排列组合常用技巧
奥数 数字排列组合解题技巧
奥数数字排列组合解题技巧在奥数（奥林匹克数学竞赛）中，数字排列组合是一个常见的考查点，涉及到的技巧和方法有很多。
以下是一些常见的解题技巧：1. 全排列与重复排列：-全排列：n个元素的全排列有n!种情况，其中n!表示n的阶乘。
-重复排列：有重复元素时，全排列的总数要除以重复元素的阶乘。
2. 循环置换：-对于n个元素的排列，可以通过循环置换的方式进行计算。
循环置换的计算可以借助循环节的长度和总元素个数。
3. 组合公式：-对于从n个元素中选取m个元素的组合数，使用二项式系数的组合公式：C(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)4. 二项式定理：-利用二项式定理展开多项式，特别是在计算特殊值时，如计算(x+y)^n的展开式。
5. 递推关系：-有时候可以通过递推关系，找到某一项与前面项之间的关系，从而简化计算。
6. 逆向思维：-有时候可以从目标结果出发，逆向思考，找到排列组合的解。
7. 利用对称性：-利用对称性质，减少计算量。
例如，当问题中存在对称性时，可以利用对称性简化问题。
8. 鸽巢原理：-当分配的对象多于容器的个数时，至少有一个容器中含有两个或两个以上的对象。
这个原理在一些排列组合问题中经常被使用。
9. 图论中的排列组合：-在一些图论问题中，可以利用排列组合的知识，特别是在解决路径计数等问题时。
10. 二叉树与组合数学的关系：-一些问题可以通过构建二叉树的方式来求解，从而转化为组合数学的问题。
总的来说，对于奥数中的数字排列组合问题，关键是灵活运用数学知识，善于发现问题中的规律，并通过巧妙的思考和计算得到正确的结果。
排列组合问题的解决方法
排列组合问题的解决方法排列组合问题是数学中的一个重要概念，也是许多实际问题中常见的一种情况。
在解决排列组合问题时，我们需要运用一定的方法和技巧，以得到准确的答案。
本文将介绍一些常见的解决排列组合问题的方法。
一、排列问题的解决方法排列是从若干个元素中选取一部分进行排序的问题。
在解决排列问题时，我们可以运用以下方法：1.全排列法：全排列法适用于待排元素个数较少的情况。
通过穷举待排元素的所有可能排列，我们可以得到准确的答案。
但当待排元素个数较多时，全排列法的计算量会变得非常大，不适用于实际问题。
2.递归法：递归法是解决排列问题的常用方法之一。
通过不断缩小问题规模，并通过递归调用自身来解决子问题，最终得到排列问题的解。
递归法的优点是代码简洁易懂，但在处理大规模问题时，其效率可能较低。
3.数学公式法：对于一些特殊的排列问题，我们可以运用数学公式来求解。
比如，计算从n个元素中选取m个元素进行排列的方法数，可以使用排列组合公式P(n,m) = n! / (n-m)!来计算。
二、组合问题的解决方法组合是从若干个元素中选取一部分进行组合的问题。
在解决组合问题时，我们可以运用以下方法：1.枚举法：枚举法是解决组合问题的常用方法之一。
通过枚举待选元素的所有可能组合，我们可以得到准确的答案。
但同样地，当待选元素个数较多时，枚举法的计算量会非常大。
2.递归法：递归法同样适用于解决组合问题。
通过不断缩小问题规模，并通过递归调用自身来解决子问题，最终得到组合问题的解。
递归法的优点是代码简洁易懂，但在处理大规模问题时，其效率可能较低。
3.数学公式法：对于一些特殊的组合问题，我们可以运用数学公式来求解。
比如，计算从n个元素中选取m个元素进行组合的方法数，可以使用排列组合公式C(n,m) = n! / (m!(n-m)!)来计算。
三、排列组合问题的综合应用在实际问题中，排列组合常常与其他数学概念和方法相结合，以解决更为复杂的问题。
排列组合公式背诵技巧
排列组合公式背诵技巧
背诵排列组合公式可以采用一些技巧和方法，下面是一些建议：
1.理解公式意义：排列组合是数学中的基础概念，了解公式的含义和应用场景是背诵的基础。
理解排列是指从一组元素中选择若干个进行排列，而组合是指选择若干个元素形成一个无序的集合。
2.列出示例：通过列举具体的示例，如从5个不同的数字中选出3个数字排列，可进行实践和观察，帮助记忆和理解公式的应用。
3.创造记忆联结：将公式与某个有趣或熟悉的事物联系在一起，创造有趣的记忆联结。
例如，排列公式“P(n, r) = n! / (n-r)!”，你可以将它与一个名叫“排列先生”的超级英雄联系在一起，他的能力是帮助你排列物品。
4.制作记忆工具：通过制作记忆工具，如图表、卡片或口诀等，帮助记忆和回忆公式。
你可以为每个公式制作一个缩略词、图像或关键词，以帮助你联想和回忆。
5.划分学习时间：将背诵公式的时间分成几个短时间段。
每天花一定的时间来回顾和练习，这样可以加强记忆和巩固。
6.多进行练习：通过解决大量的排列组合问题和练习题，来巩固和强化对公式的记忆。
通过实际应用，加深对于公式的理解和熟悉度。
排列组合问题的八种求法(免费)
126
种
（ 1）分成三堆，一堆 2 本，一堆 3 本，一堆 1 本； （ 2）平均分成三堆； （ 3）平均分给三个同学； （ 4）分给三个同学，一人 1 本，一人 2 本，一人 3 本； （ 5）分给甲 1 本，乙 2 本，丙 3 本。 解： （ 1）不是平均分堆，故有：
C C C
1排列组合问题的八种求法云南昭通鲁甸一中李明健云南昭通站张中华推荐排列组合是高中数学的重点难点内容之一同时也是解决概率问题的重要工具下面举例说明排列组合问题的八种求法
排列组合问题的八种求法
云南昭通鲁甸一中 李明健 云南昭通站 张中华推荐 排列组合是高中数学的重点、难点内容之一，同时也是解决概 率问题的重要 “工具 ”，下面举例说明排列组合问题的八种求法： 一、特殊位置或特殊元素：优先法 例 1：由 0、 1、 2、 3、 4、 5 六个数字可组成多少个没有重复数 字且不能被 10 整除的六位数？ 解法一：先安排首末两个特殊位置，从 1、2、3、4、5 中任取 两个排在首位和末位，然后把 0 和剩余的三个数字排在中间四个位 置上，符合条件的六位数共有 A A 个。
