平面直角坐标系内的面积问题
平面直角坐标系中如何求几何图形的面积
图1图2图3平面直角坐标系中如何求几何图形的面积一、 求三角形的面积1、有一边在坐标轴上或平行于坐标轴例1：如图1，平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为（-3,0）、（0,3）、（0，-1），你能求出三角形ABC 的面积吗2、无边在坐标轴上或平行于坐标轴例2：如图2，平面直角坐标系中，已知点A （-3，-1）、B （1,3）、C （2，-3），你能求出三角形ABC 的面积吗归纳：求三角形面积的关键是确定某条边及这条边上的高，如果在坐标系中，某个三角形中有一条边在坐标轴上或平行于坐标轴，则根据这条边的两个顶点的坐标易求出这边的长，根据这条边的相对的顶点可求出他的高。
二、求四边形的面积例3：如图3，你能求出四边形ABCD 的面积吗分析：四边形ABCD 是不规则的四边形，面积不能直接求出，我们可以利用分割或补形来求。
归纳：会将图形转化为有边与坐标轴平行的图形进行计算。
怎样确定点的坐标一、 象限点解决有关象限点问题的关键是熟记各象限的符号特征，由第一到底四象限点的符号特征分别为（+，+）、 （-，+）、（-，-）、（+，-）。
例1：已知点M （a 3-9,1-a ）在第三象限，且它的坐标都是整数，则a =（ ）A 、1B 、2C 、3D 、0二、轴上的点解决有关轴上点问题的关键是把握“0”的特征，x 轴上点的纵坐标为0，可记为（x ，0）；y 轴上点的横坐标为0，可记为（0，y ）；原点可记为（0,0）。
例2：点P （m+3,m+1）在直角坐标系的x 轴上，则P 点的坐标为（ ）A 、（0，-2）B 、（2,0）C 、（4,0）D 、（0，-4）三、象限角平分线上的点 所谓象限角平分线上的点，就是各象限坐标轴夹角平分线上的点。
解决这类问题的关键是掌握“y x =”的特征，一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可记为（x ，x ）；二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数，可记为（x ，-x ）。
在平面直角坐标系中三角形面积的求法
在平面直角坐标系中三角形面积的求法在平面直角坐标系中，三角形面积的求法是一种基本的几何计算方法。
本文将介绍两种常用的计算三角形面积的方法：海伦公式和向量法。
一、海伦公式海伦公式是一种通过三角形的三条边长来计算其面积的方法。
假设三角形的三条边长分别为a、b、c，则三角形的面积S可以通过以下公式来计算：S = √(s(s-a)(s-b)(s-c))其中，s为三角形的半周长，可以通过以下公式求得：s = (a + b + c) / 2通过海伦公式，我们可以很方便地计算任意三角形的面积。
下面通过一个具体的例子来演示海伦公式的应用。
例：已知三角形的三个顶点坐标分别为A(1, 1)，B(2, 3)，C(4, 1)，求该三角形的面积。
计算三条边的长度：AB = √((2-1)^2 + (3-1)^2) = √5BC = √((4-2)^2 + (1-3)^2) = 2√2AC = √((4-1)^2 + (1-1)^2) = 3然后，计算半周长s：s = (AB + BC + AC) / 2 = (√5 + 2√2 + 3) / 2代入海伦公式求得三角形的面积：S = √(s(s-AB)(s-BC)(s-AC))将计算得到的数值代入公式，即可得到三角形的面积。
二、向量法向量法是另一种计算三角形面积的常用方法。
我们知道，三角形的面积可以通过任意两边的向量叉乘来计算。
假设三角形的两条边的向量分别为a和b，则三角形的面积S可以通过以下公式来计算：S = 1/2 * |a × b|其中，|a × b|表示向量a和向量b的叉乘的模。
通过向量法，我们可以将三角形的面积转化为向量的计算问题，进而简化计算过程。
下面通过一个具体的例子来演示向量法的应用。
例：已知三角形的三个顶点坐标分别为A(1, 1)，B(2, 3)，C(4, 1)，求该三角形的面积。
计算两条边的向量：AB = (2-1, 3-1) = (1, 2)AC = (4-1, 1-1) = (3, 0)然后，计算向量的叉乘：a ×b = AB × AC = (1 * 0 - 3 * 2) = -6代入向量法公式求得三角形的面积：S = 1/2 * |a × b| = 1/2 * |-6| = 3通过以上计算，我们可以得到三角形的面积为3。
平面直角坐标系中的面积问题
∴OA=4， yB =3
∴ S△AOB
1 OA OB 2
=1 43 2
6 【典型例题】 类型 1 有一边在坐标轴上
∴ S△AOB
1 OA 2
yB
=1 43 2
6
例 1 如图 1，△ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(4，0)，B(-2，0)，C(2，4)，求△ ABC 的面积.
山东大学附属中学初二数学组 张永坤整理
【点拨】（1）“补”的思想；（2）三角形的面积公式：
“底乘高除以 2”.
图5
山东大学附属中学初二数学组 张永坤整理
例 6 如图 6，已知△ABC 中，A（4，1），B（4，5），C（-1，2），求△ABC 的 面积.
