江西专用201x中考数学总复习第二部分专题综合强化专题五几何探究题类型2针对训练
(江西专用)2019中考数学总复习第二部分专题综合强化 针对性试题(打包28套)
第二部分 专题一 类型一1.(2018·安徽)矩形ABCD 中,AB =6,BC =8,点P 在矩形ABCD 的内部,点E 在边BC 上,满足△PBE ∽△DBC ,若△APD 是等腰三角形,则PE 的长为3或65.2.(2019·原创)正方形ABCD 的边长为4,E 是AD 的中点,点P 是直线BC 边上的动点,若CP =6,则EP 长为3.(2018·江西名校联盟二)△ABC 中,∠A =30°,AC =8,∠B =90°,点D 在AB 上,BD =3,点P 在△ABC 上,则当AP =2PD 时,PD 4.(2018·牡丹江)矩形ABCD 中,AB =6,AD =8,点M 在对角线AC 上,且AM ∶MC =2∶3,过点M 作EF ⊥AC 交AD 于点E ,交BC 于点F .在AC 上取一点P ,使∠MEP =∠EAC ,则AP 的长为74或254.5.(2018·景德镇三模)如图,在菱形ABCD 中,其对角线AC ,BD 相交于点O ,点E 是线段BO 上的一个动点,点F 为射线DC 上一点,若∠ABC =60°,∠AEF =120°,AB =4,则EF 可能的整数值是2,3,4.6.(2018·上饶模拟)如图,一次函数y =kx +1的图象过点A (1,2),且与x 轴相交于点B .若点P 是坐标轴上的一点,且满足∠APB =90°,则点P7.(2019·原创)如图,已知点A 为⊙O 上一点,射线AM 与⊙O 的另一交点为B ,且AB =8,⊙O 的半径为5.若P 为射线AM 上的一点,BP =2,则tan ∠OPA 的值为12或32.8.(2018·南昌三模)如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,四边形ABCD 是平行四边形,点A ,B ,C 的坐标分别为A (0,4),B (-2,0),C (8,0),点E 是BC 的中点,点P 为线段AD 上的动点,若△BEP 是以BE 为腰的等腰三角形,则点P 的坐标为 (1,4),(0,4)或(6,4).第二部分 专题一 类型二1.(2018·抚顺)如图,△AOB 三个顶点的坐标分别为A (8,0),O (0,0),B (8,-6),点M 为OB 的中点.以点O 为位似中心,把△AOB 缩小为原来的12,得到△A ′O ′B ′,点M ′为O ′B ′的中点,则MM ′的长为52或152.2.(2018·吉安二模)如图,在反比例函数图象中,△AOB 是等边三角形,点A 在双曲线的一支上,将△AOB 绕点O 顺时针旋转α(0°<α<360°),使点A 仍在双曲线上,则α=_30°,180°,210°.3.(2018·江西模拟)如图,在边长为2的菱形ABCD 中,∠A =60°,点P 为射线AB 上一个动点.过点P 作PE ⊥AB 交射线AD 于点E .将△AEP 沿直线PE 折叠,点A 的对应点为F ,连接FD ,FC ,若△FDC 为直角三角形时,AP 的长为12或32.4.(2018·高安四模)如图,OA ⊥OB 于点O ,OA =4,⊙A 的半径是2,将OB 绕点O 按顺时针方向旋转,当OB 与⊙A 相切时,OB 旋转的角度为60°或120°.5.(2018·宜春三模)如图,Rt △ABC 纸片中,∠C =90°,AC =6,BC =8,点D 在边BC 上,以AD 为折痕将△ABD 折叠得到△AB ′D ,AB ′与边BC 交于点E .若△DEB ′为直角三角形,则BD 的长是2或5.6.(2019·原创)将边长为6的正方形ABCD 绕点A 旋转30°,得到正方形AB ′C ′D ′,则BD 7.(2018·江西二模)如图,在矩形ABCD 中,AB =5,BC =7,点E 是AD 上一个动点,把△BAE 沿BE 向矩形内部折叠,当点A 的对应点A ′恰好落在∠BCD 的平分线上时,CA ′的长为8.(2018·萍乡模拟)如图,已知△ABC 中,AB =AC =5,BC =8,若△ABC 沿射线BC 方向平移m 个单位得到△DEF ,顶点A ,B ,C 分别与D ,E ,F 对应,若以点A ,D ,E 为顶点的三角形是等腰三角形,则m 的值是258,5或8.9.(2018·九江模拟)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AC =BC =3,D 为BC 上一点,且∠ADB =120°.若将线段AD 绕点A 旋转30°,得到AD ′,则以BD ′为边长的正方形的面积为10.(2018·江西四模)如图,正方形ABCD 的边长为4,在AD 边上存在一个动点E (不和点A ,D 重合),沿BE 把△ABE 折叠,当点A 的对应点A ′恰好落在正方形ABCD 的对称轴上时,则AE 的长为3第二部分 专题一 类型三1.(2018·鹰潭模拟)如图,有一三角形纸片ABC ,∠A =80°,点D 是AC 边上一点,沿BD 方向剪开三角形纸片后,发现所得两纸片均为等腰三角形,则∠C 的度数可以是25°或40°或10°.2.(2019·原创)如图所示,在纸片ABCD 中,已知AB ∥DC ,∠D =90°,AD =8,AB =3,CD =4,点E 为AD 边上一点,小明沿EB ,EC 用剪刀将纸片ABCD 剪成三张三角形纸片,要使其中的△EAB 与△EDC 相似,则AE 的长为247,2或6.3.(2018·江西模拟)在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点,分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形,剩下的部分是如图所示的四边形ABCD ,其中AB =2,BC=4,CD =3,∠B =∠C =90°,则原三角形纸片的斜边长是4.(2019·原创)用直角边分别为3和4的两个直角三角形拼成凸四边形,所得的四边形的周长是14或16或18.5.(2018·江西模拟)如图,将一条长为7 cm 的卷尺铺平后折叠,使得卷尺自身的一部分重合,然后在重合部分(阴影处)沿与卷尺边垂直的方向剪一刀,此时卷尺被分成了三段,若这三段长度由短到长之比为1∶2∶4,其中没完全盖住的部分最长,则折痕对应的刻度可能是2或2.5 cm.6.(2018·抚州模拟)已知△ABC 是等边三角形,且AB =4,△ACD 是一个含30°角的直角三角形,现将△ABC 和△ACD 拼成一个凸四边形ABCD ,则对角线BD 的长为37.(2018·上饶二模)如图,在等腰三角形纸片ABC 中,AB =AC =5 cm ,BC =6 cm ,若将△ABC 沿底边BC 上的高AD 剪成两个三角形,再用这两个三角形拼成一个平行四边形,则这个平行四边形较长的对角线的长是8.(2018·宜春二模)将两块全等的三角板如图放置,点O 为AB 的中点,AB =A ′B ′=10,BC =B ′C ′=6,现将三角板A ′B ′C ′绕点O 旋转,B ′C ′,A ′B ′与边AC 分别交于点M ,N ,当△OMN 与△BCO 相似时,CM 的长度为258或74.第二部分 专题二 类型一1.(2018·江西模拟)如图,已知C 为AB 的中点,分别以AC ,BC 为边,在AB 的同侧作等边△ACE与等边△BCD,连接BE,请仅用无刻度的直尺按下列要求作图.(保留作图痕迹,不写作法)(1)在图1中,作出AE的中点P;(2)在图2中,过点C作AE的垂线l.解:(1)如答图1,点P即为所求.(2)如答图2,直线l即为所求.2.(2018·吉安模拟)根据下列条件和要求,仅使用无刻度的直尺画图,并保存画图痕迹.(1)如图1,△ABC中,∠C=90°,在三角形的一边上取一点D,画一个钝角△DAB;(2)如图2,△ABC中,AB=AC,ED是△ABC的中位线,画出△ABC中∠BAC的角平分线.解:(1)如答图1,△DAB即为所求.(2)如答图2,AF即为∠BAC的角平分线.3.(2018·江西师大附中模拟)在△ABE中,点C,D分别为AE,BE的中点,请仅用无刻度的直尺按要求作图.(不写作法,保留作图痕迹)(1)如图1,AE=BE,作出AB的垂线;(2)如图2,AE≠BE,作出BE的平行线l.解:(1)如答图1,直线EM即为所求.(2)如答图2,直线l即为所求.4.(2018·鹰潭模拟)请仅用无刻度的直尺按要求作图.(不写作法,保留作图痕迹)(1)如图1,AD,BE是△ABC的角平分线,且相交于点O,作出∠C的平分线;(2)如图2,AC与BD相交于点O,且∠DAO=∠BAO=∠CBO=∠ABO,作出∠AOB的平分线.解:(1)如答图1,CF即为所求.(2)如答图2,OF即为所求.5.(2018·新余模拟)如图,C,D是线段AB的三等分点,分别以AC,CD,DB为边向AB 上方作等边三角形,请仅用无刻度的直尺完成下列作图.(不写作法,保留作图痕迹)(1)在图1中,作AB的中点P;(2)在图2中,作一个矩形.解:(1)如答图1(或答图2,3),点P即为所求.(2)如答图4,矩形MCNF即为所求.(答案不唯一)6.(2018·萍乡模拟)请仅用无刻度的直尺,根据下列条件分别在图1和图2中画出BC 的垂直平分线.(保留作图痕迹,不写作法)(1)如图1,△ABC是以BC为底边的等腰三角形,点D为△ABC内一点,BD=CD;(2)如图2,AB=AC,E,F分别为AB,AC的中点.解:(1)如答图1,AE即为所求.(2)如答图2,AG即为所求.第二部分专题二类型二1.(2018·临川一中模拟)如图,是由两个全等的矩形拼在一起的图形,请仅用无刻度的直尺,直接在图中用连线的方式按要求画出图形,并用字母表示所画图形.(1)在图1中画出一个平行四边形(要求不与原矩形重合);(2)在图2中画出一个菱形.解:(1)如答图1,四边形ABCD即为所求平行四边形.(2)如答图2,四边形ABCD即为所求菱形.2.(2018·南昌二中模拟)如图1、图2,四边形ABCD是正方形,DE=CE.请仅用无刻度的直尺按要求完成下列画图.(1)在图1中,画出CD边的中点;(2)在图2中,画出AD边的中点.解:(1)如答图1,点F即为所求.(2)如答图2,点M即为所求.3.(2018·遂川模拟)如图,在四边形ABCD中,AB=AC,BD=DC,BE∥DC,请仅用无刻度的直尺按下列要求画图.图1 图2(1)在图1中,画一个以AB为边的直角三角形;(2)在图2中,画一个菱形.解:(1)如答图1,Rt△AOB即为所求.(2)如答图2,四边形BFCD即为所求.4.(2018·章贡区模拟)如图,在矩形ABCD中,点E在BC上,且AE=EC,请仅用无刻度的直尺,分别按下列要求画图(保留作图痕迹).(1)在图1中,画出∠DAE的平分线;(2)在图2中,画出∠AEC的平分线.解:(1)如答图1,AC即为所求.(2)如答图2,EF即为所求.5.(2018·江西样卷七)如图,在□ABCD中,点E在BC上,AB=BE,BF平分∠ABC交AD于点F,请仅用无刻度的直尺,按要求画图(保留作图痕迹,不写画法).(1)在图1中,过点A画出△ABF中BF边上的高;(2)在图2中,过点C画出BF的垂线.解:(1)如答图1,AG即为所求.(2)如答图2,CH即为所求.6.(2019·原创)如图,菱形ABCD,点P是AB的中点,连接CP.请仅用无刻度的直尺按要求画图.(1)在图1中画出BC边的中点E;(2)在图2中画出∠DCF,使得∠DCF=∠BCP.