空间中的平行关系
空间里的平行关系
空间里的平行关系介绍在空间中，存在着许多平行关系。
平行关系是指两条直线在空间中不相交，并且它们在无限远处也不相交。
平行关系是几何学中的一个基本概念，它不仅是空间内直线之间的一种关系，还是平面内直线之间的一种关系。
平行线的性质平行线具有一些重要的性质，下面介绍其中的几个。
平行线的夹角在同一平面内，直线AB与直线CD平行，则:•直线AB与直线CD有相交点时，它们组成同向交角和异向交角。
同向交角相等，异向交角互补。
•直线AB与直线CD没有相交点时，它们组成平行线。
平行线的长度和位置关系在同一平面内，直线AB与直线CD平行，则它们之间的任意一对相交线段的长度比相等，即AB = PQ且CD = RS，则AP = QR，BP = PR，CQ = ST，DQ = TR。
平面图形中的平行线在平面图形中，如果两条直线平行，它们不会相交，我们也可以将它们用符号|| 表示。
空间图形中的平行线在三维空间中，如果两个平面平行，则这两个平面上的任意一对平行线互相平行。
此外，我们可以将两条空间直线的平行关系表示为它们的方向向量的比例相同，即两个向量的比例相等。
平行线的应用平行线在我们的日常生活中有着广泛的应用和影响。
地理学中的平行线黄道和赤道是两条天球上的特殊平行线。
黄道是太阳在一年中的运动轨迹，它在天球上呈现为一条看起来像个圆的曲线，不断地绕着天球移动。
赤道是天球上与黄道相交的大圆。
建筑学中的平行线在建筑设计中，平行线的概念起着非常关键的作用。
建筑师在设计建筑物的时候，需要考虑许多平行线的问题，如水平线、垂直线等，在建筑物的结构和形状上都起着非常重要的作用。
艺术中的平行线平行线在艺术创作中也有着非常广泛的应用。
在绘画中，平行线可以被用来描绘建筑物的构成和形状，而在设计中，平行线则可以被用来构建各种几何图形和图案。
结论平行线是几何学中的一个基本概念，它可以被用来描述空间中不同直线之间的关系。
平行线有着许多重要的性质和应用，它不仅仅是几何学中的一个概念，还被广泛应用于各个领域中。
第四课时空间中的平行关系
空间中的平行关系知识体系：（一）、直线与平面平行1．直线和平面的位置关系：（1）直线在平面内（无数个公共点）；符号表示为:a α，（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；符号表示为: aA α=，（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类．符号表示为: //a α．2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．推理模式：,,////l ml m l ααα⊄⇒．3. 直线与平面平行证明方法：①证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；②证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行；③证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。
4 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．推理模式：//,,//l l m l m αβαβ=⇒．（二）、平面与平面平行1．平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行．2．图形表示：画两个平面平行时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行的． 3．平行平面的判定定理： 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行．推理模式：：a β⊂，b β⊂，ab P =，//a α，//b α//βα⇒．平行平面的判定定理推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行． 推理模式：,,,,,,//,////a b P ab a b P a b a a b b ααββαβ'''''''==⇒．4. 证明两平面平行的方法：（1）利用定义证明。
利用反证法，假设两平面不平行，则它们必相交，再导出矛盾。
（2）判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行，这个定理可简记为线面平行则面面平行。
空间中的平行关系
1．空间两条互相平行的直线指的是( ) A．在空间没有公共点的两条直线 B．分别在两个平面内的两条直线 C．分别在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线 D．在同一平面内且没有公共点的两条直线
答案：D
2.
(
设 AA1 是正方体的一条棱， 这个正方体中与 AA1 平行的棱共有 ) A．1 条 B．2 条 C ．3 条 D．4 条
如图：空间四边形ABCD中， AC、BD是它的对角线
空间四边形的常见画法经常用一个平面衬托，如下图
中的两种空间四边形ABCD和ABOC.
空间两条直线的位置关系有三种：
位置关系 相交直线 共面情况 在同一平面内 公共点个数 有且只有一个
平行直线
异面直线
在同一平面内
不在任何一平面内
没 有
没 有
类型一 基本性质 4 的应用 【例 1】
变式训练 1 已知棱长为 a 的正方体 ABCD－A′B′C′D′ 中，M、N 分别为 CD、AD 的中点． 求证：四边形 MNA′C′是梯形．
证明：如图，连结 AC，
1 ∵M、N 分别为 CD、AD 的中点，∴MN=2AC. 1 由正方体的性质可知 AC=A′C′，∴MN=2A′C′.∴四边形 MNA′C′是梯形.
证明：如图所示，在正方体 AC1 中，取 A1B1 的中点 M，连结 BM、MF1，
1 则 BF＝A1M＝2AB. 又 BF∥A1M，
∴四边形 A1FBM 为平行四边形． ∴A1F∥BM. 而 F1，M 分别为 C1D1，A1B1 的中点，则 F1M 綊 C1B1. 而 C1B1 綊 BC，∴F1M∥BC，且 F1M＝BC.
答案：C
3．空间中有两个角 α，β，它们的两边互相平行，且 α＝60° ， 则 β 为( ) A．60° B．120° C．30° D．60° 或 120°
空间中的平行关系
α
①②④
5.空间四边形ABCD，若M、N分别为对角线BD、AC 的中点，AB＝CD＝2，MN＝ 2，则AB与CD所成 的角等于( 90 0)
A
N B M C D
类型一:直线与平面平行的判定 类型一 直线与平面平行的判定 例1:如图所示,已知P,Q是正方体 ABCD --- A1B1C1D1的面 A1 B1 BA 和面 ABCD 的中心. 证明:PQ ∥ BCB1C1
例3:如图，在正方体ABCD－A’B’C’D’中，M是A’B’的中 点，求异面直线AC与BM所成角的余弦值。
D A C B
D' A' M
N B'
C'
小结． 小结 线线平行、线面平行、面面平行的转化
• 两平面平行问题常常转化为直线与平面平行， 而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行， 所以注意转化思想的应用，以下为三种平行关 系相互转化的示意图．
类型二:面面平行的判定 类型二 面面平行的判定 例2:如右图所示，正三棱柱 ABC _ A1 B1C1 各棱长为4，E、F、 G、H分别是AB、AC、 A1C1 、A1 B1 的中点，求证：(1)平 面 A1 EF ∥平面BCGH.(2)求三棱锥 A1 __ AEF 的体积
、
类型三:异面直线所成的角 类型三 异面)BC∥l. • 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴BC∥AD. ⊄ ⊂ • 又BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD， ∴BC∥平面PAD. • 又BC⊂平面PBC，平面PBC∩平面PAD＝ ⊂ l.∴BC∥l.
• • • • • • • • •
(2)MN∥平面PAD. 证明：取CD的中点E，连结ME、NE. ∵M、N分别为AB、PC的中点， ∴ME∥AD，NE∥PD. 又ME⊄平面PAD，NE⊄平面PAD， ∴ME∥平面PAD，NE∥平面PAD， 又ME∩NE＝E， ∴平面MNE∥平面PAD. 而MN⊂平面MNE.∴MN∥平面PAD.
