线性空间的基与维数
一、线性空间的基与维数
上式表明 : 在向量用坐标表示后 , 它们的运算 就归结为坐标的运算 ,因而线性空间 V n 的讨论就 归结为 R n 的讨论 . 下面更确切地说明这一 点.
定义 设U、V是两个线性空间，如果它们的元素 之间有一一对应关系 ，且这个对应关系保持线性 组合的对应，那末就称线性空间 U 与 V 同构.
即 E 11 , E 12 , E 21 , E 22线性无关 .
对于任意二阶实矩阵 ⎛ a 11 a 12 ⎞ A=⎜ ⎟ ∈V , ⎝ a 21 a 22 ⎠
有 A = a 11 E 11 + a 12 E 12 + a 21 E 21 + a 22 E 22 因此 E 11 , E 12 , E 21 , E 22为V的一组基 . 而矩阵 A在这组基下的坐标是 (a 11, a 12 , a 21, a 22 ) .
任一不超过 4次的多项式 p = a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a1 x + a 0
可表示为 p = a 0 p1 + a 1 p 2 + a 2 p 3 + a 3 p 4 + a 4 p 5
因此 p 在这个基下的坐标为 ( a 0 , a 1, a 2 , a 3 , a 4 )
⎛ k1 k 2 ⎞ ⎟, k 1 E 11 + k 2 E 12 + k 3 E 21 + k 4 E 22 = ⎜ ⎝ k3 k4⎠
因此 ⎛ 0 0⎞ ⎟, k 1 E 11 + k 2 E 12 + k 3 E 21 + k 4 E 22 = O = ⎜ ⎝ 0 0⎠ ⇔ k 1 = k 2 = k 3 = k 3 = 0,
线形空间的维数与基
浅谈线性空间的维数与基摘要本文通过对有限维线性空间中基和维数的讨论，总结出了有限维线性空间的基和维数的求解方法，并且，用不同的方法对线性空间的基和维数的应用进行了探讨.关键词：线性空间；维数；基；同构；子空间THE DISCUSSING TO THE DIMENSIONS ANDBASES OF LINEAR SPACEABSTRACTIn this paper, by discussing dimensions and bases of finite dimensions linear space, we Summarizes the methods to soluting dimensions and bases of finite dimensional linear space. Moreover, the application of the bases and dimensions are discussed in different ways.Keywords: linear space; dimension; base; isomorphism; subspace .目录摘要 (1)关键词： (1)ABSTRACT (2)一、基本概念 (4)二、线性空间的基和维数求解方法 (5)2.1、定义法 (5)2.2、利用相关定理求维数与基 (8)三、线性空间基和维数的应用 (10)3.1、次子空间的应用 (10)3.2、在同构线性空间中的应用 (12)四、有限维线性空间基的扩充 (13)五、参考文献 (15)致谢 (15)一、基本概念定义1.2、U 中向量集H 如果满足下述两个条件，① 向量集H 是线性相关的；② U 中每一个向量可以由H 中有限个向量线性表出；则H 是U 的一个基，只含0向量的基是空集。
定义1.3、U 称为有限维的，如果U 有一个基包含有限多个向量，否则U 称为无限维的，有限维线性空间的一个基所含向量个数称为U 的维数。
线性空间-基和维数
（3）若向量组 1,2, ,r 线性无关，但向量组
1,2, ,r,线性相关，则 可被向量组
1,2, ,r线性表出，且表法是唯一的．
6.3 维数 基 坐标
二、线性空间的维数、基与坐标
1、无限维线性空间
若线性空间 V 中可以找到任意多个线性无关的向量， 则称 V 是无限维线性空间．
k1
k1 k2 k3
k2 2k3
0
0
②
k1 2k2 k3 0
其系数行列式
11 1
1 2 (1)(21)(2)0 1 2
6.3 维数 基 坐标
∴方程组②只有零解： k1k2k30 故 E, A, A2 线性无关. 又由①知，任意均可表成 E, A, A2 的线性组合， 所以V为三维线性空间， E, A, A2 就是V的一组基.
注意：
① n维线性空间 V的基不是唯一的，V中任意 n个 线性无关的向量都是V的一组基．
② 任意两组基向量是等价的．
例3（1）证明：线性空间P[x]n是n 维的，且 1，x，x2，…，xn－1 为 P[x]n 的一组基．
（2）证明：1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1 也为P[x]n的一组基．
则数组 a1,a2, ,an，就称为 在基1,2, ,n
下的坐标，记为 (a1,a2, ,an).
6.3 维数 基 坐标
有时也形式地记作 ( 1 , 2 ,
注意：
a1
,
n
)
a
2
a
n
向量 的坐标(a1,a2, ,an)是被向量 和基1,2, ,n
唯一确定的．即向量 在基 1,2, ,n 下的坐标唯一的.
