明过程如下：证明：∵∠ADC＝∠AEB＝90°，∴∠DOB+∠B＝∠EOC+∠C＝90°．∵∠DOB＝∠EOC，∴∠B＝∠C．……第一步又OA＝OA，OB＝OC，∴△ABO≌△ACO．……第二步∴∠1＝∠2．……第三步（1）小虎同学的证明过程中，第 二 步出现错误；（2）请写出正确的证明过程．【答案】（1）二；（2）证明见解答过程．【解答】（1）解：小虎同学的证明过程中，第二步出现错误，故答案为：二；（2）证明：∵∠ADC＝∠AEB＝90°，∴∠BDC＝∠CEB＝90°，在△DOB和△EOC中，，∴△DOB≌△EOC（AAS），∴OD＝OE，在Rt△ADO和Rt△AEO中，，∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL），∴∠1＝∠2，方法二：∵OD＝OE，∠ADC＝∠AEB＝90°，∴∠1＝∠2．2．（2023•淮安）已知：如图，点D为线段BC上一点，BD＝AC，∠E＝∠ABC，DE∥AC．求证：DE＝BC．【答案】证明见解析．【解答】证明：∵DE∥AC，∴∠EDB＝∠C，在△BDE和△ACB中，，∴△BDE≌△ACB（AAS），∴DE＝BC．3．（2023•苏州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线．以点A圆心，AD 长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF．（1）求证：△ADE≌△ADF；（2）若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD．由作图知：AE＝AF．在△ADE和△ADF中，，∴△ADE≌△ADF（SAS）；（2）解：∵∠BAC＝80°，AD为△ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠BAC＝40°，由作图知：AE＝AD．∴∠AED＝∠ADE，∴∠ADE＝×（180°﹣40°）＝70°，∵AB＝AC，AD为△ABC的角平分线，∴AD⊥BC．∴∠BDE＝90°﹣∠ADE＝20°．4．（2022•淮安）已知：如图，点A、D、C、F在一条直线上，且AD＝CF，AB＝DE，∠BAC ＝∠EDF．求证：∠B＝∠E．【答案】见解析．【解答】证明：∵AD＝CF，∴AD+CD＝CF+CD，∴AC＝DF．在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠B＝∠E．5．（2021•无锡）已知：如图，AC，DB相交于点O，AB＝DC，∠ABO＝∠DCO．求证：（1）△ABO≌△DCO；（2）∠OBC＝∠OCB．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）在△ABO和△DCO中，，∴△ABO≌△DCO（AAS）；（2）由（1）知，△ABO≌△DCO，∴OB＝OC∴∠OBC＝∠OCB．。
八年级数学全等三角形中考真题汇编[解析版]
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八年级数学全等三角形中考真题汇编[解析版]一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．如图，在锐角△ABC中，AB=5，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD，AB上的动点，则BM+MN的最小值是______．【答案】5【解析】【分析】作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，则BM+MN为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知MH=MN，再由等腰直角三角形的性质即可得出结论．【详解】如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，则BM+MN 为所求的最小值．∵AD是∠BAC的平分线，∴MH=MN，∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短）．∵AB=5，∠BAC=45°，∴BH==5．∵BM+MN的最小值是BM+MN=BM+MH=BH=5．故答案为5．【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．2．如图，已知正六边形 ABCDEF 的边长是 5，点 P 是 AD 上的一动点，则 PE+PF 的最小值是_____．【答案】10【解析】利用正多边形的性质，可得点B关于AD对称的点为点E，连接BE交AD于P点，那么有PB=PF，PE+PF=BE最小，根据正六边形的性质可知三角形APB是等边三角形，因此可知BE 的长为10，即PE+PF的最小值为10.故答案为10.3．在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，∠=︒，在x轴或y轴上取点C，使得ABC∆为等腰三角形，符合条件的C点有ABO36__________个．【答案】8【解析】【分析】观察数轴，按照等腰三角形成立的条件分析可得答案．【详解】解：如下图所示，若以点A为圆心，以AB为半径画弧，与x轴和y轴各有两个交点，但其中一个会与点B重合，故此时符合条件的点有3个；若以点B为圆心，以AB为半径画弧，同样与x轴和y轴各有两个交点，但其中一个与点A 重合，故此时符合条件的点有3个；线段AB 的垂直平分线与x 轴和y 轴各有一个交点，此时符合条件的点有2个．∴符合条件的点总共有：3＋3＋2=8个．故答案为：8．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，可以观察图形，得出答案．4．如图，在ABC ∆中，点D 是BC 的中点，点E 是AD 上一点，BE AC =．若70C ∠=︒，50DAC ∠=︒ 则EBD ∠的度数为______．【答案】10︒【解析】【分析】延长AD 到F 使DF AD =，连接BF ，通过ACD FDB ≅，根据全等三角形的性质得到CAD BFD ∠=∠，AC BF =， 等量代换得BF BE =，由等腰三角形的性质得到F BEF ∠=∠，即可得到BEF CAD ∠=∠，进而利用三角形的内角和解答即可得．【详解】如图，延长AD 到F ，使DF AD =，连接BF ：∵D 是BC 的中点∴BD CD =又∵ADC FDB ∠=∠，AD DF =∴ACD FDB ≅∴AC BF =， CAD F ∠=∠，C DBF ∠=∠∵AC BE =， 70C ︒∠=， 50CAD ︒∠=∴BE BF =， 70DBF ︒∠=∴50BEF F ︒∠=∠=∴180180505080EBF F BEF ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=∴807010EBD EBF DBF ︒︒︒∠=∠-∠=-=故答案为：10︒【点睛】本题主要考查的知识点有全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，解题的关键在于通过倍长中线法构造全等三角形．5．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，直角∠EPF 的顶点P 是BC 中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点E 、F ，给出下列四个结论：①AE=CF ；②△EPF 是等腰直角三角形；③EF=AB ；④12ABC AEPF S S ∆=四边形，当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时(点E 不与A 、B 重合)，上述结论中始终正确的有________(把你认为正确的结论的序号都填上).【答案】①②④【解析】试题分析：∵∠APE 、∠CPF 都是∠APF 的余角，∴∠APE=∠CPF ，∵AB=AC ，∠BAC=90°，P 是BC 中点，∴AP=CP ，∴∠PAE=∠PCF，在△APE与△CPF中，{?PAE PCFAP CPEPA FPC∠=∠=∠=∠，∴△APE≌△CPF（ASA），同理可证△APF≌△BPE，∴AE=CF，△EPF是等腰直角三角形，S四边形AEPF=12S△ABC，①②④正确；而AP=12BC，当EF不是△ABC的中位线时，则EF不等于BC的一半，EF=AP，∴故③不成立．故始终正确的是①②④．故选D．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰直角三角形．6．如图，在△ABC中，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，若∠BAC=126°，则∠EAD=_____°.【答案】72°【解析】【分析】根据AB的中垂线可得BAD∠，再根据AC的中垂线可得EAC∠，再结合∠BAC=126°即可计算出∠EAD.【详解】根据AB的中垂线可得BAD∠=B根据AC的中垂线可得EAC∠=C∠18012654B C︒︒︒∠+∠=-=又126BAD DAE EAC BAC︒∠+∠+∠=∠=+C+126B DAE︒∴∠∠∠=72DAE︒∴∠=【点睛】本题主要考查中垂线的性质，重点在于等量替换表示角度.7．如图，在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，D 为BC 中点，E 为AC 边上一动点，连接DE ，以DE 为边并在DE 的右侧作等边DEF ∆，连接BF ，则BF 的最小值为______.【答案】3【解析】【分析】由60°联想旋转全等，转换动长为定点到定线的长，构建等边三角形BDG ，利用△BDF ≌△GDE ，转换BF=GE ，然后即可求得其最小值.【详解】以BD 为边作等边三角形BDG ，连接GE ，如图所示：∵等边三角形BDG ，等边三角形DEF∴∠BDG=∠EDF=60°，BD=GD=BG ，DE=DF=EF∴∠BDG+∠GFD=∠EDF+∠GFD ，即∠BDF=∠GDE∴△BDF ≌△GDE （SAS ）∴BF=GE当GE ⊥AC 时，GE 有最小值，如图所示GE′，作DH ⊥GE′∴BF=GE= CD+12DG=2+1=3故答案为：3.【点睛】此题主要考查等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题关键是由60°联想旋转全等，转换动长为定点到定线的长.8．如图，已知每个小方格的边长为1，A、B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC是等腰三角形，这样的格点C有________个。
八年级数学三角形中考真题专题练习汇总
八年级数学三角形中考真题专题练习汇总一、选择题1.（•山东威海，第9题3分）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC 的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是（）A．∠BAC=70°B．∠DOC=90°C．∠BDC=35°D．∠DAC=55°考点：角平分线的性质；三角形内角和定理分析：根据三角形的内角和定理列式计算即可求出∠BAC=70°，再根据角平分线的定义求出∠ABO，然后利用三角形的内角和定理求出∠AOB再根据对顶角相等可得∠DOC=∠AOB，根据邻补角的定义和角平分线的定义求出∠DCO，再利用三角形的内角和定理列式计算即可∠BDC，判断出AD为三角形的外角平分线，然后列式计算即可求出∠DAC．解答：解：∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣50°﹣60°=70°，故A选项结论正确，∵BD平分∠ABC，∴∠ABO=∠ABC=×50°=25°，在△ABO中，∠AOB=180°﹣∠BAC﹣∠ABO=180°﹣70°﹣25°=85°，∴∠DOC=∠AOB=85°，故B选项结论错误；∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=（180°﹣60°）=60°，∴∠BDC=180°﹣85°﹣60°=35°，故C选项结论正确；∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线，∴AD是△ABC的外角平分线，∴∠DAC=（180°﹣70°）=55°，故D选项结论正确．故选B．点评：本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理和概念是解题的关键．2. （•山东临沂,第3题3分）如图，已知l1∥l2，∠A=40°，∠1=60°，则∠2的度数为（）A．40°B．60°C．80°D．100°考点：平行线的性质；三角形的外角性质．分析：根据两直线平行，内错角相等可得∠3=∠1，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．解答：解：∵l1∥l2，∴∠3=∠1=60°，∴∠2=∠A+∠3=40°+60°=100°．故选D．点评：本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．3. （•江苏苏州,第6题3分）如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=80°，则∠C的度数为（）A．30°B．40°C．45°D．60°考点：等腰三角形的性质分析：先根据等腰三角形的性质求出∠ADB的度数，再由平角的定义得出∠ADC的度数，根据等腰三角形的性质即可得出结论．解答：解：∵△ABD中，AB=AD，∠B=80°，∴∠B=∠ADB=80°，∴∠ADC=180°﹣∠ADB=100°，∵AD=CD，∴∠C===40°．故选B．点评：本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．是【】4．（•福建福州,第6题4分）下列命题中，假命题．．．A．对顶角相等B．三角形两边和小于第三边C．菱形的四条边都相等D．多边形的内角和等于360°5．（·台湾，第20题3分）如图，有一△ABC ，今以B 为圆心，AB 长为半径画弧，交BC 于D 点，以C 为圆心，AC 长为半径画弧，交BC 于E 点．若∠B ＝40°，∠C ＝36°，则关于AD 、AE 、BE 、CD 的大小关系，下列何者正确？()A ．AD ＝AEB ．AE ＜AEC ．BE ＝CDD ．BE ＜CD分析：由∠C ＜∠B 利用大角对大边得到AB ＜AC ，进一步得到BE ＋ED ＜ED ＋CD ，从而得到BE ＜C D ． 解：∵∠C ＜∠B ， ∴AB ＜AC ，即BE ＋ED ＜ED ＋CD ， ∴BE ＜C D ． 故选D ．点评：考查了三角形的三边关系，解题的关键是正确的理解题意，了解大边对大角． 6.（·云南昆明，第5题3分）如图，在△ABC 中，∠A =50°，∠ABC =70°，BD 平分∠ABC ，则∠BDC 的度数是（ ） A . 85° B . 80° C . 75° D . 70°考点： 角平分线的性质，三角形外角性质.分析： 首先角平分线的性质求得AB D ∠的度数，然后利用三角形外角性质求得∠BDC 的度数即可．解答： 解： ∠ABC =70°，BD 平分∠ABC∴35ABD =∠ ∠A =50°∴∠BDC853550ABD A =+=∠+∠=DCBA故选A．点评：本题考查了三角形角平分线的性质和三角形外角性质.，属于基础题，比较简单．7. （•泰州，第6题，3分）如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）A．1，2，3 B．1，1，C．1，1，D．1，2，考点：解直角三角形专题：新定义．分析：A、根据三角形三边关系可知，不能构成三角形，依此即可作出判定；B、根据勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，依此即可作出判定；C、解直角三角形可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，依此即可作出判定；D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，依此即可作出判定．解答：解：A、∵1+2=3，不能构成三角形，故选项错误；B、∵12+12=（）2，是等腰直角三角形，故选项错误；C、底边上的高是=，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，故选项错误；D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°=3，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确．故选：D．点评：考查了解直角三角形，涉及三角形三边关系，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，“智慧三角形”的概念．8. （•广西玉林市、防城港市，第10题3分）在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，则AB边的取值范围是（）A．1cm＜AB＜4cm B．5cm＜AB＜10cm C．4cm＜AB＜8cm D．4cm＜AB＜10cm考点：等腰三角形的性质；解一元一次不等式组；三角形三边关系．分析：设AB=AC=x，则BC=20﹣2x，根据三角形的三边关系即可得出结论．解答：解：∵在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，∴设AB=AC=xcm，则BC=（20﹣2x）cm，∴，解得5cm＜x＜10cm．故选B．点评：本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两腰相等是解答此题的关键．9. （•湖南邵阳，第5题3分）如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是（）A．45°B．54°C．40°D．50°考点：平行线的性质；三角形内角和定理分析：根据三角形的内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAD，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠ADE=∠BA D．解答：解：∵∠B=46°，∠C=54°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣46°﹣54°=80°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠BAC=×80°=40°，∵DE∥AB，∴∠ADE=∠BAD=40°．故选C．点评：本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的关键．10．（·台湾，第18题3分）如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M相交于P点．若∠A＝60°，∠ACP＝24°，则∠ABP的度数为何？()A．24 B．30 C．32 D．36分析：根据角平分线的定义可得∠ABP＝∠CBP，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BP＝CP，再根据等边对等角可得∠CBP＝∠BCP，然后利用三角形的内角和等于180°列出方程求解即可．解：∵直线M为∠ABC的角平分线，∴∠ABP＝∠CBP．∵直线L为BC的中垂线，∴BP＝CP，∴∠CBP＝∠BCP，∴∠ABP＝∠CBP＝∠BCP，在△ABC中，3∠ABP＋∠A＋∠ACP＝180°，即3∠ABP＋60°＋24°＝180°，解得∠ABP＝32°．故选C．点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记各性质并列出关于∠ABP的方程是解题的关键．11. （•湖北宜昌,第6题3分）已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第三边的长可能是（）A．5B．10 C．11 D．12考点：三角形三边关系．分析：根据三角形的第三边大于两边之差，而小于两边之和求得第三边的取值范围，再进一步选择．解答：解：根据三角形的三边关系，得第三边大于：8﹣3=5，而小于：3+8=11．则此三角形的第三边可能是：10．故选：B．点评：本题考查了三角形的三边关系，即三角形的第三边大于两边之差，而小于两边之和，此题基础题，比较简单．12. （•河北，第3题2分）如图，△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若DE=2，则BC=（）A． 2 B．3C．4D．5考点：三角形中位线定理．分析：根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得BC=2DE．解答：解：∵D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴BC=2DE=2×2=4．故选C．点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键．13、（•河北，第4题2分）如图，平面上直线a，b分别过线段OK两端点（数据如图），则a，b相交所成的锐角是（）A．20°B．30°C．70°D．80°考点：三角形的外角性质分析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．解答：解：a，b相交所成的锐角=100°﹣70°=30°．故选B．点评：本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．14. （•随州，第4题3分）如图，在△ABC中，两条中线BE、CD相交于点O，则S△DOE：S△COB=（）A．1：4 B．2：3 C．1：3 D．1：2考点：相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理分析：根据三角形的中位线得出DE∥BC，DE=BC，根据平行线的性质得出相似，根据相似三角形的性质求出即可．解答：解：∵BE和CD是△ABC的中线，∴DE=BC，DE∥BC，∴=，△DOE∞△COB，∴=（）2=（）2=，故选A．点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的中位线的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．15. （•广东，第9题3分）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（）A．17 B．15 C．13 D．13或17考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．分析：由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分：（1）当等腰三角形的腰为3；（2）当等腰三角形的腰为7；两种情况讨论，从而得到其周长．解答：解：①当等腰三角形的腰为3，底为7时，3+3＜7不能构成三角形；②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3+7+7=17．故这个等腰三角形的周长是17．故选A．点评：本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论．二、填空题1.（•山东威海，第15题3分）直线l1∥l2，一块含45°角的直角三角板如图放置，∠1=85°，则∠2= 40°．考点：平行线的性质；三角形内角和定理分析：根据两直线平行，同位角相等可得∠3=∠1，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠4，然后根据对顶角相等解答．解答：解：∵l1∥l2，∴∠3=∠1=85°，∴∠4=∠3﹣45°=85°﹣45°=40°，∴∠2=∠4=40°．故答案为：40°．点评：本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．2．（•湖南怀化，第15题，3分）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，延长BC到D，则∠ACD=80°．考点：三角形的外角性质．分析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．解答：解：∵∠A=30°，∠B=50°，∴∠ACD=∠A+∠B=30°+50°=80°．故答案为：80．点评：本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，熟记性质是解题的关键．3. （•江苏盐城,第14题3分）如图，A、B两地间有一池塘阻隔，为测量A、B两地的距离，在地面上选一点C，连接CA、CB的中点D、E．若DE的长度为30m，则A、B两地的距离为60m．考点：三角形中位线定理．专题：应用题．分析：根据三角形中位线求出AB=2DE，代入求出即可．解答：解：∵D、E分别是AC、BC的中点，DE=30m，∴AB=2DE=60m故答案为：60．点评：本题考查了三角形的中位线的应用，注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．4．（•广州,第11题3分）中，已知，，则的外角的度数是_____．【考点】三角形外角【分析】本题主要考察三角形外角的计算，，则的外角为【答案】5．（•广州,第12题3分）已知是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点，，则PE的长度为_____．【考点】角平线的性质【分析】角平分线上的点到角的两边距离相等．【答案】106. （•福建泉州，第15题4分）如图，在△ABC中，∠C=40°，CA=CB，则△ABC的外角∠ABD=110°．考点：等腰三角形的性质．分析：先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠A，再根据三角形的外角等于等于与它不相邻的两个内角的和，进行计算即可．解答：解：∵CA=CB，∴∠A=∠ABC，∵∠C=40°，∴∠A=70°∴∠ABD=∠A+∠C=110°．故答案为：110．点评：此题考查了等腰三角形的性质，用到的知识点是等腰三角形的性质、三角形的外角等于等于与它不相邻的两个内角的和．7. （•扬州，第10题，3分）若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm，则它的周长为35cm．考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．分析：题目给出等腰三角形有两条边长为7cm和14cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．解答：解：①14cm为腰，7cm为底，此时周长为14+14+7=35cm；②14cm为底，7cm为腰，则两边和等于第三边无法构成三角形，故舍去．故其周长是35cm．故答案为35．点评：此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的掌握情况．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．8. （•扬州，第15题，3分）如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E，连结OD、OE，若∠A=65°，则∠DOE=50°．（第2题图）考点：圆的认识；三角形内角和定理；等腰三角形的性质．分析：首先根据三角形内角和求得∠B+∠C的度数，然后求得其二倍，然后利用三角形的内角和求得∠BOD+∠EOC，然后利用平角的性质求得即可．解答：解：∵∠A=65°，∴∠B+∠C=180°﹣65°=115°，∴∠BDO=∠DBO，∠OEC=∠OCE，∴∠BDO+∠DBO+∠OEC+∠OCE=2×115°=230°，∴∠BOD+∠EOC=2×180°﹣230°=130°，∴∠DOE=180°﹣130°=50°，故答案为：50°．点评：本题考查了圆的认识及三角形的内角和定理等知识，难度不大．9. （•乐山，第14题3分）如图，在△ABC中，BC边的中垂线交BC于D，交AB于E．若CE平分∠ACB，∠B=40°，则∠A=60度．考点：线段垂直平分线的性质．.分析：根据线段垂直平分线得出BE=CE，推出∠B=∠BCE=40°，求出∠ACB=2∠BCE=80°，代入∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB求出即可．解答：解：∵DE是线段BC的垂直平分线，∴BE=CE，∴∠B=∠BCE=40°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACB=2∠BCE=80°，∴∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=60°，故答案为：60．点评：本题考查了等腰三角形性质，线段垂直平分线性质，三角形内角和定理的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．10．（•四川成都,第12题4分）如图，为估计池塘岸边A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取点O，分别取OA，OB的中点M，N，测得MN=32m，则A，B两点间的距离是64m．考点：三角形中位线定理．专题：应用题．分析：根据M、N是OA、OB的中点，即MN是△OAB的中位线，根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即可求解．解答：解：∵M、N是OA、OB的中点，即MN是△OAB的中位线，∴MN=AB，∴AB=2CD=2×32=64（m）．故答案是：64．点评：本题考查了三角形的中位线定理应用，正确理解定理是解题的关键．11．（•随州，第13题3分）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为75度．考点：三角形内角和定理；平行线的性质专题：计算题；压轴题．分析：根据三角形三内角之和等于180°求解．解答：解：如图．∵∠3=60°，∠4=45°，∴∠1=∠5=180°﹣∠3﹣∠4=75°．故答案为：75．点评：考查三角形内角之和等于180°．12、（•宁夏，第16题3分）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是．考点：三角形的外接圆与外心专题：网格型．分析：根据题意得出△ABC的外接圆的圆心位置，进而利用勾股定理得出能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径．解答：解：如图所示：点O为△ABC外接圆圆心，则AO为外接圆半径，故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是：．故答案为：．点评：此题主要考查了三角形的外接圆与外心，得出外接圆圆心位置是解题关键．三.解答题1. （•益阳，第15题，6分）如图，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B=80°．求∠C的度数．（第1题图）考点：平行线的性质．分析：根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BAF，再根据角平分线的定义求出∠CAF，然后根据两直线平行，内错角相等解答．解答：解：∵EF∥BC，∴∠BAF=180°﹣∠B=100°，∵AC平分∠BAF，∴∠CAF=∠BAF=50°，∵EF∥BC，∴∠C=∠CAF=50°．点评：本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．2. （•无锡，第22题8分）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．考点：圆周角定理；平行线的性质；三角形中位线定理分析：（1）根据圆周角定理可得∠ACB=90°，则∠CAB的度数即可求得，在等腰△AOD中，根据等边对等角求得∠DAO的度数，则∠CAD即可求得；（2）易证OE是△ABC的中位线，利用中位线定理求得OE的长，则DE即可求得．解答：解：（1）∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB=90°，又∵OD∥BC，∴∠AEO=90°，即OE⊥AC，∠CAB=90°﹣∠B=90°﹣70°=20°．∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO===55°∴∠CAD=∠DAO﹣∠CAB=55°﹣20°=35°；（2）在直角△ABC中，BC===．∵OE⊥AC，∴AE=EC，又∵OA=OB，∴OE=BC=．又∵OD=AB=2，∴DE=OD﹣OE=2﹣．点评：本题考查了圆周角定理以及三角形的中位线定理，正确证明OE是△ABC的中位线是关键．。
人教版数学八年级上册 全册全套试卷中考真题汇编[解析版]
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人教版数学八年级上册全册全套试卷中考真题汇编[解析版]一、八年级数学三角形填空题（难）1．已知三角形的两边的长分别为2cm和8cm，设第三边中线的长为x cm，则x的取值范围是_______【答案】3＜x＜5【解析】【分析】延长AD至M使DM=AD，连接CM，先说明△ABD≌△CDM，得到CM=AB=8，再求出2AD的范围，最后求出AD的范围.【详解】解：如图：AB=8，AC=2，延长AD至M使DM=AD，连接CM在△ABD和△CDM中，AD MDADB MDCBD CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD≌△MCD（SAS），∴CM=AB=8．在△ACM中：8-2＜2x＜8+2，解得：3＜x＜5．故答案为：3＜x＜5．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解答的关键在于画出图形，数形结合完成解答.2．如图，1BA和1CA分别是ABC∆的内角平分线和外角平分线，2BA是1A BD∠的角平分线，2CA是1A CD∠的角平分线，3BA是2A BD∠的角平分线，3CA是2A CD∠的角平分线，若1Aα∠=，则2018A∠=_____________【答案】20172α【解析】【分析】 根据角平分线的定义可得∠A 1BC=12∠ABC ，∠A 1CD=12∠ACD ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC ，∠A 1CD=∠A 1BC+∠A 1，整理即可得解，同理求出∠A 2，可以发现后一个角等于前一个角的12，根据此规律即可得解． 【详解】∵A 1B 是∠ABC 的平分线，A 1C 是∠ACD 的平分线，∴∠A 1BC=12∠ABC ，∠A 1CD=12∠ACD ， 又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A 1CD=∠A 1BC+∠A 1，∴12（∠A+∠ABC ）=12∠ABC+∠A 1， ∴∠A 1=12∠A ， ∵∠A 1=α．同理理可得∠A 2=12∠A 1=12α，∠A 3=12∠A 2=212α， ……， ∴∠A 2018=20172α， 故答案为20172α．【点睛】本题主要考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义是解题的关键．3．一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是_____．【答案】720°．【解析】【分析】先利用多边形的外角和为360°计算出这个正多边形的边数，然后再根据内角和公式进行求解即可．【详解】这个正多边形的边数为36060︒︒=6，所以这个正多边形的内角和=（6﹣2）×180°=720°，故答案为720°．【点睛】本题考查了多边形内角与外角：内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）；多边形的外角和等于360度．4．一机器人以0.3m/s的速度在平地上按下图中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需时间为__s．【答案】160.【解析】试题分析：该机器人所经过的路径是一个正多边形，利用360°除以45°，即可求得正多边形的边数，即可求得周长，利用周长除以速度即可求得所需时间．试题解析：360÷45=8，则所走的路程是：6×8=48m，则所用时间是：48÷0.3=160s．考点：多边形内角与外角．5．如图，将一张三角形纸片 ABC 的一角折叠，使点 A 落在△ABC 外的 A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么α，β，γ 三个角的数量关系是__________ ．【答案】γ=2α+β．【解析】【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论．【详解】由折叠得：∠A=∠A'，∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β，故答案为：γ=2α+β．【点睛】此题考查三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键．6．如图，小新从A点出发，沿直线前进50米后向左转30°，再沿直线前进50米，又向左转30°，…照这样下去，小新第一次回到出发地A点时，一共走了__米．【答案】600【解析】【分析】【详解】解：根据题意可知：小新从A点出发，沿直线前进50米后向左转30º，再沿直线前进50米，又向左转30º，……照这样下去,小新第一次回到出发地A点时,小新走的路线围成一个正多边形,且这个多边形的外角等于30º，所以这个正多边形的边数是12，小新一共走了12×50=600米，故答案为：600．二、八年级数学三角形选择题（难）7．如图，∠ABC =∠ACB ，BD 、CD 分别平分△ABC 的内角∠ABC 、外角∠ACP ，BE平分外角∠MBC 交 DC 的延长线于点 E ，以下结论：①∠BDE =12∠BAC ；② DB⊥BE ；③∠BDC +∠ACB= 90︒；④∠BAC + 2∠BEC = 180︒ .其中正确的结论有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【答案】D【解析】【分析】根据角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角的性质、判断即可．【详解】① ∵BD、CD分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACP，∴∠ACP=2∠DCP，∠ABC=2∠DBC，又∵∠ACP=∠BAC+∠ABC，∠DCP=∠DBC+∠BDC，∴∠BAC=2∠BDE，∴∠BDE =12∠BAC∴①正确；②∵BD、BE分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠MBC，∴∠DBE=∠DBC+∠EBC=12∠ABC+12∠MBC=12×180°=90°，∴EB⊥DB，故②正确，③∵∠DCP=∠BDC+∠CBD，2∠DCP=∠BAC+2∠DBC，∴2(∠BDC+∠CBD)=∠BAC+2∠DBC，∴∠BDC=12∠BAC，∵∠BAC+2∠ACB=180°，∴12∠BAC+∠ACB=90°，∴∠BDC+∠ACB=90°，故③正确，④∵∠BEC=180°−12(∠MBC+∠NCB)=180°−12(∠BAC+∠ACB+∠BAC+∠ABC)=180°−12(180°+∠BAC)∴∠BEC=90°−12∠BAC，∴∠BAC+2∠BEC=180°，故④正确，即正确的有4个，故选D【点睛】此题考查三角形的外角性质，平行线的判定与性质，三角形内角和定理，解题关键在于掌握各性质定理8．已知三角形的三边长分别为2，a－1，4，则化简|a－3|＋|a－7|的结果为（）A．2a－10B．10－2aC．4D．－4【答案】C【解析】试题分析：已知三角形的三边长分别为2，a－1，4，则根据三角形的三边关系：可得：a-1>4-2，a-1<2+4即a>3，a<7.所以a－3>0，a-7<0. |a－3|＋|a－7|=a-3+（7-a）=4.故选C点睛：本题主要考查考生三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
专题 全等三角形压轴题训练(30题)(解析版)