种分法
（ 5）不属平均分堆，故有：
C C C
6 5 1 2 3 3
60
种不同的分法
求解完毕，仅以以上几例抛砖引玉，解题时注意积累经验，总 结规律，掌握技巧，定会柳暗花明。
- 4-
2 4 4 5
解法二：先把特殊元素 0 排在中间四个位置的任何一个，然后 把 0 以外的五个数字排在其他五个位置， 可得符合条件的总数共有：
A A 个。
1 5 5 4
二、对称（或机会均等）问题用：除法 例 2、 A、 B、 C、 D、 E 五人排成一排，如果 B 必须站在 A 的 右边，则不同的站法有多少种？ 解：B 在 A 的右边与 B 在 A 的左边的排列情况是对称的（或 B 在 A 的右边与 B 在 A 的左边机会相等） ，故有：
排列组合常用方法总结(全)
解决排列组合问题常见策略学习指导1、排列组合的本质区别在于对所取出的元素是作有序排列还是无序排列。
组合问题可理解为把元素取出后放到某一集合中去，集合中的元素是无序的。
较复杂的排列组合问题一般是先分组,再排列。
必须完成所有的分组再排列，不能边分组边排列.排列组合问题的常见错误是重复和遗漏.弄清问题的实质，适当的分类，合理的分步是解决这个错误的关键，采用不同的思路检验结果是否一致是解决这个错误的技巧.集合是常用的工具之一.为了将抽象问题具体化,可以从特殊情形着手，通过画格子，画树图等帮助理解。
“正难则反”是处理问题常用的策略。
常用方法:一. 合理选择主元例1. 公共汽车上有3个座位，现在上来5名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？例2. 公共汽车上有5个座位，现在上来3名乘客，每人坐1个座位,有几种不同的坐法？分析：例1中将5名乘客看作5个元素，3个空位看作3个位置，则问题变为从5个不同的元素中任选3个元素放在3个位置上，共有种不同坐法。
例2中再把乘客看作元素问题就变得比较复杂，将5个空位看作元素，而将乘客看作位置，则例2变成了例1,所以在解决排列组合问题时，合理选择主元,就是选择合适解题方法的突破口。
二. “至少"型组合问题用隔板法对于“至少”型组合问题，先转化为“至少一个"型组合问题，再用n个隔板插在元素的空隙（不包括首尾）中,将元素分成n＋1份。
例5. 4名学生分6本相同的书,每人至少1本，有多少种不同分法?解：将6本书分成4份，先把书排成一排,插入3个隔板，6本书中间有5个空隙，则分法有：（种）三。
注意合理分类元素（或位置)的“地位”不相同时,不可直接用排列组合数公式，则要根据元素（或位置）的特殊性进行合理分类,求出各类排列组合数。
再用分类计数原理求出总数。
例6. 求用0，1，2，3，4,5六个数字组成的比2015大的无重复数字的四位数的个数。
解：比2015大的四位数可分成以下三类：第一类：3×××，4×××,5×××,共有：（个）；第二类：21××，23××,24××，25××，共有：（个)；第三类：203×，204×,205×，共有：(个）∴比2015大的四位数共有237个。
数学排列组合题解题技巧
数学排列组合题解题技巧数学中的排列组合是一个重要的概念，在解题过程中使用排列组合技巧可以帮助我们更快地得到答案。
本文将介绍一些常用的排列组合题解题技巧，希望能对你的学习有所帮助。
一、排列组合的基本概念排列是指从一组元素中选取若干个元素按照一定的顺序排列的方式。
组合是指从一组元素中选取若干个元素不考虑顺序的方式。
排列组合的计算公式如下：排列：P(n,m) = n!/(n-m)!组合：C(n,m) = n!/(m!*(n-m)!)其中，n表示总的元素个数，m表示选取的元素个数，!表示阶乘运算。
二、全排列和循环排列全排列是指从一组元素中选取全部元素按照不同的顺序进行排列，这个排列中的每个元素都是唯一的。
全排列的个数可以通过n的阶乘来计算。
循环排列是指在全排列的基础上，将首尾相连形成一个圆环，这样的排列中的每个元素也是唯一的。
循环排列的个数可以通过n-1的阶乘来计算。
例如，有3个元素A、B、C，全排列的个数为3! = 6，可以得到6个排列方式：ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA；而循环排列的个数为2! = 2，可以得到2个排列方式：ABC和ACB。
三、组合的性质组合是不考虑元素顺序的排列，因此组合的个数要比排列的个数小。
在组合中，如果选取的元素个数等于总的元素个数，那么就是全组合，其个数为1。
组合有以下几个重要性质：1. C(n,m) = C(n,n-m)：组合个数对称性质。
2. C(n,0) = C(n,n) = 1：选取0个或全部元素只有一种情况，即空集和全集。
3. C(n,1) = C(n,n-1) = n：选取一个元素的组合个数等于总的元素个数。
四、应用技巧在解答排列组合题时，可以结合具体问题使用以下技巧：1. 利用排列组合公式计算个数。
2. 利用组合性质简化计算。
3. 利用循环排列和全排列计算特定问题。
4. 引入辅助元素进行排列组合的计算。
5. 利用因子分解简化计算。
例如，某班有10位学生，要从中选取3位学生组成一个小组，有多少种不同的选取方式？根据组合的性质可知，该问题的解为C(10,3) = 10!/(3!*7!) = 120种选取方式。
高中数学排列组合技巧
高中数学排列组合技巧方法(一)插空法同学们要理解插空法的使用条件，插空法要求一些元素不能排放在一起对其他元素没有限制的情况，应对这种问题时，首先要把没有要求的元素排好，然后再把不能排放在一起的元素插到没有任何要求的元素中间。
例如，有3个大小不一的黑球和2个颜色不同的花球，要求花色球不能排在一起，问有多少种排法题目的要求与插入法的使用条件彻底符合，可以使用插入法进行处理。
先把没有要求的黑球排好，共有A33种方法。
3个黑球的中间加上两端共有四个位置可以摆放花球，从四个位置选择两个摆放花球，有A24种，因此按照题目要求共有A33某A24种排法。
