5.5三元一次方程组及其解法
三元一次方程组及其解法(课堂PPT)
4
例题讲解
x y1
①
例题2 解方程组： x 3 y 2 z 23 ②
2 x 3 y 2 z 25 ③
（1）方程组有什么特征？
“未知数x用含有另一个未知数y的式子表示”
用_代__入__消元法，把_①__分__别__代__入__②__和__③__,
两次消元都消去同一个未知数__x___,
x y z 0 ①
y
z
x
4
②
z x y 2 ③
13
6
例题讲解
3x 2y 5z 2 ① 例题3 解方程组： x 2 y z 6 ②
4 x 2 y 5 z 26 ③
（1）方程组有什么特征？
“未知数y的系数的绝对值相等”
用_加__减__消元法，把_①__+_②__，__②__+_③__，____,
两次消元都消去同一个未知数___y__, 从而得到关于未知数_x___和_z____的二元
x y1 ① 例题5 解方程组： y z 2 ②
x z 5 ③
当“三个未知数的系数的绝对值都是1，且三个未 知数的个数都为2”可把三个式子相加，再用整体 思想求解
11
例题讲解
x y1 ① 练习 解方程组： y z 1 ②
x z 4 ③
12
补充
练习 用你认为最简便的方法解此方程组：
一次方程组
8
课堂练习
练习 解方程组：
9x 5 y z 6 (1) 9 x y 4z 3
9 x 3 y 5z 0
3x 2 y z 16
(2)
x
4
y
3z
3
5 x 2 y 2z 24
9
课堂练习
三元一次方程及其解法
三元一次方程组及其解法1.三元一次方程的定义：含有三个未知数的一次整式方程2.三元一次方程组：由三个一次方程(一元、二元或三元)组成并含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组3. 三元一次方程组的解：能使三个方程左右两边都成立的三个未知数的值 解题思路：利用消元思想使三元变二元，再变一元4.三元一次方程组的解法：用代入法或加减法消元，即通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程． 例题解析一、三元一次方程组之特殊型例1：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==++=++③②①y x z y x z y x 4225212分析：方程③是关于x 的表达式，通过代入消元法可直接转化为二元一次方程组，因此确定“消x ”的目标。
解法1：代入法，消x.把③分别代入①、②得⎩⎨⎧=+=+⑤④2256125z y z y解得2,2.y z =⎧⎨=⎩把y=2代入③，得x=8.∴8,2,2.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩是原方程组的解. 根据方程组的特点，可归纳出此类方程组为： 类型一：有表达式，用代入法型.针对上例进而分析，方程组中的方程③里缺z,因此利用①、②消z,也能达到消元构成二元一次方程组的目的。
解法2：消z.①×5得 5x+5y+5z=60 ④ ④-② 得 4x+3y=38 ⑤由③、⑤得⎩⎨⎧=+=⑤③38344y x yx解得 2.y ⎨=⎩把x=8,y=2代入①得z=2.∴8,2,2.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩是原方程组的解. 根据方程组的特点，可归纳出此类方程组为： 类型二：缺某元，消某元型.例2：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++③②①172162152z y x z y x z y x 分析：通过观察发现每个方程未知项的系数和相等；每一个未知数的系数之和也相等，即系数和相等。
具备这种特征的方程组，我们给它定义为“轮换方程组”，可采取求和作差的方法较简洁地求出此类方程组的解。
三元一次方程及其解法
三元一次方程组及其解法1.三元一次方程的定义：含有三个未知数的一次整式方程2。
三元一次方程组:由三个一次方程（一元、二元或三元）组成并含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组3. 三元一次方程组的解：能使三个方程左右两边都成立的三个未知数的值 解题思路:利用消元思想使三元变二元，再变一元4.三元一次方程组的解法：用代入法或加减法消元,即通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程． 例题解析一、三元一次方程组之特殊型例1：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==++=++③②①y x z y x z y x 4225212分析：方程③是关于x 的表达式，通过代入消元法可直接转化为二元一次方程组，因此确定“消x"的目标. 解法1：代入法，消x 。
把③分别代入①、②得⎩⎨⎧=+=+⑤④2256125z y z y解得2,2.y z =⎧⎨=⎩把y=2代入③，得x=8。
∴8,2,2.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩是原方程组的解。
根据方程组的特点，可归纳出此类方程组为： 类型一:有表达式,用代入法型.针对上例进而分析,方程组中的方程③里缺z,因此利用①、②消z ，也能达到消元构成二元一次方程组的目的。
解法2：消z 。
①×5得 5x+5y+5z=60 ④ ④—② 得 4x+3y=38 ⑤由③、⑤得⎩⎨⎧=+=⑤③38344y x yx解得 2.y ⎨=⎩把x=8，y=2代入①得z=2。
∴8,2,2.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩是原方程组的解. 根据方程组的特点，可归纳出此类方程组为: 类型二：缺某元，消某元型。
例2：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++③②①172162152z y x z y x z y x 分析：通过观察发现每个方程未知项的系数和相等；每一个未知数的系数之和也相等，即系数和相等。
具备这种特征的方程组,我们给它定义为“轮换方程组”，可采取求和作差的方法较简洁地求出此类方程组的解。
三元一次方程组及其解法
三元一次方程组及其解法
三元一次方程组顾名思义就是由三个一次方程组成的含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组
从上面的例子中，我们对三元线性方程组的定义有了详细的了解，知道什么是三元线性方程组。
接下来具体研究如何求解三元线性方程组。
同学们可以回忆一下，我们在学习二元一次方程组的时候，用了代换消元法或者加减消元法来解二元一次方程组。
那么现在三元线性方程组的解和二元线性方程组的解一样吗？
答案时肯定的，消元时解决多元一次方程组的根本思想，通过消元我们将多元一次方程组转化为二元一次方程组或者一元一次方程求解出其中一个或者两个未知数，然后再根据求出的解代入原方程组求出其他的未知数。
3.5三元一次方程组及其解法(解决实际问题)导学案
一、链接：分别用代入消元法和加减消元法解三元一次方程组
Байду номын сангаас用代入消元法： 用加减消元法：
二、教材导读：自学课本117页例3，并完成以下问题：
1、设食谱中A、B、C三种食物各为x、y、z份
（1）每份A种食物含有铁、钙、维生素的量分别为多少单位？那么x份A种食物呢？
（2）每份B种食物含有铁、钙、维生素的量分别为多少单位？那么y份B种食物呢？
5、球类运动室有篮球、排球和足球共26个.已知篮球比排球多1个,排球与足球个数的和比篮球多6个.问这三种球各有多少个?
