高中数学教学对数与对数运算(二) 新人教A版必修1

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高中数学 2.2.1.1对数课件新人教A版必修1

提示：①a<0，N取某些值时，logaN不存在，如根据指数的运算性质可知，不存在实数x使(－12)x＝2成
立，所以log(－
1 2
)2不存在，所以a不能小于0.②a＝0，N≠0时，不存在实数x使ax＝N，无法定义logaN；N
＝0时，任意非零实数x，有ax＝N成立，logaN不确定．③a＝1，N≠1时，logaN不存在；N＝1，loga1有无数个值，不能确定．
1
30
思考 1 对数恒等式 a logaN＝N 成立的条件是什么？提示：成立的条件是a>0，a≠1且N>0.
思考 2 用 a logaN (a>0 且 a≠1，N>0)化简求值的关键是什么？
提示：用 a logaN (a>0 且 a≠1，N>0)化简求值的关键是凑准公式的结构，尤其是对数的底数和幂底数要一致，为此要灵活应用幂的运算性质．
思考根据对数的定义以及对数与指数的关系，你能求出loga1＝？logaa＝？
提示： ∵对任意a>0且a≠1，都有a0＝1， ∴化成对数式为loga1＝0； ∵a1＝a，∴化成对数式为logaa＝1.
1
24
[典例示法] 例3 求下列各式中x的值． (1)logx27＝32；(2)log2x＝－23； (3)x＝log2719；(4)log3(lgx)＝1.
题目(1)(2)中的对数式化为指数式是怎样的？题目(3)(4)呢？
3
提示：(1)化为指数式x2
＝27，(2)化为指数式2－23
＝x，(3)化为指数式27x＝19，(4)化为指数式31＝lgx.
1
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[解]
(1)由logx27＝32可得x32 ＝27，
2

高中数学2.2.1对数的运算_换底公式素材新人教A版必修1-经典通用宝藏文档

《对数与对数运算------换底公式》一、内容与内容解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修1第二章《基本初等函数（I）》中2.2.1节《对数与对数运算》的第三课时，次要内容是探求换底公式并会用其进行简单的证明和计算.在此之前，先生曾经学习过了对数的概念、指数与对数之间的关系，并且利用指数与对数的关系推导出了对数的运算性质，本节课就是在此基础上，探求讨论对数的换底公式.从指数与对数的关系出发，证明对数换底公式，有多种途径，在教学中要让先生去探求，对先生的正确证法要给予肯定；证明得到对数的换底公式以后，要引导先生利用换底公式得到一些常见的结果，并处理一些求值转化的成绩.教学的重点：对数的换底公式的运用.本节内容具有很强的灵活性，换底公式在以后的学习中有着非常重要的运用，对数的运算法则是在同底的基础上，就使得其有很强的局限性，因而利用对数换底公式把不同底数的对数转化为同底显得非常重要.特别是在解决理论成绩，计算具体的对数数值时，换底公式更是不可或缺.因而要反复训练，强化记忆.本节内容由两部分构成，其一探求对数的换底公式并对其进行证明，并在探求过程中学会研讨某些数学成绩的过程与方法；其二利用换底公式去进行具体的求值和运算.本节课内容是表现新课程让先生积极自主探求、合作交流学习方式的良好素材.本节课包含了丰富的数学思想及方法，特别是在探求换底公式的过程中，以特殊例子为引入，然后逐渐的普通化，表现了从特殊到普通和转化的数学思想.本节的实例，可以让先生领会数学知识在理论生活中的运用，从而向先生浸透学好数学、用好数学的思想，能让先生对数学知识的学习产生浓厚的兴味.也能给先生一些科普方面的教育.同时，本节课又教给先生如何利用计算器去算对数的方法，加强了本节课的适用性,也给了先生动手操作的机会.二、目标和目标解析（一）教学目标1．掌握对数的换底公式，并能利用换底公式解决对数成绩.2．在探求换底公式过程中，领会转化与化归和从特殊到普通的数学思想.3．培养先生运用已有知识发现成绩及解决成绩的能力，领会数学知识在理论生活中的运用，进步先生学习数学的热情.（二）教学目标解析1．掌握换底公式指的是：熟记换底公式，能够证明换底公式，并且要鼓励先生尝试不同的方法去证明,拓展思想；对数的换底公式是进行对数运算的重要基础，这里要求先生能够利用它将对数转化为常用对数或自然对数来计算.2．领会数学思想指的是：经过成绩1、成绩2和成绩3的逐渐的推进和普通化，领会数学从特殊到普通的解决成绩的数学思想方法，同时，利用指数对数的转化或者标题中底数的化归分歧等，加深对转化和化归的理解.3．对于具体的求值成绩，可以运用不同的性质来解决，非常灵活，但不困难，标题做起来非常风趣；经过这部分内容，培养先生的数学能力，感受数学学科的特点.如例2是一道跟历史、科普知识有关的标题，而且还要用到计算器，这些都将吸引先生，并且激发先生学习数学的兴味.三、教学成绩诊断分析（一）成绩诊断分析（1）个别同学在求解时会存在无从下手的感觉，其根本缘由是先生对于利用指数与对数转化探求对数性质的过程理解不深化，教学中以小组合作探求式的学习方式来弥补这一不足.（2）在解决具体成绩时，先生不能选择适当的底数来运用换底公式.出现这一成绩的缘由是：先生对换底公式尚不太熟习，转化的能力也有待进步。

2.2.1_对数与对数运算(2)_课件(人教A版必修1)

)
12 解析：原式＝log6 12－log62＝log6 ＝log6 3. 2
答案：C
• 4．若logab·log3a＝4，则b的值为________． • • • • • 答案：81 5．已知a2＝m，a3＝n，求2logam＋logan. 解：由a2＝m，a3＝n，得logam＝2，logan＝3， ∴2logam＋logan＝2×2＋3＝7.
(3)在使用换底公式时，底数的取值不唯一，应根据实际情况选择． (4)重视以下结论的应用： ① logac· ca ＝ 1 ； ② logab· bc· ca ＝ 1 ； ③ log log log m loganb ＝ logab. n
m
思考感悟 m nbm＝ logab(a>0 (1)loga n ∈N*)成立吗？ (2)(logax)n＝logaxn 正确吗？提示：(1)成立．由换底公式可得 loganbm＝ mlgb m ＝ log b. nlga n a 且 a≠1，b>0，m、n
n个
(2)不正确． ∵(logax)n＝(logax· ax· logax)， logaxn log „· 而＝nlogax＝logax＋logax＋„＋logax，∴一般两式不相等．
互动课堂
典例导悟
类型一对数运算性质的运用 [例 1] 求下列各式的值． 1 (1)4lg2＋3lg5－lg ； 5 1 1＋ lg9－lg240 2 (2) ； 2 36 1－ lg27＋lg 3 5 3 (3)lg ＋lg70－lg3； 7 (4)lg22＋lg5· lg20－1.
n个
自我检测 1．若 a>0，a≠1，x>0，y>0，x>y，下列式子中正确的个数是( )

教学：高中数学 2.2.1 对数与对数运算教案新人教A版必修1

2.2.1 对数与对数运算第一课时对数的概念三维目标定向〖知识与技能〗理解对数的概念，掌握对数恒等式及常用对数的概念，领会对数与指数的关系。

〖过程与方法〗从指数函数入手，引出对数的概念及指数式与对数式的关系，得到对数的三条性质及对数恒等式。

〖情感、态度与价值观〗增强数学的理性思维能力及用普遍联系、变化发展的眼光看待问题的能力，体会对数的价值，形成正确的价值观。

教学重难点：指、对数式的互化。

教学过程设计一、问题情境设疑引例1：已知2524,232==，如果226x =，则x = ？引例2、改革开放以来，我国经济保持了持续调整的增长，假设2006年我国国内生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国内生产总值比2006年翻两番？分析：设经过x 年国内生产总值比2006年翻两番，则有a a x4%)81(=+，即1.08 x = 4。

这是已知底数和幂的值，求指数的问题，即指数式ba N =中，求b 的问题。

能否且一个式子表示出来？可以，下面我们来学习一种新的函数，他可以把x 表示出来。

二、核心内容整合1、对数：如果)10(≠>=a a N a x且，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作Nx a log =。

其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当 a > 0且1a ≠时，Nx N a a x log =⇔=（符号功能）——熟练转化如：1318log 131801.101.1=⇔=x x ，4 2 = 16 ⇔ 2 = log 4 162、常用对数：以10为底10log N写成lg N ；自然对数：以e 为底log e N写成ln N （e = 2.71828…）3、对数的性质：（1）在对数式中N = a x > 0（负数和零没有对数）；（2）log a 1 = 0 , log a a = 1（1的对数等于0，底数的对数等于1）；（3）如果把b a N =中b 的写成log a N ，则有N a N a =log （对数恒等式）。

