微分算子法

高阶常微分方程的微分算子法
摘自《大学数学解题法诠释》 .徐利治,.冯克勤,.方兆本,.徐森林,.1999
高阶方程的求解自然要比一阶方程更为困难，即使是对于线性微分方程。

但是有一个例外：常系数线性微分方程。

我们可以完整的求出它的通解来，所以常系数线性方程的求解，主要精力是集中在讨论对应的非齐
次方程的特解。

本节主要讨论微分算子法。

1.求方程230y y y ''''''--=的通解. 解 记()
n n y
D y =，将方程写成
32230D y D y Dy --=
或3
2
(23)0D D D y --= 我们熟知，其实首先要解特征方程
32230D D D --=
得0,1,3D =-故知方程有三特解31,,x
x
e e -，由于此三特解为线性无关，故立得通解 3123x
x
y C C e
C e -=++
注：本题方程为齐次常系数三阶常微分方程，线性常微分方程的一般形状是
1111()()()()()
n n n n n n n d y d y dy L y a x a x dx dx dx a x y f x ---=++++=L 其中系数1(),,()n a x a x L 是某区间(,)a b 上的连续函数，上述方程又可写成
1
1()(()())n n n L y D a x D
a x y -≡+++L
()f x =
可以把上面括号整体看作一种运算，常称为线性微分算子。

本题中各()i a x 均为实常数，今后也仅对实常系数的情形来进一步发展线性微分算子方法。

2.求解 61160y y y y ''''''-+-=
解 写成 32
(6116)0D D D y -+-=
从特征方程
3
2
06116D D D =-+-
(1)(2)(3)D D D =---
解得 1,2,3D =共三实根，故可立即写成特解
23123x x x
y C e C e C e =++
3.求解 39130y y y y ''''''-++=
解 写成 32
(3913)0D D D y -++= 或 2
(1)(413)0D D D y +-+=
特征方程 2
(1)(413)0D D D +-+=有根
1,23D i =-±，故对应的特解是x e -，2cos3x
e x ，
2sin 3x e x 从而通解是
22123cos3sin 3x x x
y C e C e x C e x -=++
4.求(4)
45440y
y y y y ''''''-+-+=之通解.
解 写成
432
(4544)0D D D D y -+-+= 或 22
(2)(1)0D D y -+=
特征根是2,2,D i =±，对应的特解应是
22,,cos ,sin x x e xe x x ，故写成通解
21234()()cos sin x y x e C C x C x C x =+++
5.求1
(cos )y y x -''+=的通解
解 本题为非齐次方程，先求出对应的齐次方程
0y y ''+=的通解，写成2
(1)0D y +=，可知特征根为i ±，相应的通解为112cos sin y C x C x =+
设原方程有特解形为
*12()cos ()sin y C x x C x x =+
其中12,C C 为待定函数，常数变异告诉我们，应求解下面的方程组
121
12()cos ()sin 0()(cos )()(sin )(cos )
C x x C x x C x x C x x x -⎧''+=⎪⎨''''+=⎪⎩
或
121
12()cos ()sin 0()sin ()cos (cos )
C x x C x x C x x C x x x -⎧''+=⎪⎨''-+=⎪⎩
(方程组右端为原方程非齐次项1
(cos )x -)，解得
1sin ()cos x
C x x
'=-，2()1C x '=
或 1()ln cos C x x =，2()C x x =
最后得通解为
1*()()()y x y x y x =+
12cos sin cos ln cos sin C x C x x x x x
=+++
注 对常系数方程，在应用上，不常运用常数变异法，
对于特殊非齐次项的常系数方程，下文将提供更简捷的办法。

6.求解下列方程
(1)(4)
24250y y y y y ''''''++--= (2)4850y y y '''-+=
解 (1)12x x
y C e C e -=+
34(cos 2sin 2)x
e C x C x -++
(2)12(cos
sin )22
x
x x y e C C =+ 7.求解下列cauchy 问题
(1)330;y y y y ''''''-+-=
(0)1,(0)2,(0)3y y y '''===
(2)0;(0)1,(0)0,(0)1y y y y y ''''''''+====
解 (1) (1)x
y e x =+
(2) x
y x e -=+
8.求解非齐次方程
21
(0)y y y x x x
'''+
+=≠ 解 本题不是常系数方程，为求通解需先知道齐次方程2
0y y y x
'''+
+=的两个线性无关的特解。

现设用观察法得到两个特解 12sin cos ,x x
y y x x
== 令
12sin cos ()()
()x x
y x C x C x x x
=+ 考虑方程组
121
2sin cos ()()0sin cos 1()()()()x x C x C x x x
x x C x C x x x x ⎧''+=⎪⎪⎨⎪''''+=⎪⎩
最后解得
1()sin C x x =，2()cos C x x = 故原方程的通解为 1
2sin cos 1
()x x y x C C x x x
=++ 注 我们说过，高阶方程中最重要、研究得最彻底的
是线性方程，因此我们就从它开始。

因为有了常数变易法，所以重点似乎应放在齐次方程的求解，但是，齐次常系数线性方程的求解来的太容易(只需要解代数方程)，这就构成了这一单元的特点：我们着力于
求解具有特殊右端(物理学中称此种项为强迫项)的任意高阶非齐次常系数线性方程。

这样做既是为了避免使用繁复的常数变易法，也是为了让解题者掌握一种最实用的技巧——微分算子法
9.求解
2
56y y y x '''++= 解 写成 2
(2)(3)D D y x ++=
故对应齐次方程(2)(3)0D D y ++=的通解为
23112()x x
y x C e C e --=+
今用下法求原方程的一个特解*()y x ，显然*
()y x 满足
*2
(2)(3)D D y x ++= 今用下法求出*
()y x
*21
()(2)(3)y x x D D =
++
2
22
22222
2
2222
22222222211()23112311112311231(1)2241(1)31(1)2241(1)3111
(()())224111(()())
339
11122()()223391561x D D x x D D x x D D
D D x D D x D D x D D x
x x x x x x x x x x x =-++=-++=-++=-+---+-=-+--+'''=-+'''--+=-+--+=-L L ３９ ３９ 198108x +
通解为。