2011年全国高中数学联赛试题参考答案[1]
2011年全国高中数学联赛试题及详细解析
一、填空题（每小题8分，共64分）1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A ．2．函数11)(2-+=x x x f 的值域为．3．设b a ,为正实数，2211≤+ba ，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ． 4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是．二、解答题（本大题共3小题，共56分）9．（16分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．10．（20分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*． （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若0>t ，试比较1+n a 与n a 的大小．11．（本小题满分20分）作斜率为31的直线l 与椭圆C ：143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示），且)2,23(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若︒=∠60APB ，求△PAB 的面积．加 试1. （40分）如图，Q P ,分别是圆内接四边形ABCD 的对角线BD AC ,的中点．若DPA BPA ∠=∠，证明：CQB AQB ∠=∠．2. （40分）证明：对任意整数4≥n ，存在一个n 次多项式 具有如下性质：4.（50分）设A 是一个93⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A 中的一个)91,31(≤≤≤≤⨯n m n m 方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A中的一个11⨯的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A 中“坏格”个数的最大值。
2011年全国高中数学联赛一试试题参考答案与评分标准
即 t 4 − ( x1 + x 2 )t 2 + x1 ⋅ x 2 + 4t 2 − 2( y 1 + y 2 )t + y 1 ⋅ y 2 = 0 ， 即 t 4 − 14t 2 − 16t − 3 = 0 ， 即 (t 2 + 4t + 3)(t 2 − 4t − 1) = 0 ． 从而点 C 与点 A 显然 t 2 − 4t − 1 ≠ 0 ， 否则 t 2 − 2 ⋅ 2t − 1 = 0 ， 则点 C 在直线 x − 2 y − 1 = 0 上， 或点 B 重合． 所以 t 2 + 4t + 3 = 0 ，解得 t 1 = −1, t 2 = −3 ． 故所求点 C 的坐标为 (1,−2) 或 (9,−6) ．
一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分．把答案填在横线上．
1 ．设集合 A = {a1 , a 2 , a 3 , a 4 } ，若 A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为 B = {−1, 3, 5, 8} ，则集合 A = ． 解 显然，在 A 的所有三元子集中，每个元素均出现了 3 次，所以 3(a1 + a 2 + a 3 + a 4 ) = (−1) + 3 + 5 + 8 = 15 ， 故 a1 + a 2 + a 3 + a 4 = 5 ，于是集合 A 的四个元素分别为 5－（－1）＝6，5－3＝2，5－5 ＝0，5－8＝－3，因此，集合 A = {−3, 0, 2, 6} ．
2011 年全国高中数学联合竞赛一试 试题参考答案及评分标准（A 卷）
专家预测卷考前必做)2011年全国高中数学联合竞赛加试试题、参考答案(1)
（专家预测卷考前必做）2011年全国高中数学联合竞赛加试试题、参考答案一 试一、填空题（本题满分64分，每小题8分）1. 已知2a ≥-，且{}2A x x a =-≤≤，{}23,B y y x x A ==+∈，{}2,C t t x x A ==∈，若C B ⊆，则a 的取值范围是 。
2. 在ABC ∆中，若2AB = ，3AC = ，4BC =，O 为ABC ∆的内心，且A O AB BC λμ=+ ，则λμ+= .3. 已知函数()()()()21,0,1,0,x x f x f x x -⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩若关于x 的方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 。
4. 计算器上有一个特殊的按键，在计算器上显示正整数n 时按下这个按键，会等可能的将其替换为0~n -1中的任意一个数。
如果初始时显示2011，反复按这个按键使得最终显示0，那么这个过程中，9、99、999都出现的概率是 。
5. 已知椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为F 1、F 2，过椭圆的右焦点作一条直线l 交椭圆于点P 、Q ，则△F 1PQ 内切圆面积的最大值是 ．6. 设{}n a 为一个整数数列，并且满足：()()()11121n n n a n a n +-=+--，n N +∈．若20072008a ，则满足2008n a 且2n ≥的最小正整数n 是 ．7. 如图，有一个半径为20的实心球，以某条直径为中心轴挖去一个半径为12的圆形的洞，再将余下部分融铸成一个新的实心球，那么新球的半径是 。
8. 在平面直角坐标系内，将适合,3,3,x y x y <<<且使关于t 的方程33421()(3)0x y t x y t x y-+++=-没有实数根的点(,)x y 所成的集合记为N ，则由点集N 所成区域的面积为 。
二、解答题（本题满分56分）9. （本小题满分16分）对正整数2n ≥，记11112n n k k n a n k --==⋅-∑，求数列{}n a 中的最大值．10.（本小题满分20分）已知椭圆 12222=+by a x 过定点A （1，0），且焦点在x 轴上，椭圆与曲线y x =的交点为B 、C 。
2011年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(B卷)
2011年全国高中数学联合竞赛（B 卷）一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2011B1、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若201011S S -=，则2011S = ． ◆答案：10092011★解析：因为{}n a 是等差数列，所以201011S S -=即120091006=a ，得200911006=a ， 所以2011S =()20092011201122011100620111==+a a a2011B 2、已知复数z 的模为1，若1z z =和2z z =时1z i ++分别取得最大值和最小值，则12z z -= .◆答案：()i +12★解析：由z i i z z i ++≤++≤-+111，即12112+≤++≤-i z ，当i z ++1取得最大值（最小值）时，z 与i +1共线，且方向相同（相反）， 又⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+4sin 4cos 21ππi i ，所以4sin 4cos 1ππi z +=，45sin45cos 2ππi z += 所以()i i i z z +=--+=-1245sin 45cos4sin4cos 21ππππ2011B 3、若正实数b a ,满足2211≤+ba ，32)(4)(ab b a =-，则=b a log . ◆答案： 1- ★解析：由2211≤+ba ，得ab b a 22≤+． 又 23322)(8)(24)(44)(4)(ab ab ab ab ab b a ab b a =⋅⋅≥+=-+=+，即ab b a 22≥+． ①于是 ab b a 22=+．②再由不等式①中等号成立的条件，得1=ab ．与②联立解得⎩⎨⎧+=-=,12,12b a 或⎩⎨⎧-=+=,12,12b a ，故1log -=b a ．2011B 4、把扑克牌中,2,,,,A J Q K 的分别看作数字1,2,,11,12,13.现将一副扑克牌中的黑桃、红桃各13张放在一起，从中随机取出2张牌，其花色相同且两个数的积是完全平方数的概率为_____． ◆答案：652 ★解析：从26张牌中任意取出2张，共有325226=C 种取法。