解:(1)如答图1,点E即为所求.(2)如答图2,∠DCF即为所求.第二部分专题二类型三1.(2018·九江模拟)已知正六边形ABCDEF ,请仅用无刻度的直尺,分别按下列要求作图.(1)在图1中,以AB 为边,作等边三角形; (2)在图2中,作一个含30°角的直角三角形.解:(1)如答图1,△AOB 即为所求. (2)如答图2,△FCD 即为所求.2.(2018·江西样卷五)如图,正六边形ABCDEF 的边长为1,请仅用无刻度的直尺按要求画图.(1)在图1中画出一条长度为12的线段;(2)在图2中画出一条长度为13的线段.解:(1)如答图1,线段AG 即为所求. (2)如答图2,线段HO 即为所求.3.(2018·江西模拟)如图,已知正八边形ABCDEFGH ,请仅用无刻度的直尺,分别按下列要求作图.(1)在图1中,作出一个正方形; (2)在图2中,作出一个等腰直角三角形.解:(1)如答图1,四边形BDFH即为所作的正方形(答案不唯一);(2)如答图2,△BFH即为所求.(答案不唯一)4.(2018·江西师大附中模拟)如图,已知正八边形的边长为2,请仅用无刻度的直尺,分别按下列要求作图.(1)在图1中,作出一个边长不为2的正方形;(2)在图2中,作出一个不是正方形的菱形.解:(1)如答图1,四边形ABCD即为所作正方形.(答案不唯一,画图正确即可)(2)如答图2.(答案不唯一,画图正确即可)5.(2018·吉安模拟)如图,在五边形ABCDE中,AB=AE=DE,CD=CB,∠ABC=120°.请仅用无刻度的直尺按要求画出图形.(1)在图1中,作出图形的对称轴l;(2)在图2中,作出一个正六边形.解:(1)如答图1,l即为所求;(2)如答图2,正六边形ABPJDE即为所求.第二部分专题二类型四1.如图,在边长为1的正方形网格中画一个圆心为O的半圆,请按要求准确画图.(1)请在图1中仅用无刻度的直尺连线将半圆的面积三等份;(2)请在图2网格中以O为圆心,用直尺与圆规画一个与已知半圆的半径不同,但面积相等的扇形.解:(1)作图如答图1;(2)作图如答图2.2.(2018·吉安十校联考二模)如图,8个完全相同的小矩形拼成了一个大矩形,AB是其中一个小矩形的对角线,请按照下列要求画图,要求:①仅用无刻度的直尺;②保留必要的画图痕迹.(1)在图1中,画出一个45°的角,使点A或者点B是这个角的顶点,且AB为这个角的一边.(2)在图2中,画出线段AB的垂直平分线.解:(1) 如答图1,∠BAC或∠ABC即为所求.(画法有多种,正确画出一种即可)(2)如答图2,MN 即为所求.(画法不唯一)3.(2018·宜春模拟)如图,下列正方形网格的每个小正方形的边长均为1,⊙O 的半径为10,规定:顶点既在圆上又是正方形格点的直角三角形称为“圆格三角形”,请仅用使用无刻度的直尺,分别按照下列条件,在图1,图2中画一个“圆格三角形”,(1)一个锐角的正切值为13 ;(2)面积为8.解:(1)如答图1,直角边长为2,6的Rt △ACB 即为所求.(画法不唯一,正确即可) (2)如答图2,直角边分别为22,42的Rt △ABC 即为所求.(画法不唯一,正确即可)4.(2018·崇仁二中模拟)如图所示,在4×4的菱形斜网格图中(每一个小菱形的边长为1,有一个内角是60°),线段AB 的端点在格点上,请仅用无刻度的直尺在下列图形中按要求画图.(1)在图1中,画出一个以AB 为边,且顶点均在格点上的等腰三角形;(2)在图2中,画出一个以AB 为边的面积最大的平行四边形,且该平行四边形的顶点均在格点上.解:(1)如答图1.(画法不唯一,正确画出一种即可) (2)如答图2, 平行四边形ABFG 即为所求.5.(2018·广昌一中模拟)图1、图2是两张形状大小完全相同的方格纸,方格纸中的每个小正方形的边长均为1,线段AB,EF的端点均在小正方形的顶点上,请仅用无刻度直尺按要求完成下列作图(保留作图痕迹,不写作法).(1)如图1,作出以AB为对角线的正方形;(2)如图2,以线段EF为一边作出等腰△EFG(点G在小正方形顶点处)且顶角∠EFG为钝角.解:(1)如答图1,正方形AEBF即为所作;(2)如答图2,△EFG即为所作.第二部分专题二类型五1.(2018·江西模拟)如图,△ABC是⊙O的内接三角形,请仅用无刻度的直尺在下列图形中按要求画图.(1)在图1中,已知OD⊥BC于点D,画出∠A的角平分线;(2)在图2中,已知OE⊥AB于点E,OF⊥AC于点F,画出∠A的角平分线.解:(1)如答图1,AM即为所求;(2)如答图2,AG即为所求.2.(2018·芦溪模拟)如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,AC=AB,请仅用无刻度的直尺画图(保留作图痕迹,不写作法).(1)△ABC的中线BE;(2)以D为切点⊙O的切线DT.解:(1)如答图1,BE即为所求;(2)如答图2,DT即为所求.3.(2018·广丰模拟)如图,⊙O与⊙P相交于A,B两点,且AC,AB分别是⊙O,⊙P 的直径,AC=2AB,下面请你仅用无刻度直尺按要求画图.(1)在AmC上确定一点D,连接DA,使DA⊥AB;(2)在(1)中,画OE⊥AD于点E.解:(1)如答图,作直径BD,连接AD,则∠BAD=90°即为所求.(2)如答图,设AC与⊙P交于点G,作法:作射线BG延长线交⊙O于点F,连接OF交AD于点E,则OE⊥AD即为所求.4.(2018·赣州名校联盟模拟)已知四边形ABCD内接于⊙O,且已知∠ADC=120°;请仅用无刻度直尺完成以下作图(保留作图痕迹,不写作法,写明答案).(1)在图1中,AD=CD,在⊙O上求作一个度数为30°的圆周角;(2)在图2中,AD≠CD,在⊙O上求作一个度数为30°的圆周角.解:(1)如答图1,∠ABD=30°或∠CBD=30°(连接弦BD),即为所求作的圆周角.(2)如答图2,∠CAE=30°,或如答图3中∠ACF=30°,均为所求作的圆周角.5.(2018·萍乡模拟)如图,点A,B在⊙O上,点O是⊙O的圆心,请你仅用无刻度的直尺,分别画出图1和图2中∠A的余角.(1)图1中,点C在⊙O上;(2)图2中,点C在⊙O内;解:(1)如答图1,∠DBC即为所求.(答案不唯一)(2)如答图2,∠FBE即为所求.(答案不唯一)第二部分专题三类型一1.“低碳环保,你我同行”.近两年,某市区的公共自行车给市民出行带来了极大的方便.图1是公共自行车的实物图,图2是公共自行车的车架示意图,点A ,D ,C ,E 在同一条直线上,CD =30 cm ,DF =20 cm ,AF =25 cm ,FD ⊥AE 于点D ,坐杆CE =15 cm ,且∠EAB =75°.(1)求AD 的长;(2)求点E 到AB 的距离.(参考数据:sin75°≈0.97,cos75°≈0.26,tan75°≈3.73)解:(1)在Rt △ADF 中,由勾股定理得,AD =AF 2-FD 2=252-202=15(cm);(2)AE =AD +CD +EC =15+30+15=60(cm), 如答图,过点E 作EH ⊥AB 于点H , 在Rt △AEH 中,sin ∠EAH =EHAE,则EH =AE ·sin ∠EAH =AE ·sin75°≈60×0.97=58.2(cm).答:点E 到AB 的距离为58.2 cm.2.(2018·吉安模拟)某市需要新建一批公交车候车厅,设计师设计了一种产品(如图1),产品示意图的侧面如图2所示,其中支柱DC 长为2.1 m ,且支柱DC 垂直于地面DG ,顶棚横梁AE 长为1.5 m ,BC 为镶接柱,镶接柱与支柱的夹角∠BCD =150°,与顶棚横梁的夹角∠ABC =135°,要求使得横梁一端点E 在支柱DC 的延长线上,此时经测量得镶接点B 与点E 的距离为0.35 m(参考数据:2≈1.41,sin15°≈0.26,cos15°≈0.97,tan15°≈0.27,结果精确到0.1 m).(1)求EC 的长;(2)求点A 到地面DG 的距离.解:(1)如答图,连接EC .可得∠EBC =45°,∠ECB =30°.过点E 作EP⊥BC 于点P .如答图,EP =BE ·sin45°≈0.25(m).EC =2EP =0.5 m.(2)过点A 作AF ⊥DG ,垂足为F ,过点E 作EM ⊥AF ,垂足为M ,AM =AE ·sin15°=1.5×0.26=0.39(m).AF =AM +CE +DC =0.39+0.5+2.1=3.2(m).所以点A 到地面DG 的距离是3.2 m.3.(2018·江西样卷)如图1,是某校的简易车棚的支撑架,其示意图如图2. 经测量知AB =210 cm ,BE =110 cm ,BF =100 cm ,BD =OD =80 cm ,OA =160 cm.(1)求棚顶EF 与水平面MN 的倾斜角;(结果精确到1度) (2)求车棚的边沿E 到地面MN 的距离.(结果精确到1 cm) (参考数据:sin18°≈0.31,cos18°≈0.95,tan18°≈0.32)图1 图2解:(1)如答图,过点D 作DG ⊥AB 于点G , ∵BD =OD ,DG ⊥AB ,∴BG =OG =12OB =12×(210-160)=25(cm).在Rt △BDG 中,sin ∠BDG =BG BD =2580=0.3125≈0.31,∴∠BDG =18°. ∴棚顶EF 与水平面MN 的倾斜角约为18°.第3题答图(2)过点E ,作EH ⊥AB 延长线,垂足分别为H , ∵EH ⊥AB, DG ⊥AB , ∴EH ∥DG ,∴∠BEH =∠BDG =18°. 在Rt △BEH 中, sin ∠BEH =BH BE,∴BH =BE ·sin18°=110×0.31≈34(cm), ∴AH =AB +BH =210+34=244(cm).∴车棚的边沿E 到地面MN 的距离约为244 cm.4.(2018·江西模拟)如图1是一种简易台灯,在其结构图2中灯座为△ABC (BC 伸出部分不计),A ,C ,D 在同一直线上.量得∠ACB =90°,∠A =60°,AB =16 cm ,∠ADE =135°,灯杆CD 长为40 cm ,灯管DE 长为15 cm.(1)求DE 与水平桌面(AB 所在直线)所成的角;(2)求台灯的高(点E 到桌面的距离,结果精确到0.1 cm).(参考数据:sin15°≈0.26,cos15°≈0.97,tan15°≈0.27,sin30°≈0.5,cos30°≈0.87,tan30°≈0.58)解:(1)如答图所示,过点D 作DF ∥AB ,过点D 作DN ⊥AB 于点N ,过点E 作EF ⊥AB 延长线于点M ,第4题答图由题意可得,四边形DNMF 是矩形,则∠NDF =90°, ∵∠A =60°,∠AND =90°, ∴∠ADN =30°,∴∠EDF =135°-90°-30°=15°,即DE 与水平桌面(AB 所在直线)所成的角为15°.(2)如答图所示,∵∠ACB =90°,∠A =60°,AB =16 cm ,∴∠ABC =30°,则AC =12AB=8 cm ,∵灯杆CD 长为40 cm ,∴AD =AC +CD =8+40=48(cm),∴DN =AD ·sin60°=24 3 cm ,则FM =24 3 cm , ∵灯管DE 长为15 cm ,∴sin15°=EF DE =EF15=0.26,解得EF =3.9.故台灯的高为EF +FM =3.9+243≈45.5(cm).5.