(二)插板法转变思维方式在排列组合问题中起着至关要的作用，有时候顺着题目要求很难解出题目，尤其是对那些非常抽象的问题更是如此。
同学们不能坠入思维定式的误区，换一种思绪，或许就能将许多繁琐的问题用简单的方式加以解决。
例如，某个班级共有6个小组，请求选出9人去参加拔河，并且每一个小组最少要有一个人加入，问有多少种选择方式顺着出题人的思路去解答问题很抽象，很难快速的解答，不妨换一种思维方式。
首先把问题做一下类比，把题目类比为将9个苹果分成6份，有多少方法这就转化成我们熟悉的插板问题，将9个苹果依次排开，共有8个空隙，在空隙中装入6块板，总共有C69种方法。
(三)捆绑法捆绑法的应用极其简单，判断捆绑法的类型也十分容易。
倘若题目出现某些元素必须排放在一起的时候，就要用到捆绑法。
可是应用捆绑法时要注意一些细节，要把有要求的元素放在一块儿而作为一个团体，再与其他元素组合排列。
如若遇到较为复杂的情况，在整体的内部还要对个体进行排列组合。
例如，4名男同学和5名女同学照结业照，女生请求站在一块儿，问有多少种站法这是经典的捆绑问题，解法如下：5名女生作为不同的元素有A55种，把她们捆绑在一起看作一个团体再和4名男生进行全排，有A55种，综上，按照题目所述总共有A55某A55种站法。
1.掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。
排列组合24种解题技巧
排列组合24种解题技巧1．排序问题相邻问题捆绑法相离问题插空排定序问题缩倍法（插空法）定位问题优先法多排问题单排法圆排问题单排法可重复的排列求幂法全错位排列问题公式法2．分组分配问题平均分堆问题去除重复法（平均分配问题）相同物品分配的隔板法全员分配问题分组法有序分配问题逐分法3．排列组合中的解题技巧至多至少间接法染色问题合并单元格法交叉问题容斥原理法构造递推数列法（一）排序问题1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.A B C D E五人并排站成一排，如果A,B必须相邻且B在A的右边，则不同的排法有例1.,,,,（）A、60种B、48种C、36种D、24种A 种，解析：把,A B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，4424答案：D.2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B .3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.A,B,C,D,E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法有（ ）A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种，选B . 4.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
例4.现有1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？解析：老师在中间三个位置上选一个有13A 种，4名同学在其余4个位置上有44A 种方法；所以共有143472A A =种。
解排列组合问题的常用技巧
解排列组合问题的常用技巧排列组合是高中数学的重点和难点之一，也是进一步学习概率的基础，事实上，许多概率问题也归结为排列组合问题，这一类问题不仅内容抽象，解法灵活，而且解题过程极易出现“重复”和“遗漏”的错误，这些错误甚至不容易检查出来，所以解题时要注意不断积累经验，总结解题规律，掌握若干技巧。
解答排列组合的问题，首先必须认真审题，明确是属于排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的混合问题。
其次，要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析解答，同时，还要注意讲究一些基本策略和方法和技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解，下面介绍几种常用的解题技巧。
一、特殊元素“优先安排法”对于带有特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元素，在考虑其他元素。
例⒈ 用0，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ） Ａ．２４个 Ｂ．３０个 Ｃ．４０个 Ｄ．６０个分析：由于该三位数为偶数，故末尾数字必为偶数，又因为０不能排在首位，故０就是其中的特殊元素，应优先安排．按０排在末尾和０不排在末尾分为两类：①０排在末尾时，有24A 个，②0不排在末尾时，则有131312A A A 个，由分类计数原理，共有偶数3013131224=+A A A A 个，选B ．例. 从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中，甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ）A. 300种B. 240种C. 144种D. 96种（05年福建卷）解析：因为甲、乙不去巴黎，故从其余4人选1人去巴黎有C 41种方法，再从剩余5人中选3人去其余3市，有A 53种方法，所以共有方案C A 4153240=（种），故选（B ）。
二、总体淘汰法对于含有否定字眼的问题，还可以从总体中把不符合要求的除去，此时，应注意既不能多减也不能少减。
例⒉ 100件产品中有3件是次品，从中任取三件，其中不全是正品的选法有多少种？分析：从100件产品中选3件产品的选法有3100C 种，选好后发现3件产品都是正品的选法不符合题意，因此把这种排法除去，故有142603973100=-C C 种。
考公排列组合解题技巧
考公排列组合解题技巧
在各类考试中，排列组合问题一直是重点与难点。