人教A版必修一2.2.1.1对数与对数运算

2.2 对数函数
2.2.1 对数与对数运算第1课时对数
1. 定义：一般地，如果 ax=N （ a>0 ，且 a≠1 ），那么数 x 叫做以a为底N的对数，记作 x loga N ，其中a叫做对数的底数，N 叫做真数. 2.对数loga N（a＞0，且a≠1）具有下列简单性质（1）负数和零没有对数，即N＞0；（2）1的对数为零，即loga1=0；（3）底的对数等于1，即logaa=1.
3.常用对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数.记作 lg N .
4.自然对数：以e为底的对数称为自然对数.记作ln N.
5.对数与指数间的关系：当a＞0，a≠1时，
1.logaN=b化为指数式是（ C ）
（A）aN=b （C）ab=N 解析：根据定义可知，logaN=bab=N，故选C. 2.logab=1成立的条件是（ D ）（A）a=b （C）a>0，且a≠1 （D）a>0，a=b≠1 （B）a=b，且b>0 （B）ba=N （D）bN=a
规律方法：利用对数与指数间的互化关系时，要注意各
字母位置的对应关系，其中两式中的底数是相同的.
思路点拨：解答本题可利用对数的基本性质，合理运用提供的信息求解.
规律方法：有关真数为“底数”和“1”的对数，可以利用对数的性质直接得出其值为“1”和“0”，但有时需要底数变形后才可以利用此规律.
解析：logab有意义，则a>0，a≠1，且b>0；
又由logab=1知a=b.故a>0，a=b≠1.
3.有下列说法 ①零和负数没有对数；
②任何一个指数式都可以化成对数式；
③以10为底的对数叫做常用对数； ④以e为底的对数叫做自然对数.

高中数学人教版A版必修一第二章第1课时对数

第二章 2.2.1 对数与对数运算
第1课时对数
学习目标
1.了解对数的概念； 2.会进行对数式与指数式的互化； 3.会求简单的对数值.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
新知探究点点落实
知识点一对数的概念
思考
解指数方程：3x＝
3.可化为
1
3x＝32，所以
x＝12.但你会解
3x＝2
吗？
答案不会，因为2难以化为以3为底的指数式，因而需要引入对数概念.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 计算：(1)log927；解设 x＝log927，则 9x＝27,32x＝33，∴x＝32.
2log4 381；
解
设 x = log4 381，
则4
3x＝81,
x
34＝34， x＝16.
3 log3 54 625.
解令 x = log3 54 625
，∴3
54x＝625,
例1 在N＝log(5－b)(b－2)中，实数b的取值范围是( D ) A.b<2或b>5 B.2<b<5
C.4<b<5
D.2<b<5且b≠4
解析
b－2>0， ∵5－b>0，
5－b≠1，
∴2<b<5 且 b≠4.
反思与感悟
解析答案
1－x 跟踪训练 1 求 f(x)＝logx1＋x的定义域.
x>0，
答案
对数的概念：
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为，底记N的作对数 x＝logaN ，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
常用对数与自然对数：

高中数学 2.2.1第2课时对数的运算课件新人教A版必修1 (2)

解：(1)方法一：
原式＝12(lg
25－lg
72)－43lg
3
22
＋lg(72×5)
1 2
＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5
＝12lg 2＋12lg 5
＝12(lg 2＋lg 5)＝12.
方法二：
原式＝lg472－lg 4＋lg 7 5
第二章基本初等函数第2课时对数的运算
1．理解并掌握对数恒等式的推导与应用．(难点、易错点) 2．理解并掌握对数的运算性质，并能运用运算性质进行对数的有关运算．(重点) 3．掌握换底公式，能用换底公式将一般对数化成自然对数或常用对数．(难点)
1．对数恒等式 alogaN＝__N_.(a＞0，且a≠1) 2．对数的运算性质如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么
1．求值： (1)10lg 2＝________. (2)31＋log3 4＝________. (3)22log25－1＝________. (4)13log34－2＝________.
解析：(1)10lg 2＝2.
(2)31＋log3 4＝3×3 log3 4＝3×4＝12.
(3)22log25－1＝2lo2g 252＝522＝225.
3．对数运算性质的两个注意点 (1)适用前提：对数的运算性质的适用条件是“同底，且真数为正”，即 a＞0，a≠1，M＞0，N＞0.若去掉此条件，性质不一定成立，如 log3－－83≠log3(－8)－log3(－3)． (2)可逆性：对数的运算性质具有可逆性，具体如下： ①logaM＋logaN＝loga(MN)(a＞0，a≠1，M＞0，N＞0)，如 lg 2＋l公式：
底数相同的对数式的化简和求值的原则、方法及注意事项 (1)基本原则．对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． (2)两种常用方法． ①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数． ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．

高中数学 2.2.2对数与对数运算(二)练习新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学试题

【金版学案】2015-2016高中数学对数与对数运算（二）练习新人教A 版必修1 基础梳理1．设a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则有(1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ，简记为：积的对数＝对数的和．(2)log a MN＝log a M －log a N ，简记为：商的对数＝对数的差．(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R)．例如：①lg (3×5)＝______；②lg 5＋lg 2＝______；③ln e 2＝______.2．几点注意：(1)对数的真数是多项式时，需将真数部分加括号，如lg(x ＋y )与lg x ＋y 的含义不同．(2)(lg M )n 与lg M n 的含义不同．(3)log 2(－3)(－5)＝log 2(－3)＋log 2(－5)是不成立的．(4)log 10(－10)2＝2log 10(－10)是不成立的．(5)当心记忆错误：log a (MN )≠log a M ·log a N ；log a (M ±N )≠log a M ±log a N .3．对数的换底公式log a b ＝log c b log c a(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)．换底公式的意义是把一个对数式的底数改变，可将不同底问题化为同底，便于使用运算法则．例如：log 35＝________，其中a ＞0，且a ≠1.4．关于对数换底公式的证明方法有很多，可借助指数式证明对数换底公式．例如：设a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0.求证：log a b ＝log c b log c a.5．设a ，b ＞0，且均不为1，由换底公式可加以求证：(1)log a b ·log b a ＝1；(2)log am b n ＝n mlog a b .例如：①log 23·log 32＝____；②log 89＝________ .基础梳理1．①lg 3＋lg 5 ②1 ③2 3.log a 5log a 34．证明：设log a b ＝x ，则b ＝a x ，于是log c b ＝log c a x ，即x log c a ＝log c b ，∴x ＝log c b log c a ，∴log a b ＝log c b log c a. 5．证明：(1)log a b ·log b a ＝lg b lg a ·lg a lg b＝1. (2)log am b n ＝lg b n lg a m ＝n lg b m lg a ＝n mlog a b . 答案：1 23log 23 ,思考应用1．log a (M ＋N )＝log a (MN )对吗？1．错2．log a (M －N )＝log a M N 对吗？2错自测自评1．若a >0，a ≠1，x >y >0，下列式子：①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )；②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a xy＝log a x ÷log a y ；④log a (xy )＝log a x ·log a y .其中正确的个数为( ) A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个2．设9a ＝45，log 95＝b ，则( )A ．a ＝b ＋9B ．a －b ＝1C ．a ＝9bD ．a ÷b ＝13．求值：log 274log 32＝____. 1．解析：根据对数的性质知4个式子均不正确．故选A.答案：A2．解析：由9a ＝45得a ＝log 945＝log 99＋log 95＝1＋b ，即a －b ＝1，故选B. 答案：B3．解析：log 274log 32＝lg 4lg 27lg 2lg 3＝2lg 23lg 3lg 2lg 3＝23. 答案：23►基础达标1．lg a 与lg b 互为相反数，则( )A ．a ＋b ＝0B ．a －b ＝0C ．ab ＝1 D.a b＝11．C2．在log (a －2)2中，a 的取值X 围是____________．2.(2，3)∪(3，＋∞)3．已知log 5[log 4(log 3x )]＝0，则x ＝____.3.814．化简12log 612－2log 62的结果为( ) A ．6 2 B ．12 2C ．log 6 3 D.124．解析：12log 612－2log 62＝12(1＋log 62)－log 62＝12(1－log 62)＝12log 63＝log 6 3.故选C.答案：C5．(log 29)·(log 34)＝( )A.14B.12C ．2D ．4 5．解析：原式＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3·2lg 2lg 2·lg 3＝4. 答案：D6．设lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 512等于( )A.2a ＋b 1＋aB.a ＋2b 1＋aC.2a ＋b 1－aD.a ＋2b 1－a6．解析：log 512＝lg 12lg 5＝lg 3＋2lg 2lg 5＝lg 3＋2lg 21－lg 2＝ b ＋2a 1－a. 答案：C►巩固提高7．(lg 2)3＋(lg 5)3＋3lg 2 lg 5的值是( )A ．4B ．1C ．6D ．37．B8．(2014·某某卷)已知a ＝2－13，b ＝log 2，c ＝log 1213，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a8．解析：0＜a ＝2－13＜20＝1，b ＝log 213＜0，a ＝log 1213＝log 23＞1，所以c ＞a ＞b ，故选C.答案：C9．求值：(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25.9．解析：(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25＝lg 2(lg 2＋lg 50)＋lg 25＝2lg 2＋lg 25＝lg 100＝2.10．求值：(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)．10．解析：(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)＝⎝⎛⎭⎪⎫log 32＋log 32log 39·⎝ ⎛⎭⎪⎫log 33log 34＋log 33log 38 ＝32log 32·⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 32＋13log 32 ＝34＋12＝54.1．条件代数式的求值问题包括以下三个方面：①若条件简单，结论复杂，可从化简结论入手；②若条件复杂，结论简单，可从化简条件入手，转化成结论的形式；③若条件与结论的复杂程度相差无几时，可同时对它们进行化简，直到找出它们之间的联系为止．2．利用换底公式统一对数的底数，即化异为同是处理含不同底的对数的常用方法．3．在化简、求值、证明等问题中，要把换底公式与对数的运算性质结合起来．4．有时需将对数式log a 5log a 3写成log 35后解决有关问题．。

