与秩和检验的功效比较_颜杰

完全随机设计两组t检验与秩和检验的功效比较中山大学公共卫生学院医学统计与流行病学系(510089)山东大学流行病与卫生统计学研究所颜杰李彩霞方积乾丁守銮【提要】目的比较t检验与秩和检验检验完全随机设计两组资料的功效。

方法用SAS软件编制电脑实验程序,模拟研究和比较不同总体条件下两组秩和检验与t检验的检验功效。

结果若总体分布对称,小样本时t检验功效较高,大样本时两种方法功效相似;总体非对称分布时秩和检验的功效高于t检验。

结论当样本量足够大时,可以用秩和检验代替t检验。

【关键词】样本含量统计非参数功效两组完全随机化设计是指将实验对象完全随机地分配到两组,分别接受不同的处理,或从两个总体中分别随机地抽取一部份个体进行研究。

对于完全随机设计的两组连续型变量资料,如果样本来自于两方差齐同的正态分布的总体,可以用t检验对样本均数进行比较,此种方法属于参数检验方法。

当不满足条件时,则可以采用非参数的秩和检验进行比较。

在统计中,假设检验功效是指差异存在时该检验能正确发现差异的能力(power),定义为1-β,其中β=P(不拒绝H0 H1为真),即犯第二类错误的概率。

一般统计教材均提及符合作参数检验的资料,如用非参数检验,检验功效会低于参数检验。

但都未具体说明其定量关系到底如何,更未说明若不符合参数检验条件的资料,两种方法的检验功效又有何关系。

我们用电脑实验模拟研究了不同总体条件下两组秩和检验与t检验的检验功效,并进行二者的比较。

模拟研究方法利用随机数函数模拟从不同总体中独立地抽取两组样本,分别对样本进行两组t检验和秩和检验,记录每次秩和检验和t检验的P值,若P<α,则认为该次检验发现了差异。

重复实验10000次,用10000次中秩和(或t)检验发现差异的次数/10000模拟秩和(或t)检验的功效,用10000次中秩和检验和t检验同时发现差异的次数/10000模拟二者的一致功效。

将最后结果以2×2交叉设计四格表的形式输出,同时还对四格表作假设检验,比较秩和检验和t检验结果的关联性和差异。

整个过程用SAS8.1软件编制程序实现。

为便于讨论,本实验设定两总体方差齐同且两组样本例数相等,所有假设检验均为双侧检验,α=0.05。

已知影响功效主要有四个要素:总体间差异δ、标准差σ和样本含量n以及第Ⅰ类错误的概率α。

计算t检验的理论功效;在程序中分别改变这些影响功效的参数,具体考察功效的变化情况。

实验研究结果与讨论1.符合参数检验条件下两种方法的比较从方差齐同的两正态总体中抽取两组随机样本。

已知在符合参数检验条件下,两组t检验的功效可以用公式Zβ= δσ2/n-Zα计算。

其中样本量根据实际应用的情况设定为n=10、25、100和500;由功效计算公式知δ和σ是以δ /σ的形式影响检验功效的,正态总体的总体标准差分别取0.5和1,设定δ/σ的变化范围是检验功效大约从5%逐渐增加到100%左右对应的范围。

表1列出了不同参数条件下,计算所得的t检验理论功效以及模拟实验得到t检验与秩和检验的功效情况,并给出二者模拟功效的差值和比值。

从表1可见,实验模拟得到的t检验功效与理论计算功效基本一致。

单独看t检验与秩和检验,都表现出功效随样本含量的增大而增大的趋势;当样本量一定时,发现差异的能力则随δ/σ增大而增大。

观察二者的功效差值和比值,发现当n较小时,秩和检验的功效与t检验有一定的差距,但至少都在t检验功效的85%以上;差别程度也与数据的δ/σ有关,随着δ/σ的增大,差别程度缩小。

