中考数学弧长和扇形面积和圆锥习题及答案

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中考数学复习专题24：圆的有关计算(含中考真题解析)

专题24 圆的有关计算☞解读考点知识点名师点晴弧长和扇形面积弧长公式会求n°的圆心角所对的弧长扇形面积公式会求圆心角为n°的扇形面积圆锥侧面积计算公式能根据公式中的已知量求圆锥中的未知量☞2年中考【题组】1．（河池）如图，用一张半径为24cm的扇形纸板制作一顶圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果圆锥形帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的面积是（）A．240πcm2 B．480πcm2 C．1200πcm2 D．2400πcm2【答案】A．【解析】试题分析：这张扇形纸板的面积=12×2π×10×24=240π（cm2）．故选A．考点：圆锥的计算．2．（凉山州）将圆心角为90°，面积为4πcm2的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围成的圆锥的底面半径为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】A．考点：圆锥的计算．3．（德州）如图，要制作一个圆锥形的烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的比是4：5，那么所需扇形铁皮的圆心角应为（）A．288° B．144° C．216° D．120°【答案】A．【解析】试题分析：∵底面圆的半径与母线长的比是4：5，∴设底面圆的半径为4x，则母线长是5x，设圆心角为n°，则524180n xxππ⨯⨯=，解得：n=288，故选A ．考点：圆锥的计算．4．（宁波）如图，用一个半径为30cm，面积为300πcm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径r为（）A．5cm B．10cm C．20cm D．5πcm【答案】B．考点：圆锥的计算．5．（苏州）如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连接AO，AO与⊙O交于点C，BD为⊙O的直径，连接CD．若∠A=30°，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为（）A ．433π-B ．4233π-C ．3π-D ．233π-【答案】A ．【解析】试题分析：过O 点作OE ⊥CD 于E ，∵AB 为⊙O 的切线，∴∠ABO=90°，∵∠A=30°，∴∠AOB=60°，∴∠COD=120°，∠OCD=∠ODC=30°，∵⊙O 的半径为2，∴OE=1，CE=DE=3，∴CD=23，∴图中阴影部分的面积为：2120211233602⋅π⋅-⨯⨯=433π-．故选A ．考点：1．扇形面积的计算；2．切线的性质．6．（成都）如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，半径为4，则这个正六边形的边心距OM 和BC 弧线的长分别为（）A ．2，3πB ．23，πC ．3，23πD ．23，43π【答案】D ．考点：1．正多边形和圆；2．弧长的计算．7．（甘孜州）如图，已知扇形AOB的半径为2，圆心角为90°，连接AB，则图中阴影部分的面积是（）A．π﹣2 B．π﹣4 C．4π﹣2 D．4π﹣4【答案】A．【解析】试题分析：S阴影部分=S扇形OAB﹣S△OAB=29021223602π⨯-⨯⨯=π﹣2．故选A．考点：扇形面积的计算．8．（攀枝花）如图，已知⊙O的一条直径AB与弦CD相交于点E，且AC=2，AE=3，CE=1，则图中阴影部分的面积为（）A 239π439πC．29πD．49π【答案】D．考点：1．扇形面积的计算；2．勾股定理的逆定理；3．圆周角定理；4．解直角三角形． 9．（自贡）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB ＝30°，CD ＝32，则阴影部分的面积为（）A ．2πB ．πC ．3πD ．32π【答案】D ．【解析】试题分析：连接OD ．∵CD ⊥AB ，∴CE=DE=12CD=3（垂径定理），故S △OCE=S △ODE ，即可得阴影部分的面积等于扇形OBD 的面积，又∵∠CDB=30°，∴∠COB=60°（圆周角定理），∴OC=2，故S 扇形OBD=2602360π⨯=32π，即阴影部分的面积为32π．故选D ．考点：1．扇形面积的计算；2．垂径定理；3．圆周角定理；4．解直角三角形． 10．（达州）如图，直径AB 为12的半圆，绕A 点逆时针旋转60°，此时点B 旋转到点B′，则图中阴影部分的面积是（）A ．12πB ．24πC ．6πD ．36π 【答案】B ．考点：1．扇形面积的计算；2．旋转的性质．11．（德阳）如图，已知⊙O 的周长为4π，AB 的长为π，则图中阴影部分的面积为（）A ．2π-B ．3π-C ．πD ．2 【答案】A ．考点：1．扇形面积的计算；2．弧长的计算．12．（梧州）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是AB的中点，以E为圆心，ED为半径作半圆，交A、B所在的直线于M、N两点，分别以直径MD、ND为直径作半圆，则阴影部分面积为（）A．95 B．185 C．365 D．725【答案】B．【解析】试题分析：根据图形可知阴影部分的面积=两个小的半圆的面积+△DMN的面积﹣大半圆的面积．∵MN的半圆的直径，∴∠MDN=90°．在Rt△MDN中，MN2=MD2+DN2，∴两个小半圆的面积=大半圆的面积．∴阴影部分的面积=△DMN的面积．在Rt△AOD中，OD=22AD AO+=2263+=35，∴阴影部分的面积=△DMN的面积=12MN•AD=16562⨯⨯=185．故选B．考点：1．扇形面积的计算；2．勾股定理；3．综合题．13．（咸宁）如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，以AB的中点D为圆心，作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在EF上，设∠BDF=α（0°＜α＜90°），当α由小到大变化时，图中阴影部分的面积（）A．由小到大 B．由大到小 C．不变 D．先由小到大，后由大到小【答案】C．考点：1．扇形面积的计算；2．定值问题；3．综合题．14．（常德）若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则这称这两个扇形相似．如图，如果扇形AOB 与扇形A1O1B1是相似扇形，且半径OA ：O1A1=k （k 为不等于0的常数）．那么下面四个结论：①∠AOB=∠A1O1B1；②△AOB ∽△A1O1B1；③11ABk A B ；④扇形AOB 与扇形A1O1B1的面积之比为2k ．成立的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D ．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．弧长的计算；3．扇形面积的计算；4．新定义；5．压轴题．15．（邵阳）如图，在矩形ABCD 中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线l 上绕其右下角的顶点B 向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转次后，顶点A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是（）A ．πB ．3019.5πC ．3018πD ．3024π 【答案】D ．【解析】试题分析：转动一次A 的路线长是：90331802ππ⨯=，转动第二次的路线长是：90551802ππ⨯=，转动第三次的路线长是：9042180ππ⨯=，转动第四次的路线长是： 0，转动五次A 的路线长是：90331802ππ⨯=，以此类推，每四次循环，故顶点A 转动四次经过的路线长为：32π+52π+2π=6π，÷4=503余3，顶点A 转动四次经过的路线长为：6π×504=3024π．故选D ．考点：1．旋转的性质；2．弧长的计算；3．规律型． 16．（北海）用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是．【答案】2．考点：圆锥的计算．17．（贵港）如图，已知圆锥的底面⊙O的直径BC=6，高OA=4，则该圆锥的侧面展开图的面积为．【答案】15π．【解析】试题分析：∵OB=12BC=3，OA=4，由勾股定理，AB=5，侧面展开图的面积为：12×6π×5=15π．故答案为：15π．考点：圆锥的计算．18．（庆阳）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=22，若把Rt△ABC绕边AB 所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为（结果保留π）．【答案】2π．【解析】试题分析：过点C作CD⊥AB于点D，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∴2，∴CD=2，以CD为半径的圆的周长是：4π．故直线旋转一周则所得的几何体得表面积是：2×12×4π×2282π．故答案为：82π．考点：1．圆锥的计算；2．点、线、面、体．19．（贺州）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°得到矩形A′B′C′D′，则点B经过的路径与BA，AC′，C′B′所围成封闭图形的面积是（结果保留π）．【答案】2512 4π+．考点：1．扇形面积的计算；2．旋转的性质．20．（天水）如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是．【答案】4π．考点：1．弧长的计算；2．等边三角形的性质；3．综合题．21．（河南省）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交AB于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作CD交OB于点D．若OA=2，则阴影部分的面积为．【答案】3 122π+．【解析】试题分析：连接OE、AE ，∵点C为OA的中点，∴∠CEO=30°，∠EOC=60°，∴△AEO为等边三角形，∴S扇形AOE=2602360π⨯=23π，S扇形ABO=2902360π⨯=π，S扇形CDO=2901360π⨯=14π，∴S阴影=S扇形ABO﹣S扇形CDO﹣（S扇形AOE﹣S△COE）=121(13)432πππ---⨯⨯=3122π+．故答案为：3122π+．考点：扇形面积的计算．22．（烟台）如图，将弧长为6π，圆心角为120°的圆形纸片AOB围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA与OB重合（粘连部分忽略不计）则圆锥形纸帽的高是．【答案】62．考点：圆锥的计算．23．（乐山）如图，已知A （23，2）、B （23，1），将△AOB 绕着点O 逆时针旋转，使点A 旋转到点A′（﹣2，23）的位置，则图中阴影部分的面积为．【答案】34π．【解析】试题分析：∵A （232）、B （23，1），∴OA=4，13，∵由A （232）使点A 旋转到点A′（﹣2，23），∴∠A′OA=∠B′OB=90°，根据旋转的性质可得，''OB C OBC S S ∆∆=，∴阴影部分的面积等于S 扇形A'OA ﹣S 扇形C'OC=22114(13)44ππ⨯-⨯=34π，故答案为：34π．考点：1．扇形面积的计算；2．坐标与图形变化-旋转．24．（镇江）图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形．（1）如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的前提下，连接OD，已知OA=5，若扇形OAD（∠AOD＜180°）是一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于．【答案】（1）作图见试题解析；（2）15 8．试题解析：（1）如图所示，八边形ABCDEFGH即为所求；（2）∵八边形ABCDEFGH是正八边形，∴∠AOD=3608×3=135°，∵OA=5，∴AD的长=1355180π⨯=154π，设这个圆锥底面圆的半径为R，∴2πR=154π，∴R=158，即这个圆锥底面圆的半径为158．故答案为：158．考点：1．正多边形和圆；2．圆锥的计算；3．作图—复杂作图．25．（宁德）图（1）是一个蒙古包的照片，这个蒙古包可以近似看成是圆锥和圆柱组成的几何体，如图（2）所示．（1）请画出这个几何体的俯视图；（2）图（3）是这个几何体的正面示意图，已知蒙古包的顶部离地面的高度EO1=6米，圆柱部分的高OO1=4米，底面圆的直径BC=8米，求∠EAO的度数（结果精确到0.1°）．【答案】（1）答案见试题解析；（2）26.6°．（2）连接EO1，如图所示，∵EO1=6米，OO1=4米，∴EO=EO1﹣OO1=6﹣4=2米，∵AD=BC=8米，∴OA=OD=4米，在Rt△AOE中，tan∠EAO=2142EOOA==，则∠EAO≈26.6°．考点：1．圆锥的计算；2．圆柱的计算；3．作图-三视图．26．（玉林防城港）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点且∠BOD=60°，过点D作⊙O的切线CD交AB的延长线于点C，E为AD的中点，连接DE，EB．（1）求证：四边形BCDE是平行四边形；（2）已知图中阴影部分面积为6π，求⊙O的半径r．【答案】（1）证明见试题解析；（2）6．考点：1．切线的性质；2．平行四边形的判定；3．扇形面积的计算；4．综合题．27．（扬州）如图，已知⊙O的直径AB=12cm，AC是⊙O的弦，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点P，连接BC．（1）求证：∠PCA=∠B；（2）已知∠P=40°，点Q在优弧ABC上，从点A开始逆时针运动到点C停止（点Q与点C不重合），当△ABQ与△ABC的面积相等时，求动点Q所经过的弧长．【答案】（1）证明见试题解析；（2）53π或133π或233π．【解析】试题分析：（1）连接OC，由PC是⊙O的切线，得到∠1+∠PCA=90°，由AB是⊙O的直径，得到∠2+∠B=90°，从而得到结论；（2）△ABQ与△ABC的面积相等时，有三种情况，即：①当∠AOQ=∠AOC=50°时；②当∠BOQ=∠AOC=50°时；③当∠BOQ=50°时，即∠AOQ=230°时；分别求得点Q所经过的弧长即可．试题解析：（1）连接OC，∵PC是⊙O的切线，∴∠PCO=90°，∴∠1+∠PCA=90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠2+∠B=90°，∵OC=OA，∴∠1=∠2，∴∠PCA=∠B；考点：1．切线的性质；2．弧长的计算；3．分类讨论；4．综合题；5．轨迹．【题组】1．（·扬州）如图，已知正方形边长为1，若圆与正方形的四条边都相切，则阴影部分的面积与下列各数最接近的是（）A.1.0 B．2.0 C.3.0 D.4.0【答案】B．【解析】试题分析：∵正方形的边长为1，圆与正方形的四条边都相切，∴22S S S10.510.250.215ππ=-=-⋅=-≈阴影正方形圆．∵0.215最接近0.2，∴阴影部分的面积与下列各数最接近的是0.2故选B．考点：1．圆和正方形的面积；2．无理数的大小估计；3．转换思想的应用．2．（·金华）一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形，边长都为1，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是（）A．5:4 B．5:2 C52 D52【答案】A．故选A．考点：1．等腰直角三角形的判定和性质；2．勾股定理；3．扇形面积和圆面积的计算．3．（·辽宁省本溪市）底面半径为4，高为3的圆锥的侧面积是（）A．12π B．15π C．20π D．36π【答案】B．【解析】试题分析：∵圆锥的底面半径为3，高为4，∴母线长为5，∴圆锥的侧面积为：πrl=π×3×5=15π，故选B．考点：圆锥的计算．4．（·山东省莱芜市）一个圆锥的侧面展开图是半径为R的半圆，则该圆锥的高是（）A．R B．12R C3R D．32R【答案】D．【解析】试题分析：圆锥的底面周长是：πR；设圆锥的底面半径是r，则2πr=πR．解得：r=12R2213()22R R-=．故选D．考点：圆锥的计算．5．（·贵州安顺市）已知圆锥的母线长为6cm，底面圆的半径为3cm，则此圆锥侧面展开图的圆心角是（）A ． 30°B ． 60°C ．90°D ．180°【答案】D ．考点：圆锥的计算．6．（湖南衡阳市）圆心角为120，弧长为12π的扇形半径为（） A ．6 B ．9 C ．18 D ．36 【答案】C ．【解析】试卷分析：12012180rππ=，解得：r=18．故选C ．考点：圆的计算．7．（南京）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展开，得到一个扇形，若圆锥底面圆半径r=2cm ，扇形圆心角120θ=︒，则该圆锥母线长l 为 cm ．【答案】6．【解析】试题分析：∵圆锥底面圆半径r=2cm ， ∴根据圆的周长公式，得圆的周长为2r 4ππ=，∵侧面展开后所得扇形弧长等于圆的周长，∴扇形弧长4π=．又∵侧面展开后所得扇形的圆心角为120°，∴根据扇形的弧长公式，侧面展开后所得扇形的弧长为()120l4l 6180cm ππ⋅⋅=⇒=．考点：圆锥和扇形的计算． 8．（·呼和浩特）一个底面直径是80cm ，母线长为90cm 的圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为．【答案】1600．考点：圆锥的计算．9．（·潍坊）如图，两个半径均为3的⊙O1与⊙O2相交于A 、B 两点，且每个圆都经过另一个圆的圆心，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）【答案】233π-．【解析】试题分析：如图，连接O1O2，过点O1作O1H ⊥AO2于点H ，由题意可得：AO1=O1O2=AO2=3，∴△AO1O2是等边三角形．∴11233HO O O sin60322=︒=⋅=．∴()12122AO O AO O 6031333S 3S 223,2460ππ∆⨯=⨯⨯===扇形．∴12212AO O AO AO O 33S S S 24π∆=-=-弓形扇形．∴图中阴影部分的面积为：33423324ππ⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭ ．考点：1．扇形面积的计算；2．等边三角形的判定和性质；3．相交两圆的性质；4．锐角三角函数定义；5．特殊角的三角函数值；6．转换思想的应用． 10．（·重庆A ）如图，△OAB 中，OA=OB=4，∠A=30°，AB 与⊙O 相切于点C ，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）【答案】4433π-．考点：1．切线的性质；2．等腰三角形的性质；3．含30度角的直角三角形的性质；4．勾股定理；5．扇形面积的计算；6．转换思想的应用．☞考点归纳归纳 1：弧长公式基础知识归纳：n °的圆心角所对的弧长l 的计算公式为180n r l π=注意问题归纳：①在弧长的计算公式中，n 是表示1°的圆心角的倍数，n 和180都不要带单位．②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．【例1】在半径为2的圆中，弦AB 的长为2，则AB 的长等于（）A ．3πB ．2πC ．23πD ．32π【答案】C ．考点：弧长的计算．归纳 2：扇形面积基础知识归纳：扇形面积公式：lR R n S 213602==π扇注意问题归纳：其中n 是扇形的圆心角度数，R 是扇形的半径，l 是扇形的弧长．【例2】如图，将长为8cm 的铁丝AB 首尾相接围成半径为2cm 的扇形，则S 扇形= cm²【答案】4．【解析】试题分析：设围成扇形的角度为n ，∵将长为8cm 的铁丝AB 首尾相接围成半径为2cm 的扇形，∴围成扇形的弧长为4cm ．∴根据弧长公式，得n 23604n 180ππ⋅⋅=⇒=，∴根据扇形面积公式，得()223602S 4cm 360π⋅⋅==．考点：扇形的计算．归纳 3：圆锥的侧面积基础知识归纳：圆锥的侧面积：122S l r rlππ=•=，其中l 是圆锥的母线长，r 是圆锥的地面半径．注意问题归纳：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．【例3】一个圆锥的高为4cm ，底面圆的半径为3cm ，则这个圆锥的侧面积为（） A ． 12πcm2 B ．15πcm2 C ．20πcm2 D ．30πcm2考点：圆锥的计算．归纳 4：阴影部分面积基本方法归纳：求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．注意问题归纳：求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．【例4】如图，扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半径为4，点C在AB上，CD⊥OA，垂足为点D，当△OCD的面积最大时，图中阴影部分的面积为．π-．【答案】24考点：扇形面积的计算．☞1年模拟1．（湖北省宜昌市兴山县校级模拟）劳技课上，小颖将一顶自制的圆锥形纸帽戴在头上，已知纸帽底面圆半径为10cm，母线长50cm，则这顶纸帽的侧面积为（）cm2．A．250π B．500π C．750π D．1000π【解析】试题分析：底面圆的半径为10cm ，则底面周长=20πcm ，侧面面积=π×10×50=500πcm2．故选B ．考点：圆锥的计算．2．（湖北省广水市校级模拟）如图，圆锥体的高h=2cm ，底面半径r=2cm ，则圆锥体的全面积为（）cm2．A ．4π B ．8π C ．12π D ．（4+4）π【答案】C ．【解析】试题分析：底面圆的半径为2，则底面周长=4π，因为底面半径为2cm 、高为23cm ，所以圆锥的母线长为4cm ，即可求得侧面面积=12×4π×4=8π；底面积为=4π，所以全面积为：8π+4π=12πcm2．故选C ．考点：圆锥的有关计算．3．（山东省高密市模拟考试）如果圆锥的母线长为5cm ，底面半径为2cm ，那么这个圆锥的侧面积是（）A ．210cmB ．210cm π C ．220cm D ．220cm π 【答案】B ．考点：1．圆锥的侧面展开图；2．扇形的面积计算．4．（山东省新泰市模拟考试）如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=，30CAB ∠=，2BC =，O H ，分别为边AB AC ，的中点，将ABC △绕点B 顺时针旋转120到11A BC △的位置，则整个旋转过程中线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（）A ．77π338-B ．47π338+C ．πD ．4π33+【答案】C ．【解析】试题分析：连接BH ，BH1，∵O 、H 分别为边AB ，AC 的中点，将△ABC 绕点B 顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，∴△OBH ≌△O1BH1，利用勾股定理可求得BH=437+=，所以利用扇形面积公式可得()()22360132********BH BC πππ=⨯-=-．故选C ．考点：扇形面积的计算．5．（江苏省兴化顾庄等三校校级模拟）若粮仓顶部是圆锥形，且这个圆锥的高为2m ，母线长为2.5m ，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，则这块油毡的面积是 m2．【答案】154π．考点：圆锥的计算．6．（河南省三门峡市模拟考试）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝8，BC ＝6，分别以A 、C 为圆心，以2AC的长为半径作圆，将Rt △ABC 截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为．【答案】24-254πcm2．【解析】试题分析：如图：∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，∴AC=2286+=10cm，△ABC的面积是：12AB•BC=12×8×6=24cm2．∴S阴影部分=12×6×8-2905360π⨯=24-254πcm2,故阴影部分的面积是：24-254πcm2．考点：扇形面积的计算．7．（湖北省武汉市校级模拟）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A、B、C的坐标分别是A（-2，3）、B（-1，2）、C（-3，1），△ABC 绕点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1．（1）在正方形网格中作出△A1B1C1；（2）求点A经过的路径弧AA1的长度；（结果保留π）（3）在y轴上找一点D，使DB+DB1的值最小，并直接写出D点坐标．【答案】（1）图形详见解析；（2132；（3）（0，53）．试题解析：解：（1）如图如下：考点：作图—旋转变换；待定系数法求解析式；弧长公式．8．（广东省中山市校级模拟）如图，AB是的直径，点D在上，∠DAB＝45°，BC∥AD，CD∥AB．（1）、判断直线CD 与的位置关系，并说明理由；（2）、若的半径为1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．【答案】（1）、相切；（2）、324．【解析】试题分析：（1）、连接OD，根据OA=OD，∠ODA=45°得出∠AOD=90°，根据CD∥AB 得出∠ODC=90°，从而说明切线；（2）、首先求出梯形OBCD的面积，然后利用梯形的面积减去扇形OBD的面积求出阴影部分的面积．考点：切线的判定、扇形的面积计算．9．（山东省博兴县校级模拟）如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB延长线于点A，连接CD，且∠CDB=∠OBD=30°．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）求弦BD的长；（3）求图中阴影部分的面积．【答案】（1）见解析；（2）3；（3）6π．【解析】试题分析：（1）连接OC交BD于点E，根据∠CDB=∠OBD=30°得出∠COB=60°，∠OEB=90°，根据AC∥BD得到∠OCA=90°；（2）根据OB=6，OE⊥BD，∠OEB=30°，求出OE和BE的长度，然后计算出BD的长度；（3）根据△OBE和△CDE全等，将阴影部分的面积转化成扇形OBC的面积，然后根据扇形的面积计算公式进行求解．试题解析：（1）证明：连接OC，交BD于点E．∵∠CDB=∠OBD=30°∴∠COB=60°，∠OEB=90°∵AC∥BD ∴∠OCA=∠OEB=90°∴OC⊥AC ∴AC是⊙O的切线．（2）∵∠OEB=90°，∠OBD=30°∴OC⊥BD，321==OB OE∴BE=DE=33273622==-∴362==DEBD（3）∵OE=CE，∠OEB=∠CED=90°，BE=DE，∴△OEB≌△CED∴ππ63606602=⋅==OBCSS扇形阴影考点：切线的判定、垂径定理、扇形的面积计算．10．（山东省高密市模拟考试）如图，BE是⊙O的直径，点A在EB的延长线上，弦PD⊥BE，垂足为C，连接OD，∠AOD=∠APC．（1）求证：AP是⊙O的切线．（2）若⊙O的半径是4，AP=43，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）见解析（2）16433π-．考点：1．切线的证明；2．勾股定理；3．特殊角的三角函数值；4．扇形的面积计算．。

中考数学圆锥专题含答案

圆锥1、圆有关的计算: (1)弧长计算公式：180Rn l π=（R 为圆的半径，n 是弧所对的圆心角的度数，l 为弧长） (2)扇形面积：2360R n S π=扇形或lR S 21=扇形（R 为半径，n 是扇形所对的圆心角的度数，l 为扇形的弧长） (3) 圆锥：扇形到圆锥三个不变量侧面积计算公式：圆锥的母线即为扇形的半径，而圆锥底面的周长是扇形的弧长，这样，S 圆锥侧=S 扇形=21·2πr · l = πrl其中l 是圆锥的母线长，r 是圆锥的地面半径。