（苏科版）八年级上册数学《第1章全等三角形》专题全等三角形压轴题训练（30题）1．如图，△ABC中，AB＝AC，D为AC边上一点，E为AB延长线上一点，且CD＝BE，DE与BC相交于点F．（1）求证：DF＝EF．（2）过点F作FG⊥DE，交线段CE于点G，若CE⊥AC，CD＝4，S＝5，求EG的长．△EFG【分析】（1）过点D作DH∥AB交BC于点H，根据等腰三角形的性质及平行线的性质得到∠BEF＝∠HDF，∠DHC＝∠DCH，则DH＝CD，结合∠BFE＝∠HFD，即可利用AAS判定△BEF≌△HDF，根据全等三角形的性质即可得解；（2）根据三角形的面积公式求解即可．【解答】（1）过点D作DH∥AB交BC于点H，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵DH∥AB，∴∠DHC＝∠ABC，∴∠DHC＝∠ACB＝∠DCH，∴DH＝CD，∵CD＝BE，∴DH＝BE，∵DH∥AB，∴∠BEF＝∠HDF，在△BEF和△HDF中，∠BFE=∠HFD∠BEF=∠HDFBE=DH，∴△BEF≌△HDF（AAS），∴DF＝EF；（2）连接DG，∵DF＝EF，FG⊥DE，∴S△DFG ＝S△EFG＝5，∴S△DEG＝10，∵CE⊥AC，CD＝4，∴S△DEG =12EG•CD=12EG×4，∴12EG×4＝10，∴EG＝5．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用AAS判定△BEF≌△HDF是解题的关键．2．如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝2CD，AB∥CD，∠C＝90°，E是BC的中点，AE与BD相交于点F，连接DE．（1）求证：△ABE≌△BCD；（2）判断线段AE与BD的数量关系及位置关系，并说明理由；【分析】（1）由平行线的性质得出∠ABE+∠C＝180°，得出∠ABE＝90°＝∠C，再证出BE＝CD，由SAS证明△ABE≌△BCD即可；（2）由全等三角形的性质得出AE＝BD，证出∠ABF+∠BAE＝90°，得出∠AFB＝90°，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠ABE+∠C＝180°，∵∠C＝90°，∴∠ABE＝90°＝∠C，∵E是BC的中点，∴BC＝2BE，∵BC＝2CD，∴BE＝CD，在△ABE和△BCD中，AB=BC∠ABE=∠C BE=CD，∴△ABE≌△BCD（SAS）；（2）解：AE＝BD，AE⊥BD，理由如下：由（1）得：△ABE≌△BCD，∴AE＝BD，∵∠BAE＝∠CBD，∠ABF+∠CBD＝90°，∴∠ABF+∠BAE＝90°，∴∠AFB＝90°，∴AE⊥BD．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；证明三角形全等是解题的关键．3．如图1，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点P为BC边上的一个动点，连接AP，以AP为直角边，A为直角顶点，在AP右侧作等腰直角三角形PAD，连接CD．（1）当点P在线段BC上时（不与点B重合），求证：△BAP≌△CAD；（2）当点P在线段BC的延长线上时（如图2），试猜想线段BP和CD的数量关系与位置关系分别是什么？请给予证明．【分析】（1）证得∠BAP＝∠CAD，根据SAS可证明△BAP≌△CAD；（2）可得∠BAP＝∠CAD，由SAS可证明△BAP≌△CAD，可得BP＝CD，∠B＝∠ACD，则结论得证．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠PAD＝90°，∴∠BAC﹣∠PAC＝∠PAD﹣∠PAC，即：∠BAP＝∠CAD，在△BAP和△CAD中AB=AC∠BAP=∠CAD，PA=DA∴△BAP≌△CAD（SAS）；（2）猜想：BP＝CD，BP⊥CD．证明：∵∠BAC＝∠PAD＝90°，∴∠BAC+∠PAC＝∠PAD+∠PAC，即：∠BAP＝∠CAD，在△BAP和△CAD中AB=AC∠BAP=∠CAD，PA=DA∴△BAP≌△CAD（SAS），∴BP＝CD（全等三角形的对应边相等），∠B＝∠ACD（全等三角形的对应角相等），∵∠B+∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠ACB＝90°，即：BP⊥CD．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，根据同角的余角相等求出两边的夹角相等是证明三角形全等的关键．4．（2023春•市南区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为AC边上一点，连接BE与AD交于点F，G为△ABC外一点，满足∠ACG＝∠ABE，∠FAG＝∠BAC，连接EG．（1）求证：△ABF≌△ACG；（2）求证：BE＝CG+EG．【分析】（1）根据已知条件可得∠BAD＝∠CAG，然后利用ASA即可证明△ABF≌△ACG；（2）结合（1）的结论，再证明△AEF≌△AEG，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠FAG，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠FAG﹣∠CAD，∴∠BAD＝∠CAG，在△ABF和△ACG中，∠BAD=∠CAGAB=AC，∠ABF=∠ACG∴△ABF≌△ACG（ASA）；（2）证明：∵△ABF≌△ACG，∴AF＝AG，BF＝CG，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠BAD＝∠CAG，∴∠CAD＝∠CAG，在△AEF和△AEG中，AF=AG∠FAE=∠GAE，AE=AE∴△AEF≌△AEG（SAS）．∴EF＝EG，∴BE＝BF+FE＝CG+EG．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△AEF≌△AEG．5．（2022秋•新宾县期中）如图（1）所示，A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB＝CD．（1）求证：EG＝FG．（2）若将△DEC的边EC沿AC方向移动，变为图（2）时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由．【分析】（1）先利用HL判定Rt△ABF≌Rt△CDE，得出BF＝DE；再利用AAS判定△BFG≌△DEG，从而得出GE＝GF；（2）结论仍然成立，同理可以证明得到．【解答】解：（1）证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEF＝∠BFE＝90°．∵AE＝CF，AE+EF＝CF+EF．即AF＝CE．在Rt△ABF和Rt△CDE中，AB=CDAF=CE，∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），∴BF＝DE．在△BFG和△DEG中，∵∠BFG=∠DEG ∠BGF=∠DGE BF=DE，∴△BFG≌△DGE（AAS），∴GE＝GF；（2）结论依然成立．理由：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠BFA＝∠DEC＝90°∵AE＝CF∴AE﹣EF＝CF﹣EF，即AF＝CE，在Rt△ABF和Rt△CDE中，AB=CDAF=CE，∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），∴DE＝BF在△BFG和△DEG中，∵∠BFG=∠DEG ∠BGF=∠DGE BF=DE，∴△BFG≌△DGE（AAS），∴GE＝GF．【点评】本题考查三角形全等的判定与性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．6．（2023春•市南区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为AC边上一点，连接BE与AD交于点F，G为△ABC外一点，满足∠ACG＝∠ABE，∠FAG＝∠BAC，连接EG．（1）求证：△ABF≌△ACG；（2）求证：BE＝CG+EG．【分析】（1）根据已知条件可得∠BAD＝∠CAG，然后利用ASA即可证明△ABF≌△ACG；（2）结合（1）的结论，再证明△AEF≌△AEG，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠FAG，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠FAG﹣∠CAD，∴∠BAD＝∠CAG，在△ABF和△ACG中，∠BAD=∠CAGAB=AC，∠ABF=∠ACG∴△ABF≌△ACG（ASA）；（2）证明：∵△ABF≌△ACG，∴AF＝AG，BF＝CG，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠BAD＝∠CAG，∴∠CAD＝∠CAG，在△AEF和△AEG中，AF=AG∠FAE=∠GAE，AE=AE∴△AEF≌△AEG（SAS）．∴EF＝EG，∴BE＝BF+FE＝CG+EG．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△AEF≌△AEG．7．（2022秋•忠县期末）在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，设BE与CD相交于点F．（1）如图①，设∠A＝60°，BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，证明：DF＝EF．（2）如图②，设BE⊥AC，CD⊥AB，点G在CD的延长线上，连接AG、AF；若∠G＝∠6，BD＝CD，证明：GD＝DF．【分析】（1）在BC上截取BM＝BD，连接FM，证明△BFD≌△BFM，△ECF≌△MCF，进而可以解决问题；（2）根据已知条件证明△BDF≌△CDA，进而可以解决问题．【解答】证明：（1）如图，在BC上截取BM＝BD，连接FM，∵∠A＝60，∴∠BFC＝90°+60°÷2＝120°，∴∠BFD＝60°，∵BE平分∠ABC，∴∠1＝∠2，在△BFD和△BFM中，BD=BM∠1=∠2，BF=BF∴△BFD≌△BFM（SAS），∴∠BFM＝∠BFD＝60°，DF＝MF，∴∠CFM＝120°﹣60°＝60°，∵∠CFE＝∠BFD＝60°，∴∠CFM＝∠CFE，∵CD平分∠ACB，∴∠3＝∠4，又CF＝CF，在△ECF和△MCF中，∠CFE=∠CFMFC=FC，∠3=∠4∴△ECF≌△MCF（ASA），∴EF＝MF，∴DF＝EF；（2）∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠BDF＝∠CDA＝90°，∴∠1+∠BFD＝90°，∠3+∠CFE＝90°，∠BFD＝∠CFE，∴∠1＝∠3，∵BD＝CD，在△BDF和△CDA中，∠BDF=∠CDABD=CD，∠1=∠3∴△BDF≌△CDA（ASA），∴DF＝DA，∵∠ADF＝90°，∴∠6＝45°，∵∠G＝∠6，∴∠5＝45°∴∠G＝∠5，∴GD＝DA，∴GD＝DF．【点评】本题属于三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．8．（2023春•宣汉县校级期末）已知：∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CM，BE⊥CM，垂足分别为D，E，（1）如图1，把下面的解答过程补充完整，并在括号内注明理由．①线段CD和BE的数量关系是：CD＝BE；②请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系并证明．解：①结论：CD＝BE．理由：∵AD⊥CM，BE⊥CM，∴∠ACB＝∠BEC＝∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACD＝ 在△ACD和△CBE中，（ ）∴△ACD≌△CBE，（ ）∴CD＝BE．②结论：AD＝BE+DE．理由：∵△ACD≌△CBE，∴ ∵CE＝CD+DE＝BE+DE，∴AD＝BE+DE．（2）如图2，上述结论②还成立吗？如果不成立，请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系．并说明理由．【分析】（1）根据同角的余角相等，全等三角形的判定和性质即可解决问题；（2）结论：DE﹣BE＝AD，只要证明△ACD≌△CBE即可解决问题；【解答】解：（1）∵AD⊥CM，BE⊥CM，∴∠ACB＝∠BEC＝∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACD＝∠CBE在△ACD和△CBE中，（∠ADC=∠BEC ∠ACD=∠CBE AC=BC）∴△ACD≌△CBE，（AAS）∴CD＝BE．②结论：AD＝BE+DE．理由：∵△ACD≌△CBE，∴AD＝CE∵CE＝CD+DE＝BE+DE，∴AD＝BE+DE．故答案为：∠CBE，∠ADC=∠BEC∠ACD=∠CBEAC=BC，AAS，AD＝CE．（2）不成立，结论：DE﹣BE＝AD．理由：∵AD⊥CM，BE⊥CM，∴∠ACB＝∠BEC＝∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACD＝∠CBE在△ACD和△CBE中，∠ADC=∠BEC∠ACD=∠CBEAC=BC，∴△ACD≌△CBE，（AAS）∴AD＝CE，CD＝BE，∴DE﹣BE＝DE﹣DC＝CE＝AD．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形的全等条件，灵活运用知识解决问题．9．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别在BC、CD上，且∠EAF=1 2∠BAD，求证：DF＝EF﹣BE．【分析】由边角边证明△ADF≌△ABH得AF＝AH，∠DAF＝∠BAH，同理可得△HAE≌△FAE，其性质得HE＝EF，最后由线段和差和等式的性质得DF＝EF﹣BE．【解答】证明：在CB的延长线上取BH＝DF，如图所示：∵∠ABE+∠ABH＝180°，∠ABE+∠D＝180°，∴∠ABH＝∠D，在△ADF和△ABH中，AD=AB∠D=∠ABHDF=BH，∴△ADF≌△ABH（SAS），∴AF＝AH，∠DAF＝∠BAH，∴∠BAD＝∠HAF，∵∠EAF=12∠BAD，∴∠EAF＝∠HAE=12∠HAF，在△HAE和△FAE中，AH=AF∠HAE=∠FAEAE=AE，∴△HAE≌△FAE（SAS），∴HE＝EF，又∵HE＝HB+BE，HB＝DF，∴EF＝BE+DF，∴DF＝EF﹣BE．【点评】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，同角的补角相等，线段的和差和等量代换等知识点，重点掌握全等三角形的判定与性质，难点是构建全等三角形和角平分线．10．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是CB延长线上一点，点E是线段AB上一点，连接DE．AC＝DE，BC＝BE．（1）求证：AB＝BD；（2）BF平分∠ABC交AC于点F，点G是线段FB延长线上一点，连接DG，点H是线段DG上一点，连接AH交BD于点K，连接KG．当KB平分∠AKG时，求证：AK＝DG+KG．【分析】（1）证明Rt△ACB≌Rt△DEB即可解决问题；（2）作BM平分∠ABD交AK于点M，证明△BMK≌△BGK，△ABM≌△DBG，即可解决问题．【解答】证明：（1）在Rt△ACB和Rt△DEB中，AC=DEBC=BE，∴Rt△ACB≌Rt△DEB（HL），∴AB＝BD，（2）如图：作BM平分∠ABD交AK于点M，∵BM平分∠ABD，KB平分∠AKG，∴∠ABM＝∠MBD＝45°，∠AKB＝∠BKG，∵∠ABF＝∠DBG＝45°∴∠MBD＝∠GBD，在△BMK和△BGK中，∠MBD=∠GBDBK=BK，∠AKB=∠BKG∴△BMK≌△BGK（ASA），∴BM＝BG，MK＝KG，在△ABM和△DBG中，AB=BD∠ABM=∠DBG，BM=BG∴△ABM≌△DBG（SAS），∴AM＝DG，∵AK＝AM+MK，∴AK＝DG+KG．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△BMK≌△BGK．11．（2023春•余江区期末）如图，大小不同的两块三角板△ABC和△DEC直角顶点重合在点C处，AC＝BC，DC＝EC，连接AE、BD，点A恰好在线段BD上．（1）找出图中的全等三角形，并说明理由；（2）当AD＝AB＝4cm，则AE的长度为 cm．（3）猜想AE与BD的位置关系，并说明理由．【分析】（1）根据SAS证明△CBD≌△CAE即可；（2）根据全等三角形的性质解答即可；（3）根据全等三角形的性质和垂直的定义解答即可．【解答】解：（1）△CBD≌△CAE，理由如下：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，在△CBD与△CAE中，BC=AC∠BCD=∠ACE，DC=EC∴△CBD≌△CAE（SAS）；（2）∵△CBD≌△CAE，∴BD＝AE＝AD+AB＝4+4＝8（cm），故答案为：8；（3）AE⊥BD，理由如下：AE与CD相交于点O，在△AOD与△COE中，∵△CBD≌△CAE，∴∠ADO＝∠CEO，∵∠AOD＝∠COE，∴∠OAD＝∠OCE＝90°，∴AE⊥BD．【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SAS得出△CBD与△CAE全等解答．12．如图①点A、B、C、D在同一直线上，AB＝CD，作CE⊥AD，BF⊥AD，且AE＝DF．（1）证明：EF平分线段BC；（2）若△BFD沿AD方向平移得到图②时，其他条件不变，（1）中的结论是否仍成立？请说明理由．【分析】（1）由AB＝CD，利用等式的性质得到AC＝BD，再由AE＝DF，利用HL得到直角三角形ACE 与直角三角形DBF全等，利用全等三角形对应边相等得到EC＝BF，再利用AAS得到三角形ECG与三角形FBG全等，利用全等三角形对应边相等得到BG＝CG，即可得证；（2）（1）中的结论成立，理由为：由AC＝DB，利用等式的性质得到AC＝BD，再由AE＝DF，利用HL 得到直角三角形ACE与直角三角形DBF全等，利用全等三角形对应边相等得到EC＝BF，再利用AAS 得到三角形ECG与三角形FBG全等，利用全等三角形对应边相等得到BG＝CG，即可得证．【解答】（1）证明：∵CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠ACE＝∠DBF＝90°，∵AB＝CD，∴AB+BC＝BC+CD，即AC＝DB，在Rt△ACE和Rt△DBF中，AE=DFAC=DB，∴Rt△ACE≌Rt△DBF（HL），∴CE＝FB，在△CEG和△BFG中，∠ECG=∠FBG=90°∠EGC=∠BGF，EC=FB∴△CEG≌△BFG（AAS），∴CG＝BG，即EF平分线段BC；（2）（1）中结论成立，理由为：证明：∵CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠ACE＝∠DBF＝90°，∵AB＝CD，∴AB﹣BC＝CD﹣BC，即AC＝DB，在Rt△ACE和Rt△DBF中，AE=DFAC=DB，∴Rt△ACE≌Rt△DBF（HL），∴CE＝FB，在△CEG和△BFG中，∠ECG=∠FBG=90°∠EGC=∠BGF，EC=FB∴△CEG≌△BFG（AAS），∴CG＝BG，即EF平分线段BC．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及平移的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．13．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时①请说明△ADC≌△CEB的理由；②请说明DE＝AD+BE的理由；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接在横线上写出这个等量关系： ．（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接在横线上写出这个等量关系： ．【分析】（1）①由已知推出∠ADC＝∠BEC＝90°，因为∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，推出∠DAC＝∠BCE，根据AAS即可得到答案；②由①得到AD＝CE，CD＝BE，即可求出答案；（2）结论：DE＝AD﹣BE．与（1）证法类似可证出∠ACD＝∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD ＝CE，CD＝BE，代入已知即可得到答案．（3）结论：DE＝BE﹣AD．证明方法类似．【解答】解：（1）①证明：如图1中，∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠BCE，在△ADC和△CEB中，∠CDA=∠BEC∠DAC=∠ECB，AC=BC∴△ADC≌△CEB（AAS）．②证明：由（1）知：△ADC≌△CEB，∴AD＝CE，CD＝BE，∵DC+CE＝DE，∴AD+BE＝DE．（2）结论：DE＝AD﹣BE．理由：如图2中，∵BE⊥EC，AD⊥CE，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠EBC+∠ECB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ECB+∠ACE＝90°，∴∠ACD＝∠EBC，在△ADC和△CEB中，∠ACD=∠CBE∠ADC=∠BEC，AC=BC∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD＝CE，CD＝BE，∴DE＝EC﹣CD＝AD﹣BE．（3）结论：DE＝BE﹣AD．理由如下：如图3中，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠CED＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ACD和△CBE中，∠ADC=∠CEB∠DAC=∠ECB，AC=CB∴△ACD≌△CBE（AAS），∴AD＝CE，CD＝BE，∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD．故答案为DE＝AD﹣BE，DE＝BE﹣AD．【点评】本题主要考查了邻补角的意义，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．14．已知：在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD．（1）如图①，若∠AOB＝∠COD＝60°．①求证：AC＝BD．②求∠APB的度数．（2）如图②，若∠AOB＝∠COD＝α，∠APD的大小为 （直接写出结果，不证明）．【分析】（1）①根据已知先证明∠AOC＝∠BOD，再由SAS证明△AOC≌△BOD，所以AC＝BD．②由△AOC≌△BOD，可得∠OAC＝∠OBD，再结合图形，利用角的和差，可得∠APB＝60°．（2）由（1）小题的证明可知，∠APB＝α，则可得出答案．【解答】（1）①证明：∵∠AOB＝∠COD＝60°，∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，∴∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，AO=BO∠AOC=∠BOD，OC=OD∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD；②解：∵△AOC≌△BOD，∴∠OAC＝∠OBD，∴∠OAC+∠AOB＝∠OBD+∠APB，∴∠OAC+60°＝∠OBD+∠APB，∴∠APB＝60°；（2）解：由（1）可知：△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OAC＝∠OBD，∴∠OAC+∠AOB＝∠OBD+∠APB，∴∠OAC+α＝∠OBD+∠APB，∴∠APB＝α，∴∠APD＝180°﹣α．故答案为：180°﹣α．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正确运用全等三角形的性质是解题的关键．15．（1）已知，如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E，求证：DE＝BD+CE．（2）如图②，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意钝角，请问结论DE＝BD+CE是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．【分析】（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，根据等角的余角相等得∠CAE＝∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA，则AE＝BD，AD＝CE，于是DE＝AE+AD＝BD+CE；（2）利用∠BDA＝∠BAC＝α，则∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，得出∠CAE＝∠ABD，进而得出△ADB≌△CEA即可得出答案．【解答】证明：（1）∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD，∵在△ADB和△CEA中∠ABD=∠CAE∠BDA=∠CEA，AB=AC∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE；（2）结论DE＝BD+CE仍然成立，理由是：∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∴∠CAE＝∠ABD，∵在△ADB和△CEA中∠ABD=∠CAE∠BDA=∠CEAAB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；得出∠CAE＝∠ABD是解题关键．16．已知：如图AC∥BD，AE和BE分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E．求证：（1）AE⊥BE；（2）AB＝AC+BD．【分析】（1）首先证明∠CAB+∠DBA＝180°，再利用角平分线的性质证明∠EAB=12∠CAB，∠EBA=12∠DBA，可得到∠EAB+∠EBA＝90°，进而可证出AE⊥BE；（2）首先在AB上截取AF＝AC，连接EF，证明△CAE≌△FAE，可证出∠CEA＝∠FEA，可得到∠FEB ＝∠DEB，再证明△DEB≌△FEB，可得到BD＝BF，即可证出AB＝AC+BD．【解答】证明：（1）∵AC∥BD，∴∠CAB+∠DBA＝180°又∵AE和BE分别平分∠CAB和∠DBA，∴∠EAB=12∠CAB，∠EBA=12∠DBA，∴∠EAB+∠EBA=12(∠CAB+∠DBA)=90°，∴AE⊥BE（2）在AB上截取AF＝AC，连接EF，在△CAE和△FAE中AC=AF∠CAE=∠FAE AE=AE，∴△CAE≌△FAE，则∠CEA＝∠FEA，又∠CEA+∠BED＝∠FEA+∠FEB＝90°，∴∠FEB＝∠DEB，∵BE平分∠DBA，∴∠DBE＝∠FBE，在△DEB和△FEB中∠DEB=∠FEB EB=EB∠DBE=∠FBE，∴△DEB≌△FEB（ASA），∴BD＝BF，又∵AF＝AC，∴AB＝AF+FB＝AC+BD．【点评】此题主要考查了垂直，角平分线，以及三角形全等的判定和性质，证明三角形全等是证明线段和角相等的重要手段．17．问题情境：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D．可知：∠BAD＝∠C（不需要证明）；（1）特例探究：如图②，∠MAN＝90°，射线AE在这个角的内部，点B、C在∠MAN的边AM、AN 上，且AB＝AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．证明：△ABD≌△CAF；（2）归纳证明：如图③，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；（3）拓展应用：如图④，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为24，则△ACF与△BDE的面积之和为 ．（直接写出结果）【分析】（1）证明∠ABD＝∠CAF，利用AAS定理证明；（2）根据三角形的外角的性质证明∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠FCA，利用ASA定理证明；（3）根据CD＝2BD，求出△ABD的面积，根据全等三角形的性质计算即可．【解答】（1）证明：如图②，∵CF⊥AE，BD⊥AE，∠MAN＝90°，∴∠BDA＝∠AFC＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠ABD+∠CAF＝90°，∴∠ABD＝∠CAF，在△ABD和△CAF中，∠ADB=∠CFA∠ABD=∠CAF，AB=AC∴△ABD≌△CAF（AAS）；（2）证明：如图③，∵∠1＝∠2＝∠BAC，∠1＝∠BAE+∠ABE，∠BAC＝∠BAE+∠CAF，∠2＝∠FCA+∠CAF，∴∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠FCA，在△ABE和△CAF中，∠ABE =∠CAF AB =AC ∠BAE =∠ACF，∴△ABE ≌△CAF （ASA ）；（3）解：如图④，∵△ABC 的面积为24，CD ＝2BD ，∴△ABD 的面积是：13×24＝8，由（2）可知，△ABE ≌△CAF ，∴△ACF 与△BDE 的面积之和等于△ABE 与△BDE 的面积之和，即等于△ABD 的面积是8，故答案为：8．【点评】本题考查的是三角形的知识的综合应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、三角形的面积公式是解题的关键．18．在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是直线BC 上一点，以AD 为一条边在AD 的右侧作△ADE ，使AE ＝AD ，∠DAE ＝∠BAC ，连接DE ，CE ．（1）如图，当点D 在BC 延长线上移动时，求证：BD ＝CE ．（2）设∠BAC ＝α，∠DCE ＝β．①当点D 在线段BC 的延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由．②当点D 分别在线段BC 上、线段BC 的反向延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由.【分析】（1）根据SAS 证△BAD ≌△CAE ，可得结论；（2）①由△BAD ≌△CAE ，推出∠B ＝∠ACE ，根据三角形外角性质求出即可；②α+β＝180°或α＝β，根据三角形外角性质求出即可．【解答】（1）证明：∵∠DAE ＝∠BAC ，∴∠DAE +∠CAD ＝∠BAC +∠CAD ，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE，AD=AE∴△BAD≌△CAE（SAS），（2）解：①当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间的数量关系是α＝β，理由是：由（1）知△BAD≌△CAE，∴∠B＝∠ACE，∵∠ACD＝∠B+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，∴∠BAC＝∠DCE，∵∠BAC＝α，∠DCE＝β，∴α＝β；②分三种情况：i）当D在线段BC上时，如图2，α+β＝180°，理由是：同理可证明：△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ADB＝∠AEC，∠ABC＝∠ACE，∵∠ADC+∠ADB＝180°，∴∠ADC+∠AEC＝180°，∴∠DAE+∠DCE＝180°，∵∠BAC＝∠DAE＝α，∠DCE＝β，∴α+β＝180°，ii）当点D在线段BC反向延长线上时，如图3，α＝β．如图3，同理可证明：△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE，∠ABD＝∠ACD+∠BAC，∴∠ACD+∠DCE＝∠ACD+∠BAC，∴∠BAC＝∠DCE，∵∠BAC＝α，∠DCE＝β，∴α＝β；ii）当点D在线段BC的延长线上时，如图1，α＝β．综上，当点D在BC上移动时，α＝β或α+β＝180°．【点评】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．19．（2023春•新市区期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是直线AB上一点（点D不与点A、B重合），连接DC并延长到E，使得CE＝CD，过点E作EF⊥直线BC，交直线BC于点F．（1）如图1，当点D为线段AB上的任意一点时，用等式表示线段EF、CF、AC的数量关系，并证明；（2）如图2，当点D为线段BA的延长线上一点时，依题意补全图2，猜想线段EF、CF、AC的数量关系是否发生改变，并证明；（3）如图3，当点D在线段AB的延长线上时，直接写出线段EF、CF、AC之间的数量关系．【分析】（1）过D作DH⊥CB于H，由“AAS”可证△FEC≌△HDC，可得CH＝FC，DH＝EF，可得结论；（2）过D作DH⊥CB于H，由“AAS”可证△FEC≌△HDC，可得CH＝FC，DH＝EF，可得结论．（3）过D作DH⊥CB交CB的延长线于H，由“AAS”可证△FEC≌△HDC，可得CH＝FC，DH＝EF，可得结论．【解答】解：（1）结论：AC＝EF+FC．理由如下：过D作DH⊥CB于H，∴∠DHC＝∠DHB＝90°，∵EF⊥CF，∴∠EFC＝∠DHC＝90°，在△FEC和△HDC中，∠EFC=∠DHC=90°∠FCE=∠DCH，EC=DC∴△FEC≌△HDC（AAS），∴CH＝FC，DH＝EF，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠B＝45°，∵∠DHB＝90°，∴∠B＝∠HDB＝45°，∴DH＝HB＝EF，∵BC＝CB+HB，∴AC＝FC+EF；（2）依题意补全图形，结论：AC＝EF﹣CF，理由如下：过D作DH⊥CB交BC的延长线于H，∵EF⊥CF，∴∠EFC＝∠DHC＝90°，在△FEC和△HDC中，∠FCE=∠DCH∠EFC=∠DHC=90°，EC=DC∴△FEC≌△HDC（AAS），∴CH＝FC，DH＝EF，∵∠DHB＝90°，∴∠B＝∠HDB＝45°，∴DH＝HB＝EF，∵BC＝HB﹣CH，∴AC＝EF﹣CF；（3）AC＝CF﹣EF．如图3，过D作DH⊥CB交CB的延长线于H，同理可证△FEC≌△HDC（AAS），∴CH＝FC，DH＝EF，∵∠DHB＝90°，∴∠B＝∠HDB＝45°，∴DH＝HB＝EF，∵BC＝CH﹣BH，∴AC＝CF﹣EF．【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．20．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为 ，线段CF、BD的数量关系为 ；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F 不重合），并说明理由．【分析】（1）当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，所以CF＝BD，∠ACF＝∠ABD．结合∠BAC＝90°，AB＝AC，得到∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°．即CF⊥BD．（2）当∠ACB＝45°时，过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC＝90°，可推出∠ACB＝∠AGC，所以AC＝AG，由（1）①可知CF⊥BD．【解答】证明：（1）①正方形ADEF中，AD＝AF，∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，又∵AB＝AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF＝BD，∠B＝∠ACF，∴∠ACB+∠ACF＝90°，即CF⊥BD．②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF得AD＝AF，∠DAF＝90度．∵∠BAC＝90°，∴∠DAF＝∠BAC，∴∠DAB＝∠FAC，又∵AB＝AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝45°，∴∠ACF＝45°，∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90度．即CF⊥BD．（2）当∠ACB＝45°时，CF⊥BD（如图）．理由：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC＝90°，∵∠ACB＝45°，∠AGC＝90°﹣∠ACB，∴∠AGC ＝90°﹣45°＝45°，∴∠ACB ＝∠AGC ＝45°，∴AC ＝AG ，∵∠DAG ＝∠FAC （同角的余角相等），AD ＝AF ，∴△GAD ≌△CAF ，∴∠ACF ＝∠AGC ＝45°，∠BCF ＝∠ACB +∠ACF ＝45°+45°＝90°，即CF ⊥BC ．【点评】本题考查三角形全等的判定和直角三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．21．（2022春•沙坪坝区校级期中）如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点D ，延长BD 交AC 于E ，G 、F 分别在BD 、BC 上，连接DF 、GF ，其中∠A ＝2∠BDF ，GD ＝DE ．（1）当∠A ＝80°时，求∠EDC 的度数；（2）求证：CF ＝FG +CE ．【分析】（1）方法一：先求∠ABC 和∠ACB 的和为100°，再根据角平分线求∠DBC +∠DCB ＝50°，再根据外角即可解决问题；方法二：在BC 上取点M ，使CM ＝CE ，证明△CDE ≌△CDM （SAS ），可得DE ＝DM ，∠DEC ＝∠DMC ，∠EDC ＝∠MDC ，证明∠BDM ＝180°―12∠ABC ﹣∠DMB ＝180°―12∠ABC ﹣∠AEB ＝∠A ＝80°，进而可以解决问题．（2）结合（1）然后证明△DGF≌△DMF（SAS），可得GF＝MF，进而可以解决问题．【解答】（1）解：方法一：∵∠A＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵BE平分∠ABC、CD平分∠ACB，∴∠DBC+∠DCB＝50°，∴∠EDC＝∠DBC+∠DCB＝50°；方法二：如图，在BC上取点M，使CM＝CE，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，在△CDE和△CDM中，CE=CM∠ECD=∠MCDCD=CD，∴△CDE≌△CDM（SAS），∴DE＝DM，∠DEC＝∠DMC，∠EDC＝∠MDC，∵GD＝DE，∴GD＝MD，∵∠DEC+∠AEB＝180°，∠DMC+∠DMF＝180°，∴∠AEB＝∠DMF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE=12∠ABC，∴∠BDM＝180°―12∠ABC﹣∠DMB＝180°―12∠ABC﹣∠AEB＝∠A＝80°，∴∠EDM＝100°，∴∠EDC＝50°；（2）证明：∵∠A＝2∠BDF，∴∠BDM＝2∠BDF，∴∠FDM＝∠BDF，在△DGF和△DMF中，DG=DM∠GDF=∠MDF，DF=DF∴△DGF≌△DMF（SAS），∴GF＝MF，∴CF＝CM+FM＝CE+GF．∴CF＝FG+CE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，解决本题的关键是根据题意准确作出辅助线得到△DGF≌△DMF．22．（2022秋•大同月考）已知△ABC和△CDE中，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AE与BD交于点F．（1）如图1．当α＝90°时．求证：①△ACE≌△BCD；②AE⊥BD；（2）如图2．当α＝60°时，直接写出∠AFB的度数为 ；（3）如图3，直接写出∠AFD的度数为 （用含α的式子表示）．【分析】（1）先根据等角的余角相等得到∠ACE＝∠BCD，再根据等腰直角三角形的性质得AC＝BC，EC＝DC，于是可根据“SAS”判断△ACE≌△BCD，然后根据相似三角形的性质得到∠CAE＝∠CBD，根据三角形的内角和即可得到结论；（2）由已知条件得到∠ACE＝∠BCD，推出△ACE≌△BCD（SAS），根据全等三角形的性质得到∠CAE ＝∠CBD，推出A，B，F，C四点共圆，根据圆周角定理即可得到结论．（3）由已知条件得到∠ACE＝∠BCD，推出△ACE≌△BCD（SAS），根据全等三角形的性质得到∠CAE ＝∠CBD即可得到结论．【解答】证明：（1）∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB+∠BCE＝∠DCE+∠BCE，即∠ACE＝∠BCD，又∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形∴AC＝BC，EC＝DC，在△ACE和△BCD中，AC=BC∠ACE=∠BCD，CE=CD∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠CAE＝∠CBD，∵∠CAE+∠EAB+∠ABC＝90°，∴∠CBD+∠EAB+∠ABC＝90°，∴∠AFB＝90°，∴AE⊥BD；（2）∵∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB﹣∠ACD＝∠DCE﹣∠ACD，即∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，AC=BC∠ACE=∠BCD，CE=CD∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠CAE＝∠CBD，∵∠CAE+∠EAB+∠ABC＝120°，∴∠CBD+∠EAB+∠ABC＝120°，∴∠AFB＝∠ACB＝60°；故答案为：60°；（3））∵∠ACB＝∠DCE＝α，∴∠ACB+∠BCE＝∠DCE+∠BCE即∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，AC=BC∠ACE=∠BCD，CE=CD∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠CAE＝∠CBD，∵∠CAE+∠EAB+∠ABC＝180°﹣α，∴∠CBD+∠EAB+∠ABC＝180°﹣α∴∠AFB＝∠ACB＝α，∴∠AFD＝180°﹣α．故答案为：180°﹣α．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判断三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应角相等，对应边相等．23．将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）求证：AF+EF＝DE；（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其它条件不变，如图③．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．【分析】（1）我们已知了三角形BED和CAB全等，那么DE＝AF+CF，因此只要求出EF＝CF就能得出本题所求的结论，可通过全等三角形来实现，连接BF，那么证明三角形BEF和BCF全等就是解题的关键，这两三角形中已知的条件有BE＝BC，一条公共边，根据斜边直角边定理，这两个直角三角形就全等了，也就得出EF＝CF，也就能证得本题的结论了；（2）解题思路和辅助线的作法与（1）完全一样；（3）结论不成立．结论：AF＝DE+EF．同（1）得CF＝EF，由△ABC≌△DBE，可得AC＝DE，AF＝AC+FC＝DE+EF．【解答】（1）证明：连接BF（如图①），∵△ABC≌△DBE（已知），∴BC＝BE，AC＝DE．∵∠ACB＝∠DEB＝90°，∴∠BCF＝∠BEF＝90°．在Rt△BFC和Rt△BFE中，BF=BFBC=BE∴Rt△BFC≌Rt△BFE（HL）．∴CF＝EF．又∵AF+CF＝AC，∴AF+EF＝DE．（2）解：画出正确图形如图②∴（1）中的结论AF+EF＝DE仍然成立；（3）不成立．结论：AF＝DE+EF．证明：连接BF，∵△ABC≌△DBE，∴BC＝BE，∵∠ACB＝∠DEB＝90°，∴△BCF和△BEF是直角三角形，在Rt△BCF和Rt△BEF中，BC=BEBF=BF，∴△BCF≌△BEF（HL），∴CF＝EF；∵△ABC≌△DBE，∴AC＝DE，∴AF＝AC+FC＝DE+EF．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，通过构建全等三角形来得出简单的线段相等是解题的关键．24．（2023春•沙坪坝区校级期中）如图，在△ABC和△DCE中，∠ACB＝90°，CA＝CB，∠DCE＝90°，CD＝CE．（1）如图1，当点D在BC上时，CB＝10，AE＝4，则S四边形ABDE＝ ；（2）如图2，当B、C、E三点共线时，D在AC上，连接BD、AE，F是AD的中点，过点A作AG∥BD，交BF的延长线于点G，求证：AG＝AE且AG⊥AE；（3）如图3，B、C、E三点共线，且∠DBE＝15°，将线段AE绕点A以每秒10°的速度逆时针旋转，同时线段BE绕点E以每秒20°的速度顺时针旋转180°后立即以相同速度回转，设转动时间为t秒，当BE回到出发时的位置时同时停止旋转，则在转动过程中．当BE和AE互相平行或者垂直时，请直接写出此时t的值．【分析】（1）根据S四边形ABDE ＝S△ABC﹣S△DCE，求解即可．（2）如图2中，延长BD交AE于T．证明△BCD≌△ACE（SAS），推出BD＝AE，∠CBD＝∠CAE，推出BD⊥AE，证明△AFG≌△DFB（AAS），推出AG＝BD，可得结论．（3）从开始到结束出现平行，垂直，平行，平行四种情形，分别构建方程求解即可．【解答】（1）解：如图1中，∵CA＝CB＝10，AE＝4，∴CE＝CD＝AC﹣AE＝10﹣4＝6，∴S四边形ABDE ＝S△ABC﹣S△DCE=12×10×10―12×6×6＝32，故答案为：32．（2）证明：如图2中，延长BD 交AE 于T ．∵∠BCD ＝∠ACE ＝90°，BC ＝AC ，DC ＝EC ，∴△BCD ≌△ACE （SAS ），∴BD ＝AE ，∠CBD ＝∠CAE ，∵∠BDC ＝∠ADT ，∴∠BCD ＝∠ATD ＝90°，∴BD ⊥AE ，∵AG ∥BD ，∴∠G ＝∠FBD ，∵AF ＝FD ，∠AFG ＝∠DFB ，∴△AFG ≌△DFB （AAS ），∴AG ＝BD ，∴AG ＝AE ，∵AG ∥BD ，BD ⊥AE ，∴AG ⊥AE ．（3）由题意，第一次平行时，10t ＝75°﹣20t ，解得t =52，第一次垂直时，10t +20t ﹣75°＝90°，解得t =112，第二次平行时，20t ﹣75°+10t ＝180°．解得y =516，第三次平行时，105°﹣（20t ﹣180°）+10t ＝180°，解得t =212，综上所述，满足条件的t 的值为52或112或516或212．【点评】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形的面。