6、(我国古代数学题）“獐18斤，兔3斤，斑鸠4两不用称，99个100斤。”说的是猎人们打了獐、兔、斑鸠3种猎物共99个，总重量为100斤。（古代1斤=16两）问猎物中獐、兔、斑鸠各有几个？
2、某校初中三个年级一共有651人，初二的学生数比初三学生数多10%，初一的学生数比初二的学生数多5%。求三个年级各有多少人？
3、三个数的和是51，第二个数去除第一个数时商2余5，第三个数去除第二个数时商3余2，求这三个数．
4、在y=ax2+bx+c中，当x=1，2，3时，y=0，3，28，求a，b，c的值．当x=-1时，y的值是多少？
2.在“小明手头有12张面额分别为1元，2元，5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍，求1元，2元，5元纸币各多少张．”这一问题中有几个未知量？几个相等关系？根据题意列出方程组，请写在下面空白处。
☆达标检测☆
1、在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x=-1时，y=0；当x=3时，y=0；当x=2时，y=-4；求a、b、c的值。
教学思路
学生纠错
（3）每份C种食物含有铁、钙、维生素的量分别为多少单位？那么z份C种食物呢？
人教版七年级数学下册第八章《三元一次方程组解法(选学)》知识梳理、考点精讲精练、课堂小测、课后作业第
第15讲三元一次方程组解法（1）代入消元法（2）加减消元法三元一次方程组及其解法：方程组中一共含有三个未知数，含未知数的项的次数都是1，并且方程组中一共有两个或两个以上的方程，这样的方程组叫做三元一次方程组。
解三元一次方程组的关键也是“消元”：三元→二元→一元方程应用题：考点1、三元一次方程的解法例1、在解三元一次方程组中，比较简单的方法是消去（）A．未知数B．未知数y C．未知数z D．常数例2、将三元一次方程组，经过①-③和③×4+②消去未知数z后，得到的二元一次方程组是（）A．B．C．D．例3、写一个三元一次方程，使它的解有一组为x=1，y=1，z=1，这个三元一次方程为．例4例5、解下列三元一次方程组：（1）（2）（3）（4）．1、已知，则x+y+z的值是（）A．80 B．40 C．30 D．不能确定2、下列方程组：①；②；③；④，是三元一次方程组的是（填序号）3、已知三元一次方程2a+3b-4c=6，用含b、c的式子表示a为．4、当x=0、1、-1时，二次三项式ax2+bx+c的值分别为5、6、10，则a= ，5、解方程组：考点2、三元一次方程应用求解例1、已知|x－z+4|+|z－2y+1|+|x+y－z+1|=0，则x+y+z=（）A．9 B．10 C．5 D．3例2、已知方程组，x与y的值之和等于2，则k的值为．例3、如果方程组的解使代数式kx+2y-z的值为10，那么k= ．例4、已知x、y、z都不为零，且．求x：y：z．例5、对于有理数x，y定义新运算x*y=ax+by+c．其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法与乘法运算．已知1*2=9，（-3）*3=6，0*1=2，求（-2）*5的值．1、若方程组的解x与y的和为O，则m等于（）A．－2 B．－1 C．1 D．22、已知，则x：y：z=______．34、如果方程组，的解也是方程3x+my+2z=0的解，求m的值．5、已知3x-4y-z=0，2x+y-8z=0，求的值．考点3、三元一次方程应用题例1、有甲，乙，丙三种商品，如果购甲3件，乙2件，丙1件共需315元钱，购甲1件，乙2件，丙3件共需285元钱，那么购甲，乙，丙三种商品各一件共需（）A．50 B．100 C．150 D．200例2、一件工作，甲乙合做8小时完成，甲丙合做6小时完成，乙丙合做4.8小时完成，若甲乙丙三人合做，小时完成．例3、已知，甲乙丙三个数的和为26，甲数比乙数大1，甲数的两倍与丙数的和比乙数大18，求这三个数．例4、某工厂每天生产甲种零件120个，或乙种零件100个，或丙种零件200个．甲、乙、丙三种零件分别取3个、2个、1个才能配成一套，现要在30天内生产最多的成套产品，问甲、乙、丙三种零件各应生产多少天？例5、在第29届北京奥运会上，中国体育健儿共获得奖牌100枚，令国人振奋，世界瞩目，下面是两位同学的对话：小明：太厉害了，我们在金牌榜上居第一位，金牌比银牌的2倍还多9块！小华：是呀，我们的银牌也不少啊，只比铜牌少7块！你知道我们共获得金牌、银牌、铜牌各多少块吗？1、有甲、乙、丙三种货物，若购买甲3件，乙7件，丙1件，共需63元，若购甲4件，乙10件，丙1件共需84元．现在购买甲、乙、丙各一件，共需（）元．A．21 B．23 C．25 D．272、甲乙丙三数之和为36，而甲乙二数之和与乙丙二数之和与甲丙二数的和之比为2：3：4，则甲乙丙三数分别为．3、已知△ABC的周长为25cm，三边a、b、c中，a=b，c：b=1：2，则边长a= ．4、王明在超市用74元钱买了苹果、梨、香蕉三种水果共15.5/kg，苹果比梨多2kg，已知苹果5元/kg，梨5.5元/kg，香蕉4元/kg．王明买了苹果、梨、香蕉各多少/kg？5、某单位职工在植树节时去植树，甲、乙、丙三个小组共植树50株，乙组植树植树多少株？6、已知△ABC的周长为48cm，最长边与最短边之差为14cm，另一边与最短边之和为25cm，求△ABC各边的长．1、解方程组时，第一次消去未知数的最佳方法是（）A．加减法消去x，将①-③×3与②-③×2B．加减法消去y，将①+③与①×3+②C．加减法消去z，将①+②与③+②D．代人法消去x，y，z中的任何一个2、若2x+3y-z=0且x-2y+z=0，则x：z=（）A．1：3 B．－1：1 C．