1.3.1案例1辗转相除法与更相减损术教案(人教A版必修3)
高中数学 1.3.1 辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法素材 新人教A版必修3
1.3.1辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法
教学建议
1.关于辗转相除法和更相减损术的教学.
建议教师通过实例让学生清楚地认识辗转相除法与更相减损术的过程与原理,然后让学生自己用程序框图和算法语句来表示求解过程,以加深学生对所学知识的理解.
2.关于秦九韶算法的教学.
建议教师在教学时通过探讨多项式求值的算法引入本课时内容,这样可以建立一个评价算法好坏的标准,通过计算乘法与加法运算的次数来说明秦九韶算法的妙处所在.通过程序的演示过程体现计算机辅助学习的重要应用,也激发学生探讨算法的潜在能力.。
1.3.1 算法案例---辗转相除法与更相减损术
第一课时 1.3.1 算法案例---辗转相除法与更相减损术教学要求：理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析； 基本能根据算法语句与程序框图的知识设计出辗转相除法与更相减损术完整的程序框图并写出它们的算法程序.教学重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法.教学难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言.教学过程：一、复习准备：1. 回顾算法的三种表述：自然语言、程序框图（三种逻辑结构）、程序语言（五种基本语句）.2. 提问：①小学学过的求两个数最大公约数的方法？（先用两个公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来.）口算出36和64的最大公约数. ②除了用这种方法外还有没有其它方法？6436128=⨯+ ，36∴和28的最大公约数就是64和36的最大公约数，反复进行这个步骤，直至842=⨯，得出4即是36和64的最大公约数.二、讲授新课：1. 教学辗转相除法：例1：求两个正数1424和801的最大公约数.分析：可以利用除法将大数化小，然后逐步找出两数的最大公约数. （适用于两数较大时） ①以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法，也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的. 利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：（1）用较大的数m 除以较小的数n 得到一个商0S 和一个余数0R ；（2）若0R ＝0，则n 为m ，n的最大公约数；若0R ≠0，则用除数n 除以余数0R 得到一个商1S 和一个余数1R ；（3）若1R ＝0，则1R 为m ，n 的最大公约数；若1R ≠0，则用除数0R 除以余数1R 得到一个商2S 和一个余数2R ；……依次计算直至n R ＝0，此时所得到的1n R -即为所求的最大公约数.②由上述步骤可以看出，辗转相除法中的除法是一个反复执行的步骤，且执行次数由余数是否等于0来决定，所以我们可以把它看成一个循环体，它的程序框图如右图：（师生共析，写出辗转相除法完整的程序框图和程序语言）练习：求两个正数8251和2146的最大公约数. （乘法格式、除法格式）2. 教学更相减损术：我国早期也有求最大公约数问题的算法，就是更相减损术. 在《九章算术》中有更相减损术求最大公约数的步骤：可半者半之，不可半者，副置分母•子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.翻译为：（1）任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数. 若是，用2约简；若不是，执行第二步.（2）以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数. 继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数. 例2：用更相减损术求91和49的最大公约数.分析：更相减损术是利用减法将大数化小，直到所得数相等时，这个数（等数）就是所求的最大公约数. （反思：辗转相除法与更相减损术是否存在相通的地方）练习：用更相减损术求72和168的最大公约数.3. 小结：辗转相除法与更相减损术及比较①都是求最大公约数的方法，辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少；②结果上，辗转相除法体现结果是以相除余数为0得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到.