2015北京高考朝阳区一模数学答案
2015年高考北京卷数学_理科_压轴题的背景是数学黑洞问题_甘志国
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学生的薄弱环节, 当然学生的薄弱环节, 需要集中时 间打歼灭战, 更需要进一步巩固和扩大战果, 有时需 要打持久战. 4.4 养成好的习惯, 是数学教师不可推卸的责任 教育的本质是习惯的养成. 数学教师在这方面有 不可推卸的责任, 作为数学教师, 应该明确在高一、 高 二、 高三, 培养学生的哪些习惯, 尤其是结合数学学科 特点, 哪些习惯更好养成, 哪些习惯需要在1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
数列{ a n } 8, 16, 32, 28, 20, … 16, 32, 28, 20, … 3, 6, 12, 24, 12, 24, … 4, 8, 16, 32, 28, 20, 4, 8, 16, 32, 28, 20, … 5, 10, 20, 4, 8, 16, 32, 28, 20, 4, 8, 16, 32, 28, 20, … 6, 12, 24, 12, 24, … 7, 14, 28, 20, 4, 8, 16, 32, 28, 20, 4, 8, 16, 32, … 8, 16, 32, 28, 20, 4, 8, 16, 32, 28, 20, 4, … 9, 18, 36, 36, … 4, 8, 16, 32, 28, … 8, 16, 32, 28, 8, 20, 4, … 12, 24, 12, 24, … 16, 32, 28, 8, 20, 4, 8, … 20, 4, 8, 16, 32, … 15, 30, 24, 12, 24, 12, … 28, 20, 4, 8, … 32, 28, 8, 20, 4, 8, 16, … 18, 36, 36, … 19, 2, 4, 8, 16, 32, 28, 20, 4, 8, 16, 32, 28, 20, … 20, 4, 8, 16, 32, 28, 20, 4, 8, 16, 32, 28, … 21, 6, 12, 24, 12, 24, … 22, 8, 16, 32, 28, 20, 4, 8, 16, 32, 28, 8, 20, 4, … 20, 4, 8, 16, 32, 28, … 24, 12, 24, 12, … 28, 20, 4, 8, 16, 32, … 32, 28, 20, 4, 8, …
2015年北京高考数学试题及答案(word版)
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2015年北京市高级中等学校招生考试英语试卷听力理解(共30分)一、听对话,从下面各题所给的A、B、C三幅图片中选择与对话内容相符的图片。
每段对话你将听两遍。
(共5分,每小题1分)二、听对话或独白,根据对话或独白的内容,从下面各题所给的A、B、C三个选项中选择最佳选项。
每段对话或独白你将听两遍。
(共15分,每小题1.5分)请听一段对话,完成第6至第7小题。
6. When will Grandpa arrive?A. AT 8:00 PM.B. At 7:00 PM.C. At 6:00 PM.7. How is Grandpa coming?A. By train.B. By bus.C. By car.请听一段对话,完成第8至第9小题。
8.What is the woman studying?A. English.B. Chinese.C. Maths.9. What is the woman good at?A. Playing the guitar.B. Playing the piano.C. Playing the violin 请听一段对话,完成第10至第11小题。
10. Where is the woman going?A. To France.B. To Australia.C. To China.11. Who will the woman visit?A. Her friend.B. Her brother.C. Her teacher.请听一段对话,完成第12至第13小题。
12.How is the weather tomorrow?A. Cloudy.B. Rainy.C. Sunny.13. What are the speakers mainly talking about?A. A plan for tomorrow.B. Programmes on TV.C. Food for the dinner.请听一段对话,完成第14至第15小题。
2015朝阳初三一模数学试题及答案
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北京市朝阳区九年级综合练习(一)数学试卷2015.5一、选择题(本题共30分,每小题3分)1. 据亚洲开发银行统计数据,2010年至2020年,亚洲各经济体的基础设施如果要达到世界平均水平,至少需要8 000 000 000 000美元基建投资.将8 000 000 000 000用科学记数法表示应为A.0.8×1013B.8×1012C.8×1013D.80×10112. 如图,下列关于数m、n的说法正确的是A.m>n B.m=nC.m>-n D.m=-n3.如图,直线a,b被直线c所截,a∥b,∠2=∠3,若∠1=80°,则∠4等于A.20°B.40°C.60°D.80°4.下列计算正确的是A.2a+3a=6a B. a2+a3=a5 C. a8÷a2=a6 D. (a3)4= a7 5.下列图形中,既是中心对称图形又是轴对称图形的是A B C D6.为筹备班级联欢会,班干部对全班同学最爱吃的水果进行了统计,最终决定买哪种水果时,班干部最关心的统计量是A.平均数B.中位数C.众数D.方差7为了保证抽奖的公平性,这些小球除了颜色外,其他都相同,而且每一个球被抽中的机会均相等,则该抽奖活动抽中一等奖的概率为A. 16B.51C.310D.128. 若正方形的周长为40,则其对角线长为A .100 B. C. D .10 9.如图,为了估计河的宽度,在河的对岸选定一个目标点P ,在 近岸取点Q 和S ,使点P ,Q ,S 在一条直线上,且直线PS 与河 垂直,在过点S 且与PS 垂直的直线a 上选择适当的点T ,PT 与过点Q 且与PS 垂直的直线b 的交点为R .如果QS =60 m , ST =120 m ,QR =80 m ,则河的宽度PQ 为A .40 mB .60 mC .120 mD .180 m10.甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步,先到终点的人原地休息.已知甲先出发3秒,在跑步过程中,甲、乙两人的距离y (米)与乙出发的时间t (秒)之间的关系如图所示,则下列结论正确的是A. 乙的速度是4米/秒B. 离开起点后,甲、乙两人第一次相遇时,距离起点12米C. 甲从起点到终点共用时83秒D. 乙到达终点时,甲、乙两人相距68米二、填空题(本题共18分,每小题3分)11.若分式21-x 有意义,则x 的取值范围是 .12.分解因式:2236+3m mn n -= .13.如图,⊙O 的直径CD 垂直于弦AB ,∠AOC =40°,则∠CDB 的度数为 .14.请写出一个图象从左向右上升且经过点(-1,2)的函数,所写的函数表达式是 . 15.为了缓解城市拥堵,某市对非居民区的公共停车场制定了不同的收费标准(见下表).如果小王某次停车3小时,缴费24元,请你判断小王该次停车所在地区的类别是 (填“一类、二类、三类”中的一个).16.一组按规律排列的式子:a 2,25a -,310a,417a -,526a ,…,其中第7个式子是 ,第n 个式子是 (用含的n 式子表示,n 为正整数).三、解答题(本题共30分,每小题5分)17.已知:如图,E 是BC 上一点,AB =EC ,AB ∥CD , BC =CD .求证:AC =ED .18.计算:1012sin 45(2015)3-⎛⎫+--︒+- ⎪⎝⎭π.19.解不等式组:⎪⎩⎪⎨⎧>+->.31222x x x x ,20.已知250x x +-=,求代数式2(1)(3)(2)(2)x x x x x ---++-的值.21.已知关于x 的一元二次方程2630x x k -++=有两个不相等的实数根(1)求k 的取值范围;(2)若k 为大于3的整数,且该方程的根都是整数,求k 的值.22.列方程或方程组解应用题:为了迎接北京和张家口共同申办及举办2020年冬奥会,全长174千米的京张高铁 于2014年底开工. 按照设计,京张高铁列车从张家口到北京最快用时比最慢用时少18 分钟,最快列出时速是最慢列车时速的2920倍,求京张高铁最慢列车的速度是多少?四、解答题(本题共20分,每小题5分)23. 如图,菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,过点D作DE ∥AC 且DE=12AC ,连接 CE 、OE ,连接AE 交OD 于点F .(1)求证:OE =CD ;(2)若菱形ABCD 的边长为2,∠ABC=60°,求AE 的长.24.为防治大气污染,依据北京市压减燃煤相关工作方案,2014年全市燃煤数量比2012年压减450万吨,到2015年、2017年要比2012年分别压减燃煤800万吨、1300万吨.以下是根据相关数据绘制的统计图的一部分:(1)据报道,2012年全市燃煤由四部分组成,其中电厂用煤920万吨,则2012年全市燃煤数量为万吨;(2)请根据以上信息补全2012-2017年全市燃煤数量的折线统计图,并标明相应数据;(3)某地区积极倡导“清洁空气,绿色出行”,大力提升自行车出行比例,小颖收集了该地区近几年公共自行车的有关信息(如下表),发现利用公共自行车出行人数与公共自行车投放数量之间近似成正比例关系.2012-2015年公共自行车投放数量与利用公共自行车出行人数统计表年份公共自行车投放数量(万辆)利用公共自行车出行人数(万人)2012 1.4 约9.92013 2.5 约17.62014 4 约27.62015 5 约根据小颖的发现,请估计,该地区2015年利用公共自行车出行人数(直接写出结果,精确到0.1)25.如图,△ABC内接于⊙O,AB为直径,点D在⊙O上,过点D作⊙O切线与AC的延长线交于点E,ED∥BC,连接AD交BC于点F.(1)求证:∠BAD=∠DAE;(2)若AB=6,AD=5,求DF的长.26.阅读下面材料:小昊遇到这样一个问题:如图1,在△ABC 中,∠ACB =90°, BE 是AC 边上的中线,点D 在BC 边上,CD :BD =1:2,AD 与BE 相交于点P ,求APPD的值. 小昊发现,过点A 作AF ∥BC ,交BE 的延长线于点F ,通过构造△AEF ,经过推理和 计算能够使问题得到解决(如图2). 请回答:APPD的值为 .参考小昊思考问题的方法,解决问题:如图 3,在△ABC 中,∠ACB =90°,点D 在BC 的延长线上,AD 与AC 边上的中线BE 的延长线交于点P ,DC :BC :AC =1:2:3 . (1)求APPD的值; (2)若CD=2,则BP = .五、解答题(本题共22分,第27题7分,第28题7分,第29题8分) 27.如图,将抛物线M 1: x ax y 42+=向右平移3个单位,再向上平移3个单位,得到抛物线M 2,直线x y =与M 1 的一个交点记为A ,与M 2的一个交点记为B ,点A 的 横坐标是-3. (1)求a 的值及M 2的表达式;(2)点C 是线段AB 上的一个动点,过点C 作x 轴的垂线,垂足为D ,在CD 的右侧作正方形CDEF . ①当点C 的横坐标为2时,直线n x y +=恰好经过 正方形CDEF 的顶点F ,求此时n 的值;②在点C 的运动过程中,若直线n x y +=与正方形CDEF 始终没有公共点,求n 的 取值范围(直接写出结果).图1图2图328.在△ABC 中,∠C =90°,AC =BC ,点D 在射线BC 上(不与点B 、C 重合),连接AD ,将AD 绕点D 顺时针旋转90°得到DE ,连接BE . (1)如图1,点D 在BC 边上.①依题意补全图1;②作DF ⊥BC 交AB 于点F ,若AC =8,DF =3,求BE 的长;(2)如图2,点D 在BC 边的延长线上,用等式表示线段AB 、BD 、BE 之间的数量关系(直接写出结论).29.定义:对于平面直角坐标系xOy 中的线段PQ 和点M ,在△MPQ 中,当PQ 边上的高为2时,称M 为PQ 的“等高点”,称此时MP +MQ 为PQ 的“等高距离”. (1)若P (1,2),Q (4,2) .①在点A (1,0),B (25,4),C (0,3)中,PQ 的“等高点”是 ;②若M (t ,0)为PQ 的“等高点”,求PQ 的“等高距离”的最小值及此时t 的值.(2)若P (0,0),PQ =2,当PQ 的“等高点”在y 轴正半轴上且“等高距离”最小时,直接写出点Q 的坐标.图1 图2北京市朝阳区九年级综合练习(一)数学试卷答案及评分参考 2015.5一、选择题(本题共30分,每小题3分)二、填空题 (本题共18分,每小题3分) 11. 2≠x12. 2)(3n m -13. 20°14. 3+=x y (答案不惟一)15. 二类16. 750a ,n n an 1)1-(21+⋅+(第一个空1分,第二个空2分)三、解答题(本题共30分,每小题5分) 17. 证明:∵AB ∥CD ,∴∠B=∠DCE . …………………………………………………………………1分 在△ABC 和△ECD 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=分分3-----------------------------------------------2-----------------------------------------------CD BC DCEB EC AB ∴△ABC ≌△ECD . ……………………………………………………………4分 ∴AC =ED . ……………………………………………………………………5分18. 解:原式 =122232+⨯--………………………………………………………4分 =2-.…………………………………………………………………………5分19. ⎪⎩⎪⎨⎧>+->.31222x x x x ,解:解不等式①,得2->x . ………………………………………………………………2分解不等式②,得x <1. ………………………………………………………………4分 ∴不等式组的解集是x <-2<1. …………………………………………………5分20. 解:)2)(2()3()1(2-++---x x x x x=4312222-++-+-x x x x x …………………………………………………3分 =32-+x x . ……………………………………………………………………4分 ∵052=-+x x , ∴52=+x x .∴原式=5-3=2. ……………………………………………………………………5分 21. 解:(1))3(4)6(2+--=∆k ………………………………………………………1分① ②12436--=k 244+-=k∵原方程有两个不相等的实数根, ∴0244>+-k .解得 6<k . ………………………………………………………………2分(2)∵6<k 且k 为大于3的整数,∴=k 4或5. ………………………………………………………………………3分① 当=k 4时,方程0762=+-x x 的根不是整数.∴=k 4不符合题意. ………………………………………………………… 4分② 当=k 5时,方程0862=+-x x 根为21=x ,42=x 均为整数.∴=k 5符合题意. ……………………………………………………………5分 综上所述,k 的值是5.22. 解:设京张高铁最慢列车的速度是x 千米/时. …………………………………………1分由题意,得60182029174-174=x x . ……………………………………………2分 解得 180=x . ……………………………………………3分 经检验,180=x 是原方程的解,且符合题意. ………………………………4分答:京张高铁最慢列车的速度是180千米/时. ……………………………………5分 四、解答题(本题共20分,每小题5分) 23. (1)证明:在菱形ABCD 中,OC=12AC . ∴DE=OC . ∵DE ∥AC ,∴四边形OCED 是平行四边形.…………………………………………1分 ∵AC ⊥BD ,∴平行四边形OCED 是矩形. …………………………………………2分 ∴OE =CD .…………………………………………………………………3分(2)在菱形ABCD 中,∠ABC=60°,∴AC=AB=2. ∴在矩形OCED 中,CE =………………4分 在Rt △ACE 中,=………………………………………………………5分24.(1)2300. ………………1分 (2)如图. …………… 3分 (3)35.0±0.5. ……………5分25.解:(1)连接OD ,∵ED 为⊙O 的切线,∴OD ⊥ED .……………………………………………………………………………1分 ∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ACB =90°. ………………………………………………………………………… 2分 ∵BC ∥ED ,∴∠ACB =∠E =∠EDO . ∴AE ∥OD . ∴∠DAE =∠ADO . ∵OA =OD , ∴∠BAD =∠ADO .∴∠BAD =∠DAE . ………………………………3分 (2)连接BD , ∴∠ADB =90°. ∵AB =6,AD =5,∴BD =……………………………………………………………4分 ∵∠BAD =∠DAE =∠CBD ,∴tan ∠CBD = tan ∠BAD . 在Rt △BDF 中, ∴DF =BD ·tan ∠CBD =115. ……………………………………………………………5分 26. 解:PD AP 的值为23. …………………………………………………………………1分 解决问题:(1)过点A 作AF ∥DB ,交BE 的延长线于点F ,……………………………………2分设DC =k ,∵DC ︰BC =1︰2, ∴BC =2k .∴DB =DC +BC =3k . ∵E 是AC 中点, ∴AE =CE . ∵AF ∥DB , ∴∠F =∠1. 又∵∠2=∠3,∴△AEF ≌△CEB . ……………………………………………………………3分 ∴AF =BC =2k . ∵AF ∥DB , ∴△AFP ∽△DBP . ∴DBAFPD AP =.∴32=PD AP . …………………………………………………………………4分 (2) 6. ……………………………………………………………………………5分 五、解答题(本题共22分,第27题7分,第28题7分,第29题8分) 27. 解:(1)∵ 点A 在直线x y =,且点A 的横坐标是-3,∴ A (-3,-3) . ………………………………………………………………1分 把A (-3,-3)代入x ax y 42+=,解得a =1. … …………………………………………………………………2分 ∴M 1 : x x y 42+=,顶点为(-2,-4) . ∴M 2的顶点为(1,-1) .∴M 2的表达式为x x y 2-2=. …………3分(2)①由题意,C (2,2),∴F (4,2) . ………………………………4分 ∵直线n x y +=经过点F , ∴2=4+n .解得n =-2. ………………………5分② n >3,n <-6. …………… …7分 28.解:(1)①补全图形,如图1所示. ………………………1分②由题意可知AD =DE ,∠ADE =90°. ∵DF ⊥BC , ∴∠FDB =90°.∴∠ADF =∠EDB . ……………………………………2分 ∵∠C =90°,AC =BC , ∴∠ABC =∠DFB =90°. ∴DB =DF .∴△ADF ≌△EDB . ……………………………………3分 ∴AF =EB .在△ABC 和△DFB 中, ∵AC =8,DF =3,∴AC=,DF=. ………………………………………………………………4分 AF =AB -BF=即BE=. …………………………………………………………………………5分 (2=BE +AB. ……………………………………………………………………7分29. 解:(1)A 、B ……………………………………………………………………………2分(2)如图,作点P 关于x 轴的对称点P ′,连接P ′Q ,P ′Q 与x 轴的交点即为“等高点”图111 M ,此时“等高距离”最小,最小值为线段P ′Q 的长. ………………………3分 ∵P (1,2),∴ P ′ (1,-2).设直线P ′Q 的表达式为b kx y +=,根据题意,有⎩⎨⎧=+-=+242b k b k ,解得⎪⎩⎪⎨⎧-==31034b k .∴直线P ′Q 的表达式为31034-=x y . ……………4分当0=y 时,解得25=x . 即25=t . ………………………………………………………………………5分根据题意,可知PP ′=4,P Q =3, P Q ⊥PP ′, ∴5''22=+=PQ PP Q P .∴“等高距离”最小值为5. …………………………………………………6分(3)Q (554,552)或Q (554-,552). ………………………………8分。
2015 朝阳高三一模 数学 文 答案
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答案:B 解析:{}(){},,,U A B a b c C A B d ==答案:D解析:命题的否定要注意“全称量词更改为存在量词,否定原命题的结论” 答案:C解析:双曲线22122x y -= 的右焦点是()2,0 ,抛物线22(0)y px p =>的焦点,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 故4p =答案:B答案:A解析:11133log 2log 10x =<=,12221x -==<,作出函数31,log 3xy y x ⎛⎫== ⎪⎝⎭的图像:可知31x >答案:C解析:ππ()2sin()cos()sin 2663f x x x x π⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭,当232x k πππ-=+时,即512x k ππ=+为此函数对称轴答案:D解析:作出可行域:当2t = 时恰好满足3z x y =+ 的最大值为5,此时z 的最小值是-1答案:A解析:如图所示由题可知HM CM x == 3MG DM x ==-()()211121133326322C GMH V HM CM GM x x x x x -=⋅⋅=⋅-=⋅⋅⋅-当且仅当11322x x x==- 即2x =时体积取得最大值23 由此可以判断A 为正确选项答案:i解析:()()()()1i 1i 1i 1i 1i 1i i+⋅++==--⋅+答案:32解析:()213122a a b a a b ⋅+=+⋅=+=答案:90︒解析:根据题意作图:易知所求角为直角答案:,解析:由题作出直观图:其体积为113V ==最大侧面积为4AOB S =答案:解析:稿酬为4000元时,应纳税额为(4000-800)×20%×(1-30%)=448>280故纳税额280元的稿酬低于4000元,根据公式可知,此人稿酬2800元答案:3解析:如图所示,当2a < 时,函数值域为1,2a ⎡⎤⎣⎦ 其区间长度大于3;当2a ≤ 时,函数值域为[]1,4 其区间长度等于3,故区间[],m n 的长度的最小值是3答案:(Ⅰ)4(Ⅱ)解析:(Ⅰ)因为cos B =,(0,)B ∈π,又22sin cos 1B B +=,所以sin 3B =.由正弦定理得,sin sin AC BCB A =.所以=. 所以4AC =. ……… 6分(Ⅱ)在ABC ∆中,sin sin(60)C B =+sin cos60cos sin 60B B =+1sin 22B B=+=12=.所以1sin 2ABC S AC BC C ∆=⋅=1462⨯⨯⨯= ……13分答案:(Ⅰ)乙校的数学成绩整体水平较高(Ⅱ)25解析:(Ⅰ)从茎叶图可以看出,乙校10名学生的考试成绩的平均分高于甲校10名学生的考试成绩平均分,故乙校的数学成绩整体水平较高. ……… 4分 (Ⅱ)设事件M :分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的同学,抽到的学生中,甲校学生成绩高于乙校学生成绩.由茎叶图可知,甲校成绩不低于90分的同学有2人,从小到大依次记为12,A A ;乙校成绩不低于90分的同学有5人,从小到大依次记为12345,,,,B B B B B .其中121234592,93,90,91,95,96,98.A A B B B B B =======分别从甲、乙两校各随机抽取1名成绩不低于90分的同学共有11121314152122232425,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B 这10种可能.其中满足“抽到的学生中,甲校学生成绩高于乙校学生成绩”共有11122122,,,A B A B A B A B 这4种可能.所以42()105P M ==.即分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的同学,抽到的学生中,甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率为25. ……… 13分答案:(Ⅰ)略(Ⅱ)略(Ⅲ)存在 解析:(Ⅰ)证明:因为三棱柱的侧面是正方形, 所以11,CC BC CC AC ^^,BC AC C =I . 所以1CC ^底面ABC .因为BD Ì底面ABC ,所以1CC BD ^.由已知可得,底面ABC 为正三角形. 因为D 是AC 中点,所以BD AC ^. 因为1AC CC C ?,所以BD ^平面11ACC A . ……… 5分(Ⅱ)证明:如图,连接1B C 交1BC 于点O ,连接OD .显然点O 为1B C 的中点.因为D 是AC 中点, 所以1//AB OD .又因为OD Ì平面1BC D ,1AB Ë平面1BC D ,所以直线1//AB 平面1BC D . ……… 10分(Ⅲ)在D D BC 1内的平面区域(包括边界)存在一点E ,使CE ⊥DM .此时点E 是在线段1C D 上.证明如下: 过C 作1CE C D ⊥交线段1C D 于E ,C 1ABCDA 1B 1MEA BCDA 1B 1C 1O由(Ⅰ)可知BD ^平面11ACC A ,而CE ⊂平面11ACC A ,所以BD CE ^. 又1CE C D ⊥,1BD C D D =I ,所以CE ^平面D BC 1.又DM ⊂平面D BC 1,所以CE ⊥DM . ……… 14分答案:(Ⅰ)24a =,38a =,416a =.(Ⅱ)4,1,2, 2.n nn a n =⎧=⎨≥⎩(Ⅲ)316(2)2n n T n +=+-⨯解析:(Ⅰ)解:因为14a =,1n n a S +=,所以2114a S a ===,3212448a S a a ==+=+=,4312344816a S a a a ==++=++=. ……… 3分(Ⅱ)当2n ≥时,11222n n nn n n a S S +-=-=-=.又当1n =时,114a S ==.所以4,1,2, 2.n nn a n =⎧=⎨≥⎩ ……… 6分 (Ⅲ)依题意,224b a ==,338b a ==.则由11428b d b d +=⎧⎨+=⎩得,10b =,4d =,则4(1)n b n =-. 所以20,1,(1)2, 2.n n n n a b n n +=⎧⋅=⎨-≥⎩ 所以2(1)2(*)n n n a b n n +⋅=-∈N . 因为n T =1122334411...n n n n a b a b a b a b a b a b --++++++456120122232...(2)2(1)2n n n n ++=+⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯,所以567232122232...(2)2(1)2n n n T n n ++=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯. 所以4567232222...2(1)2n n n T n ++-=+++++--⨯41332(12)(1)216(2)212n n n n n -++-=--⨯=---⨯- .所以316(2)2n n T n +=+-⨯. ……… 13分答案:(Ⅰ)22162x y +=(Ⅱ)2)y x =-解析:(Ⅰ)由题意可得2222,,c c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得a =b =故椭圆的方程为22162x y +=. ……… 5分(Ⅱ)由题意可知直线l 斜率存在,设其方程为(2)y k x =-,点11(,)A x y ,22(,)B x y ,33(,)M x y ,33(,)N x y --,由221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)121260k x k x k +-+-=,所以21221213k x x k +=+. 因为121224(4)13ky y k x x k -+=+-=+,所以AB 中点22262(,)1313k k D k k -++.因此直线OD 方程为30x ky +=()0k ¹.由2230,1,62x ky x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得232213y k =+,333x ky =-. 因为四边形12MF NF 为矩形,所以220F M F N ⋅=,即3333(2,)(2,)0x y x y -⋅---=.所以223340x y --=. 所以222(91)4013k k +-=+.解得k =.故直线l的方程为2)y x =-. ……… 14分答案:(Ⅰ)2e e =0x y --(Ⅱ)略(Ⅲ))0a >解析:函数()f x 定义域为{0}x x ≠,322()e xx x ax a f x x ++-'=.(Ⅰ)当0a =时,()e x f x x =⋅,()f x '=(1)e xx +.所以(1)e,(1)2e f f '==.所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是e 2e(1)y x -=-, 即2e e =0x y --. ……… 3分(Ⅱ) 当1a =-时,()f x '=3221e xx x x x +-+.设()g x =321x x x +-+,则2()321(31)(1)g x x x x x '=+-=-+. 令()(31)(1)0g x x x '=-+>得,13x >或1x <-,注意到0x >,所以13x >.令()(31)(1)0g x x x '=-+<得,注意到0x >,得103x <<.所以函数()g x 在1(0,)3上是减函数,在1(,)3+∞上是增函数.所以函数()g x 在13x =时取得最小值,且122()0327g =>.所以()g x 在(0,)+∞上恒大于零.于是,当(0,)x ∈+∞,()f x '=3221e 0xx x x x +-+>恒成立.所以当1a =-时,函数()f x 在()0,+∞上为增函数. ……… 7分(Ⅱ)问另一方法提示:当1a =-时,()f x '=3221e xx x x x +-+.由于3210x x x +-+>在()0,+∞上成立,即可证明函数()f x 在()0,+∞上为增函数.(Ⅲ)(Ⅱ)322()e ()xx x ax af x x ++-'=.设()h x =32x x ax a ++-,2()32h x x x a '=++. 当0a >时,()0h x '>在(0,)+∞上恒成立,即函数()h x 在(0,)+∞上为增函数.而(0)0h a =-<,(1)20h =>,则函数()h x 在区间()0,1上有且只有一个零点0x ,使0()0f x '=,且在0(0,)x 上,()0f x ¢<,在()0,1x 上,()0f x ¢>,故0x 为函数()f x 在区间()0,1上唯一的极小值点;(2)当0a =时,当x Î()0,1时,2()320h x x x '=+>成立,函数()h x 在区间()0,1上为增函数,又此时(0)0h =,所以函数()0h x >在区间()0,1恒成立,即()0f x ¢>,故函数()f x 在区间()0,1为单调递增函数,所以()f x 在区间()0,1上无极值;(3)当0a <时,()h x =3232(1)x x ax a x x a x ++-=++-. 当()0,1x ∈时,总有()0h x >成立,即()0f x '>成立,故函数()f x 在区间()0,1上为单调递增函数,所以()f x 在区间()0,1上无极值.综上所述0a >. ……… 13分。
