2018人教A版数学必修一2.1.1《指数与指数幂的运算》(一)教案
2018-2019学年高一数学人教A版必修一教案：2.1.1 指数与指数幂的运算
2.1.1.1 指数与指数幂的运算班级 姓名 小组________第____号 【学习目标】1.通过学习理解掌握n 次方根和n 次根式的概念；2.通过掌握n 次根式的性质，运用它进行简单的化简运算； 【重点难点】重点：根式的概念及n 次方根的性质。
难点：n 次方根的性质应用。
【学情分析】在中学阶段已经接触过正数指数幂的运算，但是这对我们指数函数是远远不够的，通过本节课使学生对指数幂的运算和理解更加深入。
【导学流程】 自主学习内容 一.回顾旧知：1. 一个正数有 个平方根，它们互为 。
0有 个平方根，是 。
负数 平方根。
2.一个数的平方运算，在a=x 2中x 叫做 ，2叫做 ，a 叫做 。
3.一个数的平方根运算，在x=a ±中a 叫做 ，x 叫做 。
二、基础知识感知1．n 次根式和n 次方根的概念一般地， ，那么x 叫做a 的n 次方根， (1,)n n N *>∈．（1） 若n 是奇数，则a 的n 次方根记作 ； 若0>a 则 ，若0a <则 ； （2）若n 是偶数，且0>a 则a 的正的n 次方根记作 ，a 的负的n 次方根，记作： ；（3） 若n 是偶数，且0a <则 没意义，即负数没有偶次方根； （4）0的任何次方根都是0，记作 .（5） 式子 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数．2. 分数指数幂(1)正数的正分数指数幂的意义n a m 是a m 的n 次方根，即na m ＝_____(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．(2)正数的负分数指数幂和零的分数指数幂． ①n-am ＝ (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；②0的正分数指数幂等于 ； ③0的负分数指数幂 ． 3、根式的性质（1） (na )n ＝________(n ∈N *，且n ＞1)（2）当n 为奇数时，na n＝ ；当n 为偶数时，na n＝ ． 三．探究问题 探究一：根式的化简 【例1】根式的化简与计算（1）4）（b a - （2）22-1）（探究二：根式与分数指数的互换 【例2】将下列根式化为分数指数幂形式（1）3a （2）2a四、基础知识拓展与迁移下列说法：①327-=3；②16的4次方根是±2；③3814±=；④y x y x +=+2）（其中正确的有 （填写正确说法的序号）．小组讨论问题预设1.化简x x 3-的结果为( )。
人教版高中数学必修1第2章2.1.1 指数与指数幂的运算(1)教案
第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算（一）教学目标分析：知识目标：（1）了解根式的概念，方根的概念及二者的关系；（2）理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质，并能运用性质进行计算和化简。
过程与方法：通过对实际问题的探究过程，感知应用数学解决问题的方法，理解分类讨论思想、化归与转化思想在数学中的应用。
情感目标：通过对数学实例的探究，感受现实生活对数学的需求，体验数学知识与现实的密切联系。
重难点分析：重点：n次根式的性质和化简难点：n次根式的性质及应用互动探究：一、课堂探究：1、问题情境设疑探究一、根据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断，未来20年，我国GDP（国内生产总值）年平均增长率可望达到7.3%，那么，在2001 ~ 2020年，各年的GDP可望为2000年的多少倍？如果把我国2000年GDP 看成是1个单位，2001年为第一年，那么： 1年后（即2001年），我国的GDP 可望为2000年的(17.3%)+倍；2年后（即2002年），我国的GDP 可望为2000年的2(17.3%)+倍； 3年后（即2003年），我国的GDP 可望为2000年的___________倍； 4年后（即2004年），我国的GDP 可望为2000年的___________倍； ……设x 年后我国的GDP 为2000年的y 倍，那么*(17.3%) 1.073(,20)x x y x N x =+=∈≤即从2000年起，x 年后我国的GDP 为2000年的1.073x 倍。
想一想，正整数幂1.073x 的含义是什么？它具有哪些运算性质。
探究2、当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系57301() (2)t P =（*），考古学家根据这个式子可以知道，生物死亡t 年后，体内碳14含量P 的值。
必修一：2.1.1--指数与指数幂的运算教案
2.1.1 指数与指数幂的运算教学目标分析： 知识目标：（1）理解分数指数幂的概念； （2）掌握有理数指数幂的运算性质；（3）让学生感受由特殊到一般的数学思想方法，通过一般化促进学生在原有的基础上的自主建构，从而增强学生对数学本质的认识过程与方法：通过对实际问题的探究过程，感知应用数学解决问题的方法，理解分类讨论思想、化归与转化思想在数学中的应用。
情感目标：通过对数学实例的探究，感受现实生活对数学的需求，体验数学知识与现实的密切联系。
重难点分析：重点：利用正分数有理数指数幂的运算性质，计算、化简有理数指数幂的算式 难点：正分数有理指数幂的运算性质的理解 互动探究：一、课堂探究： 1、复习引人（1）整数指数幂概念：nn aa a a a a =个)(*∈N n ； ()010a a =≠； ()10,nn a a n N a-*=≠∈. （2）整数指数幂的运算性质：（1）(),mnm na a am n Z +⋅=∈； （2）()(),nm mn a a m n Z =∈；（3）()()n n nab a b n Z =⋅∈其中m n m nm n a a a aa --÷=⋅=， ()1nn n n nn a a a b a b b b --⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝⎭．（3）复习练习：求（1）9的算术平方根，9的平方根； （2）8的立方根，-8的立方根. 2、正分数指数幂引入：5102552510)(a a a a===，4123443412)(a a a a===小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）探究一、根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式？如：4532,,c b a 如何表示？规定：)1,,,0(*>∈>=n N n m a a an m nm3、负分数指数幂规定：)1,,,0(1*>∈>=-n N n m a a anmnm ；如：)0(,53234>--a a规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。
人教版高中数学必修1教材《指数与指数幂的运算》教案
2.1.1 指数与指数幂的运算（一）（一）教学目标1．知识与技能（1）理解n次方根与根式的概念；（2）正确运用根式运算性质化简、求值；（3）了解分类讨论思想在解题中的应用.2．过程与方法通过与初中所学的知识（平方根、立方根）进行类比，得出n次方根的概念，进而学习根式的性质.3．情感、态度与价值观（1）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；（2）培养学生认识、接受新事物的能力.（二）教学重点、难点1．教学重点：（1）根式概念的理解；（2）掌握并运用根式的运算性质.2．教学难点：根式概念的理解.（三）教学方法本节概念性较强，为突破根式概念的理解这一难点，使学生易于接受，故可以从初中已经熟悉的平方根、立方根的概念入手，由特殊逐渐地过渡到一般的n次方根的概念，在得出根式概念后，要引导学生注意它与n次方根的关系，并强调说明根式是n次方根的一种表示形式，加强学生对概念的理解，并引导学生主动参与了教学活动.故本节课可以采用类比发现，学生合作交流，自主探索的教学方法.（四）教学过程备选例题例1 计算下列各式的值. （1）33)(a；（2 （1n >，且n N*∈） （3）1n >，且n N *∈） 【解析】（1）a a =33)(.（2）当n =3π-； 当n =3π-. （3）||x y -， 当x y ≥时，x y -； 当x y <时，y x -. 【小结】（1）当n 为奇数时，a a nn =； 当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a nn（2）不注意n 的奇偶性对式子nn a 值的影响，是导致错误出现的一个重要原因.故要在理解的基础上，记准、记熟、会用、活用.例2 求值：【分析】需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质；==+--=||2|2=2(2=【小结】开方后带上绝对值，然后根据正负去掉绝对值.。
新课标 高中数学 人教 A版必修一 PPT 教案---2.1.1指数与指数幂的运算(一)
记作：
(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为
正数，负数的n次方根为负数．
记作： x n a .