三、巩固练习：1、练习：教材P35第1题 2、作业：教材P38第1题第二课时 1.3.2 算法案例---秦九韶算法教学要求：了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数、提高计算效率的实质；理解数学算法与计算机算法的区别，理解计算机对数学的辅助作用. 教学重点：秦九韶算法的特点及其程序设计.教学难点：秦九韶算法的先进性理解及其程序设计.教学过程：一、复习准备：1. 分别用辗转相除法和更相减损术求出两个正数623和1513的最大公约数.2. 设计一个求多项式5432()254367f x x x x x x =--+-+当5x =时的值的算法. （学生自己提出一般的解决方案：将5x =代入多项式进行计算即可）提问：上述算法在计算时共用了多少次乘法运算？多少次加法运算？此方案有何优缺点？(上述算法一共做了5＋4＋3＋2＋1＝15次乘法运算，5次加法运算. 优点是简单、易懂；缺点是不通用，不能解决任意多项式的求值问题，而且计算效率不高.)二、讲授新课：1. 教学秦九韶算法：① 提问：在计算x 的幂值时，可以利用前面的计算结果，以减少计算量，即先计算2x ，然后依次计算2x x ⋅，2()x x x ⋅⋅，2(())x x x x ⋅⋅⋅的值，这样计算上述多项式的值，一共需要多少次乘法，多少次加法?（上述算法一共做了4次乘法运算，5次加法运算）② 结论：第二种做法与第一种做法相比，乘法的运算次数减少了，因而能提高运算效率，而且对于计算机来说，做一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得多，因此第二种做法能更快地得到结果.③ 更有效的一种算法是：将多项式变形为：5432()254367((((25)4)3)6)7f x x x x x x x x x x x =--+-+=--+-+，依次计算2555⨯-=，55421⨯-=，2153108⨯+=，10856534⨯-=，534572677⨯+= 故(5)2677f =. ――这种算法就是“秦九韶算法”. （注意变形，强调格式）④ 练习：用秦九韶算法求多项式432()2351f x x x x x =+-++当4x =时的值. （学生板书→师生共评→教师提问：上述算法共需多少次乘法运算？多少次加法运算？）⑤ 如何用秦九韶算法完成一般多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ 的求值问题？改写：11101210()(()))n n n n n n n f x a x a x a x a a x a x a x a x a ----=++++=+++++ .首先计算最内层括号内一次多项式的值，即11n n v a x a -=+，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即212n v v x a -=+，323n v v x a -=+， ，10n n v v x a -=+.⑥ 结论：秦九韶算法将求n 次多项式的值转化为求n 个一次多项式的值，整个过程只需n 次乘法运算和n 次加法运算；观察上述n 个一次式，可发出k v 的计算要用到1k v -的值，若令0n v a =，可得到下列递推公式：01,(1,2,,)n kk n k v a v v x a k n --=⎧⎨=+=⎩ . 这是一个反复执行的步骤，因此可用循环结构来实现.⑦ 练习：用秦九韶算法求多项式5432()52 3.5 2.6 1.70.8f x x x x x x =++-+-当5x =时的值并画出程序框图.2. 小结：秦九韶算法的特点及其程序设计三、巩固练习：1、练习：教材P35第2题 2、作业：教材P36第2题第三课时 1.3.3 算法案例---进位制教学要求：了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换；学习各种进位制转换成十进制的计算方法，研究十进制转换为各种进位制的除k 去余法，并理解其中的数学规律.教学重点：各种进位制之间的互化.教学难点：除k 取余法的理解以及各进位制之间转换的程序框图及其程序的设计. 教学过程：一、复习准备：1. 试用秦九韶算法求多项式52()42f x x x =-+当3x =时的值，分析此过程共需多少次乘法运算？多少次加法运算？2. 提问：生活中我们常见的数字都是十进制的，但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的.比如时间和角度的单位用六十进位制,电子计算机用的是二进制，旧式的秤是十六进制的，计算一打数值时是12进制的......那么什么是进位制？不同的进位制之间又有什么联系呢？二、讲授新课：1. 教学进位制的概念：① 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，“满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几. 