陕西省2016届高三上学期同心圆梦新课标冲刺01数学(理)试题 扫描版含答案
陕西省2016届高考数学全真模拟试卷1理有答案
陕西省2016届高考数学全真模拟试卷1（理有答案）陕西省2016届高考全真模拟（一）考试数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集，集合，则（）A．B．C．D．2．定义：．若复数满足，则等于（）A．B．C．D．4．在四个数中随机地抽取一个数记为，再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为，则“不是整数”的概率为（）A．B．C．D．5．设命题，且；命题关于的函数且是对数函数，则命题成立是命题成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．执行如图所示程序图，若输出的数等于，则输入的为（）A．8B．9C．10D．77．已知抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上过的弦的两个端点，设线段的中点在上的射影为，则的值是（）A．B．1C．D．28．在中，，，是边中垂线上任意一点，则的值是（）A．16B．8C．4D．29．已知、分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的一点，若，则的面积是（）A．B．C．D．10．已知正四面体的棱长为，则其外接球的表面积为（）A．B．C．D．11．若函数若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．12．把曲线上所有点向右平移个单位，得到曲线，且曲线关于点中心对称．当（为正整数）时，过曲线上任意两点的直线的斜率恒小于零，则的值为（）A．1B．2C．3D．1或2第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考试根据要求做答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则它的展开式中常数项是______．14．董师傅用铁皮侧作一封闭的工件，其三视图如图所示（单位：，图中水平线与竖直线垂直），则制作该工件用去的铁皮的面积为（制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计）______．15．若实数满足则的最大值为______．16．已知数列中，，若，则数列的通项公式______．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知，函数的图像过点．（1）求的值以及函数的最小正周期和单调增区间；（2）在中，角的对边分别是．若，求的取值范围．18．（本小题满分12分）如图，四棱锥中，侧面是正三角形，底面是边长为的菱形，，且侧面与底面垂直，为的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值．19．（本小题满分12分）是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米及其以上空气质量为超标．某试点城市环保局从该市市区2015年全年每天的检测数据中随机抽取6天的数据作为样本，检测值茎叶图如图（十位为茎，个位为叶），若从这6天的数据中随机抽出3天．（1）求至多有2天空气质量超标的概率；（2）若用随机变量表示抽出的3天中空气质量为一级或二级的天数，求的分布列和数学期望．20．（本小题满分12分）过椭圆的右焦点的直线交椭圆于两点，为其左焦点，已知的周长为，椭圆的离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆的下顶点，椭圆与直线相交于不同的两点、．当时，求实数的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数．（1）若的极值；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在中，，平分，交于点，点在上，，且．（1）求证：直线是的外接圆的切线；（2）求的长．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立平面直角坐标系，曲线的极坐标方程是．（1）求曲线和交点的直角坐标；（2）、两点分别在曲线与上，当最大时，求的面积．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）解关于的不等式；（2）若函数的图象恒在函数图像的上方，求实数的取值范围．陕西省2016届高考全真模拟（一）考试数学（理）试题参考答案一、选择题题号123456789101112答案CCACBAABBDDD二、填空题13．112014．15．216．三、解答题17．解：（1）由，…………2分因为点在函数的图象上，所以．解得．………………3分．由．可得函数的单调增区间为………………6分（2）∵，∵，∴，．………………10分∴，，∴．………………12分∴的取值范围是．18．（1）证明：（方法一）取的中点，由是正三角形，有．又∵平面底面，∴平面于点．取的中点，连接，在菱形中，由于，则，又，则平面，即．又在中，中位线，，则，则四边形为平行四边形，所以，在中，，则，故．而，则平面………………6分（方法二）由底面为菱形且，，，有．建立空间直角坐标系如图………………2分则．由为中点，∴．∴，，．∴，．∴．又，∴平面．………………6分（2）．令平面的法向量，则取，则．∴可取．………………10分由（1）知平面的法向量可取，∴．∴所求二面角的余弦值为．………………12分19．解：（1）记“至多有2天空气质量超标”为事件，“3天空气质量都超标”为事件，则，所以………………5分（2）由题设知，的可能取值为，取相应值的概率分别为：，．………………9分综上可得的分布列为：的数学期望．………………12分20．解：（1）由椭圆定义知，，………………2分由得………………4分椭圆的方程为………………5分（2）由方程组，设，则，设的中点为，则由，得………………7分即，则中点有，得，再把代入，则，得：………………10分综上可得，即为所求．………………12分21．解：（1）的定义域为，，令得或（舍去）∴当时，，单调递增；当时，，单调递减．∴为函数的极大值．………………5分（2）对任意，不等式恒成立，或恒成立．①………………7分设，，依题意知，或在上恒成立．或………………8分，∴与都在上单调递增，要使不等式①恒成立，………………10分当且仅当或，即或．………………12分22．（1）证明：∵于，∴为外接圆的直径，设圆心为，连接，所以．∴．又∵平分∴，∴，∴又∵，∴∴是的外接圆的切线．………………5分（2）解：由是圆的切线知，可得：∴，∴，∴∵，∴，∴………………10分23．解：（1）由得两式平方作和得：，即．①由，即②②-①：，代入曲线的方程得交点为和………………5分（2）由平面几何知识可知，当、、、依次排列且共线时最大，此时，到直线的距离为所以，的面积为：………………10分24．解：（1）由得，∴，∴故不等式的解集为………………5分（2）∵函数的图象恒在函数图象的上方∴恒成立，即恒成立………………8分∵．∴的取值范围为．………………10分。
2016届陕西省西安中学高三第一次仿真考试数学(理)试题
2016届陕西省西安中学高三第一次仿真考试数学（理）试题数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知复数20141()1i z i+=-，则在复平面内z i -所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2.已知R α∈，10sin 2cos 2αα+=，则tan 2α=（ ） A ．43 B ．43 C ．34- D ．43- 3.若命题“0x R ∃∈，使得200230x mx m ++-<”为假命题，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[2,6]B ．[6,2]--C ．(2,6)D ．(6,2)--4.将1，2，…，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率是（ ） A ．156 B ．170 C ．1336 D ．14205.已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一条渐近线方程是3y x =，它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上，则双曲线的方程为（ ）A ．22136108x y -=B ．221927x y -=C ．22110836x y -=D ．221279x y -=6.已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若3,4AB AC ==,AB AC ⊥,112AA =,则球O 的半径为（ ）A ．3172 B ．210 C ．132D ．310 7.已知在ABC ∆中，4AB AC ==，43BC =，点P 为边BC 所在直线上的一个动点，则关于()AP AB AC ∙+的值，下列选项正确的是（ ）A ．最大值为16B ．为定值8C ．最小值为4D ．与P 的位置有关8.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是（ ）A ．[,]()36k k k Z ππππ-+∈ B ．[,]()2k k k Z πππ+∈ C ．2[,]()63k k k Z ππππ++∈ D ．[,]()2k k k Z πππ-∈9.如图为某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．610.使得1(3)n x x x+（n N +∈）的展开式中含有常数项的最小的n 为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．711.一个几何体的三视图如所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为1234,,,V V V V ，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（ ）A ．1243V V V V <<<B ．1324V V V V <<<C ．2134V V V V <<<D ．2314V V V V <<<12.设[]x 表示不超过x 的最大整数（如[2]2=，5[]14=），对于给定的*n N ∈，定义(1)([]1)(1)([]1)x n n n n x C x x x x --+=--+ ，[1,)x ∈+∞，则当3[,3)2x ∈时，函数8x C 的值域是（ ）A ．16[,28]3 B ．16[,56)3 C ．28(4,)[28,56)3 D ．1628(4,](,28]33第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡的相应位置上.）13.已知数列{}n a 满足1112,n n na a a a +-==，n S 是其前n 项和，则2014S =_________. 14.椭圆22:143x y C +=的左右顶点分别为12,A A ，点P 在C 上且直线2PA 斜率的取值范围是[2,1]--，那么直线1PA 斜率的取值范围是________.15.设变量,x y 满足约束条件250200x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数48x y z =∙的最大值为__________.16. ABC ∆中，090C ∠=，M 是BC 的中点，若1sin 3BAM ∠=，则sin BAC ∠=________. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2112121,33n n S a a n n n +==---，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明：对一切正整数n ，有1211174n a a a +++< . 18.（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDE 中，DB ⊥平面ABC ，//AE DB ，且ABC ∆是边长为2的等边三角形，1AE =，CD 与平面ABDE 所成角的正弦值为64. （1）若F 是线段CD 的中点，证明：EF ⊥平面DBC ； （2）求二面角D EC B --的平面角的余弦值.19.（本小题满分12分）某电视台组织部分记者，用“10分制”随机调查某社区居民的幸福指数，现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福指数的得分（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若幸福指数不低于9.5分，则称该人的幸福指数为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望. 20.（本小题满分12分）已知抛物线2(0)y px p =>与直线1y x =--相切. （1）求抛物线标准方程，及其准线方程；（2）若,P Q 是抛物线上相异的两点，且,P Q 的中点在直线1x =上，试证：线段PQ 的垂直平分线恒过定点T .21.（本小题满分12分） 已知函数2()ln f x x x =. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）证明：对任意的0t >，存在唯一的s ，使()t f s =；（3）设（2）中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =，证明：当2t e >时，有2ln ()15ln 2g t t << 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，半圆O 的直径AB 的长为4，点C 平分弧AE ，过C 作AB 的垂线交AB 于D ，交AE 于F . （1）求证：2CE AE AF =∙；（2）若AE 是CAB ∠的角平分线，求CD 的长.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为33x t y t=-⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线C 的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=.（1）求直线l 普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设点P 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的取值范围. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()12f x x x =+--.（1）若不等式()f x a ≤的解集为(,1)-∞，求a 的值；（2）若1()()g x f x m=+的定义域为R ，求实数m 的取值范围.西安中学高2016届第一次仿真考试数 学(理科）答案一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上。
【免费阅读】2016年高考陕西省数学试卷-理科（含详细答案）
2011年普通高等学校招生全国统一考试陕西卷(理科)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）．1．设，是向量，命题“若，则”的逆命题是（ ）a b a b =- ||||a b =（A ）若，则 （B ）若，则a b ≠- ||||a b ≠ a b =- ||||a b ≠（C ）若，则 （D ）若，则||||a b ≠ a b ≠- ||||a b =a b=- 【分析】首先确定原命题的条件和结论，然后交换条件和结论的位置即可得到逆命题。
【解】选D 原命题的条件是，作为逆命题的结论；原命题的结论是，作a b =- ||||a b =为逆命题的条件，即得逆命题“若，则”，故选D ．||||a b =a b =- 2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是 （ ）2x =-（A ） （B ） （C ） （D ）28y x =-28y x =24y x =-24y x=【分析】由准线确定抛物线的位置和开口方向是判断的关键．【解】选B由准线方程得,且抛物线的开口向右（或焦点在轴的正半2x =-22p-=-x 轴），所以．228y px x ==3．设函数（R ）满足，，则函数的图()f x x ∈()()f x f x -=(2)()f x f x +=()y f x =像是 （）【分析】根据题意，确定函数的性质，再判断哪一个图像具有这些性质．()y f x =【解】选B 由得是偶函数，所以函数的图象关于轴()()f x f x -=()y f x =()y f x =y 对称，可知B ，D 符合；由得是周期为2的周期函数，选项D (2)()f x f x +=()y f x =的图像的最小正周期是4，不符合，选项B 的图像的最小正周期是2，符合，故选B ．4．（R ）展开式中的常数项是 （ 6(42)xx --x ∈）（A ） （B ） （C ）15 （D ）2020-15-【分析】根据二项展开式的通项公式写出通项，再进行整理化简，由的指数为0，确定x 常数项是第几项，最后计算出常数项.【解】选C ，62(6)1231666(4)(2)222r x rx r r x r xr r x xr r T C C C -----+==⋅⋅=⋅令，则，所以，故选C ．1230x xr -=4r =45615T C ==5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）（A ）283π-（B ）83π-会所负责活部”（（C ）82π-（D ）23π【思路点拨】根据已知的三视图想象出空间几何体，然后由几何体的组成和有关几何体体积公式进行计算．【精讲精析】选A 由几何体的三视图可知几何体为一个组合体，即一个正方体中间去掉一个圆锥体，所以它的体积是.3218222833V ππ=-⨯⨯⨯=-6．函数在内 （）()cos f x x =[0,)+∞（A ）没有零点 （B ）有且仅有一个零点（C ）有且仅有两个零点 （D ）有无穷多个零点【分析】利用数形结合法进行直观判断，或根据函数的性质（值域、单调性等）进行判断。
2016年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版)
