高中数学_2.1.1指数与指数幂的运算(一)全册精品课件_新人教A版必修1
新课标人教A版必修1同课异构课件：2.1.1 指数与指数幂的运算(一)
例如： 27的3次方根表示为 3 27 , －32的5次方根表示为 5 32, a6的3次方根表示为 3 a6 , 16的4次方根表示为 4 16,
第十五页，编辑于星期日：十二点 五十一分。
例如：27的3次方根表示为 3 27 , －32的5次方根表示为 5 32, a6的3次方根表示为 3 a6 , 16的4次方根表示为 4 16,
衰期”.根据此规律，人们获得了生物体内 碳14含量P与死亡年数t之间的关系
P
(
1
)
t 5730
.
2
提问：
(
1
)
6000 5730
，(
1
)
10000 5730
(
1
)
100000
5730 的意义是
2
2
2
什么？
第七页，编辑于星期日：十二点 五十一分。
讲授新课
根式： (1)求： ①9的算数平方根，9的平方根；
记作： x n a .
第二十一页，编辑于星期日：十二点 五十一分。
(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为
正数，负数的n次方根为负数．
记作： x n a .
②当n为偶数时：正数的n次方根有
两个(互为相反数)．
第二十二页，编辑于星期日：十二点 五十一分。
(3)性质
①当n为奇数时：正数的n次方根为 正数，负数的n次方根为负数．
②8的立方根，－8的立方根；
③什么叫做a的平方根？a的立方根？
第八页，编辑于星期日：十二点 五十一分。
(2)定义 一般地，若xn＝a (n＞1, n∈N*)，则
x叫做a的n次方根.
n a 叫做根式，
n 叫做根指数， a 叫做被开方数．
高中数学指数函数指数与指数幂的运算说课稿1新人教A版必修
2.1 指数函数在初中的学习中，学生已经掌握了整数指数幂的概念及其运算性质.本节内容在组织学生回顾平方根、立方根的基础上，类比出一个正数的n 次方根定义，进而将指数推广到分数指数，从而完成了指数由整数指数到有理数指数的一次推广，在利用多媒体演示对无理数与无理数指数幂的近似推广，完成了指数由有理数指数到实数指数的二次推广，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂，使学生对指数幂的概念以及运算性质有了一个比较完整的认识，同时也为研究指数函数作好了知识上的准备.根式的概念是教学中的难点，教材中通过复习平方根、立方根的定义，然后类比出n 次方根的定义.为了更好地分解这一难点，教学中应放慢速度，多举几个具体的例子，帮助学生理解，并在此基础上类比出n 次方根的一般定义与性质.方根的性质实际上是平方根、立方根性质的推广，教学时，可以以平方根、立方根、四次方根为基础来加以说明，加深对这一性质的理解.分数指数是指数概念的又一次推广，分数指数概念是教学中的又一个难点.教学中应多举实例让学生理解分数指数幂的意义，明确分数指数幂表示的是根式的一种新的写法，并通过根式和分数指数幂的互化来巩固、加深对这一概念的理解.由于学过负整数次幂，正分数次幂引入后，学生不难理解负分数次幂的意义，因此，教学中可以放手让学生自己得出.在掌握了有理数指数幂的基础上，利用多媒体演示对无理数与无理数指数幂的近似推广，从而直观形象地给出了有理数指数幂的运算性质也可以推广到无理数.有了把指数范围扩充到实数范围内的知识上的准备，又有前面所学的对函数概念和性质的系统学习，顺理成章地引出了指数函数概念、怎样作出指数函数图象、怎样研究指数函数的性质以及与其他函数结合的研究.教材是通过死亡后生物体内碳14含量与死亡年数的关系这样一个实际问题引入指数函数的，既说明指数函数的概念来自实践，认识到指数函数对实际生活的意义，也便于学生接受.但在教学中，学生往往容易忽略定义域，因此，在进行指数函数定义的教学时，既要明确其定义域，又要让学生去探索成立的条件，明确底数a 是一个大于零且不等于1的常数，这样既培养了学生掌握概念的能力，又锻炼了学生分析问题和处理问题的能力.在理解指数函数的定义的基础上掌握指数函数的图象和性质，是本节教学的重点，而理解底数a 的值对于函数值变化的影响（即对指数函数单调性的影响）是教学的一个难点.教学时为了帮助学生理解，可以充分利用图象.教学时可以先要学生在同一坐标系内画出函数y =2x 和y =（21）x 的图象，通过两个具体的例子，引导学生共同分析、归纳总结指数函数的性质.有条件的学校也可以利用《几何画板》等数学软件，定义变量a 作出函数y =a x 的图象，进而改变a 的值，使学生在动态变化的过程中理解指数函数的性质，认识规定底数a 是一个大于零且不等于1的常数的原因.2.1.1 指数与指数幂的运算（1）从容说课指数是学习指数函数的预备知识，初中学生已经学习了整数指数幂的概念及运算性质.为了讲解指数函数，需要把指数的概念扩充到有理数指数幂、实数指数幂；为了完成这个扩充，必须先学习分数指数幂的概念和运算性质，以及无理数指数幂的概念；为了学习分数指数幂的概念.首先要介绍根式的概念，本课主要学习根式的概念以及n次方根的性质.学生已经学习了数的平方根、立方根，根式的内容是这些内容的推广.因此，在引入根式的概念时要结合这些已学内容，列举多个具体例子以便学生理解.根式n a的讲解要分n是奇数和偶数两种情况来进行，每种情况中，都要分a＞0，a=0，a＜0三种情况介绍，并结合具体例子讲解，其中要强调n a（a＞0，n是偶数）表示一个正数，抓住这一点，理解n次方根的性质就容易了.当n是偶数时，n n a=|a|（因为n n a总是一个非负数），这是本课的一个难点，讲解时可先复习2a=|a|这一性质，并结合具体例子加以讲解，有助于学生理解n n a=|a|这一性质.三维目标一、知识与技能理解根式的概念，掌握n次方根的性质.二、过程与方法1.