人教A版必修一第二章2.2.1对数与对数运算重难点题型(举一反三)(含解析)

2.2.1对数与对数运算重难点题型【举一反三系列】【知识点1对数的概念与基本性质】1.对数的概念条件a x=N(a>0,且a≠1)结论记法数x叫做以a为底N的对数，a叫做对数的底数，N叫做真数x=log Na2.常用对数和自然对数(1)常用对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把l og N记为lg N.10(2)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e＝2.71828…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，log aa nb m=log a n并把log N记为ln N.e3.对数与指数的关系当a>0,且a≠1时，a x=N⇔x=log N.a4.对数的基本性质(1)负数和零没有对数，即N>0；(2)log1=0(a>0,且a≠1)；a(3)log a=1(a>0,且a≠1)．a【知识点2对数的运算性质】1.运算性质条件a>0,且a≠1，M>0,N>0log(MN)=log M+log Na a a性质logaMN=log M-log Na a2.换底公式log b=logcbac3.知识拓展log M n=n log M(n∈R)a a(a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；b＞0)．(1)可用换底公式证明以下结论：1m①log b=；②log b⋅log c⋅log a=1；③log b n=log b；④loga abc ab⑤log b=-log b.1alog b；aa(2)对换底公式的理解：换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子．【考点1对数有意义条件】【例1】（2019秋•马山县期中）对数式log（a﹣2）（5﹣a）中实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，5）C．（2，3）∪（3，5）B．（2，5）D．（2，+∞）【变式1-1】（2019秋•龙岩期末）若对数式log（t﹣2）3有意义，则实数t的取值范围是（）A．[2，+∞）C．（﹣∞，2）B．（2，3）∪（3，+∞）D．（2，+∞）【变式1-2】在M＝log（x﹣3）（x+1）中，要使式子有意义，x的取值范围为（）A．（﹣∞，3] C．（4，+∞）B．（3，4）∪（4，+∞）D．（3，4）【变式1-3】若对数ln（x2﹣5x+6）存在，则x的取值范围为．【考点2对数式与指数式的互化】【例2】（2019秋•巴彦淖尔校级期中）将下列指数形式化成对数形式，对数形式化成指数形式．①54＝625②（）m＝5.73③ln10＝2.303④lg0.01＝﹣2⑤log216＝4．【变式2-1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）102＝100；（2）lna＝b；（3）73＝343；（4）log6＝﹣2．【变式2-2】将下列指数式与对数式互化：（1）log216＝4（2）27＝﹣3（3）43＝64（4）﹣2＝16．【变式2-3】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．（1）3﹣2＝；（2）9＝﹣2；（3）1g0.001＝﹣3．【考点3解对数方程】【例3】求下列各式中x的值：（1）log4x＝﹣，求x；（2）已知log2（log3x）＝1，求x．【变式3-1】求下列各式中x的值：（1）log x27＝；（2）4x＝5×3x．【变式3-2】先将下列式子改写指数式，再求各式中x的值．①log2x＝﹣②log x3＝﹣．【变式3-3】将下列对数式化为指数式求x值：（1）log x27＝；（2）log2x＝﹣；（3）log5（log2x）＝0；（4）（5）x＝；16．【考点4对数运算性质的化简求值】【例4】（2019春•东莞市期末）计算（1）2（2）lg52+lg8+lg5lg20+（lg2）2【变式4-1】（2019•西湖区校级模拟）计算：（1）；（2）．﹣（）+lg+（）lg1【变式4-2】（2019春•大武口区校级月考）（1）（（2））0+（）+（）；【变式4-3】（2019春•禅城区期中）（1）化简：（2a b）（﹣6a b）÷（﹣3a b）；（2）求值：2（lg）2+lg2•lg5+．【考点5利用换底公式化简求值】【例5】（2019秋•中江县校级期中）利用对数的换底公式化简下列各式：（1）log a c•log c a；（2）log23•log34•log45•log52；（3）（log43+log83）（log32+log92）．【变式5-1】利用对数的换底公式化简下列各式：（log43+log83）（log32+log92）【变式5-2】利用对数的换底公式化简下列各式：（1）log43+log83（2）log45+log92．【变式5-3】（2019秋•西秀区校级期中）利用换底公式求log225•log34•log59的值．【考点6用已知对数表示其他对数】【例6】已知log189＝a，18b＝5，用a、b表示log645．【变式6-1】（1）已知log310＝a，log625＝b，试用a，b表示log445．（2）已知log627＝a，试用a表示log1816．【变式6-2】（1）已知log147＝a，log145＝b，用a、b表示log3528．（2）已知log189＝a，18b＝5，用a、b表示log3645．【变式6-3】．已知lg2＝a，lg3＝b，用a，b表示下列各式的值．（1）lg12；（2）log224；（3）log34；（4）lg．【考点7与对数有关的条件求值问题】x﹣y的值；【例7】（2018秋•龙凤区校级月考）（1）已知lgx+lg（4y）＝2lg（x﹣3y），求（2）已知lg2＝a，lg3＝b，试用a，b表示log830．【变式7-1】（2019秋•江阴市期中）已知lgx+lgy＝2lg（x﹣y），求．【变式 8-2】2018 秋•渝中区校级期中）令 P ＝80.25× +（） ﹣（﹣2018）0，Q ＝2log 32﹣log 3【变式 7-2】已知 lg （x +2y ）+lg （x ﹣y ）＝lg 2+lgx +lgy ，求 log 8 的值．【变式 7-3】已知 2lg＝lgx +lgy ，求．【考点 8 对数的综合应用】【例 8】设 x 、y 、z 均为正数，且 3x ＝4y ＝6z（1）试求 x ，y ，z 之间的关系；（2）求使 2x ＝py 成立，且与 p 最近的正整数（即求与 P 的差的绝对值最小的正整数）；（3）试比较 3x 、4y 、6z 的大小．【变式 8-1】设 a ，b ，c 是直角三角形的三边长，其中 c 为斜边，且 c ≠1，求证：log （c +b ）a+log （c ﹣b ）a ＝2log（c +b ）a •log （c ﹣b ）a ．（（1）分别求 P 和 Q ．+log 38．（2）若 2a ＝5b ＝m ，且，求 m ．【变式 8-3】已知 2y •log y 4﹣2y ﹣1＝0，•log 5x ＝﹣1，问是否存在一个正整数 P ，使 P ＝．2.2.1对数与对数运算重难点题型【举一反三系列】【知识点1对数的概念与基本性质】1.对数的概念条件a x=N(a>0,且a≠1)结论记法数x叫做以a为底N的对数，a叫做对数的底数，N叫做真数x=log Na2.常用对数和自然对数(1)常用对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把l og N记为lg N.10(2)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e＝2.71828…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，log aa nb m=log a n并把log N记为ln N.e3.对数与指数的关系当a>0,且a≠1时，a x=N⇔x=log N.a4.对数的基本性质(1)负数和零没有对数，即N>0；(2)log1=0(a>0,且a≠1)；a(3)log a=1(a>0,且a≠1)．a【知识点2对数的运算性质】1.运算性质条件a>0,且a≠1，M>0,N>0log(MN)=log M+log Na a a性质logaMN=log M-log Na a2.换底公式log b=logcbac3.知识拓展log M n=n log M(n∈R)a a(a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；b＞0)．(1)可用换底公式证明以下结论：1m①log b=；②log b⋅log c⋅log a=1；③log b n=log b；④loga abc ab⑤log b=-log b.1alog b；aa(2)对换底公式的理解：换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子．