圆锥全面积计算公式S 圆锥全=S 圆锥侧＋S 圆锥底面= πr l ＋πr 2=πr （l ＋r ）圆锥的高：22r R h -=算弧长：【经典例题1】如图，在▱ABCD 中，AB 为⊙O 的直径，⊙O 与DC 相切于点E ，与AD 相交于点F ，已知AB ＝12，∠C ＝60°，则FE ︵的长为__π__．（可改面积）【解析】如图连接OE 、OF ，∵CD是⊙O的切线，∴OE⊥CD，∴∠OED=90∘，∵四边形ABCD是平行四边形，∠C=60∘，∴∠A=∠C=60∘，∠D=120∘，∵OA=OF，∴∠A=∠OFA=60∘，∴∠DFO=120∘，∴∠EOF=360∘−∠D−∠DFO−∠DEO=30∘，E^F的长=30⋅π⋅6180=π．故答案为：π．练习1-1（2020吉林）如图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．筝形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．以点B为圆心，BO长为半径画弧，分别交AB，BC于点E，F．若∠ABD＝∠ACD＝30°，AD＝1，则的长为（结果保留π）．【解析】在△ABD与△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SSS），∴∠ABD ＝∠CBD ＝30°，∠ADB ＝∠CDB ，CD ＝AD ＝1， ∴∠ABC ＝60°，∵AD ＝CD ，∠ADB ＝∠CDB ， ∴BD ⊥AC ，且AO ＝CO ， ∴∠ACB ＝90°﹣30°＝60°， ∴∠BCD ＝∠ACB +∠ACD ＝90°，在Rt △BCD 中，∵∠CBD ＝30°， ∴BD ＝2CD ＝2，在Rt △COD 中，∵∠ACD ＝30°， ∴OD ＝CD ＝， ∴OB ＝BD ﹣OD ＝2﹣＝，∴的长为：＝，故答案为．练习1-2(2020·南充）如图，AB 是O 的直径，CD 是弦，点,C D 在直径AB 的两侧．若::2:7:11AOC AOD DOB ∠∠∠=，4CD =，则CD 的长为（）A ．2πB ．4π C．2D【解析】D 运动路径长度【经典例题2】（2020四川南充）如图，四个三角形拼成一个风车图形，若AB ＝2，当风车转动90°，点B 运动路径的长度为（）ODCBAA ．πB ．2πC ．3πD ．4π 【解析】由题意可得：点B 运动路径的长度为=90×π×2180=π，故选：A ．练习2-1如图，将边长为1 cm 的等边三角形ABC 沿直线l 向右翻动（不滑动），点B 从开始到结束，所经过路径的长度为( )A.23πcm B. (2+32π)cm C. 34πcm D. 3cm 【解析】∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ACB=60∘， ∴∠AC(A)=120∘，点B 两次翻动划过的弧长相等，则点B 经过的路径长=2×1801120⨯π=34π.故选C.练习2-2如图，把Rt △ABC 的斜边AB 放在直线L 上，按顺时针方向在L 上转动两次使它转到△DEF 的位置，设BC=3，AC=1，则点A 运动到点D 的位置时，点A 经过的路线长是多少？点A经过的路线与直线L 所围成的面积是多少？【解析】∵BC=3，AC=1，∴tan ∠ABC=BC AC =31=33，AB=2)3(122=+， ∴∠ABC=30∘， ∴∠CBF=150∘， ∴点A 经过的路线长=1802150⨯π+180190⨯π=π613. ∴点A 经过的路线与直线L 所围成的面积=3604150⨯π+360190⨯π=π1223.练习2-3如图所示，将边长为8cm 的正方形ABCD 沿直线l 向右翻动（不滑动），当正方形连续翻动三次后，正方形ABCD 的中心经过的路线长是__________cm ．lABCD(A)(D)…【解析】正方形的对角线长是82cm ，翻动一次中心经过的路线是半径是对角线的一半为半径，圆心角是90度的弧。

弧长与扇形面积练习题与答案

弧长和扇形面积知识点：1、弧长公式：180n Rl π=（牢记）在半径是R 的圆中，360度的圆心角多对的弧长就是圆的周长C2、扇形面积公式：2n R =360S π扇形或1=2S lR 扇形（牢记）3、圆锥的侧面积和全面积（难点）圆锥的侧面展开图形是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长R ，扇形的弧长是圆锥底面圆的周长。

典型例题1．已知圆锥的高是cm 30，母线长是cm 50，则圆锥的侧面积是 .【关键词】圆锥侧面积、扇形面积答案：2000πcm 2；2. （2010年福建省晋江市）已知：如图，有一块含︒30的直角三角板OAB 的直角边长BO 的长恰与另一块等腰直角三角板ODC 的斜边OC 的长相等，把该套三角板放置在平面直角坐标系中，且3=AB .(1)若双曲线的一个分支恰好经过点A ，求双曲线的解析式；(2)若把含︒30的直角三角板绕点O 按顺时针方向旋转后，斜边OA 恰好与x 轴重叠，点A 落在点A '，试求图中阴影部分的面积(结果保留π).【关键词】反比例函数、扇形面积答案：解：(1) 在OBA Rt ∆中，︒=∠30AOB ，3=AB ，ABOBAOB =∠cot ， ∴3330cot =︒⋅=AB OB ， ∴点()33,3A 设双曲线的解析式为()0≠=k xky ∴333k=，39=k ，则双曲线的解析式为x y 39=(2) 在OBA Rt ∆中，︒=∠30AOB ，3=AB ，OA AB AOB =∠sin ，OA330sin =︒， ∴6=OA .Ｐ由题意得：︒=∠60AOC ，ππ63606602'=⋅⋅=AOA S 扇形在OCD Rt ∆中，︒=∠45DOC ，33==OB OC ，∴263223345cos =⋅=︒⋅=OC OD . ∴427263212122=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∆OD S ODC. ∴'27S 64ODC AOA S S π∆-=-阴扇形＝3.（2010年浙江省东阳市）在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，ABC △的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．（1）如果建立直角坐标系，使点B 的坐标为（－5，2），点C 的坐标为（－2，2），则点A 的坐标为 ▲ ； (2) 画出ABC △绕点Ｐ顺时针旋转90后的△Ａ１Ｂ１Ｃ，并求线段BC 扫过的面积. 关键词：扇形面积公式答案：（１）Ａ（－４，４）（２）图略线段BC 扫过的面积＝4π（４２－１２）＝415π4、（2010福建德化）已知圆锥的底面半径是3cm ，母线长为6cm ，则侧面积为________cm 2．（结果保留π）关键词：圆锥侧面积答案：π185、已知圆锥的底面半径为3，侧面积为15π，则这个圆锥的高为 ▲ 关键词：圆锥的高答案：46（2010年门头沟区）．如图，有一块半圆形钢板，直径AB =20cm ，计划将此钢板切割成下底为AB 的等腰梯形，上底CD 的端点在圆周上，且CD =10cm ．求图中阴影部分的面积. 【关键词】圆、梯形、阴影部分面积【答案】解：连结OC ，OD ，过点O 作OE⊥CD 于点E.………………………1分 ∵OE⊥CD，∴CE=DE=5,∴OE=2222105CO CE -=-=53, ………………2分 ∵∠OED=90°,DE=OD 21,∴∠DOE=30°, ∠DOC=60°. ∴3503601060S 2∏=⨯∏=扇形(cm 2) …………3分S △OCD =12·OE·CD= 25 3 (cm 2) ……………4分∴S 阴影= S 扇形－S △OCD = (503π－253) cm 2∴阴影部分的面积为(503π－253) cm 2.7.（2010年山东省济南市）如图，四边形OABC 为菱形，点B 、C 在以点O 为圆心的⌒EF 上，若OA =1，∠1=∠2，则扇形OEF 的面积为（）A. 6πB. 4πC. 3πD. 32π【关键词】扇形的面积【答案】C8.（2010年台湾省）如图(十三)，扇形AOB 中，OA =10， AOB =36。

九年级数学弧、扇形及圆锥相关计算全解(圆)基础练习(含答案)

九年级数学弧、扇形及圆锥相关计算全解（圆）基础练习试卷简介:全卷共三个大题，第一题是选择题，6小题，每题6分；第二题是填空题，4小题，每题6分；第三题是计算题，2小题，每题20分，满分100分，测试时间60分钟。

本套试卷立足弧长公式、扇形面积公式、锥形侧面积公式，考察了学生对弧长公式、扇形面积公式、锥形侧面积公式技巧的掌握。

有些题目计算起来有点复杂，学生在做题过程中可以回顾本章知识点，认清自己对知识的掌握及灵活运用程度。

学习建议:本讲主要内容是弧、扇形面积、圆锥侧面积的运算技巧，在中考时常以填空题或选择题的形式出现，技巧的运用能力需要大家通过大量的联系可以练就。

大家需牢记各个公式之间的联系，并且计算时一定要认真仔细，计算结果要带上单位，务必保证结果正确。

本章题目灵活多变，但万变不离其宗，只要掌握最基本的计算公式，再多加练习，就能轻松掌握。

一、单选题(共6道，每道6分)1.如图已知扇形AOB的半径为6cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的侧面积为（）A.4π cm2B.6π cm2C.9π cm2D.12π cm2答案：D解题思路：圆锥的侧面积即为扇形AOB的面积，由扇形面积公式（cm2 ）易错点：不会把圆锥的侧面积转化为扇形的面积，另外扇形面积公式不熟悉试题难度：一颗星知识点：弧长、扇形、圆锥、圆柱的相关计算2.如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”．则半径为2的“等边扇形”的面积为（）A.B.C.D.答案：C解题思路：由扇形面积公式。

易错点：对这种形式的扇形面积公式不熟悉。

试题难度：二颗星知识点：弧长、扇形、圆锥、圆柱的相关计算3.如图，已知圆O的半径OA=6，∠AOB=90°，则∠AOB所对的弧AB长为（）A.B.C.D.答案：B解题思路：由弧长公式易错点：弧长公式不熟练.试题难度：三颗星知识点：弧长、扇形、圆锥、圆柱的相关计算4.将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，重叠部分（阴影）的量角器弧（）对应的圆心角（∠AOB）为120°，AO的长为4cm ，OC的长为2cm ，则图中阴影部分的面积为（）A.B.C.D.答案：C解题思路：连结OB，把阴影部分分割为扇形AOB和Rt△OBC。

中考数学精选汇编弧长与扇形面积---13道题目(含答案)

01已知该圆锥的侧面展开图的圆心角为120°、半径长为6，圆锥的高与母线的夹角为α，则（）A．圆锥的底面半径为3 B．tanα=C．圆锥的表面积为12πD．该圆锥的主视图的面积为8已知该圆锥的侧面展开图的圆心角为120°、半径长为6，圆锥的高与母线的夹角为α，则（）A．圆锥的底面半径为3 B．tanα=C．圆锥的表面积为12πD．该圆锥的主视图的面积为8【考点】圆锥的计算．【分析】根据圆锥的侧面展开图的弧长=2πr=，求出r以及圆锥的高h即可解决问题．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，高为h．由题意：2πr=，解得r=2，h==4，所以tanα==，圆锥的主视图的面积=×4×4=8，表面积=4π+π×2×6=16π．∴选项A、B、C错误，D正确．故选D．【点评】本题考查圆锥的有关知识，记住侧面展开图的弧长=2πr=，圆锥的表面积=πr2+πrl是解决问题的关键，属于中考常考题型．02如图，是半径为1的圆弧，∠AOC 等于45°，D 是上的一动点，则四边形AODC 的面积s 的取值范围是（）A ．42242+≤≤S B ．42242+≤<S C ．22222+≤≤S D ．22222+<<S如图，是半径为1的圆弧，∠AOC 等于45°，D 是上的一动点，则四边形AODC 的面积s 的取值范围是（）A ．42242+≤≤S B ．42242+≤<S C ．22222+≤≤S D ．22222+<<S 答案:B 解析如图，过点C 作CF 垂直AO 于点F,过点D 作DE 垂直CO 于点E, ∵CO=AO=1，∠COA=45°所以CF=FO=22，∴S △AFC=22121⨯⨯42=则面积最小的四边形面积为D 无限接近点C 所以最小面积无限接近42但是不能取到∵△AOC 面积确定，∴要使四边形AODC 面积最大，则要使△COD 面积最大。

人教版九年级数学上册 24.4 弧长和扇形面积(含答案)

人教版九年级数学24.4 弧长和扇形面积一、选择题（本大题共10道小题）1. 若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为()A.πB.2πC.3πD.6π2. 一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是()A．2π B．4πC．12π D．24π3. 如图，⊙O的半径是1，A、B、C是圆周上的三点，∠BAC＝36°，则劣弧BC︵的长是( )A. π5 B.25π C.35π D.45π4. (2019•遵义)圆锥的底面半径是5 cm，侧面展开图的圆心角是180°，圆锥的高是A．5cm B．10 cmC．6 cm D．5 cm5. 2019·唐山乐亭期末如图，圆锥的底面半径OB＝6 cm，高OC＝8 cm，则这个圆锥的侧面积是()A．30 cm2B．60π cm2C．30π cm2D．48π cm26. 改编如图①所示物体由两个圆锥组成，在从正面看到的形状图中(如图②)，∠A＝90°，∠ABC＝105°.若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为()A ．2B. 3C.32D. 27. 如图AB 为半圆O 的直径，AB ＝4，C ，D 为AB ︵上两点，且AC ︵＝15BD ︵.若∠CED ＝52∠COD ，则BD ︵的长为( )图A.59πB.78πC.89πD.109π8.如图，AB 是圆O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠BCD ＝30°，CD ＝43，则S 阴影＝()A . 2πB . 83πC . 43πD . 38π9. 如图，△ABC 是等腰直角三角形，且∠ACB ＝90°.曲线CDEF…叫做“等腰直角三角形的渐开线”，其中CD ︵，DE ︵，EF ︵，…的圆心依次按A ，B ，C ，…循环．如果AC ＝1，那么曲线CDEF 和线段CF 围成图的面积为( )图A .（12＋72）4πB .（9＋52）4πC .（12＋72）π＋24D .（9＋52）π＋2410. 如图在扇形OAB 中，∠AOB ＝150°，AC ＝AO ＝6，D 为AC 的中点，当弦AC沿AB ︵运动时，点D 所经过的路径长为( )图A ．3πB.3πC.32 3πD ．4π二、填空题（本大题共8道小题）11. 如图所示，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝90°，则图中阴影部分的面积是________．12.如图，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，⊙O 的半径为3，则图中阴影部分的面积是________．13. 如图，已知扇形OAB 的圆心角为60°，扇形的面积为6π，则该扇形的弧长为________．14.如图，以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 是小圆的切线，点P 为切点，AB ＝123，OP ＝6，则劣弧AB ︵的长为________．(结果保留π)15. 如图，现有一张圆心角为108°，半径为40 cm 的扇形纸片，小红剪去圆心角为θ的部分扇形纸片后，将剩下的纸片制作成一个底面圆半径为10 cm 的圆锥形纸帽(接缝处忽略不计)，则剪去的扇形纸片的圆心角θ为________．16. 如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2 2.若把Rt △ABC 绕边AB 所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为________．(结果保留π)17. 如图，∠AOB ＝90°，∠B ＝30°，以点O 为圆心，OA 长为半径作弧交AB 于点A ，C ，交OB 于点D.若OA ＝3，则阴影部分的面积为________．18. 如图，将四边形ABCD 绕顶点A 顺时针旋转45°至四边形AB′C′D′的位置．若AB ＝16 cm ，则图中阴影部分的面积为________．三、解答题（本大题共4道小题）19. 如图所示的粮囤可以看成是圆柱体与圆锥体的组合体，已知其底面圆的半径为6 m ，高为4 m ，下方圆柱的高为3 m. (1)求该粮囤的容积；(2)求上方圆锥的侧面积(计算结果保留根号).20. 如图，蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，现想用毛毡搭建底面积为9π m 2，高为6 m ，外围高为2 m 的蒙古包，求至少需要多少平方米的毛毡．(结果保留π)21. 如图，在正方形ABCD 中，AD ＝2，E 是AB 的中点，将△BEC 绕点B 逆时针旋转90°后，点E 落在CB 的延长线上的点F 处，点C 落在点A 处，再将线段AF 绕点F 顺时针旋转90°得线段FG ，连接EF ，CG . (1)求证：EF ∥CG ；(2)求点C ，A 在旋转过程中形成的AC ︵，AG ︵与线段CG 所围成的阴影部分的面积．22. (2019•襄阳)如图，点E是ABC△的内心，AE的延长线和ABC△的外接圆圆O 相交于点D，过D作直线DG BC∥．(1)求证：DG是圆O的切线；(2)若6DE =，63BC=，求优弧BAC的长．人教版九年级数学24.4 弧长和扇形面积-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】C[解析]扇形的圆心角为90°，它的半径为6，即n=90°，r=6，根据弧长公式l=，得l==3π.故选C.2. 【答案】C[解析] 根据扇形的面积公式，S＝120×π×62360＝12π.故选C.3. 【答案】B 【解析】连接OB、OC.⎭⎬⎫⎭⎪⎬⎪⎫∠BOC是BC⌒所对的圆心角∠A是BC⌒所对的圆周角∠A＝36°⇒∠BOC＝2∠A＝72°⊙O的半径是1⇒劣弧BC⌒的长＝72π×1180＝25π.4. 【答案】A【解析】设圆锥的母线长为R，根据题意得2π·5180π180R=，解得R=10．即圆锥的母线长为10 cm22105-=3cm．故选A．5. 【答案】B6. 【答案】D[解析] ∵∠A ＝90°，∠ABC ＝105°，∴∠ABD ＝45°，∠CBD ＝60°，∴△ABD 是等腰直角三角形，△CBD 是等边三角形．设AB 的长为R ，则BD 的长为2R.∵上面圆锥的侧面积为1，即1＝12lR ，∴l ＝2R ，∴下面圆锥的侧面积为12·2R ·2R ＝ 2.故选D.7. 【答案】D8.【答案】B【解析】如解图，连接OC ，设CD 与OB 交于点E ，∵在⊙O 中，弦CD ⊥AB ，∴CE ＝DE ＝23，∵∠BCD ＝30°，∴∠BOD ＝2∠BCD ＝60°，在Rt △EOD 中，O E ＝DEtan60°＝2，∴OD ＝4，∴BE ＝OB －OE ＝4－2＝2，在△DOE 和△CBE 中，CE ＝DE ，∠CEB ＝∠DEO ，OE ＝BE ，∴△DOE ≌△CBE ，∴S 阴影＝S 扇形OBD ＝60×π×42360＝83π.9. 【答案】C[解析] 曲线CDEF 和线段CF 围成的图是由三个圆心不同，半径不同的扇形以及△ABC 组成的，所以根据面积公式可得135π×1＋135π×（2＋1）2＋90π×（2＋2）2360＋12×1×1＝（12＋7 2）π＋24.10. 【答案】C[解析] 如图∵D 为AC 的中点，AC ＝AO ＝6，∴OD ⊥AC ，∴AD ＝12AC ＝12AO ， ∴∠AOD ＝30°，OD ＝3 3. 作BF ＝AC ，E 为BF 的中点．同理可得∠BOE ＝30°，∴∠DOE ＝150°－60°＝90°，∴点D 所经过的路径长为n πR 180＝90π×3 3180＝3 32π.二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】π－2[解析] ∵在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝90°，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴S 阴影＝S 半圆AB ＋S 半圆BC －S △ABC ＝12π×(22)2＋12π×(22)2－12×2×2 ＝π－2.12.【答案】3π 【解析】∵△ABC 是⊙O 的内接正三角形，∴∠AOB ＝2∠C ＝2×60°＝120° ，∵⊙O 的半径为3，∴阴影部分的面积S 扇形OAB ＝120×π×32360＝3π.13. 【答案】2π[解析] 设扇形的半径是R ，则60·π·R2360＝6π，解得R ＝6(负值已舍去)．设扇形的弧长是l ，则12lR ＝6π，即3l ＝6π，解得l ＝2π.故答案为2π.14. 【答案】8π 【解析】∵AB 是小圆的切线，∴OP ⊥AB ，∴AP ＝12AB ＝63.如解图，连接OA ，OB ，∵OA ＝OB ，∴∠AOB ＝2∠AOP.在Rt △AO P 中，OA ＝OP 2＋AP 2＝12，tan ∠AOP ＝APOP ＝636＝3，∴∠AOP ＝60°.∴∠AOB ＝120°，∴劣弧AB 的长为120π·12180＝8π.15. 【答案】18°16. 【答案】82π [解析] 过点C 作CD ⊥AB 于点D .在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2 2， ∴AB ＝2AC ＝4，∴CD ＝2. 以CD 为半径的圆的周长是4π.故Rt △ABC 绕直线AB 旋转一周所得几何体的表面积是2×12×4π×2 2＝8 2π.17. 【答案】34π [解析] 如图，连接OC ，过点C 作CN ⊥AO 于点N ，CM ⊥OB于点M.∵∠AOB ＝90°，∠B ＝30°，∴∠A ＝60°.∵OA ＝OC ，∴△AOC 为等边三角形， ∴∠AOC ＝60°，AC ＝OA. ∵OA ＝3，∴AC ＝OA ＝3.∵CN ⊥OA ，∴AN ＝ON ＝12OA ＝32，∴CN ＝32 3，∴S △AOC ＝12OA·CN ＝94 3. ∵∠AOB ＝90°，CN ⊥OA ，CM ⊥OB ， ∴四边形CNOM 为矩形， ∴CM ＝ON ＝32.在Rt △AOB 中，∠B ＝30°，OA ＝3， ∴AB ＝2OA ＝6， ∴OB ＝3 3，∴S △OCB ＝12OB·CM ＝94 3. ∵∠AOC ＝60°，OA ＝3， ∴S 扇形OAC ＝60π·32360＝32π. ∵∠COD ＝90°－60°＝30°，∴S 扇形OCD ＝30π·32360＝34π，∴S 阴影＝S 扇形OAC －S △AOC ＋S △OCB －S 扇形OCD ＝34π.18. 【答案】32π cm2[解析] 由旋转的性质得∠BAB′＝45°，四边形AB′C′D′≌四边形ABCD ，则图中阴影部分的面积＝四边形ABCD 的面积＋扇形ABB′的面积－四边形AB′C′D′的面积＝扇形ABB′的面积＝45π×162360＝32π(cm2)．三、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】解：(1)容积V ＝π×62×3＋13×π×62×(4－3)＝108π＋12π＝120π(m3)．答：该粮囤的容积为120π m3.(2)圆锥的母线长l ＝62＋12＝37(m)，所以圆锥的侧面积S ＝π×6×37＝637π(m2)．20. 【答案】解：∵蒙古包的底面积为9π m 2，高为6 m ，外围(圆柱)高为2 m ， ∴底面圆的半径为3 m ，圆锥的高为6－2＝4(m)， ∴圆锥的母线长为5 m ，∴圆锥的侧面积为π×3×5＝15π(m 2)，圆锥的底面周长为2π×3＝6π(m)，圆柱的侧面积为6π×2＝12π(m 2)．故至少需要毛毡15π＋12π＝27π(m 2)．21. 【答案】解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝BC ＝AD ＝2，∠ABC ＝90°. ∵△BEC 绕点B 逆时针旋转90°得△BFA ， ∴△BFA ≌△BEC ，∴∠FAB ＝∠ECB ，∠ABF ＝∠CBE ＝90°，AF＝CE，∴∠AFB＋∠FAB＝90°.∵线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，∴∠AFB＋∠CFG＝∠AFG＝90°，AF＝FG，∴∠CFG＝∠FAB＝∠ECB，CE＝FG，∴CE綊FG，∴四边形EFGC是平行四边形，∴EF∥CG.(2)∵E是AB的中点，∴AE＝BE＝12AB.∵△BFA≌△BEC，∴BF＝BE＝12AB＝1，∴AF＝AB2＋BF2＝ 5.由(1)知四边形EFGC是平行四边形，FC为其对角线，∴点G到FC的距离等于点E到FC的距离，即BE的长，∴S阴影＝S扇形BAC＋S△ABF＋S△FGC－S扇形FAG＝90π·22360＋12×2×1＋12×(1＋2)×1－90π·（5）2360＝52－π4.22. 【答案】(1)连接OD交BC于H，如图，∵点E是ABC△的内心，∴AD平分BAC∠，即BAD CAD∠=∠，∴BD CD=，∴OD BC，BH CH=，∵DG BC∥，∴OD DG⊥，∴DG 是圆O 的切线．(2)连接BD 、OB ，如图，∵点E 是ABC △的内心，∴ABE CBE ∠=∠，∵DBC BAD ∠=∠，∴DEB BAD ABE DBC CBE DBE ∠=∠+∠=∠+∠=∠， ∴6DB DE ==，∵12BH BC ==在Rt BDH △中，sin 62BH BDH BD ∠===， ∴60BDH ∠=︒，而OB OD =，∴OBD △为等边三角形，∴60BOD ∠=︒，6OB BD ==，∴120BOC ∠=︒，∴优弧BAC 的长=(360120)π68π180-⋅⋅=．。

