山东省平邑县第一中学人教版高中数学必修四:2-1平面向量的实际背景及基本概念》课件
人教A版高中数学必修4课件:2-1平面向量的实际背景及基本概念
第二章·2.
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(6)正确.对于一个向量只要不改变其大小与方向,是 可以任意移动的.
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第二章·2.
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通法提炼 1求解向量的问题时不可忽视向量的大小与方向.2求 解向量的平行问题时不可忽视零向量的大小为零,方向任 意;零向量与任一向量平行;所有的零向量相等.
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6.零向量与任一向量有什么关系? 答:规定零向量与任一向量是共线向量.
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1.向量与数量的联系和区别 向量 方向 表示 方法 有 可以用有向线段 表示,也可以用 字母符号表示 位移、力、速 度、加速度 数量 无 因为实数与数轴上的点一 一对应,所以数量常常用 数轴上的一个点表示 年龄、身高、长度、面 积、体积、质量、功
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高中数学课件
第二章
平面向量
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2.1 平面向量的实际背景及基本概念
预习篇
提高篇
课堂篇
巩固篇
课时作业
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第二章·2.
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学习目标
1.知道向量的实际背景,以位移、力等物理背景抽象出 向量. 2.记住向量、相等向量的概念,会向量的几何表示. 3.记住共线向量的概念,并能找共线向量.
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第二章·2.
高中数学必修四 第二章平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念
则点������, ������, ������, ������必在同一条直线上; ⑤有向线段就是向量,向量就是有向线段. 其中说法错误的个数是( )
专题突破
题型一 题型二 题型三 题型四
题型一 向量的有关概念
【例 1】 下列说法正确的是( ) A. ������������ ∥ ������������就是������������所在的直线平行于������������所在的直线 B.长度相等的向量叫相等向量 C.零向量的长度等于 0 D.共线向量是在同一条直线上的向量 解析: ������������ ∥ ������������包含������������所在的直线与������������ 所在的直线平行和重合两种情况,故 A 项错;相等向量不仅要求长度 相等,还要求方向相同,故 B 项错;按定义,零向量的长度等于 0,故 C 项正确;共线向量可以是在一条直线上的向量,也可以是所在直线互 相平行的向量,故 D 项错. 答案:C
题型一 题型二 题型三 题型四
反思1.对向量有关概念的理解要全面、准确,要注意相等向量、 共线向量之间的区别和联系.
2.共线向量也就是平行向量,其要求是几个非零向量的方向相同 或相反,向量所在的直线可以平行,也可以重合,其中“共线”的含义 不同于平面几何中“共线”的含义.
3.零向量是与任一向量共线的,因此,向量共线不具有传递性.
题型一 题型二 题型三 题型四
解:以 A 为原点,正东方向为 x 轴正方向,正北方向为 y 轴正方向 建立直角坐标系.
人教A版高中数学必修4《2.1 平面向量的实际背景及基本概念 2.1.3 相等向量与共线向量》_60
五、教学过程 1.游戏热身
【问题 1】如果只画“横”,你能写出几个字?
【师生活动】学生集体可能回答: 一,二,三
【追问】如果只画“横”,“竖”,能写几个字?
【师生活动】教师引导学生回答。写出了很多字 一,日,甘,干,土, 十,士......
角。夹角的范围是 0,,180。
注意:两个向量必须是共起点的。 (2)向量夹角的几种特殊情况;
B
b
O
a
A
(图 4)
①当 0时, a 与 b 同向 ③当 180 时, a 与 b 反向
b
a
O
B
A
b
a
②当 90 时, a 与 b 垂直,记作 a b
例 2:在等边三角形中,求(1) AB 与 AC 的夹角; (2) AB 与 BC 的夹角.
1.数学抽象: (1)了解平面向量基本定理及其意义,学会利用平面向量基本定理解决问题,掌 握基向量表示平面上的任一向量.
2.逻辑推理:(1)通过学习平面向量基本定理,培养学生发现问题的能力;归纳总结能力。培 养学生敢于实践的创新精神,在解决问题中培养学生的应用意识。体会由特殊到一般的思维方式。
3.直观想象:(1)通过对平面向量基本定理的应用(平行四边形法则),增强学生应用向量的意 识。使学生感受到向量是处理几何问题强大的数学工具之一。 四、教学重点、难点
《平面向量的基本定理》
一、教材分析 本节课内容选自《普通高中课程标准实验教科书·数学必修 4(人教 A 版)》第二章 2.3.1 平面
向量基本定理。此前的教学内容学生主要研究了平面向量的概念和线性运算,集中反映了向量的几 何特征。向量是沟通代数,几何与三角函数的一种工具,有着及其丰富的实际背景,具有承上启下 的作用。本节课要讲解“平面向量的基本定理”的概念和应用,是研究向量正交分解和向量坐标运 算的基础。向量的坐标运算正是向量的代数形态。通过平面向量基本定理,平面中的向量与它的坐 标建立起了一种一一对应的关系,即“数”的运算处理“形”的问题的完美结合,在整个向量知识 体系中处于承上启下的核心地位。 二、学情分析
人教版高中数学必修4第二章平面向量-《2.1平面向量的实际背景及基本概念》教案(4)
平面向量的实际背景及基本概念教学目标 1. 了解向量的物理背景及在物理中的意义2. 理解向量、零向量、单位向量、相等向量的概念,会用字母表示向量,能读写已知图中的向量;3. 掌握向量的几何表示,明确向量的长度、零向量、单位向量的几何意义; 4.了解共线向量、平行向量的概念,会根据图形判定是否平行、共线、相等.本节重点向量的概念、相等向量的概念、向量的几何表示等 本节难点向量的概念 教学模式教学过程 主 要 内 容 及 板 书摘要与反思一、提出问题,引入新课: (1)我们已学了哪些既有大小又有方向的量?(2)角的正弦线、余弦线、正切线是怎样的图形? 强调已学的位移、力、速度、加速度及三角函数线等都是既有大小又有方向的量.这种量就是我们本章所要研究的向量.1.向量:既有大小,又有方向的量;2.数量:只有大小,没有方向的量。
二、新课教学(1)有向线段及有关概念一般,在线段AB 的两个端点中,规定一个顺序,终点B 一个为起点,一个为终点,我们就说线段AB 具有方向,具有方向的线段叫做有向线段. 起点A以A 为起点,B 为终点的有向线段,记作,线段AB 的长度也叫做有向线段.有向线段的三要素:起点、方向、长度. (2)向量的表示及模的概念①表示:向量通常用一条有向线段来表示,也可以用字母,,等来表示,或用表示有向线段的起点和终点的字母表示,如.②模:有向线段的长度表示向量的大小,也就是向量的长度(或称模),摘要与反思主 要 内 容 及 板 书③零向量:长度为0的向量叫做零向量,记作; ④单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量.(3)平行向量(共线向量)与相等向量的概念 ①平行向量:方向相同或相反的非零向量,叫做平行向量. 如图中,,,就是一组平行向量,记作 ∥∥.任作一条与所在直线平行的直线l ,在l 上取一点O,则可在l 上分别作出===,,.这就是说,任一组平行向量都可移到同一直线上,因此,平行向量也叫做共线向量.规定:与任一向量平行.②相等向量:长度相等且方向相同的向量,叫做相等向量.(4)例题与练习例1(课本P84例1)例2(课本P85例2)例3.有两个长度相等的向量,在什么情况下,这两个向量一定相等? 解:有下列两种情况之一,这两个向量一定相等.①两个长度相等的向量,方向也相同;②两个向量的长度都为零. 练习:1.课本P86,练习1,2,3,42.回答下列问题(1)平行向量是否一定方向相同?(不一定)(2)不相等的向量一定不平行吗? (不一定)(3)与零向量相等的向量必定是什么向量?(零向量)(4)与任何向量都平行的向量是什么向量?(零向量)(5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量?(平行(或共线向量)3.下列各种情况中,向量的终点各构成什么图形?(1) 把所有单位向量平移到同一个起点.(一个半径为1的圆)(2) 把平行于某一直线的所有单位向量平移到同一个起点.(两个点) (3) 把平行于某一直线的所有向量平移到同一个起点.(一条直线)三.小结:作 业P86 习题 2.1/A 组5;B 组2 abc abc。
高中数学 2.1平面向量的实际背景及基本概念教案2 新人教A版必修4
§2.1 平面向量的实际背景及基本概念
一、三维目标
1、知识与技能
(1)了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量的几何表示;
(2)掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念;
并能弄清平行向量、相等向量、共线向量的关系
(3)通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.