【考点1对数有意义条件】【例1】（2019秋•马山县期中）对数式log（a﹣2）（5﹣a）中实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，5）C．（2，3）∪（3，5）B．（2，5）D．（2，+∞）【分析】对数式有意义的条件是：真数为正数，底为正数且不为1，联立得到不等式组，解出即可．【答案】解：要使对数式b＝log（a﹣2）（5﹣a）有意义，则，解得a∈（2，3）∪（3，5），故选：C．【点睛】本题主要考查了对数式有意义的条件，即真数为正数，底为正数且不为1，属于基础题．【变式1-1】（2019秋•龙岩期末）若对数式log（t﹣2）3有意义，则实数t的取值范围是（）A．[2，+∞）C．（﹣∞，2）B．（2，3）∪（3，+∞）D．（2，+∞）【分析】根据对数式log（t﹣2）3的定义，底数大于0且不等于1，列出不等式组，求出解集即可．【答案】解：要使对数式log（t﹣2）3有意义，须；解得t＞2且t≠3，∴实数t的取值范围是（2，3）∪（3，+∞）．故选：B．【点睛】本题考查了对数定义的应用问题，是基础题目．【变式1-2】在M＝log（x﹣3）（x+1）中，要使式子有意义，x的取值范围为（）A．（﹣∞，3] C．（4，+∞）B．（3，4）∪（4，+∞）D．（3，4）【分析】由对数的定义可得，由此解得x的范围．【答案】解：由函数的解析式可得，解得3＜x＜4，或x＞4．故选：B．【点睛】本题主要考查对数的定义，属于基础题．【变式1-3】若对数ln（x2﹣5x+6）存在，则x的取值范围为．【分析】由已知利用对数的概念可得x2﹣5x+6＞0，解不等式即可得解．【答案】解：∵对数ln（x2﹣5x+6）存在，∴x2﹣5x+6＞0，∴解得：3＜x或x＜2，即x的取值范围为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）．故答案为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）．【点睛】本题考查对数函数的定义域的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．【考点2对数式与指数式的互化】【例2】（2019秋•巴彦淖尔校级期中）将下列指数形式化成对数形式，对数形式化成指数形式．①54＝625②（）m＝5.73③ln10＝2.303④lg0.01＝﹣2⑤log216＝4．【分析】利用对数的定义进行指对互化．【答案】解：①log5625＝4，② 5.73＝m，③e2.303＝10，④10﹣2＝0.01，⑤24＝16．【点睛】本题考查了指对互化，是基础题．【变式2-1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）102＝100；（2）lna＝b；（3）73＝343；（4）log6＝﹣2．【分析】根据对数的定义进行转化．【答案】解：（1）lg100＝2，（2）e b＝a，（3）log7343＝3；（4）6﹣2＝．【点睛】本题考查了对数的定义，属于基础题．【变式2-2】将下列指数式与对数式互化：（1）log216＝4（2）27＝﹣3（3）43＝64（4）﹣2＝16．【分析】根据指数式a x＝N等价于对数式x＝log a N，可将指数式与对数式互化．【答案】解：（1）log216＝4可化为：24＝16；（2）27＝﹣3可化为：；（3）43＝64可化为：log464＝3；（4）﹣2＝16可化为：．【点睛】本题考查的知识点是指数式与对数式的互化，熟练掌握指数式a x＝N等价于对数式x＝log a N，是解答的关键．【变式2-3】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．（1）3﹣2＝；（2）9＝﹣2；（3）1g0.001＝﹣3．【分析】直接利用指数式与对数式的互化，写出结果即可．【答案】解：（1）3﹣2＝；可得﹣2＝1og3．（2）9＝﹣2；（）﹣2＝9．（3）1g0.001＝﹣3.0.001＝10﹣3．【点睛】本题考查指数式与对数式的互化，考查计算能力．【考点3解对数方程】【例3】求下列各式中x的值：（1）log4x＝﹣，求x；（2）已知log2（log3x）＝1，求x．【分析】（1）根据对数和指数之间的关系即可将log232＝5化成指数式；化成对数式；（2）根据对数和指数之间的关系即可将3﹣3＝（3）根据对数的运算法则即可求x；（4）根据对数的运算法则和性质即可求x．【答案】解：（1）∵log232＝5，∴25＝32（2）∵3﹣3＝，∴log3＝﹣3；（3）∵log4x＝﹣，∴x＝＝＝2﹣3＝；（4）∵log2（log3x）＝1，∴log3x＝2，即x＝32＝9．【点睛】本题主要考查指数式和对数式的化简，根据指数和对数的关系是解决本题的关键．【变式3-1】求下列各式中x的值：（1）log x27＝；（2）4x＝5×3x．【分析】（1）根据log x27＝，可得＝，进而得到x＝9，，化为对数式可得答案．（2）根据4x＝5×3x，可得【答案】解：（1）∵log x27＝，，∴＝27＝33＝故x＝9，（2）∵4x＝5×3x．∴，∴x＝【点睛】本题考查的知识点是指数式与对数式的互化，熟练掌握a x＝N⇔log a N＝x（a＞0，且a≠1，N ＞0）是解答的关键．【变式3-2】先将下列式子改写指数式，再求各式中x的值．①log2x＝﹣②log x3＝﹣．【分析】化对数式为指数式，然后利用有理指数幂的运算性质化简求值．【答案】解：①由log2x＝﹣，得＝＝；②由log x3＝﹣，得，即．【点睛】本题考查对数式化指数式，考查了有理指数幂的运算性质，是基础的计算题．【变式3-3】将下列对数式化为指数式求x值：（1）log x27＝；（2）log2x＝﹣；（3）log5（log2x）＝0；（4）（5）x＝；16．【分析】利用指数式与对数的互化：a b＝N⇔log a N＝B（a＞0，a≠1，）、对数的性质log a1＝0及log a a ＝1、指数的性质即可得出．【答案】解：（1）∵，∴，∴x＝＝32＝9；（2），∴＝＝；（3）∵log5（log2x）＝0，∴log2x＝1，∴x＝2；（4）∵（5）∵，∴，∴，化为33x＝3﹣2，∴3x＝﹣2，得到，∴2﹣x＝24，解得x＝﹣4．；【点睛】熟练掌握指数式与对数的互化：a b＝N⇔log a N＝B（a＞0，a≠1，）、对数的性质、指数的性质是解题的关键．【考点4对数运算性质的化简求值】【例4】（2019春•东莞市期末）计算（1）2﹣（）+lg+（）lg1（2）lg52+lg8+lg5lg20+（lg2）2【分析】（1）进行分数指数幂和对数的运算即可；（2）进行对数的运算即可．【答案】解：（1）原式＝；（2）原式＝2lg5+2lg2+lg5（2lg2+lg5）+（lg2）2＝2+（lg2+lg5）2＝3．【点睛】考查分数指数幂和对数的运算，完全平方公式的运用．【变式4-1】（2019•西湖区校级模拟）计算：（1）；．（2）【分析】（1）进行对数的运算即可；（2）进行指数式和根式的运算即可．【答案】解：（1）原式＝；（2）原式＝．【点睛】考查对数的运算性质，以及指数式和根式的运算．）0+（）+（）；【变式4-2】（2019春•大武口区校级月考）（1）（（2）【分析】（1）进行分数指数幂的运算即可；（2）进行对数的运算即可．【答案】解：（1）原式＝；（2）原式＝．【点睛】考查分数指数幂和对数的运算，以及对数的定义．【变式4-3】（2019春•禅城区期中）（1）化简：（2a b）（﹣6a b）÷（﹣3a b）；（2）求值：2（lg）2+lg2•lg5+．【分析】（1）由指数幂的运算得：原式＝4a b＝4a，（2）由对数的运算得：原式＝2（lg2）2+lg2（1﹣lg2）+（1﹣lg2）＝1．得解【答案】解：（1）（2a b）（﹣6a b）÷（﹣3a b）＝4a b＝4a，（2）2（lg）2+lg2•lg5+＝2（lg2）2+lg2（1﹣lg2）+（1﹣lg2）＝1．【点睛】本题考查了对数的运算及指数幂的运算，属简单题．【考点5利用换底公式化简求值】【例5】（2019秋•中江县校级期中）利用对数的换底公式化简下列各式：（1）log a c•log c a；（2）log23•log34•log45•log52；（3）（log43+log83）（log32+log92）．【分析】根据换底公式，把对数换为以10为底的对数，进行计算即可．【答案】解：（1）log a c•log c a＝•＝1；（2）log23•log34•log45•log52＝•••＝1；+）（+）（3）（log43+log83）（log32+log92）＝（＝（+）（+）＝•＝．【点睛】本题考查了对数的计算问题，也考查了换底公式的灵活应用问题，是基础题目．【变式5-1】利用对数的换底公式化简下列各式：（log43+log83）（log32+log92）【分析】利用对数性质、运算法则、换底公式直接求解．【答案】解：（log43+log83）（log32+log92）＝（log6427+log649）（log94+log92）＝log64243•log98＝＝＝．