2015年北京市朝阳区高三第一学期期末数学(理)试题及答案
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北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷(理工类) 2015.1(考试时间120分钟 满分150分)本试卷分为选择题(共40分)和非选择题(共110分)两部分第一部分(选择题 共40分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.设i 为虚数单位,则复数1iiz +=在复平面内对应的点所在的象限是 A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限2. 过抛物线24y x =的焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点.若AB 中点M 到抛物线准线的距离为6,则线段AB 的长为 A .6 B .9 C .12 D .无法确定 3.设函数()sin(2)3f x x π=-的图象为C ,下面结论中正确的是 A .函数()f x 的最小正周期是2πB .图象C 关于点(,0)6π对称C .图象C 可由函数()sin 2g x x =的图象向右平移3π个单位得到 D .函数()f x 在区间(,)2ππ-12上是增函数 4.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的全面积是A .4+ B .8 C .4+ D.5.αβ,表示不重合的两个平面,m ,l 表示不重合的两条直线.若m αβ=,l α⊄,l β⊄,则“l ∥m ”是“l ∥α且l ∥β”的 A .充分且不必要条件 B .必要且不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件6.在ABC ∆中,π4B =,则sin sin A C ⋅的最大值是 AB .34 CD7.点O 在ABC ∆的内部,且满足24OA OB OC ++=0,则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积之比是A.72 B. 3 C.52D.28.设连续正整数的集合{}1,2,3,...,238I =,若T 是I 的子集且满足条件:当x T ∈时,7x T ∉,则集合T 中元素的个数最多是( ) A.204 B. 207 C. 208 D.209第二部分(非选择题 共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡上.9.角α的顶点在坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边经过点(1,2)P ,则sin(π)α-的值是 .10.双曲线22:C x y λ-=(0λ>)的离心率是 ;渐近线方程是 .11.设不等式组240,0,0x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩表示平面区域为D ,在区域D 内随机取一点P ,则点P 落在圆221x y +=内的概率为 .12.有一口大钟每到整点就自动以响铃的方式报时,1点响1声,2点响2声,3点响3声,……,12点响12声(12时制),且每次报时时相邻两次响铃之间的间隔均为1秒.在一次大钟报时时,某人从第一声铃响开始计时,如果此次是12点的报时,则此人至少需等待 秒才能确定时间;如果此次是11点的报时,则此人至少需等待 秒才能确定时间. 13.在锐角AOB 的边OA 上有异于顶点O 的6个点,边OB 上有异于顶点O 的4个点,加上点O ,以这11个点为顶点共可以组成 个三角形(用数字作答).14.已知函数1sin π()()ππx xxf x x -=∈+R .下列命题:①函数()f x 既有最大值又有最小值;②函数()f x 的图象是轴对称图形;③函数()f x 在区间[π,π]-上共有7个零点;④函数()f x 在区间(0,1)上单调递增.其中真命题是 .(填写出所有真命题的序号)三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分13分)退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了解某城市市民的年龄构成,从该城市市民中随机抽取年龄段在20~80岁(含20岁和80岁)之间的600人进行调查,并按年龄层次[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]绘制频率分布直方图,如图所示.若规定年龄分布在[20,40)岁的人为“青年人”,[40,60)为“中年人”, [60,80]为“老年人”.(Ⅰ)若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替,试估算所调查的600人的平均年龄;(Ⅱ)将上述人口分布的频率视为该城市在20-80年龄段的人口分布的概率.从该城市20-80年龄段市民中随机抽取3人,记抽到“老年人”的人数为X ,求随机变量X 的分布列和数学期望.16.(本小题满分14分)如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是正方形,侧面PAB ⊥底面ABCD , PA AB =,点E 是PB 的中点,点F 在边BC 上移动.(Ⅰ)若F 为BC 中点,求证:EF //平面PAC ;(Ⅱ)求证:AE PF ⊥;F 在边BC 上的位置,并说明理由.17.(本小题满分13分)若有穷数列1a ,2a ,3,,m a a (m 是正整数)满足条件:1(1,2,3,,)i m i a a i m -+==,则称其为“对称数列”.例如,1,2,3,2,1和1,2,3,3,2,1都是“对称数列”.(Ⅰ)若}{n b 是25项的“对称数列”,且,13b ,14b 15,b ,25b 是首项为1,公比为2的等比数列.求}{n b 的所有项和S ;(Ⅱ)若}{n c 是50项的“对称数列”,且,26c ,27c 28,c ,50c 是首项为1,公差为2的等差数列.求}{n c 的前n 项和n S ,150,n n *≤≤∈N .18.(本小题满分13分)设函数2e (),1ax f x a x =∈+R .(Ⅰ)当35a =时,求函数)(x f 的单调区间;(Ⅱ)设()g x 为()f x 的导函数,当1[,2e]e x ∈时,函数()f x 的图象总在()g x 的图象的上方,求a 的取值范围.19.(本小题满分14分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点A 的两条斜率乘积为14-的直线分别交椭圆C 于,M N 两点.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;(Ⅱ)直线MN 是否过定点D ?若过定点D ,求出点D 的坐标;若不过,请说明理由. 20.(本小题满分13分)已知函数123()()()()f x x x x x x x =---,1x ,2x ,3x ∈R ,且123x x x <<.(Ⅰ)当10x =,21x =,32x =时,若方程()f x mx =恰存在两个相等的实数根,求实数m 的值;(Ⅱ)求证:方程()0f x '=有两个不相等的实数根;(Ⅲ)若方程()0f x '=的两个实数根是,αβ()αβ<,试比较122x x +与,αβ的大小并说明理由.北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期末统一考试数学答案(理工类) 2015.1一、选择题(满分40分)二、填空题(满分30分)(注:两空的填空,第一空3分,第二空2分)15.(本小题满分13分)解:(Ⅰ)由题意估算,所调查的600人的平均年龄为: 250.1350.2450.3550.2650.1750.148⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(岁)….…..4分(Ⅱ)由频率分布直方图可知,“老年人”所占的频率为15.所以从该城市20~80年龄段市民中随机抽取1人,抽到“老年人”的概率为15.依题意,X 的可能取值为0,1,2,3.00331464(0)()()55125P X C ===,1231448(1)()()55125P X C ===,2231412(2)()()55125P X C ===,3303141(3)()()55125P X C ===D P C B FA E 0.02因此,随机变量X 的数学期望64481213()01231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.……………..13分 16. (本小题满分14分)(Ⅰ)证明:在PBC ∆中,因为点E 是PB 中点,点F 是BC 中点,所以EF //PC .又因为EF ⊄平面PAC ,PC ⊂平面PAC ,所以EF //平面PAC .……………..4分 (Ⅱ)证明:因为底面ABCD 是正方形,所以BC AB ⊥.又因为侧面PAB ⊥底面ABCD ,平面PAB 平面ABCD =AB , 且BC ⊂平面ABCD ,所以BC ⊥平面PAB .由于AE ⊂平面PAB ,所以BC AE ⊥.由已知PA AB =,点E 是PB 的中点,所以AE PB ⊥.又因为=PBBC B ,所以AE ⊥平面PBC .因为PF ⊂平面PBC ,所以AE PF ⊥.………..9分(Ⅲ)点F 为边BC 上靠近B 点的三等分点.因为PA AB =,PB =,所以PA AB ⊥.由(Ⅱ)可知,BC ⊥平面PAB .又BC //AD ,所以AD ⊥平面PAB ,即A D P A ⊥,AD AB ⊥ .所以AD ,AB ,AP 两两垂直.分别以AD ,AB ,AP 为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系(如图).不妨设2AB =,BF m =,则(0,0,0)A ,(0,2,0)B ,(0,0,2)P ,(0,1,1)E ,(,2,0)F m .于是(0,1,1)AE =,(,2,0)AF m =.设平面AEF 的一个法向量为(,,)p q r =n ,由0,0,AE AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得0, 20.q r mp q +=⎧⎨+=⎩ 取2p =,则q m =-,r m =,得 (2,,)m m =-n .由于AP AB ⊥,AP AD ⊥,AB AD A =,所以AP ⊥平面ABCD .即平面ABF 的一个法向量为(0,0,2)AP =. 根据题意,11||||4AP AP ⋅==⋅n n ,解得23m =.由于2BC AB ==,所以13BF BC =.即点F 为边BC 上靠近B 点的三等分点.……………..14分17.(本小题满分13分)(Ⅰ)依题意,131,b =142b =,…,1212251322b b =⋅=.则121252b b ==,112242b b ==,...,12142b b ==.则()12121212121()22 (121112)S b b b ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=++++=⨯+-1423=- ……………..6分 (Ⅱ)依题意,502624249c c =+⨯=,因为}{n c 是50项的“对称数列”,所以15049,c c ==24947,c c ==…, 2526 1.c c == 所以当125n ≤≤时,250n S n n =-+;当2650n ≤≤时,251(25)(25)(26)22n S S n n n =+-+⨯--⨯,n S =1250502+-n n .综上,22501255012502650,.n n n n n S n n n n **⎧-+≤≤∈⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩N N ,, ……………..13分 18. (本小题满分13分)(Ⅰ)解:当35a =时,32522e (3103)()5(1)xx x f x x -+'=+.由()0f x '>得231030x x -+>,解得13x <或3x >;由()0f x '<得231030x x -+<,解得133x <<.所以函数)(x f 的单调增区间为1(,)3-∞,(3,)+∞,单调减区间为1(,3)3.…………..5分(Ⅱ)因为222e (2)()()(1)ax ax x a g x f x x -+'==+,又因为函数()f x 的图象总在()g x 的图象的上方,所以()()f x g x >,即2222e e (2)1(1)ax ax ax x a x x -+>++在1[,2e]e x ∈恒成立.又因为2e 01axx >+,所以22(1)2(1)a x x x +-<+,所以2(1)(1)2a x x -+<.又210x +>,所以2211x a x -<+.设22()1x h x x =+,则mi n 1()a h x -< 1([,2e])ex ∈即可.又2222(1)()(1)x h x x -'=+.由2222(1)()0(1)x h x x -'=>+,注意到1[,2e]e x ∈,解得11e x ≤<;由2222(1)()0(1)x h x x -'=<+,注意到1[,2e]e x ∈,解得12e x <≤.所以()h x 在区间1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递增,在区间(]1,2e 单调递减.所以()h x 的最小值为1()e h 或(2e)h .因为212e ()e e 1h =+,24e (2e)4e 1h =+,作差可知224e 2e 4e 1e 1<++,所以24e14e 1a -<+. 所以a 的取值范围是224e 4e+1(,)4e 1+-∞+. ……………..13分 19.(本小题满分14分)解:(Ⅰ)由已知得2221314c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得2241a b ⎧=⎨=⎩.所以椭圆的标准方程为2214x y +=.………..4分 (Ⅱ)直线MN 过定点(0,0)D .说明如下:由(Ⅰ)可知椭圆右顶点(2,0)A .由题意可知,直线AM 和直线AN 的斜率存在且不为0.设直线AM 的方程为(2)y k x =-.由2244(2)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩得2222(14)161640k x k x k +-+-=.42225616(14)(41)160k k k ∆=-+-=>成立,所以22164214M k x k -⋅=+.所以228214M k x k -=+. 所以222824(2)(2)1414M M k k y k x k k k --=-=-=++.于是,点222824(,)1414k kM k k--++.因为直线AM 和直线AN 的斜率乘积为14-,故可设直线AN 的方程为1(2)4y x k =--.同理,易得222218()228411414()4N k k x k k---==++-.所以点222284(,)1414k k N k k -++. 所以,当M N x x ≠时,即12k ≠±时,2214MN k k k =-.直线MN 的方程为22224228()141414k k k y x k k k --=-+-+.整理得2214k y x k =-. 显然直线MN 过定点(0,0)D .(点,M N 关于原点对称)当M N x x =,即12k =±时,直线MN 显然过定点(0,0)D .综上所述,直线MN 过定点(0,0)D . ……………..14分 20.(本小题满分13分)(Ⅰ)当10x =,21x =,32x =时,()(1)(2)f x x x x =--.当(1)(2)x x x mx --=时,即()2320x x x m -+-=.依题意,若方程()f x mx =恰存在两个相等的实数根,包括两种情况:(1)若0x =是一元二次方程2320x x m -+-=的一个实数根,则2m =时,方程()2320x x x m -+-=可化为2(3)0x x -=,恰存在两个相等的实数根0(另一根为3).(2)若一元二次方程2320x x m -+-=有两个相等的实数根,则方程2320x x m -+-=的根的判别式94(2)0m ∆=--=,解得14m =-.此时方程()f x mx =恰存在 两个相等的实数根32(另一根为0).所以当14m =-或2m =时,方程()f x mx =恰存在两个相等的实数根.………4分(Ⅱ)证明:由123()()()()f x x x x x x x =---,可得,()()32123121323123()f x x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-,所以()2123121323()320f x x x x x x x x x x x x '=-+++++=.此一元二次方程的判别式21231213234)12()x x x x x x x x x ∆=++-++(,则()()()2221223312x x x x x x ⎡⎤∆=-+-+-⎣⎦.由123x x x <<可得,0∆>恒成立.所以方程()0f x '=有两个不等的实数根. ………8分 (Ⅲ)122x x αβ+<<.说明如下:由()2123121323()320f x x x x x x x x x x x x '=-+++++=,得 12()2x x f +'=()()212123123()+4x x x x x x x +-+++121323x x x x x x ++()()22121212=044x x x x x x +--=-<.即12()2x x f +'=12123()()022x x x x αβ++--<,由αβ<,得122x xαβ+<<. ………13分。
2015北京市朝阳区高三一模数学(文)
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2015北京市朝阳区高三一模数学试卷(文史类)2015.4(考试时间120分钟满分150分)本试卷分为选择题(共40分)和非选择题(共110分)两部分第一部分(选择题共40分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.(1)已知全集{,,,}U a b c d=,集合{,},{,}A a bB b c==,则()UA Bð等于A.{}b B.{}d C.{,,}a c d D.{,,}a b c答案:B解析:{}(){},,,UA B a b c C A B d==(2)已知命题:p x∀∈R,sin1x≤,则A.:p⌝x∀∈R,sin1x≥B.:p⌝x∀∈R, sin1x>C.:p⌝x∃∈R, 0sin1x≥D.:p⌝x∃∈R,0sin1x>答案:D解析:命题的否定要注意“全称量词更改为存在量词,否定原命题的结论”(3)若抛物线22(0)y px p=>的焦点与双曲线222x y-=的右焦点重合,则p的值为AB.2C.4D.答案:C解析:双曲线22122x y-=的右焦点是()2,0,抛物线22(0)y px p=>的焦点,02p⎛⎫⎪⎝⎭故4 p=(4)如图所示的程序框图表示的算法功能是A .计算123456S =⨯⨯⨯⨯⨯的值B .计算12345S =⨯⨯⨯⨯的值C .计算1234S =⨯⨯⨯的值D .计算1357S =⨯⨯⨯的值 答案:B(5)已知113log 2x =,1222x -=,3x 满足3331()log 3x x =,则A .123x x x <<B .132x x x <<C .213x x x <<第(4)题图D .312x x x << 答案:A解析:11133log 2log 10x =<=,12221x -==<,作出函数31,log 3xy y x ⎛⎫== ⎪⎝⎭的图像:可知31x >(6)函数ππ()2sin()cos()66f x x x =--图象的一条对称轴方程是 A .π6x = B .π3x = C .5π12x = D .2π3x =答案:C解析:ππ()2sin()cos()sin 2663f x x x x π⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭,当232x k πππ-=+时,即512x k ππ=+为此函数对称轴(7)已知实数x ,y 满足20,20,0,x y x y y t +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩其中0t >.若3z x y =+的最大值为5,则z 的最小值为A .52 B .1 C .0 D .1-答案:D解析:作出可行域:当2t = 时恰好满足3z x y =+ 的最大值为5,此时z 的最小值是-1(8)已知边长为3的正方形ABCD 与正方形CDEF 所在的平面互相垂直,M 为线段CD 上的动点(不含端点),过M 作//MH DE 交CE 于H ,作//MG AD 交BD 于G ,连结GH .设CM x =(03)x <<,则下面四个图象中大致描绘了三棱锥C GHM -的体积y 与变量x 变化关系的是A .B .C .D .答案:A解析:如图所示由题可知HM CM x == 3MG DM x ==-()()211121133326322C GMH V HM CM GM x x x x x -=⋅⋅=⋅-=⋅⋅⋅-当且仅当11322x x x==- 即2x =时体积取得最大值23 由此可以判断A 为正确选项(非选择题 共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡上.(9)i 为虚数单位,计算1i1i +-=i .答案:i解析:()()()()1i 1i 1i 1i 1i 1i i +⋅++==--⋅+(10)已知平面向量a ,b 满足1==a b ,a 与b 的夹角为60︒,则()⋅+=a a b . 答案:32解析:()213122a a b a a b ⋅+=+⋅=+=(11)圆22:(2)(2)8C x y-+-=与y轴相交于,A B两点,则弦AB所对的圆心角的大小为.答案:90︒解析:根据题意作图:易知所求角为直角(12)一个四棱锥的三视图如图所示,其中侧视图为正三角形,则该四棱锥的体积是,四棱锥侧面中最大侧面的面积是.答案:6,4第(12)题图正视图侧视图俯视图解析:由题作出直观图:其体积为113V ==最大侧面积为AOBS=(13)稿酬所得以个人每次取得的收入,定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额,每次收入不超过4000元,定额减除费用800元;每次收入在4000元以上的,定率减除20%的费用.适用20%的比例税率,并按规定对应纳税额减征30%,计算公式为: (1)每次收入不超过4000元的:应纳税额=(每次收入额-800)×20%×(1-30%) (2)每次收入在4000元以上的:应纳税额=每次收入额×(1-20%)×20%×(1-30%). 已知某人出版一份书稿,共纳税280元,这个人应得稿费(扣税前)为2800元. 答案:解析:稿酬为4000元时,应纳税额为(4000-800)×20%×(1-30%)=448>280 故纳税额280元的稿酬低于4000元,根据公式可知,此人稿酬2800元(14)记12x x -为区间12[,]x x 的长度.已知函数2xy =,x ∈[]2,a -(0a ≥),其值域为[],m n ,则区间[],m n 的长度的最小值是3.答案:3解析:如图所示,当2a < 时,函数值域为1,2a ⎡⎤⎣⎦ 其区间长度大于3;当2a ≤ 时,函数值域为[]1,4 其区间长度等于3,故区间[],m n 的长度的最小值是3三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.(15)(本小题满分13分)在ABC ∆中,π3A =,cos B =,6BC =.(Ⅰ)求AC 的长; (Ⅱ)求ABC ∆的面积. 答案:(Ⅰ)4(Ⅱ)解析:(Ⅰ)因为cos B =,(0,)B ∈π,又22sin cos 1B B +=,所以sin 3B =.由正弦定理得,sin sin AC BCB A =.所以=. 所以4AC =. ……… 6分(Ⅱ)在ABC ∆中,sin sin(60)C B =+sin cos60cos sin 60B B =+1sin 2B B ==12323⨯=6.所以1sin 2ABC S AC BC C ∆=⋅=1462⨯⨯⨯6= ……13分(16)(本小题满分13分)某次考试结束后,为了解甲、乙两所学校学生的数学考试情况,随机抽取甲、乙两校各10名学生的考试成绩,得茎叶图如图所示(部分数据不清晰):(Ⅰ)请根据茎叶图判断哪个学校的数学成绩平均水平较高(直接写出结果);(Ⅱ)若在抽到的这20名学生中,分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的学生,求抽到的学生中, 甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率.答案:(Ⅰ)乙校的数学成绩整体水平较高(Ⅱ)25解析:(Ⅰ)从茎叶图可以看出,乙校10名学生的考试成绩的平均分高于甲校10名学生的考试成绩平均分,故乙校的数学成绩整体水平较高. ……… 4分 (Ⅱ)设事件M :分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的同学,抽到的学生中,甲校学生成绩高于乙校学生成绩.由茎叶图可知,甲校成绩不低于90分的同学有2人,从小到大依次记为12,A A ;乙校成绩不低于90分的同学有5人,从小到大依次记为12345,,,,B B B B B .其中121234592,93,90,91,95,96,98.A A B B B B B =======分别从甲、乙两校各随机抽取1名成绩不低于90分的同学共有11121314152122232425,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B 这10种可能.其中满足“抽到的学生中,甲校学生成绩高于乙校学生成绩”共有11122122,,,A B A B A B A B 这4种可能.所以42()105P M ==.即分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的同学,抽到的学生中,甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率为25. ……… 13分(17)(本小题满分14分) 如图,在三棱柱111C B A ABC -中,各个侧面均是边长为2的正方形,D 为线段AC 的中点.(Ⅰ)求证:BD ⊥平面11A ACC ; (Ⅱ)求证:直线1AB ∥平面D BC 1; (Ⅲ)设M 为线段1BC 上任意一点,在D D BC 1内的平面区域(包括边界)是否存在点E ,使CE ⊥DM ,并说明理由.答案:(Ⅰ)略(Ⅱ)略(Ⅲ)存在解析:(Ⅰ)证明:因为三棱柱的侧面是正方形, 所以11,CC BC CC AC ^^,BC AC C =I . 所以1CC ^底面ABC .ABCDA 1B 1C 1因为BD Ì底面ABC ,所以1CC BD ^.由已知可得,底面ABC 为正三角形. 因为D 是AC 中点,所以BD AC ^. 