八年级数学下册 第十八章勾股定理复习课件 人教新课标版
章勾股定理复习教学课件人教版八年级数学下册
个叫做它的 逆命题 . 有些命题在不容易确定题设和结论的情况下，可 以先改写成“如果……那么……”的形式，然后确 定题设和结论.
互逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正 确的，那么它也是一个定理，称这两个定理 互为逆定理， 其中一个定理叫做另外一个
定理的 逆定理 .
重难点3：勾股定理逆定理的应用
D.逆命题：如果两个角相等，那么这两个角都是30〫.（假） 两个角都是40〫
1.有些命题在不容易确定题设和结论的情况下，可 以先改写成“如果……那么……”的形式，然后确 定题设和结论.
2.判断一个命题是假命题只需要举出一个反例即可.
（2）在△ABC中，AB=15， BC=20 ，AC=25；
（3）在△ABC中，AB=14， BC=2 ，AC=15.
勾写出股下定列理命逆题互定的理逆逆的命应题定用，并理判断：这些一命题般的真地假. ，如果一个定理的逆命题经过证明是正 确的，
如果∠C- ∠B= ∠A，则△ABC是直角三角形.
如果两个角都是30〫，那么这两个角相等.
那么它也是一个定理，称这两个定理 （2）逆命题：如果一个三角形两个内角所对的边相 等，那么这两个内角相等.
可以看出b是斜边，所以∠B=90〫，选项B错误.
因为∠C+∠B+∠A=180〫，所以 10x=180〫， 解 得x=18〫.
因为∠A=90〫，所以△ABC是直角三角形.
2.在Rt△ABC中， ∠C=90〫，若AB=10，则两个正方形的面 积之和为 的 边长，BC 是大正方形的边长.
人教版八年级数学下册
知识梳理
勾 股 定 理 的 逆 定 理
概念
如何判断 直角三角形
找最长边
两短边的平方和与最长边的平方 判断等量关系
2021年八年级数学下册 第十八章勾股定理复习教案 人教新课标版
2021年八年级数学下册第十八章勾股定理复习教案人教新课标版从容说课勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它有着悠久的历史，在数学发展中起过重要作用，在现实世界中也有着广泛的应用，勾股定理的发现．验证和应用蕴涵着丰富的文化价值．勾股定理从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征，通过对勾股定理的学习，学生对直角三角形有了更进一步的认识和理解．为了使学生更好地认识勾股定理和它的逆定理，更好地运用他的解决实际生活中的问题，通过回顾已学过的知识，加强对勾股定理及逆定理的理解和应用．在本章，数形结合的思想有较多的体现，教学中应更进一步地渗透这种思想，让学生更进一步体验从代数表示联想到有关的几何图形，由几何图形联想到有关的代数表示，这有助于学生认识数学的内在联系．勾股定理和逆定理在现实世界中有着较为广泛的应用。
在本小结中应让学生更进一步体会它们在解决问题中的作用，认识现实世界中蕴涵着丰富的数学信息．进一步介绍有关勾股定理的历史，体现其文化价值．这一定理又导致了无理数的产生——数学历史上的第一次数学危机．本章小结三维目标一、知识与技能1．对直角三角形的特殊性质全面地进行总结．2．让学生回顾本章的知识，同时重温这些知识尤其是勾股定理的获得和验证的过程；体会勾股定理及其逆定理的广泛应用．3．了解勾股定理的历史．二、过程与方法1．体会在结论获得和验证过程中的数形结合的思想方法．2．在回顾与思考的过程中，提高学生解决问题，反思问题的能力，鼓励学生具有创新精神．三、情感态度与价值观1．在反思和交流的过程中，体验学习带来的无尽的乐趣．2．通过对勾股定理历史的了解，培养学生的爱国主义精神，体验科学给人类带来的力量．教学重点1．回顾并思考勾股定理及其逆定理获得和验证的过程；总结直角三角形边、角之间分别存在的关系．2．体会勾股定理及其逆定理在生活中的广泛应用．教学难点1．勾股定理及其逆定理的广泛应用．2．建立本章的知识框架图，教具准备多媒体课件．教学过程一、引入新课勾股定理，我们把它称为世界第一定理．它的重要性，通过这一章的学习已深有体验．首先，勾股定理是数形结合的最典型的代表；其次，了解勾股定理历史的同学知道，正是由于勾股定理的发现，导致无理数的发现，引发了数学的第一次危机，这一点，我们将在《实数》一章里讲到．第三，勾股定理中的公式是第一个不定方程，有许许多多的数满足这个方程，也是有完整解答的最早的不定方程，由此由它引导出各式各样的不定方程，最为著名的就是费马大定理，直到1995年，数学家怀尔斯才将它证明．