6-2秩和检验
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T 48.5 T 6.5
本例 n=10， T=6.5， 查附表 8-1,得 T0.05（ 10）=8-47 双侧 P>0.05，按 0.05 检验水准，不拒绝 H 0 ，差 异没有统计学意义 ,还不能认为不同剂量组的小鼠 肝糖原含量有差别。
超出附表8-1范围，可用正态近似法作u检验。
表2
12 名工人的尿氟含量（ mol/L ）与 45.30 比较
尿 氟 含 量 （1） 44.21 45.30 46.39 49.47 51.05 53.16 53.26 54.37 57.16 67.37 71.05 87.37 T+=64.5 T-=1.5 （1）－45.30 （2） －1.09 0 1.09 4.17 5.75 7.86 7.96 9.07 11.86 22.07 25.75 42.07 秩次 （3） -1.5 1.5 3 4 5 6 7 8 9 10 11
确定P值，作出推断结论：
当 n1 10 和 n2 n1 10 时,查 T 界 值表(附表 8-2)。本例 n1 10 ，
n2 n1 2 , T 170
查附表 8-2， T0.05(10,2) =84-146,得双侧 P<0.05， 按 0.05 水准拒绝 H 0 ,接受 H1 , 可认为两组小鼠生存日数的总体 分布不同。
式中 t j （j=1,2,…）为第 j 个相同秩的个数
假定相同秩（即平均秩）中有 2 个 1.5，5 个 8，3 个 14，则
t1 2 ， t2 5 ， t3 3 ，
3 3 3 3 ( t t ) (2 2) (5 5) (3 3) 150 j j
注意
表1 不同剂量组小鼠肝糖原含量（mg/100g） 小鼠对 中剂量组 高剂量组 差值 d 秩次 号 (1) (2) (3) (4)=(3)-(2) (5) 1 620.16 958.47 338.31 10 2 866.50 838.42 -28.08 -5 3 641.22 788.90 147.68 8 4 812.91 815.20 2.29 1.5 5 738.96 783.17 44.21 6 6 899.38 910.92 11.54 3.5 7 760.78 758.49 -2.29 -1.5 8 694.95 870.80 175.85 9 9 749.92 862.26 112.34 7 10 793.94 805.48 11.54 3.5
确定P值，作出推断结论：
查 T 界值表，本例 n1 10 ，
n2 n1 2 ， T 141.5 ， 得单侧 0.025 P 0.05 ， 按 0.05 水准拒绝 H 0 ，接受 H1 ，
可认为肺癌病人的 RD 值高于矽 肺 0 期工人的 RD 值。
若超出附表 8-2 的范围， 可用正态近似法作 u 检验，令 n1 n2 N ，按式 (10-3)计算 u 值。
练习２
对 10 例肺癌病人和 12 例矽肺 0 期工人用 X 光片测量肺门横径右侧距 RD 值（ cm ），结 果见表３。问肺癌病人的RD值是否高于矽肺
0期工人的RD值？
表３ 肺癌病人和矽肺0期工人的RD值（cm）比较
肺癌病人 RD 值 秩 2.78 3.23 4.20 4.87 5.12 6.21 7.18 8.05 8.56 9.60 矽肺 0 期工人 RD 值 秩 3.23 3.50 4.04 4.15 4.28 4.34 4.47 4.64 4.75 4.82 4.95 5.10
本例样本资料经正态性检验，推断 得总体不服从正态分布，现用 Wilcoxon 符号秩检验。
检验步骤
H 0 ：尿氟含量的总体中位数 M 45.30
H1 ： M 45.30
单侧 0.05
本题取T=1.5。