2016 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5 分）设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）2．（5 分）设（1+i）x=1+yi，其中x，y 是实数，则|x+yi|=（）A．1 B．C．D．23．（5 分）已知等差数列{a n}前9 项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100 B．99 C．98 D．974．（5 分）某公司的班车在7：00，8：00，8：30 发车，小明在7：50 至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10 分钟的概率是（）A．B．C．D．5．（5 分）已知方程﹣=1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，）C．（0，3）D．（0，）6．（5 分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π7．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．8．（5 分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c9．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y 的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x10．（5 分）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A、B 两点，交C 的准线于D、E 两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C 的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4 C．6 D．811．（5 分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1 的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n 所成角的正弦值为（）A．B．C．D．12．（5 分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω 的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.13．（5 分）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=．14．（5 分）（2x+）5的展开式中，x3的系数是．（用数字填写答案）15．（5分）设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a n 的最大值为．16．（5 分）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5 个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3 个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900 元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600 个工时的条件下，生产产品A、产品B 的利润之和的最大值为元．三、解答题：本大题共5 小题，满分60 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC 的面积为，求△ABC 的周长．18．（12 分）如图，在以A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E 与二面角C﹣BE﹣F 都是60°．（I）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（II）求二面角E﹣BC﹣A 的余弦值．19．（12 分）某公司计划购买2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200 元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500 元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100 台机器更换的易损零件数的频率代替1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2 台机器的同时购买的易损零件数．（I）求X 的分布列；（II）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n 的最小值；（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19 与n=20 之中选其一，应选用哪个？20．（12 分）设圆x2+y2+2x﹣15=0 的圆心为A，直线l 过点B（1，0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E．（I）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II）设点E 的轨迹为曲线C1，直线l 交C1 于M，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．21．（12 分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2有两个零点．（I）求a 的取值范围；（II）设x1，x2 是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．请考生在22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10 分）如图，△OAB 是等腰三角形，∠AOB=120°．以O 为圆心，OA 为半径作圆．（I）证明：直线AB 与⊙O 相切；（II）点C，D 在⊙O 上，且A，B，C，D 四点共圆，证明：AB∥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy 中，曲线C1 的参数方程为（t 为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（I）说明C1 是哪种曲线，并将C1 的方程化为极坐标方程；（II）直线C3 的极坐标方程为θ=α0，其中α0 满足tanα0=2，若曲线C1 与C2 的公共点都在C3 上，求a．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（I）在图中画出y=f（x）的图象；（II）求不等式|f（x）|＞1 的解集．2016 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5 分）设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；4O：定义法；5J：集合．【分析】解不等式求出集合A，B，结合交集的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣4x+3＜0}=（1，3），B={x|2x﹣3＞0}=（，+∞），∴A∩B=（，3），故选：D．【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．2．（5 分）设（1+i）x=1+yi，其中x，y 是实数，则|x+yi|=（）A．1 B．C．D．2【考点】A8：复数的模．【专题】34：方程思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数相等求出x，y 的值，结合复数的模长公式进行计算即可．【解答】解：∵（1+i）x=1+yi，∴x+xi=1+yi，即，解得，即|x+yi|=|1+i|= ，故选：B．【点评】本题主要考查复数模长的计算，根据复数相等求出x，y 的值是解决本题的关键．3．（5 分）已知等差数列{a n}前9 项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100 B．99 C．98 D．97【考点】83：等差数列的性质．【专题】11：计算题；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】根据已知可得a5=3，进而求出公差，可得答案．【解答】解：∵等差数列{a n}前9 项的和为27，S9===9a5．∴9a5=27，a5=3，又∵a10=8，∴d=1，∴a100=a5+95d=98，故选：C．【点评】本题考查的知识点是数列的性质，熟练掌握等差数列的性质，是解答的关键．4．（5 分）某公司的班车在7：00，8：00，8：30 发车，小明在7：50 至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10 分钟的概率是（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【专题】5I：概率与统计．【分析】求出小明等车时间不超过10 分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：设小明到达时间为y，当y 在7：50 至8：00，或8：20 至8：30 时，小明等车时间不超过10 分钟，故P==，故选：B．【点评】本题考查的知识点是几何概型，难度不大，属于基础题．5．（5 分）已知方程﹣=1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，）C．（0，3）D．（0，）【考点】KB：双曲线的标准方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知可得c=2，利用4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得m2=1，又（m2+n）（3m2﹣n）＞0，从而可求n 的取值范围．【解答】解：∵双曲线两焦点间的距离为4，∴c=2，当焦点在x 轴上时，可得：4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=1，∵方程﹣=1 表示双曲线，∴（m2+n）（3m2﹣n）＞0，可得：（n+1）（3﹣n）＞0，解得：﹣1＜n＜3，即n 的取值范围是：（﹣1，3）．当焦点在y 轴上时，可得：﹣4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=﹣1，无解．故选：A．【点评】本题主要考查了双曲线方程的应用，考查了不等式的解法，属于基础题．6．（5 分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离．【分析】判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求解几何体的表面积．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得：=，R=2．它的表面积是：×4π•22+=17π．故选：A．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积，考查计算能力以及空间想象能力．7．（5 分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】27：图表型；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x=±2 时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣e x，∴f′（x）=4x﹣e x=0 有解，故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数的图象，一般采用排除法解答．8．（5 分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c【考点】R3：不等式的基本性质．【专题】33：函数思想；35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用；5T：不等式．【分析】根据已知中a＞b＞1，0＜c＜1，结合对数函数和幂函数的单调性，分析各个结论的真假，可得答案．【解答】解：∵a＞b＞1，0＜c＜1，∴函数f（x）=x c在（0，+∞）上为增函数，故a c＞b c，故A 错误；函数f（x）=x c﹣1 在（0，+∞）上为减函数，故a c﹣1＜b c﹣1，故ba c＜ab c，即ab c ＞ba c；故B 错误；log a c＜0，且log b c＜0，log a b＜1，即=＜1，即log a c＞log b c．故D错误；0＜﹣log a c＜﹣log b c，故﹣blog a c＜﹣alog b c，即blog a c＞alog b c，即alog b c＜blog a c，故C 正确；故选：C．【点评】本题考查的知识点是不等式的比较大小，熟练掌握对数函数和幂函数的单调性，是解答的关键．9．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y 的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；28：操作型；5K：算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：输入x=0，y=1，n=1，则x=0，y=1，不满足x2+y2≥36，故n=2，则x=，y=2，不满足x2+y2≥36，故n=3，则x=，y=6，满足x2+y2≥36，故y=4x，故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．10．（5 分）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A、B 两点，交C 的准线于D、E 两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C 的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】K8：抛物线的性质；KJ：圆与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可．【解答】解：设抛物线为y2=2px，如图：|AB|=4，|AM|=2，|DE|=2，|DN|=，|ON|=，x A==，|OD|=|OA|，=+5，解得：p=4．C 的焦点到准线的距离为：4．故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线与圆的方程的应用，考查计算能力．转化思想的应用．11．（5 分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1 的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n 所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5G：空间角．【分析】画出图形，判断出m、n 所成角，求解即可．【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1 是正三角形．m、n 所成角就是∠CD1B1=60°．则m、n 所成角的正弦值为：．故选：A．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．12．（5 分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω 的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5【考点】H6：正弦函数的奇偶性和对称性．【专题】35：转化思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω 的最大值．【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9 时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω 的最大值为9，故选：B．【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度较大．二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.13．（5 分）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=﹣2 ．r +1【考点】9O ：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5A ：平面向量及应用． 【分析】利用已知条件，通过数量积判断两个向量垂直，然后列出方程求解即可．【解答】解：|+|2=||2+||2，可得•=0．向量=（m ，1），=（1，2），可得 m +2=0，解得 m=﹣2． 故答案为：﹣2．【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，考查计算能力．14．（5 分）（2x +）5 的展开式中，x 3 的系数是 10 ．（用数字填写答案）【考点】DA ：二项式定理．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5P ：二项式定理． 【分析】利用二项展开式的通项公式求出第 r +1 项，令 x 的指数为 3，求出 r ，即可求出展开式中 x 3 的系数． 【解答】解：（2x +）5 的展开式中，通项公式为：T = =25﹣r，令 5﹣=3，解得 r=4 ∴x 3 的系数 2=10．故答案为：10．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．（5 分）设等比数列{a n }满足 a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则 a 1a 2…a n 的最大值为 64 ．1 2 n 1 【考点】87：等比数列的性质；8I ：数列与函数的综合．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；54：等差数列与等比数列． 【分析】求出数列的等比与首项，化简 a 1a 2…a n ，然后求解最值． 【解答】解：等比数列{a n }满足 a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，可得 q （a 1+a 3）=5，解得 q=． a 1+q 2a 1=10，解得 a 1=8．则 a a …a =a n •q1+2+3+…+（n ﹣1）=8n • = = ，当 n=3 或 4 时，表达式取得最大值： =26=64．故答案为：64．【点评】本题考查数列的性质数列与函数相结合的应用，转化思想的应用，考查计算能力．16．（5 分）某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg ，乙材料 1kg ，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg ，乙材料 0.3kg ，用 3 个工时，生产一件产品 A 的利润为 2100元，生产一件产品 B 的利润为 900 元．该企业现有甲材料 150kg ，乙材料 90kg ，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A 、产品 B 的利润之和的最大值为 216000元．【考点】7C ：简单线性规划．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；33：函数思想；35：转化思想．【分析】设 A 、B 两种产品分别是 x 件和 y 件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可；【解答】解：（1）设 A 、B 两种产品分别是 x 件和 y 件，获利为 z 元．由题意，得，z=2100x+900y．不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），目标函数z=2100x+900y．经过A 时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000 元．故答案为：216000．【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，不等式组解实际问题的运用，不定方程解实际问题的运用，解答时求出最优解是解题的关键．三、解答题：本大题共5 小题，满分60 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC 的面积为，求△ABC 的周长．【考点】HU：解三角形．【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC 不为0 求出cosC 的值，即可确定出出C 的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b 的值，即可求△ABC 的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC 中，0＜C＜π，∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC2cosCsinC=sinC∴cosC=，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC 的周长为5+．