第六章 弯曲变形

2）AB段刚化
TL f B2 = ϕ AC × 300 = × 300 GI P = 2.05 × 10 −3 m
f B = f B1 + f B2 = 8.22 × 10 −3 m = 8.22mm(↓)
作业： P239 P240 P245 6.10 (b) 6.11 (b) 6.22
例6.图示各梁，写出确定其积分常数的边界 条件和连续性条件。
例1.求下梁B处约束反力。 解： 1）判定静不定次数 四个未知数， 三个平衡方程。 4 -- 3 = 1（次） 2）选取静定基 （选定多余约束， 解除多余约束。)
3）建立相当系统 (在静定基上加主动力 和多余约束反力。) 4）变形协调条件
例1.求A点的挠度:
PL3 YA ( P) = − 3EI Z
关键是把复杂载荷情况分解成若干个简单载荷 情况(有表可查) 思考题:求AB的挠曲线方程?
M 0 L2 YA ( M 0 ) = + 2 EI Z qL4 Y A ( q) = − 8EI Z 3 2 4 − 8PL + 12 M 0 L − 3qL YA = 24 EI Z
2 1
Px 1 EI Z V = − + C1x 1 + D 1 6
dV EI Z = − Px1 2 dx1 3
dV Px EIZ = −EIZθ = − + C1 dx1 2
L BC段： ≤ x 2 ≤ L 2
(x2 − ) dV Px2 2 +C EIZ = −EIZθ = − + 2P 2 dx2 2 2 L 3 3 (x 2 − ) Px 2 2 +C x +D EI Z V = − + 2P 2 2 2 6 6
例4. 解： ∵ θ C = 0(对称面) 1）
f C = f B (悬)
2）令CD段刚化
f B1 P L 3 ( ) PL3 = 2 4 = (↑ 3EI Z 384 EI Z
3）令DB段刚化：
M M f B2 = YD + θ D
L 3PL3 ⋅ = ( ↑) 4 512 EI Z
P f B3 = YD2
L x1 = x2 = ,VB 左 = VB 右 ; 2 L x1 = x2 = ,θ B 左 = θ B 右 2
连续性条件：
x1 = x2 = a ,VB 左 = VB 右 (转角不连续)
例7.要求滚轮恰恰走一水平路径，试问须梁 的轴线预先弯成怎样的曲线？ 解：
Px 2 ( L − x ) 2 = 3EI Z L Px ( L − x ) y= 3EI Z L
B Z
2.
∵ ∴ ∵ ∴
d2y EI Z = − M ( x) 2 dx M ( x ) = − EI Z ( 6 ax + 2 b ) d3y EI Z = Q ( x) 3 dx Q ( x ) = − EI Z ⋅ 6 a
d4y = q( x ) ∵ EI Z 4 dx q( x ) = 0 ∴
f
max
=
M 0 L2 9 3EI Z
< [ f ] 刚度满足要求。
例一、长度为L的梁AC，其EI为常数，在自由端承 受集中力P（如图），试求自由端C的挠度和转角。 解： 1）外力分析：
R A = P(↓) R B
= 2 P (↑ )
2）内力分析及挠曲线 微分方程及其积分
L 0 ≤ x1 ≤ AB段： 2 2
3. ∴ PB = 6 aEI Z
M B = EI Z ( 6 aL + 2 b )( ↵ )
例9.一等截面悬臂梁，固定端处与一半径为R的刚 性球相切。今自由端C处作用一集中力P，若梁AB 部分与刚体接触，如图所示，求C点的挠度δ？ 解：1.设CB为x，梁长为L，则
Px 1 = , x = EI Z 在B点处： EI Z R PR ( L − x)2 2.∵ δ B = 2R 1 ( L − x)2 (δ B = R − R 2 − ( L − x ) 2 ≈ ) 2 R 3 Px L− x 3. δ C = δ B + θ B ⋅ x + (θ B = ) 3EI Z R L2 ( EI Z ) 2 ∴ δC = − 2R 6P 2 R 3
材料 力学 工 程力学
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第六章 弯曲变形 一、引言 二、挠曲线的微分方程 三、用积分法求弯曲变形 四、弯曲刚度条件 五、用叠加法求弯曲变形 六、简单静不定梁
一、引言
二、挠曲线的微分方程： 1、弯曲变形的表示方法： （1）挠曲线：V=f（x） （2）挠度： V↓ （−） V V↑ (+) “−” （3）转角： θ：θ
4）确定积分常数：