八年级上册数学 【几何模型三角形轴对称】试卷中考真题汇编[解析版]
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八年级上册数学【几何模型三角形轴对称】试卷中考真题汇编[解析版]一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝20cm，BC＝16cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以6cm/s的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？【答案】（1）①△BPD≌△CQP，理由见解析；②V7.5Q（厘米/秒）；（2）点P、Q在AB边上相遇，即经过了803秒，点P与点Q第一次在AB边上相遇．【解析】【分析】（1）①先求出t=1时BP=BQ=6，再求出PC=10=BD，再根据∠B＝∠C证得△BPD≌△CQP；②根据V P≠V Q，使△BPD与△CQP全等，所以CQ＝BD＝10，再利用点P的时间即可得到点Q的运动速度；（2）根据V Q＞V P，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程，设运动x秒，即可列出方程1562202x x，解方程即可得到结果.【详解】（1）①因为t＝1（秒），所以BP＝CQ＝6（厘米）∵AB＝20，D为AB中点，∴BD＝10（厘米）又∵PC＝BC﹣BP＝16﹣6＝10（厘米）∴PC＝BD∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BPD与△CQP中，BP CQ B C PC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△BPD ≌△CQP （SAS ），②因为V P ≠V Q ，所以BP ≠CQ ，又因为∠B ＝∠C ，要使△BPD 与△CQP 全等，只能BP ＝CP ＝8，即△BPD ≌△CPQ ，故CQ ＝BD ＝10．所以点P 、Q 的运动时间84663BP t （秒）， 此时107.543Q CQ V t （厘米/秒）．（2）因为V Q ＞V P ，只能是点Q 追上点P ，即点Q 比点P 多走AB +AC 的路程设经过x 秒后P 与Q 第一次相遇，依题意得1562202x x ， 解得x=803(秒) 此时P 运动了8061603（厘米） 又因为△ABC 的周长为56厘米，160＝56×2+48， 所以点P 、Q 在AB 边上相遇，即经过了803秒，点P 与点Q 第一次在AB 边上相遇． 【点睛】此题考查三角形全等的证明，三角形与动点相结合的解题方法，再证明三角形全等时注意顶点的对应关系是证明的关键.2．(1)如图1：在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =120°，∠B =∠ADC =90°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点．且∠EAF =60°．探究图中线段EF ，BE ，FD 之间的数量关系．小明同学探究的方法是：延长FD 到点G ．使DG =BE ．连结AG ，先证明△ABE ≌△ADG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得出结论，他的结论是 （直接写结论，不需证明）；(2)如图2，若在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B +∠D =180°，E 、F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF 是∠BAD 的二分之一，上述结论是否仍然成立，并说明理由．(3)如图3，四边形ABCD 是边长为5的正方形，∠EBF =45°，直接写出三角形DEF 的周长．【答案】（1）EF=BE+DF．（2）成立，理由见解析；（3）10.【解析】【分析】（1）如图1，延长FD到G，使得DG=DC,先证△ABE≌△ADG，得到AE=AG，∠BAE=∠DAG，进一步根据题意得∠EAF=∠GAF，再证明△AEF≌△AGF，得到EF=FG，最后运用线段的和差证明即可.(2)如图2，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，证得△ABE≌△ADG，得到AE=AG，∠BAE=∠DAG，再结合题意得到∠EAF=∠GAF，再证明△AEF≌△AGF，得到EF=FG，最后运用线段的和差证明即可.（3）如图3，延长DC到点G，截取CG=AE，连接BG，先证△AEB≌△CGB，得到BE=BG，∠ABE=∠CBG，结合已知条件得∴∠CBF+∠CBG=45°，再证明△EBF≌△GBF，得到EF=FG，最后求三角形的周长即可.【详解】解答：（1）解：如图1，延长FD到G，使得DG=DC在△ABE和△ADG中，∵DC DGB ADG AB AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=12∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵EAF GAFAF AF⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；故答案为：EF=BE+DF．（2）解：结论EF=BE+DF仍然成立；理由：如图2，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG在△ABE和△ADG中，∵DG BEB ADGAB AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=12∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵AE AGEAF GAFAF AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；（3）解：如图3，延长DC到点G，截取CG=AE，连接BG，在△AEB与△CGB中，∵A BOG AF BF ⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEB ≌△CGB （SAS ），∴BE =BG ，∠ABE =∠CBG ．∵∠EBF =45°，∠ABC =90°，∴∠ABE +∠CBF =45°，∴∠CBF +∠CBG =45°．在△EBF 与△GBF 中，∵BE BG EBF GBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EBF ≌△GBF （SAS ），∴EF =GF ，∴△DEF 的周长=EF +ED +CF =AE +CF +DE +DF =AD +CD =10．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，灵活运用全等三角形的性质和判定是解答本题的关键.但本题分为三问，难度不断增加，对提升思维能力大有好处.3．（1）已知△ABC 是等腰三角形，其底边是BC,点D 在线段AB 上，E 是直线BC 上一点，且∠DEC=∠DCE,若∠A 等于60°（如图①）.求证：EB=AD ；（2）若将（1）中的“点D 在线段AB 上”改为“点D 在线段AB 的延长线上”，其他条件不变（如图②），（1）的结论是否成立，并说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）作DF∥BC 交AC 于F ，由平行线的性质得出∠ADF=∠ABC，∠AFD=∠ACB，∠FDC=∠DCE，证明△ABC 是等边三角形，得出∠ABC=∠ACB=60°，证出△ADF 是等边三角形，∠DFC=120°，得出AD=DF ，由已知条件得出∠FDC=∠DEC，ED=CD ，由AAS 证明△DBE≌△CFD，得出EB=DF ，即可得出结论；（2）作DF∥BC 交AC 的延长线于F ，同（1）证出△DBE≌△CFD，得出EB=DF ，即可得出结论.试题解析：（1）证明：如图，作DF ∥BC 交AC 于F ，则△ADF 为等边三角形∴AD=DF ，又∵ ∠DEC=∠DCB ，∠DEC+∠EDB=60°，∠DCB+∠DCF=60° ，∴ ∠EDB=∠DCA ，DE=CD ，在△DEB 和△CDF 中，120EBD DFC EDB DCF DE CD ，，∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEB ≌△CDF ，∴BD=DF ，∴BE=AD .(2). EB=AD 成立；理由如下：作DF ∥BC 交AC 的延长线于F ，如图所示：同（1）得：AD=DF ，∠FDC=∠ECD ，∠FDC=∠DEC ，ED=CD ，又∵∠DBE=∠DFC=60°，∴△DBE ≌△CFD （AAS ），∴EB=DF ，∴EB=AD.点睛：此题主要考查了三角形的综合，考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，综合性强，有一定的难度，证明三角形全等是解决问题的关键.4．（1）如图1，在Rt△ABC 中，AB AC=，D 、E是斜边BC上两动点，且∠DAE=45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90后，得到△AFC，连接DF.（1）试说明：△AED≌△AFD；（2）当BE=3,CE=9时，求∠BCF的度数和DE的长；（3）如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，D是斜边BC所在直线上一点，BD=3，BC=8，求DE2的长.【答案】（1）略（2）∠BCF=90° DE=5 （3）34或130【解析】试题分析：()1由ABE AFC≌，得到AE AF=，BAE CAF∠=∠，45,EAD∠=45,BAE CAD∴∠+∠=45,CAF CAD∴∠+∠=即45.DAF∠=EAD DAF∠=∠，从而得到.AED AFD≌()2由△AED AFD≌得到ED FD=，再证明90DCF∠=︒，利用勾股定理即可得出结论.()3过点A作AH BC⊥于H,根据等腰三角形三线合一得，14.2AH BH BC===1DH BH BD=-=或7,DH BH BD=+=求出AD的长，即可求得2DE.试题解析：()1ABE AFC≌，AE AF=，BAE CAF∠=∠，45,EAD∠=90,BAC∠=45,BAE CAD∴∠+∠=45,CAF CAD∴∠+∠=即45.DAF∠=在AED和AFD中，{AF AEEAF DAEAD AD，=∠=∠=.AED AFD∴≌()2AED AFD≌，ED FD∴=，,90.AB AC BAC =∠=︒45B ACB ∴∠=∠=︒，45ACF ，∠=︒ 90.BCF ∴∠=︒设.DE x =,9.DF DE x CD x ===- 3.FC BE ==222,FC DC DF +=()22239.x x ∴+-=解得： 5.x =故 5.DE = ()3过点A 作AH BC ⊥于H ,根据等腰三角形三线合一得，1 4.2AH BH BC === 1DH BH BD =-=或7,DH BH BD =+= 22217AD AH DH =+=或65.22234DE AD ==或130.点睛：D 是斜边BC 所在直线上一点,注意分类讨论.5．如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，过D 点的直线GF 交AC 于F ，交AC 的平行线BG 于G 点，DE ⊥DF ，交AB 于点E ，连结EG 、EF ．（1）求证：BG ＝CF ；（2）请你判断BE +CF 与EF 的大小关系，并说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）BE +CF ＞EF ，证明详见解析【解析】【分析】（1）先利用ASA 判定△BGD ≅CFD ，从而得出BG=CF ；（2）利用全等的性质可得GD=FD ，再有DE ⊥GF ，从而得到EG=EF ，两边之和大于第三边从而得出BE+CF ＞EF ．【详解】解：（1）∵BG ∥AC ，∴∠DBG ＝∠DCF ．∵D 为BC 的中点，∴BD ＝CD又∵∠BDG ＝∠CDF ，在△BGD 与△CFD 中，∵DBG DCF BD CD BDG CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BGD ≌△CFD （ASA ）．∴BG ＝CF ．（2）BE +CF ＞EF ．∵△BGD ≌△CFD ，∴GD ＝FD ，BG ＝CF ．又∵DE ⊥FG ，∴EG ＝EF （垂直平分线到线段端点的距离相等）．∴在△EBG 中，BE +BG ＞EG ，即BE +CF ＞EF ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，要注意判定三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、AAS 、ASA 、HL ．6．如图①，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AE 是过A 点的一条直线，且B 、C 在AE 的异侧，BD AE ⊥于D ，CE AE ⊥于E .（1）求证：BD DE CE =+.（2）若将直线AE 绕点A 旋转到图②的位置时（BD CE <），其余条件不变，问BD 与DE 、CE 的关系如何？请予以证明.【答案】（1）见解析；（2）BD=DE-CE ，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据已知利用AAS 判定△ABD ≌△CAE 从而得到BD=AE ，AD=CE ，因为AE=AD+DE ，所以BD=DE+CE ；（2）根据已知利用AAS 判定△ABD ≌△CAE 从而得到BD=AE ，AD=CE ，因为AD+AE=BD+CE ，所以BD=DE-CE ．【详解】解：（1）∵∠BAC=90°，BD ⊥AE ，CE ⊥AE ，∴∠BDA=∠AEC=90°，∵∠ABD+∠BAE=90°，∠CAE+∠BAE=90°∴∠ABD=∠CAE ，∵AB=AC ，在△ABD 和△CAE 中，BDA AEC ABD CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△CAE （AAS ），∴BD=AE ，AD=CE ，∵AE=AD+DE ，∴BD=DE+CE ；（2）BD 与DE 、CE 的数量关系是BD=DE-CE ，理由如下：∵∠BAC=90°，BD ⊥AE ，CE ⊥AE ，∴∠BDA=∠AEC=90°，∴∠ABD+∠DAB=∠DAB+∠CAE ，∴∠ABD=∠CAE ，∵AB=AC ，在△ABD 和△CAE 中，BDA AEC ABD CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△CAE （AAS ），∴BD=AE ，AD=CE ，∴AD+AE=BD+CE ，∵DE=BD+CE ，∴BD=DE-CE ．【点睛】此题主要考查全等三角形的判定和性质，常用的判定方法有SSS ，SAS ，AAS ，HL 等．这种类型的题目经常考到，要注意掌握．7．如图1，在长方形ABCD 中，AB=CD=5 cm ， BC=12 cm ，点P 从点B 出发，以2cm/s 的速度沿BC 向点C 运动，设点P 的运动时间为ts ．（1）PC=___cm ；(用含t 的式子表示)（2）当t 为何值时，△ABP ≌△DCP ？．（3）如图2，当点P 从点B 开始运动，此时点Q 从点C 出发，以vcm/s 的速度沿CD 向点D 运动，是否存在这样的v 值，使得某时刻△ABP 与以P ，Q ，C 为顶点的直角三角形全等？若存在，请求出v 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()122t -；（2）3t =；（3）存在，2v =或53v =【解析】【分析】（1）根据P 点的运动速度可得BP 的长，再利用BC 的长减去BP 的长即可得到PC 的长； （2）先根据三角形全等的条件得出当BP=CP ，列方程求解即得；（3）先分两种情况：当BP=CQ ，AB=PC 时，△ABP ≌△PCQ ；或当BA=CQ ，PB=PC 时，△ABP ≌△QCP ，然后分别列方程计算出t 的值，进而计算出v 的值．【详解】解：（1）当点P 以2cm/s 的速度沿BC 向点C 运动时间为ts 时2BP tcm =∵12BC cm =∴()122PC BC BP t cm =-=-故答案为：()122t -（2）∵ABP DCP ∆≅∆∴BP CP =∴2122t t =-解得3t =．（3）存在，理由如下：①当BP=CQ ，AB=PC 时，△ABP ≌△PCQ ，∴PC=AB=5∴BP=BC-PC=12-5=7∵2BP tcm =∴2t=7解得t=3.5∴CQ=BP=7，则3.5v=7解得2v =．②当BA CQ =，PB PC =时，ABP QCP ∆≅∆∵12BC cm = ∴162BP CP BC cm === ∵2BP tcm =∴26t =解得3t =∴3CQ vcm = ∵5AB CQ cm ==∴35v = 解得53v =． 综上所述，当2v =或53v =时，ABP ∆与以P ，Q ，C 为顶点的直角三角形全等． 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质和矩形的性质，解题关键是将动态情况化为某一状态情况，并以这一状态为等量关系建立方程求解．8．如图1，Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D 是BC 边的中点连接AD ，则易证AD ＝BD ＝CD ，即AD ＝12BC ；如图2，若将题中AB ＝AC 这个条件删去，此时AD 仍然等于12BC ． 理由如下：延长AD 到H ，使得AH ＝2AD ，连接CH ，先证得△ABD ≌△CHD ，此时若能证得△ABC ≌△CHA ，即可证得AH ＝BC ，此时AD ＝12BC ，由此可见倍长过中点的线段是我们三角形证明中常用的方法．（1）请你先证明△ABC ≌△CHA ，并用一句话总结题中的结论；（2）现将图1中△ABC 折叠（如图3），点A 与点D 重合，折痕为EF ，此时不难看出△BDE 和△CDF 都是等腰直角三角形．BE ＝DE ，CF ＝DF ．由勾股定理可知DE 2+DF 2＝EF 2，因此BE 2+CF 2＝EF 2，若图2中△ABC 也进行这样的折叠（如图4），此时线段BE 、CF 、EF 还有这样的关系式吗？若有，请证明；若没有，请举反例．（3）在（2）的条件下，将图3中的△DEF 绕着点D 旋转（如图5），射线DE 、DF 分别交AB 、AC 于点E 、F ，此时（2）中结论还成立吗？请说明理由．图4中的△DEF 也这样旋转（如图6），直接写出上面的关系式是否成立．【答案】（1）详见解析；（2）有这样分关系式；（3）EF2＝BE2+CF2.【解析】【分析】（1）想办法证明AB∥CH，推出∠BAC＝∠ACH，再利用SAS证明△ABC≌△CHA即可．（2）有这样分关系式．如图4中，延长ED到H山顶DH＝DE．证明△EDB≌△HD （SAS），推出∠B＝∠HCD，BE＝CH，∠FCH＝90°，利用勾股定理，线段的垂直平分线的性质即可解决问题．（3）图5，图6中，上面的关系式仍然成立．【详解】（1）证明：如图2中，∵BD＝DC，∠ADB＝∠HDC，AD＝HD，∴△ADB≌△HDC（SAS），∴∠B＝∠HCD，AB＝CH，∴AB∥CH，∴∠BAC+∠ACH＝180°，∵∠BAC＝90°，∴∠ACH＝∠BAC＝90°，∵AC＝CA，∴△BAC≌△HCA（SAS），∴AH＝BC，∴AD＝DH＝BD＝DC，∴AD＝12 BC．结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（2）解：有这样分关系式．理由：如图4中，延长ED 到H 山顶DH ＝DE ．∵ED ＝DH ，∠EDB ＝∠HDC ，DB ＝DC ，∴△EDB ≌△HDC （SAS ），∴∠B ＝∠HCD ，BE ＝CH ，∵∠B +∠ACB ＝90°，∴∠ACB +∠HCD ＝90°，∴∠FCH ＝90°，∴FH 2＝CF 2+CH 2，∵DF ⊥EH ，ED ＝DH ，∴EF ＝FH ，∴EF 2＝BE 2+CF 2．（3）图5，图6中，上面的关系式仍然成立．结论：EF 2＝BE 2+CF 2．证明方法类似（2）．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，翻折变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．9．在等边ABC 中，点D 是边BC 上一点.作射线AD ，点B 关于射线AD 的对称点为点E .连接CE 并延长，交射线AD 于点F .（1）如图，连接AE ，①AE 与AC 的数量关系是__________；②设BAF α∠=，用α表示BCF ∠的大小；（2）如图，用等式表示线段AF ，CF ，EF 之间的数量关系，并证明.【答案】(1)①AB=AE；②∠BCF=α；(2) AF-EF=CF，理由见详解.【解析】【分析】（1）①根据轴对称性，即可得到答案；②由轴对称性，得：AE=AB，∠BAF=∠EAF=α，由ABC是等边三角形，得AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和等于180°，即可求解；（2）作∠FCG=60°交AD于点G，连接BF，易证∆FCG是等边三角形，得GF=FC，再证∆ACG≅∆BCF(SAS)，从而得AG=BF，进而可得到结论.【详解】（1）①∵点B关于射线AD的对称点为点E，∴AB和AE关于射线AD的对称，∴AB=AE.故答案是：AB=AE；②∵点B关于射线AD的对称点为点E，∴AE=AB，∠BAF=∠EAF=α，∵ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，∴∠EAC=60°-2α，AE=AC，∴∠ACE=1180(602)602αα⎡⎤--=+⎣⎦，∴∠BCF=∠ACE-∠ACB=60α+-60°=α.（2）AF-EF=CF，理由如下：作∠FCG=60°交AD于点G，连接BF，∵∠BAF=∠BCF=α，∠ADB=∠CDF，∴∠ABC=∠AFC=60°，∴∆FCG是等边三角形，∴GF=FC，∵ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠ACB=60°，∴∠ACG=∠BCF=α.在∆ACG和∆BCF中，∵CA CBACG BCFCG CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∆ACG≅∆BCF(SAS)，∴AG=BF，∵点B关于射线AD的对称点为点E，∴AG=BF=EF，∵AF-AG=GF，∴AF-EF=CF.【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和三角形全等的判定和性质定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键.10．已知：4590ABC A ACB∆∠=∠=，，，点D是AC延长线上一点，且22AD=+，，M是线段CD上一个动点，连接BM，延长MB到H，使得HB MB=，以点B为中心，将线段BH逆时针旋转45，得到线段BQ，连接AQ．（1）依题意补全图形；（2）求证：ABQ AMB∠=∠；（3）点N是射线AC上一点，且点N是点M关于点D的对称点，连接BN，如果QA BN=，求线段AB的长．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3）22AB=【解析】【分析】（1）根据题意可以补全图形；（2）根据三角形外角的性质即可证明；（3）作QE ⊥AB ，根据AAS 证得QEB BCM ≅，根据HL 证得Rt QEA Rt BCN ≅，设法证得2AB CD =，设AC BC x ==，则2AB x =，2CD x =，结合已知22AD =+，构建方程即可求解. 【详解】（1）补全图形如下图所示：（2）解：∵∠ABH 是ABM 的一个外角，∴ ABH BAM AMB ∠=∠+∠∵ABH HBQ ABQ ∠=∠+∠ 又∵45HBQ BAM ∠=∠=︒∴ ABQ AMB ∠=∠（3）过Q 作QE ⊥AB ，垂足为E ， 如下图：∵⊥QE AB∴90QEB BCM ∠=∠=︒，在QEB 和BCM 中，QEB BCM QBE BMC QB BM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ QEB BCM ≅(AAS)∴EB CM =，QE BC =，在Rt QEA 和Rt BCN 中∵QE BC =，Q A BN = ∴Rt QEA Rt BCN ≅ (HL)∴AE CN CM MD DN ==++∵点N 是点M 关于点D 的对称点，∴MD DN =∴22AE CM MD EB MD =+=+∴ ()2222AB AE EB EB MD EB MD CD =+=+=+=设AC BC x ==，则AB =，CD x =，又∵2AD =， 2AD AC CD x x =+=+∴22x x += 解得：2x =∴ AB =【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识点．熟悉全等三角形的判定方法以及正确作出辅助线、构建方程是解答的关键．。
初二数学：三角形知识点总结及压轴题练习(附答案解析)
初二三角形所有知识点总结和常考题知识点：1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，13.公式与性质：⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180°⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.⑶多边形内角和公式：n边形的内角和等于(2)n-·180°⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°.⑸多边形对角线的条数：①从n边形的一个顶点出发可以引(3)n-条对角线，把多边形分成(2)n-个三角形.②n边形共有(3)2n n-条对角线.常考题：一．选择题（共13小题）1．已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（）A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm2．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（）A．90°B．100°C．130° D．180°3．已知如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（）A．315°B．270° C．180° D．135°4．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）A．B．C．D．5．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=（）A．90°﹣αB．90°+αC．D．360°﹣α6．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（）A．40°B．30°C．20°D．10°7．如图，在锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE相交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC=（）A．150°B．130°C．120° D．100°8．如图，为估计池塘岸边A、B的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA=15米，OB=10米，A、B间的距离不可能是（）A．20米B．15米C．10米D．5米9．将一个n边形变成n+1边形，内角和将（）A．减少180°B．增加90°C．增加180°D．增加360°10．一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（）A．27 B．35 C．44 D．5411．一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的（）A．内角和增加360°B．外角和增加360°C．对角线增加一条 D．内角和增加180°12．一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形13．如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为（）A．13 B．14 C．15 D．16二．填空题（共13小题）14．若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是．15．如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了米．16．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为度．17．当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为．18．若一个多边形内角和等于1260°，则该多边形边数是．19．如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=．20．一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°，则它的边数是．21．若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是．22．在△ABC中，三个内角∠A、∠B、∠C满足∠B﹣∠A=∠C﹣∠B，则∠B=度．23．如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013=度．24．如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF=度．25．用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC=度．26．平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3+∠1﹣∠2=．三．解答题（共14小题）27．如图，直线DE交△ABC的边AB、AC于D、E，交BC延长线于F，若∠B=67°，∠ACB=74°，∠AED=48°，求∠BDF的度数．28．如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于F交AC于E，∠A=35°，∠D=42°，求∠ACD的度数．29．已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE=∠CEF．30．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，（1）若∠ABE=25°，∠BAD=50°，则∠BED的度数是度．（2）在△ADC中过点C作AD边上的高CH．（3）若△ABC的面积为60，BD=5，求点E到BC边的距离．31．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E．（1）若∠B=35°，∠ACB=85°，求∠E的度数；（2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明．32．如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D，E，∠AFD=158°，求∠EDF的度数．33．如图，AD平分∠BAC，∠EAD=∠EDA．（1）∠EAC与∠B相等吗？为什么？（2）若∠B=50°，∠CAD：∠E=1：3，求∠E的度数．34．（1）如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C．△ABC中，∠A=30°，则∠ABC+∠ACB=，∠XBC+∠XCB=．（2）如图2，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ 仍然分别经过B、C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小．35．已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON 上的动点（A、B、C不与点O 重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°．（1）如图1，若AB∥ON，则①∠ABO的度数是；②当∠BAD=∠ABD时，x=；当∠BAD=∠BDA时，x=．（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．36．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD 是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．37．如下几个图形是五角星和它的变形．（1）图（1）中是一个五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E．（2）图（2）中的点A向下移到BE上时，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化说明你的结论的正确性．（3）把图（2）中的点C向上移到BD上时（1）如图（3）所示，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E）有无变化说明你的结论的正确性．38．Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α=50°，则∠1+∠2=°；（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：；（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：．39．如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．40．将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在A′处的位置．（1）如果A′落在四边形BCDE的内部（如图1），∠A′与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由．（2）如果A′落在四边形BCDE的BE边上，这时图1中的∠1变为0°角，则∠A′与∠2之间的关系是．（3）如果A′落在四边形BCDE的外部（如图2），这时∠A′与∠1、∠2之间又存在怎样的数量关系？并说明理由．初二三角形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)参考答案与试题解析一．选择题（共13小题）1．（2008•福州）已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（）A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm【分析】此题首先根据三角形的三边关系，求得第三边的取值范围，再进一步找到符合条件的数值．【解答】解：根据三角形的三边关系，得：第三边应大于两边之差，且小于两边之和，即9﹣4=5，9+4=13．∴第三边取值范围应该为：5＜第三边长度＜13，故只有B选项符合条件．故选：B．【点评】本题考查了三角形三边关系，一定要注意构成三角形的条件：两边之和＞第三边，两边之差＜第三边．2．（2013•河北）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（）A．90°B．100°C．130° D．180°【分析】设围成的小三角形为△ABC，分别用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三个内角，再利用三角形的内角和等于180°列式整理即可得解．【解答】解：如图，∠BAC=180°﹣90°﹣∠1=90°﹣∠1，∠ABC=180°﹣60°﹣∠3=120°﹣∠3，∠ACB=180°﹣60°﹣∠2=120°﹣∠2，在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∴90°﹣∠1+120°﹣∠3+120°﹣∠2=180°，∴∠1+∠2=150°﹣∠3，∵∠3=50°，∴∠1+∠2=150°﹣50°=100°．故选：B．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三个内角是解题的关键，也是本题的难点．3．（2010•西藏）已知如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（）A．315°B．270° C．180° D．135°【分析】利用三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和解答．【解答】解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，即∠1+∠2=2∠C+（∠3+∠4），∵∠3+∠4=180°﹣∠C=90°，∴∠1+∠2=2×90°+90°=270°．故选：B．【点评】此题主要考查了三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和．4．（2015•长沙）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．【解答】解：为△ABC中BC边上的高的是A选项．故选A．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键．5．（2014•达州）如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD 的平分线交于点P，则∠P=（）A．90°﹣αB．90°+αC．D．360°﹣α【分析】先求出∠ABC+∠BCD的度数，然后根据角平分线的性质以及三角形的内角和定理求解∠P的度数．【解答】解：∵四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=360°﹣（∠A+∠D）=360°﹣α，∵PB和PC分别为∠ABC、∠BCD的平分线，∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠BCD）=（360°﹣α）=180°﹣α，则∠P=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣（180°﹣α）=α．故选：C．【点评】本题考查了多边形的内角和外角以及三角形的内角和定理，属于基础题．6．（2009•荆门）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A 落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（）A．40°B．30°C．20°D．10°【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠A′DB=∠CA'D ﹣∠B，又折叠前后图形的形状和大小不变，∠CA'D=∠A=50°，易求∠B=90°﹣∠A=40°，从而求出∠A′DB的度数．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，∴∠B=90°﹣50°=40°，∵将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠CA'D=∠A，∵∠CA'D是△A'BD的外角，∴∠A′DB=∠CA'D﹣∠B=50°﹣40°=10°．故选：D．【点评】本题考查图形的折叠变化及三角形的外角性质．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．解答此题的关键是要明白图形折叠后与折叠前所对应的角相等．7．（2004•陕西）如图，在锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE相交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC=（）A．150°B．130°C．120° D．100°【分析】根据垂直的定义和四边形的内角和是360°求得．