无穷的困惑

无穷的困惑∙∙安培环路定理∙1楼1楼经常有人发贴问一些关于无穷的问题，这些问题看似简单，却是比较难弄懂的。

然而每个人都有各自的观点，无论是高深、肤浅、对的还是错的，都在帖子里面讨论，对于一些基础不扎实的吧友来说，很难从这些高低对错的纷乱讨论中保持清醒，得到一些启发，更毋庸谈初学者进来找答案了。

于是，为了避免一些弯路和错误，帮助初学者，这里就有必要总结，澄清一些观点，供大家参考。

好了，废话不多说，进入主题----无论是问问题还是解决问题，首要的是要把对象先弄明白，那么概念就很重要了（无论哪门学科）。

别小瞧，问题的入口就在这里。

一旦概念不清晰，很容易弄错，并且还毫不察觉。

一个很明显的例子就是那个贝特朗的著名的概率悖论（关键是“平均（等概率）”的含义如何解释）。

1.无穷&极限“无穷”其实在众人眼里是个很普通的名词，不就是一直运动下去，没有尽头的意思吗？对的，那是第一印象，很直观。

但这仅仅是在日常口头语言或者学文学书面上的应用而已，到了理科尤其是数学这样以严谨著称的地方，就不再那么简单了。

其实问题的关键在于“无穷”这个概念隐含着两种意思：一是“潜无穷”，即把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着被不断产生出来的过程。

它永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在；二是“实无穷”，即把无限对象看成为可以自我完成的过程或无穷整体。

例如全体自然数在实无穷观点中认为是存在的（自然集）。

而在潜无穷观中，不存在这样一个整体（自然数集、合），因为无论多大的数，我总可以构造比它更大的，因而这个集.合永远都在构造之中。

（不过以上两种定义跟数学中集.合、平面、直线等概念的定义情况一样，不是严格的数学上的定义，只是一种描述性的定义。

）这两种无穷观在古代早就有争论，缘起于芝诺的几著名的个悖论（其实质就是争论承认何种无穷观）。

芝诺本人摇摆不定，总是为难你，当你承认潜无穷观，就拿出潜无穷悖论来反驳；如果你承认是无穷观，就拿出相应的悖论反驳。

一直以来，这两种无穷观造成不可调和的矛盾一直困扰着数学家们（哲学家也不例外）。

直到微积分刚建立时候，尖锐矛盾再次被提出。

于是加紧努力下，几百年后，一个崭新的分析学----标准分析学出世了。

它的微积分领域完全抛弃了这两种无穷观，避而不谈（所以现行教材中根本没听说这样的东西，有些人甚至还不知道有两种无穷观），而是采取了“极限”这一技巧手法，通过繁琐的ε-δ手续进行带有描述性地数学定义和论证无穷问题。