1：2 D．－1：7 3、若2x+5y-3z=2，3x+8z=3，则x+y+z的值等于（）A．0 B．1 C．2 D．无法求出4、关于关于x、y的方程组的解也是二元一次方程x+3y+7m=20的解，则m的值是（）A．0 B．1 C．2 D．0.55、某校一年级有64人，分成甲、乙、丙三队，其人数比为4：5：7．若由外校转入1人加入乙队，则后来乙与丙的人数比为（）A．3：4 B．4：5 C．5：6 D．6：76、买20枝铅笔、3块橡皮擦、2本日记本需32元；买39枝铅笔，5块橡皮擦、3本日记本需58元；则买5枝铅笔、5块橡皮擦、5本日记本需（）A．20元B．25元C．30元D．35元7、若方程组中x和y值相等，则k= ．8、已知单项式-8a3x+y-z b12c x+y+z与2a4b2x-y•3z c69、解下列方程组：（1）（2）10、已知方程组的解x、y的和为12，求n的值．11、若，求x，y，z的值．12、已知：△ABC的周长为18cm，且a+b=2c，，求三边a、b、c的长．13、一个三位数的三个数字的和是17，百位数字与十位数字的和比个位数字大3，如果把个位数字与百位数字的位置对调，那么所得的三位数比原数大495，求原来的三位数．1、已知3a-c=a+b+c=4a+2b-c，那么3a：2b：c等于（）A．4：（－2）：5 B．12：4：5C．12：（－4）：5 D．不能确定2、若，且3x+2y+z=32，则（y-z）x= ．3、已知=k，则k= ．4、有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件共需315元；若购甲4件、乙10件、丙1件共需420元．问购甲、乙、丙各5件共需多少元？5、根据下面的等式，求出妈妈买回来的鱼、鸡、菜各花了多少钱？鸡+鸭+鱼+菜=35.4元鸡+鱼+菜=20.4元鸭+鱼+菜=21.4元鸭+菜=17元．1、解方程组，若要使运算简便，消元的方法应选取（）A．先消去B．先消去yC．先消去z D．以上说法都不对2、已知是方程组的解，则a+b+c的值是（）A．1 B．2 C．3 D．以上答案都不对3、甲、乙、丙三数之和为98，甲：乙=2：3，乙：丙=5：8，则乙=（）A．50 B．45 C．40 D．304、三元一次方程组的解是（）A．B．C．D．5、小华到学校超市买铅笔11支，作业本5个，笔芯2支，共花12.5元；小刚在这家超市买同样的铅笔10支，同样的作业本4个，同样的笔芯1支，共花10元钱．若买这样的铅笔1支、作业本1个，笔芯1支共需（）元．A．3元B．2.5元C．2元D．无法求出6、若方程组的解是3a+nb=8的一个解，则n的值是（）A．1 B．2 C．3 D．47、为了奖励进步较大的学生，某班决定购买甲、乙、丙三种钢笔作为奖品，其单价分别为4元、5元、6元，购买这些钢笔需要花60元；经过协商，每种钢笔单价下降1元，结果只花了48元，那么甲种钢笔可能购买（）A．11支B．9支C．7支D．4支8、如果x－y=－5，z－y=11，则z－x= ．9、当K= 时，关于x、y的方程的解的和为200．10、有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件、乙2件，丙1件共需315元钱，购甲1件、乙2件、丙3件共需285元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需元钱．11、解方程组（1）（2）（3）12、在等式y=ax2+bx+c中，当x=1时，y=0；当x=2时，y=4；当x=3时，y=10．当x=4时y的值是多少？13、解方程组：．14、琪琪、倩倩、斌斌三位同学去商店买文具用品．琪琪说：“我买了4支水笔，2本笔记本，10本作文本共用了19元．”倩倩说：“我买了2支水笔，3本笔记本，10本练习本共用了20元．”斌斌说：“我买了12本练习本，8本作文本共用了10元；作文本与练习本的价格是一样哦！”请根据以上内容，求出笔记本，水笔，练习本的价格．15、a为何值时，方程组的解x、y的值互为相反数，求出a的值，并求出方程组的解．第15讲三元一次方程组解法考点1、三元一次方程的解法例1、C例2、A例3、例4、例5、1、B2、3、4、5、考点2、三元一次方程应用求解例1、A例2、例3、例4、例5、1、D2、3、4、5、考点3、三元一次方程应用题例1、C例2、例3、例4、例5、1、A2、3、4、5、6、1、C2、D3、B4、C5、A6、C7、8、9、10、11、12、13、1、2、3、4、5、1、B2、C3、D4、C6、B7、D 8、9、10、11、13、．14、15、人教版七年级数学下册第八章《三元一次方程组解法（选学）》知识梳理、考点精讲精练、课堂小测、课后作业第15讲（有答案）21 / 21。
三元一次方程组及其解法 学案
2.5三元一次方程组及其应用学案班级_____________________ 姓名_______________________学习目标1.了解三元一次方程组的概念，2.掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元和一元的化归思想3.会解三元一次方程组，掌握三元一次方程组的解法及其步骤。