为了更有效地解决这类问题，以下是一些关键的解题技巧。
一、理解基本概念
在处理排列组合问题时，首先需要明确什么是排列、什么是组合。
排列是指从n个不同元素中取出m个元素（0≤m≤n），按照一定的顺序放入一起，构成一个有序的组合；而组合则是从n个不同元素中取出m个元素（0≤m≤n），不考虑顺序放入一起。
两者的主要区别在于顺序是否重要。
二、掌握计算公式
1. 排列数公式：A=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)
2. 组合数公式：C=n!/[m!(n-m)!]
3. 插空法、捆绑法等其他常用方法。
三、分析具体问题
针对具体问题，首先要明确是排列问题还是组合问题，其次要分析元素的性质、限制条件等因素，选择合适的方法进行计算。
四、运用间接法
在某些情况下，通过间接法可以更简便地解决问题。
例如，在求排列数时，可以先求出总数，然后减去其他不满足条件的情况数。
五、重视组合特点
组合问题有其自身的特点，如无序性、独立性等。
在解题时，要充分利用这些特点简化问题。
六、培养逻辑思维
排列组合问题往往涉及到复杂的逻辑关系，需要我们进行深入的分析和推理。
培养逻辑思维有助于更好地解决这类问题。
七、熟悉常见问题
为了更好地应对考试，需要对各种类型的排列组合问题都有所了解，并掌握相应的解题技巧。
总的来说，解决排列组合问题需要扎实的理论基础、灵活的思维方式和丰富的解题经验。
希望以上技巧能对大家有所帮助。
(完整版)☆排列组合解题技巧归纳总结
排列组合解题技巧归纳总结教学内容1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有13C然后排首位共有14C最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？443解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7373/A A(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有47A 种方法。
数学排列组合解题技巧
数学排列组合解题技巧
数学排列组合作为考试中常见的题型，是需要我们平时不断练习并总结经验的。
下面就为大家分享一些数学排列组合解题技巧。
1. 确定题目中给出的条件
首先，我们需要仔细审题，将题目中给出的条件、限制、关键字等重要信息识别出来，并将其记录在草稿纸上。
2. 划分问题类型
根据题目中给出的条件和要求，我们可以将排列组合问题分成以下几种类型：
①求排列数
②求组合数
③求重复排列数
④求重复组合数
对于每种类型的问题，我们需要掌握相应的计算方法。
3. 确定计算公式
针对每种问题类型，我们需要掌握相应的公式。
例如，排列数的计算
公式为A(n,m)=n!/(n-m)!，组合数的计算公式为C(n,m)=n!/[(n-m)!m!]，以及重复排列数和重复组合数的计算公式等。
4. 细心计算
在计算过程中，我们需要特别注意数字的大小、符号的加减、乘除的
顺序等问题，避免犯低级错误。
我们需要耐心琢磨，每一步计算都要
仔细检查。
5. 多思路解题
对于一个问题，我们可以尝试多种不同的思路进行解答，选择最为简单、直接的计算方法，并结合个人经验和实际情况，合理选择解题策略。
以上就是数学排列组合解题技巧的一些基本要点。
在实际解题中，我
们还需要灵活运用所学知识，尝试多种计算方法，以便更好地理解和
掌握其中的规律和技巧。
排列组合解题运算技巧
排列组合解题运算技巧
排列组合是概率论和组合数学中的基本概念，解题时需要灵活运用一些技巧。
以下是一些排列组合解题的常见技巧：
排列：
1. 基本定义：排列是指从一组元素中取出一部分元素进行安排，考虑元素的顺序。
2. 公式：对于n个不同的元素，取r个进行排列的方法数为\(P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}\)。
3. 重复排列：如果有重复的元素，需要除以重复元素的阶乘。
组合：
1. 基本定义：组合是指从一组元素中取出一部分元素，不考虑元素的顺序。
2. 公式：对于n个不同的元素，取r个进行组合的方法数为\(C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}\)。
3. 二项式定理：\((a+b)^n\) 的展开式中各项的系数就是\(C(n, r)\)。
常见技巧：
1. 分步法：复杂问题可以分解为若干个简单的排列或组合问题。
2. 分类讨论：当问题中有多个条件时，可以分情况讨论，再求解各种情况下的排列或组合。
3. 相对排列组合：某些问题中，可以将问题转化为相对排列或组合，简化计算。
4. 应用场景：排列组合常见于概率、统计、密码学等领域，多在计数问题中使用。
5. 注意特殊情况：在排列组合中，0的阶乘为1，\(C(n, 0) = C(n, n) = 1\)。
这些技巧在解决排列组合问题时可以提供一些指导。
在具体问题中，理解问题的本质，巧妙应用这些技巧，可以更高效地解决问题。
解排列组合问题的常用小技巧