线性空间的基与维数
线性空间的基与维数线性空间是线性代数中的重要概念，它是由一组元素构成的集合，这些元素之间满足线性运算的性质。
在线性空间中，基与维数是两个重要的概念。
一、线性空间的基线性空间的基是指线性空间中的一组线性无关的元素，通过这组元素可以表示整个线性空间中的任意元素。
换言之，线性空间中的每个元素都可以唯一地由基中的元素线性组合而成。
线性空间的基具有以下特性：1. 基中的元素线性无关，即任意一个基中的元素不能被其他基中的元素线性表示。
2. 基中的元素张成整个线性空间，即线性空间中的任意元素都可以由基中的元素线性组合而成。
3. 基中的元素个数是唯一的，即同一个线性空间中的不同基所包含的元素个数是相同的，这个个数称为线性空间的维数。
二、线性空间的维数线性空间的维数是指线性空间中的基所包含的元素的个数，用整数表示。
维数是衡量线性空间大小的一个重要指标。
线性空间的维数具有以下性质：1. 对于一个线性空间，如果存在一个有限的基，则该线性空间的维数是有限的。
2. 对于一个线性空间，如果不存在有限的基，则该线性空间的维数是无限的。
维数是线性空间一个重要的性质，它决定了线性空间的很多性质。
在线性代数中，我们可以通过求解线性方程组的秩来确定线性空间的维数。
三、基与维数的应用基与维数在线性代数的各个分支中有广泛的应用。
以下是一些典型的应用场景：1. 线性变换的表示：线性变换可以由一个矩阵表示，基的选择与线性变换的矩阵表示密切相关。
2. 向量空间的表示：向量空间中的向量可以由线性组合表示，基的选择可以简化向量空间中向量的表示和计算。
3. 子空间的判断：基与维数可以用来判断一个子集是否构成了线性空间的子空间。
4. 线性方程组的解空间：线性方程组的解空间可以由基与维数表示。
总结：线性空间的基与维数是线性代数中的重要概念。
基是线性空间中一组线性无关的元素，可以表示线性空间中的任意元素；维数是基所包含的元素的个数，它决定了线性空间的很多性质。
02 第二节 维数、基与坐标
例6 (E04) 证明维线性空间 与维数组向量空间同构.
证 (1) 中的元素与中的元素形成一一对应关系;
(2) 则有
结论 1. 数域上任意两个维线性空间都同构. 2. 同构的线性空间之间具有反身性、对称性与传递性. 3. 同维数的线性空间必同构.
例4(E02) 所有二阶实矩阵组成的集合对于矩阵的加法和数量乘法, 构成实数域R上的一个线性空间. 试证
,,, 是中的一组基, 并求其中矩阵A在该基下的坐标.
证 先证其线性无关, 由有
即线性无关. 又对于任意二阶实矩阵 有 因此为的一组基. 而矩阵在这组基下的坐标是
例5 (E03) 求子空间的维数，其中 解 易知是由下列向量的全体线性组合所构成的集合：
第二节 基、维数与坐标
分布图示
★ 引言
★ 线性空间的基与维数
★ 生成子空间
★ 例1
★ 坐标
★ 例2
★ 例3 ★ 例4
★ 线性空间的同构
★ 例6
★ 内容小结
★ 课堂练习
★ 习题6-2
★ 例5 ★ 例7
内容要点
一、线性空间的基与维数 我们已知在中，线性无关的向量组最多由个向量组成，而任意个向
量都是线行相关的。现在我们要问：在线性空间中，最多能有多少个线 性无关的向量？
元素有序数组 定义2 设是线性空间的一个基,对于任一元素, 有且仅有一组有序数 使，则称有序数组为元素在基下的坐标, 并记作.
二、线性空间的同构 设是维线性空间的一组基，在这组基下，中的每个向量都有唯一确
定的坐标，而向量的坐标可以看作中的元素，因此向量与它的坐标之间 的对应就是到的一个映射。对于中不同的向量它们的坐标也不同，即对 应于中的不同元素。反过来，由于中的每个元素都有中的向量与之对 应，我们称这样的映射是与的一个一一对应的映射。这个映射的一个重 要特征表现在它保持线性运算（加法和数乘）的关系不变。
高等代数 第6章线性空间 6.2 基底、坐标与维数
任一不超过4次的多项式 p a 4 x 4 a 3 x 3 a 2 x 2 a1 x a 0 可表示为 p a 0 p1 a 1 p 2 a 2 p 3 a 3 p 4 a 4 p 5
因此 p 在这个基下的坐标为 ( a 0 , a 1, a 2 , a 3 , a 4 )
T
若取另一基q1 1, q 2 1 x , q 3 2 x 2 , q 4 x 3 , q5 x4 , 则 1 p (a 0 a 1 )q1 a 1 q 2 a 2 q 3 a 3 q 4 a 4 q 5 2 因此 p 在这个基下的坐标为
1 ( a 0 a 1, a 1, a 2 , a 3 , a 4 ) 2 注意 线性空间 V的任一元素在不同的基下所对的 坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是 唯一的．
T
例２ 所有二阶实矩阵组成的集合 V ，对于矩阵 的加法和数量乘法，构成实数域 R上的一个线性 空间．对于 V 中的矩阵
有
1 E 11 0 0 E 21 1
0 0 1 , E 12 , 0 0 0 0 0 0 , E 22 0 0 1
而矩阵A在这组基下的坐标是 (a 11, a 12, a 21, a 22) .