如：“满十进一”就是十进制，“满二进一”就是二进制 . 同一个数可以用不同的进位制来表示，比如：十进数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的. 表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示，如上例中：(2)(8)(16)1110017139==② 一般地，任意一个k 进制数都可以表示成不同位上数字与基数的幂的乘积之和的形式，即110110()110110...(0,0,...,,)n n n n k n n n n a a a a a k a a a k a k a ka k a k ----<<≤<=⨯+⨯+⨯+⨯ . 如：把(2)110011化为十进制数，(2)110011=1⨯25+1⨯24+0⨯23+0⨯22+1⨯21+1⨯20=32+16+2+1=51. 把八进制数(8)7348化为十进制数，3210(8)7348783848883816=⨯+⨯+⨯+⨯=.2. 教学进位制之间的互化：①例1：把二进制数(2)1001101化为十进制数.（学生板书→教师点评→师生共同总结将非十进制转为十进制数的方法）分析此过程的算法过程，编写过程的程序语言. 见P34②练习：将(5)2341、(3)121转化成十进制数.③例2、把89化为二进制数.分析：根据进位制的定义，二进制就是“满二进一”，可以用2连续去除89或所得商，然后取余数. （教师板书）上述方法也可以推广为把十进制化为k 进制数的算法,这种算法成为除k 取余法. ④练习：用除k 取余法将89化为四进制数、六进制数.⑤例3、把二进制数(2)11011.101化为十进制数.解：43210123(2)11011.101121202121212021227.625---=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（小数也可利用上述方法化进行不同进位制之间的互化. ）变式：化为八进制→方法：进制互化3. 小结：进位制的定义；进位制之间的互化.三、巩固练习：1、练习：教材P35第3题 2、作业：教材P38第3题第四课时 1.3.4 生活中的算法实例教学要求：通过生活实例进一步了解算法思想.教学重点：生活实例的算法分析.教学难点：算法思想的理解.教学过程：一、复习准备：1. 前面学习了哪几种算法案例？每种算法的作用及操作方法是怎样的？2. 算法思想在我们的生活中无处不在，如何利用我们所学习的知识解决生活中的实际问题？二、讲授新课：1. 霍奇森算法：提问：同学们经常会面对一个共同的问题，就是有时有太多的事情要做. 例如，你可能要面临好几门课的作业的最后期限，你如何合理安排以确保每门课的作业都能如期完成？如果根本不可能全部按期完成，你该怎么办？（霍奇森算法可以使得迟交作业的数目减到最小. 这一算法已经广泛应用于工业生产安排的实践中.）例如：当你拿到下面这组数据后，你会如何安排你的时间，以确保每门课的作业都能如期完成？可用自然语言描述为：①把这些作业按到期日的顺序从左到右排列，从最早到期的到最晚到期的；②假设从左到右一项一项做这些作业的话，计算出从开始到完成某一项作业时所花的时间. 依次做此计算直到完成了所列表中的全部作业而没有一项作业会超期，停止；或你算出某项作业将会超期，继续第三步；③考虑第一项将会超期的作业以及它左边的所有作业，从中取出花费时间最长的那项作业，并把它从表中去掉；④回到第二步，并重复第二到四步，直到做完.2. 孙子问题：韩信是秦末汉初的著名军事家. 据说有一次汉高祖刘邦在卫士的簇拥下来到练兵场，刘邦问韩信有什么办法，不要逐个报数，就能知道场上士兵的人数.韩信先令士兵排成了3列纵队进行操练，结果有2人多余；接着他立刻下令将队形改为5列纵 队，这一改又多出3人；随后他又下令改为7列纵队，这一次又剩下2人无法成整行. 由此得出共有士兵2333人. 如何用现在的算法思想分析这一过程？《孙子算经》中给出了它的具体解法，其步骤是：选定57⨯的倍数，被3除余1，即70；选定37⨯的一个倍数，被5除余1，即21；选定35⨯的一个倍数，被7除余1，即15. 然后按下式计算702213152105m p =⨯+⨯+⨯-，式中105为3,5,7的最小公倍数，p 为适当的整数，使得0105m <≤，这里取2p =.求解“孙子问题”的一种普通算法：第一步：2m =.第二步：若m 除以3余2，则执行第三步；否则1m m =+，执行第二步.第三步：若m 除以5余3，则执行第四步；否则1m m =+，执行第二步.第四步：若m 除以7余2，则执行第五步；否则1m m =+，执行第二步.第五步：输出m .3. 小结：算法的基本思想.三、巩固练习： 作业：教材P38第3题。
数学人教A版必修3课件：第一章 1.3 第1课时 辗转相除法与更相减损术
求三个正整数的最大公约数
典例 用辗转相除法和更相减损术两种方法，求三个数72,120,168的最大公 约数.