②当n为偶数时：正数的n次方根有 两个(互为相反数)．
记作：x n a .
(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为
正数，负数的n次方根为负数．
记作： x n a .
②当n为偶数时：正数的n次方根有 两个(互为相反数)．
记作：x n a .
③负数没有偶次方根.
(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为
正数，负数的n次方根为负数．
记作： x n a .
②当n为偶数时：正数的n次方根有 两个(互为相反数)．
记作：x n a .
提问：正整数指数幂1.073x的含义是什么？ 它具有哪些运算性质？
(1) 整数指数幂的概念：
an ______ (n N ), a0 ______ (a 0), an ______ (a 0, n N ).
(2) 运算性质：
am an ______ (m, n Z ), (a m )n ______ (m, n Z ), (ab)n _______ (n Z ).
一定成立吗？如果不一定成立，那么n an 等于什么？
① 当n为奇数时， n a n a;
当n为偶数时， n
an
| a
|
a(a 0) a(a 0).
② 当n为任意正整数时，
(4)常用公式
n a n 表示a n的n次方根，等式n a n a
一定成立吗？如果不一定成立，那么n an 等于什么？
例4 已知 3 x 5 , 化简：
高中数学2.1.1指数与指数幂的运算(1)教案新人教版必修1
2.1.1 (1)指数与指数幕的运算(教学设计)内容：根式教学目标1、知识与技能：理解根式的概念及性质，能进行根式的运算，提高根式的运算能力。
2、过程与方法：通过由特殊到一般，由平方根、立方根，采用类比的方法过渡到n次方根；通过对“当n是偶数时，n a n |a| a (a 0)”的理解，培养学生分类讨论的意识。
a (a 0)3、态度情感价值关：通过运算训练，培养学生严谨的思维，一丝不苟的学习习惯。
教学重点：对根式概念、性质的理解，运用根式的性质化简、运算。
教学难点：当n是偶数时，n a n | a | a (a的得出及运用a (a 0)教学过程一、创设情境，新课引入：问题1 (课本P48问题1):从2000年起的未来20年，我国国内生产总值年平均增长率可达到7.3%.那么，在2001 ―― 2020年，各年的国内生产总值可望为2000年的多少倍？引导学生逐年计算，并得出规律：设x年后我国的国内生产总值为2000年的y倍，那么y 1.073x(x N*, x 20).问题2 (课本P58问题2)：当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.1-L根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系P (-)5730.21 1 1当生物死亡了5730, 2 5730, 3 5730 ,…年后，它体内碳14的含量P分别为?,(才2, (?)3，….是正整数1 1 1指数幕.它们的值分别为1 1 1，….2 4 8一6000 一10000 一1000001 ----- 1 ----------- 1 ------------当生物死亡600 0年，10000年，100000年后，它体内碳14的含量P分别为(―)5730,(_) 5730,(_) 5730，这些式子的意义又是什么呢？这些正是本节课要学习的内容.二、师生互动，新课讲解：1、问题引入：(1)若x2a，则x叫a的_」如：2是4的平方根一个正数的平方根有—个，它们互为____________ 数；负数没有平方根；零的平方根是一(2)若x3a，则x叫a的.女口：2是8的立方根，一2是一8的立方根。
人教版高中数学必修1-2.1《指数与指数幂的运算(第1课时)》教学设计
2.1指数函数2.1.1指数与指数幂的运算（第一课时）（胡文娟）一、教学目标 （一）核心素养通过指数运算符号的使用与运算法则的总结，培育学生数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养，为指数函数学习打下坚实基础． （二）学习目标1．理解根式的概念并掌握运用根式的性质进行化简． 2．理解分数指数幂的概念．3．掌握根式与分数指数幂之间的互化． （三）学习重点1．根式与分数指数幂概念的理解． 2．分数指数幂的运算性质． （四）学习难点根式与分数指数幂的互化． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）读一读：阅读教材第49页至第51页，填空：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中1>n ，且*N ∈n ．式子n a 叫做根式，其中a 叫做被开方数，n 叫做根指数．当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数． 当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数． 式子n a 叫做根式．这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．（2）计算下列各式①364-；②44)6(1-；③)0,0(55≥≥+b a b a ）（ 观察上面的计算结果，你得到的结论是： （用字母表达）．详解： ①44)4()4(6433-=-⨯-⨯-=-）（； ②61)6(1)6(1)6(1)6(161)6(144444=-⨯-⨯-⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-； ③()()()()()b a b a b a b a b a b a b a +=+⋅+⋅+⋅+⋅+=+555）（ 结论：n 为奇数，R a a a n n ∈=，；n 为偶数，⎩⎨⎧<-≥=0,0a a a a a n n ，．2．预习自测（1）若x 表示实数，则下列说法正确的是（ ）A ．x 一定是根式B ．x -一定不是根式C ．56x 一定是根式D ．3x -只有当0≥x 才是根式【知识点】根式的定义． 【数学思想】【解题过程】根据根式定义可得C 正确． 【思路点拨】根据根式的定义直接判断．【答案】C ．（2）=-552）（（ ） A ．4 B ．2 C ．4- D ．2-【知识点】根式的化简． 【数学思想】【解题过程】()()()()()2222222555-=-⋅-⋅-⋅-⋅-=-）（． 【思路点拨】根据根式的运算性质直接进行计算．【答案】D ．（3）将235写为根式，则正确的是（ ）A ．325B ．35 C ．523 D ．35【知识点】根式与分数指数幂的互化．【数学思想】【解题过程】32355=【思路点拨】运用根式与分数指数幂的互化关系． 【答案】D ．（4）将536写为分数指数幂的形式，则正确的是（ ） A ．356 B ．536 C ．156D ．26【知识点】根式与分数指数幂的互化．【数学思想】 【解题过程】535366=【思路点拨】运用根式与分数指数幂的互化关系． 【答案】B ．(二)课堂设计 1．知识回顾 （1）平方根一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根（square root ）或二次方根． （2）立方根一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根（cube root ）或三次方根．（3）正数有两个平方根，他们互为相反数，其中正的平方根称为算术平方根；0的平方根是0；负数没有平方根． 任何一个数都有唯一一个立方根，并且这个立方根的符号与原数相同． 2.问题探究探究一 根式的概念与根式的化简 ●活动① 回顾理解方根与根式的概念在初中，我们学习过二次方根概念:一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根（square root ）或二次方根．其中，a 叫做被开方数．当a ≥0时，a 表示a 的算术平方根．我们也学习过三次方根的概念：一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根（cube root ）或三次方根．提问：如果一个数的4次方等于a ，那么这时候这个数叫做什么呢？ 这个数叫做a 的四次方根．追问：如果一个数的n 次方等于a ，那么这时候这个数又叫做什么呢？