T
例3 在线性空间R, 2 ( x a ), 3 ( x a ) , , n ( x a )
则由泰勒公式知
2
n 1
f ' ' (a ) 2 f ( x ) f (a ) f ' (a )( x a ) ( x a) 2! ( n 1) (a ) f n 1 ( x a) ( n 1)! 因此 f ( x )在基 1 , 2 , 3 , , n 下的坐标是
线性空间的基与维数
线性空间的基与维数线性空间是线性代数中的重要概念，它是指具有加法和数乘运算的集合，并满足线性空间的定义和性质。
在线性空间中，基和维数是两个核心概念，它们对于理解线性空间的结构和性质具有重要意义。
一、线性空间的定义和性质线性空间是指满足以下定义和性质的集合：1. 集合中存在加法运算，即对于任意两个元素x和y，存在相应的元素x+y；2. 集合中存在数乘运算，即对于任意元素x和数k，存在相应的元素kx；3. 加法和数乘运算满足封闭性，即对于任意元素x和y，x+y和kx 仍然属于该集合；4. 加法满足结合律和交换律，即对于任意元素x、y和z，(x+y)+z=x+(y+z)和x+y=y+x；5. 加法满足单位元存在性，即存在一个元素0，对于任意元素x，有x+0=x；6. 加法满足逆元存在性，即对于任意元素x，存在相应的元素-y，使得x+(-y)=0；7. 数乘运算满足结合律和分配律，即对于任意元素x和k、l，有k(lx)=(kl)x和(k+l)x=kx+lx；8. 数乘运算满足单位元存在性，即对于任意元素x，有1x=x。
二、在线性空间中，基是指一个线性无关且能生成整个空间的向量组。
即对于线性空间V，存在向量组{v1, v2, ..., vn}，满足以下条件：1. 线性无关性：向量组中的任意有限个向量线性无关，即不存在非零标量c1, c2, ..., cn，使得c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = 0；2. 生成性：向量组的线性组合能够生成整个线性空间V，即对于任意向量v∈V，存在标量c1, c2, ..., cn，使得v = c1v1 + c2v2 + ... + cnvn。
线性空间的维数是指基中向量的个数，用n表示。
记作dim(V) = n。
三、线性空间的基与维数的性质线性空间的基与维数具有以下性质：1. 基的个数是唯一的：线性空间V的任意两个基所含向量个数相同；2. 维数的唯一性：线性空间V的维数唯一，与基的选择无关；3. 向量组的性质：线性空间V中的任意向量组若线性无关，则含有的向量个数不超过维数；4. 维数与子空间：线性空间V的任意非零子空间的维数小于等于V的维数；5. 维数与线性变换：线性空间V到线性空间W的线性映射T是满射时，有dim(W) ≤ dim(V)；当T是一一映射时，有dim(W) ≥ dim(V)。
线性空间维数与基
线性空间维数与基线性空间是线性代数的重要概念之一。
在线性空间中，维数和基是非常重要的概念，它们可以帮助我们更好地理解线性空间的性质和特点。
本文将对线性空间的维数和基进行详细的介绍和论述。
一、线性空间的概念线性空间是指一个满足线性组合和标量乘法的集合。
具体来说，设V是一个集合，F是一个字段，如果V满足以下四个性质：1. 对于任意的向量u、v∈V，u+v∈V；2. 对于任意的向量u∈V和标量a∈F，au∈V；3. 存在一个零向量0∈V，使得对于任意的向量u∈V，有u+0=u；4. 对于任意的向量u∈V，存在一元素(-u)∈V，使得u+(-u)=0。
则称V为F上的线性空间，简称为线性空间。
二、线性空间的维数线性空间的维数是指线性空间中的向量的极大线性无关组的元素个数。
换句话说，线性空间的维数是指使得空间中的元素线性无关的最大个数。
假设V是一个线性空间，如果存在一个正整数n，使得V中的n个向量v₁, v₂, ..., vₙ满足以下两个条件：1. 这n个向量线性无关；2. 任意一个向量u∈V都可以用v₁, v₂, ..., vₙ这n个向量的线性组合表示。
则称V的维数为n，记作dimV=n。
三、线性空间的基对于一个维数为n的线性空间V，如果存在V中的n个向量v₁,v₂, ..., vₙ满足以下两个条件：1. 这n个向量线性无关；2. 任意一个向量u∈V都可以用v₁, v₂, ..., vₙ这n个向量的线性组合表示。
则称v₁, v₂, ..., vₙ为线性空间V的一个基。
一个线性空间的基可以看作是向量空间中的坐标基础，使用这个基，我们可以用向量的坐标表示向量，进一步简化线性空间的计算和研究。
四、线性空间维数和基的关系线性空间的维数和基的个数是相等的。
这是因为维数是线性无关组的最大个数，而基就是满足这个条件的一组向量。
举个例子来说明，假设V是一个二维线性空间，存在两个向量v₁和v₂，如果v₁和v₂线性无关并且任意一个向量u∈V都可以被v₁和v₂的线性组合表示，那么v₁和v₂就是V的一个基，同时V的维数为2。
线性空间的基与维数及线性同构
有
1 E 11 = 0 0 E 21 = 1
0 0 , E 12 = 0 0 0 0 , E 22 = 0 0
1 , 0 0 1
k1 k 2 , k 1 E 11 + k 2 E 12 + k 3 E 21 + k 4 E 22 = k3 k4
1 ( a 0 − a 1 , a 1, a 2 , a 3 , a 4 ) 2 注意 线性空间 V的任一元素在不同的基下所对的 坐标一般不同， 坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是 唯一的． 唯一的．
T
例２ 所有二阶实矩阵组成的集合 V，对于矩阵 的加法和数量乘法， 的加法和数量乘法，构成实数域 R上的一个线性 空间． 空间．对于 V 中的矩阵
λα ↔ λ ( x1 , x2 ,⋯, xn )
T
结论 １．数域 P上任意两个n 维线性空间都同 构． 同构的线性空间之间具有反身性、对称性 ２．同构的线性空间之间具有反身性、 与传递性． 与传递性． ３．同维数的线性空间必同构． 同维数的线性空间必同构．
同构的意义 在线性空间的抽象讨论中， 在线性空间的抽象讨论中，无论构成线性空间 的元素是什么，其中的运算是如何定义的， 的元素是什么，其中的运算是如何定义的，我们所 关心的只是这些运算的代数性质． 关心的只是这些运算的代数性质．从这个意义上可 以说，同构的线性空间是可以不加区别的， 以说，同构的线性空间是可以不加区别的，而有限 维线性空间唯一本质的特征就是它的维数． 维线性空间唯一本质的特征就是它的维数．
二、元素在给定基下的坐标
定义２ 定义２ 设α 1 , α 2 ,⋯ ,α n是线性空间 Vn的一个基 , 对
于任一元素 α ∈ Vn , 总有且仅有一组有序 数 x1 , x 2 ,⋯ , x n , 使
线性空间的基与维数及线性同构
f
(
n
1)( a
)
T
设 1 , 2 ,, n 是n维线性空间V n的一组基,在
这组基下,V n中的每个向量都有唯一确定的坐标. 而向量的坐标可以看作Rn中的元素,因此向量与它 的坐标之间的对应就是V n到 Rn的一个映射.