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．（12 分）如图，在以A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E 与二面角C﹣BE﹣F 都是60°．（I）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（II）求二面角E﹣BC﹣A 的余弦值．【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5H：空间向量及应用；5Q：立体几何．【分析】（Ⅰ）证明AF⊥平面EFDC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）证明四边形EFDC 为等腰梯形，以E 为原点，建立如图所示的坐标系，求出平面BEC、平面ABC 的法向量，代入向量夹角公式可得二面角E﹣BC﹣A 的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵ABEF 为正方形，∴AF⊥EF．∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF，∵DF∩EF=F，∴AF⊥平面EFDC，∵AF⊂平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）解：由AF⊥DF，AF⊥EF，可得∠DFE 为二面角D﹣AF﹣E 的平面角；由ABEF 为正方形，AF⊥平面EFDC，∵BE⊥EF，∴BE⊥平面EFDC即有CE⊥BE，可得∠CEF 为二面角C﹣BE﹣F 的平面角．可得∠DFE=∠CEF=60°．∵AB∥EF，AB✪平面EFDC，EF⊂平面EFDC，∴AB∥平面EFDC，∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB⊂平面ABCD，∴AB∥CD，∴CD∥EF，∴四边形EFDC 为等腰梯形．以E 为原点，建立如图所示的坐标系，设FD=a，则E（0，0，0），B（0，2a，0），C（，0，a），A（2a，2a，0），∴=（0，2a，0），=（，﹣2a，a），=（﹣2a，0，0）设平面BEC 的法向量为=（x1，y1，z1），则，则，取=（，0，﹣1）．设平面ABC 的法向量为=（x2，y2，z2），则，则，取=（0，，4）．设二面角E﹣BC﹣A 的大小为θ，则cosθ===﹣，则二面角E﹣BC﹣A 的余弦值为﹣．【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查用空间向量求平面间的夹角，建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．19．（12 分）某公司计划购买2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200 元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500 元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100 台机器更换的易损零件数的频率代替1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2 台机器的同时购买的易损零件数．（I）求X 的分布列；（II）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n 的最小值；（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19 与n=20 之中选其一，应选用哪个？【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）由已知得X 的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列．（II）由X 的分布列求出P（X≤18）=，P（X≤19）=．由此能确定满足P （X≤n）≥0.5 中n 的最小值．（III）法一：由X 的分布列得P（X≤19）=．求出买19 个所需费用期望EX1和买20 个所需费用期望EX2，由此能求出买19 个更合适．法二：解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，分别求出n=19 时，费用的期望和当n=20时，费用的期望，从而得到买19 个更合适．【解答】解：（Ⅰ）由已知得X 的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，P （X=16）=（）2=，P（X=17）=，P（X=18）=（）2+2（）2=，P（X=19）= =，P（X=20）= ==，P（X=21）= =，P（X=22）= ，∴X 的分布列为：（Ⅱ）由（Ⅰ）知：P（X≤18）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）==．P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．∴P（X≤n）≥0.5 中，n 的最小值为19．（Ⅲ）解法一：由（Ⅰ）得P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．买19 个所需费用期望：EX1=200×+（200×19+500）×+（200×19+500×2）×+（200×19+500×3）×=4040，买20 个所需费用期望：EX2= +（200×20+500）×+（200×20+2×500）×=4080，∵EX1＜EX2，∴买19 个更合适．解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，当n=19 时，费用的期望为：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040，当n=20 时，费用的期望为：20×200+500×0.08+1000×0.04=4080，∴买19 个更合适．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．20．（12 分）设圆x2+y2+2x﹣15=0 的圆心为A，直线l 过点B（1，0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E．（I）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II）设点E 的轨迹为曲线C1，直线l 交C1 于M，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．【考点】J2：圆的一般方程；KL：直线与椭圆的综合．【专题】34：方程思想；48：分析法；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）求得圆A 的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得EB=ED，再由圆的定义和椭圆的定义，可得E 的轨迹为以A，B 为焦点的椭圆，求得a，b，c，即可得到所求轨迹方程；（Ⅱ）设直线l：x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|MN|，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），求得A 到PQ 的距离，再由圆的弦长公式可得|PQ|，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：圆x2+y2+2x﹣15=0 即为（x+1）2+y2=16，可得圆心A（﹣1，0），半径r=4，由BE∥AC，可得∠C=∠EBD，由AC=AD，可得∠D=∠C，即为∠D=∠EBD，即有EB=ED，则|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4，故E 的轨迹为以A，B 为焦点的椭圆，且有2a=4，即a=2，c=1，b==，则点E 的轨迹方程为+=1（y≠0）；（Ⅱ）椭圆C1：+=1，设直线l：x=my+1，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），由可得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得y1+y2=﹣，y1y2=﹣，则|MN|=•|y1﹣y2|=•= •=12•，A 到PQ 的距离为d==，|PQ|=2 =2=，则四边形MPNQ 面积为S= |PQ|•|MN|= ••12•=24•=24，当m=0 时，S 取得最小值12，又＞0，可得S＜24•=8 ，即有四边形MPNQ 面积的取值范围是[12，8）．【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆和圆的定义，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相交的弦长公式，考查不等式的性质，属于中档题．21．（12 分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2有两个零点．（I）求a 的取值范围；（II）设x1，x2 是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．【考点】51：函数的零点；6D：利用导数研究函数的极值．【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4C：分类法；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）由函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2可得：f′（x）=（x﹣1）e x+2a （x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），对a 进行分类讨论，综合讨论结果，可得答案．（Ⅱ）设x1，x2 是f（x）的两个零点，则﹣a==，令g（x）=，则g（x1）=g（x2）=﹣a，分析g（x）的单调性，令m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）=，设h（m）=，m＞0，利用导数法可得h（m）＞h（0）=0 恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m=1﹣x1＞0，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2，∴f′（x）=（x﹣1）e x+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），①若a=0，那么f（x）=0⇔（x﹣2）e x=0⇔x=2，函数f（x）只有唯一的零点2，不合题意；②若a＞0，那么e x+2a＞0 恒成立，当x＜1 时，f′（x）＜0，此时函数为减函数；当x＞1 时，f′（x）＞0，此时函数为增函数；此时当x=1 时，函数f（x）取极小值﹣e，由f（2）=a＞0，可得：函数f（x）在x＞1 存在一个零点；当x＜1 时，e x＜e，x﹣2＜﹣1＜0，∴f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2＞（x﹣2）e+a（x﹣1）2=a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e，令a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e=0 的两根为t1，t2，且t1＜t2，则当x＜t1，或x＞t2 时，f（x）＞a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e＞0，故函数f（x）在x＜1 存在一个零点；即函数f（x）在R 是存在两个零点，满足题意；③若﹣＜a＜0，则ln（﹣2a）＜lne=1，当x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＜ln（﹣2a）﹣1＜lne﹣1=0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0 恒成立，故f（x）单调递增，当ln（﹣2a）＜x＜1 时，x﹣1＜0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＜0 恒成立，故f（x）单调递减，当x＞1 时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0 恒成立，故f（x）单调递增，故当x=ln（﹣2a）时，函数取极大值，由f（ln（﹣2a））=[ln（﹣2a）﹣2]（﹣2a）+a[ln（﹣2a）﹣1]2=a{[ln（﹣2a）﹣2]2+1}＜0 得：函数f（x）在R 上至多存在一个零点，不合题意；④若a=﹣，则ln（﹣2a）=1，当x＜1=ln（﹣2a）时，x﹣1＜0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0 恒成立，故f（x）单调递增，当x＞1 时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0 恒成立，故f（x）单调递增，故函数f（x）在R 上单调递增，函数f（x）在R 上至多存在一个零点，不合题意；⑤若a＜﹣，则ln（﹣2a）＞lne=1，当x＜1 时，x﹣1＜0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0 恒成立，故f（x）单调递增，当1＜x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＜0 恒成立，故f（x）单调递减，当x＞ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0 恒成立，故f（x）单调递增，故当x=1 时，函数取极大值，由f（1）=﹣e＜0 得：函数f（x）在R 上至多存在一个零点，不合题意；综上所述，a 的取值范围为（0，+∞）证明：（Ⅱ）∵x1，x2 是f（x）的两个零点，∴f（x1）=f（x2）=0，且x1≠1，且x2≠1，∴﹣a==，令g（x）=，则g（x1）=g（x2）=﹣a，∵g′（x）=，∴当x＜1 时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞1 时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；设m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）=﹣=，设h（m）= ，m＞0，则h′（m）= ＞0 恒成立，即h（m）在（0，+∞）上为增函数，h（m）＞h（0）=0 恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m=1﹣x1＞0，则g（1+1﹣x1）＞g（1﹣1+x1）⇔g（2﹣x1）＞g（x1）=g（x2）⇔2﹣x1＞x2，即x1+x2＜2．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，函数的零点，分类讨论思想，难度较大．请考生在22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10 分）如图，△OAB 是等腰三角形，∠AOB=120°．以O 为圆心，OA 为半径作圆．（I）证明：直线AB 与⊙O 相切；（II）点C，D 在⊙O 上，且A，B，C，D 四点共圆，证明：AB∥CD．【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明．【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明．【分析】（Ⅰ）设K 为AB 中点，连结OK．根据等腰三角形AOB 的性质知OK⊥ AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，则AB 是圆O 的切线．（Ⅱ）设圆心为T，证明OT 为AB 的中垂线，OT 为CD 的中垂线，即可证明结论．【解答】证明：（Ⅰ）设K 为AB 中点，连结OK，∵OA=OB，∠AOB=120°，∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，∴直线AB 与⊙O 相切；（Ⅱ）因为OA=2OD，所以O 不是A，B，C，D 四点所在圆的圆心．设T 是A，B，C，D 四点所在圆的圆心．∵OA=OB，TA=TB，∴OT 为AB 的中垂线，同理，OC=OD，TC=TD，∴OT 为CD 的中垂线，∴AB∥CD．【点评】本题考查了切线的判定，考查四点共圆，考查学生分析解决问题的能力．解答此题时，充分利用了等腰三角形“三合一”的性质．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy 中，曲线C1 的参数方程为（t 为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（I）说明C1 是哪种曲线，并将C1 的方程化为极坐标方程；（II）直线C3 的极坐标方程为θ=α0，其中α0 满足tanα0=2，若曲线C1 与C2 的公共点都在C3 上，求a．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QE：参数方程的概念．【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）把曲线C1 的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方程，可知曲线C1 是圆，化为一般式，结合x2+y2=ρ2，y=ρsinθ 化为极坐标方程；（Ⅱ）化曲线C2、C3 的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知y=x 为圆C1 与C2 的公共弦所在直线方程，把C1 与C2 的方程作差，结合公共弦所在直线方程为y=2x 可得1﹣a2=0，则a 值可求．【解答】解：（Ⅰ）由，得，两式平方相加得，x2+（y﹣1）2=a2．∴C1 为以（0，1）为圆心，以a 为半径的圆．化为一般式：x2+y2﹣2y+1﹣a2=0．①由x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2=0；（Ⅱ）C2：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，②即（x﹣2）2+y2=4．由C3：θ=α0，其中α0 满足tanα0=2，得y=2x，∵曲线C1 与C2 的公共点都在C3 上，∴y=2x 为圆C1 与C2 的公共弦所在直线方程，①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a2=0，即为C3 ，∴1﹣a2=0，∴a=1（a＞0）．【点评】本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，训练了两圆公共弦所在直线方程的求法，是基础题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（I）在图中画出y=f（x）的图象；（II）求不等式|f（x）|＞1 的解集．【考点】&2：带绝对值的函数；3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35：转化思想；48：分析法；59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）运用分段函数的形式写出f（x）的解析式，由分段函数的画法，即可得到所求图象；（Ⅱ）分别讨论当x≤﹣1 时，当﹣1＜x＜时，当x≥时，解绝对值不等式，取交集，最后求并集即可得到所求解集．【解答】解：（Ⅰ）f（x）= ，由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右：（Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得当x≤﹣1 时，|x﹣4|＞1，解得x＞5 或x＜3，即有x≤﹣1；当﹣1＜x＜时，|3x﹣2|＞1，解得x＞1 或x＜，即有﹣1＜x＜或1＜x＜；当x≥时，|4﹣x|＞1，解得x＞5 或x＜3，即有x＞5 或≤x＜3．综上可得，x＜或1＜x＜3 或x＞5．则|f（x）|＞1 的解集为（﹣∞，）∪（1，3）∪（5，+∞）．【点评】本题考查绝对值函数的图象和不等式的解法，注意运用分段函数的图象的画法和分类讨论思想方法，考查运算能力，属于基础题．。
