概率的初步
概率初步
一：事件
【例1】【易】下列说法正确的是（）
A.掷两枚硬币，一枚正面朝上，一枚反面朝上是不可能事件
B.随意地翻到一本书的某页，这页的页码为奇数是随机事件
C.经过某一装有交通信号灯的路口，遇到红灯是必然事件
D.某一抽奖活动中奖的概率为 ，买100张奖券一定会中奖
【答案】B
【解析】
A.随机事件
【答案】B
【解析】
由树状图可知共有种9可能,一个是红球,一个是黑球的有2种,所以概率是
【测1】【易】袋子里装有红、黄、蓝三种小球各5个且分别标有数字1,2,3,4,5,其形状、大小、质量、质地等完全相同，从中随机摸出一球；摸出的球是蓝色球的概率为___________；摸出的球是红色1号球的概率为___________；摸出的球是5号球的概率为___________.
（1）从盒子中任取4个球，全是篮球_____________
（2）从盒子中任取3个球，只有篮球和白球，没有红球______________
（3）从盒子中任取9个球，恰好红、蓝、白三种颜色的球都有_______________
【答案】
（1）不可能事件
（2）随机事件
（3）必然事件
二：概率
【例3】【易】在一个不透明的袋子里装有3个黑球和2个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，摸到黑球的概率是（）
C.随机事件
D.随机事件
【测1】【易】下列说法正确的是（）
A.“ 是一个非负数”是一个必然事件
B.“小明在本次期中考试中数学考120分”是一个不可能事件
C.“任意一个三角形的内角和为180°”是一个随机事件
D.“10000件产品中有1件次品，从中任意取一件，取到次品”是不可能事件
概率初步全章教案
概率初步全章教案第一章：概率的基本概念1.1 概率的定义引入概率的概念，让学生理解概率是衡量事件发生可能性大小的数学量。
解释概率的取值范围，即0到1之间。
1.2 必然事件和不可能事件讲解必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0。
通过实例让学生区分必然事件和不可能事件。
1.3 随机事件介绍随机事件的定义，让学生理解随机事件是既不是必然事件也不是不可能事件的事件。
解释随机事件的概率大于0且小于1。
第二章：概率的计算方法2.1 古典概型讲解古典概型的定义，即试验结果有限且等可能发生。
介绍古典概型的概率计算公式：P(A) = n(A) / n(S)，其中n(A)为事件A的发生次数，n(S)为样本空间的大小。
2.2 列举法讲解列举法的概念，即通过列举所有可能的结果来计算概率。
示范使用列举法计算概率的步骤。
第三章：条件概率和独立事件3.1 条件概率引入条件概率的概念，解释条件概率是在已知事件B发生的条件下事件A发生的概率。
讲解条件概率的计算公式：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(A∩B)为事件A和B 发生的概率，P(B)为事件B发生的概率。
3.2 独立事件解释独立事件的定义，即两个事件的发生互不影响。
讲解独立事件的概率计算公式：P(A∩B) = P(A)P(B)，其中P(A)为事件A发生的概率，P(B)为事件B发生的概率。
第四章：全概率公式和贝叶斯公式4.1 全概率公式讲解全概率公式的概念，即在多个互斥事件的情况下，事件A发生的概率可以通过各事件发生的概率乘以对应事件的条件概率之和来计算。
解释全概率公式的计算步骤。
4.2 贝叶斯公式引入贝叶斯公式的概念，解释贝叶斯公式是通过已知条件来推算事件发生的概率。
讲解贝叶斯公式的计算步骤。
第五章：随机变量及其分布5.1 随机变量的定义讲解随机变量的概念，即随机试验结果的量化描述。
解释随机变量的取值可以是具体的数值，也可以是其他类型的值。
5.2 离散型随机变量讲解离散型随机变量的定义，即随机变量取值有限或可数。
概率初步
第二十五章概率初步概率1.随机事件（1）确定事件事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．（2）随机事件在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1；②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0；③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．2.概率的意义（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率m/n稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p．（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．注：（3）概率取值范围：0≤p≤1．（4）必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0．（4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．3.用列举法求概率4.概率的公式（1）随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数．（2）P（必然事件）=1．（3）P（不可能事件）=0．5. 几何概型的概率问题简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．6.列表法、列举法和树状法当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．7.游戏公平性（1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．（2）概率=所求情况数/总情况数．利用频率估计概率8.利用频率估计概率（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．练习：随机事件与概率：一. 选择题1、下列事件必然发生的是（）A. 一个普通正方体骰子掷三次和为19B. 一副洗好的扑克牌任抽一张为奇数。
第二十五章-概率初步
第二十五章《概率初步》一、随机事件与概率1、随机事件（1）确定事件事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．（2）随机事件在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1；②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0；③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：例1：(1)下列事件中，是必然发生的事件的是（）（A）购买一张彩票中奖一百万. （B）打开电视机，任选一个频道，正在播新闻 .(C)在地球上，上抛出去的篮球会下落. （D）掷两枚质地均匀的骰子，点数之和一定大于6.(2)“明年十月七日会下雨”是__________事件.2、概率的意义（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率m、n会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p．（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．（3）概率取值范围：0≤p≤1．（4）必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0．（4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．(1).（2007 北京）一个袋中装有6个黑球3个白球，这些球除颜色外，大小、形状、质地完全相同，在看不到球的情况下，随机的从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率是（）.（A）. (B). (C). (D).二、用列举法求概率1.概率的公式（1）随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数．（2）P（必然事件）=1．（3）P（不可能事件）=0．3.列举法和树状法（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．4.游戏公平性（1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．（2）概率=所求情况数总情况数．（河北）在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球只有3个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱.通过大量反复试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出a大约是（）(A)12.(B)9. (C)4. (D)3.（长春）将5个完全相同的小球分装在甲、乙两个不透明的口袋中，甲袋中有3个球，分别标有数字2、3、4，乙袋中有两个球，分别标有数字2、4，从甲、乙两个口袋中各随机摸出一个球.|（1）用列表法或树形图法，求摸出的两个球上数字之和为5的概率.（2）摸出的两个球上数字之和为多少时的概率最大？三、利用频率估计概率1. 利用频率估计概率（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．如图是一个黑白相间的双色转盘.你能估计转盘指针停在黑色上的机会吗？如果没有转盘.你有哪些方法可以用来模拟试验？尽可能说说你的办法？(一)选择题1.下列事件中不可能发生的是_____.(A)打开电视机, 正在播新闻. (B)我们班的同学将会有人当选劳动模范.(C)在空气中,光的传播速度比声音的传播速度快.(D)若实数,c<0，,则3c>2c.2.下列说法正确的是_____.(A)在同一年出生的400人中至少有两个人的生日相同.(B)一张奖券的中奖率是1%,买1百张奖券, 一定会中奖.(C) 一副扑克牌中,任意抽取一张是红桃,这是必然事件.(D)一个袋中装有3个红球. 5个白球,任意摸出1个球是红球的概率是.3. 随机掷一枚均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是________.(A ). (B). (C). (D)1.4. 菱湖是全中国著名的淡水鱼产地,养鱼户专业户为了估计他承包的鱼塘里有多少条鱼(假设这个塘里养的是同一种鱼),先捕上100条做上标记,然后放回塘里,过了一段时间,待带标记的鱼完全和鱼塘里的鱼混合后,再捕上100条鱼,发现其中带标记的鱼有10条,塘里大约有鱼_______.(A)1600条. (B)1000条. (C)800条. (D)600条.5. 在做针尖落地的实验中,正确的是_______.(A)甲做了4000次,得出针尖落地的次数为46%,于是他断定在做4001次事针尖肯定不会触地(B)乙认为一次一次做速度太慢,他拿来了大把形状及大小完全相同的图针,随意朝地面轻轻抛出.然后统计针尖触地的枚数这样大大提高了速度(C)老师安排每名同学回家做实验,图针自由选取(D)老师安排每名同学回家做实验,图钉统一发（完全一样的图针）,同学们交来的结果,老师挑选满意的进行统计,他不满意的就不要.6.客厅地板示意图，一只小猫可以在客厅内随意走动,小猫最终停留在彩色的地板砖上的概率是________.(A). (B). (C). (D).7.甲、乙两人各自进行一次射击,甲射中目标的概率是0.4，乙射中目标的概率是0.5,那么甲射中目标而乙未射中目标的概率( )(A)0.1. (B)0.2. (C)0.3. (D)0.5.8.