全国高中数学联赛试题参考答案(0000)
2011年全国高中数学联合竞赛一试试卷（A 卷）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上．1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A {-3,0,2,6}．2．函数11)(2-+=x x x f 的值域为．3．设b a ,为正实数，2211≤+ba，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ．4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是．5．现安排7名同学去参加5个运动工程，要求甲、乙两同学不能参加同一个工程，每个工程都有人参加，每人只参加一个工程，则满足上述要求的不同安排方案数为．（用数字作答）6．在四面体ABCD 中，已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为．7．直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，C 为抛物线上的一点，︒=∠90ACB ，则点C 的坐标为．8．已知=n a C ())95,,2,1(2162003200=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-n nnn ，则数列}{n a 中整数项的个数为．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（本小题满分16分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．10．（本小题满分20分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若0>t ，试比较1+n a 与n a 的大小．11．（本小题满分20分）作斜率为31的直线l 与椭圆C ：143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示），且)2,23(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若︒=∠60APB ，求△PAB 的面积．2011年全国高中数学联合竞赛加试试卷（A卷）考试时间：2011年10月16日 9：40—12：10二、（本题满分40分）证明：对任意整数4≥n ，存在一个n 次多项式0111)(a x a xa x x f n n n ++++=--具有如下性质：（1）110,,,-n a a a 均为正整数；（2）对任意正整数m ，及任意)2(≥k k 个互不相同的正整数kr r r ,,,21，均有)()()()(21k r f r f r f m f ≠．三、（本题满分50分）设)4(,,,21≥n a a a n 是给定的正实数，n a a a <<< 21．对任意正实数r ，满足)1(n k j i r a a a a jk ij ≤<<≤=--的三元数组),,(k j i 的个数记为)(r f n ．证明：4)(2n r f n <．四、（本题满分50分）设A 是一个93⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A 中的一个)91,31(≤≤≤≤⨯n m n m 方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A 中的一个11⨯的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A 中“坏格”个数的最大值．。
2011答案
2011年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷） 考试时间：2011年10月16日 8：00—9：20一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上． 1． 设集合{}1234A a a a a =，，，，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为{}1358B =-，，，，则集合A = ．【解析】 {3026}-，，，显然，在A 的所有三元子集中，每个元素均出现了3次，所以 12343()(1)35815a a a a +++=-+++=，故12345a a a a +++=，于是集合A 的四个元素分别为5(1)653255--=-=-，，=0，5-8=-3，因此，集合{3026}A =-，，， 2．函数()f x =的值域为 ．【解析】((1)-∞+∞，，设ππtan 22x θθ=-<<，，且π4θ≠，则111cos ()πtan 1sin cos )4θf x θθθθ===---．设π)4u θ=-，则1u <≤，且0u ≠，所以1()((1)f x u =∈-∞+∞，，．3．设a b ，为正实数()()23114a b ab a b+-=≤，则log a b = ． 【解析】 1-由11a b+≤，得a b +≤．又2222()4()44()48()a b ab a b ab ab ab +=+-=+⋅≥，即a b +≥， ①于是a b +=， ②再由不等式①中等号成立的条件，得1ab =．与②联立解得11a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，或11a b ⎧=⎪⎨⎪⎩，，故log 1a b =-．4．如果()5533cos sin 7sin cos θθθθ-<-，[)02πθ∈，，那么θ的取值范围是 ． 【解析】 π5π44⎛⎫⎪⎝⎭，不等式55cos sin θθ-<337(sin cos )θθ-等价于353511sin sin cos cos 77θθθθ+>，又351()7f x x x =+是()-∞+∞，上的增函数，所以sin cos θθ>，故π5π2π2π+()44k θk k +<<∈Z ．因为[02π)θ∈，，所以θ的取值范围是π5π44⎛⎫⎪⎝⎭，．5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答）【解析】 由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形：（1）有一个项目有3人参加，共有31755!5!3600C C ⋅-⋅=种方案；（2）有两个项目各有2人参加，共有2227551()5!5!114002C C C ⋅⋅-⋅=所以满足题设要求的方案数为3600+11400=15000．6． 在四面体中ABCD ，已知60ADB BDC CDA ∠=∠=∠=︒，3AD BD ==，2CD =，则四面体ABCD 的外接球的半径为 ．【解析】设四面体ABCD 的外接球球心为O ，则O 在过ABD △的外心N 且垂直于平面ABD 的垂线 上．由题设知，ABD △是正三角形，则点N 为ABD △的中心．设P N ，分别为AB CD ，的中点，则N 在DP 上，且ON DP OM CD ⊥⊥，．P NMCDBOAcos sin θθ=在DMN △中，12213233DM CD DN DP ===⋅==，．由余弦定理得2221212MN =+-⋅=，故MN四边形DMON的外接圆的直径sin MNOD θ=== 故球O的半径R =7．直线210x y --=与抛物线24y x =交于A B ，两点，C 为抛物线上的一点，90ACB ∠=︒，则C点的坐标为 ．【解析】 ()12-，或()96-，设21122()()(2)A x y B x y C t t ，，，，，，由22104x y y x --=⎧⎨=⎩，，得2840y y --=，则128y y +=，124y y ⋅=-．又11222121x y x y =+=+，，所以12121212122()21842()11x x y y x x y y y y +=++=⋅=⋅+++=，．因为90ACB ∠=︒，所以0CA CB ⋅=，即有 221212()()(2)(2)0t x t x t y t y --+--=， 即42141630t t t ---=，即2(43)(41)0t t t t 2++--=．显然2410t t --≠，否则22210t t -⋅-=，则点C 在直线210x y --=上，从而点C 与点A 或点B 重合．所以2430t t ++=，解得1213t t =-=-，． 