2016年陕西省同心圆梦高考数学冲刺试卷(理科)(1)(解析版)
2016年陕西省同心圆梦高考数学冲刺试卷（理科）（1）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．设全集为R，集合A={y|y＞2}，B={x|﹣1≤x≤4}，则（∁R A）∩B=（）A．（2，4]B．[﹣1，2] C．[﹣1，4] D．（4，+∞）2．已知复数z=∈R，（i为虚数单位，t为实数）．则1+ti的共轭复数为（）A．1﹣i B．1+i C．1﹣i D．1+i3．如图为2015年6月份北京空气质量指数AQI﹣PM2.5历史数据的折线图，以下结论不正确的是（）B．6月份连续2天出现中度污染的概率为C．6月份北京空气质量指数AQI﹣PM2.5历史数据的众数为160D．北京6月4至7日这4天的空气质量逐渐变好4．已知数列{a n}满足2S n=4a n﹣1．则数列{}的前100项和为（）A． B．C． D．5．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x﹣1）=f（1﹣x），且x≥0时，f（x）=2|x﹣m|﹣2，f（﹣1）=﹣1，则f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（﹣2，2）C．（0，2）D．（﹣2，0）∪（0，2）6．已知某几何体的三视图如图，根据图中的标出的尺寸（单位：dm），可得这个几何体的体积是（）A．dm3B．dm3C．dm3D．3πdm37．已知圆O：（x﹣a）2+y2=4上存在两点关于直线x﹣y﹣2=0对称，则过抛物线y2=4x焦点的直线l与圆O交于A，B两点，最短弦长|AB|等于（）A．1 B．C．2D．48．根据下面程序框图，当n=2时，输出S=（）A．1000 B．1950 C．2850 D．38009．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB+BC=4，BB1=3，∠ABC=90°，若直三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的体积最小时，则四面体A1﹣BCC1的体积为（）A．6 B．4 C．3 D．210．如图，圆O的半径为2，圆上一点P从A出发，绕着点O顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，记∠AOP为x（x∈[0，2π]），P在OA上的射影为M，记f（x）=•﹣1，那么函数f（x）的图象大致为（）A． B．C．D．11．与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线y=x的垂直的直线l交双曲线于A，B两点，若向量+与=（9，﹣）平行，则双曲线C的离心率等于（）A．B．C．D．212．对于定义在R上的函数f（x）满足两个条件：①当x∈[0，1]时，f（0）=0，f（1）=e，f（x）﹣f′（x）＜0；②e x﹣1f（x+1）=e x+1f（x﹣1），e1﹣x f（x+1）=e x+1f（1﹣x），若函数y=f（x）﹣kxe x零点有2016个，则实数k的取值范围为（）A．（，）B．（，）C．（﹣，﹣）∪（，）D．（﹣，）∪（，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分.13．已知单位圆与x轴，y轴的正半轴交于B，D，以B，D为切点的切线交于点C，O为原点，若=x+y（xy≠0），点P为弧上一点，∠BOP=，则2x+y=．14．对于集合A={（x，y）|}．命题p：至少存在一个点（x0，y0）∈A，使得代数式y0=2﹣1成立，则实数m的取值范围为．15．已知随机变量ξ﹣N（3，12），其概率P（ξ＜3）=a，则二项式（x2﹣2a）2（x3+）4的展开式中x8的系数为．16．已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=，则使数列{a n}的前n项和S n ＞0的n的值为．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知函数f（x）=cos2（+x）﹣sinxcosx．（1）求f（x）的值域；（2）在△ABC中，AB=2，BC=3，f（B）=，求sinA的值．18．某餐饮连锁企业在某地级市东城区和西城区各有一个加盟店，两店在2015年的1～7月份的利润y（单位：万元）如下茎叶图所示：（1）计算甲店和乙店在1～7月份的平均利润，比较两店利润的分散程度（不用计算）；（2）从这两点1～7月份的14个利润中选取2个，设这2个利润中“大于45万元”的个数为X，求X的分布列及数学期望．（3）假设甲店1～7月份的利润恰好是递增的，判断甲店的利润y和月份t是否具有线性相关关系，若具有，预测甲店8月份的利润，若没有，请说明理由．（小数点后保留两位小数）附：回归直线的斜率的最小乘法估计公式：b==．19．如图：几何体ABCD ﹣B 1C 1D 1中，正方形BB 1D 1D ⊥平面ABCD ，D 1D ∥CC 1，平面D 1DCC 1与与平面B 1BCC 1所成的二面角的余弦值为，BC=3，CD=2CC 1=2，AD=，AD∥BC ，M 为DD 1上任意一点．（1）当平面BC 1M ⊥平面BCC 1B 1时，求DM 的长；（2）若DM=，求直线AD 与平面BC 1M 所成的角的正弦值．20．已知圆M ：（x ﹣m ）2+y 2=1的切线l ，当l 的方程为y=1时，直线l 与椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）相切，且椭圆的离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）当m ＜0时，设S 表示三角形的面积，若M 的切线l ：y=kx +与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，当tan ∠POQ=3S △POQ 时，点A 在抛物线y 2=2x 上，点B 在圆M 上，求|AB |的最小值．21．已知集合A={f （x ）|f （x ）=xln （ax ）}和B={h （x ）|h （x ）=﹣}的交集有且只有2个子集．（1）求实数a 的值；（2）若对于任意的x ∈[1，+∞），f （x ）≤m （x 2﹣1）恒成立，求m 的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，以AB为直径的圆O与以N为圆心，半径为1的圆一个交点为Q，延长AB至点P，过点P作两圆的切线，分别切于M，N两点，已知AB=4．（1）证明：AN=PN；（2）求QN的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4，直线C2的参数方程为（t≠0），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，两坐标系取相同单位．（1）求C1，C2的极坐标方程；（2）设C2向左平移1个单位后与C1的交点为M，N，求MN的中点到直线C3的极坐标方程θ=的最小距离．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=m﹣|2x+1|﹣|2x﹣3|在R上存在零点．（1）求实数m的取值范围；（2）当m为最小值时，若++=1，求证：++≥．2016年陕西省同心圆梦高考数学冲刺试卷（理科）（1）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．设全集为R，集合A={y|y＞2}，B={x|﹣1≤x≤4}，则（∁R A）∩B=（）A．（2，4]B．[﹣1，2] C．[﹣1，4] D．（4，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据集合的定义与运算，求出∁R A与（∁R A）∩B即可．【解答】解：∵全集为R，集合A={y|y＞2}，∴∁R A={y|y≤2}=（﹣∞，2]，又B={x|﹣1≤x≤4}=[﹣1，4]，∴（∁R A）∩B=[﹣1，2]．故选：B．2．已知复数z=∈R，（i为虚数单位，t为实数）．则1+ti的共轭复数为（）A．1﹣i B．1+i C．1﹣i D．1+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】分母实数化，求出t的值，从而求出1+ti的共轭复数．【解答】解：∵z===∈R，∴3﹣4t=0，t=，∴1+ti的共轭复数为1﹣i，故选：A．3．如图为2015年6月份北京空气质量指数AQI﹣PM2.5历史数据的折线图，以下结论不正确的是（）．月份空气质量为优的天数为天B．6月份连续2天出现中度污染的概率为C ．6月份北京空气质量指数AQI ﹣PM2.5历史数据的众数为160D ．北京6月4至7日这4天的空气质量逐渐变好 【考点】频率分布折线图、密度曲线．【分析】对于A.6月份空气质量为优的日子为：6月7日，8日，11日，12日，13日，18日，19日，30日，即可判断出真假；对于B.6月份连续2天d 的日子为29个，连续2天中度污染的日子2个：为第28和29天，第24和25天，即可得出概率；对于C.6月份北京空气质量指数AQI ﹣PM2.5历史数据的众数为42，即可判断出真假；对于D ．北京6月4至7日这4天的图象逐渐下降，空气质量逐渐变好，即可判断出真假．【解答】解：A.6月份空气质量为优的日子为：6月7日，8日，11日，12日，13日，18日，19日，30日，天数为8天，因此正确；B.6月份连续2天d 的日子为29个，连续2天中度污染的日子2个：为第28和29天，第24和25天，所以概率为，正确；C.6月份北京空气质量指数AQI ﹣PM2.5历史数据的众数为42，因此错误； D ．北京6月4至7日这4天的图象逐渐下降，空气质量逐渐变好，正确． 故选：C ．4．已知数列{a n }满足2S n =4a n ﹣1．则数列{}的前100项和为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】数列的求和．【分析】通过2S n =4a n ﹣1与2S n ﹣1=4a n ﹣1﹣1（n ≥2）作差，进而可知数列{a n }是首项为、公比为2的等比数列，裂项可知=﹣，利用裂项相消法计算即得结论．【解答】解：∵2S n =4a n ﹣1，∴2S n ﹣1=4a n ﹣1﹣1（n ≥2），两式相减得：2a n =4a n ﹣4a n ﹣1，即a n =2a n ﹣1（n ≥2），又∵2S 1=4a 1﹣1，即a 1=，∴数列{a n }是首项为、公比为2的等比数列，a n =•2n ﹣1=2n ﹣2，∴==﹣，∴所求值为1﹣+﹣+…+﹣+﹣=，故选：D ．5．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x﹣1）=f（1﹣x），且x≥0时，f（x）=2|x﹣m|﹣2，f（﹣1）=﹣1，则f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（﹣2，2）C．（0，2）D．（﹣2，0）∪（0，2）【考点】其他不等式的解法．【分析】先判断函数是偶函数，求出m的值，然后解不等式进行求解．【解答】解：∵f（x﹣1）=f（1﹣x），∴f（x）为偶函数，从而f（﹣1）=f（1）=1，∴2|x﹣m|﹣2=﹣1，∴m=1，∴x≥0时，f（x）=2|x﹣1|﹣2，∴当2|x﹣1|﹣2＜0时，解得0＜x＜2，当x＜0时，解得﹣2＜x＜0，综上所述，则f（x）＜0的解集为（﹣2，0）∪（0，2），故选：D．6．已知某几何体的三视图如图，根据图中的标出的尺寸（单位：dm），可得这个几何体的体积是（）A．dm3B．dm3C．dm3D．3πdm3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知几何体左、右各是半球和两个圆柱，半球的直径是2，圆柱的高为2，底面直径为2，中间圆柱的高为3，底面直径为1，由体积公式可得结论．【解答】解：由三视图可知几何体左、右各是半球和两个圆柱，半球的直径是2，圆柱的高为2，底面直径为2，中间圆柱的高为3，底面直径为1，由体积公式得V==πdm3．故选：B．7．已知圆O：（x﹣a）2+y2=4上存在两点关于直线x﹣y﹣2=0对称，则过抛物线y2=4x焦点的直线l与圆O交于A，B两点，最短弦长|AB|等于（）A．1 B．C．2D．4【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据直线过圆心解出a的值，得出圆O的圆心和半径，解出抛物线的焦点坐标（1，0），设AB方程为x+my﹣1=0，求出圆心到直线l的距离，利用垂径定理得出弦长公式，故当d最大时，弦长最小．【解答】解：∵已知圆O：（x﹣a）2+y2=4上存在两点关于直线x﹣y﹣2=0对称，∴直线x﹣y﹣2=0经过圆O的圆心（a，0），∴a﹣2=0，即a=2．圆O的半径r=2．抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），设AB的方程为x+my﹣1=0，则圆心O（2，0）到直线l的距离d=．∴当m=0时，d取得最大值1，∴|AB|的最小值为2=2=2．故选：C．8．根据下面程序框图，当n=2时，输出S=（）A．1000 B．1950 C．2850 D．3800【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=3时，满足条件i＞2，退出循环，输出S的值为2850．【解答】解：模拟执行程序，可得i=0，S=0S=1000，i=1＜2；S=1950，i=2；S=2850，i=3＞2，退出循环，输出S=2850．故选：C．9．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB+BC=4，BB1=3，∠ABC=90°，若直三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的体积最小时，则四面体A1﹣BCC1的体积为（）A．6 B．4 C．3 D．2【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】将直三棱柱补成长方体，设AB=x，则长方体的对角线最小时球的体积最小，将长方体的对角线表示为AB的函数，得出对角线最短时AB的值，代入棱锥的体积计算．【解答】解：将直三棱柱ABC﹣A1B1C1补成长方体ABCD﹣A′B′C′D′，则长方体的对角线AC′为外接球的直径，设AB=x，则BC=4﹣x，∴AC′2=x2+（4﹣x）2+9=2（x﹣2）2+17，∴当x=2时，AC′取得最小值，即外接球的体积最小．∴四面体A1﹣BCC1的体积V===2．故选D．10．如图，圆O的半径为2，圆上一点P从A出发，绕着点O顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，记∠AOP为x（x∈[0，2π]），P在OA上的射影为M，记f（x）=•﹣1，那么函数f（x）的图象大致为（）A． B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算；函数的图象．【分析】求出f（x）的解析式，画出函数图象得出答案．【解答】解：，||=2cos（π﹣x）=|2cosx|，∴=4cos2x﹣1=1+2cos2x．故选：B．11．与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线y=x的垂直的直线l交双曲线于A，B两点，若向量+与=（9，﹣）平行，则双曲线C的离心率等于（）A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入双曲线的方程，两式相减，再由直线的斜率公式和向量共线的坐标表示，可得a=3b，由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入双曲线的方程可得﹣=1，﹣=1，两式相减可得=，由题意可得=﹣，又向量+与=（9，﹣）平行，可得（x1+x2，y1+y2）=λ（9，﹣），可得=﹣，即有=•=﹣•（﹣），化简可得a=3b，c==a，可得e==．故选：A．12．对于定义在R上的函数f（x）满足两个条件：①当x∈[0，1]时，f（0）=0，f（1）=e，f（x）﹣f′（x）＜0；②e x﹣1f（x+1）=e x+1f（x﹣1），e1﹣x f（x+1）=e x+1f（1﹣x），若函数y=f（x）﹣kxe x零点有2016个，则实数k的取值范围为（）A．（，）B．（，）C．（﹣，﹣）∪（，）D．（﹣，）∪（，）【考点】函数零点的判定定理．【分析】构造函数h（x）=，根据条件得到h（x）的一个周期为2，再根据导数得到函数h（x）在[0，1]上单调递增，利用数形结合的思想得到当k∈（，）函数y=f（x）﹣kxe x零点有2016个，同理可求k∈（﹣，﹣）时，也满足，问题得以解决．【解答】解：由题意设函数h（x）=，∵=，即h（1+x）=h（1﹣x），∴h（x）的图象关于直线x=1对称，∵e x﹣1f（x+1）=e x+1f（x﹣1），∴h（x+1）=h（x﹣1），即h（x）的一个周期为2，又∵h′（x）=＞0，∴h（x）在[0，1]上单调递增，∴h（0）=0，h（1）=1，又函数y=f（x）﹣kxe x零点的个数即为方程f（x）﹣kxe x=0的根的个数，∴h（x）==kx，画出h（x）的模拟图象和y=kx的图象，分析可知，当k∈（，）每个周期内h（x），kx的图象有2个交点，共有1008个周期，函数y=f（x）﹣kxe x零点有2016个，同理当k∈（﹣，﹣）时，函数y=f（x）﹣kxe x零点也有2016个，综上所述，k∈（﹣，﹣）∪（，），故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分.13．已知单位圆与x轴，y轴的正半轴交于B，D，以B，D为切点的切线交于点C，O为原点，若=x+y（xy≠0），点P为弧上一点，∠BOP=，则2x+y=2．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】根据题意，设B（1，0），D（0，1），C（1，1），从而写出向量的坐标表示，从而解得．【解答】解：根据题意，设B（1，0），D（0，1），C（1，1），则=（cos，sin）=（，）；又∵=（1，﹣1）；∴（1，1）=x（1，﹣1）+y（，），即1=x+y且有=﹣x+y，故x=2﹣，y=2﹣2，故2x+y=2，故答案为：2．14．对于集合A={（x，y）|}．命题p：至少存在一个点（x0，y0）∈A，使得代数式y0=2﹣1成立，则实数m的取值范围为[1，3] ．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，显然y=2x﹣m﹣1恒过（m，﹣1）这个点，问题转化为点（m，﹣1）在线段AB上即可，从而求出m的范围即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由得A（1，﹣1），由得B（1，3），连结AB，显然y=2x﹣m﹣1恒过（m，﹣1）这个点，若至少存在一个点（x0，y0）∈A，使得代数式y0=2﹣1成立，只需（m，﹣1）在线段AB上即可，∴1≤m≤3，故答案为：[1，3]．15．已知随机变量ξ﹣N（3，12），其概率P（ξ＜3）=a，则二项式（x2﹣2a）2（x3+）4的展开式中x8的系数为10．【考点】二项式系数的性质；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】由题意求得a值，然后展开二项式求得答案．【解答】解：∵随机变量ξ﹣N（3，12），∴a=P（ξ＜3）=0.5，∴（x2﹣2a）2（x3+）4==，∴展开式中x8的系数为．故答案为：10．16．