D=0 x = 0, V(O ) = V( A ) = 0 得 M 0L x = L,V(L ) = V(B ) = 0 C =
所以
M 0 2 M 0L EI Zθ = − x + 2L 6
6
M0 3 M 0L EI Z V = − x + x 6L 6
5）求θA，θB。
M 0L θ A = θ (O ) = （ 6 EI Z
例2.求YB:
q( 2a ) 4 YB ( q ) = − 8 EI Z
YB = YC + θ C ⋅ a
qa qa = + ⋅a 8EI Z 6 EI Z 41qa 4 YB = − ( ↓) 24 EI Z
4 3
例3.试求下梁外伸梁C的挠度和转角(叠加法、 逐段刚化法)
解： 1）BC段变形、AB段刚化
L x1 = x2 = ,VB 左 = VB 右 2 L x1 = x2 = ,θ B 左 = θ B 右 2
边界条件：
x1 = 0,V A = 0; x2 = 0,θ A = 0
边界条件：
x1 = 0,V A = 0; x1 = 0,θ A = 0 x2 = a + L,VC = 0
连续性条件：
L2 (L − ) PL2 PL2 5PL2 2 + θ |x2 =L = − + 2P =− 2 2 24 24EIZ L 3 (L − ) PL2 PL3 PL3 2 + V |x = L = − + 2P ×L = − (↓) 6 6 24 12 EI Z
2
作业： P235 P236 6.1 (b) (d) 6.4 (d)
M 0L θ B = θ (L ) = − 3EI Z
） ）
（
EI ZV
1 ( L) 2
M 0 1 3 M 0L 1 ( L) + =− ( L) 6 2 6 2
M 0 L2 = ( ↑) 16 EI Z
V
1 ( L) 2
6）刚度校核： M 0 2 M 0L 令V ' = 0(即θ = 0处) − 2 L x + 6 = 0 L x= 3
解： 1）外力分析：
M0 RA = ( ↓) L
RB = M0 (↑ ) L
2）内力分析：（M方程） M0 M ( x) = − x (0 ≤ V M0 M0 2 EIZ 2 = − x EI Zθ = − x +C 2L L dx
M0 3 EI Z V = − x + Cx + D 6L
五、用叠加法求弯曲变形： 1. 力的叠加原理（力的独立性原理）： 在小变形前提下，当构件或结构同时作用几 个载荷时，如果各载荷与其产生的效应(支反力， 内力，应力和位移、变形等)成线性关系(互不影 响，各自独立)，则它们同时作用所产生的总效应 即等于各载荷单独作用时所产生的效应之和(代数 和、矢量和)。 2. 求梁的弯曲变形的叠加法是：分别求出各载 荷单独作用时的变形(位移),然后把各载荷在同 一处的位移进行叠加。
3 2
d V M (x) = ∴ 2 EI Z dx
2
三、用积分法求弯曲变形： dV M (x) θ = = dx + C dx EI Z M ( x) V = dx dx + Cx + D EIZ——抗弯刚度 EI Z 确定积分常数举例： 边界条件： 连续条件：
∫
∫∫
边界条件：
x1 = a ,VB = 0; x2 = a + L,VC = 0
边界条件：
x1 = 0,V A = 0;
连续性条件：
x1 = x2 = a ,VB 左 = VB 右 ; x1 = x2 = a ,θ B 左 = θ B 右
连续性条件：
RC qL x2 = L,VC = − =− k 8k
六、简单静不定梁： 1.静定梁： 静不定梁： 多余约束：除维持结构静平衡所必需的约束外 所剩下的其它约束。 多余约束反力： 静不定次数 = 约束个数 -- 静平衡方程个数
2.简单静不定梁的解法： 为了求得静不定梁的全部约束反力(支反力), 一般在原有静平衡方程的基础上,再找与静 不定次数相等个数的补充方程.补充方程的 寻求仍必须通过两个关系：变形几何关系 和物理关系。
2 2
P × ( L − x) 2 VC = [ L − x 2 − ( L − x)2 ] 6 EI Z L
例8.悬臂梁下有一刚性曲面，方程为y=ax3+bx2+c, 试问梁上作用什么样的载荷方使梁与曲面恰好 叠合？（a>0,b>0) 解： ∵边界条件 x = 0, Y( A) = 0 1.
∴ ∴ C = 0
x = 0, VA = 0 1 ql ⋅ a x = l, V B = 2 EA 四、弯曲刚度条件：
f θ
max max
≤ [f ≤ [ θ
] ]
例一、已知EIZ为常数，M0，l，求θA，θB，及中点 ML 2 的挠度；若 [ f ] = 试校核刚度。