素养评析 (1)求多个正整数的最大公约数，先求两个数的最大公约数，再 求这个最大公约数与另一个数的最大公约数，依次类推. (2)求最大公约数，首先要设计运算方案，选择运算方法，求得运算结果， 所以说，这类题目是培养学生数学核心素养的重要内容.
3 达标检测
PART THREE
1.1 337与382的最大公约数是
A.3
√C.191
B.382 D.201
解析 1 337＝382×3＋191,382＝191×2，所以1 337与382的最大公约数是191.
12345
2.下列各组关于最大公约数的说法中不正确的是 A.16和12的最大公约数是4 B.102和84的最大公约数是6
√C.85和357的最大公约数是34
D.105和315的最大公约数是105 解析 85和357的最大公约数是17.
12345
3.用更相减损术求36与134的最大公约数，第一步应为_先__除__以__2_，__得__到__1_8_与__6_7__. 解析 ∵36与134都是偶数， ∴第一步应为先除以2，得到18与67. 4.已知a＝333，b＝24，则使得a＝bq＋r(q，r均为自然数，且0≤r＜b)成立的q 和r的值分别为__1_3_,2_1___. 解析 用333除以24，商即为q，余数就是r.333÷24＝13……21.
思考辨析 判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
1.辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数.( √ ) 2.求最大公约数的方法除辗转相除法之外，没有其他方法.( × ) 3.编写辗转相除法的程序时，要用到循环语句.( √ )
高中数学 第一章 算法初步 1.3.1 辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法课件 新人教A版必修3
v1=anx+an-1,然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即v2=v1x+an2,v3=v2x+an-3,…,vn=vn-1x+a0,这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求 n个一次多项式的值.
所以342与589的最大公约数为19.
答案:19
三、秦九韶算法 【问题思考】
1.已知多项式函数f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1,当x=5时 f(5)=55+54+53+52+5+1=3 906.这种计算求值的过程中乘法运算和 加法运算的次数分别是多少?
提示乘法运算10次,加法运算5次. 2.如果我们把上述多项式函数的解析式变形为 f(x)=((((x+1)x+1)x+1)x+1)x+1,计算当x=5时f(5)的值,再统计一下这 种计算求值的过程中乘法运算和加法运算的次数分别是多少. 提示乘法运算4次,加法运算5次.
3.填空:问题2中的算法比问题1中的算法少了6次乘法运算,大大
简化了运算过程.问题2中的算法就叫秦九韶算法.
一般地,
f(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+…+a1x+a0 =(anxn-1+an-1xn-2+an-2xn-3+…+a1)x+a0 =((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0 =…
1.3算法案例(辗转相除法、更相减损术与秦九韶算法)课件(人教A版必修3)
• 解析： f(x)＝(((((x－5)x＋6)x－3)x＋1.8)x＋ 0.35)x ＋ 2 ， v0 ＝ 1 ， v1 ＝ v0x － 5 ＝－ 6 ， v2 ＝ v1x＋6＝－6×(－1)＋6＝12，v3＝v2x－3＝ －15. • 答案：－15
• 类型三 算法思想的应用 • [ 例 4] 运用秦九韶算法求 7 次多项式 f(x) ＝ a7x7 ＋ a6x6 ＋ a5x5 ＋ a4x4 ＋ a3x3 ＋ a2x2 ＋ a1x ＋ a0 当 x ＝ x0 时 的 值 ， x0 ， a1 ～ a7 都由键盘输入，画出算法的程 序框图． • [解] 程序框图如图1所示： • [点评] 用秦九韶算法对一个n次多项 式变形，可以得到下面的表达式：
计算 方法
v3＝v2x＋an－3，
… vn＝
vn－1x＋a0 ，
这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求
n个一次多项式 的值
自我检测
• 1 ．用辗转相除法求 294 和 84 的最大公 约数时，需要做除法的次数是( ) • A ．1 B．2 • C．3 D．4
• 解析：294＝84×3＋42,84＝42×2＋0. • 答案：B
更相减损术
①都是求最大公约数的方法． 联 ②二者的实质都是递归的过程 系 ． ③二者都要用循环结构来实现.