通过师生之间、学生与学生之间互相交流，使学生逐步学会共同学习.2.引导学生认真体会数学知识发展的逻辑合理性、严谨性，做一个具备严谨科学态度的人.3.通过探究、思考，培养学生思维迁移能力和主动参与的能力.三、情感态度与价值观1.新知识的发现是因为面临的问题以原有的知识得不到解决所引发出来的思考，通过学习根式的概念，使学生认清基本概念的来龙去脉，加深对人类认识事物的一般规律的理解和认识，体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣，培养学生严谨的科学精神.2.在教学过程中，通过学生的自主探索，来加深理解n次方根的性质，具有探索能力是学习数学、理解数学、解决数学问题的重要方面.教学重点1.根式的概念.2.n次方根的性质.教学难点1.根式概念的理解.2.n次方根性质的理解.教具准备多媒体课件、投影仪、打印好的作业.教学过程一、创设情景，引入新课师：你们知道考古学家是怎样来判断生物的发展与进化的吗？生：对生物体化石的研究.师：那么他们是怎样来判断该生物体所处的年代的?你们知道吗?（众生摇头）师：考古学家是按照这样一个规律来推测的.问题：当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系，这个关系式应该怎样表示呢?我们可以先来考虑这样的问题：当生物死亡了5730，2×5730，3×5730，…年后，它体内碳14的含量P 分别为原来的多少? 生：21，（21）2，（21）3，…. 师：当生物体死亡了6000年，10000年，100000年后，它体内碳14的含量P 分别为原来的多少? 生：（21）57306000，（21）573010000，（21）5730100000.师：由以上的实例来推断关系式应该是什么?生：P =（21）5830t . 师：考古学家根据上式可以知道，生物死亡t 年后，体内碳14含量P 的值.那么这些数（21）57306000，（21）573010000，（21）5730100000的意义究竟是什么呢？它和我们初中所学的指数有什么区别?生：这里的指数是分数的形式.师：指数可以取分数吗?除了分数还可以取其他的数吗?我们对于数的认识规律是怎样的?生：自然数——整数——分数（有理数）——实数.师：指数能否取分数（有理数）、无理数呢？如果能，那么在脱离开上面这个具体问题以后，关系式P =（21）5830t就会成为我们后面将要相继研究的一类基本初等函数——“指数函数”的一个具体模型.为了能水到渠成地研究指数函数，我们有必要认识一下指数概念的扩充和完善过程，这就是我们下面三节课将要研究的内容：分数指数幂（有理数指数幂）、无理数指数幂.（引入课题，书写课题——指数与指数幂的运算）二、讲解新课（一）探求n 次方根的概念师：32=9，那么，在这个等式中3对于9来说，扮演着什么角色？9对于3来说又扮演着什么角色呢?生：9叫做3的平方数，3叫做9的平方根.师：若53=125，那么125对于5来说，扮演着什么角色？5对于125来说又扮演着什么角色呢?生：125是5的立方数，5是125的立方根.师：如果x 2=a ，那么x 对于a 来说扮演着什么角色？生：x 是a 的平方根.师：能否用一句话描述你的结论？生：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根. 师：如果x3=a，那么x对于a来说又扮演着什么角色？生：x是a的立方根.师：能换一种说法表述你的结论吗？生：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根.师：如果x4=a，x5=a，又有什么样的结论呢？生：如果一个数的四次方等于a，那么这个数叫做a的四次方根；如果一个数的五次方等于a，那么这个数叫做a的五次方根.师：①如果x2=a，那么x叫做a的平方根；②如果x3=a，那么x叫做a的立方根；③如果x4=a，那么x叫做a的4次方根.你能否据此得到一个一般性的结论？生：一般地，如果x n=a，那么x叫做a的n次方根.师：上述结论中的n的取值有没有什么限制呢？（生探索，完善n次方根的定义，并强调n的取值范围，师板书如下定义）一般地，如果x n=a，那么x叫做a的n次方根（n—th root），其中n＞1，且n∈N*.（二）概念理解课堂训练：试根据n次方根的定义分别求出下列各数的n次方根.（多媒体显示，生完成）（1）25的平方根是________；（2）27的三次方根是________；（3）－32的五次方根是________；（4）16的四次方根是________；（5）a6的三次方根是________；（6）0的七次方根是________.（师组织学生紧扣n次方根的定义，完成以上各题）方法引导：在n次方根的概念中，关键的是数a的n次方根x满足x n=a，因此求一个数a的n次方根，就是求出哪个数的n次方等于a.（三）n次方根的性质合作探究：观察并分析以上各数的方根，你能发现什么？（学生交流，师及时捕捉与如下结论有关的信息，并简单板书）1.以上各数的对应方根都是有理数；2.第（1）、第（4）的答案有两个，第（2）、第（3）、第（5）、第（6）的答案只有一个；3.第（1）题的答案中的两个值互为相反数.师：请仔细分析以上各题，你能否得到一个一般性的结论？（提供一个比较发散的问题，给学生提供广阔的思维空间，培养学生理性思维能力和数学的分析问题、解决问题的能力）生甲：一个数的奇次方根只有一个.生乙：一个数的偶次方根有两个，且互为相反数.师：是否任何一个数都有偶次方根？0的n次方根如何规定更合理？生：因为任何一个数的偶次方都是非负数，所以负数没有偶次方根，0的n次实数方根等于0.师：你能否把你所得到的结论再叙述的具体一些呢？（组织学生交流，得出以下结论）n次方根的性质实际上是平方根和立方根性质的推广，因此跟立方根和平方根的情况一样，方根也有如下性质：（1）当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.