解排列组合问题的常用小技巧排列组合问题在高考中一般以选择或填空题的形式出现，它联系生活实际，生动有趣，题型及其解法也灵活多变.实践证明，备考的有效方法是将题型与解法归类，识别模式，熟练应用.同时，还要抓住一些基本策略和方法技巧，排列组合问题便能迎刃而解.一、特殊元素优先安排对于有特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元素，再考虑其他元素.例1 用0，1，2，3，4这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有个.分析由于所求三位数是偶数，故末位数字必须是偶数.又因为0不能排在首位，故0就是其中的“特殊”元素，应优先安排. 按“0排在末位”和“0不排在末位”，分为两类讨论：当0排在末位时，三位偶数有A24个；当0不排在末位时，有A12A13A13个.故三位偶数共有30个.二、总体淘汰对于含有否定词以及“至多”、“至少”的问题，可以从总体中把不符合要求的减去，应注意既不能多减也不能少减.比如对例1，也可这样解答：五个数字组成三位数的全排列有A35个，0排在首位的有A14A13个，0不在首位而3或1排在末位的有A12A13A13个，这两种不符合题意的排法要减去，即有A35-A14A13-A12A13A13=30(个).三、合理分类与准确分步解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质进行分类，将事情发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏.例2 五人从左到右站成一排，其中甲不站排头，乙不站第二个位置，那么不同的站法有种.分析由题意，可先安排甲，并按其所站位置进行分类讨论：（1）若甲在第二个位置上，则剩下的四人可自由安排，有A44种站法；（2）若甲在第三、第四或第五个位置上，则根据分步计数原理，有A13A13A33种站法.所以不同的站法共有78种.四、“捆绑”相邻元素对于要求某几个元素相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来，看作一个“大”的元素，与其他元素一起排列，然后再对被“捆绑”的元素内部进行排列.例3 7人站成一排照相，要求甲、乙、丙3人相邻，有种不同的排法.分析先把甲、乙、丙3人“捆绑”起来，看作是一个元素，与其余4人共5个元素做全排列，有A55种排法；而后对甲、乙、丙3人进行全排列，有A33种排法.即共有A55A33=720(种)不同的排法.五、不相邻元素分别“插空”对于要求某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入在已排好的元素之间及两端的空隙处即可.例4 在例3中，若要求甲、乙、丙3人两两不相邻，则又有多少种不同的排法？分析先让其余4人站好，有A44种排法；再在这4人之间及两端的共5个“空隙”中选3个位置让甲、乙、丙插入，有A35种排法.故共有A44A35=1440（种）不同的排法.六、顺序固定用“除法”对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数.例5 5人排队，甲在乙前面的排法有种.分析若不考虑限制条件，则有A55种排法；而甲、乙两人之间的排法有A22种，其中甲在乙前面的排法只有1种.故符合条件的排法有A55A22=60（种）.七、统一分排把n个元素排成若干排的问题，若没有其他的特殊要求，可采取统一排成一排的方法来处理.例6 7人坐2排座位，第一排坐3人，第二排坐4人，则有种坐法.分析7个人，可以在前后两排随意就座，再无其他条件，两排可看作一排来处理，故不同的坐法有A77=5040（种）.八、逐步尝试当题目中的附加条件多，直接解决困难时，通过逐步尝试，不失为一种行之有效的方法.例7 将数字1，2，3，4填入标号分别1，2，3，4的方格内，每个方格填1个，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有种.分析此题考查排列的定义，附加条件较多.方格1内可填2或3或4.如填2，则方格2内可填1或3或4. 若方格2内填1，则方格3内只能填4，方格4内只能填3；若方格2内填3，则方格3内填4，方格4内填1；若方格2内填4，则方格3，4内应分别填1，3.即有3种填法.同理，方格1内填3或4也各有3种填法.所以共有9种填法.九、探索规律对于情况复杂、似乎无从下手的问题需要仔细分析，探索出其中规律，再予以解决.例8 从1到100的自然数中，每次取出两个不同的数，使它们的和大于100，则不同的取法有种.分析本题数字较多，情况也复杂，需要分析其规律.为方便起见，称两个加数中较小的数为被加数.1+100=101＞100，1为被加数的取法有1种；2为被加数的取法有2种……49为被加数的取法有49种；50为被加数的取法有50种；但51为被加数的取法只有49种；52为被加数的取法只有48种……99为被加数的取法只有1种.故不同的取法共有（1+2+…+50）+（49+48+…+1）=2500（种）.十、让“客”住“店”解决允许重复的排列问题时，要注意区分其中可以重复和不能重复的两类元素.把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，然后“让客住店”，利用乘法原理即可求解.例9 七名学生争夺五项冠军，获得各项冠军的可能情况有种.分析因为同一名学生可夺得多项冠军，故学生可重复排列.而同一项冠军只能由一名学生获得（隐含条件）.于是，将七名学生看作7个“店”，五项冠军看作5个“客”，每个“客”有7种住法，由乘法原理得共有75种可能的情况.十一、混合排列时先选后排对于排列组合混合问题，一般的解法是先取（组合）后排（排列）.例10 四名同学分别被保送到清华、北大、复旦三所大学深造，每所学校至少1人，则不同的保送方案有种.分析由于必有两人选到同一所学校，有C24种选法；再将这三组分别送到三所大学，有A33种排法，由分步计数原理，保送方案有C24A33＝36（种）.十二、间隔分组对于要求把n个元素分成m个组的问题（n≥m），用“挡板法”.例11 将12个相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子中至少有1个小球的不同放法有种.分析将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11个间隔中选3个放上“隔板”，有C311=165（种）放法.思考如果盒子可空，有多少种放法？（C04C311+C14C211+C24C111+C34C011=455.）以上介绍的排列组合应用题的解题策略不是彼此孤立，而是相互依存的，有时解决某一问题时要综合运用几种求解策略. 