中考数学模拟试卷精选汇编：弧长与扇形面积附答案

弧长与扇形面积一.选择题1．（2015·江苏江阴长泾片·期中）已知圆锥的底面半径为4cm ，高为3cm ，则圆锥的侧面积是 ( )A ．20 cm 2B ．20兀cm 2C ．12兀cm 2D ．10兀cm 2 答案：B2．（2015·江苏江阴青阳片·期中）圆锥的底面半径为2，母线长为4，则它的侧面积为（ ▲ ） A ．8π B ．π12C ．43πD ．4π答案：A3．（2015·江苏江阴夏港中学·期中）一个圆锥底面直径为2，母线为4，则它的侧面积为（） A ．2π B ．12πC ． 4πD ．8π答案：C4．（2015·江苏江阴要塞片·一模）圆锥的底面半径为2，母线长为4，则它的侧面积为 ( ▲ )A ．4πB ．8πC ．16πD ．43π答案：B5. （2015·湖南永州·三模）如图，以AD 为直径的半圆O 经过Rt △ABC 的斜边AB 的两个端点，交直角边AC 于点E ．B 、E 是半圆弧的三等分点，弧BE 的长为32π，则图中阴影部分的面积为（）A ．9π B ．93πC ．2323π−D ．32233π−答案：D 解析：连接OB ．OE 、BE ，，因为B ．E 是半圆弧的三等分点，所以∠BOE =60°，根据同底等高的三角形面积相等可知△OBE 和△ABE 的面积相等，所以阴影部分的面积等于△ABC 减去扇形OBE 的面积.因为弧BE的长为32π，设半圆的半径为r ，根据弧长公式1806032r ⨯⨯=ππ，解得r =2，323221OBE 2ππ=⨯⨯=扇形S ．根据圆周角的性质可知，∠DAB =∠EAB =30°，连接BD ，则△ABD 是直角三角形，AD =2r =4，cos ∠DAB =ADAB ，AB 在Rt △ABC 中，得BC 由正切计算得AC =3，所以S △ABC所以阴影面积32π．6. （2015•山东滕州张汪中学•质量检测二）用圆心角为120°，半径为6cm 的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽（如图1所示），则这个纸帽的高是（）A ．2cmB ．32cmC ．42cmD ． 4cm答案：C ；7. （2015·江西省·中等学校招生考试数学模拟）如图所示，正三角形ABC 中，边AC 渐变成»AC ，其它两边长度不变，则ABC Ð的度数的大小由60 变为（） A ． 180p B ． 120p C ． 90p D ． 60p答案：选A ．命题思路：考查弧长的计算公式的运用8. （2015·山东省枣庄市齐村中学二模）已知圆锥的底面半径长为5，侧面展开后得到一个半圆，则该圆锥的母线长为（） A ．2．5B ．5C ．10D ．15答案：C9. (2015•山东济南•模拟)扇形的半径为30cm ，圆心角为120°，此扇形的弧长是A ．20πcmB ．10πcmC ．10 cmD ．20 cm 答案：A10. (2015·江苏无锡北塘区·一模)已知圆柱的底面半径为2cm ，高为4cm ，则圆柱的侧面积是( ▲ )A ．16 cm 2B ．16π cm 2C ．8π cm 2D ．4π cm 2 答案: B11. （2015·无锡市宜兴市洑东中学·一模）圆锥的底面半径为2，母线长为4，则它的侧面积为 ( ▲ )A ．4πB ．8πC ．16πD ．43π答案：B12．（2015·锡山区·期中）一个圆锥形的圣诞帽底面半径为12cm ，母线长为13cm ，则圣诞帽的表面积为（▲）A ．312π2cm B ．156π2cm C ．78π2cm D ．60π2cm 答案：B二.填空题1. （2015·江苏高邮·一模）半径为6 cm ，圆心角为120°的扇形的面积为 ▲ ．答案：12π2. （2015·江苏高邮·一模）如图，已知正方形ABCD 的顶点A 、B 在⊙O 上，顶点C 、D 在⊙O 内，将正方形ABCD 绕点逆时针旋转，使点D 落在⊙O 上．若正方形ABCD 的边长和⊙O 的半径均为6 cm ，则点D 运动的路径长为 ▲ cm ．答案：π；3. （2015·江苏常州·一模）若扇形的半径为3cm ，扇形的面积为2π2cm ，则该扇形的圆心角为 ▲ °，弧长为 ▲ cm ．答案：80，34π 4. （2015·吉林长春·二模）答案：π5．（2015·江苏江阴·3月月考）如图，AB 、CD 是⊙O 的两条互相垂直的直径，点O 1、O 2、O 3、O 4分别OA 、OB 、OC 、OD 的中点，若⊙O 的半径是2，则阴影部分的面积为____________________．A BCD答案：86．（2015·江苏江阴要塞片·一模）如图，正△ABC 的边长为9cm ，边长为3cm 的正△RPQ 的顶点R 与点A 重合，点P ，Q 分别在AC ，AB 上，将△RPQ 沿着边AB ，BC ，CA 连续翻转（如图所示），直至点P 第一次回到原来的位置，则点P 运动路径的长为____▲____cm ．（结果保留π）答案：6π7.( 2015·广东广州·二模）如图5，菱形ABCD 的边长为2，∠ADC =120°，弧CD 是以点B 为圆心BC 长为半径的弧．则图中阴影部分的面积为 ▲ （结果保留π）．答案：23π8．（2015•山东滕州东沙河中学•二模）若一个圆锥的轴截面是一个腰长为6 cm ，底边长为2 cm 的等腰三角形，则这个圆锥的表面积为____cm 2．答案：7π；9．（2015•山东滕州羊庄中学•4月模拟）已知扇形的弧长为3πcm ，面积为3πcm 2，扇形的半径是 cm ．答案：2；10. （2015·网上阅卷适应性测试）将一个圆心角为120°，半径为6cm 的扇形围成一个圆锥的侧面，则所得圆锥的高为 ▲ cm ．答案：42第1题图（图5）11． ( 2015·呼和浩特市初三年级质量普查调研)已知圆锥的母线长度为8，其侧面展开图的半圆，则这个圆锥的高为_____________. 答案：4312. （2015·辽宁盘锦市一模）在半径为2的圆中，弦AB 的长为2，则弧的长等于答案：32π 13．（2015·辽宁东港市黑沟学校一模，3分）已知圆锥底面圆的半径为6cm ，它的侧面积为60πcm 2，则这个圆锥的高是____________cm ．答案： 814.（2015·山东省东营区实验学校一模）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝1，将 Rt △ABC 绕A 点逆时针旋转30°后得到Rt △ADE ，点B 经过的路径为BD ︵，则图中阴影部分的面积是____．答案：π615．（2015·广东中山·4月调研）如图，在△ABC中，CA=CB ，∠ACB =90°，AB =2，点D 为AB 的中点，以点D 为圆心作圆心角为90°的扇形DEF ，点C 恰在弧EF 上，则图中阴影部分的面积为 _________ ．答案：214−π16．（2015·山东枣庄·二模）如图，△ABC 是边长为2的等边三角形，D 为AB 边的中点，以CD 为直径画圆，则图中影阴部分的面积为____________（结果保留π）．答案：5384π− 17. (2015•山东青岛•模拟)如图，在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝BC ＝2 cm ，以直角顶点B 为圆心，AB 长为半径画弧，再以AC 为直径画弧，两弧之间形成阴影部分．阴影部分面积为 cm 2．答案：218. (2015•山东济南•一模)图①所示的正方体木块棱长为6cm ，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A 爬行到顶点B 的最短距离为____________cm ．答案：（3+3）19．(2015·江苏扬州宝应县·一模)如图，小正方形的边长均为1，扇形OAB 是某圆锥的侧面展开图，则这个圆锥的底面周长为 ▲ ．(结果保留π)答案:2π20．(2015·江苏南京溧水区·一模)圆锥的底面直径是6，母线长为5，则圆锥侧面展开图的圆心角是 ▲ 度．答案: 216；21．(2015·江苏无锡崇安区·一模)已知扇形的圆心角为120º，半径为6cm ，则扇形的弧长为 ▲ cm.（第16题）AOB答案: 4π22．（2015·无锡市南长区·一模）一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆,则该圆锥的全面积．．．是 . 答案：3π23．（2015·无锡市宜兴市洑东中学·一模）若一个圆锥底面圆的半径为3，高为4，则这个圆锥的侧面积为．答案：15π24．（2015·无锡市新区·期中）已知圆锥的底面半径为2cm ，母线长为5cm ，则圆锥的侧面积是 ▲ ．答案：10πcm 225．（2015·无锡市新区·期中）如图，扇形OMN 与正三角形ABC ，半径OM 与AB 重合，扇形弧MN 的长为AB 的长，已知AB =10，扇形沿着正三角形翻滚到首次与起始位置相同，则点O 经过的路径长 ▲ ．答案：37010π+三.解答题 1．（2015·江苏江阴·3月月考）如图四边形ABCD 中，已知∠A =∠C =30°，∠D =60°，AD =8，CD =10．（1）求AB 、BC 的长（2）已知，半径为1的⊙P 在四边形ABCD 的外面沿各边滚动（无滑动）一周，求⊙P 在整个滚动过程中所覆盖部分图形的面积．答案：解：（1）AB =23BC =43ABCABCP（2）在⊙P 的整个滚动过程中，圆心P 的运动路径长为18+167333π+；所以⊙P 在整个滚动过程中，所覆盖部分图形的面积为36+3214333π+；2．（2015·江苏江阴长泾片·期中）如图，等腰梯形MNPQ 的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°．等边△ABC 的边长为1，它的一边AC 在MN 上，且顶点A 与M 重合．现将等边△ABC 在梯形的外面沿边MN 、NP 、PQ 进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q 重合即停止滚动．（1）请在所给的图中，画出顶点A 在等边△ABC 整个翻滚过程中所经过的路线图；（2）求等边△ABC 在整个翻滚过程中顶点A 所经过的路径长；答案：解：（1）如右图所示：……………………………3分（2）点A 所经过的路线长π311……………………………6分3.（2015·邗江区·初三适应性训练）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是直径，作OD ∥BC 与过点A 的切线交于点D ，连接DC 并延长交AB 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若AE =6，CE =32,求线段CE 、BE 与劣弧BC 所围成的图形面积.（结果保留根号和π）答案：解：（1）连结OC ，证得∠AOD =∠COD ；证得△AOD ≌△COD （SAS ）；第3题证得∠OCD =∠OAD =90°；则DE 是⊙O 的切线.（2）设半径为r ，在Rt △OCE 中，OC 2+CE 2=OE 2()()22236r r ∴+=−2，解得2r =．︒=∠∴=∠60,3tan COE COE π32=∴COB S 扇形∴所求图形面积为π3232−=−∆COB COE S S 扇形4. （2015·辽宁东港市黑沟学校一模，12分）如图，⊙O 是△ACD 的外接圆，AB 是直径，过点D 作直线DE ∥AB ，过点B 作直线BE ∥AD ，两直线交于点E ，如果∠ACD =45°，⊙O 的半径是4cm（1）请判断DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）求图中阴影部分的面积（结果用π表示）．解：（1）DE 与⊙O 相切．理由如下：连结OD ，则∠ABD =∠ACD =45°， ∵AB 是直径， ∴∠ADB =90°，∴△ADB 为等腰直角三角形，而点O 为AB 的中点， ∴OD ⊥AB ， ∵DE ∥AB ， ∴OD ⊥DE ， ∴DE 为⊙O 的切线；（2）∵BE ∥AD ，DE ∥AB ， ∴四边形ABED 为平行四边形，∴DE=AB=8cm，∴S阴影部分=S梯形BODE﹣S扇形OBD=（4+8）×4﹣=（24﹣4π）cm2．5.（2015·山东省济南市商河县一模）(本小题满分4分)如图，AB切⊙O于点B，OA=2，∠OAB=30°，弦BC∥OA.求：劣弧BC的长．（结果保留π）解：连接OC,OB，∵AB为圆O的切线，∴∠ABO=90°，------------------------------------1分在Rt△ABO中，OA=2，∠OAB=30°，∴OB=1，∠AOB=60°，----------------------------2分∵BC∥OA，∴∠OBC=∠AOB=60°，又OB=OC，∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC=60°------------------------------------------------3分∴劣弧长为=π．----------------------------------------4分6. (2015·广东从化·一模)（本小题满分12分某公园管理人员在巡视公园时，发现有一条圆柱形的输水管道破裂，通知维修人员到场检测，维修员画出水平放置的破裂管道有水部分的截面图（如图9）.（1）请你帮忙补全这个输水管道的圆形截面（不写作法，但应保留作图痕迹）；12cm，水面最深地方的高度为（2）维修员量得这个输水管道有水部分的水面宽AB=36cm，请你求出这个圆形截面的半径r及破裂管道有水部分的截面图的面积S。

九年级数学弧长和扇形面积、圆锥经典习题

弧长和扇形面积、圆锥的侧面经典习题【巩固练习】一、选择题1.一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的全面积是（）A.5πB. 4πC.3πD.2π2．如图所示，边长为12m的正方形池塘的周围是草地，池塘边A、B、C、D处各有一棵树，且AB＝BC＝CD＝3m．现用长4m的绳子将一头羊拴在其中的一棵树上，为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在( )．A．A处 B．B处 C．C处 D．D处3．劳技课上，王红制作了一顶圆锥形纸帽，已知纸帽底面圆半径为10 cm，母线长为50 cm，则制作一顶这样的纸帽所需纸的面积至少为( )．A．250πcm2 B．500πcm2 C．600πcm2 D．1000πcm24．一圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面展开图所对应的扇形的圆心角是( )．A．120° B．180° C．240° D．300°5．底面圆半径为3cm，高为4cm的圆锥侧面积是( )．A．7.5π cm2 B．12π cm2 C．15πcm2 D．24π cm26．如图，半径为1的圆O与正五边形ABCDE相切于点A、C，劣弧AC的长度为（）A．πB．πC．πD．π7. 一个直角三角形绕它的一边所在直线旋转一周所得到的几何体一定是( )．A．圆锥 B．圆柱 C．圆锥或圆柱 D．以上都不对8. 如图，扇形AOB中，∠AOB=150°，AC=AO=6，D为AC的中点，当弦AC沿扇形运动时，点D所经过的路程为（）A．3πB．C．D．4π9．如图所示，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC＝120°，四边形ABCD的周长为10cm ，图中阴影部分的面积为( )． A ．32B ．233π-C ．23D ．43第9题图第10题图第11题图10．如图所示，Rt △ABC 中，∠BAC 是直角，AB ＝AC ＝2，以AB 为直径的圆交BC 于D ，则图中阴影部分的面积为( )． A ．1 B ．2 C ．14π+D ．24π-11．如图所示，在△ABC 中，BC ＝4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，点P 是⊙A 上一点，且∠EPF ＝40°，则图中阴影部分的面积是( )． A ．49π-B ．849π-C ．489π-D ．889π- 12．在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型，如图所示，它的底面半径OB ＝6cm ，高OC ＝8cm ，则这个圆锥漏斗的侧面积是( )．A ．30cm 2B ．30π cm 2C ．60π cm 2D ．120cm 2二、填空题13．已知扇形圆心角是150°，弧长为20πcm ，则扇形的面积为________．14．如图，某传送带的一个转动轮的半径为40cm ，转动轮转90°传送带上的物品A 被传送厘米.第14题图第15题图第17题图15．如图所示，已知扇形的半径为3cm ，圆心角为120°，则扇形的面积为________cm 2(结果保留π)． 16.用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是．17．如图所示，把一块∠A ＝30°的直角三角板ABC ，在水平桌面上绕点C 按顺时针方向旋转到A B C ''的位置．若BC 的长为15cm ，求顶点A 从开始到结束所经过的路径长．18．如图所示，边长为1的菱形ABCD 绕点A 旋转，当B 、C 两点恰好落在扇形AEF 的弧EF 上时，弧BC 的长度等于．19. 如图，已知矩形纸片ABCD ，AD=2，3AB =，以A 为圆心，AD 长为半径画弧交BC 于点E ，将扇形AED 剪下围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为．第18题第19题20．圆锥的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的母线长与底面半径的比为．21．已知在△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠A＝90°，把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥，其表面积为S1，把Rt△ABC绕直线AB旋转一周得到另一个圆锥，其表面积为S2，则S1:S2等于________．22．如图所示，有一圆心角为120°、半径长为6 cm的扇形，若将OA、OB重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的高是．A BO第22题图第23题图第24题图23．矩形ABCD的边AB＝8，AD＝6，现将矩形ABCD放在直线l上且沿着l向右做无滑动地翻滚，当它翻滚到类似于开始的位置A1B1C1D1时(如图所示)，则顶点A所经过的路线长是________．24．如图，用一张半径为24cm的扇形纸板制作一顶圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果圆锥形帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的面积是 .三、解答题25．如图是两个半圆，点O为大半圆的圆心， AB是大半圆的弦关与小半圆相切，且AB=24．问：能求出阴影部分的面积吗？若能，求出此面积；若不能，试说明理由．26. 圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD如图所示那样叠放在一起，连接AC、BD．(1)求证：△AOC≌△BOD；(2)若OA＝3cm，OC＝1cm，求阴影部分的面积．AB CDE27．如图所示，线段AB与⊙O相切于点C，连接OA、OB，OB交⊙0于点D，已知OA＝OB＝6cm，AB＝63cm，求：(1)⊙O的半径；(2)图中阴影部分的面积．28.已知：如图△ABC内接于⊙O，OH⊥AC于H，过A点的切线与OC的延长线交于点D，∠B=30°，．请求出：（1）∠AOC的度数；（2）线段AD的长（结果保留根号）；（3）求图中阴影部分的面积．29. 如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为1，若一小虫P从A点开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，求小虫爬行的最短距离是多少?30．现有一张边长为20cm的正方形纸片，你能用这张纸片制成一个表面积尽可能大的有底圆锥吗?说明你的做法并计算圆锥的表面积(结果精确到0.1cm2 1.414)．31．如图所示，有一直径是1m 的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为90°的扇形ABC ．求：(1)被剪掉阴影部分的面积；(2)用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆半径是多少?(结果用根号表示)32.如图，AB 为⊙O 的直径，弦AC=2，∠B=30°，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，求：（1）BC 、AD 的长；（2）图中两阴影部分面积的和．【答案与解析】一、选择题1.C2.B3.B4.B5.C6.B7.D 8．C 9．B 10.A 11．B 12．C 二、填空题13.240πcm 214．20π（cm ） 15．3π 16．2 17．20()cm π 18．3π 19．13 20．2:1 21．2:3 22．42cm 23．12π 24.240π cm 2三、解答题25.【答案与解析】将小圆向右平移，使两圆变成同心圆，如图，连OB ，过O 作OC ⊥AB 于C 点，则AC=BC=12， ∵AB 是大半圆的弦且与小半圆相切， ∴OC 为小圆的半径， ∴S 阴影部分=S 大半圆-S 小半圆 =π•OB 2-π•OC 2 =π（OB 2-OC 2） =πAC 2=72π．故答案为72π．26.【答案与解析】(1)证明：同圆中的半径相等，即OA ＝OB ，OC ＝OD ．再由∠AOB ＝∠COD ＝90°，得∠1＝∠2，所以△AOC ≌△BOD ． (2)解：22211()(91)2(cm )44S S S OA OC πππ=-=-=-=阴影扇形AOB 扇形COD ． 27.【答案与解析】(1)如图所示，连接OC ，则OC ⊥AB ，∴ OA ＝OB ，∴ AC ＝BC ＝1163cm 33cm 22AB =⨯=．在Rt △AOC 中，22226(33)cm 3cm OC OA AC =-=-=．∴ ⊙O 的半径为3 cm ． (2)∵ OC ＝3cm 12=OB ，∠B ＝30°，∠COD ＝60°． ∴ 扇形OCD 的面积为226033(cm )3602ππ=． ∴ 阴影部分的面积为 213933(cm )222BOC OCD S S OC CB ππ∆--=-=扇形． 28. 【答案与解析】解：（1）∵∠B=30°，∴∠AOC=2∠B=60°；（2）∵∠AOC=60°，AO=CO ， ∴△AOC 是等边三角形； ∵OH=， ∴AO=4；∵AD 与⊙O 相切， ∴AD=；（3）∵S 扇形OAC ==π，S △AOD =×4×4=8；∴．29.【答案与解析】将圆锥的侧面展开如图所示，取SA '的中点C ，连接AC ．则AC 是小虫爬行的最短路线．∵ 421180n ππ⨯⨯=， ∴ 90n =°，即90ASA '∠=°．∵ SA ＝4，SC ＝2，∴ 224225AC =+=． ∴ 小虫爬行的最短距离为25．30. 【答案与解析】用一张正方形纸片制成一个有底圆锥，方法有多种，但使其表面积尽可能大的只有一种，确定了扇形、圆、正方形三者之间的关系之后；就可通过计算求出扇形及圆的半径，并制成符合条件的圆锥．具体做法：(1)通过分析、比较确定符合条件的扇形、圆与正方形的位置关系，并画出示意图，如图所示． (2)通过它们的位置关系计算出扇形和圆的半径，并根据计算结果在纸片上画出截剪线． (3)剪下符合条件的扇形与圆，用扇形作侧面，圆作底面粘接成圆锥．其表面积的计算过程是：如上图所示，设扇形的半径为Rcm ，⊙O 的半径为r cm ，M 、N 均为切点，连接OM 、ON ．则有OM ⊥BC ，ON ⊥DC ． ∵ OM ＝ON ＝r ．∴ 四边形OMCN 为正方形．∴ OC ＝2r ．∵ AC ＝AG+GO+OC ，AC ＝2AB ＝202cm ，∴ 2202R r r ++=． ① ∵ EF 的弧长等于⊙O 的周长， ∴1224R r ππ⨯=，即R ＝4r ． ② 由①②得2024.4152r =+≈，∴ 2214S S S R r ππ=+=+侧表底． 222255 3.14 4.41cm 305.3cm r π==⨯⨯≈．故所做圆锥的表面积约为305.3cm2．31. 【答案与解析】（1）连接BC．∵∠BAC＝90°，∴ BC是⊙O的直径，∴ BC＝1m．∵ AB＝AC，∴22AB AC==m．∴O ABCS S S=-阴扇形222221121m m m2428πππ⎛⎫⎛⎫=-=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）设圆锥底面圆的半径为r，∴29022180rππ=．∴2m8r=．32. 【答案与解析】解：（1）∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），在Rt△ABC中，∠B=30°，AC=2，∴AB=4，∴BC==2，∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠DCA=∠BCD∴=，∴AD=BD，∴在Rt△ABD中，AD=BD=AB=2；（2）连接OC，OD，∵∠B=30°，∴∠AOC=∠2∠B=60°，∵OA=OB，∴S△AOC=S△ABC=××AC×BC=××2×2=，由（1）得∠AOD=90°，∴∠COD=150°，S△AOD=×AO×OD=×22=2，∴S阴影=S扇形COD﹣S△AOC﹣S△AOD=﹣﹣2=π﹣﹣2．。

弧长与扇形面积中考题(带答案解析)

弧长与扇形面积一、选择题1．（2016·湖北十堰）如图，从一张腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的高为（）A．10cm B．15cm C．10cm D．20cm【考点】圆锥的计算．【分析】根据等腰三角形的性质得到OE的长，再利用弧长公式计算出弧CD的长，设圆锥的底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到r，然后利用勾股定理计算出圆锥的高．【解答】解：过O作OE⊥AB于E，∵OA=OD=60cm，∠AOB=120°，∴∠A=∠B=30°，∴OE=OA=30cm，∴弧CD的长==20π，设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr=20π，解得r=10，∴圆锥的高==20．故选D．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．2. (2016兰州，12,4分)如图，用一个半径为5cm 的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P 旋转了108º，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（）（A）πcm (B) 2πcm(C) 3πcm (D) 5πcm【答案】：C 【解析】：利用弧长公式即可求解【考点】：有关圆的计算3．(2016福州，16,4分)如图所示的两段弧中，位于上方的弧半径为r 上，下方的弧半径为r下，则r 上 = r 下．（填“＜”“=”“＜”）【考点】弧长的计算．【分析】利用垂径定理，分别作出两段弧所在圆的圆心，然后比较两个圆的半径即可．【解答】解：如图，r 上=r 下．故答案为=．【点评】本题考查了弧长公式：圆周长公式：C=2πR （2）弧长公式：l=（弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为R ）；正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．4. (2016·四川资阳)在Rt △ABC 中，△ACB=90°，AC=2，以点B 为圆心，BC 的长为半径作弧，交AB 于点D ，若点D 为AB 的中点，则阴影部分的面积是（）A．2﹣π B．4﹣π C．2﹣π D．π【考点】扇形面积的计算．【分析】根据点D为AB的中点可知BC=BD=AB，故可得出△A=30°，△B=60°，再由锐角三角函数的定义求出BC的长，根据S阴影=S△A B C﹣S扇形C B D即可得出结论．【解答】解：△D为AB的中点，△BC=BD=AB，△△A=30°，△B=60°．△AC=2，△BC=AC•tan30°=2•=2，△S阴影=S△AB C﹣S扇形C B D=×2×2﹣=2﹣π．故选A．5. (2016·四川自贡)圆锥的底面半径为4cm，高为5cm，则它的表面积为（）A．12πcm2B．26πcm2C．πcm2 D．（4+16）πcm2【考点】圆锥的计算．【专题】压轴题．【分析】利用勾股定理求得圆锥的母线长，则圆锥表面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+底面周长×母线长÷2．【解答】解：底面半径为4cm，则底面周长=8πcm，底面面积=16πcm2；由勾股定理得，母线长=cm，圆锥的侧面面积=×8π×=4πcm2，∴它的表面积=16π+4π=（4+16）πcm2，故选D．【点评】本题利用了勾股定理，圆的周长公式和扇形面积公式求解．6.（2016·四川广安·3分）如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=4，则S阴影=（）A．2πB．πC．πD．π【考点】圆周角定理；垂径定理；扇形面积的计算．【分析】根据垂径定理求得CE=ED=2，然后由圆周角定理知∠DOE=60°，然后通过解直角三角形求得线段OD 、OE 的长度，最后将相关线段的长度代入S 阴影=S 扇形ODB ﹣S △DOE +S △BEC ．【解答】解：如图，假设线段CD 、AB 交于点E ， ∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ， ∴CE=ED=2，又∵∠BCD=30°，∴∠DOE=2∠BCD=60°，∠ODE=30°， ∴OE=DE •cot60°=2×=2，OD=2OE=4，∴S 阴影=S 扇形ODB ﹣S △DOE +S △BEC =﹣OE ×DE+BE •CE=﹣2+2=．故选B ．7. （2016吉林长春，7，3分）如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，若OA=2，∠P=60°，则的长为（）A ．πB ．πC ．D ．【考点】弧长的计算；切线的性质．【专题】计算题；与圆有关的计算．【分析】由PA 与PB 为圆的两条切线，利用切线的性质得到两个角为直角，再利用四边形内角和定理求出∠AOB 的度数，利用弧长公式求出的长即可．【解答】解：∵PA 、PB 是⊙O 的切线， ∴∠OBP=∠OAP=90°，在四边形APBO 中，∠P=60°， ∴∠AOB=120°， ∵OA=2，∴的长l==π，故选C【点评】此题考查了弧长的计算，以及切线的性质，熟练掌握弧长公式是解本题的关键． 8.（2016·广东深圳）如图，在扇形AOB 中∠AOB=90°，正方形CDEF 的顶点C 是弧AB 的中点，点D 在OB 上，点E 在OB 的延长线上，当正方形CDEF 的边长为22时，则阴影部分的面积为（）A.42-πB.84-πC.82-πD.44-π 答案：A考点：扇形面积、三角形面积的计算。