故所求点C 的坐标为()12-，或()96-，．8．已知()200200C 1295nnn n a n -==，，，，则数列{}n a 中整数项的个数为 ． 【解析】 152004005π36200C2n n n a --=⋅⋅要使(195)n a n ≤≤为整数，必有200400536n n--，均为整数，从而6|4n +． 当28142026323844505662687480n =，，，，，，，，，，，，，时，200400536n n--和均为非负整数，所以n a 为整数，共有14个．当86n =时，86385200C 32n a -=⋅⋅，在86200200!C 86!114!=⋅中， 200！中因数2的个数为2345672002002002002002002001972222222⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 同理可计算得86！中因数2的个数为82，114！中因数2的个数为110， 所以86200C 中因数2的个数为197-82-110=5，故86a 是整数．当92n =时，92361092200C 32a -=⋅⋅，在92200200!C 92!108!=中，同样可求得92！中因数2的个数为88，108！中因数2的个数为105，故86200C 中因数2的个数为197-88-105=4，故不是整数． 因此，整数项的个数为14115+=．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9． （本小题满分16分）设函数()()lg 1f x x =+，实数()a b a b <，满足()12b f a f b +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，()106214lg2f a b ++=，求a b ，的值． 【解析】 ∵1()()2b f a f b +=-+，∴11|lg(1)||lg(1)||lg()||lg(2)|22b a b b b ++=-+==+++， ∴12a b +=+或(1)(2)1a b ++=，又∵a b <，∴12a b +≠+，∴(1)(2)1a b ++=．………………4分又由()|lg(1)|f a a =+有意义知01a <+，从而0112a b b <+<+<+，于是0112a b <+<<+．所以10(10621)110(1)6(2)6(2)12a b a b b b +++=+++=++>+．…………8分从而1010(10621)|lg[6(2)]|lg[6(2)]22f a b b b b b ++=++=++++．又(10621)412f a b g ++=，所以10lg[6(2)]4lg22b b ++=+，故106(2)162b b ++=+．……………………12分解得13b =-或1b =-（舍去）．把13b =-代入(1)(2)a b ++1=解得25a =-．所以2153a b =-=-，．10．（本小题满分20分）已知数列{}n a 满足：123a t =-（t ∈R 且1t ≠±）．()()()1*12321121n n n n n n ta t t a n a t ++-+--=∈+-N⑴ 求数列{}n a 的通项公式； ⑵ 若0t >，试比较1n a +与n a 的大小．【解析】 （1）由原式变形得112(1)(1)21n n n n n t a a a t ++-+=+-，则112(1)12(1)1112121n n n n n nn n n a a a t a t a t t +++++-==+-+-+-． 记11n n n a b t +=-，则11121222211n n n b a t b b b t t ++-====+--，．………………5分 又111111122n n b b b +=+=，，从而有1111(1)22n nn b b =+-⋅=， 故121n n a t n+=-，于是有2(1)1n n t a n -=-．……………………10分 （2）112(1)2(1)1n n n n t t a a n n-+---=-+ 11112(1)[(1)(1)(1)](1)2(1)2(1)[(1)[(1)()()](1)(1)n n n n n n n n n t n t t t n t t n n t t nt t tt t t t t nn n n -----=++++-+++++--=-+++=-+-++-++11．（本小题满分20分）作斜率为13的直线l 与椭圆22:1364x y C +=交于A B ，两点（如图所示），且(P 在直线l 的左上方．⑴ 证明：PAB △的内切圆的圆心在一条定直线上； ⑵ 若60APB ∠=︒，求PAB △的面积．【解析】 ⑴ 设直线11221:()()3l y x m A x y B x y =+，，，，．将13y x m =+代入221364x y +=中，化简整理得2226930x mx m ++-=．于是有2121293632m x x m x x -+=-=，，PA PB k k ==……………………5分则PA PB k k +==，上式中，分子122111((33x m x x m x =+-++-12122222()32936(3)323123120x x m x x m m m m m m m =+-+--=⋅+---=--+-+=，从而，0PA PB k k ==．又P 在直线l 的上方，因此，APB ∠的角平分线是平行于y 轴的直线，所以PAB △的内切圆的圆心在直线x =10分（2）若60APB ∠=︒时，结合（1）的结论可知PA PB k k = 直线PA的方程为：y x =-，代入221364x y +=中，消去y 得1418(130x x +-+-=．它的两根分别是1x和1x ⋅，即1x =所以1|||PA x -= ．…………15分同理可求得||PB =．所以11||||sin6022PAB S PA PB =⋅⋅⋅︒=△．…20分2011年全国高中数学联合竞赛加试试题（A 卷） 考试时间：2011年10月16日 9：40—12：10一、（本题满分40分）如图，P Q ，分别是圆内接四边形ABCD 的对角线AC BD ，的中点．若BPA DPA ∠=∠，证明：AQB CQB ∠=∠．ABCDQEPFQDCB A【解析】 延长线段DP 与圆交地另一点E ，则CPE DPA BPA ∠=∠=∠，又P 是线段AC 的中点，故AB CE =，从而CDP BDA ∠=∠．………………10分又ABD PCD ABD PCD ∠=∠△△，所以，于是AB PCBD CD=，即AB CD PC BD ⋅=⋅…………………………20分从而有11()22AB CD AC BD AC BD AC BQ ⋅=⋅=⋅=⋅，即AB BQ AC CD=． 又ABQ ACD ∠=∠，ABQ ACD △△所以，所以QAB DAC ∠=∠．…………30分 延长线段AQ 与圆交于另一点F ，则CAB DAF BC DF ∠=∠=，． 又因为Q 为BD 的中点，所以CQB DQF ∠=∠．又AQB DQF ∠=∠，所以AQB CQB ∠=∠．…………40分 二、（本题满分40分）证明：对任意整数4n ≥，存在一个n 次多项式 ()1110n n n f x x a x a x a --=++++具有如下性质：⑴011n a a a -，，，均为正整数；⑵对任意正整数m ，及任意k （2k ≥）个互不相同的正整数12k r r r ，，，，均有 ()()()()12k f m f r f r f r ≠．【解析】 令()(1)(2)()2f x x x x n =++++ ①……………………10分将①的右边展开即知()f x 是一个首项系数为1的正整数系数的n 次多项式． 下面证明()f x 满足性质（2）． 对任意整数t ，由于4n ≥，故连续的n 个整数12t t ++，，t n +中必有一个为4的倍数，从而由①知()2(mod4)f t ≡……………………20分因此，对任意(2)k k ≥个正整数12k r r r ，，，，有 12()()()20(mod4)k k f r f r f r ≡≡．但对任意正整数m ，有()2(mod4)f m ≡，故 12()/()()()(mod4)k f m f r f r f r ≡，从而12()()()()k f m f r f r f r ≠．所以()f x 符合题设要求．……………………40分三、（本题满分50分）设()124n a a a n ，，，≥是给定的正实数，12n a a a <<<．对任意正实数r ，满足()1j i k ja a r i j k n a a -=<<-≤≤的三元数组()i j k ，，的个数记为()n f r ． 证明：()24n n f r <【解析】 对给定的(1)j j n <<，满足1i j k n <<≤≤，且j ik ja a r a a -=- ①的三元数组（i j k ，，）的个数记为()j g r ．