勾股定理是我们数学史的奇迹，我们已经比较完整地研究了这个先人给我们留下来的宝贵的财富，这节课，我们将通过回顾与思考中的几个问题更进一步了解勾股定理的历史，勾股定理的应用．二、回顾与思考问题1：直角三角形的边、角之间分别存在着什么关系?师：在上一学期我们已对直角三角形有所涉及，而这一章我们又重点研究了直角三角形的性质．现在我们来回答问题1，从直角三角形的边、角的特殊性角度全面地进行总结．生：从边的关系来说，当然就是勾股定理；从角的关系来说，由于直角三角形中有一个特殊的角即直角，所以直角三角形的两个锐角互余．生：我认为直角三角形作为一个特殊的三角形，如果又有一个锐角是30°，那么30°的角所对的直角边是斜边的一半．师：很好．我们的学习就应该是一个不断总结、概括、创新的过程．随着以后的学习，你会发现，直角三角形还有它更吸引人的地方．下面我们来看第2个问题．问题2：举例说明，如何判断一个三角形是直角三角形．生：判断一个三角形是直角三角形可以从角、边两个方面去判断．例如：①在△ABC中，∠B＝75°，∠C＝15°，根据三角形的内角和定理，可得∠A＝90°．根据定义可判断△ABC是直角三角形．②在△ABC中．∠A＝12∠B＝13∠C，由三角形的内角和定理可知∠A＋2∠A＋3∠A＝180°，所以∠A＝30°，∠B＝2∠A＝60°，∠C＝3∠A＝90°，△ABC是直角三角形．上面两个例子都是从定义即从角出发去判断一个三角形是直角三角形．生：我来说一下从边如何去判断一个三角形是直角三角形吧．其实从边来判断直角三角形它的理论依据就是判定直角三角形的条件(即勾股定理的逆定理)．例如：①△ABC的三条边分别为a＝7，b＝25，c＝24，而a2＋c2＝72＋242＝625＝252＝b2，，即a2＋c2＝b2，根据勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形．但这里要注意的是b所对的角∠B＝90°．②△ABC三条边的比为a:b:c＝5:12:13，则可设a＝5k，b＝12k，c＝13k，a2＋b2＝25k2＋144k2＝169k2，c2＝(13k)2＝169k2，所以，a2＋b2＝c2，△ABC是直角三角形．师：同学们对我们所学知识能很灵活地运用．在谈到应用这些知识的同时，我们不妨重温一下勾股定理的获得和验证的过程，体会验证过程中的数形结合的思想和方法，对于我们将来学习和研究数学会大有益处．生：勾股定理获得是从一些特例猜想得到的．我们在方格纸上任意画出一个直角三角形，使它的每个顶点都在方格纸的交点上，然后以它的每个边为边长在外部长出三个正方形，我们通过讨论、计算、数格子的方法得到了三个正方形的面积，并且发现以斜边为边长的正方形的面积等于那两个以直角边为边长的正方形的面积和，我们设直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，大正方形的面积是c2，两个小正方形的面积为a2、b2，由上面的关系，我们猜想，是不是所有的直角三角形都有a2＋b2＝c2这个结论呢?师：这位同学的思路很好．勾股定理又是如何验证的呢?生：先是又找了几个特例验证，发现这个结论正确。
初中数学八年级下册第十八章《勾股定理的复习
D 4a M x
8a-x E
C
X2+(4a)2=(8a-x)2
X=3a
G 8a-x=5a
8a-x
DE:DM:EM=3:4:5
F
A
B
已知:∠A=90°,AB=6,AC=8,以A为圆心, AC为半径,画弧交CB的延长线于D,求CD的长.
C
10
8
E
4.8
A
6B
8
x
D
X=2.8
• 谈谈你的收获
祝同学们学得更好!
D
OE=4cm OF=3cm
EF=OE-OF=4-3=1cm EF=OE+残的车轮如图所示,测得它所剩圆弧两端点间
综 合 应
的距离a=0.72m,弧中点到弧所对弦的距离h=0.25m, 如果需要加工与原来大小相同的车轮,那么这个车轮 的半径是多少?(结果精确到0.01m)
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2
在Rt△ACD中,AD2=AC2+CD2 =AB2+BC2+CD2
D
50cm
C
A
40cm
30cm
B
4。已知: ⊙ O的半径为5cm, AB、CD为⊙ O内的两条弦， AB∥CD,AB=6cm,CD=8cm,求AB、CD间的距离。
A
EB
A
EB
C
F
D
.O
.O
C
F
再见
个人观点供参考，欢迎讨论！
ICM2002
华罗庚
第24届国际数学大会会徽
识果边学授
.. , ,
, .