某商店举办有奖销售活动,办法如下:凡购物满100元的消费者得奖券一张,多购多得,每10000张奖券为一个开奖单位,设特等奖一个, 一等奖50个,二等奖100个,那么100元商品的中奖概率为( )（二）填空题9.在一个装5个红球的袋子里任意摸出2个球______是红球______是白球.（填：可能，一定，不可能）10.某人有红色、白色两件衬衫，白、蓝两条裤子,若任意拿一件衬衫和一条裤子,正好是白衬衫和白裤子的概率是______.11.A市大约有100万人口,随即抽查了2000人,具有大学以上的学历的有120人,则在该市随便调查一个人,他具有大学以上学历的概率为________.12.掷两枚正方形的骰子，得到点数之和是7的概率是_______.13.一个口袋中装有红色、黄色、蓝色玻璃球共72个,小明通过多次摸球试验发现,摸到红球、黄球、蓝球的频率依次为0.35、0.25和0.4, 则口袋中红球、黄球、蓝球的数目很有可能为____个___个和____个.14.一个口袋中有 8个黑球和若干个白球,从口袋中随即摸出10个球,求出其中黑球数与10的比值再把球放回口袋中摇匀,重复上述过程，共做20次,其中黑球数与10的比值的平均数是0.25,则估计袋中的白球约有_______个.（三）解答题15.(9分) 把一枚均匀的硬币连续抛掷三次,至少有一次是正面朝上的概率.(利用树形图形)16. (10分)某商场设立了一个可以自由转动的转盘,如图所示,并规定:顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会,当转盘停止时,指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品,下表是活动进行中的一组统计数据:(1) 计算并完成表格.落地“铅笔”的频率(2)请你估计,当n很大时,频率将会接近多少?(3)假如你去转动转盘一次,你获得铅笔的概率是多少?(4) 在该转盘中,标有铅笔区域的扇形的圆心角大约是多少?(精确到1度)17. 甲乙两人用如图所示的两个分格均匀的转盘做游戏,分别转动两转盘，若转盘停止后，指针指向一个数字，当指针恰好停在分格线上,则重转一次，用所指的两个数字做乘积，如果积大于10，那么甲获胜，如果积不大于10，那么乙获胜.请你解决下列问题：(1) 利用树形图（或列表）的方法表示该游戏很有可能出现的结果.(2)求甲，乙两人获胜的概率是多少?18. 袋子里装有红、黄、蓝三种, 小球其形状、大小、质地等完全相同,每种颜色的小球各5个,且分别标有数字1、2、3、4、5, 现在从中摸出一个小球:(1) 摸出的球是蓝色球的概率是多少?答:________________________.(2) 摸出的球是红色1号球的概率是多少? 答:________________________.(3) 摸出的球是5号球的概率是多少?答:________________________.19. 将分别标有数字1、2、3、的三张卡片洗匀后, 背面朝上放在桌子上.(1) 随机地抽出1张, 求P(奇数).(2) 随机地抽取一张作为十位上的数字(不放回) , 再抽取一张作为个位上的数字,能组成哪些两位数?恰好是“32”的概率是多少？16．(7分)(2014·武汉)袋中装有大小相同的2个红球和2个绿球．(1)先从袋中摸出1个球后放回，混合均匀后再摸出1个球．①求第一次摸到绿球，第二次摸到红球的概率；②求两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率；(2)先从袋中摸出两个球，则两球中有1个绿球和1个红球的概率是多少？17.（广州）（本小题满分10分）某校初三（1）班50名学生需要参加体育“五选一”自选项目测试，班上学生所报自选项目的情况统计表如下：，的值；(1)求a b(2)若将各自选项目的人数所占比例绘制成扇形统计图，求“一分钟跳绳”对应扇形的圆心角的度数；(3)在选报“推铅球”的学生中，有3名男生，2名女生.为了了解学生的训练效果，从这5名学生中随机抽取两名学生进行推铅球测试，求所抽取的两名学生中至多．．有一名女生的概率.答案及提示：(一)选择题1．D；2．A；3．A；4．B；5．B；6．A；7．B；8．D.(二)填空题9．一定不可能；10．；11．6% ；12.；13．25 1829；14．24；(三)解答题15 .16．（1）表格中依次填:68% 74% 68% 69% 70.5% 70.1%.(2)0.7(或70%)(3)0.7(或70%).(4)252度.17.(1)（2）P（甲胜）=.P（乙胜）=.18解析:袋中共有15个球,有蓝色球5个, 编号为红1的球只有1个，编号是5的红、黄、蓝球各1个, 共3个, 利用公式P(A)= 可直接计算各个事件发生的概率.解:(1)摸出的是蓝球的概率为 =.(2)摸出的是红色1号的概率为.(3)摸出的是5号球的概率为=.点拨: P(A)= 中, n是所有可能出现的结果，且它们发生的可能性相等, m则表示事件A所包含的结果.19. 解:(1).(2)第一张第二张两位数.有树形图可知: 能组成12、13、21、23、31共6个两位数, 恰好是”32”的概率为.。
概率初步知识点
概率初步知识点归纳1、概率的有关概念1.概率的定义：*种事件在*一条件下可能发生，也可能不发生，但可以知道它发生的可能性的大小，我们把刻划〔描述〕事件发生的可能性的大小的量叫做概率.2、事件类型：○1必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件.○2不可能事件：有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件.○3不确定事件：许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件.必然事件、不可能事件都是在事先能肯定它们会发生，或事先能肯定它们不会发生的事件，因此它们也可以称为确定性事件.不确定事件都是事先我们不能肯定它们会不会发生，我们把这类事件称为随机事件。
练习：1．足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首先发球者，其主要原因是( )．A．让比赛更富有情趣B．让比赛更具有神秘色彩C．表达比赛的公平性D．让比赛更有挑战性2．小掷一枚硬币，结果是一连9次掷出正面向上，则他第10次掷硬币时，出现正面向上的概率是( )．A．0 B．1 C．0.5 D．不能确定3．关于频率与概率的关系，以下说确的是( )．A．频率等于概率B．当试验次数很多时，频率会稳定在概率附近C．当试验次数很多时，概率会稳定在频率附近D．试验得到的频率与概率不可能相等4．以下说确的是( )．A．一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了2000次，其中，抛掷出5点的次数最少，则第2001次一定抛掷出5点B．*种彩票中奖的概率是1％，因此买100该种彩票一定会中奖C．天气预报说明天下雨的概率是50％．所以明天将有一半时间在下雨D．抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等5．以下说确的是( )．A．抛掷一枚硬币5次，5次都出现正面，所以投掷一枚硬币出现正面的概率为1B．"从我们班上查找一名未完成作业的学生的概率为0”表示我们班上所有的学生都完成了作业C．一个口袋里装有99个白球和一个红球，从中任取一个球，得到红球的概率为1％，所以从袋中取至少100次后必定可以取到红球(每次取后放回，并搅匀) D．抛一枚硬币，出现正面向上的概率为50％，所以投掷硬币两次，则一次出现正面，一次出现反面6．在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外完全一样的小球，其中白球1个，黄球1个，红球2个，摸出一个球不放回，再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是( )．A ．21 B ．31 C ．61 D ．81 7．在今年的中考中，市区学生体育测试分成了三类，耐力类、速度类和力量类．其中必测工程为耐力类，抽测工程为：速度类有50m 、100m 、50m × 2往返跑三项，力量类有原地掷实心球、立定跳远、引体向上(男)或仰卧起坐(女)三项．市中考领导小组要从速度类和力量类中各随机抽取一项进展测试，请问同时抽中50m × 2往返跑、引体向上(男)或仰卧起坐(女)两项的概率是( )． A ．31B ．32C ．61D ．918．元旦游园晚会上，有一个闯关活动：将20个大小、重量完全一样的乒乓球放入一个袋中，其中8个白色的，5个黄色的，5个绿色的，2个红色的．如果任意摸出一个乒乓球是红色，就可以过关，则一次过关的概率为( )． A ．32 B ．41 C ．51 D ．101 9．下面4个说法中，正确的个数为( )．(1)"从袋中取出一只红球的概率是99％〞，这句话的意思是肯定会取出一只红球，因为概率已经很大(2)袋中有红、黄、白三种颜色的小球，这些小球除颜色外没有其他差异，因为小对取出一只红球没有把握，所以小说："从袋中取出一只红球的概率是50％〞 (3)小说，这次考试我得90分以上的概率是200％ (4)"从盒中取出一只红球的概率是0”，这句话是说取出一只红球的可能性很小 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 10．以下说确的是( )．A ．可能性很小的事件在一次试验中一定不会发生B ．可能性很小的事件在一次试验中一定发生C ．可能性很小的事件在一次试验中有可能发生D ．不可能事件在一次试验中也可能发生 3、〔重点〕概率的计算1、概率的计算方式：概率的计算有理论计算和实验计算两种方式，根据概率获得的方式不同，它的计算方法也不同.2、如何求具有上述特点的随机事件的概率呢.如果一次试验中共有n 种可能出现的结果，而且这些结果出现的可能性都一样，其中事件A 包含的结果有m 种，则事件A 发生的概率P(A)=n m。
概率论初步
概率论初步一、知识要点（一）等可能事件（古典概型）的概率：P（A）=等可能事件概率的计算步骤：①计算一次实验的基本事件总数n；②设所求事件A，并计算事件A包含的基本事件的个数m；③依公式P（A）=求值.（二）几何概型（1）几何概率模型：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成正比（2）几何概型的概率公式：P（A）=构成事件的区域长度（面积或体积）实验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）二、经典例题例1、从52张扑克牌（无大小王）中任取一张，取到“黑桃A”的概率是多少？取到“A”的概率又是多少？例2 、将一个圆盘8等分，指针绕着中心较快的旋转，令指针突然停止，求指针停在偶数区域内的可能性大小。