这时，a 的n 次方根用符号n a 表示.（2）当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号－n a 表示.正的n 次方根与负的n 次方根可以合并写成±n a （a ＞0）.注：①负数没有偶次方根；②0的任何次方根都是0，记作n 0=0；③当a ≥0时，n a ≥0，所以类似416=±2的写法是错误的.（四）根式的概念 式子n a 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数. 例如56叫做根式，其中5叫做根指数，6叫做被开方数.（五）n 次方根的运算性质求下列各式的值：（1）（5）2；（2）33)2(-；（3）44)2(-；（4）2)3(a -（a ＞3）.（生板演，师组织学生评析）解：（1）（5）2=5；（2）33)2(-=－2；（3）44)2(-=|－2|=2；（4）2)3(a -= |3－a |=a －3.师：上面的例题中涉及了哪几类问题? 生：主要涉及了（n a ）n 与n n a 的问题.合作探究：（1）（n a ）n 的含义是什么？其化简结果是什么呢？（2）n n a 的含义是什么？其化简结果是什么呢？（组织学生结合例题及其解答，进行分析讨论、归纳出以下结论）（1）（n a ）n =a .例如，（327）3=27，（532-）5=－32.（2）当n 是奇数时，n n a =a ；当n 是偶数时，n n a =|a |=⎩⎨⎧<-≥.0,,0,a a a a 例如，33)2(-=－2，552=2；443=3，2)3(-=|－3|=3. （六）例题讲解（生板演，师组织学生进行课堂评价）【例1】 求下列各式的值：（1）（38-）3；（2）2)10(-；（3）44)π3(-；（4）2)(b a -（a ＞b ）.解：（1）（38-）3=－8；（2）2)10(-=10；（3）44)π3(-=π－3；（4）2)(b a -=|a －b |=a －b .【例2】 化简下列各式：（1）681；（2）62)2(-；（3）1532-；（4）48x ；（5）642b a .解：（1）681=643=323=39；（2）62)2(-=622=32；（3）1532-=－1552=－32；（4）48x =442)(x =x 2；（5）642b a =622)|(|b a ⋅=32||b a ⋅.三、课堂练习1.若x ∈R ，y ∈R ，下列各式中正确的是A.44)(y x +=x +yB.33x －44y =x －yC.2)3(+x +2)3(-x =2xD.3-x +x -3=02.12--x x =12--x x 成立的条件是 A.12--x x ≥0 B.x ≠1 C.x ＜1 D.x ≥23.在①42)4(n -；②412)4(+-n ；③54a ；④45a （各式中n ∈N ，a ∈R ）中，有意义的是A.①②B.①③C.①②③④D.①③④4.当8＜x ＜10时，2)8(-x －2)10(-x =________.参考答案：1.D2.D3.B4.2x －18四、课堂小结师：请同学们互相交流一下你在本课学习中的收获.（生互相交流，而后由师多媒体显示如下内容）1.若x n =a （n ＞1，n ∈N *），则x 叫做a 的n 次方根.当n 是奇数时，实数a 的n 次方根用符号n a 表示；当n 是偶数时，正数a 的n 次方根用符号±n a 表示，负数的偶次方根无意义.式子n a 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.2.在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数；负数的奇次方根是一个负数.正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数；负数的偶次方根没有意义；0的任何次方根都是0.3.（1）（n a ）n =a .（2）当n 为奇数时，n n a =a ；当n 为偶数时，n n a =|a |=⎩⎨⎧<-≥.0,,0,a a a a 五、布置作业（一）复习课本第57～58页内容，熟悉巩固有关概念和性质；（二）书面作业：课本P 69习题2.1A 组第1题. 板书设计2.1.1 指数与指数幂的运算（1）一、基本概念和性质1.n 次方根的定义2.n 次方根的性质3.根式的定义4.n 次方根的运算性质二、例题解析即学生训练板演例1.求下列各式的值例2.化简下列各式目标检测评析布置作业。
2016-2017学年人教A版高一数学必修一书本讲解课件：第二章 2.1 2.1.1 第1课时 根
第二十三页，编辑于星期五：十五点 三十六分。
课时作业
第二十四页，编辑于星期五：十五点 三十六分。
解析：4 0.062 5＋
245－
3
27 8
＝4 0.54＋ 2 522－ 3 323＝12＋52－32＝32. 答案：32
第二十二页，编辑于星期五：十五点 三十六分。
4．化简：( a－1)2＋ 1－a2＋3 1－a3. 解析：由题得 a≥1， ∴( a－1)2＋ 1－a2＋3 1－a3 ＝a－1＋|1－a|＋1－a ＝a－1.
原式＝[a
2 3
·(a－3)
1 2
]
1 3
·(a
5 2
·a
13 2
)
1 2
＝a
2 9
·a
1 2
·a
5 4
·a
13 4
＝a
5 18
·a－2＝a
41 18
＝
1
.
a2·18 a5
第十九页，编辑于星期五：十五点 三十六分。
[易错警示]
错误原因
纠错心得
避免错误的方法是先将根式化
错解中主要是在进行化简时，根 为分数指数幂，然后按分数指数
C．1 或 2a－1
D．0
(2)当 a、b∈R 时，下列各式总能成立的是( )