2、过程与方法
引导发现法与讨论相结合。
这是向量的第一节课,概念与知识点较多,在对学生进行适当的引导之后,应让学生清清楚楚得明白其概念,这是学生进一步获取向量知识的前提;通过学生主动地参与到课堂教学中,提高学生学习的积极性。
体现了在老师的引导下,学生的的主体地位和作用。
3、情感目标与价值观
通过对向量与数量的比较,培养学生认识客观事物的数学本质的能力,并且意识到数学与现实生活是密不可分的,是源于生活,用于生活的。
二、教学重点及难点
1重点:向量的概念,相等向量的概念,向量的几何表示等
2难点:向量的概念和共线向量的概念。
高一数学必修4课件:2-1 平面向量的实际背景及基本概念
②单位向量都相等; ③任一向量与它的相反向量不相等; ④四边形ABCD是平行四边形当且仅当A→B=D→C;
⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0; ⑥共线的向量,若起点不同,则终点一定不同. [分析] 从共线向量、单位向量、相反向量等的概念及特 征进行逐一考察,注意各自的特例对命题的影响.
设兔子沿线段 AD 进入树林,那么 D 点应该在何处,兔子 才不会被狼逮住呢?
自主预习 1.概念 (1)向量:既有__大__小___,又有_方__向__的量叫做向量,如力, 位移等. (2)数量:只有大小,没有___方__向___的量称为数量,如年龄、 身高、长度、面积、体积、质量等.
[破疑点]向量与数量的区别:向量有方向,而数量没有方
(4)有向线段的三个要素:___起__点__、__方__向__、__长__度_____.知道 了有向线段的起点、方向、长度,它的__终__点___就唯一确定.
下列物理量中不是向量的有( )
(1)质量 (2)速度 (3)力 (4)加速度 (5)路程 (6)密度
(7)功 (8)电流强度
A.5
B.4
C.3
D.2
[答案] A
[解析] 看一个量是否为向量,就要看它是否具备向量的 两个要素:大小和方向,特别是方向的要求,对各量从物理 本身的意义作出判断,(2)(3)(4)既有大小也有方向,是向量, (1)(5)(6)(7)(8)只有大小没有方向,不是向量.
2.向量的表示法
(1)几何表示:用__有__向__线__段__表示,此时有向线段的方向就
在平面上将所有模长相等的向量的起点放在同一点,则 它们的终点组成____________.
高一数学(人教A版)必修4课件:2-1 平面向量的实际背景及基本概念
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 必修4 第二章 平面向量
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课堂典例讲练
第二章 2.1
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思路方法技巧
第二章 2.1
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人教A高中数学必修4第二章 2.1平面向量的实际背景及基本概念
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2.1
平面向量的实际背景及基本概念
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考 纲 定 位 重 难
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突
破
1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景 认识向量,掌握向量与数量的区别. 2.会用有向线段作向量的几何表示,了解有向 重点:向量的概念及几何表 示;相等向量的概念; 共线向量的概念.
→ → → → → 解析:在平行四边形 ABCD 和 ABDE 中,因为AB=ED,AB=DC,所以与ED相 → → → → → → → → 等的向量为AB,DC;由题干图知与向量AB共线的向量有BA,ED,DE,CD,DC, → ,CE →. EC → 、DC → 答案:AB
→ ,ED → ,DE → ,CD → ,DC → ,EC → ,CE → BA
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[解析] 反;
(1)错误. 因为两个单位向量只是模都等于 1 个单位, 方向不一定相同或相
(2)错误.任何向量都有方向,零向量的方向是任意的; → → (3)正确.由三角形中位线性质知,DE∥BC,向量DE与CB方向相反,是平行向量; (4)错误.b 为零向量时,有 a∥b 且 b∥c,但 a 与 c 的方向可以任意变化,它们不 一定是平行向量; (5)错误.A、B、C、D 四点也可能在同一条直线上; → 与BA → 的模相等,方向相反,二者是平行向量. (6)正确.非零向量AB
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→ → 解析:(1)正确,由于|a|=|AB|=|AB|,|b|=|BA|=|BA|=|AB|,因此有|a|=|b|. (2)不正确,由单位向量的定义知,凡长度为 1 的向量均称为单位向量,但是对方 向没有任何要求,因此说法(2)不正确. → |=|BA → |,所以当AB → 是单位向量时,BA → 也是单位向量. (3)正确.因为|AB → (4)正确,由于向量|AP|=1,所以点 P 是以点 A 为圆心的单位圆上的一点.反过 → |=1,所 来,若点 P 是以点 A 为圆心,1 为半径的单位圆上的任一点,则由于|AP → 是单位向量,因此说法正确. 以向量AP
人教A版高中数学必修4《二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 2.1.2 向量的几何表示》教案_13
必修四第二章平面向量2.1向量的概念及表示教学目标1、使学生了解向量的物理实际背景,理解平面向量的一些基本概念,能正确进行平面向量的几何表示。
2、让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程,体验对比理解向量基本概念的简易性,从而养成科学的学习方法。
3、通过本节的学习,让学生感受向量的概念方法源于现实世界,从而激发学生学习数学的热情,培养学生学习数学的兴趣教学重点与难点1、重点:向量及其几何表示,相等向量、平行向量的概念。
2、难点:向量的概念及对平行向量的理解。
【知识要点】.1.向量的有关概念⑴既有又有的量叫向量.的向量叫零向量.的向量,叫单位向量.⑵叫平行向量,也叫共线向量.规定零向量与任一向量.⑶且的向量叫相等向量.【预习自测】1.下列各量中不是向量的是().浮力B.风速C.位移D.密度2.下列说法中错误..的是()A.零向量是没有方向的B.零向量的长度为C.零向量与任一向量平行.零向量的方向是任意的3.把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是()A.一条线段B.一段圆弧.圆上一群孤立点.一个单位圆4.下列命题:①方向不同的两个向量不可能是共线向量;②长度相等、方向相同的向量是相等向量;③平行且模相等的两个向量是相等向量;④若a ≠b ,则|a |≠|b |. 其中正确命题的个数是( )A .1B .2C .3D .45.下列命题中,正确的是( )A . 若a b =,则a b =B . 若a b =,则//a bC . 若a b >,则a b >D . 若1a =,则1a =【归纳反思】【巩固提高】6.在△ABC 中,AB =AC ,D 、E 分别是AB 、AC 的中点,则( )A . 与共线B . 与共线 . 与相等 D . 与相等7.已知非零向量a ∥b ,若非零向量c ∥a ,则c 与b 必定 .8.已知a 、b 是两非零向量,且a 与b 不共线,若非零向量c 与a 共线,则c 与b 必定 . 9.已知||=1,| |=2,若∠BAC =60°,则||= .10.在四边形ABCD 中, AB =,且|AB |=|AD |,则四边形ABCD 是 .参考答案知识要点:(1)大小、方向长度为0 长度等于1个单位(2)方向相同或相反的非零向量平行(3)长度相等方向相同预习自测:1.D2.A3.D4.A5.B巩固提高:6.B7.c∥b8.不共线310.菱形。
人教版高中数学高一A版必修4 第二章第一节平面向量的实际背景及基本概念