这 种 语 言 的
存 在 外 星 人
那 么 他 们 一 定 会
课件八年级数学人教版下册_勾股定理复习课课件
ABCD的面积。
A
D
B C
7.观察下列表格：
列举
3、4、5
……
5、12、13
7、24、25
13、b、c
猜想
32=4+5 52=12+13 72=24+25
北
o
西
A
南东Leabharlann 答：AB=30海里B
5 ． 如 图 ， 在 四 边 形 ABCD 中 ， ∠BAD =900，∠DBC = 900 ， AD = 3，AB = 4，BC = 12， 求CD；
D
A
C B
6．已知，如图，四边形ABCD中，
AB=3cm ， AD=4cm ， BC=13cm ，
CD=12cm，且∠A=90°，求四边形
解答题
3.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， BC=6， AC=8
求：斜边上的高CD.
解：由勾股定理知
AB2=AC2+BC2
C
=82+62=100
∴AB=10
?
由三角形面积公式
B
D
A
½ ·AC ·BC=
½∴C·DA=B4·.8CD
4. 一艘轮船以16海里/时的速度离开港口向 东南方向，另一艘轮船在同时同地以12海 里/时的速度向西南方向航行，它们离开港 口一个半小时后相距多远？
A、24cm B、36cm C、48cm D、60cm 直角三角形的两条直角边长为a,b,斜边上的高为h,则下列各式中总能成立的是 ( )
2 ②三个角之比为３:４:５;
2
2
2
在西方又称毕达哥拉斯定理耶！
13．若等腰三角形中相等的两边长为10cm,第三边长为16 cm,那么第三边上的高为 ( C )
八年级数学下册第18章勾股定理知识点与常见题型总结复习人教新课标版
八年级数学下册第18章勾股定理知识点与常见题型总结复习人教新课标版八年级数学下册第18章勾股定理知识点与常见题型总结复习人教新课标版第18章勾股定理复习一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2b2c2勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称作毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就所提了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法各种各样，常见的是拼图方法用拼图的方法验证三角学的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的占地约不同的表示方法方法，列出等式，推导出与勾股定理常见方法如下：方法一：4SS正方形EFGHS正方形ABCD，412ab(ba)2c2，化简可证．DCHEFGbaAcB方法二：baaccbbccaab四个直角三角形的面积与正方形小面积的和等于大的正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S412abc22abc2大正方形面积为S(ab)2a22abb2所以a2b2c2方法三：S1梯形2(ab)(ab)，S梯形2SADESABE21122ab2c，化简得证用心爱心专心AaDbccBbEaC３.勾股定理的适用范围勾股定理阐释了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于正五边形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须清了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC中，C90，则ca2b2，bc2a2，ac2b2②知道直角三角形一旁，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际结构性问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a，b，c满足a2b2c2，正方形那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边①是否是的逆定理是判定一个三角形勾股定理直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能出现形状，在运用这很强理时，可用两小边的平方和a2b2与较长边的平方c2作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若a2b2c2，时，以a，b，c为三边的三角形是钝角三角形；若a2b2c2，时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a，b，c及a2b2c2只是这种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足a2c2b2，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当圆周的平方等于两条直角相等边的平方和时，这个正方形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为股数，即a2b2c2中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数②记住常见的勾股数可以不断提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用不含字母的代数式表示n组勾股数：n21,2n,n21（n2,n为正整数）；2n1,2n22n,2n22n1（n为正整数）mn,2mn,mn2222（mn,m，n为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理之时，必须把握直角三角形的先决条件，了解圆周中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理成功进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形假如直角三角形，在具体用心爱心专心推算过程中，应用平方和两短边的平方和与最长边的平方进行很，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其九章算术逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理断定判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：CCC30°ABADBBDACBDA题型一：直接考查勾股定理硝普钠１.