学习重点：会解简单的三元一次方程组，经过本课学习进一步熟悉解方程组时“消元”的基本思想和灵活运用代入法、加减法等重要方法.学习难点：针对方程组的特点，选择最好的解法.一．课前预学1.解二元一次方程组的基本方法有哪几种？2.解二元一次方程组的基本思想是什么？[来源:学科网ZXXK3.解方程组预习疑难摘要___________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 二．课中导学1.三元一次方程组一副扑克牌共54张，老师将一副扑克牌分给甲、乙、丙三名小朋友. 甲拿到的牌数是乙的2倍；若把丙拿到的牌分一半给乙，则乙的牌数就比甲多2张.问老师分给甲、乙、丙各几张牌？(1)这个问题中要求的未知数有几个？你能列出关于这些未知数的几个方程？请试一试.(2)根据(1)中列出的方程，你能求出问题的解吗？请试一试.归纳总结：（1）三元一次方程：和二元一次方程类似，含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做三元一次方程，由三个一次方程组成 , 并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组.（2）三元一次方程必备条件：①是_____方程②含____个未知数③所含未知数的项的次数都是____.（3）三元一次方程组：共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组．（4）三元一次方程组必备条件：①是_____方程②共含____个未知数③三个都是_____次方程④联立在一起．2.典例剖析例1 解方程组21 22 x y zx y zx y z+-=⎧⎪-+=-⎨⎪=-⎩解：例2解方程组3213527 2312 x y zx y zx y z++=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩解：归纳总结：解三元一次方程组的一般步骤：(1)利用______________消去三元一次方程组的一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；(2)解这个二元一次方程组，求出_________________；(3)将_______________________代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个____________；(4)解这个一元一次方程，求出最后一个_______________；(5)将求得的三个未知数的值用符号_____________合写在一起．3.课堂练习1．三元一次方程组的解是（）A．B．C．D．2．若3x+5y+6z＝5，4x+2y+z＝2，则x+y+z的值等于（）A．0 B．1 C．2 D．不能求出3．已知三元一次方程组，则x+y+z＝．4．在一次解题比赛中，小张、小李、小王三人共解出了100道题，每人都解出了其中的60道题，将其中只有1人解出的题叫做难题，3人都解出的题叫做容易题，则难题比容易题多_____道．5.解三元一次方程组：．三、课后延学1．三元一次方程组的解为（）A．B．C．D．2．在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝0时，y＝2；当x＝﹣1时，y＝0；当x＝2时，y＝12，则a+b+c＝（）A．4 B．5 C．6 D．83．近日天气晴朗，某集团公司准备组织全体员工外出踏青．决定租用甲、乙、丙三种型号的巴士出行，甲型巴士每辆车的乘载量是乙型巴士的3倍，丙型巴士每辆可乘坐36人．现在旅游公司有甲、乙、丙型巴士若干辆，预计该集团公司安排甲型、丙型巴士共计8辆，其余员工安排乙型巴士，每辆巴士均满载，这样乘坐乙型巴士和丙型巴士的员工共296人．临行前，突然有若干人因特殊原因请假，这样一来刚好可以减少租用一辆乙型巴士，且有辆乙型巴士多出两个空位，这样甲、乙两种型号巴士共计装载178人，则该集团公司共有___名员工．4.解方程组5．问题：有甲、乙、丙三种商品，①购甲3件、乙5件、丙7件共需490元钱；②购甲4件、乙7件、丙10件共需690元钱；③购甲2件，乙3件，丙1件共需170元钱．求购甲、乙、丙三种商品各一件共需多少元？小明说：“可以根据3个条件列出三元一次方程组，分别求出购甲、乙、丙一件需多少钱，再相加即可求得答案．”小丽经过一番思考后，说：“本题可以去掉条件③，只用①②两个条件，仍能求出答案．”针对小丽的发言，同学们进行了热烈地讨论．（1）请你按小明的思路解决问题．（2）小丽的说法正确吗？如果正确，请完成解答过程；如果不正确，请说明理由．（3）请根据上述解决问题中积累的经验，解决下面的问题：学校购买四种教学用具A、B、C、D，第一次购A教具1件、B教具3件、C教具4件、D教具5件共花2018元；第二次购A教具1件、B教具5件、C教具7件、D教具9件共花3036元．求购A教具5件、B教具3件、C教具2件、D教具1件共需多少元？参考答案一．课前预学1.代入消元法加减消元法2.消元思想3.二．课中导学1.三元一次方程组归纳总结：2.三元一次方程必备条件：①整式②三③14.①整式②三③一2.例1 解方程组21 22 x y zx y zx y z+-=⎧⎪-+=-⎨⎪=-⎩解：将③分别代入①，②，消去x，得3212 y zy z-=⎧⎨-=⎩解这个二元一次方程组，得57 yz=⎧⎨=⎩将57yz=⎧⎨=⎩代入③，得x= -2.所以原方程组的解257 xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩例2解方程组3213527 2312 x y zx y zx y z++=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩解：①+③，得 5x+5y= 25. ④①×2 -②，得 5x - y= 19. ⑤④-⑤，得6y=6，所以y=1.把y=1代入⑤，得x=4.再将x=4 ， y=1代入①，得z= -1所以原方程组的解是411 xyz=⎧⎪=⎨⎪=-⎩归纳总结：(1)代入法或加减法(2)两个未知数的值(3)求得的两个未知数的值、一元一次方程(4)未知数的值(5){3.