因为1AC CC C ?,所以BD ^平面11ACC A . ……… 5分(Ⅱ)证明:如图,连接1B C 交1BC 于点O ,连接OD .显然点O 为1B C 的中点.因为D 是AC 中点, 所以1//AB OD .又因为OD Ì平面1BC D ,1AB Ë平面1BC D ,所以直线1//AB 平面1BC D . ……… 10分(Ⅲ)在DD BC 1内的平面区域(包括边界)存在一点E ,使CE ⊥DM .此时点E 是在线段1C D 上.证明如下: 过C 作1CE C D ⊥交线段1C D 于E ,由(Ⅰ)可知BD ^平面11ACC A ,而CE ⊂平面11ACC A ,所以BD CE ^. 又1CE C D ⊥,1BD C D D =I ,所以CE ^平面D BC 1.ABCDA 1B 1C 1O C 1ABCDA 1B 1ME又DM ⊂平面D BC 1,所以CE ⊥DM . ……… 14分(18)(本小题满分13分) 设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且14a =,1n n a S +=,n *∈N .(Ⅰ)写出2a ,3a ,4a 的值;(Ⅱ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅲ)已知等差数列{}n b 中,有22b a =, 33b a =,求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .答案:(Ⅰ)24a =,38a =,416a =.(Ⅱ)4,1,2, 2.n nn a n =⎧=⎨≥⎩(Ⅲ)316(2)2n n T n +=+-⨯解析:(Ⅰ)解:因为14a =,1n n a S +=,所以2114a S a ===,3212448a S a a ==+=+=,4312344816a S a a a ==++=++=. ……… 3分(Ⅱ)当2n ≥时,11222n n nn n n a S S +-=-=-=.又当1n =时,114a S ==.所以4,1,2, 2.n nn a n =⎧=⎨≥⎩ ……… 6分 (Ⅲ)依题意,224b a ==,338b a ==.则由11428b d b d +=⎧⎨+=⎩得,10b =,4d =,则4(1)n b n =-. 所以20,1,(1)2, 2.n n n n a b n n +=⎧⋅=⎨-≥⎩ 所以2(1)2(*)n n n a b n n +⋅=-∈N . 因为n T =1122334411...n n n n a b a b a b a b a b a b --++++++456120122232...(2)2(1)2n n n n ++=+⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯,所以567232122232...(2)2(1)2n n n T n n ++=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯.所以4567232222...2(1)2n n n T n ++-=+++++--⨯41332(12)(1)216(2)212n n n n n -++-=--⨯=---⨯- .所以316(2)2n n T n +=+-⨯. ……… 13分(19)(本小题满分14分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点分别为12(2,0),(2,0)F F -,离心率为3.过焦点2F 的直线l (斜率不为0)与椭圆C 交于,A B 两点,线段AB 的中点为D ,O为坐标原点,直线OD 交椭圆于,M N 两点.(Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)当四边形12MF NF 为矩形时,求直线l 的方程.答案:(Ⅰ)22162x y +=(Ⅱ)2)y x =-解析:(Ⅰ)由题意可得2222,,c c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得a =b =故椭圆的方程为22162x y +=. ……… 5分(Ⅱ)由题意可知直线l 斜率存在,设其方程为(2)y k x =-,点11(,)A x y ,22(,)B x y ,33(,)M x y ,33(,)N x y --,由221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)121260k x k x k +-+-=,所以21221213k x x k +=+. 因为121224(4)13ky y k x x k -+=+-=+,所以AB 中点22262(,)1313k k D k k -++.因此直线OD 方程为30x ky +=()0k ¹.由2230,1,62x ky x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得232213y k =+,333x ky =-. 因为四边形12MF NF 为矩形,所以220F M F N ⋅=,即3333(2,)(2,)0x y x y -⋅---=.所以223340x y --=. 所以222(91)4013k k +-=+.解得k =.故直线l的方程为2)y x =-. ……… 14分(20)(本小题满分13分)已知函数()()e xaf x x x =+,a ∈R . (Ⅰ)当0a =时,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程; (Ⅱ)当1a =-时,求证:()f x 在(0,)+∞上为增函数;(Ⅲ)若()f x 在区间(0,1)上有且只有一个极值点,求a 的取值范围. 答案:(Ⅰ)2e e =0x y --(Ⅱ)略(Ⅲ))0a >解析:函数()f x 定义域为{0}x x ≠,322()e xx x ax a f x x ++-'=.(Ⅰ)当0a =时,()e x f x x =⋅,()f x '=(1)e xx +.所以(1)e,(1)2e f f '==.所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是e 2e(1)y x -=-, 即2e e =0x y --. ……… 3分(Ⅱ) 当1a =-时,()f x '=3221e xx x x x +-+.设()g x =321x x x +-+,则2()321(31)(1)g x x x x x '=+-=-+. 令()(31)(1)0g x x x '=-+>得,13x >或1x <-,注意到0x >,所以13x >.令()(31)(1)0g x x x '=-+<得,注意到0x >,得103x <<.所以函数()g x 在1(0,)3上是减函数,在1(,)3+∞上是增函数.所以函数()g x 在13x =时取得最小值,且122()0327g =>.所以()g x 在(0,)+∞上恒大于零.于是,当(0,)x ∈+∞,()f x '=3221e 0xx x x x +-+>恒成立.所以当1a =-时,函数()f x 在()0,+∞上为增函数. ……… 7分(Ⅱ)问另一方法提示:当1a =-时,()f x '=3221e xx x x x +-+.由于3210x x x +-+>在()0,+∞上成立,即可证明函数()f x 在()0,+∞上为增函数. (Ⅲ)(Ⅱ)322()e ()xx x ax af x x ++-'=.设()h x =32x x ax a ++-,2()32h x x x a '=++.当0a >时,()0h x '>在(0,)+∞上恒成立,即函数()h x 在(0,)+∞上为增函数.而(0)0h a =-<,(1)20h =>,则函数()h x 在区间()0,1上有且只有一个零点0x ,使0()0f x '=,且在0(0,)x 上,()0f x ¢<,在()0,1x 上,()0f x ¢>,故0x 为函数()f x 在区间()0,1上唯一的极小值点;(2)当0a =时,当x Î()0,1时,2()320h x x x '=+>成立,函数()h x 在区间()0,1上为增函数,又此时(0)0h =,所以函数()0h x >在区间()0,1恒成立,即()0f x ¢>,故函数()f x 在区间()0,1为单调递增函数,所以()f x 在区间()0,1上无极值;(3)当0a <时,()h x =3232(1)x x ax a x x a x ++-=++-. 当()0,1x ∈时,总有()0h x >成立,即()0f x '>成立,故函数()f x 在区间()0,1上为单调递增函数,所以()f x 在区间()0,1上无极值.综上所述0a >. ……… 13分。
2015届高考数学一轮总复习 阶段性测试题10(统计与概率)
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阶段性测试题十(统计与概率)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.(文)某学校进行问卷调查,将全校4200名同学分为100组,每组42人按1~42随机编号,每组的第34号同学参与调查,这种抽样方法是()A.简单随机抽样B.分层抽样C.系统抽样D.分组抽样[答案] C(理)(2013·郑州质量预测)已知随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),P(ξ≤4)=0.84,则P(ξ≤-2)=()A.0.16B.0.32C.0.68 D.0.84[答案] A[解析]因为ξ服从正态分布N(1,σ2),所以P(ξ≤4)=P(ξ≥-2)=0.84,故P(ξ≤-2)=1-P(ξ≥-2)=1-0.84=0.16.2.(2014·武汉市调研)以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分)已知甲组数据的平均数为17,乙组数据的中位数为17,则x,y的值分别为()A.2,6 B.2,7C.3,6 D.3,7[答案] D[解析]x=17×5-(9+12+10+27+24)=3,∵15<10+y<18且中位数为17,∴y=7,故选D.3.(文)(2014·银川九中一模)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )A.110B.310 C.35 D.910[答案] D[解析] 将3个红球记作A 、B 、C,2个白球记作D 、E ,从中任取3个球,不同的取法有(A ,B ,C ),(A ,B ,D ),(A ,B ,E ),(A ,C ,D ),(A ,C ,E ),(A ,D ,E ),(B ,C ,D ),(B ,C ,E ),(B ,D ,E ),(C ,D ,E ),共10种,其中所取3个球全是红球的只有1种,∴所求概率P =1-110=910,故选D.(理)(2014·合肥八中联考)将4个颜色互不相同的球全部收入编号为1和2的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有( )A .10种B .20种C .36种D .52种[答案] A[解析] 根据2号盒子里放球的个数分类:第一类,2号盒子里放2个球,有C 24种放法,第二类,2号盒子里放3个球,有C 34种放法,剩下的小球放入1号盒中,共有不同放球方法C 24+C 34=10种.4.(文)(2014·华安、连城、永安、漳平、泉港一中,龙海二中六校联考)设函数f (x )=-x +2,x ∈[-5,5].若从区间[-5,5]内随机选取一个实数x 0,则所选取的实数x 0满足f (x 0)≤0的概率为( )A .0.5B .0.4C .0.3D .0.2 [答案] C[解析] 令f (x 0)≤0得x 0≥2,∴所求概率P =5-25-(-5)=0.3,故选C.(理)(2014·成都七中模拟)已知f (x )、g (x )都是定义在R 上的函数,g (x )≠0,f ′(x )g (x )-f (x )g ′(x )<0,f (x )g (x )=a x ,f (1)g (1)+f (-1)g (-1)=52,则关于x 的方程abx 2+2x +52=0(b ∈(0,1))有两个不同实根的概率为( )A.35B.25 C.15 D.12 [答案] B[解析] 令h (x )=f (x )g (x )=a x ,则h ′(x )=f ′(x )g (x )-f (x )g ′(x )[g (x )]2<0,∴h (x )是减函数,∴0<a <1.又f (1)g (1)+f (-1)g (-1)=52,∴a +1a =52,∴a =12.由Δ>0得b <25.又b ∈(0,1),由几何概型概率公式得:p =25,选B.5.(文)(2014·华安、连城、永安、漳平、泉港一中,龙海二中六校联考)如图是某电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上,七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为( )A.84,4.8 B .84,1.6 C .85,4 D .85,1.6 [答案] D[解析] 去掉最高分93分和最低分79后,所剩数据的平均分为:x -=80+15(4×3+6+7)=85,方差为:S 2=15[(85-84)2×3+(85-86)2+(85-87)2]=1.6.(理)(2014·长安一中质检)用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A .243 B .252 C .261 D .279 [答案] B[解析] 有两个重复数字时,①含2个0,有9种,②含1个0,0不能排在百位,∴有C 12C 19=18种;③不含0,有C 19C 13C 18=216种(或C 29C 12C 13=216种);有三个重复数字时,有C 19=9种,∴共有含重复数字的三位数9+18+216+9=252个,故选B.6.(2014·湖南益阳市箴言中学模拟)四名同学根据各自的样本数据研究变量x ,y 之间的相关关系,并求得回归直线方程,分别得到以下四个结论:①y 与x 负相关且y ^=2.347x -6.423; ② y 与x 负相关且y ^=-3.476x +5.648; ③y 与x 正相关且y ^=5.437x +8.493; ④y 与x 正相关且y ^=-4.326x -4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( ) A .①② B .②③ C .③④ D .①④ [答案] D[解析] y 与x 正(或负)相关时,线性回归直线方程y =b ^x +a ^中,x 的系数b ^>0(或b ^<0),故①④错. 7.(2014·北京市海淀区期末)为了估计某水池中鱼的尾数,先从水池中捕出2000尾鱼,并给每尾鱼做上标记(不影响存活),然后放回水池,经过适当的时间,再从水池中捕出500尾鱼,其中有标记的鱼为40尾,根据上述数据估计该水池中鱼的尾数为( )A .10000B .20000C .25000D .30000 [答案] C[解析] 设估计该水池中鱼的尾数为n ,根据题意可得2000n =40500,解得n =25000.故C 正确. 8.(文)(2014·长沙市重点中学月考)已知正方形ABCD 的边长为2,H 是边DA 的中点.在正方形ABCD 内部随机取一点P ,则满足|PH |<2的概率为( )A.π8 B.π8+14 C.π4 D.π4+14[答案] B [解析]取AB 的中点E ,∵正方形边长为2,H 为AD 的中点,∴HE =2,以H 为圆心,HE 为半径画弧交CD 于F ,当点P 落在扇形HEF 和△AHE 、△DHF 内时,|PH |< 2.这是面积型几何概型,∴所求概率P =2×(12×1×1)+14×π·(2)22×2=π+28,故选B.(理)(2014·广东执信中学期中)在区间[-π,π]内随机取两个数分别记为a ,b ,则使得函数f (x )=x 2+2ax -b 2+π2有零点的概率为( )A .1-π8B .1-π4C .1-π2D .1-3π4[答案] B[解析] ∵f (x )有零点,∴Δ=(2a )2-4(-b 2+π2)≥0,∴a 2+b 2≥π2,∵a ,b ∈[-π,π], ∴所求概率P =4π2-π·π24π2=1-π4,故选B. 9.(2014·云南景洪市一中期末)通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:由K 2=n (ad -bc )(a +b )(c +d )(a +c )(b +d ),得K 2=110×(40×30-20×20)260×50×60×50≈7.8.附表:A .在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”B .在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”C .有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D .有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” [答案] C10.(文)(2014·宝鸡市质检)定义函数y =f (x ),x ∈D ,若存在常数c ,对任意x 1∈D ,存在唯一x 2∈D 的,使得f (x 1)+f (x 2)2=c ,则称函数f (x )在D 上的均值为c ,已知f (x )=lg x ,x ∈[10,100],则函数f (x )=lg x 在x ∈[10,100]上的均值为( )A.32B.34C.710 D .10[答案] A[解析] 根据定义,函数y =f (x ),x ∈D ,若存在常数c ,对任意的x 1∈D ,存在唯一的x 2∈D ,使得f (x 1)+f (x 2)2=c ,则称函数f (x )在D 上的均值为c ,令x 1x 2=10×100=1000,当x 1∈[10,100]时,选定x 2=1000x 1∈[10,100]可得:c =lg (x 1x 2)2=32,故选A.(理)(2014·开滦二中期中)二项式(x 2+2x)10的展开式中的常数项是( ) A .第10项 B .第9项 C .第8项 D .第7项[答案] B[解析] 通项T r +1=C r 10·(x 2)10-r ·(2x )r =2r ·C r 10x 20-5r 2,令20-5r 2=0得r =8,∴常数项为第9项. 11.(2014·安徽示范高中联考)给出下列五个命题:①将A 、B 、C 三种个体按3:1:2的比例分层抽样调查,如果抽取的A 个体为9个,则样本容量为30;②一组数据1,2,3,3,4,5的平均数、众数、中位数都相同;③甲组数据的方差为5,乙组数据为5,6,9,10,5,那么这两组数据中比较稳定的是甲; ④已知具有相关关系的两个变量满足的回归直线方程为y =1-2x ,则x 每增加1个单位,y 平均减少2个单位;⑤统计的10个样本数据为125,120,122,105,130,114,116,95,120,134,则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为0.4.其中真命题为( ) A .①②④ B .②④⑤ C .②③④ D .③④⑤ [答案] B[解析] ①样本容量为9÷36=18,①是假命题;②数据1,2,3,3,4,5的平均数为16(1+2+3+3+4+5)=3,中位数为3,众数为3,都相同,②是真命题;③x -乙=5+6+9+10+55=7,s 2乙=15[(5-7)2+(6-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(5-7)2]=15×(4+1+4+9+4)=4.4,∵s 2甲>s 2乙,∴乙稳定,③是假命题;④是真命题;⑤数据落在[114.5,124.5)内的有:120,122,116,120共4个,故所求概率为410=0.4,⑤是真命题.12.已知x ,y 的取值如下表:从所得的散点图分析,y 与x 线性相关,且y =0.95x +a ,则a =( ) A .2.5 B .2.6 C .2.7 D .2.8 [答案] B[解析] x -=2,y -=4.5, ∵回归直线过样本点中心(2,4.5), ∴4.5=0.95×2+a ^, ∴a ^=2.6,故选B.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,把正确答案填在题中横线上.) 13.(文)(2014·佛山市质检)一个总体分为甲、乙两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本.已知乙层中每个个体被抽到的概率都为19,则总体中的个体数为________.[答案] 180[解析] 因为分层抽样中每个个体被抽到的概率相等,故总体中的个体数为20÷19=180.(理)(2014·长沙市重点中学月考)从某500件产品中随机抽取50件进行质检,利用随机数表法抽取样本时,先将这500件产品按001,002,003,…,500进行编号.如果从随机数表第7行第4列的数2开始,从左往右读数,则依次抽取的第4个个体的编号是________.(下面摘录了随机数表第6行至第8行各数)16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 72 06 50 25 83 42 16 33 76 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 [答案] 206[解析] 按规定的读数方法,依次读取的数是:217,157,245,217,206,…,由于重复的数字应只保留1个,故读取的第4个个体的编号为206.14.(文)(2014·海南省文昌市检测)在区域M =(x ,y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x +y <4y >xx >0内撒一粒豆子,落在区域N={(x ,y )|x 2+(y -2)2≤2}内的概率为________.[答案] π4[解析] ∵⊙C :x 2+(y -2)2=2的圆心C (0,2)与直线y =x 和x +y =4都相切. ∴区域M 中落在区域N 内的部分为半圆.由⎩⎪⎨⎪⎧y =x ,x +y =4,得A (2,2),∴S △OAB =12×4×2=4,又S 半圆=π,∴所求概率P =π4.(理)(2014·浙江省五校联考)若对任意的实数x ,有x 4=a 0+a 1(x +2)+a 2(x +2)2+a 3(x +2)3+a 4(x+2)4,则a 3的值为________.[答案] -2[解析] ∵x 4=[(x +2)-2]4=(x +2)4-2(x +2)3+4(x +2)2-8(x +2)+16,∴a 3=-2.15.(2014·安徽示范高中联考)在三棱锥P -ABC 中,任取两条棱,则这两条棱异面的概率是________.[答案] 15[解析] 三棱锥中两条相对的棱所在直线是异面直线,共有3对,从6条棱中任取两条,可知有15种取法,∴取到两条棱异面的概率P =315=15.16.(文)(2014·北京朝阳区期末)某校为了解高一学生寒假期间的阅读情况,抽查并统计了100名学生的某一周阅读时间,绘制了频率分布直方图(如图所示),那么这100名学生中阅读时间在[4,8)小时内的人数为________.[答案] 54[解析] 这100名学生中阅读时间在[4,8)小时内的人数为100×[(0.12+0.15)×2]=54.(理)(2014·浙北名校联盟联考)一袋中装有分别标记着1,2,3数字的3个小球,每次从袋中取出一个球(每只小球被取到的可能性相同),现连续取3次球,若每次取出一个球后放回袋中,记3次取出的球中标号最小的数字与最大的数字分别为X ,Y ,设ξ=Y -X ,则E (ξ)=________.[答案] 43[解析] 由题意知ξ的取值为0,1,2,ξ=0,表示X =Y ,ξ=1表示X =1,Y =2;或X =2,Y =3;ξ=2表示X =1,Y =3.∴P (ξ=0)=333=19,P (ξ=1)=2×2×333=49,P (ξ=2)=2×3+A 3333=49, ∴E (ξ)=0×19+1×49+2×49=43.三、解答题(本大题共6个小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分12分)(2014·海南省文昌市检测)某水泥厂甲、乙两个车间包装水泥,在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品,称其重量,分别记录抽查数据如下:甲:102,101,99,98,103,98,99 乙:110,115,90,85,75,115,110 (1)画出这两组数据的茎叶图;(2)求出这两组数据的平均值和方差(用分数表示);并说明哪个车间的产品较稳定.(3)从甲中任取一个数据x (x ≥100),从乙中任取一个数据y (y <100),求满足条件|x -y |≤20的概率.[解析] (1)茎叶图如图:(2)x -甲=17(102+101+99+98+103+98+99)=100;x -乙=17(110+115+90+85+75+115+110)=100;S 2甲=17(4+1+1+4+9+4+1)=247; S 2乙=17(100+225+100+225+625+225+100)=16007, ∵S 2甲<S 2乙,故甲车间产品比较稳定.(3)所有可能的情况有:(102,90),(102,85),(102,75),(101,90),(101,85),(101,75),(103,90),(103,85),(103,75),不满足条件的有:(102,75),(101,75),(103,75),所以P (|x -y |≤20)=1-39=23.18.(本小题满分12分)(文)(2014·广东执信中学期中)某校高三文科分为五个班.高三数学测试后,随机地在各班抽取部分学生进行成绩统计,各班被抽取的学生人数恰好成等差数列,人数最少的班被抽取了18人.抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形图如图所示,其中120~130(包括120分但不包括130分)的频率为0.05,此分数段的人数为5人.(1)问各班被抽取的学生人数各为多少人?(2)在抽取的所有学生中,任取一名学生,求分数不小于90分的概率. [解析] (1)由频率分布条形图知,抽取的学生总数为50.05=100人. ∵各班被抽取的学生人数成等差数列,设其公差为d , 由5×18+10d =100,解得d =1.∴各班被抽取的学生人数分别是18人,19人,20人,21人,22人.(2)在抽取的学生中,任取一名学生,则分数不小于90分的频率为0.35+0.25+0.1+0.05=0.75. 用频率作为概率的估计值知所求概率约为0.75.(理)(2014·抚顺二中期中)在某校高三学生的数学校本课程选课过程中,规定每位同学只能选一个科目.已知某班第一小组与第二小组各有六位同学选择科目甲或科目乙,选课情况如下表:(1)求选出的4人均选科目乙的概率;(2)设ξ为选出的4个人中选科目甲的人数,求ξ的分布列和数学期望. [解析] (1)设“从第一小组选出的2人选科目乙”为事件A ,“从第二小组选出的2人选科目乙”为事件B .由于事件A 、B 相互独立, 且P (A )=C 25C 26=23,P (B )=C 24C 26=25,所以选出的4人均选科目乙的概率为 P (A ·B )=P (A )·P (B )=23×25=415.(2)由条件知ξ可能的取值为0,1,2,3.P (ξ=0)=415,P (ξ=1)=C 25C 26·C 12C 14C 26+C 15C 26·C 24C 26=2245,P (ξ=3)=C 15C 26·1C 26=145,P (ξ=2)=1-P (ξ=0)-P (ξ=1)-P (ξ=3)=29,ξ的分布列为:∴ξ的数学期望E (ξ)=0×415+1×2245+2×29+3×145=1.19.(本小题满分12分)(文)(2014·抚顺市六校联合体期中)用分层抽样方法从高中三个年级的相关人员中抽取若干人组成研究小组,有关数据见下表:(单位:人)(1)求x ,y ;(2)若从高二、高三年级抽取的人中选2人,求这二人都来自高二年级的概率. [解析] (1)由题意可得x 99=y 27=218,所以x =11,y =3.(2)记从高二年级抽取的3人为b 1,b 2,b 3,从高三年级抽取的2人为c 1,c 2,则从这两个年级中抽取的5人中选2人的基本事件有:(b 1,b 2),(b 1,b 3),(b 1,c 1),(b 1,c 2),(b 2,b 3),(b 2,c 1),(b 2,c 2),(b 3,c 1),(b 3,c 2),(c 1,c 2)共10种,设选中的2人都来自高二的事件为A ,则A 包含的基本事件有:(b 1,b 2),(b 1,b 3),(b 2,b 3)共3种. 因此P (A )=310=0.3.故选中的2人都来自高二的概率为0.3.(理)(2014·泸州市一诊)在一次数学统考后,某班随机抽取10名同学的成绩进行样本分析,获得成绩数据的茎叶图如下.(1)计算样本的平均成绩及方差;(2)现从10个样本中随机抽出2名学生的成绩,设选出学生的分数为90分以上的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和均值.[解析] (1)样本的平均成绩x -=92+98×2+85×2+74×3+60×210=80,方差s 2=110[(92-80)2+(98-80)2×2+(85-80)2×2+(74-80)2×3+(60-80)2×2]=175.(2)由题意知选出学生的分数为90分以上的人数为ξ,得到随机变量ξ=0,1,2.P (ξ=0)=C 27C 210=715,P (ξ=1)=C 13C 17C 210=715,P (ξ=2)=C 23C 210=115,分布列为:E (ξ)=0×715+1×715+2×115=35.20.(本小题满分12分)(文)(2013·沈阳联考)某电脑公司有6名产品推销员,其工作年限与年推销金额的数据如下表:(1)(2)求年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程;(3)若第6名推销员的工作年限为11年,试估计他的年推销金额. [解析] (1)依题意,画出散点图如图所示,(2)从散点图可以看出,这些点大致在一条直线附近,设所求的线性回归方程为y ^=b ^x +a ^.