在ABC中，C90．⑴已知AC6，BC8．求AB的长⑵已知AB17，AC15，求BC的长分析：随意应用勾股定理a2b2c2题型二：应用软件勾股定理建立方程例２.⑴在ABC中，ACB90，AB5cm，BC3cm，CDAB于D，CD＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个矩形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm，斜边长为13cm，则这个矩形的面积为分析：在解直角三角形此时，要想到勾股定理，及直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解例３.如图ABC中，C90，12，CD1.5，BD2.5，求AC的长CD12EAB分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来用心爱心专心例4.如图RtABC，C90AC3,BC4,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积CAB题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm，另一棵高2cm，两树相距8cm，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了mAEBDC分析：根据题意建立数学模型，题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a，b，c，判定ABC是否为Rt①a1.5，b2，c2.5②a54，b1，c23例7.三边长为a，b，c满足ab10，ab18，c8的三角形是什么形状？题型五：勾股定理与勾股定理的对顶角逆定理综合应用例8.已知ABC中，AB13cm，BC10cm，BC边上的中线AD12cm，求证：ABAC用心爱心专心新人教版八年级下册勾股定理全章知识点和典型例习题一、基础知识点：１．勾股定理内容：直角三角形两直角边两的平方和等于切线的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2b2c2２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：DHEFbAcGaC1方法一：4SS正方形EFGHS正方形ABCD，4ab(ba)2c2，化简可证．2方法二：四个直角三角形的面积与正方形小面积的和等于大的正方形的面积．四个直角1面积正方形的面积与小正方形面积的和为S4abc22abc2大正方形面积为2BbacabS(ab)a2abb所以abcbc222222c111方法三：S梯形(ab)(ab)，S梯形2SADESABE2abc2，化简得证222３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的供应量关系，它只适用于于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。
人教新课标八年级数学下册第十八章：勾股定理复习课ppt课件
体验数学与生活的密不可分 2.利用教育资源介绍中国古代勾股方面的成就和数学文 化历史，介绍中国古代有关勾股定理研究方面取得的 伟大成就，激发学生爱国情感。
教学重点、难点
【教学重点】勾股定理的应用与数学思想的传递 【教学难点】勾股定理证明的表述和解决实际问题 【难点成因】对于勾股定理一章知识的整合和系统化，需 要学生具备一定的分析、归纳的思维方法和运用数学的思 想意识，但学生在这一方面的可预见性和耐挫折能力并不 是很成熟，从而形成困难
教学目标
知识技能：
数学思考：
解决问题:
情感态度：
通过回顾勾股定理的证明过程，体验勾股定理 的应用过程，积累应用勾股定理解决实际问题 的方法。能够运用勾股定理进行简单计算和运 在复习过程中，让学生经历“回顾-体验-积累” 用，培养学生动手操作、合作交流的能力。 的数学思考过程，体会知识的系统化 1. 在复习勾股定理的过程中，通过猜想、拼图、证明 等操作，使学生深刻感受数学知识的发生发展过程。 应用勾股定理，体会数形结合思想和方程思想在 培养学生的合作交流意识和探索精神，增进信心，使 解决实际问题中的作用，体会勾股定理学习的重 学生感受数学之美、探究之趣。 要性，发展学生学数学━用数学━爱数学的思想，
第18章勾股定理
八 年 级 下 册
七年级-八年级-九年级
边角关系
角的关系
直角三角形 七 九 年 级 —
边和其他线段 的关系
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学情分析
知识基础：学生在七年级数学下册《三角形》一章的学习中，已经 掌握了直角三角形有关性质，特别是直角三角形三个内角的关系，有 了一定的研究图形的经验。而且在前面的学习中，学生已经历了探索 和验证勾股定理的过程，又通过观察、操作、思考，充分认识了勾股 定理的本质特征，获得了初步的数学活动经验，具备了一定的动手操 作、合作交流和观察、分析的能力。在七年级数学上册《一元一次方 程》中的解方程技能、八年级数学上册《整式的乘除》中完全平方公 式的展开技能和八年级数学上册《实数》中对于无理数的认识，都对 于本单元学习的计算和理解有重要的知识基础。
八年级数学下册 第十八章勾股定理复习课件 人教新课标版
10
D
A
8-X
8
10
E
8-X X
B
6
F4 C
第九页，编辑于星期五：六点 十分。
有一个圆柱,它的
B
高等于12厘米,底面
半径等于 近呢?
点有一只蚂蚁,它想
从点A爬到点B , 蚂
蚁沿着圆柱侧面爬
A
行的最短路程是多
少?