北师大版九年级下册3.9 弧长及扇形的面积中考试题精选(含答案)

北师大版九年级下册3.9 弧长及扇形的面积中考试题精选（含答案）一．选择题（共20小题）1．（2019•济南）如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，以C为圆心、CE为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF．若AB＝6，∠B＝60°，则阴影部分的面积为（）A．9﹣3πB．9﹣2πC．18﹣9πD．18﹣6π2．（2019•青海）如图，在扇形AOB中，AC为弦，∠AOB＝140°，∠CAO＝60°，OA＝6，则的长为（）A．B．C．2πD．2π3．（2019•莱芜区）如图，点A、B，C，D在⊙O上，AB＝AC，∠A＝40°，BD∥AC，若⊙O的半径为2．则图中阴影部分的面积是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣4．（2019•大庆）如图，在正方形ABCD中，边长AB＝1，将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转180°至正方形AB1C1D1，则线段CD扫过的面积为（）A．B．C．πD．2π5．（2019•山西）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2，以AB的中点O为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为（）A．﹣B．+C．2﹣πD．4﹣6．（2019•资阳）如图，直径为2cm的圆在直线l上滚动一周，则圆所扫过的图形面积为（）A．5πB．6πC．20πD．24π7．（2019•临沂）如图，⊙O中，＝，∠ACB＝75°，BC＝2，则阴影部分的面积是（）A．2+πB．2++πC．4+πD．2+π8．（2019•长沙）一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是（）A．2πB．4πC．12πD．24π9．（2019•凉山州）如图，在△AOC中，OA＝3cm，OC＝1cm，将△AOC绕点O顺时针旋转90°后得到△BOD，则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（）cm2．A．B．2πC．πD．π10．（2019•广安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以BC为直径的半圆O交斜边AB于点D，则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣B．π﹣C．π﹣D．π﹣11．（2019•温州）若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（）A．πB．2πC．3πD．6π12．（2019•泰安）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则劣的长为（）A．πB．πC．2πD．3π13．（2019•南充）如图，在半径为6的⊙O中，点A，B，C都在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A．6πB．3πC．2πD．2π14．（2019•枣庄）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）（）A．8﹣πB．16﹣2πC．8﹣2πD．8﹣π15．（2018•巴彦淖尔）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CE⊥OA 交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D．若OA＝4，则图中阴影部分的面积为（）A．+B．+2C．+D．2+ 16．（2018•济南）如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（）A．6π﹣B．6π﹣9C．12π﹣D．17．（2018•黑龙江）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕A逆时针方向旋转40°得到△ADE，点B经过的路径为弧BD，是图中阴影部分的面积为（）A．π﹣6 B．πC．π﹣3 D．+π18．（2018•益阳）如图，正方形ABCD内接于圆O，AB＝4，则图中阴影部分的面积是（）A．4π﹣16 B．8π﹣16 C．16π﹣32 D．32π﹣16 19．（2018•抚顺）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD＝30°，OA＝2，则阴影部分的面积是（）A．B．C．πD．2π20．（2018•盘锦）如图，一段公路的转弯处是一段圆弧（），则的展直长度为（）A．3πB．6πC．9πD．12π二．填空题（共20小题）21．（2019•青海）如图在正方形ABCD中，点E是以AB为直径的半圆与对角线AC的交点，若圆的半径等于1，则图中阴影部分的面积为．22．（2019•鄂尔多斯）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC于点F．若AB＝6，∠CDF＝15°，则阴影部分的面积是．23．（2019•内江）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠A＝150°，CD＝4，以CD 为直径的⊙O交AD于点E，则图中阴影部分的面积为．24．（2019•吉林）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°．D，E分别是半径OA，OB上的点，以OD，OE为邻边的▱ODCE的顶点C在上．若OD＝8，OE＝6，则阴影部分图形的面积是（结果保留π）．25．（2019•十堰）如图，AB为半圆的直径，且AB＝6，将半圆绕点A顺时针旋转60°，点B旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为．26．（2019•哈尔滨）一个扇形的弧长是11πcm，半径是18cm，则此扇形的圆心角是度．27．（2019•咸宁）如图，半圆的直径AB＝6，点C在半圆上，∠BAC＝30°，则阴影部分的面积为（结果保留π）．28．（2019•福建）如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）29．（2019•荆门）如图，等边三角形ABC的边长为2，以A为圆心，1为半径作圆分别交AB，AC边于D，E，再以点C为圆心，CD长为半径作圆交BC边于F，连接E，F，那么图中阴影部分的面积为．30．（2019•河南）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC ⊥OA．若OA＝2，则阴影部分的面积为．31．（2019•黄石）如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，O是BC 上一点，经过C、D两点的⊙O分别交AC、BC于点E、F，AD＝，∠ADC＝60°，则劣弧的长为．32．（2019•泰州）如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为6cm，则该莱洛三角形的周长为cm．33．（2019•重庆）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝2，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是．34．（2019•泰安）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB 于点A、点C，交OB于点D，若OA＝3，则阴影部分的面积为．35．（2019•重庆）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC＝60°，AB ＝2，分别以点A、点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）36．（2019•天水）如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D经过原点O，与x轴、y轴分别交于A、B两点，B点坐标为（0，2），OC与⊙D交于点C，∠OCA＝30°，则图中阴影部分面积为．（结果保留根号和π）37．（2019•天门）75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在圆的半径是cm．38．（2018•河南）如图，在矩形ABCD中，BC＝2，CD＝，以点B为圆心，BC的长为半径作交AD于点E；以点A为圆心，AE的长为半径作交AB于点F，则图中阴影部分的面积为．39．（2018•乐山）如图，△OAC的顶点O在坐标原点，OA边在x轴上，OA＝2，AC＝1，把△OAC绕点A按顺时针方向旋转到△O′AC′，使得点O′的坐标是（1，），则在旋转过程中线段OC扫过部分（阴影部分）的面积为．40．（2018•郴州）如图，圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为cm．（结果用π表示）三．解答题（共8小题）41．（2019•长春）如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作⊙O，点E在BC边上，连结AE交⊙O于点F，连结BF并延长交CD于点G．（1）求证：△ABE≌△BCG；（2）若∠AEB＝55°，OA＝3，求劣弧的长．（结果保留π）42．（2018•荆州）问题：已知α、β均为锐角，tanα＝，tanβ＝，求α+β的度数．探究：（1）用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为1），请借助这个网格图求出α+β的度数；延伸：（2）设经过图中M、P、H三点的圆弧与AH交于R，求的弧长．43．（2018•湖州）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．（1）求证：AE＝ED；（2）若AB＝10，∠CBD＝36°，求的长．44．（2017•贵阳）如图，C、D是半圆O上的三等分点，直径AB＝4，连接AD、AC，DE ⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F．（1）求∠AFE的度数；（2）求阴影部分的面积（结果保留π和根号）．45．（2016•张家界）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2）、B（﹣2，1）、C（1，1）（正方形网格中每个小正方形的边长是1个单位长度）．（1）△A1B1C1是△ABC绕点逆时针旋转度得到的，B1的坐标是；（2）求出线段AC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）．46．（2016•新疆）如图，在⊙O中，半径OA⊥OB，过点OA的中点C作FD∥OB交⊙O于D、F两点，且CD＝，以O为圆心，OC为半径作，交OB于E点．（1）求⊙O的半径OA的长；（2）计算阴影部分的面积．47．（2016•攀枝花）如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF＝AD，过点D作DE ⊥AF，垂足为点E（1）求证：DE＝AB；（2）以A为圆心，AB长为半径作圆弧交AF于点G，若BF＝FC＝1，求扇形ABG的面积．（结果保留π）48．（2016•梅州）如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠ACD＝120°．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．3.9 弧长及扇形的面积参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．（2019•济南）如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，以C为圆心、CE为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF．若AB＝6，∠B＝60°，则阴影部分的面积为（）A．9﹣3πB．9﹣2πC．18﹣9πD．18﹣6π解：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝6，∵∠B＝60°，E为BC的中点，∴CE＝BE＝3＝CF，△ABC是等边三角形，AB∥CD，∵∠B＝60°，∴∠BCD＝180°﹣∠B＝120°，由勾股定理得AE＝＝3，∴S△AEB＝S△AEC＝×6×3×＝4.5＝S△AFC，∴阴影部分的面积S＝S△AEC+S△AFC﹣S扇形CEF＝4.5+4.5﹣＝9﹣3π，故选A．2．（2019•青海）如图，在扇形AOB中，AC为弦，∠AOB＝140°，∠CAO＝60°，OA＝6，则的长为（）A．B．C．2πD．2π解：连接OC，∵OA＝OC，∠CAO＝60°，∴△AOC为等边三角形，∴∠AOC＝60°，∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝140°﹣60°＝80°，则的长＝＝，故选B．3．（2019•莱芜区）如图，点A、B，C，D在⊙O上，AB＝AC，∠A＝40°，BD∥AC，若⊙O的半径为2．则图中阴影部分的面积是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣解：如图所示，连接BC、OD、OB，∵∠A＝40°，AB＝AC，∴∠ACB＝70°，∵BD∥AC，∴∠ABD＝∠A＝40°，∴∠ACD＝∠ABD＝40°，∴∠BCD＝30°，则∠BOD＝2∠BCD＝60°，又OD＝OB，∴△BOD是等边三角形，则图中阴影部分的面积是S扇形BOD﹣S△BOD＝﹣×22＝π﹣，故选B．4．（2019•大庆）如图，在正方形ABCD中，边长AB＝1，将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转180°至正方形AB1C1D1，则线段CD扫过的面积为（）A．B．C．πD．2π解：∵将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转180°至正方形AB1C1D1，∴CC1＝2AC＝2×AB＝2，∴线段CD扫过的面积＝×（）2•π﹣×π＝，故选B．5．（2019•山西）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2，以AB的中点O为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为（）A．﹣B．+C．2﹣πD．4﹣解：∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2，∴tan A＝，∴∠A＝30°，∴∠DOB＝60°，∵OD＝AB＝，∴DE＝，∴阴影部分的面积是＝，故选A．6．（2019•资阳）如图，直径为2cm的圆在直线l上滚动一周，则圆所扫过的图形面积为（）A．5πB．6πC．20πD．24π解：圆所扫过的图形面积＝π+2π×2＝5π，故选A．7．（2019•临沂）如图，⊙O中，＝，∠ACB＝75°，BC＝2，则阴影部分的面积是（）A．2+πB．2++πC．4+πD．2+π解：作OD⊥BC，则BD＝CD，连接OB，OC，∴OD是BC的垂直平分线，∵＝，∴AB＝AC，∴A在BC的垂直平分线上，∴A、O、D共线，∵∠ACB＝75°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝75°，∴∠BAC＝30°，∴∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△BOC是等边三角形，∴OA＝OB＝OC＝BC＝2，∵AD⊥BC，AB＝AC，∴BD＝CD，∴OD＝OB＝，∴AD＝2+，∴S△ABC＝BC•AD＝2+，S△BOC＝BC•OD＝，∴S阴影＝S△ABC+S扇形BOC﹣S△BOC＝2++﹣＝2+π，故选A．8．（2019•长沙）一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是（）A．2πB．4πC．12πD．24π解：S＝＝12π，故选C．9．（2019•凉山州）如图，在△AOC中，OA＝3cm，OC＝1cm，将△AOC绕点O顺时针旋转90°后得到△BOD，则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（）cm2．A．B．2πC．πD．π解：∵△AOC≌△BOD，∴在旋转过程中所扫过的图形的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积＝﹣＝2π，故选B．10．（2019•广安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以BC为直径的半圆O交斜边AB于点D，则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣B．π﹣C．π﹣D．π﹣解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴∠COD＝120°，∵BC＝4，BC为半圆O的直径，∴∠CDB＝90°，∴OC＝OD＝2，∴CD＝BC＝2，图中阴影部分的面积＝S扇形COD﹣S△COD＝﹣2×1＝﹣，故选A．11．（2019•温州）若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（）A．πB．2πC．3πD．6π解：该扇形的弧长＝＝3π．故选C．12．（2019•泰安）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则劣的长为（）A．πB．πC．2πD．3π解：连接OA、OB，作OC⊥AB于C，由题意得，OC＝OA，∴∠OAC＝30°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAC＝30°，∴∠AOB＝120°，∴劣的长＝＝2π，故选C．13．（2019•南充）如图，在半径为6的⊙O中，点A，B，C都在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A．6πB．3πC．2πD．2π解：连接OB，∵四边形OABC是平行四边形，∴AB＝OC，∴AB＝OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∵OC∥AB，∴S△AOB＝S△ABC，∴图中阴影部分的面积＝S扇形AOB＝＝6π，故选A．14．（2019•枣庄）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）（）A．8﹣πB．16﹣2πC．8﹣2πD．8﹣π解：S阴＝S△ABD﹣S扇形BAE＝×4×4﹣＝8﹣2π，故选C．15．（2018•巴彦淖尔）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CE⊥OA 交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D．若OA＝4，则图中阴影部分的面积为（）A．+B．+2C．+D．2+解：连接OE、AE，∵点C为OA的中点，∴EO＝2OC，∴∠CEO＝30°，∠EOC＝60°，∴△AEO为等边三角形，∴S扇形AOE＝＝，∴S阴影＝S扇形AOB﹣S扇形COD﹣（S扇形AOE﹣S△COE）＝﹣﹣（﹣）＝4π﹣π﹣+2＝+2故选B．16．（2018•济南）如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（）A．6π﹣B．6π﹣9C．12π﹣D．解：连接OD，如图，∵扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，∴AC＝OC，∴OD＝2OC＝6，∴CD＝＝3，∴∠CDO＝30°，∠COD＝60°，∴由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积＝S扇形AOD﹣S△COD＝﹣•3•3＝6π﹣，∴阴影部分的面积为6π﹣．故选A．17．（2018•黑龙江）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕A逆时针方向旋转40°得到△ADE，点B经过的路径为弧BD，是图中阴影部分的面积为（）A．π﹣6 B．πC．π﹣3 D．+π解：∵AB＝5，AC＝3，BC＝4，∴△ABC为直角三角形，由题意得，△AED的面积＝△ABC的面积，由图形可知，阴影部分的面积＝△AED的面积+扇形ADB的面积﹣△ABC的面积，∴阴影部分的面积＝扇形ADB的面积＝＝π，故选B．18．（2018•益阳）如图，正方形ABCD内接于圆O，AB＝4，则图中阴影部分的面积是（）A．4π﹣16 B．8π﹣16 C．16π﹣32 D．32π﹣16解：连接OA、OB，∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOB＝90°，∠OAB＝45°，∴OA＝AB cos45°＝4×＝2，所以阴影部分的面积＝S⊙O﹣S正方形ABCD＝π×（2）2﹣4×4＝8π﹣16．故选B．19．（2018•抚顺）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD＝30°，OA＝2，则阴影部分的面积是（）A．B．C．πD．2π解：∵∠BCD＝30°，∴∠BOD＝60°，∵AB是⊙O的直径，CD是弦，OA＝2，∴阴影部分的面积是＝，故选B．20．（2018•盘锦）如图，一段公路的转弯处是一段圆弧（），则的展直长度为（）A．3πB．6πC．9πD．12π解：的展直长度为＝6π（m）．故选B．二．填空题（共20小题）21．（2019•青海）如图在正方形ABCD中，点E是以AB为直径的半圆与对角线AC的交点，若圆的半径等于1，则图中阴影部分的面积为1．解：如图所示：连接BE，可得，AE＝BE，∠AEB＝90°，且阴影部分面积＝S△CEB＝S△ABC＝S正方形ABCD＝×2×2＝1故答案为122．（2019•鄂尔多斯）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC于点F．若AB＝6，∠CDF＝15°，则阴影部分的面积是3π﹣．解：连接OE，∵∠CDF＝15°，∠C＝75°，∴∠OAE＝30°＝∠OEA，∴∠AOE＝120°，S△OAE＝AE×OE sin∠OEA＝×2×OE×cos∠OEA×OE sin∠OEA＝，S阴影部分＝S扇形OAE﹣S△OAE＝×π×32﹣＝3π﹣．故答案3π﹣．23．（2019•内江）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠A＝150°，CD＝4，以CD 为直径的⊙O交AD于点E，则图中阴影部分的面积为．解：如图，连接OE，作OF⊥DE于点F，∵四边形ABCD是平行四边形，且∠A＝150°，∴∠D＝30°，则∠COE＝2∠D＝60°，∵CD＝4，∴CO＝DO＝2，∴OF＝OD＝1，DF＝OD cos∠ODF＝2×＝，∴DE＝2DF＝2，∴图中阴影部分的面积为+×2×1＝+，故答案为+．24．（2019•吉林）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°．D，E分别是半径OA，OB上的点，以OD，OE为邻边的▱ODCE的顶点C在上．若OD＝8，OE＝6，则阴影部分图形的面积是25π﹣48（结果保留π）．解：连接OC，∵∠AOB＝90°，四边形ODCE是平行四边形，∴▱ODCE是矩形，∴∠ODC＝90°．∵OD＝8，OE＝6，∴OC＝10，∴阴影部分图形的面积＝﹣8×6＝25π﹣48．故答案为25π﹣48．25．（2019•十堰）如图，AB为半圆的直径，且AB＝6，将半圆绕点A顺时针旋转60°，点B旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为6π．解：由图可得，图中阴影部分的面积为＝6π，故答案为6π．26．（2019•哈尔滨）一个扇形的弧长是11πcm，半径是18cm，则此扇形的圆心角是110度．解：根据l＝＝＝11π，解得n＝110，故答案为110．27．（2019•咸宁）如图，半圆的直径AB＝6，点C在半圆上，∠BAC＝30°，则阴影部分的面积为3（结果保留π）．解：连接OC、BC，作CD⊥AB于点D，∵直径AB＝6，点C在半圆上，∠BAC＝30°，∴∠ACB＝90°，∠COB＝60°，∴AC＝3，∵∠CDA＝90°，∴CD＝，∴阴影部分的面积是＝3π﹣，故答案为3π﹣．28．（2019•福建）如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是π﹣1．（结果保留π）解：延长DC，CB交⊙O于M，N，则图中阴影部分的面积＝×（S圆O﹣S正方形ABCD）＝×（4π﹣4）＝π﹣1，故答案为π﹣1．29．（2019•荆门）如图，等边三角形ABC的边长为2，以A为圆心，1为半径作圆分别交AB，AC边于D，E，再以点C为圆心，CD长为半径作圆交BC边于F，连接E，F，那么图中阴影部分的面积为+﹣．解：过A作AM⊥BC于M，EN⊥BC于N，∵等边三角形ABC的边长为2，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，∴AM＝BC＝×2＝，∵AD＝AE＝1，∴AD＝BD，AE＝CE，∴EN＝AM＝，∴图中阴影部分的面积＝S△ABC﹣S扇形ADE﹣S△CEF﹣（S△BCD﹣S扇形DCF）＝×2×﹣﹣×﹣（×﹣）＝+﹣，故答案为+﹣．30．（2019•河南）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC ⊥OA．若OA＝2，则阴影部分的面积为+π．解：作OE⊥AB于点F，∵在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．OA＝2，∴∠AOD＝90°，∠BOC＝30°，OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∴OD＝OA•tan30°＝×＝2，AD＝4，AB＝2AF＝2×2×＝6，OF＝，∴BD＝2，∴阴影部分的面积是S△AOD+S扇形OBC﹣S△BDO＝＝+π，故答案为+π．31．（2019•黄石）如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，O是BC 上一点，经过C、D两点的⊙O分别交AC、BC于点E、F，AD＝，∠ADC＝60°，则劣弧的长为π．解：如图，连接DF，OD，∵CF是⊙O的直径，∴∠CDF＝90°，∵∠ADC＝60°，∠A＝90°，∴∠ACD＝30°，∵CD平分∠ACB交AB于点D，∴∠DCF＝30°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝30°，∴∠COD＝120°，在Rt△CAD中，CD＝2AD＝2，在Rt△FCD中，CF＝＝＝4，∴⊙O的半径＝2，∴劣弧的长＝＝π，故答案为π．32．（2019•泰州）如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为6cm，则该莱洛三角形的周长为6πcm．解：该莱洛三角形的周长＝3×＝6π（cm）．故答案为6π．33．（2019•重庆）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝2，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是8﹣8．解：连接AE，∵∠ADE＝90°，AE＝AB＝4，AD＝2，∴sin∠AED＝，∴∠AED＝45°，∴∠EAD＝45°，∠EAB＝45°，∴AD＝DE＝2，∴阴影部分的面积是（4×﹣）+（）＝8﹣8，故答案为8﹣8．34．（2019•泰安）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB 于点A、点C，交OB于点D，若OA＝3，则阴影部分的面积为π．解：连接OC，作CH⊥OB于H，∵∠AOB＝90°，∠B＝30°，∴∠OAB＝60°，AB＝2OA＝6，由勾股定理得，OB＝＝3，∵OA＝OC，∠OAB＝60°，∴△AOC为等边三角形，∴∠AOC＝60°，∴∠COB＝30°，∴CO＝CB，CH＝OC＝，∴阴影部分的面积＝﹣×3×3×+×3×﹣＝π，故答案为π．35．（2019•重庆）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC＝60°，AB ＝2，分别以点A、点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为2﹣π．（结果保留π）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠ABO＝∠ABC＝30°，∠BAD＝∠BCD＝120°，∴AO＝AB＝1，由勾股定理得，OB＝＝，∴AC＝2，BD＝2，∴阴影部分的面积＝×2×2﹣×2＝2﹣π，故答案为2﹣π．36．（2019•天水）如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D经过原点O，与x轴、y轴分别交于A、B两点，B点坐标为（0，2），OC与⊙D交于点C，∠OCA＝30°，则图中阴影部分面积为2π﹣2．（结果保留根号和π）解：连接AB，∵∠AOB＝90°，∴AB是直径，根据同弧对的圆周角相等得∠OBA＝∠C＝30°，∵OB＝2，∴OA＝OB tan∠ABO＝OB tan30°＝2×＝2，AB＝AO÷sin30°＝4，即圆的半径为2，∴S阴影＝S半圆﹣S△ABO＝﹣×2×2＝2π﹣2．故答案为2π﹣2．37．（2019•天门）75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在圆的半径是6cm．解：由题意得圆的半径R＝180×2.5π÷（75π）＝6cm．故本题答案为6．38．（2018•河南）如图，在矩形ABCD中，BC＝2，CD＝，以点B为圆心，BC的长为半径作交AD于点E；以点A为圆心，AE的长为半径作交AB于点F，则图中阴影部分的面积为+．解：连接BE、EF，由题意得．BE＝BC＝2，由勾股定理得，AE＝＝1，sin∠ABE＝＝，∴∠ABE＝30°，∴∠CBE＝60°，则图中阴影部分的面积＝扇形EBC的面积+△ABE的面积﹣扇形EAF的面积＝+×1×﹣＝+，故答案为+．39．（2018•乐山）如图，△OAC的顶点O在坐标原点，OA边在x轴上，OA＝2，AC＝1，把△OAC绕点A按顺时针方向旋转到△O′AC′，使得点O′的坐标是（1，），则在旋转过程中线段OC扫过部分（阴影部分）的面积为．解：过O′作O′M⊥OA于M，则∠O′MA＝90°，∵点O′的坐标是（1，），∴O′M＝，OM＝1，∵AO＝2，∴AM＝2﹣1＝1，∴tan∠O′AM＝＝，∴∠O′AM＝60°，即旋转角为60°，∴∠CAC′＝∠OAO′＝60°，∵把△OAC绕点A按顺时针方向旋转到△O′AC′，∴S△OAC＝S△O′AC′，∴阴影部分的面积S＝S扇形OAO′+S△O′AC′﹣S△OAC﹣S扇形CAC′＝S扇形OAO′﹣S扇形CAC′＝﹣＝，故答案为．40．（2018•郴州）如图，圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为12πcm．（结果用π表示）解：设底面圆的半径为rcm，由勾股定理得r＝＝6，∴2πr＝2π×6＝12π，故答案为12π．三．解答题（共8小题）41．（2019•长春）如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作⊙O，点E在BC边上，连结AE交⊙O于点F，连结BF并延长交CD于点G．（1）求证：△ABE≌△BCG；（2）若∠AEB＝55°，OA＝3，求劣弧的长．（结果保留π）（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AB为⊙O的直径，∴∠ABE＝∠BCG＝∠AFB＝90°，∴∠BAF+∠ABF＝90°，∠ABF+∠EBF＝90°，∴∠EBF＝∠BAF，在△ABE与△BCG中，，∴△ABE≌△BCG（ASA）；（2）解：连接OF，∵∠ABE＝∠AFB＝90°，∠AEB＝55°，∴∠BAE＝90°﹣55°＝35°，∴∠BOF＝2∠BAE＝70°，∵OA＝3，∴的长＝＝．42．（2018•荆州）问题：已知α、β均为锐角，tanα＝，tanβ＝，求α+β的度数．探究：（1）用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为1），请借助这个网格图求出α+β的度数；延伸：（2）设经过图中M、P、H三点的圆弧与AH交于R，求的弧长．解：（1）连结AM、MH，则∠MHP＝∠α．∵AD＝MC，∠D＝∠C，MD＝HC，∴△ADM≌△MCH．∴AM＝MH，∠DAM＝∠HMC．∵∠AMD+∠DAM＝90°，∴∠AMD+∠HMC＝90°，∴∠AMH＝90°，∴∠MHA＝45°，即α+β＝45°．方法二：连接P A．只要证明△P AQ∽△PHA，可得∠P AQ＝∠AHP＝α，∵∠APG＝45°，∠APG＝α+β，∴α+β＝45°．（2）由勾股定理可知MH＝＝．∵∠MHR＝45°，∴＝＝．43．（2018•湖州）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．（1）求证：AE＝ED；（2）若AB＝10，∠CBD＝36°，求的长．证明：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵OC∥BD，∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD，∴AE＝ED；（2）∵OC⊥AD，∴，∴∠ABC＝∠CBD＝36°，∴∠AOC＝2∠ABC＝2×36°＝72°，∴．44．（2017•贵阳）如图，C、D是半圆O上的三等分点，直径AB＝4，连接AD、AC，DE ⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F．（1）求∠AFE的度数；（2）求阴影部分的面积（结果保留π和根号）．解：（1）连接OD，OC，∵C、D是半圆O上的三等分点，∴＝＝，∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB＝60°，∴∠CAB＝30°，∵DE⊥AB，∴∠AEF＝90°，∴∠AFE＝90°﹣30°＝60°；（2）由（1）知，∠AOD＝60°，∵OA＝OD，AB＝4，∴△AOD是等边三角形，OA＝2，∵DE⊥AO，∴DE＝，∴S阴影＝S扇形AOD﹣S△AOD＝﹣×＝π﹣．45．（2016•张家界）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2）、B（﹣2，1）、C（1，1）（正方形网格中每个小正方形的边长是1个单位长度）．（1）△A1B1C1是△ABC绕点C逆时针旋转90度得到的，B1的坐标是（1，﹣2）；（2）求出线段AC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）．解：（1）△A1B1C1是△ABC绕点C逆时针旋转90度得到的，B1的坐标是（1，﹣2），故答案为C，90，（1，﹣2）；（2）线段AC旋转过程中所扫过的面积为以点C为圆心，AC为半径的扇形的面积．∵AC＝＝，∴面积为＝，即线段AC旋转过程中所扫过的面积为．46．（2016•新疆）如图，在⊙O中，半径OA⊥OB，过点OA的中点C作FD∥OB交⊙O于D、F两点，且CD＝，以O为圆心，OC为半径作，交OB于E点．（1）求⊙O的半径OA的长；（2）计算阴影部分的面积．解；（1）连接OD，∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∵CD∥OB，∴∠OCD＝90°，在RT△OCD中，∵C是AO中点，CD＝，∴OD＝2CO，设OC＝x，∴x2+（）2＝（2x）2，∴x＝1，∴OD＝2，∴⊙O的半径为2．（2）∵sin∠CDO＝＝，∴∠CDO＝30°，∵FD∥OB，∴∠DOB＝∠ODC＝30°，∴S阴＝S△CDO+S扇形OBD﹣S扇形OCE＝×+﹣＝+．47．（2016•攀枝花）如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF＝AD，过点D作DE ⊥AF，垂足为点E（1）求证：DE＝AB；（2）以A为圆心，AB长为半径作圆弧交AF于点G，若BF＝FC＝1，求扇形ABG的面积．（结果保留π）（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AFB，∵DE⊥AF，∴∠AED＝90°＝∠B，在△ABF和△DEA中，∴△ABF≌△DEA（AAS），∴DE＝AB；（2）解：∵BC＝AD，AD＝AF，∴BC＝AF，∵BF＝1，∠ABF＝90°，∴由勾股定理得AB＝＝，∴∠BAF＝30°，∴扇形ABG的面积＝＝．48．（2016•梅州）如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠ACD＝120°．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．（1）证明：连接OC．∵AC＝CD，∠ACD＝120°，∴∠A＝∠D＝30°．∵OA＝OC，∴∠2＝∠A＝30°．∴∠OCD＝180°﹣∠A﹣∠D﹣∠2＝90°．即OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．（2）解：∵∠A＝30°，∴∠1＝2∠A＝60°．∴S扇形BOC＝．在Rt△OCD中，∵，∴．∴．∴图中阴影部分的面积为．。