第二章第一节平面向量的实际背景及基本概念1.丰富多彩的背景,引人入胜的内容.教材首先从力、位移等量讲清向量的实际背景以及研究向量的必要性,接着介绍了平面向量的有关知识.学生将了解向量丰富的实际背景,理解平面向量及其运算的意义,能用向量语言与方法表述和解决数学、物理中的一些问题,发展运算能力和解决实际问题的能力.平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐标表示的基础,从学生熟知的功的概念出发,引出了平面向量数量积的概念及其几何意义,接着介绍了向量数量积的性质、运算律及坐标表示.向量数量积把向量的长度和三角函数联系了起来,这样为解决有关的几何问题提供了方便,特别能有效地解决线段的垂直问题.最后介绍了平面向量的应用.2.教学的最佳契机,全新的思维视角.向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”,这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的.反过来,向量的理论和方法,又成为解决物理学和工程技术的重要工具,向量之所以有用,关键是它具有一套良好的运算性质,通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算,这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题.这一章的内容虽然概念多,但大都有其物理上的来源,虽然抽象,却与图形有着密切的联系,向量应用的优越性也是非常明显的.全新的思维视角,恰当的教与学,使得向量不仅生动有趣,而且是培养学生创新精神与能力的极佳契机.3.本章充分体现出新教材特点.以学生已有的物理知识和几何内容为背景,直观介绍向量的内容,注重向量运算与数的运算的对比,特别注意知识的发生过程.对概念、法则、公式、定理等的处理主要通过观察、比较、分析、综合、抽象、概括得出结论.这一章中的一些例题,教科书不是先给出解法,而是先进行分析,探索出解题思路,再给出解法.解题后有的还总结出解决该题时运用的数学思想和数学方法,有的还让学生进一步考虑相关的问题.对知识的处理,都尽量设计成让学生自己观察、比较、猜想、分析、归纳、类比、想象、抽象、概括的形式,从而培养学生的思维能力.向量的坐标实际上是把点与数联系起来,进而可把曲线与方程联系起来,这样就可用代数方程研究几何问题,同时也可以用几何的观点处理某些代数问题.4作者:赵勇,永安三中教师,本教学设计获福建省教学设计大赛三等奖整体设计教学理念新的课程标准要求我们创造性地使用教材,积极开发、利用各种教学资源,创设教学情境,让学生通过主动参与、积极思考、合作交流和创新等过程,获得知识、能力、情感的全面发展.本节课将充分体现以“学生为本”的教学观念,实现课程理念、教学方式和学生学习方式的转变.教学目标1.通过力的分析等实例,了解向量的实际背景;理解向量的概念.2.理解向量的几何表示;掌握零向量、单位向量、平行向量等概念;3.理解相等向量和共线向量等概念,并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量的相等向量.教学重点、难点1.通过学生自主探究,并在教师的引导下,使学生理解向量的概念、相等向量的概念、向量的几何表示等是本节课的重点.2.难点是学生对向量的概念和共线向量的概念的理解.学情和教材分析《向量》是高中数学新教材必修四第二章第1节.向量是近代数学中重要和基本的概念之一,有深刻的几何背景,是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后,全等和平行(平移)、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加(减)法、数乘向量、数量积运算,从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系.向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景,在数学和物理学科中具有广泛的应用.所以,向量是高考必考的重点内容,又因为其抽象性,它还是学生在学习中的一个难学内容.本节内容是向量一章的第一节课,因此,是十分关键、重要的一节课.教学准备多媒体课件教学过程导入新课位置是几何学研究的重要内容之一,几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.如图1,如何由点A确定点B的位置?图1一种常用的方法是,以A为参照点,用B点A点之间的方位和距离确定B点的位置.如,B点在A点东偏南45°,30千米处.这样,在A点与B点之间,我们可以用有向线段AB表示B点相对于A点的位置.有向线段AB就是A点与B点之间的位移.位移简明地表示了位置之间的相对关系.像位移这种既有大小又有方向的量,加以抽象,就是我们本章要研究的向量.推进新课新知探究本章引言中,我们知道,位移是既有大小,又有方向的量,你还能举出一些这样的量吗?图2请大家阅读课本2.1.1向量的物理背景与概念;2.1.2向量的几何表示.并回答下面问题: (1)什么是向量?向量和数量有何不同? (2)向量如何表示?(3)什么是零向量和单位向量? (4)什么是平行向量?待学生阅读完后,老师总结并展示课件: 1.什么是向量?向量和数量有何不同?(数量:只有大小,没有方向的量) 在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、体积这些量中,哪些是数量?哪些是向量? 数量有:质量、身高、面积、体积 向量有:重力、速度、加速度提问:角度,海拔,温度是向量吗? 2.向量如何表示?(1)几何表示——向量常用有向线段表示:有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向.图3 注:以A 为起点,B 为终点的有向线段记为AB →,线段AB 的长度记作|AB →|(读为模); (2)也可以表示为a ,b ,c ,…,大小记作:|a|、|b|、|c |、…说明一:我们所说的向量,与起点无关,用有向线段表示向量时,起点可以取任意位置.所以数学中的向量也叫自由向量.如图4:它们都表示同一个向量.图4练习:向量AB →和BA →是同一个向量吗?为什么? 不是,方向不同.探究:向量就是有向线段吗?有向线段就是向量吗? 说明二:有向线段与向量的区别: 有向线段:有固定起点、大小、方向.向量:可选任意点作为向量的起点、有大小、有方向.图5有向线段AB →、CD →是不同的.图6向量AB →、CD →是同一个向量. 3.什么是零向量和单位向量?零向量:长度为0的向量,记为0; 单位向量:长度为1的向量.注:零向量,单位向量都是只限制大小,不确定方向的. 向量之间的关系: 4.什么是平行向量?方向相同或相反的非零向量叫平行向量. 注:1.若是两个平行向量,则记为a ∥b .2.我们规定,零向量与任一向量平行,即对任意向量a ,都有0∥a . 练习:判断下列各组向量是否平行?图7向量的平行与线段的平行有什么区别? 练习:已知下列命题:(1)向量AB →和向量BA →长度相等;(2)方向不同的两个向量一定不平行;(3)向量就是有向线段;(4)向量0=0;(5)向量AB →大于向量CD →.其中正确命题的个数是( )A .0B .1C .2D .3 答案:B例1试根据图8中的比例尺以及三地的位置,在图中分别用向量表示A 地至B 、C 两地的位移,并求出A 地至B 、C 两地的实际距离(精确到1 km).图8请同学们阅读课本2.1.3相等向量与共线向量,并回答问题:什么是相等向量和共线向量?待学生回答后,老师总结并展示课件: 5.什么是相等向量和共线向量?长度相等且方向相同的向量叫相等向量.a =b =c A 1B 1→=A 2B 2→=A 3B 3→=A 4B 4→图9注:1.若向量a ,b 相等,则记为a =b ;2.任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.平行向量也叫共线向量.注:任一组平行向量都可以平移到同一直线上. 练习:判断下列命题是否正确:(1)两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同;(2)若|a|=|b |,则a =b ;(3)若AB →=DC →,则四边形ABCD 是平行四边形;(4)平行四边形ABCD 中,一定有AB →=DC →;(5)若m =n ,n =k ,则m =k ;(6)若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c .其中不正确命题的个数是( )A .2B .3C .4D .5 答案:C练习:下列说法正确的是( ) A .若|a|>|b|,则a>b B .若|a |=0,则a =0C .若|a|=|b|,则a =b 或a =-bD .若a ∥b ,则a =bE .若a =b ,则|a|=|b |F .若a ≠b ,则a 与b 不是共线向量G .若a =0,则-a =0 答案:EG例2如图10,设O 是正六边形ABCDEF 的中心,分别写出图中与OA →、OB →、OC →相等的向量.图10解:OA →=CB →=DO →, OB →=DC →=EO →, OC →=AB →=ED →=FO →.练习:如图11,EF 是△ABC 的中位线,AD 是BC 边上的中线,在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的有向线段表示的向量中请分别写出:图11(1)与向量CD →共线的向量有________个,分别是________________________________;(2)与向量DF →的模一定相等的向量有________个,分别是______________________;(3)与向量DE →相等的向量有________个,分别是__________.答案:(1)7 DC →、DB →、BD →、FE →、EF →、CB →、BC → (2)5 FD →、EB →、BE →、EA →、AE →(3)2 CF →、FA →课堂小结 通过本节课的学习,要求大家能够理解向量的概念;掌握向量的几何表示;理解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念,并能进行简单的应用.作业习题2.1A 组2,5设计思路1.首先先对本节课教材内容进行分析2.教材内容的安排和处理根据我所教学生的特点,我对教材进行了如下处理,先由物理中的位置关系导入新课,然后提出问题,并要求学生带着问题去阅读课本,最后由老师总结,并对概念进行概念辨析,以加大学生的思维的深度,拓宽了学生的视野,实现本节课难点的突破,整堂课充分发挥学生的主导作用.3.教法“问题是数学的灵魂,也是学好数学的必然手段”,本节课总体上以问题串的形式,设计为七问五练.着重抓四个知识点,突出学生的“主导地位”.并通过多媒体课件的演示,直观展示向量的有关内容,激发学生的兴趣.4.学法指导以问题为载体,通过提问、阅读、归纳,练习的过程,掌握思考、讨论、交流的学习方法,并体验探究和发现的乐趣.。