图6 【分析】采用“补”的思想，将△ABC 补成一个正方形或者梯形. 【方法】
例 7 如图 7，以 OA 为边的△OAB 的面积为 2，试找出符合条件得且顶点是第一象 限格点的点 C，你能找出几个这样的点？
【分析】要求三角形的面积，需要分别求出底边及其高.由图 1 可知，△ABC 的边 AB 在 x 轴上，容易求得 AB 的长，而 AB 边上的高，恰好是 C 点到 x 轴的距离，也就是 C 点的纵坐标的绝对值.
解：∵A(4，0)，B(-2，0)，
∴AB=4-（-2）=6.
∵C 点坐标为(2，4)，
∴C 点到 x 轴的距离为 4，
【分析】明确底和高，以及利用平行线之间的距 离处处相等进行面积转化.【同底等高模型】
【方法】
图7
山东大学附属中学初二数学组 张永坤整理
例 8 如图所示，已知：A（0，1），B（2，0），C（4，3）. （1）在坐标系中描出各点，画出△ABC． （2）求△ABC 的面积； （3）设点 P 在坐标轴上，且△ABP 与△ABC 的面积相等，求点 P 的坐标． 【分析】（1）确定出点 A、B、C 的位置，连接 AC、 CB、AB 即可； （2）过点 C 向 x、y 轴作垂线，垂足为 D、E， S△ABC = S 四边形 DOEC -S△ACE -S△BCD -S△AOB； （3）当点 P 在 x 轴上时，由 S△ABP =4，求得：BP=8， 故此点 P 的坐标为（10，0）或（﹣6，0）；当点 P 在 y 轴 上时，S△ABP =4，解得：AP=4．所以点 P 的坐标为（0，5） 或（0，﹣3）． 【解答】 解：（1）如图所示：△ABC 即为所求．
平面直角坐标系中三角形面积的计算
平面直角坐标系中三角形面积的计算设直角坐标系中的三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。
我们可以利用向量的性质和行列式的方法求出三角形的面积。
首先，我们计算向量AB和向量AC的坐标分量分别为(u,v)和(w,z)。
则有：u=x2-x1v=y2-y1w=x3-x1z=y3-y1然后，根据向量的性质，可以计算向量AB与向量AC的叉积的大小，即面积的两倍：2*面积=，u*z-v*w最后，我们可以通过取绝对值并除以2来得到三角形的面积，即：面积=，u*z-v*w，/2这就是通过向量的方法计算三角形面积的基本公式。
下面我们通过一个具体的例子来演示一下计算三角形面积的过程。
设直角坐标系中的三角形的三个顶点分别为A(2,3)，B(5,6)，C(8,1)。
我们将依次计算向量AB和向量AC的坐标分量：u=5-2=3v=6-3=3w=8-2=6z=1-3=-2然后，根据公式面积=，u*z-v*w，/2，我们计算：面积=，3*(-2)-3*6，/2=，-6-18，/2=24/2=12所以，三角形ABC的面积为12平方单位。
除了向量方法，我们还可以使用行列式的方式来计算三角形的面积。
具体步骤如下：1.将三个顶点的坐标按照行列式的顺序排列，构成一个3×3的矩阵：x1y1x2y2x3y32.计算矩阵的行列式的值。
3.取行列式的绝对值并除以2，即为三角形的面积。
以上就是使用行列式方法计算三角形面积的基本步骤。
总结起来，平面直角坐标系中三角形的面积可以通过向量或行列式的方法进行计算。
这些方法都是基于向量叉积的性质和行列式的性质进行推导和计算的。
无论是哪一种方法，核心思想都是通过计算向量叉积的大小来获得三角形的面积。
平面直角坐标系中的面积问题
突破数学压轴题解题策略平面直角坐标系中的面积问题解题策略1【专题攻略】面积问题是初中常考内容，一般应用以下几种方法解决：一是“直接法〞，即套用求面积的公式.二是常用“割补法〞.割：分割，把图形分割成几局部容易求解的图形，分别求解，然后相加即可.补：补齐，把图形补成一个容易求解的图形，然后再减去补上的那些局部.三是“平行线转化法〞，即利用平行线之间的距离处处相等，同底等高模型转化面积来解决.在平面直角坐标系中求面积时，必然会用到线段长度，这里会涉及到利用两点之间的距离公式来求距离.在平面直角坐标系中有两点A〔x1,y1〕、B〔x2,y2〕，那么AB2=〔x1-x2〕2+ 〔y1–y2〕2.假设两点平行于坐标轴，那么两点之间的距离可以直接用横或纵坐标的差来求.【复习回忆】：y >6 - 5 - D4 - 3 - 2 - 1 -x-1 01 2 3 4 5 6 7 -1- -2 - 图4类型1有一边在坐标轴上例1如图ΔABC 的三个顶点的坐标分别是A 〔4，0〕，B 〔-2，0〕，C 〔2，4〕，求ΔABC 的面积.例2如图2，点C 为平面直角坐标系中的任意一点，点A 〔-5，0〕，点B 〔3, 0〕Δ ABC 的面积为12，试说明点C 的坐标特点.类型2有一边与坐标轴平行例3如图Δ ABC 三个顶点的坐标分别为A 〔4，1〕，B 〔4，5〕，C 〔-1，2〕，求Δ ABC 的面积.