【书城】2017年高考数学基础突破——导数与积分：第10讲 微积分的应用.doc

2017年高考数学基础突破——导数与积分
第10讲 定积分与微积分基本定理（学生版，后附教师版）
【知识梳理】
1．定积分的概念与几何意义
(1)定积分的定义
如果函数()f x 在区间[a ，b]上连续，用分点将区间[a ，b]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点i ξ(i ＝1，2，…，n)，作和式∑i ＝1
n
f(ξi )Δx=∑i ＝1
n
b －a
n
f(ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[a ，b]上的定积分，记作()b
a
f x dx ⎰
，
即
1
()lim ()n
b
i a
n i b a
f x dx f n ξ→+∞=-=∑
⎰
．
在
()b
a
f x dx ⎰
中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b]叫做积分区间，函数
()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式．
（2）定积分的几何意义
2．定积分的性质
(1) ()()b
b
a a
kf x dx k f x dx =⎰
⎰ (k 为常数)；
(2) 1212[()()]()()b
b b
a a
a
f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰；
(3)
()()()b
c b
a
a
c
f x dx f x dx f x dx =+⎰
⎰⎰(其中a<c<b)．
3．微积分基本定理
一般地，如果f(x)是在区间[a ，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)，那么
()()()b
a
f x dx F b F a =-⎰
，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．
其中F(x)叫做f(x)的一个原函数，常把F(b)－F(a)记作()|b a F x ，即
()()|()()b
b a a
f x dx F x F b F a ==-⎰
．
【基础考点突破】 考点1.定积分的计算
【例1】设21
,1(),11x e
f x x x x x ⎧<≤⎪=⎨⎪--≤≤⎩
，则1
()e f x dx -⎰等于( )
A.34
B.4
5 C.53
D. 5
6
【归纳总结】运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点 ：
①对被积函数要先化简，再求积分；
②求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和； ③对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分； ④注意用“F′(x)＝f(x)”检验积分的对错.
变式训练1. (1)已知f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ∈[－2，2]，1＋x 2，x ∈[2，4].若⎠⎛k 3
f(x)dx ＝403，则k 的值为( ) A.0 B.0或－1 C.0或1 D.－1
(2)(2016·湖北省重点中学高三考试)若函数f(x)在R 上可导，f(x)＝x 3＋x 2f ′(1)，则⎠⎛0
2
f(x)dx ＝________. 题型2. 定积分的几何意义
命题点1.利用定积分的几何意义计算定积分 【例2】定积分⎠⎛0
39－x 2dx 的值为________.
变式训练2. ʃ1－1(
1－x 2＋e x －1)dx ＝________.
命题点2 利用定积分求平面图形面积 【例3】（1）【2015
唐山质检】已知曲线y ，2y x =-，1
3
y x =-所围成的图形的面
积为S ，则S =_____.
（2）已知曲线2
y x =，(0)y kx k =>所围成的去边图形的面积为
4
3
，则k =____________
【归纳总结】利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：(1)画出图形；(2)
确定被积函数；
(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积.求解时，注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定积分是一个数值(极限值)，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正.
变式训练3.（1）如图所示，曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1及y ＝1
4所围成的图形(阴影部分)
的面积为( )
A.23
B.13
C.12
D.14
(2)由曲线y ＝2x 2，直线y ＝－4x －2，直线x ＝1围成的封闭图形的面积为_____．
考点3.定积分在物理中的应用
【例3】 (2016·武汉调研)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t ＋
25
1＋t
(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )
A.1＋25ln 5
B.8＋25ln 11
3
C.4＋25ln 5
D.4＋50ln 2
【基础练习巩固】
1．定积分ʃ10(2x ＋e x
)dx 的值为( )
A ．e ＋2
B ．e ＋1
C ．e
D ．e －1
2．由曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π
2
所围成的平面图形的面积是( )
A ．1 B.π4 C.22
3
D ．22－2
3．一物体在变力F(x)＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时，F(x)做的功为( )
A. 3 J
B.233 J
C.43
3
J D ．2 3 J
4.已知二次函数y ＝f(x)的图象如图所示，则它与x 轴所围成的面积为( )
A.2π5
B.43
C.3
2
D.π
2
5．若定积分ʃm
－2
－x 2－2xdx ＝π4
，则m 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2
6．如图，由两条曲线y ＝－x 2，y ＝－1
4
x 2及直线y ＝－1所围成的平面图形的面积为_______
7．ʃ10(e x ＋x)dx ＝________.