• 注意：应用更相减损术时，相减之前 先判断两个数是否为偶数，若都是偶 数则要反复除 2 ，直至至少出现一个 奇数为止．最后的公约数也是相减之 后的数乘以约简数． • 2．秦九韶算法的特点 • 秦九韶算法的特点在于把求一个 n 次 多项式的值转化为求 n 个一次多项式 的 值 ， 即 把 求 f(x) ＝ anxn ＋ an － 1xn － 1 ＋…＋a1x＋a0的值转化为求递推公式：
高中数学 1.3.1算法案例辗转相除法与更相减损术教案 新人教A版必修3
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，
并辗转相减，如下图所示.
所以，98和63的最大公约数等于7.
思考2：上述求两个正整数的最大公约数的方法称为更相减损术.一般地，用更相减损术求两个正整数m，n的最大公约数，可以用什么逻辑结构来构造算法？
更相减损术，就是对于给定的两个正整数，用较大的数减去较小
（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到
三．随堂练习
P45练习 1.
教
学
小
结
（1）用辗转相除法求最大公约数.
（2）用更相减损术求最大公约数.
课后
反思
3
重点
理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法。
难点
把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言。
教
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
一．复习引入
思考1：18与30的最大公约数是多少？你是怎样得到的？
（1）短除法
求两个正整数的最大公约数的步骤：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是两个互质数为止，然后把所有的除数连乘起来.
1
河北武邑中学教师课时教案
教
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
思考3：上述求两个正整数的最大公约数的方法称为辗转相除法或欧几里得算法.一般地，用辗转相除法求两个正整数m，n的最大公约数，可以用什么算法？其算法步骤如何设计？
辗转相除法，就是对于给定的两个正整数，用较大的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽为止，这时的较小的数即为原来两个数的最大公约数.
公开课1.3.1辗转相除法与更像减损术学案
算法案例1:辗转相除法与更像减损术学案【学习目标】1、掌握辗转相除法的算法步骤。
2、会用辗转相除法求几个数的的最大公约数。
3、了解中国古代及西方数学中几个典型的算法案例，理解其中所包含的数学思想，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。
【重点难点】学习重点：理解辗转相除法与更像减损术的算法思想。
学习难点：掌握辗转相除法与更像减损术的算法步骤。
【学习过程】一．学习引导：１、算法知识回顾（口答）①算法的三种基本表述方法分别是什么？②算法三种基本逻辑结构是什么？③算法的基本程序语句分别有哪５句？２、课堂知识导引（口答）①什么是最大公约数？②小学学过的求两个数最大公约数的方法？３、基本训练（运算与思考）①求两个正整数75和105的最大公约数。
②求8251和6105的最大公约数。
二.辗转相除法1、辗转相除法（欧几里得算法）（1）简单介绍欧几里得：古代希腊数学家（2）例1.用辗转相除法求161与63的最大公约数。
（3）例2求8251和6105的最大公约数.（4）练习1：用辗转相除法求225和135的最大公约数（5）合作探究1：从上面的两个例子可以看出计算的规律是什么？（6）思考：辗转相除法中的关键步骤是哪种逻辑结构？（7）用辗转相除法解决最大公约数问题的算法步骤、程序框图和程序代码怎样？三、更相减损术（古代中国数学）（1）例3 用更相减损术求98与63的最大公约数。
（2）练习2.用更像减损术求294和84的最大公约数。