课堂练习1．C 2．B 3.35 4．205.解：②﹣①得：﹣2y＝4，解得：y＝﹣2，把y＝﹣2代入①得：x﹣2+z＝4，即x+z＝6④，把y＝﹣2代入③得：4x﹣4+z＝17，即4x+z＝21⑤，由④和⑤组成一个二次一次方程组，解得：，所以原方程组的解是：．三、课后延学1．D 2．C 3．4164.③﹣②得：2b﹣2a＝2④，即b﹣a＝1，①+③得：3a+4b＝18⑤，④⑤组成方程组解得：，把a＝2，b＝3代入方程③得：2+3+c＝6解得：c＝1．则方程组的解是：．5.解：（1）设购买一件甲种商品需要x元，购买一件乙种商品需要y元，购买一件丙种商品需要z元，根据题意得：，解得：，∴x+y+z＝90．答：购甲、乙、丙三种商品各一件共需90元．（2）小丽的说法正确．设购买一件甲种商品需要x元，购买一件乙种商品需要y元，购买一件丙种商品需要z元，根据题意得：，方程①×3﹣方程②×2，得：x+y+z＝90．答：购甲、乙、丙三种商品各一件共需90元．（3）设购买一套A教具需要a元，购买一套B教具需要b元，购买一套C教具需要c元，购买一套D教具需要d元，根据题意得：，方程组可变形为：，设a+b+c+d＝m，2b+3c+4d＝n，则原方程组可变形为：，解得：，∴5a+3b+2c+d＝5（a+b+c+d）﹣（2b+3c+4d）＝5m﹣n＝3982．答：购A教具5件、B教具3件、C教具2件、D教具1件共需3982元．。
沪科版数学七年级上册《3.5 三元一次方程组及其解法》教学设计1
沪科版数学七年级上册《3.5 三元一次方程组及其解法》教学设计1一. 教材分析《3.5 三元一次方程组及其解法》是沪科版数学七年级上册的一个重要内容。
此章节主要介绍了三元一次方程组的定义、解法和应用。
学生通过学习此章节，能够掌握三元一次方程组的基本概念和解法，并为后续学习更复杂的方程组打下基础。
二. 学情分析学生在学习此章节前，已经掌握了二元一次方程组的知识，具备了一定的解方程组的能力。
然而，三元一次方程组相较于二元一次方程组更加复杂，需要学生能够灵活运用已知知识进行解决问题。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生对已知知识的掌握情况，以及他们解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.了解三元一次方程组的定义和特点，理解其解法的原理。
2.能够运用加减消元法和代入消元法解决简单的三元一次方程组。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：三元一次方程组的定义、解法的原理和应用。
2.教学难点：三元一次方程组的解法及其在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.讲授法：教师通过讲解三元一次方程组的定义、解法的原理和应用，帮助学生理解和掌握相关知识。
2.案例分析法：教师通过举例讲解和引导学生分析实际问题，培养学生的解决问题的能力。
3.小组合作法：学生分组讨论和合作解决问题，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
六. 教学准备1.教学PPT：教师准备相关的教学PPT，内容包括三元一次方程组的定义、解法的原理和应用等。
2.实际问题：教师准备一些实际问题，用于引导学生应用所学知识解决实际问题。
3.练习题：教师准备一些练习题，用于巩固学生对三元一次方程组的理解和应用能力。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入一些实际问题，引发学生对三元一次方程组的兴趣，并提出问题引导学生思考。
2.呈现（15分钟）教师通过PPT呈现三元一次方程组的定义、解法的原理和应用的相关内容，并进行讲解和解释。
3.操练（15分钟）教师给出一些简单的三元一次方程组，引导学生运用加减消元法和代入消元法进行求解，并引导学生总结解题思路和方法。
人教版七年级数学下册精品教学课件 第八章 二元一次方程组 三元一次方程组及其解法
七年级数学·人教版
学习目标：
1.了解三元一次方程组的概念. 2.能解简单的三元一次方程组，在解的过程中进一步体会“消 元”思想. 3.会解较复杂的三元一次方程组.
重点难点：
1.理解三元一次方程组的概念． 2.能解简单的三元一次方程组.
情景导入
y
5z
22,
x 4 y.
归纳：在这个方程组中，含有三个未知数，每个方程中所 含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这 样的方程组叫做三元一次方程组.
例1 下列方程组中，是三元一次方程组的是( D )
x2 y 1,
A. y z 0,
xz 2
1 y 1, x
B. 1 z 2,
y
1x6 z
一元纸币的数量
x张
两元纸币的数量 五元纸币的数量
y张
三个未知数（张）
z张
问题2：等量关系：用方程表示等量关系.
(1)一元纸币的数量+两元纸币的数量+五元纸币的数量=12 x+y+z=12.
(2)一元纸币的数量=4×两元纸币的数量 x=4y.
(3)一元纸币的数量+2×两元纸币的数量+5×五元纸币的数量=22 x+2y+5z=22.
z＋x－y＝1. ③
z＝___3____.
3.若|a－b－1|＋(b－2a＋c)2＋|2c－b|＝0，求a，b，c的值．
解：因为三个非负数的和等于0，所以每个非负数都为0.
a b 1 0,
可得方程组 b 2a c 0,
2c b 0.
a 3,
解得 b 4,
c 2.