有效差值个数 n 11 。据 n 11 和 T 1.5 查 附表 8-1，得单侧 T0.05（11）=13-53，P<0.05 ，按 0.05 水准，拒绝 H 0 ，接受 H1 ，差异有统计 学意义，可认为该厂工人的尿氟含量高于当 地正常人的尿氟含量。
第10章 秩和检验
配对资料的Wilcoxon符号秩和检验 成组设计两样本比较的秩和检验（Wilcoxon 两样本比较法） 成组设计多个样本比较的秩和检验（Ｋ-Ｗ 检验或Ｈ检验） 秩相关（自学）
பைடு நூலகம்
参数检验
以特定的总体分布（如正态分布）作为前 提，对其总体参数作假设检验。 如： t 检验、u检验和 F 检验 。
按差值的绝对值从小到大编秩，然后分别冠以正负号。
编秩时，若差值为０，舍去不计； 若差值绝对值相等则取平均秩次（样本较小时，如果相同 秩较多，检验结果会存在偏性，因此应提高测量精度，尽量避 免出现较多的相同秩） , 表 10-1 差值的绝对值为 0.15 有 2 个，
其秩依次应为 3，4，取平均秩为 3.5 ，然后加上原来的正负号；
编号 (1) 1 2 3 4 5
两种消化方法测得尿铅结果(mg/L)
冷消化法 (2) 3.23 2.81 2.41 5.16 0.92 热消化法法 差数(d) (3) 3.11 3.00 2.80 4.48 0.77 0.12 -0.19 -0.39 0.68 0.15 秩次 2 -5.5 -8 9 3.5 (4)=(2)-(3) (5)
1．配对样本差值的中位数和0比较
目的是推断配对样本差值的总体中位数
是否和0有差别，即推断配对的两个相关样本
所来自的两个总体中位数是否有差别。
例10-1
传统尿铅测量消化的方法是用
湿式热消化法，目前改良用硝酸 - 高锰酸钾冷消
化法。现有 10 份样品同时用两种方法消化测定
其含量。结果见表10-1
表10-1
n1 10
T1 141.5
n2 12
T2 111.5
假设：本题两样本资料经方差齐性检验，推断得两总体方差不等
检验步骤
0.05
0 期工人的 RD 值总体分布位置相同 H1 ：肺癌病人的 RD 值高于矽肺 0 期工人的 RD 值
H 0 ：肺癌病人和矽肺
求检验统计量T值：
①把两样本数据混合从小到大编秩，遇 数据相等者取平均秩； ②以样本例数小者为 n1 ，其秩和（ T1 ） 为 T ，本例T 141.5 。
n1
T1
n2
T2
表３ 肺癌病人和矽肺0期工人的RD值（cm）比较
肺癌病人 RD 值 2.78 3.23 4.20 4.87 5.12 6.21 7.18 8.05 8.56 9.60 秩 1 2.5 7 14 17 18 19 20 21 22 矽肺 0 期工人 RD 值 3.23 3.50 4.04 4.15 4.28 4.34 4.47 4.64 4.75 4.82 4.95 5.10 秩 2.5 4 5 6 8 9 10 11 12 13 15 16
配对等级资料采用符号秩检验
最好选用大样本。
2．单个样本中位数和总体中位数比较
目的是推断样本所来自的总体中位数M
和某个已知的总体中位数M0是否有差别。用样 本各变量值和M0的差值，即推断差值的总体中
位数和0是否有差别。
已知某地正常人尿氟含量的中位数为 45.30 mol/L 。今在该地某厂随机抽取 12名工人，测得尿氟含量见表2第（1）栏。 问该厂工人的尿氟含量是否高于当地正常人 的尿氟含量？
6
7 8 9 10
0.36
0.05 4.49 12.22 1.64
0.36
0.77 4.11 12.07 1.83
0
-0.02 0.38 0.15 -0.19
-1 7 3.5 -5.5
本例配对样本差值经正态性检验，推断 得总体不服从正态分布，现用 Wilcoxon 符 号秩和检验。
检验步骤
1. 建立检验假设，确定检验水准
实验组 生存日数 10 12 15 16 17 18 19 19 23 >30 秩次 9.5 12.5 15 16 17 18 19 20 21 22 对照组 生存日数 4 5 5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 秩次 1 2 3 4 5 6 7 8 9.5 11 12.5 14