由于 Rn中的每个元素都有V n中的向量与之对 应,同时V n中不同的向量的坐标不同,因而对应Rn 中的不同元素.我们称这样的映射是V n与 Rn的一个 1 1对应的映射.这个对应的重要性表现在它与运 算的关系上.
一、线性空间的基与维数
已知：在 Rn中，线性无关的向量组最多由 n 个向量组成，而任意 n 1个向量都是线性相关的．
问题：线性空间的一个重要特征——在线性空 间V 中，最多能有多少线性无关的向量？
定义１ 满足：
在线性空间 V 中，如果存在 n个元素
1,2 ,,n
(1) 1 , 2 ,, n线性无关;
思考题解答
解令
k1 f 1(x) k2 f 2(x) k3 f 3(x) k4 f 4(x) 0 则得
(k1 2 k 2 k 3 2 k 4) x3 (2 k1 3 k 2 5 k 4) x2
(4 k1 9 k 2 6 k 3 7 k 4)x (k1 k 2 5 k 3 5 k 4) 0.
空间．对于V中的矩阵
E
11
1 0
0 0
,
E
12
0 0
1 , 0
E
21
0 1
0 0
,
E
22
0 0
0 1
线性空间基与维数
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上式表:在 明向量用坐标 ,它表们示的后运算 就归结为坐标,因的而运线算性V空 n的间讨论就 归结R为 n的讨.论
下面更确切地点 说. 明这一 定义 设U、V是两个线性空间，如果它们的元素 之间有一一对应关系 ，且这个对应关系保持线性 组合的对应，那末就称线性空间U与 V同构.
有
f3(x)3f1(x)2f2(x),
f4(x)4f1(x)f2(x).
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的向量时，就称 V是无限维的．
若 1 , 2 , , n 为 V n 的一 ,则 V n 可 个表 基
V n x 1 1 x 2 2 x n n x 1 , x 2 , , x n R
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二、元素在给定基下的坐标
定义２ 设1,2,,n是线性V空 n的间 一个 ,对基 于任一元 V素 n,总有且仅有一组有
V n
x 11 x 22 x n n
Rn
x (x 1 , x 2 , , x n )T
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(2)设
(x1,x2, ,xn)T
则有
(y1,y2, ,yn)T ( x 1 , x 2 , , x n ) T ( y 1 ,y 2 , ,y n ) T
(a11, a12, a21, a22)T .
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例在 3 线 R [x 性 ]n 中 ,取 空一 间组基
11 , 2(xa ),3(xa )2, , n(xa )n 1
则由泰勒公式知 f(x)f(a)f'(a)(xa)f''(a)(xa)2 2!
线性代数6-2维数基坐标
坐标.
例1 在线性空间P[x]3中, p1 1, p2 x, p3 x2, p4 x3 就是它的一个基.
任一不超过3次的多项式
p a0 a1x a2x2 a3x3
可表示为 p a0 p1 a1 p2 a2 p3 a3 p4
因此 p 在这个基下的坐标为 (a0, a1, a2, a3)
y2
yn
并且两组基间有线性关系式
1, 2,, n 1,2 ,,n A
则有如下的关系式
x1
y1
x2
xn
A
y2
yn
,
y1
x1
或
若取另一组基为 q1 1, q2 1 x, q3 2x2 , q4 x3,
p
( a0
a1)q1
a1q2
a2 2
q3
a3q4
因此 p 在这个基下的坐标为
说明:
(a0
a1, a1,
a2 2
, a3 )
(2)一个向量在一组基下的 坐标是唯一的.
(3)同一个向量在不同基下 的坐标一般是不同的 .
则称此公式为基变换公式.