【解答】解：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠ADC=∠AEB=90°，∴∠BPC=∠DPE=180°﹣50°=130°．故选B．【点评】主要考查了垂直的定义以及四边形内角和是360度．注意∠BPC与∠DPE 互为对顶角．8．（2009•黑河）如图，为估计池塘岸边A、B的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA=15米，OB=10米，A、B间的距离不可能是（）A．20米B．15米C．10米D．5米【分析】根据三角形的三边关系，第三边的长一定大于已知的两边的差，而小于两边的和，求得相应范围，看哪个数值不在范围即可．【解答】解：∵15﹣10＜AB＜10+15，∴5＜AB＜25．∴所以不可能是5米．故选：D．【点评】已知三角形的两边，则第三边的范围是：＞已知的两边的差，而＜两边的和．9．（2014•临沂）将一个n边形变成n+1边形，内角和将（）A．减少180°B．增加90°C．增加180°D．增加360°【分析】利用多边形的内角和公式即可求出答案．【解答】解：n边形的内角和是（n﹣2）•180°，n+1边形的内角和是（n﹣1）•180°，因而（n+1）边形的内角和比n边形的内角和大（n﹣1）•180°﹣（n﹣2）•180=180°．故选：C．【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要识记的内容．10．（2015•莱芜）一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（）A．27 B．35 C．44 D．54【分析】设出题中所给的两个未知数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可，再进一步代入多边形的对角线计算方法，即可解答．【解答】解：设这个内角度数为x°，边数为n，∴（n﹣2）×180﹣x=1510，180n=1870+x=1800+（70+x），∵n为正整数，∴n=11，∴=44，故选：C．【点评】此题考查多边形的内角和计算公式以及多边形的对角线条数的计算方法，属于需要识记的知识．11．（2011春•滨城区期末）一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的（）A．内角和增加360°B．外角和增加360°C．对角线增加一条 D．内角和增加180°【分析】利用多边形的内角和定理和外角和特征即可解决问题．【解答】解：因为n边形的内角和是（n﹣2）•180°，当边数增加一条就变成n+1，则内角和是（n﹣1）•180°，内角和增加：（n﹣1）•180°﹣（n﹣2）•180°=180°；根据多边形的外角和特征，边数变化外角和不变．故选：D．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和特征．先设这是一个n 边形是解题的关键．12．（2012•滨州）一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【分析】已知三角形三个内角的度数之比，根据三角形内角和定理，可求得三角的度数，由此判断三角形的类型．【解答】解：三角形的三个角依次为180°×=30°，180°×=45°，180°×=105°，所以这个三角形是钝角三角形．故选：D．【点评】本题考查三角形的分类，这个三角形最大角为180°×＞90°．本题也可以利用方程思想来解答，即2x+3x+7x=180，解得x=15，所以最大角为7×15°=105°．13．（2014•毕节市）如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为（）A．13 B．14 C．15 D．16【分析】根据多边形内角和公式，可得新多边形的边数，根据新多边形比原多边形多1条边，可得答案．【解答】解：设新多边形是n边形，由多边形内角和公式得（n﹣2）180°=2340°，解得n=15，原多边形是15﹣1=14，故选：B．【点评】本题考查了多边形内角与外角，多边形的内角和公式是解题关键．二．填空题（共13小题）14．（2015•资阳）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是8．【分析】任何多边形的外角和是360°，即这个多边形的内角和是3×360°．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意，得（n﹣2）•180=3×360，解得n=8．则这个多边形的边数是8．【点评】已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．15．（2006•镇江）如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了120米．【分析】由题意可知小亮所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和即可求出答案．【解答】解：∵360÷30=12，∴他需要走12次才会回到原来的起点，即一共走了12×10=120米．故答案为：120．【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360°．16．（2014•随州）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为75度．【分析】根据三角形三内角之和等于180°求解．【解答】解：如图．∵∠3=60°，∠4=45°，∴∠1=∠5=180°﹣∠3﹣∠4=75°．故答案为：75．【点评】考查三角形内角之和等于180°．17．（2013•上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为30°．【分析】根据已知一个内角α是另一个内角β的两倍得出β的度数，进而求出最小内角即可．【解答】解：由题意得：α=2β，α=100°，则β=50°，180°﹣100°﹣50°=30°，故答案为：30°．【点评】此题主要考查了新定义以及三角形的内角和定理，根据已知得出β的度数是解题关键．18．（2013•遂宁）若一个多边形内角和等于1260°，则该多边形边数是9．【分析】根据多边形内角和定理及其公式，即可解答；【解答】解：∵一个多边形内角和等于1260°，∴（n﹣2）×180°=1260°，解得，n=9．故答案为9．【点评】本题考查了多边形的内角定理及其公式，关键是记住多边形内角和的计算公式．19．（2015•北京）如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°．【分析】首先根据图示，可得∠1=180°﹣∠BAE，∠2=180°﹣∠ABC，∠3=180°﹣∠BCD，∠4=180°﹣∠CDE，∠5=180°﹣∠DEA，然后根据三角形的内角和定理，求出五边形ABCDE的内角和是多少，再用180°×5减去五边形ABCDE的内角和，求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5等于多少即可．【解答】解：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=（180°﹣∠BAE）+（180°﹣∠ABC）+（180°﹣∠BCD）+（180°﹣∠CDE）+（180°﹣∠DEA）=180°×5﹣（∠BAE+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA）=900°﹣（5﹣2）×180°=900°﹣540°=360°．故答案为：360°．【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）n边形的内角和=（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）．（2）多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．20．（2014•自贡）一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°，则它的边数是9．【分析】多边形的内角和比外角和的3倍多180°，而多边形的外角和是360°，则内角和是3×360°+180°．n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个多边形的边数是n，得到方程，从而求出边数．【解答】解：根据题意，得（n﹣2）•180°=3×360°+180°，解得：n=9．则这个多边形的边数是9．故答案为：9．【点评】考查了多边形内角与外角，此题只要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程即可求解．21．（2015•徐州）若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是 9 ．【分析】首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数．【解答】解：∵正多边形的一个内角是140°，∴它的外角是：180°﹣140°=40°，360°÷40°=9．故答案为：9．【点评】此题主要考查了多边形的外角与内角，做此类题目，首先求出正多边形的外角度数，再利用外角和定理求出求边数．22．（2013•黔东南州）在△ABC 中，三个内角∠A 、∠B 、∠C 满足∠B ﹣∠A=∠C ﹣∠B ，则∠B= 60 度．【分析】先整理得到∠A +∠C=2∠B ，再利用三角形的内角和等于180°列出方程求解即可．【解答】解：∵∠B ﹣∠A=∠C ﹣∠B ，∴∠A +∠C=2∠B ，又∵∠A +∠C +∠B=180°，∴3∠B=180°，∴∠B=60°．故答案为：60．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，是基础题，求出∠A +∠C=2∠B 是解题的关键．23．（2013•达州）如图，在△ABC 中，∠A=m°，∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得∠A 2；…∠A 2012BC 和∠A 2012CD的平分线交于点A 2013，则∠A 2013= 度．【分析】利用角平分线的性质、三角形外角性质，易证∠A 1=∠A ，进而可求∠A 1，由于∠A 1=∠A ，∠A 2=∠A 1=∠A ，…，以此类推可知∠A 2013=∠A=°． 【解答】解：∵A 1B 平分∠ABC ，A 1C 平分∠ACD ，∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CA=∠ACD，∵∠A1CD=∠A1+∠A1BC，即∠ACD=∠A1+∠ABC，∴∠A1=（∠ACD﹣∠ABC），∵∠A+∠ABC=∠ACD，∴∠A=∠ACD﹣∠ABC，∴∠A1=∠A，∴∠A1=m°，∵∠A1=∠A，∠A2=∠A1=∠A，…以此类推∠A2013=∠A=°．故答案为：．【点评】本题考查了角平分线性质、三角形外角性质，解题的关键是推导出∠A1=∠A，并能找出规律．24．（2012春•金台区期末）如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF=74度．【分析】利用三角形的内角和外角之间的关系计算．【解答】解：∵∠A=40°，∠B=72°，∴∠ACB=68°，∵CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，∴∠BCE=34°，∠BCD=90﹣72=18°，∵DF⊥CE，∴∠CDF=90°﹣（34°﹣18°）=74°．故答案为：74．【点评】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；（2）三角形的内角和是180度，求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件；（3）三角形的一个外角＞任何一个和它不相邻的内角．注意：垂直和直角总是联系在一起．25．（2006•临安市）用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC= 36度．【分析】利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题．【解答】解：∵∠ABC==108°，△ABC是等腰三角形，∴∠BAC=∠BCA=36度．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三角形的性质．n边形的内角和为：180°（n﹣2）．26．（2015•河北）平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3+∠1﹣∠2=24°．【分析】首先根据多边形内角和定理，分别求出正三角形、正方形、正五边形、正六边形的每个内角的度数是多少，然后分别求出∠3、∠1、∠2的度数是多少，进而求出∠3+∠1﹣∠2的度数即可．【解答】解：正三角形的每个内角是：180°÷3=60°，正方形的每个内角是：360°÷4=90°，正五边形的每个内角是：（5﹣2）×180°÷5=3×180°÷5=540°÷5=108°，正六边形的每个内角是：（6﹣2）×180°÷6=4×180°÷6=720°÷6=120°，则∠3+∠1﹣∠2=（90°﹣60°）+（120°﹣108°）﹣（108°﹣90°）=30°+12°﹣18°=24°．故答案为：24°．【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）n边形的内角和=（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）．（2）多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．三．解答题（共14小题）27．（2013春•临清市期末）如图，直线DE交△ABC的边AB、AC于D、E，交BC延长线于F，若∠B=67°，∠ACB=74°，∠AED=48°，求∠BDF的度数．【分析】先根据三角形的内角和定理求出∠A的度数，再根据三角形外角的性质求出∠BDF的度数．【解答】解：因为∠A+∠B+∠ACB=180°，所以∠A=180°﹣67°﹣74°=39°，所以∠BDF=∠A+∠AED=39°+48°=87°．【点评】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是外角和内角的关系．28．（2013•湖州校级模拟）如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB 于F交AC于E，∠A=35°，∠D=42°，求∠ACD的度数．【分析】根据三角形外角与内角的关系及三角形内角和定理解答．【解答】解：∵∠AFE=90°，∴∠AEF=90°﹣∠A=90°﹣35°=55°，∴∠CED=∠AEF=55°，∴∠ACD=180°﹣∠CED﹣∠D=180°﹣55°﹣42°=83°．答：∠ACD的度数为83°．【点评】三角形外角与内角的关系：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．三角形内角和定理：三角形的三个内角和为180°．29．（2015秋•全椒县期中）已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE 平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE=∠CEF．【分析】题目中有两对直角，可得两对角互余，由角平分线及对顶角可得两对角相等，然后利用等量代换可得答案．【解答】证明：∵∠ACB=90°，∴∠1+∠3=90°，∵CD⊥AB，∴∠2+∠4=90°，又∵BE平分∠ABC，∴∠1=∠2，∴∠3=∠4，∵∠4=∠5，∴∠3=∠5，即∠CFE=∠CEF．【点评】本题考查了三角形角平分线、中线和高的有关知识；正确利用角的等量代换是解答本题的关键．30．（2010春•横峰县校级期末）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，（1）若∠ABE=25°，∠BAD=50°，则∠BED的度数是度．（2）在△ADC中过点C作AD边上的高CH．（3）若△ABC的面积为60，BD=5，求点E到BC边的距离．【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，∠BED=∠ABE+∠BAE=75°；（2）三角形高的基本作法：用圆规以一边两端点为圆心，任意长为半径作两段弧，交于角的两边，再以交点为圆心，用交轨法作两段弧，找到两段弧的交点，连接两个交点，并过另一端点作所成直线的平行线，叫该边所在直线一点，连接该点和另一端点，则为高线；（3）我们通过证明不难得出三角形中线将三角形分成面积相等的两个三角形，那么可依据D是BC中点，E是AD中点，求出三角形BED的面积．三角形BDE 中，E到BD的距离就是BD边上的高，有了三角形BDE的面积，BD的长也容易求得．那么高就求出来了．【解答】解：（1）∠BED=∠ABE+∠BAE=75°；（2）CH为所求的高．（3）解：如图，过点E作EF⊥BD于点F，∵AD是BC的中线∴BD=CD=S△ACD==×60=30∴S△ABD=S△ABE==×30=15同理S△BED又∵S=BD•EF=×5EF=15△BED∴EF=6即点E到BC边的距离为6．【点评】本题主要考查了基本作图中，三角形高的作法，三角形的内角和外角等知识点．31．（2015春•单县期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E．（1）若∠B=35°，∠ACB=85°，求∠E的度数；（2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明．【分析】（1）中，首先根据三角形的内角和定理求得∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求得∠DAC的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出∠ADC的度数，进一步求得∠E的度数；（2）中，根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系．【解答】解：（1）∵∠B=35°，∠ACB=85°，∴∠BAC=60°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=30°，∴∠ADC=65°，∴∠E=25°；（2）．设∠B=n°，∠ACB=m°，∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2=∠BAC，∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°，∵∠B=n°，∠ACB=m°，∴∠CAB=（180﹣n﹣m）°，∴∠BAD=（180﹣n﹣m）°，∴∠3=∠B+∠1=n°+（180﹣n﹣m）°=90°+n°﹣m°，∵PE⊥AD，∴∠DPE=90°，∴∠E=90°﹣（90°+n°﹣m°）=（m﹣n）°=（∠ACB﹣∠B）．【点评】运用了三角形的内角和定理以及角平分线的定义．特别注意第（2）小题，由于∠B和∠ACB的大小不确定，故表达式应写为两种情况．32．（2010春•朝阳区期末）如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D，E，∠AFD=158°，求∠EDF的度数．【分析】要求∠EDF的度数，只需求出∠BDE和∠FDC的度数即可，由FD⊥BC，得∠FDC=90°；而∠BDE在Rt△BDE中，故只需求出∠B的度数．因∠B=∠C，只需求出∠C的度数即可．因∠AFD是△CDF的外角，∠AFD=158°∴∠C=∠AFD﹣∠FDC=158°﹣90°=68°．【解答】解：∵FD⊥BC，所以∠FDC=90°，∵∠AFD=∠C+∠FDC，∴∠C=∠AFD﹣∠FDC=158°﹣90°=68°，∴∠B=∠C=68°．∵DE⊥AB，∵∠DEB=90°，∴∠BDE=90°﹣∠B=22°．又∵∠BDE+∠EDF+∠FDC=180°，∴∠EDF=180°﹣∠BDE﹣∠FDC=180°﹣22°﹣90°=68°．【点评】考查三角形内角和定理，外角性质，垂直定义等知识．33．（2014春•岱岳区期末）如图，AD平分∠BAC，∠EAD=∠EDA．（1）∠EAC与∠B相等吗？为什么？（2）若∠B=50°，∠CAD：∠E=1：3，求∠E的度数．【分析】（1）由于AD平分∠BAC，根据角平分线的概念可得∠BAD=∠CAD，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，结合已知条件可得∠EAC 与∠B相等；（2）若设∠CAD=x°，则∠E=3x°．根据（1）中的结论以及三角形的内角和定理及其推论列方程进行求解即可．【解答】解：（1）相等．理由如下：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD．又∠EAD=∠EDA，∴∠EAC=∠EAD﹣∠CAD=∠EDA﹣∠BAD=∠B；。
八年级全等三角形中考真题汇编[解析版]
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八年级全等三角形中考真题汇编[解析版]一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P有_____个．【答案】4【解析】【分析】由A点坐标可得OA=22，∠AOP＝45°，分别讨论OA为腰和底边，求出点P在x轴正半轴和负半轴时，△APO是等腰三角形的P点坐标即可.【详解】（1）当点P在x轴正半轴上，①如图，以OA为腰时，∵A的坐标是（2，2），∴∠AOP＝45°，OA＝22，当∠AOP为顶角时，OA=OP=22，当∠OAP为顶角时，AO=AP，∴OPA=∠AOP=45°，∴∠OAP=90°，∴OP=2OA=4，∴P的坐标是（4，0）或（22，0）.②以OA为底边时，∵点A的坐标是（2，2），∴∠AOP=45°，∵AP=OP，∴∠OAP=∠AOP=45°，∴∠OPA=90°，∴OP=2， ∴P 点坐标为（2，0）.（2）当点P 在x 轴负半轴上，③以OA 为腰时，∵A 的坐标是（2，2），∴OA ＝22，∴OA ＝OP ＝22，∴P 的坐标是（﹣22，0）．综上所述：P 的坐标是（2，0）或（4，0）或（22，0）或（﹣22，0）．故答案为：4．【点睛】此题主要考查等腰三角形的判定及坐标与图形性质的综合运用，注意分类讨论思想的运用是解题关键．2．在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，点E ，F 分别在边AB ，AC 上，将△AEF 沿直线EF 翻折，点A 落在点P 处，且点P 在直线BC 上．则线段CP 长的取值范围是____.【答案】15CP ≤≤【解析】【分析】根据点E 、F 在边AB 、AC 上，可知当点E 与点B 重合时，CP 有最小值，当点F 与点C 重合时CP 有最大值，根据分析画出符合条件的图形即可得.【详解】如图，当点E与点B重合时，CP的值最小，此时BP=AB=3，所以PC=BC-BP=4-3=1，如图，当点F与点C重合时，CP的值最大，此时CP=AC，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，根据勾股定理可得AC=5，所以CP的最大值为5，所以线段CP长的取值范围是1≤CP≤5，故答案为1≤CP≤5.【点睛】本题考查了折叠问题，能根据点E、F分别在线段AB、AC上，点P在直线BC上确定出点E、F位于什么位置时PC有最大（小）值是解题的关键.3．如图，已知正六边形 ABCDEF 的边长是 5，点 P 是 AD 上的一动点，则 PE+PF 的最小值是_____．【答案】10【解析】利用正多边形的性质，可得点B关于AD对称的点为点E，连接BE交AD于P点，那么有PB=PF，PE+PF=BE最小，根据正六边形的性质可知三角形APB是等边三角形，因此可知BE 的长为10，即PE+PF的最小值为10.故答案为10.4．如图，∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2，B3…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记a1，第2个等边三角形的边长记为a2，以此类推，若OA1＝3，则a2=_______，a2019=_______.【答案】6； 3×22018.【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及a2=2a1=6，得出a3=4a1，a4=8a1，a5=16a1…进而得出答案．【详解】解：如图，∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°-120°-30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°-60°-30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=3，∴A2B1=3，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴a2=2a1=6，a3=4a1，a4=8a1，a5=16a1，以此类推：a2019=22018a1=3×22018故答案是：6；3×22018．【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出a2=2a1=6，a3=4a1，a4=8a1，a5=16a1…进而发现规律是解题关键．5．如图，点A,B,C在同一直线上,△ABD和△BCE都是等边三角形，AE,CD分别与BD,BE交于点F,G，连接FG，有如下结论：①AE=CD ②∠BFG= 60°；③EF=CG；④AD⊥CD⑤FG ∥AC 其中，正确的结论有__________________. (填序号)【答案】①②③⑤【解析】【分析】易证△ABE≌△DBC，则有∠BAE＝∠BDC，AE＝CD，从而可证到△ABF≌△DBG，则有AF＝DG，BF＝BG，由∠FBG＝60°可得△BFG是等边三角形，证得∠BFG＝∠DBA＝60°，则有FG∥AC，由∠CDB≠30°，可判断AD与CD的位置关系．【详解】∵△ABD和△BCE都是等边三角形，∴BD＝BA＝AD，BE＝BC＝EC，∠ABD＝∠CBE＝60°．∵点A、B、C在同一直线上，∴∠DBE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠ABE＝∠DBC＝120°．在△ABE和△DBC中，∵BD BAABE DBCBE BC∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△DBC，∴∠BAE＝∠BDC，∴AE＝CD ，∴①正确；在△ABF和△DBG中，60BAF BDGAB DBABF DBG∠∠∠∠=⎧⎪=⎨⎪==︒⎩，∴△ABF≌△DBG，∴AF＝DG，BF＝BG．∵∠FBG＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴△BFG是等边三角形，∴∠BFG=60°，∴②正确；∵AE＝CD，AF＝DG，∴EF=CG；∴③正确；∵∠ADB＝60°，而∠CDB=∠EAB≠30°，∴AD与CD不一定垂直，∴④错误．∵△BFG是等边三角形，∴∠BFG=60°，∴∠GFB＝∠DBA＝60°，∴FG∥AB，∴⑤正确．故答案为①②③⑤．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、平行线的判定和性质，证得△ABE≌△DBC是解题的关键．6．如图，在Rt ABC△中，AC BC=，D是线段AB上一个动点，把ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A'处，当A D'平行于Rt ABC△的直角边时，ADC∠的大小为________．【答案】112.5︒或67.5︒【解析】【分析】当A D'平行于Rt ABC△的直角边时，有两种情况，一是当A D BC'时，二是当A D AC'时，两种情况根据折叠的性质及等腰三角形的性质进行角度的计算即可．【详解】如图1，当点D在线段AB上，且A D BC'时，45A DB B'∠=∠=︒，45180ADC A DC'∴∠+∠-=︒︒，解得112.5A DC ADC'∠=∠=︒.图1如图2，当A D AC '时，45A DB A '∠=∠=︒，45180ADC A DC '∴∠+∠+=︒︒，解得67.5A DC ADC '∠=∠=︒.图2【点睛】本题考查了翻折变换的性质，等腰直角三角形的性质，掌握折叠的性质是解题关键．7．如图,在ABC 中, 90,ACB ABD ︒∠=是ABC 的轴对称图形,点E 在AD 上,点F 在AC 的延长线上.若点B 恰好在EF 的垂直平分线上,并且5AE =,13AF =,则DE =______．【答案】4．【解析】【分析】连接BE ，BF ，根据轴对称的性质可得△ABD ≌△ACB ，进而可得DB=CB ，AD=AC ，∠D=∠BCA=90°，再利用线段垂直平分线的性质可得BE=BF ，然后证明Rt △DBE ≌Rt △CBF 可得DE=CF ，然后可得ED 长．【详解】解：连接BE ，BF ，∵△ABD 是△ABC 的轴对称图形，∴△ABD ≌△ACB ，∴DB=CB ，AD=AC ，∠D=∠BCA=90°，∴∠BCF=90°，∵点B 恰好在EF 的垂直平分线上，∴BE=BF ，在Rt △DBE 和Rt △CBF 中BD BC EB FB =⎧⎨=⎩，∴Rt △DBE ≌Rt △CBF （HL ），∴DE=CF ，设DE=x ，则CF=x ，∵AE=5，AF=13，∴AC=AD=5+x ，∴AF=5+2x ，∴5+2x=13，∴x=4，∴DE=4，故答案为：4．【点睛】此题主要考查了轴对称和线段垂直平分线的性质，关键是掌握成轴对称的两个图形全等．8．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 在BC 的延长线上，G 是AC 上一点，且CG ＝CD ，F 是GD 上一点，且DF ＝DE ．若∠A ＝100°，则∠E 的大小为_____度．【答案】10【解析】【分析】由DF=DE ，CG=CD 可得∠E=∠DFE ，∠CDG=∠CGD ，再由三角形的外角的意义可得∠GDC=∠E+∠DFE=2∠E ，∠ACB=∠CDG+∠CGD=2∠CD G ，进而可得∠ACB=4∠E ，最后代入数据即可解答.【详解】解：∵DF ＝DE ，CG ＝CD ，∴∠E ＝∠DFE ，∠CDG ＝∠CGD ，∵GDC ＝∠E +∠DFE ，∠ACB ＝∠CDG +∠CGD ，∴GDC ＝2∠E ，∠ACB ＝2∠CDG ，∴∠ACB ＝4∠E ，∵△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝100°，∴∠ACB ＝40°，∴∠E ＝40°÷4＝10°．故答案为10．【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及三角形外角的定义，解题的关键是灵活运用等腰三角形的性质和三角形的外角的定义确定各角之间的关系.9．如图，已知AB AC =，AD 平分BAC ∠，60DEB EBC ∠=∠=︒，若3BE =，3DE =，则BC =____________．【答案】33+【解析】【分析】延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，作DF ∥BC 于点F.由已知条件推出△BEM 是等边三角形，△FDE 是等边三角形，在△DNM 中求出NM 的长度，即可求出BC 的长度.【详解】如图，延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，作DF ∥BC 于点F ，∵AB AC =，AD 平分BAC ∠，∴AN ⊥BC ，BN=CN ，∵60DEB EBC ∠=∠=︒，∴△BEM 是等边三角形，∴△FDE 是等边三角形，∵3BE =，3DE =33DM =-∵△BEM 是等边三角形，∴∠EMB=60°，∵AN ⊥BC ，∴∠DNM=90°，∴∠NDM=30°，∴1322NM DM ==，∴3BN BM NM =-=-=∴23BC BN ==+【点睛】本题考查了等边三角形的性质，解题的关键是作出辅助线构造等边三角形.10．在下列结论中：①有三个角是60︒的三角形是等边三角形；②有一个外角是120︒的等腰三角形是等边三角形；③有一个角是60︒，且是轴对称的三角形是等边三角形；④有一腰上的高也是这腰上的中线的等腰三角形是等边三角形．其中正确的是__________.【答案】①②③④【解析】【分析】依据等边三角形的定义，含有一个600角的等腰三角形是等边三角形判断即可.【详解】有三个角是600的三角形是等边三角形，故①正确；外角是1200时，邻补角为600，即有一个内角是600的等腰三角形是等边三角形，故②正确；轴对称的三角形是等腰三角形，且含有一个600角，因此是等边三角形，故③正确；一腰上的高也是中线，故底边等于腰长，所以此三角形是等边三角形，故④正确.故此题正确的是①②③④.【点睛】此题考查等边三角形的判定方法，熟记方法才能熟练运用.二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）11．已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为( )A B C ．32 D ．不能确定【答案】B【解析】已知，如图，P 为等边三角形内任意一点，PD 、PE 、PF 分别是点P 到边AB 、BC 、AC 的距离，连接AP 、BP 、CP ，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，已知等边三角形的边长为3，可求得高线AH S △ABC =12BC •AH =12AB •PD+12BC•PE +12AC •PF ，所以12×3×AH =12×3×PD +12×3×PE +12×3×PF ，即可得PD +PE +PF =AH =332，即点P 到三角形三边距离之和为332．故选B.点睛：本题考查了等边三角形的性质，根据三角形的面积求点P 到三边的距离之和等于等边三角形的高是解题的关键，作出图形更形象直观．12．如图，坐标平面内一点A(2，－1)，O 为原点，P 是x 轴上的一个动点，如果以点P 、O 、A 为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P 的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】 以O 点为圆心，OA 为半径作圆与x 轴有两交点，这两点显然符合题意．以A 点为圆心，OA 为半径作圆与x 轴交与两点（O 点除外）．以OA 中点为圆心OA 长一半为半径作圆与x 轴有一交点．共4个点符合，13．在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D E 、是AB 边上两点，且CE 垂直平分,AD CD 平分,6BCE AC cm ∠=，则BD 的长为（ ）A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．9cm【答案】A【解析】【分析】 根据CE 垂直平分AD ，得AC=CD ，再根据等腰在三角形的三线合一，得ACE ECD∠=∠，结合角平分线定义和90ACB︒∠=，得30ACE ECD DCB︒∠=∠=∠=，则BD CD AC==．【详解】∵CE垂直平分AD∴AC=CD＝6cm，ACE ECD∠=∠∵CD平分BCE∠∴BCD ECD∠=∠∴30ACE ECD DCB︒∠=∠=∠=∴60A︒∠=∴30B BCD︒∠==∠∴6CD BD AC cm===故选：A【点睛】本题考查的知识点主要是等腰三角形的性质的“三线合一”性质定理及判定“等角对等边”，熟记并能熟练运用这些定理是解题的关键．14．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC 于F，AD交CE于G．则下列结论中错误的是( )A．AD＝BE B．BE⊥ACC．△CFG为等边三角形D．FG∥BC【答案】B【解析】试题解析：A.ABC和CDE△均为等边三角形，60AC BC EC DC ACB ECD∴==∠=∠=︒，，，在ACD与BCE中，{AC BCACD BCECD CF=∠=∠=，ACD BCE∴≌，AD BE∴=，正确.B.据已知不能推出F是AC中点，即AC和BF不垂直，所以AC BE⊥错误，故本选项符合题意.C.CFG是等边三角形，理由如下：180606060ACG BCA∠=︒-︒-︒=︒=∠，ACD BCE≌，CBE CAD∴∠=∠，在ACG和BCF中，{CAG CBFAC BCBCF ACG∠=∠=∠=∠，ACG BCF∴≌，CG CH∴=，又∵∠ACG=60°CFG∴是等边三角形，正确.D.CFG是等边三角形，60CFG ACB∴∠︒=∠﹦，.FG BC∴正确.故选B.15．如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，a），等腰直角三角形ODC的斜边经过点B，OE⊥AC，交AC于E，若OE＝2，则△BOD与△AOE的面积之差为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】【分析】首先证明△DOB≌△COA（SAS），推出S△DOB﹣S△AOE=S△EOC，再证明△OEC是等腰直角三角形即可解决问题．【详解】∵A（a，0），B（0，a），∴OA=OB．∵△ODC是等腰直角三角形，∴OD=OC，∠D=∠DCO=45°．∵∠DOC=∠BOA=90°，∴∠DOB=∠COA．在△DOB和△COA中，∵OD=OC，∠DOB=∠COA，OB=OA，∴△DOB≌△COA（SAS），∴∠D=∠OCA=45°，S△DOB﹣S△AOE=S△EOC．∵OE⊥AC，∴∠OEC=90°，∴△CEO是等腰直角三角形，∴OE=EC=2，∴S△DOB﹣S△AOE=S△EOC12=⨯2×2=2．故选A．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明△OEC是等腰直角三角形．16．如图，△ABC、△CDE都是等腰三角形，且CA＝CB, CD＝CE,∠ACB＝∠DCE＝α,AD,BE相交于点O，点M,N分别是线段AD,BE的中点，以下4个结论:①AD＝BE;②∠DOB＝180°－α;③△CMN是等边三角形；④连OC,则OC平分∠AOE.正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④【答案】B【解析】【分析】①根据全等三角形的判定定理得到△ACD≌△BCE（SAS），由全等三角形的性质得到AD=BE；故①正确；②设CD与BE交于F，根据全等三角形的性质得到∠ADC=∠BEC，得到∠DOE=∠DCE=α，根据平角的定义得到∠BOD=180°-∠DOE=180°-α，故②正确；③根据全等三角形的性质得到∠CAD=∠CBE，AD=BE，AC=BC根据线段的中点的定义得到AM=BN，根据全等三角形的性质得到CM=CN，∠ACM=∠BCN，得到∠MCN=α，推出△MNC不一定是等边三角形，故③不符合题意；④过C作CG⊥BE于G，CH⊥AD于H，根据全等三角形的性质得到CH=CG，根据角平分线的判定定理即可得到OC平分∠AOE，故④正确．【详解】解：①∵CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中AC BCACD BCECD CE⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE；故①正确；②设CD与BE交于F，∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC，∵∠CFE=∠DFO，∴∠DOE=∠DCE=α，∴∠BOD=180°-∠DOE=180°-α，故②正确；③∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，AD=BE，AC=BC又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，∴AM=12AD，BN=12BE，∴AM=BN，在△ACM和△BCN中AC BCCAM CBNAM BN⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝∴△ACM≌△BCN（SAS），∴CM=CN，∠ACM=∠BCN，又∠ACB=α，∴∠ACM+∠MCB=α，∴∠BCN+∠MCB=α，∴∠MCN=α，∴△MNC不一定是等边三角形，故③不符合题意；④过C作CG⊥BE于G，CH⊥AD于H，∴∠CHD=∠ECG=90°，∵∠CEG=∠CDH，CE=CD，∴△CGE≌△CHD（AAS），∴CH=CG，∴OC平分∠AOE，故④正确，故选：B．【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定等知识点的应用，解此题的关键是根据性质进行推理，此题综合性比较强，有一定的代表性．17．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB的中点，E为线段AD上一点，过E点的线段FG交CD的延长线于G点，交AC于F点，且EG＝AE，分别延长CE，BG交于点H，若EH平分∠AEG，HD平分∠CHG则下列说法：①∠GDH＝45°；②GD＝ED；③EF＝2DM；④CG＝2DE+AE，正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④【答案】B【解析】【分析】首先证明△AEC≌△GEC（SAS），推出CA=CG，∠A=∠CGE=45°，推出DE=DG，故②正确；再证明△EDC≌△GDB，推出∠CED=∠BGD，ED=GD，由三角形外角的性质得出∠HDG=∠HDE，进而得出∠GDH=∠EDH=45°，即可判断①正确；通过证明△EDC和△EMD是等腰直角三角形，得到ED2MD，再通过证明△EFC≌△EDC，得到EF=ED，从而可判断③错误；由CG=CD+DG，CD=AD，ED=GD，变形即可判断④正确．【详解】∵AC=BC，∠ACB=90°，AD=DB，∴CD⊥AB，CD=AD=DB，∠A=∠CBD=45°．∵EH平分∠AEG，∴∠AEH=∠GEH．∵∠AEH+∠AEC=180°，∠GEH+∠CEG=180°，∴∠AEC=∠CEG．∵AE=GE，EC=EC，∴△AEC≌△GEC（SAS），∴CA=CG，∠A=∠CGE=45°．∵∠EDG=90°，∴∠DEG=∠DGE=45°，∴DE=DG，∠AEF=∠DEG=∠A=45°，故②正确；∵DE=DG，∠CDE=∠BDG=90°，DC=DB，∴△EDC≌△GDB（SAS），∴∠CED=∠BGD，ED=GD．∵HD平分∠CHG，∴∠GHD=∠EHD．∵∠CED=∠EHD+∠HDE，∠BGD=∠GHD+∠HDG，∴∠HDG=∠HDE．∵∠EDG=∠ADC=90°，∴∠GDH=∠EDH=45°，故①正确；∵∠EDC=90°，ED=GD，∴△EDC是等腰直角三角形，∴∠DEG=45°．∵∠GDH=45°，∴∠EDH=45°，∴△EMD是等腰直角三角形，∴ED=2MD．∵∠AEF=∠DEG=∠A=45°，∴∠AFE=∠CFG=90°．∵∠EDC=90°，∴∠EFC=∠EDC=90°．∵EH平分∠AEG，∴∠AEH=∠GEH．∵∠FEC=∠GEH，∠DEC=∠AEH，∴∠FEC=∠DEC．∵EC=EC，∴△EFC≌△EDC，∴EF=ED，∴EF=2MD．故③错误；∵CG=CD+DG=AD+ED=AE+ED+ED，∴CG=2DE+AE，故④正确．故选B．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．18．如图，已知，点A（0，0）、B（43，0）、C（0，4），在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…则第2017个等边三角形的边长等于（）A．3B．3C．3D．3【答案】A【解析】【分析】【详解】根据锐角三函数的性质，由OB=43，OC=1，可得∠OCB=90°，然后根据等边三角形的性质，可知∠A1AB=60°，进而可得∠CAA1=30°，∠CA1O=90°，因此可推导出∠A2A1B=30°，同理得到∠CA2B1=∠CA3B2=∠CA4B3=90°，∠A2A1B=∠A3A2B2=∠A4A3B3=30°，故可得后一个等边三角形的边长等于前一个等边三角形的边长的一半，即OA1=OCcos∠CAA1=23，B1A2=1232⨯，以此类推，可知第2017个等边三角形的边长为：201713()432⨯=.故选A.【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，属于规律型题目，解题关键是仔细审图，得出：后一个等边三角形的边长等于前一个等边三角形的边长的一半.19．如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=5，AB的垂直平分线交AC于D，则△BCD的周长为（）A．13B．15C．18D．21【答案】A【解析】根据线段垂直平分线的性质，可由AB=AC=8，BC=5，AB的垂直平分线交AC于D，得到AD=BD，进而得出△BCD的周长为：CD+BD+BC=AC+BC=8+5=13．故选A．点睛：此题主要考查了线段垂直平分线的性质，关键是掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．20．如图，在平面直角坐标系中，A(1，2)，B(3，2)，连接AB ，点P 是x 轴上的一个动点，连接AP 、BP ，当△ABP 的周长最小时，对应的点P 的坐标和△ABP 的最小周长分别为( )A ．(1，0)，224+B ．(3，0)，224+C ．(2,0), 25D ．(2,0),252+【答案】D【解析】 作A 关于x 轴的对称点N （1，-2），连接BN 与x 轴的交点即为点P 的位置，此时△ABP 的周长最小.设直线BN 的解析式为y kx b =+，∵N (1，-2)，B (3，2)，∴232k b k b +=-⎧⎨+=⎩ ， 解得24k b =⎧⎨=-⎩， ∴24y x =-，当0y =时，240x -=，解得，2x =，∴点P 的坐标为（2，0）；∵A (1，2)，B (3，2)，∴AB //x 轴，∵AN ⊥x 轴，∴AB ⊥x 轴，在Rt △ABC 中，AB ＝2，AN ＝4，由勾股定理得，BN==∵AP=NP,∴△ABP的周长最小值为：AB+BP+AP=AB+BP+PN=AB+BN故选D.点睛：本题考查最短路径问题.利用轴对称作出点P的位置是解题的关键.。