空间几何中的平行关系
空间几何中的平行关系在空间几何中，平行关系是一种重要而基础的数学概念。
平行关系常常出现在我们的日常生活和工作中，例如平行线、平行四边形等。
本文旨在介绍空间几何中平行关系的定义和性质，并探讨平行关系在实际问题中的应用。
一、平行关系的定义在空间几何中，平行关系是指两条或多条线段或线的方向相同，永不相交的关系。
给定两条直线l1和l2，在平面上，如果l1和l2除了一个公共点之外，其他点都不相交，那么我们就说l1和l2平行。
同样地，在空间中，如果两条直线l1和l2除了一个公共点之外，其他点都不相交，那么我们就说l1和l2平行。
二、平行关系的性质1. 平行关系是传递的。
如果直线l1与直线l2平行，直线l2与直线l3平行，则直线l1与直线l3也平行。
2. 平行关系是对称的。
如果直线l1与直线l2平行，则直线l2与直线l1平行。
3. 平行关系是自反的。
任意一条直线与自身平行。
4. 如果两个平行线分别与一条横截线相交，那么所得的对应角相等。
基于以上性质，我们可以利用平行关系进行推理和证明。
在解决几何问题时，通过判断线段或线的平行关系，我们可以简化问题，找到更加简洁和优雅的解决方法。
三、平行关系在实际问题中的应用在日常生活和工作中，平行关系的应用广泛而深入。
以下是一些平行关系的典型应用示例：1. 建筑工程：在建筑设计和施工中，平行关系的应用非常常见。
例如，在设计一座桥梁时，需要确保桥墩和主梁是平行的，以保证结构的稳定性和美观性。
2. 路网规划：在城市交通规划中，平行道路的设计可以提高交通效率和道路利用率。
平行的道路可以更好地满足不同方向的交通需求，减少交通堵塞和拥堵。
3. 平行投影：在工程和科学领域中，平行投影广泛应用于制图和测量中。
通过选择适当的平行方向，我们可以更准确地表达三维物体的形状和大小。
4. 机械设计：在机械设计中，平行关系的应用可以确保机器部件的精确安装和运动。
例如，在设计一台车床时，需要保证主轴和工作台的平行关系，以确保加工的精度和质量。
空间中的平行关系方法总结
空间平行方法总结
平行关系：线线平行、线面平行、面面平行
线线平行：两直线平行必定共面，所以线线平行问题在空间中只是作为证明线面平行或者面面平行的工具使用，不会直接考查。
常见的线线平行有：（1）平行四边形对边平行；（2）三角形的中位线平行对应边；（3）两平行平面与第三个平面相交，则两条交线平行（面面平行的性质定理）；（4）垂直于同一平面的两直线平行；（5）如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这条直线相交，那么这条直线和交线平行（线面平行的性质定理）；（6）平行的传递性；
线面平行：线面平行判定定理为，平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
所以线面平行的核心归结为证明线线平行。
面面平行：面面平行的判定定理为，一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
既证明两平面平行只需证明两条相交线与一个平面平行即可，所以面面垂直归结为线线垂直。
总结：在空间平行关系中主要为:线线平行、线面平行、面面平行，考查题目主要类型为线面平行和面面平行，面面平行通过证明两组线面平行，线面平行通过证明线线平行，所以要熟练掌握线线平行的证明，也是空间中平行的核心内容。
空间中的平行关系
E
B
G
D
F
H
C
【变式 1】三棱柱 ABC A1B1C1 中，过 A1C1 与点 B 的平面
交平面 ABC 于直线 L,试判定 L 与 A1C1 的关系，并给出证明.
题型二：线面平行问题
【例 2】如图在四棱锥 P ABCD中， ABCD是平行四边形， M , N 分别是 AB, PC 的中点，求证： MN // 平面 PAD.
【例 3】如图，已知 ABC A1B1C1 是正三棱柱，棱长均为 5 ， E 、 F 分别
是 AC 、 A1C1 的中点．
（1）求证：平面 AB1F ∥平面 BEC1 ； （2）求点 A 到平面 BEC1 的距离．
A1
F
C1
B1
A
E
C
B
【解析】（1）∵ 在正三棱柱 ABC A1B1C1 中， E 、 F 分别是 AC 、 A1C1 的中点． ∴ AE FC1 ， AE ∥ FC1 ， ∴ AEC1F 为平行四边形，∴ AF ∥ EC1 ， ∵ EF AA1 ， BB1 AA1 ,∴ EF BB1 ， ∴ EFB1B 为平行四边形，∴ BE ∥ B1F ， ∵ AF B1F F ， C1E BE E ， ∴ 平面 AB1F ∥平面 BEC1 ．
D A
E
D1
A1
C
P
B
F
C1
B1
D A
E
D1
A1
C
B
F P
C1
B1
3.如 图， S 是 平 行四边 形 ABCD 平 面外 一点， M , N 分 别是 SA, BD 上的点，且 AM = BN ， 求证： MN // 平面 SCD
SM ND
空间里的平行关系
空间里的平行关系引言在几何学中，平行是一个十分重要的概念。
在数学中，平行指的是两条线、平面或者其他几何体在没有交点的情况下保持在固定的距离上。
平行关系是几何学中的基础概念之一，不仅在几何学中有重要应用，也广泛应用于物理学、计算机科学等领域。
本文将介绍空间中的平行关系，并探讨相关的性质和应用。
一、平行线的定义在平面几何中，平行线定义为永不相交的两条线。
这意味着平行线上的任意两点都不会重合。
可以通过以下几个方式来判断两条线是否平行：•相邻内角相等法则：若两条线被横截线所切，而相邻的内角相等，则两条线是平行的。
•同位角相等法则：若两条直线被一横截线所分，同位角相等，则两条线是平行的。
•钝角异侧法则：若两条线被横截线所切，其中一条直线上的钝角和另一条直线上的锐角在同侧，则两条线是平行的。
二、平行平面的定义在空间几何中，平行平面定义为永不相交的两个平面。
类似于平行线的定义，我们可以通过以下的性质来判断两个平面是否平行：•法向量平行法则：若两个平面的法向量平行，则这两个平面是平行的。
•截线平行法则：若两个平面分别与一条直线相交并且相交线平行，则这两个平面是平行的。
三、平行关系的性质在平行关系中，存在一些重要的性质，这些性质对于解决实际问题十分有用。
以下是一些平行关系的性质：1.平行关系具有传递性，即如果线段A平行于线段B，而线段B又平行于线段C，则可以推断出线段A平行于线段C。
2.平行关系具有对称性，即如果线段A平行于线段B，则线段B也平行于线段A。
3.平行关系具有自反性，即一条线段和自身平行。
4.平行线与平行平面的交线也是平行于这两个平面的。
四、平行关系的应用平行关系在各个领域都有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1.建筑设计中，在制定建筑结构时，平行关系可以用来确保墙壁、天花板等构件的平行性，从而使建筑结构更加稳定。
2.机械工程中，平行关系可以用来设计零件的装配关系，确保零件之间的平行关系，保证机械设备的正常运行。
空间中的平行关系
【答案】 B 【解析】 如图所示，联结BE,BD. 因 为 点 N 为 正 方 形 ABCD的 中 心 ， △ ECD为 正 三 角 形 ， 平 面 ECD 平 面 ABCD， M 是 线 段 ED的 中 点 ， 所 以 BM 平 面 BDE， EN BDE 平 面 ， 因 为 BM 是 △ BDE中 DE边 上 的 中 线 ， EN 是 △ BDE中 BD边 上 的 中 线 ， 直 线 BM ， EN 是 相 交 直 线 ，
BM=EN,且直线BM、EN 是相交直线
已知m,n,l是不同的直线,α,β是不同的平面,以下命题正确的是( )
AE CF 同理可得MQ∥BD,又MN⊥QM,则AC⊥BD,故A、B正确. 【 解 析 】 如 图 ,由 得 AC//EF. ①若m∥n,m⊂α,n⊂β,则α∥β; ②若m⊂α,n⊂β,α∥β,l⊥m,则l⊥n; EB FB 因为D点为AB的中点,
A.
B.
C.
D.
【答案】A 【解析】 选项B,由AB∥MQ,则直线AB∥平面MNQ; 选项C,由AB∥MQ,则直线AB∥平面MNQ; 选项D,由AB∥NQ,则直线AB∥平面MNQ.
11.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,各个侧面均是边长为2的正方 形,D为线段AC的中点.求证:直线AB1∥平面BC1D.
专题训练
1.已知m,n,l是不同的直线,α,β是不同的平面,以下命题正确的是( )
①若m∥n,m⊂α,n⊂β,则α∥β; ②若m⊂α,n⊂β,α∥β,l⊥m,则l⊥n;
③若m⊥α,n⊥β,α∥β,则m∥n; ④若α⊥β,m∥α,n∥β,则m⊥n.
A.①③
B.③④
C.②④
D.③
【答案】D 【解析】 ①若m∥n,m⊂α,n⊂β,则α∥β或α,β相交; ②若m⊂α,n⊂β,α∥β,l⊥m,则l⊥n或l∥n或l,n异面; ③正确; ④若α⊥β,m∥α,n∥β,则m⊥n或m∥n或m,n异面.