当n取25以上时,二者的功效差别已缩小,秩和检验功效至少是t检验的93%以上,而且n越大,两种方法检验功效结果越接近。

在所有的比较中,两种方法的功效均表现出很强的关联性,这也是由抽得的样本数据的本身结构所决定的。

2.不符合参数检验条件下两种方法的比较结果我们模拟了几种较常见的非正态连续分布,包括:λ=1的指数分布、均匀分布、logistic分布、Weibull分布、α=3的伽马分布等。

图1是分别从各种非正态分布中一次实验抽得的10000个数据绘制的分布图。

·10·中国卫生统计2004年2月第21卷第1期表1 正态分布下t检验与秩和检验的功效比较(α=0.05,双侧检验)nδ/σt检验理论功效实验检验功效t检验秩和检验一致功效t检验-秩和检验秩和/t检验10 0.2 0.0652 0.0692 0.0576 0.0508 0.0116 0.83240.5 0.1999 0.1854 0.1616 0.1484 0.0238 0.87161 0.6088 0.5674 0.5167 0.5003 0.0507 0.91061.5 0.9184 0.8882 0.8490 0.8417 0.0392 0.95592.5 0.9999 0.9873 0.9772 0.9762 0.0101 0.989825 0.1 0.0541 0.0640 0.0612 0.0508 0.0028 0.95630.2 0.1051 0.1065 0.1002 0.0871 0.0063 0.94080.5 0.4238 0.4089 0.3829 0.3610 0.0260 0.93641 0.9424 0.9313 0.9148 0.9091 0.0165 0.98231.5 0.9996 0.9991 0.9987 0.9986 0.0004 1.0001100 0.05 0.0541 0.0628 0.0591 0.0493 0.0037 0.9411 0.1 0.1051 0.1102 0.1073 0.0911 0.0029 0.97370.2 0.2926 0.2986 0.2865 0.2621 0.0121 0.95950.5 0.9424 0.9378 0.9282 0.9210 0.0096 0.9898图1 非正态分布示意图实验每次从不同位置的两个相同分布中独立地抽取样本,通过设置总体间差距的不同值,考察不同条件下两种检验方法的功效。

所有的模拟实验结果均表现出t检验与秩和检验的功效都随着样本量的加大而增大,但二者功效的比较情况可以分为两类:如果总体分布是对称或近似对称的(如图1所示均匀分布、logistic分布和Weibull分布等),二者功效的比较结果与正态分布条件下一致,即小样本时秩和检验稍逊于t检验,但随着样本量的加大,两者功效近似。

如果总体分布是非对称的,比较结果显示出秩和检验的优越性。

为篇幅起见,表2仅列出其中部分具体实验数据。

从表2两种方法功效比较结果可以看出,不同的样本量条件下,在总体间客观差异过大或过小时,两种方法的功效相差甚微,要么都不易发现差异,要么都能发现。

但在差异一定的时候,秩和检验的功效则较t检验高,即使在小样本(n=10)时,功效差值最高也可达0.107,秩和检验的功效最高也可达t检验的1.387 倍。

而此优势随着样本量的增大而更明显,当n=200时,功效差值最高可达0.368,秩和检验的功效最高也可为t检验的2.248倍,而n=5000时,二者更可以增加到0.4和3.091倍。