三角形(压轴必刷30题5种题型专项训练)—2023-2024学年八年级数学上册(人教版)(解析版)
三角形（压轴必刷30题5种题型专项训练）一．三角形的角平分线、中线和高（共1小题）1．（2022秋•瑞金市校级月考）如图，△ABC的周长是21cm，AB＝AC，中线BD分△ABC为两个三角形，且△ABD的周长比△BCD的周长大6cm，求AB，BC．【分析】由BD是中线，可得AD＝CD，又由△ABD的周长比△BCD的周长大6cm，△ABC的周长是21cm，AB＝AC，可得AB﹣BC＝6cm，2AB+BC＝21cm，继而求得答案．【解答】解：∵BD是中线，∴AD＝CD＝AC，∵△ABD的周长比△BCD的周长大6cm，∴（AB+AD+BD）﹣（BD+CD+BC）＝AB﹣BC＝6cm①，∵△ABC的周长是21cm，AB＝AC，∴2AB+BC＝21cm②，联立①②得：AB＝9cm，BC＝3cm．【点评】此题考查了三角形面积与三角形的中线．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．二．三角形三边关系（共1小题）2．（2022春•徐汇区校级期末）周长为30，各边互不相等且都是整数的三角形共有个．【分析】不妨设三角形三边为a、b、c，且a＜b＜c，由三角形三边关系定理及题设条件可确定c的取值范围，以此作为解题的突破口．【解答】解：设三角形三边为a、b、c，且a＜b＜c．∵a+b+c＝30，a+b＞c∴10＜c＜15∵c为整数∴c为11，12，13，14∵①当c为14时，有5个三角形，分别是：14，13，3；14，12，4；14，11，5；14，10，6；14，9，7；②当c为13时，有4个三角形，分别是：13，12，5；13，11，6；13，10，7；13，9，8；③当c为12时，有2个三角形，分别是：12，11，7；12，10，8；④当c为11时，有1个三角形，分别是：11，10，9；故答案为：12个．【点评】此题主要考查学生对三角形三边关系的理解及运用能力．三．三角形内角和定理（共12小题）3．（2021秋•新罗区校级月考）在△ABC中，∠A＝36°，当∠C＝，△ABC为等腰三角形．【分析】分三种情形分别讨论，运用三角形内角和定理即可解决问题【解答】解：①当AB＝AC时，∵∠A＝36°，∴∠C＝∠B＝72°．②当CA＝CB时，∵∠A＝∠B＝36°，∴∠C＝108°．③当BA＝BC时，∴∠C＝∠A＝36°，综上所述，∠C的值为72°或108°或36°，故答案为：72°，36°，108°．【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质以及三角形内角和定理的运用，解题的关键是用分类讨论的思想思考问题．4．（2022秋•潍坊期末）如图，AB和CD相交于点O，∠C＝∠COA，∠BDC＝∠BOD，AP，DP分别平分∠CAO和∠BDC，若∠C+∠P+∠B＝165°，则∠C的度数是．【分析】设∠C＝∠AOC＝∠BOD＝∠BDO＝x，∠CAP＝∠PAB＝y，∠P＝z，则∠B＝2y，构建方程组解决问题即可．【解答】解：∵∠C＝∠COA，∠BDC＝∠BOD，∠AOC＝∠BOD，∴∠C＝∠AOC＝∠BOD＝∠BDO，∴∠B＝∠CAO，设∠C＝∠AOC＝∠BOD＝∠BDO＝x，∠CAP＝∠PAB＝y，∠P＝z，则∠B＝2y，则有，解得，∴∠C＝70°，故答案为70°．【点评】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题．5．（2021秋•武昌区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝2α，CD平分∠ACB，∠CAD＝30°﹣α，∠BAD＝30°，则∠BDC＝．（用含α的式子表示）【分析】延长CB到E，使CE＝CA，连接DE，EA，利用SAS证明△ADC≌△EDC，得AD＝ED，∠ADC＝∠EDC，再证明△EDA为等边三角形，得出AB是∠EAD的角平分线，再通过导角得出答案．【解答】解：如图，延长CB到E，使CE＝CA，连接DE，EA，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝，在△ADC与△EDC中，，∴△ADC≌△EDC（SAS），∴AD＝ED，∠ADC＝∠EDC，∵∠CAD＝30°﹣α，∠ACD＝α，∴∠ADC＝180°﹣（30°﹣α）﹣α＝150°，∴∠EDC＝∠ADC＝150°，∴∠EDA＝360°﹣150°﹣150°＝60°，∵ED＝AD，∴△EDA为等边三角形，∴∠EAD＝∠AED＝60°，∵∠BAD＝30°，∴∠EAB＝60°﹣30°＝30°，∴AB是∠EAD的角平分线，∵AB是ED的垂直平分线，∴BD＝BE，∴∠BED＝∠BDE，∵∠ACB＝2α，∠EAC＝∠EAD+∠DAC＝60°+30°﹣α＝90°﹣α，∴∠AEC＝180°﹣2α﹣（90°﹣α）＝90°﹣α，∴∠EDB＝∠AEC﹣∠AED＝90°﹣α﹣60°＝30°﹣α，∴∠EDB＝∠BED＝30°﹣α，∴∠DBC＝∠BDE+∠BED＝（30°﹣α）×2＝60°﹣2α，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣（60°﹣2α）﹣α＝120°+α，故答案为：120°+α．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．6．（2020秋•杏花岭区校级月考）如图，在第1个△ABA1中，∠B＝40°，∠BAA1＝∠BA1A，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得在第2个△A1CA2中，∠A1CA2＝∠A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得在第3个△A2DA3中，∠A2DA3＝∠A2A3D；…，按此做法进行下去，第3个三角形中以A3为顶点的内角的度数为；第n个三角形中以A n为顶点的底角的度数为．【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律即可得出第n个三角形的以An为顶点的底角的度数．【解答】解：∵在△ABA1中，∠B＝40°，AB＝A1B，∴∠BA1A＝（180°﹣∠B）＝（180°﹣40°）＝70°，∵A1A2＝A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，∴∠CA2A1＝∠BA1A＝×70°＝35°；同理可得，∠DA3A2＝×70°＝17.5°，∠EA4A3＝×70°，以此类推，第n个三角形的以An为顶点的底角的度数＝．故答案为：17.5°，．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，进而找出规律是解答此题的关键．7．（2022春•台江区校级期末）如图，在△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，∠BAC＞∠C，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE＝∠F；②2∠BEF＝∠BAF+∠C；③∠F＝（∠BAC﹣∠C）；④∠BGH＝∠ABE+∠C．其中正确的是．【分析】①根据BD⊥FD，FH⊥BE和∠FJD＝∠BJH，证明结论正确；②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确；③证明∠DBE＝∠BAC﹣∠C，根据①的结论，证明结论正确；④根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确．【解答】解：设BE交FH于点J．①∵BD⊥FD，∴∠FGD+∠F＝90°∵FH⊥BE，∴∠BGJ+∠DBE＝90°，∵∠FGD＝∠BGJ，∴∠DBE＝∠F，①正确；②∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∠BEF＝∠CBE+∠C，∴2∠BEF＝∠ABC+2∠C，∠BAF＝∠ABC+∠C，∴2∠BEF＝∠BAF+∠C，②正确；③∠ABD＝90°﹣∠BAC，∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝∠ABE﹣90°+∠BAC＝∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC，∵∠CBD＝90°﹣∠C，∴∠DBE＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，由①得，∠DBE＝∠F，∴∠F＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，∴∠F＝（∠BAC﹣∠C）；③正确；④∵∠AEB＝∠EBC+∠C，∵∠ABE＝∠CBE，∴∠AEB＝∠ABE+∠C，∵BD⊥FC，FH⊥BE，∴∠FGD＝∠BGH＝∠FEB，∴∠BGH＝∠ABE+∠C，④正确，故答案为：①②③④．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键．8．（2021秋•雷州市月考）如图，D是△ABC的BC边上的一点，∠B＝∠BAD，∠ADC＝80°，∠BAC＝70°．（1）求∠B的度数．（2）求∠C的度数．【分析】（1）先由三角形外角的性质得出∠ADC＝∠B+∠BAD，再由∠ADC＝80°，∠B＝∠BAD即可得出∠B的度数；（2）直接根据三角形的内角和定理得出∠C的度数．【解答】解：（1）∵∠ADC是△ABD的一个外角，∴∠ADC＝∠B+∠BAD，又∵∠ADC＝80°，∠B＝∠BAD，∴∠B＝∠ADC＝×80°＝40°；（2）在△ABC 中，∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣40°﹣70°＝70°．【点评】本题考查的是三角形内角和定理及外角的性质，熟知三角形的内角和是180°是解答此题的关键．9．（2021春•东台市月考）如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA．（1）∠EAC与∠B相等吗？为什么？（2）若∠B＝50°，∠CAD：∠E＝1：3，求∠E的度数．【分析】（1）由于AD平分∠BAC，根据角平分线的概念可得∠BAD＝∠CAD，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，结合已知条件可得∠EAC与∠B相等；（2）若设∠CAD＝x°，则∠E＝3x°．根据（1）中的结论以及三角形的内角和定理及其推论列方程进行求解即可．【解答】解：（1）相等．理由如下：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD．又∠EAD＝∠EDA，∴∠EAC＝∠EAD﹣∠CAD＝∠EDA﹣∠BAD＝∠B；（2）设∠CAD＝x°，则∠E＝3x°，由（1）知：∠EAC＝∠B＝50°，∴∠EAD＝∠EDA＝（x+50）°在△EAD中，∵∠E+∠EAD+∠EDA＝180°，∴3x+2（x+50）＝180，解得：x＝16．∴∠E＝48°．【点评】（1）建立要证明的两个角和已知角之间的关系，根据已知的相等的角，即可证明；（2）注意应用（1）中的结论，主要是根据三角形的内角和定理及其推论用同一个未知数表示相关的角，再列方程求解．10．（2021秋•新建区校级月考）如图，∠B＝50°，点P在∠ABC内部，∠P的两边分别交AB，BC于点E，F．（1）若PE⊥AB，PF⊥BC．①如图1，则∠P＝°；②如图2，EQ平分∠BEP，FQ平分∠BFP，求∠Q的度数．（2）若∠BEP与∠BFP两角的平分线交于ABC内一点Q，请写出∠Q与∠P的数量关系，并说明理由．【分析】（1）①由∠BEP＝∠BFP＝90°，∠ABC＝50°，解可得∠EPF＝130°；②根据EQ平分∠BEP，FQ平分∠BFP，得∠QEP＝45°，∠QFP＝45°，即可得∠Q＝140°；（2）分两种情况：①四边形BEPF为凸四边形时，由∠B+2∠2+2∠4+∠P＝360°，∠2+∠4＝360°﹣∠P﹣∠Q，消去∠2、∠4即可得∠Q+∠P＝200°；②四边形BEPF为凹四边形时，可得2∠Q﹣∠P＝40°．【解答】解：（1）①∵PE⊥AB，PF⊥BC，∴∠BEP＝∠BFP＝90°，∵∠ABC＝50°，∴∠EPF＝360°﹣∠BEP﹣∠BFP﹣∠ABC＝130°，故答案为：130；②∵EQ平分∠BEP，FQ平分∠BFP，∴∠QEP＝∠BEP＝45°，∠QFP＝∠BFP＝45°，∴∠Q＝360°﹣∠QEP﹣∠QFP﹣∠EPF＝140°；（2）①四边形BEPF为凸四边形时，如图：∵EQ平分∠BEP，FQ平分∠BFP，∴∠BEP＝2∠2，∠BFP＝2∠4，∵∠B+∠BEP+∠BFP+∠P＝360°，∴∠B+2∠2+2∠4+∠P＝360°，而∠B＝50°，∴2∠2+2∠4＝310°﹣∠P，即∠2+∠4＝155°﹣∠P①，又∠2+∠4＝360°﹣∠P﹣∠Q②，由①②可得：155°﹣∠P＝360°﹣∠P﹣∠Q，整理得：∠Q+∠P＝205°．②四边形BEPF为凹四边形时，如图：∵EQ平分∠BEP，FQ平分∠BFP，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠B＝50°，∴2（∠2+∠3）+∠PEF+∠PFE＝130°（Ⅰ），又∠Q+（∠2+∠3）+∠PEF+∠PFE＝180°（Ⅱ），（Ⅱ）×2﹣（Ⅰ）得：2∠Q+∠PEF+∠PFE＝230°（Ⅲ），而∠P+∠PEF+∠PFE＝180°（Ⅳ），（Ⅲ）﹣（Ⅳ）得：2∠Q﹣∠P＝50°；同理当四边形BEPF、四边形BEQF均为凸四边形时，2∠Q﹣∠P＝310°，综上所述，∠Q与∠P的数量关系为∠Q+∠P＝205°或2∠Q﹣∠P＝50°或2∠Q﹣∠P＝310°．【点评】本题考查多边形内角和，涉及角平分线、角的和差等知识，解题的关键是掌握四边形的内角和是360°．11．（2022秋•东港区校级月考）已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC平分线，∠B＝30°，∠DAE＝15°，（1）求∠BAE的度数；（2）求∠C的度数．【分析】（1）由AD是BC边上的高可得出∠ADE＝90°，在△ADE中利用三角形内角和可求出∠AED的度数，再利用三角形外角的性质即可求出∠BAE的度数；（2）根据角平分线的定义可得出∠BAC的度数，在△ABC中利用三角形内角和可求出∠C的度数．【解答】解：（1）∵AD是BC边上的高，∴∠ADE＝90°．∵∠ADE+∠AED+∠DAE＝180°，∴∠AED＝180°﹣∠ADE﹣∠DAE＝180°﹣90°﹣15°＝75°．∵∠B+∠BAE＝∠AED，∴∠BAE＝∠AED﹣∠B＝75°﹣30°＝45°．（2）∵AE是∠BAC平分线，∴∠BAC＝2∠BAE＝2×45°＝90°．∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣90°﹣30°＝60°．【点评】本题考查了三角形内角和定理以及三角形外角的性质，解题的关键是：（1）在△ADE中利用三角形内角和求出∠AED的度数；（2）利用角平分线的定义求出∠BAC的度数．12．（2022秋•香洲区校级月考）△ABC中，∠C＝80°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点，令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．（1）若点P在边AB上，且∠α＝50°，如图1，则∠1+∠2＝；（2）若点P在边AB上运动，如图2所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为．（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图3，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由【分析】（1）连接CP，根据三角形外角性质，即可得到∠1＝∠DCP+∠DPC，∠2＝∠ECP+∠EPC，再根据∠1+∠2＝∠ACB+∠DPE进行计算即可；（2）连接CP，根据三角形外角性质，即可得到∠1＝∠DCP+∠DPC，∠2＝∠ECP+∠EPC，再根据∠1+∠2＝∠ACB+∠DPE进行计算即可得到∠α、∠1、∠2之间的关系；（3）根据三角形外角性质，即可得到∠1＝∠C+∠CMD，∠CMD＝∠2+∠α，进而得到∠1＝∠C+∠2+∠α，据此可得∠α、∠1、∠2之间的关系．【解答】解：（1）如图1，连接CP，∵∠1是△CDP的外角，∴∠1＝∠DCP+∠DPC，同理可得，∠2＝∠ECP+∠EPC，∴∠1+∠2＝∠ACB+∠DPE＝80°+50°＝130°，故答案为：130°；（2）如图，连接CP，∵∠1是△CDP的外角，∴∠1＝∠DCP+∠DPC，同理可得，∠2＝∠ECP+∠EPC，∴∠1+∠2＝∠ACB+∠DPE＝80°+∠α，故答案为：∠1+∠2＝80°+∠α；（3）∠1＝80°+∠2+∠α，理由如下：如图3，∵在△CDM中，∠1＝∠C+∠CMD，在△EMP中，∠CMD＝∠2+∠α，∴∠1＝∠C+∠2+∠α，即∠1＝80°+∠2+∠α．【点评】本题主要考查了三角形外角性质以及三角形内角和定理的运用，解题时注意：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．13．（2021秋•仙桃校级月考）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠DAC，∠BAC＝80°，∠B＝60°，求∠AEC的度数．【分析】根据三角形的内角和定理求出∠C，再根据直角三角形两锐角互余求出∠DAC，然后根据角平分线的定义求出∠DAE，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：∵∠BAC＝80°，∠B＝60°，∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣80°﹣60°＝40°，∵AD⊥BC，∴∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣40°＝50°，∵AE平分∠DAC，∴∠DAE＝∠DAC＝×50°＝25°，∴∠AEC＝∠DAE+∠ADE＝25°+90°＝115°．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的角平分线和高线的定义，解题的关键是学会用分类的思想思考问题，属于中考常考题型．14．（2020秋•官渡区校级月考）如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE是△ABC的一条角平分线，若∠B＝42°，∠C＝70°，求∠AEC和∠DAE的度数．【分析】由三角形内角和定理可求得∠BAC的度数，在Rt△ADC中，可求得∠DAC的度数，AE是角平分线，有∠EAC＝∠BAC，故∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC．【解答】解：∵∠B＝42°，∠C＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝68°，∵AE是角平分线，∴∠EAC＝∠BAC＝34°．∵AD是高，∠C＝70°，∴∠DAC＝90°﹣∠C＝20°，∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝34°﹣20°＝14°，∠AEC＝90°﹣14°＝76°．【点评】本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质，高线的性质，解答的关键是熟练掌握三角形的内角和定理．四．三角形的外角性质（共10小题）15．（2022春•云龙区校级月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC，内角∠ABC，外角∠ACF，以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝∠ADB；③∠ADC+∠ABD＝90°；④，其中正确的结论有．【分析】根据角平分线定义得出∠ABC＝2∠ABD＝2∠DBC，∠EAC＝2∠EAD，∠ACF＝2∠DCF，根据三角形的内角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，根据三角形外角性质得出∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠EAC＝∠ABC+∠ACB，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．【解答】解：①∵AD平分∠EAC，∴∠EAC＝2∠EAD，∵∠ABC＝∠ACB，∴∠EAD＝∠ABC，∴AD∥BC，故①正确；②∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC，∴∠ACB＝2∠ADB，故②错误；③在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD＝180°，∵CD平分△ABC的外角∠ACF，∴∠ACD＝∠DCF，∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCF，∠ADB＝∠DBC，∠CAD＝∠ACB∴∠ACD＝∠ADC，∠CAD＝∠ACB＝∠ABC＝2∠ABD，∴∠ADC+∠CAD+∠ACD＝∠ADC+2∠ABD+∠ADC＝2∠ADC+2∠ABD＝180°，∴∠ADC+∠ABD＝90°，故③正确；④∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∠DCF＝∠ADC，∵∠ADC+∠ABD＝90°，∵∠DCF＝90°﹣∠ABC＝∠DBC+∠BDC，∴∠BDC＝90°﹣2∠DBC，∴∠ADB＝∠DBC＝45°﹣∠BDC，故④正确；故答案为：①③④．【点评】此题考查了三角形外角性质，平行线的判定与性质，主要考查学生的推理能力，有一定的难度．16．（2022秋•游仙区校级月考）如图，D是△ABC内一点，连接AD、BD、CD，P是∠BDC的角平分线的反向延长线上的一点，连接BP，∠ABP＝2∠PBD，△ABC和△ACD的外角平分线相交于点Q，若∠Q ＝45°，∠BDC＝4∠ABD，则∠P的度数为°．【分析】设∠PBD＝α，表示出∠BDE＝6α，于是∠P＝5α，由∠Q＝45°可推出∠BAC+∠ACD＝90°，根据∠BDC＝∠ABD+∠BAC+∠ACD求得α的值，进一步得出结果．【解答】解：如图，设PD的延长线交BC于E，设∠PBD＝α，则∠ABP＝2α，∴∠ABD＝∠ABP+∠PBD＝3α，∴∠BDC＝4∠ABD＝12α，∵DE平分∠BDC，∴∠BDE＝＝6α，∴∠P＝∠BDE﹣∠PBD＝6α﹣α＝5α，在△ACQ中，∠QAC+∠ACQ＝180°﹣∠Q＝135°，∵AQ平分∠FAC，CQ平分∠ACG，∴∠FAC＝2∠QAC，∠ACG＝2∠ACQ，∴∠FAC+∠ACG＝2（∠QAC+∠ACQ）＝270°，∴∠BAC+∠ACD＝180°﹣∠FAC+180°﹣∠ACG＝90°，∵∠BDC＝∠ABD+∠BAC+∠ACD，∴12α＝3α+90°，∴α＝10°，∴∠P＝5α＝50°，故答案为：50．【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理及其推论等知识，解决问题的关键是设未知数，寻找角之间的数量关系．17．（2021•惠济区校级开学）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC＝90°+，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线∴∴又∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A∴∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣（90°﹣∠A）＝探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）结论：．【分析】（1）根据提供的信息，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠O与∠1表示出∠2，然后整理即可得到∠BOC与∠A的关系；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠OBC与∠OCB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．【解答】解：（1）探究2结论：∠BOC＝∠A，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACD，又∵∠ACD是△ABC的一外角，∴∠ACD＝∠A+∠ABC，∴∠2＝（∠A+∠ABC）＝∠A+∠1，∵∠2是△BOC的一外角，∴∠BOC＝∠2﹣∠1＝∠A+∠1﹣∠1＝∠A；（2）探究3：∠OBC＝（∠A+∠ACB），∠OCB＝（∠A+∠ABC），∠BOC＝180°﹣∠0BC﹣∠OCB，＝180°﹣（∠A+∠ACB）﹣（∠A+∠ABC），＝180°﹣∠A﹣（∠A+∠ABC+∠ACB），结论∠BOC＝90°﹣∠A．【点评】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键，读懂题目提供的信息，然后利用提供信息的思路也很重要．18．（2021秋•回民区校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，点E在BD上，点F在CA的延长线上，EF∥AD．（1）求∠BAF的度数．（2）求∠F的度数．【分析】（1）根据外角的性质即可得到结论；（2）根据角平分线的定义得到∠DAC＝BAC＝35°，根据平行线的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵∠BAF＝∠B+∠C，∵∠B＝40°，∠C＝70°，∴∠BAF＝110°；（2）∵∠BAF＝110°，∴∠BAC＝70°，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠DAC＝BAC＝35°，∵EF∥AD，∴∠F＝∠DAC＝35°．【点评】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，三角形的内角和，角平分线的定义，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．19．（2020秋•顺昌县月考）如图，已知：点P是△ABC内一点．（1）求证：∠BPC＞∠A；（2）若PB平分∠ABC，PC平分∠ACB，∠A＝40°，求∠P的度数．【分析】（1）延长BP交AC于D，根据△PDC外角的性质知∠BPC＞∠1；根据△ABD外角的性质知∠1＞∠A，所以易证∠BPC＞∠A．（2）由三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB＝140°，由角平分线和三角形内角和定理即可得出结果．【解答】（1）证明：延长BP交AC于D，如图所示：∵∠BPC是△CDP的一个外角，∠1是△ABD的一个外角，∴∠BPC＞∠1，∠1＞∠A，∴∠BPC＞∠A；（2）在△ABC中，∵∠A＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣40°＝140°，∵PB平分∠ABC，PC平分∠ACB，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，在△ABC中，∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×140°＝110°．【点评】此题主要考查了三角形的外角性质、三角形内角和定理、三角形的角平分线定义；熟练掌握三角形的外角性质和三角形内角和定理是解决问题的关键．20．（2022秋•威县校级月考）综合与探究：【情境引入】（1）如图1，BD，CD分别是△ABC的内角∠ABC，∠ACB的平分线，说明∠D＝90°+∠A的理由．【深入探究】（2）①如图2，BD，CD分别是△ABC的两个外角∠EBC，∠FCB的平分线，∠D与∠A之间的等量关系是；②如图3，BD，CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，BD，CD交于点D，探究∠D与∠A之间的等量关系，并说明理由．【拓展应用】（3）请用以上结论解决下列问题：如图4，在△ABC中，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，M，N，Q 分别在DB，DC，BC的延长线上，BE，CE分别平分∠MBC，∠BCN，BF，CF分别平分∠EBC，∠ECQ．若∠A＝80°，则∠F的度数是．【分析】（1）利用角平分线的定义得出∠1+∠2＝（∠ABC+∠ACB），再利用三角形内角和定理即可求解；（2）①利用三角形内角和定理可得∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，利用角平分线的定义可得∠EBD＝∠DBC，∠BCD＝∠DCF，从而得到∠A﹣2（180°﹣∠D）＝﹣180°，化简即可求解；②利用三角形的外角性质可得∠DCE＝∠DBC+∠D，∠A+2∠DBC＝2∠DCE，从而得到∠A+2∠DBC＝2∠DBC+2∠D，化简即可求解；（3）由（1）知：∠D＝90°+∠A，即可求出∠A，利用三角形内角和定理可得∠MBC+∠NCB，再利用角平分线的性质可得∠CBE+∠BCE，利用三角形内角和定理可得∠E，再由（2）②可知∠F＝∠E，求解即可．【解答】解：（1）∵BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，∴∠1+∠2＝（∠ABC+∠ACB），∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠1+∠2+∠D＝180°，∴∠D＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），∴∠D＝90°+∠A；（2）①∠D与∠A之间的等量关系是：∠D＝90°﹣∠A，理由如下：∵BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线，∴∠EBD＝∠DBC，∠BCD＝∠DCF，∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠ABC＝180°﹣2∠DBC，∠ACB＝180°﹣2∠DCB，∴∠A+180°﹣2∠DBC+180°﹣2∠DCB＝180°，∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠D，∴∠A﹣2（∠DBC+∠DCB）＝﹣180°，∴∠A﹣2（180°﹣∠D）＝﹣180°，∴∠A+2∠D＝180°，∴∠D＝90°﹣∠A，故答案为：∠D＝90°﹣∠A；②∠D与∠A之间的等量关系是：∠D＝∠A，理由如下：∵BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，∵∠DCE＝∠DBC+∠D，∠A+2∠DBC＝2∠DCE，∴∠A+2∠DBC＝2∠DBC+2∠D，∴∠A＝2∠D，∴∠D＝∠A；（3）由（1）知：∠D＝90°+∠A，∵∠A＝80°，∴∠D＝130°，∴∠DBC+∠DCB＝50°，∴∠MBC+∠NCB＝360°﹣50°＝310°，∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，∴∠CBE+∠BCE＝（∠MBC+∠NCB）＝155°，∴∠E＝180°﹣155°＝25°．由（2）②知：∠F＝∠E，∴∠F＝∠E＝12.5°，故答案为：12.5°．【点评】本题考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是熟记三角形外角性质，内角和定理，角平分线的定义．21．（2021秋•信丰县校级月考）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．【分析】要求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数，只要求出∠D+∠1+∠2的度数，利用三角形外角性质得，∠1＝∠A+∠E，∠2＝∠B+∠C；在△DOF中，∠D+∠1+∠2＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠D+∠1+∠2＝180°．【解答】解：∵∠1是△AEF的外角，∴∠1＝∠A+∠E．∵∠2是△BOC的外角，∴∠2＝∠B+∠C．在△DOF中，∠D+∠1+∠2＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠D+∠1+∠2＝180°．【点评】考查三角形外角性质与内角和定理．将∠A+∠B+∠C+∠D+∠E拼凑在一个三角形中是解题的关键．22．（2020秋•兴义市校级月考）（1）如图1，这是一个五角星ABCDE，你能计算出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数吗？为什么？（必须写推理过程）（2）如图2，如果点B向右移动到AC上，那么还能求出∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E的大小吗？若能结果是多少？（可不写推理过程）（3）如图，当点B向右移动到AC的另一侧时，上面的结论还成立吗？（4）如图4，当点B、E移动到∠CAD的内部时，结论又如何？根据图3或图4，说明你计算的理由．【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠C＝∠1，∠B+∠D＝∠2，然后利用三角形的内角和定理列式即可得解；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠D＝∠1，在△BCE中，利用三角形的内角和列式计算即可得解；（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠C＝∠1，∠B+∠D＝∠2，然后利用三角形的内角和定理列式即可得解；（4）延长CE与AD相交，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠C＝∠1，∠B+∠E＝∠2，然后利用三角形的内角和定理列式即可得解．【解答】解：（1）如图，由三角形的外角性质，∠A+∠C＝∠1，∠B+∠D＝∠2，∵∠1+∠2+∠E＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°；（2）如图，由三角形的外角性质，∠A+∠D＝∠1，∵∠1+∠DBE+∠C+∠E＝180°，∴∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E＝180°；（3）如图，由三角形的外角性质，∠A+∠C＝∠1，∠B+∠D＝∠2，∵∠1+∠2+∠E＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°；（4）如图，延长CE与AD相交，由三角形的外角性质，∠A+∠C＝∠1，∠B+∠E＝∠2，∵∠1+∠2+∠D＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形内角和定理，比较简单，关键在于准确识图，理清图中各角度之间的联系与转化．23．（2022秋•冷水滩区校级月考）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题．探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC＝90°+∠A，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，∴∠1+∠2＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣（90°﹣∠A）＝90°+∠A．（1）探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．（2）探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论）（3）拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论）【分析】（1）根据角平分线的定义表示出∠OBC，∠OCD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠ACD和∠OCD，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式整理即可得解；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠DBC和∠BCE，再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解；（3）根据四边形内角和等于360°求出∠ABC+∠BCD，再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，然后利用三角形内角和定理列式整理即可得解．【解答】解：（1）探究2结论：∠BOC＝∠A．理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCD＝∠ACD，又∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD＝∠A+∠ABC，∴∠OCD＝（∠A+∠ABC）＝∠A+∠ABC＝∠A+∠OBC，又∵∠OCD是△BOC的一个外角，∴∠BOC＝∠OCD﹣∠OBC＝∠A+∠OBC﹣∠OBC＝∠A；（2）探究3：结论∠BOC＝90°﹣∠A．根据三角形的外角性质，∠DBC＝∠A+∠ACB，∠BCE＝∠A+∠ABC，∵O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，∴∠OBC＝∠DBC，∠OCB＝∠BCE，∴∠OBC+∠OCB＝（∠DBC+∠BCE）＝（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC），∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∴∠OBC+∠OCB＝90°+∠A，在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；（3）拓展：结论∠BOC＝（∠A+∠D）．在四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD＝（360°﹣∠A﹣∠D），∵O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠BCD，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠BCD）＝（360°﹣∠A﹣∠D），在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（360°﹣∠A﹣∠D）＝（∠A+∠D），即∠BOC＝（∠A+∠D）．【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．24．（2023•东兴区校级二模）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠PBC+∠PCB，进而求出∠BPC即可解决问题；（2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解；（3）在△BQE中，由于∠Q＝90°﹣∠A，求出∠E＝∠A，∠EBQ＝90°，所以如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ＝2∠E＝90°；②∠EBQ＝2∠Q＝90°；③∠Q＝2∠E；④∠E＝2∠Q；分别列出方程，求解即可．