空间几何中的平行关系
空间几何中的平行关系在空间几何中，平行关系是一个重要的概念。
它涉及到线与线、面与面之间的关系，并且在实际应用中有着广泛的应用。
本文将会介绍空间几何中的平行关系的定义、性质以及应用，并且结合具体的例子来说明。
1. 平行关系的定义在空间几何中，如果两个线（又称为直线）不相交，并且在同一个平面上，那么它们被称为平行线。
类似地，如果两个平面之间没有相交的情况，那么它们被称为平行平面。
2. 平行关系的性质平行关系具有以下性质：- 平行线之间的距离相等：如果一条线与另一条线平行，并且在同一个平面上，那么这两条线之间的距离是相等的。
- 平行线的倾斜角度相等：如果两条线平行，并且这两条线与另外一条直线相交，那么与第一条线相交的角度与与第二条线相交的角度是相等的。
- 平行平面之间的距离相等：如果两个平面之间平行，并且这两个平面分别与另一平面相交，那么与第一个平面相交的直线到与第二个平面相交的直线的距离是相等的。
3. 平行关系的应用空间几何中的平行关系在实际应用中有着广泛的应用。
下面将介绍一些应用的例子：- 建筑设计中的平行关系：在建筑设计过程中，设计师需要确保墙壁、天花板等构件是平行的，以保证建筑结构的稳定和美观。
- 航空航天中的平行关系：在飞机、火箭等交通工具的设计中，需要考虑平行关系来确保机翼、尾翼等部件的平行安装，以提高飞行性能和稳定性。
- GPS定位中的平行关系：全球定位系统（GPS）利用卫星进行定位，而卫星之间的轨道需要保持平行关系，以确保精确的定位和导航。
通过以上例子可以看出，平行关系在各个领域都有着重要的应用。
它不仅关乎到结构的稳定性和性能，还对人类的生活和发展产生着重要的影响。
总结起来，空间几何中的平行关系是指在同一平面内两条线不相交，或者两个平面没有交点的情况。
平行关系具有距离相等和角度相等的性质，这些性质在建筑设计、航空航天、GPS定位等领域都有着广泛的应用。
通过对平行关系的研究和应用，人们能够更好地理解和利用空间中的几何关系，为各个领域的发展做出贡献。
空间中的平行关系
r uur |n ⋅ AB| 为平面的法向量,则 d ④向量法 :设n为平面的法向量 则： = 设 为平面的法向量 r n
(3)直线与平面的距离： 直线与平面的距离： 直线与平面的距离 前提是直线与平面平行， 前提是直线与平面平行，利用直线上任意一点到平面的距 离都相等，转化为求点到平面的距离。 离都相等，转化为求点到平面的距离。 (4)两平行平面之间的距离： 两平行平面之间的距离 转化为求点到平面的距离. 转化为求点到平面的距离
知识归纳
一、直线与直线的平行： 直线与直线的平行： 直线与平面的平行： 二、直线与平面的平行： 1.直线与平面的位置关系 直线与平面的位置关系： 直线与平面的位置个公共点，记作 ⊂α； 有无数个公共点， ⊂α； 直线在平面内 有无数个公共点 记作a⊂α (2)直线与平面相交 ------有且只有一个公共点 记作 ∩α＝Ａ； 有且只有一个公共点,记作 直线与平面相交 有且只有一个公共点 记作a ＝Ａ； (3)直线与平面平行 ------没有公共点，记作 ∥α . 没有公共点， 直线与平面平行 没有公共点 记作a a⊄α ⇔ a∩α=A或a∥α ⊄α 或 2.直线与平面平行的判定： 直线与平面平行的判定： 直线与平面平行的判定 (1)定义法：若a∩α＝φ ，则a∥α . 定义法： 定义法 (2)判定定理：如果平面外的一条直线和这个平面平面内 判定定理：如果平面外的一条直线和这个平面平面内 判定定理 的一条直线平行 那么这条直线和这个平面平行． 平行， 的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 符号表示:若 ⊄ ⊂α ⊂α,a 符号表示 若a⊄α,b⊂α ∥b,则a∥α . 则 (3)若α∥β，a⊂ β,则a ∥α . 若 ⊂ 则 (4)若b⊄ α, b⊥a,a ⊥ α,则b∥α . 若 ⊄ ⊥ 则
8.4空间中的平行关系
1.平行直线平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行.基本性质4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等.2.直线与平面平行判定性质定义定理图形条件a∩α＝∅a⊂α，b⊄α，a∥b a∥αa∥α，a⊂β，α∩β＝b结论a∥αb∥αa∩α＝∅a∥b3.平面与平面平行判定性质定义定理图形条件α∩β＝∅a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b α∥β，a⊂β结论α∥βα∥βa∥b a∥α【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面.(×)(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线.(×)(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.(×)(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.(√)(5)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(×)(6)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.(×)1.一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是()A.l∥αB.l⊥αC.l与α相交但不垂直D.l∥α或l⊂α答案 D解析当距离不为零时，l∥α，当距离为零时，l⊂α.2.设α，β，γ为三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题.①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.可以填入的条件有()A.①或②B.②或③C.①或③D.①或②或③答案 C解析由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确.故选C.3.(教材改编)下列命题中正确的是()A.若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B.若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C.平行于同一条直线的两个平面平行D.若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α答案 D解析A中，a可以在过b的平面内；B中，a与α内的直线可能异面；C中，两平面可相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知，b∥α，正确.4.(教材改编)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________.答案平行解析连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，在△BDD1中，O为BD的中点，所以EO为△BDD1的中位线，则BD 1∥EO ，而BD 1⊄平面ACE ，EO ⊂平面ACE ， 所以BD 1∥平面ACE .5.过三棱柱ABC －A 1B 1C 1任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有________条. 答案 6解析 各中点连线如图，只有面EFGH 与面ABB 1A 1平行，在四边形EFGH 中有6条符合题意.题型一 直线与平面平行的判定与性质 命题点1 直线与平面平行的判定例1 如图，四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F ，H 分别为线段AD ，PC ，CD 的中点，AC 与BE 交于O 点，G 是线段OF 上一点. (1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：GH ∥平面P AD . 证明 (1)连接EC ， ∵AD ∥BC ，BC ＝12AD ，∴BC 綊AE ，∴四边形ABCE 是平行四边形， ∴O 为AC 的中点.又∵F 是PC 的中点，∴FO ∥AP ， FO ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ， ∴AP ∥平面BEF . (2)连接FH ，OH ，∵F ，H 分别是PC ，CD 的中点， ∴FH ∥PD ，∴FH ∥平面P AD .又∵O 是BE 的中点，H 是CD 的中点， ∴OH ∥AD ，∴OH ∥平面P AD .又FH ∩OH ＝H ，∴平面OHF ∥平面P AD .又∵GH ⊂平面OHF ，∴GH ∥平面P AD . 命题点2 直线与平面平行性质定理的应用例2 (2014·安徽)如图，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC ∥平面GEFH . (1)证明：GH ∥EF ；(2)若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积.(1)证明 因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ， 且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ， 所以GH ∥BC .同理可证EF ∥BC ，因此GH ∥EF .(2)解 如图，连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK . 因为P A ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ， 同理可得PO ⊥BD .又BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在底面内， 所以PO ⊥底面ABCD .又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ， 且PO ⊄平面GEFH ，所以PO ∥平面GEFH . 因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ，所以PO ∥GK ，且GK ⊥底面ABCD ，从而GK ⊥EF . 所以GK 是梯形GEFH 的高.由AB ＝8，EB ＝2得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1∶4， 从而KB ＝14DB ＝12OB ，即K 为OB 的中点.再由PO ∥GK 得GK ＝12PO ，即G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4.由已知可得OB ＝42，PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6， 所以GK ＝3.故四边形GEFH 的面积 S ＝GH ＋EF 2·GK ＝4＋82×3＝18.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠BAC＝∠CAD ＝60°，E 为PD 的中点，AB ＝1，求证：CE ∥平面P AB .证明由已知条件有AC＝2AB＝2，AD＝2AC＝4，CD＝2 3.如图所示，延长DC，AB，设其交于点N，连接PN，因为∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，所以C为ND的中点，又因为E为PD的中点，所以EC∥PN，因为EC⊄平面P AB，PN⊂平面P AB，所以CE∥平面P AB.思维升华判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β).