例4如图4，在四边形ABCD 中，A 、B 、C 、D 的四个点的坐标分别为〔0，2〕，〔1，0〕，〔6，2〕〔2, 4〕求四边形ABCD 的面积.图5y,:4(1)〆o123 4 1类型3 三边均不与坐标轴平行例5在图5的直角坐标系中，Δ ABC的顶点都在网格点上，其中，A点坐标为〔2，一1〕，那么Δ ABC的面积为.例6如图，Δ ABC中，A〔4，1〕，B〔4，5〕，C〔-1，2〕，求Δ ABC的面积.例7如图，以O A为边的ΔOAB的面积为2，试找出符合条件得且顶点是第一象限格点的点C，你能找出几个这样的例8：A〔0,1〕,B〔2,0〕,C〔4，3〕.〔1〕在坐标系中描出各点，画出ΔABC〔2〕求ΔABC的面积；〔3〕设点P在坐标轴上，且ΔABP与ΔABC的面积相等，求点P的坐标.。
【初一方法归纳专题】平面直角坐标系中图形面积的求法
【初⼀⽅法归纳专题】平⾯直⾓坐标系中图形⾯积的求法Hello,各位⽼铁周末愉快应部分⽼铁的要求今天分享平⾯直⾓坐标系中⾯积的求法好了话不多说~~上货~~回顾篇——知识链接1.⾯积公式：（1）三⾓形的⾯积：S三⾓形＝1/2×底×⾼（2）梯形的⾯积：S梯形＝1/2×（上底+下底）×⾼2.两点间的距离：（1）当两点横坐标相同时，两点间的距离为这两点纵坐标差的绝对值（2）当两点纵坐标相同时，两点间的距离为这两点横坐标差的绝对值基础篇——三⾓形⾯积的求法题型1 三⾓形有⼀边在坐标轴上【例1】如图，平⾯直⾓坐标系中，已知三⾓形ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，3），B（-4，0），C（4，0），求三⾓形ABC的⾯积.温馨提⽰：【思路及解答】请观看视频【⽅法归纳】当三⾓边有⼀边在坐标轴上时，将此边作为底边，那么⾼便垂直于坐标轴，底和⾼就能通过两点间的距离很快求出.题型2 三⾓形有⼀边与坐标轴平⾏【例2】如图，平⾯直⾓坐标系中，已知三⾓形ABC的三个顶点的坐标分别是A（-1，-4），B（2，0），C（-4，-4），求三⾓形ABC的⾯积.温馨提⽰：【思路及解答】请观看视频【⽅法归纳】当三⾓边有⼀边与坐标轴平⾏时，将此边作为底边，那么⾼便垂直于坐标轴，底和⾼就能通过两点间的距离很快求出.根据图形特殊，我们通常把平⾏于坐标轴的⼀边作为底边.题型3 三⾓形三边均不与坐标轴平⾏【例3】在如图所⽰的正⽅形⽹格中，每个⼩正⽅形的单位长度均为1，三⾓形ABC的三个顶点恰好是正⽅形⽹格的格点.（1）写出图中所⽰各顶点的坐标；（2）求三⾓形ABC的⾯积.温馨提⽰：【思路及解答】请观看视频【⽅法归纳】当三⾓边的三边均不与坐标轴平⾏时：（1）将原三⾓形围在⼀个梯形或长⽅形中，⽤长⽅形或梯形的⾯积，减去长⽅形或梯形边缘的直⾓三⾓形的⾯积，即可求得原三⾓形的⾯积，这种⽅法叫做补形法；（2）若三⾓形内⼀割线长度已知，并且它平⾏于坐标轴，那么可将其作为底边，把原三⾓形拆分为两个三⾓形，则两⾼的长度可得，⾯积即可求得，这种⽅法叫做分割法.以上两种⽅法就是数学⼏何图形运算中常⽤的割补法.例题讲授视频三⾓形⾯积的求法同学们，例题看明⽩了吗？⽅法掌握了吧！快来试试下⾯的变式训练吧！变式训练【变式训练1】如图，在平⾯直⾓坐标系中，三⾓形ABC的顶点坐标分别为A(－3，0)，B(0，3)，C(0，－1)，则三⾓形ABC的⾯积为．答案6【变式训练2】如图，三⾓形ABC三个顶点的坐标分别为A(4，2)，B(4，6)，C(－1，3)，三⾓形ABC的⾯积为．答案10【变式训练3】如图，在平⾯直⾓坐标系中，已知点A(－3，－1)，B(1，3)，C(2，－3)，你能求出三⾓形ABC的⾯积吗？答案提升篇——四边形⾯积的求法【例4】如图，在平⾯直⾓坐标系中，四边形ADCB各顶点的坐标分别是A(－3，4)，D(2，3)，C(2，0)，B(-4，-2)，且AB与x轴交点E的坐标为（，0），求这个四边形的⾯积.【变式训练4】在如图所⽰的平⾯直⾓坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别是O(0，0)，A(－4，10)，B(－12，8)，C(－14，0)，求四边形OABC的⾯积．答案总结篇——割补法求⾯积我们将不能直接求解的图形的⾯积转化为可直接求解的⾯积，常⽤的⽅法是“分割”和“补形”.1.利⽤“补形法”求图形的⾯积：2.利⽤“分割法”求图形的⾯积：好记性不如烂笔头快快整理到笔记本上吧！找题⽬练练哦题⽬都给同学们准备好啦！专题⼩练1.已知点A(－2，3)，B(4，3)，C(－1，－3)．(1)在平⾯直⾓坐标系中标出点A，B，C的位置；(2)线段AB的长为_______；(3)点C到x轴的距离为_______，点C到AB的距离为_______；(4)三⾓形ABC的⾯积为_______.2.（1）在平⾯直⾓坐标系中，描出下列3个点：A（﹣1，0），B（3，﹣1），C（4，3）；（2）顺次连接A，B，C，组成△ABC，求△ABC的⾯积．。