【解答】（1）解：∵∠A＝80°．∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×100°＝130°，（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝（180°+∠A）＝90°+∠A∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；（3）延长BC至F，∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E，又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A；∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ＝∠ABC+∠MBC＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：①∠EBQ＝2∠E＝90°，则∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；②∠EBQ＝2∠Q＝90°，则∠Q＝45°，∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；③∠Q＝2∠E，则90°﹣∠A＝∠A，解得∠A＝60°；④∠E＝2∠Q，则∠A＝2（90°﹣∠A），解得∠A＝120°．综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．【点评】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．五．多边形内角与外角（共6小题）25．（2021秋•盖州市校级月考）如果一个多边形的内角和等于1800°，则这个多边形是边形；如果一个n边形每一个内角都是135°，则n＝；如果一个n边形每一个外角都是36°，则n ＝．【分析】n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．【解答】解：这个多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°＝1800°，解得：n＝12，则这个多边形是12．如果一个n边形每一个内角都是135°，∴每一个外角＝45°，则n＝＝8，如果一个n边形每一个外角都是36°，则n＝＝10，故答案为：十二，8，10．【点评】此题考查了多边形的内角和定理．注意多边形的内角和为：（n﹣2）×180°．26．（2021秋•河东区校级期末）如图，AD，CE是△ABC的两条高，它们相交于点P，已知∠BAC的度数为α，∠BCA的度数为β，则∠APC的度数是．【分析】利用三角形的内角和定理和三角形的外角性质解决问题即可．【解答】解：∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝180°﹣（α+β），∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠AEC＝∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣[180°﹣（α+β）]＝α+β﹣90°，∴∠APC＝∠AEC+∠BAD＝α+β故填α+β．【点评】主要考查了三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件，同时考查了四边形内角和定理．垂直和直角总是联系在一起．27．（2021秋•仙桃校级月考）如图，在五边形ABCDE中，AP平分∠EAB，BP平分∠ABC．（1）五边形ABCDE的内角和为度；（2）若∠C＝100°，∠D＝75°，∠E＝135°，求∠P的度数．【分析】（1）根据多边形内角和公式求出即可；（2）求出∠EAB+∠ABC，根据角平分线定义求出∠PAB+∠PBA，即可求出答案．【解答】解：（1）五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，故答案为：540；（2）∵在五边形ABCDE中，∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E＝540°，∠C＝100°，∠D＝75°，∠E＝135°，∴∠EAB+∠ABC＝230°，∵AP平分∠EAB，BP平分∠ABC，∴∠PAB＝∠EAB，∠PBA＝∠ABC，∴∠PAB+∠PBA＝115°，∴∠P＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）＝65°．【点评】本题考查了多边形的内角和外角，能熟记多边形的内角和定理是解此题的关键．28．（2022秋•礼县月考）小明计算一个多边形的内角和时误把一个外角加进去了，得其和为2620°．（1）求这个多加的外角的度数；（2）求这个多边形的边数．【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°可知，多边形的内角和是180°的倍数，然后求出多边形的边数以及多加的外角的度数即可得解．【解答】解：设多边形的边数为n，多加的外角度数为α，则（n﹣2）•180°＝2620°﹣α，∵2620°＝14×180°+100°，内角和应是180°的倍数，∴小明多加的一个外角为100°，∴这是14+2＝16边形的内角和．故这个多加的外角的度数为100°，这个多边形的边数是16．【点评】本题考查了多边形的内角和公式，根据多边形的内角和公式判断出多边形的内角和公式是180°的倍数是解题的关键．29．（2020秋•夏津县校级月考）如图，AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线．（1）判断∠AOB与∠COD有怎样的数量关系，为什么？（2）若∠AOD＝∠BOC，AB、CD有怎样的位置关系，为什么？【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠1＝DAB，∠2＝ABC，∠3＝ADC，∠4＝BCD，根据四边形的内角和即可得到结论；（2）由（1）证得∠AOB+∠COD＝180°，得到∠AOD+∠BOC＝180°，根据角平分线的定义得到∠BAD+∠ADC＝180°，由平行线的判定定理即可得到结论．【解答】解：（1）∠AOB+∠COD＝180°，理由：∵AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线，∴∠1＝DAB，∠2＝ABC，∠3＝ADC，∠4＝BCD，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝（∠DAB+∠ABC+∠ADC+∠BCD）＝＝180°，∴∠AOB+∠COD＝360°﹣∠1﹣∠2﹣∠3﹣∠4＝180°；（2）AB∥CD；理由：由（1）证得∠AOB+∠COD＝180°，∴∠AOD+∠BOC＝180°，∵∠AOD＝∠BOC，∴∠AOD＝90°，∵AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线，∴∠OAD+∠ADO＝（∠BAD+∠ADC）＝90°，∴∠BAD+∠ADC＝180°，∴AB∥CD．【点评】本题考查了多边形的内角和外角，平行线的判定，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．30．（2019秋•广丰区校级月考）请你参与下面探究过程，完成所提出的问题．（1）探究1：如图1，P是△ABC的内角∠ABC与∠ACB的平分线BP和CP的交点，若∠A＝70°，则∠BPC＝度；（2）探究2：如图2，P是△ABC的外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BP和CP的交点，求∠BPC与∠A的数量关系？并说明理由．（3）拓展：如图3，P是四边形ABCD的外角∠EBC与∠BCF的平分线BP和CP的交点，设∠A+∠D ＝α．①直接写出∠BPC与α的数量关系；②根据α的值的情况，判断△BPC的形状（按角分类）．。
中考数学专项练习三角形(含解析)
中考数学专项练习三角形（含解析）一、单选题1.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2．将△AB C绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，现在点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为（）A.30，2B.60，2C.60，D.60，2.如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，D为BC的中点，过点D分别向AB、AC作垂线段，则能够说明△BDE≌△CDF的理由是（）A.SSSB.SASC.ASAD.AAS3.如图，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A，D为圆心，大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于M，N两点；第二步，连结MN，分别交AB，AC于点E，F；第三步，连结D E，DF．若BD=6，AF=5，CD=3，则BE的长是（）A.7B.8C.9D.104.如图，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过A、C作直线L的垂线，垂足分别为E、F，若AE=1，CF=2，则AB的长为（）A.B.2C.3D.5.如图，工人师傅为了固定六边形木架ABCDEF，通常在AC，AD，D F处加三根木条，使其不变形，这种做法的依照是（）A.长方形的四个角差不多上直角B.长方形的对称性C.三角形的稳固性D.两点之间线段最短6.如图,AB∥EF,C是EF上一个动点,当点C的位置变化时,△ABC的面积将()A.变大B.变小 C.不变 D.变大变小要看点C 向左依旧向右移动7.如图，、分别是、的中点，则（）2B.1∶3C.1∶4D.2∶38.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（）A.1B.2C.3D.49.如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且ÐADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC的边长为A.9B.12C.15D.1810.如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形有（）个B.6个C.8个D.10个二、填空题11.如图，P为正方形ABCD内一点，且PC=3，∠APB=135°，将△A PB绕点B顺时针旋转90°得到△CP′B，连接PP′．若BP的长为整数，则AP=________．12.已知实数x，y满足|x﹣8|+=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是________13.已知是关于x的方程的一个根，同时等腰三角形ABC的腰和底边长恰好是那个方程的两个根，则△ABC的周长为_____ ___．14.如图，P是正△ABC内一点，若将△PBC绕点B旋转到△P′BA，则∠PBP′的度数是________．15.已知：如图，BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，AD⊥BD于D，AE⊥CE于E，延长AD交BC的延长线于F，连接DE，设BC=a，AC=b，AB=c，（a＜b＜c）给出以下结论正确的有_____ ___①CF=c﹣a；②AE=（a+b）；③DE=（a+b﹣c）；④DF=（b+c﹣a）16.已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm，8cm，那么那个直角三角形斜边上的高为________cm．17.如图，等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，D是BC边上任意一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，则DE+DF=________．18.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB=4，AC=3，AD⊥BC于点D，则△ACD与△ABC的面积比为________三、运算题19.依照问题进行运算：（1）运算：×﹣4××（1﹣）0；（2）已知三角形两边长为3，5，要使那个三角形是直角三角形，求出第三边的长．20.如图，AB∥CD，AB=CD，CE=BF．请写出DF与AE的数量关系，并证明你的结论．21.在△ABC中，∠A=38°，∠B=70°，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACB，DP⊥CE于点P，求∠CDP的度数．四、解答题22.如图，一轮船由B处向C处航行，在B处测得C处在B的北偏东7 5°方向上，在海岛上的观看所A测得B在A的南偏西30°方向上，C在A的南偏东25°方向．若轮船行驶到C处，那么从C处看A，B两处的视角∠ACB是多少度？23.如图，ABCD为平行四边形，DFEC和BCGH为正方形．求证：AC ⊥EG．五、综合题24.请在方格内画△ABC，使它的顶点都在格点上，且三边长分别为2，2 ，4 ，求：（1）画出△ABC并求出它的面积；（2）求出最长边上高．25.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，交BC于点D，过点E做直线l∥BC．（1）判定直线l与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠ABC的平分线BF交AD于点F，求证：BE=EF；（3）在（2）的条件下，若DE=4，DF=3，求AF的长．答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】含30度角的直角三角形，专门角的三角函数值，解直角三角形，旋转的性质【解析】【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠A=3 0°，BC=2，∴∠B=60°，AC=BC×cot∠A=2×=2 ，AB=2BC=4，∵△EDC是△ABC旋转而成，∴BC=CD=BD= AB=2，∵∠B=60°，∴△BCD是等边三角形，∴∠BCD=60°，∴∠DCF=30°，∠DFC=90°，即DE⊥AC，∴DE∥BC，∵BD= AB=2，∴DF是△ABC的中位线，∴DF= BC= ×2=1，CF= AC= ×2 = ，∴S阴影= DF×CF= ×= ．故答案为：C．【分析】先依照已知条件求出AC的长及∠B的度数，再依照图形旋转的性质及等边三角形的判定定理判定出△BCD的形状，进而得出∠DCF的度数，由直角三角形的性质可判定出DF是△ABC的中位线，由三角形的面积公式即可得出结论。
初中数学三角形专题训练50题(含答案)
初中数学三角形专题训练50题含答案(单选、填空、解答题)一、单选题1．如图，已知⊙O的半径为R，C、D是直径AB的同侧圆周上的两点，AC的度数为100°，BC=2BD，动点P在线段AB上，则PC＋PD的最小值为（）C D RA．R B2．如图，在⊙ABCD中，连接AC，⊙ABC＝⊙CAD＝45°，AB＝2，则BC的长是()AB．2C．D．43．如图点P是⊙BAC内一点，PE⊙AB于点E，PF⊙AC于点F，PE＝PF，则直接得到⊙PEA⊙⊙PFA的理由是（）A．HL B．ASA C．AAS D．SAS【答案】A【详解】解：⊙PE⊙AB于点E，PF⊙AC于点F，⊙⊙PEA＝⊙PFA=90°，⊙PE=PF，AP=AP，⊙⊙PEA⊙⊙PFA（HL）；4．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点A 在y 轴上，已知B(﹣3，0)、C(2，0)，则点D 的坐标为（ ）A ．(4，5)B ．(5，4)C ．(5，3)D ．(4，3)5．适合下列条件的ABC ∆中，是直角三角形的共有（ ）⊙6a =，45A ∠=︒；⊙32A ∠=，58B ∠=︒；⊙2a =，2b =，4c =；⊙7a =，24b =，25c =.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【分析】根据构成直角三角形三边关系的条件：三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，最长边所对的角为直角，判定即可.【详解】⊙6a =，45A ∠=︒，不能判定ABC ∆中是直角三角形；⊙3258A B ︒︒==∠，∠，A B ∠∠=︒+90，是直角三角形；⊙2222222a b c +=+≠，不能判定ABC ∆中是直角三角形；⊙()()22222272425a b c +=+==，是直角三角形；【点睛】此题主要考查构成直角三角形条件的判定，熟练掌握，即可解题.=，点N在CD上，且6．如图，已知四边形ABCD是矩形，点M在BC上，BM CD=与BN交于点P，则:DN CM DM,DM BN=（）A2B．C D．27．如图，已知正方形的面积为25，且AB比AC大1，BC的长为()A．3B．4C．5D．6【答案】A8．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，若ABC A B C ''△≌△，且点A '恰好落在AB 上，则ACA ∠'的度数为（ ）A ．30°B ．45°C ．50°D ．60° 【答案】D 【分析】根据全等三角形的性质可得A C AC '=，从而得到60AA CA ，即可求解．【详解】解：⊙90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，⊙⊙A =60°，⊙ABC A B C ''△≌△，⊙A C AC '=，⊙60AA C A ，⊙60ACA '∠=︒．故选：D【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．9．如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，1=30∠︒，2=50∠︒，3=∠（ ）度A ．10B ．20C ．30D ．50 【答案】B 【分析】根据两直线平行，同位角相等求出⊙2的同位角，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解．【详解】解：如图：⊙⊙2=50°，直尺的两边互相平行，⊙⊙4=⊙2=50°，⊙⊙1=30°，⊙⊙3=⊙4-⊙1=50°-30°=20°．故选：B ．【点睛】本题考查了两直线平行，同位角相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．10．在ABC 中，若90A C ∠+∠=︒，则（ ）．A ．BC AB AC =+B ．222AC AB BC =+ C ．222AB AC BC =+D ．222BC AB AC =+【答案】B【分析】由⊙A +⊙C =90°可得⊙B =90°，于是可确定AC 是Rt⊙ABC 的斜边，再根据勾股定理即得答案．【详解】解：⊙⊙A +⊙C =90°，⊙⊙B =90°，⊙AC 是Rt⊙ABC 的斜边，222【点睛】本题考查了勾股定理和三角形的内角和定理，由题意确定AC 是Rt ⊙ABC 的斜边是解题的关键．11．如图，直线AB CD ∥，AE CE ⊥于点E ，若140EAB ∠=︒，则ECD ∠的度数是（ ）A ．120°B ．130°C ．150°D ．160° 【答案】B 【分析】延长AE ，与DC 的延长线交于点F ，根据平行线的性质，求出⊙AFC 的度数，再利用外角的性质求出⊙ECF ，从而求出⊙EC D ．【详解】解：延长AE ，与DC 的延长线交于点F ，⊙AB ⊙CD ，⊙⊙A +⊙AFC =180°，⊙⊙EAB =140°，⊙⊙AFC =40°，⊙AE ⊙CE ，⊙⊙AEC =90°，而⊙AEC =⊙AFC +⊙ECF ，⊙⊙ECF =⊙AEC -⊙F =50°，⊙⊙ECD =180°-50°=130°，故选：B ．【点睛】本题考查平行线的性质和外角的性质，正确作出辅助线和正确利用平行线的性质是解题的关键．12．如图，在ABC 中，AB AC =，AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是E 、F ，下面给出的四个结论，其中正确的有（ ）．距离相等的点到DE 、DF 的距离也相等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】D 【分析】由等腰三角形“三线合一”可知AD⊙BC ，BD=DC ，得到AD 上的点到B 、C 两点的距离相等，根据角平分线性质定理可知DE=DF ，根据HL 证直角三角形全等，得到AE=AF ，从而得到AD 平分EDF ∠，即可得出答案．【详解】解：⊙AB AC =，AD 是BAC ∠的平分线，⊙AD⊙BC ，BD=DC ，⊙AD 上的点到B 、C 两点的距离相等，⊙⊙正确；⊙AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，⊙DE=DF ，⊙EDA=⊙FDA ，⊙AD 平分⊙EDF ，⊙⊙正确；在直角△AED 和直角△AFD 中，AD AD DE DF=⎧⎨=⎩ ⊙⊙AED⊙⊙AFD ，⊙AE=AF ，⊙AD 平分⊙BAC ，又⊙AD 是BAC ∠的平分线，⊙到AE 、AF 距离相等的点到DE 、DF 的距离也相等，⊙⊙、⊙正确，故选D ．【点睛】本题考查了全等三角形的证明和性质，角平分线性质，等腰三角形的性质的应用，对条件的合理利用是解题的关键．13．如图，BO 、CO 分别平分⊙ABC 、⊙ACB ，OD ⊙BC 于点D ，OD ＝2，⊙ABC 的周长为28，则⊙ABC 的面积为（ ）A ．28B ．14C ．21D ．7在BOD 和△OEB OBE BO ∠=∠∠==BOD △≌△OE =OD =21122AB OE BC OD AC OF ++ )AB BC AC OD ++ 282⨯故选：A．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，求三角形的面积等知识，关键是根据条件构造适合角平分线性质定理条件的辅助线．14．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE垂直平分CD，垂足为点E，则BAD∠=（）A．100°B．120°C．135°D．150°【答案】B【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出AC=AD，再利用菱形的性质以及等边三角形的判定与性质得出答案．【详解】解：⊙AE垂直且平分边CD，⊙AC=AD，⊙四边形ABCD是菱形，⊙AD=DC，⊙ACB=⊙ACD，⊙⊙ACD是等边三角形，⊙⊙ACD=60︒，⊙⊙BCD=120︒．⊙⊙BAD=⊙BCD=120︒，故选：B．【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，得出⊙ACD是等边三角形是解题关键．15．如图中字母A所代表的正方形的面积为（）【详解】试题分析：根据勾股定理的几何意义解答．解：根据勾股定理以及正方形的面积公式知：以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，所以A=289﹣225=64．故选D．16．三角形的三边长为a，b，c，且满足22-=-，则这个三角形是（）()2a b c abA．等边三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．锐角三角形【答案】C【分析】先利用完全平方公式化简已知等式，再根据勾股定理的逆定理即可得．【详解】由22a b c ab-=-得：222()2-+=-，a ab bc ab22即222a b c，+=,,a b c为三角形的三边长，∴这个三角形是直角三角形，故选：C．【点睛】本题考查了完全平方公式、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．17．如图，⊙ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D，E，若⊙BAC+⊙DAE=150°，则⊙BAC的度数是（）A．105B．110C．115D．120【答案】B【分析】根据垂直平分线性质，⊙B=⊙DAB，⊙C=⊙EAC．则有⊙B+⊙C+2⊙DAE=150°，即180°-⊙BAC+2⊙DAE=150°，再与⊙BAC+⊙DAE=150°联立解方程组即可．【详解】⊙⊙ABC的两边AB，AC的垂直平分线分别交BC于D，E，⊙DA=DB，EA=EC，⊙⊙B=⊙DAB，⊙C=⊙EAC．⊙⊙BAC+⊙DAE=150°，⊙⊙⊙B+⊙C+2⊙DAE=150°．⊙⊙B+⊙C+⊙BAC=180°，⊙180°-⊙BAC+2⊙DAE=150°，即⊙BAC-2⊙DAE=30°．⊙由⊙⊙组成的方程组150230BAC DAEBAC DAE∠+∠=︒⎧⎨∠-∠=︒⎩，解得⊙BAC=110°．故选B．【点睛】此题考查了线段的垂直平分线、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，解题的关键是得到⊙BAC和⊙DAE的数量关系.18．如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，4）、P（﹣1，0），B为y轴上的动点，以AB为边构造⊙ABC，使点C在x轴上，⊙BAC＝90°，M为BC的中点，则PM 的最小值为（）A B C D【答案】C【分析】作AH⊙y轴，CE⊙AH，证明⊙AHB⊙⊙CEA，根据相似三角形的性质得到AE ＝2BH，求出点M的坐标，根据两点间的距离公式用x表示出PM，根据二次函数的性质解答即可．【详解】解：如图，过点A作AH⊙y轴于H，过点C作CE⊙AH于E，则四边形CEHO是矩形，⊙OH＝CE＝4，⊙⊙BAC＝⊙AHB＝⊙AEC＝90°，19．如图，在ABC 和ADE 中，36CAB DAE ∠=∠=︒，AB AC =，AD AE =．连接CD ，连接BE 并延长交AC ，AD 于点F ，G ．若BE 恰好平分ABC ∠，则下列结论错误的是（ ）A ．ADC AEB ∠=∠B ．//CD ABC ．DE GE=D ．2BF CF AC =⋅ 【答案】C 【分析】根据SAS 即可证明DAC EAB △≌△，再利用全等三角形的性质以及等腰三角形的性质，结合相似三角形的判定和性质，即可一一判断【详解】,,36AB AC AD AE CAB DAE ==∠=∠=︒DAC EAB ∴∠=∠AB AC=∴∠=ABCBE平分∴∠=ABEDAC△≌△∴∠ACD∴∠=ACDAD AE=∴∠=ADE∠=DGE∠即ADE∴≠DE GE∠=ABCCFB∴∠=∴=BC BF∴△∽△ABCBF CF∴=AB BC=AB ACBF CF∴=AC BF2=BF CF故答案选：【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角20．如图，在Rt△ABC中，⊙ACB＝90°，点D是AB边的中点，过D作DE⊙BC于点E，点P是边BC上的一个动点，AP与CD相交于点Q．当AP＋PD的值最小时，AQ 与PQ之间的数量关系是（）A．AQ＝52PQ B．AQ＝3PQ C．AQ＝83PQ D．AQ＝4PQ⊙MN =PE ，ND =PC ，在△DNQ 和△CPQ 中，NDQ QCP NQD PQC DN PC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊙⊙DNQ ⊙⊙CPQ ，⊙NQ =PQ ，⊙AN =NP ，⊙AQ =3PQ故选：B ．【点睛】本题考查轴对称最短问题、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是利用对称找到点P 位置，熟练掌握平行线的性质，属于中考常考题型．解两条线段之和最小（短）类问题，一般是运用轴对称变换将处于直线同侧的点转化为直线异侧的点，从而把两条线段的位置关系转换，再根据两点之间线段最短来确定方案，使两条线段之和转化为一条线段．二、填空题21．在Rt⊙ABC 中，⊙C ＝90°，若a =6，b =8，则c =________．【答案】10【详解】根据勾股定理2223664100c a b =+=+=c 为三角形边长，故c=10.22．在半径为5的圆中，弧所对的圆心角为90°，则弧所对的弦长是________．【点睛】本题考查利用半径和圆心角求弦长，难度不大，掌握勾股定理是解题的关键．23．在ABC 中，AB AC =，CD 是AB 边上的高，40ACD ∠=︒，则B ∠的度数为______．【答案】65︒或25︒【分析】分两种情况：当D 在线段AB 上时，根据题意，得出90ADC ∠=︒，再根据三角形的内角和定理，得出50A ∠=︒，再根据等边对等角，得出B ACB ∠=∠，再根据三角形的内角和定理，计算即可得出B ∠的度数；当D 在线段AB 的延长线上时，根据题意，得出90ADC ∠=︒，再根据三角形的内角和定理，得出50A ∠=︒，再根据等边对等角，得出B ACB ∠=∠，再根据三角形的外角的性质，计算即可得出B ∠的度数，综合即可得出答案．【详解】解：如图，当D 在线段AB 上时，⊙CD 是AB 边上的高，⊙90ADC ∠=︒，又⊙40ACD ∠=︒，⊙180904050A ∠=︒-︒-︒=︒，⊙AB AC =，⊙B ACB ∠=∠，⊙218018050130B A ∠=︒-∠=︒-︒=︒，⊙65B ∠=︒；如图，当D 在线段BA 的延长线上时，⊙CD 是AB 边上的高，⊙90ADC ∠=︒，又⊙40ACD ∠=︒，⊙180904050DAC ∠=︒-︒-︒=︒，⊙AB AC =，⊙B ACB ∠=∠，又⊙2DAC B ACB B ∠=∠+∠=∠，⊙250B ∠=︒，⊙25B ∠=︒，综上所述，B ∠的度数为65︒或25︒．故答案为：65︒或25︒．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、等边对等角、三角形的外角的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理，分类讨论．24．如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为4，则勒洛三角形的周长为：_________．25．边长为2的等边三角形的高与它的边长的比值为___________．【详解】解：等边三角形的边长是26．在Rt⊙ABC中，⊙C＝90°，⊙A＝30°，BC＝2，则AC＝_______ ．27．如图，在四边形ABCD中，90∠=︒，2A==，BC=CD=AD AB∠的度数为________．ABC28．如图，在O 中，弦2BC =，点A 是圆上一点，且30BAC ∠=︒，则O 的半径是________．【答案】2【分析】连接OB ，OC ，先由圆周角定理求出BOC ∠的度数，再由OB OC =判断出BOC 是等边三角形，故可得出结论．【详解】解：连接OB ，OC ，⊙30BAC ∠=︒，⊙260BOC BAC ∠=∠=︒，⊙OB OC =，⊙BOC 是等边三角形，⊙2OB BC ==．故答案为：2【点睛】本题考查了圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆心角是解答此题的关键．29．如果等腰三角形的两边长分别为5cm 和10cm ，那么它的周长等于___________cm ．【答案】25【分析】分5cm为腰和10cm为腰，两种情况求解．【详解】解：因为等腰三角形的两边长分别为5cm和10cm，当腰长为5cm时，三边长分别为5cm,5cm,10cm，+，因为55=10所以三角形不存在；当腰长为10cm时，三边长分别为5cm,10cm,10cm，+＞，因为51010所以三角形存在；++=，所以三角形的周长为5101025(cm)故答案为：25．【点睛】本题考查了等腰三角形周长的分类计算，正确进行分类和判定三角形的存在性是解题的关键．30．等腰三角形的一边长为3，周长为15，则该三角形的腰长是______．31．如图，⊙O的半径为5cm，△ABC内接于⊙O，BC＝5cm，则⊙A的度数为_____°．【答案】3032．如图，AD 、AE 分别是⊙ABC 的角平分线和高，⊙B =60°，⊙C =70°，则⊙EAD =______．【答案】5︒【分析】根据角平分线的性质及三角形内角和定理进行求解．【详解】解：由题意可知，⊙B =60°，⊙C =70°，所以18013050A ∠=-=°，所以25BAD ∠=°，在三角形BAE 中，906030BAE ∠=-=°，所以⊙EAD=5°故答案为：5°．【点睛】本题属于对角平分线和角度基本知识，解题的关键是进行变换求解．33．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AB、BC 上，且⊙EOF＝90°，则S四边形OEBF⊙S正方形ABCD＝___.34．图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为AC，BD （点A与点B重合），点O是夹子转轴位置，O E⊙AC于点E，OF⊙BD于点F，OE=OF=1cm，AC=BD=6cm，CE=DF，CE:AE=2:3.按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O转动．(1)当E，F两点的距离最大值时，以点A，B，C，D为顶点的四边形的周长是_____cm．(2)当夹子的开口最大（点C与点D重合）时，A，B两点的距离为_____cm．35．如图，直线L 1、L 2、L 3分别过正方形ABCD 的三个顶点A 、D 、C ，且相互平行，若L 1、L 2的距离为1，L 2、L 3的距离为2，则正方形的边长为__________．AED DFC ≌，从而可得度．【详解】如图，过D ⊙123////L L L⊙13,EF L EF L ⊥⊥⊙AED DFC ≌1,DE CF AE DF ===22AD AE ED =+=故答案为：5．【点睛】本题考查了正方形与平行线的问题，掌握平行线的性质、全等三角形的性质以及判定定理、勾股定理是解题的关键．36．正方形ABCD 中．E 是AD 边中点．连接CE ．作⊙BCE 的平分线交AB 于点F ．则以下结论：⊙⊙ECD =30°．⊙⊙BCF 的外接圆经过点E ；⊙四边形AFCD 的面积是⊙BCF⊙BF AB =．其中正确的结论有 _____．（请填写所有正确结论的序号），易证BCF GCF ≅37．菱形ABCD中，AD＝4，⊙DAB＝60°，E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD上的点，且DH＝FB，DE＝BG，当四边形EFGH为正方形时，DH＝____．38．已知菱形ABCD中，AC=6cm，BD=4cm．若以BD为边作正方形BDEF，则AF=__cm．⊙如图1,正方形BDEF在点A一侧时,延长CA交EF于点M.39．如图，正方形ABCD中，2AB=，AC，BD交于点O．若E，F分别是边AB，BC上的动点，且OE OF∆周长的最小值是__________．⊥，则OEF40．如图，在平行四边形ABCD 中，AC ＝3cm ，BD ，AC ⊙CD ，⊙O 是△ABD 的外接圆，则AB 的弦心距等于_____cm ．【答案】116##516【分析】设AC、BD的交点为G，作圆的直径AN，连接BN，过点O作OF⊙AB于点三、解答题41．如图，AD⊙BC，⊙BAC＝70°，DE⊙AC于点E，⊙D＝20°.(1)求⊙B的度数，并判断⊙ABC的形状；(2)若延长线段DE恰好过点B，试说明DB是⊙ABC的平分线．【答案】（1）⊙ABC是等腰三角形，⊙B＝40°；（2）见解析.【详解】分析：(1)、根据Rt⊙ADE的内角和得出⊙DAC=70°，根据平行线的性质得出⊙C=70°，从而根据有两个角相等的三角形是等腰三角形得出答案；(2)、根据等腰三角形底边上的三线合一定理得出DB为顶角的角平分线．详解：解：(1)⊙DE⊙AC于点E，⊙D＝20°，⊙⊙CAD＝70°，⊙AD⊙BC，⊙⊙C＝⊙CAD＝70°，又⊙⊙BAC＝70°，⊙⊙BAC＝⊙C，⊙AB＝BC，⊙⊙ABC是等腰三角形，⊙⊙B＝180°－⊙BAC－⊙C＝180°－70°－70°＝40°.(2)⊙延长线段DE恰好过点B，DE⊙AC，⊙BD⊙AC，⊙⊙ABC是等腰三角形，⊙DB是⊙ABC的平分线．点睛：本题主要考查的是等腰三角形的判定及性质，属于基础题型．明确等腰三角形底边上的三线合一定理是解决这个问题的关键．42．如图，小雪坐着轮船由点A出发沿正东方向AN航行，在点A处望湖中小岛M，测得小岛M在点A的北偏东60°，航行100米到达点B时，此时测得小岛M在点B的北偏东30°，求小岛M到航线AN的距离．Rt BDM 中，12BD MB ==2MD MB =答：小岛M 到航线【点睛】本题考查了方向角问题，勾股定理，等腰三角形的判定，含43．如图，BD 是⊙ABC 的高，AE 是⊙ABC 的角平分线，BD 交AE 于F ，若⊙BAC ＝44°，⊙C ＝80°，求⊙BEF 和⊙AFD 的度数．【答案】⊙BEF＝102°；⊙AFD＝68°【分析】根据BD是⊙ABC的高，AE是⊙ABC的角平分线，求得⊙ADB＝90°，⊙BAE＝⊙EAD＝22°，根据三角形内角和定理即可求得⊙BEF和⊙AFD的度数．【详解】解：⊙BD是⊙ABC的高，AE是⊙ABC的角平分线，⊙BAC＝44°，⊙C＝80°，⊙⊙ADB＝90°，⊙BAE＝⊙EAD＝22°，⊙⊙CBA＝180°﹣44°﹣80°＝56°，⊙⊙BEF＝180°﹣22°﹣56°＝102°，⊙AFD＝180°﹣90°﹣22°＝68°．【点睛】本题考查了三角形的高，角平分线，三角形内角和定理的应用，掌握三角形的高，角平分线的意义是解题的关键．44．（1）如图，90∠=∠=︒，O是AC的中点，求证：OB ODABC ADC=．（2）解方程：2430-+=．x x⊙()()130x x --=，即10,30x x -=-=，解得：121,3x x ==．【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，解一元二次方程，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半，一元二次方程的解法是解题的关键．45．如图，点E 在边长为10的正方形ABCD 内，6AE =，8BE =，请求出阴影部分的面积，AEB S =四边形ABCD =10ABCD ⨯AEB S =【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟知勾股定理的逆定理是解题的关键．46．图（a ）、图（b ）是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．请在图（a ）、图（b ）中，分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合．具体要求如下：（1）画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形；（2）画一个面积为16的等腰直角三角形．47．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB=DC，在四个论断“EA=ED，EF⊙AD，AB=DC，FB=FC”中选择二个作为已知条件，另一个作为结论，构成真命题（补充已知和求证），并进行证明．已知、如图，点A，B，C，D在同一条直线上，．求证、．证明、．【答案】见解析【分析】已知：EA=ED ，EF⊙AD ，AB=DC ，求证FB=FC ．想办法证明EF 是线段BC 的垂直平分线即可．（答案不唯一）【详解】已知：如图，EA=ED ，EF⊙AD ，AB=DC ，求证FB=FC ．理由：延长EF 交BC 于H ．⊙EA=ED ，EF⊙AD ，⊙AH=HD ，⊙AB=DC ，⊙BH=CH ，⊙FH⊙BC ，⊙FB=FC ．故答案为EA=ED ，EF⊙AD ，AB=DC ；FB=FC ；延长EF 交BC 于H ．⊙EA=ED ，EF⊙AD ，⊙AH=HD ，⊙AB=DC ，⊙BH=CH ，⊙FH⊙BC ，⊙FB=FC ．【点睛】此题考查等腰三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于开放性题目．48．如图，已知60AOB ∠︒=，OC 平分AOB ∠，CD ⊥OA 于点D ．(1)实践与操作：作OC的垂直平分线分别交OA于点E；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）(2)连接CE，若DE的长为1，求OC的长．（1）解：如图所示，49．正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示，A（-2，3），B（-3，1），C（-1，2），现将△ABC平移先向右平移3个单位长度，再向下平移2单位长度．(1)请画出平移后的A B C '''（点B C ''、分别是B 、C 的对应点）；(2)写出点A B C '''、、三点的坐标；(3)求A B C '''的面积． 【答案】(1)画图见解析 (2)A '（1，1），B '（0，-1），C '（2，0）(3)1.5【分析】（1）根据所给的平移方式作图即可；（2）根据平移方式即可求出A 、B 、C 对应点A B C '''、、三点的坐标；（3）用A B C '''所在的正方形面积减去周围三个小三角形面积即可得到答案． （1）解：如图所示，A B C '''即为所求；（2）解：⊙A B C '''是△ABC 向右平移3个单位长度，向下平移2个单位长度得到的，A （-2，3），B （-3，1），C （-1，2），⊙A '（1，1），B '（0，-1），C '（2，0）；（3）50．如图1，Rt⊙ABC中，⊙ABC＝90°，P是斜边AC上一个动点，以BP为直径作⊙O交BC于点D，与AC的另一个交点为E（点E在点P右侧），连结DE、BE，已知AB＝3，BC＝6．（1）求线段BE的长；（2）如图2，若BP平分⊙ABC，求⊙BDE的正切值；（3）是否存在点P，使得⊙BDE是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的CP的长；若不存在，请说明理由．。
初中数学三角形专题训练50题含参考答案
