2019版高考数学一轮总复习第十一章计数原理和概率题组训练82古典概型理

题组训练82 古典概型1．将一个骰子抛掷一次，设事件A 表示向上的一面出现的点数不超过3，事件B 表示向上的一面出现的点数不小于4，事件C 表示向上的一面出现奇数点，则( ) A ．A 与B 是对立事件 B ．A 与B 是互斥而非对立事件 C ．B 与C 是互斥而非对立事件 D ．B 与C 是对立事件答案 A解析 由题意知，事件A 包含的基本事件为向上点数为1，2，3，事件B 包含的基本事件为向上的点数为4，5，6.事件C 包含的点数为1，3，5.A 与B 是对立事件，故选A. 2．从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，下列事件是互斥事件但不是对立事件的是( )A ．恰好有1件次品和恰好有2件次品B ．至少有1件次品和全是次品C ．至少有1件正品和至少有1件次品D ．至少有1件次品和全是正品 答案 A解析 依据互斥和对立事件的定义知，B ，C 都不是互斥事件；D 不但是互斥事件而且是对立事件；只有A 是互斥事件但不是对立事件．3．(2018·广东茂名模拟)在{1，3，5}和{2，4}两个集合中各取一个数字组成一个两位数，则这个数能被4整除的概率是( ) A.13 B.12 C.16 D.14答案 D解析 符合条件的所有两位数为12，14，21，41，32，34，23，43，52，54，25，45，共12个，能被4整除的数为12，32，52，共3个，故所求概率P ＝312＝14.4．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，若从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( ) A.13 B.12 C.23 D.34 答案 C解析 从4张卡片中抽取2张的方法有6种，和为奇数的情况有4种，∴P ＝23.5．从存放的号码分别为1，2，3，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：A ．0.53B ．0.5C ．0.47D ．0.37答案 A解析 取到号码为奇数的卡片的次数为：13＋5＋6＋18＋11＝53，则所求的频率为53100＝0.53，故选A.6．(2016·天津改编)甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13，则甲获胜的概率和甲不输的概率分别为( ) A.16，16 B.12，23 C.16，23 D.23，12答案 C解析 “甲获胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率P ＝1－12－13＝16.设事件A 为“甲不输”，则A 可看作是“甲胜”与“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(A)＝16＋12＝23.(或设事件A 为“甲不输”，则A 可看作是“乙胜”的对立事件．所以P(A)＝1－13＝23)7．(2013·陕西文)对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25)上为一等品，在区间[15，20)和[25，30)上为二等品，在区间[10，15)和[30，35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是( )A ．0.09B ．0.20C ．0.25D ．0.45答案 D解析 由频率分布直方图的性质可知，样本数据在区间[25，30)上的频率为1－5×(0.02＋0.04＋0.06＋0.03)＝0.25，则二等品的频率为0.25＋0.04×5＝0.45，故任取1件为二等品的概率为0.45.8．我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》……《缉古算经》等10部专著，有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部名著中选择的2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选的2部名著中至少有1部是魏晋南北朝时期的名著的概率为 ( ) A.1415 B.1315C.29D.79答案 A解析 方法一：从10部名著中选择2部名著的方法数为C 102＝45，所选的2部都为魏晋南北朝时期的名著的方法数为C 72＝21，只有1部为魏晋南北朝时期的名著的方法数为C 71×C 31＝21，于是事件“所选的2部名著中至少有1部是魏晋南北朝时期的名著”的概率P ＝4245＝1415.故选A.方法二：从10部名著中选择2部名著的方法数为C 102＝45，所选的2部都不是魏晋南北朝时期的名著的方法数为C 32＝3，由对立事件的概率计算公式得P ＝1－345＝1415.故选A.9．将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b ，c ，则方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率为( ) A.1936 B.12 C.59 D.1736答案 A解析 若方程有实根，则Δ＝b 2－4c≥0，当有序实数对(b ，c)的取值为(6，6)，(6，5)，…，(6，1)，(5，6)，(5，5)，…，(5，1)，(4，4)，…，(4，1)，(3，2)，(3，1)，(2，1)时方程有实根，共19种情况，而(b ，c)等可能的取值共有36种情况，所以，方程有实根的概率为P ＝1936.10．若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是________． 答案112解析 本题基本事件共6×6个，点数和为4的有3个事件为(1，3)，(2，2)，(3，1)，故P ＝36×6＝112. 11．据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0，1，2的概率分别为0.4，0.5，0.1.则该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率为________． 答案 0.9解析 方法一：记“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为0”为事件A ，“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为1”为事件B ，“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为2”为事件C ，“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数不超过1”为事件D ，而事件D 包含事件A 与B ，所以P(D)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.5＝0.9.方法二：记“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为2”为事件C ，“该食品企业在一个月内被消费者投诉不超过一次”为事件D ，由题意知C 与D 是对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.1＝0.9.12．(2018·江苏苏北四市调研)从1，2，3，4，5，6这六个数中一次随机地取两个数，则所取两个数的和能被3整除的概率为________． 答案 13解析 从六个数中一次随机地取两个数，有15种等可能的结果，而所取两个数的和能被3整除包含5种结果，即(1，2)，(1，5)，(2，4)，(3，6)，(4，5)，∴所取两个数的和能被3整除的概率为515＝13.13．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率． 