【点睛】本题考查对数值的求法，考查对数性质、运算法则、换底公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．【变式5-2】利用对数的换底公式化简下列各式：（1）log43+log83（2）log45+log92．【分析】（1）利用对数的换底公式展开后通分计算；（2）直接利用对数的换底公式进行化简．【答案】解：（1）log43+log83＝＝；（2）log45+log92＝＝．【点睛】本题考查对数的换底公式，是基础的会考题型．【变式5-3】（2019秋•西秀区校级期中）利用换底公式求log225•log34•log59的值．【分析】利用对数的运算法则和对数的换底公式即可得出．【答案】解：原式＝＝2log25•2log32•2log53＝8log25•log32•log53＝＝8．【点睛】本题考查了对数的运算法则和对数的换底公式，属于基础题．【考点6用已知对数表示其他对数】【例6】已知log189＝a，18b＝5，用a、b表示log645．【分析】根据换底公式，化简计算即可得到答案．【答案】解：log189＝a，18b＝5，∴b＝log185，∴log645＝＝＝＝【点睛】本题考查了对数的运算性质，以及换底公式，属于基础题【变式6-1】（1）已知log310＝a，log625＝b，试用a，b表示log445．（2）已知log627＝a，试用a表示log1816．【分析】（1）先用换底公式用a表示lg3，再用换底公式化简log625＝b，把lg3代入求出lg2，再化简log445，把lg3、lg2的表达式代入即可用a，b表示log445．（2）先用换底公式化简log1816，由条件求出lg3，再把它代入化简后的log1816的式子．【答案】解：（1）∵log310＝a，∴a＝，∵log625＝b＝＝＝，∴lg2＝，∴log445＝＝＝＝＝．（2）∵log627＝a＝＝，∴lg3＝，∴log1816＝＝＝＝．【点睛】本题考查换底公式及对数运算性质，体现解方程的思想，属于基础题．【变式6-2】（1）已知log147＝a，log145＝b，用a、b表示log3528．（2）已知log189＝a，18b＝5，用a、b表示log3645．【分析】根据换底公式，化简计算即可得到答案．【答案】解：（1）log147＝a，log145＝b，∴log3528＝＝＝＝，（2）∵log189＝a，18b＝5，∴log185＝b，∴log3645＝＝＝＝，【点睛】本题考查了对数的运算性质，以及换底公式，属于基础题．【变式6-3】．已知lg2＝a，lg3＝b，用a，b表示下列各式的值．（1）lg12；（2）log224；（ lg（3）log 34；（4）lg ．【分析】利用对数的换底公式与对数的运算法则即可得出．【答案】解：∵lg2＝a ，lg3＝b ，∴（1）lg12＝2lg 2+lg3＝2a +b ；（2）log 224＝（3）log 34＝＝+log 23＝3+ ；；（4）＝lg3﹣3lg2＝b ﹣3a ．【点睛】本题考查了对数的换底公式与对数的运算法则，属于基础题．【考点 7 与对数有关的条件求值问题】【例 7】（2018 秋•龙凤区校级月考）（1）已知 lgx +lg （4y ）＝2lg （x ﹣3y ），求（2）已知 lg2＝a ，lg3＝b ，试用 a ，b 表示 log 830．x ﹣ y 的值；【分析】 1）由 lgx + （4y ）＝2lg （x ﹣3y ），推导出＝9，再由 x ﹣ y ＝＝，能求出结果．（2）log 830＝＝，由此能求出结果．【答案】解：（1）∵lgx +lg （4y ）＝2lg （x ﹣3y ），∴，解得＝9，∴x ﹣ y ＝＝＝4．（2）∵lg2＝a ，lg3＝b ，∴log 830＝＝＝．【点睛】本题考查对数式化简求值，考查对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【变式 7-1】（2019 秋•江阴市期中）已知 lgx +lgy ＝2lg （x ﹣y ），求．【分析】由题意可得x＞0，y＞0，x﹣y＞0，xy＝（x﹣y）2，从而解得＝【答案】解：∵lgx+lgy＝2lg（x﹣y），∴x＞0，y＞0，x﹣y＞0，xy＝（x﹣y）2，∴x2﹣3xy+y2＝0，即（）2﹣3+1＝0，，从而解得．故＝故＝，＝（3+（）﹣2．）【点睛】本题考查了对数的化简与运算，同时考查了整体思想的应用，属于基础题．【变式7-2】已知lg（x+2y）+lg（x﹣y）＝lg2+lgx+lgy，求log8的值．【分析】由已知条件推导出，由此能求出log8的值．【答案】解：∵lg（x+2y）+lg（x﹣y）＝lg2+lgx+lgy，∴，整理，得，解得或＝﹣1（舍），∴log8＝log82＝＝．∴log8的值为．【点睛】本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质和运算法则的合理运用．【变式7-3】已知2lg＝lgx+lgy，求．【分析】根据对数的运算法则进行化简即可．1【答案】解：由得 x ＞y ＞0，即＞1，则由 2lg即（＝lgx +lgy ，得 lg （）2＝xy ，）2＝lgxy ，即（x ﹣y ）2＝4xy ，即 x 2﹣2xy +y 2＝4xy ，即 x 2﹣6xy +y 2＝0，即（）2﹣6（）+1＝0，则＝则＝3+2＝或＝3﹣2（3+2（舍），）＝（3﹣2 ）﹣＝﹣1【点睛】本题主要考查对数的基本运算，根据对数的运算法则是解决本题的关键．【考点 8 对数的综合应用】【例 8】设 x 、y 、z 均为正数，且 3x ＝4y ＝6z（1）试求 x ，y ，z 之间的关系；（2）求使 2x ＝py 成立，且与 p 最近的正整数（即求与 P 的差的绝对值最小的正整数）；（3）试比较 3x 、4y 、6z 的大小．【分析】（1）令 3x ＝4y ＝6z ＝k ，利用指对数互化求出 x 、y 、z ，由对数的运算性质求出、、，由对数的运算性质化简与，即可得到关系值；（2）由换底公式求出 P ，由对数函数的性质判断 P 的取值范围，找出与它最接近的 2 个整数，利用对数的运算性质化简 P 与这 2 个整数的差，即可得到答案；（3）由（1）得 3x 、4y 、6z ，由于 3 个数都是正数，利用对数、指数的运算性质化简它们的倒数的差，从而得到这 3 个数大小关系．【答案】解：（1）令 3x ＝4y ＝6z ＝k ，由 x 、y 、z 均为正数得 k ＞1，则 x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k ，∴ ，，，∵＝，且，∴；（2）∵2x＝py，∴p＝＝＝＝＝2＝log316，∴2＜log316＜3，即2＜p＜3，∵p﹣2＝log316﹣2＝，3﹣p＝3﹣log316＝，∵﹣＝0，∴，即＞，∴与p的差最小的整数是3；（3）由（1）得，3x＝3log3k，4y＝4log4k、6z＝6log6k，又x、y、z∈R+，∴k＞1，＝﹣＝＝＞0，∴，则3x＜4y，同理可求＝＞0，则4y＜6z，综上可知，3x＜4y＜6z．【点睛】本题考查了对数的运算法则、换底公式、指数式与对数式的互化，考查了推理能力，化简、计算能力，属于中档题．【变式8-1】设a，b，c是直角三角形的三边长，其中c为斜边，且c≠1，求证：log（c+b）a+log（c﹣b）a＝2log（c+b）a•log（c﹣b）a．【分析】依题意，利用对数换底公式log（c+b）a＝端即可．【答案】证明：由勾股定理得a2+b2＝c2．log（c+b）a+log（c﹣b）a，log（c﹣b）a＝证明左端＝右【变式 8-2】2018 秋•渝中区校级期中）令 P ＝80.25× +（） ﹣（﹣2018）0，Q ＝2log 32﹣log 3＝+＝＝＝＝2log （c +b ）a •log （c ﹣b ）a ．∴原等式成立．【点睛】本题考查对数换底公与对数运算性质的应用，考查正向思维与逆向思维的综合应用，考查推理证明与运算能力，属于中档题．（（1）分别求 P 和 Q ．+log 38．（2）若 2a ＝5b ＝m ，且，求 m ．【分析】（1）利用指数与对数运算性质可得 P ，Q ．（2）2a ＝5b ＝m ，且＝2，利用对数换底公式可得 a ＝，b ＝，代入解出即可得出．【答案】解：（1）P ＝× + ﹣1＝2+ ﹣1＝．Q ＝＝log 39＝2．（2）2a ＝5b ＝m ，且＝2，∴a ＝∴∴m ＝，b ＝，＝2，可得 lgm ＝，．【点睛】本题考查了指数与对数运算性质、非常的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【变式8-3】已知2y•log y4﹣2y﹣1＝0，•log5x＝﹣1，问是否存在一个正整数P，使P＝．【分析】由2y•log y4﹣2y﹣1＝2y•log y4﹣＝0可求y，再由•log5x＝﹣1求出x即可．【答案】解：∵2y•log y4﹣2y﹣1＝2y•log y4﹣∴y＝16；＝0，∵•log5x＝﹣1，∴，解得，x＝故P＝；＝＝3．【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的应用及方程的解法，属于基础题．。