…………………………10分注意到，若i j ，固定，则显然至多有一个k 使得①成立．因i j <，即i 有1j -种选法，故()1j g r j -≤．同样地，若j k ，固定，则至多有一个i 使得①成立．因k j >，即k 有n j -种选法，故()j g r n j -≤．从而()min{1}j g r j n j --≤，……………………30分因此，当n 为偶数时，设2n m =，则有 1121222121()()()()(1)(1)(2)(2)22n m m n j j jj j j mmm j j m f r g r g r g r m m m m j m j ---===-==+=+---+-=+∑∑∑∑∑≤2224n m m m =-<=．……………………40分当n 为奇数时，设21n m =+，则有12221221()()()()(1)(211)n mmn j j jj j j m mmj j m f r g r g r g r j m -===+==+=++-++-∑∑∑∑∑≤224n m =<．………………………………50分四、（本题满分50分）设A 是一个的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A 中的一个()1319m n m n ⨯≤≤，≤≤方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A 中的一个11⨯的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A 中“坏格”个数的最大值． 【解析】 首先证明A 中“坏格”不多于25个．用反证法．假设结论不成立，则方格表A 中至多有1个小方格不是“坏格”．由表格的对称性，不妨假设此时第1行都是“坏格”．设方格表A 第i 列从上到下填的数依次为129i i i a b c i =，，，，，，．记11()0129kkk i k i i i i S a T b c k ===+=∑∑，，，，，，，这里000S T ==．……………………10分我们证明：三组数019019;S S S T T T ，，，，，，及00S T +，1199S T S T ++，，都是模10的完全剩余系．事实上，假如存在09m n m n <≤≤，，，使(mod10)m n S S ≡，则10(mod10)nin m i m aS S =+=-≡∑，即第1行的第1m +至第n 列组成一个“好矩形”，与第1行都是“坏格”矛盾．………20分 又假如存在09(mod10)m n m n m n T T <≡≤≤，，，使，则1()0(mod10)niinm i m b c TT =++=-≡∑，即第2行至第3行、第1m +列至第n 列组成一个“好矩形”，从而至少有2个小方格不是“坏格”，矛盾．类似地，也不存在09m n m n <≤≤，，，使(mod10)m m n n S T S T +≡+．…………30分 因此上述断言得证．故999()01295(mod10)kkkk k k k S T ST ===≡≡+≡++++≡∑∑∑，所以999()550(mod10)k k k k k k k S T S T ===+≡+≡+≡∑∑∑，矛盾！故假设不成立，即“坏格”不可能多于25个．……………………40分另一方面，构造如下一个3×9的方格表，可验证每个不填10的小方格都是“坏格”，此时有25个“坏格”．缩上所述，50分。
2011年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)
二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分．解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤．
9．（本小题满分 16 分）已知实数 x, y, z 满足：x ≥ y ≥ z ，x + y + z = 1，x 2 + y 2 + z 2 = 3 ．求
实数 x 的取值范围． 解 令 x = 1+ t ．由 x + y + z = 1得 z = −t − y ，代入 x 2 + y 2 + z 2 = 3 ，得
2011 年全国高中数学联合竞赛一试答案（B 卷）第 4 页（共 5 页）
x 2 − 4 pq x − 2qy1 y2 = 0 ．
①
y1 + y2
y1 + y2
由于 A1 A2 所在的直线与抛物线 x 2 = 2qy 相切，所以方程①的判别式
化简整理得
Δ
=
⎜⎜⎝⎛ −
)=
2009a1006
=1，
于是 a1006
=
1 2009
，所以
S 2011
= 2011( a1
+ a 2011 )09
．
2．已知复数 z 的模为 1， 若 z = z1 和 z = z2 时|z+1+i|分别取得最大值和最小值，则
z1 − z2 =
．
解 易知|1+i|-|z|≤|z+1+i|≤|1+i|+|z|，即 2 −1 ≤|z+1+i|≤ 2 +1 ．
2
2
又 x ≥ y ，所以 1+ t ≥ − t + 4 − 4t − 3t 2 ，即 2 + 3t ≥ 4 − 4t − 3t 2 ，解得 t ≥ 0 ． 2
2011年全国高中数学联赛试题参考答案
2011年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）考试时间：2011年10月16日 8：00—9：20一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上．1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A．2．函数11)(2-+=x x x f 的值域为 ．3．设b a ,为正实数，2211≤+ba，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ．4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是 ．5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答）6．在四面体ABCD 中，已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为 ．7．直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，C 为抛物线上的一点，︒=∠90ACB ，则点C 的坐标为 ．8．已知=n a C ())95,,2,1(2162003200=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-n nnn ，则数列}{n a 中整数项的个数为 ．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（本小题满分16分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．10．（本小题满分20分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*．（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若0>t ，试比较1+n a 与n a 的大小．11．（本小题满分20分）作斜率为31的直线l 与椭圆C ：143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示），且)2,23(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若︒=∠60APB ，求△PAB 的面积．2011年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）考试时间：2011年10月16日 9：40—12：10二、（本题满分40分）证明：对任意整数4≥n ，存在一个n 次多项式0111)(a x a x a x x f n n n ++++=--具有如下性质：（1）110,,,-n a a a 均为正整数；（2）对任意正整数m ，及任意)2(≥k k 个互不相同的正整数k r r r ,,,21 ，均有)()()()(21k r f r f r f m f ≠．三、（本题满分50分）设)4(,,,21≥n a a a n 是给定的正实数，n a a a <<< 21．对任意正实数r ，满足)1(n k j i r a a a a jk i j ≤<<≤=--的三元数组),,(k j i 的个数记为)(r f n ．证明：4)(2n r f n <．四、（本题满分50分）设A是一个93⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A中的一个)9⨯nmm方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A n≤≤1(≤1,3≤中的一个11⨯的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A中“坏格”个数的最大值．出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。