n1 10
u
T n(n 1) / 4 0.5 n(n 1)(2n 1) 24
0.5是连续性校正数，因为Ｔ是不连续的。
如果相同的秩次比较多，计算出来的u偏小，因对其 进行校正。 T n(n 1) / 4 0.5 u 3 ( t n(n 1)(2n 1) j t j ) 24 48
第二节
成组设计两样本比较的秩和检验
推断的目的：推断两个独立样本所来自的 两个总体分布是否有差别。
1．原始数据的两样本比较
案例 10-2 某研究者观察局部加热治疗 小鼠移植肿瘤的疗效，以生存日数作为观察 指标，实验结果见表 10-2 。问两组小鼠生存
日数有无差别？
表10-2 两组小鼠生存日数比较
差值的绝对值为 0.19有 2 个，其秩依次应为 5， 6，取平均秩为 5.5，然后加上原来的正负号。
(3)求秩和，确定检验统计量T， 分别求出正、负秩和，任取正秩和或负秩 和为检验统计量T，本例T+=25， T-=20，本题取 T=20
3. 确定P值，作出推断结论
当n≤25时，查T界值表(P557附表8-1)，
判断原则：内大外小。
本例 n=9， T=20，查附表 8-1,得 T0.05 （9）=5-40 双侧 P>0.05，按 0.05 检验水准，不拒绝 H 0 ，差 异没有统计学意义，尚不能认为两法对尿铅值的测 定结果有差别。
练习1
某研究者欲研究保健食品对小鼠抗疲劳作用，
将同种属的小鼠按性别和年龄相同、体重相近配成 对子，共 10 对，并将每对中的两只小鼠随机分到保
H 0 ：两种方法对同一样本测定结果差值的总体中位数为 0， M d 0 H1 ：两种方法对同一样本测定结果差值的总体中位数不为 0， M d 0
0.05
2. 求检验统计量T值
(1)求各对测量值的差值，见表10-1第（4）栏；
若多个差值为0，可通过提高测量工具的精度 来解决。
(2)编秩
健食品两个不同的剂量组，过一定时期将小鼠杀死，
测得其肝糖原含量（mg/100g），结果见表1， 问不
同剂量组的小鼠肝糖原含量有无差别？
表1 不同剂量组小鼠肝糖原含量（mg/100g） 小鼠对 中剂量组 高剂量组 差值 d 秩次 号 (1) (2) (3) (4)=(3)-(2) (5) 1 620.16 958.47 2 866.50 838.42 3 641.22 788.90 4 812.91 815.20 5 738.96 783.17 6 899.38 910.92 7 760.78 758.49 8 694.95 870.80 9 749.92 862.26 10 793.94 805.48
T1 170
n2 12
T2 83
检验步骤
H 0 ：两组小鼠生存日数总体分布相同
H1 ：两组小鼠生存日数总体分布不同 0.05
求检验统计量T值：
①把两样本数据混合从小到大编秩，遇 数据相等者取平均秩； ②以样本例数小者为 n1 ，其秩和（ T1 ） 为 T ，若两样本例数相等，可任取一 样 本 的 秩 和（ T1 或 T2 ） 为 T ， 本 例 T 170 。
非参数检验
对总体分布不作严格假定，又称任意分 布检验，它直接对总体分布作假设检验。
应用范围：
对于计量资料： 1. 不满足正态和方差齐性条件的小样本资料； 2. 分布不明的小样本资料； 3. 一端或二端是不确定数值的资料； 对于等级资料： 若选行×列表资料的 2 检验，只能推断构成比差 别，而选秩转换的非参数检验，可推断等级强度 差别。
注意：如果已知其计量资料满足（或近似满
足） t 检验或 F 检验条件，当然选 t 检验
或 F 检验，因为这时若选择非参数检验，
会降低检验效能。
第一节 配对资料的Wilcoxon符号秩和检验