8．一物体在力F(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧
5，0≤x≤2，3x ＋4，x>2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运
动到x ＝4(单位：m)处，则力F(x)做的功为________焦． 9．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－1
3x 所围成图形的面积．
2017年高考数学基础突破——导数与积分
第10讲 定积分与微积分基本定理（学生版，后附教师版）
【知识梳理】
1．定积分的概念与几何意义
(1)定积分的定义
如果函数()f x 在区间[a ，b]上连续，用分点将区间[a ，b]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点i ξ(i ＝1，2，…，n)，作和式∑i ＝1
n
f(ξi )Δx=∑i ＝1
n
b －a
n
f(ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[a ，b]上的定积分，记作()b
a
f x dx ⎰
，
即
1
()lim ()n
b
i a
n i b a
f x dx f n ξ→+∞=-=∑
⎰
．
在
()b
a
f x dx ⎰
中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b]叫做积分区间，函数
()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式．
（2）定积分的几何意义
2．定积分的性质
(1) ()()b
b
a a
kf x dx k f x dx =⎰
⎰ (k 为常数)；
(2) 1
2
12[()()]()()b
b
b
a a
a
f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰
⎰；
(3)
()()()b
c
b a
a
c
f x dx f x dx f x dx =+⎰
⎰⎰(其中a<c<b)．
3．微积分基本定理
一般地，如果f(x)是在区间[a ，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)，那么
()()()b
a
f x dx F b F a =-⎰
，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．
其中F(x)叫做f(x)的一个原函数，常把F(b)－F(a)记作()|b a F x ，即
()()
|()(
b
b a a
f x d x
F x F b F a ==-⎰
．
【基础考点突破】 考点1.定积分的计算
【例1】设21
,1(),11x e
f x x x x x ⎧<≤⎪=⎨⎪--≤≤⎩
，则1
()e f x dx -⎰等于( )
A.34
B.4
5 C.53
D. 5
6
答案 C 解析
1
2
321111
1
1
1115()()()|ln |323
e
e
e f x dx x x dx dx x x x x ---=-+=-+=⎰
⎰⎰
. 【归纳总结】运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点 ：
①对被积函数要先化简，再求积分；
②求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和； ③对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分； ④注意用“F′(x)＝f(x)”检验积分的对错.
变式训练1. (1)已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ∈[－2，2]，1＋x 2，x ∈[2，4].
若⎠⎛k 3f(x)dx ＝40
3，则k 的值为( ) A.0 B.0或－1 C.0或1 D.－1
(2)(2016·湖北省重点中学高三考试)若函数f(x)在R 上可导，f(x)＝x 3＋x 2f ′(1)，则⎠⎛0
2
f(x)dx ＝________.
答案 (1)B (2)－4
解析 (1)∵⎠⎛2
3f(x)dx ＝⎠⎛2
3(1＋x 2)dx ＝223＜403，∴当k ≥2时，⎠
⎛k
3f(x)dx ＜40
3，∴k ＜2，∴
⎠⎛k
3f(x)dx ＝⎠⎛k
2(2x ＋1)dx ＋⎠
⎛2
3(x 2
＋1)dx ＝403，化简得k 2＋k ＝0，解得k ＝0或k ＝－1. (2)因为f(x)＝x 3＋x 2f ′(1)，所以f′(x)＝3x 2＋2xf ′(1).所以f′(1)＝3＋2f′(1)，解得f′(1)＝－3.
所以f(x)＝x 3－3x 2. 故⎠⎛0
2f(x)dx ＝⎠
⎛0
2(x 3－3x 2)dx ＝
⎪⎪⎝⎛⎭⎫x
4
4－x 32
0＝－4.
题型2. 定积分的几何意义
命题点1.利用定积分的几何意义计算定积分 【例2】定积分⎠⎛0
39－x 2dx 的值为________.