2011年全国高中数学联赛山西省预赛试题解答
2011年全国高中数学联赛山西省预赛试题解答一、填空题（共8题，每题10分，计80分）1、在集合{}1,2,3,,2011A =中，末位数字为1的元素个数为 ．答案：202．解：将集合{}0001,0002,,2011A =中的每个数都截去其末位数字，都会得到集合{}000,001,,199,200,201B =中的数，而A 中形如1abc 的数，皆可看成由B 中的元素abc 后面添加数字1而得到；故A 中形如1abc 的元素个数，等于B 的元素个数，即202个．2、椭圆2222153x y +=的焦点为12,F F ，如果椭圆上的一点P 使12PF PF ⊥，则12PF F ∆的面积为 ．答案：9．解：易知128F F =，1210PF PF +=，所以2212()10PF PF +=，在直角12PF F ∆中，222128PF PF +=，由以上两式得，1212192PF F S PF PF ∆=⋅=． 3、数列{}n a 满足：11a =，2212122,3,1k k k ka ak a a +-==≥；则其前100项的和为： 100S = ．答案：503(61)5-． 解：212122222212122122126,6k k k k k k k k k k k ka a a a a aa a a a a a +++++--+=⋅==⋅=，121,2a a ==，所以， 112126,26k k k k a a ---==⋅，100123499100()()()S a a a a a a =++++++501501336(61)5k k -===-∑．4、若41,61n n ++都是完全平方数，则正整数n 的最小值是 ．答案：20．解：41,61n n ++都是奇平方数；设261(21)4(1)1n m m m +=+=++，则32(1)n m m =+，而(1)m m +为偶数，所以4n ，设4n k =，则41161n k +=+，61241n k +=+，当1,2,3,4k =时，41,61n n ++不同为平方数，而当5k =，即20n =时，4181,61121n n +=+=皆为平方数，因此正整数n 的最小值是20．5、函数25y x =-+的最大值是 ． 答案：6524．t =，则612304(113)14y x x =-+=--+223656546142244t t t ⎛⎫=-++=--+≤ ⎪⎝⎭，则6524y ≤，当34t =，即16748x =取得等号． 6、如图，单位正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别是棱11111,,AA C D D A 的中点，则点1B 到EFG 所在平面的距离为 ．解一、补形法，如图，过,,E F G 的平面截正方体，所得截面是一个正六边形，易知该平面垂直平分正方体的对角线1B D，而1B D =， 所以1B 到面EFG的距离h =解二：等体积法，易知1111111113114488B FG B A G BC FD FG S S S S =---=---=， 而点E 到平面1B FG 的距离012h =，所以11011316EB FG B FG V h S ==．又222222111111113()1442EF EA A F EA A D D F =+=++=++=，即EF =2GF GE ==，2221cos 22GE GF EF EGF GE GF +-∠==-⋅，0120EGF ∠=，则01sin1202EGF S GE GF ∆=⋅=1B 到面EFG 的距离为h ，则 111163EB FG EGF V h S ∆==⋅=，所以h =． 7、2000sin 130sin 70cos80+= ．答案：34． 解：22sin 130sin 70cos80cos 40sin 70sin10+=+1A E0000000001cos8011sin 70sin10(cos 70cos10sin 70sin10)sin 70sin10222+=+=+-+0000011113(cos70cos10sin 70sin10)cos6022224=++=+=． 8、如果四位数abcd 的四个数码满足a b c d +=+，就称其为“好数”；例如2011就是一个“好数”．那么，“好数”的个数是 ． 答案：615．解：由于19,0,,9a b c d ≤≤≤≤，记k a b c d =+=+，则118k ≤≤． 当19k ≤≤，则上式中的a 可取{}1,,k 中的任意值，c 可取{}0,1,,k 中的任意值，而当,a c 取定后，,b d 便随之确定，因此满足k a b c d =+=+的四位数abcd 有(1)k k +个；从而满足9k ≤的四位数abcd 共有91(1)330k k k =+=∑个；当1018k ≤≤，由k a b c d =+=+知，,,,a b c d 皆不能为0，令1110,10a a b b =-=-，1110,10c c d d =-=-，则11111,,,9a b c d ≤≤，记11111k a b c d =+=+，则1210k ≤≤，且四位数abcd与四位数1111a b c d 一一对应．上式中的1a 及1c 皆可取{}11,,1k -中的任意值，而当11,a c 取定后，11,b d 便随之确定，因此满足11111k a b c d =+=+的四位数1111a b c d 有21(1)k -个，从而满足1210k ≤≤的1111a b c d 共有110922121(1)k k k k ==-=∑∑个，即满足1018k ≤≤的四位数abcd 共有921285k k ==∑个．故“好数”的个数是330285615+=．二、解答题（共3题，合计70分）9、（20分）三角形ABC 三个内角的度数满足：13A B B C ==； 求cos cos cos T A B C =++的值．解：设,3,9A B C θθθ===，由39θθθπ++=，得13πθ=．cos cos3cos9cos cos3cos4T θθθθθθ=++=+-2222cos cos 22cos 212cos 22cos 211θθθθθ=-+>-+=．22222(cos cos3cos9)cos cos 3cos 92cos cos3T θθθθθθθθ=++=+++2cos cos92cos3cos9θθθθ++1cos 21cos61cos8222θθθ+++=++(cos 2cos 4)(cos8cos10)(cos6cos12)θθθθθθ++++++；而cos cos3cos9cos12cos10cos4T θθθθθθ=++=---，所以22T T -=33(cos 2cos 4cos6cos8cos10cos12)θθθθθθ++++++， 又令cos2cos4cos6cos8cos10cos12P θθθθθθ=+++++，则2sin (sin3sin )(sin5sin3)(sin 7sin5)(sin9sin 7)P θθθθθθθθθ⋅=-+-+-+-(sin11sin9)(sin13sin11)sin θθθθθ+-++-=-，所以12P =-．从而2332322T T -=-=，即24230T T --=，由于1T >，解此方程得14T +=． 10、（25分）如图，,,D E F 分别是ABC ∆的边,,BC CA AB 上的点，且0DE AB F =，00,EFBC D FD CA E ==；证明：,,AD BE CF 三线共点， 当且仅当000,,D E F 三点共线．证明：据梅尼劳斯定理，000,,D E F 三点共线， 当且仅当0000001AE CD BF E C D B F A⋅⋅=； 而据塞瓦定理，,,AD BE CF 三线共点， 当且仅当1BD CE AFDC EA FB⋅⋅=． 因直线0D EF 截ABC ∆，得到01BD CE AF EA FB D C ⋅⋅=，所以，00CD CE AF D B EA FB=⋅， 同理，由直线0E DF 截ABC ∆得，00CE CD BFE A DB FA=⋅，由直线0F DE 截ABC ∆得， 00BF BD CE F A DC EA =⋅．因此，2000000AE CD BF BD CE AF E C D B F A DC EA FB ⎛⎫⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭； 由于该等式中的一端取值为1当且仅当其另一端也取值为1，故结论得证．11、（25分）20个巫师孤岛聚会．在这期间,任何三个巫师都曾在一起诅咒过别的某些巫师；证明：其中必存在某个巫师，他至少受到过其余九个巫师的诅咒．证：20个巫师，共可作成320C 个“三巫组”，每个组至少诅咒过一人，故被诅咒过的巫师至少有320C 人次，设W 是受到诅咒最多的一个巫师，他被m 个“三巫组”诅咒过，则3205720C m ≥=，若这m 个“三巫组”中，总共含有k 个巫师，这k 人共可作成3k C 个“三巫组”，因此，357k C m ≥≥，注意到，当3k ≥时，组合数3k C 严格递增；因为33895657,8457C C =<=>，由此得9k ≥．。