题型二平面与平面平行的判定与性质例3如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.证明(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面.(2)∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF∥BC.∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EF A1∥平面BCHG.引申探究1.在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA.证明如图所示，连接HD，A1B，∵D为BC1的中点，H为A1C1的中点，∴HD∥A1B，又HD⊄平面A1B1BA，A1B⊂平面A1B1BA，∴HD∥平面A1B1BA.2.在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明如图所示，连接A1C交AC1于点M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连接MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.∵A1B⊂平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又∵DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.思维升华证明面面平行的方法：(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.证明(1)如图，连接SB，∵E，G分别是BC，SC的中点，∴EG∥SB.又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，∴直线EG∥平面BDD1B1.(2)连接SD，∵F，G分别是DC，SC的中点，∴FG∥SD.又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1，又EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.题型三平行关系的综合应用例4在正方体ABCD—A1B1C1D1中，如图.(1)求证：平面AB1D1∥平面C1BD；(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明A1E＝EF＝FC.(1)证明因为在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AD綊B1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥C1D.又因为C1D⊂平面C1BD，AB1⊄平面C1BD，所以AB1∥平面C1BD.同理，B1D1∥平面C1BD.又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1⊂平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD.(2)解如图，连接A1C1交B1D1于点O1，连接AO1，与A1C交于点E.因为AO1⊂平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内，所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点.连接AC交BD于点O，连接C1O，与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点.下面证明A1E＝EF＝FC.因为平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1，平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F，平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO 1∥C 1F ，在△A 1C 1F 中，O 1是A 1C 1的中点， 所以E 是A 1F 的中点，即A 1E ＝EF .同理可证OF ∥AE ，所以F 是CE 的中点，即FC ＝EF ， 所以A 1E ＝EF ＝FC .思维升华 (1)线面平行和面面平行的性质都体现了转化思想.(2)对较复杂的综合结论问题往往需要反复运用线面平行的判定定理和性质定理来进行证明，有如下方法： 线线平行―――――→在平面内找或作一直线线面平行 ―――――――――→经过直线找或作平面与已知平面的交线线线平行 如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为a 的正方形，侧棱P A ⊥底面ABCD ，在侧面PBC 内，有BE ⊥PC 于E ，且BE ＝63a ，试在AB 上找一点F ，使EF ∥平面P AD .解 如图所示，在平面PCD 内，过E 作EG ∥CD 交PD 于G ， 连接AG ，在AB 上取点F ，使AF ＝EG ， ∵EG ∥CD ∥AF ，EG ＝AF ， ∴四边形FEGA 为平行四边形， ∴FE ∥AG .又AG ⊂平面P AD ，FE ⊄平面P AD ， ∴EF ∥平面P AD . ∴F 即为所求的点.又P A ⊥面ABCD ，∴P A ⊥BC ， 又BC ⊥AB ，∴BC ⊥面P AB . ∴PB ⊥BC .∴PC 2＝BC 2＋PB 2＝BC 2＋AB 2＋P A 2. 设P A ＝x 则PC ＝2a 2＋x 2， 由PB ·BC ＝BE ·PC 得： a 2＋x 2·a ＝2a 2＋x 2·63a ，∴x ＝a ，即P A ＝a ，∴PC ＝3a . 又CE ＝a 2－(63a )2＝33a ，∴PE PC ＝23，∴GE CD ＝PE PC ＝23， 即GE ＝23CD ＝23a ，∴AF ＝23a .即AF ＝23AB .故点F 是AB 上靠近B 点的一个三等分点.5.立体几何中的探索性问题典例 (12分)如图，在四棱锥S －ABCD 中，已知底面ABCD 为直角梯形，其中AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝2.tan ∠SDA ＝23.(1)求四棱锥S －ABCD 的体积；(2)在棱SD 上找一点E ，使CE ∥平面SAB ，并证明. 规范解答解 (1)∵SA ⊥底面ABCD ，tan ∠SDA ＝23，SA ＝2，∴AD ＝3.[2分]由题意知四棱锥S －ABCD 的底面为直角梯形，且SA ＝AB ＝BC ＝2，[4分] V S －ABCD ＝13×SA ×12×(BC ＋AD )×AB＝13×2×12×(2＋3)×2＝103.[6分] (2)当点E 位于棱SD 上靠近D 的三等分点处时，可使CE ∥平面SAB .[8分] 证明如下：取SD 上靠近D 的三等分点为E ，取SA 上靠近A 的三等分点为F ，连接CE ，EF ，BF ， 则EF 綊23AD ，BC 綊23AD ，∴BC 綊EF ，∴CE ∥BF .[10分] 又∵BF ⊂平面SAB ，CE ⊄平面SAB ， ∴CE ∥平面SAB .[12分]解决立体几何中的探索性问题的步骤 第一步：写出探求的最后结论. 第二步：证明探求结论的正确性. 第三步：给出明确答案.第四步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范.温馨提醒(1)立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究，解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾的结论就否定假设.(2)这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使……成立”，“只需使……成立”.[方法与技巧]1.平行问题的转化关系2.直线与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质.3.平面与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.[失误与防范]1.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则会出现错误.2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”.3.解题中注意符号语言的规范应用.A组专项基础训练(时间：35分钟)1.平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是()A.AB∥CDB.AD∥CBC.AB与CD相交D.A，B，C，D四点共面答案 D解析充分性：A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性显然成立.2.(2015·安徽)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是()A.若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B.若m，n平行于同一平面，则m与n平行C.若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D.若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面解析 对于A ，α，β垂直于同一平面，α，β关系不确定，故A 错；对于B ，m ，n 平行于同一平面，m ，n 关系不确定，可平行、相交、异面，故B 错；对于C ，α，β不平行，但α内能找出平行于β的直线，如α中平行于α，β交线的直线平行于β，故C 错；对于D ，若假设m ，n 垂直于同一平面，则m ∥n ，其逆否命题即为D 选项，故D 正确.3.设l 为直线，α，β是两个不同的平面.下列命题中正确的是( )A.若l ∥α，l ∥β，则α∥βB.若l ⊥α，l ⊥β，则α∥βC.若l ⊥α，l ∥β，则α∥βD.若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β答案 B解析 l ∥α，l ∥β，则α与β可能平行，也可能相交，故A 项错；由“同垂直于一条直线的两个平面平行”可知B 项正确；由l ⊥α，l ∥β可知α⊥β，故C 项错；由α⊥β，l ∥α可知l 与β可能平行，也可能l ⊂β，也可能相交，故D 项错.故选B.4.给出下列关于互不相同的直线l 、m 、n 和平面α、β、γ的三个命题：①若l 与m 为异面直线，l ⊂α，m ⊂β，则α∥β；②若α∥β，l ⊂α，m ⊂β，则l ∥m ；③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n .其中真命题的个数为( )A.3B.2C.1D.0答案 C解析 ①中当α与β不平行时，也可能存在符合题意的l 、m ；②中l 与m 也可能异面；③中⎩⎪⎨⎪⎧ l ∥γl ⊂αα∩γ＝n⇒l ∥n ，同理，l ∥m ，则m ∥n ，正确.5.下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是( )A.①③B.①④C.②③D.②④解析①中易知NP∥AA′，MN∥A′B，∴平面MNP∥平面AA′B可得出AB∥平面MNP(如图).④中，NP∥AB，能得出AB∥平面MNP.6.在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________. 答案平面ABD与平面ABC解析如图，取CD的中点E，连接AE，BE.则EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，所以MN∥AB.所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC.7.