总的来说，解决排列组合问题的思路是：（1）先组合,后排列；（2）先分类,再分步；（3）先特殊（特殊元素、特殊位置），再一般，以简捷为原则.巩固练习1. （1）五个1和两个2可组成多少个不同的七位数？（2）某中学从高中7个班中选出12名学生组成校代表队，参加市中学数学应用题竞赛活动，使代表中每班至少有一人参加的选法有多少种？2. （1）从正方体中的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有种.（2）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有种.3. （1）3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法有种.（2）6本不同的书分给3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少种分法？4. (1) 将5列车停在5条不同的轨道上，其中a列车不停在第一轨道上，b列车不停在第二轨道上，那么不同的停放方法有种.(2) 10个人站成一排，其中甲乙丙3人两两不相邻且不站两端，问有多少种不同的站法？5. 把4个不同的小球放入3个不同的盒子，共有多少种不同的放法？6. 7名师生战成一排表演节目，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？（1）2名女生必须相邻而站；（2）4名男生互不相邻；（3）4名男生按从高到低一种顺序站；（4）老师不站中间，女生不站两端.参考答案1. （1）C27=21;（2）C611=462.2. （1）12;（2）141.3. (1) 540;(2) C16C25C33A33=370.4. (1) 78;(2) A77A36=100800.5. 34=81.6. （1）A66A22=1440；（2）A33A44=144；（3）2•A77A44=420；（4）A12A14A55+A24A14A44=2112.排列组合应用问题，题型繁多，解法独特，但经仔细分析研究，还是有一定规律可循。
高中数学排列组合解题技巧
高中数学排列组合解题技巧
1.相离问题插空法
相离问题插空法主要用来解决2个或假设干个不相邻元素的排列组合问题，是解决排列组合问题的常见方法之一。
它是指先把无位置要求，无条件限制的元素排列好，然后对有位置要求，受条件限制的元素进展整理，再将受条件限制的元素插入到已排列好的无条件限制元素的间隙或两端中。
2.相邻问题捆绑法
相邻问题捆绑法作为排列组合题最为常见的解法之一，就是在解决对于某几个元素相邻问题时，将相邻元素作为整体加以考虑，视为一个“大”元素参与排序，然后再单独对大元素内部各元素间的排列顺序进展一一分析^p 排列。
3.多元问题分类法
多元问题分类主要用解决元素较多，情况多种时的排列组合问题。
它是在弄清题意的根底上，按结果要求将其分成不相容的几类情况加以考虑，分别计数，最后一一相加，进展总计。
4.特殊元素优先安排法
特殊元素优先安排法是指在具有特殊元素的排列组合问题中，应优先对特殊元素进展安排，再考虑其它元素。
排列组合方法技巧总汇
总结排列组合题型一．直接法1．特殊元素法例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个（1）数字1不排在个位和千位（2）数字1不在个位，数字6不在千位。
分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择25A ，其余2位有四个可供选择24A ，由乘法原理：25A 24A =240 2．特殊位置法（2）当1在千位时余下三位有35A =60，1不在千位时，千位有14A 种选法，个位有14A 种，余下的有24A ，共有14A 14A 24A =192所以总共有192+60=252 二． 间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。
如上例中（2）可用间接法2435462A A A +-=252例2 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书？分析：此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用，且用此卡片又分使用0与使用1，类别较复杂，因而可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数333352A C ⨯⨯个，其中0在百位的有2242⨯C ⨯22A 个，这是不合题意的。
故共可组成不同的三位数333352A C ⨯⨯-2242⨯C ⨯22A =432（个） 三． 插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。
例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有11019A A ⨯=100中插入方法。
四． 捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。
例4 4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？分析：先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有44A 种排法，而男生之间又有44A 种排法，又乘法原理满足条件的排法有：44A ×44A =576练习1．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有 种（3324A C ）2． 某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有（1928129A C ⋅）（注意连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有129C 其余的就是19所学校选28天进行排列）五． 阁板法 名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共 种 。