人教版数学九年级上24.4《弧长和扇形的面积》测试(含答案及解析)

弧长和扇形的面积测试题时间：100分钟总分：100题号一二三四总分得分一、选择题〔本大题共10小题，共分〕1.如图，在Rt△ABC中，∠A=90∘，BC=2√2，以BC的中点O为圆心⊙O分别与AB，AC相切于D，E两点，那么DE⏜的长为()A. π4B. π2C. πD. 2π2.一个扇形的弧长是10πcm，面积是60πcm2，那么此扇形的圆心角的度数是()A. 300∘B. 150∘C. 120∘D. 75∘3.120∘的圆心角对的弧长是6π，那么此弧所在圆的半径是()A. 3B. 4C. 9D. 184.如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，假设OA=2，∠P=60∘，那么AB⏜的长为()πA. 23B. ππC. 43πD. 535.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，那么这个正六边形的边心距OM和BC⏜的长分别为()A. 2，π3B. 2√3，πC. √3，2π3D. 2√3，4π36.如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC=2，∠BAC=30∘，那么劣弧BC⏜的长等于()A. 2π3B. π3第 1 页C. 2√3π3D. √3π37.如图，将△ABC绕点C按顺时针旋转60∘得到△A′B′C，AC=6，BC=4，那么线段AB扫过的图形的面积为()A. 23πB. 83πC. 6πD. 103π8.一个扇形的圆心角是120∘，面积为3πcm2，那么这个扇形的半径是()A. 1cmB. 3cmC. 6cmD. 9cm9.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60∘，以点D为圆心，菱形的高DF为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G，那么图中阴影局部的面积是()A. 18√3−9πB. 18−3πC. 9√3−9π2D. 18√3−3π10.如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，假设AC=BC=√2，那么图中阴影局部的面积是()A. π4B. 12+π4C. π2D. 12+π2二、填空题〔本大题共10小题，共分〕11.如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC=60∘，∠BCO=90∘，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，那么边BC扫过区域(图中阴影局部)的面积为______cm2．12.如图，半圆O的直径AB=2，弦CD//AB，∠COD=90∘，那么图中阴影局部的面积为______ ．13.用等分圆周的方法，在半径为1的图中画出如下图图形，那么图中阴影局部面积为______ ．14.如图，在△ABC中，AB=4cm，BC=2cm，∠ABC=30∘，把△ABC以点B为中心按逆时针方向旋转，使点C旋转到AB边的延长线上的点C′处，那么AC边扫过的图形(图中阴影局部)的面积是______ cm2．15.如图，⊙O的半径是2，弦AB和弦CD相交于点E，∠AEC=60∘，那么扇形AOC和扇形BOD的面积(图中阴影局部)之和为______ ．16.如图，⊙O 的半径为2，点A、C在⊙O上，线段BD经过圆心O，∠ABD=∠CDB=90∘，AB=1，CD=√3，那么图中阴影局部的面积为______．第 3 页17.如下图的两段弧中，位于上方的弧半径为r上，下方的弧半径为r下，那么r上______ r下.(填“<〞“=〞“>〞)18.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=1，AB=2，以点A为圆心、AC的长为半径画弧，交AB边于点D，那么弧CD的长等于______.(结果保存π)19.如图，点A，B，C都在⊙O上，∠ACB=60∘，⊙O的直径是6，那么劣弧AB的长是______．20.如图，正五边形ABCDE的边长为2，分别以点C、D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点F，那么BF⏜的长为______．三、计算题〔本大题共4小题，共分〕21.如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60∘．(1)求∠ABC的度数；(2)求证：AE是⊙O的切线；(3)当BC=2时，求劣弧AC的长．22.如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，A^B=A^E，BE分别交AD、AC于点F、G．(1)证明：FA=FG；(2)假设BD=DO=2，求弧EC的长度．23.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．(1)求证：BE与⊙O相切；(2)设OE交⊙O于点F，假设DF=1，BC=2√3，求阴影局部的面积．24.如图，在Rt△ABC中，∠A=90∘，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，BD=2，AE=3，tan∠BOD=2．3(1)求⊙O的半径OD；(2)求证：AE是⊙O的切线；(3)求图中两局部阴影面积的和．四、解答题〔本大题共2小题，共分〕25.如图，平行四边形OABC的三个顶点A、B、C在以O为圆心的半圆上，过点C作CD⊥AB，分别交AB、AO的延长线于点D、E，AE交半圆O于点F，连接CF．(1)判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由；(2)①求证：CF=OC；②假设半圆O的半径为12，求阴影局部的周长．26.如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)假设AE=6，∠D=30∘，求图中阴影局部的面积．答案和解析【答案】1. B2. B3. C4. C5. D6. A7. D8. B9. A10. Aπ11. 1412. π413. π−3√3214. 5ππ15. 43π16. 5317. <18. π3第 5 页19. 2π20. 815π21. (1)解：∵∠ABC与∠D都是A^C所对的圆周角，∴∠ABC=∠D=60∘；(2)证明：∵AB为圆O的直径，∴∠ACB=90∘，∴∠BAC=30∘，∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30∘+60∘=90∘，即BA⊥AE，∵AE经过半径OA的外端点A，∴AE为圆O的切线；(3)解：如图，连接OC，∵OB=OC，∠ABC=60∘，∴△OBC为等边三角形，∴OB=BC=2，∠BOC=60∘，∴∠AOC=120∘，那么A^C的长为120π×2180=43π.22. (1)证明：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90∘，∴∠ABE+∠AGB=90∘；∵AD⊥BC，∴∠C+∠CAD=90∘；∵ÂB=ÂE，∴∠C=∠ABE，∴∠AGB=∠CAD，∴FA=FG．(2)解：如图，连接AO、EO，，∵BD=DO=2，AD⊥BC，∴AB=AO，∵AO=BO，∴AB=AO=BO，∴△ABO是等边三角形，∴∠AOB=60∘，∵ÂB=ÂE，∴∠AOE=60∘，∴∠EOC=60∘，∴ÊC的弧长=2π×(2×2)×60360=43π.23. (1)证明：连接OC，如图，∵CE为切线，∴OC⊥CE，∴∠OCE=90∘，∵OD⊥BC，∴CD=BD，即OD垂中平分BC，∴EC=EB，在△OCE和△OBE中{OC=OB OE=OE EC=EB，∴△OCE≌△OBE，∴∠OBE=∠OCE=90∘，∴OB⊥BE，∴BE与⊙O相切；(2)解：设⊙O的半径为r，那么OD=r−1，在Rt△OBD中，BD=CD=12BC=√3，∴(r−1)2+(√3)2=r2，解得r=2，∵tan∠BOD=BDOD=√3，∴∠BOD=60∘，∴∠BOC=2∠BOD=120∘，在Rt△OBE中，BE=√3OB=2√3，∴阴影局部的面积=S四边形OBEC−S扇形BOC=2S△OBE−S扇形BOC=2×12×2×2√3−120⋅π⋅22360=4√3−43π.24. 解：(1)∵AB与圆O相切，∴OD⊥AB，在Rt△BDO中，BD=2，tan∠BOD=BDOD =23，∴OD=3；(2)连接OE，∵AE=OD=3，AE//OD，∴四边形AEOD为平行四边形，∴AD//EO，∵DA⊥AE，∴OE⊥AC，第 7 页又∵OE为圆的半径，∴AE为圆O的切线；(3)∵OD//AC，∴BDAB =ODAC，即22+3=3AC，∴AC=7.5，∴EC=AC−AE=7.5−3=4.5，∴S阴影=S△BDO+S△OEC−S扇形FOD−S扇形EOG=12×2×3+12×3×4.5−90π×32360=3+274−9π4=39−9π4．25. 解：(1)结论：DE是⊙O的切线．理由：∵CD⊥AD，∴∠D=90∘，∵四边形OABC是平行四边形，∴AD平行OC，∴∠D=∠OCE=90∘，∴CO⊥DE，∴DE是⊙O的切线．(2)①连接BF．∵四边形OABC是平行四边形，∴BC//AF，AB=OC，∴∠AFB=∠CBF，∴AB⏜=CF⏜，∴AB=CF，∴CF=OC．②∵CF=OC=OF，∴△COF是等边三角形，∴∠COF=60∘，在Rt△OCE中，∵OC=12，∠COE=60∘，∠OCE=90∘，∴OE=2OC=24，EC=12√3，∵OF=12，∴EF=12，∴CF⏜的长=60π⋅12180=4π，∴阴影局部的周长为4π+12+12√3．26. (1)证明：连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠BAE，∴∠OAC=∠CAE，∴∠OCA=∠CAE，∴OC//AE，∴∠OCD=∠E，∵AE⊥DE，∴∠E=90∘，∴∠OCD=90∘，∴OC⊥CD，∵点C在圆O上，OC为圆O的半径，∴CD是圆O的切线；(2)解：在Rt△AED中，∵∠D=30∘，AE=6，∴AD=2AE=12，在Rt△OCD中，∵∠D=30∘，∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC，∴DB=OB=OC=13AD=4，DO=8，∴CD=√DO2−OC2=√82−42=4√3，∴S△OCD=CD⋅OC2=4√3×42=8√3，∵∠D=30∘，∠OCD=90∘，∴∠DOC=60∘，∴S扇形OBC =16×π×OC2=83π，∵S阴影=S△COD−S扇形OBC∴S阴影=8√3−8π3，∴阴影局部的面积为8√3−8π3．【解析】1. 解：连接OE、OD，设半径为r，∵⊙O分别与AB，AC相切于D，E两点，∴OE⊥AC，OD⊥AB，∵O是BC的中点，∴OD是中位线，∴OD=AE=12AC，∴AC=2r，同理可知：AB=2r，∴AB=AC，∴∠B=45∘，∵BC=2√2∴由勾股定理可知AB=2，∴r=1，∴DE⏜=90π×1 180=π2第 9 页应选：B．连接OE、OD，由切线的性质可知OE⊥AC，OD⊥AB，由于O是BC的中点，从而可知OD是中位线，所以可知∠B=45∘，从而可知半径r的值，最后利用弧长公式即可求出答案．此题考察切线的性质，解题的关键是连接OE、OD后利用中位线的性质求出半径r的值，此题属于中等题型．2. 解：∵一个扇形的弧长是10πcm，面积是60πcm2，∴S=12Rl，即60π=12×R×10π，解得：R=12，∴S=60π=nπ×122360，解得：n=150∘，应选B利用扇形面积公式1求出R的值，再利用扇形面积公式2计算即可得到圆心角度数．此题考察了扇形面积的计算，以及弧长的计算，纯熟掌握扇形面积公式是解此题的关键．3. 解：根据弧长的公式l=nπr180，得到：6π=120πr180，解得r=9．应选C．根据弧长的计算公式l=nπr180，将n及l的值代入即可得出半径r的值．此题考察了弧长的计算，解答此题的关键是纯熟记忆弧长的计算公式，属于根底题，难度一般．4. 解：∵PA、PB是⊙O的切线，∴∠OBP=∠OAP=90∘，在四边形APBO中，∠P=60∘，∴∠AOB=120∘，∵OA=2，∴AB⏜的长l=120π×2180=43π，应选：C．由PA与PB为圆的两条切线，利用切线的性质得到两个角为直角，再利用四边形内角和定理求出∠AOB的度数，利用弧长公式求出AB⏜的长即可．此题考察了弧长的计算，以及切线的性质，纯熟掌握弧长公式是解此题的关键．5. 解：连接OB，∵OB=4，∴BM=2，∴OM=2√3，BC⏜=60π×4180=43π，应选：D．正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出OM，再利用弧长公式求解即可．此题考察了正多边形和圆以及弧长的计算，将扇形的弧长公式与多边形的性质相结合，构思巧妙，利用了正六边形的性质，是一道好题．6. 解：如图，连接OB、OC，∵∠BAC=30∘，∴∠BOC=2∠BAC=60∘，又OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴BC=OB=OC=2，∴劣弧BC⏜的长为：60π×2180=2π3．应选：A．连接OB、OC，利用圆周角定理求得∠BOC=60∘，然后利用弧长公式l=nπr180来计算劣弧BC⏜的长．此题考察了圆周角定理，弧长的计算以及等边三角形的断定与性质.根据圆周角定理得到∠BOC=60∘是解题的关键所在．7. 解：∵△ABC绕点C旋转60∘得到△A′B′C，∴△ABC≌△A′B′C，∴S△ABC=S△A′B′C，∠BCB′=∠ACA′=60∘．∵AB扫过的图形的面积=S扇形ACA′+S△ABC−S扇形BCB′−S△A′B′C，∴AB扫过的图形的面积=S扇形ACA′−S扇形BCB′，∴AB扫过的图形的面积=16×π×36−16×π×16=103π.应选：D．根据图形可以得出AB扫过的图形的面积=S扇形ACA′+S△ABC−S扇形BCB′−S△A′B′C，由旋转的性质就可以得出S△ABC=S△A′B′C就可以得出AB扫过的图形的面积=S扇形ACA′−S扇形BCB′求出其值即可．此题考察了旋转的性质的运用，全等三角形的性质的运用，扇形的面积公式的运用，解答时根据旋转的性质求解是关键．8. 解：设扇形的半径为R，由题意：3π=120π⋅R2360，解得R=±3，∵R>0，∴R=3cm，∴这个扇形的半径为3cm．应选：B．根据扇形的面积公式：S=nπR2360代入计算即可解决问题．此题考察扇形的面积公式，关键是记住扇形的面积公式：S=nπR2360=12LR(L是弧长，R是半径)，属于中考常考题型．9. 解：∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60∘，∴AD=AB=6，∠ADC=180∘−60∘=120∘，∵DF是菱形的高，∴DF⊥AB，第 11 页∴DF=AD⋅sin60∘=6×√32=3√3，∴图中阴影局部的面积=菱形ABCD的面积−扇形DEFG的面积=6×3√3−120π×(3√3)2360=18√3−9π．应选：A．由菱形的性质得出AD=AB=6，∠ADC=120∘，由三角函数求出菱形的高DF，图中阴影局部的面积=菱形ABCD的面积−扇形DEFG的面积，根据面积公式计算即可．此题考察了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键．10. 解：∵AB为直径，∴∠ACB=90∘，∵AC=BC=√2，∴△ACB为等腰直角三角形，∴OC⊥AB，∴△AOC和△BOC都是等腰直角三角形，∴S△AOC=S△BOC，OA=√22AC=1，∴S阴影部分=S扇形AOC=90⋅π⋅12360=π4．应选A．先利用圆周角定理得到∠ACB=90∘，那么可判断△ACB为等腰直角三角形，接着判断△AOC和△BOC都是等腰直角三角形，于是得到S△AOC=S△BOC，然后根据扇形的面积公式计算图中阴影局部的面积．此题考察了扇形面积的计算：圆面积公式：S=πr2，(2)扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法.求阴影面积的主要思路是将不规那么图形面积转化为规那么图形的面积．11. 解：∵∠BOC=60∘，△B′OC′是△BOC绕圆心O逆时针旋转得到的，∴∠B′OC′=60∘，△BCO=△B′C′O，∴∠B′OC=60∘，∠C′B′O=30∘，∴∠B′OB=120∘，∵AB=2cm，∴OB=1cm，OC′=12，∴B′C′=√32，∴S扇形B′OB =120π×12360=13π，S扇形C′OC =120π×14360=π12，∵∴阴影局部面积=S扇形B′OB +S△B′C′O−S△BCO−S扇形C′OC=S扇形B′OB−S扇形C′OC=13π−π12=14π；故答案为：14π.根据条件和旋转的性质得出两个扇形的圆心角的度数，再根据扇形的面积公式进展计算即可得出答案．此题考察了旋转的性质和扇形的面积公式，掌握直角三角形的性质和扇形的面积公式是此题的关键．12. 解：∵弦CD//AB，∴S△ACD=S△OCD，∴S阴影=S扇形COD=∠COD360∘⋅π⋅(AB2)2=90∘360∘×π×(22)2=π4．故答案为：π4．由CD//AB可知，点A、O到直线CD的间隔相等，结合同底等高的三角形面积相等即可得出S△ACD=S△OCD，进而得出S阴影=S扇形COD，根据扇形的面积公式即可得出结论．此题考察了扇形面积的计算以及平行线的性质，解题的关键是找出S阴影=S扇形COD.此题属于根底题，难度不大，解决该题型题目时，通过分割图形找出面积之间的关系是关键．13. 解：如图，设A^B的中点为P，连接OA，OP，AP，△OAP的面积是：√34×12=√34，扇形OAP的面积是：S扇形=π6，AP直线和AP弧面积：S弓形=π6−√34，阴影面积：3×2S弓形=π−3√32．故答案为：π−3√32．连OA，OP，AP，求出AP直线和AP弧面积，即16阴影局部面积，从而求解．此题考察了扇形面积的计算，解题的关键是得到阴影局部面积=6(扇形OAP的面积−△OAP的面积)．14. 解：∵∠ABC=∠A′BC′=30∘，∴△ABC以点B为中心按逆时针方向旋转了180∘−30∘=150∘，∴按反方向旋转一样的角度即可得到阴影局部为两个扇形面积的差，∵AB=4cm，BC=2cm∴S阴影部分=150π(42−22)360=5π．故答案为：5π．根据题意可知该阴影局部的面积为两个扇形面积的差，分别计算出两个扇形的面积相减即可得到阴影局部的面积．此题考察了扇形的面积的计算，解决此题的关键是根据题目中旋转的角度判断阴影局部的组成．15. 解：连接BC，如下图：∵∠CBE+∠BCE=∠AEC=60∘，∴∠AOC+∠BOD=120∘，∴扇形AOC与扇形DOB面积的和=120π×22360=43π，第 13 页故答案为：43π．根据三角形的外角的性质、圆周角定理得到∠AOC+∠BOD=120∘，利用扇形面积公式计算即可．此题考察的是扇形面积的计算、圆周角定理、三角形的外角的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．16. 解：在Rt△ABO中，∠ABO=90∘，OA=2，AB=1，∴OB=√OA2−AB2=√3，sin∠AOB=ABOA =12，∠AOB=30∘．同理，可得出：OD=1，∠COD=60∘．∴∠AOC=∠AOB+(180∘−∠COD)=30∘+180∘−60∘=150∘．在△AOB和△OCD中，有{AO=OC AB=OD BO=DC，∴△AOB≌△OCD(SSS)．∴S阴影=S扇形OAC．∴S扇形OAC=150360πR2=150360π×22=53π.故答案为：53π.通过解直角三角形可求出∠AOB=30∘，∠COD=60∘，从而可求出∠AOC=150∘，再通过证三角形全等找出S阴影=S扇形OAC，套入扇形的面积公式即可得出结论．此题考察了全等三角形的断定、解直角三角以及扇形的面积公式，解题的关键是找出S阴影=S扇形OAC.此题属于根底题，难度不大，解决该题型题目时，根据拆补法将不规那么的图形变成规那么的图形，再套用规那么图形的面积公式进展计算即可．17. 解：如图，r上<r下．故答案为：<．利用垂径定理，分别作出两段弧所在圆的圆心，然后比拟两个圆的半径即可．此题考察了弧长公式：圆周长公式：C=2πR(2)弧长公式：l=n⋅π⋅R180(弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R)；正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．18. 解：∵∠ACB=90∘，AC=1，AB=2，∴∠ABC=30∘，∴∠A=60∘，又∵AC=1，∴弧CD 的长为60×π×1180=π3，故答案为：π3．先根据ACB=90∘，AC=1，AB=2，得到∠ABC=30∘，进而得出∠A=60∘，再根据AC=1，即可得到弧CD的长．此题主要考察了弧长公式的运用，解题时注意弧长公式为：l=nπR180(弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R)．19. 解：如图连接OA、OB．∵∠AOB=2∠ACB=120∘，∴劣弧AB的长=120π⋅3180=2π，故答案为2π．如图连接OA、OB.根据圆周角定理求出∠AOB，安康旅游弧长公式计算；此题考察弧长公式、圆周角定理等知识，解题的关键是纯熟掌握根本知识，属于中考常考题型．20. 解：连接CF，DF，那么△CFD是等边三角形，∴∠FCD=60∘，∵在正五边形ABCDE中，∠BCD=108∘，∴∠BCF=48∘，∴BF⏜的长=48⋅π×2180=815π，故答案为：815π.连接CF，DF，得到△CFD是等边三角形，得到∠FCD=60∘，根据正五边形的内角和得到∠BCD=108∘，求得∠BCF=48∘，根据弧长公式即可得到结论．此题考察了正多边形与圆，弧长的计算，等边三角形的断定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．21. (1)利用同弧所对的圆周角相等确定出所求角度数即可；(2)由AB为圆的直径，确定出所对的圆周角为直角，再由∠ABC度数求出∠BAC度数，进而求出∠BAE为直角，即可得证；(3)连接OC，由OB=OC，且∠BOC=60∘，确定出三角形OBC为等边三角形，进而求出∠AOC度数，利用弧长公式求出弧AC的长即可．此题考察了切线的断定，以及弧长的计算，涉及的知识有：圆周角定理，外角性质，等边三角形的断定与性质，纯熟掌握定理及性质是解此题的关键．22. (1)根据BC是⊙O的直径，AD⊥BC，A^B=A^E，推出∠AGB=∠CAD，即可推得FA=FG．(2)根据BD=DO=2，AD⊥BC，求出∠AOB=60∘，再根据A^B=A^E，求出∠EOC=60∘，第 15 页即可求出E^C的长度是多少．此题主要考察了圆周角定理和应用，以及弧长的计算方法，要纯熟掌握．23. (1)连接OC，如图，利用切线的性质得∠OCE=90∘，再根据垂径定理得到CD=BD，那么OD垂中平分BC，所以EC=EB，接着证明△OCE≌△OBE得到∠OBE=∠OCE= 90∘，然后根据切线的断定定理得到结论；(2)设⊙O的半径为r，那么OD=r−1，利用勾股定理得到(r−1)2+(√3)2=r2，解得r=2，再利用三角函数得到∠BOD=60∘，那么∠BOC=2∠BOD=120∘，接着计算出BE=√3OB=2√3，然后根据三角形面积公式和扇形的面积公式，利用阴影局部的面积=2S△OBE−S扇形BOC进展计算即可．此题考察了切线的断定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.断定切线时“连圆心和直线与圆的公共点〞或“过圆心作这条直线的垂线〞；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径〞.也考察了不规那么图形的面积的计算方法．24. (1)由AB为圆O的切线，利用切线的性质得到OD垂直于AB，在直角三角形BDO 中，利用锐角三角函数定义，根据tan∠BOD及BD的值，求出OD的值即可；(2)连接OE，由AE=OD=3，且OD与AE平行，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，根据平行四边形的对边平行得到OE与AD平行，再由DA与AE垂直得到OE与AC垂直，即可得证；(3)阴影局部的面积由三角形BOD的面积+三角形ECO的面积−扇形DOF的面积−扇形EOG的面积，求出即可．此题考察了切线的断定与性质，扇形的面积，锐角三角函数定义，平行四边形的断定与性质，以及平行线的性质，纯熟掌握切线的断定与性质是解此题的关键．25. (1)结论：DE是⊙O的切线.首先证明△ABO，△BCO都是等边三角形，再证明四边形BDCG是矩形，即可解决问题；(2)①只要证明△OCF是等边三角形即可解决问题；②求出EC、EF、弧长CF即可解决问题．此题考察切线的断定、平行四边形的性质、等边三角形的断定和性质、弧长公式，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，证明三角形是等边三角形是解题的打破点，属于中考常考题型．26. (1)连接OC，先证明∠OAC=∠OCA，进而得到OC//AE，于是得到OC⊥CD，进而证明DE是⊙O的切线；(2)分别求出△OCD的面积和扇形OBC的面积，利用S阴影=S△COD−S扇形OBC即可得到答案．此题主要考察了切线的断定以及扇形的面积计算，解(1)的关键是证明OC⊥DE，解(2)的关键是求出扇形OBC的面积，此题难度一般．。