而实数体系，只承认实无穷观的前提下（完全抛弃无穷小量），康托和戴德金的理论下也十分和谐了。

看起来似乎解决了矛盾，其实没有真正解决。

“极限”词本身包含着“极限值”的意思，这就确定“极限”同时具有形容词和名词双重性质。

前者是描述一种运动趋势过程、状态，后者则是一个对象，一个数值。

那么，在数学定义里面用到极限，其实根本还是没能解决那个古老的难题，因为只是换种方式进行巧妙躲避（“极限”的两种含义分别包含“潜无穷”和“实无穷”）。

而在运算过程中，比如极限的计算，还有级数求和的计算，都是想用哪个就用哪个，左右逢源。

但是我们又能如何呢？没有办法，只能这样。

有的不甘心的数学家还是想出来了法子----那就是非标准分析学，完全恢复无穷小的数学地位，另辟蹊径独创一个天地。

这两种无穷观是相反的，那么种才是正确的呢？其实这个自古的争论，到现在还没有解决。

就好比光的波粒二象性一样，没有绝对的谁对谁错。

由此带来的那些悖论中提到的“时空是否无限可分”，也没有个答案。

∙ 2010-7-29 10:49∙ 回复∙∙ 安培环路定理∙ 2楼 2楼2.无穷小相关上面已经说到了一些，这里谈的是概念问题。

“无穷小”是什么意思？---无穷接近但不等于零。

这是最原始的定义，表述的是一种趋势，一种状态的描述。

现在的分析学上定义是，以0为极限的变量（不说是否等于0），叫做“无穷小量”。

其实上面引出了一个问题，那就是“无穷小量”和“无穷小”是不是同一个东西？有人说是，这只是简称而已。

有人说不是，完全不是同一个东西。

根据极限的定义，我们知道无穷小量的这个“量”，是个有极限的“变量”。

既然是变量，那么对应的无穷小的一个数量存在吗？也就是说，它能变化到那个非零的要多小有多小的那个量吗？不存在。

因为根据标准分学，在实数理论中没有无穷小量的位置。

事实上，康托本人就曾经证明过承认无穷小的数的概念与实数中的阿基米德公理相是矛盾的。

这样看来，无穷小量和无穷小是同一个意思。

但是在微积分部分，如前所述，潜无穷小和实无穷小（就是0）同时存在（总是任意解读最有利的那个，因此无穷小量还是保留两个意义了）。

因此，当我们讲到无穷小或者无穷小量的时候，都是指一种变化趋势，而在特殊情况下可以用无穷小量的另一个意义，那就是数字0（这就是两者的不同之处）。

3.无穷大相关这个东西有点特别。

和无穷小如此相似的一个词——无穷大——和通常人们的误解不同的是，其实它并不是无穷小这个词在概念上的对偶（尽管乍一看似乎此）。

事实上，从某种意义而言，说它是数字0的对偶也许更为恰当一些。

同无穷小有点不同，人们大多把“无穷”这个词默认为”无穷大”的简称。

然而这里的“无穷大”同样也有两个含义----无穷大（抽象概念）和无穷大量，后者在现行标准分析学中用极限定义（不过没有对应的极限值）。

先说抽象意义下的无穷大。

我们看看无穷级数求和的过程。

对于定义上来说，求一个无穷多个数的和，我们最原始的办法是一个一个的加，就像学两个数的加法递推到三个、四个…数的加法一样，按自然数的顺序，一个一个加起来，一直下去。

如果这个和随着n的增大而变化，最终有极限的话，那个极限值（实无穷）才是它的真正“和”的意义下的结果。

而我们在微积分里面通常不那么做，而是先算出通式来，再代之以无穷大量（假想作一个具体的"数"，实际上不存在这样的数），算出极限结果，并承认它们是相等的（即用实无穷）。

请注意这段话的含义，当我们用自然语言说能把无穷个数加起来的时候，其实意味着能像属自然数一样递推地加下去。

因此这里的“无穷（个）”是一个递归的趋势过程，属于抽象概念，而不是具体的数量（无穷大量），所以它必须是“可数”的。

也就是说，只有可数的无穷大才能运算出结果，不可数的无法算出（没有意义）。

很多悖论和问题都是因为没有确切描述而产生的。

比如阿基里斯追乌龟问题、一条线段包含无限个点，但是长度却是有限的，等等。

那么什么样的才是可数无穷呢？再说“无穷大量”的意义下的无穷大。

无穷大量不像无穷小量一样有一个具体存在的数作为极限来定义，于是人们有时候把无穷大量在做运算时候当做一个数（实无穷），就像把无穷小量用0去代换一样。

但是必须明确的是，无穷大量不是一个实数，在实数集中不存在任何数比其他所有数更大，因此似乎这儿的“无穷大量”只能用潜无穷的意义，那么这里的无穷大量从某种意义上讲，同抽象意义的无穷大是一个意思，但是在特殊情况下，无穷大量仍可作为一个实无穷来运用，这就是与抽象的无穷大不同之处。