平面直角坐标系中面积及坐标的求法
平面直角坐标系中面积及坐标的求法一、利用点的坐标求面积1、2、二、利用面积求点的坐标3、在平面直角坐标系中，A （-5，0），B （3，0），点C 在y 轴上，且△ABC 的面积12，求点C 的坐标。
4、在平面直角坐标系中，A （1，4），点P 在坐标轴上，S △PAO =4，求P 点坐标．5、在直角坐标系中，A （﹣4，0），B （2，0），点C 在y 轴正半轴上，且S △ABC =18．（1）求点C 的坐标；（2）是否存在位于坐标轴上的点P ，S △APC =S △PBC ？若存在，请求出P 点坐标；若不存在，说明理由．根据给出已知点的坐标，求△ABC 的面积6、如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A ，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A ，B 的对应点C ，D ，连接AC ，BD ．（1）求点C ，D 的坐标及四边形ABDC 的面积S 四边形ABDC ；（2）在y 轴上是否存在一点P ，连接PA ，PB ，使S △PAB =S 四边形ABDC ？若存在这样一点，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由．三、动点和图形面积7、如图，已知长方形ABC0中，边AB=8，BC=4．以点0为原点，0A 、OC 所在的直线为y 轴和x 轴建立直角坐标系．（1）点A 的坐标为（0，4），写出B 、C 两点的坐标；（2）若点P 从C 点出发，以2单位/秒的速度向C0方向移动（不超过点O ），点Q 从原点0出发，以1单位/秒的速度向0A 方向移动（不超过点A ），设P 、Q 两点同时出发，在它们移动过程中，四边形OPBQ 的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求变化范围．8、如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 点在x 轴的负半轴上，其坐标为（﹣6，0），C 点在y 轴的正半轴上，其坐标为（0，8），以OA ，OC 为邻边在第二象限内作长方形OABC（1）点B 的坐标为（ ， ）；（2）动点P 从B 点出发，每秒2个单位长的速度沿折线B 高B →A →O 匀速移动，设点P 移动的时间为t 秒，用含t 的式子表示P 点坐标；（3）在（2）的条件下，连接AC 、CP ．求t 为何值时，三角形ACP 的面积与长方形OABC 的面积比为1：4，并求出此时点P 的坐标．。
初二数学平面直角坐标系面积问题
初二数学平面直角坐标系面积问题一、概述在初中数学学习中，平面直角坐标系是一个重要的概念。
在这个坐标系中，我们可以通过两个数值来确定平面上的一个点的位置，进而计算出所需图形的面积。
本文将从初二数学的角度出发，探讨平面直角坐标系下的面积问题，并为大家解析面积问题的解题思路和方法。
希望能够对同学们的学习有所帮助。
二、平面直角坐标系下的基本概念1. 坐标系平面直角坐标系由两条相互垂直的直线，它们被称为坐标轴，通常用x 和y来表示。
这两条坐标轴把平面分成了四个部分，它们分别是第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。
2. 点的坐标在平面直角坐标系中，我们可以用一个有序数对(x, y)来表示一个点P 的坐标，其中x为点P在x轴上的坐标，y为点P在y轴上的坐标。
3. 面积的计算在平面直角坐标系中，我们可以通过连接坐标轴上的点和直线，来确定一个图形的面积。
面积的计算方法有很多种，例如利用基本几何图形的面积公式进行计算，或者利用积分的方法进行计算。
三、常见的面积计算题型1. 长方形的面积计算我们来看一个简单的例子。
如果给出了一个长方形的两个顶点的坐标，我们要计算这个长方形的面积该怎么做呢？解题思路：（1）首先计算长方形的边长，可以利用坐标点之间的距离公式进行计算。
（2）根据长方形的面积公式S=长×宽，计算出长方形的面积。
2. 三角形的面积计算另外一个常见的题型是给出三角形的三个顶点的坐标，要求计算三角形的面积。
解题思路：（1）利用三角形的面积公式S=（1/2）×底边长度×高，计算出三角形的面积。
（2）可以利用向量运算的方法进行计算，例如计算三角形的两条边的向量，然后利用向量叉乘的方法得到三角形的面积。
3. 多边形的面积计算对于给出多边形的各个顶点的坐标，要求计算多边形的面积这样的题型，我们可以采用分割成若干个三角形，再分别计算每个三角形的面积，最后将各个三角形的面积相加来得到多边形的面积。
(完整版)平面直角坐标系中的面积问题
陈玲萍
问题1 已知平面直角坐标系中，点A（1，-2）， B（-4，-2），C（1,3）.