2022年全国各省中考数学真题分类解析弧长与扇形面积及圆锥的相关计算

（2022•武威中考）如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧（AB ̂），点O 是这段弧所在圆的圆心，半径OA ＝90m ，圆心角∠AOB ＝80°，则这段弯路（AB̂）的长度为（）A ．20πmB ．30πmC ．40πmD ．50πm【解析】选C ．∵半径OA ＝90m ，圆心角∠AOB ＝80°， ∴这段弯路（AB̂）的长度为：80π×90180=40π（m ）.（2022•连云港中考）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（）A ．23π−√32B ．23π−√3C ．43π﹣2√3D ．43π−√3【解析】选B.连接OA 、OB ，过点O 作OC ⊥AB ，由题意可知：∠AOB ＝60°， ∵OA ＝OB ，∴△AOB 为等边三角形， ∴AB ＝AO ＝BO ＝2∴S 扇形AOB =60π×22360=23π，∵OC ⊥AB ，∴∠OCA ＝90°，AC ＝1， ∴OC =√3，∴S △AOB =12×2×√3=√3， ∴阴影部分的面积为：23π−√3.（2022•遂宁中考）如图，圆锥底面圆半径为7cm ，高为24cm ，则它侧面展开图的面积是（）（2022•丽水中考）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m，高为2√3m，则改建后门洞的圆弧长是（）A．5π3m B．8π3m C．10π3m D．（5π3+2）m【解析】选C．连接AC，BD，AC和BD相交于点O，则O为圆心，如图所示，由题意可得，CD＝2m，AD＝2√3m，∠ADC＝90°，∴tan∠DCA=ADCD =2√32=√3，AC=√CD2+AD2=4（m），∴∠ACD＝60°，OA＝OC＝2m，∴∠ACB＝30°，∴∠AOB＝60°，∴优弧ADCB所对的圆心角为300°，∴改建后门洞的圆弧长是：300π×2180=10π3.（2022•泰安中考）如图，四边形ABCD中，∠A＝60°，AB∥CD，DE⊥AD交AB于点E，以点E为圆心，DE为半径，且DE＝6的圆交CD于点F，则阴影部分的面积为（）A．6π﹣9√3B．12π﹣9√3C．6π−9√32D．12π−9√32【解析】选B．∵∠A＝60°，AB∥CD，DE⊥AD交AB于点E，∴∠GDE＝∠DEA＝30°，∵DE＝EF，∴∠EDF＝∠EFD＝30°，∴∠DEF＝120°，过点E作EG⊥DF交DF于点G，∵∠GDE ＝30°，DE ＝6， ∴GE ＝3，DG ＝3√3， ∴DF ＝6√3，阴影部分的面积=120π×36360−12×6√3×3＝12π﹣9√3，（2022•达州中考）如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边△ABC ，分别以点A ，B ，C 为圆心，以AB 长为半径作BĈ，AC ̂，AB ̂，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如果一个曲边三角形的周长为2π，则此曲边三角形的面积为（）A ．2π﹣2√3B ．2π−√3C ．2πD ．π−√3【解析】选A ．设等边三角形ABC 的边长为r ， ∴60πr 180=2π3，解得r ＝2，即正三角形的边长为2，∴这个曲边三角形的面积为：2×√3×12+（60π×4360−√3）×3＝2π﹣2√3（2022•德阳中考）一个圆锥的底面直径是8，母线长是9，则圆锥侧面展开图的面积是（） A ．16πB ．52πC ．36πD ．72π【解析】选C ．如图，AB ＝8，SA ＝SB ＝9，所以侧面展开图扇形的弧BC 的长为8π，由扇形面积的计算公式得，圆锥侧面展开图的面积为12×8π×9＝36π，A ．12π米2B ．14π米2C ．18π米2D ．116π米2【解析】选C ．连结BC ，AO ，如图所示， ∵∠BAC ＝90°，∴BC 是⊙O 的直径， ∵⊙O 的直径为1米，∴AO ＝BO =12（米），∴AB =√AO 2+BO 2=√22（米），∴扇形部件的面积=90360π×（√22）2=π8（米2），（2022•黄冈中考）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝8，以点C 为圆心，CA 的长为半径画弧，交AB 于点D ，则AD̂的长为（）A ．πB ．43π C ．53π D ．2π【解析】选B.连接CD ，如图所示：∵ACB ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝8，∴∠A ＝90°﹣30°＝60°，AC =12AB =4，由题意得：AC ＝CD ，∴△ACD 为等边三角形，∴∠ACD ＝60°，∴AD̂的长为：60π×4180=43π. （2022•山西中考）如图，扇形纸片AOB 的半径为3，沿AB 折叠扇形纸片，点O 恰好落在AB ̂上的点C 处，图中阴影部分的面积为（）A ．3π﹣3√3B ．3π−9√32C ．2π﹣3√3D ．6π−9√32【解析】选B ．沿AB 折叠扇形纸片，点O 恰好落在AB ̂上的点C 处，∴AC ＝AO ，BC ＝BO ， ∵AO ＝BO ，∴四边形AOBC 是菱形，连接OC 交AB 于D ，∵OC ＝OA ，∴△AOC 是等边三角形， ∴∠CAO ＝∠AOC ＝60°，∴∠AOB ＝120°， ∵AC ＝3，∴OC ＝3，AD =√32AC =3√32，∴AB ＝2AD ＝3√3， ∴S 阴影＝S 扇形AOB ﹣S 菱形AOBC =120π×32360−12×3×3√3=3π−9√32.（2022•河北中考）某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA ，PB 分别与AMB̂所在圆相切于点A ，B ．若该圆半径是9cm ，∠P ＝40°，则AMB̂的长是（）A ．11πcmB ．112πcm C ．7πcm D ．72πcm【解析】选A.作AO ⊥PA ，BO ⊥AB ，AO 和BO 相交于点O ，如图， ∵PA ，PB 分别与AMB̂所在圆相切于点A ，B ,∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°， ∵∠P ＝40°，∴∠AOB ＝140°，∴优弧AMB 对应的圆心角为360°﹣140°＝220°， ∴优弧AMB 的长是：220π×9180=11π（cm ）.（2022•荆州中考）如图，以边长为2的等边△ABC 顶点A 为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC 边相切，分别交AB ，AC 于D ，E ，则图中阴影部分的面积是（）A ．√3−π4 B ．2√3−π C ．(6−π)√33D ．√3−π2【解析】选D ．由题意，以A 为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC 边相切，设切点为F ，连接AF ，则AF ⊥BC ．在等边△ABC 中，AB ＝AC ＝BC ＝2，∠BAC ＝60°，∴CF ＝BF ＝1．在Rt △ACF 中，AF =√AB 2−AF 2=√3，∴S 阴影＝S △ABC ﹣S 扇形ADE =12×2×√3−60π×(√3)2360 =√3−π2.（2022•北部湾中考）如图，在△ABC 中，CA ＝CB ＝4，∠BAC ＝α，将△ABC 绕点A 逆时针旋转2α，得到△AB ′C ′，连接B ′C 并延长交AB 于点D ，当B ′D ⊥AB 时，BB′̂的长是（）A ．2√33π B ．4√33π C ．8√39π D ．10√39π 【解析】选B ．根据题意可得，AC ′∥B ′D ，∵B ′D ⊥AB ，∴∠C ′AD ＝∠C ′AB ′+∠B ′AB ＝90°， ∵∠C ′AD ＝α，∴α+2α＝90°，∴α＝30°， ∵AC ＝4，∴AD ＝AC •cos30°＝4×√32=2√3，∴AB =2AD =4√3，∴BB′̂的长度l =nπr 180=60×π×4√3180=4√33．（2022•贺州中考）如图，在等腰直角△OAB 中，点E 在OA 上，以点O 为圆心、OE 为半径作圆弧交OB 于点F ，连接EF ，已知阴影部分面积为π﹣2，则EF 的长度为（）360°2（2022•贺州中考）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是6cm ，高是6cm ；圆柱体底面半径是3cm ，液体高是7cm ．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm 【解析】选B ．如图：∵圆锥的圆锥体底面半径是6cm ，高是6cm ，∴△ABC 是等腰直角三角形， ∴△CDE 也是等腰直角三角形，即CD ＝DE ，由已知可得：液体的体积为π×32×7＝63π（cm 3），圆锥的体积为13π×62×6＝72π（cm 3），∴计时结束后，圆锥中没有液体的部分体积为72π﹣63π＝9π（cm 3），设计时结束后，“沙漏”中液体的高度AD 为xcm ，则CD ＝DE ＝（6﹣x ）cm ， ∴13π•（6﹣x ）2•（6﹣x ）＝9π，∴（6﹣x ）3＝27，解得x ＝3，∴计时结束后，“沙漏”中液体的高度为3cm ．（2022•毕节中考）如图，一件扇形艺术品完全打开后，AB ，AC 夹角为120°，AB 的长为45cm ，扇面BD 的长为30cm ，则扇面的面积是（）A ．375πcm 2B ．450πcm 2C ．600πcm 2D ．750πcm 2 【解析】选C ．∵AB 的长是45cm ，扇面BD 的长为30cm ， ∴AD ＝AB ﹣BD ＝15cm ，2（2022•赤峰中考）如图，AB是⊙O的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到AD，此时点C的对应点D 落在AB上，延长CD，交⊙O于点E，若CE＝4，则图中阴影部分的面积为（）A．2πB．2√2C．2π﹣4D．2π﹣2√2【解析】选C．连接OE，OC，BC，由旋转知AC＝AD，∠CAD＝30°，∴∠BOC＝60°，∠ACE＝（180°﹣30°）÷2＝75°，∴∠BCE＝90°﹣∠ACE＝15°，∴∠BOE＝2∠BCE＝30°，∴∠EOC＝90°，即△EOC为等腰直角三角形，∵CE＝4，∴OE＝OC＝2√2，∴S阴影＝S扇形OEC﹣S△OEC=90π×(2√2)2360−12×2√2×2√2=2π﹣4．A ．π8−18B ．π8−14C ．π2−18D ．π2−14【解析】选B ．∵四边形ABCD 是正方形， ∴OB ＝OD ＝OC ，∠DOC ＝90°，∵∠EOB ＝∠FOD ，∴S 扇形BOM ＝S 扇形DON ，∴S 阴影＝S 扇形DOC ﹣S △DOC =90π×(√22)2360−14×1×1=π8−14.（2022•玉林中考）数学课上，老师将如图边长为1的正方形铁丝框变形成以A 为圆心，AB 为半径的扇形（铁丝的粗细忽略不计），则所得扇形DAB 的面积是 1 ．【解析】由题意BD̂=CD +BC ＝1+1＝2， S 扇形ABD =12•BD ̂•AB =12×2×1＝1，答案：1．【解析】如图，连接BD 交AC 于点O ，则AC ⊥BD ， ∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°， ∴∠BAC ＝∠ACD ＝30°，AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2，在Rt △AOB 中，AB ＝2，∠BAO ＝30°，∴BO =12AB ＝1，AO =√32AB =√3，∴AC ＝2OA ＝2√3，BD ＝2BO ＝2， ∴S 菱形ABCD =12AC •BD ＝2√3， ∴S 阴影部分＝S 菱形ABCD ﹣2S 扇形ADE ＝2√3−60π×22360=6√3−2π3. 答案：6√3−2π3．（2022•重庆中考B 卷）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，以B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交AD 于点E ．则图中阴影部分的面积为 13π ．（结果保留π）【解析】∵以B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交AD 于点E ，∴BE ＝BC ＝2，在矩形ABCD 中，∠A ＝∠ABC ＝90°，AB ＝1，BC ＝2， ∴sin ∠AEB =ABBE =12，∴∠AEB ＝30°， ∴∠EBA ＝60°，∴∠EBC ＝30°， ∴阴影部分的面积：S =30π×22360=13π.答案：13π．（2022•广元中考）如图，将⊙O 沿弦AB 折叠，AB ̂恰经过圆心O ，若AB ＝2√3，则阴影部分的面积为 2π3 ．【解析】如图，过点O 作AB 的垂线并延长，垂足为C ，交⊙O 于点D ，连结AO ，AD ，根据垂径定理得：AC ＝BC =12AB =√3， ∵将⊙O 沿弦AB 折叠，AB ̂恰经过圆心O ，∴OC ＝CD =12r ， ∴OC =12OA ，∴∠OAC ＝30°，∴∠AOD ＝60°，∵OA ＝OD ，∴△AOD 是等边三角形，∴∠D ＝60°，在Rt △AOC 中，AC 2+OC 2＝OA 2，∴（√3）2+（12r ）2＝r 2，解得：r ＝2，∵AC ＝BC ，∠OCB ＝∠ACD ＝90°，OC ＝CD ，∴△ACD ≌△BCO （SAS ），∴S 阴影＝S 扇形ADO =60°360°×π×22=2π3．答案：2π3．（2022•十堰中考）如图，扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，OA ＝2，点C 为OB 上一点，将扇形AOB 沿AC 折叠，使点B 的对应点B ′落在射线AO 上，则图中阴影部分的面积为 π+4﹣4√2 ．【解析】连接AB ，∵∠AOB ＝90°，OA ＝2，∴OB ＝OA ＝2，∴AB =√22+22=2√2，设OC ＝x ，则BC ＝B ′C ＝2﹣x ，OB ′＝2√2−2，则x 2+（2√2−2）2＝（2﹣x ）2，解得x ＝2√2−2，∴阴影部分的面积是：90π×22360−(2√2−2)×22×2=π+4﹣4√2.答案：π+4﹣4√2．（2022•宜昌中考）如图，点A ，B ，C 都在方格纸的格点上，△ABC 绕点A 顺时针方向旋转90°后得到△AB ′C ′，则点B 运动的路径BB ′̂的长为 5π2 ．【解析】由已知可得，∠BAB ′＝90°，AB =√32+42=5，∴BB ′̂的长为：90π×5180=5π2.答案：5π2 （2022•岳阳中考）如图，在⊙O 中，AB 为直径，AB ＝8，BD 为弦，过点A 的切线与BD 的延长线交于点C ，E 为线段BD 上一点（不与点B 重合），且OE ＝DE ．（1）若∠B ＝35°，则AD̂的长为 14π9 （结果保留π）；（2）若AC ＝6，则DE BE = 2539 ．【解析】（1）∵∠AOD ＝2∠ABD ＝70°，∴AD ̂的长为：70⋅π⋅4180=14π9. 答案：14π9．（2）连接AD ．∵AC 是切线，AB 是直径，∴AB ⊥AC ，∴BC =√AB 2+AC 2=√62+82=10，∵AB 是直径，∴∠ADB ＝90°，∴AD ⊥CB ，∴12•AB •AC =12•AB •AD ，∴AD =245，∴BD =√AB 2−AD 2=√82−(245)2=325，∵OB ＝OD ，EO ＝ED ，∴∠EDO ＝∠EOD ＝∠B ，（2022•衡阳中考）如图，用一个半径为6cm 的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120°，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了 4π cm ．（结果保留π）【解析】由题意得，重物上升的距离是半径为6cm ，圆心角为120°所对应的弧长，即120π×6180=4π，答案：4π（2022·新疆生产建设兵团中考）如图，⊙O 的半径为2，点A ，B ，C 都在⊙O 上，若∠B ＝30°，则AC ̂的长为23π ．（结果用含有π的式子表示）【解析】∵∠AOC ＝2∠B ，∠B ＝30°，∴∠AOC ＝60°．∴AĈ的长为60π×2180=23π，答案：23π （2022•河南中考）如图，将扇形AOB 沿OB 方向平移，使点O 移到OB 的中点O ′处，得到扇形A ′O ′B ′．若∠O ＝90°，OA ＝2，则阴影部分的面积为 π3+√32．【解析】如图，设O ′A ′交AB̂于点T ，连接OT ．∵OT ＝OB ，OO ′＝O ′B ′，∴OT ＝2OO ′，∵∠OO ′T ＝90°，∴∠O ′TO ＝30°，∠TOO ′＝60°，∴S 阴＝S 扇形O ′A ′B ′﹣（S 扇形OTB ﹣S △OTO ′）=90⋅π×22360−（60⋅π⋅22360−12×1×√3）=π3+√32．答案：π3+√32．（2022•黔东南州中考）如图，在△ABC 中，∠A ＝80°，半径为3cm 的⊙O 是△ABC 的内切圆，连接OB 、OC ，则图中阴影部分的面积是 134π cm 2．（结果用含π的式子表示）【解析】∵∠A ＝80°，⊙O 是△ABC 的内切圆，∴∠DOE ＝180°﹣（12∠ABC +12∠ACB ）＝180°−12（180°﹣∠A ）＝130°， ∴S 扇形DOE =130π×32360=134π. 答案：134π． 2【解析】连接OA ，由题意可知，直线MN 垂直平分线段OA ，∴EA ＝EO ，∵OA ＝OE ，∴△AOE 为等边三角形，∴∠AOE ＝60°，∵四边形ABCD 是⊙O 的内接正四边形，∴∠AOB ＝90°，∴∠BOE ＝30°，∵S 弓形AOE ＝S 扇形AOE ﹣S △AOE ，∴S 阴影＝S 扇形AOB ﹣S 弓形AOE ﹣S △AOB＝S 扇形AOB ﹣（S 扇形AOE ﹣S △AOE ）﹣S △AOB＝S 扇形AOB ﹣S 扇形AOE +S △AOE ﹣S △AOB＝S 扇形BOE +S △AOE ﹣S △AOB=30π×12360+12×1×1×√32−12×1×1 =112π+14√3−12．答案：112π+14√3−12．（2022•龙东中考）若一个圆锥的母线长为5cm ，它的侧面展开图的圆心角为120°，则这个圆锥的底面半径为（2022•包头中考）如图，已知⊙O 的半径为2，AB 是⊙O 的弦．若AB ＝2√2，则劣弧AB̂的长为 π ．【解析】∵⊙O 的半径为2，∴AO ＝BO ＝2，（2022·恩施州中考）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，⊙O 为Rt △ABC 的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留π） 5−34π ．【解析】作OD ⊥AC 于点D ，作OE ⊥CB 于点E ，作OF ⊥AB 于点F ，连接OA 、OC 、OB ，如图，∵∠C ＝90°，OD ＝OE ＝OF ，∴四边形CEOD 是正方形，∵AC ＝4，BC ＝3，∠C ＝90°，∴AB =√AC 2+BC 2=√42+32=5，∵S △ABC ＝S △AOC +S △COB +S △BOA ，∴4×32=4⋅OD 2+3⋅OE 2+5⋅OF 2，解得OD ＝OE ＝OF ＝1，∴图中阴影部分的面积为：4×32−1×1﹣π×12×34=5−34π.答案：5−34π【解析】∵∠BAE ＝65°，∴∠BOE ＝130°，∴∠BOC +∠DOE ＝∠BOE ﹣∠COD ＝60°，∴BC ̂+DE ̂的长度=60360×2π×1=13π. 答案：13π （2022•宿迁中考）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 与边BC 交于点D ．（1）判断直线AC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若AB ＝4，求图中阴影部分的面积．【解析】（1）直线AC 与⊙O 相切，理由如下：∵∠ABC ＝45°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ＝45°，∴∠BAC ＝180°﹣2×45°＝90°，∴BA ⊥AC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴直线AC 与⊙O 相切；（2）连接OD ，AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∵∠ABD ＝45°，∴△ABD 是等腰直角三角形，∠AOD ＝90°，∵AO ＝OB ，AB ＝4，∴S △ABD =12•AB •OD =12×4×2＝4，∴S 阴影＝S △ABC ﹣S △BOD ﹣S 扇形OAD =12×4×4−12×4−90π×22360 ＝8﹣2﹣π＝6﹣π．【解析】（1）连接OA ，∵AB 是⊙O 的切线，点A 为切点，∴∠BAO ＝90°，又∵AB ＝AC ，OA ＝OC ，∴∠B ＝∠ACB ＝∠OAC ，设∠ACB ＝x °，则在△ABC 中，x °+x °+x °+90°＝180°，解得：x ＝30，∴∠ACB 的度数为30°；（2）∵∠ACB ＝∠OAC ＝30°，∴∠AOC ＝120°，∴l AC ̂=120π×3180=2π （2022•湘潭中考）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A （﹣1，1），B （﹣4，0），C （﹣2，2）．将△ABC 绕原点O 顺时针旋转90°后得到△A 1B 1C 1．（1）请写出A 1、B 1、C 1三点的坐标：A 1 （1，1），B 1 （0，4），C 1 （2，2）；（2）求点B 旋转到点B 1的弧长．【解析】（1）由图知，A 1（1，1），B 1（0，4），C 1（2，2），答案：（1，1），（0，4），（2，2）；（2）由题意知，点B 旋转到点B 1的弧所在的圆的半径为4，弧所对的圆心角为90°，∴弧长为：90°π×4360°=π（2022•眉山中考）如图，AB 为⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，CD 与⊙O 相切于点C ，过点B 作BD ⊥DC ，连接AC ，BC ．（1）求证：BC 是∠ABD 的角平分线；（2）若BD ＝3，AB ＝4，求BC 的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．【解析】（1）连接OC ，如图1，∵CD 与⊙O 相切于点C ，OC 为半径，∴OC ⊥CD ，∵BD ⊥CD ，∴OC ∥BD ，∴∠OCB ＝∠DBC ，∵OC ＝OB ，∴∠OCB ＝∠OBC ，∴∠DBC ＝∠OBC ，∴BC 平分∠ABD ；（2）如图2，∵BC 平分∠ABD ，∴∠ABC ＝∠CBD ，∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°，∵BD ⊥DC ，∴∠D ＝90°，∴∠ACB ＝∠D ，∴△ABC ∽△CBD ，∴ABCB=BC BD ，∴BC 2＝AB •BD ， ∵BD ＝3，AB ＝4，∴BC 2＝3×4＝12，∴BC =2√3或﹣2√3（不符合题意，舍去），∴BC 的长为2√3；（3）如图3，作CE ⊥AO 于E ，连接OC ，∵AB是直径，AB＝4，∴OA＝OC＝2，在Rt△ABC中，AC=√AB2−BC2=√42−(2√3)2=2，∴AO＝CO＝AC＝2，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC＝60°，∵CE⊥OA，∵OE=12OA＝1，∴CE=√3，∴阴影部分的面积为：S=60×π×22360−12×2×√3=2π3−√3（2022•福建中考）如图，△ABC内接于⊙O，AD∥BC交⊙O于点D，DF∥AB交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF．（1）求证：AC＝AF；（2）若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求AĈ的长（结果保留π）．【解析】（1）∵AD∥BC，DF∥AB，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，∵∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，∴∠AFC＝∠ACF，∴AC＝AF．（2）连接AO，CO，由（1）得∠AFC＝∠ACF，∵∠AFC=180°−30°2=75°，∴∠AOC＝2∠AFC＝150°，∴AĈ的长l=150×π×3180=5π2．。