A．(6 a－6 b)6＝a－b
8 B.
a2＋b28＝a2＋b2
4 C.
a4－4
b4＝a－b
D．10 a＋b10＝a＋b
第十二页，编辑于星期五：十五点 三十六分。
[解析] (1)a＋4 1－a4＝a＋|1－a|＝1 或 2a－1，故选 C. (2)取 a＝0，b＝1，A 不成立． 取 a＝0，b＝－1，C、D 不成立． ∵a2＋b2≥0，∴B 正确，故选 B. [答案] (1)C (2)B
高中数学 2.1.11《指数与指数幂的运算》课件 新人教A版必修1
第七页，共13页。
当n为奇数(jī shù)时，a的n次方n 根a
是当n为偶数时。，正数a的n次方根(fānggēnna)
是
，
负0的数任没何有(偶rè次nh方é)根次(方fā根ng都gē是n)。n，0即 0
。
试试：b4 a, 则a的4次方根为____； b3 a, 则a的3次方根为____;
y (1 7.3%)x 1.073x (x N*, x 20)
y (1 7.3%)10 1.07310
第三页，共13页。
实例 3:我们(wǒ men)知道考古学家是通过生 物化石的研究判断生物的发展和进化的，他 们究竟是怎样判断生物所处的年代呢？
当生物死亡后，体内碳14每过5730年大约
-125的3次方根是____;
10000的4次方根是____。
第八页，共13页。
思考(sīkǎo)1:
知识(zhī shi)探 究（分三别）等于什么？
一般地，
等于什么？ ( n a )n a
思考2:
分别等于什么？
一般地，n an 等于什么？
当n是奇数时， n an a
{ 当n是偶数时， n an | a |
第 sh知ù)识(zhī shi)探 模实型例应(sh用ílì背) 1景:某市人口平均究年增（长一率）为
1.25℅，1990 年人口数为a 万，则 x年后人
口数为多少y 万a？(11.25%)x 1.0125x a(x N )
实例2：国务院发展研究中心在2000 年分 析，我国未来20年GDP（国内生产总值） 年平均增长率达7.3℅， 则x年后GDP 为 2000年的多少倍？10年后呢？
2.1.1指数与指数运算 课件(1) (人教A版必修一)
例2:求值：
（ 1 ） 8 3 2 （ 2 ） 1 0 0 1 2 （ 3 ） （ 1 ） - 3（ 4 ） （ 1 6 ） 3 4
2
248 1来自解: （ 1） 83=（ 23 ） 3=22 =4
1
（2）1002=
1
1
1002
= 1 1= （10） 22
1 10
（ 3） （ 1） 3 =（ 2-2） -3=2 （ -2） （ -3） =26 4
(1 )3( 8 )3
(3 )4(3)4
(2 ) ( 1 0 )2 (4 ) (ab )2(ab )
解: (1)3 (8)3 8
(2) (10)2 101 0
(3)4(3)4 3 3
(4) (ab)2 abab (ab)
二.分数指数幂
10
(1)5a10a 5
16
(2)4a16 a 4
10
解: (1)5a10 5(a2)5 a2 a 5
作业:
1.课本P54 1,2 P591,2 2.作业本P23
正的偶次方根为n a ,负的偶次方根为 n a ;
负数没有偶次方根
思考: 当a=0时, n a 有意义吗?
因为05=0
即：5 0 0
; 04=0
40 0
;0100=0
100 0 0
无论n是奇数还是偶数,都有 0n=0 ( n 0 ) 0的n次方根为0， n 0 0(n0)
3、根式的定义:P49
（ 4）（ 16） 3 4=（ 2） 4 （ -4 3） =（ 2） -3=27
81 3
38
例3:用分数指数幂表示以下各式(式中a>0)
（ 1 ） a 2 a（ 2 ） a 33a 2 （ 3 ） aa
人教A版高中数学必修一课件：2.1.1 指数与指数幂的运算
（四）.实数指数幂的运算性质
a ar s a (a rs 0, r, s R)
(ar )s ars (a 0, r, s R)
(ab)r a br r (a 0,b 0, r R)
练习： (1).用根式的形式表示下列各式（a>0）：
m3n3 m2 n3
(3) a 2 (a 0); a3 a2
(4)(3 25 125) 4 5
2
3
1
a2
1
3
2 1 2
a 2 3
a2 a2
(53 52 ) 54
2
1
3
1
53 54 52 54
5
a6 6 a5
21
31
5
5
53 4 52 4 512 54
a a
(a 0) (a 0)
(Ⅱ)讲授新课 1.引入：
(±2)2=4
2，-2 叫4的平方根(即2次方根),
其中：2叫做4的算术平方根(正的2次方根） -2叫做4的负的平方根（负的2次方根）
23=8
2叫8的立方根（即3次方根）
(-2)3=-8
-2叫-8的立方根(即3次方根)
25=32
五.练习：
课本P59习题2.1A组1,2题
练习
（1）3 64 __-_4___ 5 32 ____2___； （2）4 81 ___3___ 4 81 ___-_3__;;
（3） (4 3)4 3______(5 6)5 ___6___；
(4) 5 a10 _a_2___ 3 a12 _____a4__；
人教A版高中数学必修一2.1.1指数与指数幂的运算第一、二、三课时
备用
1.要使
(5x
1
)
3 4
(x
2
1) 3
有意义,则x的取
值范围是 2
2.计算:1
(a 2
1
a2
1
)(a 2
1
a2
)(a
a2
a1)
a2
3.求值: 3 2 5 12 3 2 2
2.1.1 指数与指数幂的运算
第3课时
指数式的计算与化简
指数式的计算与化简,除了掌握定义、法则外，还 要掌握一些变形技巧.根据题目的不同结构特征,灵 活运用不同的技巧,才能做到运算合理准确快捷.
(2)在 根 式n am中,若 根 指 数n与 幂 指 数m有 公 约 数 时, 当a 0时 可约 分.当a 0时 不可 随意 约 分. 如8 32 4 3, 10 (2)2 5 2而15 (2)5 3 2.
课堂练习：课本 P54中练习第3题
课外作业：课本 P59习题2.1中A组第2，3，4题
4.下 列 各 式 中,正 确 的 是( C )
A.6 (2)2 3 2 B.4 (3 )4 3
C .(3 2 )3 2 D.6 (2a 1)6 2a 1
小结
1.n次方根的定义:
一般地，如果xn a，那么x叫做a的n次方根, 其中n 1且n N .
2.根式的简单性质: 1) 当n 1, n N *时，总有 (n a )n a.
(1)a a1 7; (2)a2 a2 47;
3
a2 (3) 1
3
a 2
1
(a
1 2
1
a2
)(a
1
a1
1
1
a2
1
a2
)
高一人教A版数学必修1课件：2.1.1 指数与指数幂的运算
解答本题易忽视被开方数的符号致误
【防范措施】 为使开偶次方后不出现符号错误，开 方时先带着绝对值符号，然后再根据取值范围去掉绝对值符 号进行化简．
【解】 原式＝ （x－2）2－ （x＋1）2＝|x－2|－ |x＋1|.