（抢答）一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且*N ∈n ．式子n a 叫做根式，其中a 叫做被开方数，n 叫做根指数．【设计意图】通过回顾已学知识，从特殊到一般，让学生自己总结归纳，加深学生对根式的理解． ●活动② 根式的性质*,1)n n ∈N >表示n a 的n 次方根，等式a a n n =一定成立吗？如果不一定成立，那么n n a 等于什么？（分小组讨论）若00a ==n 为奇数时，a a n n =n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==0,0,a a a a a a n n也就是说，当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数；当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数． 追问：a a n n =)(一定成立吗？很明显，当根式有意义的情况下a a n n =)(一定成立．综上，根式的性质有：00)1(=n ，a a n n =))(2(，a a n n =)3(（n 为大于1的奇数），⎩⎨⎧<-≥==)0()0()4(a a a a a a n n （n 为大于1的偶数）．【设计意图】通过学生自主讨论探究归纳总结，得出根式的化简方法，加深印象． 探究二 分数指数幂的概念★ ●活动① 探究分数指数幂的概念当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系5730)21(tP =，考古学家根据这个式子可以知道，生物死亡t 年后，体内碳14含量P 的值． 例如：当生物死亡了5730，2×5730，3×5730，……年后，它体内碳14的含量P分别为21，2)21(，3)21(，……当生物死亡了6000年，10000年，100000年后，根据上式，它体内碳14的含量P 分别为57306000)21(，573010000)21(，5730100000)21(．问题：以上三个数的含义到底是什么呢？考古学家正式利用有理数指数幂的知识，计算出生物死亡6000年，10000年，100000年后体内碳14含量P 的值．例如，当t =6000时，600057301()0.4842p ==≈（精确到0.001），即生物死亡6000年后，其体内碳14的含量约为原来的48.4%．归纳：分数指数幂是一个数的指数为分数．【设计意图】从生活中的实际例子到数学语言，从特殊到一般，体会概念的提炼，抽象过程．探究三 根式与分数指数幂的互化 ●活动① 根式与分数指数幂的互化5102552510)(a a a a ===，4123443412)(a a a a ===问题：（1）从上两个例子你能发现什么结论？结论：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成根指数被开方数的指数a 的形式（2））（0,,4532>c c b a 如何表示？3232a a =，21b b =，4545c c =规定)1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m nm你能得出正数的负分数指数幂的根式表示形式吗？1*()0,,,1)m m nnaa a m n N n --==>∈>正数的分数指数幂是根式的另一种表示形式． 思考：负数的分数指数幂呢能不能用根式表示？不能，例如问题（2）中45c ，若c 为负数，则在实数范围内是不存在的． 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．【设计意图】从给出的例子让学生总结出正数的负分数指数幂，检查反馈学生对正数的分数指数幂概念的理解，加深对正数的分数指数幂的认识． ●活动② 巩固基础，检查反馈例1 化简327-的值是（ ）． A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．-9 【知识点】根式的化简求值． 【数学思想】【解题过程】3327333-=-=-）（． 【思路点拨】根据根式的运算法则直接进行计算． 【答案】B ．同类训练552)()(b a b a -+-的值是（ ）． A ．0 B ．)(2b a - C ．0或)(2b a - D ．b a - 【知识点】根式的化简求值．【数学思想】分类讨论思想 【解题过程】【思路点拨】根据根式的运算性质直接进行计算．【答案】C ．【设计意图】检查反馈学生对根式的定义以及根式的性质的理解，进一步掌握根式的化简．例2 当x -2有意义时，化简964422+--+-x x x x 的结果为（ ）A ．52-x B ．12--xC ．1-D ．x 25-【知识点】根式的化简求值．【数学思想】【解题过程】x -2有意义即是说02≥-x ，则2≤x ，这442+-x x x x -=-=222）（，同理x x x x -=-=+-339622）（，所以原式1-=． 【思路点拨】根据n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==0,0,a a a a a a n n 对根式进行化简求值．【答案】C ． 同类训练 若21<a ，则化简()4212-a 的结果是（ ） A ．12-aB ．12--aC ．a 21-D ．a 21--【知识点】根式的化简．【数学思想】【解题过程】21<a ，则012<-a ，()a a a 2112122142-=-=-）（．【思路点拨】根据n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==0,0,a a a a a a n n 对根式进行化简求值．【答案】C ．●活动③ 强化提升、灵活应用例3 下列互化中正确的是（ ）A ．)0(21≠-=-x x x ）（ B ．)0(3162<=y y yC ．)0,()(4343≠=-y x xy y x ）（ D ．331x x -=【知识点】根式与分数指数幂的互化．【数学思想】【解题过程】A 选项)0(21≠-=-x x x ，B 选项)0(3162<-=y y y ）（，D 选项331x x =．【思路点拨】熟练掌握根式与分数指数幂的互化关系．【答案】C ．同类训练 下列等式能成立的是（ ）A ．7717)(m n mn＝B ．31242)2(－＝－C ．43433)(y x y x ＋＝＋D ．833)43(23=【知识点】根式的化简，根式与分数指数幂的互化．【数学思想】【解题过程】A 选项777)(-m n m n＝，B 选项31242)2(＝－，C 选项显然不成立． 【思路点拨】熟练掌握根式与分数指数幂的互化关系．【答案】D ．例4 求下列各式的值:（1）5.03132)972()27125()027.0(-+（2）1416)31()16174()23(30----⋅+【知识点】根式的化简运算，根式与分数指数幂的互化．【数学思想】【解题过程】（1）原式09.0)35()35()3.0(233323=-+=（2）原式3903322==-= 【思路点拨】熟练掌握根式与分数指数幂的互化关系． 【答案】（1）09.0；（2）．同类训练 求下列各式的值:（1）03115.03)27102(1.0)972(π-++--（2）313125.01041027.010)833(81)87(3)0081.0(⨯-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯----【知识点】根式的化简运算，根式与分数指数幂的互化．【数学思想】【解题过程】（1）原式53113103+73412=+-=+=； （2）原式983)323(31310)103(10)23(1331)103(133334444-=-+⨯-=⨯-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⨯-=． 【思路点拨】熟练掌握根式与分数指数幂的互化关系．【答案】（1）11312；（2）98-． 【设计意图】通过计算，加强学生对根式的性质的运用以及对根式与分数指数幂的互化过程的熟练掌握． 3．课堂总结 知识梳理（1）一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且*N ∈n ．式子n a 叫做根式，其中a 叫做被开方数，n 叫做根指数．