答案
9π4
解析 由定积分的几何意义知，⎠⎛0
39－x 2dx 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，
y ＝0围成的封闭图形的面积.故⎠⎛0
3
9－x 2
dx ＝π·324＝9π
4
.
变式训练2. ʃ1
－1(
1－x 2＋e x －1)dx ＝________. 答案 π2＋e －1
e
－2
解析 ʃ1－1(1－x 2＋e x －1)dx ＝ʃ1－11－x 2dx ＋ʃ1－1(e x
－1)dx.
因为ʃ1－11－x 2dx 表示单位圆的上半部分的面积，即ʃ1－11－x 2dx ＝π2，而ʃ1－1(e x －1)dx ＝(e x －x)|1－1＝(e 1－1)－(e －1＋1)＝e －1e －2，所以ʃ1
－1(1－x 2＋e x －1)dx ＝π2＋e －1e －2. 命题点2 利用定积分求平面图形面积 【例3】（1）【2015
唐山质检】已知曲线y ，2y x =-，1
3
y x =-所围成的图形的面
积为S ，则S =_____.
（2）已知曲线2
y x =，(0)y kx k =>所围成的去边图形的面积为
4
3
，则k =____________ 答案 (1)13
6
(2)2
解析 (1)由⎩⎨⎧y ＝x ，
y ＝2－x 得交点A(1，1)；由⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x 得交点B(3，－
1).
130111d 2d 33S x x x x x
⎫⎛⎫
=+-+⎪ ⎪⎭⎝⎭⎰⎰
313
22
201211214132.3
633636||
x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝kx ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝k 2
，则曲线y ＝x 2与直线y ＝kx(k>0)所围成的曲边梯形的面积为
⎠
⎛0
k
(kx －x 2)dx ＝⎝⎛⎭⎫k 2x 2－13x 3⎪⎪⎪k
0＝k 32－13k 3＝43，即k 3＝8，∴k ＝2. 【归纳总结】利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：(1)画出图形；(2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积.求解时，注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定积分是一个数值(极限值)，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正.
变式训练3.（1）如图所示，曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1及y ＝1
4所围成的图形
(阴影部分)的面积为( )
A.23
B.13
C.12
D.14
(2)由曲线y ＝2x 2，直线y ＝－4x －2，直线x ＝1围成的封闭图形的面积为_____． 答案 （1）D (2)16
3
解析 （1）由x 2＝14，得x ＝12或x ＝－12(舍)，则阴影部分的面积为S ＝ʃ120(14－x 2)dx ＋ʃ112(x
2
－14)dx ＝(14x －13x 3)|120＋(13x 3－14x)|112＝1
4
. （2）解析 由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝2x 2
，y ＝－4x －2，解得x ＝－1，依题意可得，所求的封闭图形的面积为ʃ1
－1
(2x 2＋4x ＋2)dx ＝(23x 3＋2x 2＋2x)|1－1＝(23×13＋2×12＋2×1)－[2
3×(－1)3＋2×(－1)2＋2×(－1)]
＝16
3.
考点3.定积分在物理中的应用
【例3】 (2016·武汉调研)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t ＋
25
1＋t
(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )
A.1＋25ln 5
B.8＋25ln
113
C.4＋25ln 5
D.4＋50ln 2
答案 C
解析 令v(t)＝0，得t ＝4或t ＝－8
3
(舍去)，∴汽车行驶距离
s ＝⎠⎛0
4⎝
⎛⎭⎫7－3t ＋251＋t dt ＝⎣⎡⎦⎤7t －32t 2＋25ln （1＋t ）⎪⎪⎪4
0＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5(m). 【基础练习巩固】
1．定积分ʃ10(2x ＋e x
)dx 的值为( )
A ．e ＋2
B ．e ＋1
C ．e
D ．e －1 答案 C
解析 ʃ10(2x ＋e x )dx ＝(x 2＋e x )|1
0＝e.故选C.