将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”.给出下列四个命题：①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行；③平行于同一直线的两直线平行；④平行于同一平面的两直线平行.其中是“可换命题”的是________.(填命题的序号)答案①③解析由线面垂直的性质定理可知①是真命题，且垂直于同一直线的两平面平行也是真命题，故①是“可换命题”；因为垂直于同一平面的两平面可能平行或相交，所以②是假命题，不是“可换命题”；由基本性质4可知③是真命题，且平行于同一平面的两平面平行也是真命题，故③是“可换命题”；因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，故④是假命题，故④不是“可换命题”.8.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，动点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.答案M∈线段FH解析因为HN∥BD，HF∥DD1，所以平面NHF∥平面B1BDD1，故线段FH上任意点M与N相连，都有MN∥平面B1BDD1.(答案不唯一)9.如图，ABCD与ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点. 求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.证明(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M为AB中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG.10.如图，E、F、G、H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点.求证：(1)EG∥平面BB1D1D；(2)平面BDF∥平面B1D1H.证明(1)取B1D1的中点O，连接GO，OB，易证四边形BEGO为平行四边形，故OB∥GE，由线面平行的判定定理即可证EG∥平面BB1D1D.(2)由题意可知BD∥B1D1.如图，连接HB、D1F，易证四边形HBFD1是平行四边形，故HD1∥BF.又B1D1∩HD1＝D1，BD∩BF＝B，所以平面BDF∥平面B1D1H.B组专项能力提升(时间：20分钟)11.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A.若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB.若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC.若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD.若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β答案 D解析A中，m与n可垂直、可异面、可平行；B中m与n可平行、可异面；C中若α∥β，仍然满足m⊥n，m⊂α，n⊂β，故C错误；故D正确.12.空间四边形ABCD的两条对棱AC、BD的长分别为5和4，则平行于两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中，周长的取值范围是________.答案(8,10)解析 设DH DA ＝GH AC ＝k ，∴AH DA ＝EH BD＝1－k ， ∴GH ＝5k ，EH ＝4(1－k )，∴周长＝8＋2k .又∵0<k <1，∴周长的范围为(8,10).13.在三棱锥S －ABC 中，△ABC 是边长为6的正三角形，SA ＝SB ＝SC ＝15，平面DEFH 分别与AB ，BC ，SC ，SA 交于D ，E ，F ，H .D ，E 分别是AB ，BC 的中点，如果直线SB ∥平面DEFH ，那么四边形DEFH 的面积为________.答案 452解析 取AC 的中点G ，连接SG ，BG .易知SG ⊥AC ，BG ⊥AC ，SG ∩BG ＝G ，故AC ⊥平面SGB ，所以AC ⊥SB .因为SB ∥平面DEFH ，SB ⊂平面SAB ，平面SAB ∩平面DEFH ＝HD ，则SB ∥HD .同理SB ∥FE .又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，则H ，F 也为AS ，SC 的中点，从而得HF 綊12AC 綊DE ，所以四边形DEFH 为平行四边形.又AC ⊥SB ，SB ∥HD ，DE ∥AC ，所以DE ⊥HD ，所以四边形DEFH 为矩形，其面积S ＝HF ·HD ＝(12AC )·(12SB )＝452.14.(2015·四川改编)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系.并证明你的结论.解 (1)点F ，G ，H 的位置如图所示.(2)平面BEG ∥平面ACH ，证明如下：因为ABCD-EFGH 为正方体，所以BC ∥FG ，BC ＝FG ，又FG ∥EH ，FG ＝EH ，所以BC ∥EH ，BC ＝EH ，于是BCHE 为平行四边形，所以BE ∥CH ，又CH ⊂平面ACH ，BE ⊄平面ACH ，所以BE ∥平面ACH ，同理BG ∥平面ACH ，又BE ∩BG ＝B ，所以平面BEG ∥平面ACH .15.如图，已知正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AB ，AD 上，AE ＝AF＝4，现将△AEF 沿线段EF 折起到△A ′EF 位置，使得A ′C ＝2 6. (1)求五棱锥A ′－BCDFE 的体积； (2)在线段A ′C 上是否存在一点M ，使得BM ∥平面A ′EF ？若存在，求A ′M 的长；若不存在，请说明理由.解 (1)如图所示，连接AC ，设AC ∩EF ＝H ，连接A ′H .因为四边形ABCD 是正方形，AE ＝AF ＝4，所以H 是EF 的中点，且EF ⊥AH ，EF ⊥CH ，从而有A ′H ⊥EF ，CH ⊥EF ，又A ′H ∩CH ＝H ，所以EF ⊥平面A ′HC ，且EF ⊂平面ABCD ，从而平面A ′HC ⊥平面ABCD ，过点A ′作A ′O 垂直HC 且与HC 相交于点O ，则A ′O ⊥平面ABCD ，因为正方形ABCD 的边长为6，AE ＝AF ＝4，故A ′H ＝22，CH ＝42，所以cos ∠A ′HC ＝A ′H 2＋CH 2－A ′C 22A ′H ·CH ＝8＋32－242×22×42＝12， 所以HO ＝A ′H ·cos ∠A ′HC ＝2，则A ′O ＝6，所以五棱锥A ′－BCDFE 的体积V ＝13×(62－12×4×4)×6＝2863.(2)线段A′C上存在点M，使得BM∥平面A′EF，此时A′M＝6 2.证明如下：连接OM，BD，BM，DM，且易知BD过O点.A′M＝62＝14A′C，HO＝14HC，所以OM∥A′H，又OM⊄平面A′EF，A′H⊂平面A′EF，所以OM∥平面A′EF，又BD∥EF，BD⊄平面A′EF，EF⊂平面A′EF，所以BD∥平面A′EF，又BD∩OM＝O，所以平面MBD∥平面A′EF，因为BM⊂平面MBD，所以BM∥平面A′EF.。
空间中的平行关系
空间中的平行关系一、知识梳理1、 平行关系（1）直线与平面平行的判定定义：直线与平面没有公共点，称这条直线与这个平面平行。
判定定理：若l α⊄，a α⊂，l ∥a ，则l ∥α。
（2）直线与平面的平行性质定理：性质定理：若l ∥α，l β⊂，a αβ= ，则l ∥a 。
（3）平面与平面的平行的判定定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面。
判定定理1：若, a b αα⊂⊂，a b P = ，a ∥β，b ∥β，则α∥β； 判定定理2：若, l l αβ⊥⊥，则α∥β；判定定理3：若α∥β，β∥γ，则α∥γ。
（4）平面与平面的平行性质定理：性质定理1：若α∥β，a α⊂，则a ∥β；性质定理2：若α∥β，且a γα= ，b γβ= ，则a ∥b ；性质定理3：若α∥β，且l α⊥，则l β⊥。
2、补充结论：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行。
3、线线平行的常用证明方法（1）利用平面几何的结论，如三角形的中位线平行于底边、平行四边形的对边平行、利用比例，等；（2）利用公理4：平行于同一条直线的两条直线平行；（3）利用线面平行的性质定理、面面平行的性质定理、线面垂直的性质定理二、经典例题例1 给出下列关于互不相同的直线l 、m 、n 和平面α、β、γ的三个命题：（1）若l 与m 为异面直线，, l m αβ∈∈，则α∥β；（2）若α∥β，, l m αβ∈∈，则l ∥m ；（3）若, , l m n αββγγα=== ，l ∥γ，则m ∥n 。
其中真命题的个数为（ ）。
A ．3B ．2C ．1D ．0例2 如图所示正方体1111ABCD A B C D -，求证：平面11AC D ∥平面1AB C 。
例 3 如图所示，已知E 、F 分别是正方体1111ABCD A B C D -棱1AA 、1CC 上的点，且1AE C F =。
求证：四边形1EBFD 是平行四边形。
空间中的平行关系
例 如图，在正方体
ABCD——A1B1C1D1中，
O是底面ABCD对角线的交点.
求证：C1O//平面AD1B1.
例:如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，求 A1 证：面AB1D1∥面BDC1 证明：
BD∥B1D1 BD 面BDC1 B 1D 1 面BDC1
D1
返回
C1
B1
D
C B 面AB1D1∥ 面BDC1
(在同一平面内)
异面直线 ——没有公共点
(不同在任一平面内)
平行直线 没有公共点 异面直线 有且只有一个公ห้องสมุดไป่ตู้点 ——相交直线
二. 直线与平面的位置关系:
(1)直线在平面内: 有无数个公共点.
(2)直线与平面相交:有且只有一个公共点. (3)直线与平面平行:没有公共点. 记作 a∥α a α
α
a
a
变形2:若O为BD上的点 E 变形1:如图，在正方 F 体ABCD-A1B1C1D1中， A1 求证：OC1 ∥面EFG E,F,G分别为 A1D1,A1B1,A1A的中点,G 证明： 求证：面EFG∥面BDC1 D
由上知面EFG∥面 BDC1 OC1 面BDC1
D1
C1 返回 B1
O
C
A
B
OC1 ∥面EFG
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 公理4 (平行公理)：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
概念应理解为: “经过这两条直线无法作出一个平面” . 或“不可能找到一个平面同时经过这两条直线”．
一、空间两条直线的位置关系是:
相交, 平行, 异面
相交直线 ——有且只有一个公共点 共面直线 平行直线 ——没有公共点
空间中的平行关系
