等差数列及其前n项和知识点总结、经典高考题解析

等差数列及其前n 项和

【考纲说明】

1、理解等差数列的概念，学习等差数列的基本性质.

2、探索并掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.

3、体会等差数列与一次函数的关系.

4、本部分在高考中占5-10分左右.

【知识梳理】

一、等差数列的相关概念 1、等差数列的概念

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．通常用字母d 表示。 2、等差中项

如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2

b

a A +=

或b a A +=2

推广：-11122(2)2n n n n n n a a a n a a a +++=+≥⇔=+

3、等差数列通项公式

若等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则()11n a a n d =+-． 推广：d m n a a m n )(-+=，从而m

n a a d m

n --=。 4、等差数列的前n 项和公式

等差数列的前n 项和的公式：①()12

n n n a a S +=

；②()112

n n n S na d -=+

．

5、等差数列的通项公式与前n 项的和的关系

11,1,2

n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++L ).

二、等差数列的性质

1、等差数列与函数的关系 当公差0d ≠时，

(1)等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数,斜率为d ；

(2)前n 和211(1)()222

n n n d d

S na d n a n -=+

=+-是关于n 的二次函数且常数项

为0。

2、等差数列的增减性

若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列， 若公差0d =，则为常数列。 3、通项的关系

当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+， 特别地，当2m n p +=时，则有2m n

p a a a +=.

注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=⋅⋅⋅

4、常见的等差数列

（1）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}{}12n n n a b a b λλλ++，都为等差数列。 （2）若{n a }是公差为d 的等差数列，则232,,k k k k k S S S S S --，…也成等差数列（公差为2k d ）。

（3）数列{}n a 为等差数列,每隔*()k k N ∈项取出一项23(,,,,)m m k m k m k a a a a +++⋅⋅⋅仍为等差数列。

5、前n 项和的性质

设数列{}n a 是等差数列，d 为公差，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，

n S 是前n 项的和.

①当项数为偶数n 2时，则

()

121135212n n n n a a S a a a a na --+=+++⋅⋅⋅+=

=奇 ()

22246212

n n n n a a S a a a a na ++=+++⋅⋅⋅+=

=偶 ()11n n n n S S na na n a a ++-=-=-偶奇

11

n n n n S na a S na a ++==奇偶 ②当项数为奇数12+n 时，则 21(21)(1)1n S S S n a S n a S n S S a S na S n +⎧=+=+=+⎧+⎪⎪

⇒⇒=⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩n+1n+1奇偶奇奇n+1n+1奇偶偶偶

（其中a n+1是项数为21n +的等差数列的中间项）

6、求n S 的最值（或求{}n a 中正负分界项）

（1）因等差数列前n 项是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*n N ∈.

（2）①“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和

即当100a d ><，，由⎩⎨⎧≤≥+0

1n n a a 可得n S 达到最大值时的n 值.

②“首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和.

即当100a d <>，，由⎩⎨⎧≥≤+0

1n n a a 可得n S 达到最小值时的n 值.

三、等差数列的判定与证明

1、等差数列的判定方法：

（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔{}n a 是等差数列； （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列-11122(2)2n n n n n n a a a n a a a +++⇔=+≥⇔=+；

（3）数列{}n a 是等差数列n a kn b ⇔=+（其中b k ,是常数）； （4）数列{}n a 是等差数列2n S An Bn ⇔=+,（其中A 、B 是常数）. 2、等差数列的证明方法：

定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔{}n a 是等差数列．

题型一：性质的应用

例1（1）{}n a 是等差数列，

若47104561417,77a a a a a a a ++=++++=L ，13k a =，求k

（2）{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，若4816a a +=，求11S

例2（2010山东）已知等差数列{}n a 满足：73=a ，2675=+a a ，{}n a 的前n 项和为n S .

（Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令1

12

-=n n a b （*

N n ∈），求数列{}n b 的前n 项和为n T .