三元一次方程组及其解法
*7.3 三元一次方程组及其解法※教学目标※知识与技能了解三元一次方程组的概念，会解三元一次方程组，体会消元的思路，提高分析能力、计算能力．过程与方法经过探索三元一次方程组解法的过程，理解代入消元法和加减消元法所体现的化未知为已知的化归的思想方法．情感、态度与价值观在数学活动中感悟方程组等变形的数学类，获得成功的体验，树立自信心．教学重点本节的重点是使学生学会解简单的三元一次方程组.教学难点难点是针对方程组的特点，选择最好的解法.※教学设计※一、复习导入，探索新知1．解二元一次方程组的基本方法有哪几种?2．解二元一次方程组的基本思想是什么?3．问题：甲、乙、丙三数的和是26，甲数比乙数大1，甲数的2倍与丙数的和比乙数大18，求这三个数．思考：1．题目中有几个未知数?含有几个相等关系?你能根据题意列出几个方程?2．如何解这个方程组呢?你能不能设法消去一个或两个未知数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程?教师提出思考1：学生回答问题，设未知数，列方程．这个方程组含有三个未知数，每个方程的未知数的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组，就是我们要学的三元一次方程组．(板书：三元一次方程组)提出思考2：学生思考、讨论后，说出消元方案．师：这道题也可以用加减法解，②中不含z，那么可以考虑将①③结合消去z，与②组成二元一次方程组，请你在练习本上用加减法解方程组．设计意图：通过一题多解，不仅能开阔学生的思维，培养学生的兴趣，而且可以巩固解方程组时通过“消元”把未知转化为已知的基本思想．二、典例解析让学生独立分析、思考，尝试解题，并根据学生解答情况选择较简单方法让学生板演．同上例类似，先让学生分析，思考应用哪种方法简便，再解答．归纳总结：解三元一次方程组应仔细观察各个方程未知数系数的特点，选用较简便的方法进行解答．设计意图：有了前例的基础，让学生独立尝试解题，可以培养他们分析问题、解决问题的能力，在解题后归纳总结，有助于学生由感性认识上升到理性认识．三、尝试反馈，巩固知识练习：1．教材第39页练习1(2)．2．教材第41页练习1(2)．让学生独立完成练习后，同桌、前后桌之间讨论哪种方法最简单．设计意图：通过练习，进一步熟练掌握三元一次方程组的解法．四、总结，拓展1．解三元一次方程组的基本思想是什么?方法有哪些?2．解题前要认真观察各方程的系数特点，选择最好的解法，当方程组中某个方程含二元时，一般的，这个方程中缺哪个元，就利用另两个方程用加减法消哪个元；如果这个二元方程系数较简单，也可以用代入法求解．设计意图：让学生牢牢抓住消元思想和方法，合理选择解法．五、布置作业教材第41页习题7．3第1、2题．设计意图：进一步巩固三元一次方程组的解法．※板书设计※。
三元1次方程及其解法
---一次性方程序言：方程含有未知数的等式叫方程等式的基本性质１：等式两边同时加［或减］同一个数或同一个代数式，所得的结果仍是等式用字母表示为：若Ａ＝Ｂ，Ｃ为一个数或一个代数式。
则：［１］Ａ+Ｃ＝Ｂ+Ｃ［２］Ａ-Ｃ＝Ｂ-Ｃ等式的基本性质２：等式的两边同时乘或除以同一个不为０的的数所得的结果仍是等式３若a=b,则b=a（等式的对称性）４若a=b,b=c则a=c（等式的传导性）方程：含有未知数的等式叫做方程方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解解方程：求方程的解的过程叫做解方程移项：把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项，根据是等式的基本性质１。
一元一次方程一共只有一个未知数且次数是一的方程叫一元一次方程，通常形式是ax+b=0(a，b 为常数，a不等于零）１去分母方程两边同时乘各分母的最小公倍数２去括号一般先去小括号，在去中括号，最后去大括号，可根据乘法分配率３移项把方程中含有未知数的项移到方程的另一边，其余各项移到方程的另一边移项时别忘记了要变号。
４合并同类项将原方程化为ＡＸ＝Ｂ［Ａ不等于０］的形式５系数化１方程两边同时除以未知数的系数，得出方程的解同解方程：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程方程的同解原理：１方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方程２方程的两边同乘或同除同一个不为０的数所得的方程与原方程是同解方程列一元一次方程解应用题的一般步骤：１认真审题２分析已知和未知的量３找一个等量关系４解方程５检验６写出答，解二元一次方程二元一次方程：如果一个方程含有两个未知数，并且未知数的指数是１那么这个方程就叫做二元一次方程，有无穷个解。
二元一次方程组：把两个共含有两个未知数的一次方程合在一起就组成一个二元一次方程组。
二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想 消元的方法有两种：代入消元法 加减消元法三元一次方程三元一次方程：含有三个未知数的一次方程三元一次方程组：由几个一元一次方程组成并含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组三元一次方程组的解：利用消元思想使三元变二元，再变一元 方程是初等代数中的重要内容，方程的知识在生产实践中有广泛应用。
沪科版七年级上册.2三元一次方程组及其解法课件
X+y=1
z=1
三个一次方程
三个未知数
共有三未知数
下列方程组不是三元一次方程组的是 ( A)
3x+y+z=2 3x+y+z=2 x+y=20
A. 2xyz=3 B. y=3
C. y+z=19
X+y-z=1
X+y=1
X+z=21
未知数项的次数为1
二元一次方程组的解法
（1）回顾解二元一次方程组的思路。
解方程组:
x+y+2z =3
(1) -2x-y+z=-3 x+2y-4z=-5
2x-y+3z=1
(2) 2x+2z=6 4x+2y+5z=4
x+y+z =3
(3) -2x-2y-3z=-7 3x+4y+3z=10
你可以更快的解 (2)(3)?
课堂小结
三 元 一 次 方 程 组 及 其 解 法
概念
解法 步骤
由三个一次方程组成的 含三个未知数的方程组， 叫做三元一次方程组.
通过代入或是加减进行消元， 将三元转化为二元，使得三 元一次方程组转化为解二元 一次方程组，进而转化为解 一元一次方程.
方程组叫做二三元一次方程组.