三年级下册排列组合技巧
三年级下册排列组合技巧三年级下册排列组合技巧一、排列组合的基础知识在数学中，排列和组合是经常出现的概念。
排列指的是从给定的元素集合中选取若干元素进行排列的方式；组合则是指从给定的元素集合中选取若干元素来组成一个子集。
掌握排列和组合的基础知识对于解决一些数学问题和算数题目非常重要。
二、排列的技巧1. 全排列全排列是指从给定的元素集合中选取所有元素进行排列的方式。
比如，从1、2、3这三个数字中选取两个数字进行全排列，可以得到以下六种排列结果：12、21、13、31、23、32。
全排列的个数可以通过阶乘来计算，即 n!（n的阶乘），其中n表示元素个数。
2. 部分排列部分排列指的是从给定的元素集合中选取部分元素进行排列的方式。
根据部分排列的定义，求解时需要考虑元素的顺序和重复的情况。
可以使用数学公式进行求解，其中n表示元素集合的个数，m表示选取元素的个数，可以使用如下公式进行计算：P(n,m) = n!/(n-m)!三、组合的技巧组合是指从给定的元素集合中选取若干元素来组成一个子集。
相对于排列，组合忽略了元素的顺序。
求解组合问题时，可以使用数学公式进行计算。
其中n表示元素的总个数，m表示选取的元素个数，可以使用如下公式进行计算：C(n,m) = n!/[m!(n-m)!]。
四、解题示例以下是一些解题示例，可以帮助我们更好地理解排列组合的应用。
1. 题目：从10个不同的字母中选取3个字母，可以组成多少个不同的三位数？解析：这个问题是一个排列问题，需要考虑元素的顺序。
根据排列的定义，可以使用P(10,3)来计算。
即10个元素中选取3个元素进行排列，解为10!/(10-3)! = 720。
2. 题目：从5个不同的球中选取3个球，可以组成多少种不同的组合？解析：这个问题是一个组合问题，不考虑元素的顺序。
根据组合的定义，可以使用C(5,3)来计算。
即5个元素中选取3个元素进行组合，解为5!/[3!(5-3)!] = 10。
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有关排列组合的常用解题技巧
排列组合问题是高考必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，备考有效方法是题型与解法归类、识别模式、熟练运用，本文介绍十二类典型排列组合题的解答策略．
1．相邻问题并组法(捆绑法)
题目中规定相邻的几个元素并为一个组(当作一个元素)参与排列．
【例1】A 、B 、C 、D 、E 五人并排站成一排，如果A 、B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有[ ]
A ．60种
B ．48种
C ．36种
D ．24种 分析 把A 、B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于
4人全排列，＝种，故选．P 24D 44
2．相离问题插空法
元素相离(即不相邻)问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端．
【例2】七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是[ ] A ．1440 B ．3600 C ．4820 D ．4800
分析 5P 6P P P 3600B 556
25
56
2除甲、乙外，其余个排列数为种，再用甲、乙去插个空位有种，不同排法种数是＝种，故选．
3．定序问题缩倍法
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序，可用缩小倍数的方法．
【例3】A 、B 、C 、D 、E 五个人并排站成一排，如果 B 必须站A 的右边(A 、B 可不相邻)，那么不同的排法种数有[ ]
A ．24种
B ．60种
C ．90种
D ．120种 分析 B 在A 右边与B 在A 左边排法数相同，所以题设的排法只是
560B 个元素全排列数的一半，即＝种，故选．1
2
55P
4．标号排位问题分步法
把元素排到指定号码的位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成．
【例4】将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有[ ]
A ．6种
B ．9种
C ．11种
D ．23种
分析 先把1填入方格，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1＝9种填法，故选B ．
5．有序分配问题逐分法
有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，可用逐步下量分组法．
【例5】有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法总数有[ ]
A ．1260种
B ．2025种
C ．2520种
D ．5040种
分析 先从10人中选出2个承担甲项任务，再从剩下8个中选1人承担乙项任务，第三步从另外7人中选1个承担两项任务，不同的选法共有＝种，故选．C C C 101
81
71
2520C
6．多元问题分类法
元素多，取出的情况也有多种，可按结果要求，分成不相容的几类情况分别计算，最后总计．
【例6】由数字 0，1，2，3，4，5组成且没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有[ ]
A ．210个
B ．300个
C ．464个
D ．600个
分析 按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，