则①线段AB与x轴的位置关系 平行，线段 AB的长度为 5 ； ②线段AC与y轴的位置关系 平行 ，线段 AC的长度为 5 。
平行x轴的直线上的AB两点间的距离为：AB= xA xB 平行y轴的直线上的AC两点间的距离为：AC= yA yC
AD
44 2
8
（2）A（0,5），B（0,3），C（3,1）；
如图，过点C做CD⊥AB
∵A（0,5），B（0,3），C（3,1）
∴CD=3，AB=2
∴
SABC
1 ABCD 1 23 3
2
2
小结
平面直角坐标系中，求三角形的面积， 关键在于找到平行x轴或平行y轴的线 段作为规则图形的底和高。
F
∴BE=3,CF=3
∴ SABC SABD SACD
1 AD• BE 1 AD• CF
E
2
2
1 33 1 33
2
2
9
F
E
补
补
割
问题4
在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点 坐标分别为O(0，0)，A(5，0)，B(3，4)， C(0，3),计算这个四边形的面积。
方法总结
割
割
割
补
补
问题2
• 求下列三角形的面积： • （1）A（1,4），B（0,0），C（4,0）； • （2）A（0,5），B（0,3），C（3,1）；
（1）A（1,4），B（0,0），C（4,0）； 由图，过点A作AD⊥BC
∵A（1,4），B（0,0），C（4,0）
∴AD=4，BC=4
(完整版)平面直角坐标系中的面积问题-专题练习
O
1 234
x
图（4）
SOAB2
1 2
2
2
2
Y
4
3
B3 (2,3)
2
1
பைடு நூலகம்
A(2,1)
O
1
234
X
图（5）
SOAB3
1 2
2
2
2
y
4
B4 (4,4)
3
2
1
A(2,1)
O
1
2 3 4x
图（6）
y
4
N
B4 (4,4)
方
3
法
1
2
1
A(2,1)
O
1
2M 3 4 x
图（7）
S S S OAB4
OAC
AC B4
S S VA1B1C1
梯形DEC1B1
S S VA1B1D
VA1C1E
-4
-5 -6 -7
1 (2.5 2) 3 2
1 1 2 1 2 2.5
2
2
6.75 1 2.5
3.25
谈谈我们的收获
1.等积变换
方法
2.割补法求面积
化复杂为简单
转化
化未知为已知
作业
»书P80 第9题
4
5
6
x
-2
-3 -4
B
C
-5
-6
解 :点A1(2, 2) 点B1(3, 0) 点C1(0. 0.5)
-7
y 7
（2）求出三角形 A1B1C1
6
的面积。
5 4
分析:可把它补成一个梯形减去
DA1
3 2E
平面直角坐标系求面积经典例题
平面直角坐标系求面积经典例题好嘞，今天咱们聊聊平面直角坐标系求面积这事儿，嘿，这可不是啥难事儿。
想象一下，你在一个大大的纸上，眼前是个坐标系，X轴横着，Y轴竖着，形成了个十字架。
哎，这不就像咱们生活中遇到的各种问题嘛，画个图，一目了然。
大家都知道，图上每一点都有个“身份证”，就是它的坐标，像人一样，各自有各自的名字。
说到面积，哎，你可别小看这个面积，面积可是一门艺术，像画画儿一样，把你的想法用数字表现出来。
咱们先来个简单的例子吧，想象一下一块矩形，边长分别是A和B，这可不难。
矩形就像是你家里那张大桌子，上面摆着丰盛的菜，大家聚在一起。
面积的公式就是A乘B，嘿，这样算下来，咱们就知道这张桌子上能放下多少美食，想想都让人开心。
对于那些学过点数学的朋友，A和B就像是基因，乘起来才有那种“哇”的感觉，面积就是它们的孩子，哈哈，给人带来惊喜！再说个三角形，这个可有点意思。
想象一下，三角形就像是你追的女神，个性鲜明，边边角角都让人着迷。
它的面积公式是底乘高再除以二，听起来是不是有点复杂？其实想想看，底就是她的魅力，而高就是你的追求，嘿，搞定了这两样，成功就不远了！心里不禁想起了那些年追求的甜蜜与苦涩，哈哈，面积也能让我们感受到生活的乐趣。
再看看圆形，圆形就像那经典的月饼，圆圆的，饱满的。
它的面积公式是π乘以半径的平方，哦，这个π可是个神秘的数字，大家可能都知道，古人研究这个可花了不少心思。
半径就像是你跟朋友间的距离，越小越亲近，嘿，面积就表示了你们之间的情谊，越大越深厚，真是让人感慨万千呀。
脑海中浮现的全是跟朋友们一起分享美食的欢乐时光，哈哈，那才叫一个痛快。
如果我们把这几种形状的面积都放在一起，简直就是一个欢乐的大家庭。
每个形状都有自己的特点，都是独一无二的。
你可能会问，如何把这些形状组合起来求总面积？别担心，这就像拼图一样，找到合适的位置，把它们组合起来就好了。
就像人生中的种种经历，有快乐，有伤心，拼凑在一起，才成就了你现在的模样。
例谈平面直角坐标系内图形面积的求法
象上的任意一点 分别作 轴 ， Ｙ轴 的垂线可得 矩形 ， 矩形 的长 ， 宽为 ， ｌ矩形 面积 为 Ｉ ・Ｉ Ｉ Ｉ Ｉ而 ｌ ， ｙ Ｉ Ｙ ＝ｌ ＝ｌ ｋ， 图象上任 意一点 与原点的连线 ， 和过 点所作 坐标 轴 的垂 线段 与坐标轴 围成的直三角形面积 为