2011年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
◆答案：
5 , 4 4
5 5 3 3 3
★解析： 不等式 cos sin 7(sin cos ) 等价于 sin 又 f ( x) x
3
1 5 x 是 (,) 上的增函数，所以 sin cos ， 7 5 (k Z)． 故 2k 2k 4 4
3(a1 a 2 a 3 a 4 ) (1) 3 5 8 15 ，故 a1 a 2 a 3 a 4 5 ，
于是集合 A 的四个元素分别为 5－（－1）＝6，5－3＝2，5－5＝0，5－8＝－3， 因此，集合 A {3, 0, 2, 6} ．
2011A 2、函数 f ( x )
0
3
★解析： 设四面体 ABCD 的外接球球心为 O ， 则 O 在过△ ABD 的外心 N 且垂直于平面 ABD 的垂线 上．由题设知， ABD 是正三角形，则点 N 为 ABD 的中心．设 P, M 分别为 AB, CD 的中点，则
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2
ACB 90 0 ，则点 C 的坐标为
◆答案： (1,2) 或 (9,6) ． ★解析： 设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ), C (t ,2t ) ， 由
2
x 2 y 1 0, 2 得 y 8y 4 0 ， 则 y1 y 2 8 ， 2 y 4 x ,
2011 年全国高中数学联合竞赛试题 （A 卷） 第 4 页 共 11 页
于是 0 a 1 1 b 2 ．
10 1． b2 10 10 ] | lg[6(b 2) ]． 从而 f (10a 6b 21) | lg[6(b 2) b2 b2 10 ] 4 lg 2 ， 又 f (10a 6b 21) 4 lg 2 ，所以 lg[6(b 2) b2 10 1 16 ．解得 b 或 b 1 （舍去） 故 6(b 2) ． 3 b2 1 2 把 b 代入 ( a 1)(b 2) 1 解得 a ． 3 5 2 1 所以 a ， b ． 5 3
2011年全国高中数学联赛试题及标准答案
2０11年全国高中数学联赛一 试一、填空题（每小题8分,共6４分）1．设集合},,,{4321a a a a A =,若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A .２．函数11)(2-+=x x x f 的值域为 ． 3.设b a ,为正实数,2211≤+ba ,32)(4)(ab b a =-,则=b a log ． 4.如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-,)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是 . 5.现安排7名同学去参加5个运动项目,要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加,每人只参加一个项目,则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答)６．在四面体A ＢCD 中,已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ,3==BD AD ,2=CD ,则四面体ABCD 的外接球的半径为 ．7．直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于A,Ｂ两点,C 为抛物线上的一点，︒=∠90ACB ,则点C 的坐标为 .8．已知=n a C())95,,2,1(2162003200=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-n nnn ，则数列}{n a 中整数项的个数为 ．二、解答题（本大题共3小题,共56分)9.（16分)设函数|)1lg(|)(+=x x f ,实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ,求b a ,的值.10．(２0分)已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*． (１)求数列}{n a 的通项公式;（2）若0>t ,试比较1+n a 与n a 的大小.11．(本小题满分２0分）作斜率为31的直线l 与椭圆C :143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示)，且)2,23(P 在直线l 的左上方.(1)证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2)若︒=∠60APB ,求△PAB 的面积．解 答1．{3,0,2,6}-. 提示：显然，在A 的所有三元子集中，每个元素均出现了3次,所以15853)1()(34321=+++-=+++a a a a ，故54321=+++a a a a ，于是集合A 的四个元素分别为5－(－１)=6,5－３＝2，5-５=0，５-８=－3,因此,集合}6,2,0,3{-=A .2.(,(1,)-∞+∞. 提示:设22,tan πθπθ<<-=x ,且4πθ≠,则)4sin(21cos sin 11tan cos 1)(πθθθθθ-=-=-=x f .设)4sin(2πθ-=u ,则12<≤-u ,且0≠u ,所以 ),1(]22,(1)(+∞--∞∈= u x f ．3.-1. 提示：由2211≤+ba ,得ab b a 22≤+.又 23322)(8)(24)(44)(4)(ab ab ab ab ab b a ab b a =⋅⋅≥+=-+=+，即ab b a 22≥+． ①于是ab b a 22=+． ②再由不等式①中等号成立的条件，得1=ab .与②联立解得⎪⎩⎪⎨⎧+=-=,12,12b a 或⎪⎩⎪⎨⎧-=+=,12,12b a故1log -=b a .4．⎪⎭⎫⎝⎛45,4ππ. 提示:不等式 )cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-等价于θθθθ5353cos 71cos sin 71sin +>+．又5371)(x x x f +=是),(+∞-∞上的增函数，所以θθcos sin >，故 ∈+<<+k k k (45242ππθππＺ). 因为)2,0[πθ∈，所以θ的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛45,4ππ． 5.１50０0. 提示:由题设条件可知,满足条件的方案有两种情形: (1）有一个项目有3人参加，共有3600!5!51537=⋅-⋅C C 种方案；。
(完整word版)2011年全国高中数学联赛试题及答案
．
3.（50分）设 是给定的正实数， ．对任意正实数 ，满足 的三元数组 的个数记为 ．
证明： ．
4.（50分）设A是一个 的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A中的一个 方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A中的一个 的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A中“坏格”个数的最大值．
，
故 ，于是集合 的四个元素分别为5－（－1）＝6，5－3＝2，5－5＝0，5－8＝－3，因此，集合 ．
2． .提示：设 ，且 ，则
．
设 ，则 ，且 ，所以 ．
3．-1.提示：由 ，得 ．又
，
即
．
于是
．
再由不等式 中等号成立的条件，得 ．与 联立解得 或
故 ．
4． .提示：不等式
等价于
.