（3）合作探究2：从刚才的实践看出计算的规律是什么？（4）用更相减损术解决最大公约数问题的算法步骤、程序框图和程序怎样？四、课堂练习求下列各组数的最大公约数（先用辗转相除法求，再用更相减损术验证）（1）225，135（2）98，196（3）72，168（4）36，54，90五、小结（口答)1、求两个正整数的最大公约数的方法有哪些？2、辗转相除法与更相减损术求两个最大公约数的算法是怎样进行的？【自我测评】1. 用辗转相除法求295和85的最大公约数时,需要做出除法的次数是( )A 1.B 2.C 3.D 42. 用辗转相除法求567和405的最大公约数是( )A 81B 7C 5.D 353. 求98,196的最大公约数__________________。
1.3.1辗转相除法与更相减损术 秦九韶算法同步学案 新人教a版必修3
(2)更相减损术求最大公约数的程序设计: INPUT “a,b”;a,b WHILE a<>b IF a>b THEN a=a-b ELSE b=b-a END IF WEND PRINT a END
3.秦九韶算法 (1)秦九韶算法过程分析: 设Pn(x)=anxn+an-1xn-1+„+a1x+a0,将其改写为 Pn(x) =(anxn-1+an-1xn-2+„+a1)x+a0 =((anxn-2+an-1xn-3+„+a2)x+a1)x+a0 =(„((anx+an-1)x+an-2)x+„+a1)x+a0
2.更相减损术 (1)更相减损术求两数最大公约数的过程与算法设计: 对于给定的两个数,用较大的数减去较小的数,接着把得到的 差与较小的数比较,用这时两个数中的较大的数减去较小
的数,继续这样的操作(大数减小数),直到所得的数相等为
止,那么这个数(等数)就是所求的最大公约数. 显然,上述过程中大数减去小数是一个重复执行的过程,因此 只需将大数赋给变量m,小数赋给变量n,那么m-n就可以通 过循环结构实现算法.
名师讲解 1.辗转相除法
高中数学 算法案例1更相减损术与辗转相除法教案 新人教A版必修3 教案
教学设想
教法
引导探究
学法
自学探究
教具
多媒体
课堂设计
目标展示
我们将通过辗转相除法与更相减损术来进一步体会算法的思想.
预习检测Βιβλιοθήκη 1）怎样用短除法求最大公约数？（2）怎样用穷举法（也叫枚举法）求最大公约数？
（3）怎样用辗转相除法求最大公约数？
2已知多项式函数f(x)=2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7，求当x=5时的函数的值.
作业布置
教材48页1,2,3题
板
书
设
计
一更相减损术与辗转相除法三结论
二例题1,2四小结
教学反思
课题
算法案例1更相减损术与辗转相除法
授课时间
13
课型
新授
教学目标
知识与技能
1．理解算法案例的算法步骤和程序框图.
过程与方法
2．引导学生得出自己设计的算法程序.
情感态度价值观
3.体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能力
教材分析
重难点
教学重点：引导学生得出自己设计的算法步骤、程序框图和算法程序.
（4）怎样用更相减损术求最大公约数？
质疑探究
用辗转相除法求8 251与6 105的最大公约数,写出算法分析，画出程序框图，写出算法程序.
精讲点拨
例2用更相减损术求98与63的最大公约数.
当堂检测
1已知n次多项式Pn(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an，如果在一种算法中，计算 （k=2，3，4，…，n）的值需要k－1次乘法，计算P3(x0)的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算P10(x0)的值共需要__________次运算.下面给出一种减少运算次数的算法：P0(x)=a0,Pk+1(x)=xPk(x)+ak+1（k＝0，1，2，…，n－1）．利用该算法，计算P3(x0)的值共需要6次运算，计算P10(x0)的值共需要___________次运算.