已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=，则使数列{a n}的前n项和S n＞0的n的值为1和2．【考点】数列的求和．【分析】通过递推关系可知a2n+1﹣a2n=﹣6n，a2n+2=a2n+1+2n，进而可知数列{a2n}是以为公比的等比数列，通过分组法求和可知S2n=﹣2•﹣3n2+3n+2，进而比较即得结论．【解答】解：依题意，a2n+1﹣a2n=﹣6n，a2n+2=a2n+1+2n，∴a2n+2=（a2n﹣6n）+2n=a2n，∴数列{a2n}是以为公比的等比数列，+（2n﹣2），又∵a2=+1﹣1=，a2n=a2n﹣1=3a2n﹣3（2n﹣2）=3•﹣6n+6，∴a2n﹣1∴a2n+a2n=4•﹣6n+6，﹣1于是S2n=4（++…+）﹣6（1+2+…+n）+6n=4•﹣6•+6n=﹣2•﹣3n2+3n+2，=4•+6﹣6n＜0，单调递减，显然当n≥2时，S2n﹣S2n﹣2又∵S2=＞0，S4=﹣＜0，∴当n≥2时，S2n＜0，=S2n﹣a2n=﹣3•﹣3n2+3n+2单调递减，由于S2n﹣1＞0，同理，当且仅当n=1时，S2n﹣1综上所述，满足S n＞0的n的值为1和2，故答案为：1和2．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知函数f（x）=cos2（+x）﹣sinxcosx．（1）求f（x）的值域；（2）在△ABC中，AB=2，BC=3，f（B）=，求sinA的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）根据二倍角公式和两角和的正弦公式化简f（x），从而求出f（x）的值域即可；（2）先求出B，根据余弦公式求出AC的长即可．【解答】解：（1）f（x）=cos2（+x）﹣sinxcosx=cos2（﹣x）﹣sin2x=﹣sin2x=﹣cos2x+sin2x﹣sin2x=﹣cos2x﹣sin2x=﹣sin（2x+），∵﹣1≤sin（2x+）≤1，∴0≤f（x）≤1，∴f（x）的值域是[0，1]；（2）∵f（B）=，即sin（2B+）=，∵B∈（0，π），∴2B+∈（，），∴2B+=，B=，在△ABC中，由余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos=4+9﹣2×2×3×=7，∴AC=，由正弦定理得： =，即=，∴sinA=．18．某餐饮连锁企业在某地级市东城区和西城区各有一个加盟店，两店在2015年的1～7月份的利润y （单位：万元）如下茎叶图所示：（1）计算甲店和乙店在1～7月份的平均利润，比较两店利润的分散程度（不用计算）； （2）从这两点1～7月份的14个利润中选取2个，设这2个利润中“大于45万元”的个数为X ，求X 的分布列及数学期望．（3）假设甲店1～7月份的利润恰好是递增的，判断甲店的利润y 和月份t 是否具有线性相关关系，若具有，预测甲店8月份的利润，若没有，请说明理由．（小数点后保留两位小数）附：回归直线的斜率的最小乘法估计公式：b==．【考点】线性回归方程；茎叶图；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差． 【分析】（1）计算甲、乙两店利润的平均数，并分析茎叶图中的数据离散情况，即可得出结论；（2）分析表中数据，求出X 的可能取值以及对应的概率，列出X 的分布列，计算数学期望值；（3）判断甲店的利润y 和月份t 具有相关关系，利用公式求出线性回归方程，并预测利润大小．【解答】解：（1）经计算，甲店利润的平均水平为43，乙店利润的平均水平也为43， 但从茎叶图看乙店的数据比较集中，甲店的数据比较分散；（2）由表知，14个数据中，大于45的有5个，X 的可能取值为0，1，2；P （X=0）==，P （X=1）==，P （X=2）==；X X数学期望为EX=0×+1×+2×=．（3）根据甲店的利润y和月份t的散点图得出甲店的利润y和月份t具有相关关系，计算=4，=43，t i y i=1373，=140；再根据回归直线的斜率的最小二乘法估计公式：b==，计算=6.04，=18.84，所以线性回归方程为=6.04t+18.84，当t=8时，预测利润为67.16万元．19．如图：几何体ABCD﹣B1C1D1中，正方形BB1D1D⊥平面ABCD，D1D∥CC1，平面D1DCC1与与平面B1BCC1所成的二面角的余弦值为，BC=3，CD=2CC1=2，AD=，AD∥BC，M为DD1上任意一点．（1）当平面BC1M⊥平面BCC1B1时，求DM的长；（2）若DM=，求直线AD与平面BC1M所成的角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的性质．【分析】（1）推导出BD、CD、DD1两两垂直，以D为原点，DB、DC、DD1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当平面BC1M⊥平面BCC1B1时，DM 的长．（2）当DM=时，求出平面BC1M的法向量，利用向量法能求出直线AD与平面BC1M所成的角的正弦值．【解答】解：（1）∵正方形BB1D1D⊥平面ABCD，D1D∥CC1，∴CC1⊥面ABCD，∴CD⊥CC1，BC⊥CC1，∴∠BCD是平面D1DCC1与与平面B1BCC1所成的二面角的平面角，∵平面D1DCC1与与平面B1BCC1所成的二面角的余弦值为，BC=3，CD=2CC1=2，AD=，AD∥BC，M为DD1上任意一点，∴cos∠BCD=，BD==，BC1==，DC1=，∴BD2+DC12=BC12，∴BD⊥C1D，∴BD、CD、DD1两两垂直，以D为原点，DB、DC、DD1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，当平面BC1M⊥平面BCC1B1时，设DM=t，则M（0，0，t），B（，0，0），C1（0，2，1），C（0，2，0），=（﹣，0，t），=（﹣，2，1），=（﹣，2，0），设平面BC1C的法向量=（x，y，z），则，取x=2，得=（2，，0），设平面BC1M的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，，），∵平面BC1M⊥平面BCC1B1，∴=2+=0，解得t=．（2）当DM=时，平面BC1M的法向量=（1，）=（1，，），A（，﹣，0），∴=（，﹣，0），设直线AD与平面BC1M所成的角为θ，则sinθ===，∴直线AD与平面BC1M所成的角的正弦值为．20．已知圆M：（x﹣m）2+y2=1的切线l，当l的方程为y=1时，直线l与椭圆C： +=1（a＞b＞0）相切，且椭圆的离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）当m＜0时，设S表示三角形的面积，若M的切线l：y=kx+与椭圆C交于不同的两点P，Q，当tan∠POQ=3S△POQ时，点A在抛物线y2=2x上，点B在圆M上，求|AB|的最小值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）当l的方程为y=1时，直线l与椭圆相切，得到b=1，再由椭圆的离心率为，得a=，由此能求出椭圆的标准方程．（2）由直线l与椭圆相切，得（km+）2=1+k2，由，得（1+2k2）x2+4，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积、椭圆弦长公式，结合已知条件能求出抛物线与圆M上任意两点间最短距离．【解答】解：（1）∵圆M：（x﹣m）2+y2=1的切线l，当l的方程为y=1时，直线l与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相切，∴b=1，∵椭圆的离心率为，∴e==，解得a=，∴椭圆的标准方程为+y2=1．（2）由直线l与椭圆相切，得=1，∴（km+）2=1+k2，由，得（1+2k2）x2+4，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，解得，∴，，∴==，∵tan∠POQ=3S△POQ，∴tan sin∠POQ，∴cos∠POQ==，∴==，∴，∴（km+）2=2，∴m=0（舍），或m=2（舍）或m=﹣2，∴圆M：（x+2）2+y2=1．设抛物线上一点P（x，y），则|PM|===，当x=﹣时，|PM|有最小值》1，∴抛物线y2=2，|PM|有最小值，∴抛物线与圆M上任意两点间最短距离即|AB|的最小值为．21．已知集合A={f（x）|f（x）=xln（ax）}和B={h（x）|h（x）=﹣}的交集有且只有2个子集．（1）求实数a的值；（2）若对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x2﹣1）恒成立，求m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；交集及其运算．【分析】（1）根据题意可知故函数f（x）的最小值为﹣，利用导函数求出f（x）的最小值得出﹣=﹣，a=1；（2）不等式可转化为即lnx≤m（x﹣），构造函数令h=lnx，n=m（x﹣），分别求导，由题意可知，只需h'≥n'，得出答案．【解答】解：（1）h（x）=﹣，h'（x）=，∴函数在（﹣∞，1）上递增，在（1，+∞）上递减，∴h（x）的最大值为h（1）=﹣，∵交集有且只有2个子集，∴交集只有一个元素，故函数f（x）的最小值为﹣，∵f'（x）=ln（ax）+1，∴a＞0且x=时，f'（x）=0，∴f（x）≥f（）=﹣，∴﹣=﹣，∴a=1；（2）由题知f（x）=xlnx，若f（x）≤m（x2﹣1）恒成立，即lnx≤m（x﹣），令h=lnx，n=m（x﹣），∴h'=，n'=m（1+），∵x∈[1，+∞），∴只需h'≥n'，∴m≥，∴m．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，以AB为直径的圆O与以N为圆心，半径为1的圆一个交点为Q，延长AB至点P，过点P作两圆的切线，分别切于M，N两点，已知AB=4．（1）证明：AN=PN；（2）求QN的长．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．【分析】（1）连接ON，BM，分别求出AN，PN，即可证明：AN=PN；（2）确定cos∠ANQ=﹣，由余弦定理求QN的长．【解答】（1）证明：连接ON，BM，则ON⊥PN，BM⊥PN．∵ON=2，BM=1，OB=2，∴∠PON=PBM=60°，∴PN=2tan60°=2，同时∠AON=120°，OA=ON=2，∴AN=2，∴AN=PN；（2）解：∵△ABQ为直角三角形，∴AQ==，cos∠ABQ=．∵A，B，Q，N四点共圆，∴cos∠ANQ=﹣．由余弦定理可得15=12+QN2﹣2×，∴QN=．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4，直线C2的参数方程为（t≠0），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，两坐标系取相同单位．（1）求C1，C2的极坐标方程；（2）设C2向左平移1个单位后与C1的交点为M，N，求MN的中点到直线C3的极坐标方程θ=的最小距离．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）圆C1：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4，展开可得：x2+y2﹣4x﹣2y+9=0，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入可得极坐标方程．由直线C2的参数方程为（t≠0），消去t化为直角坐标方程，进而得到极坐标方程．（2）直线C2向左平移1个单位后可得极坐标方程为：ρcosθρsinθ=0，可得tan，可得θ．代入圆C1的极坐标方程可得：ρ2﹣7ρ+9=0，可得MN的中点极坐标为，设上的任意一点为，根据余弦定理及其二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）圆C1：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4，展开可得：x2+y2﹣4x﹣2y+9=0，可得极坐标方程：﹣2ρsinθ+9=0，由直线C2的参数方程为（t≠0），消去t化为：x﹣y﹣1=0，∴极坐标方程为：ρcosθρsinθ﹣1=0，∴ρ=．（2）直线C2向左平移1个单位后的极坐标方程为：ρcosθρsinθ=0，∴tan，可得．代入圆C1的极坐标方程可得：ρ2﹣7ρ+9=0，∴MN的中点极坐标为，即．设上的任意一点为，根据余弦定理可得：d==，∴MN的中点到直线C3的极坐标方程θ=的最小距离为．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=m﹣|2x+1|﹣|2x﹣3|在R上存在零点．（1）求实数m的取值范围；（2）当m为最小值时，若++=1，求证：++≥．【考点】分段函数的应用；绝对值三角不等式．【分析】（1）根据函数与方程之间的关系转化为方程有解问题，构造函数，利用绝对值的应用将函数表示成分段函数形式，求出函数的最小值即可得到结论．（2）求出m的最小值，利用1的代换以及基本不等式进行证明即可．【解答】解：（1）由f（x）=m﹣|2x+1|﹣|2x﹣3|在R上存在零点．则等价为f（x）=m﹣|2x+1|﹣|2x﹣3|=0有解，即m=|2x+1|+|2x﹣3|在R上有解．设g（x）=|2x+1|+|2x﹣3|，则g（x）=，则函数f（x）的最小值为4，则m≥4，即实数m的取值范围是[4，+∞）．（2）由（1）知，m的最小值为4，则++=1等价为++=4，则=（）（++）= [3+（+）+（）+（）]≥（3+2+2+2）=，即++≥．2016年8月26日。
2016年高考数学冲刺卷01 文(新课标Ⅰ卷)答案
2016年高考数学冲刺卷01 文（新课标Ⅰ卷）答案第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．【答案】C【解析】{}{20=0x x x x P =≤≤≤，0.53m ==m ∉P ，故选C.2.【答案】C3.【答案】C 【解析】()()()212112111i z i i i i i i i i +=+=+=++=+--+，所以z 的共轭复数12z i =-，故选C. 4.【答案】D 【解析】试题分析：抛掷一枚质地均匀的骰子包含6个基本事件，因为函数()222f x x ax =++有两个不同零点，所以2480a ∆=->，解得a <或a >因为a 为正整数，所以a 的取值有2，3，4，5，6，共5种结果，所以函数()222f x x ax =++有两个不同零点的概率为56，故选D.5.【答案】A【解析】抛物线220y x =的焦点坐标为()5,0，双曲线C 的焦点在x 轴上，且5c =，由双曲线C 的渐近线方程为x y 34±=，可得34=a b ，解得3a =，4b =，所以双曲线C 的方程是221916x y -=，故选A. 6.【答案】B【解析】由三视图知该几何体为14圆锥与直三棱柱的组合体，其中圆锥的高为1，底面为圆的14，圆半径为1；直三棱柱的高为1，底面为直角三角形，两条直角边长分别为1和2，所以该几何体的体积为211111+121134212ππ⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+，故选B.8.【答案】C【解析】设公差为d ，则d a S d a S a S 64,2,141211+=+==，因为1S ，2S ，4S 成等比数列，所以2214S S S =，即)64()2(1121d a a d a +=+，解得0d =（舍去）或12a d =，所以88211111132==+++=+a a a d a d a a a a ，故选C. 9.【答案】A【解析】将函数sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标压缩为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin πx y 的图象，当222262k x k πππππ-≤+≤+（k ∈Z ），即36k x k ππππ-≤≤+（k ∈Z ）时，函数⎪⎭⎫⎝⎛+=62sin πx y 单调递增，所以函数⎪⎭⎫⎝⎛+=62sin πx y 单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ），当0=k 时，函数⎪⎭⎫⎝⎛+=62sin πx y 在区间,36ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，故选A. 10.【答案】D【解析】由程序框图得()()()12342013201420152016012101S a a a a a a a a =++++⋅⋅⋅++++=++-+++()()()()()504410120141012016166665043024+++⋅⋅⋅+++-+++++=++⋅⋅⋅+=⨯=个，故选D. 11.【答案】B【解析】三棱锥CD A -B 的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，长方体的对=2，外接球的表面积是2414ππ⨯=⎝⎭．故选B ．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．） 13.【答案】12【解析】当1n =时，211161712a S ==-+⨯+=，当2n ≥时，1n n n a S S -=-267n n =-++-2[(1)6(1)7]723n n n --+-+=-≤，当2n =时取等号，所以数列{}n a 的最大项的值为12．14.【答案】1【解析】a x y +='2，由题意得：201a ⨯+=，解得1=a . 15.【答案】[]6,2【解析】作出可行域，如图所示，当目标函数z x y +-=2过点C 时取得最小值，220min =+=z ，当目标函数z x y +-=2过点()22，B 时取得最大值，6222max =+⨯=z ，所以z 的取值范围是[]6,2.16.【解析】由题意可得cos 602a OP OA ==，易得1(,)44P a a ，因为P 是椭圆C 上一点，所以116316122=+b a ，即222255()a b a c ==-，所以离心率552=e . 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17.（本小题满分12分）【答案】（1（2）4．在C ∆AB 中，12cos 2222=⋅⋅-+=B BC AB BC AB AC …………………10分 把已知条件代入并化简得：042=-AB AB 因为0AB ≠，所以4AB =…………………12分 18.（本小题满分12分）【答案】（1）ˆ8.69 1.23y x =-；（2）2.72吨．(2)年利润(8.69 1.23)2z x x x =-- …………………10分21.23 6.69x x =-+…………………11分所以当 2.72x =时，年利润z 最大.…………………12分 19.（本小题满分12分）【答案】（1）证明见解析；（2）6【解析】（1）证明： 1DD ⊥面CD AB ，C E ⊂面CD AB∴1DD C ⊥E ………………1分Rt D ∆AE 中，D 1A =，1AE =D E =同理：C E =CD 2=，222CD C D =E +ED CE ⊥E ………………3分D CE E =E∴C E ⊥平面1D D E ………………4分又1D E ⊂平面1D C E∴1D C E ⊥E ………………5分（2） C 1B =，1AE =，C AE ⊥B∴C 111122S ∆A E =⨯⨯=………………6分又 1D E C E =1D C E ⊥E∴CD 12S ∆E ==………………7分设A 点到平面1CD E 的距离为d ，则11D C CD 111V 1V 3232d -A E A-E =⨯⨯==⨯………………10分解得：d =………………11分即A 点到平面1CD E 的距离为612分 20.（本小题满分12分）【答案】（1）22(1)4x y -+=；（2）1y x =-设1122(,),(,)B x y C x y ，由22(1)4x y y x m⎧-+=⎨=+⎩，得2222(1)30x m x m +-+-=故121x x m +=-，21232m x x -=………………8分又11221212()(,((HB AC x y x y x x y y ∙=∙=+1212(()(x x x m x m =+++12122()(0x x m x x m m =+++=………………10分代入得230m m +-=，解得1m =-m =………………11分当m =时，直线:l y x =过点A ，不合题意当1m =-:1l y x =-l 与圆E 相交故所求直线l 的方程为1y x =-12分 21.（本小题满分12分）【答案】（1）函数()f x 的单调增区间是)+∞，单调减区间是；（2）1．01x <<或x m >时，()0F x '<，1x m <<时，()0F x '>，∴函数()F x 在(0,1)和(,)m +∞单调递减，在(1,)m 单调递增，………………10分 注意到1(1)02F m =+>，(22)ln(22)0F m m m +=-+<， ∴()F x 有唯一零点．………………11分综上，函数()F x 有唯一零点，即两函数图象总有一个交点………………12分请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号. 22.（本题满分10分）【答案】（1）证明见解析；（2）030.23.（本题满分10分）【答案】（1）22(1)1x y -+=；（2）18． 【解析】（1）∵2cos ρθ=，∴22cos ρρθ=，∴222x y x +=，故它的直角坐标方程为22(1)1x y -+=.………………5分（2）直线5:12x l y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），普通方程为y x =-在直线l 上， 过点M 作圆的切线，切点为T ，则22||(51)3118MT =-+-=，由切割线定理， 可得2||||||18MT MA MB =⋅=………………10分 24.（本题满分10分）【答案】（1）()(),43,-∞-+∞ ；（2）(],5-∞-．。