Wilcoxon 符号秩和检验，用于配对样 本差值的中位数和总体中位数 0 比较；还可 用于单个样本中位数和总体中位数比较。
本例 n=10， T=6.5， 查附表 8-1,得 T0.05（ 10）=8-47 双侧 P>0.05，按 0.05 检验水准，不拒绝 H 0 ，差 异没有统计学意义 ,还不能认为不同剂量组的小鼠 肝糖原含量有差别。
超出附表8-1范围，可用正态近似法作u检验。
表2
12 名工人的尿氟含量（ mol/L ）与 45.30 比较
尿 氟 含 量 （1） 44.21 45.30 46.39 49.47 51.05 53.16 53.26 54.37 57.16 67.37 71.05 87.37 T+=64.5 T-=1.5 （1）－45.30 （2） －1.09 0 1.09 4.17 5.75 7.86 7.96 9.07 11.86 22.07 25.75 42.07 秩次 （3） -1.5 1.5 3 4 5 6 7 8 9 10 11
确定P值，作出推断结论：
当 n1 10 和 n2 n1 10 时,查 T 界 值表(附表 8-2)。本例 n1 10 ，
n2 n1 2 , T 170
查附表 8-2， T0.05(10,2) =84-146,得双侧 P<0.05， 按 0.05 水准拒绝 H 0 ,接受 H1 , 可认为两组小鼠生存日数的总体 分布不同。
式中 t j （j=1,2,…）为第 j 个相同秩的个数
假定相同秩（即平均秩）中有 2 个 1.5，5 个 8，3 个 14，则
t1 2 ， t2 5 ， t3 3 ，
3 3 3 3 ( t t ) (2 2) (5 5) (3 3) 150 j j
注意
表1 不同剂量组小鼠肝糖原含量（mg/100g） 小鼠对 中剂量组 高剂量组 差值 d 秩次 号 (1) (2) (3) (4)=(3)-(2) (5) 1 620.16 958.47 338.31 10 2 866.50 838.42 -28.08 -5 3 641.22 788.90 147.68 8 4 812.91 815.20 2.29 1.5 5 738.96 783.17 44.21 6 6 899.38 910.92 11.54 3.5 7 760.78 758.49 -2.29 -1.5 8 694.95 870.80 175.85 9 9 749.92 862.26 112.34 7 10 793.94 805.48 11.54 3.5
确定P值，作出推断结论：
查 T 界值表，本例 n1 10 ，
n2 n1 2 ， T 141.5 ， 得单侧 0.025 P 0.05 ， 按 0.05 水准拒绝 H 0 ，接受 H1 ，
可认为肺癌病人的 RD 值高于矽 肺 0 期工人的 RD 值。
若超出附表 8-2 的范围， 可用正态近似法作 u 检验，令 n1 n2 N ，按式 (10-3)计算 u 值。
练习２
对 10 例肺癌病人和 12 例矽肺 0 期工人用 X 光片测量肺门横径右侧距 RD 值（ cm ），结 果见表３。问肺癌病人的RD值是否高于矽肺
0期工人的RD值？
表３ 肺癌病人和矽肺0期工人的RD值（cm）比较
肺癌病人 RD 值 秩 2.78 3.23 4.20 4.87 5.12 6.21 7.18 8.05 8.56 9.60 矽肺 0 期工人 RD 值 秩 3.23 3.50 4.04 4.15 4.28 4.34 4.47 4.64 4.75 4.82 4.95 5.10
本例样本资料经正态性检验，推断 得总体不服从正态分布，现用 Wilcoxon 符号秩检验。
检验步骤
H 0 ：尿氟含量的总体中位数 M 45.30
H1 ： M 45.30
单侧 0.05
本题取T=1.5。
有效差值个数 n 11 。据 n 11 和 T 1.5 查 附表 8-1，得单侧 T0.05（11）=13-53，P<0.05 ，按 0.05 水准，拒绝 H 0 ，接受 H1 ，差异有统计 学意义，可认为该厂工人的尿氟含量高于当 地正常人的尿氟含量。