例3、选择题（1）下列事件中是必然事件的是( )．A ．从一个装有蓝、白两色球的缸里摸出一个球，摸出的球是白球B ．小丹的自行车轮胎被钉子扎坏C ．小红期末考试数学成绩一定得满分D ．将豆油滴入水中，豆油会浮在水面上（2）同时投掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数．下列事件中是不可能事件的是( )． A ．点数之和为12 B ．点数之和小于3 C ．点数之和大于4且小于8 D ．点数之和为13（3）下列说法中正确的是( )．A ．抛一枚均匀的硬币，出现正面、反面的机会不能确定B ．抛一枚均匀的硬币，出现正面的机会比较大C ．抛一枚均匀的硬币，出现反面的机会比较大D ．抛一枚均匀的硬币，出现正面与反面的机会相等（4）从不透明的口袋中摸出红球的概率为51，若袋中红球有3个，则袋中共有球( )． A ．5个 B ．8个C ．10个D ．15个例4、在如图所示的图案中，黑白两色的直角三角形都全等．甲、乙两人将它 作为一个游戏盘，游戏规则是：按一定距离向盘中投镖一次，扎在黑色区域为甲胜，扎在白色区域为乙胜．你认为这个游戏公平吗?为什么?三、巩固提升1、同时掷两枚普通的骰子，“出现数字之积为奇数”与“出现数字之积为偶数”的概率分别是______，______．2、有10张卡片，每张卡片分别写有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，从中任意摸取一张卡片，问摸到2的倍数的卡片的概率是多少?3的倍数呢?5的倍数呢?3、小李新买了一部手机，并设置了六位数的开机密码(每位数码都是0～9这10 个数字中的一个)，第二天小李忘记了密码中间的两个数字，他一次就能打开手机的概率是多少?4、有两组相同的牌，每组4张，它们的牌面数字分别是1，2，3，4，那么从每组中各摸出一张牌，两张牌的牌面数字之和等于5的概率是多少?两张牌的牌面数字之和等于几的概率最小?5、口袋里有红、绿、黄三种颜色的球，除颜色外其余都相同．其中有红球4个，1求：(1)口袋里黄球的个数；(2)任意绿球5个，任意摸出1个绿球的概率是3摸出1个红球的概率．四、知识总结1.古典概型的适用条件：实验结果的有限性和所有结果的等可能性.2.几何概型的特点：①实验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；②每个基本事件出现的可能性相等. 3.概率的性质①非负性：在随机试验E 中，对其中任意一个事件A ，有0≤P （A ）≤1； ②规范性：必然事件P （E ）=1； 不可能事件：P （∅）=0； 对立事件：P （ ）=1-P （A ） 五、课后作业1．一道选择题共有4个答案，其中有且只有一个是正确的，有一位同学随意地选了一个答案，那么他选对的概率为( )． A ．1B ．21C ．31D ．412．掷一枚均匀的正方体骰子，骰子6个面分别标有数字1，1，2，2，3，3，则“3”朝上的概率为( )． A ．61B ．41C ．31D ．213．一个口袋共有50个球，其中白球20个，红球20个，蓝球10个，则摸到不是白球的概率是( )． A ．54B ．53C ．52D ．514. 用力旋转如图所示的甲转盘和乙转盘的指针，如果指针停在蓝色区域就称为成功．A 同学说：“乙转盘大，相应的蓝色部分的面积也大，所以选乙转盘成功的机会比较大．”B 同学说：“转盘上只有两种颜色，指针不是停在红色上就是停在蓝色上，因此两个转盘成功的机会都是50％．”你同意两人的说法吗?如果不同意，请你预言旋转两个转盘成功的机会有多大?。
概率论初步知识介绍
（2，7）
（2，8） （3，6）
（3，7）
（3，8） （4，6）
（4，7）
（4，8）
2.组合计数法则
▪阶乘
n!=n(n-1)(n-1)…3·2·1
▪排列
从n个不同对象中抽取r个（r<n）进行有序放置称为排列。
若n=r叫全排列。
P
r n
=n(n-1)···(n-r+1)
完成结果 投资成功 投资失败 合计
咨询意见 可以投资 不宜投资
154次 38次
2次
156次
6次
44次
合计
192次
8次
7、事件逆
样本空间S与事件A之差，即S-A这一事件称为A的逆事件、
对立事件或互补事件。记作 A。
8、互斥事件
如果两个事件A与B不可能同时发生，则称A与B互不相容 事件，或称为互斥事件,记作AB=Φ。
在我们的生活中会面临许多不确定性的决策问题
❖ 1、如果提高产品价格，则销售下降的“机会”有多少？ ❖ 2、某种新的装配方法会有多大的“可能性”提高生产率？ ❖ 3、某项工程按期完成的“可能”有多大？ ❖ 4、新投资赢利的机率有多大？
工期超过十个月的概率是多少？
一、概率的加法定理
2、相容事件的加法定理
如果事件A、B同时出现，则事件A和事件B称为联合事件,记 为AB。两个相容事件A与B之和的概率为： P(A∪B)=P(A)+P(B)—P(AB) [例] 投资房地产赚钱的概率是0.7，投资电脑软件业的成功率 是0.8，同时投资的成功率是0.6，问投资二者中至少一种赚 钱的概率为多少？ 解：P(A∪B)=P(A)+P(B)—P(AB)=0.7+0.8-0.6=0.9
教案概率初步(全章)
教案概率初步(全章)教案内容：一、概率的定义与基础1.1 概率的定义：介绍概率的概念，描述随机事件的发生可能性。
1.2 样本空间与事件：解释样本空间的概念，举例说明。
介绍事件的类型，包括必然事件、不可能事件和随机事件。
1.3 概率的基本性质：讲解概率的基本性质，如概率的非负性、概率的和为1等。
1.4 条件概率与独立事件：介绍条件概率的概念，解释独立事件的含义，举例说明。
二、概率的计算方法2.1 排列组合：讲解排列组合的基本原理，包括排列和组合的计算方法。
2.2 古典概率计算：介绍古典概率的计算方法，举例说明。
2.3 几何概率计算：讲解几何概率的计算方法，举例说明。
2.4 概率的质量守恒：解释概率的质量守恒原理，即总概率为1。
三、概率分布3.1 概率质量函数：介绍概率质量函数的概念，解释概率分布的性质。
3.2 离散型随机变量：讲解离散型随机变量的概念，举例说明。
3.3 连续型随机变量：介绍连续型随机变量的概念，解释概率密度函数的含义。
3.4 随机变量的期望与方差：讲解随机变量的期望和方差的计算方四、概率论的应用4.1 抽样分布：介绍抽样分布的概念，解释中心极限定理的含义。
4.2 假设检验：讲解假设检验的基本原理，包括显著性水平和检验统计量的计算。
4.3 置信区间：解释置信区间的概念，讲解如何计算置信区间。
4.4 贝叶斯推断：介绍贝叶斯推断的基本原理，解释先验概率和后验概率的概念。
五、概率与统计软件的应用5.1 R软件简介：介绍R软件的功能和安装方法，讲解如何进行概率和统计分析。
5.2 概率分布的绘制：讲解如何使用R软件绘制概率分布图。
5.3 假设检验的实现：讲解如何使用R软件进行假设检验。
5.4 贝叶斯推断的实现：讲解如何使用R软件进行贝叶斯推断。
六、随机变量及其分布6.1 随机变量的概念：介绍随机变量的定义，区分离散随机变量和连续随机变量。
6.2 离散随机变量的概率分布：讲解离散随机变量的概率分布，包括几何分布、二项分布、泊松分布等。
第二十五章 概率初步
第二十五章 概率初步一、课标导航二、核心纲要1.确定事件和随机事件(1)确定事件①必然事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，②不可能事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能事件．(2)随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．2.概率的意义与表示方法(1)概率的意义：一般地，对于一个随机事件A ，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A 发生的概率，记为P(A)．(2)事件和概率的表示方法一般地，事件用英文大写字母A 、B 、C 、…，表示事件A 的概率P ，可记为P(A)=P ．(3)概率的计算：一般地，如果在一次试验中，有章n 可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 包含其中的m 种结果，那么事件A 发生的概率为.)(nm A P3.确定事件和随机事件的概率之间的关系(1)确定事件概率①当A 是必然发生的事件时，P(A)=1．②当A 是不可能发生的事件时，P(A)=0．(2)确定事件和随机事件的概率之间的关系4.用列举法求事件的概率的常用方法(1)穷举法：如果试验的结果较少，我们可以采用简单列举的方法，把所有可能的结果直接排列出来.(2)列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法．(3)树状图法：当一次试验要涉及三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法，本节重点讲解：一个计算（概率的计算），三个方法，三个概念（确定事件、随机事件、概率）．三、全能突破基 础 演 练1．下列事件中，属于确定事件的个数是( )．（1）打开电视，正在播广告； (2)投掷一枚普通的骰子'掷得的点数小于10(3)射击运动员射击一次，命中10环； (4)在一个只装有红球的袋中摸出白球A.0 B ．1 C ．2 D ．32．在四张完全相同的卡片上，分别画有圆、菱形、等腰三角形、等腰梯形，现从中随机抽取一张，卡片上的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是( )．41.A 21.B 43.C 1.D3．一个不透明的盒子里有n 个除颜色外其他完全相同的小球，其中有6个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么可以推算出n 大约是( )．6.A 10.B 18.c 20.D4．同时掷两个质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，两个骰子的点数相同的概率为 ．5．如下左图所示，A 、B 是边长为1的小正方形组成的网格的两个格点，在格点中任意放置点C ，恰好能使△ABC 的面积为1的概率是6．如 下右图所示，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中剩余的编号为1～7的小正方形中任意一个涂黑，则所得图案是一个轴对称图形的概率是7．在平行四边形ABCD 中，AC 、BD 是两条对角线，现从以下四个关系式：,,BD AC BC AB ==②① BC AB BD AC ⊥⊥④③,中任取一个作为条件，即可推出平行四边形ABCD 是菱形的概率为8．三张完全相同的卡片上分别写有函数,322x y xy x y ===、、从中随机抽取一张，则所得卡片上函数的图像在第一象限内y 随x 的增大而增大的概率是9．在一个不透明的盒子里装有5个分别写有数字-3，-2，-1，1，2的小球，它们除数字不同外其余全部相同．现从盒子里随机取出一个小球，将该小球上的数字作为a 的值，再将该数字加2作为b 的值，则抛物线32++=bx ax y 的对称轴在y 轴左侧的概率是10.有七张正面分别标有数字-3，-2，-1，0，1，2，3的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a ，则使关于x 的一元二次方程+--x a x )1(220)3(=-a a 有两个不相等的实数根，且以x 为自变量的二次函数2)1(22+-+-=a x a x y 的图像不经过点(1，0)的概率是11.在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次实验先搅拌均匀．(1)若从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为多少？(2)若从中任取一球（不放回），再从中任取一球，请用画树状图或列表格的方法求出两个球上的数字之和为偶数的概率．(3)若设计一种游戏方案：从中任取两球，两个球上的数字之差的绝对值为1为甲胜，否则为乙胜，请问这种游戏方案设计对甲、乙双方公平吗？说明理由．能 力 提 升12. 一只盒子中有红球m 个，白球8个，黑球n 个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么m 与n 的关系是( )．5,3.==n m A 4.==n m B 4.=+n m C 8.=+n m D13.在围棋盒中有z 颗白色棋子和y 颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是⋅52如果再往盒中放进6颗黑色棋子，取得白色棋子的概率是,41则原来盒中有白色棋子( )． A ．8颗 B ．6颗 C ．4颗 D ．2颗14.