第6章 均匀试验设计

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浙江科技学院本科课程《化工数据处理》
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6.1.3 均匀设计表
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举例： 举例： 表示要做次6试验 个水平， 如U6(64)表示要做次 试验，每个因素有 个水平，该表有 列。 表示要做次 试验，每个因素有6个水平 该表有4列
均匀设计表的使用表： 均匀设计表的使用表：
每个均匀设计表都附有一个使用表， 每个均匀设计表都附有一个使用表 ， 它指示我们如何从设计 表中选用适当的列，以及由这些列所组成的试验方案的均匀度。 表中选用适当的列，以及由这些列所组成的试验方案的均匀度。下 表是U 的使用表。 表是 6(64)的使用表。 它告诉我们 ， 若有两个因素 ， 应选用 ， 3 的使用表 它告诉我们，若有两个因素，应选用1， 两列来安排试验；若有三个因素，应选用1， ， 三列 三列， ， 两列来安排试验；若有三个因素，应选用 ，2，3三列，…，最后 1列D表示刻划均匀度的偏差 1列D表示刻划均匀度的偏差(discrepancy)，偏差值越小，表示均 表示刻划均匀度的偏差(discrepancy)，偏差值越小， 匀度越好。 匀度越好。 U6(64)的使用表 的使用表
U6(64)
试验号 列号
1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5 6
2 2 4 6 1 3 5
3 3 6 2 5 1 4
4 6 5 4 3 2 1
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均匀设计有其独特的布（试验）点方式： 均匀设计有其独特的布（试验）点方式：
(1)每个因素的每个水平做一次且仅做一次试验； 每个因素的每个水平做一次且仅做一次试验； 每个因素的每个水平做一次且仅做一次试验 (2)任两个因素的试验点点在平面的格子点上，每行每列有且仅有一个试验点。 任两个因素的试验点点在平面的格子点上，每行每列有且仅有一个试验点。 任两个因素的试验点点在平面的格子点上 以上两个性质反映了均匀设计试验安排的“均衡性” 即对各因素， 以上两个性质反映了均匀设计试验安排的“均衡性”，即对各因素，每个因素 的每个水平一视同仁。 的每个水平一视同仁。 (3)均匀设计表任两列组成的试验方案一般并不等价。 均匀设计表任两列组成的试验方案一般并不等价。 均匀设计表任两列组成的试验方案一般并不等价
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从统计学的观点看， 数论方法得到的点集称为伪随机数 从统计学的观点看，伪随机数就 是一个均匀分布的样本。 是一个均匀分布的样本 。 我们注意到虽然正交设计的试验点在试验区域 内散布得相当均匀， 内散布得相当均匀，但还不是非常均匀 我们可以用数论方法找到一些散 布得更均匀的点集， 试验结果应该既有代表性， 布得更均匀的点集，利用这些点集来安排实验 试验结果应该既有代表性， 叉能减少试验次数。可以证明 ， 在具有同样均匀性的前提下 ， 正交设计 叉能减少试验次数 。 可以证明，在具有同样均匀性的前提下， 与均匀设计所需的试验次数的量级分别是： 与均匀设计所需的试验次数的量级分别是：O(q )与O(q log q)。 与 。
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(2) 均匀试验设计的创立： 均匀试验设计的创立：
1978年，七机部由于导弹设计的要求，提出了一个五因素的 年 七机部由于导弹设计的要求， 试验，希望每个因素的水平数要多于 ，而试验总数又不超过50， 试验，希望每个因素的水平数要多于10，而试验总数又不超过 ， 显然优选法和正交设计都不能用， 显然优选法和正交设计都不能用，方开泰与王元经过几个月的共同研 究，提出了一个新的试验设计，即所谓“均匀设计”，将这一方法用 提出了一个新的试验设计，即所谓“均匀设计” 于导弹设计，取得了成效。 于导弹设计，取得了成效。
Ch.6 均匀试验设计