2．由曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π
2
所围成的平面图形的面积是( )
A ．1 B.π4 C.22
3
D ．22－2
答案 D
解析 由sin x ＝cos x(x ∈(0，π2))，解得x ＝π
4.故图中阴影部分的面积S ＝
π
40
⎰
(cos
x －sin x)dx ＋
π2π4
⎰
(sin x －cos x)dx ＝(sin x ＋cos x)π
40
|＋(－cos x －sin x)π2π4
|＝sin π4＋cos π
4
－cos 0
＋[(－cos π2－sin π2)－(－cos π4－sin π
4
)]＝22－2.
3．一物体在变力F(x)＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时，F(x)做的功为( )
A. 3 J
B.233 J
C.433 J D ．2 3 J
答案 C
解析 ʃ21F(x)cos 30°dx ＝ʃ2
1
32(5－x 2)dx ＝
⎪⎪⎣⎡⎦⎤⎝
⎛⎭⎫5x －13x 3×3221＝4
33，∴F(x)做的功为43 3 J. 4.已知二次函数y ＝f(x)的图象如图所示，则它与x 轴所围成的面积为( )
A.2π5
B.43
C.3
2
D.π2
答案 B
解析 根据f(x)的图象可设f(x)＝a(x ＋1)·(x －1)(a<0)． 因为f(x)的图象过(0,1)点，所以－a ＝1，即a ＝－1. 所以f(x)＝－(x ＋1)(x －1)＝1－x 2.
所以S ＝ʃ1－1(1－x 2)dx ＝2ʃ10(1－x 2
)dx ＝2(x －13x 3)|10＝2(1－13)＝43. 5．若定积分ʃm －2
－x 2－2xdx ＝π4
，则m 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2
答案 A
解析根据定积分的几何意义知，定积分ʃm－2－x2－2xdx的值就是函数y＝－x2－2x的图象与x轴及直线x＝－2，x＝m所围成图形的面积，y＝－x2－2x是一个圆心为(－1,0)，半
径为1的半圆，其面积等于π
2，而ʃ
m
－2
－x2－2xdx＝
π
4，即在区间[－2，m]上该函数图象应为
1
4个圆，于是得m＝－1，故选A.
6．如图，由两条曲线y＝－x2，y＝－1
4x
2及直线y＝－1所围成的平面图形的面积为
_______ 答案：
4
3
解析：由
⎩⎪
⎨
⎪⎧y＝－x2，
y＝－1，
得交点A(－1，－1)，B(1，－1). 由
⎩⎪
⎨
⎪⎧y＝－1
4x
2，
y＝－1，
得交点C(－2，－1)，D(2，－1).
∴面积S＝2
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
⎠⎛
1
⎝
⎛
⎭
⎫
－
1
4x
2＋x2dx＋
⎠⎛
1
2
⎝
⎛
⎭
⎫
－
1
4x
2＋1dx＝33
12
01
4
2.
4123
||
x x
x
⎡⎤
⎛⎫
+-=
⎢⎥
⎪
⎝⎭
⎣⎦
7．ʃ10(e x＋x)dx＝________.
答案e－
1
2
解析ʃ10(e x＋x)dx＝(e x＋
1
2x
2)|1
＝e＋
1
2－1＝e－
1
2.
8．一物体在力F(x)＝
⎩⎪
⎨
⎪⎧5，0≤x≤2，
3x＋4，x>2
(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝4(单位：m)处，则力F(x)做的功为________焦．
答案36
解析由题意知，力F(x)所做的功为W＝ʃ40F(x)dx＝ʃ205dx＋ʃ42(3x＋4)dx
＝5×2＋(
3
2x
2＋4x)|4
2
＝10＋[
3
2×4
2＋4×4－(3
2×2
2＋4×2)]＝36(焦)．
9．求曲线y＝x，y＝2－x，y＝－
1
3x所围成图形的面积．
解 由⎩⎨⎧ y ＝x ，y ＝2－x
得交点A(1,1)； 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝2－x ，y ＝－13x 得交点B(3，－1)．
故所求面积S ＝ʃ10⎝⎛⎭⎫x ＋13x dx ＋ʃ31⎝⎛⎭⎫2－x ＋13x dx ＝⎝⎛⎭⎫23x 32＋16x 2|10＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 2|31＝23＋16＋43
＝136
.。