如下图所示，正方形ABCD 内接于⊙0，⊙0的直径为2分米，若在这个圆面上随意抛一粒豆子，则豆 子落在正方形ABCD 内的概率是( )． π2.A 2.πB π21.C π2.D15.箱子中装有4个只有颜色不同的球，其中2个白球，2个红球，4个人依次从箱子中任意摸出一个球，不放回，则第二个人摸出红球且第三个人摸出白球的概率是16.有四张正面分别标有数字-3，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面 朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数学记为a ，则使关于x 的分式方程:21221x x ax -=+--有正整数解的概率为17.甲、乙两人玩“锤子、石头、剪子、布”游戏，他们在不透明的袋子中放入形状、大小均相同的15张卡片，其中写有“锤子”、“石头”、“剪子”、“布”的卡片张数分别为2，3，4，6．两人各随机摸出一张卡片（先摸者不放回）来比胜负，并约定：“锤子”胜“石头”和“剪子”，“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“锤子”和“石头”，同种卡片不分胜负．(1)若甲先摸，则他摸出“石头”的概率是多少？(2)若甲先摸出了“石头”，则乙获胜的概率是多少？(3)若甲先摸，则他先摸出哪种卡片获胜的可能性最大？18.如下图所示，甲、乙两个可以自由转动的均匀的转盘，甲转盘被分成3个面积相等的扇形，乙转盘被分成4个面积相等的扇形，每一个扇形都标有相应的数字，同时转动两个转盘，当转盘停止后，设甲转盘中指针所指区域内的数字为m ，乙转盘中指针所指区域内的数字为n （若指针指在边界线上时，重转一次，直到指针都指向一个区域为止）．(1)请你用画树状图或列表格的方法求出1||>+n m 的概率．(2)直接写出点（m ，n ）落在函数xy 1-=图像上的概率．19.有四张卡片（背面完全相同），分别写有数字1、2、-1、-2，把它们背面朝上洗匀后，甲同学抽取一张记下这个数字后放回洗匀，乙同学再从中抽出一张，记下这个数字，用字母b 、c 分别表示甲、乙两同学抽出的数字．(1)用列表法求关于x 的方程02=++c bx x 有实数根的概率．(2)求(1)中方程有两个相等实数根的概率．(3)将取出的b 和c 两个数代人二次函数C bx x y ++=2中，得到多少个不同形式的二次函数？并写 出该二次函数的顶点在x 轴上的概率为多少？(4)若将取出的b 、c 分别作为点A 的横坐标、纵坐标，求点A(b ，c)落在第三象限的概率， 中 考 链 接20.（2012．山东聊城）我市初中毕业男生体育测试成绩有四项，其中“立定跳远”“100米跑”“肺活量测试”为必测项目，另一项为“引体向上”和“推铅球”中选择一项测试．小亮、小明和大刚从“引体向上”和“推铅球”中选择同一个项目的概率是21.（2013．安徽）如下图所示，随机闭合开关321,,K K K 中的两个，则能让两盏灯泡同时发光的概率为( )．61.A 31.B 21.C 32.D巅 峰 突 破22.将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的 点数为a ，第二次掷出的点数为6，则使关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=+=+223y x by ax 只有正数解的概率为( )． 121.A 92.B 185.C 3613.D23.把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上 的编号分别为m ，n ，则二次函数n mx x y ++=2的图像与x 轴有两个不同交点的概率是( )． 125.A 94.B 3617.C 21.D。
第3讲 概率初步--基础版
第3讲概率初步知识点1 随机事件与概率随机事件的概念在一定条件下，必然会发生的事件叫必然事件。
在一定条件下，一定不可能发生的事件叫不可能事件。
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫随机事件概率的概念及意义一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率。
①事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1.②概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.【典例】1.下列问题哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？（1）太阳从西边落山；（2）a2+b2=﹣1（其中a、b都是实数）；（3）水往低处流；（4）三个人性别各不相同；（5）一元二次方程x2+2x+3=0无实数解；（6）经过有信号灯的十字路口，遇见红灯．2.在一个不透明的口袋中装有大小、外形一模一样的5个红球、3个篮球和2个白球，它们已经在口袋中被搅匀了，请判断以下是不确定、不可能事件、还是必然事件．（1）从口袋中一次任意取出一个球，是白球；（2）从口袋中一次任取5个球，全是篮球；（3）从口袋中一次任取5个球，只有篮球和白球，没有红球；（4）从口袋中一次任意取出6个球，恰好红、蓝、白三种颜色的球都齐了．3.掷一个骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率：（1）点数为偶数；（2）点数大于2且小于5．4.已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球．（1）求从中随机抽取出一个黑球的概率是多少？（2）若往口袋中再放入x个白球和y个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是，求y与x之间的函数关系式．【方法总结】要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同.①事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1.②概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.【随堂练习】1．（2018春•鄄城县期末）如图，超市举行有奖促销活动：凡一次性购物满300元者即可获得一次摇奖机会，摇奖机是一个圆形转盘，被分成16等分，指针分别指向红、黄、蓝色区域，分获一、二、三获奖，奖金依次为60、50、40元．（1）分别计算获一、二、三等奖的概率．（2）老李一次性购物满了300元，摇奖一次，获奖的概率是多少？请你预测一下老李摇奖结果会有哪几种情况？2．（2018春•奉贤区期末）布袋中放有x只白球、y只黄球、2只红球，它们除颜色外其他都相同，如果从布袋中随机摸出一个球，恰好是红球的概率是．（1）试写出y与x的函数关系式；（2）当x=6时，求随机地取出一只黄球的概率P．3．（2018春•相城区期中）一只不透明的袋子中装有a个白球，b个黄球和10个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是40%；（1）当a=8时，求摸到白球的概率；（2）若摸到黄球的概率是摸到白球的两倍，求a，b的值．知识点2 用列举法求概率用列表法和树状图法，求事件的概率1. 列表法：当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，为了不重不漏地列举出所有可能的结果，我们采用列表法来求出某事件的概率．2. 树状图法：当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图法来求出某事件的概率．树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，像树的树丫形式，最末端的树丫个数就是总的可能的结果．【典例】1.一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有字母A，B，C，除所标字母不同外，其它完全相同，从中随机摸出一个小球，记下字母后放回并搅匀，再随机摸出一个小球，用画树状图（或列表）的方法，求该同学两次摸出的小球所标字母相同的概率．2.如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有数字1，2，3．（1）小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的概率为；（2）小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数字；接着再转动转盘一次，当转盘停止转动时，再次记录下指针所指扇形中的数字，求这两个数字之和是3的倍数的概率（用画树状图或列表等方法求解）．3.三个小球上分别标有-2，0，1三个数，这三个球除了标的数不同外，其余均相同、将小球放入一个不透明的布袋中搅匀.（1）从布袋中任意摸出一个小球，将小球上所标之数记下，然后将小球放回袋中，搅匀后再任意摸出一个小球，再记下小球上所标之数，求两次记下之数的和大于0的概率.(请用“画树状图”或“列表”的方法给出分析过程，并求出结果)（2）从布袋中任意摸出一个小球，将小球上所标之数记下，然后将小球放回袋中，搅匀后再任意摸出一个小球，将小球上所标之数再记下，…，这样一共摸了13次，若记下的13个数之和等于-4，平方和等于14，求：这13次摸球中，摸到球上所标之数是0的次数. 【方法总结】求概率应掌握以下方法：2. 求概率的一般步骤：①判断使用列表法或画树状图法：列表法一般适用于两步计算；画树状图法适用于两步及两步以上求概率；②不重不漏的列举出所有事件出现的可能结果，并判断每种事件发生的可能性是否相等；③确定所有可能出现的结果数n及所求事件A出现3. 判断游戏的公平性：判断游戏的公平性是通过概率来判断的，在条件相等的前提下，如果对于参加游戏的每一个人获胜的概率相等，则游戏公平，否则不公平.4. 在重复实验计算概率的题中，第一次取出后放回，然后第二次再取出计算概率，做这类考题时要注意两次取得的结果总数是一致的，如果不放回，那么第二次取出的结果的总数比第一次少一种情况【随堂练习】1．（2018•深圳模拟）为了提高学生书水平．我市举办了首届“汉字听写大赛”，经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时听写50个汉字，若每正确听写出一个汉字得1分．根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图：请结合图表完成下列各题：（1）求表中a的值，并把频数分布方图补充完整；（2）第5组10名同学中，有4名男同学，现将这10名同学平均分成两组进行对抗练习，且4名男同学每组分两人，求小宇与小强两名男同学能分在同一组的概率．2．（2018•云南）将正面分别写着数字1，2，3的三张卡片（注：这三张卡片的形状、大小、质地、颜色等其他方面完全相同，若背面向上放在桌面上，这三张卡片看上去无任何差别）洗匀后，背面向上放在桌面上，从中先随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为x，再把剩下的两张卡片洗匀后，背面向上放在桌面上，再从这两张卡片中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为y．（1）用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，写出（x，y）所有可能出现的结果．（2）求取出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率P．3．