2.利用分块矩阵的方法可将上述公式写成
其中
1, 2 ,, n 1,2 ,,n A
a11 a12 a1n
A
a21
a23
a2n
an1
an2
ann
则称上述矩阵A为由基1,2,,n到基1, 2,, n的
设 a11 a22 ann , b11 b2 2 bn n
基与维数的几种求法
线性空间基和维数的求法方法一根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数, 即：在线性空间V 中，如果有n 个向量1,,n满足:(1) 1, 2 , n 线性无关。
(2) V 中任一向量总可以由 1 , 2, , n 线性表示。
那么称V 为n 维（有限维）线性空间，n 为V 的维数，记为dim v n ，并称1, 2,, n 为线性空间V 的一组基。
如果在V 中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就成V 为无限维的。
例 1 设V X AX的维数和一组基。
0 ，A 为数域P 上m n 矩阵，X 为数域P 上n 维向量，求V解设矩阵 A 的秩为r ，则齐次线性方程组维数为n r 。
AX 0 的任一基础解系都是V 的基，且V 的例 2 数域P 上全体形如0 a的二阶方阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法所组成a b的线性空间，求此空间的维数和一组基。
0 1 0 0 0 a解易证,1 0 0 1 为线性空间V｜a,b pa b的一组线性无关的向量组，且对V 中任一元素0 a 0 a有0 1 0 0a +ba b a b 1 0 0 1按定义0 1 0 0,1 0 0 1为V 的一组基，V 的维数为2。
方法二在已知线性空间的维数为n 时，任意n 个向量组成的线性无关向量组均作成线性空间的基。
例 3 假定R xn是一切次数小于n 的实系数多项式添上零多项式所形成的线性空间，证明：1, x 1 , x21 ,L , x n 11 构成R xn的基。
证明考察k1 1k2x 1 L n 1knx 1 0由x n 1 的系数为0 得k0 ，并代入上式可得x n 2 的系数kn 1依此类推便有kn k n 1 L k1 0 ，nnn故1, x 1 ,L , x n 11线性无关又 R x 的维数为 n , 于是 1, x 1 ,L , x n 11 为 R x 的基。
方法三 利用定理：数域 p 上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数。
基与维数的几种求法
线性空间基和维数的求法方法一 根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数，即：在线性空间V 中，如果有n 个向量宀，…n 满足:⑴1,2…，n 线性无关。
⑵V 中任一向量G 总可以由 S ,..0n线性表示。
那么称V 为n 维(有限维)线性空间，n 为V 的维数，记为dim V = n ,并称O∙ι,Ct 2,…，ct n 为线性空间V 的一组基。
如果在V 中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就成V 为无限维的。
例1设V=IXAX=O?，A 为数域P 上m n 矩阵，X 为数域P 上n 维向量，求V 的维数和一组基。
解设矩阵A 的秩为r ,则齐次线性方程组 AX=O 的任一基础解系都是 V 的基，且V 的 维数为n -r 。
[0 a例2数域P 上全体形如的二阶方阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法所组成'<-a b 」的线性空间，求此空间的维数和一组基。
方法二 在已知线性空间的维数为 n 时，任意n 个向量组成的线性无关向量组均作成线 性空间的基。
例3假定R IX I n 是一切次数小于n 的实系数多项式添上零多项式所形成的线性空间， 证明：1,X -1 , X-1 2川|, X-1 n 4 构成 R IX ]n的基。
n证明 考察 k 1+k 2(x -1)+IH+k n (x -1) =0由X n4的系数为0得k n =0 ,并代入上式可得X nJ 的系数k n ∕=0 依此类推便有k n = k n 4I = k 1= 0 ,a,b P 的一组线性无关的向量组，且对V 中任广O a有r0 a=a '0 1、 + b'0 O Ai —a b 」I a b 」J 0」<01‘0 1 ' ‘0 0'<1 0」' <0 1」V 的维数为2。
元素按定义为V 的一组基,故1,(x_1 )，HI,(x_1 )^ 线性无关n 1又RlX n的维数为n,于是I) x_1 ,川，x_1 为RlX(I的基。
维数和基的个数的关系
维数和基的个数的关系维数和基的个数是线性代数当中非常重要的概念，很多人在学习线性代数时都会遇到。
在这里，我们将围绕这个概念进行详细的阐述，希望能够帮助大家更好地理解它们之间的关系。
步骤一：什么是维数？维数是线性空间的一种度量，它用来描述一个线性空间的“大小”。
具体来说，维数是指线性空间的一组基中所含向量的个数。
例如，一个二维向量空间的基包含两个线性无关的向量，因此它的维数为2。
在线性代数的学习过程中，我们通常会遇到很多和维数有关的问题。
其中最常见的就是如何确定一个线性空间的维数。
对于有限维的线性空间，我们可以通过找到它的一个基来确定它的维数。
而对于无限维的线性空间，则需要借助更高级的数学工具来进行刻画。
步骤二：什么是基？基是线性空间当中的一个非常重要的概念，它是用来描述向量空间的“构成元素”。
具体来说，一个线性空间的基是一个线性无关的向量组，它能够表示出该空间中的任何一个向量。
在学习线性代数的过程中，我们经常需要用到基来描述向量空间的某些性质。