此种结果同时也受总体分布偏离对称性的程度影响,偏离越大则差别越明显。

从分布图中可见,指数分布与不对称钩形分布偏离对称性较伽马分布程度大,实验结果显示出在同样的样本量时,前者的功效差值和比值都比后者更大。

从二者的一致功效可以看出,实验还发现一个有趣的结果,当总体分布非对称较明显、样本量和差异足够时,t检验能发现的差异,秩和检验基本都能发现。

而总体分布对称时,二者之间却没有类似的关系。

结论进行假设检验时,了解该方法的检验功效是非常重要。

如果检验方法的功效低,就不易发现客观存在的差异,增大犯“假阴性”错误的概率。

·11·Chinese Journal of Health Statistics,February 2004,Vol.21,No.1表2 非正态分布下t检验与秩和检验的功效比较(α=0.05,双侧检验)n总体间差距指数分布t检验秩和检验一致功效秩和检验-t检验秩和/t检验伽马分布t检验秩和检验一致功效秩和检验-t检验秩和/t检验不对称钩形分布t检验秩和检验一致功效秩和检验-t检验秩和/t检验10 0.1 0.048 0.056 0.036 0.008 1.167 0.051 0.046 0.036-0.006 0.885 0.054 0.048 0.035-0.006 0.8820.25 0.093 0.118 0.078 0.025 1.274 0.062 0.059 0.047-0.004 0.944 0.057 0.055 0.039-0.002 0.9610.75 0.420 0.527 0.398 0.107 1.255 0.248 0.251 0.213 0.004 1.014 0.094 0.130 0.0820.036 1.3871.5 0.874 0.912 0.854 0.038 1.044 0.248 0.249 0.213 0.001 1.003 0.215 0.278 0.199 0.063 1.29225 0.1 0.064 0.086 0.047 0.022 1.344 0.052 0.051 0.038 0.000 0.992 0.051 0.053 0.038 0.001 1.0270.25 0.155 0.271 0.141 0.116 1.746 0.056 0.053 0.039-0.003 0.941 0.079 0.083 0.083 0.004 1.0550.75 0.751 0.917 0.748 0.166 1.221 0.177 0.197 0.152 0.019 1.109 0.161 0.300 0.1580.138 1.8581.5 0.997 1.000 0.997 0.003 1.003 0.523 0.589 0.501 0.066 1.126 0.498 0.649 0.494 0.152 1.30550 0.1 0.078 0.124 0.059 0.046 1.590 0.052 0.050 0.036-0.002 0.962 0.054 0.062 0.042 0.008 1.1440.25 0.243 0.474 0.235 0.231 1.949 0.060 0.061 0.043 0.001 1.017 0.064 0.085 0.053 0.021 1.3220.5 0.711 0.937 0.711 0.226 1.318 0.118 0.130 0.094 0.012 1.104 0.153 0.314 0.149 0.162 2.0560.75 0.951 0.997 0.915 0.046 1.048 0.311 0.366 0.285 0.055 1.178 0.288 0.548 0.288 0.260 1.902100 0.1 0.111 0.214 0.096 0.103 1.928 0.055 0.057 0.040 0.002 1.039 0.055 0.071 0.044 0.016 1.2970.25 0.425 0.775 0.423 0.350 1.824 0.068 0.071 0.050 0.004 1.055 0.098 0.192 0.094 0.094 1.9530.5 0.935 0.998 0.935 0.063 1.067 0.175 0.207 0.152 0.032 1.186 0.268 0.556 0.267 0.288 2.0740.75 0.999 1.000 0.999 0.001 1.001 0.532 0.619 0.510 0.087 1.164 0.502 0.823 0.502 0.321 1.640200 0.1 0.168 0.370 0.160 0.202 2.201 0.058 0.059 0.040 0.001 1.019 0.066 0.098 0.056 0.032 1.4890.25 0.706 0.971 0.706 0.265 1.376 0.087 0.097 0.066 0.010 1.117 0.157 0.353 0.156 0.196 2.2480.5 0.999 1.000 0.999 0.001 1.001 0.314 0.374 0.286 0.061 1.193 0.475 0.843 0.475 0.368 1.7750.75 1.000 1.000 1.000 0.000 1.000 0.822 0.896 0.815 0.074 1.090 0.813 0.987 0.8130.174 1.2145000 0.01 0.110 0.150 0.070 0.040 1.364 0.080 0.080 0.060 0.000 1.000 0.070 0.070 0.060 0.000 1.0000.03 0.370 0.770 0.370 0.400 2.081 0.110 0.170 0.100 0.060 1.546 0.110 0.180 0.100 0.070 1.6360.05 0.760 0.990 0.760 0.230 1.303 0.330 0.360 0.300 0.030 1.091 0.110 0.340 0.110 0.230 3.0910.1 1.000 1.000 1.000 0.000 1.000 0.780 0.870 0.760 0.090 1.115 0.550 0.910 0.550 0.360 1.655完全随机设计的两样本t检验是一种目前应用非常普遍的假设检验方法,但它要求样本是来自正态或近似正态分布的总体。