图 ３
Ｒ ＡＡ Ｂ 积 为 Ｓ ， ｔ Ｃ Ｄ面 ｔ Ｏ 面 。Ｒ Ａ Ｏ
Ｊ
三角形 的一 边在 Ｙ轴上时 ，两个顶点纵坐 标差 的绝对值 ， 这边上 的高就 等 于另一个 顶点横坐标 的绝对值．
—√ Ｂ ０
图
例 ３ 如 图 ３ ＡＡ Ｃ 三 个 顶 点 的 坐 标 分 别 为 ， Ｂ
Ａ ２２ ， 一 ， ３ ， （ ，） ＡＡ Ｃ的面积． （一 ）日（ ２ 一 ） ｃ ２ １ ， Ｂ
，
积为５， 则
Ａ． Ｓｌ＞Ｓ２
Ｂ． ＜ Ｓ Ｓｌ ２
ｌ Ｖ
）
４
Ｃ． Ｓｌ＝Ｓ ２
３
Ｄ Ｓ 与 ． 的大 小关 系 无 法 确 定 ． ｓ
丁 一 １： 一 ．
当三 角形有一边 在 轴上 时 ， 以 轴 上 的 则
点评
边为底边 ， 长 等 于 轴上 两 个 顶 点 横坐 标 差 的 绝对 其
的 图象 上 任 意 两点 ， Ａ 过
＼
／
ｃ Ｄ
值， 这边上 的 高就等 于另 一个顶 点纵 坐标 的绝对 值 ； 当
一
作 轴 的垂 线 ， 足 为 Ｂ， Ｃ 垂 过 作 Ｙ轴 的 垂 线 ， 足 为 Ｄ， 垂 记
［ ｋ＋ｂ＝ 一３． ２
Ｅ
‘
．
．
Ｙ＝ 一６ ＋９ ．
．
．
计算平面直角坐标系内图形的面积
计算平面直角坐标系内图形的面积在平面直角坐标系中，求一个三角形的面积，则需要根据三角形的各顶点的坐标，确定边长或高，进而求出三角形的面积．而对于四边形，五边形等图形面积的计算，则往往需要转化为三角形解决．一、计算三角形的面积例1 如图1，△ABC 的三个顶点的坐标分别是A (2，3)，B (4，0)，C (-2，0)．求△ABC 的面积．分析:观察图形可知，BC 在x 轴上，BC 的长为4-(-2)=6．要求三角形的面积，还应确定BC 边上的高．点A 到x 轴的距离恰好点BC 边上的高．解：因为BC =4-(-2)=6，BC 边上的高就点A 到横轴的距离，因为点A 的坐标是(2，3)，所以BC 边上的高是3，所以S △ABC =21×6×3=9． 【评注】当三角形有一边在横轴上时，则以坐标轴上的边为底边，其长等于坐标轴上的两个顶点的横坐标差的绝对值;则这边上的高，等于另一顶点纵坐标的绝对值;当三角形的一边在纵轴上时，则以坐标轴上的边为底边，其长等于坐标轴上的两个顶点纵坐标差的绝对值，这边上的高，等于另一顶点的横最最坐标的绝对值．图1 图2例2 如图2，平面直角坐标系中，已知点A (-3，-2)，B (0，3)，C (-3，2)．求△ABC 的面积． 分析:在△ABC 中只有边AC 的长度是比较求得的，所以找到AC 边上的高，而点A 到纵坐标的距离恰好是AC 边上的高．解:AC =|2-(-2)|=4，作AC 边上的高BD ，而BD 就等于点A 到纵轴的距离，因为点A 的坐标是(-3，-2)，所以BD =|-3|=3，所以S △ABC =21×4×3=6． 【评注】当三角形的一边和坐标轴平行时，这条边的长等于两个顶点横坐标(平行横轴)或纵坐标(平行纵轴)的差的绝对值;这边上的高等于平行坐标轴的边与坐标轴的距离．例3 如图3，平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别是A (-3，-1)，B (1，3)，C (2，-3)．求△ABC 的面积．分析:三角形的三边都不和坐标轴平行，根据平面直角坐标系的特点，可以将三角形面积转化为梯形或长方形的面积减去多余的直角三角形的面积，即可求到此三角形的面积．解:过点A ，C 分别作平行于y 轴的直线，与过B 点作平行于x 轴的直线交于点D 、E ．则四边形ACED 为梯形．根据点A (-3，-1)，B (1，3)，C (2，-3)， 可求得AD =4，CE =6， DB =4，BE =1，DE =5，所以△ABC 的面积为：S △ABC =21(AD +CE )·DE -21AD ·DB -21CE ·BE =21(4+6)×5-21×4×4-21×6×1=14． 【评注】当三角形的三边都不和坐标轴平行时，可将通过过三角形的顶点作坐标轴的平行线，将三角形的面积转化为梯形或长方形的面积与直角三角形的面积差求解．图3 图4例4 如图4，四边形ABCD 的四个顶点的坐标分别是A (4，2)，B (4，-2)，C (0，-4)，D (0，1)．求四边形ABCD 的面积．分析:因为点A 、B 的横坐标相同，点CD 在纵轴上，所以AB //CD ，则四边形ABCD 为梯形，可以过A 作CD 上的高AE ，则AE 的长就是点A 到y 轴的距离．解：因为CD =1-(-4)=5，AB =2-(-2)=4，AE =4，S ABCD =21(AB +CD )·AE =21(5+4)×4=18． 【评注】一般四边形的面积的计算，可将四边形的面积转化为特殊的四边形(如梯形)与特殊的三角形(如直角三角形)的面积和或差的形式计算．。
平面直角坐标系中的面积计算(专题)
平面直角坐标系中的面积计算
一、
例1：平面直角坐标系中，A(4，-4)，B(1，0)，C(6，0). 求△ABC的面积.