(2018·宜春模拟)一书架上的方格中放置四本厚度和长度相同的书,其中书架方格长BF =40 cm ,书的长度AB =20 cm ,设一本书的厚度为x cm.(1)如图1左边三本书紧贴书架方格内侧竖放,右边一本书自然向左斜放,支撑点为C ,E ,最右侧书一个角正好靠在方格内侧上,若CG =4 cm ,求EF 的长度;(2)如图2左边两本书紧贴书架方格内侧竖放,右边两本书自然向左斜放,支撑点为C ,E ,最右侧书的下面两个角正好靠在方格内侧上,若∠DCE =30°,求x 的值(保留一位小数).(参考数据:2≈1.414,3≈1.732)解:(1)∵∠CEH =90°,∴∠CED +∠HEF =90°. 又∵∠CED +∠DCE =90°,∴∠DCE =∠HEF . 又∵∠CDE =∠EFH =90°,∴△CDE ∽△EFH , ∴CE EH =CDEF,又∵CE =DG =20 cm ,CG =4 cm , ∴CD =16 cm ,由勾股定理得DE =12, ∴20x =16EF ,∴EF =4x 5. ∵BD +DE +EF =40, ∴3x +12+45x =40,∴x =14019,EF =45×14019=11219(cm).(2)∵AB =CE =20 cm ,∠DCE =30°,∴DE =10 cm. 在Rt △EGM 中,∵∠GEM =∠DCE =30°,EG =x cm , ∴EM =233x cm ,在Rt △MFH 中,∵∠GEM =∠HMF =30°,MH =x cm , ∴FM =32x cm , ∴BF =BD +DE +EM +FM =2x +10+233x +32x =40,化简(12+73)x =180,x ≈7.5 cm.第二部分 专题三 类型二1.(2017·江西样卷)某大学计划为新生配备如图1所示的折叠椅.图2是折叠椅撑开后的侧面示意图,其中椅腿AB 和CD 的长相等,O 是它们的中点.为使折叠椅既舒适又牢固,厂家将撑开后的折叠椅高度设计为32 cm ,∠DOB =100°,那么椅腿的长AB 和篷布面的宽AD 各应设计为多少 cm ?(结果精确到0.1 cm)解:连接AC ,BD ,∵OA =OB =OC =OB, ∴四边形ACBD 为矩形, ∵∠DOB =100°, ∴∠ABC =50°,由已知得AC =32 cm ,在Rt △ABC 中,sin ∠ABC =AC AB, ∴AB =ACsin ∠ABC =32sin50°≈41.8(cm ),tan ∠ABC =AC BC, ∴BC =ACtan ∠ABC =32tan50°≈26.9(cm).∴AD =BC =26.9(cm).答:椅腿AB 的长约为41.8 cm ,篷布面的宽AD 约为26.9 cm.2.(2017·江西样卷)阳台窗外活动伸缩衣架如图1所示,动点G 由点A 滑动到点B 时,伸缩衣架完全张开,如图2所示,其中CBA 垂直于地面,点C ,F ,P 在同一水平线上,侧面活动支架均相互平分,测得BC =20 cm, GF =CE =36 cm ,点D 为支架GF ,CE 的中点.(1)求伸缩衣架完全张开时∠CDG 的度数;(2)求伸缩衣架完全张开时CP 的长.(精确到0.1,可使用科学计算器) (参考数据: sin33.75°≈0.5555, cos33.75°≈0.8315)解:(1)∵GF =CE =36 cm ,点D 为GF ,CE 的中点,∴GD =CD =18 cm , 如答图,过点D 作DN ⊥AC 于点N,∴CN =12BC =10 cm ,∵sin ∠CDN =CN CD =1018≈0.5555,∴∠CDN ≈33.75°,∴∠CDG ≈67.5°.(2) ∵横杆完全张开时,∠CDG ≈67.5°,即∠CDN ≈33.75°,cos33.75°=DN CD =DN18,∴DN =cos33.75°×18≈14.967 cm,∴完全张开时PC =14.967×8=119.736≈119.7 cm.3.(2018·江西样卷)如图1是楼梯及扶手的一部分,将实物图的主体部分抽象成图2,楼梯踏步宽度MN =30 cm ,高度NG =15 cm ,且F ′A ′,FA 均与楼面垂直,A ,A ′分别是GH ,G ′H ′的中点, AB =BC =CD =DE =EF =16 cm ,A ′B ′=B ′C ′=C ′D ′=D ′E ′=E ′F ′=16 cm ,FP =8 cm.(1)判断BB ′与FF ′的位置关系?并说明理由; (2)求tan ∠EFP 的值;(3)求点P 到水平楼面的距离(精确到0.1 cm) . (参考数据:2≈1.4,3≈1.7,5≈2.3)解:(1)BB ′∥FF ′.∵F ′A ′,FA 均与楼面垂直,∴F ′A ′∥FA .又∵AB =BC =CD =DE =EF =16 cm ,A ′B ′=B ′C ′=C ′D ′=D ′E ′=E ′F ′=16 cm. ∴F ′B ′=FB .∴四边形F ′B ′BF 是平行四边形. ∴BB ′∥FF ′.第3题答图(2)延长AG ,B ′A ′相交于点K ,连接AA ′.由题意知,FA ,F ′A ′均与楼面垂直,易知,AF ∥A ′F ′,△KA ′A 为直角三角形. 又由题意知,GH =G ′H ′=MN =30 cm , ∵A ,A ′分别是GH ,G ′H ′的中点, ∴GA =A ′H ′=15 cm.∴KA =A ′H ′+MN +GA =15+30+15=60(cm). 易知:A ′K =H ′M +NG =15+15=30 cm. 在Rt △KA ′A 中,KA =60 cm ,KA ′=30 cm , ∴tan ∠KA ′A =KA KA ′=6030=2. ∵AF ∥A ′F ′,∴∠EFP =∠KA ′A , ∴tan ∠EFP =tan ∠KA ′A =2. (3)过点P 作PP ′⊥AF 交AF 于点P ′. 在Rt △P ′FP 中, tan ∠EFP =2,∴cos ∠EFP =15. ∴P ′F FP =15.∵FP =8,∴P ′F =855. ∴点P 到水平楼面的距离为 16×5+15-855=95-855≈91.3 cm.第二部分 专题三 类型三1.“五一”节,小莉和同学一起到游乐场玩.游乐场的大型摩天轮的半径为20 m ,匀速旋转1周需要12 min.小莉乘坐最底部的车厢(离地面0.5 m)开始1周的观光,5 min 后小莉离地面的高度是多少?(精确到0.1 m .下列数据供参考:2≈1.414,3≈1.732,5≈2.236)解:如答图,设经过5 min 后,小明从点B 到达点C 的位置.由题意知,OC =20,∠COA=360°×512=150°.延长AO 交⊙O 于点E ,过点C 作CD ⊥AE ,垂足为D .在Rt △COD 中,∵∠COD =180°-∠COA =180°-150°=30°,∴OD =OC ·cos∠COD =20×cos 30°=10 3.∴AD =AB +BO +OD =0.5+20+103≈37.8(m).答:5 min 后小莉离地面的高度约为37.8 m.2.(2018·遂川模拟)如图1是校园内的一种铁制乒乓球桌,其侧面简化结构如图2所示,直线型支架的上端A ,B 与台面下方相连,与圆弧形底座支架EF 在C ,D 处相连接,支架AC 与BD 所在的直线过EF ︵ 的圆心,若AB =200 cm ,∠CAB =∠DBA =60°,EC ︵ =FD ︵,AB 平行于地面EF ,EF ︵最顶端与AB 的距离为2 cm.(1)求EF ︵的半径;(2)若台面AB 与地面EF 之间的距离为72 cm ,求E ,F 两点之间的距离. (精确到1 cm ,参考数据:3≈1.7,1682-982≈137)解:(1)如答图,延长AC ,BD 交于一点O ,过O 点作OM ⊥AB 于M 交EF ︵于点N ,EF 交OM 于点K .第2题答图∵∠CAB =∠DBA =60°, ∴△AOB 是等边三角形, ∴OA =OB =AB =200 cm , ∵OM ⊥AB ,∴OM =1003,∵MN =2,∴ON =1003-2=168(cm),∴EF ︵的半径为168 cm. (2)连接OF .在Rt △OFK 中,OK =OM -KM =170-72=98, ∴FK =OF 2-OK 2=1682-982≈137(cm), ∵EF ∥AB ,OM ⊥AB ,∴OK ⊥EF ,∴EK =KF , ∴EF =274 cm.3.如图是某种直径型号的地球仪的支架示意图,弧AB 是半圆弧,经测量点A 距离水平线CD 的距离为27.7厘米, 点B 距离水平线CD 的距离为9.4厘米,直径AB 所在直线与竖直线形成的锐角为23.5°,试问它是哪种直径型号的地球仪的支架?(计算结果精确到个位,可使用科学计算器,参考数据:sin23.5°≈0.3987, cos23.5°≈0.9171,tan23.5°≈0.4348)解:如答图,过点A 作AF ⊥CD 于点F ,过点B 作BH ⊥CD 于点H ,连接BE ,AB ,第3题答图∵弧AB 是半圆弧,∴AB 是直径, ∴∠AEB =90°,∴∠BEF =90°, ∵AF ⊥CD ,BH ⊥CD , ∴四边形BEFH 是矩形, ∴EF =BH =9.4,∴AE =AF -EF =27.7-9.4=18.3.∵∠FAB =23.5°,∴AB =AE cos23.5°=18.30.9171≈20,∴它是直径约为20厘米的地球仪的支架.4.(2017·赣州模拟)摇椅是老年人很好的休闲工具,右图是一张摇椅放在客厅的侧面示意图,摇椅静止时,以O 为圆心OA 为半径的AB ︵ 的中点P 着地,地面NP 与AB ︵相切,已知∠AOB =60°,半径OA =60 cm ,靠背CD 与OA 的夹角∠ACD =127°,C 为OA 的中点,CD =80 cm ,当摇椅沿AB ︵滚动至点A 着地时是摇椅向后的最大安全角度.(1)静止时靠背CD 的最高点D 离地面多高?(2)静止时着地点P 至少离墙壁MN 的水平距离是多少时?才能使摇椅向后至最大安全角度时点D 不与墙壁MN 相碰.(精确到1 cm ,参考数据π取3.14,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,sin67°≈0.92,cos67°≈0.39,tan67°≈2.36,2≈1.41,3≈1.73)解:(1)如答图1,过F 点作CF ⊥DF ,DF ∥NP ,CF 和DF 交于点F ,则∠DFC =90°. ∵P 为AB ︵的中点,∠AOB =60°,∴∠COP =30°. 又∵OP ∥FC ,∴∠FCO =30°, ∴∠DCF =180°-127°-30°=23°. 在Rt △DFC 中,cos ∠DCF =FC CD,∴FC =80×cos23°=80×sin67°=80×0.92=73.6. 在Rt △COE 中,cos ∠COE =OE OC, OE =30×cos30°=30×32=15 3. D 离地面总高度为CF +EP =CF +(OP -OE )=73.6+60-153≈107.62≈108(cm);(2)如答图2,过点C 作CE ⊥MN ,垂足为E , 则∠DCE =127°-90°=37°. 在Rt △DCE 中,cos ∠DCE =EC CD, ∴EC =80×cos37°=80×0.8=64.AP ′=30π·60180=10π=10×3.14=31.4. NP =EC +AP ′=64+31.4=95.4≈96.答:静止时的着地点P 至少要离墙壁MN 的水平距离为96 cm 时,才能使摇椅向后至最大安全角度时点D 不与墙壁MN 相碰.5.