则b ^=∑i =15(x i -x -)(y i -y -)∑i =15(x i -x -)2=1020=0.5,a ^=y --b ^x -=0.4, ∴年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程为y ^=0.5x +0.4. (3)由(2)可知,当x =11时,y ^=0.5x +0.4=0.5×11+0.4=5.9(万元).∴可以估计第6名推销员的年销售金额为5.9万元.(理)(2014·河南淇县一中模拟)设ξ为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,ξ=0;当两条棱平行时,ξ的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,ξ=1.(1)求概率P (ξ=0);(2)求ξ的分布列,并求其数学期望E (ξ).[解析] (1)若两条棱相交,则交点必为正方体8个顶点中的1个,过任意1个顶点恰有3条棱,所以共有8C 23对相交棱,因此P (ξ=0)=8C 23C 212=2466=411.(2)若两条棱平行,则它们的距离为1或2,其中距离为2的共有6对,故P (ξ=2)=6C 212=111, 于是P (ξ=1)=1-P (ξ=0)-P (ξ=2) =1-411-111=611,所以随机变量ξ的分布列是因此E (ξ)=1×611+21.(本小题满分12分)(文)(2014·绵阳市南山中学检测)某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生,将其数学成绩(均为整数)分成六组[90,100),[100,110),…,[140,150]后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题:(1)求分数在[120,130)内的频率;(2)若在同一组数据中,将该组区间的中点值(如:组区间[100,110)的中点值为100+1102=105.)作为这组数据的平均分,据此,估计本次考试的平均分;(3)用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2个,求至多有1人在分数段[120,130)内的概率.[解析] (1)分数在[120,130)内的频率为:1-(0.1+0.15+0.15+0.25+0.05)=1-0.7=0.3. (2)估计平均分为x -=95×0.1+105×0.15+115×0.15+125×0.3+135×0.25+145×0.05=121. (3)由题意,[110,120)分数段的人数为60×0.15=9(人),[120,130)分数段的人数为60×0.3=18(人).∵用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本, ∴需在[110,120)分数段内抽取2人,并分别记为m ,n ; 在[120,130)分数段内抽取4人并分别记为a ,b ,c ,d ;设“从样本中任取2人,至多有1人在分数段[120,130)内”为事件A ,则基本事件有:(m ,n ),(m ,a ),(m ,b ),(m ,c ),(m ,d ),(n ,a ),(n ,b ),(n ,c ),(n ,d ),(a ,b ),(a ,c ),(a ,d ),(b ,c ),(b ,d ),(c ,d )共15种.事件A 包含的基本事件有:(m ,n ),(m ,a ),(m ,b ),(m ,c ),(m ,d ),(n ,a ),(n ,b ),(n ,c ),(n ,d )共9种.∴P (A )=915=35.(理)(2014·保定市八校联考)某班同学利用寒假在三个小区进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”,否则称为“非低碳族”,这两族人数占各自小区总人数的比例如下:(1)从A ,B ,(2)在B 小区中随机选择20户,从中抽取的3户中“非低碳族”数量为X ,求X 的分布列和期望E (X ).[解析] (1)记这3人中恰好有2人是低碳族为事件A ,P (A )=12×45×13+12×15×23+12×45×23=715,(2)在B 小区中随机选择20户中,“非低碳族”有4户,P (X =k )=C k 4C 3-k 16C 320,(k =0,1,2,3),E (X )=0×2857+1×819+2×895+3×1285=0.6.22.(本小题满分14分)(文)某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率作用”的试验,其中甲班为试验班(加强语文阅读理解训练),乙班为对比班(常规教学,无额外训练),在试验前的测试中,甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致,试验结束后,统计几次数学应用题测试的平均成绩(均取整数)如下表所示:(1)试分析估计两个班级的优秀率;(2)由以上统计数据填写下面2×2列联表,并问是否有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助.[甲班优秀人数为30人,优秀率为3050=60%,乙班优秀人数为25人,优秀率为2550=50%,所以甲、乙两班的优秀率分别为60%和50%.(2)因为K 2=100×(30×25-20×25)50×50×55×45=10099≈1.010,所以由参考数据知,没有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助.(理)(2014·浙江省五校联考)甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛:第一局由甲、乙参加而丙轮空,以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛,而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为12,且各局胜负相互独立.求:(1)打满4局比赛还未停止的概率;(2)比赛停止时已打局数ξ的分布列与期望E (ξ).[解析] 令A k ,B k ,C k 分别表示甲、乙、丙在第k 局中获胜.(1)由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知,打满4局比赛还未停止的概率为P (A 1C 2B 3A 4)+P (B 1C 2A 3B 4)=124+124=18.(2)ξ的所有可能值为2,3,4,5,6,且 P (ξ=2)=P (A 1A 2)+P (B 1B 2)=122+122=12,P (ξ=3)=P (A 1C 2C 3)+P (B 1C 2C 3)=123+123=14.P (ξ=4)=P (A 1C 2B 3B 4)+P (B 1C 2A 3A 4)=124+124=18.P (ξ=5)=P (A 1C 2B 3A 4A 5)+P (B 1C 2A 3B 4B 5)=125+125=116.P (ξ=6)=P (A 1C 2B 3A 4C 5)+P (B 1C 2A 3B 4C 5)=125+125=116.故分布列为∴E (ξ)=2×12+3×14+4×18+5×116+6×116=4716.。
基础大题答案 2015北京高考数学 各区一模试题汇编
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2015北京高考数学 各区一模试题汇编--解析几何 答案--弦长与面积问题19.(本小题满分14分) 解:(Ⅰ)由题意可得2222,,c c a a bc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得a =b , 故椭圆的方程为22162x y +=. …….4分(Ⅱ)当直线l 斜率不存在时,A B的坐标分别为,(2,,||MN =, 四边形AMBN 面积为1||||42AMBN S MN AB =⋅=. 当直线l 斜率存在时,设其方程为(2)y k x =-,点11(,)A x y ,22(,)B x y ,33(,)M x y ,33(,)N x y --,点,M N 到直线l 的距离分别为12,d d ,则四边形AMBN 面积为121||()2AMBN S AB d d =+. 由221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)121260k x k x k +-+-=, 则21221213k x x k +=+,212212613k x x k -=+, 所以||AB==.因为121224(4)13ky y k x x k-+=+-=+, 所以AB 中点22262(,)1313k kD k k -++. 当0k ¹时,直线OD 方程为30x ky +=, 由2230,1,62x ky x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得333,x ky =-232213y k =+. 所以121||()2AMBN S AB d d =+12=====当0k =时,四边形AMBN面积的最大值AMBN S =综上四边形AMBN面积的最大值为. …………………………14分19.(本小题满分14分)(Ⅰ)解:由点)23,1(P 和1F 关于点)43,0(C 对称,得1(1,0)F -, ………… 1分所以椭圆E 的焦点为)0,1(1-F ,)0,1(2F , ……………… 2分 由椭圆定义,得 122||||4a PF PF =+=.所以 2a =,b = ……………… 4分故椭圆E 的方程为13422=+y x . ……………… 5分 (II )解:结论:存在直线l ,使得四边形PABQ 的对角线互相平分. ……… 6分 理由如下:由题可知直线l ,直线PQ 的斜率存在,设直线l 的方程为)1(-=x k y ,直线PQ 的方程为3(1)2y k x -=-. ……… 7分 由 221,43(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y , 得2222(34)84120k x k x k +-+-=, ……………… 8分 由题意,可知0∆> ,设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则2221438kk x x +=+,212241234k x x k -=+, ……………… 9分 由221,433(1),2x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩消去y ,得2222(34)(812)41230k x k k x k k +--+--=, 由0∆>,可知12k ≠-,设),(33y x Q ,又)23,1(P ,则223431281k k k x +-=+,2234331241kk k x +--=⋅. ……………… 10分 若四边形PABQ 的对角线互相平分,则PB 与AQ 的中点重合, 所以212231+=+x x x ,即3211x x x -=-, ……………… 11分 故2212123()4(1)x x x x x +-=-. ……………… 12分所以 2222222284124123()4(1)343434k k k k k k k ----⋅=-+++. 解得 34k =. 所以直线l 为3430x y --=时, 四边形PABQ 的对角线互相平分. …… 14分 (注:利用四边形PABQ 为平行四边形,则有||||PQ AB =,也可解决问题)19.解:(I )由题意,椭圆C 的标准方程为221.43x y += 所以224,3,a b ==从而222 1.c a b =-= 因此,2, 1.a c ==故椭圆C 的离心率1.2c e a ==..... ...........................................4分 (II )由题意可知,点P 的坐标为3(1,).2-设1l 的方程为3(1).2y k x =++则2l 的方程为3(1).2y k x =-++........................................5分由223(1)23412y k x x y ⎧=++⎪⎨⎪+=⎩得2222(43)(812)41230.k x k k x k k +++++-= 由于1x =-是此方程的一个解.所以此方程的另一解22412343A k k x k +-=-+ 同理22412343B k k x k --=-+............... ...........................................7分故直线AB 的斜率为33(1)(1)22B A B A ABB A B Ak x k x y y k x x x x -++-+--==-- 22286(2)143.24243k k k k k -+-++==-+ ........... ...........................................9分设直线AB 的方程为1.2y x m =-+由22123412y x m x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩得2230x mxm -+-=所以||AB ==又原点O 到直线AB 的距离为d =所以OAB ∆的面积12OAB S ∆==22(4)22m m +-≤⋅= 当且仅当224m m =-,即22,2m m ==±时.OAB ∆的面积达到最大................ ...........................................13分由题意可知,四边形ABMN 为平行四边形, 所以,四边形ABMN的面积4OAB S S ∆=≤故四边形ABMN面积的最大值为 ............... ...........................................14分中点与垂直问题(19)(本小题满分14分) 解:(Ⅰ)由题意可得2222,,3,c c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得a =b = 故椭圆的方程为22162x y +=. ……… 5分 (Ⅱ)由题意可知直线l 斜率存在,设其方程为(2)y k x =-,点11(,)A x y ,22(,)B x y ,33(,)M x y ,33(,)N x y --,由221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)121260k x k x k +-+-=, 所以21221213k x x k+=+. 因为121224(4)13ky y k x x k-+=+-=+,所以AB 中点22262(,)1313k kD k k -++. 因此直线OD 方程为30x ky +=()0k ¹.由2230,1,62x ky x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得232213y k =+,333x ky =-. 因为四边形12MF NF 为矩形,所以220F M F N ⋅=u u u u r u u u u r,即3333(2,)(2,)0x y x y -⋅---=.所以223340x y --=.所以222(91)4013k k +-=+.解得3k =±.故直线l的方程为2)3y x =±-. ……… 14分19.(本小题共14分)解:(Ⅰ)抛物线28y x =,所以焦点坐标为(2,0),即(2,0)A , 所以2a =.又因为2c e a ==,所以c = 所以2221b a c =-=,所以椭圆C 的方程为2214x y +=. ……………………4分 (Ⅱ)设11(,)P x y ,22(,)Q x y ,因为AM AP AQ =+u u u u r u u u r u u u r,(2,0)A ,所以11(2,)AP x y =-u u u r,22(2,)AQ x y =-u u u r ,所以1212(4,+)AM AP AQ x x y y =+=+-u u u u r u u u r u u u r,所以()12122,M x x y y +-+.由2214(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩,得2222(41)8440k x k x k +-+-=(判别式0∆>), 得2122282224141k x x k k -+-=-=++,121222(2)4+1ky y k x x k -+=+-=, 即2222(,)4141k M k k --++.设3(0,)N y , 则MN 中点坐标为3221(,)41412y kk k --+++,因为M ,N 关于直线l 对称,所以MN 的中点在直线l 上,所以3221(1)41241k y k k k --+=-++,解得32y k =-,即(0,2)N k -. 由于M ,N 关于直线l 对称,所以M ,N 所在直线与直线l 垂直,所以 222(2)4112041kk k k k ---+⋅=---+,解得k = ……………………14分(19)(共13分)解:(Ⅰ)由题意得:2221,.b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎩………………3分解得:223,1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以 椭圆M 的方程为2213x y +=. ………………4分 (Ⅱ)不存在满足题意的菱形ABCD ,理由如下: ………………5分 假设存在满足题意的菱形ABCD .设直线BD 的方程为y x m =+,11(,)B x y ,22(,)D x y ,线段BD 的中点00(,)Q x y ,点(,2)A t . ………………6分由2233,x y y x m⎧+=⎨=+⎩得224230y my m -+-=. ………………8分由()()2221630m m ∆=--> ,解得22m -<<. ………………9分因为 122my y +=, 所以 12024y y my +==. ………………11分因为 四边形ABCD 为菱形, 所以 Q 是AC 的中点.所以 C 点的纵坐标022212C my y =-=-<-. ………………12分 因为 点C 在椭圆M 上,所以 1C y ≥-.这与1C y <-矛盾. ………………13分 所以 不存在满足题意的菱形ABCD .19.(本小题满分14分)(Ⅰ)解:由点)23,1(P 和1F 关于点)43,0(C 对称,得1(1,0)F -, ………… 1分所以椭圆E 的焦点为)0,1(1-F ,)0,1(2F , ……………… 2分 由椭圆定义,得 122||||4a PF PF =+=.所以 2a =,b = ……………… 4分故椭圆E 的方程为13422=+y x . ……………… 5分 (II )解:结论:存在直线l ,使得四边形PABQ 的对角线互相平分. ……… 6分 理由如下:由题可知直线l ,直线PQ 的斜率存在,设直线l 的方程为)1(-=x k y ,直线PQ 的方程为3(1)2y k x -=-. ……… 7分由 221,43(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y , 得2222(34)84120k x k x k +-+-=, ……………… 8分 由题意,可知0∆> ,设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则2221438kk x x +=+,212241234k x x k -=+, ……………… 9分 由221,433(1),2x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩消去y ,得2222(34)(812)41230k x k k x k k +--+--=, 由0∆>,可知12k ≠-,设),(33y x Q ,又)23,1(P ,则223431281k k k x +-=+,2234331241k k k x +--=⋅. ……………… 10分若四边形PABQ 的对角线互相平分,则PB 与AQ 的中点重合, 所以212231+=+x x x ,即3211x x x -=-, ……………… 11分 故2212123()4(1)x x x x x +-=-. ……………… 12分所以 2222222284124123()4(1)343434k k k k k k k ----⋅=-+++. 解得 34k =. 所以直线l 为3430x y --=时, 四边形PABQ 的对角线互相平分. …… 14分 (注:利用四边形PABQ 为平行四边形,则有||||PQ AB =,也可解决问题)19.解:(I)由题意,椭圆C 的标准方程为221164x y +=,所以2222216,4,12从而a b c a b ===-=,因此4,a c ==故椭圆C的离心率c e a == ............... ...........................................4分 (II)由221,416y kx x y =+⎧⎨+=⎩得()22148120k x kx ++-=,由题意可知0∆>. ............... ...........................................5分 设点,E F 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ,EF 的中点M 的坐标为(),M M x y , 则1224214M x x k x k +==-+,1221214M y y y k+==+................ .....................................7分因为BEF ∆是以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形,所以BM EF ⊥, 因此BM 的斜率1BM k k=-. ............... ...........................................8分 又点B 的坐标为()0,2-,所以222122381440414M BM M y k k k k x k k ++++===---+,............... ....................................10分 即()238104k k k k+-=-≠, 亦即218k =,所以k = ............... ...........................................12分故EF的方程为440y -+=. ............... ...........................................13分又圆2212x y +=的圆心()0,0O 到直线EF的距离为32d ==>, 所以直线EF 与圆相离................ ...........................................14分单动点消元问题解:(Ⅰ)由已知离心率12c e a ==, 又△12MF F 的周长等于226a c +=,解得2a =,1c =.所以23b =.所以椭圆C 的方程为22143x y +=. ………………………..5分(Ⅱ)设点M 的坐标为00(,)x y ,则2200143x y +=.由于圆M 与l 有公共点,所以M 到l 的距离04x -小于或等于圆的半径r . 因为2222100(+1)r MF x y ==+,所以222000(4)(1)x x y -≤++,即20010150y x +-≥.又因为22003(1)4x y =-,所以20033101504x x -+-≥.整理得200340+480x x -≤,解得04123x ≤≤.又022x -<< ,所以0423x ≤<.所以003y <≤. 因为△12MF F 面积01201=2y F F y =,当03y =时,△12MF F 面积有最大值3. ………………..13分(Ⅰ)由短轴长为,得b = ………………1分由2c e a a ===,得224,2a b ==. ∴椭圆C 的标准方程为22142x y +=. ………………4分(Ⅱ)以MN 为直径的圆过定点(F . ………………5分证明如下:设00(,)P x y ,则00(,)Q x y --,且2200142x y +=,即220024x y +=,∵(2,0)A -,∴直线PA 方程为:00(2)2y y x x =++,∴002(0,)2y M x +……………6分 直线QA 方程为:00(2)2y y x x =+-,∴002(0,)2y N x -, ………………7分 以MN 为直径的圆为000022(0)(0)()()022y y x x y y x x --+--=+-………………10分 【或通过求得圆心00202(0,)4x y O x '-,204||4y r x =-得到圆的方程】 即222000220044044x y y x y y x x +-+=--, ∵220042x y -=-,∴22220x x y y y ++-=, ………………12分 令0y =,则220x -=,解得x =∴以MN为直径的圆过定点(F . …………14分解:(Ⅰ)设动点E 的坐标为(,)x y .由抛物线定义知,动点E 的轨迹为以(1,0)为焦点,1x =-为准线抛物线.所以动点E 的轨迹C 的方程为:24y x =. ……………4分(Ⅱ)设直线l 的方程为:y kx b =+.(显然0k ≠)由 24,,y x y kx b ⎧=⎨=+⎩得2440ky y b -+=.因为直线l 与抛物线相切, 所以16160kb ∆=-=,1b k =. 所以直线l 的方程为1y kx k=+. 令1x =-,得1y k k=-+, 所以1(1,)Q k k--+.设切点坐标00(,)P x y ,则200440ky y k -+=,解得212(,)P k k. 设(,0)M m ,则2121()(1)()MQ MP m m k k k k⋅=---+-+u u u u r u u u r2222122m m m k k k =-+-++-. 21(1)(2)m m k =---. 当1m =时,0MQ MP ⋅=u u u u r u u u r.所以以PQ 为直径的圆恒过x 轴上定点(1,0)M . ……………13分定点与定值问题解:(Ⅰ)∵点Q 到椭圆左右焦点的距离和为4. ∴24a =,2a =.又12c e a ==,∴1c =,2223b a c =-=. ∴椭圆W 的标准方程为:22143x y +=…………………5分 (Ⅱ)∵直线1l 、2l 经过点(0,1)且互相垂直,又A 、B 、C 、D 都不与椭圆的顶点重合 ∴设1l :1y kx =+,2l :11y x k=-+;点11(,)A x y 、22(,)B x y 、(,)E E E x y 、(,)F F F x y 由221143y kx x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)880k x kx ++-= ∵点(0,1)在椭圆内,∴△0>∴122834kx x k +=-+,∴1224234Ex x kx k+==-+,23134E E y kx k =+=+∴34E OE E y k x k==- 同理33144()F OF Fy kk x K ==-=-∴916OE OFk k ⋅=-…………………14分2015房山一模理科19题 19.(本小题共14分)解: (Ⅰ)由题意得21|4|)1(22=-+-x y x , ………………2分化简并整理,得 13422=+y x . 所以动点),(y x P 的轨迹C 的方程为椭圆13422=+y x . ………………5分 (Ⅱ)当0=t 时,点B M 与重合,点A N 与重合,,,M N F 三点共线. ………7分当0≠t 时根据题意::(2),:(2)62tt QA y x QB y x =+=-由()2214326x y t y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消元得:2223(2)1209t x x ++-=整理得:2222(27)441080t x t x t +++-=该方程有一根为2,x =-另一根为M x ,根据韦达定理,222241085422,2727M M t t x x t t ---==++由()2214322x y t y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 消元得:2223(2)120x t x +--= 整理得:2222(3)44120t x t x t +-+-=该方程有一根为2,x =另一根为N x ,根据韦达定理,2222412262,33N N t t x x t t --==++当M N x x =时,由222254226273t t t t --=++得:29,t =1M N x x ==,,,M N F 三点共线; 当M N x x ¹时,218(2)627M M t t y x t =+=+,26(2)23N N t ty x t -=-=+22221862754219127M MFM t y t t k t x t t +===----+;2222663261913N NFN t y t t k t x t t -+===----+ NF MF K k =,,,M N F 三点共线.综上,命题恒成立. ………………14分19.(本小题共14分)解: (Ⅰ)因为椭圆C :22162x y += 所以焦点(2,0)F ,离心率e =……………………4分 (Ⅱ)直线l :y kx m =+(0)k ≠过点F ,所以2m k =-,所以l :(2)y k x =-.由2236(2)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩,得2222(31)121260.k x k x k +-+-=(依题意 0∆>). 设 11(,)P x y ,22(,)Q x y ,则21221231k x x k +=+,2122126.31k x x k -=+ .