本章授课主要内容： 本章授课主要内容：
6.1 均匀试验设计 6.2 均匀试验设计结果的回归分析
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6.1 均匀试验设计
6.1.1 引言： 引言： (1) 正交试验设计应用 均衡分散： 均衡分散：试验点在试验范围内排列规律整齐 整齐可比： 整齐可比：试验点在试验范围内散布均匀
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6.1.5 均匀试验设计与正交试验设计比较
1. 试验工作量少。这是均匀试验设计的一个突出优点；例如，要考察 因素的影 试验工作量少。这是均匀试验设计的一个突出优点；例如，要考察5 每个因素有5水平 用正交表安排试验，至少要进行25次实验 水平， 次实验， 响，每个因素有 水平，用正交表安排试验，至少要进行 次实验，而用均匀 因素5水平的试验 次实验， 试验设计表来安排 5因素 水平的试验，则只需进行 次实验，试验工作量比正 因素 水平的试验，则只需进行5次实验 交试验要少得多，虽然实验点减少了很多， 交试验要少得多，虽然实验点减少了很多，但其试验结果仍能反映分析体系的 基本特征。 基本特征。 2. 在正交试验设计中，当考察某一因素各水平效应时，其他因素与待考察因素各 在正交试验设计中，当考察某一因素各水平效应时， 水平组合的机会是相等的，正交设计表中各列的地位是相等的，因此， 水平组合的机会是相等的，正交设计表中各列的地位是相等的，因此，欲考察 的因素安排在任一列都是允许的。均匀设计表则不同， 的因素安排在任一列都是允许的。均匀设计表则不同，表中各列的地位是不平 等的，因此，因素安排在均匀设计表的哪一列是不能随便变动的，需根据试验 等的，因此，因素安排在均匀设计表的哪一列是不能随便变动的， 中欲考察的实际因素数， 中欲考察的实际因素数，依照附在每一张均匀设计表后的使用表来确定因素所 应处的列号。例如前面提到的 U11 (1110 )表，如果只安排2因素 水平试验，则将 应处的列号。 如果只安排 因素11水平试验， 因素 水平试验 因素安排在第l与第 与第7列 若考察4个因素 则将因素安排在第1， ， 与 列 个因素， 因素安排在第 与第 列，若考察 个因素，则将因素安排在第 ，2，5与7列。
正交试验设计， 正交试验设计，可以进行部分试验而得到基本上反映全面情 况的试验结果。但是，当试验中因素数或水平数比较大时， 况的试验结果。但是，当试验中因素数或水平数比较大时，正交 试验的次数也会很大。 因素5水平 试验的次数也会很大。如5因素 水平，用正交表需要安排 ×5＝ 因素 水平，用正交表需要安排5× ＝ 25次试验。这时，可以选用均匀设计法，仅用5次试验就可能得 次试验。这时，可以选用均匀设计法，仅用 次试验就可能得 次试验 到能满足需要的结果！ 到能满足需要的结果！
s
2 3 4
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列 1 1 1 3 2 2
号 3 3 4
D
0.1875 0.2656 0.2990 11
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Un(ns 补充：均匀设计表的构造 补充：均匀设计表的构造: ) qk=(k,kb,…,kbs-1)(mod n) , k=1,2,…,n
均匀设计最好的b值 均匀设计最好的 值
均匀设计属于近年发展起来的“伪蒙特卡罗方法”的范筹。 均匀设计属于近年发展起来的“伪蒙特卡罗方法”的范筹。将 经典的确定的单变量问题的计算方法推广后用于多变量问题的计算 计算量往往跟变量个数有关，即使电脑再进步很多， 时，计算量往往跟变量个数有关，即使电脑再进步很多，这种方法 仍无法实际应用。乌拉母( 与冯诺依曼( 仍无法实际应用 。 乌拉母 (S.Ulam) 与冯诺依曼 (J.von Neumann) 在 40年代提出蒙特卡罗方法，即统计模拟方法， 40 年代提出蒙特卡罗方法，即统计模拟方法，这个方法的大意是将 年代提出蒙特卡罗方法 一个分析问题化为一个有同样解答的概率问题，然后用统计模拟的 一个分析问题化为一个有同样解答的概率问题， 方法来处理后面这个问题， 方法来处理后面这个问题，这样使一些困难的分析问题反而得到了 解决，例如多重定积分的近似计算。 解决，例如多重定积分的近似计算。蒙特卡罗方法的关键是找一组 随机数作为统计模拟之用， 随机数作为统计模拟之用，所以这一方法的精度在于随机数的均匀 性与独立性。 性与独立性。