2023年九年级中考数学一轮专题练习弧长和扇形面积2 (1)(含解析)

2023年中考数学一轮专题练习 ——弧长和扇形面积2一、单选题（本大题共10小题）1. （浙江省宁波市2022年）已知圆锥的底面半径为4cm ，母线长为6cm ，则圆锥的侧面积为（）A ．236πcmB ．224πcmC ．216πcmD ．212πcm 2. （浙江省丽水市2022年）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m，高为，则改建后门洞的圆弧长是（）A ．5πm 3B ．8πm 3C ．10πm 3D ．5π+2m 3⎛⎫ ⎪⎝⎭ 3. （四川省德阳市2022年）一个圆锥的底面直径是8，母线长是9，则圆锥侧面展开图的面积是（）A ．B ．C ．D ．72π 4. （四川省广安市2022年）蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．下图是一个蒙古包的示意图，底面圆半径DE =2m ，圆锥的高AC =1.5m ，圆柱的高CD =2.5m ，则下列说法错误的是（）A ．圆柱的底面积为4πm 2B ．圆柱的侧面积为10πm 2C ．圆锥的母线AB 长为2.25mD ．圆锥的侧面积为5πm 25. （广西北部湾经济区2022年）如图，在ABC 中，4,CA CB BAC α==∠=，将ABC 绕点A 逆时针旋转2α，得到AB C ''，连接B C '并延长交AB 于点D ，当B D AB '⊥时，'BB 的长是（）16π52π36πAB． CD6. （广西河池市2022年）如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠︒＝，，，将绕点B 顺时针旋转90°得到．在此旋转过程中所扫过的面积为( )A ．25π+24B ．5π+24C ．25πD ．5π7. （广西柳州市2022年）如图，圆锥底面圆的半径AB ＝4，母线长AC ＝12，则这个圆锥的侧面积为（）A ．16πB ．24πC ．48πD ．96π8. （贵州省毕节市2022年）如图，一件扇形艺术品完全打开后，夹角为，的长为，扇面的长为30cm ，则扇面的面积是（）6AC ＝8BC ＝Rt ABC Rt A B C '''RtABC ,AB AC 120︒AB 45cm BDA．375πcm2B．450πcm2C．600πcm2D．750πcm29. （贵州省铜仁市2022年）如图，在边长为6的正方形ABCD中，以BC为直径画半圆，则阴影部分的面积是（）A．9 B．6 C．3 D．1210. （河北省2022年）某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA，PB分别与AMB所在圆相切于点A，B．若该圆半径是9cm，∠P＝40°，则AMB的长是（）A．11πcm B．112πcm C．7πcm D．72πcm二、填空题（本大题共10小题）11. （黑龙江省绥化市2022年）已知圆锥的高为8cm，母线长为10cm，则其侧面展开图的面积为．12. （山东省聊城市2022年）若一个圆锥体的底面积是其表面积的14，则其侧面展开图圆心角的度数为．13. （江苏省宿迁市2022年）将半径为6cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为 cm．14. （四川省广元市2022年）如图，将⊙O沿弦AB折叠，AB恰经过圆心O，若AB＝2．15. （湖北省宜昌市2022年）如图，点A ，B ，C 都在方格纸的格点上，ABC 绕点A 顺时针方向旋转90︒后得到''AB C ，则点B 运动的路径'BB 的长为．16. （江苏省宿迁市2022年）如图，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =8，点M 、N 分别是边AD 、BC 的中点，某一时刻，动点E 从点M 出发，沿MA 方向以每秒2个单位长度的速度向点A 匀速运动；同时，动点F 从点N 出发，沿NC 方向以每秒1个单位长度的速度向点C 匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接EF ，过点B 作EF 的垂线，垂足为H ．在这一运动过程中，点H 所经过的路径长是．17. （山东省聊城市2022年）如图，线段2AB =，以AB 为直径画半圆，圆心为1A ，以1AA 为直径画半圆①；取1A B 的中点2A ，以12A A 为直径画半圆②；取2A B 的中点3A ，以23A A 为直径画半圆③…按照这样的规律画下去，大半圆内部依次画出的8个小半圆的弧长之和为．18. （重庆市2022年）如图，在矩形ABCD 中，1AB =，2BC =，以B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交AD 于点E ．则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）19. （重庆市2022年）如图，菱形中，分别以点，为圆心，AD ，CB 长为半径画弧，分别交对角线AC 于点E ，F ．若2AB =，60BAD ∠=︒，则图中阴影部分的面积为．（结果不取近似值）20. （湖北省十堰市2022年）如图，扇形中，，，点为上一点，将扇形沿折叠，使点的对应点落在射线上，则图中阴影部分的面积为．三、解答题（本大题共5小题）ABCD AC AOB 90AOB ∠=︒2OA =C OB AOB AC B 'BAO21. （四川省眉山市2022年）如图，AB为O的直径，点C是O上一点，CD与O相⊥，连接AC，BC．切于点C，过点B作BD DC(1)求证：BC是ABD∠的角平分线；(2)若3BD=，4AB=，求BC的长；(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积．22. （江苏省宿迁市2022年）如图，在ABC中，∠ABC =45°，AB AC=，以AB为直径的⊙O与边BC交于点D．(1)判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若4AB=，求图中阴影部分的面积．23. （江苏省泰州市2022年）如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB=7，EF=10，BC＞5. 点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒(1)如图2，当t=2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；(2)在点B运动的过程中，当AD、BC都与半圆O相交，设这两个交点为G、H连接OG，OH.若∠GOH为直角，求此时t的值.24. （湖北省鄂州市2022年）如图1，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角边OA在y轴的正半轴上，且OA=6，斜边OB=10，点P为线段AB上一动点．(1)请直接写出点B 的坐标；(2)若动点P 满足∠POB =45°，求此时点P 的坐标；(3)如图2，若点E 为线段OB 的中点，连接PE ，以PE 为折痕，在平面内将△APE 折叠，点A 的对应点为A '，当PA '⊥OB 时，求此时点P 的坐标；(4)如图3，若F 为线段AO 上一点，且AF =2，连接FP ，将线段FP 绕点F 顺时针方向旋转60°得线段FG ，连接OG ，当OG 取最小值时，请直接写出OG 的最小值和此时线段FP 扫过的面积．25. （江苏省连云港市2022年）〖问题情境〗在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放．其中，，．〖问题探究〗小昕同学将三角板绕点B 按顺时针方向旋转．(1)如图2，当点E 落在边AB 上时，延长DE 交BC 于点F ，求BF 的长．(2)若点C 、E 、D 在同一条直线上，求点D 到直线BC 的距离．(3)连接DC ，取DC 的中点G ，三角板DEB 由初始位置（图1），旋转到点C 、B 、D 首次在同一条直线上（如图3），求点G 所经过的路径长．(4)如图4，G 为DC 的中点，则在旋转过程中，点G 到直线AB 的距离的最大值是．90ACB DEB ∠=∠=︒30B ∠=︒3BE AC ==DEB参考答案1. 【答案】B【分析】利用圆锥侧面积计算公式计算即可：；【详解】4624S rl πππ==⋅⋅=侧2cm ，故选B ．2. 【答案】C【分析】利用勾股定理先求得圆弧形的门洞的直径BC ，再利用矩形的性质证得是等边三角形，得到60COD ∠=︒，进而求得门洞的圆弧所对的圆心角为36060300︒-︒=︒，利用弧长公式即可求解．【详解】如图，连接AD ，BC ，交于O 点，∵90BDC ∠=︒ ，∴BC 是直径，∴4BC ===， ∵四边形ABDC 是矩形，∴122OC OD BC ===， ∵2CD =，∴OC OD CD ==，∴COD ∆是等边三角形，∴60COD ∠=︒，∴门洞的圆弧所对的圆心角为36060300︒-︒=︒ ， ∴改建后门洞的圆弧长是11300300410221801803BC πππ︒⨯︒⨯⨯==︒︒(m)，故选：C3. 【答案】CS rl π=侧COD ∆【分析】首先求得圆锥的底面周长，即侧面的扇形弧长，然后根据扇形的面积公式即可求解．【详解】解：根据题意得：圆锥侧面展开图的弧长为，∴圆锥侧面展开图的面积是．故选：C4. 【答案】C【分析】由圆锥的侧面积、圆柱侧面积、圆的面积公式、分别求出答案，再进行判断，即可得到答案．【详解】解：根据题意，∵底面圆半径DE =2m ，∴圆柱的底面积为：224ππ⨯=；故A 正确；圆柱的侧面积为：22 2.510ππ⨯⨯=；故B 正确；圆锥的母线为： 2.5=；故C 错误；圆锥的侧面积为：1(22) 2.552ππ⨯⨯⨯=；故D 正确；故选：C5. 【答案】B【分析】先证'60B AD ∠=︒，再求出AB 的长，最后根据弧长公式求得'BB ．【详解】解：,'CA CB B D AB =⊥，，是ABC 绕点A 逆时针旋转2α得到，'AB AB ∴=，1'2AD AB =，在'Rt AB D ∆中，1cos ''2AD B AD AB ∠==， '60B AD ∴∠=︒，,'2CAB B AB αα∠=∠=，11'603022CAB B AB ∴∠=∠=⨯︒=︒， 4AC BC ==，cos304AD AC ∴=︒==2AB AD ∴== 8π189362ππ⨯⨯=12AD DB AB ∴==AB C ''BB ∴'的长=60180AB π=，故选：B ． 6. 【答案】A【分析】根据勾股定理定理求出AB ，然后根据扇形的面积和三角形的面积公式求解．【详解】解：∵，，， ∴，∴Rt ABC 所扫过的面积为2901016825243602ππ⋅⋅+⨯⨯=+．故选：A ．7. 【答案】C【分析】根据圆锥侧面积公式122π=⋅⋅S l r ，其中l 是圆锥的母线，r 是底圆的半径，求解即可．【详解】解：由题意可知：圆锥的侧面积为：122π=⋅⋅S l r ，其中l 是圆锥的母线，r 是底圆的半径， 11224=482ππ=⋅⋅⋅S ．故选：C8. 【答案】C【分析】根据扇形的面积公式，利用减去即可得扇面的面积．【详解】解：cm ，cmcm=cm 2．故选：C9. 【答案】A【分析】设AC 与半圆交于点E ，半圆的圆心为O ，连接BE ，OE ，证明BE =CE ，得到弓形BE的面积=弓形CE 的面积，则． 90ACB ∠︒＝6AC ＝8BC ＝22226810AB AC BC 2360n r π=BAC S 扇形DAE S 扇形45AB =30BD =453015AD ∴=-=212045,360BAC S π⨯∴=扇形212015360DAE S π⨯=扇形=S ∴扇面BAC S -扇形DAE S =扇形212045360π⨯-212015360π⨯600π11=6663=922ABE ABC BCE S S S S ==-⨯⨯-⨯⨯△△阴影【详解】解：设AC 与半圆交于点E ，半圆的圆心为O ，连接BE ，OE ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠OCE =45°，∵OE =OC ，∴∠OEC =∠OCE =45°，∴∠EOC =90°，∴OE 垂直平分BC ，∴BE =CE ，∴弓形BE 的面积=弓形CE 的面积，∴，故选A ．10. 【答案】A【分析】如图，根据切线的性质可得90∠=∠=︒PAO PBO ，根据四边形内角和可得AOB ∠的角度，进而可得AMB 所对的圆心角，根据弧长公式进行计算即可求解．【详解】解：如图，PA ，PB 分别与AMB 所在圆相切于点A ，B ．90PAO PBO ∴∠=∠=︒，∠P ＝40°，360909040140AOB ∴∠=︒-︒-︒-︒=︒，该圆半径是9cm ，11=6663=922ABE ABC BCE S S S S ==-⨯⨯-⨯⨯△△阴影360140911180AMB ππ-∴=⨯=cm ，故选：A ．11. 【答案】60πcm 2【分析】利用勾股定理易得圆锥的底面半径，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．【详解】解：圆锥的高为8cm ，母线长为10cm ，由勾股定理得，底面半径=6cm ，底面周长=12πcm ，侧面展开图的面积=12×12π×10=60πcm 2．故答案为：60πcm 2．12. 【答案】120°##120度【分析】根据圆锥的底面积是其表面积的14，则得到圆锥底面半径和母线长的关系，根据圆锥侧面展开图的弧长＝底面周长即可求得圆锥侧面展开图的圆心角度数．【详解】解：设底面圆的半径为r ，侧面展开扇形的半径为R ，扇形的圆心角为n °．由题意得2S r π=底面面积， 2l r π=底面周长，∵个圆锥体的底面积是其表面积的14， ∴233S S r π==扇形底面面积， 2l l r π==扇形弧长底面周长．由12S l R =⨯扇形扇形弧长得21322r r R ππ=⨯⨯，故3R r =．由180n r l π=扇形弧长得： 32180n r ππ⨯=，解得120n =．故答案为：120°．13. 【答案】2【分析】根据弧长公式、圆锥的性质分析，即可得到答案．【详解】解：根据题意，得圆锥底面周长cm ， 12064180ππ︒⨯⨯==︒∴这个圆锥底面圆的半径cm ，故答案为：2． 14. 【答案】23π##23π 【分析】过点O 作OD ⊥AB 于点D ，交劣弧AB 于点E，由题意易得111,222OD DE OE OB AD BD AB =====30OBD ∠=︒，然后根据特殊三角函数值及扇形面积公式可进行求解阴影部分的面积．【详解】解：过点O 作OD ⊥AB 于点D ，交劣弧AB 于点E ，如图所示：由题意可得：111,222OD DE OE OB AD BD AB ===== ∴30OBD ∠=︒， ∴60,tan 301,2cos30BD DOB OD BD OB ∠=︒=⋅︒===︒， ∴弓形AB的面积为2602142222136023ODB OBE S Sππ⨯⨯⨯-=⨯-⨯=扇形 ∴阴影部分的面积为11412122323OBD AB S S ππ⎛+=⨯+= ⎝弓形；故答案为23π． 15. 【答案】52π 【分析】先求出AB 的长，再根据弧长公式计算即可．【详解】由题意得，AC =4，BC =3，∴5AB ==,∵ABC 绕点A 顺时针方向旋转90︒后得到''AB C ，∴90BAB '∠=︒,422ππ==∴'BB 的长为：90551802l ππ︒==︒，故答案为：52π．16. ## 【分析】根据题意知EF 在运动中始终与MN 交于点Q ，且AQM FQN ∆∆， :1:2,NQ MQ =点H 在以BQ 为直径的PN 上运动，运动路径长为PN 的长，求出BQ 及PN 的圆角，运用弧长公式进行计算即可得到结果．【详解】解：∵点M 、N 分别是边AD 、BC 的中点，连接MN ，则四边形ABNM 是矩形，∴MN =AB =6，AM =BN =12AD ==4，根据题意知EF 在运动中始终与MN 交于点Q ，如图，∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD //BC ， ∴AQMFQN ∆∆， ∴12NF NQ EM MQ == ∴123NQ MN == 当点E 与点A 重合时，则NF =122AM =， ∴BF =BN +NF =4+2=6，∴AB =BF =6∴ABF ∆是等腰直角三角形，∴45,AFB ∠=︒∵BP ⊥AF ，∴45PBF ∠=︒由题意得，点H 在以BQ 为直径的PN 上运动，运动路径长为PN 长，取BQ 中点O ，连接PO ，NO ，∴∠PON =90°，又90,BNQ ∠=︒∴BQ ===∴12ON OP OQ BQ ==== ∴PN的长为故答案为：17. 【答案】255256π##255256π 【分析】由AB ＝2，可得半圆①弧长为12π，半圆②弧长为（12）2π，半圆③弧长为（12）3π，......半圆⑧弧长为（12）8π，即可得8个小半圆的弧长之和为12π+（12）2π+（12）3π+...+（12）8π＝255256π．【详解】解：∵2AB =， ∴21AA =，半圆①弧长为1122ππ⨯=，同理1212A A =，半圆②弧长为211222ππ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭， 2314A A =，半圆③弧长为311422ππ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭， ……半圆⑧弧长为7811222ππ⎛⎫⨯ ⎪⎛⎫⎝⎭= ⎪⎝⎭， ∴8个小半圆的弧长之和为23811112552222256πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故答案为：255256π． 18. 【答案】【分析】π3先根据特殊角的锐角三角函数值，求出，进而求出，再根据扇形的面积公式求解即可．【详解】解：∵矩形，，以B 为圆心，的长为半轻画弧，交AD 于点E ， 2BC =，2BE BC ∴== ，在Rt ABE △中，1AB =，1cos 2AB ABE BE ∴∠== ， 60ABE ∴∠=︒ ，906030EBC ∴∠=︒-︒=︒ ，S 阴影230π2π3603⨯== ．故答案为：π3． 19. 【答案】【分析】连接BD 交AC 于点G ，证明△ABD 是等边三角形，可得BD ＝2，然后根据菱形的性质及勾股定理求出AC ，再由S 阴影＝S 菱形ABCD －S 扇形ADE －S 扇形CBF 得出答案．【详解】解：连接BD 交AC 于点G ，∵四边形是菱形，∴AB ＝AD ＝2，AC ⊥BD ，∵，∴△ABD 是等边三角形，∠DAC ＝∠BCA ＝30°，∴BD ＝2，∴BG ＝， ∴，∴AC ＝∴S 阴影＝S 菱形ABCD －S 扇形ADE －S 扇形CBF ＝，故答案为：． ABE ∠EBC ∠ABCD 90A ABC ∴∠=∠=︒BC 23πABCD 60BAD ∠=︒112BD =AG =2AG =2213023022223603603πππ⋅⋅⨯--=23π20. 【答案】2π+4–4【分析】连接AB ，在Rt △AOB 中，由勾股定理，求得AB =，由折叠可得：，则，设OC =x ，则=2-x ，在Rt △CO 中，由勾股定理，得，解得：x=，最后由S 阴影=S 扇形-2S △AOC 求解即可．【详解】解：连接AB，在Rt △AOB 中，由勾股定理，得AB =由折叠可得：，∴，设OC =x ，则=2-x ，在Rt △CO 中，由勾股定理，得，解得：x =，S 阴影=S 扇形-2S △AOC= =AB AB '==CB CB '=2OB '=-CB CB '=B '()2222(2)x x -+=-2=AB AB '==CB CB '=2OB '=-CB CB '=B '()2222(2)x x -+=-22902121802OA OC π⨯-⨯⋅()290212221802π⨯-⨯⨯⨯-=2π+4–4，故答案为：2π+4–21. 【答案】(1)见解析(2)(3)【分析】（1）连接，先证明，然后由平行线的性质和等腰三角形的性质，即可证明结论成立；（2）证明△ABC ∽△CBD 即可，根据题目中的条件，可以得到∠ABC =∠CBD ，∠ACB =∠D ，从而可以得到△ABC ∽△CBD ，即可求出BC 的长度；．（3）先证明△AOC 是等边三角形，然后求出扇形AOC 和△AOC 的面积，即可得到答案(1)证明：连接，如图∵与相切于点，∴∵，∴∴．又∵，∴，∴，∴平分．(2)解：根据题意，∵线段AB 是直径，∴，∵平分，∴∠ABC =∠CBD ，∴△ABC ∽△CBD ，BC =23πOC OC BD ∥OC CD O C OC CD ⊥BD CD ⊥OC BD ∥OCB DBC ∠=∠OC OB =OCB OBC ∠=∠DBC OBC ∠=∠BC ABD ∠90ACB D ∠=︒=∠BC ABD ∠∴， ∵，，∴23412BC =⨯=，∴BC =(3)解：作CE ⊥AO 于E ，如图：在直角△ABC中，2AC =，∴2AO AC CO ===，∴△AOC 是等边三角形，∴60AOC ∠=︒，1OE =，∴CE∴阴影部分的面积为：260212236023S ππ⨯⨯=-⨯= 22. 【答案】(1)证明见解析(2)6π-【分析】（1）利用等腰三角形的性质与三角形的内角和定理证明,AB AC ⊥ 从而可得结论；（2）如图，记BC 与O 的交点为M ，连接OM ，先证明290,AOM ABC 90,BOM 再利用阴影部分的面积等于三角形ABC 的面积减去三角形BOM 的面积，减去扇形AOM 的面积即可．(1)证明： ∠ABC =45°，AB AC =，45,ACB ABC90,BAC ∴∠=︒ 即,BA AC A 在O 上， AC ∴为O 的切线．(2)如图，记BC 与O 的交点为M ，连接OM ，45ABC ∠=︒ ，AB BC CB BD=3BD =4AB=290,AOM ABC 90,BOM4AB =，2OA ∴=， 1144822ABC S AB AC ，12222BOM S ， 2902360AOM S 扇形， 826S 阴影．23. 【答案】(1)(2)8或9秒【分析】 (1)通过计算当t =2.5时EB=BO ，进而得到△MBE ≌△MBO ，判断出△MEO 为等边三角形得到∠EOM =60°，然后根据弧长公式求解；(2)通过判定△GAO ≌△HBO ，然后利用全等三角形的性质分析求解．(1)解：设BC 与⊙O 交于点M ，如下图所示：当t =2.5时，BE =2.5，∵EF =10，∴OE =EF =5，∴OB =2.5，∴EB =OB ，在正方形ABCD 中，∠EBM =∠OBM =90°，且MB=MB ，∴△MBE ≌△MBO (SAS )，∴ME =MO ，∴ME=EO=MO ，∴△MOE 是等边三角形，∴∠EOM =60°， 53π12∴．(2)解：连接GO和HO，如下图所示：∵∠GOH=90°，∴∠AOG+∠BOH=90°，∵∠AOG+∠AGO=90°，∴∠AGO=∠BOH，在△AGO和△OBH中，，∴△AGO≌△BOH(AAS)，∴AG=OB=BE-EO=t-5，∵AB=7，∴AE=BE-AB=t-7，∴AO=EO-AE=5-(t-7)=12-t，在Rt△AGO中，AG2+AO2=OG2，∴(t-5)2+(12-t)2=52，解得：t1=8，t2=9，即t的值为8或9秒．24. 【答案】(1)（8，6）(2)（，6）(3)（，6）(4)OG的最小值为4，线段FP扫过的面积为【分析】（1）由勾股定理即可求解；（2）连接OP，过点P作PQ⊥OB于点Q，因为∠POB=45°，所以PQ=OQ，设PQ=OQ=x，则BQ=10-x，根据tan B的值，即可求得x的值，再利用勾股定理，即可求解；60551803ME90AGO BOHGAO HBOOG OH∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩6711283π（3）令PA '交OB 于点D ，由点E 为线段OB 的中点，可得，，利用折叠的性质、正切函数、勾股定理，即可求解；（4）当以点F 为圆心，OF 的长为半径画圆，与AB 的交点即为点P ，再将线段FP 绕点F 顺时针方向旋转60°得线段FG ，此时OG 最小，利用三角函数、等边三角形的判定与性质、扇形的面积公式，即可求解．(1)解：在Rt △OAB中，8AB ===，∴点B 的坐标为（8，6）；(2)解：连接OP ，过点P 作PQ ⊥OB 于点Q ，如图，∵∠POB =45°，∴∠OPQ =45°，∴∠POB =∠OPQ ，∴PQ =OQ ，设PQ =OQ =x ，则BQ =10-x ，在Rt △OAB 中，6384tan OA B AB ===，在Rt △BPQ 中，3104tan PQ x B BQ x ===-，解得307x =， ∴307OQ PQ ==，在Rt △POQ中，OP == 在Rt △AOP中，67AP ==， ∴点P 的坐标为（67，6）； 152A E AE OB '===152BE OB ==(3)解：令PA '交OB 于点D ，如图，∵点E 为线段OB 的中点， ∴152AE OB ==，152BE OB ==， ∵6384tan PD OA B BD AB ====，设3PD a =，则4BD a =，∴5BP a ==，54DE BE BD a =-=-∴85AP AB BP a =-=-，由折叠的性质，可得5A E AE '==，85A P AP a '==-，∴88A D A P PD a ''=-=-，在Rt △A DE 中，222A D DE A E ''+=，即22288545()()a a -+-=，解得121825，a a ==， ∵BD BE <，即45a <， ∴54a <， ∴12a =， ∴1118522A P '=-⨯=， ∴点P 的坐标为（112，6）； (4) 解：以点F 为圆心，OF 的长为半径画圆，与AB 的交点即为点P ，再将线段FP 绕点F 顺时针方向旋转60°得线段FG ，连接OG ，此时OG 最小，如图，由题可知，624FP FG FO OA AF ===-=-=，在Rt APF 中，2142cos AF AFP FP ∠===， ∴60AFP ∠=︒，∵60PFG ∠=︒，∴60OFG ∠=︒，∴OFG △是等边三角形，∴4OG FO ==，∴OG 的最小值为4，∴线段FP 扫过的面积=260483603ππ⨯=． 25. 【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）在Rt △BEF 中，根据余弦的定义求解即可；（2）分点在上方和下方两种情况讨论求解即可；（3）取的中点，连接GO ，从而求出OG G 在以O 径的圆上，然后根据弧长公式即可求解；（4）由（3）知，点G 在以O O 作OH ⊥AB 于H ，当G 在OH 的反向延长线上时，GH 最大，即点G 到直线AB 的距离的最大，在Rt △BOH 中求出OH ，进而可求GH .(1)解：由题意得，90BEF BED ∠=∠=︒，∵在Rt BEF △中，30ABC ∠=︒，3BE =，cos BE ABC BF∠=． 1E BC BC O∴3cos cos30BE BF ABC =︒==∠ (2) ①当点E 在BC 上方时，如图一，过点D 作DH BC ⊥，垂足为H ，∵在ABC 中，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，3AC =， ∴tan AC ABC BC ∠=，∴3tan tan 30AC BC ABC =︒==∠ ∵在BDE 中，90DEB ∠=︒，30DBE ABC ∠=∠=︒， 3BE =，tan DE DBE BE∠=，∴tan30DE BE =︒⋅∵点C 、E 、D 在同一直线上，且90DEB ∠=︒，∴18090CEB DEB ∠=-∠=︒︒．又∵在CBE △中，90CEB ∠=︒，BC =3BE =，∴CE ==∴CD CE DE =+=∵在BCD △中，1122BCD S CD BE BC DH =⋅=⋅△，∴1CD BE DH BC ⋅==． ②当点E 在BC 下方时，如图二，在BCE 中，∵90CEB ∠=︒，3BE =，BC =∴CE ==∴CD CE DE =-=过点D 作DM BC ⊥，垂足为M ．在BDC 中，1122BDC S BC DM CD BE =⋅=⋅△，∴1DM =．综上，点D 到直线BC 1．(3)解：如图三，取BC 的中点O ，连接GO ，则12GO BD ==∴点G 在以O 为圆心，当三角板DEB 绕点B 顺时针由初始位置旋转到点C 、B 、D 首次在同一条直线上时，点G 所经过的轨迹为150︒所对的圆弧，圆弧长为1502360π⨯=．∴点G ． (4)解：由（3）知，点G 在以O如图四，过O 作OH ⊥AB 于H ，当G 在OH 的反向延长线上时，GH 最大，即点G 到直线AB 的距离的最大，在Rt △BOH 中，∠BHO =90°，∠OBH =30°，12BO BC =，∴sin sin30OH BO OBH =⋅∠︒∴GH OG OH =+即点G 到直线AB .。