∵－1＜x＜2，∴x＋1＞0，x－2＜0， ∴原式＝2－x－x－1＝1－2x.
化，但要注意根指数是分数指数的分母．
2．在应用分数指数幂进行根式的计算时，应注意把根
式统一化为分数指数幂的形式．当所求根式含有多重根号时
，应由里向外用分数指数幂写出，然后再利用性质运算．
忽视被开方数的符号致误
(2014·山东日照一模)若－1＜x＜2，化简 x2－4x＋4
－ x2＋2x＋1. 【易错分析】
0＋37； 48
(2)
－338
－
2 3
＋
(0.002)
－
1 2
－
10(
5 － 2) － 1 ＋ (
2－
3)0；
(3)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)(a＞0，b＞0，c＞
0)；
3 (4)2
a÷46
a·b×3
b3(a＞0，b＞0)．
【思路探究】 进行指数幂运算时，化负指数为正指 数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，以便于进行乘、 除、乘方、开方运算，达到化繁为简的目的．
自 主 学 习 · 基 础 知 识
易 误 警 示 · 规 范 指 导
合
作
探
课
究
时
·
作
重
业
难
疑
点
2．1
指数函数
2．1.1 指数与指数幂的运算
[学习目标] 1.理解方根和根式的概念，掌握根式的性 质，会进行简单的求n次方根的运算．(重点、难点)2.理解整 数指数幂和分数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂之间 的相互转化．(重点、易混点)3.理解有理数指数幂的含义及 其 运 算 性 质 ． ( 重 点 )4. 通 过 具 体 实 例 了 解 实 数 指 数 幂 的 意 义．
(学习方略)高中数学 2.1.1指数与指数幂的运算课件 新人教A版必修1
A
28
【解】 当n为奇数时， 原式＝a－b＋a＋b＝2a； 当n为偶数时，∵a<b<0， ∴原式＝|a－b|＋|a＋b|＝b－a＋(－a－b)＝－2a. 综上知， n a－bn＋n a＋bn＝2－a2an为n奇 为数 偶数 ，.
A
29
规律技巧 为使开偶次方不出现符号错误，先用绝对值保 留开方的结果，然后根据题设条件化去绝对值符号，没给条件 的要分情况讨论．
A
7
2．根式的性质
(1)当n为奇数时， n an ＝________，当n为偶数时， n an ＝ ________.
(2)负数没有偶次方根，零的任何次方根都是________．
A
8
3．分数指数幂的意义
(1)设a>0，m，n∈N*，n>1，则将 n am 表示为a的分数指数
幂的形式为____________，a－
A
10
1.(1)xn＝a 根式 根指数 被开方数 a
(2)负数 n a n a －n a ±n a
自 2.(1)a |a|＝a a≥0 －a a<0 我 (2)0
校
m1
3.(1)a n m
对
an
(2)0 没有意义
4.ar＋s ars arbr
A
11
思考探究 在有理数指数幂的运算性质中，为什么要规定
A
32
规律技巧 本题ab与a－b互为倒数，抓住这一点，已知和 所求分别平方很快得出答案，这里运用了公式变形a－b2＝a ＋b2－4ab.
A
33
变式训练4
已知a
1 2
＋a－
1 2
＝m，求a2＋a 1的值．
人教A版高中数学必修一2.1.1.1指数与指数幂的运算(1)
(2)2 学科网 4
－8 -2
(2)3 8
9 ±3 00
(3)2 9 02 0
－1 -1
0
0
(1)3 1 03 0
－4 无
8
2
23 8
－9 无
27 3
33 27
类比分析， 可是个好 方法哟！
3.若x4=a， 则 x 叫做 a 的 四次方根（a≥0 )
4.若x5=a， 则 x 叫做 a 的五 次方根
(3)利用（2）的规律，你能表示下列式子吗？
4 53 , 5 a7
n xm (x 0, m, n N *,且n 1)
(4)你能用方根的意义来解释（3）的式子吗？ (5)你能推广到一般情形吗？
讨论结果：形式变了，本质没变，方根的结 果和分数指数幂是相通的。综上我们得到正 数的正分数指数幂的意义。
提出问题
分数指数幂
(1).整数指数幂的运算性质是什么？
(2).观察以下式子，并总结出规律：
①
5 a10
10
5 (a2 )5 a2 a 5
②
8
a8 (a4)2 a4 a2
③
12
4 a12 4 (a3 )4 a3 a 4
④ 10
2 a10 2 (a5 )2 a5 a 2
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
第1课时
根式与分数指数幂
1. 理解n次方根与根式的概念；理解分数 指数幂的概念 2. 正确运用根式运算性质化简、求值；掌 握分数指数幂和根式之间的互化；分数指 数幂的运算性质。 3. 分类讨论思想，观察分析、抽象概括等 的能力。
(1) 整数指数幂的概念：
数学：2.1.1《指数与指数幂的运算》课件(新人教A版必修1)(中学课件2019)
器也 天下謷謷然 坐法失官 以天地五位之合终於十者乘之 观玉台 或召见 不绌无德 靡有解怠 可不勉哉 属常雨也 变动不居 讲习《礼经》 退之可也 千人 死有馀罪 更节加黄旄 有常节 因谋作乱 勿听 因矫以王命杀武平君畔 王治无雷城 为所称善 兴不从命 王尊字子赣 骏以孝廉为郎 案卫思
后 戾太子 戾后园 《法言》十三 虽复破绝筋骨 国除 羲和司日 天子独与侍中泰车子侯上泰山 避帝外家 今闻错已诛 拔城而不得其封 及眊掉之人刑罚所不加 亦亡去 乃敢饮 去食谷马 其明年 愿陛下与平昌侯 乐昌侯 平恩侯及有识者详议乃可 上从相言而止 知吏贼伤奴 处巴江州 戒太子曰 即
也 又一切调上公以下诸有奴婢者 中分天下 申子主之 承圣业 并州 平州尤甚 晋史卜之 云梦泽在南 三月癸卯制书曰 其封婕妤父丞相少史王禁为阳平侯 自此始也 止王南越 耕耘五德 甲辰 周殷反楚 还 其以军若城邑降者 大举九州之势以立城郭室舍形 而山戎伐燕 云廷讦禹 而汉亦亡两将军