（2）正数的分数指数幂（正数的分数指数幂是根式的另一种表示形式）：)1,N ,,0(*>∈>=n n m a a a n m nm ，1*()0,,N ,1)m m nna a a m n n --==>∈>重难点归纳（1）在进行根式化简时一定注意当n 为奇数时，a a n n =，n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==0,0,a a a a a a nn ． （2）根式化简过程中常出现乘方与开放并存，要注意两者的顺序何时可以交换，何时不能交换，并且幂指数不能随便约分．（3）在进行根式与分数指数幂的互化时，)1,N ,,0(*>∈>=n n m a a a n m nm*0,,N ,1)mnaa m n n -=>∈>，其中m ，n 的位置切勿记反．（三）课后作业 基础型 自主突破1．设a n n m ,1,,>N ∈*是正实数，则下列各式中正确的有（ ）． ①nmnma a =；②10=a ；③nmnm aa1=-A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个 【知识点】根式与分数指数幂的互化，分数指数幂． 【数学思想】【解题过程】由分数指数幂的概念判断．【思路点拨】弄清根式与分数指数幂之间的互化关系． 【答案】A ． 2．已知432=-x则x 等于（ ）A ．8±B ．81± C ．443 D ．322±【知识点】根式的化简运算，根式与分数指数幂的互化． 【数学思想】【解题过程】814143232332±=±=±==---）（x x【思路点拨】掌握根式的化简运算以及根式与分数指数幂之间的互化关系． 【答案】B ．3．下列说法中正确的个数是（ ）①－2是16的四次方根 ②正数的n 次方根有两个 ③a 的n 次方根就是n a④a a n n =（≥a 0） A ．0B ．1C ．2D ．3【知识点】n 次方根和n 次根式的概念． 【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】①是正确的，由4(2)16-=可验证；②不正确，要对n 分奇偶讨论；③不正确，a 的n 次方根可能有一个值，可能有两个值，而n a 只表示一个确定的值，它叫根式；④正确，根据根式运算的依据，当n 为奇数时，n n a ＝a 是正确的，当n 为偶数时，若a ≥0，则有n n a ＝a ．综上，当a ≥0时，无论n 为何值均有n n a ＝a 成立．【思路点拨】根据方根与根式的定义直接进行判断． 【答案】C ．4．若式子4321--）（x 有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．R x ∈ B ．21≠x C ．21>x D ．21<x【知识点】根式与分数指数幂的互化． 【数学思想】分类讨论思想． 【解题过程】434321121）（）（x x -=--，若4321--）（x 有意义，则021>-x ，即21<x ． 【思路点拨】化分数指数幂为根式，由根式内的代数式大于0求得x 的范围． 【答案】D ． 5．计算下列各式：（1）44481⨯ （2）63125.132⨯⨯【知识点】根式与分数指数幂的互化，根式的化简求值． 【数学思想】【解题过程】（1）62323481444444=⨯=⨯=⨯；（2）633362363322332232332125.132⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯6323332613121=⨯=⨯⨯⨯=．【思路点拨】运用根式的化简法则进行求解． 【答案】（1）6；（2）6．6．化简625625++-=________． 【知识点】根式的化简． 【数学思想】【解题过程】32232362562522=++-=++-）（）（．【思路点拨】根号里面的部分用完全平方公式化简，再根据根式的化简得出结果． 【答案】32． 能力型 师生共研7．a a a n n n n 2)(=+时， 实数a 和正整数n 所应满足的条件． 【知识点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算． 【数学思想】分类讨论思想【解题过程】由a a a n n n n 2)(=+，若n 为奇数，a a a a a n n n n 2)(=+=+，上式成立；若n 为偶数，则a ≥0，a a a a a n n n n 2)(=+=+，上式成立． 【思路点拨】利用指数的运算法则，对n 为奇数或偶数进行讨论． 【答案】n R a ，∈为正奇数或a ≥0，n 为正偶数． 8．已知*N ∈n ，化简()111112----++++++=L _____．【知识点】根式的化简运算． 【数学思想】转化与化归思想． 【解题过程】原式)21)(21(21-+-=++L1112312-+=-+++-+-=n n n【思路点拨】运用以前所学过的分母有理化将原式化简，将复杂问题简单化． 【答案】11-+n ． 探究型 多维突破 9．已知32323232-+=+-=y x ，， 求下列各式的值． （1）xy y x +； （2）22y xy x +-．【知识点】根式的化简求值． 【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】（1）194347347347347)32(32)32(322222=-+++-=-+++-=+）（）（x y y x ；（2）19332323232323232322222=-++-+⋅+--+-=+-）（）（y xy x 【思路点拨】直接将已知的等式带入要求的式子中，在运用根式的性质将式子化简．【答案】（1）194；（2）193．10．若0,0>>y x 且满足y xy x 152=-，求yxy x y xy x +-++322的值．【知识点】根式与分数指数幂的互化及其化简求值． 【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】y xy x 152=-即为()()035=+-y x yx ，因为0,0>>y x ，故05=-y x ，所以y x 25=，321632525325225232222==+-++⨯=+-++yyyy y y y y yxy x y xy x ．【思路点拨】运用分数指数幂进行根式计算． 【答案】3． 自助餐1．式子a a 1－经过计算可得到（ ）A ．a －B ．aC ．－aD ．－a －【知识点】根式的化简． 【数学思想】【解题过程】由原式知a ＜0，因此2a ＝｜a ｜＝－a ，故a ＝a －，于是aa 1－＝－)1(2aa －＝－a －．【思路点拨】负数的偶次方根等于其相反数． 【答案】D ．2．下列说法正确的是（ ）． A ．64的6次方根是2 B ．664的运算结果是2±C ．1>n 且*N ∈n 时，a a n n =)(对于任意实数a 都成立D ．1>n 且*N ∈n 时，式子n n a 对于任意实数a 都有意义 【知识点】方根与根式的概念，根式的化简． 【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】A 选项考察的是正数的偶次方根有两个，且互为相反数，B 选项的运算结果应该是2，C 选项当a 为负数则不成立．【思路点拨】根据方根与根式的概念，根式的化简进行判断． 【答案】D ．3．当8＜x ＜10时，＝－＋－22)10()8(x x __________． 【知识点】根式的化简． 【数学思想】【解题过程】2)8(－x 8-=x 8-=x ，2)10(－x x x -=-=1010． 【思路点拨】当n 为偶数时，n n a ＝a ． 【答案】2．4．化简：=-+20122011)23()23(____________． 【知识点】根式的化简求值． 【数学思想】【解题过程】原式20112222⎡⎤=+⋅-⋅=-⎣⎦）））．【思路点拨】根据根式的运算性质直接进行计算． 【答案】32-．5．求使下列等式成立的x 的取值范围． （1）1212--=--x x x x （2）2)2()4)(2(2+-=--x x x x 【知识点】根式的化简运算． 【数学思想】 【解题过程】（1）12--x x 成立的条件为⎩⎨⎧>-≥-0102x x 或⎩⎨⎧<-≤-0102x x ，解得2≥x 或1<x ，而12--x x 成立的条件为⎩⎨⎧>-≥-0102x x ，解得2≥x ，所以等式成立条件为2≥x ． （2）原等式可变形为2)2()2()2(2+-=+-x x x x ，而使得a a -=2成立的条件是0≤a ，结合偶次根式的定义域即可得到⎩⎨⎧≥+≤-0202x x ，解得22≤≤-x ．【思路点拨】明确a a n n =成立的条件． 【答案】（1）2≥x ；（2）22≤≤-x ．6．计算下列各式（式中字母都是正数） （1）0143231)12(3256)71(027.0-+-+-----（2）23241)32()827(0081.0+--【知识点】根式与分数指数幂的互化化简求值． 【数学思想】转化与化归思想． 【解题过程】（1）原式[]191316449310131)4()7()103(43421313=+-+-=+-+--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=---（2）原式103949410394)23(10394)23()103(2323414=+-=+-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--【思路点拨】正确运用根式与分数指数幂的互化法则． 【答案】（1）19；（2）103．。