例如，我们可以通过找到一个基来确定一个向量空间的维数，也可以利用基来求解线性方程组的解。
步骤三：维数和基的个数的关系根据定义，我们可以发现，线性空间的维数和它的基的个数是非常紧密相关的。
具体来说，一个线性空间的维数等于它的任意一个基的向量个数。
这个结论在很多时候都是非常有用的。
例如，在求解线性方程组的过程中，我们可以通过线性空间的基来确定它的维数，从而得出方程组的解的个数。
同样地，在理解矩阵的秩的时候，我们也可以利用线性空间的基来进行刻画。
总之，维数和基的个数是线性代数中两个非常重要的概念。
它们之间的关系非常密切，在很多时候都能够相互联系。
学习线性代数的同学们，一定要认真掌握和理解它们之间的内在关系，才能更好地应用它们解决实际问题。
线性空间的基与维数
线性空间的基与维数线性空间是线性代数中的重要概念，它在数学和应用领域中都有广泛的应用。
本文将探讨线性空间的基与维数，以及它们在线性代数中的意义和应用。
一、线性空间的概念与性质线性空间是指一个具备了加法运算和数乘运算的集合，且满足以下性质：1. 封闭性：对于任意向量组成的集合S，如果对于任意向量a，b∈S和任意标量c∈F（其中F表示该线性空间定义域内的域），都有a + b和c·a仍然属于S，则称S是该线性空间的一个子空间；2. 零向量：对于线性空间V，存在一个特殊的向量0，使得对于任意向量v∈V，有v + 0 = v；3. 加法逆元：对于线性空间V中的任意向量v，存在一个逆元向量−v，使得v + (−v) = 0；4. 结合律和分配律：对于线性空间V中的任意向量a，b和c，有(a + b) + c = a + (b + c)和c(a + b) = ca + cb。
二、线性空间的基在线性空间V中，如果存在一组向量{v1, v2, ..., vn}，满足：1. 这组向量线性无关；2. 任意向量v∈V都可以由这组向量线性表示。
那么，这组向量{v1, v2, ..., vn}被称为线性空间V的一个基。
基是线性空间中最重要的概念之一，它可以用来表示线性空间中的任意向量。
三、线性空间的维数线性空间的维数是指该线性空间的基所包含的向量个数。
记线性空间V的维数为dim(V)，则对于线性空间V的任意基，它所包含的向量个数都相同，即dim(V)是唯一确定的。
维数的概念在线性代数中具有重要的意义。
它可以用来衡量线性空间的大小以及其所能表示的向量的种类。
维数为1的线性空间只包含一个向量，而维数为n的线性空间可以表示任意n维向量。
四、线性空间的维数与基的关系线性空间的维数与其基是密切相关的。
根据线性代数的基本定理，任意线性空间中的所有基都包含相同数量的向量，即具有相同的维数。
设线性空间V的维数为n，则任意一个基包含n个线性无关的向量。
基与维数的求法
例1数域P 上全体形解易证I a.bep\P 1、 (J 0, AO+h 为V 的一组基，V线性空间基和维数的求法 （邓云斯、李秀珍、高华艳）方法一（定义法）:根据线性空间基和维数的走义求空间的基和维数，即：在线性空间V 中,如 果有〃个向呈满足:⑴ms …，弘线性无关；（2）V 中任一向星a 总可以由 6,氏2,.久线性表示.那么称V 为n 维（有限维践性空间，"为V 的维数，记为dim v = n , 并称 qar ：%为线性空间V 的一组基•如果在V 中可以找到任意多个线性无关的向呈，那么V 就成为无限维的.的二阶方阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法所组成的线性空间r 求此空间的维数和一组基.方法二（维数确定基法）:在已知线性空间的维数为〃时，任意〃个向呈组成的线性无关向呈组 均作成线性空间的基.例2假走/?[•{]”是一切次数小于〃的实系数多项式添上零多项式所形成的线性空间，证明： l,（x —l ）,（x —1）2，…,（x —1）' I 构成/?[虬的基.证明何•1 +他（牙一1） +・・・+兌（尤一1）"“ =0 由疋"的系数为0得心=0 ,并代入上式可得疋J 的系数k n _{ = 0 依此类推便有k“=kz=・.・ = k\=0 , 故1,（—1）,…，（―1厂线性无关组，且对V 中任一元素 0 b '0 1 、一 1 0按定义 r0>又川虬的维数为心于是1心一1),…心一1)2为乩吐的基方法三(利用同构求维数法):数域P上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数.(0 _1\例3设人= ,证明：由实数域上的矩阵A的全体实系数多项式/(A)组成的空间11 °丿f fo -1YV=y(A)\A=(与复数域C作为实数域/?上的线性空间I I】。
/V = {a+bi\ a.b w R}同构，并求它们的维数.证明V中任一多项式可记为f(A)=aE+bA,(abwR)，建立V到V的如下映射b：e =a A +Z?J—> /；(4) = «]£+/?[A wR)易证CT是/到V上既是单射又是满射即一一映射.再设弘=心+加，a^b. eR.K eR，则有■■■厶■b(y + a2) =+«2)4-(/?1+优"]=(® +a1)E+(b x 4-Z?2)A = <7(a1) + o-(6Z2)<T( toj) = b( ka、+ kbj) = ka{E+ka y A = kb(xj故cr是/到'/的同构映射，所以V到V同构另外，易证H的一个基为1 , / ,故dimV =2vV^V.•.dimV = 2方法四(求可逆矩阵确走基法)：设冬,勺,匕与卩、、・•••、卩“是"维线性空间V中两组向星，已知0],02，・-，0”可由少心，…“线性表出：A =如匕+佝勺+- + %心Pl =叱|+eg+••• + %"5令人=«21 如…d\Cl nl Cl n2 …a nn 7如果^，色，…，％为V 的一组基，另吆当且仅当A 可逆时，卩\、卩J …、卩"也是u 的一组基. 例4已知1,圮疋,_?