8．4空间中的平行关系1．空间中直线与平面之间的位置关系(1)直线在平面内，则它们__________公共点；(2)直线与平面相交，则它们______________公共点；(3)直线与平面平行，则它们________公共点．直线与平面相交或平行的情况统称为______________．2．直线与平面平行的判定和性质(1)直线与平面平行的判定定理平面外____________与此平面内的____________平行，则该直线与此平面平行．即线线平行?线面平行．用符号表示：____________________________．(2)直线与平面平行的性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的__________与该直线__________．即线面平行?线线平行．用符号表示：__________________________．3．平面与平面之间的位置关系(1)两个平面平行，则它们______________；(2)两个平面相交，则它们______________，两个平面垂直是相交的一种特殊情况．4．平面与平面平行的判定和性质(1)平面与平面平行的判定定理①一个平面内的两条__________与另一个平面平行，则这两个平面平行．用符号表示：____________________________．②推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行．③垂直于同一条直线的两个平面平行．即l⊥α，l⊥β?α∥β.④平行于同一个平面的两个平面平行．即α∥γ，β∥γ?α∥β.(2)平面与平面平行的性质定理①如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线______________．即面面平行?线线平行．用符号表示：_____________________________．②如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面．用符号表示：__________________．③如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．用符号表示：__________________．自查自纠1．(1)有无数个(2)有且只有一个(3)没有直线在平面外2．(1)一条直线一条直线a?α，b?α，且a∥b?a∥α(2)交线平行a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b3．(1)没有公共点(2)有一条公共直线4．(1)①相交直线a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?β∥α(2)①平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b②α∥β，a?α?a∥β③α∥β，l⊥α?l⊥β已知平面α，β和直线a，b，a?α，b?β，且a∥b，则α与β的关系是()A．平行B．相交C．平行或相交D．垂直解：可在平面α内作一直线c，且c与a相交，若c平行于面β，则根据面面平行的判定定理知α∥β；若c 与面β相交，则面α与β相交．故选C.(2015·北京)设α，β是两个不同的平面，m是直线且m?α.“m∥β”是“α∥β”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：如果m?α，m∥β，那么α与β可能平行也可能相交；反过来，如果m?α，α∥β，那么m∥β，所以m∥β是α∥β的必要不充分条件．故选B.若直线l不平行于平面α，且l?α，则()A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交解：因为直线l不平行于平面α，且l?α，所以l与α相交．观察各选项，易知A，C，D都是错误的．故选B.(2016·全国卷Ⅱ)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.③如果α∥β，m?α，那么m∥β.④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)解：由m⊥n，m⊥α，可得n∥α或n在α内，当n∥β时，α与β可能相交，也可能平行，故①错．易知②③④都正确．故填②③④.如图所示的四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是____________．(写出所有符合要求的图形序号)解：在①中，由于平面MNP与AB所在的侧面平行，所以AB∥平面MNP；在③中，由于AB与以MP为中位线的三角形的底边平行，所以AB∥MP，又因为MP?平面MNP，AB?平面MNP.所以AB∥平面MNP.②④中，只须平移AB，即可发现AB与平面MNP相交．故填①③.类型一线线平行(2017大冶市实验高中月考)如图是正方体的表面展开图，E，F，G，H分别是所在棱的中点，试判断EF和GH在原正方体中的位置关系，并加以证明．解：在原正方体中EF∥GH.证明如下：如图所示，将展开图还原为正方体ABCD-A1B1C1D1，则E，F，G，H分别是棱A1D1，A1B1，BC，CD的中点，连接B1D1，BD，则EF∥B1D1，GH∥BD.又因为B1D1∥BD，所以EF∥GH.【点拨】证明线线平行，可以运用平行公理、中位线定理，也可以证明包含这两边的四边形是平行四边形，或者运用线面平行的性质定理来证明；将展开图还原成正方体，借助正方体模型，有利于我们看清问题．(2017武汉市育才高级中学月考)已知平面α∥平面β，直线a?α，B∈β，则在β内过B点的所有直线中()A．不存在与a平行的直线B．存在无数条与a平行的直线C．存在唯一一条与a平行的直线D．存在两条与a平行的直线解：易知过直线a和点B有且只有一个平面，该平面与平面β有且只有一条交线，此交线与a平行．故选C.类型二线面平行(2017渤海大学附属高级中学月考)在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝12AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．求证：(1)AP∥平面BEF；(2)GH∥平面PAD.证明：(1)连接EC，因为AD∥BC，BC＝12 AD，E为AD的中点，所以BC AE，所以四边形ABCE是平行四边形，所以O为AC的中点，又因为F是PC的中点，所以FO∥AP，又FO?平面BEF，AP?平面BEF，所以AP∥平面BEF.(2)连接FH，OH，因为F，H分别是PC，CD的中点，所以FH∥PD，又PD?平面P AD，FH?平面P AD，所以FH∥平面P AD.又因为O是BE的中点，H是CD的中点，所以OH∥AD，又因为AD?平面P AD，OH?平面P AD，所以OH∥平面P AD.又FH∩OH＝H，所以平面OHF∥平面P AD.又因为GH?平面OHF，所以GH∥平面P AD.【点拨】要证明直线和平面平行，通常有两种方法：(1)利用线面平行的判定定理，只要在平面内找到一条直线与已知平面外直线平行即可；(2)由面面平行的性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任何一条直线和另外一个平面平行．第(1)种方法是常用方法，一般需要连接特殊点、画辅助线，再证明线线平行，从而得到线面平行．第(2)种方法常用于非特殊位置的情形．(2016·全国卷Ⅲ)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC ＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)证明MN∥平面P AB；(2)求四面体N-BCM的体积．解：(1)证明：由已知得AM＝23AD＝2，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TN∥BC，TN＝12BC＝2.又AD∥BC，故TN AM，四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.因为AT?平面PAB，MN?平面PAB，所以MN∥平面PAB.(2)因为P A⊥平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为12P A.取BC的中点E，连接AE.由AB＝AC＝3得AE⊥BC，AE＝AB2－BE2＝ 5.由AM∥BC得M到BC的距离为5，故S△BCM＝12×4×5＝2 5.所以四面体N-BCM的体积V N-BCM＝13×S△BCM×P A2＝453.类型三面面平行(2017武汉市汉阳一中月考)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.证明：(1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，所以GH是△A1B1C1的中位线，则GH∥B1C1.又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面．(2)因为E，F分别为AB，AC的中点，所以EF∥BC，因为EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1∥AB，所以A1G EB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB.因为A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.又因为A1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG.【点拨】(1)判定面面平行的主要方法：①利用面面平行的判定定理；②线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行)．(2)面面平行的性质定理：①两平面平行，则一个平面内的直线平行于另一平面；②若一平面与两平行平面相交，则交线平行．(3)利用面面平行的判定定理证明两平面平行时需要说明是一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行．(2017武汉市新洲区第一中学月考)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1上的点，且B1E＝C1F，求证：(1)EF∥平面ABCD；(2)平面AD1C∥平面A1BC1.证明：(1)证法一：如图，过E，F分别作AB，BC的垂线EM，FN，分别交AB，BC于点M，N，连接EF，MN.因为BB1⊥平面ABCD，所以BB1⊥AB，BB1⊥BC.所以EM∥BB1∥FN.又因为AB1＝BC1，B1E＝C1F，所以AE＝BF.又∠B1AB＝∠C1BC＝45°，所以Rt△AME≌Rt△BNF.所以EM＝FN.所以四边形MNFE是平行四边形，所以EF∥MN.又MN?平面ABCD，所以EF∥平面ABCD.证法二：过E作EP∥AB交BB1于点P，连接PF，所以B1EB1A＝B1PB1B.因为B1E＝C1F，B1A＝C1B，所以C1FC1B＝B1PB1B.所以FP∥B1C1∥BC.又因为EP∩FP＝P，AB∩BC＝B，所以平面EFP∥平面ABCD.又EF?平面EFP，所以EF∥平面ABCD.(2)如图，连接A1B，D1C，AD1，由已知AD1∥BC1，CD1∥A1B.又AD1∩CD1＝D1，BC1∩BA1＝B，所以平面AD1C∥平面A1BC1.亦可连接B1D，由B1D⊥平面ACD1，B1D⊥平面A1C1B证明结论．1．证明线线平行的方法(1)利用平面几何知识；(2)平行公理：a∥b，b∥c?a∥c；(3)线面平行的性质定理：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b；(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b；(5)线面垂直的性质定理：m⊥α，n⊥α?m∥n.2．证明直线和平面平行的方法(1)利用定义(常用反证法)；(2)判定定理：a?α，b?α，且a∥b?a∥α；(3)利用面面平行的性质：α∥β，l?α?l∥β；(4)向量法．m?α，n⊥α，m⊥n?m∥α；(5)空间平行关系的传递性：m∥n，m，n?α，m∥α?n∥α；(6)α⊥β，l⊥β，l?α?l∥α.3．证明面面平行的方法(1)利用定义(常用反证法)；(2)利用判定定理：a，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?α∥β；推论：a，b?β，m，n?α，a∩b＝P，m∩n＝Q，a∥m，b∥n(或a∥n，b∥m)?α∥β；(3)利用面面平行的传递性：α∥βγ∥β?α∥γ；(4)利用线面垂直的性质：α⊥lβ⊥l?