第十页，编辑于星期五：六点 十分。
三、正方体中的最值问题
例4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体 的外表爬到对角顶点C1处〔三条棱长如以下图〕，问怎样走 路线最短？最短路线长为多少？
D1 A1 D
A
4
分析: 根据题意分析蚂蚁爬行的路线有三
C1
种情况(如图①②③ ),由勾股定理可求得
B1
1 C
图1中AC1爬行的路线最短.
2
B
D1
C1
①
1
A1
B1
第十三页，编辑于星期五：六点 十分。
拓展与应用
2、△ABC的三条边长分别为a、b、 c，且满足关系： (a+b)2 + c2 = 3ab + c(a+b), 试判断△ABC的形状，并说明理由.
第十四页，编辑于星期五：六点 十分。
3.如果一个命题成立,它的逆命题一定成
立吗?请举例说明.
第三页，编辑于星期五：六点 十分。
题组1
• 〔1〕求出图形中的ｘ
• 〔3〕在以下几组数中，能组成直角三角形 的有几组？
• 6，8，10；5，12，13；8，40，41； • 3〔ａ－1〕，4〔ａ－1〕，5〔ａ－1〕〔
ａ>1〕
第四页，编辑于星期五：六点 十分。
初中数学八年级下册第十八章《勾股定理的复习》
D
OE=4cm OF=3cm
EF=OE-OF=4-3=1cm EF=OE+OF=4+3=7cm
•
一个破残的车轮如图所示,测得它所剩圆弧两端点间
综 合 应
的距离a=0.72m,弧中点到弧所对弦的距离h=0.25m, 如果需要加工与原来大小相同的车轮,那么这个车轮 的半径是多少?(结果精确到0.01m)
ICM2002
识果边学授
这存长图建我
种在为形议国
华罗庚
第24届国际数学大会会徽
.. , ,
, .
语 言 的
外 星 人
那 么 他 们 一 定 会 认
3
4
5
的 直 角 三 角 形
如
飞 到 宇 宙 空 间
其 中 一 个 是
让 宇 宙 飞 船 带 着 两 三 个 数
已 故 著 名 数 学 家 华 罗 庚 教
知识回顾:
1、已知Rt△ABC中，∠C=90°.
（1）a=8，b=15，求c （2）c=13，b=5，求a
（3）a:b=3:4,c=10，则a= 6 ,b= 8 . （4）∠A=30°，BC=2cm,则AB= 4cm，AC= cm
2、若等边三角形边长为a，则等边三角形的高为 。
3、有一根70cm的木棒，要放在长、宽、高分别是40cm、30cm、 50cm的木箱中，能放进去吗？
D 4a M x
8a-x E
C
X2+(4a)2=(8a-x)2
X=3a
G 8a-x=5a
8a-x
DE:DM:EM=3:4:5
F
A
B
已知:∠A=90°,AB=6,AC=8,以A为圆心, AC为半径,画弧交CB的延长线于D,求CD的长.
人教版八年级下第十八章《18.1勾股定理》ppt
20
.
注意:利用方程的思想求直角三角形 有关线段的长
练习
(3)已知c=13,a=12.则b= (结果保留根号) (4)已知a:b=3:4,c=15,则b=
5
12
. .
注意:利用方程的思想求直角三角形 有关线段的长
2、直角三角形两条直角边的长分别 为6和8, 则斜边上的中线为 5 . 3、在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30° 1:√3 :2 ，则BC:AC:AB= .
A
A
2
D
1
B C
B C
4、在Rt△ABC中,∠C=90°， AC= BC，则AC :BC :AB= 1:1:√2 . 若AB =8则AC= 4 2 .又若CD⊥AB于D,则 CD= 4 .
B
D
c
A
分析
3 等边△ABC的边长为a,则高AD= a 2 面积S= 3 a 2 4
A
B
D
C
通过适当添 加辅助线构建直 角三角形使用勾 股定理.