(2019·原创)如图,有一时钟,时针OA 长为6 cm ,分针OB 长为8 cm ,△OAB 随着时间的变化不停地改变形状.求:(1)13时整时, △OAB 的面积是多少?(2)14时整时, △OAB 的面积比13时整时增大了还是减少了?为什么? (3)问几时整时, △OAB 的面积最大?最大面积是多少?并说明理由.(4)设∠BOA =α(0°≤α≤180°),试归纳α变化时△OAB 的面积有何变化规律(不证明).解:如答图,分别过B 作BE ⊥OA 于点E .(E 也可在OA 的延长线上) (1)如答图1,在13时整时, ∠BOA =30°,BE =12OB =4,S △OAB =12×4×6=12(cm 2).(2)如答图2,在14时整时,∠BOA =60°,BE OB =sin60°,BE =8×32=43,S △OAB =12×43×6=12 3.∵123>12,∴14时整时比13时整的△ABO 的面积增大了.(3)当15时或21时整时,如答图3,△OAB 的面积最大, 此时BE 最长,BE =OB =8,而OA 不变,S △ABO =12×8×6=24.(4)当α=0°,180°时不构成三角形,当0°<α≤90°时,S △AOB 的值随α增大而增大, 当90°<α<180°时,S △AOB 的值随α增大而减少.6.(2018·江西样卷)如图1是一个演讲台,图2为演讲台的侧面示意图,支架BC 是一条圆弧,台面与两支架的连接点A ,B 间的距离为30 cm, CD 为水平底面,且BD 所在的直线垂直于底面,∠ADC =75°,∠DAB =60°.(1)求台面上点B 处的高度(精确到个位);(2)如图3,若圆弧BC 所在圆的圆心O 在CD 延长线上,且OD =CD ,求支架BC 的长度(结果保留根号).(参考数据:sin 75°≈0.97,cos 75°≈0.26,3≈1.7)解:(1)如答图,连接BD ,过点B 作BE ⊥AD ,垂足为E . 在Rt △ABE 中,BE =AB · sin∠EAB =30×sin60°=30×32≈25.5(cm). ∵∠ADC =75°,∴∠ADB =90°-∠ADC =15°. ∴∠EBD =90°-∠ADB =90°-15°=75°. 在Rt △BDE 中,BD =BEcos ∠EBD ≈25.5cos75°≈25.50.26≈98(cm).即台面上点B 处的高度约为98 cm.第6题答图(2)连接BC ,BO ,∵BD ⊥CO ,OD =CD ,∴BC =BO . 又CO =BO ,∴△BOC 是等边三角形,∠BOC =60°.∴sin60°=BD BO ,BO =BD sin60°= 98 32=19633,∴支架BC 的长度为19633(cm).答:支架BC 的长度为19633cm.第二部分 专题四 类型一1.(2018·湖北)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,∠BAC =30°,E 为AB 边的中点,以BE 为边作等边△BDE ,连接AD ,CD .(1)求证:△ADE ≌△CDB ;(2)若BC =3,在AC 边上找一点H ,使得BH +EH 最小,并求出这个最小值. (1)证明:在Rt △ABC 中,∠BAC =30°,E 为AB 边为中点,∴BC =EA ,∠ABC =60°. ∵△DEB 为等边三角形,∴DB =DE ,∠DEB =∠DBE =60°,∴∠DEA =120°,∠DBC =120°,∴∠DEA =∠DBC ,∴△ADE ≌△CDB .(2)解:如答图,作点E 关于直线AC 的对称点E ′,连接BE ′交AC 于点H ,连接AE ′,则点H 即为符合条件的点.由作图可知EH +BH =BE ′,AE ′=AE ,∠E ′AC =∠BAC =30°,∴∠EAE ′=60°,∴△EAE ′为等边三角形, ∴EE ′=EA =12AB ,∴∠AE ′B =90°.在Rt △ABC 中,∠BAC =30°,BC =3, ∴AB =23,AE ′=AE =3, ∴BE ′=AB 2-AE ′2=32-32=3,∴BH +EH 的最小值为3.2.(2018·徐州)如图,将等腰直角三角形纸片ABC 对折,折痕为CD .展平后,再将点B 折叠在边AC 上(不与A ,C 重合),折痕为EF ,点B 在AC 上的对应点为M ,设CD 与EM 交于点P ,连接PF .已知BC =4.(1)若M 为AC 的中点,求CF 的长; (2)随着点M 在边AC 上取不同的位置, ①△PFM 的形状是否发生变化?请说明理由; ②求△PFM 的周长的取值范围. 解:(1)∵M 为AC 的中点, ∴CM =12AC =12BC =2,由折叠的性质可知,FB =FM , 设CF =x ,则FB =FM =4-x ,在Rt △CFM 中,FM 2=CF 2+CM 2,即(4-x )2=x 2+22,解得,x =32,即CF =32.(2)①△PFM 的形状是等腰直角三角形,不会发生变化,理由如下:令FM 与CD 交于点D ,由折叠的性质可知,∠PMF =∠B =45°. ∵CD 是中垂线,∴∠ACD =∠DCF =45°. ∵∠MPC =∠OPM ,∴△POM ∽△PMC , ∴PO PM =OM MC ,∴MC PM =OMPO.∵∠EMC =∠AEM +∠A =∠CMF +∠EMF , ∴∠AEM =∠CMF .∵∠DPE +∠AEM =90°,∠CMF +∠MFC =90°,∠DPE =∠MPC , ∴∠DPE =∠MFC ,∠MPC =∠MFC . ∵∠PCM =∠OCF =45°, ∴△MPC ∽△OFC ,∴MP OF =MC OC, ∴MC PM =OC OF ,∴OM PO =OCOF.∵∠POF =∠MOC ,∴△POF ∽△MOC ,∴∠PFO =∠MCO =45°, ∴△PFM 是等腰直角三角形.②∵△PFM 是等腰直角三角形,设FM =y , 由勾股定理可知PF =PM =22y , ∴△PFM 的周长为(1+2)y . ∵2<y <4,∴△PFM 的周长的取值范围为2+22<(1+2)y <4+4 2.第二部分 专题四 类型二1.(2018·重庆)如图,在□ABCD 中,∠ACB =45°,点E 在对角线AC 上,BE =BA ,BF ⊥AC 于点F ,BF 的延长线交AD 于点G ,点H 在BC 的延长线上,且CH =AG ,连接EH .(1)若BC =122,AB =13,求AF 的长; (2)求证:EB =EH .(1)解:∵BF ⊥AC ,∴∠BFC =∠AFB =90°.。
(江西专用)201x中考数学总复习 第二部分 专题综合强化 专题二 创新作图题 类型1 针对训练
第二部分专题二类型一1.(xx·江西模拟)如图,已知C为AB的中点,分别以AC,BC为边,在AB的同侧作等边△ACE与等边△BCD,连接BE,请仅用无刻度的直尺按下列要求作图.(保留作图痕迹,不写作法)(1)在图1中,作出AE的中点P;(2)在图2中,过点C作AE的垂线l.解:(1)如答图1,点P即为所求.(2)如答图2,直线l即为所求.2.(xx·吉安模拟)根据下列条件和要求,仅使用无刻度的直尺画图,并保存画图痕迹.(1)如图1,△ABC中,∠C=90°,在三角形的一边上取一点D,画一个钝角△DAB;(2)如图2,△ABC中,AB=AC,ED是△ABC的中位线,画出△ABC中∠BAC的角平分线.解:(1)如答图1,△DAB即为所求.(2)如答图2,AF即为∠BAC的角平分线.3.(xx·江西师大附中模拟)在△ABE中,点C,D分别为AE,BE的中点,请仅用无刻度的直尺按要求作图.(不写作法,保留作图痕迹)(1)如图1,AE=BE,作出AB的垂线;(2)如图2,AE≠BE,作出BE的平行线l.解:(1)如答图1,直线EM即为所求.(2)如答图2,直线l即为所求.4.(xx·鹰潭模拟)请仅用无刻度的直尺按要求作图.(不写作法,保留作图痕迹)(1)如图1,AD,BE是△ABC的角平分线,且相交于点O,作出∠C的平分线;(2)如图2,AC与BD相交于点O,且∠DAO=∠BAO=∠CBO=∠ABO,作出∠AOB的平分线.解:(1)如答图1,CF即为所求.(2)如答图2,OF即为所求.5.(xx·新余模拟)如图,C,D是线段AB的三等分点,分别以AC,CD,DB为边向AB 上方作等边三角形,请仅用无刻度的直尺完成下列作图.(不写作法,保留作图痕迹)(1)在图1中,作AB的中点P;(2)在图2中,作一个矩形.解:(1)如答图1(或答图2,3),点P即为所求.(2)如答图4,矩形MCNF即为所求.(答案不唯一)6.(xx·萍乡模拟)请仅用无刻度的直尺,根据下列条件分别在图1和图2中画出BC 的垂直平分线.(保留作图痕迹,不写作法)(1)如图1,△ABC是以BC为底边的等腰三角形,点D为△ABC内一点,BD=CD;(2)如图2,AB=AC,E,F分别为AB,AC的中点.解:(1)如答图1,AE即为所求.(2)如答图2,AG即为所求.如有侵权请联系告知删除,感谢你们的配合!。
(江西专用)2019中考数学总复习第二部分 专题综合强化课件
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常考题 型 · 精讲
• 在数学中,当问题的对象不能进行统一研究时,就需要对研究的对象进 行分类.然后对每一类分别研究,给出每一类的结果,最终综合各类结 果得到整个问题的解答.这种数学思想叫分类讨论思想.几何图形中引 起分类的因素很多, 初中阶段用到分类讨论思想的所有知识点(三角 形、四边形、圆等)及对应的情况大致可归纳为如下4种: • (1)与几何基本概念有关的分类讨论,如点A,点B与直线l的位置关系 有两种情况:A,B两点在直线l的同侧或异侧.
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类型一
点运动型多解题
• 【类型特征】点运动型多解题常见于某点在射线、直线、多边形的边上 或直角坐标系的坐标轴上运动,与之相关的图形的边或角产生变化而不 明确,从而导致分情况讨论产生多解. • 【解题策略】解决此类问题时,利用数形结合方法,采取“动中求静, 静中求解”的策略,以相对静止的瞬间,发现量与量之间的关系.在图 形的变化中不重不漏地进行分类讨论是解决此类问题的关键.
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【解答】①当 PC∥OA 时,易得△BPC∽△BOA,由点 C 是 AB 的中点,可得 P 为 OB 的中点,此时 P 点坐标为(0,3) ;
②当 PC∥OB 时,易得△ACP∽△ABO,由点 C 是 AB 的中点,可得 P 为 OA 的中点,此时 P 点坐标为(4,0) ;
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③当 PC⊥AB 时,如答图. ∵∠CAP=∠OAB, AC AP ∴Rt△ APC∽Rt△ ABO,∴OA=AB, ∵点 A(8,0)和点 B(0,6) , ∴AB= 62+82=10. ∵点 C 是 AB 的中点, 5 AP 25 ∴AC=5,∴8= 10 ,∴AP= 4 , 25 7 7 ∴OP=OA-AP=8- 4 =4,此时 P 点坐标为(4,0) , 7 综上所述,满足条件的 P 点坐标为(0,3) , (4,0) , (4,0) .