高中数学新人教版A版精品教案《2.1.1 指数与指数幂的运算》
2.1.1 指数与指数幂的运算一、教材分析及学情分析：本节是高中数学新人教版必修1的第二章指数函数的内容。
在第一章学完函数概念和基本性质后第二章学习具体的指数函数模型从中学会研究函数的基本方法。
首先需要将指数范围从整数推广到实数。
为指数函数定义域好知识铺垫。
二、三维目标1．知识与技能（1）理解n次方根与根式的概念；（2）理解有理数指数幂的含义，正确运用根式运算性质化简、求值；（3）会根式与分数指数幂的互化。
2．过程与方法通过与初中所学的知识（平方根、立方根）进行类比，得出次方根的概念，进而学习根式的性质引导学生反复理解正分数指数幂的意义。
它不表示相同因式的乘积，而是根式的一种新的写法。
通过两者互化，巩固。
加深对概念的理解。
3．情感、态度与价值观（1）归纳的思想，（2）分类的思想（3）推广的思想（4）逼近的思想三、教学重点（1）根式概念的理解；（2）分数指数幂的意义四、教学难点（1）根式概念的理解（2）分数指数幂与根式的互化。
五、教学策略（发现教学法）1．经历由利用根式的运算性质对根式的化简，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律2在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步推广到实数范围内由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法六、教学过程：1由引例发现分数指数幂的存在，从而激发学生探究新知的欲望。
2由二次方根和三次方根的概念推广到n次方根的概念。
3观察归纳得到根式与分数指数幂的互化理解分数指数幂的意义。
4了解用有理数指数幂逼近无理数指数幂得到无理数指数幂的近似值。
5将指数整数推广到实数。
七、小结八、作业。
高中数学人教版必修一：2.1.1指数与指数幂的运算教学设计
数学教学设计检查结果及修改意见：合格[ ] 不合格[ ]组长（签字）：检查日期：年月日精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。
《指数与指数幂的运算》教案-人教A版高中数学必修一
指数与指数幂的运算学习目标：1.知识与技能（1）理解分数指数幂的概念；（2）掌握分数指数幂和根式之间的互化；（3）掌握有理数指数幂的运算性质并能熟练运用；2.过程与方法通过与初中学的知识进行类比，得出分数指数幂的概念，和有理数指数幂的运算性质。
3.情感、态度、价值观（1）让学生感受由特殊到一般的数学思想方法（正整数指数幂正分数指数幂负分数指数幂有理数指数幂无理数指数幂）；（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；（3）让学生体验数学的简洁美和统一美. 教学重点：掌握并运用分数指数幂的运算性质 难点： 有关分数指数幂和根式的计算 教学过程：一、复习引入： 提问：初中时的整数指数幂，运算性质？ 00,1(0),0n a a a a a a a =⋅⋅⋅⋅⋅=≠无意义 ，1(0)n n a a a -=≠0的正整数指数幂等于00的零指数幂、负整数指数幂没有意义当,m n Z ∈时 ;()m n m n m n mn a a a a a +⋅== ；(),()n m mn n n n a a ab a b == . 二、新课讲解：探究分数指数幂的意义（1）观察以下式子,并总结出规律：a ＞0,①510a 510; ②8a =24)(a =a4=a 28; ③412a =443)(a =a3=a 412; ④210a =225)(a =a5=a 210. 小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式.问：根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如：23(0)a a ==>12(0)b b ==>54(0)c c ==>*(0,,1)m n a a n N n =>∈> 为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：a mn (a>0,m,n ∈N*,n>1). 提出问题: ①负整数指数幂的意义是怎样规定的?②你能得出负分数指数幂的意义吗?③你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义? ④分数指数幂的意义中,为什么规定a ＞0,去掉这个规定会产生什么样的后果? ⑤既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢? 结果：①负整数指数幂的意义是:a-n=n a 1(a ≠0),n ∈N*.②规定:正数的负分数指数幂的意义是a m n -=m n a 1=n m a 1(a>0,m,n ∈N*,n>1).③规定:零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.④若没有a ＞0这个条件会怎样呢?如(-1)3162具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果,因此在把根式化成分数指数时,切记要使底数大于零.⑤规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数r,s,均有下面的运算（1）(0,,)r s r s a a a a r s Q +⋅=>∈（2）()(0,,)r S rs a a a r s Q =>∈ （3）()(0,0,)r r r a b a b Q b r Q ⋅=>>∈ 二、课堂练习： 我们利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质可以解决一些问题：（1）做课本P54练习题1 、题2；（2）做课本P51例题2、例题3小结：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时,其顺序是先把根式化为分数指数幂,再由幂的运算性质来运算.对于计算的结果,不强求统一用什么形式来表示,没有特别要求,就用分数指数幂的形式来表示,但结果不能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数.三、课堂小结：(1)分数指数幂的意义就是:正数的正分数指数幂的意义是a m n =n a m(a>0,m,n ∈N*,n>1),正数的负分数指数幂的意义是a m n -=m n a 1=n m a 1(a>0,m,n ∈N*,n>1),零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.(2)规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.(3)有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数r 、s,均有下面的运算性质:),0,0()(),,0()(),,0(Q r b a b a ab Q s r a a a Q s r a a a a r r r rs s r s r s r ∈>>=∈>=∈>=+ 四、课后作业：1、课本P52例题4、例题5，P54练习3;2、自主学习课本P52---P53无理数指数幂.。
人教A版数学必修一2.1.1指数与指数幂的运算
② 3－2 2 ＋ 3 （1－ 2）3 ＋ 4 （1－ 2）4 ＝ _____2_－__1．
2.1.1 │ 考点类析
[解析] ①8 （x－3）8＝|x－3|，当 x≥3 时，原式＝x－3； 当 x<3 时，原式＝3－x.