α∥β.4．应用面面平行的性质定理时，关键是找(或作)辅助线或平面，对此需要强调的是：(1)辅助线、辅助平面要作得有理有据，不能随意添加；(2)辅助面、辅助线具有的性质，一定要以某一性质定理为依据，不能主观臆断．5．注意线线平行、线面平行、面面平行间的相互转化线线平行判定定理性质定理线面平行判定定理性质定理面面平行．应用判定定理时，注意由“低维”到“高维”：“线线平行”?“线面平行”?“面面平行”；应用性质定理时，注意由“高维”到“低维”：“面面平行”?“线面平行”?“线线平行”．1．(2017华中科技大学附属中学月考)已知直线a∥b，且a与平面α相交，那么b与α的位置关系是() A．必相交B．平行或在平面内C．相交或平行D．相交或在平面内解：两条平行线中的一条与一个平面相交，则另一条也必定与该平面相交．故选A.2．(2017鞍钢高级中学月考)下列说法正确的是()A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥αB．若直线a在平面α外，则a∥αC．若直线a∥b，b?平面α，则a∥αD．若直线a∥b，b?平面α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线解：对于选项A，直线l有可能在平面α内，A错；对于选项B，直线a在平面α外包括两种情形，即a∥α或a与α相交，B错；对于选项C，直线a有可能在平面α内，C错．故选D.3. (2015·安徽)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是()A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面解：A项，α，β可能相交，故错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m?α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n与已知m，n不平行矛盾，所以原命题正确，故D项正确．故选D.4．(2017大连市教育学院附属高中月考)已知α，β是不同的平面，m，n是不同的直线，给出下列命题：①若m⊥α，m?β，则α⊥β；②若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β；③若m?α，n?α，m，n是异面直线，则n与α相交；④若α∩β＝m，n∥m，且n?α，n?β，则n∥α，n∥β.其中真命题的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4解：①符合面面垂直的判定定理，正确；②只有m，n相交时成立，错误；③n与α相交或平行，故不成立；④符合直线与平面平行的判定定理，正确．故选B.5．(2017武汉市一冶四中月考)已知两条不同的直线a，b，两个不同的平面α，β，若a⊥α，b?β，则“a⊥b”是“α∥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：当α∥β时，因为a⊥α，所以a⊥β.又因为b?β，所以a⊥b，则“a⊥b”是“α∥β”的必要条件．当a⊥b时，由a⊥α，b?β，可得α∥β或α与β相交，则“a⊥b”不是“α∥β”的充分条件．故“a⊥b”是“α∥β”的必要不充分条件．故选B.6．(2016·全国卷Ⅰ)平面α过正方体ABCD -A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为()A.32B.22C.33D.13解：因为平面α∥平面CB1D1，所以平面α与平面ABCD的交线m平行于平面CB1D1与平面ABCD的交线l.因为在正方体中平面ABCD平行于平面A1B1C1D1，所以l∥B1D1，所以m∥B1D1.同理，n平行于平面CB1D1与平面ABB1A1的交线．因为平面ABB1A1∥平面CDD1C1，所以平面CB1D1与平面ABB1A1的交线平行于平面CB1D1与平面CDD1C1的交线CD1，所以n∥CD1.故m，n所成的角即为B1D1，CD1所成的角，显然所成的角为60°，则其正弦值为32.故选 A.7．设α，β，γ为三个不同的平面，a，b为直线，给出下列条件：①a?α，b?β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，b⊥β，a∥b.其中能推出α∥β的条件是________(填上所有正确的序号)．解：在条件①或条件③中，α∥β或α与β相交．由α∥γ，β∥γ?α∥β，条件②满足．在④中，a⊥α，a∥b ?b⊥α，又b⊥β，从而α∥β，④满足．故填②④.8．棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P，Q，R分别是面A1B1C1D1，BCC1B1，ABB1A1的中心，给出下列结论：①PR与BQ是异面直线；②RQ⊥平面BCC1B1；③平面PQR∥平面D1AC；④过P，Q，R的平面截该正方体所得截面是边长为2的等边三角形．以上结论正确的是______．(写出所有正确结论的序号)解：由于PR是△A1BC1的中位线，所以PR∥BQ，故①不正确；由于RQ∥A1C1，而A1C1不垂直于面BCC1B1，所以②不正确；由于PR∥BC1∥D1A，PQ∥A1B∥D1C，所以③正确；由于△A1BC1是边长为2的正三角形，所以④正确．故填③④.9．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P，Q分别是DD1，CC1的中点．求证：(1)PO∥面D1BQ；(2)平面D1BQ∥平面P AO.证明：(1)连接DB，在△D1DB中，P，O分别是DD1，DB的中点，则PO∥D1B，又PO?面D1BQ，D1B?面D1BQ，所以PO∥面D1BQ.(2)易证四边形APQB是平行四边形，所以P A∥BQ.又PA?面D1BQ，BQ?面D1BQ，所以P A∥面D1BQ.又由(1)知PO∥面D1BQ，PO∩P A＝P，PO，P A?平面D1BQ，所以平面D1BQ∥平面PAO.10．(2015·四川)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N.(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)证明：直线MN∥平面BDH.解：(1)点F，G，H的位置如图所示．(2)证明：连接BD，设O为BD的中点，连接OM，OH.因为M，O分别是BC，BD的中点，所以OM∥CD，且OM＝12 CD，又HN∥CD，且HN＝12 CD，所以OM∥HN，OM＝HN.所以MNHO是平行四边形，从而MN∥OH.又MN?平面BDH，OH?平面BDH，所以MN∥平面BDH.11．(2017昌图县第一高级中学月考)已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，AD＝2BC，E，F分别为CC1，DD1的中点．求证：平面BEF∥平面AD1C1.证明：取AD的中点G，连接BG，FG，因为E，F分别为CC1，DD1的中点，所以C1D1∥CD∥EF，因为C1D1?平面AD1C1，EF?平面AD1C1，所以EF∥平面AD1C1.因为AD∥BC，AD＝2BC，所以GD BC，即四边形BCDG是平行四边形，所以BG DC，所以BG EF，即四边形EFGB是平行四边形，所以平面BEF即平面EFGB.因为F，G分别是DD1，AD的中点，所以FG∥AD1.因为AD1?平面AD1C1，FG?平面AD1C1，所以FG∥平面AD1C1.又FG?平面BEF，FE?平面BEF，FG∩EF＝F，所以平面BEF∥平面AD1C1.(2017武汉市武钢第四子弟中学月考)如图所示，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD＝2BC，EA⊥EB.专业文档珍贵文档(1)求直线EC 与平面ABE 所成角的余弦值；(2)线段EA 上是否存在点F ，使EC ∥平面FBD ？若存在，求出EF EA；若不存在，说明理由．解：(1)因为平面ABE ⊥平面ABCD ，且AB ⊥BC ，所以BC ⊥平面ABE ，则∠CEB 即为直线EC 与平面ABE 所成的角．设BC ＝a ，则AB ＝2a ，BE ＝2a ，所以CE ＝3a.所以cos ∠CEB ＝BE CE ＝63，即直线EC 与平面ABE 所成角的余弦值为63.(2)存在点F ，且EFEA ＝13时，有EC ∥平面FBD.证明如下：连接AC 交BD 于点M ，在AE 上取点F ，使EF EA ＝13，连接MF ，BF ，DF.因为AB ∥CD ，AB ＝2CD ，所以CMMA ＝CDAB ＝12，所以CMCA ＝13.因为EF EA ＝13，所以FM ∥EC.又EC?平面FBD ，FM ?平面FBD ，所以EC ∥平面FBD.即点F 满足EFEA ＝13时，有EC ∥平面FBD ．。
空间中的平行关系
/b
线的任一平面与此
定理
b
平面的 交线 与该
直线平行．
2．平面与平面平行
定理
文字语言
符号语言
图形语言
一个平面内的两
判定
条相交直线与另一
a ,b
a bP
/
/
定理 个平面平行，则这 a / / ,b / /
两个平面平行．
如果两个平行平 / /
性质
面同时和第三个
a
a
/
/b
定理 平面相交，那么它 b
即：线线平行 线面平行；
②证明经过这条直线的一个平面和这个平面平行，
即：面面平行 线面平行．
2．证明平面和平面平行的关键：在一个已知平面内“找出” 两条相交直线与另一平面平行．
们的 交线 平行．
精讲点拨
题型一：线线平行问题
【例 1】如图所示，四面体 ABCD 被一平面所截， 截面 EFGH 为平行四边形.求证： CD // GH .AEB NhomakorabeaG
D
F
H
C
题型二：线面平行问题
【例 2】如图在四棱锥 P ABCD 中， ABCD 是平行四边形， M , N 分别是 AB, PC 的中点，求证： MN // 平面 PAD .
P
N
D
C
AM
B
题型三：面面平行问题
例 3. 在 正 方 体 ABCD A1B1C1D1 中 ， M , N, P 分 别 为 CC1, B1C1,C1D1 的中点.求证：平面 MNP // 平面 A1BD .
D1 A1
P
C1
N
B1 M
D A
C B
【变式】正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，侧面对角 线 AB1、BC1 上分别有两点 E、F，且 B1E=C1F. 求证：EF∥平面 ABCD.
空间中的平行关系
c d
性质定理：如果两个平行平面同时和第三 个平面相交，那么它们的交线平行。
α β
a
b γ
例4.如图，三棱锥P-ABC中，D,E,F分别是PA， PB，PC的中点，求证：平面DEF//平面ABC。
证明：在 PAB中，
因为 D,E分别是PA,PB的中点, 所以 DE//AB, 又知 DE 平面ABC, 因此 DE//平面ABC, 同理 EF//平面ABC, 又因为 DE EF=E, 所以 平面DEF//平面ABC.
所以 BG//AD,GE//CF.
AB DG DG DE 于是，得 BC GC , GC EF .
l
m D
B
A
G
E
AB DE . 所以 BC EF
C
F
简述为：两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例。
的中点
求证:EF//平面BCD. 证明：如图,连接BD,在△ABD中, A F D C
因为 E,F分别为AB，AD的中点， E 所以 EF ∥BD, 又因为BD 平面BCD, B EF 平面BCD,
所以 EF ∥平面BCD。
规律总结
1.要证明直线与平面平行可以运用线面平行的判定 线线平行 线面平行 定理；
推论1如果一个角的两边和另一个 角的两边分别平行，一组边的方向 相同，而另一组边的方向相反，又 如何？
γ
α
β
，互补 , 互补
如果两条相交直线和另两条相交直 线分别平行，它们成的角有何关系？
γ
α
推论 2 如果两条相交直线和另两条
相交直线分别平行，那么这两组直 线所成的锐角（或直角）相等.