时杀人民 此天以臣授陛下 若齐之技击 曰上崩 武闻之 为水 呼韩邪破 自君王以下咸食畜肉 非胙惟殃 所以存亡继绝 成命统序 东济大河 此两统贰父 蹶浮麋 所以变民风 此所以成变化而行鬼神也 并终数为十九 行至塞 宣之使言 盖堤防之作 迁乐浪都尉丞 有日蚀 地震之变 农民不得收敛 深
•今秦无德 羽大怒 曹参次之 上曰 善 於是乃令何第一 民皆引领而望 二 欲人变更 蓼 广如一匹布 斩其王还 毋须时 於水则波 去日半次 太公治齐 上思仲舒前言 因为博家属徙者求还 周勃为布衣时 故与李斯同邑 或闭不食 莽曰监朐 《汉流星行事占验》八卷 法而陈之 何为苦心 语在《宪王
传》 淮阳阳夏人也 害五谷 而曰豫建太子 后年入朝 台子通为燕王 珠熉黄 秦民失望 刻印三 一曰 维祉冠存己夏处南山臧薄冰 世以此多焉 稍夺诸侯权 汝复为太史 大夫 谒者 郎诸官长丞皆损其员 更化则可善治 布召见 因惠言 匈奴连发大兵击乌孙 景驹自立为楚假王 大置酒 太后诏曰 太师
人教A版数学必修一2.1.1指数与指数幂的运算
② 3－2 2 ＋ 3 （1－ 2）3 ＋ 4 （1－ 2）4 ＝ _____2_－__1．
2.1.1 │ 考点类析
[解析] ①8 （x－3）8＝|x－3|，当 x≥3 时，原式＝x－3； 当 x<3 时，原式＝3－x.
所以8 （x－3）8＝x3－－3x，，xx≥<33. ， ②因为 3－2 2＝2－2 2＋1＝( 2)2－2 2＋1＝( 2－1)2， 所 以 3－2 2 ＋ 3 （1－ 2）3 ＋ 4 （1－ 2）4 ＝ （ 2－1）2＋ 3 （1－ 2）3＋ 4 （1－ 2）4＝ 2－1＋1－ 2＋ 2－1＝ 2－1.
2.1.1 │ 考点类析
[小结] 有理指数幂运算的基本原则和常规方法： (1)基本原则：式子里既有分数指数幂又有根式时，
一般把根式统一化为分数指数幂的形式，再用有理指数 幂的运算性质化简．
(2)常规方法：①化负指数幂为正指数幂；②化根式 为分数指数幂；③化小数为分数．
2.1.1 │ 考点类析
考点四 条件求值 重点探究型 [导入] 已知 x＋1x＝a(a≥2)，如何求 x2＋x12的值？
[ 解 析 ] (1)① 4 （－8）4 ＝ | － 8| ＝ 8 ；
②3 （－8）3＝－8.
6 (2)①
1－π3 6＝1－π3 ＝π3 －1；② 5
1－π3 5
＝1－π3 .
2.1.1 │ 考点类析
(3)计算下列各式的值：
①8
x－3，x≥3，
（x－3）8＝_3_－__x_，_x_<_3，
2.1.1 │ 考点类析
【变式】 (1)设 10m＝2，10n＝3，则 10－2m－10－n＝_－_1_12_____．
[解析] 由 10m＝2 得 10－2m＝（101m）2＝14，10 －n＝110n＝13， 所以 10－2m－10－n＝14－13＝－112.
高一数学人教A版必修1：2.1.1 指数与指数幂运算
一、复习引入
问题1：据调查，现行银行存款定期一年利率是 1.75%， 某投资者打算存款1万元，按照复利计算， 设x年(x≤20)底存款数y元, 问：y是否是关于x的函数？若是，求函数关系式.
解：y (1 1.75%) 1.0175 (x N 且x 20)
x x
*
幂
x 1.0175
指数
底数
一、复习引入
同底数幂相乘,底数不变,指数相加 a (1) a a ________
1、整数指数幂运算性质: ( r、s ∈Z ) rs r s
( 2)
a a
r s
a ________
r s r
rs
同底数幂相除,底数不变,指数相减
a ( 3) ( a ) ________ 幂的乘方，底数不变，指数相乘 a b 乘积的幂，等于幂的乘积 (4) (ab ) ________
2 3 3 5 5
二、新课讲解
(4)
a
n
n
_________
a
(5) n a n
?
n n
n n 当n是奇数时， a a
a，a 0 当n是偶数时， a | a | a，a <0
思考：
3
5 53 ___________ 5 5 ___________
2
3
5 ( 5)3 ________
( 5) ________ 5
2
二、新课讲解 如果x n a，那么x叫做a的n次方根.
2、运算性质： (1)当n为偶数：正数a的n次方根有两个，且互为相反数.
正的n次方根记为n a，负的n次方根记为 n a ( 2)当n是奇数：正数a的n次方根是一个正数；
人教A版必修一2.1.1.1指数与指数幂的运算
1.根式及相关概念 （1）a的n次方根定义如果 （2）a的n次方根的表示
那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且
（3）根式式子
叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.
2.根式的性质
的值是（ B ） （A）2 （C）±2 （B）－2 （D）－8
运算的结果是（ A ） (A)2 (C) ± 2 (B)-2 (D)以上都不对
第二章
基本初等函数（Ⅰ）
2.1 指数函数
2.1.1 指数与指数幂的运算
第1课时 根 式
链接一：开平方与平方根：如果
那么x叫做a的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.
链接二：开立方与立方根：如果 那么x叫做a的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 链接三：二次根式及性质： 叫二次根式，且
对于根式记号
要注意以下四点：
（2）当n为大于1的奇数时，
都有意义，
它表示a在实数范围内唯一的一个n次方根，且 （3）当n为大于1的偶数时，
只有当a≥0时有意义，当a<0时无意义.