陕西省高考数学(理科)模拟试卷(含答案)
陕西省高考数学全真模拟试卷（理科）（二）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1. （5 分）（2016?陕西二模）设集合 M={x|i<K <3},函数 f （x ）域为N ,则M nN 为（）（5分）（2016?陕西二模）已知命题p ： ? xCR, log3x>0,则（ 「p ： ?xCR, log3xw 0 B ,「p ： ? x€ R, log3xw 0「p ： ?xCR, log 3x 〈0D.「p ： ?xCR, log 3x< 0D.（5分）（2013?新课标n ）等比数列{a n }的前n 项和为S n,已知S 3=a 2+10a 1, a 5=9,则a 1=）A. 15B. 18C. 21D. 247. （5分）（2014?新课标I ）已知抛物线 C: y 2=x 的焦点为F, A （x0, y0）是C 上一点，EAF= | W~x0| ,贝U x0=（ ）4[1]巳 1）C. （0, 1D. （0,-）=ln （1 k/x ）的定义2. A. C.3. （5分）（2016?陕西二模）若tan,则 sin 4a - cos 4a 的值为（C.4. 5. B.1C（5分）（2016?陕西二模） A. 28 7tB. 32 兀 C. 36兀6. （5 （2016? D.某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（D. 40兀将除颜色外完全相同的一个白个小朋友，且每个小朋友至少分得一个球的分法有 一个黄球、两个红球分给三 ）种.正晟诲flA. 1B. 2C. 4D. 88.（5分）（2016?陕西模拟）如果执行如图的框图，输入N=5,则输出的数等于（）9. （5分）（2016?陕西二模）曲线y=e 卡靠在点（6, e 2）处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（）A. ?/B . 3e 2 C. 6e 2 D. 9e 2210. （5 分）（2016?陕西二模）已知函数 f （x ） =Asin （cox+（f ）） （A>0, co>0, 0v （K 兀）的部分图象如图所示，且 f （ a ） =1 ,（0, 则COS （2式十卫:）=（ ）3 611. （5分）（2016?陕西二模）若f （x ）是定义在（-8, +oo ）上的偶函数,、」,久叼）-£（芯1）*八一+oo ）（X1WX2）,有 ----------------- 〈0,贝U （）叼fA. f (3) v f (1) v f ( — 2)B. f (1) v f ( — 1) v f (3)C. f ( — 2) vf (1) vf (3)D. f (3) v f (- 2) v f (1)12. (5 分)(2016?陕西二模)若直线 l1： y=x,⑵ y=x+2 与圆 C: x 2+y 2 — 2mx — 2ny=0 的四 个交点把圆C 分成的四条弧长相等，则 m=()A. 0 或 1B. 0 或-1C. 1 或-1 D. 0C.2V2 n 1 丁 D.百x1, x2 € [ 0,二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13.（5 分）（2016?陕西二模）f ；（x+cosx） dx=14. （5分）（2016?陕西二模）已知单位向量 .，曰的夹角为60°,则向量已+仁 与日的夹角为15. （5分）（2016?陕西二模）不等式 a 2+8b 2>冷（a+b ）对于任意的a, bCR 恒成立，则实 数入的取值范围为16. （5分）（2016?陕西二模）已知 F 是双曲线C: x 2-菅-二1的右焦点，若 P 是C 的左支上一点，A （0, 6d & 是y 轴上一点，则^ APF 面积的最小值为 三、解答题（共5小题，满分60分）17. （12分）（2016?陕西二模）在^ ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为 a, b, c.已知 a+c=3\f3, b=3.（I ）求cosB 的最小值；（n ）若市■前=3,求A 的大小.18. （12分）（2016?陕西二模） 开门大吉”是某电视台推出的游戏节目.选手面对 1〜8号8扇大门，依次按响门上的门铃， 门铃会播放一段音乐 （将一首经典流行歌曲以单音色旋律的 方式演绎），选手需正确答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金.在一次 场外调查中，发现参赛选手大多在以下两个年龄段： 21〜30, 31〜40 （单位：岁），统计这两个年龄段选手答对歌曲名称与否的人数如图所示.（1）写出2X2列联表，并判断是否有 90%的把握认为答对歌曲名称与否和年龄有关，说明你的理由.（下面的临界值表供参考） 2、.P （K>k 0） 0.1 0.05 k 0 2.706 3.841 （2）在统计过的参考选手中按年龄段分层选取运选手中在21〜30岁年龄段的人数的分布列和数学期望.2,口：一K Q ] . ：~7 ： ； ,(a+b) (c+d) (a+c) (b+d)19. （12 分）（2016?陕西二模）如图 ①，在4ABC 中，已知 AB=15 , BC=14 , CA=13 .将 △ ABC 沿BC 边上的高AD 折成一个如图 ② 所示的四面体 A - BCD ,使得图② 中的BC=11 . （1）求二面角B - AD - C 的平面角的余弦值；（2）在四面体A - BCD 的棱AD 上是否存在点P,使得FB|?PC|=0?若存在，请指出点 P 的位置；若不存在，请给出证明.0.01 6.6359名选手，并抽取0.005 7.8793名幸运选手，求3名幸（参考公式: 其中n=a+b+c+d)20.(12分)(2016?陕西二模)设O是坐标原点，椭圆C: x2+3y2=6的左右焦点分别为F1, F2,且P, Q 是椭圆C上不同的两点，⑴ 若直线PQ过椭圆C的右焦点F2,且倾斜角为30°,求证：| F1P|、| PQ卜| QF1|成等差数列；(n )若P, Q两点使得直线OP, PQ, QO的斜率均存在.且成等比数列.求直线PQ的斜率.21.(12 分)(2016?陕西二模)设函数f (x) =ex-lnx.(1)求证：函数f (x)有且只有一个极值点X0;(2)求函数f (x)的极值点x0的近似值x；使得|x'- x0| <0.1；(3)求证：f (x) > 2.3 对xC (0, +8)恒成立.(参考数据：e=2.718, ln2 = 0.693, ln3= 1.099, ln5= 1.609, ln7= 1.946).［选彳4-1 :几何证明选讲］22.(10分)(2016?陕西二模)如图，已知AB为。
2016年陕西省高考数学试卷(理科)(全国新课标ⅱ)
2016年陕西省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知z=（m+3）+（m﹣1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（）A．（﹣3，1）B．（﹣1，3）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）2．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}，则A∪B=（）A．{1}B．{1，2}C．{0，1，2，3}D．{﹣1，0，1，2，3}3．（5分）已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+）⊥，则m=（）A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．84．（5分）圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（）A．﹣ B．﹣ C．D．25．（5分）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）A．24 B．18 C．12 D．96．（5分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．20πB．24πC．28πD．32π7．（5分）若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A．x=﹣（k∈Z）B．x=+（k∈Z）C．x=﹣（k∈Z）D．x=+（k∈Z）8．（5分）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（）A．7 B．12 C．17 D．349．（5分）若cos（﹣α）=，则sin2α=（）A．B．C．﹣ D．﹣10．（5分）从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，x n，y1，y2，…，y n构成n 个数对（x1，y1），（x2，y2）…（x n，y n），其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（）A．B．C．D．11．（5分）已知F1，F2是双曲线E：﹣=1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=，则E的离心率为（）A．B．C．D．212．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=2﹣f（x），若函数y=与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），则（x i+y i）=（）A．0 B．m C．2m D．4m二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=．14．（5分）α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β．④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题是（填序号）15．（5分）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是．16．（5分）若直线y=kx +b 是曲线y=lnx +2的切线，也是曲线y=ln （x +1）的切线，则b= ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1=1，S 7=28，记b n =[lga n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1． （Ⅰ）求b 1，b 11，b 101；（Ⅱ）求数列{b n }的前1000项和．18．（12分）某保险的基本保费为a （单位：元），继续购买该保险的投保人成为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．19．（12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE=CF=，EF 交于BD 于点H ，将△DEF 沿EF 折到△D′EF 的位置，OD′=．（Ⅰ）证明：D′H ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角B ﹣D′A ﹣C 的正弦值．20．（12分）已知椭圆E：+=1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．（Ⅰ）当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；（Ⅱ）当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围．21．（12分）（Ⅰ）讨论函数f（x）=e x的单调性，并证明当x＞0时，（x﹣2）e x+x+2＞0；（Ⅱ）证明：当a∈[0，1）时，函数g（x）=（x＞0）有最小值．设g （x）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域．请考生在第22～24题中任选一个题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F．（Ⅰ）证明：B，C，G，F四点共圆；（Ⅱ）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|=，求l的斜率．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣|+|x+|，M为不等式f（x）＜2的解集．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．2016年陕西省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知z=（m+3）+（m﹣1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（）A．（﹣3，1）B．（﹣1，3）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）【解答】解：z=（m+3）+（m﹣1）i在复平面内对应的点在第四象限，可得：，解得﹣3＜m＜1．故选：A．2．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}，则A∪B=（）A．{1}B．{1，2}C．{0，1，2，3}D．{﹣1，0，1，2，3}【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}={0，1}，∴A∪B={0，1，2，3}．故选：C．3．（5分）已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+）⊥，则m=（）A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8【解答】解：∵向量=（1，m），=（3，﹣2），∴+=（4，m﹣2），又∵（+）⊥，∴12﹣2（m﹣2）=0，解得：m=8，故选：D．4．（5分）圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（）A．﹣ B．﹣ C．D．2【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心坐标为：（1，4），故圆心到直线ax+y﹣1=0的距离d==1，解得：a=，故选：A．5．（5分）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）A．24 B．18 C．12 D．9【解答】解：从E到F，每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分成2段，从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有C42C22=6种走法．同理从F到G，最短的走法，有C31C22=3种走法．∴小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3=18种走法．故选：B．6．（5分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．20πB．24πC．28πD．32π【解答】解：由三视图知，空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，∴在轴截面中圆锥的母线长是=4，∴圆锥的侧面积是π×2×4=8π，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，∴圆柱表现出来的表面积是π×22+2π×2×4=20π∴空间组合体的表面积是28π，故选：C．7．（5分）若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A．x=﹣（k∈Z）B．x=+（k∈Z）C．x=﹣（k∈Z）D．x=+（k∈Z）【解答】解：将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，得到y=2sin2（x+）=2sin（2x+），由2x+=kπ+（k∈Z）得：x=+（k∈Z），即平移后的图象的对称轴方程为x=+（k∈Z），故选：B．8．（5分）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（）A．7 B．12 C．17 D．34【解答】解：∵输入的x=2，n=2，当输入的a为2时，S=2，k=1，不满足退出循环的条件；当再次输入的a为2时，S=6，k=2，不满足退出循环的条件；当输入的a为5时，S=17，k=3，满足退出循环的条件；故输出的S值为17，故选：C9．（5分）若cos（﹣α）=，则sin2α=（）A．B．C．﹣ D．﹣【解答】解：法1°：∵cos（﹣α）=，∴sin2α=cos（﹣2α）=cos2（﹣α）=2cos2（﹣α）﹣1=2×﹣1=﹣，法2°：∵cos（﹣α）=（sinα+cosα）=，∴（1+sin2α）=，∴sin2α=2×﹣1=﹣，故选：D．10．（5分）从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，x n，y1，y2，…，y n构成n 个数对（x1，y1），（x2，y2）…（x n，y n），其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，两数的平方和小于1，对应的区域的面积为π•12，从区间[0，1】随机抽取2n个数x1，x2，…，x n，y1，y2，…，y n，构成n个数对（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），对应的区域的面积为12．∴=∴π=．11．（5分）已知F1，F2是双曲线E：﹣=1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=，则E的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：由题意，M为双曲线左支上的点，则丨MF1丨=，丨MF2丨=，∴sin∠MF2F1=，∴=，可得：2b4=a2c2，即b2=ac，又c2=a2+b2，可得e2﹣e﹣=0，e＞1，解得e=．故选A．12．