中考数学综合专题训练【几何综合题】(几何)精品解析
中考数学综合专题训练【几何综合题】(几何)精品解析在中考中,几何综合题主要考察了利用图形变换(平移、旋转、轴对称)证明线段、角的数量关系及动态几何问题。
学生通常需要在熟悉基本几何图形及其辅助线添加的基础上,将几何综合题目分解为基本问题,转化为基本图形或者可与基本图形、方法类比,从而使问题得到解决。
在解决几何综合题时,重点在思路,在老师讲解及学生解题时,对于较复杂的图形,根据题目叙述重复绘图过程可以帮助学生分解出基本条件和图形,将新题目与已有经验建立联系从而找到思路,之后绘制思路流程图往往能够帮助学生把握题目的脉络;在做完题之后,注重解题反思,总结题目中的基本图形及辅助线添加方法,将题目归类整理;对于典型的题目,可以解析题目条件,通过拓展题目条件或改变条件,给出题目的变式,从而对于题目及相应方法有更深入的理解。
同时,在授课过程中,将同一类型的几何综合题成组出现,分析讲解,对学生积累对图形的“感觉”有一定帮助。
一.考试说明要求图形与证明中要求:会用归纳和类比进行简单的推理。
图形的认识中要求:会运用几何图形的相关知识和方法(两点之间的距离,等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识,全等三角形的知识和方法,平行四边形的知识,矩形、菱形和正方形的知识,直角三角形的性质,圆的性质)解决有关问题;能运用三角函数解决与直角三角形相关的简单实际问题;能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题;能解决与切线有关的问题。
图形与变换中要求:能运用轴对称、平移、旋转的知识解决简单问题。
二.基本图形及辅助线解决几何综合题,是需要厚积而薄发,所谓的“几何感觉”,是建立在足够的知识积累的基础上的,熟悉基本图形及常用的辅助线,在遇到特定条件时能够及时联想到对应的模型,找到“新”问题与“旧”模型间的关联,明确努力方向,才能进一步综合应用数学知识来解决问题。
在中档几何题目教学中注重对基本图形及辅助线的积累是非常必要的。
举例:1、与相似及圆有关的基本图形2、正方形中的基本图形3、基本辅助线(1)角平分线——过角平分线上的点向角的两边作垂线(角平分线的性质)、翻折;(2)与中点相关——倍长中线(八字全等),中位线,直角三角形斜边中线;(3)共端点的等线段——旋转基本图形(60°,90°),构造圆;垂直平分线,角平分线——翻折;转移线段——平移基本图形(线段)线段间有特殊关系时,翻折;(4)特殊图形的辅助线及其迁移....——梯形的辅助线(什么时候需要这样添加?)等作双高——上底、下底、高、腰(等腰梯形)三推一;面积;锐角三角函数平移腰——上下底之差;两底角有特殊关系(延长两腰);梯形——三角形平移对角线——上下底之和;对角线有特殊位置、数量关系。
(江西专用)2019中考数学总复习 第二部分 专题综合强化 专题二 创新作图题 类型1 针对训练
第二部分专题二类型一1.(2018·江西模拟)如图,已知C为AB的中点,分别以AC,BC为边,在AB的同侧作等边△ACE与等边△BCD,连接BE,请仅用无刻度的直尺按下列要求作图.(保留作图痕迹,不写作法)(1)在图1中,作出AE的中点P;(2)在图2中,过点C作AE的垂线l.解:(1)如答图1,点P即为所求.(2)如答图2,直线l即为所求.2.(2018·吉安模拟)根据下列条件和要求,仅使用无刻度的直尺画图,并保存画图痕迹.(1)如图1,△ABC中,∠C=90°,在三角形的一边上取一点D,画一个钝角△DAB;(2)如图2,△ABC中,AB=AC,ED是△ABC的中位线,画出△ABC中∠BAC的角平分线.解:(1)如答图1,△DAB即为所求.(2)如答图2,AF即为∠BAC的角平分线.3.(2018·江西师大附中模拟)在△ABE中,点C,D分别为AE,BE的中点,请仅用无刻度的直尺按要求作图.(不写作法,保留作图痕迹)(1)如图1,AE=BE,作出AB的垂线;(2)如图2,AE≠BE,作出BE的平行线l.解:(1)如答图1,直线EM即为所求.(2)如答图2,直线l即为所求.4.(2018·鹰潭模拟)请仅用无刻度的直尺按要求作图.(不写作法,保留作图痕迹)(1)如图1,AD,BE是△ABC的角平分线,且相交于点O,作出∠C的平分线;(2)如图2,AC与BD相交于点O,且∠DAO=∠BAO=∠CBO=∠ABO,作出∠AOB的平分线.解:(1)如答图1,CF即为所求.(2)如答图2,OF即为所求.5.(2018·新余模拟)如图,C,D是线段AB的三等分点,分别以AC,CD,DB为边向AB 上方作等边三角形,请仅用无刻度的直尺完成下列作图.(不写作法,保留作图痕迹)(1)在图1中,作AB的中点P;(2)在图2中,作一个矩形.解:(1)如答图1(或答图2,3),点P即为所求.(2)如答图4,矩形MCNF即为所求.(答案不唯一)6.(2018·萍乡模拟)请仅用无刻度的直尺,根据下列条件分别在图1和图2中画出BC 的垂直平分线.(保留作图痕迹,不写作法)(1)如图1,△ABC是以BC为底边的等腰三角形,点D为△ABC内一点,BD=CD;(2)如图2,AB=AC,E,F分别为AB,AC的中点.解:(1)如答图1,AE即为所求.(2)如答图2,AG即为所求.。
(江西专用)2019中考数学总复习 第二部分 专题综合强化 专题五 几何探究题 类型3 针对训练.doc
第二部分 专题五 类型三1.(2018·江西样卷二)提出问题如图,已知在矩形ABCD 中,AB =2,BC =3,点P 是线段AD 边上的一动点(不与端点A ,D 重合),连接PC ,过点P 作PE ⊥PC 交AB 于点E ,在点P 的运动过程中,图中各角和线段之间是否存在某种关系和规律?特殊求解当点E 为AB 的中点,且AP >AE 时,求证:PE =PC . 深入探究当点P 在AD 上运动时,对应的点E 也随之在AB 上运动,求整个运动过程中BE 的取值范围.解:特殊求解∵PE ⊥PC ,∴∠APE +∠DPC =90°. ∵∠D =90°,∴∠DPC +∠DCP =90°. ∴∠APE =∠DCP . ∵∠A =∠D =90°, ∴△APE ∽△DCP ,∴AP DC =AE DP. 设AP =x ,则有DP =3-x . 而AE =BE =1,∴x (3-x )=2×1, 解得x 1=2,x 2=1.∵AP >AE ,∴AP =2,AE =PD =1, ∴△APE ≌△DCP ,∴PE =PC . 深入探究设AP =x ,AE =y ,由AP ·DP =AE ·DC , 可得x (3-x )=2y .∴y =12x (3-x )=-12x 2+32x =-12(x -32)2+98.∴在0<x <3范围内,当x =32时,y 最大=98.∵当AE =y 取得最大值时,BE 取得最小值为2-98=78,∴BE 的取值范围为78≤BE <2.2.(2018·江西样卷一)如图,在半径为3 cm 的⊙O 中,A ,B ,C 三点在圆上,∠BAC =75°.点P 从点B 开始以π5 cm/s 的速度在劣弧BC 上运动,且运动时间为t s ,∠AOB =90°,∠BOP =n °.(1)求n 与t 之间的函数关系式,并求t 的取值范围; (2)试探究:当点P 运动多少秒时,①在BP ,PC ,CA ,AB 四条线段中有两条相互平行?②以P ,B ,A ,C 四点中的三点为顶点的三角形是等腰三角形? 解:(1)∵∠BOP =n °,∴π5t =3πn180,n =12t .当n =150时,150=12t ,t =12.5. ∴t 的取值范围为0≤t ≤12.5. (2)①∠BOP =n °,n =12t . 如答图1,当BP ∥AC 时,t =5.理由:∵∠PBA =180°-75°=105°,∠OBA =45°, ∴∠OBP =60°.∵OB =OP , ∴∠BOP =60°,∴60=12t ,t =5. 如答图2,当PC ∥AB 时,t =10. 理由:易得∠PBA =∠BAC =75°, ∴∠PBO =∠BPO =30°, ∴∠BOP =120°, ∴120=12t ,t =10.综上所述,当点P 的运动时间为5 s 时,BP ∥AC . 当点P 的运动时间为10 s 时,PC ∥AB .②在△ABP中,以AB为腰时(如答图3),∠BPA=∠BAP=45°,∠BOP=90°,∴t=7.5.以AB为底边时(如答图4),∠BPA=45°,∠BAP=67.5°,∠BOP=2×67.5°=135°,∴t=11.25.如答图5,在△APC中,易得∠AOC=120°,∴∠APC=60°,△APC是等边三角形.∴∠AOP=120°,∴∠BOP=30°,t=2.5.如答图6,在△BPC中,∠BPC=105°,只有BP=PC这种情况.此时点P是弧BC的中心,∴∠BOP=75°,t=6.25.综上所述,当点P的运动时间为7.5 s或11.25 s时,△ABP为等腰三角形;当点P的运动时间为2.5 s时,△APC为等边三角形;当点P的运动时间为6.25 s时,△BPC为等腰三角形.3.(2018·东莞)已知Rt△OAB,∠OAB=90°,∠ABO=30°,斜边OB=4,将Rt△OAB 绕点O顺时针旋转60°,如图1,连接BC.(1)填空:∠OBC=60°;(2)如图1,连接AC,作OP⊥AC,垂足为P,求OP的长度;(3)如图2,点M,N同时从点O出发,在△OCB边上运动,M沿O→C→B路径匀速运动,N沿O→B→C路径匀速运动,当两点相遇时运动停止,已知点M的运动速度为1.5单位/秒,点N的运动速度为1单位/秒,设运动时间为x秒,△OMN的面积为y,求当x为何值时y 取得最大值.最大值为多少?解:(1)由旋转性质可知OB=OC,∠BOC=60°,∴△OBC是等边三角形,∴∠OBC=60°.第3题答图1(2)如答图1中, ∵OB =4,∠ABO =30°, ∴OA =12OB =2,AB =3OA =23,∴S △AOC =12·OA ·AB =12×2×23=2 3.∵△BOC 是等边三角形,∴∠OBC =60°,∠ABC =∠ABO +∠OBC =90°, ∴AC =AB 2+BC 2=232+42=27,∴OP =2S △AOC AC =4327=2217.第3题答图2(3)①当0<x ≤83时,M 在OC 上运动,N 在OB 上运动,此时过点N 作NE ⊥OC 且交OC 于点E .如答图2,则NE =ON ·sin60°=32x , ∴S △OMN =12·OM ·NE =12×1.5x ×32x ,∴y =338x 2,∴当x =83时,y 有最大值,最大值为833.第3题答图3②当83<x ≤4时,M 在BC 上运动,N 在OB 上运动.如答图3,作MH ⊥OB 于H .则BM =8-1.5x ,MH =BM ·sin60°=32(8-1.5x ),∴y =12×ON ×MH =-338x 2+23x .当x =83时,y 取得最大值,最大值为833.第3题答图4③当4<x ≤4.8时,M ,N 都在BC 上运动,作OG ⊥BC 于G .如答图4,MN =12-2.5x ,OG =AB =23,∴y =12·MN ·OG =123-532x ,当x =4时,y 有最大值,最大值为2 3. 综上所述,y 有最大值,最大值为833.4.(2018·江西)在菱形ABCD 中,∠ABC =60°,点P 是射线BD 上一动点,以AP 为边向右侧作等边△APE ,点E 的位置随着点P 的位置变化而变化.(1)如图1,当点E 在菱形ABCD 内部或边上时,连接CE ,BP 与CE 的数量关系是PB =EC ,CE 与AD 的位置关系是CE ⊥AD ;(2)当点E 在菱形ABCD 外部时,(1)中的结论是否还成立?若成立,请予以证明;若不成立,请说明理由(选择图2,图3中的一种情况予以证明或说理);(3)如图4,当点P 在线段BD 的延长线上时,连接BE .若AB =23,BE =219,求四边形ADPE 的面积.第4题答图1解:(1)结论:PB =EC ,CE ⊥AD . 理由:如答图1中,连接AC .∵四边形ABCD 是菱形,∠ABC =60°,∴△ABC ,△ACD 都是等边三角形,∠ABD =∠CBD =30°.∵△APE 是等边三角形,∴AB =AC ,AP =AE ,∠BAC =∠PAE =60°,∴△BAP ≌△CAE ,∴BP =CE ,∠ABP =∠ACE =30°, 延长CE 交AD 于H ,∵∠CAH =60°,∴∠CAH +∠ACH =90°, ∴∠AHC =90°,即CE ⊥AD .第4题答图2(2)结论仍然成立.理由:如答图2,连接AC 交BD 于O ,设CE 交AD 于H .∵四边形ABCD 是菱形,∠ABC =60°,∴△ABC ,△ACD 都是等边三角形,∠ABD =∠CBD =30°.∵△APE 是等边三角形,∴AB =AC ,AP =AE ,∠BAC =∠PAE =60°,∴△BAP ≌△CAE , ∴BP =CE ,∠ABP =∠ACE =30°, ∵∠CAH =60°,∴∠CAH +∠ACH =90°, ∴∠AHC =90°,即CE ⊥AD .第4题答图3(3)如答图3,连接AC 交BD 于点O ,连接CE 交AD 于点H , 由(2)可知EC ⊥AD ,CE =BP , 在菱形ABCD 中,AD ∥BC , ∴EC ⊥BC .∵BC =AB =23,BE =219, ∴在Rt △BCE 中,EC =2192-232=8,∴BP =CE =8.∵AC 与BD 是菱形的对角线, ∴∠ABD =12∠ABC =30°,AC ⊥BD ,∴BD =2BO =2AB ·cos30°=6,∴OA =12AB =3,DP =BP -BD =8-6=2,∴OP =OD +DP =5,在Rt △AOP 中,AP =AO 2+OP 2=27, ∴S 四边形ADPE =S △ADP +S △AEP =12DP ·AO +34·AP 2=12×2×3+34×(27)2=8 3.。
江西专版中考数学专题5几何综合探究题精讲本
类 型 四 新定义探究问题
例 4.(2017·江西)我们定义:如图①,在△ABC 中,把 AB 绕点
A 顺时针旋转 α(0°<α<180°)得到 AB′,把 AC 绕点 A 逆时
针旋转 β 得到 AC′,连接 B′C′.当 α+β=180°时,我们称△AB′C′ 是△ABC 的“旋补三角形”,△AB′C′边 B′C′上的中线 AD 叫 做△ABC 的“旋补中线”,点 A 叫做“旋补中心”.