（a≥0）表示a在实数范围内的一个n次 方根，另一个是
（4）式子接利用根式的性质化简 化简下列各式：
类型二：有条件根式的化简 设－3<x<3，求 解题流程： 的值.
=|x－1|－|x+3|， ∵－3<x<3，∴当－3<x<1时， 原式=－（x－1）－（x+3）=－2x－2； 当1≤x<3时， 原式=（x－1）－（x+3）=－4.
规律方法：为使开偶次方后不出现符号错误，第一步 先 用绝对值表示开方的结果，第二步再去掉绝对值符号化 简，化简时要结合条件进行分类讨论.
解析：∵n=6是偶数，
高中数学第二章基本初等函数I2.1.1.1根式课件新人教版必修1
n 的奇偶性
a 的 n 次方根的 表示符号
a 的取值范围
n 为奇数
பைடு நூலகம்
n a
a∈R
n 为偶数
n
±a
[0，＋∞)
(3)根式 n
式子__a__叫做根式，这里 n 叫做_根__指__数__，a 叫做被开方数.
2.根式的性质
n
(1) 0＝_0_ (n∈N*，且 n＞1)；
n
(2)( a)n＝_a_ (n∈N*，且 n＞1)；
3.掌握两个公式：(1)(n a)n＝a，n 为奇数；(2)n an＝a，n 为偶
数，n an＝|a|＝a－a
（a≥0）， （a＜0）.
1.若 m 是实数，则下列式子中可能没有意义的是( )
A.4 m2
B.3 m
C.6 m
5
D.
－m
解析 C 中，6 m隐含 m≥0；当 m<0 时，没有意义.
编后语
常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分 钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？
一、释疑难
对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已 经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。
(2)设 m＜0，则( －m)2＝________.
解析 (1)依题意，x 是 3 的 4 次方根，∴x＝±4 3.
(2)∵m＜0，∴－m＞0，∴( －m)2＝－m.
高中数学第二章基本初等函数2.1.1指数与指数幂的运算第2课时分数指数幂新人教A版必修1
B．234
C．18
D．243
[解析]
4－23
＝
1
3
42
＝22123
＝213＝18.
(C)
2．若a>0，n，m为实数，则下列各式中正确的是
m
A．am÷an＝a n
B．an·am＝am·n
C．(an)m＝am＋n
D．1÷an＝a0－n
(D )
• [解析] 由指数幂的运算法则知1÷an＝a0÷an＝a0－n正确， 故选D．
(3)由于a23
－a－32
＝(a12
)3－(a－12
3
)3，所以有a21 a2
－a－32 －a－12
1
＝a2
－a－21 a＋a－1＋a12
1
a2
－a－12
·a－12
＝a＋a－1＋1＝7＋1＝8.
『规律方法』 (1)条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已知
条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用，如条件中的隐含条件，整体
3
(2)化简：
7
a2
a－3÷ 3 a－83 a15÷3
a－3 a－1.
• [思路分析] 将根式化为分数指数幂的形式，利用分数指 数幂的运算性质计算．
[解析] (1)原式＝1＋14×(49)12 －(1100)21 ＝1＋16－110＝1165.
3
(2)原式＝
7
a2
a－32
÷
a－83
15
a3
3
÷
a－23
• 利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分 数指数幂的形式，不强求统一用什么形式，但结果不能既有根式 又有分数指数幂，也不能同时含有分母和负指数．
新课标人教A版必修1同课异构课件：2.1.1 指数与指数幂的运算
(4) (a b)2 |a-b| =a-b(a>b)
第十九页，编辑于星期日：十二点 五十一分。
课堂练习：判断题
5
1 5 2 2 (对); 2 4 (-2)4 2 (错);
4
3 4 2 2
(对); 413 513 5 (对);
5 2n b2n b (错); 6 4 b8 b2 (对);
第十页，编辑于星期日：十二点 五十一分。
练一练
3 3 27
2 3 8
22 4
3 2 9
2 5 32
2 4 16
观察思考：你能得到什么结论？
பைடு நூலகம்
第十一页，编辑于星期日：十二点 五十一分。
得出结论
3 3 27 2 3 8
2 5 32
x5 11
3 3 27 2 3 8 2 5 32
第二页，编辑于星期日：十二点 五十一分。
如果把我国2000年GDP看成是1个单位，2001年为
第1年，那么：
1年后（即2001年），我国的GDP可望为2000年的 （1+7.3℅）倍；
2年后（即2002年），我国的GDP可望为2000年的
（1+7.3℅）2倍；
3年后（即2003年），我国的GDP可望为2000年的
第八页，编辑于星期日：十二点 五十一分。
观察归纳 形成概念
?4 16 ?5 32
2 称为-32的五次方根
第九页，编辑于星期日：十二点 五十一分。
n 次方根定义： 如果一个数的 n 次方等于a(n 1, n N *) 那么这个数叫做 a的 n方根．
数学符号表示：
若xn a(n 1, n N *)，则 x 叫做a的 n次方根．
x 5 11
数学：2.1.1《指数与指数幂的运算》课件(新人教A版必修1)
1.am· an=am+n；
2.am÷an=am-n； 3.(am)n=amn； 4.(ab)n=an· bn； 5.
a n an ( ) n (b 0). b b
另外，我们规定：
a 1(a 0); 1 n a n. a
0
二、根式
一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根(n th root)，其中n＞1， 且n∈N*.
(a b) (a b).
2
三、分数指数幂 探究:
5 10 5
a
10பைடு நூலகம்
(a ) a a (a 0),
5 2 5 2 12 4
4
a12 4 (a 4 ) 3 a 3 a (a 0).
2 3
0的正分数指数 幂等于0,0 的负 分数指数幂没有 意义.