A 1m
B
因为AC大于木板的宽，所以木板能 从门框通过。
练习
1、在Rt△ABC中,∠C=90°； 41 （1）已知:a=9,b=40, 则c=_____; 8 （2）已知:a=6,c=10,则b=_____;
A b C
c
a
B
练习
1、在Rt△ABC中,∠C=90°； 12 （3）已知:b=5,c=13,则a=_____;
一个3m长的梯子AB，斜靠 在一竖直的墙AO上，这时AO的距离 为2.5米，如果梯子的顶端A沿着墙下 滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m 吗？
A
3m
2.5m
O
解：∵Rt△AOB中， OB2=AB2-AO2 =32-2.52=2.75 ∴OB≈1.658
八年级数学下册课件(人教版)勾股定理
5 如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC 和△A′B′C ′拼在一起，其 中点A′与点A重合，点C ′落在边AB上，连接B′C. 若∠ACB＝∠AC′B ′ ＝90°，AC＝BC＝3，则B′C 的长为( A )
A．3 3 B．6 C．3 2 D. 21
知识点 2 勾股定理与面积的关系
在一张纸上画4个与图所示的全等的直角三边形，并把它们 剪下来．如图所示，用这四个直角三角形进行拼摆，将得到一个
17.1 勾股定理
第1课时
相传2500年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客， 发现朋友家用砖铺成的地 面反映直角三角形三边的 某种数量关系，同学们， 我们也来观察下面的图案， 看看你能发现什么？
A、B、C 的面积有什么关系？
直角三角形三边有什么关系？
A
B
C
让我们一起探索这个古老的定理吧！
知识点 1 勾股定理
正方形B的面积是 9 个单位面积.
正方形C的面积是 18 个单位面积.
C A
B
图2-1
C A
B
图2-2
(图中每个小方格代表一个单位面积)
分“割”成若干个 直角边为整数的三角形
S正方形c
= 4 133 2
=18(单位面积)
C A
B
图2-1
C A
B
图2-2
(图中每个小方格代表一个单位面积)
(2)在图2-2中，正方形A，B， C 中各含有多少个小方格？
A．3 B．4 C．5 D．7
4 如图，已知△ABC 为直角三角形，分别以直角边AC，BC 为直径 作半圆AmC 和BnC，以AB 为直径作半圆ACB，记两个月牙形阴 影部分的面积之和为S1，△ABC 的面积为S2，则S1与S2的大小关
八年级下第18章《勾股定理》单元复习课件(共34
（2）设a=13k，b=12k，c=5k（k＞0） ∵最长边是a=13k ∴a2=(13k)2 =169k2
∵b2+c2=(12k)2+(5k)2 =169k2
∴a2=b2+c2 ∴△ABC是直角三角形.
典例突破4
如图，A、B、C、D是四个小城镇，除 BC外，它们之间都有笔直的公路连接，公 共汽车行驶于城镇之间，其票价与路程成 正比.已知各城镇间的公共汽车票价如下： A—B：10元；A—C：12.5元；A—D：8元； B—D：6元；C—D：4.5元.
3.熟记常见的勾股数.
达标检测
1.已知一个直角三角形的面积为6cm2，一
条直角边长为3cm，则它的斜边长为（A）
A.5cm B.6cm C.8cm D.12cm 2.等腰三角形底边上的高是8，周长是32，
则此三角形的面积是（C）
A.32 B.40 C.48 D.56
3.已知︱x-12︱+(y-13)2与z2-10z+25互为相 反数，则以x、y、z为三边的三角形是
∴AB=9cm，BC=12cm，CA=15cm， ∵AB2+BC2=AC2, ∴△ABC是直角三角形，
∴经过3s时，BP=9-3×1=6(cm)，
BQ=2×3=6（cm）
1 ∴S△BPQ = 2 BP×BQ
1
= ×6×6
2
=18（cm2） 答：△BPQ的面积为18cm2.
课堂小结 什么是勾股定理？
（2）a︰b︰c=13︰12︰5.
分析：要先找出最长边，并算出它的平分， 再算出两条较短边的平方和，然后判断最长 边的平方是否等于两条较短边的平方和.
解（1）最长边为c= 6 ，
则c2=6.