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6.1.2 均匀试验设计概念： 均匀试验设计概念：
均匀设计是一种试验设计 方法。它可以用较少的 均匀设计是一种试验设计 方法。它可以用较少的 试验次数，安排多因素、多水平的 是在均 试验次数，安排多因素、多水平的析因试 验，是在均 多因素 匀性的度量下最好的析因试验设计方法。 均匀设计也 匀性的度量下最好的析因试验设计方法。 下最好的析因试验设计方法 仿真试验设计和稳健设计的重要方法！ 的重要方法 是仿真试验设计和稳健设计的重要方法！
举例：如用U 列分别画图， 举例：如用 6(64)的1，3 和1，4列分别画图，得到下面的图 (a)和图 (b)。 的 ， ， 列分别画图 和图 。 我们看到， 的点散布比较均匀 的点散布比较均匀， 的点散布并不均匀。 我们看到 ， (a)的点散布比较均匀， 而 (b)的点散布并不均匀。均匀设 的点散布并不均匀 计表的这一性质和正交表有很大的不同，因此， 计表的这一性质和正交表有很大的不同，因此，每个均匀设计表必须 有一个附加的使用表。 有一个附加的使用表。
(3) 均匀设计法与正交设计法在均匀性概念上的区别： 均匀设计法与正交设计法在均匀性概念上的区别： 均匀设计法不再考虑“数据整齐可比” 均匀设计法不再考虑“数据整齐可比”性，只考虑试验点在试验范围内 充分“均衡分散” 充分“均衡分散”。
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(4) 均匀试验设计的数学基础： 均匀试验设计的数学基础：
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6.1.4 均匀试验设计步骤
(1) 确定试验指标、因素、因素水平范围和因素水平数（这是关系到试验成功与否的关 确定试验指标、因素、因素水平范围和因素水平数（ 键）； (2) 选择合适的均匀设计表建立分次试验的具体因素水平组合； 选择合适的均匀设计表建立分次试验的具体因素水平组合； (3) 执行分次试验并取得每次试验的指标值； 执行分次试验并取得每次试验的指标值； (4) 用分次试验的指标值和取得该指标值的各因素水平值建立试验指标 各因素水平关系 用分次试验的指标值和取得该指标值的各因素水平值建立试验指标—各因素水平关系 的回归模型（这也是均匀设计中的最重要的环节之一)； 的回归模型（这也是均匀设计中的最重要的环节之一 ； (5) 成功地建立了回归模型后在各试验因素的试验范围内寻找最佳的各因素水平组合并进 行该组合的验证试验（也可和步骤６一起进行)； 行该组合的验证试验（也可和步骤６一起进行 ； (6) 验证试验成功则进一步缩小各因素的试验范围，重新选择均匀设计表（即从步骤２开 验证试验成功则进一步缩小各因素的试验范围，重新选择均匀设计表（即从步骤２ 始）进行各因素范围缩小和水平划分更为细致的新的一轮的试验，进一步寻找最优试 进行各因素范围缩小和水平划分更为细致的新的一轮的试验， 验条件组合。一般情况下，此次最优条件即为整个试验的最优条件，试验结束。 验条件组合。一般情况下，此次最优条件即为整个试验的最优条件， 试验结束。
n 2 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 2010-12-13 2 3 4 5 6 7 11 6 5 9 11 16 7 14 3 2 3 4 7 6 7 10 14 5 17 11 20 13 22 4 2 3 2 7 6 7 10 14 10 15 11 20 23 12 10 14 10 17 11 20 25 12 10 14 10 17 8 20 25 12 10 14 10 20 8 20 7 12 10 14 10 20 8 20 11 12 14 10 11 8 16 11 12 11 12 14 22 14 22 14 22 14 22 19 22 22 12 14 10 11 8 10 11 8 11 7 6 7 6 6 5 6 7 8 因子数s 9 10 11 12 13 14 15 16