（2018•利辛县模拟）合肥合家福超市为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在三等分的转盘上依次标有“合”，“家”，“福”字样，购物每满200元可以转动转盘1次，转盘停下后，指针所指区域是“福”时，便可得到30元购物券（指针落在分界线上不计次数，可重新转动一次），一个顾客刚好消费400元，并参加促销活动，转了2次转盘．（1）求出该顾客可能获得购物券的最高金额和最低金额；（2）请用画树状图法或列表法求出该顾客获购物券金额不低于30元的概率．知识点3用频率估计概率用频率估计概率实际上，从长期实践中，人们观察到，对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个时间出现的频率，总在一个固定的数附近摆动，显示出一定的稳定性．因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率【典例】1.在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近；（精确到0.1）（2）试估算口袋中白球有多少个？（3）若从中先摸出一球，放回后再摸出一球，请用列表或树状图的方法（只选其中一种），求两次摸到的球颜色相同的概率．.2.某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：（1）计算并完成表格：（2）请估计，当n很大时，频率将会接近（精确到0.1）（3）假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是，理由是：.3.在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近；（精确到0.1）（2）假如你摸一次，你摸到白球的概率P（白球）=；（3）试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少只？【方法总结】1．当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率．2．利用频率估计概率的数学依据是大数定律：当试验次数很大时，随机事件A出现的频率，稳定地在某个数值P附近摆动．这个稳定值P，叫做随机事件A的概率，并记为P(A)=P．3．利用频率估计出的概率是近似值.【随堂练习】1．（2017秋•福州期末）盒中有若干枚黑棋和白棋，这些棋除颜色外无其他差别，现让学生进行摸棋试验：每次摸出一枚棋，记录颜色后放回摇匀．重复进行这样的试验得到以下数据：摸到黑棋的频率（精确到0.001）（1）根据表中数据估计从盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是____；（精确到0.01）（2）若盒中黑棋与白棋共有4枚，某同学一次摸出两枚棋，请计算这两枚棋颜色不同的概率，并说明理由2．（2018春•东台市期中）“2018东台西溪半程马拉松”的赛事共有两项：A、“半程马拉松”、B、“欢乐跑”．小明参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到两个项目组．（1）小明被分配到“半程马拉松”项目组的概率为____．（2）为估算本次赛事参加“半程马拉松”的人数，小明对部分参赛选手作如下调查：①请估算本次赛事参加“半程马拉松”人数的概率为____．（精确到0.1）②若本次参赛选手大约有3000人，请你估计参加“半程马拉松”的人数是多少？3．（2017•张家港市模拟）4件同型号的产品中，有l件不合格品和3件合格品．（1）从这4件产品中随机抽取1件进行检测，不放回，再随机抽取1件进行检测．请用列表法或画树状图的方法，求两次抽到的都是合格品的概率；（解答时可用A表示l件不合格品，用B、C、D分别表示3件合格品）（2）在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检侧，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x的值大约是多少？综合运用：概率初步1.有100张卡片（从1号到100号），从中任取1张，计算：（1）取到卡片号是7的倍数的情况有多少种？（2）取到卡片号是7的倍数的概率是多少？2.在不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有2个，黄球有1个，现从中任意摸出一个是白球的概率为．（1）试求袋中篮球的个数；（2）第一次任意摸出一个球（不放回），请画出树状图或列表的方法，求两次摸到都是白球的概率．3.甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有3个分别标有数字1，2，3的小球，乙口袋中装有2个分别标有数字4，5的小球，它们的形状、大小完全相同，现随机从甲口袋中摸出一个小球记下数字，再从乙口袋中摸出一个小球记下数字．（1）请用列表或树状图的方法（只选其中一种），表示出两次所得数字可能出现的所有结果；（2）求出两个数字之积能被2整除的概率．4.有4个完全一样的小球，上面分别标着数字，2，1，﹣3，﹣4．现随机摸出一个小球后不放回，将该小球上的数字记为m，再随机地摸出一个小球，将小球上的数字记为n．（1）请列表或画出树状图并写出（m，n）所有可能的结果；（2）求所选出的m，n能使一次函数y=mx+n 的图像经过第二、三、四象限的概率．5.小明和小刚用如图所示的两个转盘各转一次做“配紫色”游戏，配成紫色（一红一蓝），小明得1分，否则小刚得1分．（1）这个游戏公平吗？为什么？（2）如果不公平，如何修改规则才能使该游戏对双方公平？6.随着通讯技术的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：（1）这次统计共抽查了名学生；在扇形统计图中，表示“QQ”的扇形圆心角的度数为；（2）将条形统计图补充完整；（3）该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名？（4）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“QQ”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率．7.在“植树节”期间，小王、小李两人想通过摸球的方式来决定谁去参加学校植树活动，规则如下：在两个盒子内分别装入标有数字1，2，3，4的四个和标有数字1，2，3的三个完全相同的小球，分别从两个盒子中各摸出一个球，如果所摸出的球上的数字之和小于6，那么小王去，否则就是小李去．（1）用树状图或列表法求出小王去的概率；（2）小李说：“这种规则不公平”，你认同他的说法吗？请说明理由．。
初中数学 概率初步(知识点总结及练习)
概率初步一、随机事件与概率1.随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。
一般地，事件用英文大写字母A，B，C，…，表示。
2.确定事件（1）必然事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然事件。
（2）不可能事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能事件。
3.概率（1）概率的意义：对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数据，称为随机事件A 发生的概率。
（2）概率的表示：一般地，如果在一次实验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 包含其中m 种结果，那么事件A 发生的概率P(A)=nm 。
由m,n 的含义可知，n m ≤≤0，进而有10≤≤nm，因此1)(0≤≤A P 。
特别地，当A 为必然事件时，P(A)=1；当A 为不可能事件时，P(A)=0。
二、列表法求概率1.列表法：在一次实验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举实验结果的方法，求出随机事件发生的概率。
2.树状图法：当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。
3.例题：例1：把一副扑克牌中的3张黑桃牌（它们的正面牌数字分别为3、4、5）洗匀后正面朝下放在桌面上.小王和小李玩摸牌游戏，游戏规则如下：先由小王随机抽取一张牌，记下牌面数字后放回，洗匀后正面朝下，再由小李随机抽取一张牌，记下牌面数字.当2张牌的牌面数字相同时，小王赢；当2张牌的牌面数字不同时，小李赢.现请你利用树状图或列表法分析游戏规则对双方是否公平？并说明理由.解：游戏规则不公平.理由如下：列表,由表可知，所有可能出现的结果共有9种，并且每种结果出现的可能性相等。
所有可能结果中，2张牌牌面数字相同（记为事件A）的结果有三种，所以P(A)=3193=。
2张牌牌面数字不同（记为事件B）的结果有六种，所以P(B)=3296=。
第六章概率初步(教案)
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解概率的基本概念。概率是描述事件发生机会的量，它是数学中的一个重要工具，帮助我们在不确定性中做出决策。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过抛硬币的实验，观察正面和反面朝上的概率，探讨概率在实际中的应用。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调必然事件、不可能事件和随机事件的概念，以及概率的计算方法。对于难点部分，我会通过抛硬币和掷骰子的例子，帮助学生理解并掌握枚举法和树状图法的使用。
1.讨论主题：学生将围绕“概率在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们教学难点与重点
1.教学重点
-理解并区分必然事件、不可能事件和随机事件，并能用符号表示。
-掌握概率的定义，了解概率是描述事件发生机会的量。
-学会运用枚举法和树状图法计算简单事件的概率。
-能够运用概率知识解决实际问题，如游戏、彩票等。
举例解释：
-重点之一是让学生能够明确各种事件的类型，例如，抛硬币正面朝上是随机事件，而抛一枚不均匀的骰子出现1点是必然事件。
-在解决实际问题时，如何从问题中抽象出数学模型，确定相关事件和计算概率是学生容易感到困惑的地方，需要教师引导和示范。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
概率初步
概率初步知识结构图
一、事件的分类
1、确定事件
（1）必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件
（2）不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件
2、随机事件：在一定条件下，有可能发生，也有可能不发生的事件
二、概率初步
1、概率的定义
概率：表示随机事件A发生的可能性的大小的数值叫做概率，记作P(A)。
必然事件A的概率为1，即P(A)=1。
不可能事件B的概率为0，即P(B）=0。
随机事件C的概率在0和1之间,即0<P(C)<1。
2求概率的方法
（1）列举法（2）列表法
（3）树形图法（4）用频率估计概率
3、用概率知识解决日常生活中的实际问题。
大学概率初步知识点总结
大学概率初步知识点总结本文将主要介绍概率论的基本概念和方法，包括随机事件、概率的定义、概率的性质、条件概率、全概率公式、贝叶斯定理、随机变量及其概率分布、数学期望、方差、协方差、独立性、大数定律和中心极限定理等内容。
一、随机事件与概率的定义1. 随机事件随机事件是指在一定条件下，结果不确定的现象。
例如，掷一枚硬币的结果就是一个随机事件，因为无法确定它是正面朝上还是反面朝上。