又 是 上的增函数，所以 ，故
当 时， C ，在C 中，同样可求得 中因数2的个数为88, 中因数2的个数为105,故C 中因数2的个数为 ，故 不是整数．
因此，整数项的个数为 ．
9．因为 ，所以
，
所以 或 ，又因为 ，所以 ，所以 ．
又由 有意义知 ，从而
，
于是
．
所以
．
从而
．
又
，
所以
，
故 ．解得 或 （舍去）．
把 代入 解得 ．
8．15.提示： C ．
要使 为整数，必有 均为整数，从而 ．
当 2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时， 和 均为非负整数，所以 为整数，共有14个．
当 时， C ，在C 中， 中因数2的个数为
2011年全国高中数学联赛一试试题及参考答案
１
２ ０ ０！ 中， 同样可求得９ ２！ 中 因 数 ２ 的 个 数 为 ９ ２！ ·１ ０ ８！
８ ６ 故Ｃ ８ ８， １ ０ ８！ 中因数 ２ 的个数为 １ ０ ５， ２ ０ ０中 因 数 ２的 个
２ ２ ３ ） ） （ ） 又（ ａ＋ ｂ ＝４ ａ ｂ＋ （ ａ－ ｂ ＝４ ａ ｂ＋４ ａ ｂ ２ ３ （ ） ， ） ＝８ ａ ｂ ａ ｂ·（ ａ ｂ ≥４·２ 槡
ｂ＋１） （ ， 实数 ａ， 满 足 ｆ（ ｂ ａ＜ ｂ） ａ） ＝ｆ（ － １ ０ ａ＋６ ｂ＋ ｆ（ ｂ＋２ ） 求 ａ， ２ １ ＝４ ｌ ２， ｂ 的值 ． ｇ
中学生数学 ·２ 高中 ） ０ １ ２ 年 １ 月上 · 第 ４ ３ ３期（
２ ０ １ １ 年全国高中数学联赛一试 试题及参考答案
试 题
一、 填空题 （ 每小题 ８ 分 ， 共６ ４分） ， 设集合 Ａ＝ ｛ 若 Ａ 中所有三元子 １． ａ ａ ａ ａ １， ２， ３， ４｝ ， 则 集的三个元素之和组成的 集 合 为 Ｂ ＝ ｛ －１， ３， ５， ８｝ 集合 Ａ＝ ．
８ ６ ３ ８ －５ ８ ６ ， 当 ｎ ＝８ 在Ｃ ６ 时， ａ ２ ０ ０ ·３ ·２ ２ ０ ０ ＝ ８ ６ ＝Ｃ
ＯＮ ⊥Ｄ Ｐ， ＯＭ ⊥Ｃ Ｄ．
因为 ∠Ｃ ＤＡ ＝ ∠Ｃ Ｄ Ｂ＝ ， 设Ｃ Ｂ＝６ ０ ° Ｄ 与平面 ∠ＡＤ ， Ａ Ｂ Ｄ 所成角为θ 可求得 ｃ ｏ ｓ ＝ θ ３ 槡 １， ２ 槡 ｓ ｉ ｎ ＝ ． θ ３ 槡
８ ６ 所以 Ｃ 故 ９ ７－８ ２－１ １ ０＝５， ２ ０ ０ 中因数 ２ 的个数为 １
2011年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
2011年全国高中数学联合竞赛（A 卷）一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2011A1、设集合{}4321,,,a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成为{}8,5,3,1-=B ，则集合=A ◆答案： {3,0,2,6}-★解析：显然，在A 的所有三元子集中，每个元素均出现了3次，所以15853)1()(34321=+++-=+++a a a a ，故54321=+++a a a a ，于是集合A 的四个元素分别为5－（－1）＝6，5－3＝2，5－5＝0，5－8＝－3， 因此，集合}6,2,0,3{-=A ．2011A 2、函数11)(2-+=x x x f 的值域为 ◆答案：(,(1,)2-∞-+∞ ★解析：提示：设22,tan πθπθ<<-=x ，且4πθ≠，则)4sin(21cos sin 11tan cos 1)(πθθθθθ-=-=-=x f ．设)4sin(2πθ-=u ，则12<≤-u ，且0≠u ，所以 ),1(]22,(1)(+∞--∞∈= u x f ．2011A 3、设b a ,为正实数，2211≤+ba ，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ◆答案： 1- ★解析：由2211≤+ba ，得ab b a 22≤+． 又 23322)(8)(24)(44)(4)(ab ab ab ab ab b a ab b a =⋅⋅≥+=-+=+，即ab b a 22≥+． ①于是 ab b a 22=+．②再由不等式①中等号成立的条件，得1=ab ．与②联立解得⎩⎨⎧+=-=,12,12b a 或⎩⎨⎧-=+=,12,12b a ，故1log -=b a ．2011A 4、如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围为◆答案： ⎪⎭⎫⎝⎛45,4ππ ★解析：不等式)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-等价于θθθθ5353cos 71cos sin 71sin +>+. 又5371)(x x x f +=是),(+∞-∞上的增函数，所以θθcos sin >， 故∈+<<+k k k (45242ππθππZ )．因为)2,0[πθ∈，所以θ的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛45,4ππ．2011A 5、现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ◆答案：15000★解析：由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形：（1）有一个项目有3人参加，共有3600!5!51537=⋅-⋅C C 种方案；（2）有两个项目各有2人参加，共有11400!5!5)(21252527=⋅-⋅⋅C C C 种方案； 所以满足题设要求的方案数为15000114003600=+．2011A 6、在四面体ABCD 中，已知060=∠=∠=∠CDA BDC ADB ,3==BD AD ,2=CD ,则在四面体ABCD 的外接球的半径为◆答案：★解析：设四面体ABCD 的外接球球心为O ，则O 在过△ABD 的外心N 且垂直于平面ABD 的垂线上．由题设知，ABD ∆是正三角形，则点N 为ABD ∆的中心．设M P ,分别为CD AB ,的中点，则N 在DP 上，且DP ON ⊥，CD OM ⊥．因为︒=∠=∠=∠60ADB CDB CDA ，设CD 与平面ABD 所成角为θ，可求得32sin ,31cos ==θθ．在DMN ∆中，33233232,121=⋅⋅=⋅===DP DN CD DM ． 由余弦定理得231312)3(1222=⋅⋅⋅-+=MN，故2=MN ．四边形DMON 的外接圆的直径 3322sin ===θMNOD ．故球O 的半径3=R ．2011A 7、直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，C 为抛物线上的一点，090=∠ACB ，则点C 的坐标为◆答案： )2,1(-或)6,9(-．★解析：设)2,(),,(),,(22211t t C y x B y x A ，由⎩⎨⎧==--,4,0122x y y x 得 0482=--y y ，则821=+y y ，421-=⋅y y ．又12,122211+=+=y x y x ，所以182)(22121=++=+y y x x ， 11)(24212121=+++⋅=⋅y y y y x x ．因为︒=∠90ACB ，所以0=⋅CB CA ，即有0)2)(2())((212212=--+--y t y t x t x t ，即0)(24)(21212212214=⋅++-+⋅++-y y t y y t x x t x x t ，即03161424=---t t t ，即0)14)(34(22=--++t t t t ．显然0142≠--t t ，否则01222=-⋅-t t ，则点C 在直线012=--y x 上，从而点C 与点A 或点B 重合．所以0342=++t t ，解得3,121-=-=t t ．故所求点C 的坐标为)2,1(-或)6,9(-．2011A 8、已知()nnnn C a ⎪⎭⎫⎝⎛=-2162003200（95,,2,1 =n ），则数列{}n a 中整数项的个数为 ◆答案： 15★解析：由题意 =n a 65400320020023n nnC --⋅⋅．要使)951(≤≤n a n 为整数，必有65400,3200nn --均为整数，从而4|6+n ． 当=n 2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时，3200n -和65400n-均为非负整数，所以n a 为整数，共有14个．当86=n 时，=86a 5388620023-⋅⋅C ，在!114!86!20086200⋅=C 中，!200中因数2的个数为1972200220022002200220022002200765432=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡， 同理可计算得!86中因数2的个数为82，!114中因数2的个数为110，所以86200C 中因数2的个数为511082197=--，故86a 是整数．当92=n 时，=92a 10369220023-⋅⋅C ，在!108!92!20092200⋅=C 中，同样可求得!92中因数2的个数为88,!108中因数2的个数为105,故86200C 中因数2的个数为410588197=--，故92a 不是整数．因此，整数项的个数为15114=+．二、解答题：本大题共3小题，共56分。
2011年全国高中数学联赛试题及解答