因为点P 关于x 轴的对称点为P ',则11(,)P x y '-. 所以,直线P Q '的方程可以设为211121()y y y y x x x x ++=--,令0y =,2111211211212x y x y x y x y x x y y y y -+=+=++211212(2)(2)(4)kx x kx x k x x -+-=+-12121222()(4)x x x x x x -+=+-2222221261222313112(4)31k k k k k k --++=-+ 3=. 所以直线P Q '过x 轴上定点(3,0). ……………………14分19.(本小题共14分)解: (Ⅰ)因为椭圆C :22162x y +=所以焦点(2,0)F ,离心率3e =……………………4分 (Ⅱ)直线l :y kx m =+(0)k ≠过点F ,所以2m k =-,所以l :(2)y k x =-.由2236(2)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩,得2222(31)121260.k x k x k +-+-=(依题意 0∆>). 设 11(,)P x y ,22(,)Q x y ,则21221231k x x k +=+,2122126.31k x x k -=+ .因为点P 关于x 轴的对称点为P ',则11(,)P x y '-. 所以,直线P Q '的方程可以设为211121()y y y y x x x x ++=--,令0y =,2111211211212x y x y x y x y x x y y y y -+=+=++211212(2)(2)(4)kx x kx x k x x -+-=+-12121222()(4)x x x x x x -+=+-2222221261222313112(4)31k k k k k k --++=-+ 3=.所以直线P Q '过x 轴上定点(3,0). ……………………14分(19)(共13分)解:(Ⅰ)因为 椭圆M 过点(0,1)A -,所以 1b =.………………1分 因为 222 c e a b c a ===+, 所以 2a =.所以 椭圆M 的方程为22 1.4x y += ………………3分(Ⅱ)方法一: 依题意得0k ≠.因为 椭圆M 上存在点,B C 关于直线1y kx =-对称,所以 直线BC 与直线1y kx =-垂直,且线段BC 的中点在直线1y kx =-上. 设直线BC 的方程为11221,(,),(,)y x t B x y C x y k=-+. 由221,44y x t k x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩得 22222(4)8440k x ktx k t k +-+-=. ………………5分由2222222222644(4)(44)16(4)0k t k k t k k k t k ∆=-+-=-+>, 得22240k t k --<.(*) 因为 12284ktx x k +=+, ………………7分 所以 BC 的中点坐标为2224(,)44kt k tk k ++.又线段BC 的中点在直线1y kx =-上,所以 2224144k t ktk k k =-++.所以 22314k t k =+. ………………9分代入(*),得2k <-或2k >. 所以{|}22S k k k =<->,或. ………………11分 因为 22143k t k =+,所以 对于k S ∀∈,线段BC 中点的纵坐标恒为13,即线段BC 的中点总在直线13y =上. ………………13分方法二:因为 点(0,1)A -在直线1y kx =-上,且,B C 关于直线1y kx =-对称, 所以 AB AC =,且0k ≠.设1122(,),(,)B x y C x y (12y y ≠),BC 的中点为000(,)(0)x y x ≠.则22221122(1)(1)x y x y ++=++. ………………6分又,B C 在椭圆M 上,所以 2222112244,44x y x y =-=-.所以 2222112244(1)44(1)y y y y -++=-++. 化简,得 2212123()2()y y y y -=-.所以 120123y y y +==. ………………9分 又因为 BC 的中点在直线1y kx =-上, 所以 001y kx =-. 所以 043x k=. 由221,413x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可得3x =±所以403k <<,或403k <<,即k <,或k >. 所以{|}22S k k k =<->,或. ………………12分 所以 对于k S ∀∈,线段BC 中点的纵坐标恒为13,即线段BC 的中点总在直线13y =上. ………………13分19.(本小题共14分)(Ⅰ)由题意知, 2b =…………………1分由2e =a = …………………3分 椭圆方程为22148x y +=. …………………4分 (Ⅱ)若存在满足条件的点N ,坐标为(t ,0),其中t 为常数. 由题意直线PQ 的斜率不为0,直线PQ 的方程可设为:1x my =+,()m R ∈ …………………5分 设1122(,),(,)P x y Q x y ,联立221,148x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去x 得:22(12)460m y my ++-=, …………………7分221624(12)0m m ∆=++>恒成立,所以12122246,1212m y +y =y y =m m --++ ……8分 由PNM QNM ∠=∠知:+0PN QN k k = …………………9分1212,PN QN y yk k x t x t==--, 即12120y y x t x t +=--,即121211y y my t my t=-+-+-, …………………10分 展开整理得12122(1)()0my y t y y +-+=,即222(6)4(1)0,1212m m t m m ---+=++ …………………12分即(4)0m t -=,又m 不恒为0,=4t ∴.故满足条件的点N 存在,坐标为(40),……14分(Ⅰ)解:设22b a c -=,由题意,得21=a c , 所以 2a c =,b =. …………………2分则椭圆方程为 2222143x y c c+=, 又点)23,1(P 在椭圆上, 所以2213144c c+=,解得21c =, 故椭圆方程为 22143x y +=. ………………… 5分 (Ⅱ)解:由题意,直线l 的斜率存在,右焦点(1,0)F , ………………… 6分 设直线l 的方程为(1)y k x =-,与椭圆的交点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), …… 7分由 22(1),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ,得 2222(34)84120k x k x k +-+-=. ………………… 8分由题意,可知0>∆,则有 2221438kk x x +=+,212241234k x x k -=+, …… 9分 所以直线PA 的斜率11321PAy k x -=-,直线PB 的斜率22321PB y k x -=-, …… 10分 所以PA PB t k k k =⨯⨯1212332211y y k x x --=⨯⨯--最新整理. 12121233[(1)][(1)]22()1k x k x k x x x x --⨯--=⨯-++ 2121212121239[()1](2)24()1k x x x x k x x k x x x x -++-+-+=⨯-++122121239(2)24[]()1k x x k k x x x x -+-+=+⨯-++ 233()44k k k k =--⨯=--. ………………… 12分 即 22339()4864t k k k =--=-++, 所以当38k =-时,ABP ∆三条边所在直线的斜率的乘积t 有最大值964. …14分。
2015年北京市朝阳区高考一模数学试卷(文科)【解析版】
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2015年北京市朝阳区高考数学一模试卷(文科)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.(5分)已知全集U={a,b,c,d},集合A={a,b},B={b,c},则∁U(A ∪B)等于()A.{b}B.{d}C.{a,c,d}D.{a,b,c} 2.(5分)命题p:∀x∈R,都有sin x≤1,则()A.¬p:∃x0∈R,使得sin x0≥1B.¬p:∃x0∈R,使得sin x0>1C.¬p:∀x0∈R,使得sin x0≥1D.¬p:∀x0∈R,使得sin x0>1 3.(5分)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点与双曲线x2﹣y2=2的右焦点重合,则p的值为()A.B.2C.4D.24.(5分)如图所示的程序框图表示的算法功能是()A.计算S=1×2×3×4×5×6的值B.计算S=1×2×3×4×5的值C.计算S=1×2×3×4的值D.计算S=1×3×5×7的值5.(5分)已知x 1=log2,x2=2,x3满足()=log3x3,则()A.x1<x3<x2B.x1<x2<x3C.x2<x1<x3D.x3<x1<x26.(5分)函数f(x)=2sin(x﹣)cos(x﹣)图象的一条对称轴方程是()A.x=B.x=C.x=D.x=7.(5分)已知实数x,y满足其中t>0.若z=3x+y的最大值为5,则z的最小值为()A.B.1C.0D.﹣18.(5分)已知边长为3的正方形ABCD与正方形CDEF所在的平面互相垂直,M为线段CD上的动点(不含端点),过M作MH∥DE交CE于H,作MG ∥AD交BD于G,连结GH.设CM=x(0<x<3),则下面四个图象中大致描绘了三棱锥C﹣GHM的体积y与变量x变化关系的是()A.B.C.D.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡上.9.(5分)若i为虚数单位,则=.10.(5分)若向量a,b满足||=||=1,的夹角为60°,则=.11.(5分)圆C:(x﹣2)2+(y﹣2)2=8与y轴相交于A,B两点,则弦AB所对的圆心角的大小为.12.(5分)一个四棱锥的三视图如图所示,其中侧视图为正三角形,则该四棱锥的体积是,四棱锥侧面中最大侧面的面积是.13.(5分)稿酬所得以个人每次取得的收入,定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额,每次收入不超过4000元,定额减除费用800元;每次收入在4000元以上的,定率减除20%的费用.适用20%的比例税率,并按规定对应纳税额减征30%,计算公式为:(1)每次收入不超过4000元的:应纳税额=(每次收入额﹣800)×20%×(1﹣30%)(2)每次收入在4000元以上的:应纳税额=每次收入额×(1﹣20%)×20%×(1﹣30%).已知某人出版一份书稿,共纳税280元,这个人应得稿费(扣税前)为元.14.(5分)记x2﹣x1为区间[x1,x2]的长度.已知函数y=2|x|,x∈[﹣2,a](a≥0),其值域为[m,n],则区间[m,n]的长度的最小值是.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.(13分)在△ABC中,A=,cos B=,BC=6.(Ⅰ)求AC的长;(Ⅱ)求△ABC的面积.16.(13分)某次考试结束后,为了解甲、乙两所学校学生的数学考试情况,随机抽取甲、乙两校各10名学生的考试成绩,得茎叶图如图所示(部分数据不清晰):(Ⅰ)请根据茎叶图判断哪个学校的数学成绩平均水平较高(直接写出结果);(Ⅱ)若在抽到的这20名学生中,分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的学生,求抽到的学生中,甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率.17.(14分)如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,各个侧面均是边长为2的正方形,D为线段AC的中点.(Ⅰ)求证:BD⊥平面ACC1A1;(Ⅱ)求证:直线AB1∥平面BC1D;(Ⅲ)设M为线段BC1上任意一点,在△BC1D内的平面区域(包括边界)是否存在点E,使CE⊥DM,并说明理由.18.(13分)设数列{a n}的前n项和为S n,且a1=4,a n+1=S n,n∈N*.(Ⅰ)写出a2,a3,a4的值;(Ⅱ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅲ)已知等差数列{b n}中,有b2=a2,b3=a3,求数列{a n•b n}的前n项和T n.19.(14分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(﹣2,0),F2(2,0),离心率为.过焦点F2的直线l(斜率不为0)与椭圆C交于A,B两点,线段AB的中点为D,O为坐标原点,直线OD交椭圆于M,N两点.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)当四边形MF1NF2为矩形时,求直线l的方程.20.(13分)已知函数f(x)=(x+)e x,a∈R.(Ⅰ)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)当a=﹣1时,求证:f(x)在(0,+∞)上为增函数;(Ⅲ)若f(x)在区间(0,1)上有且只有一个极值点,求a的取值范围.2015年北京市朝阳区高考数学一模试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.(5分)已知全集U={a,b,c,d},集合A={a,b},B={b,c},则∁U(A ∪B)等于()A.{b}B.{d}C.{a,c,d}D.{a,b,c}【解答】解:∵A={a,b},B={b,c},∴A∪B={a,b,c},则∁U(A∪B)={d},故选:B.2.(5分)命题p:∀x∈R,都有sin x≤1,则()A.¬p:∃x0∈R,使得sin x0≥1B.¬p:∃x0∈R,使得sin x0>1C.¬p:∀x0∈R,使得sin x0≥1D.¬p:∀x0∈R,使得sin x0>1【解答】解:命题p为全称命题,则根据全称命题的否定是特此命题得:¬p:∃x0∈R,使得sin x0>1.故选:B.3.(5分)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点与双曲线x2﹣y2=2的右焦点重合,则p的值为()A.B.2C.4D.2【解答】解:抛物线y2=2px(p>0)的焦点为(,0),双曲线x2﹣y2=2即﹣=1的右焦点为(2,0),由题意可得=2,解得p=4.故选:C.4.(5分)如图所示的程序框图表示的算法功能是()A.计算S=1×2×3×4×5×6的值B.计算S=1×2×3×4×5的值C.计算S=1×2×3×4的值D.计算S=1×3×5×7的值【解答】解:模拟执行程序,可得S=1,t=2满足条件S≤100,S=1×2=2,t=3满足条件S≤100,S=1×2×3=6,t=4满足条件S≤100,S=1×2×3×4=24,t=5满足条件S≤100,S=1×2×3×4×5=120,t=6不满足条件S≤100,退出循环,输出S的值为120.故程序框图的功能是求S=1×2×3×4×5的值.故选:B.5.(5分)已知x 1=log2,x2=2,x3满足()=log3x3,则()A.x1<x3<x2B.x1<x2<x3C.x2<x1<x3D.x3<x1<x2【解答】解:∵x3满足=log3x3,∴x3>0,∴0,∴x3>1.又∵x 1=2<0,0<x2=<1,∴x1<x2<x3.故选:B.6.(5分)函数f(x)=2sin(x﹣)cos(x﹣)图象的一条对称轴方程是()A.x=B.x=C.x=D.x=【解答】解:f(x)=2sin(x﹣)cos(x﹣)=sin(2x﹣),令:2x﹣=kπ+(k∈Z),解得:x=(k∈Z),当k=0时,x=,故选:C.7.(5分)已知实数x,y满足其中t>0.若z=3x+y的最大值为5,则z的最小值为()A.B.1C.0D.﹣1【解答】解:由题意作出其平面区域,将z=3x+y化为y=﹣3x+z,z相当于直线y=﹣3x+z的纵截距,故结合图象可得,,解得,x=1,y=2;故t=2;由解得,x=﹣1,y=2;故z的最小值为z=﹣1×3+2=﹣1;故选:D.8.(5分)已知边长为3的正方形ABCD与正方形CDEF所在的平面互相垂直,M为线段CD上的动点(不含端点),过M作MH∥DE交CE于H,作MG ∥AD交BD于G,连结GH.设CM=x(0<x<3),则下面四个图象中大致描绘了三棱锥C﹣GHM的体积y与变量x变化关系的是()A.B.C.D.【解答】解:如图,因为正方形ABCD与正方形CDEF所在的平面互相垂直,又过M作MH∥DE交CE于H,作MG∥AD交BD于G,所以GM⊥HM,设CM=x(0<x<3),则HM=CM,GM=DM=3﹣x,所以三棱锥的体积为V===,(0<x <3)令V'=﹣=0,解得x=0或者x=2,体积在(0,2)随x的增大而增大,在(2,3)增大而减小,V关于x的图象如下:故选:A.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡上.9.(5分)若i为虚数单位,则=i.【解答】解:===i故答案为:i.10.(5分)若向量a,b满足||=||=1,的夹角为60°,则=.【解答】解:∵,∴=1+=.故答案为11.(5分)圆C:(x﹣2)2+(y﹣2)2=8与y轴相交于A,B两点,则弦AB所对的圆心角的大小为90°.【解答】解:当x=0时,得(y﹣2)2=4,解得y=0或y=4,则AB=4﹣0=4,半径R==,∵OA2+OB2=()2+()2=8+8=16=(AB)2,∴△AOB是直角三角形,∴∠AOB=90°,即弦AB所对的圆心角的大小为90°,故答案为:90°12.(5分)一个四棱锥的三视图如图所示,其中侧视图为正三角形,则该四棱锥的体积是,四棱锥侧面中最大侧面的面积是.【解答】解:由四棱锥的三视图可知,该四棱锥底面为ABCD为边长为1的正方形,△P AD是边长为1的等边三角形,PO垂直于AD于点O,其中O为AD的中点,所以四棱锥的体积为V==,四棱锥侧面中最大侧面是△PBC,PB=PC=,BC=1,面积是=.故答案为:;.13.(5分)稿酬所得以个人每次取得的收入,定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额,每次收入不超过4000元,定额减除费用800元;每次收入在4000元以上的,定率减除20%的费用.适用20%的比例税率,并按规定对应纳税额减征30%,计算公式为:(1)每次收入不超过4000元的:应纳税额=(每次收入额﹣800)×20%×(1﹣30%)(2)每次收入在4000元以上的:应纳税额=每次收入额×(1﹣20%)×20%×(1﹣30%).已知某人出版一份书稿,共纳税280元,这个人应得稿费(扣税前)为2800元.【解答】解:由题意,设这个人应得稿费(扣税前)为x元,则280=(x﹣800)×20%×(1﹣30%)所以x=2800,故答案为:2800.14.(5分)记x2﹣x1为区间[x1,x2]的长度.已知函数y=2|x|,x∈[﹣2,a](a≥0),其值域为[m,n],则区间[m,n]的长度的最小值是3.【解答】解:;∴①x∈[﹣2,0)时,;∴此时1<y≤4;②x∈[0,a]时,20≤2x≤2a;∴此时1≤y≤2a,则:0≤a≤2时,该函数的值域为[1,4],区间长度为3;a>2时,区间长度为2a﹣1>3;∴综上得,区间[m,n]长度的最小值为3.故答案为:3.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.(13分)在△ABC中,A=,cos B=,BC=6.(Ⅰ)求AC的长;(Ⅱ)求△ABC的面积.【解答】解:(Ⅰ)∵cos B=,B∈(0,π),又sin2B+cos2B=1,解得sin B=.由正弦定理得:,即,∴AC=4;(Ⅱ)在△ABC中,sin C=sin(B+60°)=sin B cos60°+cos B sin60°==.∴=.16.(13分)某次考试结束后,为了解甲、乙两所学校学生的数学考试情况,随机抽取甲、乙两校各10名学生的考试成绩,得茎叶图如图所示(部分数据不清晰):(Ⅰ)请根据茎叶图判断哪个学校的数学成绩平均水平较高(直接写出结果);(Ⅱ)若在抽到的这20名学生中,分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的学生,求抽到的学生中,甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率.【解答】解:(Ⅰ)从茎叶图可以看出,乙校10名学生的考试的数学成绩平均分高于甲校10名学生的考试的数学成绩,故乙学校的数学成绩平均水平较高(Ⅱ)设事件M为分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的学生,抽到的学生中,甲校学生成绩高于乙校学生成绩,由茎叶图可以看出,甲校数学成绩不低于90分的有2人,记为a、b,甲校数学成绩不低于90分的有5人,记为A、B、C,D,E,其中a=92,b=93,A=90,B=91,B=95,D=96,E=98,分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的学生其情况有(aA)、(aB)、(aC)、(aD)、(aE)、(bA)、(bB)、(bC)、(bD)、(bE),共10种情况;甲校学生成绩高于乙校学生成绩共有(aA)、(aB)、(bA)、(bB)四种可能,故P(M)==17.(14分)如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,各个侧面均是边长为2的正方形,D为线段AC的中点.(Ⅰ)求证:BD⊥平面ACC1A1;(Ⅱ)求证:直线AB1∥平面BC1D;(Ⅲ)设M为线段BC1上任意一点,在△BC1D内的平面区域(包括边界)是否存在点E,使CE⊥DM,并说明理由.【解答】(Ⅰ)证明:∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中,各个侧面均是边长为2的正方形,∴CC1⊥BC,CC1⊥AC,∴CC1⊥底面ABC,∵BD⊂底面ABC,∴CC1⊥BD,又底面为等边三角形,D为线段AC的中点.∴BD⊥AC,又AC∩CC1=C,∴BD⊥平面ACC1A1;(Ⅱ)证明:连接B1C交BC1于O,连接OD,如图则O为B1C的中点,∵D是AC的中点,∴AB1∥OD,又OD⊂平面BC1D,OD⊄平面BC1D∴直线AB1∥平面BC1D;(Ⅲ)在△BC1D内的平面区域(包括边界)存在点E,使CE⊥DM,此时E在线段C1D上;证明如下:过C作CE⊥C1D交线段C1D与E,由(Ⅰ)可知BD⊥平面ACC1A1,而CE⊂平面ACC1A1,所以BD⊥CE,由CE⊥C1D,BD∩C1D=D,所以CE⊥平面BC1D,DM⊂平面BC1D,所以CE⊥DM.18.(13分)设数列{a n}的前n项和为S n,且a1=4,a n+1=S n,n∈N*.(Ⅰ)写出a2,a3,a4的值;(Ⅱ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅲ)已知等差数列{b n}中,有b2=a2,b3=a3,求数列{a n•b n}的前n项和T n.【解答】解:(Ⅰ)∵a1=4,a n+1=S n,∴a2=S1=a1=4,a3=S2=a1+a2=4+4=8,a4=S3=a1+a2+a3=4+4+8=16;(Ⅱ)由a n+1=S n,得a n=S n(n≥2),﹣1两式作差得:a n+1﹣a n=a n,即a n+1=2a n(n≥2),∴数列{a n}从第二项起为公比是2的等比数列,当n≥2时,.∴;(Ⅲ)依题意,b2=a2=4,b3=a3=8,则,得,∴b n=4(n﹣1).∴,则,T n=a1b1+a2b2+…+a n﹣1b n﹣1+a n b n=0+1×24+2×25+3×26+…+(n﹣2)×2n+1+(n﹣1)×2n+2,,两式作差得:=.∴.19.(14分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(﹣2,0),F2(2,0),离心率为.过焦点F2的直线l(斜率不为0)与椭圆C交于A,B两点,线段AB的中点为D,O为坐标原点,直线OD交椭圆于M,N两点.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)当四边形MF1NF2为矩形时,求直线l的方程.【解答】解:(I)由已知可得:,解得a2=6,b2=2,∴椭圆C的方程为;(II)由题意可知直线l的斜率存在,设直线l方程为y=k(x﹣2),A(x1,y1),B(x2,y2),M(x3,y3),N(﹣x3,﹣y3).联立,化为(1+3k2)x2﹣12k2x+12k2﹣6=0,∴x1+x2=,y1+y2=k(x1+x2﹣4)=,∴线段AB的中点D,∴直线OD的方程为:x+3ky=0(k≠0).联立,解得=,x3=﹣3ky3.∵四边形MF1NF2为矩形,∴=0,∴(x3﹣2,y3)•(﹣x3﹣2,﹣y3)=0,∴=0,∴=0,解得k=,故直线方程为y=.20.(13分)已知函数f(x)=(x+)e x,a∈R.(Ⅰ)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)当a=﹣1时,求证:f(x)在(0,+∞)上为增函数;(Ⅲ)若f(x)在区间(0,1)上有且只有一个极值点,求a的取值范围.【解答】解:函数f(x)=(x+)e x的定义域为{x|x≠0},f′(x)=e x;(Ⅰ)当a=0时,f(x)=xe x,f′(x)=(x+1)e x,所以f(1)=e,f′(1)=2e;所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是y﹣e=2e(x﹣1),即2ex﹣y﹣e=0;(Ⅱ)证明:当a=﹣1时,f′(x)=e x,设g(x)=x3+x2﹣x+1,则g′(x)=3x2+2x﹣1=(3x﹣1)(x+1),故g(x)在(0,)上是减函数,在(,+∞)上是增函数,所以g(x)≥g()=>0,所以当x∈(0,+∞)时,f′(x)=e x>0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上为增函数.(Ⅲ)f′(x)=e x;设h(x)=x3+x2+ax﹣a,h′(x)=3x2+2x+a,(1)当a>0时,h′(x)>0恒成立,故h(x)在(0,+∞)上为增函数;而h(0)=﹣a<0,h(1)=2>0,故函数h(x)在(0,1)上有且只有一个零点,故这个零点为函数f(x)在区间(0,1)上的唯一的极小值点;(2)当a=0时,x∈(0,1)时,h′(x)=3x2+2x>0,故h(x)在(0,1)上为增函数;又h(0)=0,故f(x)在(0,1)上为增函数;故函数f(x)在区间(0,1)上没有极值;(3)当a<0时,h(x)=x3+x2+a(x﹣1),当x∈(0,1)时,总有h(x)>0成立,即f(x)在(0,1)上为增函数;故函数f(x)在区间(0,1)上没有极值;综上所述,a>0.。
2015年北京市高考数学试题及答案(理科)【解析版】