是卩[虬的一组基，证明1,1 +兀(1 +龙)2,(1+刃'也是“[虬的一组基・ 证明因为l = ll + 0x+0x 2+0-x 3l + x = 1-1 + 1-x+O-x 2+0-x 3(l + x)~ = 1-1 + 2-x+l-x 2+0x 3(1 + X)3= 1 • 1 + 3 • A + 3 • x 2+1 • X 311110 0 0 1所以1,1 + X, (1 + ,(1 +町"也为P [x]4的一组基.方法五(向呈等价求基法):如果空间y 中一向量组与V 中一组基等价,则此向量组一走为此 空间的一组基.例5设/?卜】2表示次数不超过2的一切实系数一元多项式添上零多项式所构成的线性空间 的一组基，证明x 2+ x,疋一圮％ +1为这空间的一组基. 证明 k } (x 2+x)+k 2 (x 2一/)+他(兀+1) = 0 则 k l +k 2=0< « _ 他 + £3 = o&3=0解得他=鸟2=/=0于是V 2+ X, * - X, X + 1线性无关,它们皆可由%2, X, 1线性表示，因此A-2+ X, F - X, X+ 1与 x\x,\等价，从而R[X ]2中任意多项式皆可由x 2+x t x 2-x,x+\线性表示，故X2 + X,x2 -x,x + l 为[x],的基.方法六(求两个子空间交集的基确走维数法):对以一组向量a\、j、卩、、P"为列向呈做成的矩阵施行行初等变换和列初等变换，不改变矩阵卬,色，0，02间的线性关系•任何一个m x H(j B、矩阵A ,总可以通过行初等变换和列变换化为标准阶梯型矩阵：' ，其中表示邛介I。
线性空间基与维数-精选文档
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二、元素在给定基下的坐标
定义２ 设 , , , 是线性空间 V 的一个基 ,对 1 2 n n
于任一元素 V ,总有且仅有一组有 n 数 x ,x , ,x ,使 1 2 n
x x x ,
1 1 2 2 n n
维数为 n 的线性空间称为 n 维线性空 , 记作 V . n
当一个线性空间 V中存在任意多个线性无关 的向量时，就称 V是无限维的．
若 , , , 为 V 的一个基 , 则 V 可表 1 2 n n n
V x x x x , x , , x R n 1 1 2 2 n n 1 2 n
有序数组 x , x , , x 称为元素 在 , , , 这 1 2 n 1 2 n
T x , x , , x 基下的坐标 , 并记作 1 2 n.
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2 例1 在线性空间 P [ x ] 中 , 1 , x , ,p p p p x 4 1 2 3 4
1 (a0 ,a , a2, a3, a4) a 1 1 2 注意 线性空间 V 的任一元素在不同的基下所对的 坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是 唯一的．
T
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例２ 所有二阶实矩阵组成的集合 V，对于矩阵 的加法和数量乘法，构成实数域 R 上的一个线性 空间．对于 V中的矩阵
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一、线性空间的基与维数
已知：在 R 中，线性无关的向量组最多由 n 个向量组成，而任意 n1 个向量都是线性相关的．
n
问题：线性空间的一个重要特征——在线性空 间 V 中，最多能有多少线性无关的向量？
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2,
a
3,
a
T
4)
线性空间 V的任一元素在不同的基下所对的
坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是
唯一的．
例２ 所有二阶实矩阵组成的集合V，对于矩阵 的加法和数量乘法，构成实数域 R上的一个线性
空间．对于V中的矩阵
E
11
1 0
0 0
,
E
12
0 0
1 , 0
0 0
0 0
E
21
1
0
,
E
22
( x1, x2 , , xn )T
结论
１．数域 P上任意两个n 维线性空间都同
构２．．同构的线性空间之间具有反身性、对称性
与传递性．
３．同维数的线性空间必同构．
同构的意义
在线性空间的抽象讨论中，无论构成线性空间 的元素是什么，其中的运算是如何定义的，我们所 关心的只是这些运算的代数性质．从这个意义上可 以说，同构的线性空间是可以不加区别的，而有限 维线性空间唯一本质的特征就是它的维数．
( 2)
V中任一元素总可由1,2 ,
,
线
n
性
表示,
那末, 1,2 , ,n 就称为线性空间V 的一个
基, n 称为线性空间V 的维数.
维数为n的线性空间称为n 维线性空间,记作Vn . 当一个线性空间 V 中存在任意多个线性无关
的向量时，就称 V 是无限维的．
若1 ,2 , ,n为Vn的一个基,则Vn可表示为
一、线性空间的基与维数
已知：在 Rn中，线性无关的向量组最多由 n 个向量组成，而任意 n 1个向量都是线性相关的．
问题：线性空间的一个重要特征——在线性空 间V 中，最多能有多少线性无关的向量？
定义１ 满足：
在线性空间 V 中，如果存在 n个元素
1,2 , ,n
(1)
1,2 ,
,
线性无
n
关;
f 4 ( x)所生成的子空间的基,该子空间的维数为2,且
有
f 3 ( x) 3 f 1( x) 2 f 2 ( x),
f 4( x) 4 f 1( x) f 2( x).
A a11 a12 V , a21 a22
有 A a11 E11 a12 E12 a21 E 21 a22 E 22
因此 E11 , E12 , E 21 , E 22为V的一组基.