又如，抽取一个人，这个人是男性的事件就是一个随机事件。
2. 概率的定义概率是用来描述随机事件发生的可能性大小的数值。
概率通常用P(A)表示，其中P表示概率，A表示随机事件。
例如，掷一枚硬币正面朝上的概率可以表示为P(正面) = 0.5。
3. 概率的性质概率具有以下基本性质：（1）非负性：对任意事件A，有P(A) ≥ 0。
（2）规范性：必然事件的概率为1，即P(Ω) = 1。
（3）互斥事件的加法：若事件A和事件B是互斥事件，那么它们的并事件发生的概率为P(A∪B) = P(A) + P(B)。
（4）对立事件的互补性：事件A的对立事件是指A不发生的事件，它的概率为P(A') = 1 - P(A)。
二、条件概率、全概率公式与贝叶斯定理1. 条件概率在给定事件A的条件下，事件B发生的概率称为事件B在事件A发生的条件下的概率，记作P(B|A)。
条件概率的定义为P(B|A) = P(A∩B) / P(A)。
2. 全概率公式全概率公式是指如果事件B1，B2，...，Bn是一个样本空间Ω的一个分割，即B1，B2，...，Bn两两互斥且和为Ω，那么对于任意事件A都有P(A) = ΣP(A|Bi)P(Bi)。
3. 贝叶斯定理贝叶斯定理是在全概率公式的基础上得到的一个重要公式，表示在给定一定先验信息的情况下，对随机事件进行推断的方法。
贝叶斯定理的表达式为P(B|A) = P(A|B)P(B) /ΣP(A|Bi)P(Bi)。
三、随机变量及其概率分布1. 随机变量随机变量是描述随机试验结果的数值型变量。
概率初步
课 题 概率初步教学目的1、正确判断确定事件和随机事件，联系实际判断事件发生的可能性的大小，2、知道概率的含义，会用符号表示一个事件的概率.，3、理解随机事件发生的频率的意义，知道频率与概率之间的区别和联系，会运用公式来计算简单事件的概率，4、初步学会用树形图分析概率问题的方法，会画树形图，初步会用所学概率知识解释生活中的一些简单概率问题.教学内容知识梳理1、概念辨析：在一定条件下必定出现的现象叫做必然事件（certain event ）例如：地球绕太阳公转.在一定条件下必定不出现的现象叫做不可能事件（impossible event ）例如：有人把石头孵出了小鸡. 必然事件和不可能事件统称为确定事件.而在一定条件下可能出现也可能不出现的现象叫做随机事件（random event ），也称为不确定事件，例如过马路时恰好遇到红灯.2、概率：用来表示某事件发生的可能性大小的数叫做这个事件的概率（probability ）事件发生的概率的取值要求：不可能事件：如果用V 表示，则概率为0：P （V ）＝0;必然事件：如果用U 表示，则概率为1：P （U ）＝1;随机事件：一般用A 表示，则概率介于0到1之间; P (A)——纯小数、真分数、百分数等表示.3、枚举法：把所有可能的结果一一列出的方法叫做枚举法.4、画“树形图”：※ 如果一个等可能试验是分多步进行，那么树枝相应可以分为多级;※ 画树形图要注意其中同一级的每条树枝必须是等可能的;※ 最后一级的“树枝”条数是试验中所有等可能结果的个数.典型例题例1、小军、小李、小黄三人排队，则恰好排成“小军、小李、小黄”顺序的概率是 。
例2、以下数字可能是某事件的概率的是（ ）A 、2B 、—31 C 、215 D 、1.01例3、设计一个摸球游戏，每摸球一次，摸到白球的概率是31，摸到红球的概率是14，摸到黄球的概率是16，则完成这个游戏所需球的个数最少为（ ）A 、6个B 、12个C 、24个D 、36个例4、甲乙两人轮流掷一枚材质均匀的骰子，每人各掷了8次，结果甲有三次掷得“合数点”，而乙没有一次掷得“合数点”，如果两人继续掷，那么下一次谁掷得“合数点”的机会比较大？例5、在一副扑克牌中拿出2张红桃、2张黑桃的牌共4张，洗匀后，从中任取2张牌恰好同花色的概率是多少？例6、四个大小质地均相同的小球上分别标有数字1、2、3、4，现将小球放入一个口袋中，从中随机摸出一个小球（不放回），再从口袋中剩下的三个小球中随机摸出第二个。
概率初步
概率初步【知识梳理】1．生活中的随机事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，①必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1；②不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0；③如果A为不确定事件，那么0<P(A)<12．随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：①理论计算又分为如下两种情况：第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算。
②实验估算又分为如下两种情况：第一种：利用实验的方法进行概率估算。
要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率。
第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算。
如，利用计算器产生随机数来模拟实验。
综上所述，目前掌握的有关于概率模型大致分为三类；第一类问题没有理论概率，只能借助实验模拟获得其估计值；第二类问题虽然存在理论概率但目前尚不可求，只能借助实验模拟获得其估计值；第三类问题则是简单的古典概型，理论上容易求出其概率。
这里要引起注意的是，虽然我们可以利用公式计算概率，但在学习这部分知识时，更重要的是要体会概率的意义，而不只是强化练习套用公式进行计算。
3．你知道概率有哪些应用吗？通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题。
【能力训练】一、填空题：1．一个口袋中装有4个白球，2个红球，6个黄球，摇匀后随机从中摸出一个球是白球的概率是。
2．若1000张奖券中有200张可以中奖，则从中任抽1张能中奖的概率为______。
3．一只袋内装有2个红球、3个白球、5个黄球（这些球除颜色外没有其它区别），从中任意取出一球，则取得红球的概率是___________。
概率初步
概率初步一、学习目标·重点难点1、随机事件2、概率的意义：一般地，在大量重复试验中，如果事件A 发生的频率nm 会稳定在某个常数p 附近，那么这个常数p 就叫做事件A 的概率, 记作P （A ）= p.（0≤ P （A ）≤1）3、等可能事件求概率的步骤如下：①画树形图或列表 ；②列出结果，确定公式P(A)=n m 中m 和n 的值； ③利用公式P(A)=n m 计算事件概率。
4、用频率估计概率（1）．当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率．（2）．利用频率估计概率的数学依据是大数定律：当试验次数很大时，随机事件A 出现的频率，稳定地在某个数值P 附近摆动．这个稳定值P ，叫做随机事件A 的概率，并记为P (A )=P ．（3）．利用频率估计出的概率是近似值. 二、直击中考·例题解析确定事件和随机事件指出下列事件中哪些是必然发生的,哪些是不可能发生的，哪些是随机事件？ ⑴.通常加热到100°C 时，水沸腾；（2）十五的月亮像一条弯弯的小船（3）正常情况下，水在0℃时就开始结冰（4）小明买彩票，中500万奖金（5）打开书本任意翻开一页，其页码是85页（6）2006年我们将搬到太阳上去（7）打开电视机，它正在播广告（8）哈尔滨的冬天会下雪（9）13人至少有两人出生的月份是相同的⑻.瑞雪兆丰年。
（10）六月飞雪●概率的意义1、一副扑克牌共有54张，含大、小王，大王看成红色，小王看成是黑色，任意抽出一张回答下列问题。
（1）P（摸到王的概率）＝；P（摸到方块的概率）＝；P（摸到红色的概率）＝；P（摸到10的概率）＝；（2）摸到王和摸到10的概率相同吗？摸到谁的概率大？（3）请列举一个例子，使二者的概率相同2、袋子中装有红、绿各1个小球，随机摸出一个小球后放回，再随机摸出一个，求下列事件的概率（1）第一次摸到红球，第二次摸到绿球（2）两次都摸到相同颜色的小球（3）两次摸到的球中有一个绿球和一个红球3、“五一”黄金期间，梁先生驾驶汽车从甲地经乙地到丙地游玩，甲地到乙地有两条公路，乙地到丙地有三条公路，每一条公路的长度如图所示，梁先生任选一条从甲地到丙地的路线，这条路正好是最短的路线的概率为●列举法求概率1、在一个布袋里有黄、绿颜色的球各1个，拿出一个记下颜色，在放回去，这样一个拿了三次，则拿三个黄色球的机会有多大？拿到两个黄色球、一个绿色球的机会有多大？2、将分别标有数字1，2，3的二张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上．（1）随机地抽取，一张求P（奇数）；（2）随机地抽取一张作为十位上的数字（不放回）再抽取一张作为个位上的数字，能组成哪些两位数？恰好是“32”的概率为多少？三、实验课堂·巩固练习1、小昆和小明相约玩一种‘造数’游戏，游戏规则如下：同时抛掷一枚均匀的硬币和一枚均匀的骰子，硬币的正、反面分别表示‘新数’的性质符号(约定硬币正面向上记为“＋”号，反面向上记为“－”号)，与骰子投出面朝上的数字组合成一个‘新数’；如抛掷结果为“硬币反面向上，骰子面朝上的数字是4”，记为“－4”．(1)利用树状图或列表的方法(只选其中一种)表示出游戏可能出现的所有结果；(2)写出组合成的所有‘新数’；(3)若约定投掷一次的结果所组合成的‘新数’是3的倍数，则小昆获胜；若是4或5的倍数，则小明获胜．你觉得他们的约定公平吗？为什么？2、如图①，有四张编号为1、2、3、4的卡片，卡片的背面完全相同．现将它们搅匀并正面朝下放置在桌面上．(1)从中随机抽取一张，抽到的卡片是眼睛的概率是多少？(2)从四张卡片中随机抽取一张贴在如图②所示的大头娃娃的左眼处，然后再随机抽取一张贴在大头娃娃的右眼处，用树状图或列表法求贴法正确的概率．3、 小军与小玲共同发明了一种“字母棋”，进行比胜负的游戏. 她们用四种字母做成10只棋子，其中A 棋1只，B 棋2只，C 棋3只，D 棋4只.“字母棋”的游戏规则为：①游戏时两人各摸一只棋进行比赛称一轮比赛，先摸者摸出的棋不放回；②A 棋胜B 棋、C 棋；B 棋胜C 棋、D 棋；C 棋胜D 棋；D 棋胜A 棋；③相同棋子不分胜负.（1）若小玲先摸，问小玲摸到C 棋的概率是多少?（2）已知小玲先摸到了C 棋，小军在剩余的9只棋中随机摸一只，问这一轮中小玲胜．．．小军．．的概率是多少?(第23题图②) ③ ④ (第23题图①)4、在试制某种洗发液新品种时，需要选用两种不同的添加剂．现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用．根据试验设计原理，通常要先从芳香度为0，1，2的三种添加剂中随机选取一种，再从芳香度为3，4，5的三种添加剂中随机选取一种，进行搭配试验．请你利用树状图（树形图）或列表的方法，表示所选取两种不同添加剂所有可能出现的结果，并求出芳香度之和等于4的概率．5、汉字是世界上最古老的文字之一，字形结构体现人类追求均衡对称、和谐稳定的天性．如图，三个汉字可以看成是轴对称图形．土口木（1）请在方框中再写出2个类似轴对称图形的汉字；（2）小敏和小慧利用“土”、“口”、“木”三个汉字设计一个游戏，规则如下：将这三个汉字分别写在背面都相同的三张卡片上，背面朝上洗匀后抽出一张，放回洗匀后再抽出一张，若两次抽出的汉字能构成上下结构的汉字（如“土”“土”构成“圭”）小敏获胜，否则小慧获胜．你认为这个游戏对谁有利？请用列表或画树状图的方法进行分析并写出构成的汉字进行说明．解：（1）6、九年级1班将竞选出正、副班长各1名，现有甲、乙两位男生和丙、丁两位女生参加竞选．（1）男生当选班长的概率是；（2）请用列表或画树状图的方法求出两位女生同时当选正、副班长的概率．7、某商场搞摸奖促销活动：商场在一只不透明的箱子里放了三个相同的小球，球上分别写有“10元”、“20元”、“30元”的字样．规定：顾客在本商场同一日内，每消费满100元，就可以在这只箱子里摸出一个小球（顾客每次摸出小球看过后仍然放回箱内搅匀），商场根据顾客摸出小球上所标金额就送上一份相应的奖品．现有一顾客在该商场一次性消费了235元，按规定，该顾客可以摸奖两次，求该顾客两次摸奖所获奖品的价格之和超过40元的概率．8．某学校七年级数学兴趣小组组织一次数学活动．在一座有三道环形路的数字迷宫的每个进口处都标记着一个数，要求进入者把自己当做数“1”，进入时必须乘进口处的数，并将结果带到下一个进口，依次累乘下去，在通过最后一个进口时，只有乘积是5的倍数，才可以进入迷宫中心，现让一名5岁小朋友小军从最外环任一个进口进入．（1）小军能进入迷宫中心的概率是多少？请画出树状图进行说明．（第27题图）（2）小组两位组员小张和小李商量做一个小游戏，以猜测小军进迷宫的结果比胜负．游戏规则规完：小军如果能进入迷宫中心，小张和小李各得1分；小军如果不能进入迷宫中心，则他在最后一个进口处所得乘积是奇数时，小张得3分，所得乘积是偶数时，小李得3分，你认为这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请在第二道环进口处的两个数中改变其中一个数使游戏公平．（3）在（2）的游戏规则下，让小军从最外环进口任意进入10次，最终小张和小李的总得分之和不超过28分，请问小军至少几次进入迷宫中心？9、下面三张卡片上分别写有一个等式，把它们背面朝上洗匀，小明闭上眼睛，从中随机抽取一张卡片，再从剩下的卡片中随机抽取另一张．第一次抽取的卡片上的整式做分子，第二次抽取的卡片上的整式做分母，用列表法或树形图法求能组成分式的概率是多少？四、课堂总结·错题集锦x1x 2。