第10章 秩和检验
配对资料的Wilcoxon符号秩和检验 成组设计两样本比较的秩和检验（Wilcoxon 两样本比较法） 成组设计多个样本比较的秩和检验（Ｋ-Ｗ 检验或Ｈ检验） 秩相关（自学）
பைடு நூலகம்
参数检验
以特定的总体分布（如正态分布）作为前 提，对其总体参数作假设检验。 如： t 检验、u检验和 F 检验 。
按差值的绝对值从小到大编秩，然后分别冠以正负号。
编秩时，若差值为０，舍去不计； 若差值绝对值相等则取平均秩次（样本较小时，如果相同 秩较多，检验结果会存在偏性，因此应提高测量精度，尽量避 免出现较多的相同秩） , 表 10-1 差值的绝对值为 0.15 有 2 个，
其秩依次应为 3，4，取平均秩为 3.5 ，然后加上原来的正负号；
编号 (1) 1 2 3 4 5
两种消化方法测得尿铅结果(mg/L)
冷消化法 (2) 3.23 2.81 2.41 5.16 0.92 热消化法法 差数(d) (3) 3.11 3.00 2.80 4.48 0.77 0.12 -0.19 -0.39 0.68 0.15 秩次 2 -5.5 -8 9 3.5 (4)=(2)-(3) (5)
1．配对样本差值的中位数和0比较
目的是推断配对样本差值的总体中位数
是否和0有差别，即推断配对的两个相关样本
所来自的两个总体中位数是否有差别。
例10-1
传统尿铅测量消化的方法是用
湿式热消化法，目前改良用硝酸 - 高锰酸钾冷消
化法。现有 10 份样品同时用两种方法消化测定
其含量。结果见表10-1
表10-1
n1 10
T1 141.5
n2 12
T2 111.5
假设：本题两样本资料经方差齐性检验，推断得两总体方差不等
检验步骤
0.05
0 期工人的 RD 值总体分布位置相同 H1 ：肺癌病人的 RD 值高于矽肺 0 期工人的 RD 值
H 0 ：肺癌病人和矽肺
求检验统计量T值：
①把两样本数据混合从小到大编秩，遇 数据相等者取平均秩； ②以样本例数小者为 n1 ，其秩和（ T1 ） 为 T ，本例T 141.5 。
n1
T1
n2
T2
表３ 肺癌病人和矽肺0期工人的RD值（cm）比较
肺癌病人 RD 值 2.78 3.23 4.20 4.87 5.12 6.21 7.18 8.05 8.56 9.60 秩 1 2.5 7 14 17 18 19 20 21 22 矽肺 0 期工人 RD 值 3.23 3.50 4.04 4.15 4.28 4.34 4.47 4.64 4.75 4.82 4.95 5.10 秩 2.5 4 5 6 8 9 10 11 12 13 15 16
配对等级资料采用符号秩检验
最好选用大样本。
2．单个样本中位数和总体中位数比较
目的是推断样本所来自的总体中位数M
和某个已知的总体中位数M0是否有差别。用样 本各变量值和M0的差值，即推断差值的总体中
位数和0是否有差别。
已知某地正常人尿氟含量的中位数为 45.30 mol/L 。今在该地某厂随机抽取 12名工人，测得尿氟含量见表2第（1）栏。 问该厂工人的尿氟含量是否高于当地正常人 的尿氟含量？
6
7 8 9 10
0.36
0.05 4.49 12.22 1.64
0.36
0.77 4.11 12.07 1.83
0
-0.02 0.38 0.15 -0.19
-1 7 3.5 -5.5
本例配对样本差值经正态性检验，推断 得总体不服从正态分布，现用 Wilcoxon 符 号秩和检验。
检验步骤
1. 建立检验假设，确定检验水准
实验组 生存日数 10 12 15 16 17 18 19 19 23 >30 秩次 9.5 12.5 15 16 17 18 19 20 21 22 对照组 生存日数 4 5 5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 秩次 1 2 3 4 5 6 7 8 9.5 11 12.5 14