类 型 二 变换型问题
例 2.(2021·江西吉安模拟)(1)【问题发现】 如图①.在 Rt△ABC 中,AB=AC,∠BAC=90°,点 D 为 BC 的中点,以 CD 为一边作正方形 CDEF,点 E 与点 A 重合,易 知△ACF∽△BCE,则线段 BE 与 AF 的数量关系为________; (2)【拓展研究】 在(1)的条件下,将正方形 CDEF 绕点 C 旋转至如图②所示的位 置,连接 BE,CE,AF、请猜想线段 BE 和 AF 的数量关系, 并证明你的结论;
典例精析
类 型 一 动点型问题
例 1.(2019·江西)在图①,②,③中,已知▱ABCD,∠ABC= 120°,点 E 为线段 BC 上的动点,连接 AE,以 AE 为边向上 作菱形 AEFG,且∠EAG=120°.
(1)如图①,当点 E 与点 B 重合时,∠CEF=________°; (2)如图②,连接 AF. ①填空:∠FAD________∠EAB(填“>”“<”或“=”); ②求证:点 F 在∠ABC 的平分线上; (3)如图③,连接 EG,DG,并延长 DG 交 BA 的延长线于点 H, 当四边形 AEGH 是平行四边形时,求BACB 的值.
(3)【结论运用】 在(1)(2)的条件下,若△ABC 的面积为 2 时,当正方形 CDEF 旋转到 B,E,F 点共线时,直接写出线段 AF 的长.
中考数学总复习 第二部分 专题综合强化 专题五 几何探究题数学课件
同理可得FAMM=ABDF.
答图2
又∵N 是 FM 的中点,∴AN2-FNFN=BEB+EEF,即n-2 1=n+n 1,
解得 n1=1+ 2,n2=1- 2(舍去).∴n=1+ 2.
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类型三 动点型探究(tànjiū)问题
• 【类型特征】图形中引入动点以后(yǐhòu) ,随着点的移动,便会引起图形形状、大
定义理解:根据“奇异三角形”的定义,请你解决下列问题:(1)将线段 AB 绕 点 A 旋转 60°得到线段 AB′,则△ABB′一定__是_____“奇异三角形”(填“是”或 “不是”);
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解题(jiě tí)思 路
• 认真阅读(yuèdú)并抓住“奇异三角形”的定义,从判定的角度来解答,即通过计算, 看看△ABB′是否“具有两边的平方和等于第三边平方的两倍”的特征.
值;
解题(jiě tí)思 路
从“△ABC 所扫过的面积为 32”这一条件入手,弄清这一图形的形状与面积计 算方法,进而通过平移等条件获取面积计算所需的量,构建方程来解答.
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【解答】△ABC 所扫过面积即梯形 ABFD 的面积,如答图 1,作 AH⊥BC 于 H,
• 【解题策略】对于图形变换所引发的图形的证明与几何量的计算问题,解答 时,就要运用图形变换的视角来启发、引导我们观察图形、分析图形,识别 出基本图形和图形之间所存在的变换关系,进而运用图形变换的知识来加以 解答,也可根据图形的特征,巧妙(qiǎomiào)地运用图形变换的手段来转化图 形.
12/10/2021
(江西专用)中考数学总复习_二次函数的综合探究(压轴题)类型5针对训练
第二部分 专题六 类型五1.对于直线l 1:y =ax +b (a <0,b >0),有如下定义:我们把直线l 2:y =-1a(x +b )称为它的“姊线”.若l 1与x ,y 轴分别相交于A ,B 两点,l 2与x ,y 轴分别相交于C ,D 两点,我们把经过点A ,B ,C 的抛物线C 叫做l 1的“母线”.(1)若直线l 1:y =ax +b (a <0,b >0)的“母线”为C :y =-12x 2-x +4,求a ,b 的值;(2)如图,若直线l 1:y =mx +1(m <0),G 为AB 中点,H 为CD 中点,连接GH ,M 为GH 中点,连接OM ,若OM =56,求出l 1的“姊线”l 2与“母线”C 的函数解析式; (3)将l 1:y =-3x +3的“姊线”绕着D 点旋转得到新的直线l 3:y =kx +n ,若点P (x ,y 1)与点Q (x ,y 2)分别是“母线”C 与直线l 3上的点,当0≤x ≤1时,|y 1-y 2|≤3,求k 的取值范围.解:(1)对于抛物线y =-12x 2-x +4,令x =0,得到y =4,∴B (0,4),令y =0,得到-12x 2-x +4=0,解得x =-4或2,∴A (2,0),C (-4,0).∵y =ax +b 的图象过点A ,B ,∴⎩⎪⎨⎪⎧b =4,2a +b =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-2,b =4.(2)如答图所示,连接OG ,OH .∵点G ,H 为斜边中点,∴OG =12AB ,OH =12CD .∵l 1:y =mx +1,∴l 1的“姊线”l 2为y =-1m(x +1),∴B (0,1),A (-1m ,0),D (-1,0),C (0,-1m),∴OA =OC ,OB =OD .∵∠AOB =∠COD ,∴△AOB ≌△COD , ∴AB =CD ,∠ABO =∠CDO ,∴OG =OH . ∵OG =GB ,OH =HC ,∴∠GOB =∠ABO ,∠HOC =∠OCD .∵∠ODC +∠OCD =90°,∴∠ABO +∠OCD =90°, ∴∠GOB +∠HOC =90°,∴∠HOG =90°, ∴OG ⊥OH ,∴△OGH 为等腰直角三角形.∵点M 为GH 中点,∴△OMG 为等腰直角三角形, ∴OG =2OM =106,∴AB =2OG =103, ∴OA =1032-12=13,∴A (13,0),∴C (0,13),D (-1,0).∴l 1的“姊线”l 2的函数解析式为y =13x +13,“母线”C 的函数的解析式为y =-3x2-2x +1.(3)l 1:y =-3x +3的“姊线”的解析式为y =13x +1,“母线”C 的解析式为y =-x2-2x +3,∴直线l 3:y =kx +1, ∵当0≤x ≤1时,|y 1-y 2|≤3,不妨设x =1,则y 1=0,y 2=k +1,由题意k +1=±3,解得k =2或-4, ∴满足条件的k 是取值范围为-4≤k ≤2.2.我们定义:两个二次项系数之和为1,对称轴相同,且图象与y 轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数.例如:y =2x 2+4x -5的友好同轴二次函数为y =-x 2-2x -5.(1)请你分别写出y =-13x 2,y =13x 2+x -5的友好同轴二次函数;(2)满足什么条件的二次函数没有友好同轴二次函数?满足什么条件的二次函数的友好同轴二次函数是它本身?(3)如图,二次函数L 1:y =ax 2-4ax +1与其友好同轴二次函数L 2都与y 轴交于点A ,点B ,C 分别在L 1,L 2上,点B ,C 的横坐标均为m (0<m <2),它们关于L 1的对称轴的对称点分别为B ′,C ′,连接BB ′,B ′C ′,C ′C ,CB .①若a =3,且四边形BB ′C ′C 为正方形,求m 的值;②若m =1,且四边形BB ′C ′C 的邻边之比为1∶2,直接写出a 的值.解:(1)∵1-(-13)=43,∴函数y =-13x 2的友好同轴二次函数为y =43x 2.∵1-13=23,1×(23÷13)=2,∴函数y =13x 2+x -5的友好同轴二次函数为y =23x 2+2x -5.(2)∵1-1=0,∴二次项系数为1的二次函数没有友好同轴二次函数. ∵1÷2=12,∴二次项系数为12的二次函数的友好同轴二次函数是它本身.(3)∵二次函数L 1:y =ax 2-4ax +1的对称轴为直线x =--4a 2a =2,∴其友好同轴二次函数L 2:y =(1-a )x 2-4(1-a )x +1.①∵a =3,∴二次函数L 1:y =ax 2-4ax +1=3x 2-12x +1,二次函数L 2:y =(1-a )x 2-4(1-a )x +1=-2x 2+8x +1,∴点B 的坐标为(m,3m 2-12m +1),点C 的坐标为(m ,-2m 2+8m +1),∴点B ′的坐标为(4-m,3m 2-12m +1), 点C ′的坐标为(4-m ,-2m 2+8m +1),∴BC =-2m 2+8m +1-(3m 2-12m +1)=-5m 2+20m ,BB ′=4-m -m =4-2m . ∵四边形BB ′C ′C 为正方形, ∴BC =BB ′,即-5m 2+20m =4-2m ,解得m 1=11-1015,m 2=11+1015(不合题意,舍去),∴m 的值为11-1015.②当m =1时,点B 的坐标为(1,-3a +1), 点C 的坐标为(1,3a -2), ∴点B ′的坐标为(3,-3a +1), 点C ′的坐标为(3,3a -2),∴BC =|3a -2-(-3a +1)|=|6a -3|,BB ′=3-1=2.∵四边形BB ′C ′C 的邻边之比为1∶2,∴BC =2BB ′或BB ′=2BC ,即|6a -3|=2×2或2=2|6a -3|,解得a 1=-16,a 2=76,a 3=13,a 4=23,∴a 的值为-16,76,13或23.3.在平面直角坐标系中,给出如下定义:已知两个函数,如果对于任意的自变量x ,这两个函数对应的函数值记为y 1,y 2,都有点(x ,y 1)和(x ,y 2)关于点(x ,x )中心对称(包括三个点重合时),由于对称中心都在直线y =x 上,所以称这两个函数为关于直线y =x 的特别对称函数.例如:y =12x 和y =32x 为关于直线y =x 的特别对称函数.(1)若y =3x +2和y =kx +t (k ≠0)为关于直线y =x 的特别对称函数,点M (1,m )是y =3x +2上一点.①点M (1,m )关于点(1,1)中心对称的点坐标为 (1,-3). ②求k ,t 的值.(2)若y =3x +n 的图象和它的特别对称函数的图象与y 轴围成的三角形面积为2,求n 的值.(3)若二次函数y =ax 2+bx +c 和y =x 2+d 为关于直线y =x 的特别对称函数. ①直接写出a ,b 的值.②已知点P (-3,1),点Q (2,1),连接PQ ,直接写出y =ax 2+bx +c 和y =x 2+d 两条抛物线与线段PQ 恰好有两个交点时d 的取值范围.解:(1)①∵点M (1,m )是y =3x +2上一点, ∴m =5,∴M (1,5),∴点M 关于(1,1)中心对称点坐标为(1,-3).