【说课稿】人教A版数学必修4 2.1平面向量的实际背景及基本概念 说课稿
《平面向量的实际背景及基本概念》说课稿---人教A版必修4第二章2.1一、教材结构与内容简析1 本节内容在全书及章节的地位:《平面向量的实际背景及基本概念》出现在高中数学必修4第二章第一节。
本节内容是传统意义上《平面解析几何》的基础部分,因此,在《数学》这门学科中,占据极其重要的地位。
2 数学思想方法分析:(1)从“向量可以用有向线段来表示”所反映出的“数”与“形”之间的转化,就可以看到《数学》本身的“量化”与“物化”。
(2)从建构手段角度分析,在教材所提供的材料中,可以看到“数形结合”思想。
二、教学目标根据上述教材结构与内容分析,考虑到学生已有的认知结构心理特征,制定如下教学目标:1 基础知识目标:掌握“向量”的概念及其表示方法,能利用它们解决相关的问题。
2 能力训练目标:逐步培养学生观察、分析、综合和类比能力,会准确地阐述自己的思路和观点,着重培养学生的认知和元认知能力。
3 创新素质目标:引导学生从日常生活中挖掘数学内容,培养学生的发现意识和整合能力;《平面向量的实际背景及基本概念》的教学旨在培养学生的“知识重组”意识和“数形结合”能力。
4 个性品质目标:培养学生勇于探索,善于发现,独立意识以及不断超越自我的创新品质。
三、教学重点、难点、关键重点:向量概念的引入及理解零向量,单位向量,平行向量和共线向量的概念. 难点:“数”与“形”完美结合。
关键:本节课通过“数形结合”,着重培养和发展学生的认知和变通能力。
四、教材处理建构主义学习理论认为,建构就是认知结构的组建,其过程一般是先把知识点按照逻辑线索和内在联系,串成知识线,再由若干条知识线形成知识面,最后由知识面按照其内容、性质、作用、因果等关系组成综合的知识体。
本课时为何提出“数形结合”呢,应该说,这一处理方法正是基于此理论的体现。
其次,本节课处理过程力求达到解决如下问题:知识是如何产生的?如何发展?又如何从实际问题抽象成为数学问题,并赋予抽象的数学符号和表达式,如何反映生活中客观事物之间简单的和谐关系。
必修四2-1-1~3平面向量的实际背景及概念
→ 的长度,记作 |AB →| . 向、长度.线段 AB 的长度叫做有向线段AB (2)向量的几何表示法 以A为
起点
,以 B 为
→. 终点 的有向线段记作AB
→ 表示一个向量,通常我们就说向量AB →. 如果有向线段AB
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(3)用字母表示向量 通常在印刷时,用黑体小写字母 a,b,c„表示向量,在手写 时用带箭头的小写字母 a,b,c,„表示向量. →, →. 也可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示, 如AB CD
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自学导引 1.向量 即有
大小 ,又有 方向 的量叫向量.
想一想:两个向量能否比较大小? 提示 不能.虽然长度可以比较,但方向不能比较大小.
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2.向量的几何表示 (1)有向线段 带有 方向 的线段,叫做有向线段, A 的过程分析可知方向相同的向量也不能比较大小, ∴B 不正确;C 中向量的大小即向量的模,指的是有向线段的 长度,与方向无关,∴C 不正确;D 中向量的模是一个数量, 可以比较大小,∴D 正确. 答案 D
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题型二 向量的表示 【例 2】 在如图的方格纸上,已知向量 a, 每个小正方形的边长为 1. (1)试以 B 为终点画一个向量 b,使 b=a; (2)在图中画一个以 A 为起点的向量 c,使 |c|= 5,并说出向量 c 的终点的轨迹是什么? [思路探索] 用有向线段表示向量时,要注意有向线段的起点和 终点位置.
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3.与向量有关的概念 (1)零向量:长度为 0 的向量叫做零向量,记作 0 . (2)单位向量:长度为 1 的向量叫做单位向量. (3)相等向量: 长度相等 且 (4)平行向量(共线向量): 方向 平行向量,也叫共线向量. ①记法:向量 a 平行于 b,记作 a∥b. ②规定:零向量与 任一向量 平行.
高中数学 2.1平面向量的实际背景及基本概念课件 新人教A版必修4
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(1)相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
向量a 与 b 相等,记作a b.
C
D
A
BC
D A
B
注意: (1)两个向量不能比较大小,只有“相等”与“不相等”的区别.
(2)零向量与零向量相等;
(3)对于一个向量,只要不改变它的大小和方向,是可以平行移动
的.因此任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段表示,并
-1 0 1 2 3
一个实数,可用数轴上的点表示; 一个二次函数,可用一条抛物线表示; 一个角的正弦、余弦和正切,可用三角函数线(有向线段) 表示… 数学中有许多量都可以用几何方式表示.
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B(终点)
在线段AB的两个端点中,规定一个顺序, 假设A为起点,B为终点,就说线段AB具有
方向,具有方向的线段叫做有向线段.
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(2)向量的几何表示 ——用有向线段表示.
画图时,我们常用有向线段来表示向量 ,线段按一定比例(标度) 画出.其中有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示 向量的方向.
B
a
A
(3)向量的表示方法:
一般可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如 AB,CD,
若表示向量的有向线段没有标注起点和终点字母,向量也可用黑体
且与有向线段的起点的选取无关;
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向量与有向线段的区别:
(1)向量是自由向量,只有大小和方向两个要素; 只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向量;
(2)有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同, 尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段.
即向量和有向线段是两个不同的概念.由于有向线段具有 长度和方向双重特征,所以向量可以用有向线段表示,但 不能说向量就是有向线段,二者只是一种对应关系.
高中数学人教A版必修四课件:2-1 平面向量的实际背景及基本概念
平面向量
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
要点 1
向量
定义 即有大小又有方向的量叫做向量 几何表示:用有向线段来表示向量,有向线 段的长度表示向量的大小,用箭头所指的方
表示法
向表示向量的方向.即用表示有向线段起点、 → ,BC → ,… 终点的字母表示,例如:AB
字母表示:用小写 字母 a,b,…表示 模 →| 向量的长度叫做向量的模,记作|a|或|AB
3.a∥b,b∥c⇒a∥c 对吗?
答:不对,因为 b=0 时,原式不成立.