初中数学三角形专题训练50题含答案(单选、填空、解答题)一、单选题1．如图,已知△ABC的六个元素,则图中甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形个数是A．1B．2C．3D．02．如图，以点P为圆心，以x轴交于A，B两点，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（6，0），则圆心P的坐标为()A．B．（4，2）C．（4，4）D．（2，3．如图，等腰△ABC，BA=BC，点P是腰AB上一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似，满足这样条件的直线最多有（）A．1个B．2个C ．3个D ．4个4．在学习“三角形的内角和外角”时，老师在学案上设计了以下内容：下列选项正确的是（ ）A ．①处填ECD ∠B ．①处填ECD ∠C ．①处填A ∠D ．①处填B ∠ 5．如图，在一块长方形草地上修速两条互相垂直且宽度相同的平行四边形通道，其中60KHB ∠=︒，已知20AB =米，30BC =米，四块草地总图积为2503m ，设GH 为x 米，则可列方程为（ ）A ．2030503⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭B ．(20)(30)503x x --=C ．2203097x x x +-=D ．232030974x x x +-= 6．下列四个命题中，是假命题的是（ ）A ．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行B ．两条直线被第三条直线所截，同位角相等C ．三角形任意两边之和大于第三边D ．如果a b =，a c =，那么b c =7．如图，BD 是①O 的直径，点A 、C 在圆上，且CD ＝OB ，则①BAC ＝（ ）A．120°B．90°C．60°D．30°8．已知：在平行四边形ABCD中，点M是BC的中点，MAD MDA∠=∠，则B∠=（）A．60°B．90°C．100°D．120°9．两个直角三角形中：①有两条边相等；①一锐角和斜边对应相等；①斜边和一直角边对应相等；①两个锐角对应相等．能使这两个直角三角形全等的是（）A．①①①B．①①C．①①D．①①①①10．如图，已知点O是正六边形ABCDEF的中心，扇形AOE的面积是12π，则正六边形的边长为（）A．6B．C．D．1211．如图，△ABC和△DCE都是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，BC=1，CE=2，连接BD，则BD的长为（）A．3B．C．D12．如图，在△ABC中，①ACB＝90°，①B＝40°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于12AB ）为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交AB 于点D ，交BC 于点E ，连接CD ，则①CDE 等于（ ）A ．8°B ．10°C ．15°D ．20° 13．已知菱形ABCD ，E 、F 是动点，边长为5，BE AF =，120BAD ∠=︒，则下列命题中正确的是（ ）①BEC AFC ≌；①ECF △为等边三角形；①ECF △的边长最小值为①若2AF =，则23FGC EGC S S =△△．A ．①①B ．①①C ．①①①D ．①①① 14．如图，在直角①O 的内部有一滑动杆AB ，当端点A 沿直线AO 向下滑动时，端点B 会随之自动地沿直线OB 向左滑动，如果滑动杆从图中AB 处滑动到A ′B ′处，那么滑动杆的中点C 所经过的路径是（ ）A ．直线的一部分B ．圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分15．如图，平面内三点A 、B 、C ，AB ＝，AC ＝BC 为对角线作正方形BDCE ，连接AD ，则AD 的最大值是（）A．5B．C．7D．16．在ABCD中，O是对角线AC，BD的交点．若AOB的面积是8，则ABCD□的面积是（）A．16B．24C．32D．4017．如图，已知半圆O的直径8AB=，C是半圆上一点，沿AC折叠半圆得到弧ADC，交直径AB于点D，若DA、DB的长均不小于2，则AC的长可能是（）A．7B．6C．5D．418．梯形的对角线互相垂直，其中一条对角线长为5，梯形的高为4，则梯形的面积为（）A．5B．10C．503D．25319．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴的交点为A（x1，0）和B（x2，0），与y轴负半轴交点为C，点D为线段OC上一点．且满足c=x1+b，①ACO=①DBO，则下列说法：①b-c=1；①①AOC①①DOB；①若①DBC=30°，则抛物线的对称轴为直线x①当点B绕点D顺时针旋转90°后得到的点B'也在抛物线上，则抛物线的解析式为y=x2-2x-3．正确的是（）A ．①①①B ．①①①C ．①①①D ．①①①①二、填空题20．如图，P 是MON ∠的平分线上一点，PA ON ⊥于点A ，Q 是射线OM 上一个动点，若8PA =，则PQ 的最小值为______．21．△ABC 中，①A=40o ，①B=60o ，则与①C 相邻外角的度数是______．22．在ABC 中，15,13AB AC ==，高12AD =，则ABC 的周长是 _____． 23．如图，已知ABC BAD ≌，A 和B ，C 和D 分别是对应顶点，且60C ∠=︒，35ABD ∠=︒，则BAD ∠ 的度数是_______24．工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在AOB ∠的两边OA 、OB 上分别在取OC OD =，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C 、D 重合，这时过角尺顶点M 的射线OM 就是AOB ∠的平分线．利用所学知识可知他构造全等三角形的依据是________．25．等腰三角形的周长18cm ，其中一边长为8cm ，则底边长为 ___________cm ． 26．如图，在①ABC 中，AD 、AE 分别是BC 边上的中线和高，AE ＝6，S △ABD ＝15，则CD ＝_____．27．如图，为了防止门板变形，小明在门板上钉了一根加固木条，从数学的角度看，这样做的理由是利用了三角形的________.28．如图，在Rt △ABC 中，AB =BC ，①B =90°，AC =BDEF 是△ABC 的内接正方形（点D ，E ，F 在三角形的边上），则此正方形的面积是_______．29．如图， 正方形ABCD 和等边AEF △都内接于O EF ⊙，与BC CD ，分别相交于点G ， H . 若6AE =， 则EG 的长为________.30．如图，在等边①ABC 中，BC =9，点O 是AC 上的一点，点D 是BC 上的一点，若①APO ①①COD ，AO =2.7，则BP =__________．31．平行四边形ABCD 中，E 为BA 延长线上的一点，CE 交AD 于F 点，若:1:3AE AB =，则:CDF ABCF S S =四边形________．32．如图，在Rt ①ABC 中，①ACB ＝90°，点D 是边AB 的中点，连接CD ，将①BCD 沿直线CD 翻折得到①ECD ，连接AE ．若AC ＝6，BC ＝8，则①ADE 的面积为____．33．已知：如图，以Rt ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB=5，则图中阴影部分的面积为__．34．如图，在菱形ABCD 中，点E 是BC 上的点，AE ①BC ，若sin B ＝35，EC ＝3，P 是AB 边上的一个动点，则线段PE 最小时，BP 长为_____．35．如图，AB 为①O 的直径，弦CD①AB 于E ，已知CD ＝12，BE ＝2，则①O 半径为________．36．如图，在Rt①ABC 中，①ACB ＝90°，①B ＝35°，CD 是斜边AB 上的中线，如果将①BCD 沿CD 所在直线翻折，点B 落在点E 处，联结AE ，那么①CAE 的度数是_____度．37．如图，在菱形ABCD 中，=60B ∠︒，E 在CD 上，将ADE ∆沿AE 翻折至AD E '∆，且AD '刚好过BC 的中点P ，则D EC '∠=_________．38．如图，直线AM 的解析式为1y x =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点A ，以OA 为边作正方形ABCO ，点B 坐标为()1,1．过点B 作1EO MA ⊥交MA 于点E ，交x 轴于点1O ，过点1O 作x 轴的垂线交MA 于点1A 以11O A 为边作正方形1111O A B C ，点1B 的坐标为()5,3．过点1B 作12E O MA ⊥交MA 于1E ，交x 轴于点2O ，过点2O 作x 轴的垂线交MA 于点2A ，以22O A 为边作正方形2222O A B C ，，则点2020B 的坐标______．三、解答题39．如图，在ABC 中，44ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠，60C ∠=︒，22BDE ∠=︒．(1)求证：DE//AB；∠的度数．(2)求ADB40．如图，菱形ABCD对角线AC，BD相交于点O，点E是AD的中点，过点A作对角线AC的垂线，与OE的延长线交于点F，连接FD．(1)求证：四边形AODF是矩形；(2)若AD＝10，①ABC＝60°，求OF和OA的长．=，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分①ABC交41．如图，在①ABC中，AB ACAC于点E，过点E作EF//BC交AB于点F．(1)若36∠=︒，求①BAD的度数；C(2)求证：点F在BE的垂直平分线上．42．如图，已知EF①BC，AD①BC，①1=①2，①判断DM与AB的位置关系，并说明理由；①若①BAC=70°，DM平分①ADC，求①ACB的度数．43．如图1，线段AD，BC相交于点O，32B︒∠=，38∠=．D︒（1）若60A ︒∠=，求AOB ∠和C ∠的度数；（2）在（1）的条件下，如图2，若BAO ∠、DCO ∠的平分线AM ，CM 相交于点M ，求M ∠度数；（3）若改变条件，设B α∠=，D β∠=，试用含αβ，的代数式表示M ∠的大小． 44．已知抛物线y ＝x 2+(12m ﹣2)x ﹣3，抛物线与坐标轴交于点A (3，0)、B 两点．(1)求抛物线解析式；(2)当点P (2，a )在抛物线上时．①如图1，过点P 不与坐标轴平行的直线l 1与抛物线有且只有一个交点，求直线l 1的方程；①如图2，若直线l 2：y ＝2x +b 交抛物线于M ，点M 在点P 的右侧，过点P (2，a )作PQ ①y 轴交直线l 2于点Q ，延长MQ 到点N 使得MQ ＝NQ ，试判断点N 是否在抛物线上？请说明理由．45．已知：如图，已知点B 、E 、F 、C 在同一直线上，AB =CD ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，E ，F 是垂足，CE =BF ，求证：AB //CD ．46．已知：如图所示，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 是BC 的中点，CE AD⊥，垂足为点E，BF AC交CE的延长线于点F，求证：AB垂直平分DF.47．求证：顶角是锐角的等腰三角形腰上的高与底边夹角等于其顶角的一半．(1)根据题意补全下图，并根据题设和结论，结合图形，用符号语言补充写出“已知”和“求证”．=，______;已知：在锐角ABC中，AB AC求证：______．(2)证明：48．如图，已知①ABC中，AB=AC，①A=108°，BD平分①ABC．求证：BC=AB+CD．参考答案：1．B【分析】根据全等三角形判定方法进行判断即可【详解】解：由已知，甲全等条件不具备，乙和△ABC满足两角夹边，故全等，丙和△ABC满足两角和其中一角的对边，故全等，因此，有两个三角形可以判定三角形全等. 2．C【分析】作PC①AB于C，如图，由点A和点B坐标得到AB=4，再根据垂径定理得到AC=BC=2，然后根据勾股定理计算出PC=4，于是可确定P点坐标．【详解】解：作PC①AB于C，如图，①点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（6，0），①OA=2，OB=6，①AB=OB-OA=4，①PC①AB，①AC=BC=2，在Rt△P AC中，①P A AC=2，①PC，①OC=OA+AC=4，①P点坐标为（4，4）．故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理、坐标与图形性质．3．C【分析】根据相似三角形的判定，过点P分别BC，AC的平行线即可得到与原三角形相似的三角形，过点P作以点P为顶点的角与①A相等的角也可以得到原三角形相似的三角形．【详解】解：①BA=BC，①①A=①C，①作PE①BC，可得①APE①①ABC．①作PF①AC，可得①BPF①①BAC．①作①APG=①A，可得①AGP①①ABC，故选：C．【点睛】本题考查相似三角形的判定质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．4．B【分析】延长BC到点D，过点C作CE①AB．依据平行线的性质以及平角的定义，即可得到①A＋①B＋①ACB＝180°．【详解】延长BC到点D，过点C作CE①AB，①CE①AB．①①A＝①ACE（两直线平行，内错角相等）．①B＝①ECD（两直线平行，同位角相等）．①①ACB＋①ACE＋①ECD＝180°（平角定义）．①①A＋①B＋①ACB＝180°（等量代换）．故选：B．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等．5．D【分析】设GH为x米，根据矩形和平行四边形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：过H 作HM ①LG 于M ，①①KHB =60°，//LG KH ，①①HGM =①KHB =60°，①①HMG =90°，①HM ， ①长方形的面积=20×30=600（cm ）2，①四块草地总面积为503m 2，①通道的面积为：20x +30x -34x 2=97， 故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．6．B【分析】根据平行公理，平行线的性质及三角形三边关系等逐项判断．【详解】A.过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故A 不符合题意；B.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故B 符合题意；C.三角形任意两边之和大于第三边，故C 不符合题意；D.如果a ＝b ，a ＝c ，那么b ＝c ，故D 不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行公理，平行线的性质及三角形三边关系等教材上的相关结论．7．C【分析】根据题意得OCD ∆为等边三角形，则60COD ∠=︒，根据圆周角定理得出BAC ∠的度数．【详解】解：连接OC ，CD OB =，OCD ∴∆为等边三角形，60COD ∴∠=︒，180120BOC COD ∴∠=︒-∠=︒，111206022BAC BOC ∴∠=∠=⨯︒=︒， 故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定，解题的关键是掌握圆周角定理的内容．8．B【分析】由MAD MDA ∠=∠，得AM =DM ，再由平行四边形的性质得AB =CD ，AB ∥CD ，则①B +①C =180°，然后证△ABM ①△DCM (SSS )，得①B =①C ，即可求得①B 度数．【详解】解：如图，过点M 作MN ①AD 于N ，①MAD MDA ∠=∠，①AM =DM ，①平行四边形ABCD ，①AB =CD ，AB ∥CD ，①①B +①C =180°，①点M 是BC 的中点，在△ABM 与△DCM 中，AB DC BM CM AM DM =⎧⎪=⎨⎪=⎩，①△ABM ①△DCM (SSS )，①①B =①C ，①2①B =180°，①①B =90°，故选：B ．【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．9．B【分析】根据直角三角形全等的判定条件逐一分析即可得到答案．【详解】解：①两个直角三角形中有两条边相等，不能证明两个直角三角形全等，如一条直角边相等，另一个直角边与斜边相等；①两个直角三角形中一锐角和斜边对应相等，可用AAS 证明两个直角三角形全等； ①两个直角三角形中斜边和一直角边对应相等，可用HL 证明两个直角三角形全等； ①两个直角三角形中两个锐角对应相等，不能证明两个直角三角形全等；故选B ．【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定定理，熟知直角三角形的判定定理有AAS SAS ASA SSS HL ，，，，是解题的关键．10．A【分析】先求出中心角120AOE ∠︒＝，证得OAF △是等边三角形，得到AF R =，根据扇形的面积求出圆的半径，即可得到正六边形的边长．【详解】解：连接OF ，设①O 的半径为R ，①O 是正六边形ABCDEF 的中心， ①360606AOF EOF ︒∠=∠==︒， ①120AOE ∠︒＝，①OAF △是等边三角形，①AF OA R ==，①扇形AOE 的面积是12π， ①212012360R ππ=， ①236R ＝ ，①6AF R ==，①正六边形的边长是6，故选：A ．【点睛】本题考查了正多边形与圆，扇形的面积计算，解题的关键是求出正多边形的边长等于圆的半径．11．D【分析】作DF①CE 于F ，构建两个直角三角形，运用勾股定理逐一解答即可．【详解】过D 作DF①CE 于F ，根据等腰三角形的三线合一，得：CF=1，在直角三角形CDF 中，根据勾股定理，得：DF 2=CD 2-CF 2=22-12=3，在直角三角形BDF 中，BF=BC+CF=1+1=2，根据勾股定理得：故选D.【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理等，正确添加辅助线、熟练应用相关的性质与定理是解题的关键.12．B【分析】由题意得MN 垂直平分AB ，得到AD =BD ，①ADE =90°，证得CD =AD =BD ，求出①ADC =2①B ＝80°，即可得到①CDE 的度数．【详解】解：由题意得MN 垂直平分AB ，①AD =BD ，①ADE =90°，①①ACB ＝90°，①CD =AD =BD ，①①BCD =①B ＝40°，①①ADC =2①B ＝80°，①①CDE =①ADE -①ADC =10°，故选：B ．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的作图方法，直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，正确理解线段垂直平分线的作图是解题的关键．13．C【分析】根据菱形的性质可得AB ＝BC ，AD ①BC ，①BAC ＝①DAC ＝12①BAD ＝60°，从而可得①B ＝60°，进而证明△ABC 是等边三角形，然后得出BC ＝AC ，即可判断①；利用①的结论可得CE ＝CF ，①BCE ＝①ACF ，从而可得①BCA ＝①ECF ＝60°，即可判断①；当CE ①AB 时，ECF △的边长取最小值，根据含30度角的直角三角形的性质求出BE ，再利用勾股定理求出CE 即可判断①；过点E 作EM ①BC ，交AC 于点M ，求出EM ＝3，然后利用平行线分线段成比例求出23FG AF EG EM ==即可判断①． 【详解】解：①四边形ABCD 是菱形，120BAD ∠=︒，①AB ＝BC ，AD ①BC ，①BAC ＝①DAC ＝12①BAD ＝60°，①①B ＝180°−①BAD ＝60°，①①ABC 是等边三角形，①BC ＝AC ，①ACB ＝60°，在△BEC 和△AFC 中，BE AF B FAC BC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①BEC ①①AFC （SAS ），①正确； ①CE ＝CF ，①BCE ＝①ACF ，①①BCE ＋①ACE ＝①ACF ＋①ACE ， ①①BCA ＝①ECF ＝60°，①①ECF 是等边三角形，①正确； ①△ABC 是等边三角形，AB ＝BC ＝5， ①当CE ①AB 时，ECF △的边长取最小值， ①①B ＝60°，①此时①BCE ＝30°，①BE ＝1522BC =， ①CE①ECF △，①错误； 过点E 作EM ①BC ，交AC 于点M ，①①BEC ①①AFC ，①AF ＝BE ＝2，①AB ＝5，①AE ＝AB −BE ＝5−2＝3，①EM ①BC ，①①AEM ＝①B ＝60°，①AME ＝①ACB ＝60°， ①①AEM 是等边三角形，①AE ＝EM ＝3，①AD①BC，①AF①EM①23 FG AFEG EM==，①23FGC EGCS S=△△，①正确；故选：C．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理以及平行线分线段成比例，灵活运用各性质进行推理是解题的关键．14．B【详解】连接OC、OC′，如图，①①AOB=90°，C为AB中点，①OC=12AB=12A′B′=OC′，①当端点A沿直线AO向下滑动时，AB的中点C到O的距离始终为定长，①滑动杆的中点C所经过的路径是一段圆弧．故选B．【点睛】考点：①圆的定义与性质；①直角三角形的性质．15．C【分析】如图，将①BDA绕点D顺时针旋转90°得到①CDM，由旋转的性质可得①ADM是等腰直角三角形，根据勾股定理推出AD，可知当AM的值最大时，AD的值最大，利用三角形的三边关系求出AM的最大值，即可解决问题．【详解】解：如图，将BDA△绕点D顺时针旋转90°得到CDM由旋转的性质可知：4AB CM ==，DA DM =，90ADM ∠=︒①ADM △是等腰直角三角形，①根据勾股定理222AD MD AM +=，①AD AM =， ①当AM 的值最大时，AD 的值最大，①AM AC CM ≤+，AC CM AB ===①AM ≤①AM 的最大值为①AD 的最大值为7，故选C ．【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理以及两点之间线段最短．解题的关键在于根据旋转的性质构造等腰直角三角形． 16．C【分析】根据平行四边形的性质可得BO =DO ，AO =CO ，由此可得8AOB AOD BOC COD S S S S ∆∆∆∆====，从而可得结论．【详解】解：①四边形ABCD 是平行四边形，①BO =DO ，AO =CO ，①8AOB AOD BOC COD S S S S ∆∆∆∆====，①平行四边形ABCD 的面积=4×8=32，故选：C【点睛】本题考查了平行四边形的性质和三角形中线的性质，解决本题的关键是理解平行四边形的对角线互相平分．17．A【分析】分如解图①，当点D 在圆心O 的左侧且2AD =时，如解图①，当点D 在圆心O 的右侧且2BD =时，两种情况求出AC 的长，从而确定AC 的取值范围即可得到答案．【详解】如解图①，当点D 在圆心O 的左侧且2AD =时，过C 作CE AB ⊥，垂足为E ，连接CD 、CO 、CB ，①AC ADC =，①CDB CBD ∠=∠，①CD CB =，①3DE BE ==，①2DO =，①1OE =，①5AE =，22215CE CO OE =-=，①AC =如解图①，当点D 在圆心O 的右侧且2BD =时，过C 作CE AB ⊥，垂足为E ，连接CD 、CO 、CB ，①AC ADC =，①CDB CBD ∠=∠，①CD CB =，①1DE BE ==，①3OE =，①7AE =，2227CE CO OE =-=，①AC =①若DA 、DB 的长均不小于2AC ≤①AC 的长可能是7，故选A ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，无理数的估算等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．18．C【分析】过B 作BE AC ∥交DC 延长线于E ，过B 作BF DC ⊥于F ，如图所示，根据题意，分两种情况讨论：①当5BD =时；①当5AC =时，根据双垂直模型得到BDF EBF ∽△△，利用相似比得到未知线段，然后根据BDE ABCD S S =△梯形代值求解即可得到答案．【详解】解：过B 作BE AC ∥交DC 延长线于E ，过B 作BF DC ⊥于F ，如图所示：4BF ∴=，①当5BD =时，对角线相互垂直，即AC BD ⊥，BE BD ∴⊥，90DBF EBF ∴∠+∠=︒，BF DC ⊥，在Rt BDF △中，90,5,4DFB BD BF ∠=︒==，则3DF =， 90DBF BDF ∴∠+∠=︒，BDF EBF ∴∠=∠，90BFD BFE ∠=∠=︒，∴BDF EBF ∽△△，BD DF BE BF ∴=，即534BE =，203BE ∴=， ,AB CE AC BE ∥∥，∴四边形ABEF 是平行四边形，AB CE ∴=， ∴()()11111205052222233BDE ABCD S AB DC BF CE DC BF DE BF S BD BE =+⋅=+⋅=⋅==⋅=⨯⨯=△梯形；①当5AC =时，对角线相互垂直，即AC BD ⊥，BE BD ∴⊥，90DBF EBF ∴∠+∠=︒，BF DC ⊥，在Rt BEF △中，90,5,4EFB BE BF ∠=︒==，则3EF =， 90DBF BDF ∴∠+∠=︒，BDF EBF ∴∠=∠，90BFD BFE ∠=∠=︒，∴BDF EBF ∽△△，BD BF BE EF∴=，即453BD =， 203BD ∴=， ,AB CE AC BE ∥∥，∴四边形ABEF 是平行四边形，AB CE ∴=， ∴()()11111205052222233BDE ABCD S AB DC BF CE DC BF DE BF S BD BE =+⋅=+⋅=⋅==⋅=⨯⨯=△梯形；综上所述，梯形的对角线互相垂直，其中一条对角线长为5，梯形的高为4，则梯形的面积为503，【点睛】本题属于几何综合问题，考查梯形性质、梯形面积公式、勾股定理、两个三角形相似的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形面积及双垂直模型等知识，熟练掌握相关几何图形的性质是解决问题的关键．19．B【分析】利用已知条件分别求得点A，B，C的坐标，表示出线段OA，OB，OC的长度，利用二次函数的性质，待定系数法与全等三角形的判定定理对每个结论进行逐一判断即可得出结论．【详解】解：将A（x1，0）代入物线y=x2+bx+c得：x12+bx1+c=0．①c=x1+b，①x12+bx1+x1+b=0，①x1（x1+1）+b（x1+1）=0，①（x1+b）（x1+1）=0，①c=x1+b≠0，①x1+1=0，①x1=-1，①A（-1，0），①OA=1，①c=-1+b，①b-c=1．①①的结论正确；①c=-1+b，①y=x2+bx+b-1，令y=0，则x2+bx+b-1=0，解得：x=-1或x=1-b，①B（1-b，0），①抛物线的对称轴在y轴的右侧，①b＜0，①OB=1-b，①C（0，b-1），①OB =OC ，在△AOC 和△DOB 中，90ACO DBO OC OB AOC DOB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ①①AOC ①①DOB （ASA ）．①①的结论正确；若①DBC =30°，过点D 作DH ①BC 于点H ，如图，①①AOC ①①DOB ，①OA =OD =1，AC =BD ，①CD =OC -OD =-b ，①OB =OC ，①①OCB =①OBC =45°，①DH ①BC ，①DH， ①DH ①BC ，①DBC =30°，①BD =2DH，①ACb ，①OA 2+OC 2=AC 2，①12+(1−b ) 2＝b ) 2．解得：b①b①抛物线的对称轴为直线x== ①①的结论不正确；当点B 绕点D 顺时针旋转90°后得到的点B '也在抛物线上时，过点B ′作B ′M ①y 轴于点M ，如图，由题意：DB =DB ′，①BDB ′=90°，①①MDB ′+①ODB =90°，①①ODB +①OBD =90°，①①MDB ′=①OBD ，在△MDB ′和△OBD 中，90DMB BOD MDB OBD DB BD ''∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩'，①①MDB ′①①OBD （AAS ），①MD =OB =1-b ，MB ′=OD =1，①OM =OD +DM =2-b ，①B ′（1，b -2），①1+b +b -1=b -2，解得：b =-2，①c =b -1=-3，①此时抛物线的解析式为y=x2-2x-3，①①的结论正确；综上，正确的结论是：①①①．故选：B．【点睛】本题主要考查了待定系数法，数形结合法，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，抛物线上点的坐标的特征，图形的旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．20．8【分析】根据角平分线的性质定理解答．【详解】解：当PQ①OM时，PQ最小，①P是①MON角平分线上的一点，PA①ON，PQ①OM，①PQ=PA=8，故答案为：8．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．21．100°##100度【分析】先根据三角形的内角和求出①C的度数，即可求出与①C相邻外角的度数【详解】①C=180°-①A-①B=80°，①①C相邻外角的度数为180°-80°=100°.故答案为：100°【点睛】此题主要考查邻补角的求解，解题的关键是熟知三角形的内角和为180°. 22．42或32##32或42【分析】分两种情况讨论：当高AD在ABC的内部时，当高AD在ABC的外部时，结合勾股定理，即可求解．【详解】解：当高AD在ABC的内部时，如图，在Rt ABD中，9BD，在Rt ACD中，5CD==，①14BC BD CD =+=，此时ABC 的周长是15141342AB BC AC ++=++=；当高AD 在ABC 的外部时，如图，在Rt ABD中，9BD ，在Rt ACD中，5CD ==，①4BC BD CD =-=，此时ABC 的周长是1541332AB BC AC ++=++=；综上所述，ABC 的周长是42或32．故答案为：42或32【点睛】此题考查了勾股定理的知识，在解本题时应分两种情况进行讨论，易错点在于漏解，同学们思考问题一定要全面，有一定难度．23．85︒【分析】根据全等三角形的性质和三角形内角和定理计算即可；【详解】①ABC BAD ≌，60C ∠=︒，35ABD ∠=︒，①60C D ∠=∠=︒，35DBA CAB ∠=∠=︒，①180180603585DAB D DBA ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．故答案是：85︒．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，准确分析计算是解题的关键．24．SSS【分析】根据全等三角形的判定定理SSS 推出①COM ①①DOM ，根据全等三角形的性质得出①COM =①DOM ，根据角平分线的定义得出答案即可．【详解】解：在①COM 和①DOM 中，,OC OD OM OM MC MD =⎧⎪=⎨⎪=⎩. ①①COM ①①DOM （SSS ），①①COM=①DOM，即OM是①AOB的平分线，故答案为：SSS．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．25．2或8．【详解】试题分析：由题意知，应分两种情况：当腰长为8cm时，则另一腰也为8cm，底边为18-2×8=2cm，①0＜2＜8+8，①边长分别为8cm，8cm，2cm，能构成三角形；当底边长为8cm时，腰的长=（18-8）÷2=5cm，①0＜8＜5+5=13，①边长为5cm，5cm，8cm，能构成三角形．故答案为2或8．考点：等腰三角形的性质．26．5【分析】由利用三角形的面积公式可求得BD的长，再由中线的定义可得CD=BD，从而得解．【详解】解：①S△ABD=15，AE是BC边上的高，BD•AE=15，①12×6BD=15，则12解得：BD=5，①AD是BC边上的中线，①CD=BD=5．故答案为：5．【点睛】本题主要考查三角形的中线，三角形的高，解答的关键是由三角形的面积公式求得BD的长．27．稳定性【分析】根据三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形的稳定性．【详解】解：这样做的原因是：利用三角形的稳定性使门板不变形．故答案为：三角形具有稳定性.【点睛】本题主要考查三角形的稳定性在实际生活中的应用．28．36【分析】由△ABC 是等腰直角三角形，可得①A =①C =45°，从而证明△AEF 也是等腰直角三角形，设AF =x ，则BF =12﹣x ，列出方程并求出x 的值，再根据正方形的面积公式即可求得．【详解】解：①①ABC 是等腰直角三角形，①①A =①C =45°，①四边形BDEF 是△ABC 的内接正方形，①EF ①BC ，①①AEF =①C =45°，①①AEF 也是等腰直角三角形，①AF =EF ，设AF =x ，则BF =12﹣x ，①12﹣x =x ，①x =6，①此正方形的面积为6×6=36．故答案为：36．【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质及判定．解题的关键是熟练掌握正方形的性质．29．3【分析】连接AC ，CE ，CF ，正方形ABCD 和等边AEF △都内接于O ，得证AC 是O 的直径，45ACG ∠=，60AEF AFE ∠=∠=，AE AF =，从而得证90AEC AFC ∠=∠=，30CEF CFE ∠=∠=，得到CE CF =，直线AC 是线段EF 的垂直平分线，从而得到90GMC ∠=，45CGM ∠=，得证CM GM =，30EAM ∠=，从而得证132EM AE ==，AM =2AC EC =，结合222AC EC AE =+，确定AC =CM GM AC AM ==-==，根据EG EM GM =-计算即可．【详解】如图，连接AC ，CE ，CF ，因为正方形ABCD 和等边AEF △都内接于O ， 所以AC 是O 的直径，45ACG ∠=，60AEF AFE ∠=∠=，AE AF =，所以90AEC AFC ∠=∠=，30CEF CFE ∠=∠=，所以CE CF =，所以直线AC 是线段EF 的垂直平分线，所以90GMC ∠=，45CGM ∠=，所以CM GM =，30EAM ∠=，所以132EM AE ==，AM ==2AC EC =， 因为222AC EC AE =+， 所以2221()62AC AC =+，解得AC =所以CM GM AC AM ==-=所以EG EM GM =-=3故答案为：3【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，圆的基本性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，圆的性质，等边三角形的性质，勾股定理是解题的关键．30．2.7【分析】根据全等可得OC =AP ，再根据等边三角形的性质可得AC =AB ，从而可得AO =BP ，即可得出结论【详解】解：①①ABC 为等边三角形，①AC =AB =BC =9，①①APO ①①COD ，AO =2.7，①AP =OC ，①BP =AO =2.7．故答案为：2.7．【点睛】本题考查全等三角形的性质，等边三角形的性质．正确理解性质得出线段之间的关系是解题关键．31．5:3．【分析】过C 做CG ①AD 交AD 延长线于G ，根据四边形ABCD 为平行四边形，可得CD∥AB 且CD =AB ，AD =BC ，利用平行线性质可得①CDF =①EAF ，①DCF =①E ，可证△DCF ①①AEF ，根据相似三角形性质可得31DF DC AF AE ==，设AF =m ，DF =3m ，则BC =AD = 4m ，求三角形与四边形面积S △CDF =1322DF CG mCG ⋅=，S 四边形ABCF =()()1154222AF BC CG m m CG mCG +⋅=+⋅=，再求两面积比即可． 【详解】解：过C 做CG ①AD 交AD 延长线于G ，①四边形ABCD 为平行四边形，①CD∥AB 且CD =AB ，AD =BC ，①①CDF =①EAF ，①DCF =①E ，①△DCF ①①AEF ， ①31DF DC AF AE ==， 设AF =m ，DF =3m ，则BC =AD =AF +DF =4m ，①S △CDF =1322DF CG mCG ⋅=， S 四边形ABCF =()()1154222AF BC CG m m CG mCG +⋅=+⋅=， ①53::5:322CDF ABCF S S mCG mCG ==四边形． 故答案为5:3．【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形相似判定与性质，三角形面积与四边形面积，掌握平行四边形的性质，三角形相似判定与性质，三角形面积与四边形面积是解题关键．32．6.72【分析】连接BE，延长CD交BE与点H，作CF①AB，垂足为F．首先证明DC垂直平分线段BE，△ABE是直角三角形，利用三角形的面积求出EH，得到BE的长，在Rt△ABE 中，利用勾股定理即可解决问题．【详解】解：如图，连接BE，延长CD交BE与点H，作CF①AB，垂足为F．①①ACB=90°，AC=6，BC=8．①AB，①D是AB的中点，①AD=BD=CD=5，①S△ABC=12AC•BC=12AB•CF，①12×6×8=12×10×CF，解得CF=4.8．①将△BCD沿直线CD翻折得到△ECD，①BC=CE，BD=DE，①CH①BE，BH=HE．①AD=DB=DE，①①ABE为直角三角形，①AEB=90°，①S△ECD=S△ACD，①12DC•HE=12AD•CF，①DC=AD，①HE=CF=4.8．①BE=2EH=9.6．①①AEB=90°，①AE．①S△ADE=12EH•AE=12×2.8×4.8=6.72．故答案为：6.72．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型．33．【详解】试题分析：根据勾股定理和等腰直角三角形的面积公式，可以证明：以直角三角形的两条直角边为斜边的等腰直角三角形的面积和等于以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积．则阴影部分的面积即为以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积的2倍．解：在Rt①ABC中，AB2=AC2+BC2，AB=5，S阴影=S△AHC+S△BFC+S△AEB=×+×+×，=（AC2+BC2+AB2），=AB2，=×52=．故答案为．点评：本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明三个等腰直角三角形的面积之间的关系．34．48 5【分析】根据垂线段最短可知当EP①AB时，线段EP最短．根据12•AB•PE=12×BE×AE，只要求出AB、AE、BE、PE，即可解决问题．【详解】解：根据垂线段最短可知当PE①AB时，线段PE最短．①AE①BC于E，sinB＝35＝AEAB，设AE＝3k，AB＝BC＝5k，则BE＝4k，EC＝k，①EC＝3，①k＝3，①BE＝12，AB＝15，AE＝9，当PE①AB时，12•AB•PE＝12×BE×AE，①PE＝AE BEAB⨯＝365，①线段PE的最小值为365，①BP 485．故答案为：485．【点睛】本题考查菱形的性质、解直角三角形、垂线段最短、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．35．10．【分析】连结OC，设①O半径为r，则OC=r，OE=r-2，根据垂径定理得到CE=DE=1 2CD=6，在Rt△OCE中，利用勾股定理列出关于r的等式，然后解方程求出r即可．【详解】解：连结OC，设①O半径为r，则OC=r，OE=r-BE=r-2，①CD①AB，CD＝12①CE=DE=12CD=6，。
八年级数学三角形全等中考真题专项练习汇总大全(精选200题)
（ ）
A 1 个 ．
B 2个 ．
C．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则说明∠A′O′B′=
∠AOB 的依据是（ ）
A （S．S．S．） B （S．A．S．） C．（A．S．A．） D．（A．A．S．）
．
．
4．（江西）如图，已知 AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC
6．（荆州）如图，在等边△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 上的点，且 AD=CE，则∠BCD+∠CBE=_______°．
7．（河南）如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠CAB=50°．按以下步骤作图：① 以点 A 为圆心，小于 AC 的长为半径画弧，分别交 AB、AC 于点 E、F；②分 别以点 E、F 为圆心，大于 EF 的长为半径画弧，两弧相交于点 G；③作射线 AG 交 BC 边于点 D．则∠ADC 的度数为_______．
A 62° ．
B 38° ．
C．28°
D．26°
23．（丽水）如图，已知△ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相 互平行的三条直线 l1，l2，l3 上，且 l1，l2 之间的距离为 2，l2，l3 之间的距离为 3，则 AC 的长是（ ）
A
B
C．
D．7
．
．
24．（綦江县）如图，在▱ABCD 中，分别以 AB、AD 为边向外作等边
BC 的延长线于 E，则图中与△ABC 全等的三角形共有（ ）
A 1 个 ．
B 2个 ．
C．3 个
D．4 个
12．（贵港）如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，若 CD⊥ AB，DE⊥BC 垂足分别是 D、E．则图中全等的三角形共有（ ）
八年级三角形填空选择中考真题汇编[解析版]
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八年级三角形填空选择中考真题汇编[解析版]一、八年级数学三角形填空题（难）1．如图，在ABC ∆中，A α∠=．ABC ∠与ACD ∠的平分线交于点1A ，得1A ∠： 1A BC ∠与1A CD ∠的平分线相交于点2A ，得2A ∠；；2019A BC ∠与2019A CD ∠的平分线相交于点2020A ，得2020A ∠，则2020A ∠=________________．【答案】20202α【解析】【分析】 根据角平分线的定义，三角形的外角性质及三角形的内角和定理可知21211112222a A A A A a ∠=∠=∠=∠=，，…，依此类推可知2020A ∠的度数． 【详解】 解：∵∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，∴11118022A ACD ACB ABC ∠=︒-∠-∠-∠ 1118018022ABC A A ABC ABC =︒-∠+∠-︒-∠-∠-∠（）（） 1122a A =∠=， 同理可得221122a A A ∠=∠=， …∴2020A ∠=20202α． 故答案为：20202α. 【点睛】 本题是找规律的题目，主要考查三角形的外角性质及三角形的内角和定理，同时也考查了角平分线的定义．2．如图，BE 平分∠ABC，CE 平分外角∠ACD，若∠A＝42°，则∠E＝_____°．【答案】21°【解析】根据三角形的外角性质以及角平分线的定义可得．解：由题意得：∠E=∠ECD−∠EBC=12∠ACD−12∠ABC=12∠A=21°.故答案为21°.3．如图，在△ABC中，∠B=50°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=_______°.【答案】65【解析】如图，∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF，∴∠1=12∠DAC，∠2=12∠ACF，∴∠1+∠2=12（∠DAC+∠ACF），又∵∠DAC+∠ACF=（180°-∠BAC）+（180°-∠ACB）=360°-（∠BAC+∠ACB），且∠BAC+∠ACB=180°-∠ABC=180°-50°=130°，∴∠1+∠2=12（360°-130°）=115°，∴在△ACE中，∠E=180°-（∠1+∠2）=180°-115°=65°.4．如图，将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠COB=____．【答案】105°．【解析】【分析】先根据直角三角形的特殊角可知：∠ECD=45°，∠BDC=60°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【详解】如图，∠ECD=45°，∠BDC=60°，∴∠COB=∠ECD+∠BDC=45°+60°=105°．故答案为：105°．【点睛】此题考查三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质是解题的关键．5．等腰三角形的三边长分别为：x+1，2x+3，9，则x=________.【答案】3【解析】①当x+1=2x+3时，解得x=−2(不合题意,舍去)；②当x+1=9时，解得x=8，则等腰三角形的三边为:9、19、9，因为9+9=18<19，不能构成三角形，故舍去；③当2x+3=9时，解得x=3，则等腰三角形的三边为:4、9、9，能构成三角形。