②∵y =3x +2和y =kx +t (k ≠0)为关于直线y =x 的特别对称函数,∴3x +2+kx +t2=x ,∴(1+k )x +(t +2)=0,∴k =-1,t =-2. (2)设y =3x +n 的特别对称函数为y =m ′x +n ′, ∴3x +n +m ′x +n ′2=x ,∴(1+m ′)x +n +n ′=0,∴m ′=-1,n ′=-n ,∴y =3x +n 的特别对称函数为y =-x -n ,联立得⎩⎪⎨⎪⎧y =3x +n ,y =-x -n ,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =-12n ,y =-12n ,∵y =3x +n 的图象和它的特别对称函数的图象与y 轴围成的三角形面积为2,∴12|n -(-n )|×|-12n |=2,∴n =±2.(3)①∵二次函数y =ax 2+bx +c 和y =x 2+d 为关于直线y =x 的特别对称函数, ∴ax 2+bx +c +x 2+d2=x ,∴(a+1)x2+(b-2)x+c+d=0,∴a=-1,b=2,c=-d;②由①知,a=-1,b=2,c=-d,∴二次函数y=-x2+2x-d和y=x2+d,∴这两个函数的对称轴为直线x=1和x=0.∵点P(-3,1),点Q(2,1),当d<0时,如答图1,当抛物线C2:y=x2+d恰好过点P(-3,1)时,即9+d=1,d=-8,当抛物线C1:y=-x2+2x-d恰好过点Q(2,1)时,即-4+4-d=1,∴d=-1,y=ax2+bx+c和y=x2+d两条抛物线与线段PQ恰好有两个交点时d的取值范围为-8≤d<-1,如答图2,当0≤d<1时,抛物线C2与线段PQ有两个交点,而抛物线C1与线段PQ没有交点,∴y=ax2+bx+c和y=x2+d两条抛物线与线段PQ恰好有两个交点时d的取值范围为0≤d<1,即:y=ax2+bx+c和y=x2+d两条抛物线与线段PQ恰好有两个交点时d的取值范围为-8≤d<-1或0≤d<1.。
(江西专用)201x中考化学总复习 第二部分 专题综合强化 专题二 坐标曲线题
曲线
19
特征 向氢氧化钙的饱和溶液中加入 CaO: 反应前,溶液已达到饱和状态,溶液质量达到最大值;随着 CaO 的加入###,CaO 消耗溶液中的水,溶质氢氧化钙析出,溶液 质量开始减小;当 CaO 足量,水被完全反应时,溶液的质量减 小为零
曲线
.
20
• 4.溶质质量曲线
曲线
分析
一定温度下,向一定 一定温度下,向某种 一定温度下,向某种 质量的溶剂中加入某 不饱和溶液中继续加 饱和溶液中加入该物
加入碱(或酸),首先酸和碱发生 液中加入稀盐酸,稀盐酸先与
中和反应,然后才是酸(或碱) 氢氧化钠发生中和反应,再与
和盐发生反应生成气体或沉淀 碳酸钠反应生成二氧化碳气体
.
25
• 3.曲A线gCl、BaSO4等特殊物分析质
举例
酸(或碱)和盐的混合溶液中加
入碱(或酸),虽然酸和碱发生中 如向氢氧化钠和氯化钡的混合
量减小,曲线
变
向下走
.
23
图像
分析
注意
举例
金属的相对原子质量比 两种盐中金属的相对原 子质量都大,所以反应 过程中溶液(或溶质)的 质量增大,曲线向上走
金属的相对原子质量比 首先反应的盐中金属的 相对原子质量小,比后 反应的盐中金属的相对 原子质量大,曲线首先 向下走,再向上走
一定量的
FeSO4 和
.
曲线
11
• (2)一种物质与两种物质反应
特征 一种物质与两种物质发生反应时,首先判断 反应的顺序,然后判断生成物的质量。先发 生反应的生成物的质量从原点开始 (如图 甲),后发生反应的生成物的质量不从原点 开始 (如图乙),如向稀盐酸和硝酸铜的混合 溶液中加入氢氧化钠溶液,生成沉淀的质量 如图乙所示
江西专用2019中考数学总复习第二部分专题综合强化专题五几何探究题类型2针对训练
第二部分 专题五 类型二1.(2018·临沂)将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转α(0°<α<360°),得到矩形AEFG .(1)如图,当点E 在BD 上时.求证:FD =CD ; (2)当α为何值时,GC =GB ?画出图形,并说明理由.解:(1)由旋转可得,AE =AB ,∠AEF =∠ABC =∠DAB =90°,EF =BC =AD ,∴∠AEB =∠ABE .∵∠ABE +∠EDA =90°=∠AEB +∠DEF , ∴∠EDA =∠DEF .∵DE =ED ,∴△AED ≌△FDE (SAS), ∴DF =AE ,∵AE =AB =CD ,∴CD =DF .(2)当GB =GC 时,点G 在BC 的垂直平分线上,分两种情况讨论: ①当点G 在AD 右侧时,如答图1,取BC 的中点H ,连接GH 交AD 于M , ∵GC =GB ,∴GH ⊥BC ,∴四边形ABHM 是矩形, ∴AM =BH =12AD =12AG ,∴GM 垂直平分AD ,∴GD =GA =DA , ∴△ADG 是等边三角形,∴∠DAG =60°, ∴旋转角α=60°;②当点G 在AD 左侧时,如答图2,同理可得△ADG 是等边三角形,∴∠DAG =60°, ∴旋转角α=360°-60°=300°. 综上,α为60°或300°时,GC =GB .2.(2014·江西)如图1,边长为4的正方形ABCD 中,点E 在AB 边上(不与点A ,B 重合),点F 在BC 边上(不与点B ,C 重合).第一次操作:将线段EF 绕点F 顺时针旋转,当点E 落在正方形上时,记为点G ; 第二次操作:将线段FG 绕点G 顺时针旋转,当点F 落在正方形上时,记为点H ; 依此操作下去…(1)图2中的△EFD 是经过两次操作后得到的,其形状为等边三角形,求此时线段EF 的长;(2)若经过三次操作可得到四边形EFGH .①请判断四边形EFGH 的形状为正方形,此时AE 与BF 的数量关系是AE =BF ; ②以①中的结论为前提,设AE 的长为x ,四边形EFGH 的面积为y ,求y 与x 的函数关系式及面积y 的取值范围.解:(1)如题图2,由旋转性质可知EF =DF =DE ,则△DEF 为等边三角形.在Rt △ADE 和Rt △CDF 中,⎩⎪⎨⎪⎧AD =CD ,DE =DF ,∴Rt △ADE ≌Rt △CDF (HL).∴AE =CF . 设AE =CF =x ,则BE =BF =4-x ∴△BEF 为等腰直角三角形. ∴EF =2BF =2(4-x ). ∴DE =DF =EF =2(4-x ).在Rt △ADE 中,由勾股定理得AE 2+AD 2=DE 2,即x 2+42=[2(4-x )]2, 解得x 1=8-43,x 2=8+43(舍去). ∴EF =2(4-x )=46-4 2.△DEF 的形状为等边三角形,EF 的长为46-4 2.第2题答图(2)①四边形EFGH 的形状为正方形,此时AE =BF .理由如下:依题意画出图形,如答图所示,连接EG ,FH ,作HN ⊥BC 于N ,GM ⊥AB 于M . 由旋转性质可知,EF =FG =GH =HE ,∴四边形EFGH 是菱形, 由△EGM ≌△FHN ,可知EG =FH ,∴四边形EFGH 的形状为正方形,∴∠HEF =90°. ∵∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,∴∠1=∠3. ∵∠3+∠4=90°,∠2+∠3=90°,∴∠2=∠4. 在△AEH 和△BFE 中,⎩⎪⎨⎪⎧∠1=∠3,EH =EF ,∠2=∠4,∴△AEH ≌△BFE (ASA),∴AE =BF .②利用①中结论,易证△AEH ,△BFE ,△CGF ,△DHG 均为全等三角形, ∴BF =CG =DH =AE =x ,AH =BE =CF =DG =4-x . ∴y =S 正方形ABCD-4S △AEH =4×4-4×12·x ·(4-x )=2x 2-8x +16,∴y =2x 2-8x +16(0<x <4).∵y =2x 2-8x +16=2(x -2)2+8,∴当x =2时,y 取得最小值8;当x =0或4时,y =16. ∴y 的取值范围为8≤y <16.3.(2016·江西)【图形定义】如图,将正n 边形绕点A 顺时针旋转60°后,发现旋转前后两图形有另一交点O ,连接AO ,我们称AO 为“叠弦”;再将“叠弦”AO 所在的直线绕点A 逆时针旋转60°后,交旋转前的图形于点P ,连接PO ,我们称∠OAB 为“叠弦角”,△AOP 为“叠弦三角形”;【探究证明】(1)请在图1和图2中选择其中一个证明:“叠弦三角形”(△AOP )是等边三角形. (2)如图2,求证:∠OAB =∠OAE ′; 【归纳猜想】(3)图1、图2中的“叠弦角”的度数分别为15°,24°; (4)图n 中,“叠弦三角形”是等边三角形(填“是”或“不是”); (5)图n 中,“叠弦角”的度数为60°-180°n.(用含n 的式子表示)解:(1)∵四边形ABCD 是正方形,由旋转知,AD =AD ′,∠D =∠D ′=90°,∠DAD ′=∠OAP =60°, ∴∠DAP =∠D ′AO ,∴△APD ≌△AOD ′(ASA), ∴AP =AO .∵∠OAP =60°,∴△AOP 是等边三角形;第2题答图(2)如答图,作AM ⊥DE 于M ,作AN ⊥CB 于N . ∵五边形ABCDE 是正五边形,由旋转知,AE =AE ′,∠E =∠E ′=108°,∠EAE ′=∠OAP =60°, ∴∠EAP =∠E ′AO .在Rt △AEM 和Rt △ABN 中,∠AEM =∠ABN =72°,AE =AB , ∴Rt △AEM ≌Rt △ABN (AAS), ∴∠EAM =∠BAN ,AM =AN .在Rt △APM 和Rt △AON 中,AP =AO ,AM =AN , ∴Rt △APM ≌Rt △AON (HL), ∴∠PAM =∠OAN ,∴∠PAE =∠OAB, ∴∠OAE ′=∠OAB .(3)由(1)知,△APD ≌△AOD ′, ∴∠DAP =∠D ′AO .在Rt △AD ′O 和Rt △ABO 中,⎩⎪⎨⎪⎧AD ′=AB ,AO =AO ,∴Rt △AD ′O ≌Rt △ABO (HL), ∴∠D ′AO =∠BAO .由旋转得,∠DAD ′=60°.∵∠DAB =90°, ∴∠D ′AB =∠DAB -∠DAD ′=30°,∴∠D ′AO =12∠D ′AB =15°,∵题图2的多边形是正五边形, ∴∠EAB =5-2×180°5=108°,∴∠E ′AB =∠EAB -∠EAE ′=108°-60°=48°, ∴同理可得,∠E ′AO =12∠E ′AB =24°.