所以8 （x－3）8＝x3－－3x，，xx≥<33. ， ②因为 3－2 2＝2－2 2＋1＝( 2)2－2 2＋1＝( 2－1)2， 所 以 3－2 2 ＋ 3 （1－ 2）3 ＋ 4 （1－ 2）4 ＝ （ 2－1）2＋ 3 （1－ 2）3＋ 4 （1－ 2）4＝ 2－1＋1－ 2＋ 2－1＝ 2－1.
2.1.1 │ 考点类析
[小结] 有理指数幂运算的基本原则和常规方法： (1)基本原则：式子里既有分数指数幂又有根式时，
一般把根式统一化为分数指数幂的形式，再用有理指数 幂的运算性质化简．
(2)常规方法：①化负指数幂为正指数幂；②化根式 为分数指数幂；③化小数为分数．
2.1.1 │ 考点类析
考点四 条件求值 重点探究型 [导入] 已知 x＋1x＝a(a≥2)，如何求 x2＋x12的值？
[ 解 析 ] (1)① 4 （－8）4 ＝ | － 8| ＝ 8 ；
②3 （－8）3＝－8.
6 (2)①
1－π3 6＝1－π3 ＝π3 －1；② 5
1－π3 5
＝1－π3 .
2.1.1 │ 考点类析
(3)计算下列各式的值：
①8
x－3，x≥3，
（x－3）8＝_3_－__x_，_x_<_3，
2.1.1 │ 考点类析
【变式】 (1)设 10m＝2，10n＝3，则 10－2m－10－n＝_－_1_12_____．
[解析] 由 10m＝2 得 10－2m＝（101m）2＝14，10 －n＝110n＝13， 所以 10－2m－10－n＝14－13＝－112.
【配套K12】2018版本高中数学必修一：2.1.1《指数与指数幂的运算》教案
《指数与指数幂的运算》教案
一、教材分析
本节是高中数学新人教版必修1的第二章2.1指数函数的内容
二、三维目标
1．知识与技能
（1）理解n 次方根与根式的概念； （2）正确运用根式运算性质化简、求值； （3）了解分类讨论思想在解题中的应用. 2．过程与方法
通过与初中所学的知识（平方根、立方根）进行类比，得出n 次方根的概念，进而学习根式的性质.
3．情感、态度与价值观
（1）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯； （2）培养学生认识、接受新事物的能力
三、教学重点
教学重点：（1）根式概念的理解；
（2）掌握并运用根式的运算性质 四、教学难点
教学难点：根式概念的理解 五、教学策略
发现教学法
1．经历由利用根式的运算性质对根式的化简，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.
2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步推广到实数范围内.由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法. 六、教学准备
回顾初中时的整数指数幂及运算性质，
0,1(0)
n a a a a a a a =⋅⋅⋅⋅⋅=≠
七、教学环节。
人教版数学高中必修一《指数与指数幂的运算》教案
2．1指数函数（新课辅导教案）2.1.1 指数与指数幂的运算第一课时 根式一、问题提出1．据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断,未来20年，我国GDP(国内生产总值)年平均增长率可望达到7.3%.那么在2010年, 我国的GDP 可望为2000年的多少倍?2．对10073.1的意义如何？怎样运算？思考1:一般地，实常数a 的平方根、立方根是什么概念？思考2:如果4x ＝a ，5x ＝a ，6x ＝a ，参照上面的说法，这里的x 分别叫什么名称？ 定义：一般地，如果a x n=，那么x 叫a 的n 次方根，其中1>n 且N n ∈. 二、根式的概念思考1:-8的立方根，16的4次方根，32的5次方根，-32的5次方根，0的7次方根，6a 的立方根分别是什么数？怎样表示？思考2:设a 为实常数，则关于x 的方程 3x =a ，5x =a 分别有解吗？有几个解？ 思考3:一般地，当n 为奇数时，实数a 的n 次方根存在吗？有几个？思考4:设a 为实常数，则关于x 的方程 4x =a ，6x =a 分别有解吗？有几个解？ 思考5:一般地，当n 为偶数时，实数a 的n 次方根存在吗？有几个？ 思考6:我们把式子)1,(>∈n N n a n叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.那么，a 的n次方根用根式怎么分类表示？当n 是奇数时，a 的n 次方根为n a .当n 是偶数时,若0>a ，则a 的n 次方根为n a ±；若0=a ，则a 的n 次方根为0； 若0<a ，则a 的n 次方根不存在. 三、根式的性质思考1: 445533)2(,)2(,)2(-分别等于什么？一般地nn a )(等于什么？思考2: 44445533)2(,2,2,)2(--分别等于什么？一般地n n a 等于什么？思考3: 对任意实数a ，b ，等式nn n ab b a =⋅成立吗 ？四、理论迁移例1 求下列各式的值(1)364-；(2)4)2(-；(3)33)8(-；(4)2)10(-；(5) 44)3(π-；(6)88)1(-a .例2 化简下列各式(1)49625--; (2) 3322)1()1()1(a a a -+-+-第二课时 分数指数幂和无理数指数幂一、问题提出1.整数指数幂有哪些运算性质？2.325,25有意义吗？二、分数指数幂的意义 思考1:我们规定：nm n ma a =)1,,0(>∈>n N n m a 且，那么328表示一个什么数？522143、分别表示什么根式？思考2:你认为如何规定nm a-)1,,0(>∈>n N n m a 且的含义？思考3:怎样理解零的分数指数幂的意义？思考4:532332)2(,)2(,)2(---都有意义吗？当0<a 时，)1,(*>∈n N n m a nm 、何时无意义？三、有理数指数幂的运算性质四、无理数指数幂的意义思考5:有理指数幂的运算性质适应于无理数指数幂吗？ 五、理论迁移例1 求下列各式的值:(1)3227;(2) 2125-;(3)5)21(-;(4)43)8116(-.例2 化简下列各式的值(1))0,()3()6)(2(656131212132>-÷-b a b a b a b a (2))0,()(88341>-n m n m(3)4325)12525(÷- (4))0(322>⋅a aa a六、小结:1.指数幂的运算性质适应于实数指数幂.2.对根式的运算，应先化为分数指数幂，再根据运算性质进行计算，计算结果一般用分数指数幂表示.2.1.2 指数函数及其性质第一课时 指数函数的概念与图象一、问题提出1.对任意实数x ，x 3的值存在吗？x)3(-的值存在吗？x 1的值存在吗？ 2. )(3R x y x∈=是函数吗？若是，这是什么类型的函数？二、指数函数的概念思考1:我们把形如xa y =的函数叫做指数函数，其中x 是自变量.