4.如何计算与非零向量 a 共线的单位向量?
a 答:a0=± |a|
5 .向量的最大特点在于其“自由”性,因此共线向量和平 行向量等同, 那么 “共线” 的含义与平面几何中 “共线” 相同吗?
答:不同.
→ 表示,但手写必须是→ → 6.向量印刷体可用黑体 a,AB a 或 AB 形式. 7.0 与 0 的区别. 8.向量平行与直线平行的区别.
③正确.∵a=b,∴a、b 的长度相等且方向相同. 又∵b=c,∴b、c 的长度相等且方向相同.∴a、c 的长度相 等且方向相同.故 a=c. ④不正确.当 a∥b,但方向相反时,即使|a |= |b |,也不能得 到
|a |= |b |, a=b,故 不是 a∥b,
a=b 的等价条件.
课 时 学 案
题型一 例 1 判断下列命题的真假: ①温度是向量.
向量定义
②作用力与反作用力是一对大小相等,方向相反的向量. ③直角坐标系中的 x 轴和 y 轴都是向量.
【解析】 ②真命题; ③假命题:x 轴和 y 轴是直线,其方向是人为添加的,它不是 事物本身的性质,且其无大小. ①假命题:温度不具有方向性;
人教版高中数学必修4学案 2.1 平面向量的实际背景及基本概念
2.1 平面向量的实际背景及基本概念[学习目标] 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量,掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示,了解有向线段与向量的联系与区别,会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念,会辨识图形中这些相关的概念.[知识链接]1.力和位移都是既有大小,又有方向的量,在物理学中常称为矢量,在数学中称为向量;而把那些只有大小,没有方向的量,在数学中称为数量,在物理学中常称为标量. 2.已知下列各量:①力;②功;③速度;④质量;⑤温度;⑥位移;⑦加速度;⑧重力;⑨路程;⑩密度.其中是数量的有②④⑤⑨⑩,是向量的有①③⑥⑦⑧. 3.向量与数量有什么联系和区别?答 联系是向量与数量都是有大小的量;区别是向量有方向且不能比较大小,数量无方向且能比较大小. [预习导引]1.向量:既有大小,又有方向的量叫做向量.2.向量的几何表示:以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →. 3.向量的有关概念:(1)零向量:长度为0的向量,叫做零向量,记作0. (2)单位向量:长度等于1个单位的向量叫做单位向量. (3)相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.(4)平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,也叫共线向量. ①记法:向量a 平行于b ,记作a ∥b . ②规定:零向量与任一向量平行.要点一 向量的概念 例1 给出下列各命题: (1)零向量没有方向; (2)若|a |=|b |,则a =b ; (3)单位向量都相等; (4)向量就是有向线段;(5)两相等向量若其起点相同,则终点也相同; (6)若a =b ,b =c ,则a =c ; (7)若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c ;(8)若四边形ABCD 是平行四边形,则AB →=CD →,BC →=DA →. 其中正确命题的序号是________. 答案 (5)(6)解析 (1)该命题不正确,零向量不是没有方向,只是方向不定;(2)该命题不正确,|a |=|b |只是说明这两向量的模相等,但其方向未必相同; (3)该命题不正确,单位向量只是模为单位长度1,而对方向没要求;(4)该命题不正确,有向线段只是向量的一种表示形式,但不能把两者等同起来;(5)该命题正确,因两相等向量的模相等,方向相同,故当它们的起点相同时,其终点必重合;(6)该命题正确.由向量相等的定义知,a 与b 的模相等,b 与c 的模相等,从而a 与c 的模相等;又a 与b 的方向相同,b 与c 的方向相同,从而a 与c 的方向也必相同,故a =c ; (7)该命题不正确.因若b =0,则对两不共线的向量a 与c ,也有a ∥0,0∥c ,但a c 不成立;(8)该命题不正确.如图所示,显然有AB →≠CD →,BC →≠DA →.规律方法 要充分理解与向量有关的概念,明白它们各自所表示的含义,搞清它们之间的区别是解决与向量概念有关问题的关键. 跟踪演练1 下列命题中,正确的是( ) A .a ,b 是两个单位向量,则a 与b 相等 B .若向量a 与b 不共线,则a 与b 都是非零向量 C .两个相等的向量,起点、方向、长度必须都相同 D .共线的单位向量必是相等向量 答案 B解析 若a 与b 中有一个是零向量,则a 与b 是平行向量. 要点二 向量的表示例2 在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1),用直尺和圆规画出下列向量:(1)OA →,使|OA →|=42,点A 在点O 北偏东45°; (2)AB →,使|AB →|=4,点B 在点A 正东; (3)BC →,使|BC →|=6,点C 在点B 北偏东30°.解 (1)由于点A 在点O 北偏东45°处,所以在坐标纸上点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等.又|OA →|=42,小方格边长为1,所以点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4,于是点A 位置可以确定,画出向量OA →如图所示.(2)由于点B 在点A 正东方向处,且|AB →|=4,所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4,纵向小方格数为0,于是点B 位置可以确定,画出向量AB →如图所示.(3)由于点C 在点B 北偏东30°处,且|BC →|=6,依据勾股定理可得:在坐标纸上点C 距点B的横向小方格数为3,纵向小方格数为33≈5.2,于是点C 位置可以确定,画出向量BC →如图所示.规律方法 在画图时,向量是用有向线段来表示的,用有向线段的长度表示向量的大小,用箭头所指的方向表示向量的方向.应该注意的是有向线段是向量的表示,并不是说向量就是有向线段.跟踪演练2 中国象棋中规定:马走“日”字.下图是中国象棋的半个棋盘,若马在A 处,可跳到A 1处,也可跳到A 2处,用向量AA 1→或AA 2→表示马走了“一步”.试在图中画出马在B ,C 处走了“一步”的所有情况.解 根据规则,画出符合要求的所有向量. 马在B 处走了“一步”的情况如图(1)所示; 马在C 处走了“一步”的情况如图(2)所示.要点三 相等向量与共线向量例3 如图,在正方形ABCD 中,M ,N 分别为AB 和CD 的中点,在以A ,B ,C ,D ,M ,N 为起点和终点的所有向量中,相等的向量分别有多少对?解 不妨设正方形的边长为2,则以A ,B ,C ,D ,M ,N 为起点和终点的向量中:(1)模为2的相等向量共有8对,AB →=DC →,BA →=CD →,AD →=BC →,DA →=CB →,AD →=MN →,DA →=NM →,BC →=MN →,CB →=NM →.(2)模为1的相等向量有12对,其中与AM →同向的有MB →,DN →,NC →,这四个向量组成相等的向量有6对,即AM →=MB →,AM →=DN →,AM →=NC →,MB →=DN →,MB →=NC →,DN →=NC →,同理与AM→反向的也有6对.(3)模为5的相等向量共有4对,AN →=MC →,NA →=CM →,MD →=BN →,DM →=NB →.规律方法 判断一组向量是否相等,关键是看这组向量是否方向相同,长度相等,与起点和终点的位置无关.对于共线向量,则只要判断它们是否同向或反向即可. 跟踪演练3 如图所示,O 为正方形ABCD 对角线的交点,四边形OAED 、OCFB 都是正方形. (1)写出与AO →相等的向量; (2)写出与AO →共线的向量; (3)向量AO →与CO →是否相等?解 (1)与AO →相等的向量为:OC →、BF →、ED →.(2)与AO →共线的向量为:OA →、OC →、CO →、AC →、CA →、ED →、DE →、BF →、FB →. (3)向量AO →与CO →不相等,因为AO →与CO →的方向相反,所以它们不相等.1.下列说法正确的是( ) A .零向量没有大小,没有方向 B .零向量是唯一没有方向的向量 C .零向量的长度为0D .任意两个单位向量方向相同 答案 C解析 零向量的长度为0,方向是任意的,故A ,B 错误,C 正确.任意两个单位向量的长度相等,但方向不一定相同,故D 错误.2.如图,在四边形ABCD 中,若AB →=DC →,则图中相等的向量是( ) A.AD →与CB → B.OB →与OD → C.AC →与BD → D.AO →与OC →答案 D解析 ∵AB →=DC →,∴四边形ABCD 是平行四边形,∴AC 、BD 互相平分,∴AO →=OC →. 