3x+y=2 2x-y=3
3x+y+z=2 2x-y+z=3
X+y-z=1
三元一次方程组
1.三个一次方程 （1）三个方程 （2）每个方程的未知数项的次数是1
2.三个未知数 3.整式方程
下列方程组是三元一次方程组的是 ( c)
3x+y+z=2 3x+y=2
三元1次方程及其解法
---一次性方程序言：方程含有未知数的等式叫方程等式的基本性质１：等式两边同时加［或减］同一个数或同一个代数式，所得的结果仍是等式用字母表示为：若Ａ＝Ｂ，Ｃ为一个数或一个代数式。
则：［１］Ａ+Ｃ＝Ｂ+Ｃ［２］Ａ-Ｃ＝Ｂ-Ｃ等式的基本性质２：等式的两边同时乘或除以同一个不为０的的数所得的结果仍是等式３若a=b,则b=a（等式的对称性）４若a=b,b=c则a=c（等式的传导性）方程：含有未知数的等式叫做方程方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解解方程：求方程的解的过程叫做解方程移项：把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项，根据是等式的基本性质１。
一元一次方程一共只有一个未知数且次数是一的方程叫一元一次方程，通常形式是ax+b=0(a，b 为常数，a不等于零）１去分母方程两边同时乘各分母的最小公倍数２去括号一般先去小括号，在去中括号，最后去大括号，可根据乘法分配率３移项把方程中含有未知数的项移到方程的另一边，其余各项移到方程的另一边移项时别忘记了要变号。
４合并同类项将原方程化为ＡＸ＝Ｂ［Ａ不等于０］的形式５系数化１方程两边同时除以未知数的系数，得出方程的解同解方程：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程方程的同解原理：１方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方程２方程的两边同乘或同除同一个不为０的数所得的方程与原方程是同解方程列一元一次方程解应用题的一般步骤：１认真审题２分析已知和未知的量３找一个等量关系４解方程５检验６写出答，解二元一次方程二元一次方程：如果一个方程含有两个未知数，并且未知数的指数是１那么这个方程就叫做二元一次方程，有无穷个解。
二元一次方程组：把两个共含有两个未知数的一次方程合在一起就组成一个二元一次方程组。
二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想 消元的方法有两种：代入消元法 加减消元法三元一次方程三元一次方程：含有三个未知数的一次方程三元一次方程组：由几个一元一次方程组成并含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组三元一次方程组的解：利用消元思想使三元变二元，再变一元 方程是初等代数中的重要内容，方程的知识在生产实践中有广泛应用。
三元一次方程组及其解法(课件)六年级数学下册(沪教版)
下列方程组中， 哪些是三元 一次方程组？
x y 14
2
y
z
7
是
x z 19
x 3
1
x
y
z
5
是
2x y z 16
4x 3y 2z 7
3 5x 6 y z 1 是
2x z 2
例题1：解下列方程组
x 3
①
x y 5 ②
代入消元法
2x z 16 ③
解：把①代入② ，得
2x y 3
①
3x y z 8
②
x 2 y z 13
③
解： 由②-③，得
2x 3y 5 ④
所以 2x y 3 ① 2x 3y 5 ④
由①-④，得
4y 8
y2
加减消元法
把y=2代入①，得
2x 2 3
x1
2
把x 1 ，y 2代入③，得
2 1 4 z 13
2
z 17
x z 7
所以有： x z 7 （4）
（3）+（4），得 2x 12
x6
x 6 把
代入 （1）得
y 20
把
x
6代入 （3）得
z
所以，原方程组的解是
13
x6
y 20
z 13
x : y 3 : 4 例题4：解 方 程 组y : z 5 : 6
x y z 22
4x 3y 0 ① 解法一: 原方程组化为 6y 5z 0 ②
x 5
①
x 5y 2z 4 ②
4x 3y 2z 1 ③
解：由② +③ ,得
5x 2y 3 ④
把①代入④ ，得
55 2y 3
三元一次方程组及其解法1
x+y+z=12， xy=4， x+2y+5z=22.
x+y+z=12， x+y+w=4， x+z+w=22.
②
x=3， x+y+2z=8， 2x+3y+z=10.
③
x=1， ④ y=4， w=0.
如何来解三元一次方程组？
例1
x=3， x+y+2z=8， 2x+3y+z=10.
①
②
③
是不是类似于解二元一次方程组先把三元化为二 元，再把二元化为一元呢？
通过这节课，我学会了……
x+y+z=1
作业：解方程组
y+z+w=2
x+z+w=2 x+y+w=-3
速度就是一切，它是竞争不可或缺的因素。
三元一次方程组的解法
1. 知道三元一次方程组的解法概念，会解三元
一次方程组; 2.经历解三元一次方程组的过程，进一步体验 消元的方法和类比、化归思想； 3.通过解特殊的方程组，发展思维的多样性和 独特性。
半期考试临近，为激励同学们努力备战，兰老师已
决定为这次考试设置奖项。奖励人数为14人，奖项分为一
设一等奖x人、二等奖y人、进步奖z人. 根据题意，可以得到下面三个方程：
x+y+z=14 5x+3y+z=24 8x+2y+z=24
①
②
③
x+y+z=14 5x+3y+z=24 8x+2y+z=24
① ②
③
观察方程①、② 、③你能得出什么？
3.6 三元一次方程组及其解法(课件)2024-2025 沪科版(2024)数学七年级上册
1.下列方程组是三元一次方程组的是( B )
+ = ,
A.
− + =
+ + = ,
B. − + = ,
+ − =
− = ,
C. + = −,
− =
− = ,
就可以考虑消去哪个未知数.变式演练中可供的选择较多，应选
择最简便的途径.
素养小测
+ + = , ①
1.解方程组: − + = , ②
− + = . ③
= −,
,
解: =
= .
− 2 = −, ①
2.解方程组: − = , ②
知识讲解三元一次方程组的源自念揭示概念:由三个 一次的方程组叫做三元一次方程组.
方程组成的含有
三个
未知数
解三元一次方程组
【归纳总结】解三元一次方程组时，通过 代入
加减
法或
法先消去一个未知数，将“三元”化为“二元”，使解
三元一次方程组转化为解二元一次方程组. 解得原方程组中两个
未知数的值，再将其代入原方程，得到第三个未知数的值.
+ + = . ③
= ,
解: = ,
= .
方法归纳交流
本题中z的系数相等或互为相反数，可以先消去z.
+ + = ,
[变式演练]解方程组: − = ,
− + = .
= ,
解: = ,
= .