为了便于研究，底数a 的取值范围应如何规定为宜？ 答：1,0≠>a a三、指数函数的图象思考2:一般地，指数函数的图象可分为几类？其大致形状如何?四、理论迁移例1 判断下列函数是否为指数函数？(1) 3x y =;(2) x a y )1(2+=;(3) 12+=x y ;(4) xy -=5;(5) 23x y =;(6)14+=xy .例2 已知函数)10()(≠>=a a a x f x且的图象过点)3(π，，求)3(),1(),0(-f f f 的值.例3 求下列函数的定义域: (1) 15-=x y ; (2)412-=x y .第二课时 指数函数的性质（接上）思考3:若10<<<a b ，则函数xa y =与xb y =的图象的相对位置关系如何？例4 比较下列各题中两个值的大小 (1)5.27.1与37.1； (2) 1.08.0-与2.08.0-； (3) 3.07.1与1.39.0.例6 确定函数xx f -=2)(的单调区间和值域.例7 设nma 8.09.0⋅=,mnb 8.09.0⋅=,其中n m ,为实数，试比较a 与b 的大小.第三课时 指数函数及其性质的应用（接上）例8 求函数x x f 21)(-=的定义域和值域.例9 已知函数x x x f 22)(2-=+的值域是)12(∞+，，求)(x f 的定义域.例10 已知关于x 的方程12=--m x 有实根，求实数m 的取值范围.例11 已知函数1212)(+-=x x x f(1)确定)(x f 的奇偶性； (2)判断)(x f 的单调性； (3)求)(x f 的值域.例12 求函数xx y -=2)31(的单调区间，并指出其单调性.结论:设)(u f y =,)(x g u =，则（1）当)(u f 和)(x g 的单调性相同时，)]([x g f 为增函数；（2）当)(u f 和)(x g 的单调性相反时，)]([x g f 为减函数；综合应用例1 已知函数aaaxfxx+=)( (1>a为常数).(1)确定)(xf的单调性；(2)求)109()103()102()101(ffff++++ 的值.例 2 已知函数axfx+-=121)(，试推断是否存在常数a，使)(xf为奇函数? 若存在，求a的值；若不存在，说明理由.例3 已知函数8234)(1+⋅-=+xxxf，求满足0)(<xf的x的取值范围.例4 已知当1>x时，不等式12>-xxa,)1,0(≠>aa恒成立，求a的取值范围.2．1 指数函数（复习辅导教案）指数函数指数与指数幂的运算根式分数指数幂无理指数幂指数幂的运算法则概念图象性质知识框架知识点1、定义1：一般地，如果ax n=，那么x叫a的n次方根，其中1>n且Nn∈.定义2：我们把式子)1,(>∈nNnan叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.当n是奇数时，a的n次方根为n a.当n是偶数时,若0>a，则a的n次方根为n a±；若0=a，则a的n次方根为0；若0<a，则a的n次方根不存在.2、我们规定：nmn m aa=)1,,0(>∈>nNnma且.如何规定nma-)1,,0(>∈>nNnma且的含义？答: .怎样理解零的分数指数幂的意义？答: .当0<a时，)1,(*>∈nNnma nm、何时无意义？答:3、有理数指数幂的运算性质4、无理数指数幂的意义5、定义：我们把形如xay=的函数叫做指数函数，其中x是自变量.为了便于研究，底数a的取值范围应如何规定为宜？答：1,0≠>aa且6、指数函数的图象和性质7、设)(ufy=,)(xgu=，则（1）当)(uf和)(xg的单调性相同时，)]([xgf为增函数；（2）当)(uf和)(xg的单调性相反时，)]([xgf为减函数；指数函数指数与指数幂的运算根式分数指数幂无理指数幂指数幂的运算法则概念图象性质1 求下列各式的值(1)364-；(2)4)2(-；(3)33)8(-；(4)2)10(-；(5) 44)3(π-；(6)88)1(-a .2 化简下列各式(1)49625--; (2) 3322)1()1()1(a a a -+-+-3 求下列各式的值:(1)3227;(2) 2125-;(3)5)21(-;(4)43)8116(-.4 化简下列各式的值(1))0,()3()6)(2(656131212132>-÷-b a b a b a b a (2))0,()(88341>-n m n m(3)4325)12525(÷- (4))0(322>⋅a aa a5 判断下列函数是否为指数函数？(2) 3x y =;(2) x a y )1(2+=;(3) 12+=x y ;(4) xy -=5;(5) 23x y =;(6)14+=xy .6 已知函数)10()(≠>=a a a x f x且的图象过点)3(π，，求)3(),1(),0(-f f f 的值.7 求下列函数的定义域: (1) 15-=x y ; (2)412-=x y .8 若10<<<a b ，则函数xa y =与xb y =的图象的相对位置关系如何？9 比较下列各题中两个值的大小 (1)5.27.1与37.1； (2) 1.08.0-与2.08.0-； (3) 3.07.1与1.39.0.10 若指数函数xa y )12(-=是减函数，求实数a 的取值范围.11 确定函数xx f -=2)(的单调区间和值域.12 设n m a 8.09.0⋅=,mn b 8.09.0⋅=,其中n m ,为实数，试比较a 与b 的大小.13 求函数x x f 21)(-=的定义域和值域.14 已知函数x x x f 22)(2-=+的值域是)12(∞+，，求)(x f 的定义域.15 已知关于x 的方程12=--m x 有实根，求实数m 的取值范围.16 已知函数1212)(+-=x x x f(1)确定)(x f 的奇偶性； (2)判断)(x f 的单调性； (3)求)(x f 的值域.17 求函数xx y -=2)31(的单调区间，并指出其单调性.18 已知函数aa a x f xx +=)( (1>a 为常数).(2) 确定)(x f 的单调性；(2)求)109()103()102()101(f f f f ++++ 的值.19 已知函数a x f x+-=121)(，试推断是否存在常数a ，使)(x f 为奇函数? 若存在，求a 的值；若不存在，说明理由.20 已知函数8234)(1+⋅-=+x xx f ，求满足0)(<x f 的x 的取值范围.21 已知当1>x 时，不等式12>-x x a ,)1,0(≠>a a 恒成立，求a 的取值范围.。
高中数学 2.1.1 指数与指数幂的运算教案精讲 新人教A版必修1