3.如图,在△ABC 中,若DE ∥BC ,则图中是共线向量的有________.答案 ED →与CB →,AD →与BD →,AE →与CE →4.在四边形ABCD 中,AB →∥CD →且|AB →|≠|CD →|,则四边形ABCD 的形状是________. 答案 梯形解析 ∵AB →∥CD →且|AB →|≠|CD →|,∴AB ∥DC ,但AB ≠DC ,∴四边形ABCD 是梯形.1.向量是既有大小又有方向的量,从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征,因此借助于向量,我们可以将某些代数问题转化为几何问题,又可以将几何问题转化为代数问题,故向量能起数形结合的桥梁作用.2.共线向量与平行向量是一组等价的概念.平行向量是指向量所在直线平行或重合即可,是一种示意平行.3.注意两个特殊向量——零向量和单位向量,零向量与任何向量都平行,单位向量有无穷多个,起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆.一、基础达标 1.有下列说法:①若向量a 与向量b 不平行,则a 与b 方向一定不相同; ②若向量AB →,CD →满足|AB →|>|CD →|,且AB →与CD →同向,则AB →>CD →; ③若|a |=|b |,则a ,b 的长度相等且方向相同或相反; ④由于零向量方向不确定,故其不能与任何向量平行. 其中,正确说法的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 答案 A解析 对于①,由共线向量的定义知,两向量不平行,方向一定不相同,故①正确; 对于②,因为向量不能比较大小,故②错误;对于③,由|a |=|b |,只能说明a ,b 的长度相等,确定不了它们的方向,故③错误; 对于④,因为零向量与任一向量平行,故④错误.2.下列说法正确的是( )A .数量可以比较大小,向量也可以比较大小B .方向不同的向量不能比较大小,但同向的可以比较大小C .向量的大小与方向有关D .向量的模可以比较大小 答案 D解析 向量不能比较大小,但是向量的模是实数,可以比较大小. 3.给出下列五个命题:①两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同; ②若|a |=|b |,则a =b ;③若AB →=DC →,则四边形ABCD 是正方形; ④在平行四边形ABCD 中,一定有AB →=DC →; ⑤若m =n ,n =k ,则m =k . 其中不正确的命题的个数为( ) A .2 B .3 C .4 D .5答案 B解析 不正确的是①②③.4.设O 是正方形ABCD 的中心,则向量AO →,BO →,OC →,OD →是( ) A .相等的向量 B .平行的向量 C .有相同起点的向量 D .模相等的向量 答案 D解析 这四个向量的模相等.5.若a 为任一非零向量,b 为模为1的向量,下列各式:①|a |>|b |;②a ∥b ;③|a |>0;④|b |=±1,其中正确的是( ) A .①④ B .③ C .①②③ D .②③ 答案 B解析 a 为任一非零向量,故|a |>0.6.如图,等腰梯形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点P ,点E ,F 分别在两腰AD ,BC 上,EF 过点P ,且EF ∥AB ,则( )A.AD →=BC →B.AC →=BD →C.PE →=PF →D.EP →=PF → 答案 D解析 由平面几何知识知,AD →与BC →方向不同,故AD →≠BC →;AC →与BD →方向不同,故AC →≠BD →;PE →与PF →模相等而方向相反,故PE →≠PF →;EP →与PF →模相等且方向相同, ∴EP →=PF →.7.如图,在四边形ABCD 中,AB →=DC →,N 、M 分别是AD 、BC 上的点,且CN →=MA →. 求证:DN →=MB →.证明 ∵AB →=DC →,∴|AB →|=|CD →|且AB ∥CD , ∴四边形ABCD 是平行四边形, ∴|DA →|=|CB →|,且DA ∥CB . 又∵DA →与CB →的方向相同,∴CB →=DA →.同理可证,四边形CNAM 是平行四边形, ∴CM →=NA →.∵|CB →|=|DA →|,|CM →|=|NA →|, ∴|DN →|=|MB →|.∵DN ∥MB 且DN →与MB →的方向相同,∴DN →=MB →. 二、能力提升8.下列结论中,正确的是( )A .2 010 cm 长的有向线段不可能表示单位向量B .若O 是直线l 上的一点,单位长度已选定,则l 上有且仅有两个点A ,B ,使得OA →,OB →是单位向量C .方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量不可能是平行向量D .一个从A 点向东走500米到达B 点,则向量AB →不能表示这个人从A 点到B 点的位移答案 B解析 一个单位长度取作2 010 cm 时,2 010 cm 长的有向线段刚好表示单位向量,故A 错误;B 正确;C 中两向量为平行向量;D 选项的AB →表示从点A 到点B 的位移. 9.如图,已知四边形ABCD 为正方形,△CBE 为等腰直角三角形,回答下列问题:(1)图中与AB →共线的向量有_____________________________________; (2)图中与AB →相等的向量有____________; (3)图中与AB →模相等的向量有____________. 答案 (1)BA →,BE →,EB →,AE →,EA →,CD →,DC →(2)DC →,BE →(3)BA →,BE →,EB →,DC →,CD →,AD →,DA →,BC →,CB →10.一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点,然后又改变方向向北偏西40°走了200 km 到达C 点,最后又改变方向,向东行驶了100 km 到达D 点. (1)作出向量AB →、BC →、CD →; (2)求|AD →|.解 (1)向量AB →、BC →、CD →如图所示:(2)由题意,易知AB →与CD →方向相反,故AB →与CD →共线,又|AB →|=|CD →|,∴在四边形ABCD 中,AB 綊CD .∴四边形ABCD 为平行四边形. ∴AD →=BC →,∴|AD →|=|BC →|=200 km.11.一位模型赛车手遥控一辆赛车沿正东方向向前行进1米,逆时针方向转变α度,继续按直线向前行进1米,再逆时针方向转变α度,按直线向前行进1米,按此方法继续操作下去.(注:至少转变两次方向)(1)按1∶100比例作图说明当α=45°时,操作几次时赛车的位移为零; (2)按此法操作使赛车能回到出发点,α应满足什么条件? 解 (1)如图所示,操作8次后,赛车的位移为零;(2)要使赛车能回到出发点,只需赛车的位移为零,按(1)的方式作图,则所作图形是内角为180°-α的正多边形,故有:n (180°-α)=(n -2)180°.∴即α=360°n,n 为不小于3的整数.12.如图平面图形中,已知AA ′→=BB ′→=CC ′→.求证: (1)△ABC ≌△A ′B ′C ′; (2)AB →=A ′B ′→,AC →=A ′C ′→. 证明 (1)∵AA ′→=BB ′→, ∴|AA ′→|=|BB ′→|,且AA ′→∥BB ′→. 又∵A 不在BB ′→上,∴AA ′綊BB ′. ∴四边形AA ′B ′B 是平行四边形. ∴|AB →|=|A ′B ′→|.同理|AC →|=|A ′C ′→|,|BC →|=|B ′C ′→|. ∴△ABC ≌△A ′B ′C ′.(2)∵四边形AA ′B ′B 是平行四边形, ∴AB →∥A ′B ′→,且|AB →|=|A ′B ′→|. ∴AB →=A ′B ′→.同理可证AC →=A ′C ′→.三、探究与创新13.如图,在平行四边形ABCD 中,O 是两对角线AC ,BD 的交点,设点集S ={A ,B ,C ,D ,O },向量集合T ={MN →|M ,N ∈S ,且M ,N 不重合},试求集合T 中元素的个数.解 由题意知,集合T 中的元素实质上是S 中任意两点连成的有向线段,共有20个,即AB →,AC →,AD →,AO →;BA →,BC →,BD →,BO →;CA →,CB →,CD →,CO →;DA →,DB →,DC →,DO →;OA →,OB →,OC →,OD →.由平行四边形的性质可知,共有8对向量相等,即AB →=DC →,AD →=BC →,DA →=CB →,BA →=CD →,AO →=OC →,OA →=CO →,DO →=OB →,OD →=BO →. ∵集合中元素具有互异性,高中数学-打印版∴集合T中的元素共有12个.精校版。
人教高中数学必修4课件:2.1平面向量的实际背景及基本概念
线段AB的长度也叫做有向线段AB的模, 记作:A B 有向线段三要素:起点、方向、长度.