而矩阵A在这组基下的坐标是 (a11, a12, a 21, a 22)T .
例3 在线性空间R[ x]n中,取一组基
1 1, 2 ( x a), 3 ( x a)2 , , n ( x a)n1
则由泰勒公式知 f ( x) f (a) f '(a)(x a) f ''(a) ( x a)2 2!
f (n1)(a) ( x a)n1 (n 1)!
因此 f ( x)在基 1 , 2 , 3 , , n 下的坐标是
由于 Rn中的每个元素都有V n中的向量与之对 应,同时V n中不同的向量的坐标不同,因而对应Rn 中的不同元素.我们称这样的映射是V n与 Rn的一个 1 1对应的映射.这个对应的重要性表现在它与运 算的关系上.
设
a1 1 a2 2 an n
b1 1 b2 2 bn n 即向量 , V在基 1 , 2 , , n下的坐标分别为
1 2 1 2 k1 0
因此
2
4 1
3 9 1
0 6 5
5 7 5
k k k
2 3 4
0 0 0
.
设该齐次线性方程组的系数矩阵为A,则
1 0 3 4
~ A
初等行变换
0 0
1 0
2 0
1 0
0 0 0 0
因此, f 1( x), f 2 ( x)线性无关,是 f 1( x), f 2 ( x), f 3 ( x),
(
f (a),
f '(a),
f
''(a
) ,
,
f
(
n
1)( a
)
T
)
.
2!
(n1)!
三、线性空间的同构
设 1 , 2 , , n 是n维线性空间V n的一组基,在
这组基下,V n中的每个向量都有唯一确定的坐标. 而向量的坐标可以看作Rn中的元素,因此向量与它 的坐标之间的对应就是V n到 Rn的一个映射.
与n维数组向量空间 Rn同构.
因为
(1)Vn中的元素与Rn中的元素( x1, x2 , , xn )T
形成一一对应关系；
V n x11 x2 2 xn n
Rn
x ( x1 , x2 , , xn )T
(2)设
( x1, x2 , , xn )T
则有
( y1, y2 , , yn )T ( x1, x2 , , xn )T ( y1, y2 , , yn )T
(a1,a2, ,an)T 和(b1,b2, ,bn)T ,则
(a1 b1) 1 (a2 b2) 2 (an bn) n
k k a1 1 k a2 2 k an n
于是 与k的坐标分别为
(a1b1,a2b2, ,anbn)T
(a1,a2, ,an)T (b1,b2, ,bn)T (ka1,ka2, ,kan)T k (a1,a2, ,an)T
0
1
有
k1 E11 k 2 E12 k 3 E 21 k 4 E 22 k1 k 2 , k3 k4
因此
0 0
k1
E 11
k2Biblioteka E 12k3E
21
k4
E
22
O
0
, 0
k1 k 2 k 3 k 3 0,
即 E11 , E12 , E 21 , E 22线性无关. 对于任意二阶实矩阵
四、小结
１．线性空间的基与维数；
２．线性空间的元素在给定基下的坐标；
坐标：（１）把抽象的向量与具体的数组向 量联系起来；
（２）把抽象的线性运算与数组向量 的线性运算联系起来．
３．线性空间的同构．
思考题
求由Px3中元素
f1( x) x3 2x2 4x 1, f2( x) 2x3 3x2 9x 1, f3( x) x3 6x 5, f4(x) 2x3 5x2 7x 5 生成的子空间的基与维数.
思考题解答
解令
k1 f 1(x) k2 f 2(x) k3 f 3(x) k4 f 4(x) 0 则得
(k1 2 k 2 k 3 2 k 4) x3 (2 k1 3 k 2 5 k 4) x2
(4 k1 9 k 2 6 k 3 7 k 4)x (k1 k 2 5 k 3 5 k 4) 0.
因此 p 在这个基下的坐标为 (a0, a1, a2, a3, a4)T
若取另一基q1 1, q2 1 x, q3 2 x2 , q4 x3 ,
q5
x4,则 p (a0
a1 )q1
a1 q2
1 2 a2 q3
a3 q4
a4 q5
因此 p 在这个基下的坐标为
注意
(a
0
a1,
a1,
1 2a
上式表明: 在向量用坐标表示后,它们的运算 就归结为坐标的运算,因而线性空间 V n的讨论就 归结为Rn的讨论.
下面更确切地说明这一点.
定义 设U、V是两个线性空间，如果它们的元素 之间有一一对应关系 ，且这个对应关系保持线性 组合的对应，那末就称线性空间U 与 V 同构.
例如 n维线性空间
Vn x11 x22 xnn x1, x2, , xn R
Vn x11 x22 xnn x1, x2 , , xn R
二、元素在给定基下的坐标
定义２ 设1,2 , ,n是线性空间Vn的一个基,对 于任一元素 Vn ,总有且仅有一组有序
数x1, x2 , , xn , 使
x11 x2 2 xn n ,
有序数组x1, x2 , , xn称为元素在1,2 , ,n这个
基下的坐标,并记作 x1, x2 , , xn T .
例1 在线性空间P[ x]4中, p1 1, p2 x, p3 x2 , p4 x3 , p5 x4 就是它的一个基.
任一不超过4次的多项式 p a4 x4 a3 x3 a2 x2 a1 x a0
可表示为 p a0 p1 a1 p2 a2 p3 a3 p4 a4 p5