例2：平面直角坐标系中，A(0，3)，B(0，-3)，C(2，1). 求△ABC的面积.
x
变式1.若A、B两点的坐标和△ABC的面积均保持不变，且C点坐标为（2，y）,求y.
变式2.若A、B两点的坐标保持不变，△ABC的面积为9，且C点坐标为(x，1),求x的值. 二、
例3：平面直角坐标系中，A(-2，3)，B(-2，-3)，C(2，1). 求△ABC的面积
.
x
三、
变式1.保持A 、C 不动，改变点B 的位置：B (0，-3), 求△ABC 的面积.
x
x
x
变式2.保持A 、C 不动，再次改变点B 的位置：B (3，-3), 求△ABC 的面积.
x
x
例4：在平面直角坐标系中，已知A(-5, 4)，B(-2, -2)，C(0, 2).若点P 在坐标y 轴上，
且△PBC 和△ABC 的面积相等.求点P 的坐标.
思考题：
1.平面直角坐标系中，A(-3，-2)，B(3，-2)，C(1，3)，D(-2，1)，求四边形
ABCD 的面积.
2.已知点O(0,0)，B(1,2)，点A 在坐标轴上，且2OAB S ∆=，求满足条件的点A 的坐标. 坐标轴上，且2=∆OAB S ，求满足条件的点A 的坐标.。
第7章+平面直角坐标系——几何图形的面积问题++教案+2023数学七年级下册-2024学年人教版
《平面直角坐标系中几何图形的面积问题》教学设计设计理念：平面直角坐标系中几何图形的面积问题往往让七年级的学生思路难寻。
实际上数学是一门具有丰富内容并且与现实世界联系非常密切的学科，本节就体现了平面直角坐标系是解决实际问题的有效的数学模型的思想。
教师以需要创设的问题情境，激发学生探究实际问题的兴趣，引发学生思考，体验数学知识的实用性。
教材分析：本节课是七年级下总复习中“平面直角坐标系”专题复习。
是学生学习了平面直角坐标系相关知识的基础上，让学生进一步体验如何在平面直角坐标系中通过点的坐标解决几何问题，体会数形结合的思想。
在教学中培养学生的语言表达、动手操作的能力、与人合作的意识及解决问题的能力。
学情分析：学生已经有了一定的知识储备，但他们的信息掌握程度不高，知识面教窄，语言表达能力和动手操作能力不强。
因此，在学习中要让学生经历实践、思考、交流、表达与操作的过程，给学生留下充足的时间来活动，不断引导学生利用数学知识来解决问题。
教学目标：1、掌握点到坐标轴的距离以及平行于坐标轴的直线上点的坐标特征；2、会在平面直角坐标系中利用点的坐标求几何图形的面积；3、 体会数形结合、转化、分类讨论等数学思想。
重、难点：在平面直角坐标系中通过点的坐标就几何图形的面积教学过程一、 复习引入1、若A(2，-3)，则点A 到x 轴的距离是 ，到y 轴的距离是 。
2、若A(-1，0)，B(4，0),则线段AB 的长是 。
3、若A(0，3)，B(0，-1),则线段AB 的长是 。
4、若A(-2，-4)，B(3，-4)，则AB 与x 轴有何位置关系？你知道线段AB 的长度吗？5、若M(5，-2)，N(5，5)，则MN 与y 轴有何位置关系？求线段MN 的长度归纳：（1）点A(x ，y )到x 轴的距离是y ，到y 轴的距离是x ；（2） 点A(1x ，y )，B(2x ，y )，且21x x >，则AB=21x x -或AB=21x x +，AB//x 轴（3） 点A(x ，1y )，B(x ，2y )，且21y y >，则AB=21y y -或AB=21y y +，AB//y 轴二、 微课讲授1、 三角形AOB 中，A(4，0)，B(0，3)，求三角形AOB 的面积；2、三角形ABC中，A(4，0)，B(3，2)，C(-1，0)，求三角形ABC的面积；3、三角形ABC中，已知A(-3，2)，B(0，3)，C(-3，-2)，求三角形ABC的面积归纳：（1）如果有边在x轴或y轴上，常以这边作为底边。
在平面直角坐标系中,求三角形面积的求法
在平面直角坐标系中，求三角形面积的求法在平面直角坐标系中, 求三角形面积的求法1. 引言在平面直角坐标系中，我们经常需要计算三角形的面积。
三角形的面积是一个基本的几何概念，它用于很多实际应用中，比如计算土地面积、建筑物的面积或者计算图形的面积等。
在这篇文章中，我们将学习在平面直角坐标系中求解三角形面积的几种不同方法。
2. 方法一：行列式法使用行列式法求解三角形的面积是最常见的方法之一。
该方法基于行列式的性质，通过计算三个点的坐标来求解。
在平面直角坐标系中，设三角形的三个顶点分别为A（x1，y1）、B （x2，y2）和C（x3，y3）。
那么，三角形的面积可通过以下公式来计算：S = |(1/2) * (x1 * (y2-y3) + x2 * (y3-y1) + x3 * (y1-y2))|其中，竖线表示计算行列式的值。
3. 方法二：海伦公式海伦公式也是求解三角形面积的另一种常用方法。
该方法是基于三角形的三条边长来计算的。
假设三角形的三边长分别为a、b和c，半周长为s = (a+b+c)/2，那么三角形的面积可以用以下公式计算：S = √(s * (s-a) * (s-b) * (s-c))海伦公式的优点是在不知道三角形顶点坐标的情况下，只需知道边长即可计算三角形面积。
4. 方法三：向量法向量法是一种通过向量的运算来求解三角形面积的方法。
设三角形的两边向量为a和b，则三角形的面积S可以通过如下公式计算：S = (1/2) * |a × b|其中，× 表示向量的叉积。