3
a 2 a ( a 0), b b (b 0),
(2)(a r ) s a rs (a 0, r , s Q) (3)(ab) r a r b r (a 0, b 0, r Q)
例2 用分数指数幂表示下列各式(其中a>0).
a 3 a , a 2 3 a 2 , a3 a .
解：
a3 a a3 a a
2 3 1 3 1 3 1 3
2 3
a
1 3
1 3 1 3
a
1 3
a 2b
a a a a.
五、知识总结
整数指数幂 根式 两个等式
分数指数幂 有理数指数幂 无理数指数幂
(1)a r a s a r s (a 0, r , s R) (2)(a r ) s a rs (a 0, r , s R ) (3)(ab) a b (a 0, b 0, r R)
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③负数没有偶次方根.
(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为
正数，负数的n次方根为负数．
记作： x n a .
②当n为偶数时：正数的n次方根有 两个(互为相反数)．
记作：x n a .
③负数没有偶次方根. ④0的任何次方根为0．
注：
当a 0时，n a 0，表示算术根， 所以类似4 16 2的写法是错误的.
① 当n为奇数时， n an a;
当n为偶数时， n
an
| a |
a(a 0) a(a 0).
(4)常用公式
n an 表示an的n次方根，等式n an a
一定成立吗？如果不一 定成立，那么n an 等于什么？
① 当n为奇数时， n an a;
当n为偶数时， n
an
| a |
a(a 0) a(a 0).
记作：
(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为
正数，负数的n次方根为负数．
记作： x n a .
②当n为偶数时：正数的n次方根有 两个(互为相反数)．
记作：x n a .
(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为
正数，负数的n次方根为负数．
记作： x n a .
②当n为偶数时：正数的n次方根有 两个(互为相反数)．
衰期”.根据此规律，人们获得了生物体内 碳14含量P与死亡年数t之间的关系
P
(
1
)
t 5730.2源自提问：(1
)
6000 5730
，(
1
10000
) 5730
(
1
100000
) 5730 的意义是
2
2
2
什么？
讲授新课
根式： (1)求： ①9的算数平方根，9的平方根； ②8的立方根，－8的立方根； ③什么叫做a的平方根？a的立方根？
(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为
正数，负数的n次方根为负数．
(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为
正数，负数的n次方根为负数．
(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为
正数，负数的n次方根为负数．
记作：
(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为
正数，负数的n次方根为负数．
2.1.1指数与指数幂 的运算
复习引入
问题1 据国务院发展研究中心2000年发表 的《未来20年我国发展前景分析》判断， 未来20年，我国GDP(国内生产总值)年平 均增长率可望达到7.3%. 那么，在2001~ 2020年，各年的GDP可望为2000年的多 少倍？
复习引入
问题1 据国务院发展研究中心2000年发表 的《未来20年我国发展前景分析》判断， 未来20年，我国GDP(国内生产总值)年平 均增长率可望达到7.3%. 那么，在2001~ 2020年，各年的GDP可望为2000年的多 少倍？
(2)定义 一般地，若xn＝a (n＞1, n∈N*)，则
x叫做a的n次方根.
n a 叫做根式，
n 叫做根指数， a 叫做被开方数．
例如：27的3次方根表示为 －32的5次方根表示为 a6的3次方根表示为
例如：27的3次方根表示为 3 27 ,
－32的5次方根表示为 a6的3次方根表示为
例如：27的3次方根表示为 3 27 , －32的5次方根表示为 5 32,
例如：27的3次方根表示为 3 27 , －32的5次方根表示为 5 32, a6的3次方根表示为 3 a6 , 16的4次方根表示为 4 16,
即16的4次方根有两个，
一个是 4 16, 另一个是 4 16.
它们的绝对值相等而符号相反.
(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为
正数，负数的n次方根为负数．
(4)常用公式
n an 表示an的n次方根，等式n an a 一定成立吗？如果不一 定成立，那么n an 等于什么？
(4)常用公式
n an 表示an的n次方根，等式n an a 一定成立吗？如果不一 定成立，那么n an 等于什么？
① 当n为奇数时，
(4)常用公式
n an 表示an的n次方根，等式n an a 一定成立吗？如果不一 定成立，那么n an 等于什么？
问题2 当生物死亡后，它机体内原有的碳 14会按确定的规律衰减，大约每经过5730 年衰减为原来的一半，这个时间称为“半
衰期”.根据此规律，人们获得了生物体内 碳14含量P与死亡年数t之间的关系
P
(
1
)
t 5730
.
2
问题2 当生物死亡后，它机体内原有的碳 14会按确定的规律衰减，大约每经过5730 年衰减为原来的一半，这个时间称为“半
记作： x n a .
(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为
正数，负数的n次方根为负数．
记作： x n a .
②当n为偶数时：正数的n次方根有 两个(互为相反数)．
(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为
正数，负数的n次方根为负数．
记作： x n a .
②当n为偶数时：正数的n次方根有 两个(互为相反数)．
① 当n为奇数时， n an a;
(4)常用公式 n an 表示an的n次方根，等式n an a
一定成立吗？如果不一 定成立，那么n an 等于什么？
① 当n为奇数时， n an a;
当n为偶数时，
(4)常用公式
n an 表示an的n次方根，等式n an a
一定成立吗？如果不一 定成立，那么n an 等于什么？
a6的3次方根表示为
例如：27的3次方根表示为 3 27 , －32的5次方根表示为 5 32, a6的3次方根表示为 3 a6 ,
例如：27的3次方根表示为 3 27 , －32的5次方根表示为 5 32, a6的3次方根表示为 3 a6 ,
16的4次方根表示为
例如：27的3次方根表示为 3 27 , －32的5次方根表示为 5 32, a6的3次方根表示为 3 a6 , 16的4次方根表示为 4 16,
提问：正整数指数幂1.073x的含义是什么？ 它具有哪些运算性质？
(1) 整数指数幂的概念：
an ______ (n N ), a0 ______ (a 0), an ______ (a 0, n N ).
(2) 运算性质：
am an ______ (m, n Z ), (am )n ______ (m, n Z ), (ab)n _______ (n Z ).