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=2﹣f（x），若函数y=与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），则（x i+y i）=（）A．0 B．m C．2m D．4m【解答】解：函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=2﹣f（x），即为f（x）+f（﹣x）=2，可得f（x）关于点（0，1）对称，函数y=，即y=1+的图象关于点（0，1）对称，即有（x1，y1）为交点，即有（﹣x1，2﹣y1）也为交点，（x2，y2）为交点，即有（﹣x2，2﹣y2）也为交点，…则有（x i+y i）=（x1+y1）+（x2+y2）+…+（x m+y m）=[（x1+y1）+（﹣x1+2﹣y1）+（x2+y2）+（﹣x2+2﹣y2）+…+（x m+y m）+（﹣x m+2﹣y m）]=m．故选B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=．【解答】解：由cosA=，cosC=，可得sinA===，sinC===，sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，由正弦定理可得b===．故答案为：．14．（5分）α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β．④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题是②③④（填序号）【解答】解：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，不能得出α⊥β，故错误；②如果n∥α，则存在直线l⊂α，使n∥l，由m⊥α，可得m⊥l，那么m⊥n．故正确；③如果α∥β，m⊂α，那么m与β无公共点，则m∥β．故正确④如果m∥n，α∥β，那么m，n与α所成的角和m，n与β所成的角均相等．故正确；故答案为：②③④15．（5分）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是1和3．【解答】解：根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；∴根据甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；又甲说，“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；∴甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；∴甲的卡片上的数字是1和3．故答案为：1和3．16．（5分）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b=1﹣ln2．【解答】解：设y=kx+b与y=lnx+2和y=ln（x+1）的切点分别为（x1，kx1+b）、（x2，kx2+b）；由导数的几何意义可得k==，得x1=x2+1再由切点也在各自的曲线上，可得联立上述式子解得；从而kx1+b=lnx1+2得出b=1﹣ln2．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1=1，S7=28，记b n=[lga n]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1．（Ⅰ）求b1，b11，b101；（Ⅱ）求数列{b n}的前1000项和．【解答】解：（Ⅰ）S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1=1，S7=28，7a4=28．可得a4=4，则公差d=1．a n=n，b n=[lgn]，则b1=[lg1]=0，b11=[lg11]=1，b101=[lg101]=2．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：b1=b2=b3=…=b9=0，b10=b11=b12=…=b99=1．b100=b101=b102=b103=…=b999=2，b10，00=3．数列{b n}的前1000项和为：9×0+90×1+900×2+3=1893．18．（12分）某保险的基本保费为a（单位：元），继续购买该保险的投保人成为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值． 【解答】解：（Ⅰ）∵某保险的基本保费为a （单位：元），上年度出险次数大于等于2时，续保人本年度的保费高于基本保费， ∴由该险种一续保人一年内出险次数与相应概率统计表得： 一续保人本年度的保费高于基本保费的概率： p 1=1﹣0.30﹣0.15=0.55．（Ⅱ）设事件A 表示“一续保人本年度的保费高于基本保费”，事件B 表示“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”， 由题意P （A ）=0.55，P （AB ）=0.10+0.05=0.15， 由题意得若一续保人本年度的保费高于基本保费， 则其保费比基本保费高出60%的概率： p 2=P （B |A ）===．（Ⅲ）由题意，续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为：=1.23，∴续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23．19．（12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE=CF=，EF 交于BD 于点H ，将△DEF 沿EF 折到△D′EF 的位置，OD′=．（Ⅰ）证明：D′H ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角B ﹣D′A ﹣C 的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵ABCD是菱形，∴AD=DC，又AE=CF=，∴，则EF∥AC，又由ABCD是菱形，得AC⊥BD，则EF⊥BD，∴EF⊥DH，则EF⊥D′H，∵AC=6，∴AO=3，又AB=5，AO⊥OB，∴OB=4，∴OH==1，则DH=D′H=3，∴|OD′|2=|OH|2+|D′H|2，则D′H⊥OH，又OH∩EF=H，∴D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）解：以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，∵AB=5，AC=6，∴B（5，0，0），C（1，3，0），D′（0，0，3），A（1，﹣3，0），，，设平面ABD′的一个法向量为，由，得，取x=3，得y=﹣4，z=5．∴．同理可求得平面AD′C的一个法向量，设二面角二面角B﹣D′A﹣C的平面角为θ，则|cosθ|=．∴二面角B﹣D′A﹣C的正弦值为sinθ=．20．（12分）已知椭圆E：+=1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．（Ⅰ）当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；（Ⅱ）当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）方法一、t=4时，椭圆E的方程为+=1，A（﹣2，0），直线AM的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程，整理可得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0，解得x=﹣2或x=﹣，则|AM|=•|2﹣|=•，由AN⊥AM，可得|AN|=•=•，由|AM|=|AN|，k＞0，可得•=•，整理可得（k﹣1）（4k2+k+4）=0，由4k2+k+4=0无实根，可得k=1，即有△AMN的面积为|AM|2=（•）2=；方法二、由|AM|=|AN|，可得M，N关于x轴对称，由MA⊥NA．可得直线AM的斜率为1，直线AM的方程为y=x+2，代入椭圆方程+=1，可得7x2+16x+4=0，解得x=﹣2或﹣，M（﹣，），N（﹣，﹣），则△AMN的面积为××（﹣+2）=；（Ⅱ）直线AM的方程为y=k（x+），代入椭圆方程，可得（3+tk2）x2+2t k2x+t2k2﹣3t=0，解得x=﹣或x=﹣，即有|AM|=•|﹣|=•，|AN|═•=•，由2|AM|=|AN|，可得2•=•，整理得t=，由椭圆的焦点在x轴上，则t＞3，即有＞3，即有＜0，可得＜k＜2，即k的取值范围是（，2）．21．（12分）（Ⅰ）讨论函数f（x）=e x的单调性，并证明当x＞0时，（x﹣2）e x+x+2＞0；（Ⅱ）证明：当a∈[0，1）时，函数g（x）=（x＞0）有最小值．设g （x）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域．【解答】解：（1）证明：f（x）=f'（x）=e x（）=∵当x∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，+∞）时，f'（x）＞0∴f（x）在（﹣∞，﹣2）和（﹣2，+∞）上单调递增∴x＞0时，＞f（0）=﹣1即（x﹣2）e x+x+2＞0（2）g'（x）===a∈[0，1）由（1）知，当x＞0时，f（x）=的值域为（﹣1，+∞），只有一解使得，只需•e t≤0恒成立，可得﹣2＜t≤2，由x＞0，可得t∈（0，2]当x∈（0，t）时，g'（x）＜0，g（x）单调减；当x∈（t，+∞），g'（x）＞0，g（x）单调增；h（a）===记k（t）=，在t∈（0，2]时，k'（t）=＞0，故k（t）单调递增，所以h（a）=k（t）∈（，]．请考生在第22～24题中任选一个题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F．（Ⅰ）证明：B，C，G，F四点共圆；（Ⅱ）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．【解答】（Ⅰ）证明：∵DF⊥CE，∴Rt△DFC∽Rt△EDC，∴=，∵DE=DG，CD=BC，∴=，又∵∠GDF=∠DEF=∠BCF，∴△GDF∽△BCF，∴∠CFB=∠DFG，∴∠GFB=∠GFC+∠CFB=∠GFC+∠DFG=∠DFC=90°，∴∠GFB+∠GCB=180°，∴B，C，G，F四点共圆．（Ⅱ）∵E为AD中点，AB=1，∴DG=CG=DE=，∴在Rt△DFC中，GF=CD=GC，连接GB，Rt△BCG≌Rt△BFG，∴S=2S△BCG=2××1×=．四边形BCGF[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|=，求l的斜率．【解答】解：（Ⅰ）∵圆C的方程为（x+6）2+y2=25，∴x2+y2+12x+11=0，∵ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，∴C的极坐标方程为ρ2+12ρcosα+11=0．（Ⅱ）∵直线l的参数方程是（t为参数），∴t=，代入y=tsinα，得：直线l的一般方程y=tanα•x，∵l与C交与A，B两点，|AB|=，圆C的圆心C（﹣6，0），半径r=5，圆心到直线的距离d=．∴圆心C（﹣6，0）到直线距离d==，解得tan2α=，∴tanα=±=±．∴l的斜率k=±．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣|+|x+|，M为不等式f（x）＜2的解集．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．【解答】解：（I）当x＜时，不等式f（x）＜2可化为：﹣x﹣x﹣＜2，解得：x＞﹣1，∴﹣1＜x＜，当≤x≤时，不等式f（x）＜2可化为：﹣x+x+=1＜2，此时不等式恒成立，∴≤x≤，当x＞时，不等式f（x）＜2可化为：﹣+x+x+＜2，解得：x＜1，∴＜x＜1，综上可得：M=（﹣1，1）；证明：（Ⅱ）当a，b∈M时，（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，即a2b2+1＞a2+b2，即a2b2+1+2ab＞a2+b2+2ab，即（ab+1）2＞（a+b）2，即|a+b|＜|1+ab|．。
2016年高考数学冲刺卷02 理(新课标Ⅰ卷)答案
2016年高考数学冲刺卷02 理（新课标Ⅰ卷）答案全卷满分150分 考试时间120分钟第Ⅰ卷（共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．【命题意图】本题考查不等式解法、集合的交集运算，容易题．【答案】A【解析】由128x ≤<，解得03x ≤<，所以{}|03P x x =≤<，所以{}1,2P Q = ，故选A ． 2．【命题意图】本题考查复数的运算与几何意义，容易题．【答案】A【解析】由(1)|1|z i i i i -=-+=，得)(1)1(1)(1)22i i i z i i i i +===+--+，则z 的实A ． 3．【命题意图】本题考查等差数列的前n 项和与性质，容易题．【答案】A【解析】根据等差数列的性质，535S a =，所以533255S a ==． 4．【命题意图】本题考查函数奇偶性、充要条件判断，容易题．【答案】C5．【命题意图】本题考频率分布直方图及性质，容易题．【答案】B【解析】设中间一个长方形的面积为x ，则其他8个小长方形面积和为52x ，则512x x +=，所以27x =，所以中间一组的频数为2140407⨯=，故选B ． 6．【命题意图】本题考查推理与证明、球的体积，中档题．【答案】B【解析】所求的空间几何体是以原点为球心，1为半径的球位于第一象限的部分，体积为3141836ππ⨯⨯⨯=，故选B ． 7．【命题意图】本题考查线性回归的基本思想，中档题．【答案】D【解析】由题意可得18131012434386410,4044x y ++-+++====，代入到线性回归方程2y x a =-+，可得 60,260a y x =∴=-+，由 26072y x =-+=，可得6x =-，故选D ．8．【命题意图】本题考查程序框图、对数运算，中档题．【答案】B 【解析】11,l g l g 31,3i S ===->-否；1313,l g +l g l g l g5355i S ====->-否；1515,l g +l g l g l g 71,577i S ====->-否；1717,l g +l g l g799i S ====->-否；1919,l g+l g l g lg111,91111i S ====-<-是，输出9,i =故选B ． 9．命题意图】本题考查线性规划问题，中档题．【答案】B10．【命题意图】本题考查平面向量的几何意义、平行关系，中档题．【答案】A【解析】由()22PA PB PC AB PB PA ++==-，得3PA PB PC CB =-= ，所以PA BC ，且13PA BC =，ABC ∆的边AB 上的高是ABP ∆边AB 上的高的3倍，所以13ABP ABC S S ∆∆=，由12,4A B C A B PS S ∆∆=∴=． 11．【命题意图】本题考查双曲线的定义与几何意义，中档题．【答案】A【解析】由题意不妨设223,4,5AB BF AF ===，因为22222AB BF AF +=，所以290ABF ∠= ，又由双曲线的定义得12122,2BF BF a AF AF a -=-=，所以1113453AFAF AF +-=-⇒=，所以1222BF BF a -==，所以1a =，在直角12BF F ∆中，222121252F F BF BF =+=，因为22124F F c =，所以2452c =，所以c =，所以双曲线的离心率为ce a==A ． 12．【命题意图】本题考查函数的单调性、复合函数，较难题． 【答案】B第Ⅱ卷（共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．【命题意图】本题考查二项式定理，容易题．【答案】15【解析】由题意得，二项式的展开式662166((1)r r rrr r rr T C xC x ---+==-，当4r =时，常数项为446(1)15C -=．14．【命题意图】本题考查三视图、棱柱与圆柱的体积计算，中档题．【答案】32165++π【解析】由三视图可知该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体，三棱柱的两个侧面面积之和为16242=⨯⨯，两个底面面积之和为3232212=⨯⨯⨯；半圆柱的侧面积为ππ44=⨯，两个底面面积之和为ππ=⨯⨯⨯21212，所以几何体的表面积为32165++π． 15．【命题意图】本题考查两圆位置关系、直线与圆的位置关系，中档题．【答案】3216．【命题意图】本题考查等比数列的前n 项和、不等式恒成立问题，较难题．【答案】272≥k 【解析】()2323313131++-=--=n n n T ，所以23231+=+n n T ，将不等式转化为()n n n n k 32232)63(1-⨯=⨯-≥+恒成立，所以只需求数列n n 342-的最大值．因为当1=n 时，nn 342-＝23-，当2=n 时，n n 342-＝0，当3=n 时，n n 342-＝272，当4=n 时，nn 342-＝814，即数列值是先增后减，当3=n 时，取得最大值272，所以272≥k ． 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【命题意图】本题考查三角恒等变换、三角函数的性质、正弦定理与余弦定理的应用，以及考查转化能力、逻辑思维能力、运算求解能力、整体思想的应用．【解析】（1）2()2sin cos sin2f x x x x x x =+= 2sin(2)3x π=+，因此()f x 的最小正周期为22T ππ==．………………（3分） 因为3222232k x k πππππ≤≤+++， 所以，()f x 的单调递减区间为7[,]1212x k k ππππ∈++()k Z ∈．………………（5分）（2） 由()2sin(2())2sin 26263A A f A πππ-=-+==， 又∵A 为锐角，∴3A π=．………………（7分）由正弦定理可得2sin a R A ===，sin sin 2b c B C R ++==，………………（9分）则1314b c +==． 由余弦定理可知，22222()21cos 222b c a b c bc a A bc bc +-+--===， 整理，得40bc =．………………（12分）18．【命题意图】本题考查空间直线和平面间的垂直关系、二面角、空间向量的应用，以及考查空间想象能力、逻辑推证能力、运算求解能力、转化的思想．（2）由（1）可建立分别以直线,,CA CB CF 为轴轴轴，z y x ,，建立如图所示的空间直角坐标系，令)30(≤≤=λλFM ，则)0,0,3(),0,0,0(A C ，()()1,0,,0,1,0λM B ，∴ ()()1,1,,0,1,3-=-=λBM AB ．………………（7分）设1(,,)n x y z =为平面MAB 的一个法向量，由1100n AB n BM ⎧=⎪⎨⋅=⎪⎩，联立得⎩⎨⎧=+-=+-003z y x y x λ ，取1=x ，则1n ()λ-=3,3,1．…………（9分） ∵()21,0,0n =是平面FCB 的一个法向量，∴=θcos 1212||||||n n n n ⋅⋅=10分）∵0λ≤≤ ∴ 当0λ=时，θcosλ=θcos 有最大值12，∴1cos 2θ⎤∈⎥⎣⎦．………………（12分）19．【命题意图】本题考查古典概型的概率、离散型随机变量分布列与期望，以及考查分类讨论思想、运算求解能力、数据处理能力．（2）计算10名同学的综合指标，可得下表：其中综合指标是一级的4≥有1235689,,,,,,A A A A A A A ，共7名， 综合指标不是一级的()4ω<有1710,,A A A 共3名. ………………（7分） 随机变量X 的所有可能取值为：1,2,3,4,5.()114211738121C C P X C C ===，()()11111122411211117373462,32121C C C C C C P X P X C C C C +======， ()()1111121111117373214,52121C C C C P X P X C C C C ======，………………（9分）所以X 的分布列为：所以12345212121212121EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．………………（12分） 20．【命题意图】本题考查椭圆的方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系，以及考查方程思想、逻辑思维能力、运算求解能力．（2）设直线l 的方程为：1-=my x ()R m ∈，则由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134122y x my x ，得()0964322=--+my y m ．设()11y ,x C ，()22y ,x D ，则436221+=+m m y y ，0439221<+-=⋅m y y ． 所以，2121y AB S ⋅=，1221y AB S ⋅=， ()21122142121y y y y AB S S +⨯⨯=-=-43122+=m m ………………（8分） 当0m ≠时，=-21S S 343212431222=⨯≤+=mmm m ()R m ∈． 由432=m ，得 332±=m ； 当0=m 时，3021<=-S S 从而，当332±=m 时，21S S -取得最大值3．………………（12分） 21．【命题意图】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值、不等式恒成立问题，以及考查等价转化思想、方程思想、逻辑思维能力、运算求解能力．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。