叉积的结果是一个向量，其模表示平行四边形的面积，所以需要除以2来得到三角形的面积。
5. 总结和回顾在平面直角坐标系中，我们可以使用行列式法、海伦公式和向量法来求解三角形的面积。
根据不同的情况和已知条件，我们可以选择最合适的方法来计算。
行列式法基于三角形的顶点坐标，适用于已知三个顶点坐标的情况；海伦公式基于三角形的边长，适用于只知道边长的情况；向量法适用于已知两条边的向量的情况。
平面直角坐标系中面积及坐标的求法【精选文档】
平面直角坐标系中面积及坐标的求法1 、平面直角坐标系中，已知点A（-3,-1)，B(1,3），C（2，—3），你能求出三角形ABC的面积吗？2、在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（—2,-2），B（0，-1），C（1，1）,求△ABC的面积.3、在平面直角坐标系中，四边形ABCD的各个顶点的坐标分别为A(—4，-2）B(4，-2）C(2，2)D(-2，3）。
求这个四边形的面积。
4、在平面直角坐标系中，四边形ABCD 的四个点A、B、C、D的坐标分别为（0，2)、（1，0)、（6，2）、(2，4),求四边形ABCD的面积.5、在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为A（1，—1），B（-1，4），C（-3，1），（1）求△ABC的面积;6、在平面直角坐标系中，A(—5,0），B（3,0），点C在y轴上，且△ABC的面积12，求点C的坐标.7、在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别为：（2，5）、(6，-4）、（—2,0），且边AB与x轴相交于点D，求点D的坐标。
8、已知，点A（-2，0)B(4，0）C(2，4）（1）求△ABC的面积；（2）设P为x轴上一点，若12APC PBCS S=,试求点P的坐标.9、在平面直角坐标系中，P（1,4），点A在坐标轴上，4PAOS=，求点P的坐标10、在直角坐标系中,A（—4，0），B（2，0），点C在y轴正半轴上,18ABCS=, (1）求点C的坐标;(2）是否存在位于坐标轴上的点P，使得12APC ABCS S=.若存在，请求出P的坐标,若不存在，说明理由。
11、在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（—1，0），（3，0),现同时将点A 、B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A 、B 的对应点C 、D ，连接AC 、BD 。
（1)求点C 、D 的坐标及四边形ABDC 的面积; (2）在y 轴上是否存在一点P ，连接PA 、PB ，使12APBABDC SS四,若存在这样的点,求出点P 的坐标,若不存在，试说明理由。
初中直角坐标面积问题教案
初中直角坐标面积问题教案【教学目标】1. 理解平面直角坐标系中图形的面积概念。
2. 学会使用分割法、填减法等方法求解平面直角坐标系中不规则图形的面积。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
【教学内容】1. 平面直角坐标系的基本概念。
2. 图形的面积概念及求解方法。
3. 分割法、填减法在求解面积问题中的应用。
【教学过程】一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾平面直角坐标系的基本概念，包括坐标轴、象限等。
2. 提问：同学们，你们知道图形的面积是什么意思吗？面积如何计算呢？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解图形的面积概念，引导学生理解面积的意义。
2. 介绍分割法、填减法两种求解面积的方法。
3. 举例讲解如何使用分割法、填减法求解平面直角坐标系中的不规则图形面积。
三、课堂练习（15分钟）1. 布置练习题，让学生独立完成。
2. 选几位同学上台演示解题过程，并讲解解题思路。
四、巩固提高（15分钟）1. 引导学生总结本节课所学的知识点，巩固记忆。
2. 提问：同学们，你们能运用分割法、填减法解决实际问题吗？请大家举例说明。
五、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课所学的知识点，强调重点。
2. 提醒学生在日常生活中注意观察和运用平面直角坐标系中的面积问题。
【教学反思】本节课通过讲解平面直角坐标系中的面积问题，使学生掌握了图形的面积概念以及求解方法。
在教学过程中，注重引导学生主动思考、积极参与，提高了学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
同时，通过课堂练习和巩固提高环节，使学生能够将所学知识点运用到实际问题中。
总体来说，本节课达到了预期的教学目标，学生对平面直角坐标系中的面积问题有了更深入的理解。
在今后的教学中，要继续加强对学生思维能力的培养，鼓励学生主动探索、勇于创新。
此外，要注意调整教学节奏，保证课堂信息的充足和学生的积极参与。
通过不断改进教学方法，提高学生的数学素养，为后续学习打下坚实基础。