数学：2.2《对数及对数运算》课件(新人教a版必修1)

（2）自然对数:以无理数e=2.71828……
为底的对数叫自然对数(naturallogarithm)，
为了简便，N的自然对数简记作lnN。
例题与练习
例1将下列指数式化为对数式，
对数式化为指数式.
（1）54=625
1 (2) 2 64
6
1 m (3) ( ) 5.73 3
(5)
(4)
log 1 16 4
2.2 对数及对数运算
思考:
在2.1.2(P57)例8中,我们得到了函数关系式:y=13•1.01x ,
问题1:在这个例题中,对于给定的一个年份,你能计算相应的人口总数吗?
问题2:哪一年的人口数可达到18亿?
20亿呢?
一、对数的定义: 一般地,如果 aa 0, a 1 的b次幂等于N, b a N 即 (叫指数式)，那么数 b叫做 a为底N的对数 log N b a 记作 (叫对数式)，
2
lg 0.01 2 （6） ln10 2.303
例2 求下列各式中x的值
(1)
(2)
2 log 64 x 3 log x 8 6
(3) lg100
(4)
2
x
ln e x
例3、求 x 的值： (1)
2
log2x 1 3x 2x 1 1

2

(2)
vgd69wjw
平凡，我的家族过于强大，我的一生已经被定死，使我没有任何动力去想象属于我自己的生活，因为我必须活在责任与情义当中。姐姐深知我将来的路会变成这样一条险路，假如我不做出改变的话。于是就要我学会做人、学会负责，学会走自己的人生之路；于是我来到了姐姐的单位实习；于是我要每晚做公务员的真题；于是对了，我们家的灯烧坏了。想到这，我猛地惊了一番，“啊，痛，好强的光。”心想，这屋里的灯有这么强吗？不对，这不是灯光，是带有自然气息的太阳光。“哥哥，你没事吧？”一陌生的声音在耳边响起。我顿时心头一惊，这是谁的声音，听起来就是个十来岁的小伙的声音，奇怪这声音怎么这么优美。我正想要睁开眼睛，却发现强光过于刺眼，我没能成功。而且身体也像是在沉睡一样，动不了。这时的我，隐约感受到背部有一种软软的感觉，也断续闻到有一股带有草原气息的气味，难道我这是躺在内蒙古的广阔的草原上吗？又蓦地，我被自己的想法惊了一下，我这不是昏过去躺在我姐姐的出租屋里的冷冰冰的地板上的吗？“哥哥，你不打紧吧？要不我去找你来帮你吧？”又来了，这小正太究竟是谁啊？过了这么一段时间，眼睛稍微适应了强光，于是我就努力试着睁开眼睛，因为不这样做的话就根本没办法行动，心中就会担心自己继续待下去会遇到什么危险，因为我已经感觉到了，这根本不是出租屋；我这个人对于一些未知的领域，总会自动有一种想逃跑的危机感，也许是我那胆小怕事的性格衍生出来的吧。对了，从前试过睡觉睡到脑瓜子醒了但是身子却动不了的情况，是俗话说的鬼压身吧？其实我知道那是大脑醒了身体还在休息的一种生理现象罢了。好，我试试用尽全身的力去唤醒我的身体吧！“哥哥”那小男孩貌似对我不离不弃；很好，等我醒过来好好表扬你一番这关爱陌生人的情操吧！我集中了所有精力，用尽全身能感受到的力气去努力“扒开”眼皮，终于我能稍稍地睁开了眼睛；蓦地，映入眼帘的是一张俊俏的小脸蛋；不行，还是受不了这突如其来的强光，难道我还是个怕光的软蛋，头很痛，我又一次昏了过去。等我真正醒来的时候，我震惊了。这哪是什么姐姐的破出租屋啊，这是一间破旧的木屋，怎么看都像是我们家族在山区老家那祖屋啊！托着沉重而稍带晕眩的脑瓜，我仔细打量了一下这木屋。它的格局确实不像我那老祖屋，而且一些房屋建造的关键之处甚是薄弱，明显不是专业木匠搭建起来的，而且我有一种直觉，那就是这里缺少我们现代所有的气息，难道，我穿越了？正想着这不可思议的问题，门外蹦进了一个小男孩，他冲着我叫到：“哥哥，你醒啦？”这声音有点熟耶，对了，是那个我做梦时在与鬼压身战斗时所听到的小正太的声音。我还

高中数学第二章第2节对数函数新人教A版必修1知识精讲

高一数学第二章第2节对数函数新人教A版必修1一、学习目标：1. 理解对数的概念及其运算性质，知道换底公式。

2. 理解对数函数的概念，图象和性质。

3. 了解对数函数与指数函数互为反函数的关系。

二、重点、难点：重点是理解对数的概念及其运算性质，对数函数的概念、图象和性质。

难点是换底公式和对数函数模型的应用，以及反函数的概念。

三、考点分析：对数函数是高中数学的重要函数。

高考中，既考查定义与图象及主要性质，又在数学思想方法上考查分类讨论的方法及字母运算能力。

既有选择题、填空题，又可以解答题出现，且对综合能力要求较高。

学习过程中不仅要从概念，图象，性质三方面理解对数、对数函数，还要增强运用分类讨论的思想方法以及综合运用函数图像及性质解题的能力。

1. 对数对数的定义：。

对数式是由指数式转化而来的。

两式底数相同，对数式中的真数就是指数式中的幂值，而对数值则是指数式中的幂指数。

这是指数式与对数式互化的依据。

关于对数的几个结论：（1）零和负数没有对数；（2）；（3）；（4）。

底数的对数叫做常用对数，记作；底数的对数叫做自然对数，记作，其中是一个无理数，。

2. 对数的运算性质如果，且，，，那么：（1）·＋；（2）－；（3）.3. 换底公式（，且；，且；）.利用换底公式推导下面的结论（1）；（2）.4. 对数函数的概念一般地，把函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，＋∞）。

5. 对数函数的图象与性质知识点一：对数及对数运算性质例1. 计算思路分析：1）题意分析：对数性质和对数运算法则的综合应用。

2）解题思路：先利用对数的运算法则将指数和对数的底统一，然后利用对数恒等式化简。

解答过程：原式＝解题后的思考：本题容易忽视对数运算法则成立的条件，即M>0，由得出，从而计算错误。

例2. 已知log[log（log x）]＝log[log（log y）]＝log[log（log z）]＝0，试比较x、y、z的大小。

数学：2.2.1《对数与对数运算》课件(新人教A版必修1)-优质课件

(4)
(
1 3
)m

5.73
解：(1) log 5 625 4
1 (2)log 2 64 -6
(3) log 3 27 a
(4) log 1 5.73 m
3
例2．将下列对数式写成指数式：
(1) log 1 16 -4 (2) log 2 128 7
2
(3) lg 0.01 -2 (4) ln 10 2.303
一般对数的两个特例： 1.常用对数：以10为底的对数.
并把 log10N 简记作 lgN .
2.自然对数：以无理数e = 2.71828…为底的对数.
并把 logeN 简记作 lnN .
五、练习巩固
例1．将下列指数式写成对数式：
(1) 54 625
(2)
2-6