2011年全国高中数学联合竞赛第一试一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上．1．设集合{}1234,,,A a a a a =，若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为{}1,3,5,8B =-，则集合 ．2．函数()f x =的值域为 ．3．设为正实数，11a b+≤()()234a b ab -=，则 ．4．如果()5533cos sin 7sin cos θθθθ-<-，[)0,2θπ∈，那么的取值范围是 ．5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答）6．在四面体中，已知60ADB BDC CDA ∠=∠=∠=︒，3AD BD ==，2CD =，则四面体的外接球的半径为 ．7．直线210x y --=与抛物线24y x =交于,A B 两点，C 为抛物线上的一点，90ACB ∠=︒，则点C 的坐标为 ．8．已知()2002001,2,,95nnnn a C n -=⋅⋅=，则数列{}n a 中整数项的个数为 ．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．设函数()()lg 1f x x =+，实数(),a b a b <满足()12b f a f b +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，()106214lg 2f a b ++=，求,a b 的值．10．已知数列满足：()1231a t t t =-∈≠±R 且，()()()112321121n n n n n n t a t t a n a t ++-+--=∈+-N ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若0t >，试比较与的大小．11．作斜率为13的直线l 与椭圆C ：221364x y +=交于A 、B 两点（如图所示），且(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△P AB 的内切圆的圆心在一条定直线上； （2）若60APB ∠=︒，求△P AB 的面积．加试一、（本题满分40分）如图，P,Q分别是圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD的中点．若∠=∠．∠=∠，证明：AQB CQBBPA DPA二、（本题满分40分）证明：对任意整数，存在一个次多项式()1110n n n f x x a x a x a --=++++具有如下性质：（1）011,,,n a a a -均为正整数；（2）对任意正整数，及任意()2k k ≥个互不相同的正整数12,,,k r r r ，均有()()()()21k f m f r f r f r ≠．三、（本题满分50分）设()12,,,4n a a a n ≥是给定的正实数，12n a a a <<<．对任意正实数，满足()1j i k ja a r i j k n a a -=≤<<≤-的三元数组(),,i j k 的个数记为()n f r ．证明：()24n n f r <．四、（本题满分50分）设A是一个39⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A中的一个()⨯≤≤≤≤方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A中的一个的m n m n13,19小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A中“坏格”个数的最大值．。
2011年全国高中数学联赛天津赛区预赛试卷及解析
2011年全国高中数学联赛天津赛区预赛试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、选择题1.如果x∈(0,2)时总有sinx>kx成立，则实数k的取值范围是（）.A. (−∞,π2]B. (−∞,π2)C. (−∞,2π]D. (−∞,2π)2.已知函数y=f(x)有反函数y=f−1(x).将y=f(x)的图像绕(1,−1)逆时针旋转90°，所求曲线的方程是（）.A. y=f−1(−x)−2B. y=−f−1(−x)−2C. y=f−1(−x+1)−1D. y=f−1(−x−1)+13.设n为正整数，且x=(1+1n)n,y=(1+1n)n+1.则（）.A. x y>y xB. x y=y xC. x y<y xD. 以上都有可能4.若直线y=x−3与曲线y=e x+a相切，则实数a的值是（）.A. -4B. -2C. 2D. 4⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅5.在半径为1的⊙O上取一定点A和一定点B .设点P满足AP∥OB，且AP⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =1.则点P的轨迹是（）.ABA. 椭圆B. 抛物线C. 双曲线D. 以上都有可能6.将(a+b+c+d)9展开之后再合并同类项，所得的多项式的项数是（）.A. C94B. C93C. C124D. C123第II卷（非选择题）二、解答题7.在四面体中。
AD⊥面BCD，∠ABD=∠BDC=θ<45°.已知E是BD上一点，满足CE⊥BD，且BE=AD=1.（1）证明：∠BAC=θ；（2）若点D到平面ABC的距离为413，求cosθ的值.8.设a、b、c、d、e、f为实数，且ax2+bx+c≥|dx2+ex+f|对任意的实数x成立.证明：4ac−b2≥|4df−e2|.9..设数列{a n}定义为a1=1,a n+1=2a n+√3a n2+1(n≥1).证明：（1）当n>1时，a n+1+a n−1=4a n；（2）1a1+1a2+⋅⋅⋅+1a n<1+√32.三、填空题10.九个正实数a12a9构成等比数列，且a1+a2=34，a3+a4+a5+a6=15.则a7+a8+a9=______.11.已知O−ABCD是正四棱锥，其中，OA=√3，BC=2.以O为球心、1为半径作一个球.则这个球与正四棱锥相交部分的体积是______.12.若实数x、α、β满足x=log3tanα=−log3tanβ，且α−β=π6，则x的值是______.13.设,A B是双曲线的两个焦点，C在双曲线上。
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2011年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）
考试时间：2011年10月16日 8：00—9：20
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上．
1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为
}8,5,3,1{-=B ，则集合=A
．
2．函数1
1)(2-+=
x x x f 的值域为 ．
3．设b a ,为正实数，2211≤+b
a
，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ．
4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是 ．
5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答）
6．在四面体ABCD 中，已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为 ．
7．直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，C 为抛物线上的一点，︒=∠90ACB ，则
点C 的坐标为 ．
8．已知=n a C ()
)95,,2,1(2162003200
=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅⋅-n n
n
n ，则数列}{n a 中整数项的个数为 ．
二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（本小题满分16分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足)2
1
()(++-
=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．
10．（本小题满分20分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，
1
21
)1(2)32(11-+--+-=
++n
n n n n n t a t t a t a ∈n (N )*．
（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若0>t ，试比较1+n a 与n a 的大小．
11．（本小题满分20分）作斜率为31的直线l 与椭圆C ：1
4
362
2=+y x 交于B A ,两点（如图所示），且)2,23(P 在直线l 的左上方．
（1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；
（2）若︒=∠60APB ，求△PAB 的面积．
2011年全国高中数学联合竞赛加试试题（A 卷）
考试时间：2011年10月16日 9：40—12：10
二、（本题满分40分）证明：对任意整数4≥n ，存在一个n 次多项式
0111)(a x a x a x x f n n n ++++=--
具有如下性质：
（1）110,,,-n a a a 均为正整数；
（2）对任意正整数m ，及任意)2(≥k k 个互不相同的正整数k r r r ,,,21 ，均有
)()()()(21k r f r f r f m f ≠．
三、（本题满分50分）设)4(,,,21≥n a a a n 是给定的正实数，n a a a <<< 21．对任意正实数r ，满足
)1(n k j i r a a a a j
k i j ≤<<≤=--的三元数组),,(k j i 的个数记为)(r f n ．
证明：4
)(2
n r f n <．
四、（本题满分50分）设A 是一个93⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A 中的一个)91,31(≤≤≤≤⨯n m n m 方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A 中的一个11⨯的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A 中“坏格”个数的最大值．。