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2015年北京市高考数学试卷(理科)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(5分)(2015•北京)复数i(2﹣i)=()A.1+2i B.1﹣2i C.﹣1+2i D.﹣1﹣2i考点:复数代数形式得乘除运算.专题:数系得扩充与复数.分析:利用复数得运算法则解答.解答:解:原式=2i﹣i2=2i﹣(﹣1)=1+2i;故选:A.点评:本题考查了复数得运算;关键就是熟记运算法则.注意i2=﹣1.2.(5分)(2015•北京)若x,y满足,则z=x+2y得最大值为()A.0B.1C.D.2考点:简单线性规划.专题:不等式得解法及应用.分析:作出题中不等式组表示得平面区域,再将目标函数z=x+2y对应得直线进行平移,即可求出z取得最大值.解答:解:作出不等式组表示得平面区域,得到如图得三角形及其内部阴影部分,由解得A(,),目标函数z=x+2y,将直线z=x+2y进行平移,当l经过点A时,目标函数z达到最大值∴z最大值==故选:C.点评:本题给出二元一次不等式组,求目标函数z=x+2y得最大值,着重考查了二元一次不等式组表示得平面区域与简单得线性规划等知识,属于基础题.3.(5分)(2015•北京)执行如图所示得程序框图,输出得结果为()A.(﹣2,2)B.(﹣4,0)C.(﹣4,﹣4)D.(0,﹣8)考点:程序框图.专题:图表型;算法与程序框图.分析:模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到得x,y,k得值,当k=3时满足条件k≥3,退出循环,输出(﹣4,0).解答:解:模拟执行程序框图,可得x=1,y=1,k=0s=0,i=2x=0,y=2,k=1不满足条件k≥3,s=﹣2,i=2,x=﹣2,y=2,k=2不满足条件k≥3,s=﹣4,i=0,x=﹣4,y=0,k=3满足条件k≥3,退出循环,输出(﹣4,0),故选:B.点评:本题主要考查了循环结构得程序框图,正确写出每次循环得到得x,y,k得值就是解题得关键,属于基础题.4.(5分)(2015•北京)设α,β就是两个不同得平面,m就是直线且m⊂α,“m∥β“就是“α∥β”得()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分不要条件D.既不充分也不必要条件考点:必要条件、充分条件与充要条件得判断.专题:简易逻辑.分析:m∥β并得不到α∥β,根据面面平行得判定定理,只有α内得两相交直线都平行于β,而α∥β,并且m⊂α,显然能得到m∥β,这样即可找出正确选项.解答:解:m⊂α,m∥β得不到α∥β,因为α,β可能相交,只要m与α,β得交线平行即可得到m∥β;α∥β,m⊂α,∴m与β没有公共点,∴m∥β,即α∥β能得到m∥β;∴“m∥β”就是“α∥β”得必要不充分条件.故选B.点评:考查线面平行得定义,线面平行得判定定理,面面平行得定义,面面平行得判定定理,以及充分条件、必要条件,及必要不充分条件得概念.5.(5分)(2015•北京)某三棱锥得三视图如图所示,则该三棱锥得表面积就是()A.2+B.4+C.2+2D.5考点:由三视图求面积、体积.专题:空间位置关系与距离.分析:根据三视图可判断直观图为:A⊥面ABC,AC=AB,E为BC中点,EA=2,EA=EB=1,OA=1,:BC⊥面AEO,AC=,OE=判断几何体得各个面得特点,计算边长,求解面积.解答:解:根据三视图可判断直观图为:OA⊥面ABC,AC=AB,E为BC中点,EA=2,EC=EB=1,OA=1,∴可得AE⊥BC,BC⊥OA,运用直线平面得垂直得出:BC⊥面AEO,AC=,OE=∴S△ABC=2×2=2,S△OAC=S△OAB=×1=.S △BCO =2×=.故该三棱锥得表面积就是2,故选:C .点评: 本题考查了空间几何体得三视图得运用,空间想象能力,计算能力,关键就是恢复直观图,得出几何体得性质.6.(5分)(2015•北京)设{a n }就是等差数列,下列结论中正确得就是( ) A . 若a 1+a 2>0,则a 2+a 3>0 B . 若a 1+a 3<0,则若a 1+a 2<0, C . 若若0<a 1<a 2,则a 2 D . 若a 1<0,则(a 2﹣a 1)(a 2﹣a 3)>0考点: 等差数列得性质.专题: 计算题;等差数列与等比数列.分析: 对选项分别进行判断,即可得出结论.解答: 解:若a 1+a 2>0,则2a 1+d >0,a 2+a 3=2a 1+3d >2d ,d >0时,结论成立,即A 不正确;若a 1+a 2<0,则2a 1+d <0,a 2+a 3=2a 1+3d <2d ,d <0时,结论成立,即B 不正确;{a n }就是等差数列,0<a 1<a 2,2a 2=a 1+a 3>2,∴a 2>,即C 正确;若a 1<0,则(a 2﹣a 1)(a 2﹣a 3)=﹣d 2<0,即D 不正确. 故选:C .点评: 本题考查等差数列得通项,考查学生得计算能力,比较基础. 7.(5分)(2015•北京)如图,函数f (x )得图象为折线ACB ,则不等式f (x )≥log 2(x+1)得解集就是( )A . {x|﹣1<x ≤0}B . {x|﹣1≤x ≤1}C . {x|﹣1<x ≤1}D . {x|﹣1<x ≤2}考点: 指、对数不等式得解法. 专题: 不等式得解法及应用.分析:在已知坐标系内作出y=log2(x+1)得图象,利用数形结合得到不等式得解集.解答:解:由已知f(x)得图象,在此坐标系内作出y=log2(x+1)得图象,如图满足不等式f(x)≥log2(x+1)得x范围就是﹣1<x≤1;所以不等式f(x)≥log2(x+1)得解集就是{x|﹣1<x≤1};故选C.点评:本题考查了数形结合求不等式得解集;用到了图象得平移.8.(5分)(2015•北京)汽车得“燃油效率”就是指汽车每消耗1升汽油行驶得里程,如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况,下列叙述中正确得就是()A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米/小时得速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油考点:函数得图象与图象变化.专题:创新题型;函数得性质及应用.分析:根据汽车得“燃油效率”就是指汽车每消耗1升汽油行驶得里程,以及图象,分别判断各个选项即可.解答:解:对于选项A,消耗1升汽油,乙车行驶得距离比5小得很多,故A错误;对于选项B,以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最小,故B错误,对于选项C,甲车以80千米/小时得速度行驶1小时,里程为80千米,燃油效率为10,故消耗8升汽油,故C错误,对于选项D,因为在速度低于80千米/小时,丙得燃油效率高于乙得燃油效率,故D正确.点评:本题考查了函数图象得识别,关键掌握题意,属于基础题.二、填空题(每小题5分,共30分)9.(5分)(2015•北京)在(2+x)5得展开式中,x3得系数为40(用数字作答)考点:二项式定理得应用.专题:二项式定理.分析:写出二项式定理展开式得通项公式,利用x得指数为3,求出r,然后求解所求数值.解答:解:(2+x)5得展开式得通项公式为:T r+1=25﹣r x r,所求x3得系数为:=40.故答案为:40.点评:本题考查二项式定理得应用,二项式系数得求法,考查计算能力.10.(5分)(2015•北京)已知双曲线﹣y2=1(a>0)得一条渐近线为x+y=0,则a=.考点:双曲线得简单性质.专题:圆锥曲线得定义、性质与方程.分析:运用双曲线得渐近线方程为y=±,结合条件可得=,即可得到a得值.解答:解:双曲线﹣y2=1得渐近线方程为y=±,由题意可得=,解得a=.故答案为:.点评:本题考查双曲线得方程与性质,主要考查双曲线得渐近线方程得求法,属于基础题.11.(5分)(2015•北京)在极坐标系中,点(2,)到直线ρ(cosθ+sinθ)=6得距离为1.考点:简单曲线得极坐标方程.专题:坐标系与参数方程.分析:化为直角坐标,再利用点到直线得距离公式距离公式即可得出.解答:解:点P(2,)化为P.直线ρ(cosθ+sinθ)=6化为.∴点P到直线得距离d==1.故答案为:1.点评:本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线得距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.12.(5分)(2015•北京)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则=1.考点:余弦定理;二倍角得正弦;正弦定理.专题:计算题;解三角形.分析:利用余弦定理求出cosC,cosA,即可得出结论.解答:解:∵△ABC中,a=4,b=5,c=6,∴cosC==,cosA==∴sinC=,sinA=,∴==1.故答案为:1.点评:本题考查余弦定理,考查学生得计算能力,比较基础.13.(5分)(2015•北京)在△ABC中,点M,N满足=2,=,若=x+y,则x=,y=﹣.考点:平面向量得基本定理及其意义.专题:平面向量及应用.分析:首先利用向量得三角形法则,将所求用向量表示,然后利用平面向量基本定理得到x,y值.解答:解:由已知得到===;由平面向量基本定理,得到x=,y=;故答案为:.点评:本题考查了平面向量基本定理得运用,一个向量用一组基底表示,存在唯一得实数对(x,y)使,向量等式成立.14.(5分)(2015•北京)设函数f(x)=,①若a=1,则f(x)得最小值为﹣1;②若f(x)恰有2个零点,则实数a得取值范围就是≤a<1或a≥2.考点:函数得零点;分段函数得应用.专题:创新题型;函数得性质及应用.分析:①分别求出分段得函数得最小值,即可得到函数得最小值;②分别设h(x)=2x﹣a,g(x)=4(x﹣a)(x﹣2a),分两种情况讨论,即可求出a得范围.解答:解:①当a=1时,f(x)=,当x<1时,f(x)=2x﹣1为增函数,f(x)>﹣1,当x>1时,f(x)=4(x﹣1)(x﹣2)=4(x2﹣3x+2)=4(x﹣)2﹣1,当1<x<时,函数单调递减,当x>时,函数单调递增,故当x=时,f(x)min=f()=﹣1,②设h(x)=2x﹣a,g(x)=4(x﹣a)(x﹣2a)若在x<1时,h(x)=与x轴有一个交点,所以a>0,并且当x=1时,h(1)=2﹣a>0,所以0<a<2,而函数g(x)=4(x﹣a)(x﹣2a)有一个交点,所以2a≥1,且a<1,所以≤a<1,若函数h(x)=2x﹣a在x<1时,与x轴没有交点,则函数g(x)=4(x﹣a)(x﹣2a)有两个交点,当a≤0时,h(x)与x轴无交点,g(x)无交点,所以不满足题意(舍去),当h(1)=2﹣a≤时,即a≥2时,g(x)得两个交点为x1=a,x2=2a,都就是满足题意得,综上所述a得取值范围就是≤a<1,或a≥2.点评:本题考查了分段函数得问题,以及函数得零点问题,培养了学生得转化能力与运算能力以及分类能力,属于中档题.三、解答题(共6小题,共80分)15.(13分)(2015•北京)已知函数f(x)=sin cos﹣sin.(Ⅰ)求f(x)得最小正周期;(Ⅱ)求f(x)在区间[﹣π,0]上得最小值.考点:两角与与差得正弦函数;三角函数得周期性及其求法;三角函数得最值.专题:计算题;三角函数得求值;三角函数得图像与性质.分析:(Ⅰ)运用二倍角公式与两角与得正弦公式,化简f(x),再由正弦喊话说得周期,即可得到所求;(Ⅱ)由x得范围,可得x+得范围,再由正弦函数得图象与性质,即可求得最小值.解答:解:(Ⅰ)f(x)=sin cos﹣sin=sinx﹣(1﹣cosx)=sinxcos+cosxsin﹣=sin(x+)﹣,则f(x)得最小正周期为2π;(Ⅱ)由﹣π≤x≤0,可得﹣≤x+≤,即有﹣1,则当x=﹣时,sin(x+)取得最小值﹣1,则有f(x)在区间[﹣π,0]上得最小值为﹣1﹣.点评:本题考查二倍角公式与两角与得正弦公式,同时考查正弦函数得周期与值域,考查运算能力,属于中档题.16.(13分)(2015•北京)A,B两组各有7位病人,她们服用某种药物后得康复时间(单位:天)记录如下:A组:10,11,12,13,14,15,16B组;12,13,15,16,17,14,a假设所有病人得康复时间相互独立,从A,B两组随机各选1人,A组选出得人记为甲,B 组选出得人记为乙.(Ⅰ)求甲得康复时间不少于14天得概率;(Ⅱ)如果a=25,求甲得康复时间比乙得康复时间长得概率;(Ⅲ)当a为何值时,A,B两组病人康复时间得方差相等?(结论不要求证明)考点:极差、方差与标准差;古典概型及其概率计算公式.专题:概率与统计.分析:设事件A i为“甲就是A组得第i个人”,事件B i为“乙就是B组得第i个人”,由题意可知P(A i)=P(B i)=,i=1,2,••,7(Ⅰ)事件等价于“甲就是A组得第5或第6或第7个人”,由概率公式可得;(Ⅱ)设事件“甲得康复时间比乙得康复时间长”C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6,易得P (C)=10P(A4B1),易得答案;(Ⅲ)由方差得公式可得.解答:解:设事件A i为“甲就是A组得第i个人”,事件B i为“乙就是B组得第i个人”,由题意可知P(A i)=P(B i)=,i=1,2,••,7(Ⅰ)事件“甲得康复时间不少于14天”等价于“甲就是A组得第5或第6或第7个人”∴甲得康复时间不少于14天得概率P(A5∪A6∪A7)=P(A5)+P(A6)+P(A7)=;(Ⅱ)设事件C为“甲得康复时间比乙得康复时间长”,则C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6,∴P(C)=P(A4B1)+P(A5B1)+P(A6B1)P+(A7B1)+P(A5B2)+P(A6B2)+P (A7B2)+P(A7B3)+P(A6B6)+P(A7B6)=10P(A4B1)=10P(A4)P(B1)=(Ⅲ)当a为11或18时,A,B两组病人康复时间得方差相等.点评:本题考查古典概型及其概率公式,涉及概率得加法公式与方差,属基础题.17.(14分)(2015•北京)如图,在四棱锥A﹣EFCB中,△AEF为等边三角形,平面AEF⊥平面EFCB,EF∥BC,BC=4,EF=2a,∠EBC=∠FCB=60°,O为EF得中点.(Ⅰ)求证:AO⊥BE.(Ⅱ)求二面角F﹣AE﹣B得余弦值;(Ⅲ)若BE⊥平面AOC,求a得值.考点:二面角得平面角及求法;直线与平面垂直得判定;直线与平面垂直得性质.专题:空间位置关系与距离;空间角.分析:(Ⅰ)根据线面垂直得性质定理即可证明AO⊥BE.(Ⅱ)建立空间坐标系,利用向量法即可求二面角F﹣AE﹣B得余弦值;(Ⅲ)利用线面垂直得性质,结合向量法即可求a得值解答:证明:(Ⅰ)∵△AEF为等边三角形,O为EF得中点,∴AO⊥EF,∵平面AEF⊥平面EFCB,AO⊂平面AEF,∴AO⊥平面EFCB∴AO⊥BE.(Ⅱ)取BC得中点G,连接OG,∵EFCB就是等腰梯形,∴OG⊥EF,由(Ⅰ)知AO⊥平面EFCB,∵OG⊂平面EFCB,∴OA⊥OG,建立如图得空间坐标系,则OE=a,BG=2,GH=a,BH=2﹣a,EH=BHtan60°=,则E(a,0,0),A(0,0,a),B(2,,0),=(﹣a,0,a),=(a﹣2,﹣,0),设平面AEB得法向量为=(x,y,z),则,即,令z=1,则x=,y=﹣1,即=(,﹣1,1),平面AEF得法向量为,则cos<>==即二面角F﹣AE﹣B得余弦值为;(Ⅲ)若BE⊥平面AOC,则BE⊥OC,即=0,∵=(a﹣2,﹣,0),=(﹣2,,0),∴=﹣2(a﹣2)﹣3(a﹣2)2=0,解得a=.点评:本题主要考查空间直线与平面垂直得判定以及二面角得求解,建立坐标系利用向量法就是解决空间角得常用方法.18.(13分)(2015•北京)已知函数f(x)=ln,(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处得切线方程;(Ⅱ)求证,当x∈(0,1)时,f(x);(Ⅲ)设实数k使得f(x)对x∈(0,1)恒成立,求k得最大值.考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;导数在最大值、最小值问题中得应用.专题:导数得综合应用.分析:(1)利用函数得导数求在曲线上某点处得切线方程.(2)构造新函数利用函数得单调性证明命题成立.(3)对k进行讨论,利用新函数得单调性求参数k得取值范围.解答:解答:(1)因为f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x)所以又因为f(0)=0,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处得切线方程为y=2x.(2)证明:令g(x)=f(x)﹣2(x+),则g'(x)=f'(x)﹣2(1+x2)=,因为g'(x)>0(0<x<1),所以g(x)在区间(0,1)上单调递增.所以g(x)>g(0)=0,x∈(0,1),即当x∈(0,1)时,f(x)>2(x+).(3)由(2)知,当k≤2时,f(x)>对x∈(0,1)恒成立.当k>2时,令h(x)=f(x)﹣,则h'(x)=f'(x)﹣k(1+x2)=,所以当时,h'(x)<0,因此h(x)在区间(0,)上单调递减.当时,h(x)<h(0)=0,即f(x)<.所以当k>2时,f(x)>并非对x∈(0,1)恒成立.综上所知,k得最大值为2.点评:本题主要考查切线方程得求法及新函数得单调性得求解证明.在高考中属常考题型,难度适中.19.(14分)(2015•北京)已知椭圆C:+=1(a>b>0)得离心率为,点P(0,1)与点A(m,n)(m≠0)都在椭圆C上,直线PA交x轴于点M.(Ⅰ)求椭圆C得方程,并求点M得坐标(用m,n表示);(Ⅱ)设O为原点,点B与点A关于x轴对称,直线PB交x轴于点N,问:y轴上就是否存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ?若存在,求点Q得坐标,若不存在,说明理由.考点:直线与圆锥曲线得综合问题;椭圆得标准方程.专题:创新题型;圆锥曲线得定义、性质与方程;圆锥曲线中得最值与范围问题.分析:(I)根据椭圆得几何性质得出求解即可.(II)求解得出M(,0),N(,0),运用图形得出tan∠OQM=tan∠ONQ,=,求解即可得出即y Q2=x M•x N,+n2,根据m,m得关系整体求解.解答:解:(Ⅰ)由题意得出解得:a=,b=1,c=1∴+y2=1,∵P(0,1)与点A(m,n),﹣1<n<1∴PA得方程为:y﹣1=x,y=0时,x M=∴M(,0)(II)∵点B与点A关于x轴对称,点A(m,n)(m≠0)∴点B(m,﹣n)(m≠0)∵直线PB交x轴于点N,∴N(,0),∵存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ,Q(0,y Q),∴tan∠OQM=tan∠ONQ,∴=,即y Q2=x M•x N,+n2=1y Q2==2,∴y Q=,故y轴上存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ,Q(0,)或Q(0,﹣)点评:本题考查了直线圆锥曲线得方程,位置关系,数形结合得思想得运用,运用代数得方法求解几何问题,难度较大,属于难题.20.(13分)(2015•北京)已知数列{a n}满足:a1∈N*,a1≤36,且a n+1=(n=1,2,…),记集合M={a n|n∈N*}.(Ⅰ)若a1=6,写出集合M得所有元素;(Ⅱ)如集合M存在一个元素就是3得倍数,证明:M得所有元素都就是3得倍数;(Ⅲ)求集合M得元素个数得最大值.考点:数列递推式.专题:创新题型;点列、递归数列与数学归纳法.分析:(Ⅰ)a1=6,利用a n+1=可求得集合M得所有元素为6,12,24;(Ⅱ)因为集合M存在一个元素就是3得倍数,所以不妨设a k就是3得倍数,由a n+1=(n=1,2,…),可归纳证明对任意n≥k,a n就是3得倍数;(Ⅲ)分a1就是3得倍数与a1不就是3得倍数讨论,即可求得集合M得元素个数得最大值.解答:解:(Ⅰ)若a1=6,由于a n+1=(n=1,2,…),M={a n|n∈N*}.故集合M得所有元素为6,12,24;(Ⅱ)因为集合M存在一个元素就是3得倍数,所以不妨设a k就是3得倍数,由a n+1=(n=1,2,…),可归纳证明对任意n≥k,a n就是3得倍数.如果k=1,M得所有元素都就是3得倍数;如果k>1,因为a k=2a k﹣1,或a k=2a k﹣1﹣36,所以2a k﹣1就是3得倍数;于就是a k 就是3得倍数;﹣1类似可得,a k﹣2,…,a1都就是3得倍数;从而对任意n≥1,a n就是3得倍数;综上,若集合M存在一个元素就是3得倍数,则集合M得所有元素都就是3得倍数(Ⅲ)对a1≤36,a n=(n=1,2,…),可归纳证明对任意n≥k,a n<36(n=2,3,…)因为a1就是正整数,a2=,所以a2就是2得倍数.从而当n≥3时,a n就是2得倍数.如果a1就是3得倍数,由(Ⅱ)知,对所有正整数n,a n就是3得倍数.因此当n≥3时,a n∈{12,24,36},这时M得元素个数不超过5.如果a1不就是3得倍数,由(Ⅱ)知,对所有正整数n,a n不就是3得倍数.因此当n≥3时,a n∈{4,8,16,20,28,32},这时M得元素个数不超过8.当a1=1时,M={1,2,4,8,16,20,28,32},有8个元素.综上可知,集合M得元素个数得最大值为8.点评:本题考查数列递推关系得应用,突出考查分类讨论思想与等价转化思想及推理、运算能力,属于难题.2015年北京市高考数学试卷(理科)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(5分)(2015•北京)复数i(2﹣i)=()A.1+2i B.1﹣2i C.﹣1+2i D.﹣1﹣2i2.(5分)(2015•北京)若x,y满足,则z=x+2y得最大值为()A.0B.1C.D.23.(5分)(2015•北京)执行如图所示得程序框图,输出得结果为()A.(﹣2,2)B.(﹣4,0)C.(﹣4,﹣4)D.(0,﹣8)4.(5分)(2015•北京)设α,β就是两个不同得平面,m就是直线且m⊂α,“m∥β“就是“α∥β”得()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分不要条件D.既不充分也不必要条件5.(5分)(2015•北京)某三棱锥得三视图如图所示,则该三棱锥得表面积就是()A.2+B.4+C.2+2D.56.(5分)(2015•北京)设{a n}就是等差数列,下列结论中正确得就是()A.若a1+a2>0,则a2+a3>0 B.若a1+a3<0,则若a1+a2<0,C.若若0<aD.若a1<0,则(a2﹣a1)(a2﹣a3)>0 1<a2,则a27.(5分)(2015•北京)如图,函数f(x)得图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)得解集就是()A.{x|﹣1<x≤0} B.{x|﹣1≤x≤1} C.{x|﹣1<x≤1} D.{x|﹣1<x≤2}8.(5分)(2015•北京)汽车得“燃油效率”就是指汽车每消耗1升汽油行驶得里程,如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况,下列叙述中正确得就是()A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米/小时得速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油二、填空题(每小题5分,共30分)9.(5分)(2015•北京)在(2+x)5得展开式中,x3得系数为(用数字作答)10.(5分)(2015•北京)已知双曲线﹣y2=1(a>0)得一条渐近线为x+y=0,则a=.11.(5分)(2015•北京)在极坐标系中,点(2,)到直线ρ(cosθ+sinθ)=6得距离为.12.(5分)(2015•北京)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则=.13.(5分)(2015•北京)在△ABC中,点M,N满足=2,=,若=x+y,则x=,y=.14.(5分)(2015•北京)设函数f(x)=,①若a=1,则f(x)得最小值为;②若f(x)恰有2个零点,则实数a得取值范围就是.三、解答题(共6小题,共80分)15.(13分)(2015•北京)已知函数f(x)=sin cos﹣sin.(Ⅰ)求f(x)得最小正周期;(Ⅱ)求f(x)在区间[﹣π,0]上得最小值.16.(13分)(2015•北京)A,B两组各有7位病人,她们服用某种药物后得康复时间(单位:天)记录如下:A组:10,11,12,13,14,15,16B组;12,13,15,16,17,14,a假设所有病人得康复时间相互独立,从A,B两组随机各选1人,A组选出得人记为甲,B 组选出得人记为乙.(Ⅰ)求甲得康复时间不少于14天得概率;(Ⅱ)如果a=25,求甲得康复时间比乙得康复时间长得概率;(Ⅲ)当a为何值时,A,B两组病人康复时间得方差相等?(结论不要求证明)17.(14分)(2015•北京)如图,在四棱锥A﹣EFCB中,△AEF为等边三角形,平面AEF⊥平面EFCB,EF∥BC,BC=4,EF=2a,∠EBC=∠FCB=60°,O为EF得中点.(Ⅰ)求证:AO⊥BE.(Ⅱ)求二面角F﹣AE﹣B得余弦值;(Ⅲ)若BE⊥平面AOC,求a得值.18.(13分)(2015•北京)已知函数f(x)=ln,(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处得切线方程;(Ⅱ)求证,当x∈(0,1)时,f(x);(Ⅲ)设实数k使得f(x)对x∈(0,1)恒成立,求k得最大值.19.(14分)(2015•北京)已知椭圆C:+=1(a>b>0)得离心率为,点P(0,1)与点A(m,n)(m≠0)都在椭圆C上,直线PA交x轴于点M.(Ⅰ)求椭圆C得方程,并求点M得坐标(用m,n表示);(Ⅱ)设O为原点,点B与点A关于x轴对称,直线PB交x轴于点N,问:y轴上就是否存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ?若存在,求点Q得坐标,若不存在,说明理由.20.(13分)(2015•北京)已知数列{a n}满足:a1∈N*,a1≤36,且a n+1=(n=1,2,…),记集合M={a n|n∈N*}.(Ⅰ)若a1=6,写出集合M得所有元素;(Ⅱ)如集合M存在一个元素就是3得倍数,证明:M得所有元素都就是3得倍数;(Ⅲ)求集合M得元素个数得最大值.。
2015年北京朝阳高三一模数学试题及答案
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2015年北京朝阳一模数学试题及答案北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试(理工类)2015.4(考试时间120分钟 满分150分)本试卷分为选择题(共40分)和非选择题(共110分)两部分第一部分(选择题 共40分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合{}21,2,A m =,{}1,B m =.若B A ⊆,则m =A.0B. 2C. 0 或2D. 1或22.已知点0(1,)A y 0(0)y >为抛物线22y px=()0p >上一点.若点A 到该抛物线焦点的距离为3,则0y =A.B. 2C. D. 43.在ABC ∆中,若π3A =,cos B =6BC =,则AC =A. B.4C.4.“x ∀∈R ,210x ax ++≥成立”是“2a ≤”的 A .充分必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件5.某商场每天上午10点开门,晚上19点停止进入.在如图所示的框图中,t 表示整点时刻,()a t 表示时间段[1,)t t -内进入商场人次,S 表示某天某整点时刻前进入商场人次总和,为了统计某天进入商场的总人次数,则判断框内可以填A. 17?t ≤ B .19?t ≥ C .18?t ≥ D .18?t ≤6.设123,,x x x 均为实数,且1211log (1)3x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,2321log 3x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,3231log 3x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭则A. 132x x x <<B. 321x x x <<C. 312x x x <<D. 213x x x <<7.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点(1,0)A ,(1,1)B ,且90BOP ∠=.设OP OA kOB =+()k ∈R ,则OP =A . 12B. 2C.D.28. 设集合M ={}220000(,)20,,x y xy x y +≤∈∈Z Z,则M 中元素的个数为A.61B. 65C. 69D.84第二部分(非选择题 共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡上.9.i 为虚数单位,计算12i1i -=+ ______. 10.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若383a a +=,31S =,则通项公式n a =______.11.在极坐标中,设002πρθ>≤<,,曲线2ρ=与曲线sin 2ρθ=交点的极坐标为______.12.已知有身穿两种不同队服的球迷各有三人,现将这六人排成一排照相,要求身穿同一种队服的球迷均不能相邻,则不同的排法种数为 . (用数字作答)13. 设3z x y =+,实数x ,y 满足20,20,0,x y x y y t +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩其中0t >.若z 的最大值为5,则实数t 的值为______,此时z 的最小值为______.14.将体积为1的四面体第一次挖去以各棱中点为顶点的构成的多面体,第二次再将剩余的每个四面体均挖去以各棱中点为顶点的构成的多面体,如此下去,共进行了n (n *∈N )次.则第一次挖去的几何体的体积是______;这n 次共挖去的所有几何体的体积和是______.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分13分)已知函数2()cos cos f x x x x =,x ∈R . (Ⅰ)求()f x 的最小正周期和单调递减区间;(Ⅱ)设x m =()m ∈R 是函数()y f x =图象的对称轴,求sin 4m 的值.16.(本小题满分13分)如图所示,某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损,其中,频率分布直方图的分组区间分别为[)50,60,[)60,70,[)70,80,[)80,90,[90,100].据此解答如下问题.(Ⅰ)求全班人数及分数在[80,100]之间的频率;(Ⅱ)现从分数在[80,100]之间的试卷中任取3份分析学生失分情况,设抽取的试卷分数在[90,100]的份数为X ,求X 的分布列和数学期望.17.(本小题满分14分)如图,正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直, 已知//,AB CD AD CD ⊥,12AB AD CD==.(Ⅰ)求证:BF //平面CDE ;0.0375 0.01250.025(Ⅱ)求平面BDF 与平面CDE 所成锐二面角的余弦值; (Ⅲ)线段EC 上是否存在点M ,使得平面BDM ⊥平面BDF ? 若存在,求出EMEC 的值;若不存在,说明理由.18.(本小题满分13分)已知函数2()ln (1)2x f x a x a x=+-+,a ∈R .(Ⅰ) 当1a =-时,求函数()f x 的最小值; (Ⅱ) 当1a ≤时,讨论函数()f x 的零点个数.19.(本小题满分14分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为(2,0)F,离心率为3F的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点,线段AB 中点为D ,O 为坐标原点,过O ,D 的直线 交椭圆于,M N 两点.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)求四边形AMBN 面积的最大值.20.