将线面平行转化为线线平行
1.2.2空间中的平行关系
(3)空间两个角 、β, α与β的两边对应平行 且α＝ 空间两个角α 的两边对应平行, 空间两个角 与 的两边对应平行 ＝ 60°, 则β等于（ 等于（ ° 等于 ）D A. 60° B. 120° ° ° C. 30° D. 60°或120° ° ° ° (4)若空间四边形的对角线相等 则以它的四条边的中 若空间四边形的对角线相等,则以它的四条边的中 若空间四边形的对角线相等 点为顶点的四边形是（ 点为顶点的四边形是（ B ） A.空间四边形 B.菱形 空间四边形 菱形 C.正方形 D.梯形 正方形 梯形 (5) 设AA1是正方体的一条棱，这个正方体中 是正方体的一条棱， 平行的棱共有＿＿＿条 与AA1 平行的棱共有＿＿＿条 3 ＿＿＿
空间四边形ABCD的 顶点，边， 说一说 空间四边形 的 顶点， 对角线分别有哪些？ 对角线分别有哪些？
空间四边形ABCD中，AC、BD是它的对角线 中 空间四边形 、 是它的对角线
应用新知
例1：已知，如图所示，空间四边形 ：已知，如图所示，空间四边形ABCD中， 中 分别是边AB 的中点. E，F，G，H分别是边 ，BC，CD，DA的中点 分别是边 的中点 求证：四边形EFGH是平行四边形 求证：四边形 是平行四边形
平行线的定义： 同一平面内，不相交的两条直线叫做 平行线的定义： 同一平面内，不相交的两条直线叫做 平行线。 平行线。 平行公理： 过直线外一点，有且只有一条直线和已知 平行公理： 过直线外一点，有且只有一条直线和已知 直线平行。 直线平行。 平面平行线的传递性： 平面平行线的传递性： 如果两条直线都与第三条直线平 那么这两条直线也互相平行。 行，那么这两条直线也互相平行。
γ γ
β
γ β
β
想一想
首尾顺次连接四个点A,B,C,D，那么构成 ， 首尾顺次连接四个点 的四边形一定是平面图形吗 的四边形一定是平面图形吗？
空间中的平行关系
解：当 m∥β 时，过 m 的平面 α 与 β 可能平行也可能
相交，因而 m∥β α∥β；当α∥β时，α 内任一直线与
β平行，因为 m⊂α，所以 m∥β.综上知，“m∥β”是“α
∥β”的必要而不充分条件．
答案: B
直线与平面平行的判断 平面与平面平行的判定 线面平行、面面平行的性质的应用
考点一·直线与平面平行的判断
点评：证面面平行的基本方法是利用面面平行的判定 定理，即转化为证线面平行．
【变式探究】
2．如图，已知 ABC-A1B1C1 是正三棱柱，E，F 分别是 AC， A1C1 的中点．求证：平面 AB1F∥平面 BEC1.
证明：因为 E、F 分别是 AC、A1C1 的中点， 所以 AE＝FC1.又因为 AE∥FC1， 所以四边形 AEC1F 是平行四边形，所以 AF∥EC1. 因为 EC1⊂平面 BEC1，AF⊄平面 BEC1， 所以 AF∥平面 BEC1. 连接 EF.因为 EF∥BB1，EF＝BB1， 所以四边形 BB1FE 是平行四边形， 所以 B1F∥BE，B1F⊄平面 BEC1，BE⊂平面 BEC1， 所以 B1F∥平面 BEC1. 因为 AF，B1F 是平面 AB1F 内的相交直线， 所以平面 AB1F∥平面 BEC1.
⇒β∥α. (2) 垂直于 同一直线
的两个平面平行．
4．两个平面平行的性质 (1)两个平面平行，其中一个平面内的直线 平行于 另
一个平面．
符号表示：α∥β，a⊂α，则 a∥β
.
(2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它
们的交线 平行 . 符号表示：α∥β，α∩γ＝a，．如图是以正方形 ABCD 为底面的正四棱柱被一平面所 截得的几何体，四边形 EFGH 为截面，且 BF＝DH.证明：截 面四边形 EFGH 是菱形.
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线面平行的判定方法
直线与平面没有交点
1.定义: 2.判定定 理
a / /b a ⊄ α ⇒ a / /α b ⊂α
3.面面平行性 质定理
α / /β ⇒ a / /β a ⊂α
面面平行的判定方法
1.定义
平面与平面没有交点
2.判定定 理
a, b ⊂ α a I b = A ⇒ α / /β a / /β b / /β
1.定义
a / /b 2.平行公理 a / /c ⇒ b / /c a // α 3.线面平行性质 a ⊂ β ⇒ a // l 定理 α I β = l
4.面面平行性质 定理
α / /β α I γ = a ⇒ a / /b β I γ = b
5.利用平行四边形的性质等。
个平面⑨ __________ ，则这两个平面平行． 用符号表示为：a ⊂ α，b ⊂ α，a I b = P， _____ ， _______ ⇒ α //β .
( 3) 性质定理：如果两个平行平面同时和第三个
平面相交，那么它们的交线 __________ . 用符号表示为：α //β，α I γ = a，β I γ = b ⇒ _______ . 特别提醒：线线平行、面面平行有传递性，而线 面平行没有传递性，如a //α，α //β 不一定得到
直线③ __________ ，则该直线与此平面平行． 用符号表示为：a ⊄ α，b ⊂ α，且④ ___ ⇒ a //α .
( 3) 性质定理：一条直线与一个平面平行，则过
这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线 ⑤ __________ 。 用符号表示为：a //α，a ⊂ β，β I α = l ⇒ ⑥ __.
3.判定定理 的推论
a, b ⊂ α a I b = A c, d ⊂ β ⇒ α / / β a / /c b / /d
4.平行于同一平面的两平面平行 （传递性）
α / /γ ⇒α / /β β / /γ
题型一、用平行的判定和性质解选择填空题 例1 填空
2．平面与平面平行的判定与性质
(1) 定义：如果平面α 与平面β ⑦ _____ 公共点，
则平面α 与平面β 平行，记作⑧ __________ . 特别提醒：两个平面平行，其中一个平面内的任 一直线与另一个平面必平行，即“面//面 ⇒ 线//面”．
( 2 ) 判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一
三种平行关系的转化
线
线面平行判定
线 平
线
面
面面平行判定
面 平 面 平ຫໍສະໝຸດ 线面平行性质 面面平行性质
行 行
行
（1）平行于同一平面的二直线的位置 ） 关系是 （D ）
（A） 一定平行 ） （B） 平行或相交 ） （C） 相交 ） （D） 平行，相交，异面 ） 平行，相交，
是平面α （2）点A是平面α外的一点，过A ） 是平面 外的一点， 和平面α 和平面α平行的直线有 无数 条。
A α
是直线l （3）点A是直线 外的一点，过A和 ） 是直线 外的一点， 和 直线l 直线 平行的平面有 无数 个。
A
（4）过两条平行线中的一条和另 ） 一条平行的平面有 无数 个。
（5）过两条异面直线中的一条和 ） 另一条平行的平面有 且仅有一 个。
平行于平面α （6）如果 1 // l2 , l1 平行于平面α， ）如果l 平面α 则 l2 平面 ⊂ 或 // α l2 l1 α l2
（7）如果两直线 ,b 相交，a平行 ）如果两直线a 相交， 平行 于平面α 与平面α 于平面α，则b与平面α的位置关系 与平面 相交或平行 。 是 b a b α
空间中的平行关系
以立体几何的相关定义、公理和定理 为出发点，认识和理解直线与平面、 平面与平面平行的判定定理和性质定理．
1．直线与平面平行
(1) 定义：如果直线a与平面a① ______ 公共点，
则直线a与平面a平行，记作② __________ .
( 2 ) 判定定理平面外一条直线与此平面内的一条
(2)如果一条直线与一个平面平行，则这条直线与这个 (2)如果一条直线与一个平面平行， 如果一条直线与一个平面平行 平面内的直线成异面直线或平行直线
(3)如果一条直线与一个平面平行， (3)如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的 如果一条直线与一个平面平行 平面和这个平面相交，则这条直线与交线平行。 平面和这个平面相交，则这条直线与交线平行。
α //β，同时a //α，b //α 也不一定得到a //b.
【要点指南】 ①没有；②a //α；③平行； ④a //b；⑤平行；⑥a //l； ⑦没有；⑧α //β；⑨平行； ⑩α //β； b //β； 平行； a //b
线面平行的性质
(1)如果一条直线与一个平面平行， (1)如果一条直线与一个平面平行，则这条直线与这 如果一条直线与一个平面平行 个平面无公共点
两个平面平行的性质
1、两个平面没有公共点 、 2、其中一个平面内的直线平行于 、 另一个平面 3、两个平行平面同时和第三个平面 、 相交， 相交，它们的交线平行 4、夹在两个平行平面间的平行线段相 、 等 5、夹在三个平行平面间的线段成比 、 例
两 个 平 面 平 行
线线平行的判定方法
直线与直线共面，且没有交点