1 64
(3) 3a 27
一、学习目标
1. 在熟悉指数的基础上充分理解对数的定义；
2. 熟练掌握指数式和对数式的互换； 3. 能够求出一些特殊的对数式的值.
二、知识铺垫
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（Napier，1550年~1617年）.他发明了供天文计算作参考的对数，并于1614年在爱丁堡出版了《奇妙的对数定律说明书》，公布了他的发明.恩格斯把对数的发明与解析几何的创始，微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就.
六、练习巩固
(1)对数的定义； (2)指数式和对数式的互换； (3)求值.
思考题：
(1) 对数式 log (2x-1) 1 - x2
中x的取值范围是______
(2) 若log5[log3(log2x)]=1， x=_______

人教版高中数学必修一学案：《对数与对数运算》(含答案)

2.2.1 对数与对数运算(二)自主学习1．掌握对数的运算性质及其推导．2．能运用对数运算性质进行化简、求值和证明．1．对数的运算性质：如果a >0，a ≠1，M >0，N >0，那么，(1)log a (MN )＝______________；(2)log a M N＝____________；(3)log a M n ＝__________(n ∈R )．2．对数换底公式：________________________.对点讲练正确理解对数运算性质【例1】若a >0，a ≠1，x >0，y >0，x >y ，下列式子中正确的个数有( )①log a x ＋ log a y ＝log a (x ＋y )； ②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a x y＝log a x ÷log a y ； ④log a (xy )＝log a x ·log a y . A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个规律方法正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件．使用运算性质时，应牢记公式的形式及公式成立的条件．变式迁移1 (1)若a >0且a ≠1，x >0，n ∈N *，则下列各式正确的是( )A ．log a x ＝－log a 1xB ．(log a x )n ＝n log a xC ．(log a x )n ＝log a x nD ．log a x ＝log a 1x(2)对于a >0且a ≠1，下列说法中正确的是( )①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ；②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ；③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ；④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2.A ．①③B ．②④C ．②D ．①②③④对数运算性质的应用【例2】计算：(1)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8； (2)2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋(lg 2)2－lg 2＋1.变式迁移2 求下列各式的值：(1)log 535＋2log 122－log 5150－log 514； (2)(lg 5)2＋lg 2·lg 50.换底公式的应用【例3】设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值．规律方法换底公式的本质是化同底，这是解决对数问题的基本方法．解题过程中换什么样的底应结合题目条件，并非一定用常用对数、自然对数．变式迁移3 (1)设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，求m ； (2)已知log 142＝a ，用a 表示log 27.1．对于同底的对数的化简要用的方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成两对数的和(差)．2．对于常用对数的化简要创设情境充分利用“lg 5＋lg 2＝1”来解题．3．对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值．4．要充分运用“1”的对数等于0，底的对数等于“1”等对数的运算性质．5．两个常用的推论：(1)log a b ·log b a ＝1；(2)log am b n ＝n mlog a b (a 、b >0且均不为1)．课时作业一、选择题1．lg 8＋3lg 5的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．32．已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 36等于( )A.a ＋b aB.a ＋b bC.a a ＋bD.b a ＋b3．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则⎝⎛⎭⎫lg a b 2的值等于( ) A ．2 B.12 C ．4 D.144．若2.5x ＝1 000,0.25y ＝1 000，则1x －1y等于( ) A.13 B ．3 C ．－13D ．－3 5．计算2log 525＋3log 264－8log 71的值为( )A ．14B ．8C ．22D ．27二、填空题6．设lg 2＝a ，lg 3＝b ，那么lg 1.8＝______________.7．已知log 63＝0.613 1，log 6x ＝0.386 9，则x ＝____________.三、解答题8．求下列各式的值：(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2.9．已知log 189＝a,18b ＝5，试用a ，b 表示log 365.2.2.1 对数与对数运算(二) 答案自学导引1．(1)log a M ＋log a N (2)log a M －log a N(3)n log a M2．log a b ＝log c b log c a对点讲练【例1】 A [对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算．在运算中要注意不能把对数的符号当作表示数的字母参与运算，如log a x ≠log a ·x ，log a x 是不可分开的一个整体．四个选项都把对数符号当作字母参与运算，因而都是错误的．] 变式迁移1 (1)A(2)C [在①中，当M ＝N ≤0时，log a M 与log a N 均无意义，因此log a M ＝log a N 不成立．在②中，当log a M ＝log a N 时，必有M >0，N >0，且M ＝N ，因此M ＝N 成立．在③中，当log a M 2＝log a N 2时，有M ≠0，N ≠0，且M 2＝N 2，即|M |＝|N |，但未必有 M ＝N .例如，M ＝2，N ＝－2时，也有log a M 2＝log a N 2，但M ≠N .在④中，若M ＝N ＝0，则log a M 2与log a N 2均无意义，因此log a M 2＝log a N 2不成立．所以，只有②成立．]【例2】解 (1)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55＝2log 55＝2.(2)原式＝lg 2(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2－1)2＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－lg 2＝lg 2＋1－lg 2＝1.变式迁移2 求下列各式的值：(1)log 535＋2log 122－log 5150－log 514； (2)(lg 5)2＋lg 2·lg 50.解 (1)原式＝log 5(5×7)－2log 2212＋log 5(52×2)－log 5(2×7) ＝1＋log 57－1＋2＋log 52－log 52－log 57＝2.(2)原式＝(lg 5)2＋lg 2·(lg 2＋2lg 5)＝(lg 5)2＋2lg 5·lg 2＋(lg 2)2＝(lg 5＋lg 2)2＝1.【例3】解由已知分别求出x 和y .∵3x ＝36,4y ＝36，∴x ＝log 336，y ＝log 436，由换底公式得：x ＝log 3636log 363＝1log 363，y ＝log 3636log 364＝1log 364， ∴1x ＝log 363，1y＝log 364， ∴2x ＋1y＝2log 363＋log 364 ＝log 36(32×4)＝log 3636＝1.变式迁移3 解 (1)利用换底公式，得lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg m lg 8＝2， ∴lg m ＝2lg 3，于是m ＝9.(2)由对数换底公式，得log 27＝log 27log 22＝log 2712＝2log 27＝2(log 214－log 22) ＝2(1a －1)＝2(1－a )a. 课时作业1．D [lg 8＋3lg 5＝lg 8＋lg 53＝lg 1 000＝3.]2．B [log 36＝lg 6lg 3＝lg 2＋lg 3lg 3＝a ＋b b.] 3．A [由根与系数的关系，得lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12， ∴⎝⎛⎭⎫lg a b 2＝(lg a －lg b )2 ＝(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b＝22－4×12＝2.] 4．A [由指数式转化为对数式：x ＝log 2.51 000，y ＝log 0.251 000，则1x －1y ＝log 1 0002.5－log 1 0000.25＝log 1 00010＝13.] 5．C6.a ＋2b －12解析 lg 1.8＝12lg 1.8 ＝12lg 1810＝12lg 2×910＝12(lg 2＋lg 9－1)＝12(a ＋2b －1)． 7．2解析由log 63＋log 6x＝0.613 1＋0.386 9＝1.得log 6(3x )＝1.故3x ＝6，x ＝2.8．解 (1)方法一原式＝12(5 lg 2－2lg 7)－43·32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5) ＝12lg 10＝12. 方法二原式＝lg 427－lg 4＋lg 7 5 ＝lg 42×757×4＝lg(2·5)＝lg 10＝12. (2)方法一原式＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2＝lg 10·lg 52＋lg 4＝lg ⎝⎛⎭⎫52×4＝lg 10＝1. 方法二原式＝(lg 10－lg 2)2＋2lg 2－lg 22＝1－2lg 2＋lg 22＋2lg 2－lg 22＝1.9．解 ∵18b ＝5，∴log 185＝b,又∵log 189＝a ，∴log 365＝log 185lg 1836＝b log 18(18×2) ＝b 1＋log 182＝b 1＋log 18189 ＝b 1＋(1－log 189)＝b 2－a.。

高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2 对数函数 2.2.1 对数与对数运算(2)课后训练2 新人教A版必修1

