《正弦定理和余弦定理》学案11(新人教A版必修5)

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高一数学必修5导学案 正弦定理、余弦定理的应用(1)

一、学习目标

（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题；

（2）体会数学建摸的基本思想，掌握求解实际问题的一般步骤；

（3）能够从阅读理解、信息迁移、数学化方法、创造性思维等方面，多角度培养学生分析

问题和解决问题的能力．

二、学习重点，难点

重点：（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题；

（2）掌握求解实际问题的一般步骤．

难点：综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题。

三、自主预习：

1.实际问题中常用的角：

（1）仰角和俯角：在视线和水平线所成角中，视线在水平线___________的角叫仰角，在水平线

_____________的角叫俯角（如图①）

（2）指从正北方向____________转到目标方向线的水平角，如B 点的方位叫为α（如图②）。

（3）坡度：坡度是指路线纵断面上同一坡段两点间的高度差与其水平距离的比值的百分率.

四、能力技能检测：

活动一、测量距离问题：

例1．如图1-3-1，为了测量河对岸两点,A B 之间的距离，在河岸这边取1km 长的点CD ，并测得90ACD ∠=，60BCD ∠=，75BDC ∠=︒，30ADC ∠=，试求,A B 之间的距离.

【总结】

变式训练1、海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛

和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视

角，那么B 岛和C 岛间的距离是 。

变式训练2.如图,一艘船以32海里/时的速度向正北航行, 铅

垂线

视线

① 水平线 视线

仰角

俯角

东

西

在A 处看灯塔S 在船的北偏东20°, 30分钟后航行到B

处,在B 处看灯塔S 在船的北偏东65°方向上,求灯塔S

和B 处的距离.（其中sin20°=0.342，结果保留到0.1）

活动二、方位角问题：

例2 一艘渔船在我海域遇险，且最多只能坚持45分钟，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45° 、距离为10海里的C 处，并测得渔船以9海里/时的速度沿方位角为105°的方向航行，我海军舰艇立即以21海里/时的速度前去营救。求出舰艇的航向和赶上遇险渔船所需的最短时间，能否营救成功

？sin 21.8αα=≈（其中当）

【总结】

变式训练3、我舰在敌岛A 南50°西相距12海里B 处，发现敌舰正由岛沿北10°西的方向以10海里/时的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰，则需要的速度大小为 。

变式训练4：海中有岛A ，已知A 岛周围8海里内有暗礁，今有一货轮由西向东航行，望见A 岛在北75°东，航行20 海里后，见此岛在北30°东，如货轮不改变航向继续前进，问有无触礁危险。

活动三、测量高度问题：

3︒︒例、航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度

为海拔10000m，速度为180km/h.飞机先看到山顶的俯角为15,经过420s 后又看到山顶的俯角为45）

【总结】

变式训练5、某人在塔的正东方沿南偏西60°的道路前进40米后，望见塔在东北方向上， 若沿途测的塔的最大仰角为30°，求塔高.

五、回顾反思：

【课时作业】

1．已知三角形的三边长分别为a 、b 、a 2＋ab ＋b 2 ，则这个三角形的最大角是________.

2．海上有A 、B 两个小岛相距10 nmile ，从A 岛望B 岛和C 岛成60°的视角，

从B 岛望A 岛和C 岛成75°角的视角，则B 、C 间的距离是_____________.

3．某人以时速a km 向东行走，此时正刮着时速a km 的南风，

那么此人感到的风向为 ，风速为 .

4．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°

的方向航行30 nmile 后看见灯塔在正西方向，则这时船与灯

塔的距离是 .

5．甲、乙两楼相距20 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为

300，

则甲、乙两楼的高分别是 .

6．在塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为θ，由此点向塔沿直线行走30米，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔前进10 3 米，又测得塔顶的仰角为4θ，则塔高是 米.

7．在△ABC 中，求证：cos2A a 2 －cos2B b 2 ＝1a 2 －1b 2 .

8．欲测河的宽度，在一岸边选定A 、B 两点，望对岸的标记物C ，测得∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，求河宽.（精确到0.01 m ）

9．甲舰在A 处，乙舰在A 的南偏东45°方向，距A 有9 nmile ，并以20 nmile/h 的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲舰以28 nmile/h 的速度行驶，应沿什么方向，用多少时间，能尽快追上乙舰？

10. 据气象台预报，距S岛300 km的A处有一台风中心形成，并以每小时30 km的速度向北偏西30°的方向移动，在距台风中心270 km以内的地区将受到台风的影响.问：S岛是否受其影响?若受到影响，从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响?持续时间多久?说明理由.

11.如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处（ 3 －1）海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船，奉命以10 3 海里／时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里／时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间.