陕西省2016届高三数学一模试卷(理科) 含解析
2016年陕西省高考数学一模试卷（理科)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．设集合M=｛x｜|x﹣1|≤1}，N=｛x|y=lg（x2﹣1）｝，则M∩∁R N=（）A．[1,2]B．[0，1]C．（﹣1，0）D．（0,2）2．复数(i是虚数单位)的虚部是(）A．﹣1 B．2 C．﹣2 D．13．设α为锐角,若cos=，则sin的值为（）A．B．C．﹣D．﹣4．在区间［0，1]上随机取两个数x，y，记P为事件“x+y≤”的概率，则P=（）A．B．C．D．5．设S n是等差数列｛a n}的前n项和,若a2+a3+a4=3，则S5=(）A．5 B．7 C．9 D．116．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(）A．64﹣πB．64﹣2πC．64﹣4πD．64﹣8π7．执行右面的程序框图，如果输入的N=3，那么输出的S=（）A．1 B．C．D．8．已知向量=（1，2），=（2，﹣3)．若向量满足⊥（+），且∥（﹣），则=（）A．B．C．D．9．设函数f(x)=则f［f(﹣8）］=（）A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣210．若圆C：（x﹣3)2+（y﹣2)2=1(a＞0）与直线y=x相交于P、Q两点，则|PQ｜=（）A．B．C．D．11．设m＞1，在约束条件下,目标函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为（)A．（1，）B．（，+∞）C．（1，3）D．(3，+∞)12．对于函数f（x）=e ax﹣lnx（a是实常数），下列结论正确的一个是（）A．a=1时，f(x）有极大值，且极大值点x0∈（，1）B．a=2时,f(x)有极小值，且极小值点x0∈（0，）C．a=时，f（x）有极小值,且极小值点x0∈（1，2）D．a＜0时，f（x）有极大值，且极大值点x0∈（﹣∞，0）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是．14．已知数列1、a、b成等差数列，而1、b、a成等比数列．若a≠b,则7alog a(﹣b）=．15．已知A，B是球O的球面上两点,∠AOB=90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O﹣ABC 体积的最大值为3，则球O的体积为．16．已知曲线y=x+lnx在点(1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a=．三、解答题(共5小题,每小题12分，共60分）17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b，c，且a=3，b=4，B=+A．（I）求tanB的值；（Ⅱ）求c的值．18．某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登山健身的活动,有N人参加，现将所有参加者按年龄情况分为[20，25）,[25，30）,[30，35），[35，40）,[40，45），[45，50)，[50,55)等七组，其频率分布直方图如下所示．已知[35，40）这组的参加者是8人．（1)求N和［30，35）这组的参加者人数N1；(2）已知［30,35）和［35，40）这两组各有2名数学教师,现从这两个组中各选取2人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中都至少有1名数学老师的概率; (3)组织者从［45，55）这组的参加者（其中共有4名女教师,其余全为男教师）中随机选取3名担任后勤保障工作,其中女教师的人数为x，求x的分布列和均值．19．如图，在四棱柱P﹣ABCD中,底面ABCD为矩形，△PCD为等边三角形，,点M为BC中点，平面PCD⊥平面ABCD．（1)求证：PD⊥BC；（2）求二面角P﹣AM﹣D的大小．20．已知椭圆L： +=1(a＞b＞0）的一个焦点于抛物线y2=8x的焦点重合，点（2，）在L 上．（Ⅰ）求L 的方程；（Ⅱ）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与L有两个交点A，B,线段AB的中点为M,证明：OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．21．已知函数f(x）=e x，g（x）=mx+n．（1）设h（x）=f（x）﹣g（x）．当n=0时，若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，求m的取值范围;(2）设函数r(x）=，且n=4m（m＞0），求证：x≥0时，r(x）≥1．［选修4—1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．（选修4﹣1:几何证明选讲)如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB 垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC;（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径．［选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分0分）23．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3:ρ=2cosθ．(1）求C2与C3交点的直角坐标;（2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．[选修4—5：不等式选讲](共1小题，满分0分）24．设a，b，c，d均为正数，且a﹣c=d﹣b，证明:（Ⅰ)若ab＞cd，则+＞+；(Ⅱ）+＞+是｜a﹣b｜＜|c﹣d｜的充要条件．2016年陕西省高考数学一模试卷(理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．设集合M={x||x﹣1｜≤1｝,N=｛x｜y=lg（x2﹣1）｝，则M∩∁R N=（）A．[1,2]B．[0，1]C．(﹣1，0）D．（0，2)【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合M、N，求出∁R N,再计算M∩∁R N．【解答】解：集合M=｛x｜｜x﹣1｜≤1｝=｛x|﹣1≤x﹣1≤1｝={x|0≤x≤2}=［0，2］，N=｛x｜y=lg（x2﹣1）｝=｛x｜x2﹣1＞0}={x|x＜﹣1或x＞1}=（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞); ∴∁R N=［﹣1，1］；∴M∩∁R N=［0,1]．故选:B．2．复数（i是虚数单位）的虚部是（）A．﹣1 B．2 C．﹣2 D．1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，则答案可求．【解答】解：=，则复数（i是虚数单位)的虚部是:1．故选:D．3．设α为锐角，若cos=,则sin的值为(）A．B．C．﹣D．﹣【考点】二倍角的正弦;三角函数的化简求值．【分析】利用同角三角函数基本关系式、倍角公式即可得出．【解答】解:∵α为锐角，cos=,∴∈，∴==．则sin===．故选:B．4．在区间［0,1]上随机取两个数x,y，记P为事件“x+y≤”的概率，则P=（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意可得总的基本事件为｛(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1｝，事件P包含的基本事件为｛（x，y）｜0≤x≤1，0≤y≤1，x+y≤｝，数形结合可得．【解答】解：由题意可得总的基本事件为{(x,y）｜0≤x≤1，0≤y≤1}，事件P包含的基本事件为{（x，y）｜0≤x≤1，0≤y≤1，x+y≤｝,它们所对应的区域分别为图中的正方形和阴影三角形，故所求概率P==,故选:D．5．设S n是等差数列{a n｝的前n项和，若a2+a3+a4=3，则S5=（）A．5 B．7 C．9 D．11【考点】等差数列的前n项和．【分析】由题意和等差数列的性质可得a3，再由求和公式和等差数列的性质可得S5=5a3，代值计算可得．【解答】解：∵S n是等差数列{a n}的前n项和，a2+a3+a4=3，∴3a3=a2+a3+a4=3，即a3=1,∴S5===5a3=5,故选：A．6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．64﹣πB．64﹣2πC．64﹣4πD．64﹣8π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是由一个正方体在中间挖去一个圆柱得到的．即可得出．【解答】解:由三视图可知：该几何体是由一个正方体在中间挖去一个圆柱得到的．∴该几何体的体积=43﹣π×12×2=64﹣2π．故选：B7．执行右面的程序框图，如果输入的N=3，那么输出的S=（)A．1 B．C．D．【考点】程序框图．【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到满足条件K＞3，跳出循环，计算输出S的值．【解答】解：由程序框图知:输入N=3时，K=1，S=0，T=1第一次循环T=1,S=1，K=2；第二次循环T=，S=1+，K=3；第三次循环T=，S=1++,K=4；满足条件K＞3，跳出循环，输出S=1++=．故选：C．8．已知向量=（1，2），=（2，﹣3)．若向量满足⊥（+）,且∥（﹣），则=(）A．B．C．D．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】设出=（x,y），根据平面向量的坐标运算以及向量垂直与共线的坐标表示，列出方程组求出x、y的值即可．【解答】解：设=(x，y)，向量=（1，2)，=（2，﹣3），∴+=（3，﹣1），﹣=（1﹣x，2﹣y）；又⊥（+）,∴•(+）=3x﹣y=0①;又∥（﹣），2(2﹣y）﹣（﹣3）•（1﹣x）=0②；由①、②组成方程组，解得x=，y=;∴=(,）．故选：A．9．设函数f(x）=则f[f（﹣8）]=（）A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2【考点】函数的值．【分析】利用分段函数由已知先求出f(﹣8)，由此能求出f[f（﹣8）］．【解答】解:∵f（x)=，∴f(﹣8）=﹣(﹣8）=2，f[f(﹣8）］=2+﹣7=﹣4．故选：B．10．若圆C：(x﹣3)2+（y﹣2）2=1（a＞0）与直线y=x相交于P、Q两点，则｜PQ｜=（）A．B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆C圆心C（3，2)，半径r=1，再求出圆心C（3，2）到直线y=x的距离d,由此利用勾股定理能求出｜PQ|的长．【解答】解:∵圆C：（x﹣3）2+（y﹣2)2=1的圆心C（3,2），半径r=1,圆心C（3，2）到直线y=x的距离d==，∵圆C:（x﹣3）2+（y﹣2）2=1（a＞0）与直线y=x相交于P、Q两点,∴|PQ|=2=2=．故选：C．11．设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为（)A．（1，）B．（，+∞）C．（1，3）D．（3,+∞）【考点】简单线性规划的应用．【分析】根据m＞1，我们可以判断直线y=mx的倾斜角位于区间(，）上，由此我们不难判断出满足约束条件的平面区域的形状,再根据目标函数Z=X+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在直线y=mx与直线x+y=1交点处取得最大值，由此构造出关于m的不等式组,解不等式组即可求出m 的取值范围．【解答】解:∵m＞1故直线y=mx与直线x+y=1交于点，目标函数Z=X+my对应的直线与直线y=mx垂直,且在点，取得最大值其关系如下图所示：即,解得1﹣＜m＜又∵m＞1解得m∈(1，）故选：A．12．对于函数f（x）=e ax﹣lnx（a是实常数），下列结论正确的一个是(）A．a=1时，f（x）有极大值，且极大值点x0∈（，1）B．a=2时,f（x)有极小值，且极小值点x0∈（0,）C．a=时，f（x)有极小值,且极小值点x0∈（1，2）D．a＜0时,f（x）有极大值，且极大值点x0∈（﹣∞，0）【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，根据函数极值存在的条件，以及函数零点的判断条件，判断f′（x）=0根的区间即可得到结论．【解答】解：∵f（x）=e ax﹣lnx,∴函数的定义域为（0，+∞)，函数的导数为f′（x）=ae ax﹣,若a=，f（x）=﹣lnx，则f′（x）=﹣在（0,+∞)上单调递增，f′（1)=，f′（2)═，∴函数f(x)存在极小值，且f′(x)=0的根在区间（1，2）内，故选：C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．如果的展开式中各项系数之和为128,则展开式中的系数是21．【考点】二项式系数的性质．【分析】先通过给x赋值1得到展开式的各项系数和；再利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为﹣3得到展开式中的系数．【解答】解：令x=1得展开式的各项系数和为2n∴2n=128解得n=7∴展开式的通项为T r+1=令7﹣=﹣3,解得r=6∴展开式中的系数为3C76=21故答案为：21．14．已知数列1、a、b成等差数列，而1、b、a成等比数列．若a≠b,则7alog a（﹣b）=．【考点】等比数列的通项公式;等差数列的通项公式．【分析】数列1、a、b成等差数列，而1、b、a成等比数列．可得2a=1+b，b2=a,解得b，a，再利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：∵数列1、a、b成等差数列,而1、b、a成等比数列．∴2a=1+b,b2=a，可得2b2﹣b﹣1=0，解得b=1或﹣．∵a≠b，∴b≠1．∴b=﹣,a=．则7alog a（﹣b)==．故答案为:．15．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°,C为该球面上的动点．若三棱锥O﹣ABC 体积的最大值为3,则球O的体积为24π．【考点】球的体积和表面积．【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大,利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为3，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示,当点C位于垂直于面AOB的直径端点时,三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC =V C﹣AOB===3∴R3=18，则球O的体积为πR3=24π．故答案为：24π．16．已知曲线y=x+lnx在点(1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2)x+1相切,则a=8．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出y=x+lnx的导数,求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，有且只有一切点,进而可联立切线与曲线方程，根据△=0得到a的值．【解答】解：y=x+lnx的导数为y′=1+,曲线y=x+lnx在x=1处的切线斜率为k=2，则曲线y=x+lnx在x=1处的切线方程为y﹣1=2x﹣2,即y=2x﹣1．由于切线与曲线y=ax2+（a+2)x+1相切，故y=ax2+（a+2）x+1可联立y=2x﹣1，得ax2+ax+2=0，又a≠0，两线相切有一切点，所以有△=a2﹣8a=0,解得a=8．故答案为：8．三、解答题（共5小题,每小题12分，共60分）17．在△ABC中，内角A，B,C的对边分别为a,b，c，且a=3，b=4，B=+A．（I)求tanB的值;（Ⅱ）求c的值．【考点】正弦定理．【分析】（I）由正弦定理，诱导公式可得3cosA=4sinA，可得tanA的值，由已知及诱导公式即可求tanB的值．（Ⅱ)由tanB=﹣，利用同角三角函数基本关系式可求cosB,sinB，sinA，cosA，由两角和的余弦函数公式可求cosC的值，利用余弦定理即可求c的值．【解答】解:（I）∵a=3，b=4，B=+A．∴由正弦定理可得：=,∴3cosA=4sinA，可得：tanA==，∴tanB=tan（+A）=﹣=﹣．（Ⅱ）∵tanB=﹣．∴cosB=﹣=﹣，sinB==，sinA=sin（B﹣）=﹣cosB=，cosA=，∴cosC=﹣cos（A+B）=sinAsinB﹣cosAcosB=×﹣×（﹣）=，∴c===．18．某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登山健身的活动，有N人参加,现将所有参加者按年龄情况分为[20，25），［25，30)，[30，35)，[35，40），［40，45），［45，50）,［50，55）等七组,其频率分布直方图如下所示．已知［35，40）这组的参加者是8人．（1）求N和[30，35）这组的参加者人数N1；（2)已知[30，35）和［35,40）这两组各有2名数学教师，现从这两个组中各选取2人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中都至少有1名数学老师的概率；（3）组织者从[45,55）这组的参加者（其中共有4名女教师，其余全为男教师)中随机选取3名担任后勤保障工作,其中女教师的人数为x,求x的分布列和均值．【考点】离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1)先求出年龄在[35,40)内的频率，由此能求出总人数和[30，35)这组的参加者人数N1．（2）记事件B为“从年龄在[30,35］之间选出的人中至少有1名数学教师”，记事件C为“从年龄在［35，40）之间选出的人中至少有1名数学教师”，分别求出P（B），P（C）,由此能求出两组选出的人中都至少有1名数学老师的概率．(3）年龄在[45，55)之间的人数为6人，其中女教师4人，ξ的可能取值为1，2,3,分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．【解答】解：（1）∵年龄在[35，40)内的频率为0。