思考:向量的几何表示是有向线段。那么“向量就 是有向线段,有向线段就是向量”这种说法正确吗?
结论:不对.有向线段只是一个几何图形,是向量的直观表 示,即有向线段是向量的一种表示方法,它与起点有关, 而向量只与大小方向有关,与起点没有关系。每一条有向 线段对应着一个向量,但每一个向量对应着无数多条有向 线段我们所学的向量是指自由向量。
C
o
A
B
l
OC = c
OA = a OB = b
平行向量包括 对应的有向线 段平行或重合 两种情况,统 称共线向量; 分同向共线与
平行向量又叫做共线向量
反向共线。
探究问题四 概念巩固
判断对错
× 1.若非零向量AB//CD ,那么直线 AB//CD( )
× 2.若a //b ,则a与b的方向一定相同或相反( )
现在像位移、力…….这些既有大小又 有方向的量数学中对它进行抽象得到一 种新的量。
故事:南辕北辙 ————《战国 策》
方向
1.向量的定义
既有大小,又有方向的量叫做向量(物理学中称为矢量)
只有大小,没有方向的量(年龄、身高、长度等)叫 做数量(物理学中称为标量) 判断一个量是不是向量,关键看它是否具备向量的两要 素:大小和方向.同时具备这两个要素的量才是向量, 否则就不是向量. 例如,已知下列各量: ①力;②功;③速度;④质量;⑤温度;⑥位移;⑦加 速度;⑧重力;⑨路程;⑩密度. 其中是数量的有 ,是向量的有 .
必在一直线上;( × )
②单位向量都相等;( ×)
③任一向量与它的相反向量 (长度相等,方向相
高中数学_平面向量的实际背景及基本概念教学设计学情分析教材分析课后反思
平面向量的实际背景及基本概念教学设计本节课的内容是数学必修4,第二章《平面向量》的引言和第一节平面向量的实际背景及基本概念两部分,所需课时为1课时。
一教材分析向量是近代数学最重要和最基本的数学概念之一,它是沟通代数、几何与三角函数的桥梁,对更新和完善中学数学知识结构起着重要的作用。
向量集数与形于一身,有着极其丰富的实际背景,在现实生活中随处可见的位移、速度、力等既有大小又有方向的量是它的物理背景,有向线段是它的几何背景。
向量就是从这些实际对象中抽象概括出来的数学概念,经过研究,建立起完整的知识体系之后,向量又作为数学模型,广泛地应用于解决数学、物理学科及实际生活中的问题,因此它在整个高中数学的地位是不言而喻的。
本课是“平面向量”的起始课,具有“统领全局”的作用。
本节概念课,重要的不是向量的形式化定义及几个相关概念,而是能让学生去体会认识与研究数学新对象的方法和基本思路,进而提高提出问题,解决问题的能二学情分析在学生的已有经验中,与本课内容相关的有:数的抽象过程、实数的绝对值(线段的长度)、数的相等、单位长度、0和1的特殊性、线段的平行与共线等。
三目标定位根据以上的分析,本节课的教学目标定位:1)、知识目标⑴通过对位移、速度、力等实例的分析,形成平面向量的概念;⑵学会平面向量的表示方法,理解向量集形与数于一身的基本特征;⑶理解零向量、单位向量、相等向量、平行向量的含义。
2)、能力目标培养用联系的观点,类比的方法研究向量;获得研究数学新问题的基本思路,学会概念思维;3)、情感目标使学生自然的、水到渠成的实现“概念的形成”;让学生积极参与到概念本质特征的概括活动中,享受寓教于乐。
重点:向量概念、向量的几何表示、以及相等向量概念;难点:让学生感受向量、平行或共线向量等概念形成过程;四、教学过程概述:4.1 向量概念的形成4.1.1 让学生感受引入概念的必要性引子:章节引言意图:向量概念不是凭空产生的。
用这一简单直观的问题让学生感受“既有大小又有方向的量”的客观存在,自然引出学习内容,学生会有亲切感,有助于激发学习兴趣。
山东省平邑县高中数学第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念导学案无答案新人教A版必修4
2.1平面向量的实际背景及基本概念【学习目标】1.了解平面向量的实际背景,理解平面向量的概念,掌握向量的几何表示,学会用字母表示向量;2.理解向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念.【新知自学】新知梳理1.向量的概念:我们把既有又有的量叫向量.2、叫做有向线段.以A为起点,B为终点的有向线段记作 . 有向线段包括三个要素: 、、 .3、向量的表示方法有两种,即或4、向量AB的大小,也就是向量AB的(或模),记作 .长度为0的向量叫做;长度为1的向量叫做 .5、的向量叫做平行向量.向量a与向量b平行,通常记作 .规定零向量与向量平行.6、的向量叫做相等向量,若向量a与向量b相等,记作7、共线向量与相等向量的关系是思考感悟1、数量与向量有何区别?2、有向线段和线段有何区别和联系?分别可以表示向量的什么?3、共线向量用有向线段表示时必须在同一直线上吗?对点练习:1.判断正误:(1)不相等的向量一定不平行.(2)平行向量一定方向相同.(3)共线向量一定在同一直线上.2.填空:(1)与零向量相等的向量必定是________向量(2)与任意向量都平行的向量是_________向量(3)两个非零向量相等,当且仅当_____ _____(4)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是_______向量3.给出下列物理量:①密度;②温度;③速度;④质量;⑤功;⑥位移. 正确的是 ( )A. ①②③是数量,④⑤⑥是向量B. ②④⑥是数量,①③⑤是向量C. ①④是数量,②③⑤⑥是向量D. ①②④⑤是数量,③⑥是向量4. 下列说法错误的是 ( )A. 向量与的长度相同B. 单位向量的长度都相等C. 向量的模是一个非负实数D. 非零向量与CD 是平行向量,则直线AB 与直线CD 平行【合作探究】 典例精析:例1O 是正六边形ABCDEF 的中心, 分别写出图中与向量、、相等的向量.变式练习1: 例1中,与向量长度相等的向量有多少个?D E O B A C FF D A B C 变式练习2:例1中,是否存在与向量OA 、OB 、OC 长度相等、方向相反的向量?例2. . 如图,D 、E 、F 分别是ΔABC 的边AB 、BC 、CA 的中点,写出以A 、B 、C 、D 、E 、F 这六个点中任意两个点为起点和终点的向量中,与平行的所有向量.变式练习3:例2中,与向量,共线的向量有哪些?【课堂小结】【当堂达标】1. 关于零向量,下列说法中错误的是 ( )A. 零向量是没有方向的B. 零向量的长度是0C. 零向量与任一向量平行D. 零向量的方向是任意的2. 若向量与任意向量都平行,则=_ __;若||=1,则向量是 .3. 把平面上一切单位向量的起点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是 .4. 把平行于某一直线的一切向量平移到同一起点,则这些向量的终点构成的图形是_______.5. 如图,ABCD的对角线交于点O,则在以A、B、C、D、O这五个点中任意两个点为起点和终点的向量中,与和都不平行的向量有哪些?COA【课时作业】1. 给出下列命题:①向量的大小是实数②平行向量的方向一定相同③向量可以用有向线段表示④单位向量都相等正确的有 .2. 给出下列命题:①若||=0,则=0;②若是单位向量,则||=1;③与不平行,则与都是非零向量.④如果//, //,那么//其中真命题是(填序号)3. 下列各组中的两个量是不是向量?如果是向量,说明它们是不是平行向量.(1) 两个平面图形各自的面积.(2) 停放在广场上的两辆小汽车各自受到的重力.(3) 小船驶向河对岸的速度与水流速度.(4) 浮在水面的物体受到的重力与与浮力.4. 如图所示,已知矩形ABCD,对角线上向量AC与BD的关系是5. 如图所示,四边形ABCD和BCED都是平行四边形,(1)写出与BC→相等的向量:_______.(2)写出与BC→共线的向量:____ ___.*(3)写出与AB的模相等的向量:*6.如图,四边形ABCD为正方形,△BCE为等腰直角三角形.以图中各点为起点和终点,写出与向量AB的BACDD C模相等的所有向量.*7. 某人从A 点出发向西走了200m 到达B 点,然后改变方向,向西偏北 60的方向走450m 到达C 点,最后又改变方向,向东走200m 到达D 点.(1)做出向量CD BC AB ,,(1cm 表示200米);(2)求DA 的模.【延伸探究】在矩形ABCD 中,AB=2BC=2,M 、N 分别是AB 和CD 的中点,在以A 、B 、C 、D 、M 、N 为起点和终点的所有向量中,回答下列问题: (1)与向量AD u u u r 相等的向量有哪些?向量AD u u u r 的相反向量有哪些? (2)与向量AM u u u u r 相等的向量有哪些?向量AM u u u u r 的相反向量有哪些?(32的向量中,相等的向量有几对?(4)在模为1的向量中,相等的向量有几对?M D N C B A。
人教版高中数学必修四:2.1平面向量的实际背景及基本概念》课件
CB、DO、FE
2.1.3 相等向量与共线向量
检测:课本P77习题2.1第3题
1.判断下列命题是否正确,若不正确,请 简述理由.