八年级数学下册,第18章 勾股定理 课件人教版
s s ∵ = 大正方形 大正方形
∴c2=a2+b2
定理：经过证明被确认为正确的命题叫做 定理。
勾股定理：如果直角三角形的两直角边长 分别为ａ、ｂ，斜边为ｃ，那么ａ2+b2=c2。
弦 在我国古代，人们将直角三角形中的短的直角边
b
股
c 叫做勾，•长的直角边叫做股，斜边叫做弦．
根据我国古算书《周髀算经》记载，在约公元前
同学们，我们也来观察下面图中的地面，看看 你能发现什么？是否也和大哲学家有同样的发呢？
相传2500年前，古希腊著名数学家毕达哥拉斯从朋友家 的地砖铺成的地面上找到了答案，同学们看看图中有没有直 角三角形，从中你能找到答案吗？
A
B
C
A、B、C的面积有什么关系？ SA+SB=SC 直角三角形三边有什么关系？ 两直角边的平方和等于斜边的平方
1、学习了勾股定理的定义
a2+b2=c2
2、利用勾股定理解决实际问 题
作业：
P69～70 复习巩固第1、2题
高3米，消防队员取出6.5米长的云梯，如果梯子的底部离 墙基的距离是2.5米，请问消防队能否进入三楼灭火？
毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家、数 学家、天文学家，相传2500•年前，一次， 毕达哥拉斯去朋友家作客．在宴席上，其 他的宾客都在尽情欢乐，高谈阔论，只有 毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地而发起 来．原来，朋友家的地是用一块块直角三 角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美 观大方．主人看到毕达哥拉斯的样子非常 奇怪，就想过去问他．谁知毕达哥拉斯突 破恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回 家去了．
再来一下
2、如图，池塘边有两点A，B，点C是与 BA方向成直角的AC方向上一点，测得 CB=60m，AC=20m。你能求出A，B 两 点间的距离吗（保留整数）？
人教版八年级数学下册第18章勾股定理《勾股定理习题课件》ppt课件
x 12 8 48
B
D x
如图，∠B=∠C=∠D=∠E=90°，且AB=CD=3， BC=4，DE=EF=2，则求AF的长。 A 3 B 3 2 4 C 3 D
10 E 2 2 F
4
2
如图，已知：等腰直角△ABC中，P为斜边BC 上的任一点. 求证：PB2＋PC2＝2PA2 .
A
B
P
15 A 10
①
20
②
15
20
A 10
A 10
15
AB =√202+152 =√625
AB =√102+252 =√725
CD的边长等于 D
。 C
E
G F M H A N
O
B
一辆装满货物的卡车2.5m高，1.6m宽，要开进 具有如图所示形状厂门的某工厂，问这辆卡车能 否通过厂门？说明你的理由。 P 1 0.6 A B O 0.8 Q 2.3
2
为了筹备迎新生晚会，同学们设计了一个圆筒形 灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色泊纸，如图 已知圆筒高108cm，其截面周长为36cm，如果 在表面缠绕油纸4圈，应截剪多长油纸。
D、
1 a
2
1 b
2
1 h
2
如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为 20cm，点B到点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿 着长方体的表面从A点爬到B点，需要爬行的最短距 离是多少？
B
C
20
分析 根据题意分析蚂蚁爬行的路线有 两种情况(如图①② ),由勾股定理可求 得图1中AB最短.
B
5 B 5
A
Q
如图，公路MN和小路PQ在P处交汇,∠QPN=30°,点 A处有一所学校,AP=160m,假设拖拉机行使时,周围 100m内受噪音影响,那么拖拉机在公路MN上以 18km/h的速度沿PN方向行驶时,学校是否受到噪音的 影响?如果学校受到影响,那么受影响将持续多长时间?
八年级数学下册 第18章 勾股定理 18.1 勾股定理 第1课时 勾股定理课件
18.1 第1课时(kèshí) 勾股定理
第一页，共十三页。
第18章 勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)
18.1 第1课时(kèshí) 勾股定理
知识目标 目标突破 总结反思
第二页，共十三页。
18.1 1 第 课时(kèshí) 勾股定理
知识(zhī shi)目标
(2)我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直 角边称为股，斜边称为弦．因此我们称上述定理为勾股定理．
第十页，共十三页。
18.1 1 第 课时(kèshí) 勾股定理
已知直角三角形的两边长分别为 3 cm，4 cm，则第三边的长 是________．
王华同学的答案是 5 cm，小明同学的答案是 5 cm 或 7 cm， 哪个同学的答案正确？并给出理由．
∴S 梯形 BCC′D′＝S△ABC＋S△CAC′＋S△D′AC′＝12ab＋12c2＋12ab＝c2＋22ab， ∴（a＋2 b）2＝c2＋22ab，∴a2＋b2＝c2.
第八页，共十三页。
18.1
1课时 第
(kèshí)
勾股定理
【归纳总结】拼图法证明勾股定理的基本思路： 先构造一个含有直角三角形的图形，再用两种不同的方法表示同一 图形的面积，然后根据“同一图形的面积相等”列等式，化简即得 勾股定理的结论.
第十二页，共十三页。
内容(nèiróng)总结
第18章 勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)。18.1 第1课时 勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)。a2＋b2＝c2
第十三页，共十三页。
图 18－1－1
第七页，共十三页。
18.1 第1课时(kèshí) 勾股定理
数学：第18章勾股定理复习课件(人教版八年级下)(推荐)
3.已知直角三角形ABC中, ACB 90 B
(1)若AC=8,AB=10,则 S = ABC __2_4_.