(本小题满分13分)若数列{}n a 中不超过()f m 的项数恰为m b ()m ∈*N ,则称数列{}m b 是数列{}n a 的生成数列,称相应的函数()f m 是{}n a 生成{}m b 的控制函数.设2()f m m =. (Ⅰ)若数列{}n a 单调递增,且所有项都是自然数,11=b ,求1a ; (Ⅱ)若数列{}n a 单调递增,且所有项都是自然数,,11b a =求1a ;(Ⅲ)若2(1,2,3)n a n n ==,是否存在{}m b 生成{}n a 的控制函数2()g n pn qn r =++(其中ABFED C常数,,p q r ∈Z )?使得数列{}n a 也是数列{}m b 的生成数列?若存在,求出)(n g ;若不存在,说明理由.北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学答案(理工类) 2015.4(注:两空的填空,第一空3分,第二空2分)三、解答题(满分80分) 15.(本小题满分13分)解:(Ⅰ)由已知,函数2()cos cos f x x x x = 1(1cos2)2x =+2x =π1sin(2)62x ++.函数()f x 的最小正周期为πT =.当ππ3π2π22π262k x k +≤+≤+时(k ∈Z ),即π2ππ+π+63k x k ≤≤时,函数()f x 为减函数.即函数()f x 的单调减区间为π2ππ+,π+63k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,k ∈Z . ………………….9分(Ⅱ)由x m =是函数()y f x =图象的对称轴,则ππ2=π62m k ++(k ∈Z ),即126m k π=π+,k ∈Z .则423m k 2π=π+.则sin 4m = ………………….13分16. (本小题满分13分)解:(Ⅰ)由茎叶图可知,分布在[50,60)之间的频数为4,由直方图,频率为0.0125100.125⨯=,所以全班人数为4320.125=人.所以分数在[80,100]之间的人数为32(4810)10人.分数在[80,100]之间的频率为100.312532= ………………….4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,分数在[80,100]之间的有10份,分数在[90,100]之间的人数有0.01251032=4份,由题意,X 的取值可为0,1,2,3.363101(0)6C P X C ===, 12463101(1)2C C P X C ===,21463103(2)10C C P X C ===, 343101(3)30C P X C ===.所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望为01236210305EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.………………….13分 17.(本小题满分14分)解:(Ⅰ)因为//,AB CD AB ⊄平面,CDE CD ⊂平面CDE ,所以//AB 平面CDE ,同理,//AF 平面CDE , 又,AB AF A =所以平面//ABF 平面CDE ,因为BF ⊂平面,ABF 所以//BF 平面CDE . ……………….4分(Ⅱ)因为平面ADEF 平面ABCD ,平面ADEF 平面ABCD =AD ,CDAD ,CD平面ABCD ,所以CD 平面ADEF .又DE平面ADEF ,故CD ED .而四边形ADEF 为正方形,所以AD DE 又AD CD ,以D 为原点,DA ,DC ,DE 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系D xyz -.设1AD =,则(0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,2,0),(0,0,1)D B F C E , 取平面CDE 的一个法向量(1,0,0)DA =, 设平面BDF 的一个法向量(,,)x y z =n ,则00DB DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即00x y x z +=⎧⎨+=⎩,令1x =,则1y z ==-, 所以(1,1,1)=--n .设平面BDF 与平面CDE 所成锐二面角的大小为θ,则cos |cos ,|DA θ=<>==n . ……………….9分 所以平面BDF 与平面CDE. (Ⅲ)若M 与C 重合,则平面()BDM C 的一个法向量0(0,0,1)m ,由(Ⅱ)知平面BDF的一个法向量(1,1,1)n,则010m n =,则此时平面BDF 与平面BDM 不垂直.若M 与C 不重合,如图设EMECλ=01λ,则(0,2,1)M λλ-,设平面BDM 的一个法向量000(,,)x y z =m ,则00DB DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ,即000002(1)0x y y z λλ+=⎧⎨+-=⎩,令01x =,则0021,1y z λλ=-=-,所以2(1,1,)1λλ=--m , 若平面BDF ⊥平面BDM 等价于0⋅=m n ,即2110,1λλ+-=-所以[]10,12λ=∈. 所以,EC 上存在点M 使平面BDF ⊥平面BDM ,且12EM EC =.……………….14分 18. (本小题满分13分)解:(Ⅰ)函数()f x 的定义域为{}0x x >.当1a =-时,2()ln 2x f x x =-+.211(1)(1)()x x x f x x x x x -+-'=-+==. 由(1)(1)0x x x +->0x 解得1x >;由(1)(1)0x x x+-<0x解得01x <<.所以()f x 在区间(0,1)单调递减, 在区间(1,)+∞单调递增.所以1x =时,函数()f x 取得最小值1(1)2f =. ……………….5分 (Ⅱ)(1)()()x x a f x x--'=,0x >.(1)当0a ≤时,(0,1)x ∈时,()0f x '<,()f x 为减函数; (1,)x ∈+∞时,()0f x '>,()f x 为增函数. 所以()f x 在1x =时取得最小值1(1)2f a =--. (ⅰ)当0a =时,2()2x f x x =-,由于0x >,令()0f x ,2x ,则()f x 在(0,)+∞上有一个零点;(ⅱ)当12a =-时,即(1)0f =时,()f x 有一个零点;(ⅲ)当12a <-时,即(1)0f >时,()f x 无零点.(ⅳ)当102a -<<时,即(1)0f <时,由于0x →(从右侧趋近0)时,()f x →+∞;x →+∞时,()f x →+∞, 所以()f x 有两个零点.(2)当01a <<时,(0,)x a ∈时,()0f x '>,()f x 为增函数; (,1)x a ∈时,()0f x '<,()f x 为减函数; (1,)x ∈+∞时,()0f x '>,()f x 为增函数.所以()f x 在x a =处取极大值,()f x 在1x =处取极小值.21()ln (1)2f a a a a a a =+-+21ln 2a a a a =--.当01a <<时,()0f a <,即在(0,1)x ∈时,()0f x <.而()f x 在(1,)x ∈+∞时为增函数,且x →+∞时,()f x →+∞, 所以此时()f x 有一个零点.(3)当1a =时,2(1)()0x f x x-'=≥在()0,+∞上恒成立,所以()f x 为增函数.且0x →(从右侧趋近0)时,()f x →-∞;x →+∞时,()f x →+∞. 所以()f x 有一个零点.综上所述,01a ≤≤或12a =-时()f x 有一个零点;12a <-时,()f x 无零点;102a -<<()f x 有两个零点.……………….13分19.(本小题满分14分) 解:(Ⅰ)由题意可得2222,,c c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得a =b 故椭圆的方程为22162x y +=. …….4分(Ⅱ)当直线l 斜率不存在时,A B的坐标分别为,(2,,||MN = 四边形AMBN 面积为1||||42AMBN S MN AB =⋅=. 当直线l 斜率存在时,设其方程为(2)y k x =-,点11(,)A x y ,22(,)B x y ,33(,)M x y ,33(,)N x y --,点,M N 到直线l 的距离分别为12,d d ,则四边形AMBN 面积为121||()2AMBN S AB d d =+. 由221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)121260k x k x k +-+-=, 则21221213k x x k +=+,212212613k x x k -=+,所以||AB==因为121224(4)13ky y k x x k -+=+-=+, 所以AB 中点22262(,)1313k kD k k -++.当0k时,直线OD 方程为30x ky +=,由2230,1,62x ky x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得333,x ky =-232213y k =+.所以121||()2AMBN S AB d d =+12=====.当0k =时,四边形AMBN 面积的最大值26243AMBNS .综上四边形AMBN 面积的最大值为. …………………………14分20.(本小题满分13分) 解:(Ⅰ)若11b =,因为数列{}n a 单调递增,所以211a ≤,又1a 是自然数,所以10a =或1. ………2分 (Ⅱ)因为数列{}n a 的每项都是自然数,若2101a =≤,则11b ≥,与11a b =矛盾;若12a ≥,则因{}n a 单调递增,故不存在21n a ≤,即10b =,也与11a b =矛盾. 当11=a 时,因{}n a 单调递增,故2≥n 时,1>n a ,所以11b =,符合条件, 所以,11a =. ………6分 (Ⅲ)若2(1,2,)n a n n ==,则数列n a 单调递增,显然数列m b 也单调递增,由2n a m ≤,即22n m ≤,得212n m ≤,所以,m b 为不超过212m 的最大整数,当21mkk N 时,因为222211222222122k k m k k k k -<=-+<-+,所以222m b k k =-; 当2mk kN 时,22122m k =,所以,22m b k =.文档供参考,可复制、编制,期待您的好评与关注!11 / 11 综上,2222,21(2,2(m k k m k k b k m k k N )N ),即当0m 且m 为奇数时,212m m b ;当0m 且m 为偶数时,22m m b . 若数列{}n a 是数列{}m b 的生成数列,且{}m b 生成{}n a 的控制函数为()g n , 则m b 中不超过()g n 的项数恰为n a ,即m b 中不超过()g n 的项数恰为2n , 所以221()n n b g n b +≤<,即222222n pn qn r n n ≤++<+对一切正整数n 都成立,即22(2)0(2)(2)0p n qn r p n q n r ⎧-++≥⎪⎨-+-->⎪⎩对一切正整数n 都成立, 故得2p =,且0(2)0qn r q n r +≥⎧⎨-->⎩对一切正整数n 都成立,故02q ≤≤,q Z ∈. 又常数r Z ∈,当0q =时,02(1)r n n ≤<≥,所以0r =,或1r =; 当1q =时,(1)n r n n -≤<≥,所以0r =,或1r =-; 当2q =时,20(1)n r n -≤<≥,所以2r =-,或1r =-; 所以2()2g n n =,或221n +,或221n n +-,或22n n +,或2222n n +-,或2221n n +-(n N ). ………13分。
2015年高考理科数学北京卷(含详细答案)
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无A.充分而不必要条件
--------------------
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
效数学试卷第1页(共18页)
1
211
正(主)视图侧(左)视图
俯视图
A.25B.45C.225D.5
6.设{a}是等差数列.下列结论中正确的是()
n
A.若aa0,则aa0B.若aa0,则aa0--------在绝密★启用前
5.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是()
第Ⅱ卷(非选择题共110分)
--------------------2015年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)
数学(理科)
此
--------------------本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分,考试时间120
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中的横线上.
9.在(2x)的展开式中,x3的系数为________(用数字作答).
10.已知双曲线x2y2(a0)的一条渐近线为3xy0,则a________.
a2
11.在极坐标系中,点(2‚π
12.在△ABC中,a4,b5,c6,则sin2A
13.在△ABC中,点M,N满足AM2MC,BNNC.若MNxAByAC,则x
_______;y_______.
2xa‚x1‚
14.设函数(x)
4(xa)(x2a)‚x≥1.
①若a1,则f(x)的最小值为__________;
②若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是__________.
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
2015年北京市朝阳区高三二模数学理试题及答案word版
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北京市朝阳区理科数学2015学年度第二学期高三综合练习2015.5第一部分(选择题共40 分)一、选择题(共8 小题,每小题5 分,共40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项)1.已知集合,集合,则=().B.C.D.2.执行如图所示的程序框图,则输出的n的值是().A.7 B.10 C.66 D.1663.设为虚数单位,,“复数是纯虚数”是“”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.已知平面上三点A,B,C,满足,则=().A.48 B.-48 C.100 D.-1005.已知函数,若对任意的实数x,总有,则的最小值是().A.2 B.4 C.D.26.已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点F,且两曲线的一个交点为P.若,则双曲线的渐近线方程为().7.已知函数,若对任意,都有成立,则实数m的取值范围是().8.如图,将一张边长为1的正方形纸ABCD折叠,使得点B始终落在边AD上,则折起部分面积的最小值为().第Ⅱ卷(非选择题共110 分)二、填空题:本小题共6 小题,每小题5 分,共30 分.9.展开式中含项的系数是__________.10.已知圆C的圆心在直线x-y=0上,且圆C与两条直线x+y=0和x+y-12=0都相切,则圆C的标准方程是__________.11.如图,已知圆B的半径为5,直线AMN与直线ADC为圆B的两条割线,且割线AMN过圆心B.若AM=2,,则AD=__________.12.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的侧面积为__________.13.已知点在函数的图像上,则数列的通项公式为__________;设O为坐标原点,点,则,中,面积的最大值是__________.14.设集合,集合A中所有元素的个数为__________;集合A 中满足条件“”的元素个数为__________.三、解答题:本大题共6 小题,共80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题共13分)在梯形ABCD中,(Ⅰ)求AC的长;(Ⅱ)求梯形ABCD的高.16.(本小题共13分)某学科测试中要求考生从A,B,C三道题中任选一题作答,考试结束后,统计数据显示共有600名学生参加测试,选择A,B,C三题答卷数如下表:(Ⅰ)某教师为了解参加测试的学生答卷情况,现用分层抽样的方法从600份答案中抽出若干份答卷,其中从选择A题作答的答卷中抽出了3份,则应分别从选择B,C题作答的答卷中各抽出多少份?(Ⅱ)若在(Ⅰ)问中被抽出的答卷中,A,B,C三题答卷得优的份数都是2,从被抽出的A,B,C 三题答卷中再各抽出1份,求这3份答卷中恰有1份得优的概率;(Ⅲ)测试后的统计数据显示,B题的答卷得优的有100份,若以频率作为概率,在(Ⅰ)问中被抽出的选择B题作答的答卷中,记其中得优的份数为X,求X的分布列及其数学期望EX.17.(本小题共14分)如图,在直角梯形ABCD中,.直角梯形ABEF可以通过直角梯形ABCD以直线AB为轴旋转得到,且平面平面ABCD.(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)求直线BD和平面BCE所成角的正弦值;(Ⅲ)设H为BD的中点,M,N分别为线段FD,AD上的点(都不与点D重合).若直线平面MNH,求MH的长.18.(本小题共13分)已知点M为椭圆的右顶点,点A,B是椭圆C上不同的两点(均异于点M),且满足直线MA与直线MB斜率之积为14.(Ⅰ)求椭圆C的离心率及焦点坐标;(Ⅱ)试判断直线AB是否过定点:若是,求出定点坐标;若否,说明理由.19.(本小题共14分)已知函数.(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;(Ⅱ)若在区间(1,2)上存在不相等的实数成立,求的取值范围;(Ⅲ)若函数有两个不同的极值点,,求证:.20.(本小题共13分)已知数列,是正整数1,2,3,,n的一个全排列.若对每个都有或3,则称为H数列.(Ⅰ)写出满足的所有H数列;(Ⅱ)写出一个满足的数列的通项公式;(Ⅲ)在H数列中,记.若数列是公差为d的等差数列,求证:或.参考答案及评分标准高三数学(理科)一、选择题:题号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)答案 A B B C A C D B 二、填空题:题号(9)(10)(11)(12)(13)(14)答案三、解答题:15.(本小题共13 分)解:(Ⅰ)在中,因为,所以.由正弦定理得:,即.(Ⅱ)在中,由余弦定理得:,整理得,解得(舍负).过点作于,则为梯形的高.因为,,所以.在直角中,.即梯形的高为.16.(本小题共13 分)解:(Ⅰ)由题意可得:题 A B C答卷数180 300 230抽出的答卷数 3 5 2应分别从题的答卷中抽出份,份.(Ⅱ)记事件:被抽出的三种答卷中分别再任取出份,这份答卷中恰有份得优,可知只能题答案为优,依题意.(Ⅲ)由题意可知,题答案得优的概率为,显然被抽出的题的答案中得优的份数的可能取值为,且.;;;;;.随机变量的分布列为:所以.17.(本小题共14分)证明:(Ⅰ)由已知得,.因为平面平面,且平面平面,所以平面,由于平面,所以.(Ⅱ)由(1)知平面所以,.由已知,所以两两垂直.以为原点建立空间直角坐标系(如图).因为,则,,,,所以,,设平面的一个法向量.所以,即.令,则.设直线与平面所成角为,因为,所以.所以直线和平面所成角的正弦值为.(Ⅲ)在为原点的空间直角坐标系中,,,,,.设,即.,则,,.若平面,则.即..解得.则,.18.(本小题共13分)解:(Ⅰ)椭圆的方程可化为,则,,.故离心率为,焦点坐标为,.(Ⅱ)由题意,直线的斜率存在,可设直线的方程为,,,则,.由得.判别式.所以,,因为直线与直线的斜率之积为,所以,所以.化简得,所以,化简得,即或.当时,直线方程为,过定点.代入判别式大于零中,解得.当时,直线的方程为,过定点,不符合题意.故直线过定点.19.(本小题共14分)解:(Ⅰ)当时,,.由,解得,.当时,,单调递增;当时,,单调递减;当时,,单调递增.所以的单调增区间为,单调减区间为.(Ⅱ)依题意即求使函数在上不为单调函数的的取值范围.,设,则,.因为在上为增函数.当,即当时,函数在上有且只有一个零点,设为,当时,,即,为减函数;当时,,即,为增函数,满足在上不为单调函数.当时,,,所以在上成立(因在上为增函数),所以在上成立,即在上为增函数,不合题意.同理时,可判断在为减函数,不合题意.综上.(Ⅲ).因为函数有两个不同的零点,即有两个不同的零点,即方程的判别式,解得.由,解得,.此时,.随着变化,和的变化情况如下:+ +极大值极小值所以是的极大值点,是的极小值点,所以是极大值,是极小值所以因为,所以,所以.20.(本小题共13分)解:(Ⅰ)满足条件的数列有两个:.(Ⅱ)由(1)知数列满足,把各项分别加后,所得各数依次排在后,因为,所得数列显然满足或,,即得数列.其中,.如此下去即可得到一个满足的数列为:(其中)(写出此通项也可以(其中))(Ⅲ)由题意知,,且.有解:①,,,则,这与是矛盾的.②时,与①类似可得不成立.③时,,则不可能成立.④时,若或,则或.若或,则,类似于③可知不成立.④时,若同号,则,由上面的讨论可知不可能;若或,则或;⑤时,若异号,则,不行;若同号,则,同样由前面的讨论可知与矛盾.综上,只能为或,且(2)中的数列是的情形,将(2)中的数列倒过来就是,所以为或.北京市朝阳区2014-2015学年度第二学期综合练习(二)高三数学(文科)试题及答案第11 页共11 页。
2014-2015朝阳高三一模数学文答案
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北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷答案(文史类)2015.4一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. (15)(本小题满分13分) (Ⅰ)因为cos B =,(0,)B ∈π,又22sin cos 1BB +=, 所以sin B =. 由正弦定理得,sin sin AC BCB A=.=. 所以4AC =. ……… 6分 (Ⅱ)在ABC ∆中,sin sin(60)C B =+osin cos60cos sin 60B B =+oo1sin 2B B =+ =12 =6.所以1sin 2ABC S AC BC C ∆=⋅=1462⨯⨯⨯6=……13分 (16)(本小题满分13分)解:(Ⅰ)从茎叶图可以看出,乙校10名学生的考试成绩的平均分高于甲校10名学生的考试成绩平均分,故乙校的数学成绩整体水平较高. ……… 4分 (Ⅱ)设事件M :分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的同学,抽到的学生中,甲校学生成绩高于乙校学生成绩.由茎叶图可知,甲校成绩不低于90分的同学有2人,从小到大依次记为12,A A ;乙校成绩不低于90分的同学有5人,从小到大依次记为12345,,,,B B B B B . 其中121234592,93,90,91,95,96,98.A A B B B B B =======分别从甲、乙两校各随机抽取1名成绩不低于90分的同学共有11121314152122232425,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B 这10种可能.其中满足“抽到的学生中,甲校学生成绩高于乙校学生成绩”共有11122122,,,A B A B A B A B 这4种可能.所以42()105P M ==. 即分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的同学,抽到的学生中,甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率为25. ……… 13分 (17)(本小题满分14分)解:(Ⅰ)证明:因为三棱柱的侧面是正方形,所以11,CC BC CC AC ^^,BC AC C =I . 所以1CC ^底面ABC .因为BD Ì底面ABC ,所以1CC BD ^. 由已知可得,底面ABC 为正三角形. 因为D 是AC 中点,所以BD AC ^. 因为1AC CC C ?,所以BD ^平面11ACC A . ……… 5分(Ⅱ)证明:如图,连接1B C 交1BC 于点O ,连接OD .显然点O 为1B C 的中点.AB CDA 1B 1C 1O因为D 是AC 中点, 所以1//AB OD . 又因为OD Ì平面1BC D ,1AB Ë平面1BC D , 所以直线1//AB 平面1BC D .……… 10分 (Ⅲ)在DD BC 1内的平面区域(包括边界)存在一点E ,使CE ⊥DM .此时点E 是在线段1C D 上. 证明如下:过C 作1CE C D ⊥交线段1C D 于E ,由(Ⅰ)可知BD ^平面11ACC A ,而CE ⊂平面11ACC A , 所以BD CE ^.又1CE C D ⊥,1BD C D D =I ,所以CE ^平面D BC 1.又DM ⊂平面D BC 1,所以CE ⊥DM . ……… 14分(18)(本小题满分13分)(Ⅰ)解:因为14a =,1n n a S +=,所以2114a S a ===,3212448a S a a ==+=+=,4312344816a S a a a ==++=++=. ……… 3分(Ⅱ)当2n ≥时,11222n n nn n n a S S +-=-=-=.又当1n =时,114a S ==.所以4,1,2, 2.n n n a n =⎧=⎨≥⎩……… 6分(Ⅲ)依题意,224b a ==,338b a ==.则由11428b d b d +=⎧⎨+=⎩得,10b =,4d =,则4(1)n b n =-.所以20,1,(1)2, 2.n n n n a b n n +=⎧⋅=⎨-≥⎩所以2(1)2(*)n n n a b n n +⋅=-∈N .C 1AB CDA 1B 1ME因为n T =1122334411...n n n n a b a b a b a b a b a b --++++++456120122232...(2)2(1)2n n n n ++=+⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯,所以567232122232...(2)2(1)2n n n T n n ++=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯. 所以4567232222...2(1)2n n n T n ++-=+++++--⨯41332(12)(1)216(2)212n n n n n -++-=--⨯=---⨯- .所以316(2)2n n T n +=+-⨯. ……… 13分(19)(本小题满分14分) 解:(Ⅰ)由题意可得2222,,3,c c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得a =b = 故椭圆的方程为22162x y +=. ……… 5分 (Ⅱ)由题意可知直线l 斜率存在,设其方程为(2)y k x =-,点11(,)A x y ,22(,)B x y ,33(,)M x y ,33(,)N x y --,由221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)121260k x k x k +-+-=, 所以21221213k x x k+=+. 因为121224(4)13ky y k x x k-+=+-=+, 所以AB 中点22262(,)1313k kD k k-++. 因此直线OD 方程为30x ky +=()0k ¹.由2230,1,62x ky x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得232213y k =+,333x ky =-. 因为四边形12MF NF 为矩形,所以220F M F N ⋅=u u u u r u u u u r,即3333(2,)(2,)0x y x y -⋅---=.所以223340x y --=.所以222(91)4013k k+-=+.解得3k =±.故直线l的方程为2)3y x =±-. ……… 14分(20)(本小题满分13分)解:函数()f x 定义域为{0}x x ≠,322()e x x x ax a f x x++-'=. (Ⅰ)当0a =时,()e x f x x =⋅,()f x '=(1)e xx +.所以(1)e,(1)2e f f '==.所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是e 2e(1)y x -=-,即2e e =0x y --. ……… 3分(Ⅱ) 当1a =-时,()f x '=3221e xx x x x +-+. 设()g x =321x x x +-+,则2()321(31)(1)g x x x x x '=+-=-+.令()(31)(1)0g x x x '=-+>得,13x >或1x <-,注意到0x >,所以13x >. 令()(31)(1)0g x x x '=-+<得,注意到0x >,得103x <<.所以函数()g x 在1(0,)3上是减函数,在1(,)3+∞上是增函数.所以函数()g x 在13x =时取得最小值,且122()0327g =>. 所以()g x 在(0,)+∞上恒大于零.于是,当(0,)x ∈+∞,()f x '=3221e 0xx x x x +-+>恒成立. 所以当1a =-时,函数()f x 在()0,+∞上为增函数. ……… 7分(Ⅱ)问另一方法提示:当1a =-时,()f x '=3221e xx x x x+-+. 由于3210x x x +-+>在()0,+∞上成立,即可证明函数()f x 在()0,+∞上为增函数.(Ⅲ)(Ⅱ)322()e ()xx x ax af x x++-'=. 设()h x =32x x ax a ++-,2()32h x x x a '=++.(1) 当0a >时,()0h x '>在(0,)+∞上恒成立,即函数()h x 在(0,)+∞上为增函数.而(0)0h a =-<,(1)20h =>,则函数()h x 在区间()0,1上有且只有一个零点0x ,使0()0f x '=,且在0(0,)x 上,()0f x ¢<,在()0,1x 上,()0f x ¢>,故0x 为函数()f x 在区间()0,1上唯一的极小值点; (2)当0a =时,当x Î()0,1时,2()320h x x x '=+>成立,函数()h x 在区间()0,1上为增函数,又此时(0)0h =,所以函数()0h x >在区间()0,1恒成立,即()0f x ¢>, 故函数()f x 在区间()0,1为单调递增函数,所以()f x 在区间()0,1上无极值; (3)当0a <时,()h x =3232(1)x x ax a x x a x ++-=++-.当()0,1x ∈时,总有()0h x >成立,即()0f x '>成立,故函数()f x 在区间()0,1上为单调递增函数,所以()f x 在区间()0,1上无极值.综上所述0a >. ……… 13分。