分别有个，个、个、个、个，合并总计得个，故选．
P 300
B 55P P P P P P P P P P P 4131333131332131333133
【例7】从1，2，3，…100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法(不计顺序)共有多少种？
分析 被取的两个数中至少有一个能被7整除时，它们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集Ⅰ，能被7整除的数的集合记作A ，则A ＝｛7，14，…98｝共有14个元素，不能被7整除
的数的集合，，…，共有个元素．由此可知，从中任
取两数的取法，共有种；从中任取一个数又从中任取一个数的取法，共有种，两种情形共得符合要求的取法有A 1299100}86A C A A C 1295
142
142=+={C C C C 141861141861 【例8】从1，2，…100这100个数中，任取两个数，使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少？
分析 将Ⅰ＝｛1，2，…，100｝分成四个不相交的子集，能被4整除的数集A ＝｛4，8，…， 100｝；被4除余1的数集B ＝｛1，5，…，97｝；被4除余2的数集为C ＝｛2，6，…98｝；被4除余3的数集为D ＝｛3，7，…99｝，易见这四个集合，每一个都含25个元素；从A 中任取两个数符合要求；从B 、D 中各取一个数的取法也符合要求；从C 中任取两个数的取法同样符合要求；此外其它取法都
不符合要求．由此即可得符合要求的取法共有种．C 252+C C +C ()251251252
7．交叉问题集合法
某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式n(A ∪B)＝n(A)＋n(B)－n(A ∩B)
【例 9】从6名运动员中选出4个参加4×100m 接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同参赛方法？
分析 设全集Ⅰ＝｛6人中任取4人参赛的排列｝，A ＝｛甲第一棒的排列｝，B ＝｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：
n()n(A) n(B)n(A B)252()Ⅰ－－＋∩＝＝种．P P P P 64535342--+
8．定位问题优先法
某个(或几个)元素要排在指定位置，可先排这个(几个)元素，再排其他元素．
【例10】1名老师和4名获奖同学排成一排照像留念，若老师不在两端，则有不同的排法有________种．
分析 P 44P P P 7231
44
314
4老师在中间三个位置上选一个位置，有种；然后名同学
在其余个位置上有种，共＝种．
9．多排问题单排法
把元素排成几排的问题，可归结为一排考虑，再分段处理．
【例11】6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是[ ] A ．360 B ．120 C ．720 D ．1440．
分析 前后两排可看成一排的两段，因此本题可视为6个不同元素
排成一排，共＝种，故选．P 720C 66
【例12】8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某 1个元素要排在后排，有多少种排法？
分析 22P 1P 55P P P 576042
41
554142看成一排，某个元素在前半段四个位置中选排个，有种；某个元素在后半段四个位置中选一个，有种；其余个元素任排在剩余的个位置上有种，故共有＝种排法．
P 55 10．“至少”问题间接法
关于“至少”类型组合问题，用间接法较方便．
【例13】从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有[ ]
A ．140种
B ．80种
C ．70种
D ．35种
分析 逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取
另一种型号的电视机，故不同取法共有＝种．故选．C C C 934353
--70C
11．选排问题先取后排法
从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上，可用先取后排法．
【例14】四个不同的球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有________种
分析 C P C C 1444
24
3
4
24
3先取四个球中的二个为一组，另二组各一个球的方法有种；再排：在四个盒中每次排三个有种，故共有＝种．
【例15】9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同分组法？
分析 C C P C C P 5242
22524222
先取男、女运动员各二名，有种；这四名运动员混双练习有种排法，故共有种分组法．
12．部分合条件问题排除法
在选取总数中，只有一部分合条件，可从总数中减去不合条件数，即为所求． 【例16】以一个正方体顶点为顶点的四面体共有[ ] A ．70个 B ．64个 C ．58个D ．52个
分析正方体个顶点，从中每次取四点，理论上可构成个四 8C 84
面体，
但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所
以四面体实际共有－＝个，故选．C 1258 C 84
【例17】正六边形中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有________个．
分析 7C C 3327373个点中取三点的取法有种，但有三组三点共线不能构成三角形，故所求三角形－＝个．。