(2)
若
SABC
A
=30,且BC=5,则AB=__1_3__
C
(3)若SABC =24,且BC=6,则AB边上的高
为__4_._8_
8。如图：在RtABC中，ACB 900，CD是斜边 上的高，AC 3，BC 4，则CD的长.
则A=__6_2_5__个单位面积.
(2)若A=225个单位面积,B=81个单位面积,
则C=__1_4_4__个单位面积.
第1题
2.已知直角三角形ABC中, ACB 90 B (1)若AC=12,BC=9,则AB=___1_5__
(2)若AB=13,BC=5,则AC=___1_2___ A
C
勾股数的妙用:你能速算吗? 3.已知直角三角形中,
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4.若有两条线段分别为3，4，第三条线段为 ___5_____时，才能组成一个直角三角形
勾股定理与逆定理的
综合运用
7.如图：AD⊥CD ， AC⊥BC ,AB=13， CD=3 ，
AD=4 。求：(1)求AC长
C
(2)求BC长
D34 13
B
A
8.如图, AD⊥CD ，AB=13， BC=12 ，CD=3 ，
知识点梳理
• 勾股定理:如果直角三角形的两直角边分别为
a,b,斜边为c,则有
a2 b2 c2
• 直角三角形的判定:如果三角形的三边长a,b,c
满足 a2 b2 c2,那么这个三角形是直角
三角形.
1.如图，字母A，B，C分别代表正方形的面积
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综合运用
5.一长方体水池的长、宽、高分别 为50cm、40cm、30cm，池中有一 满池水．小亮把长度为70cm的金 属棒放入水中，能否被完全淹没？ 说说你的理由．
2、已知△ABC的三条边长分别为a、b、 c，且满足关系：
2 (a+b) + 2 c =
3ab + c(a+b),
试判断△ABC的形状，并说明理由.
B C
1
C
2
B
A
A
分析： 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的， 故需把正方体展开成平面图形（如图）.
四、长方体中的最值问题
例4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发， 沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图 所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？
D1 A1 D
A 4 C1 1 B1 C 2 B
分析: 根据题意分析蚂蚁爬行的路 线有三种情况(如图①②③ ),由勾股 定理可求得图1中AC1爬行的路线最 短.
D D1 C1
2
D1
C11A1来自B14①
A1
B1
4
②
A B 2
C1
1
③
A
B
2
C
A 1 A1
4
B1
AC1 =√42+32 =√25 ;
AC1 =√62+12 =√37 ;
AC1 =√52+22 =√29
Ａ
Ａ
Ｄ
Ｂ
Ｃ
Ｃ
Ｂ
5、分别以直角三角形三边为半径作半圆则 A=B+C 这三个半圆的面积A,B,C之间的关系（ ） 6.如图，两个正方形的面积 分别为64，49，则AC=( 17 )
A D 64 A C
B
49
C
折叠中的计算问题
１、折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在 BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM, 求: (1)CF (2)EC. 10 D A
实际问题 (直角三角形边长计算)
勾股定理
互逆定理
实际问题 (判定直角三角形)
勾股定理的逆定理
1.直角三角形三边的长有什么关系?找 一个实际问题并用勾股定理解决. 2.已知一个三角形的三边,你能判断 它是否直角三角形吗? 3.如果一个命题成立,它的逆命题一定 成立吗?请举例说明.
• （1）求出图形中的ｘ
8-X 8 10 8-X
E
X
B
6
F
4
C
有一个圆柱,它的 高等于12厘米,底 面半径等于3厘米, 在圆柱下底面上的 A点有一只蚂蚁,它 想从点A爬到点B , 蚂蚁沿着圆柱侧面 爬行的最短路程是 多少?
B
我怎 么走 会最 近呢?
A
三、正方体中的最值问题
例3、如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出 发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（ ）. （A）3 （B） √5 （C）2 （D）1
• （3）在下列几组数中，能组成直角三角形 的有几组？ • 6，8，10；5，12，13；8，40，41； • 3（ａ－1），4（ａ－1），5（ａ－1） （ａ>1）
• （1）已知⊿ＡＢＣ中ＡＢ＝ＡＣ＝20， ＢＣ＝24求⊿ＡＢＣ的面积。 • （2）已知⊿ＡＢＣ中，∠Ｃ＝90°，Ａ Ｃ＝4，ＢＣ＝3，ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ，求Ａ Ｄ，ＢＤ长。