答案 (1)0.27 (2)0.24解析 (1)设A 表示事件“赔付金额为3 000元”，B 表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)＝1501 000＝0.15，P(B)＝1201 000＝0.12.由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100辆，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24辆．所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.14．下表为某班的英语及数学成绩，全班共有学生50人，成绩分为1～5分五个档次．例如表中所示英语成绩为4分的学生共14人，数学成绩为5分的共5人．设x ，y 分别表示英语成绩和数学成绩.(1)x ＝4(2)x ＝2的概率是多少？a ＋b 的值是多少？ 答案 (1)725，750，710 (2)15，3解析 (1)P(x ＝4)＝1＋0＋7＋5＋150＝725；P(x ＝4且y ＝3)＝750，P (x≥3)＝P(x ＝3)＋P(x ＝4)＋P(x ＝5)＝2＋1＋0＋9＋350＋725＋1＋3＋1＋0＋150＝710.(2)P(x ＝2)＝1－P(x ＝1)－P(x≥3)＝1－110－710＝15.又∵P(x＝2)＝1＋b ＋6＋0＋a 50＝15，∴a ＋b ＝3.15．(2018·辽宁六盘山高级中学一模)某中学有初中学生1 800人，高中学生1 200人．为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间(单位：小时)分为5组：[0，10)，[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50]，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)写出a 的值；(2)试估计该校所有学生中，阅读时间不少于30个小时的学生人数；(3)从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，求至少抽到1名高中生的概率． 答案 (1)0.03 (2)870 (3)0.7 解析 (1)由题意得a ＝0.03.(2)∵初中生中，阅读时间不少于30个小时的学生频率为(0.020＋0.005)×10＝0.25. ∴所有初中生中，阅读时间不少于30个小时的学生约有0.25×1 800＝450人． 同理，高中生中，阅读时间不少于30个小时的学生频率为(0.03＋0.005)×10＝0.35， ∴所有高中生中．阅读时间不少于30个小时的学生约有0.35×1 200＝420人． ∴该校所有学生中，阅读时间不少于30个小时的学生人数约有450＋420＝870.(3)由分层抽样知，抽取的初中生有60名，高中生有40名．记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，至少抽到1名高中生”为事件A.初中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为0.005×10＝0.05，样本人数为0.05×60＝3.高中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为0.005×10＝0.05，样本人数为0.05×40＝2.记这3名初中生为A 1，A 2，A 3，这2名高中生为B 1，B 2.则从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，所有可能的情况有C 52＝10种 其中至少有一名高中生的情况有C 52－C 32＝7种 ∴所求概率为710＝0.7.16．(2018·四川成都一诊)已知国家某5A 级大型景区对拥挤等级与每百游客数量n(单位：百人)的关系有如下规定：当n∈[0，100)时，拥挤等级为“优”；当n∈[100，200)时，拥挤等级为“良”；当n∈[200，300)时，拥挤等级为“拥挤”；当n≥300时，拥挤等级为“严重拥挤”．该景区对6月份的游客数量作出如图的统计数据．(1)下面是根据统计数据得到的频率分布表，求出a ，b 的值，并估计该景区6月份游客人数的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)客拥挤等级均为“优”的概率． 答案 (1)15，12，120(百人) (2)310解析 (1)由题图知游客人数在[0，100)范围内共有15天，∴a ＝15，b ＝1530＝12.游客人数的平均数为50×12＋150×13＋250×215＋350×130＝120(百人)．(2)设A 表示事件“2天遇到的游客拥挤等级均为‘优’”．从5天中任选2天的选择方法有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10个基本事件，其中事件A 包括(1，4)，(1，5)，(4，5)，共3个基本事件，∴P(A)＝310.即他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优”的概率为310. 17．(2017·课标全国Ⅲ，文)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率． 答案 (1)0.6 (2)0.8解析 (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25 ℃.由表格数据知，最高气温低于25 ℃的频率为2＋16＋3690＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25 ℃，则Y ＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间[20，25)，则Y ＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300； 若最高气温低于20 ℃，则Y ＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100. 所以，Y 的所有可能值为900，300，－100.Y 大于零当且仅当最高气温不低于20 ℃，由表格数据知，最高气温不低于20 ℃的频率为36＋25＋7＋490＝0.8，因此Y 大于零的概率的估计值为0.8.1．从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球．中的哪几个( ) A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③答案 A解析 从口袋内一次取出2个球，这个试验的基本事件空间Ω＝{(白，白)，(红，红)，(黑，黑)，(红，白)，(红，黑)，(黑，白)}，包含6个基本事件，当事件A“两球都为白球”发生时，①②不可能发生，且A 不发生时，①不一定发生，②不一定发生，故非对立事件，而A 发生时，③可以发生，故不是互斥事件．2．(2013·江西)集合A ＝{2，3}，B ＝{1，2，3}，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( ) A.23 B.12 C.13D.16答案 C解析 从A 、B 中各取一个数有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)共6种情况，其中和为4的有(2，2)，(3，1)，共2种情况，所求概率P ＝26＝13，选C.3．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( ) A.18 B.38 C.58 D.78答案 D解析 方法一：4位同学各自在周六、周日任选一天参加公益活动，共有24＝16(种)结果，而周六、周日都有同学参加公益活动有两种情况：①一天一人，另一天三人，C 41A 22＝8(种)；②每天二人，有C 42＝6(种)，所以P ＝8＋616＝78.方法二(间接法)：4位同学各自在周六、周日任选一天参加公益活动，共有24＝16(种)结果，而4人都选周六或周日有2种结果，所以P ＝1－216＝78.。