2.2.1 对数与对数运算课后训练1．若a ＞0，a ≠1，x ＞y ＞0，下列式子中正确的个数是( )．①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )；②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a x y ＝log a x ÷log a y ；④log a (xy )＝log a x ·log a y .A ．0B ．1C ．2D ．32．已知log 23＝a ，log 37＝b ，则log 27等于( )．A ．a ＋bB ．a －bC ．ab D.a b3．化简12log 612－2log ( )．A ．B ．．log D.12 4．(学科内综合题)若lg a ＋lg b ＝0(其中a ＞0，b ＞0，a ≠1，b ≠1)，则函数f (x )＝a x 与g (x )＝b x 的图象关于( )．A ．直线y ＝x 对称B ．x 轴对称C ．y 轴对称D ．原点对称5．某种食品因存放不当受到细菌的侵害．据观察，此食品中细菌的个数y 与经过的时间t (分钟)满足关系y ＝2t ，若细菌繁殖到3个，6个，18个所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3分钟，则有( )．A ．t 1·t 2＝t 3B ．t 1＋t 2＞t 3C ．t 1＋t 2＝t 3D ．t 1＋t 2＜t 36．若lg x ＝lg m －2lg n ，则x ＝______.7．已知m ＞0，且10x ＝lg(10m )＋lg1m ，则x ＝______. 8．如果方程lg 2x ＋(lg 7＋lg 5)lg x ＋lg 7·lg 5＝0的两个根是α，β，则αβ的值是________．9．已知2x ＝3y ＝6z ≠1，求证：111x y z+=. 10．(能力拔高题)甲、乙两人在解关于x 的方程log 2x ＋b ＋c ·log x 2＝0时，甲写错了常数b 得两根为14，18，乙写错了常数c 得两根为12，64.求这个方程的真正根．参考答案1. 答案：A2. 答案：C log 27＝log 23·log 37＝ab .3. 答案：C 原式＝loglog 62＝log62＝log4. 答案：C ∵lg a ＋lg b ＝lg(ab )＝0，∴ab ＝1，b ＝1a . ∴g (x )＝1x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则f (x )与g (x )的图象关于y 轴对称． 5. 答案：C 由题意，得2t 1＝3,2t 2＝6,2t 3＝18，则t 1＝log 23，t 2＝log 26，t 3＝log 218，所以t 1＋t 2＝log 23＋log 26＝log 218＝t 3.6. 答案：2m n ∵lg m －2lg n ＝lg m －lg n 2＝lg 2m n ， ∴x ＝2m n. 7. 答案：0 lg(10m )＋lg1m ＝lg 10＋lg m ＋lg 1m ＝1， ∴10x ＝1＝100.∴x ＝0. 8. 答案：135由题意，可知关于lg x 的二次方程的两根为lg α，lg β， ∴lg(αβ)＝lg α＋lg β＝－(lg 7＋lg 5)＝lg 135. ∴αβ＝135. 9. 答案：证明：设2x ＝3y ＝6z ＝k (k ≠1)，∴x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 6k . ∴1x ＝log k 2，1y ＝log k 3，1z＝log k 6＝log k 2＋log k 3. ∴111x y z +=. 10. 答案：分析：将方程化为关于log 2x 的一元二次方程的形式．利用一元二次方程的根与系数的关系求出b 和c ，再求出真正根．解：原方程可化为log 2x ＋b ＋c ·21log x ＝0，即(log 2x )2＋b log 2x ＋c ＝0.因为甲写错了常数b 得两根为11,48，所以c＝log214·log218＝6.因为乙写错了常数c得两根为12，64，所以b＝－(log212＋log264)＝－5.故原方程为log2x－5＋6log x2＝0，可化为(log2x)2－5log2x＋6＝0. 解得log2x＝2或log2x＝3.所以x＝4，或x＝8，即方程的真正根为4,8.。

高中数学 2.2.1第2课时对数的运算新人教A版必修1

C．2
D．4
【解析】 log29·log34＝llgg 92·llgg 43＝2llgg23·2llgg32＝4.
【答案】 D
4.lloogg2293＝________．【解析】 lloogg2293＝log39＝log332＝2. 【答案】 2
• 预习完成后，请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中
自主学习
易
误
• 第2课时对数的运算
警示
· 基础知识
• [学习目标]
·
规
范
1. 理解对数的运算性
指导
质．(重点)2.知道用换底公式能将一般对数
合
作探
转化成自然对数或常用对数．(难点)3.会运课
究
时
· 重
用运算性质进行一些简单的化简与证明(易
作业
难
疑点
混点)．
• 一、对数的运算性质
方法
2：因为
log189＝a，即lg
2lg 3 2＋2lg
3＝a，
所以 lg 2＝2（1－aa）lg 3，
又
18b＝5，即
b＝lg
lg 5 2＋2lg
， 3
所以 lg 5＝2ablg 3，所以 log3645＝2llgg52＋＋22llgg33＝4（12a－ ab＋a）2 ＋2＝a2＋－ba.
• logab＝______(a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1，b＞0)． 1
• 特别地：logab·log＝__(a＞0，a≠1，b＞0， b≠1)．
• 1．判断：(正确的打“√”，错误的打 “×”)
• (1)积、商的对数可以化为对数的和、
差• (4(．)2由)(l换og底a(公x)式y)可＝得lolgogaaxb·＝lollooggga（（y－－.22(））ba.(

高中数学2.2.1对数与对数运算教学反思新人教A版必修1-经典通用宝藏文档

《对数与对数运算------换底公式》的教学反思本节教学内容是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修1第二章《基本初等函数（I）》中2.2.1节《对数与对数运算》的第三课时换底公式。

上面就本节课的设计和具体实行的情况做个分析比对。

第一个环节是“复习发问，导入新课”，经过一个人口成绩设置一个疑问，让先生感遭到学习新知的必要性。

在上课过程中，这个成绩达到了预设的效果。

第二个环节是“多元互动，探求新知”，课前留下了考虑成绩1，先生很好的完成了，并且在课上做了展现，以此成绩为契机，去探求成绩2和成绩3，毕竟得到了换底公式。

在上课过程中，发现有些同学对于由具体到普通的证明过程还是有些成绩的，在课下我也对个别同学又进行了有针对性的辅导。

第三个环节是“运用新知，展现交流”，在这个环节展现两个推论的证明过程中，发现同学对换底公式的运用还不够灵活，针对展现中出现的成绩，也进行了及时的纠正，这里处理的还是比较好的。

在让先生去板书例1的过程中，该当对板书做个更好的引导，这样使得最初全部板书看起来比较拥堵不美观。

在例2和例3的处理上，例2是教师引导然后先生自主完成，例3是先生分组学习然后代表展现，我认为对这两道比较难理解的运用题的处理还是很到位的，这样的处理让绝大部分同学都能很好的学习这两道题，也起到了必然的教育作用。

但由于工夫的限制，给同学自主学习或合作探求的工夫还不够充分，而且有些同学仍然不能投入到小组探求中去，教师应更积极自动的去组织，在今后的教学中应留意这个成绩。

第四个环节是“归纳梳理，总结提升”，这个环节的本意是让先生静下心来独立考虑总结本人的得失，但同学仿佛没从例3的探求气氛中脱离出来，仍然去讨论交流，这里教师的目的表达不够明确。

数学课上必须有先生的独立考虑，特别对于最初的总结提升。

在以后的教学中应留意教师任务的下达必须明确。

最初是“反馈练习”和“分层作业，夯实基础”，次要目的就是巩固新知同时检验学习效果，从先生反馈情况看，效果不错。

【课件】对数的运算(2)换底公式 2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

所以，两次地震的最大振幅之比为
A1 A0 107.6 102.6 398 A2 A0 105
讲答：7.6级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的398倍.
课
人
：
邢
启强
15
典型例题
例4 计算
log5 log5
1 3
2 log7 log7 3
9 4
log2
(
3
5
3
5)
解:
log5 log5
1 3
4.3.2对数运算（2）换底公式
复习引入
1．对数的定义，如果ax＝N，则x叫做以a为底N的对数，记作x＝ logaN ，a 叫做对数的底数，N叫做真数．
2．(1)以10为底的对数叫做常用对数，并把
log10N简记作 lgN .
(2)以无理数e＝2.71828……为底数的对
数，叫做自然对数 lnN .
2 log7 log7 3
9 4
log2
(
3
5
3
5)
log1 2 log3 4 9 log4 ( 3 5 3 5 )2
3
1
log1 22 3log2 32 log4(6 2 2) =－1
讲课
3
人
：
邢
启强
16
巩固练习
1. 求 log43·log134 32的值. 2. 已知 log189=a, 18b =5,
试用 a,b 表示 log365.
(1) 9 (2) b
4 2a
讲
课
人
：
邢
启强
17
巩固练习
1. 已知 lgx+lgy+lgz=0,

高中数学教学 对数与对数运算(二) 新人教A版必修1

高中数学 2.2.1.1对数课件 新人教A版必修1