人教版九年级数学上弧长和扇形面积同步测试含答案

人教版九年级数学上弧长和扇形面积同步测试含答案一、选择题1．假如一个扇形的弧长是π，半径是6，那么此扇形的圆心角为（）A．40° B．45° C．60° D．80°2．如图，已知▱ABCD的对角线BD=4cm，将▱ABCD绕其对称中心O旋转180°，则点D所转过的路径长为（）A．4π cm B．3π cm C．2π cm D．π cm3．如图，以等腰直角△ABC两锐角顶点A、B为圆心作等圆，⊙A与⊙B恰好外切，若AC=2，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（）A．B．C．D．4．钟面上的分针的长为1，从9点到9点30分，分针在钟面上扫过的面积是（）A．π B．π C．π D．π5．如图，将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°度后得到△AB′C′，点B通过的路径为弧BB′，若∠BAC=60°，AC=1，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．π6．如图所示，在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A离开原点后第一次落在x轴上时，点A运动的路径线与x轴围成的面积为（）A．B．C．π+1 D．7．如图，扇形AOB的半径为1，∠AOB=90°，以AB为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．8．如图，以AD为直径的半圆O通过Rt△ABC斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E，B、E是半圆弧的三等分点，弧BE的长为π，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．二、填空题9．如图是李大妈跳舞用的扇子，那个扇形AOB的圆心角∠O=120°，半径OA=3，则弧AB的长度为______（结果保留π）．10．如图，△ABC的三个顶点都在5×5的网格（2020•防城港）如图，实线部分是半径为15m的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都通过另一个圆的圆心，则游泳池的周长是______m．12．如图，以BC为直径的⊙O与△ABC的另两边分别相交于点D、E．若∠A=60°，BC=4，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留π）13．如图，AB切⊙O于点B，OA=2，∠OAB=30°，弦BC∥OA，劣弧的弧长为______．（结果保留π）14．如图，AB是⊙O的直径，弦AC=2，∠ABC=30°，则图中阴影部分的面积是______．15．如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，假如AB=1，那么曲线CDEF的长是______．16．如图，小方格差不多上边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为______．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E为BC边上的一点，以A为圆心，AE为半径的圆弧交AB于点D，交AC的延长于点F，若图中两个阴影部分的面积相等，则AF的长为______（结果保留根号）．18．如图，AB是半圆O的直径，且AB=8，点C为半圆上的一点．将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积是______．（结果保留π）三、解答题19．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．（1）求∠ABC的度数；（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）当BC=4时，求劣弧AC的长．20．如图所示，在矩形ABCD 中，AB=1，AD=，以BC 的中点E 为圆心的与AD 相切，则图中阴影部分的面积是多少？21．如图，在⊙O 中，弦BC 垂直于半径OA ，垂足为E ，D 是优弧上一点，连接 BD ，AD ，OC ，∠ADB=30°．（1）求∠AOC 的度数；（2）若弦BC=6cm ，求图中阴影部分的面积．22．（2010•温州）如图，在正方形ABCD 中，AB=4，O 为对角线BD 的中点，分别以OB ，OD 为直径作⊙O 1，⊙O 2．（1）求⊙O 1的半径；（2）求图中阴影部分的面积．23．如图，在平面直角坐标系中，以A （5，1）为圆心，以2个单位长度为半径的⊙A 交x 轴于点B 、C ，解答下列问题：（1）将⊙A 向左平移______个单位长度与y 轴首次相切，得到⊙A′，现在点A′的坐标为______，阴影部分的面积S=______；（2）求BC的长．《24.4 弧长和扇形面积》参考答案与试题解析一、选择题1．假如一个扇形的弧长是π，半径是6，那么此扇形的圆心角为（）A．40° B．45° C．60° D．80°【解答】解：∵弧长l=，∴n===40°．故选A．2．如图，已知▱ABCD的对角线BD=4cm，将▱ABCD绕其对称中心O旋转180°，则点D所转过的路径长为（）A．4π cm B．3π cm C．2π cm D．π cm【解答】解：将▱ABCD绕其对称中心O旋转180°，点D所转过的路径为以BD为直径的半圆，∴其长度为==2πcm．故选：C．3．如图，以等腰直角△ABC两锐角顶点A、B为圆心作等圆，⊙A与⊙B恰好外切，若AC=2，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：∵AC=2，△ABC 是等腰直角三角形，∴AB=2，∵⊙A 与⊙B 恰好外切且是等圆，∴两个扇形（即阴影部分）的面积之和=+==πR 2=．故选B ．4．钟面上的分针的长为1，从9点到9点30分，分针在钟面上扫过的面积是（）A ．πB ．πC ．πD ．π【解答】解：从9点到9点30分分针扫过的扇形的圆心角是180°，则分针在钟面上扫过的面积是： =π．故选：A ．5．如图，将含60°角的直角三角板ABC 绕顶点A 顺时针旋转45°度后得到△AB′C′，点B 通过的路径为弧BB′，若∠BAC=60°，AC=1，则图中阴影部分的面积是（）A ．B ．C ．D ．π【解答】解：如图，∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=1， ∴BC=ACtan60°=1×=，AB=2 ∴S △ABC =AC •BC=．依照旋转的性质知△ABC ≌△AB′C′，则S △ABC =S △AB′C′，AB=AB′．∴S 阴影=S 扇形ABB′+S △AB′C′﹣S △ABC ==．故选：A ．6．如图所示，在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD ，将正方形ABCD 沿x 轴的正方向无滑动的在x 轴上滚动，当点A 离开原点后第一次落在x 轴上时，点A 运动的路径线与x 轴围成的面积为（）A ．B ．C ．π+1D ．【解答】解：如图所示：点A 运动的路径线与x 轴围成的面积=S 1+S 2+S 3+2a=+++2×（×1×1）=π+1．故选C ．7．如图，扇形AOB 的半径为1，∠AOB=90°，以AB 为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：在Rt △AOB 中，AB==， S 半圆=π×（）2=π，S △AOB =OB ×OA=，S 扇形OBA ==，故S 阴影=S 半圆+S △AOB ﹣S 扇形AOB =．故选C ．8．如图，以AD 为直径的半圆O 通过Rt △ABC 斜边AB 的两个端点，交直角边AC 于点E ，B 、E 是半圆弧的三等分点，弧BE 的长为π，则图中阴影部分的面积为（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：连接BD ，BE ，BO ，EO ，∵B ，E 是半圆弧的三等分点，∴∠EOA=∠EOB=∠BOD=60°，∴∠BAC=∠EBA=30°，∴BE ∥AD ，∵弧BE 的长为π， ∴=π，解得：R=2， ∴AB=ADcos30°=2， ∴BC=AB=， ∴AC==3，∴S △ABC =×BC ×AC=××3=， ∵△BOE 和△ABE 同底等高，∴△BOE 和△ABE 面积相等，∴图中阴影部分的面积为：S △ABC ﹣S 扇形BOE =﹣=﹣．故选：D ．二、填空题9．如图是李大妈跳舞用的扇子，那个扇形AOB 的圆心角∠O=120°，半径OA=3，则弧AB 的长度为 2π （结果保留π）．【解答】解：∵那个扇形AOB 的圆心角∠O=120°，半径OA=3，∴弧AB 的长度为：=2π．故答案为：2π．10．如图，△ABC 的三个顶点都在5×5的网格（2020•防城港）如图，实线部分是半径为15m 的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都通过另一个圆的圆心，则游泳池的周长是 40π m ．【解答】解：：如图，连接O 1O 2，CD ，CO 2，∵O 1O 2=C02=CO 1=15m ，∴∠C02O 1=60°，∴∠C02D=120°，则圆O 1，O 2的圆心角为360°﹣120°=240°，则游泳池的周长为=2×=2×=40π（m ）．故答案为：40π．12．如图，以BC为直径的⊙O与△ABC的另两边分别相交于点D、E．若∠A=60°，BC=4，则图中阴影部分的面积为π．（结果保留π）【解答】解：∵△ABC中，∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣60°=120°，∵△OBD、△OCE是等腰三角形，∴∠BDO+∠CEO=∠ABC+∠ACB=120°，∴∠BOD+∠COE=360°﹣（∠BDO+∠CEO）﹣（∠ABC+∠ACB）=360°﹣120°﹣120°=120°，∵BC=4，∴OB=OC=2，==π．∴S阴影故答案为：π．13．如图，AB切⊙O于点B，OA=2，∠OAB=30°，弦BC∥OA，劣弧的弧长为π．（结果保留π）【解答】解：连接OB，OC，∵AB为圆O的切线，∴∠ABO=90°，在Rt△ABO中，OA=2，∠OAB=30°，∴OB=1，∠AOB=60°，∵BC∥OA，∴∠OBC=∠AOB=60°，又OB=OC，∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC=60°，则劣弧长为=π．故答案为：π14．如图，AB是⊙O的直径，弦AC=2，∠ABC=30°，则图中阴影部分的面积是﹣．【解答】解：如图，连接OC．∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=30°∴∠BOC=180°﹣30°﹣30°=120°．又∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴在Rt△ABC中，AC=2，∠ABC=30°，则AB=2AC=4，BC==2．∵OC 是△ABC 斜边上的中线，∴S △BOC =S △ABC =×AC •BC=×2×2=． ∴S 阴影=S 扇形OBC ﹣S △BOC =﹣=﹣．故答案是：﹣．15．如图，△ABC 是正三角形，曲线CDEF 叫做正三角形的渐开线，其中弧CD 、弧DE 、弧EF 的圆心依次是A 、B 、C ，假如AB=1，那么曲线CDEF 的长是 4π ．【解答】解：弧CD 的长是=，弧DE 的长是：=，弧EF 的长是：=2π，则曲线CDEF 的长是：++2π=4π．故答案为：4π．16．如图，小方格差不多上边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为 2π﹣4 ．【解答】解：由题意得，阴影部分面积=2（S 扇形AOB ﹣S △AOB ）=2（﹣×2×2）=2π﹣4．故答案为：2π﹣4．17．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E 为BC 边上的一点，以A 为圆心，AE 为半径的圆弧交AB 于点D ，交AC 的延长于点F ，若图中两个阴影部分的面积相等，则AF 的长为（结果保留根号）．【解答】解：∵图中两个阴影部分的面积相等， ∴S 扇形ADF =S △ABC ，即：=×AC ×BC ，又∵AC=BC=1，∴AF 2=， ∴AF=．故答案为．18．如图，AB 是半圆O 的直径，且AB=8，点C 为半圆上的一点．将此半圆沿BC 所在的直线折叠，若圆弧BC 恰好过圆心O ，则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）【解答】解：过点O 作OD ⊥BC 于点D ，交于点E ，连接OC ，则点E 是的中点，由折叠的性质可得点O 为的中点， ∴S 弓形BO =S 弓形CO ，在Rt △BOD 中，OD=DE=R=2，OB=R=4，∴∠OBD=30°，∴∠AOC=60°，∴S 阴影=S 扇形AOC ==．故答案为：．三、解答题19．（2020•义乌市）如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，点E 在⊙O 外，∠EAC=∠D=60°．（1）求∠ABC 的度数；（2）求证：AE 是⊙O 的切线；（3）当BC=4时，求劣弧AC 的长．【解答】解：（1）∵∠ABC 与∠D 差不多上弧AC 所对的圆周角，∴∠ABC=∠D=60°；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∴∠BAC=30°，∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，即BA⊥AE，∴AE是⊙O的切线；（3）如图，连接OC，∵∠ABC=60°，∴∠AOC=120°，∴劣弧AC的长为．20．如图所示，在矩形ABCD中，AB=1，AD=，以BC的中点E为圆心的与AD相切，则图中阴影部分的面积是多少？【解答】解：连接PE，∵AD切⊙E于P点，∴PE⊥AD，∵∠A=∠B=90°，∴四边形ABEP为矩形，∴PE=AB=1，∴ME=1，∵E为BC的中点，∴BE=BC=，在Rt△MBE中，cos∠MEB==，∴∠MEB=30°，同理，∠CEN=30°，∴∠MEN=120°，S===．扇形21．如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧上一点，连接 BD，AD，OC，∠ADB=30°．（1）求∠AOC的度数；（2）若弦BC=6cm，求图中阴影部分的面积．【解答】解：（1）连接OB，∵BC⊥OA，∴BE=CE， =，又∵∠ADB=30°，∴∠AOC=∠AOB=2∠ADB，∴∠AOC=60°；（2）∵BC=6，∴CE=BC=3，在Rt △OCE 中，OC==2， ∴OE===， ∵=， ∴∠BOC=2∠AOC=120°，∴S 阴影=S 扇形OBC ﹣S △OBC =×π×（2）2﹣×6×=4π﹣3（cm 2）．22．（2010•温州）如图，在正方形ABCD 中，AB=4，O 为对角线BD 的中点，分别以OB ，OD 为直径作⊙O 1，⊙O 2．（1）求⊙O 1的半径；（2）求图中阴影部分的面积．【解答】解：（1）在正方形ABCD 中，AB=AD=4，∠A=90°，∴BD==4∴BO 1=BD=∴⊙O 1的半径=．（2）设线段AB 与圆O 1的另一个交点是E ，连接O 1E∵BD 为正方形ABCD 的对角线∴∠ABO=45°∵O 1E=O 1B∴∠BEO 1=∠EBO 1=45°∴∠BO 1E=90°∴S 1=S 扇形O1BE ﹣S △O1BE ==﹣1依照图形的对称性得：S 1=S 2=S 3=S 4∴S 阴影=4S 1=2π﹣4．23．如图，在平面直角坐标系中，以A （5，1）为圆心，以2个单位长度为半径的⊙A 交x 轴于点B 、C ，解答下列问题：（1）将⊙A 向左平移 3 个单位长度与y 轴首次相切，得到⊙A′，现在点A′的坐标为（2，1），阴影部分的面积S= 6 ；（2）求BC 的长．【解答】解：（1）依照直线和圆相切的位置关系与数量之间的联系，得点A′的坐标是（2，1）；则移动的距离是5﹣2=3；依照平移变换的性质，则阴影部分的面积即为图中平行四边形的面积=2×3=6；（2）如图，连接AC，过点A作AD⊥BC于点D，则BC=2DC．由A（5，1）可得AD=1．又∵半径AC=2，∴在Rt△ADC中，DC=∴BC=2．。

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弧长和扇形面积及圆锥、圆柱面积
一、温故而知新
1、（2009 旅顺）若圆锥的底面周长为20π，侧面展开后所得扇形的圆心角为120°，则圆锥的侧面积为．
2、（2009 海南）正方形ABCD的边长为2cm，以B点为圆心，AB长为半径作AC，则图中阴影部分的面积为（）
A、（4—π）cm2
B、（8—π）cm2
C 、（2π—4）cm2 D、（π—2）cm2
3、（2008 山西）要在面积为1256m2的三角形广场ABC
的三个角处各建一个半径相同的扇形草坪，要求
草坪总面积为广场面积的一半，那么扇形的半径
应是 m（π取3.14）
4、（2009 陕西）已知圆柱的底面半径为3，高为8，求得这个圆柱的侧面积为（）
A、48π
B、48
C、24π
D、24
二、考点解读
（1）、考点
1、圆周长：C=2πR
2、弧长：L= 1
180
nπR
3、扇形面积：S=1
360nπR2=1
2
LR
4、圆柱的侧面积 S=2πr·h （r是底面积，r是底面半径）
S表 =S侧 + 2S底=2πr·h+ 2πr2
5、圆锥的侧面积 S=1
2
L·2πr=πrL（L是母线，r是底面半径）
S表=S侧 + S底=πrL+πr2
（2）、难点
1、圆锥、圆柱侧面展开图的计算
2、弓形面积的求法：①当弓形的弧是劣弧时 S弓形=S扇形－S▲②当弓形的弧是优弧时S弓形=S扇形+S▲
2、阴影部分面积的计算：阴影部分的面积一般是不规则图形的面积，一般不能直接利用公式，常采用①割补法②拼凑法③等积变形法
二、例题讲解
1、如图，圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，求这个圆锥的
侧面积．
解：根据条件得：圆锥母线长为10cm，所以圆锥侧
面积为：
S=πrL=π·6·10=60π
变式题：如图，圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，
则将该圆锥沿母线剪开后所得扇形对应的圆心角为
2、AB是⊙O的直径，点D、E是半圆的三等分点，AE、
BD的延长线交于点C，若CE=2，则图中阴影部分的
面积是（）
A、4
3π－3B、2
3
π
C、2
3π－3 D、1
3
π
解、∵AE ED DB
==∴∠A=∠ABC=600∴△ABC是等边三角形又 AB是⊙O的直径∴∠AEB=900
即 BE⊥AE，∴AC=2CE=4=AB
∴S阴=S扇形OBE－S▲ABE=4
3
π－3
故选A
变式题：AB是⊙O的直径，点D、E是半圆的三等分
点，AE、BD的延长线交于点C，若OA=2，则图中阴
影部分的面积是（）
3、已知矩形ABCD的一边AB=5cm,另一边AD=2cm，求：
以直线AB为轴旋转一周，所得到的圆柱的表面积
解：C=2π·AD=4π(cm)
S=2π·AD2+C·AB=28π(cm2)
变式题：已知矩形ABCD的一边AB=10πcm,另一边AD=4cm，求：将BC、AD边重合后所得圆柱的体积
三、中考视窗
1、（2009 广东）如图，已知圆柱体底面圆的半径为
π
2，高为2，AB、CD分别是两底面的直径，AD、BC是母线若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短D路线的长度是(结果保留根式)．
解、小虫爬行的最短路线的长度是=22
22
+
=22
2 如图，已知△ABC，AC＝BC＝6，∠C＝90°．O
是AB的中点，⊙O与AC相切于点D、与BC相切于点E．设⊙O 交OB于F，连DF并延长交CB的延长线于G．
（1）∠BFG与∠BGF是否相等？为什么？
（2）求由DG、GE和弧ED围成图形的面积（阴影部分）．
解：（1）∠BFG＝∠BGF
连OD，∵OD＝OF（⊙O的半径），
∴∠ODF＝∠OFD
∵⊙O与AC相切于点D，∴OD⊥AC
又∵∠C＝90°，即GC⊥AC，OD∥GC
∴∠BGF＝∠ODF
又∵∠BFG＝∠OFD，∴∠BFG＝∠BGF A
B
C
D E
F
G
O
A
B
C
D E
F
G
O
（2）连OE ，则ODCE 为正方形且边长为3
∵∠BFG ＝∠BGF ∴BG ＝BF ＝OB －OF ＝3
2
－3
∴阴影部分的面积＝△DCG 的面积－(正方形ODCE 的面积－扇形ODE 的面积) ＝2
1·3·(3＋32
)－(32－41π·32)＝π4
9＋229
－4
9 四、牛刀小试
1、钟表的轴心到分针针端的长为5cm ，那么经过40分钟，分针针端转过的弧长是
（A ）cm 3
10π （B ）cm 320π （C ）cm 325π （D ）cm 3
50π
2、已知圆锥侧面展开图的圆心角为90°，则该圆锥的底面半径与母线长的比为（）
A ．1：2
B ．2：1
C ．1：4
D ．4：1
3、如图，在△ABC 中，BC ＝4，以点A 为圆心、2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于E ，交 AC 于F ，点P 是⊙A 上的一点，且∠EPF ＝40°，则图中阴影部分的面积是（）．
A ．4－9
4π B ．4－9
8π C ．8－9
4π D ．8－9
8π
4圆锥的底面半径为3cm ，母线长为5cm ，则它的侧面积为（） A. 60πcm 2 B. 45πcm 2 C. 30πcm 2 D15πcm 2、
5、如图1，O 为圆柱形木块底面的圆心，过底面的一条弦AD ，沿母
线AB剖开，得剖面矩形ABCD，AD＝24 cm，AB＝25 cm．若的2，如图2所示．
长为底面周长的
3
(1)求⊙O的半径；）
(2)求这个圆柱形木块的表面积．(结果可保留和根号)
六、总结、反思、感悟
弧长和扇形面积及圆锥、圆柱面积答案
温故知新：1、A 2、A 3、2 4、300π
例题变式题：
1、216o
解：22
（cm）
68
C=2πr=12π
∴n=00180216C
L
π= 2、解：∵AE ED DB ==
∴ ∠AOE=600, ∠BOE=1200
又 AB 是⊙O 的直径 ∴∠AEB=900 ，即 BE ⊥AE ，O 为AB 中点
∴S △AOE = S △OBE
∵D 、E 是半圆的三等分点 ∴ S 弓AE = S 弓BD ，
∴ S 阴= S 弓BE - S 弓BD = S 弓BE - S 弓AE
=（ S 扇BE - S △OBE ）-（ S 扇AE - S △AOE ）
= S 扇BE - S 扇AE
=
1360·120π·22-1360·60π·22
=2
3
π
3．
解：R=2AB
π
=5(cm)
V=π·R 2·AD=100π(cm 3)
牛刀小试：1、A 2、C 3、B 4、D 5、（1）连接0A ，过点O 作OH ⊥AD ∵的长是底面圆周长的32
∴∠AOD=1200 在Rt ▲AHO 中，AO=
12
sin 603 （2）S 表=2π·AO ·AB+2π·AO 2=（3）π。