2015年北京市丰台区高考一模数学试卷(理科)【解析版】
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2015年北京市丰台区高考数学一模试卷(理科)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.(5分)在复平面内,复数对应的点的坐标为()A.(1,﹣1)B.(﹣1,1)C.D.2.(5分)在等比数列{a n}中,a3+a4=4,a2=2,则公比q等于()A.﹣2B.1或﹣2C.1D.1或23.(5分)已知双曲线的一条渐近线方程是,它的一个焦点坐标为(2,0),则双曲线的方程为()A.B.C.D.4.(5分)当n=5时,执行如图所示的程序框图,输出的S值是()A.7B.10C.11D.165.(5分)在极坐标系中,曲线ρ2﹣6ρcosθ﹣2ρsinθ+6=0与极轴交于A,B两点,则A,B两点间的距离等于()A.B.C.D.46.(5分)如图是一个几何体的三视图,则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是()A.3B.3C.4D.57.(5分)将函数图象向左平移个长度单位,再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的一半(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是()A.B.C.y=cos x D.8.(5分)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,点B,C分别在x轴和y轴非负半轴上,点A在第一象限,且∠BAC=90°,AB=AC=4,那么O,A两点间距离的()A.最大值是,最小值是4B.最大值是8,最小值是4C.最大值是,最小值是2D.最大值是8,最小值是2二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.9.(5分)(x+cos x)dx=.10.(5分)已知二项式的展开式中各项二项式系数和是16,则n=,展开式中的常数项是.11.(5分)若变量x,y 满足约束条件则z=2x+y的最大值是.12.(5分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2﹣2x,如果函数g(x)=f(x)﹣m(m∈R)恰有4个零点,则m的取值范围是.13.(5分)如图,AB是圆O的直径,CD与圆O相切于点D,AB=8,BC=1,则CD=;AD=.14.(5分)已知平面上的点集A及点P,在集合A内任取一点Q,线段PQ长度的最小值称为点P到集合A的距离,记作d(P,A).如果集合A={(x,y)|x+y=1(0≤x≤1)},点P的坐标为(2,0),那么d(P,A)=;如果点集A所表示的图形是边长为2的正三角形及其内部,那么点集D={P|0<d(P,A)≤1}所表示的图形的面积为.二、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.(13分)已知函数f(x)=cos2+sincos ﹣(ω>0)的最小正周期为π.(Ⅰ)求ω的值及函数f(x)的最大值和最小值;(Ⅱ)求函数f(x)的单调递增区间.16.(13分)甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召,决定各购置一辆纯电动汽车.经了解目前市场上销售的主流纯电动汽车,按续驶里程数R(单位:公里)可分为三类车型,A:80≤R<150,B:150≤R<250,C:R≥250.甲从A,B,C三类车型中挑选,乙从B,C两类车型中挑选,甲、乙二人选择各类车型的概率如下表:若甲、乙都选C类车型的概率为.(Ⅰ)求p,q的值;(Ⅱ)求甲、乙选择不同车型的概率;(Ⅲ)某市对购买纯电动汽车进行补贴,补贴标准如下表:记甲、乙两人购车所获得的财政补贴和为X,求X的分布列.17.(14分)在如图所示的几何体中,四边形ABCD为正方形,P A⊥平面ABCD,P A∥BE,AB=P A=4,BE=2.(Ⅰ)求证:CE∥平面P AD;(Ⅱ)求PD与平面PCE所成角的正弦值;(Ⅲ)在棱AB上是否存在一点F,使得平面DEF⊥平面PCE?如果存在,求的值;如果不存在,说明理由.18.(13分)设函数f(x)=e x﹣ax,x∈R.(Ⅰ)当a=2时,求曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求证:f(x)>0;(Ⅲ)当a>1时,求函数f(x)在[0,a]上的最大值.19.(14分)已知椭圆C:的离心率为,右顶点A是抛物线y2=8x的焦点.直线l:y=k(x﹣1)与椭圆C相交于P,Q两点.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)如果,点M关于直线l的对称点N在y轴上,求k的值.20.(13分)如果数列A:a1,a2,…,a m(m∈Z,且m≥3),满足:①a i∈Z,(i=1,2,…,m);②a1+a2+…+a m=1,那么称数列A为“Ω”数列.(Ⅰ)已知数列M:﹣2,1,3,﹣1;数列N:0,1,0,﹣1,1.试判断数列M,N是否为“Ω”数列;(Ⅱ)是否存在一个等差数列是“Ω”数列?请证明你的结论;(Ⅲ)如果数列A是“Ω”数列,求证:数列A中必定存在若干项之和为0.2015年北京市丰台区高考数学一模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.(5分)在复平面内,复数对应的点的坐标为()A.(1,﹣1)B.(﹣1,1)C.D.【解答】解:∵=,∴复数对应的点的坐标为(1,﹣1),故选:A.2.(5分)在等比数列{a n}中,a3+a4=4,a2=2,则公比q等于()A.﹣2B.1或﹣2C.1D.1或2【解答】解:∵等比数列{a n}中,a3+a4=4,a2=2,∴a3+a4=2q+2q2=4,∴q2+q﹣2=0,解得q=1或q=﹣2故选:B.3.(5分)已知双曲线的一条渐近线方程是,它的一个焦点坐标为(2,0),则双曲线的方程为()A.B.C.D.【解答】解:双曲线的一条渐近线方程是,可得,它的一个焦点坐标为(2,0),可得c=2,即a2+b2=4,解得a=1,b=,所求双曲线方程为:.故选:C.4.(5分)当n=5时,执行如图所示的程序框图,输出的S值是()A.7B.10C.11D.16【解答】解:模拟执行程序,可得n=5,m=1,S=1满足条件m<5,S=2,m=2满足条件m<5,S=4,m=3满足条件m<5,S=7,m=4满足条件m<5,S=11,m=5不满足条件m<5,退出循环,输出S的值为11.故选:C.5.(5分)在极坐标系中,曲线ρ2﹣6ρcosθ﹣2ρsinθ+6=0与极轴交于A,B两点,则A,B两点间的距离等于()A.B.C.D.4【解答】解:曲线ρ2﹣6ρcosθ﹣2ρsinθ+6=0转化成直角坐标方程为:x2+y2﹣6x﹣2y+6=0.由于曲线与极轴交于A,B两点,设交点坐标为:A(x1,0),B(x2,0),令y=0,则:x2﹣6x+6=0,所以:x1+x2=6,x1x2=6.则:|AB|=|x1﹣x2|==2.故选:B.6.(5分)如图是一个几何体的三视图,则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是()A.3B.3C.4D.5【解答】解:∵根据三视图得出:几何体为下图AD,AB,AG相互垂直,面AEFG⊥面ABCDE,BC∥AE,AB=AD=AG=3,DE=1,根据几何体的性质得出:AC=3,GC===,GE==5,BG=,AD=4,EF=,CE=,故最长的为GC=3故选;B7.(5分)将函数图象向左平移个长度单位,再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的一半(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是()A.B.C.y=cos x D.【解答】解:将函数图象向左平移个长度单位,得到的函数解析式为:y=cos[(x+)﹣]=cos;再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的一半(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是:y=cos x.故选:C.8.(5分)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,点B,C分别在x轴和y轴非负半轴上,点A在第一象限,且∠BAC=90°,AB=AC=4,那么O,A两点间距离的()A.最大值是,最小值是4B.最大值是8,最小值是4C.最大值是,最小值是2D.最大值是8,最小值是2【解答】解:设A(x,y),B(b,0),C(0,c),则由∠BAC=90°,可得x(x﹣b)+y(y﹣c)=0,即为x2﹣bx+y2﹣cy=0,又|BC|=4,即有b2+c2=32,即有A的轨迹方程为(x﹣)2+(y﹣)2=8,设x=+2cosα,y=+2sinα,(0),则有x2+y2=(b2+c2)+8+2b cosα+2c sinα=16+2(b cosα+c sinα),令b=4sinθ,c=4cosθ(0),则有x2+y2=16(cosαsinθ+sinαcosθ)=16+16sin(α+θ),因为BC两点都在运动,注意到AB=AC=4,即这两条直角边都是固定的,因此是BC两点的运动带动了A的运动,A的轨迹是线段.当α+θ=时,取得最大值32,即有|AO|最大为4,当α+θ=0时,取得最小值16,即有|AO|最小为4,故选:A.二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.9.(5分)(x+cos x)dx=.【解答】解:(x2+sin x)|=故答案为:.10.(5分)已知二项式的展开式中各项二项式系数和是16,则n=4,展开式中的常数项是24.【解答】解:由题意知:得2n=16,∴n=4;展开式的通项为T r+1=,令4﹣2r=0得r=2∴展开式中的常数项为24故答案为:4,2411.(5分)若变量x,y满足约束条件则z=2x+y的最大值是6.【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分).由z=2x+y得y=﹣2x+z,平移直线y=﹣2x+z,由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时,直线y=﹣2x+z的截距最大,此时z最大.由,解得,即A(2,2)将C(2,2)的坐标代入目标函数z=2x+y,得z=2×2+2=6.即z=2x+y的最大值为6.故答案为:6.12.(5分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2﹣2x,如果函数g(x)=f(x)﹣m(m∈R)恰有4个零点,则m的取值范围是(﹣1,0).【解答】解:函数g(x)=f(x)﹣m(m∈R)恰有4个零点可化为函数f(x)与y=m恰有4个交点,作函数f(x)与y=m的图象如下,故m的取值范围是(﹣1,0);故答案为:(﹣1,0).13.(5分)如图,AB是圆O的直径,CD与圆O相切于点D,AB=8,BC=1,则CD=3;AD=.【解答】解:∵CD与圆O相切于点D,AB=8,BC=1,∴由切割线定理可得CD2=CB•CA=1×9,∴CD=3;连接OD,则OD⊥DC,∴cos∠COD=,∴cos∠AOD=﹣,∴AD==.故答案为:3,.14.(5分)已知平面上的点集A及点P,在集合A内任取一点Q,线段PQ长度的最小值称为点P到集合A的距离,记作d(P,A).如果集合A={(x,y)|x+y=1(0≤x≤1)},点P的坐标为(2,0),那么d(P,A)=1;如果点集A所表示的图形是边长为2的正三角形及其内部,那么点集D={P|0<d(P,A)≤1}所表示的图形的面积为6+π.【解答】解:如果集合A={(x,y)|x+y=1(0≤x≤1)},设Q(x,y),点P的坐标为(2,0),则|PQ|====,由于0≤x≤1,即有x=1取得最小值1,那么d(P,A)=1;如果点集A所表示的图形是边长为2的正三角形及其内部,若P在正三角形及其内部,则面积为0,若P∉A,则点集D={P|0<d(P,A)≤1}所表示的图形为三个边长分别为2,1的矩形和三个半径为1,圆心角为120度的扇形以及内部,即有面积为3×2×1+3×π=6+π,故答案为:1,6+π.二、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.(13分)已知函数f(x)=cos2+sin cos﹣(ω>0)的最小正周期为π.(Ⅰ)求ω的值及函数f(x)的最大值和最小值;(Ⅱ)求函数f(x)的单调递增区间.【解答】解:(Ⅰ)f(x)=cos2+sin﹣===sin().因为T=,ω>0,所以ω=2.因为f(x)=sin(2x+),x∈R,所以.所以函数f(x)的最大值为1,最小值为﹣1.(Ⅱ)令,k∈Z,得2k,k∈Z,所以,k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间为[,k∈Z.16.(13分)甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召,决定各购置一辆纯电动汽车.经了解目前市场上销售的主流纯电动汽车,按续驶里程数R(单位:公里)可分为三类车型,A:80≤R<150,B:150≤R<250,C:R≥250.甲从A,B,C三类车型中挑选,乙从B,C两类车型中挑选,甲、乙二人选择各类车型的概率如下表:若甲、乙都选C 类车型的概率为.(Ⅰ)求p,q的值;(Ⅱ)求甲、乙选择不同车型的概率;(Ⅲ)某市对购买纯电动汽车进行补贴,补贴标准如下表:记甲、乙两人购车所获得的财政补贴和为X,求X的分布列.【解答】解:(Ⅰ)由题意可得解得,.…(4分)(Ⅱ)设“甲、乙选择不同车型”为事件A,分三种情况,甲选车型A ,甲选车型B,甲选车型C,满足题意的概率为:P(A)=.答:所以甲、乙选择不同车型的概率是.…(7分)(Ⅲ)X可能取值为7,8,9,10.P(X=7)==,P(X=8)==,P(X=9)==;P(X=10)==.所以X的分布列为:…(13分)17.(14分)在如图所示的几何体中,四边形ABCD为正方形,P A⊥平面ABCD,P A∥BE,AB=P A=4,BE=2.(Ⅰ)求证:CE∥平面P AD;(Ⅱ)求PD与平面PCE所成角的正弦值;(Ⅲ)在棱AB上是否存在一点F,使得平面DEF⊥平面PCE?如果存在,求的值;如果不存在,说明理由.【解答】解:(Ⅰ)设P A中点为G,连结EG,DG.因为P A∥BE,且P A=4,BE=2,所以BE∥AG且BE=AG,所以四边形BEGA为平行四边形.所以EG∥AB,且EG=AB.因为正方形ABCD,所以CD∥AB,CD=AB,所以EG∥CD,且EG=CD.所以四边形CDGE为平行四边形.所以CE∥DG.因为DG⊂平面P AD,CE⊄平面P AD,所以CE∥平面P AD.(Ⅱ)如图建立空间坐标系,则B(4,0,0),C(4,4,0),E(4,0,2),P(0,0,4),D(0,4,0),所以=(4,4,﹣4),=(4,0,﹣2),=(0,4,﹣4).设平面PCE的一个法向量为=(x,y,z),所以,可得.令x=1,则,所以=(1,1,2).设PD与平面PCE所成角为α,则sinα=|cos<,>|=|=||=..所以PD与平面PCE所成角的正弦值是.(Ⅲ)依题意,可设F(a,0,0),则,=(4,﹣4,2).设平面DEF的一个法向量为=(x,y,z),则.令x=2,则,所以=(2,,a﹣4).因为平面DEF⊥平面PCE,所以•=0,即2++2a﹣8=0,所以a=<4,点.所以.18.(13分)设函数f(x)=e x﹣ax,x∈R.(Ⅰ)当a=2时,求曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求证:f(x)>0;(Ⅲ)当a>1时,求函数f(x)在[0,a]上的最大值.【解答】解:(Ⅰ)当a=2时,f(x)=e x﹣2x,f(0)=1,f′(x)=e x﹣2,即有f(x)在点(0,f(0))处的切线斜率为f′(0)=e0﹣2=﹣1,即有f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y﹣1=﹣(x﹣0),即为x+y﹣1=0;(Ⅱ)证明:f′(x)=e x﹣2,令f′(x)=0,解得x=ln2,当x<ln2时,f′(x)<0,f(x)递减,当x>n2时,f′(x)>0,f(x)递增.即有x=ln2处f(x)取得极小值,也为最小值,且为e ln2﹣2ln2=2﹣2ln2>0,即有f(x)>0;(Ⅲ)由于f(x)=e x﹣ax,f′(x)=e x﹣a,令f′(x)=0,解得x=lna>0,当a>1,令M(a)=a﹣lna,M′(a)=1﹣=>0,M(a)在(1,+∞)递增,又M(1)=1﹣ln1=1,M(a)=a﹣lna>0,即有a>1,a>lna,当0<x<lna时,f′(x)<0,f(x)递减,lna<x<a时,f′(x)>0,f(x)递增.即有x=lna处f(x)取得最小值;f(0)=e0﹣0=1,f(a)=e a﹣a2,令h(a)=f(a)﹣f(0)=e a﹣a2﹣1,a>1时,h′(a)=e a﹣2a>0,h(1)=e﹣1﹣1=e﹣2>0,h(a)=e a﹣a2﹣1>0,当a>1时,f(a)>f(0),则有当a>1时,f(x)在[0,a]上的最大值为f(a)=e a﹣a2.19.(14分)已知椭圆C:的离心率为,右顶点A是抛物线y2=8x的焦点.直线l:y=k(x﹣1)与椭圆C相交于P,Q两点.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)如果,点M关于直线l的对称点N在y轴上,求k的值.【解答】解:(Ⅰ)抛物线y2=8x,所以焦点坐标为(2,0),即A(2,0),所以a=2.又因为e==,所以c=.所以b=1,所以椭圆C的方程为.…(4分)(Ⅱ)设P(x1,y1),Q(x2,y2),因为,所以=(x1+x2﹣4,y1+y2),所以M(x1+x2﹣2,y1+y2).由直线l:y=k(x﹣1)与椭圆C联立,得(4k2+1)x2﹣8k2x+4k2﹣4=0,得x1+x2﹣2=﹣,y1+y2=,即M(﹣,).设N(0,y3),则MN中点坐标为(﹣,),因为M,N关于直线l对称,所以MN的中点在直线l上,所以=k(﹣﹣1),解得y3=﹣2k,即N(0,﹣2k).由于M,N关于直线l对称,所以M,N所在直线与直线l垂直,所以,解得k=±.…(14分)20.(13分)如果数列A:a1,a2,…,a m(m∈Z,且m≥3),满足:①a i∈Z,(i=1,2,…,m);②a1+a2+…+a m=1,那么称数列A为“Ω”数列.(Ⅰ)已知数列M:﹣2,1,3,﹣1;数列N:0,1,0,﹣1,1.试判断数列M,N是否为“Ω”数列;(Ⅱ)是否存在一个等差数列是“Ω”数列?请证明你的结论;(Ⅲ)如果数列A是“Ω”数列,求证:数列A中必定存在若干项之和为0.【解答】(本小题共13分)解:(Ⅰ)数列M不是“Ω”数列;数列N是“Ω”数列.…(2分)(Ⅱ)不存在一个等差数列是“Ω”数列.证明:假设存在等差数列是“Ω”数列,则由a1+a2+…+a m=1 得a1+am=∉Z,与a i∈Z矛盾,所以假设不成立,即不存在等差数列为“Ω”数列.…(7分)(Ⅲ)将数列A按以下方法重新排列:设S n为重新排列后所得数列的前n项和(n∈Z且1≤n≤m),任取大于0的一项作为第一项,则满足﹣+1≤S1≤,假设当2≤n≤m时,若S n﹣1=0,则任取大于0的一项作为第n项,可以保证﹣+1≤S n≤,若S n﹣1≠0,则剩下的项必有0或与S n﹣1异号的一项,否则总和不是1,所以取0或与S n﹣1异号的一项作为第n项,可以保证﹣+1≤S n≤.如果按上述排列后存在S n=0成立,那么命题得证;否则S1,S2,…,S m这m个整数只能取值区间[﹣+1,]内的非0整数,因为区间[﹣+1,]内的非0整数至多m﹣1个,所以必存在S i=S j(1≤i<j ≤m),那么从第i+1项到第j项之和为S i﹣S j=0,命题得证.综上所述,数列A中必存在若干项之和为0.…(13分)。
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y (1,2)
(-1,2)
x
1 1 14. ;1 n 2 2 【解析】 先考虑第一次挖, 挖去以后几何体剩余四部分一样的形状, 并且每一部分的高为原 1 1 1 1 1 来的 ,底面积为原来的 ,所以总体积变化为原来的 4 , 2 4 2 4 2 1 1 同理,每次挖去之后剩余部分的体积都将是挖之前的 ,因此最终剩余 n , 2 2 1 所以总共挖去了 1 n 2
1 1 . 2 2 x 2 a 1 x a x 1 x a a ⑵ f x x a 1 ,x0 x x x ⒈当 a ≤ 0 时, 当 0 x 1 时, f x 0 , f x 单调递减;
当 a 1 时,此时 f x 的零点只有 1 个. 19. 【解析】(1)由题意得 c 2 , e
c 6 ,从而 a 6 a 3 x2 y 2 所以椭圆方程为 1 6 2 (2) (i)当直线 AB 的斜率 k 不存在时, 2 6 直线 AB 为 x 2 ,则 AB MN 2 6 3 1 则 S AMBN AB MN 4 2
P( X 0) P( X 1) P( X 2) P( X 3)
C3 20 1 6 3 C10 120 6
2 1 C6 C6 60 1 3 C10 120 2 4 1 C6 C6 36 3 3 C10 120 10
C3 4 1 4 3 C10 120 30
设面 BDF 的法向量为 n1 ( x, y, z )
ax az 0 令 x 1, ax ay 0
所以 n1 (1, 1, 1)
AD 面 EDC ,所以 DA 为面 EDC 的法向量 DA (a,0,0)
cos n1 DA
n1 DA n1 DA
7.B 【解析】 BOP 90 ,所以 P 点在 y x 这条直线上运动,因此可假设 P x , x ,
2 x 1 k 1 所以有 ,所以 x ,所以 OP 2 2 x k
8.C 【解析】 当 x0 0 时, y0 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 当 x0 1 时, y0 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 当 x0 2 时, y0 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 当 x0 3 时, y0 0 , 1, 2 , 3 , 当 x0 4 时, y0 0 , 1, 2 .
z E F D A x B 图2 M
C
y
18. 【解析】⑴ f x ln x
x2 1 x2 1 , f x x ,x0 2 x x 当 x 1 时, f x 0 , f x 单调递增;
当 0 x 1 时, f x 0 , f x 单调递减; 所以, f x min f 1 ln1
E F D A 图1 B N C
(II)以 D 为原点,以 DA, DC, DE 为 O xyz 建立直角坐标系,如图 2,设 AD AB a 所以 D(0,0,0) A(a,0,0), B(a, a,0), F (a,0, a) C (0, 2a,0)
DF (a,0, a), DB (a, a,0)
a 3a
3 ,由观察可知角度为锐角,所以所求余弦 3
3 3 (III)假设存在点 M
值为
EC (0, 2a, a) ,则 EM EC (0, 2a , a ) ,
DM DE EM (0,0, a) (0,2a , a ) (0,2a, a a )
(ii)当 k 0 时, AB 2 6, MN 2 2 , S AMBN
1 AB MN 4 3 2 (iii)当直线 AB 的斜率 k 存在且 k 0 时,设 A( x1 , y1 ) B( x2 , y2 ) 直线 AB 为 y k ( x 2)
极大值 f a a ln a
f x ≥ 0 恒成立, f x 单调递增,
e4 e2 2e2 2 e2 4 0 , 2 2 2 e e1 1 f e1 1 2e1 1 e 4 0 2 2 所以此时 f x 的零点只有 1 个.
④当 a 0 时, f x
⒉当 0 a 1 时, 当 0 x a 时, f x 0 , f x 单调递增; 当 a x 1 时, f x 0 , f x 单调递减; 当 x 1 时, f x 0 , f x 单调递增.
设面 BDM 的法向量为 n2 ( x, y, z )
ax ay 0 2 令 x 1 , n2 (1, 1, ) 1 2a y (a a ) z 0
面 BDF 的法向量为 n1 (1, 1, 1) 2 1 n1 n2 2 0 ,所以 1 2 EM 1 所以 EC 2
15. 【解析】 (Ⅰ) f x
1 cos 2 x 3 1 3 1 1 π sin 2 x sin 2 x cos 2 x sin 2 x 2 2 2 2 2 2 6 2π 2π f x 的最小正周期为 T 1 2 π π 3π 当 2kπ ≤ 2 x ≤ 2kπ , k Z 时, f x 单调递减, 2 6 2 π 2π 即当 kπ ≤ x ≤ kπ , k Z 时, 6 3 2π π kπ , k Z 单调递减区间为 kπ , 3 6 (Ⅱ) x m 是 f x 的对称轴,
当 x 1 时, f x 0 , f x 单调递增. 所以此时 f x min f 1
1 1 a 1 a . 2 2
1 ① a 时, f x min 0 , f x 的零点个数为 0 ; 2 1 ② a 时, f x 的零点个数为 1 ; 2 e2 e2 1 ③ 0 a 时,f x min 0 , 且 f e a a 1 e e a 1 e 0 , 2 2 2 e2 k a 1 0, 取自然数 k ,使得, kek ,则 f e k ka a 1 e k 2 a 所以此时 f x 有两个零点.
2m π π kπ 6 2 π kπ m , k Z 6 2 2 3 4π sin 4m sin 2kπ sin π 6 3 2
16. 【解析】 (I)由茎叶图知分数在 50,60 的人数为 4 人; 60,70 的人数为 8;
因为 f e2 2
1 综上所述,当 a 时, f x 的零点个数为 0 ; 2 1 当 a 时, f x 的零点个数为 1 ; 2 1 当 0 a 时, f x 有两个零点. 2 当 a 0 时,只有一个零点. 当 0 a 1 时,此时 f x 的零点个数为 1 .
π 交点为原点正上方距离为 2 的点,所以极坐标为 2 , . 2
12. 72 【解析】 假设球队为 A 队和 B 队, 要求同一种队服不能相邻, 则必然是 ABABAB 或 BABABA 3 的排列,所以共有 2 A3 . A 72 3 3 13. 2; 1 【解析】 如图所示:若 z 的最大值为 ,则图象必为下图阴影部分,因此 t 2 此时 z 的最小值在 x 1, y 2 时取到,为 1
2015 年高三朝阳区一模理科数学试卷解析
1. C 【解析】 根据集合的互异性, m 1, 2 , B A m 2 或 m m2 ,解得 m 0 , 1 , 2 均 可,根据集合的互异性, m 1, 2 ,所以 m 0 或 2 2. C
p 【解析】 抛物线焦点为: , 2 p 0 ,点 A 1 , 2 p ,它们的距离为 1 2 p 3 , 2
4. A 【解析】 若 x R , x2 ax 1≥ 0 成立,则等价于 a2 4 ≤ 0 ,则等价于 a ≤ 2 . 5. D 【解析】 当 t 18 时,判断为是,进入循环, t t 1 ,则变为 19,将 18 点到 19 点的人数 统计完成,当 t 19 时,判断为否,输出 S ,D 选项符合要求. 6. A x 1 【解析】 画图,从右边从上往下分别是 y , y log3 x , y log2 x , y log2 x 1 ,所 3 以根据图象可看出 x1 x3 x2 .
x2 x , x 0 ,只有 x 2 一个零点. 2
a2 1 a 0 ,极小值 f 1 a 1 0 , 2 2 4 2 e e 又 f e2 2a a 1 e2 2a e2 2a 2 0 ,所以此时 f x 的零点 2 2 个数为 1 . ⒊当 a 1 时,
分布列为 X
P
0
1 6
11 223来自1031 30
E( X )
6 5
17. 【解析】 (I)证明:过 B 作 EF 的平行线交 CD 于 N 点,如图 1 BN ∥ AD ∥ EF , 且B , 所以四边形 EFBN 是平行四边形, BF ∥ EN N E F FB ∥ EN EN ECD FB ∥面CDE FB ECD
70,80 的人数为 10
4 32 人 0.0125 10 分数在 80,100 的人数为 32 4 8 10 10 人
总人数为
10 5 32 16 (II)分数在 80,90 的人数为 6 人,分数在 90,100 为 4 人
频率为
X 的取值可能为 0,1, 2,3