∙2010-7-29 10:49∙回复∙∙安培环路定理∙3楼说完这两种意义的“无穷大”，于是便出现两组概念：“实无穷”“潜无穷”和“可数无穷”“不可数无穷”。

但是千万要注意：作为一个极限过程的“潜无穷”和由此产生作为一个数学对象（比如极限值）的“实无穷”是一码事；而作为一个集.合的势的“可数无穷”或者“不可数无穷”又是另一码事。

不同于前者的“无穷大”，后者（可数与不可数无穷）其实应该被称为“无穷多”才对，只是人们通常混为一谈。

类似常见的情况是，人们常常自以为是地使用很多词却罔顾自己是不是了解它们的真实含义，从而导致混乱与争论。

我们这里就有必要讨论一下关于测度和级数收敛的两个问题。

我们说，没有长度的无穷个点怎么可能组成有限长度的的线段呢？这是因为，首先，这些无穷个点是不可数的（是连续统），我们不能按照一个一个加起来作为最后的结果；直线构成面，面构成体，都是同样的道理。

也就是说，最后的结果是个重新定义的测度结果（跟它内部过程无关），这就容易理解经过不可数无穷个中点的飞矢竟然能完成这段路程。

级数收敛，这个概念有个疑问，那就是“收敛”到底是指无穷接近（潜无穷）还是实在的等于（实无穷）？现在的标准数学分析中认为是实无穷。

如果是潜无穷，那么就不能用“=”把式子左右连接起来，而我们计算的过程中左边是可数无穷个数的和，右边是计算化简后用极限值（可以算出具体的数），这就是说，左边的和如果存在具体的数（不是无穷大量），那么就等于右边的极限值（实无穷）。

因此“收敛”的意义不是“潜无穷”，而是可以完成的实无穷，实实在在的等于。

从这点也可以解释阿基里斯追乌龟问题，因为这个过程（根据实际情况）是可以完成的无限过程，能追上；但是假若你只承认潜无穷的话，那么就相当于认为追不上。

总结：·无穷大和无穷小都含有好几层含义，用的时候自己要弄清楚，表达的时候也要表述清楚。

否则容易出现错误。

·一般代数中处理的是有限数，至多是潜无穷,无法处理实无穷。

数学归纳法的应用范围最多也是潜无穷（因为数学归纳法本身就是一个无穷做下去的过程，不能停止）。

而现行标准分析学中，微积分中处理的主要是实无穷，有时候用潜无穷；实数理论体系中只承认实无穷。

·在运算中，只能算出可数无穷的类型，对于不可数无穷没有意义（得不出有严格定义的结果），但是可以另外定义结果。

∙ 2010-7-29 10:49∙ 回复∙∙ 安培环路定理∙ 4楼 3楼 好了，弄清楚了概念问题，我们再来解决曾经问到过的一些疑问。

1、无穷个无穷小之乘积的结果2、无穷个无穷大的和的结果3、无穷个无穷大之乘积的结果这里需要注意的是，不定式只有以下几个形式(不要随便乱添加):0/0,inf/inf,0*inf,inf-inf,inf+inf,1^inf,inf^0,0^0这里面没有“0^inf”（这也可由下文可知，这是可数无穷个无穷小量积的情形，它的值是无穷小量，而不是不定的）。

而且“无穷个某某的和”跟“某某乘以无穷大”、“无穷个某某的乘积”跟“某某的无穷大量次方”的意义是不一样的。

对于以上3个问题，严格意义下，只能有如下答案供选择：1)结果是无穷小（量）2)结果是无穷大（量）3)结果不定问题一我们先分析题目，“无穷个无穷小之乘积”与“无穷个无穷小量之乘积”有什么不同。

前一个表述中的“无穷小”要么包含了两个意思（否则就混乱了），要么只是极限趋势的意思。

后一种表述就清楚了，明确指出“无穷小量”，而不是包含两种意思。

因此，我们把题目理解为后者（以后几个问题也同样处理）。

再来考虑“无穷个”的意思，如上面所讲到的，必须确定到底是指可数无穷还是不可数无穷？显然对于不可数无穷，问题就没有意义了（结果是不定的），因此只能讨论可数无穷。