①向量 A B 与 C D 是共线向量,则A、B、C、D
四点必在一直线上;
(×)
②单位向量都相等;
(×)
③任一向量与它的相反向量(长度相同,方向相
优等生经验谈:听课时应注意学习老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程,那么后面的结论自然就出现了,学习起来才能够举 一反三,事半功倍。
2019/7/8
最新中小学教学课件
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谢谢欣赏!
2019/7/8
最新中小学教学课件
20
检测: 1、年龄、身高、长度、面积是向量还是数量? (5分) 2、向量的两个要素是什么? (5分) 3、一个物体所受重力为18N,请画出示意图 (1cm表示10N) (5分)
2.1.2 向量的表示
问题:1、如何直观(用几何方法) 表示数量?如实数? 2、向量既有大小,又有方向,又如 何直观表示?
由于实数与数轴上的点一一对应,所以 数量常常用数轴上的一个点表示,如3, 2,-1,…而且不同的点表示不同的数量。
3、长度等于1个单位的向量,叫做单 位向量。
问题:向量既有大小,又有方向, 如何字母表示?
2、向量的字母表示:
(1)a , b , c , . . .
(2)用表示向量的有向线段的起点和 终点字母表示,例如,AB,CD,起点 写在终点前面。
2.1.2 向量的表示
检测:每小题5分 1、什么是有向线段?画法,记法,长度如何 规定? 2、什么是零向量?单位向量?
一、听要点。
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问题:1、如何直观(用几何方法)表示数量 ?如实数? 2、向量既有大小,又有方向,又如何直观表 示?
由于实数与数轴上的点一一对应,所以数量常常用 数轴上的一个点表示,如3,2,-1,…而且不同的 点表示不同的数量。
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问题:向量既有大小,又有方向,又如何 直观表示? 探究: 1、在物理中,用什么直观表示一个竖直向下, 大小为18N的力? 2、什么是有向线段?如何画?如何表示? 3、力是向量,向量如何直观表示?
注:向量不能比较大小
例1.如图设O是正六边形ABCDEF的中心,写出图中 与向量OA相等的向量。 OA = DO = CB 变式一:与向量OA长度相等的向量 有多少个? 11个 变式二:是否存在与向量OA长度相等,方向 相反的向量? 存在,为 FE 变式三:与向量OA长度相等的共线向量有哪些? CB、DO、FE
2.1.1 向量的物理背景与概念 2.1.2 向量的几何表示
2.1.3 相等向量与共线向量
阅读课本P74页,并思考下列问题: 1、时间,路程,功等物理量有什么特点? 称为什么量?
2、力,位移,速度等物理量有什么特点? 称为什么量? 3、什么是向量?数量?
检测: 1、年龄、身高、长度、面积是向量还是数量 ?(5分) 2、向量的两个要素是什么? (5分) 3、一个物体所受重力为18N,请画出示意图 (1cm表示10N) (5分)
c
C
OA = a OB = b
A
B OCቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ= c
检测:每小题5分 1、什么是相等向量?平行向量? ( ) 若|a|>|b| ,则a > b 2、 相等向量一定是平行向量吗?() 3、 平行向量一定是相等向量吗?() 4、 5、若非零向量AB//CD ,那么AB//CD吗?
6、若a//b ,则a与b的方向一定相同或相反吗?
(× )
2.下面几个命题:
(1)若a = b,b = c,则a = c。 (2)若|a|=0,则a = 0 (3)若|a|=|b|,则a = b (4)两个向量a、b相等的充要条件是 |a|=|b|
a ∥b (5)若A、B、C、D是不共线的四点,则AB=DC是 四边形ABCD是平形四边形的充要条件。 其中正确的个数是( A.0 B. 1 C. 2 C D 变:若 a ∥ b, b ∥ c, 则a ∥c ) D. 3 C
定义:具有方向的线段叫做有向线段。 画法:在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向。
记法: 以A为起点,B为终点的有向线段记作AB,起 点写在终点前面。 长度:已知AB,线段AB的长度叫做有向线段AB,记 作|AB|
问题:向量既有大小,又有方向,如何直 观表示?
1、向量的几何表示:用有向线段表示。
检测:每小题5分 1、什么是有向线段?画法,记法,长度如何 规定? 2、什么是零向量?单位向量?
3、温度含零上和零下温度,所以温度是向量 (判断题) 4、向量的模是一个正实数(判断题)
问题:向量既有“数”的特点,又有“形”的特 征,实数有相等,图形有平行,那么,如何描述“ 向量的相等”和“向量的平行”呢?
向量AB的大小,也就是向量AB的长度(或称 模),记作|AB|。 2、长度为0的向量叫做零向量,记作0。 3、长度等于1个单位的向量,叫做单位向量。
问题:向量既有大小,又有方向,如何字 母表示?
2、向量的字母表示:
(1)a , b , c , . . .
(2)用表示向量的有向线段的起点和终点字母 表示,例如,AB,CD,起点写在终点前面。
检测:课本P77习题2.1第3题
1.判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由. ①向量 与 是共线向量,则 A、B、C、D 四点必在 CD 一直线上; AB
(× )
②单位向量都相等;
(× )
③任一向量与它的相反向量(长度相同,方向相反的向量)不 相等; (× )
④共线的向量,若起点不同,则终点一定不同。
D 当b ≠ 0时成立。
向量的概念: 向量的表示方法:
零向量、单位向量概念:
平行向量定义: 相等向量定义: 共线向量与平行向量关系:
探究:1、什么是向量?
2、依据向量定义,要定义向量相等,应从哪几个 方面考察?
3、向量平行呢?
概念:长度相等且方向相同的两个向量叫做相
a =b 等向量,记作
推论:1、任意两个相等非零向量,都可以用 同一条有向线段表示;
2、向量可以平行移动。
平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。 平行向量又叫做共线向量 记作 a ∥b ∥c a 如: b 规定:0与任一向量平行。