概率初步知识点
概率初步知识点归纳1、概率的有关概念1.概率的定义：某种事件在某一条件下可能发生，也可能不发生，但可以知道它发生的可能性的大小，我们把刻划（描述）事件发生的可能性的大小的量叫做概率.2、事件类型：○1必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件.○2不可能事件：有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件.○3不确定事件：许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件.必然事件、不可能事件都是在事先能肯定它们会发生，或事先能肯定它们不会发生的事件，因此它们也可以称为确定性事件.不确定事件都是事先我们不能肯定它们会不会发生，我们把这类事件称为随机事件。
练习：1．足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首先发球者，其主要原因是( )．A．让比赛更富有情趣B．让比赛更具有神秘色彩C．体现比赛的公平性D．让比赛更有挑战性2．小张掷一枚硬币，结果是一连9次掷出正面向上，那么他第10次掷硬币时，出现正面向上的概率是( )．A．0 B．1 C．0.5 D．不能确定3．关于频率与概率的关系，下列说法正确的是( )．A．频率等于概率B．当试验次数很多时，频率会稳定在概率附近C．当试验次数很多时，概率会稳定在频率附近D．试验得到的频率与概率不可能相等4．下列说法正确的是( )．A．一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了2000次，其中，抛掷出5点的次数最少，则第2001次一定抛掷出5点B．某种彩票中奖的概率是1％，因此买100张该种彩票一定会中奖C．天气预报说明天下雨的概率是50％．所以明天将有一半时间在下雨D．抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等5．下列说法正确的是( )．A．抛掷一枚硬币5次，5次都出现正面，所以投掷一枚硬币出现正面的概率为1B．“从我们班上查找一名未完成作业的学生的概率为0”表示我们班上所有的学生都完成了作业C．一个口袋里装有99个白球和一个红球，从中任取一个球，得到红球的概率为1％，所以从袋中取至少100次后必定可以取到红球(每次取后放回，并搅匀) D．抛一枚硬币，出现正面向上的概率为50％，所以投掷硬币两次，那么一次出现正面，一次出现反面6．在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球，其中白球1个，黄球1个，红球2个，摸出一个球不放回，再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是( )．A ．21 B ．31 C ．61 D ．81 7．在今年的中考中，市区学生体育测试分成了三类，耐力类、速度类和力量类．其中必测项目为耐力类，抽测项目为：速度类有50m 、100m 、50m × 2往返跑三项，力量类有原地掷实心球、立定跳远、引体向上(男)或仰卧起坐(女)三项．市中考领导小组要从速度类和力量类中各随机抽取一项进行测试，请问同时抽中50m × 2往返跑、引体向上(男)或仰卧起坐(女)两项的概率是( )． A ．31B ．32C ．61D ．918．元旦游园晚会上，有一个闯关活动：将20个大小、重量完全一样的乒乓球放入一个袋中，其中8个白色的，5个黄色的，5个绿色的，2个红色的．如果任意摸出一个乒乓球是红色，就可以过关，那么一次过关的概率为( )． A ．32 B ．41 C ．51 D ．101 9．下面4个说法中，正确的个数为( )． (1)“从袋中取出一只红球的概率是99％”，这句话的意思是肯定会取出一只红球，因为概率已经很大(2)袋中有红、黄、白三种颜色的小球，这些小球除颜色外没有其他差别，因为小张对取出一只红球没有把握，所以小张说：“从袋中取出一只红球的概率是50％” (3)小李说，这次考试我得90分以上的概率是200％ (4)“从盒中取出一只红球的概率是0”，这句话是说取出一只红球的可能性很小 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 10．下列说法正确的是( )．A ．可能性很小的事件在一次试验中一定不会发生B ．可能性很小的事件在一次试验中一定发生C ．可能性很小的事件在一次试验中有可能发生D ．不可能事件在一次试验中也可能发生 3、（重点）概率的计算1、概率的计算方式：概率的计算有理论计算和实验计算两种方式，根据概率获得的方式不同，它的计算方法也不同.2、如何求具有上述特点的随机事件的概率呢？ 如果一次试验中共有n 种可能出现的结果，而且这些结果出现的可能性都相同，其中事件A 包含的结果有m 种，那么事件A 发生的概率P(A)=n m 。
第25章概率初步
第25章，概率初步随机事件与概率--知识讲解【要点梳理】要点一、确定事件与不确定事件 1.确定事件在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定发生，这些事情称为必然事件．有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件．必然事件与不可能事件统称为确定事件. 2.不确定事件也有许多事情我们事先无法肯定它会不会发生，这些事情称为不确定事件，也称为随机事件. 要点诠释：要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同.要点二、频率与概率 1.频率与概率的定义频率：在n 次重复试验中，不确定事件A 发生了m 次，则比值称为事件A 发生的频率.无论是掷质地均匀的硬币还是掷图钉，在试验次数很大时正面朝上（钉尖朝上）的频率都会在一个常数附近摆动，这就是频率的稳定性.概率：我们把刻画事件A 发生的可能性大小的数值，称为事件A 发生的概率，记作P （A ）.事件A 的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即.2.频率与概率的关系事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值. 要点诠释：①事件A 的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即，其中P(必 然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1.②概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.mn【典型例题】类型一、确定事件与不确定事件1.指出下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是不确定事件？①若 a、b、c都是实数，则a(bc)=(ab)c；②没有空气，动物也能生存下去；③在标准大气压下，水在 90℃时沸腾；④直线 y=k(x+1)过定点(-1，0)；⑤某一天内电话收到的呼叫次数为 0；⑥一个袋内装有形状大小完全相同的一个白球和一个黑球，从中任意摸出 1个球则为白球.举一反三【变式1】下列事件是必然事件的是( )．A．明天要下雨；B．打开电视机，正在直播足球比赛；C．抛掷一枚正方体骰子，掷得的点数不会小于1；D．买一张彩票，一定会中一等奖.【变式2】下列说法中，正确的是( )．A．生活中，如果一个事件不是不可能事件，那么它就必然发生；B．生活中，如果一个事件可能发生，那么它就是必然事件；C．生活中，如果一个事件发生的可能性很大，那么它也可能不发生；D．生活中，如果一个事件不是必然事件，那么它就不可能发生.2. 在一个不透明的口袋中，装有10个除颜色外其它完全相同的球，其中5个红球，3个蓝球，2个白球，它们已经在口袋中搅匀了.下列事件中，哪些是必然发生的？哪些是不可能发生的？哪些是可能发生的？(1)从口袋中任取出一个球，它恰是红球；(2)从口袋中一次性任意取出2个球，它们恰好全是白球；(3)从口袋中一次性任意取出5个球，它们恰好是1个红球，1个蓝球，3个白球.举一反三【变式】甲、乙两人做掷六面体骰子的游戏，双方规定，若掷出的骰子的点数大于3，则甲胜，若掷出的点数小于3，则乙胜，游戏公平吗？若不公平，请你设计出一种对于双方都公平的游戏.类型二、频率与概率3.关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（）A. 频率等于概率B. 当实验次数很大时，频率稳定在概率附近C. 当实验次数很大时，概率稳定在频率附近D. 实验得到的频率与概率不可能相等【总结升华】概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.(1)计算表中各场次比赛进球的频率；(2)这位运动员每次投篮，进球的概率约为多少?【总结升华】频率和概率的关系：当大量重复试验时，频率会稳定在概率附近.举一反三【变式】某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：击中靶心频率()(1)计算表中击中靶心的各个频率(精确到0.01)；(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少(精确到0.1)？一、选择题1．“抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是( ) ．A．随机事件B．确定事件C．必然事件D．不可能事件2．下列说法正确的是（）．A．“购买1张彩票就中奖”是不可能事件B．“概率为0.0001的事件”是不可能事件（第7题图）(第10题图)C ．“任意画一个三角形，它的内角和等于180°”是必然事件D ．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次 3.“明天降水概率是30%”，对此消息下列说法中正确的是( ). A ．明天降水的可能性较小 B ．明天将有30%的时间降水C ．明天将有30%的地区降水D ．明天肯定不降水4．某市决定从桂花、菊花、杜鹃花中随机选取一种作为市花，选到杜鹃花的概率是( ) ．A ．1B ．12C ．