(4)是(5)同(3)的方法得,∠OAB =[(n -2)×180°÷n -60°]÷2=60°-180°n.4.(2018·赤峰)将一副三角尺按图1摆放,等腰直角三角尺的直角边DF 恰好垂直平分AB ,与AC 相交于点G ,BC =2 3 cm.(1)求GC 的长;(2)如图2,将△DEF 绕点D 顺时针旋转,使直角边DF 经过点C ,另一直角边DE 与AC 相交于点H ,分别过H ,C 作AB 的垂线,垂足分别为M ,N ,通过观察,猜想MD 与ND 的数量关系,并验证你的猜想.(3)在(2)的条件下,将△DEF 沿DB 方向平移得到△D ′E ′F ′,当D ′E ′恰好经过(1)中的点G 时,请直接写出DD ′的长度.解:(1)在Rt △ABC 中,∵BC =23,∠B =60°, ∴AC =BC ·tan60°=6,AB =2BC =43, 在Rt △ADG 中,AG =ADcos30°=4,∴CG =AC -AG =6-4=2. (2)结论:DM +DN =2 3. 理由:∵HM ⊥AB ,CN ⊥AB ,∴∠AMH =∠DMH =∠CNB =∠CND =90°.∵∠A +∠B =90°,∠B +∠BCN =90°, ∴∠A =∠BCN ,∴△AHM ∽△CBN ,∴AM CN =HM BN①, 同理可证:△DHM ∽△CDN ,∴DN MH =CNDM ② 由①②可得AM ·BN =DN ·DM ,∴DM AM =BN DN, ∴DM +AM AM =BN +DN DN ,∴AD AM =BDDN. ∵AD =BD ,∴AM =DN , ∴DM +DN =AM +DM =AD =2 3.第4题答图(3)如答图,作GK ∥DE 交AB 于K .在△AGK 中,AG =GK =4,∠A =∠GKD =30°,作GH ⊥AB 于H . 则AH =AG ·cos30°=23,可得AK =2AH =43,此时K 与B 重合. ∴DD ′=DB =2 3.。
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第二部分 专题五 类型二1.(xx·临沂)将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转α(0°<α<360°),得到矩形AEFG .(1)如图,当点E 在BD 上时.求证:FD =CD ; (2)当α为何值时,GC =GB ?画出图形,并说明理由.解:(1)由旋转可得,AE =AB ,∠AEF =∠ABC =∠DAB =90°,EF =BC =AD ,∴∠AEB =∠ABE .∵∠ABE +∠EDA =90°=∠AEB +∠DEF , ∴∠EDA =∠DEF .∵DE =ED ,∴△AED ≌△FDE (SAS), ∴DF =AE ,∵AE =AB =CD ,∴CD =DF .(2)当GB =GC 时,点G 在BC 的垂直平分线上,分两种情况讨论: ①当点G 在AD 右侧时,如答图1,取BC 的中点H ,连接GH 交AD 于M , ∵GC =GB ,∴GH ⊥BC ,∴四边形ABHM 是矩形, ∴AM =BH =12AD =12AG ,∴GM 垂直平分AD ,∴GD =GA =DA , ∴△ADG 是等边三角形,∴∠DAG =60°, ∴旋转角α=60°;②当点G 在AD 左侧时,如答图2,同理可得△ADG 是等边三角形,∴∠DAG =60°, ∴旋转角α=360°-60°=300°. 综上,α为60°或300°时,GC =GB .2.(xx·江西)如图1,边长为4的正方形ABCD 中,点E 在AB 边上(不与点A ,B 重合),点F 在BC 边上(不与点B ,C 重合).第一次操作:将线段EF 绕点F 顺时针旋转,当点E 落在正方形上时,记为点G ; 第二次操作:将线段FG 绕点G 顺时针旋转,当点F 落在正方形上时,记为点H ; 依此操作下去…(1)图2中的△EFD 是经过两次操作后得到的,其形状为等边三角形,求此时线段EF 的长;(2)若经过三次操作可得到四边形EFGH .①请判断四边形EFGH 的形状为正方形,此时AE 与BF 的数量关系是AE =BF ; ②以①中的结论为前提,设AE 的长为x ,四边形EFGH 的面积为y ,求y 与x 的函数关系式及面积y 的取值范围.解:(1)如题图2,由旋转性质可知EF =DF =DE ,则△DEF 为等边三角形.在Rt △ADE 和Rt △CDF 中,⎩⎪⎨⎪⎧AD =CD ,DE =DF ,∴Rt △ADE ≌Rt △CDF (HL).∴AE =CF . 设AE =CF =x ,则BE =BF =4-x ∴△BEF 为等腰直角三角形. ∴EF =2BF =2(4-x ). ∴DE =DF =EF =2(4-x ).在Rt △ADE 中,由勾股定理得AE 2+AD 2=DE 2,即x 2+42=[2(4-x )]2, 解得x 1=8-43,x 2=8+43(舍去). ∴EF =2(4-x )=46-4 2.△DEF 的形状为等边三角形,EF 的长为46-4 2.第2题答图(2)①四边形EFGH 的形状为正方形,此时AE =BF .理由如下:依题意画出图形,如答图所示,连接EG ,FH ,作HN ⊥BC 于N ,GM ⊥AB 于M . 由旋转性质可知,EF =FG =GH =HE ,∴四边形EFGH是菱形,由△EGM≌△FHN,可知EG=FH,∴四边形EFGH 的形状为正方形,∴∠HEF =90°. ∵∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,∴∠1=∠3. ∵∠3+∠4=90°,∠2+∠3=90°,∴∠2=∠4. 在△AEH 和△BFE 中,⎩⎪⎨⎪⎧∠1=∠3,EH =EF ,∠2=∠4,∴△AEH ≌△BFE (ASA),∴AE =BF .②利用①中结论,易证△AEH ,△BFE ,△CGF ,△DHG 均为全等三角形, ∴BF =CG =DH =AE =x ,AH =BE =CF =DG =4-x . ∴y =S 正方形ABCD-4S △AEH =4×4-4×12·x ·(4-x )=2x 2-8x +16,∴y =2x 2-8x +16(0<x <4).∵y =2x 2-8x +16=2(x -2)2+8,∴当x =2时,y 取得最小值8;当x =0或4时,y =16. ∴y 的取值范围为8≤y <16.3.(xx·江西)【图形定义】如图,将正n 边形绕点A 顺时针旋转60°后,发现旋转前后两图形有另一交点O ,连接AO ,我们称AO 为“叠弦”;再将“叠弦”AO 所在的直线绕点A 逆时针旋转60°后,交旋转前的图形于点P ,连接PO ,我们称∠OAB 为“叠弦角”,△AOP为“叠弦三角形”;【探究证明】(1)请在图1和图2中选择其中一个证明:“叠弦三角形”(△AOP )是等边三角形. (2)如图2,求证:∠OAB =∠OAE ′; 【归纳猜想】(3)图1、图2中的“叠弦角”的度数分别为15°,24°; (4)图n 中,“叠弦三角形”是等边三角形(填“是”或“不是”); (5)图n 中,“叠弦角”的度数为60°-180°n.(用含n 的式子表示)解:(1)∵四边形ABCD 是正方形,由旋转知,AD =AD ′,∠D =∠D ′=90°,∠DAD ′=∠OAP =60°, ∴∠DAP =∠D ′AO ,∴△APD ≌△AOD ′(ASA), ∴AP =AO .∵∠OAP =60°,∴△AOP 是等边三角形;第2题答图(2)如答图,作AM ⊥DE 于M ,作AN ⊥CB 于N . ∵五边形ABCDE 是正五边形,由旋转知,AE =AE ′,∠E =∠E ′=108°,∠EAE ′=∠OAP =60°, ∴∠EAP =∠E ′AO .在Rt △AEM 和Rt △ABN 中,∠AEM =∠ABN =72°,AE =AB , ∴Rt △AEM ≌Rt △ABN (AAS), ∴∠EAM =∠BAN ,AM =AN .在Rt △APM 和Rt △AON 中,AP =AO ,AM =AN , ∴Rt △APM ≌Rt △AON (HL), ∴∠PAM =∠OAN ,∴∠PAE =∠OAB, ∴∠OAE ′=∠OAB .(3)由(1)知,△APD ≌△AOD ′, ∴∠DAP =∠D ′AO .在Rt △AD ′O 和Rt △ABO 中,⎩⎪⎨⎪⎧AD ′=AB ,AO =AO ,∴Rt △AD ′O ≌Rt △ABO (HL), ∴∠D ′AO =∠BAO .由旋转得,∠DAD ′=60°.∵∠DAB =90°, ∴∠D ′AB =∠DAB -∠DAD ′=30°, ∴∠D ′AO =12∠D ′AB =15°,∵题图2的多边形是正五边形, ∴∠EAB =5-2×180°5=108°,∴∠E′AB=∠EAB-∠EAE′=108°-60°=48°,∴同理可得,∠E ′AO =12∠E ′AB =24°.(4)是(5)同(3)的方法得,∠OAB =[(n -2)×180°÷n -60°]÷2=60°-180°n.4.(xx·赤峰)将一副三角尺按图1摆放,等腰直角三角尺的直角边DF 恰好垂直平分AB ,与AC 相交于点G ,BC =2 3 cm.(1)求GC 的长;(2)如图2,将△DEF 绕点D 顺时针旋转,使直角边DF 经过点C ,另一直角边DE 与AC 相交于点H ,分别过H ,C 作AB 的垂线,垂足分别为M ,N ,通过观察,猜想MD 与ND 的数量关系,并验证你的猜想.(3)在(2)的条件下,将△DEF 沿DB 方向平移得到△D ′E ′F ′,当D ′E ′恰好经过(1)中的点G 时,请直接写出DD ′的长度.解:(1)在Rt △ABC 中,∵BC =23,∠B =60°, ∴AC =BC ·tan60°=6,AB =2BC =43, 在Rt △ADG 中,AG =ADcos30°=4,∴CG =AC -AG =6-4=2. (2)结论:DM +DN =2 3. 理由:∵HM ⊥AB ,CN ⊥AB ,∴∠AMH =∠DMH =∠CNB =∠CND =90°. ∵∠A +∠B =90°,∠B +∠BCN =90°, ∴∠A =∠BCN ,∴△AHM ∽△CBN ,∴AM CN =HM BN①, 同理可证:△DHM ∽△CDN ,∴DN MH =CNDM②由①②可得AM ·BN =DN ·DM ,∴DM AM =BN DN,∴DM+AMAM=BN+DNDN,∴ADAM=BDDN.∵AD=BD,∴AM=DN,∴DM+DN=AM+DM=AD=2 3.第4题答图(3)如答图,作GK∥DE交AB于K.在△AGK中,AG=GK=4,∠A=∠GKD=30°,作GH⊥AB于H.则AH=AG·cos30°=23,可得AK=2AH=43,此时K与B重合.∴DD′=DB=2 3.如有侵权请联系告知删除,感谢你们的配合!如有侵权请联系告知删除,感谢你们的配合!。