八年级数学全等三角形中考真题汇编[解析版]
八年级数学全等三角形中考真题汇编[解析版]一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．如图，在等边ABC ∆中取点P 使得PA ，PB ，PC 的长分别为3， 4， 5，则APC APB S S ∆∆+=_________．【答案】936 【解析】【分析】把线段AP 以点A 为旋转中心顺时针旋转60︒得到线段AD ，由旋转的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定定理SAS 证得△ADB ≌△APC ，连接PD ，根据旋转的性质知△APD 是等边三角形，利用勾股定理的逆定理可得△PBD 为直角三角形，∠BPD ＝90︒，由△ADB ≌△APC 得S △ADB ＝S △APC ，则有S △APC ＋S △APB ＝S △ADB ＋S △APB ＝S △ADP ＋S △BPD ，根据等边3S △ADP ＋S △BPD ＝332＋12×3×4＝936+． 【详解】将线段AP 以点A 为旋转中心顺时针旋转60︒得到线段AD ，连接PD∴AD ＝AP ，∠DAP ＝60︒，又∵△ABC 为等边三角形，∴∠BAC ＝60︒，AB ＝AC ，∴∠DAB ＋∠BAP ＝∠PAC ＋∠BAP ，∴∠DAB ＝∠PAC ，又AB=AC,AD=AP∴△ADB ≌△APC∵DA ＝PA ，∠DAP ＝60︒，∴△ADP 为等边三角形，在△PBD 中，PB ＝4，PD ＝3，BD ＝PC ＝5，∵32＋42＝52，即PD 2＋PB 2＝BD 2，∴△PBD 为直角三角形，∠BPD ＝90︒，∵△ADB ≌△APC ，∴S △ADB ＝S △APC ，∴S △APC ＋S △APB ＝S △ADB ＋S △APB ＝S △ADP ＋S △BPD ＝34×32＋12×3×4＝9364+． 故答案为：9364+．【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，解题的关键是熟知旋转的性质作出辅助线进行求解．2．如图，ABC 中，ABC=45∠︒，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连接DH 与BE 相交于点G ，下列结论：BF=AC ①；A=67.5∠︒②；DG=DF ③；ADGE GHCE S S =四边形四边形④，其中正确的有__________（填序号）．【答案】①②③【解析】【分析】只要证明△BDF ≌△CDA ，△BAC 是等腰三角形，∠DGF=∠DFG=67.5°，即可判断①②③正确，作GM ⊥BD 于M ，只要证明GH ＜DG 即可判断④错误．【详解】解：∵CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°，∴∠A ＋∠ABE=90°，∠ABE ＋∠DFB=90°，∴∠A=∠DFB ，∵∠ABC=45°，∠BDC=90°，∴∠DCB=90°−45°=45°=∠DBC ，∴BD=DC ，在△BDF和△CDA中，∠BDF=∠CDA，∠A=∠DFB，BD=CD，∴△BDF≌△CDA（AAS），∴BF=AC，故①正确．∵∠ABE=∠EBC=22.5°，BE⊥AC，∴∠A=∠BCA=67.5°，故②正确，∵BE平分∠ABC，∠ABC=45°，∴∠ABE=∠CBE=22.5°，∵∠BDF=∠BHG=90°，∴∠BGH=∠BFD=67.5°，∴∠DGF=∠DFG=67.5°，∴DG=DF，故③正确．作GM⊥AB于M．如图所示：∵∠GBM=∠GBH，GH⊥BC，∴GH=GM＜DG，∴S△DGB＞S△GHB，∵S△ABE=S△BCE，∴S四边形ADGE＜S四边形GHCE．故④错误，故答案为：①②③．【点睛】此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点的综合运用，第五个问题难度比较大，添加辅助线是解题关键，属于中考选择题中的压轴题．3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法：①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的垂直平分线上；④S△DAC：S△ABC＝1：3.其中正确的是__________________．(填所有正确说法的序号)【答案】4【解析】【分析】①连接NP ，MP ，根据SSS 定理可得△ANP ≌△AMP ，故可得出结论；②先根据三角形内角和定理求出∠CAB 的度数，再由AD 是∠BAC 的平分线得出∠1=∠2=30°，根据直角三角形的性质可知∠ADC =60°；③根据∠1=∠B 可知AD =BD ，故可得出结论；④先根据直角三角形的性质得出∠2=30°，CD =12AD ，再由三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】 ①连接NP ，MP ．在△ANP 与△AMP 中，∵AN AM NP MP AP AP =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ANP ≌△AMP ，则∠CAD =∠BAD ，故AD 是∠BAC 的平分线，故此选项正确；②∵在△ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，∴∠CAB =60°．∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠1=∠2=12∠CAB =30°，∴∠3=90°﹣∠2=60°，∴∠ADC =60°，故此选项正确；③∵∠1=∠B =30°，∴AD =BD ，∴点D 在AB 的中垂线上，故此选项正确；④∵在Rt △ACD中，∠2=30°，∴CD =12AD ，∴BC =BD +CD =AD +12AD =32AD ，S △DAC =12AC •CD =14AC •AD ，∴S △ABC=12AC •BC =12AC •32AD =34AC •AD ，∴S △DAC ：S △ABC =1：3，故此选项正确． 故答案为①②③④．【点睛】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．4．如图，已知∠MON ＝30°，点A 1，A 2，A 3，…在射线ON 上，点B 1，B 2，B 3，…在射线OM 上，△A 1B 1A 2，△A 2B 2A 3，△A 3B 3A 4，…均为等边三角形，若OA 2＝4，则△A n B n A n +1的边长为_____．【答案】2n ．【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，以及A 2B 2＝2B 1A 2，得出A 3B 3＝4B 1A 2＝8，A 4B 4＝8B 1A 2＝16，A 5B 5＝16B 1A 2…进而得出答案．【详解】解：∵△A 1B 1A 2是等边三角形，∴A 1B 1＝A 2B 1，∵∠MON ＝30°，∵OA 2＝4，∴OA 1＝A 1B 1＝2，∴A 2B 1＝2，∵△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4是等边三角形，∴A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，B 1A 2∥B 2A 3，∴A 2B 2＝2B 1A 2，B 3A 3＝2B 2A 3，∴A 3B 3＝4B 1A 2＝8，A 4B 4＝8B 1A 2＝16，A 5B 5＝16B 1A 2＝32，以此类推△A n B n A n +1的边长为 2n ．故答案为：2n ．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质，由条件得到OA 5=2OA 4=4OA 3=8OA 2=16OA 1是解题的关键．5．如图，ABC ∆中，AB AC =，点D 是ABC ∆内部一点，DB DC =，点E 是边AB 上一点，若CD 平分ACE ∠，100AEC =∠，则BDC ∠=______°【答案】80【解析】【分析】根据角平分线得到∠ACE=2∠ACD，再根据角的和差关系得到∠ECB =∠ACB－2∠ACD，然后利用外角定理得到∠ABC+∠ECB=100°，代换化简得出∠ACB－∠ACD=50°，即∠DCB=50°，从而求出∠BDC即可.【详解】∵CD平分∠ACE，∴∠ACE=2∠ACD=2∠ECD，∴∠ECB=∠ACB－∠ACE=∠ACB－2∠ACD，∵∠AEC=100°，∴∠ABC+∠ECB=100°，∴∠ABC+∠ACB－2∠ACD=100°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB,∴2∠ACB－2∠ACD=100°，∴∠ACB－∠ACD=50°，即∠DCB=50°，∵DB=DC，∴∠DBC=∠DCB，∴∠BDC=180°－2∠DCB=180°－2×50°=80°.【点睛】本题考查了角平分线，三角形内角和，外角定理，及等边对等角的性质等知识，熟练掌握基本知识，找出角与角之间的关系是解题的关键.6．如图，∠AOB＝45°，点M、点C在射线OA上，点P、点D在射线OB上，且OD＝2，则CP+PM+DM的最小值是_____．【答案】34．【解析】【分析】如图，作点C关于OB的对称点C′，作点D关于OA的对称点D′，连接OC′，PC′，D′M，OD′，C′D′，根据轴对称的性质得到OC′＝OC＝2，OD′＝OD＝32，CP＝C′P，DM＝D′M，∠C′OD＝′COD＝∠COD′＝45°，于是得到CP+PM+MD＝C′+PM+D′M≥C′D′，当仅当C′，P，M，D′三点共线时，CP+PM+MD最小为C′D′，作C′T⊥D′O于点T，于是得到结论．【详解】解：如图，作点C关于OB的对称点C′，作点D关于OA的对称点D′，连接OC′，PC′，D′M，OD′，C′D′，则OC′＝OC＝2，OD′＝OD＝32，CP＝C′P，DM＝D′M，∠C′OD＝′COD＝∠COD′＝45°，∴CP+PM+MD＝C′+PM+D′M≥C′D′，当仅当C′，P，M，D′三点共线时，CP+PM+MD最小为C′D′，作C′T⊥D′O于点T，则C′T＝OT＝2，∴D′T＝42，∴C′D′＝34，∴CP+PM+DM的最小值是34．故答案为：34．【点睛】本题考查了最短路径问题，掌握作轴对称点是解题的关键.7．如图，过边长为1的等边三角形ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当AP＝CQ时，PQ交AC于D，则DE的长为______．【答案】1 2【解析】过点Q作AD的延长线的垂线于点F.因为△ABC是等边三角形，所以∠A=∠ACB=60°.因为∠ACB=∠QCF，所以∠QCF=60°.因为PE⊥AC，QF⊥AC，所以∠AEP=∠CFQ=90°，又因为AP=CQ，所以△AEP≌△CFQ，所以AE=CF，PE=QC.同理可证，△DEP≌△DFQ，所以DE=DF.所以AC=AE+DE+CD=DE+CD+CF=DE+DF=2DE，所以DE=12AC=12.故答案为1 2 .8．如图，△ABC中，AC＝DC＝3，BD垂直∠BAC的角平分线于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为________．【答案】9 2【解析】【分析】首先证明两个阴影部分面积之差＝S△ADC，当CD⊥AC时，△ACD的面积最大．【详解】延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O．∵AD⊥BH，∴∠ADB＝∠ADH＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∠H＋∠HAD＝90°，∵∠BAD＝∠HAD，∴∠ABD＝∠H，∴AB＝AH，∵AD⊥BH，∴BD＝DH，∵DC＝CA，∴∠CDA＝∠CAD，∵∠CAD＋∠H＝90°，∠CDA＋∠CDH＝90°，∴∠CDH＝∠H，∴CD＝CH＝AC，∵AE＝EC，∴S△ABE＝14S△ABH，S△CDH＝14S△ABH，∵S△OBD−S△AOE＝S△ADB−S△ABE＝S△ADH−S△CDH＝S△ACD，∵AC＝CD＝3，∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为12×3×3＝92．故填：92．【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．9．如图，∠BOC=60°，点A是BO延长线上的一点，OA=10cm，动点P从点A出发沿AB 以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t=_____s时，△POQ是等腰三角形.【答案】103或10【解析】【分析】根据△POQ是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点P在AO上，点P在BO上，分别计算，即可得解.【详解】当PO=QO时，△POQ是等腰三角形，如图1所示当点P在AO上时，∵PO=AO-AP=10-2t，OQ=t当PO=QO时，102t t-=解得103 t=当PO=QO 时，△POQ 是等腰三角形，如图2所示当点P 在BO 上时∵PO=AP-AO=2t-10，OQ=t当PO=QO 时，210t t -=解得10t = 故答案为：103或10 【点睛】本题考查等腰三角形的性质及动点问题，熟练掌握等腰三角形的性质以及分类讨论思想是解题关键.10．如图：在ABC ∆中，D ，E 为边AB 上的两个点，且BD BC =，AE AC =，若108ACB ∠=︒，则DCE ∠的大小为______.【答案】036【解析】【分析】根据三角形内角和求出∠A+∠B,再根据AC=AE,BC=BD ，用∠A 表示∠AEC,用∠B 表示∠BDC，然后根据内角和求出∠DCE 的度数.【详解】∵∠ACB=1080，∴∠A+∠B=1800-1080=720,∵AC=AE,BC=BD,∴∠ACE=∠AEC,∠BCD=∠BDC,∴01(180)2AEC A ∠=-∠01902A =-∠ 01(180)2BDCB ∠=-∠ =01902B -∠ ∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=1800，∴0180DCE CDE CED ∠=-∠-∠ = 00011180(90)(90)22A B --∠--∠ =1122A B ∠+∠ =1()2A B ∠+∠ =360【点睛】此题考察等腰三角形的性质，注意两条等边所在三角形，依此判断对应的两个底角相等.二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）11．已知∠AOB =30°，点P 在∠AOB 内部，P 1与P 关于OB 对称，P 2与P 关于OA 对称，则P 1，O ，P 2三点构成的三角形是 （ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形 【答案】C【解析】【分析】根据题意，作出相应的图形，然后对相应的角进行标记；本题先证明P 1，O ，P 2三点构成的三角形中1260POP ∠=︒，然后证边12OP OP OP ==，得到P 1，O ，P 2三点构成的三角形为等腰三角形，又因为该等腰三角形有一个角为60︒，故得证P 1，O ，P 2三点构成的三角形是等边三角形。
人教版八年级数学上册 全册全套试卷中考真题汇编[解析版]
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人教版八年级数学上册 全册全套试卷中考真题汇编[解析版]一、八年级数学三角形填空题（难）1．如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A 、B 分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴上移动,点M 在第二象限，且MA 平分∠BAO ，做射线MB ，若∠1=∠2，则∠M 的度数是_______。
【答案】45︒【解析】【分析】根据三角形内角与外角的关系可得2M MAB ∠∠∠=+由角平分线的性质可得MAB MAO ∠∠=根据三角形内角和定理可得OBA OAB BOA 180∠∠∠++=︒易得∠M 的度数。
【详解】在ABM 中，2∠是ABM 的外角∴2M MAB ∠∠∠=+由三角形内角和定理可得OBA OAB BOA 180∠∠∠++=︒∵BOA 90∠=︒∴OBA OAB 90∠∠+=︒∵MA 平分BAO ∠∴BAO 2MAB ∠∠=由三角形内角与外角的关系可得12BAO BOA 90BAO ∠∠∠∠∠+=+=︒+ ∵12∠∠=∴2290BAO ∠∠=︒+又∵2M MAB ∠∠∠=+∴222M 2MAB 2M BAO ∠∠∠∠∠=+=+∴90BAO 2M BAO ∠∠∠︒+=+2M 90∠=︒M 45∠=︒【点睛】本题考查三角形外角的性质，即三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和。
2．一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是_____．【答案】720°．【解析】【分析】先利用多边形的外角和为360°计算出这个正多边形的边数，然后再根据内角和公式进行求解即可．【详解】这个正多边形的边数为36060︒︒=6，所以这个正多边形的内角和=（6﹣2）×180°=720°，故答案为720°．【点睛】本题考查了多边形内角与外角：内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）；多边形的外角和等于360度．3．有公共顶点A，B的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接AC交正六边形于点D，则∠ADE的度数为（）A．144°B．84°C．74°D．54°【答案】B【解析】正五边形的内角是∠ABC=()521805-⨯=108°，∵AB=BC，∴∠CAB=36°，正六边形的内角是∠ABE=∠E=()621806-⨯=120°，∵∠ADE+∠E+∠ABE+∠CAB=360°，∴∠ADE=360°–120°–120°–36°=84°，故选B．4．两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于 ______ 度．【答案】108°【解析】【分析】如图，易得△OCD为等腰三角形，根据正五边形内角度数可求出∠OCD，然后求出顶角∠COD，再用360°减去∠AOC、∠BOD、∠COD即可【详解】∵五边形是正五边形，∴每一个内角都是108°，∴∠OCD=∠ODC=180°-108°=72°，∴∠COD=36°，∴∠AOB=360°-108°-108°-36°=108°.故答案为108°【点睛】本题考查正多边形的内角计算，分析出△OCD 是等腰三角形，然后求出顶角是关键.5．如图，A 、B 、C 三点在同一条直线上，∠A ＝50°，BD 垂直平分AE ，垂足为D ，则∠EBC 的度数为_____．【答案】100°【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质，得BE BA =，根据等腰三角形的性质，得50E A ∠=∠=︒，再根据三角形外角的性质即可求解．【详解】∵BD 垂直平分AE ，∴BE BA =，∴50E A ∠=∠=︒，∴100EBC E A ∠=∠+∠=︒，故答案为100°．【点睛】考查线段垂直平分线的性质以及三角形外角的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键.6．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 相交于点F ，若BF ＝AC ，则∠ABC ＝_____度．【答案】45【解析】【分析】根据三角形全等的判定和性质，先证△ADC ≌△BDF ，可得BD=AD ，可求∠ABC=∠BAD=45°．【详解】∵AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E∴∠EAF+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°，又∵∠BFD=∠AFE （对顶角相等）∴∠EAF=∠DBF ，在Rt △ADC 和Rt △BDF 中，CAD FBD BDF ADC BF AC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△ADC ≌△BDF （AAS ），∴BD=AD ，即∠ABC=∠BAD=45°．故答案为45．【点睛】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．二、八年级数学三角形选择题（难）7．已知三角形的三边长分别为2，a －1，4，则化简|a －3|＋|a －7|的结果为（ ）A ．2a －10B ．10－2aC ．4D ．－4 【答案】C【解析】试题分析：已知三角形的三边长分别为2，a －1，4，则根据三角形的三边关系：可得：a-1>4-2，a-1<2+4即a >3，a<7.所以a －3>0，a-7<0. |a －3|＋|a －7|=a-3+（7-a ）=4.故选C点睛：本题主要考查考生三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
八年级数学三角形填空选择中考真题汇编[解析版]
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八年级数学三角形填空选择中考真题汇编[解析版]一、八年级数学三角形填空题（难）1．如图，1BA 和1CA 分别是ABC ∆的内角平分线和外角平分线，2BA 是1A BD ∠的角平分线， 2CA 是1A CD ∠的角平分线，3BA 是2A BD ∠的角平分线，3CA 是2A CD ∠的角平分线，若1A α∠=，则2018A ∠=_____________【答案】20172α【解析】【分析】 根据角平分线的定义可得∠A 1BC=12∠ABC ，∠A 1CD=12∠ACD ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC ，∠A 1CD=∠A 1BC+∠A 1，整理即可得解，同理求出∠A 2，可以发现后一个角等于前一个角的12，根据此规律即可得解． 【详解】∵A 1B 是∠ABC 的平分线，A 1C 是∠ACD 的平分线，∴∠A 1BC=12∠ABC ，∠A 1CD=12∠ACD ， 又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A 1CD=∠A 1BC+∠A 1，∴12（∠A+∠ABC ）=12∠ABC+∠A 1， ∴∠A 1=12∠A ， ∵∠A 1=α．同理理可得∠A 2=12∠A 1=12α，∠A 3=12∠A 2=212α， ……， ∴∠A 2018=20172α， 故答案为20172α．【点睛】本题主要考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义是解题的关键．2．如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=__________度．【答案】360 °【解析】如图所示，根据三角形外角的性质可得，∠1+∠5=∠8，∠4+∠6=∠7，根据四边形的内角和为360°，可得∠2+∠3+∠7+∠8=360°，即可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°.点睛：本题考查的知识点：（1）三角形的内角和外角之间的关系：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和； （2）四边形内角和定理：四边形内角和为360°．3．若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________.【答案】8；【解析】【分析】根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用360°÷45°可求得边数．【详解】∵多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是45°，∴360°÷45°=8即该正多边形的边数是8．【点睛】本题主要考查了多边形外角和是360度和正多边形的性质（正多边形的各个内角相等，各个外角也相等）．4．如图，在ABC ∆中，B 与C ∠的平分线交于点P .若130BPC ∠=︒，则A ∠=______．【答案】80°【解析】【分析】根据三角形内角和可以求得∠PBC+∠PCB的度数，再根据角平分线的定义，求出∠ABC+∠ACB，最后利用三角形内角和定理解答即可.【详解】解：在△PBC中，∠BPC=130°，∴∠PBC+∠PCB=180°-130°=50°.∵PB、PC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠ABC+∠ACB=2（∠PBC+∠PCB）=2×50°=100°，在△ABC中，∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-100°=80°.故答案为80°.【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理和角平分线的定义，掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解题的关键.5．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内时，∠A与∠1＋∠2之间有始终不变的关系是__________．【答案】2∠A＝∠1＋∠2【解析】【分析】根据∠1与∠AED的2倍和∠2与∠ADE的2倍都组成平角，结合△AED的内角和为180°可求出答案．【详解】∵△ABC纸片沿DE折叠，∴∠1＋2∠AED＝180°，∠2＋2∠ADE＝180°，∴∠AED＝12（180°−∠1），∠ADE＝12（180°−∠2），∴∠AED＋∠ADE＝12（180°−∠1）＋12（180°−∠2）＝180°−12（∠1＋∠2）∴△ADE中，∠A＝180°−（∠AED＋∠ADE）＝180°−[180°−12（∠1＋∠2）]＝12（∠1＋∠2），即2∠A＝∠1＋∠2．故答案为：2∠A＝∠1＋∠2．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°及图形翻折变换的性质是解答此题的关键．6．如果一个n边形的内角和是1440°，那么n=__．【答案】10【解析】∵n边形的内角和是1440°，∴(n−2)×180°=1440°，解得：n=10.故答案为：10.7．两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于 ______ 度．【答案】108°【解析】【分析】如图，易得△OCD为等腰三角形，根据正五边形内角度数可求出∠OCD，然后求出顶角∠COD，再用360°减去∠AOC、∠BOD、∠COD即可【详解】∵五边形是正五边形，∴每一个内角都是108°，∴∠OCD=∠ODC=180°-108°=72°，∴∠COD=36°，∴∠AOB=360°-108°-108°-36°=108°.故答案为108°【点睛】本题考查正多边形的内角计算，分析出△OCD是等腰三角形，然后求出顶角是关键.8．如果一个n边形的内角和等于它的外角和的3倍，则n=______．【答案】8【解析】【分析】根据多边形内角和公式180°（n-2）和外角和为360°可得方程180（n-2）=360×3，再解方程即可．【详解】解：由题意得：180（n-2）=360×3，解得：n=8，故答案为：8．【点睛】此题主要考查了多边形内角和与外角和，要结合多边形的内角和公式与外角和的关系来寻求等量关系，构建方程即可求解．9．如图，在△ABC中，∠A=50°，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是_____．【答案】85°．【解析】【分析】根据三角形内角和得出∠C=60°，再利用角平分线得出∠DBC=35°，进而利用三角形内角和得出∠BDC的度数．【详解】∵在△ABC中，∠A=50°，∠ABC=70°，∴∠C=60°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=35°，∴∠BDC=180°﹣60°﹣35°=85°．故答案为85°．10．如图，在△ABC中，∠A=70°，点O到AB,BC,AC的距离相等，连接BO，CO，则∠BOC=________．【答案】125°【解析】【分析】根据角平分线性质推出O为△ABC三角平分线的交点，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据角平分线定义求出∠OBC+∠OCB，即可求出答案．【详解】：∵点O到AB、BC、AC的距离相等，∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴12OBC ABC∠=∠，12OCB ACB∠=∠，∵∠A=70°，∴∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°，∴1110552OBC OCB∠+∠=⨯︒=︒，∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=125°；故答案为：125．【点睛】本题主要考查平分线的性质，三角形内角和定理的应用，能求出∠OBC+∠OCB的度数是解此题的关键．二、八年级数学三角形选择题（难）11．若△ABC内有一个点P1，当P1、A、B、C没有任何三点在同一直线上时，如图1，可构成3个互不重叠的小三角形；若△ABC内有两个点P1、P2，其它条件不变，如图2，可构成5个互不重叠的小三角形：……若△ABC内有n个点，其它条件不变，则构成若干个互不重叠的小三角形，这些小三角形的内角和为（）A．n·180°B．（n+2）·180°C．（2n-1）·180°D．（2n+1）·180°【答案】D【解析】【分析】当△ABC 内的点的个数是1时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是3；当△ABC 内的点的个数是2时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是5；依此类推得到当△ABC 内的点的个数是3时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是7；当△ABC 内的点的个数是n 时，三角形内互不重叠的小三角形的个数2n+1，所以这些小三角形的内角和为（2n+1）·180° 【详解】】解：图1中，当△ABC 内只有1个点时，可分割成3个互不重叠的小三角形； 图2中，当△ABC 内只有2个点时，可分割成5个互不重叠的小三角形；图3中，当△ABC 内只有3个点时，可分割成7个互不重叠的小三角形；根据以上规律，当△ABC 内有n 个点（P 1，P 2，…，P n ）时，可以把△ABC 分割成S=2n+1个互不重叠的三角形，所以这些小三角形的内角和为（2n+1）·180°. 【点睛】此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．12．如图，CD 是ABC 的一条中线，E 为BC 边上一点且2,BE CE AE CD 、相交于,F 四边形BDFE 的面积为6，则ABC 的面积是（ ）A ．14B ．14.4C ．13.6D ．13.2【答案】B【解析】【分析】 连结BF ，设S △BDF ＝x ，则S △BEF ＝6－x ，由CD 是中线可以得到S △ADF ＝S △BDF ，S △BDC ＝S △ADC ，由BE ＝2CE 可以得到S △CEF ＝12S △BEF ，S △ABE ＝23S △ABC ，进而可用两种方法表示△ABC 的面积，由此可得方程，进而得解．【详解】解：如图，连接BF ，设S△BDF＝x，则S△BEF＝6－x，∵CD是中线，∴S△ADF＝S△BDF＝x，S△BDC＝ S△ADC＝12△ABC，∵BE＝2CE，∴S△CEF＝12S△BEF＝12(6－x)，S△ABE＝23S△ABC，∵S△BDC＝ S△ADC＝12△ABC，∴S△ABC＝2S△BDC＝2[x＋32(6－x)]＝18－x，∵S△ABE＝23S△ABC，∴S△ABC＝32S△ABE＝32[2x＋ (6－x)]＝1.5x＋9，∴18－x ＝1.5x＋9，解得：x＝3.6，∴S△ABC＝18－x，＝18－3.6＝14.4，故选：B．【点睛】本题考查了三角形的中线能把三角形的面积平分，等高三角形的面积比等于底的比，熟练掌握这个结论记以及方程思想是解题的关键．13．如图，△ABC的面积为3，BD：DC＝2：1，E是AC的中点，AD与BE相交于点P，那么四边形PDCE的面积为（）A．13B．710C．35D．1320【答案】B【解析】【分析】连接CP．设△CPE的面积是x，△CDP的面积是y．根据BD：DC=2：1，E为AC的中点，得△BDP的面积是2y，△APE的面积是x，进而得到△ABP的面积是4x．再根据△ABE的面积是△BCE的面积相等，得4x+x=2y+x+y，解得y=43x，再根据△ABC的面积是3即可求得x、y的值，从而求解．【详解】连接CP，设△CPE的面积是x，△CDP的面积是y．∵BD：DC=2：1，E为AC的中点，∴△BDP的面积是2y，△APE的面积是x，∵BD：DC=2：1∴△ABD的面积是4x+2y∴△ABP的面积是4x．∴4x+x=2y+x+y，解得y=43x．又∵△ABC的面积为3∴4x+x=32，x=310．则四边形PDCE的面积为x+y=710．故选B ．【点睛】此题能够根据三角形的面积公式求得三角形的面积之间的关系．等高的两个三角形的面积比等于它们的底的比；等底的两个三角形的面积比等于它们的高的比．14．如图，在ABC ∆中，点D 在BC 上，点O 在AD 上，如果3AOB S ∆=，2BOD S ∆=，1ACO S ∆=，那么COD S ∆=（ ）A ．13B ．12C ．32D ．23【答案】D【解析】【分析】根据三角形的面积公式结合3AOB S ∆=，2BOD S ∆=求出AO 与DO 的比，再根据1ACO S ∆=，即可求得COD S ∆的值．【详解】∵3AOB S ∆=，2BOD S ∆=，且AD 边上的高相同，∴AO ：DO=3：2．∵△ACO 和△COD 中，AD 边上的高相同，∴S △AOC ：S △COD = AO ：DO=3：2，∵1ACO S ∆=，∴COD S ∆=23. 故选D ．【点睛】本题考查了三角形的面积及等积变换，利用同底等高的三角形面积相等是解题的关键．15．已知非直角三角形ABC 中，∠A=45°，高BD 与CE 所在直线交于点H ，则∠BHC 的度数是（）A ．45°B ．45° 或135°C ．45°或125°D ．135°【答案】B【解析】【分析】①△ABC是锐角三角形时，先根据高线的定义求出∠ADB=90°，∠BEC=90°，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠ABD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解；②△ABC是钝角三角形时，根据直角三角形两锐角互余求出∠BHC=∠A，从而得解．【详解】①如图1，△ABC是锐角三角形时，∵BD、CE是△ABC的高线，∴∠ADB=90°，∠BEC=90°，在△ABD中，∵∠A=45°，∴∠ABD=90°-45°=45°，∴∠BHC=∠ABD+∠BEC=45°+90°=135°；②如图2，△ABC是钝角三角形时，∵BD、CE是△ABC的高线，∴∠A+∠ACE=90°，∠BHC+∠HCD=90°，∵∠ACE=∠HCD（对顶角相等），∴∠BHC=∠A=45°．综上所述，∠BHC的度数是135°或45°．故选B.【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的高线，难点在于要分△ABC是锐角三角形与钝角三角形两种情况讨论，作出图形更形象直观．16．如图，把一张长方形纸条ABCD 沿EF 折叠，C 、D 两点落到'C 、'D 处.已知20DAC ∠=，且''//C D AC ，则AEF ∠的度数为( )A ．20B ．35C ．50D ．70【答案】B【解析】【分析】 依据C'D'//AC ，即可得到∠AHG=∠C′=90°，进而得出AGH 70∠=，由折叠可得，CFE GFE ∠∠=，由AD//BC ，可得CFE GEF ∠∠=，依据三角形外角性质得到1AEF GFE AGH 352∠∠∠===．【详解】如图，C'D'//AC ，，又DAC 20∠=，AGH 70∠∴=，由折叠可得，CFE GFE ∠∠=，由AD//BC ，可得CFE GEF ∠∠=，1AEF GFE AGH 352∠∠∠∴===， 故选：B ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．17．已知△ABC 的两条高的长分别为5和20，若第三条高的长也是整数，则第三条高的长的最大值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【解析】设△ABC的面积为S，所求的第三条高线的长为h，则三边长分别为,,，根据三角形的三边关系为，解得，所以h的最大整数值为6，即第三条高线的长的最大值为6．故选B．点睛：本题主要考查了三角形的面积公式，三角形三边关系定理及不等式组的解法，有一定难度．利用三角形的面积公式，表示出△ABC三边的长度，从而运用三角形三边关系定理，列出不等式组是解题的关键，难点是解不等式组．18．下列多边形中，不能够单独铺满地面的是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形【答案】C【解析】【分析】由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角和为360°．【详解】∵正三角形的内角=180°÷3=60°，360°÷60°=6，即6个正三角形可以铺满地面一个点，∴正三角形可以铺满地面；∵正方形的内角=360°÷4=90°，360°÷90°=4，即4个正方形可以铺满地面一个点，∴正方形可以铺满地面；∵正五边形的内角=180°－360°÷5=108°，360°÷108°≈3.3，∴正五边形不能铺满地面；∵正六边形的内角=180°－360°÷6=120°，360°÷120°=3，即3个正六边形可以铺满地面一个点，∴正六边形可以铺满地面．故选C．【点睛】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．19．一正多边形的内角和与外角和的和是1440°，则该正多边形是（）A．正六边形B．正七边形C．正八边形D．正九边形【答案】C【解析】【分析】依题意，多边形的内角与外角和为1440°，多边形的外角和为360°，根据内角和公式求出多边形的边数．【详解】解：设多边形的边数为n，根据题意列方程得，（n﹣2）•180°+360°＝1440°，n﹣2＝6，n＝8．故这个多边形的边数为8．故选：C．【点睛】考查了多边形的外角和定理和内角和定理，熟练记忆多边形的内角和公式是解答本题的关键．20．如图，AB∥CD，DE⊥BE，BF、DF分别为∠ABE、∠CDE的角平分线，则∠BFD＝（）A．110°B．120°C．125°D．135°【答案】D【解析】【分析】【详解】如图所示，过E作EG∥AB．∵AB∥CD，∴EG∥CD，∴∠ABE+∠BEG=180°，∠CDE+∠DEG=180°，∴∠ABE+∠BED+∠CDE=360°．又∵DE⊥BE，BF，DF分别为∠ABE，∠CDE的角平分线，∴∠FBE+∠FDE=12（∠ABE+∠CDE）=12（360°﹣90°）=135°，∴∠BFD=360°﹣∠FBE﹣∠FDE﹣∠BED=360°﹣135°﹣90°=135°．故选D．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．解决问题的关键是作平行线．。
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C===40°
，，，
（）
、底边上的高是=，可知是顶角
∴，
=∠=×80°=40°
∵直线L为BC的中垂线，
∴BP＝CP，
∴∠CBP＝∠BCP，
∴∠ABP＝∠CBP＝∠BCP，
在△ABC中，3∠ABP＋∠A＋∠ACP＝180°，
即3∠ABP＋60°＋24°＝180°，
解得∠ABP＝32°．
故选C．
点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记各性质并列出关于∠ABP的方程是解题的关键．
11. （•湖北宜昌,第6题3分）已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第三边的长可能是（ ）
A．5B．10C．11D．12
考点：三角形三边关系．
分析：根据三角形的第三边大于两边之差，而小于两边之和求得第三边的取值范围，再进一步选择．
解答：解：根据三角形的三边关系，得
第三边大于：8﹣3=5，而小于：3+8=11．
则此三角形的第三边可能是：10．
故选：B．
点评：本题考查了三角形的三边关系，即三角形的第三边大于两边之差，而小于两边之和，此题基础题，比较简单．
12. （•河北，第3题2分）如图，△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若DE=2，则BC=（ ）
=BC
=BC
∴=，
∴=（）（）=，
分）中，已知，，则的外角的度数是
，，则的
【答案】
分）已知是
，垂足分别为点，，则
=AB
的半径是 ．
故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是：．
故答案为：．
=∠
===55°
===．
=BC=．
=AB
=2﹣．。