13D ．05.事件A ：打开电视，它正在播广告；事件B ：抛掷一个均匀的骰子，朝上的点数小于7；事件C ：在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化.3个事件的概率分别记为P(A)、P(B)、 P(C)，则P(A)、P(B)、 P(C)的大小关系正确的是( ). A .P(C)＜P(A)=P(B) B . P(A)＜ P(B)＜P(C) C .P(C)＜ P(B)＜P(C) D . P(C)＜ P(A)＜P(B)6. 小玲在一次班会中参与知识抢答活动，现有语文题6个，数学题5个，综合题9个，她从中随机抽取1个，抽中数学题的概率是（ ）.A ．201 B ．41C ．51D ．31 7．一只小狗在如图所示的方砖上走来走去，最终停在阴影方砖上的概率是（ ）． A ．154 B ．31 C ．51 D ．1528．一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（ ）． A ．12 B ．14 C ．16 D ．1129. 在一个不透明的盒子中装有a 个除颜色外完全相同的球，这a 个球中只有3个红球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a 的值大约为（ ）．A ．12B ．15C ．18D ．2110．某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ）.A ．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”B ．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃C ．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球D ．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4 二、填空题 11. 从 - 1, 0,31, ,3中随机任取一数, 取到无理数的概率是 . 12.在一次抽奖活动中，中奖概率是0.12，则不中奖的概率是 ． 13．随机掷一枚均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是．14. 为了估计鱼塘中鱼的条数，养鱼者首先从鱼塘中打捞30条鱼做上标记，然后放归鱼塘，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中，再打捞200条鱼，发现其中带标记的鱼有5条，则鱼塘中估计有 条鱼．15.有长度分别为2cm ，3cm ，4cm ，7cm 的四条线段，任取其中三条能组成三角形的概率是 ．16.不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有2个，黄球有1个，现从中任意摸出一个白球的概率是61，则口袋里有蓝球 个.三、解答题（本大题共6小题，共44分） 17．从甲、乙、丙3名同学中随机抽取环保志愿者，求下列事件的概率： （1）抽取1名，恰好是甲；（2）抽取2名，甲在其中．18．节能灯根据使用寿命分成优等品、正品和次品三个等级，其中使用寿命大于或等于8000小时的节能灯是优等品，使用寿命小于6000小时的节能灯是次品，其余的节能灯是正品，质监部门对某批次的一种节能灯（共200个）的使用寿命进行追踪调查，并将结果整理成下表．6000≤t<7000 80 0.40 7000≤t<8000 b 0.15 8000≤t<900060 c 合计2001（1）根据分布表中的数据，在答题卡上写出a ，b ，c 的值；（2）某人从这200个节能灯中随机购买1个，求这种节能灯恰好不是次品的概率．19．小颖为九年级1班毕业联欢会设计了一个“配紫色”的游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，游戏者同时转动两个转盘，两个转盘停止转动时，若有一个转盘的指针指向蓝色，另一个转盘的指针指向红色，则“配紫色”成功，游戏者获胜，求游戏者获胜的概率．20．一个不透明的布袋里装有2个白球，1 个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同. 从中任意摸出1个球，是白球的概率为12. (1)布袋里红球有多少个？(2)先从布袋中摸出1个球后不放回．．．，再摸出1个球，请用列表或画树状图等方法求出两次摸到的球都是白球的概率.红蓝 蓝红红(第19题图)。
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一对一个性化辅导教案
教导处签字：日期：年月日
课后评价学生对于本次课的评价○ 特别满意○ 满意○ 一般○ 差
学生签字：
课题北师大版七年级数学下册概率的初步复习
考点分析掌握对于事件发生的可能性判断，切合实际生活培养兴趣。
对于事件概率的计算方法掌握，学会用概率做实验证实游戏的公平性。
一般选择、填空、解答题出现，阶段考（6-15分）或中考都占一定的分数（3-6分）
教学步骤及教学内容教学步骤及教学内容包括的环节：
一、教学衔接（课前环节）
1、回收上次的教案
2、捕捉学生的思想动态和了解学生的本周学校的学习内容课前热身：
回收上次课的教案，了解家长的反馈意见；
了解学生学习情况
引入本节课内容
三、知识讲解：
①.教学内容
错题重现
相似题练习
②.教学辅助练习（或探究训练）
练习1、 P3
练习2、 P5-6
课堂小结。
总结这节课的基本内容
作业布置。
P7、8
二、教师评定
1、学生上次作业评价：○ 好○ 较好○ 一般○ 差
2、学生本次上课情况评价：○ 好○ 较好○ 一般○ 差
教师签字：
作业
布置
教师
留言
家长
留言家长签字：日期：年月日
心灵鸡汤
世上知音难寻。
伯乐与千里马的故事也不常有。
只是因为人与人之间实在是难以进行彻彻底底的理解。
讲义：北师大版七年级数学下册概率的初步复习
教学步骤及教学内容包括的环节：作业检查：
检查学生的作业，及时指点。
课前热身：
)
3
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2
3(2y
x
y
x
y
x+
-
-
-)2
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2-
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-x
x
x
1、化简求值：[]x
y
y
x
y
x
y
x2
5
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3
)(
(
)
2
(2
2÷
-
-
+
-
+，其中
2
1
,2=
-
=y
x
2.已知：如图, ∠1=∠2 , ∠3=∠4求证：AC=AB．
3．如图，已知CD
AB//，CF
AE//，求证：DCF
BAE∠
=
∠。
【错题重现】
F
E
D
C
B A
【相似题练习】
1、小明参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，今从中任选一个，选中_____的可能性较小.
【错题重现】
【相似题练习】
【错题重现】
【相似题练习】
1、从数1、
2、
3、
4、5中任取两个数字，得到的都是偶数，这一事件是_____.
2、一个口袋内装有大小和形状相同的一个白球和两个红球，从中任取一个球，得到白球，这个事件是( )
A.必然事件
B.不确定事件
C.不可能事件
D.不能确定
3不透明的口袋中装有除颜色不同其他完全相同得球10个，其中2个红球，3个绿球，其余都是黄球。
从口袋中任意摸一球的颜色是下列各种情况的概率分别是多少？
练习
1、甲产品合格率为98%，乙产品的合格率为80%你认为买哪一种产品更可靠？
2、阿强在一次抽奖活动中，只抽了一张就中了一等奖，能不能说这次抽奖活动的中奖率为百分之百？为什么？
3、从一副扑克牌（除去大小王）中任抽一张，分别求抽到红心、抽到黑桃、抽到红心3、抽到5的概率？
4、有5张数字卡片，它们的背面完全相同，正面分别标有1，2，2，3，4。
现将它们的背面朝上，从中任意摸到一张卡片，问摸到1号卡片，摸到2号卡片，摸到3号卡片，摸到4号卡片摸到奇数号卡片，摸到偶数号卡片的概率分别是多少？
5、（1）、袋子里有1个红球，3个白球和5个黄球，每一个球除颜色外都相同从中任意摸出一个球，求摸到红球，摸到白球，摸到黄球的概率
（2）任意翻一下2004年日历，翻出1月6日的概率？翻出4月31日的概率？
四、课堂小结。
让学生复述本节课主要内容。
作 业
（时间：15分钟，分数：30分） 相信自己，你最棒！ 1. 下列事件发生的概率为0的是（ ）
A.小明的爸爸买体彩中了大奖
B.小强的体重只有25公斤
C.将来的某天会有370天 D .未来三天必有强降雨
☆ 说出生活中的必然事件、不可能事件和不确定事件（每一个至少举一个例子）
2、一个袋中有a 只红球，b 只红球，它们除颜色不同外，其它均相同，若从中摸出一个球是红球的概率为 （ ）
A.b a
B. a b
C. b a a + D . b
a b + 3、小狗在如图所示的方砖上走来走去，最终停在黑色方砖上的概率为（ ）
A.81
B. 97
C. 92 D . 16
7 4、 一次抽奖活动中，印发奖券1000张，其中一等奖20张，二等奖80张，三等奖200张，那么第一位抽奖者（仅买一张奖券）中奖的机会是( ) A ．
150
B ．
2
25
C ．15
D ．310
5、从一箱产品中随机地抽取一件产品，设事件A=“抽到的一等品”，事件B=“抽到的二等
品”，事件C=“抽到的三等品”，且已知P （A ）=0.7，P （B ）=0.1，P （C ）=0.05，求下列事件的概率
（1）事件D=“抽到的是一等品或二等品” （2）事件E=“抽到的是二等品或三等品”
6、有一组卡片，制作的颜色，大小相同，分别标有0—10这11个数字，现在将它们背面向上任意颠倒次序，然后放好后任取一组，则： （1）P （抽到两位数）= ； （2）P （抽到一位数）= ； （3）P （抽到的数大于8）= ；
7、某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯40s ，绿灯60s ，黄灯3s .小刚的爸爸随机地由南往北开车经过该路口时遇到红灯的概率是_________．
8、如图是一个可自由转动的转盘，转动转盘，停止后，指针指向3的概率是_______.
9、如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率是 .
10若从一个不透明的口袋中任意摸出一球是白球的概率为6
1
，已知袋中白球有3个，则袋中球
的总数是____________。
11、下面是两个可以自由转动的转盘，转动转盘，分别计算转盘停止后，指针落在红色区域的概
率.
12、用10个球设计一个摸球游戏：
（1）使摸到红球的概率为5
1
；
（2）使摸到红球和白球的概率都是5
2
.
13、下列事件中，哪些是确定事件？哪些是不确定事件？
（1）任意掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数是6.
（2）在一个平面内，三角形三个内角的和是190度.
（3）线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
（4）打开电视机，它正在播动画片.
14、请将下列事件发生的概率标在图中：
（1）随意掷两枚质地均匀的骰子，朝上面的点数之和为1；
（2）抛出的篮球会下落；
（3）从装有3个红球、7个白球的口袋中任取一个球，恰好是红球（这些球除颜色外完全相同）；
（4）掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后，正面朝上.。