7.3平面向量的坐标表示与运算
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y
b c
a d e
x
二、平面向量的直角坐标运算
已知，a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则 a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j) =(x1+x2)i+(y1+y2)j 即 a+b=(x1+x2,y1+y2) 同理可得 a-b=(x1-x2,y1-y2)
这就是说，两个向量和与差的坐标分别等 于这两个向量相应坐标的和与差。
7.3平面向量的坐标表示与运算
一、提问：
1、什么叫向量？一般用什么表示？ 2、有向线段的三个要素是什么？ 3、什么叫向量共线定理？ 4、什么叫平面向量基本定理？
N (1)分别用单位向
p
量e1，e2表示向量 OM,ON (2)用向量OM,ON 表示向量OP
(3)分别用单位向量 e1，e2表示向量OP e2 O
a
M e1
4
y
3
OP xi y j ( x, y)
P(x,y)
a
2
N
1
Leabharlann Baidu
j
-2
i
-1
2
4
6
M
x
-2
-3
二、平面向量的坐标表示
y a j 如图1，在直角坐标系内，我们 分别取与x轴、y轴方向相同的两 个单位向量i、 j作为基底，任何 一个向量a，由平面向量基本定理 知，有且只有一对实数x、y，使 得 a=xi+yj 我们把（x,y)叫做向量a 的（直角）坐 标，记作 a=(x，y),
O
i 图 1
x
其中x叫做a 在x轴上的坐标，y叫做a 在y轴上的坐标，
（x ,y）叫做向量的坐标表示。
y y j O i A（x,y） a
如图2，在直角坐标平面内，以原 点O为起点作OA=a，则点A的位 置由a唯一确定。
a
x x
设OA=xi+yj，则向量OA的坐标 （x,y)就是点A的坐标；反过来，
点A的坐标（x,y)也就是向量OA
图 2
的坐标。因此，在平面直角坐标
系内，每一个平面向量都可以用 一对实数唯一表示。
例题1 写出下列向量的坐标表示：
（1）a=5i-3j; （2）a=-5i; （3）a= j; (5,-3) (-5,0) (0, )
例2 如图7-30所示，写出向量a,b,c,d,e的坐标， 并求它们的模。
已知a=(x,y)和实数λ，那么 λ a=(λ x, λ y) 即 λa=(λx, λy)
这就是说，实数与向量的积的坐
标等用这个实数乘以原来向量的 相应坐标。
结论： 一个向量的坐标等于表示此向量 的有向线段的终点的坐标减去始点的 坐标。
如图，已知A(x1,y1),B(x2,y2), 根据上面的结论，有 AB= OB - OA
消去λ后得
x1y2-x2y1=0 也就是说，a//b(b<>0)的充要条件是
x1y2-x2y1=0
B(x2,y2) O x
y A(x1,y1)
= (x2,y2) - (x1,y1)
= (x2-x1,y2-y1)
三 向量平行的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b<>0,那么 可以知道，a//b的充要条件是存在 一实数λ，使 a= λb 这个结论如果用坐标表示，可写为 （x1,y1）= λ(x2,y2) 即 x1= λx2 y1= λy2
b c
a d e
x
二、平面向量的直角坐标运算
已知，a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则 a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j) =(x1+x2)i+(y1+y2)j 即 a+b=(x1+x2,y1+y2) 同理可得 a-b=(x1-x2,y1-y2)
这就是说，两个向量和与差的坐标分别等 于这两个向量相应坐标的和与差。
7.3平面向量的坐标表示与运算
一、提问：
1、什么叫向量？一般用什么表示？ 2、有向线段的三个要素是什么？ 3、什么叫向量共线定理？ 4、什么叫平面向量基本定理？
N (1)分别用单位向
p
量e1，e2表示向量 OM,ON (2)用向量OM,ON 表示向量OP
(3)分别用单位向量 e1，e2表示向量OP e2 O
a
M e1
4
y
3
OP xi y j ( x, y)
P(x,y)
a
2
N
1
Leabharlann Baidu
j
-2
i
-1
2
4
6
M
x
-2
-3
二、平面向量的坐标表示
y a j 如图1，在直角坐标系内，我们 分别取与x轴、y轴方向相同的两 个单位向量i、 j作为基底，任何 一个向量a，由平面向量基本定理 知，有且只有一对实数x、y，使 得 a=xi+yj 我们把（x,y)叫做向量a 的（直角）坐 标，记作 a=(x，y),
O
i 图 1
x
其中x叫做a 在x轴上的坐标，y叫做a 在y轴上的坐标，
（x ,y）叫做向量的坐标表示。
y y j O i A（x,y） a
如图2，在直角坐标平面内，以原 点O为起点作OA=a，则点A的位 置由a唯一确定。
a
x x
设OA=xi+yj，则向量OA的坐标 （x,y)就是点A的坐标；反过来，
点A的坐标（x,y)也就是向量OA
图 2
的坐标。因此，在平面直角坐标
系内，每一个平面向量都可以用 一对实数唯一表示。
例题1 写出下列向量的坐标表示：
（1）a=5i-3j; （2）a=-5i; （3）a= j; (5,-3) (-5,0) (0, )
例2 如图7-30所示，写出向量a,b,c,d,e的坐标， 并求它们的模。
已知a=(x,y)和实数λ，那么 λ a=(λ x, λ y) 即 λa=(λx, λy)
这就是说，实数与向量的积的坐
标等用这个实数乘以原来向量的 相应坐标。
结论： 一个向量的坐标等于表示此向量 的有向线段的终点的坐标减去始点的 坐标。
如图，已知A(x1,y1),B(x2,y2), 根据上面的结论，有 AB= OB - OA
消去λ后得
x1y2-x2y1=0 也就是说，a//b(b<>0)的充要条件是
x1y2-x2y1=0
B(x2,y2) O x
y A(x1,y1)
= (x2,y2) - (x1,y1)
= (x2-x1,y2-y1)
三 向量平行的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b<>0,那么 可以知道，a//b的充要条件是存在 一实数λ，使 a= λb 这个结论如果用坐标表示，可写为 （x1,y1）= λ(x2,y2) 即 x1= λx2 y1= λy2