方法归纳交流 方程组中哪个未知数的系数成倍数关系，
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x+y=-14 ①
例题3 解方程组： y+z=-7
解：①-②，得：
x+z=19
（x+y)-(y+z)=-14-(-7)
x+y-y-z=-14+7
y=0
x-2y-z+4x+2y-7z=36
5x-8z=36 ⑤
x=4
④×5得：
所以，原方程组的解是 y=0
5x+5z=10 ⑥
z=-2
例题讲解
x+y=-14 ①
例题3 解方程组： y+z=-7 ②
x+z=19 ③
1、方程组有什么特征？ 未知数的系数都是1，且每个未知数都出现两次
2、采取怎样的方法来消元呢？
②
③
把x=6代入①得： 6+y=-14 y=-14-6 y=-20
x-z=-7 ④ ③+④,得： （x+z）+（x-z)=19+(-7)
把x=6代入③得： 6+z=19 z=19-6 z=13
x+z+x-z=12 2x=12
x=12÷2
x=6 所以，原方程组的解是 y=-20
x=6
z=13
x+y=-14 ①
5.5 三元一次方程组及其解法
怀柔汤河口中学 初一（2、3）班专用
知识回顾 1.二元一次方程组的概念是什么？ 2.解二元一次方程组的基本方法是什么？ 它们的实质是什么？ 基本方法： 带入和加减 实质：消元。 3.数学思想是什么？ 转化。
二元一次方程组 消元 一元一次方程
活动
老师准备给同学买12个本进行奖励，价格 分别为一元、二元、五元的，共花掉22元。 其中一元的笔记本的数量是二元的笔记本数 量的4倍，求这三种笔记本个多少个？
观察： 这两个方程组有什么特征？
如果方程组中含有三个未知数，且含有未知数的项的 次数都是一次，这样的方程组叫做三元一次方程组。
思考：
怎样解三元一次方程组呢？
能否通过消元的方法解三元一次方程组呢？
解三元一次方程组的基本思想：
三元一次方程组
代入、加减消元
二元一次方程组
代入、加减消元
一元一次方程
例题讲解
y=-20
（x+y+z）-（x+z)=-1-(-7)
x=6
x+y+z-y-z=-1+7 x=6
所以，原方程组的解是
y=-20
z=13
课堂练习
如果用加减消元法解下列方程组，消去哪个未知 数比较简单？
x 3y 2z 2
(1)
3
x
2
yຫໍສະໝຸດ 4z32x y 7
4x y 2z 9 （3）3x y 4z 19
2x y 7
3x 4y z 4 (2) 6x y 3z 5
5 y 2z 11
x - 2y 2z 1 （4）2x 2 y 3z 3
3x y 4z 6
4x y 2z 9 （3）3x y 4z 19
解：设一元，二元，五元的笔记本分 别X个，y个，z个。
依题意列方程 组
x+y+z=12 1
x+2y+5z=22 2
x=4y
3
方程组中的前两个方程都含有三个未知
数，且含有未知数的项的次数都是1，把
15x-3y+2z=1 3x+4y-z=-18 z=13
6x-y-z=3 2x-4y+8z=5 3x-6y-z=10
（1）用_加__减__消元法，将____①___-_②__，_______,消去一个未知数 ___y__,从而得到关于未知数_x___和_z____的二元一次方程组 （2）用加___减__消元法，将____①___-_③__，_______,消去一个未知数 __x___,从而得到关于未知数_y___和_z____的二元一次方程组
x=3
例题1 解方程组： x+y=5
2x+z=16
采取怎样的方法来消元呢？
用_代__入__消元法，把___①__代__入__②________,
得到_y___的值，再把___①__代__入__③________, 从而得到_z___的值
x=3
例题1 解方程组： x+y=5
解：将代入，得：2x+z=16
例题3 解方程组： y+z=-7 ②
x+z=19 ③
方程组的特征： 未知数的系数都是1，且每个未知数都出现两次
当“三个未知数的系数的绝对值都是1，且三个未 知数的个数都为2”可把三个式子相加，再用整体 思想求解
x+y=-14 ①
例题3 解方程组： y+z=-7 ②
x+z=19 ③
解： ①+②+③,得：
2x y 2z -5
补充
练习 用你认为最简便的方法解此方程组：
x yz 0 ①
y
z
x
4
②
z x y 2 ③
总结
在解三元一次方程组的过程中 我们需要注意什么？
作业 书76页 练习6.10
两次消元都消去同一个未知数___y__, 从而得到关于未知数_x___和_z____的二元
一次方程组
小结
解三元一次方程组时， 两次消元的目标应该是同一个未知数， 才能转化成二元一次方程组
3x+2y+5z=2 ①
例题2 解方程组： x-2y-z=6
②
4x+2y-7z=30 ③
解：+，得：
(3x+2y+5z)+(x-2y-z)=2+6
2x y 2z -5
3x 4y z 4 (2) 6x y 3z 5
5 y 2z 11
x - 2y 2z 1 （4）2x 2 y 3z 3
3x y 4z 6
x 3y 2z 2 (1) 3 x 2 y 4z 3
⑤-⑥,得： （5x-8z）-（5x+5z）=36-10
3x+2y+5z+x-2y-z=8
5x-8z-5x-5z=26
4x+4z=8
-13z=26
4(x+z)=8 x+z=8÷4
z=-2 把z=-2代入④得
x=4
x+z=2 ④ +，得：
把x=4,z=-2代入①得 3×4+2y+5×(-2)=2
(x-2y-z)+(4x+2y-7z)=6+30
3+y=5 y=5-3 y=2
将代入，得： 2×3+z=16 6+z=16 z=16-6 z=10
x=3
所以，原方程组的解是 y=2
z=10
例题讲解
3x+2y+5z=2
①
例题2 解方程组： x-2y-z=6
②
4x+2y-7z=30
③
（1）方程组有什么特征？
“未知数y的系数的绝对值相等”
（2）采取怎样的方法来消元呢？ 用_加__减__消元法，将_①__+_②__，__②__+_③__，____,
（x+y）+（y+z）+（x+z）=-14+（-7）+19
x+y+y+z+x+z=-21+19 2（x+y+z）=-2 x+y+z=-1 ④
④-①，得：
④-③，得：
（x+y+z）-（x+y)=-1-(-14) （x+y+z）-（x+z)=-1-19
x+y+z-x-y=13
x+y+z-x-z=-20
④-②，得： z=13