算法案例第1课时辗转相除法与更相减损术学案课件 新人教A版必修3
1．辗转相除法 (1)辗转相除的原理： 设m， n是两个整数 (不妨设m>n)，用m除以n，若商为 q1 ，余数为 r1(0≤r1<n) ，则 m ＝ n· q1 ＋ r1 ，显然若 x 是 m 和 n 的 公约数，即x能整除m和n，则x也必然能整除r1，这样x也是 n 和 r1 的公约数，故求 m 和 n 的公约数就是求 n 和 r1 的公约数； 同理，用n除以r1，得n＝r1· q2＋r2(0≤r2<r1)，故求m和n的公 约 数 就 是 求 r2 和 r1 的 公 约 数 ， … ， 依 次 下 去 ， 由 于 m>n>r1>r2>… ，所以到某一步必然有 ri ＝ ri ＋ 1· qi ＋ 2 ，即 ri 恰 能被ri＋1整除，这时ri＋1是ri和ri＋1的最大公约数，它也必然 是ri－1和ri、ri－2和ri－1、…、r1与r2、n和r2、m和n的最大公 约数．
此编写的算法，也称作“欧几里得算法”．
3．对于正整数m与n(m>n)，总能找到整数q和r(0≤r<n)
使得m＝nq＋r成立，这个除法称为带余除法．通常记r＝ mMODn.
重点：算法案例的原理、算法设计及算法思想的体 会． 难点：理解算法案例的内容及具体算法设计的关键步
骤．
一、弄清算法原理，掌握算法程序，经历算法设计过 程，体会算法设计的关键环节，领悟算法思想．
(1)更相减损术求两数最大公约数的过程与算法设计． 对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，接着 把得到的差与较小的数比较，用这时两个数中较大的数减 去较小的数，继续这样的操作 ( 大数减小数 ) ，直到所得的
数相等为止，那么这个数 ( 相等数 ) 就是所求的最大公约
数．
显然，上述过程中大数减去小数是一个重复执行的过
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1、3、1案例1辗转相除法与更相减损术
一、【学习目标】
1、用辗转相除法求最大公约数.
2、用更相减损术求最大公约数.
【教学效果】：教学目标的给出有利于学生从整体上把握课堂.
二、【自学内容和要求及自学过程】
1、阅读教材34—35页内容，回答问题（辗转相除法）
<1>怎样用短除法求最大公约数？
<2>怎样用穷举法（也叫枚举法）求最大公约数？
<3>什么叫做辗转相除法求最大公约数？
结论：<1>求两个正整数的最大公约数的步骤：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是两个互质数为止，然后把所有的质数连乘起来.<2>穷举法求两个正整数最大公约数的步骤：从两个数中较小数开始，由大到小列举，直到找到公约数立即停止列举，得到的公约数便是最大公约数.<3>辗转相除法求最大公约数，其算法步骤可以描述如下：
r中.
.
300年左右首先提出的，因
8251与6105的最大公
.若是，用2约减，若不是，则执行第二步.
第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数.继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）或这个数与约减的数的乘积就是最大公约数.
练习二：用更相减损术求98与63的最大公约数.
【教学效果】：理解更相减损术.
思考：辗转相除法与更相减损术的区别与联系是什么？
1o都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显.
2o从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到.
三、【作业】
1、必做题：分别用辗转相除法和更相减损术求261，319的最大公约数；
2、选做题：理解教材例题，并把例题总结到笔记本上.
四、【小结】
本节课主要学习了更相减损术和辗转相除法.
五、【教学反思】
当我们的学生对知识流露出不会时，做老师的要更多的去找自己的原因，而不是学生的原因.
六、【课后小练】
1、用辗转相除法求下列各组数的最大公约数
（1）225；135 （2）98；196 （3）72；168 （4）153；119
2、思考：用求质因数的方法可否求上述4组数的最大公约数？可否利用求质因数的算法设计出程序框图及程序？若能，在电脑上测试自己的程序；若不能说明无法实现的理由.
3、思考：利用辗转相除法是否可以求两数的最大公倍数？试设计程序框图并转换成程序在BASIC中实现.。