n1 10
u
T n(n 1) / 4 0.5 n(n 1)(2n 1) 24
0.5是连续性校正数，因为Ｔ是不连续的。
如果相同的秩次比较多，计算出来的u偏小，因对其 进行校正。 T n(n 1) / 4 0.5 u 3 ( t n(n 1)(2n 1) j t j ) 24 48
第二节
成组设计两样本比较的秩和检验
推断的目的：推断两个独立样本所来自的 两个总体分布是否有差别。
1．原始数据的两样本比较
案例 10-2 某研究者观察局部加热治疗 小鼠移植肿瘤的疗效，以生存日数作为观察 指标，实验结果见表 10-2 。问两组小鼠生存
日数有无差别？
表10-2 两组小鼠生存日数比较
差值的绝对值为 0.19有 2 个，其秩依次应为 5， 6，取平均秩为 5.5，然后加上原来的正负号。
(3)求秩和，确定检验统计量T， 分别求出正、负秩和，任取正秩和或负秩 和为检验统计量T，本例T+=25， T-=20，本题取 T=20
3. 确定P值，作出推断结论
当n≤25时，查T界值表(P557附表8-1)，
判断原则：内大外小。
本例 n=9， T=20，查附表 8-1,得 T0.05 （9）=5-40 双侧 P>0.05，按 0.05 检验水准，不拒绝 H 0 ，差 异没有统计学意义，尚不能认为两法对尿铅值的测 定结果有差别。
练习1
某研究者欲研究保健食品对小鼠抗疲劳作用，
将同种属的小鼠按性别和年龄相同、体重相近配成 对子，共 10 对，并将每对中的两只小鼠随机分到保
H 0 ：两种方法对同一样本测定结果差值的总体中位数为 0， M d 0 H1 ：两种方法对同一样本测定结果差值的总体中位数不为 0， M d 0
0.05
2. 求检验统计量T值
(1)求各对测量值的差值，见表10-1第（4）栏；
若多个差值为0，可通过提高测量工具的精度 来解决。
(2)编秩
健食品两个不同的剂量组，过一定时期将小鼠杀死，
测得其肝糖原含量（mg/100g），结果见表1， 问不
同剂量组的小鼠肝糖原含量有无差别？
表1 不同剂量组小鼠肝糖原含量（mg/100g） 小鼠对 中剂量组 高剂量组 差值 d 秩次 号 (1) (2) (3) (4)=(3)-(2) (5) 1 620.16 958.47 2 866.50 838.42 3 641.22 788.90 4 812.91 815.20 5 738.96 783.17 6 899.38 910.92 7 760.78 758.49 8 694.95 870.80 9 749.92 862.26 10 793.94 805.48
T1 170
n2 12
T2 83
检验步骤
H 0 ：两组小鼠生存日数总体分布相同
H1 ：两组小鼠生存日数总体分布不同 0.05
求检验统计量T值：
①把两样本数据混合从小到大编秩，遇 数据相等者取平均秩； ②以样本例数小者为 n1 ，其秩和（ T1 ） 为 T ，若两样本例数相等，可任取一 样 本 的 秩 和（ T1 或 T2 ） 为 T ， 本 例 T 170 。
非参数检验
对总体分布不作严格假定，又称任意分 布检验，它直接对总体分布作假设检验。
应用范围：
对于计量资料： 1. 不满足正态和方差齐性条件的小样本资料； 2. 分布不明的小样本资料； 3. 一端或二端是不确定数值的资料； 对于等级资料： 若选行×列表资料的 2 检验，只能推断构成比差 别，而选秩转换的非参数检验，可推断等级强度 差别。
注意：如果已知其计量资料满足（或近似满
足） t 检验或 F 检验条件，当然选 t 检验
或 F 检验，因为这时若选择非参数检验，
会降低检验效能。
第一节 配对资料的Wilcoxon符号秩和检验
Wilcoxon 符号秩和检验，用于配对样 本差值的中位数和总体中位数 0 比较；还可 用于单个样本中位数和总体中位数比较。