2.1 指数函数2．1.1 指数与指数幂的运算[读教材·填要点]1．根式及相关概念(1)a的n次方根定义：如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)a的n次方根的表示：(3)根式：式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．2．根式的性质(1)n0＝0(n∈N*，且n＞1)；(2)(na)n＝a(n∈N*，且n＞1)；(3)na n＝a(n为大于1的奇数)；(4)na n＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a a≥0－a a＜0(n为大于1的偶数)．3．分数指数幂的意义4.有理数指数幂的运算性质(1)a r·a s＝a r＋s(a＞0，r，s∈Q)；(2)(a r)s＝a rs(a＞0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)．5．无理数指数幂无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．[小问题·大思维]1．根式一定是无理式吗？提示：根式不一定为无理式，如a＋1为无理式，而 x＋1 2＝|x＋1|为有理式．2．下列说法正确的有哪几个？①64的6次方根是2；②664的运算结果是±2；③负数没有偶次方根．提示：64的6次方根是±2；664＝2；③正确．故只有③正确．3.na n与(na)n有什么区别？其中实数a的取值各有什么限制？提示：(1)na n是实数a n的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶性的限制，a∈R，(2)(na)n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值与n的奇偶性有关；当n为大于1的奇数时，a∈R；当n为大于1的偶数时，a≥0.[例1] 求下列根式的值．(1)4－2 4；(2)52－π 5(3)4 x ＋1 4； (4)3 x －6 3[自主解答] (1)4 －2 4＝2； (2)5 2－π 5＝2－π； (3)4x ＋1 4＝|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1， x ≥－1，－x －1， x <－1.(4)3 x －6 3＝x －6 ——————————————————,a n a n ⎧⎪=⎨⎪⎩，偶奇为数为数要解决根式的化简问题，首先要分清根式为奇次根式，还是偶次根式.2 为使开偶次方后不出现符号错误，第一步先用绝对值表示开方的结果，第二步再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论.————————————————————————————————————————1．求下列各式的值： (1)4 －3 2；(2)na －b n＋na ＋b n (a ＜b ＜0，n ＞1，n ∈N *)． 解：(1)4－3 2＝49＝432＝324＝ 3. (2)当n 是奇数时，原式＝(a －b )＋(a ＋b )＝2a ； 当n 为偶数时，因为a ＜b ＜0， 所以a －b ＜0，a ＋b <0，所以原式＝－(a －b )－(a ＋b )＝－2a . 所以na －b n＋na ＋b n＝⎩⎪⎨⎪⎧2a ，n ＝2k ＋1，k ∈N *－2a ，n ＝2k ，k ∈N *.[例2] 将下列根式化成分数指数幂形式．(1)3a ·4a ； (2)a a a ； (3)3a 2·a 3； (4)(3a )2·ab 3. [自主解答] (1)3a ·4a ＝1173412a a a ⋅；(2)原式＝a 12·a 14·a 18＝a 78；(3)原式＝a 23·a 32＝a136；(4)原式＝(a 13)2·a 12·b 32＝a 76b 32. ——————————————————在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：1m m nnm na aa-===，其中字母a 要使式子有意义.————————————————————————————————————————2．用分数指数幂表示下列各式： (1)3a ·6－a (a <0)； (2)3ab 2ab 3(a ，b >0)；(3)(4b 23)23 (b <0)； (4)13x 5x 2 2(x ≠0)．解：(1)原式＝a 13·(－a )16＝－(－a ) 13·(－a ) 16＝－(－a )12(a <0)； (2)＝(5722a b ⋅)13＝a 56b 76(a ，b >0) (3)原式＝b212343⨯⨯＝(－b )19(b <0)(4)原式＝1413531·x x⨯＝351x＝x35-.[例3] 计算下列各式：(1)(235)0＋2－2·(214)12-－(0.01)0.5；(2)(0.064)13-－ (－78)0＋[(－2)3] 43-＋16－0.75；(3)(14)12-23320.1a b --()a ＞0，b ＞0)． [自主解答] (1)原式＝1＋14×(49)12－(1100)12＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝52－1＋116＋18＝2716.(3)原式＝132244100⋅·a 32·a 32-·b 32-·b 32＝425a 0b 0＝425.——————————————————1 指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算.负指数幂化为正指数幂的倒数.底数是负数，先确定符号；底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.2 根式一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理指数幂的运算性质进行运算.在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解.3 对于含有字母的化简求值结果，一般用分数指数幂的形式表示.————————————————————————————————————————3．计算下列各式：(1)(279)0.5＋(0.1)－2＋(21027)23-＋3π0＋3748；(2)52×5535×125；(3)0.025614-－⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 78 －2.60＋(34)34·(22)53－160.75. 解：(1)原式＝(259)0.5＋(110)－2＋(6427)23-＋3＋3748＝53＋100＋916＋3＋3748 ＝80＋27＋3748＋103 ＝14448＋103＝3＋103＝106. (2)原式＝52·535·512-·532-＝52＋3512-32-＝535(3)原式＝2.5－1＋22334⨯·23523⨯－23＝1.5＋21522+－23＝1.5解题高手 易错题盘皆输，试试能否走出迷宫！化简：(1－a )[(a －1)－2(－a )12] 12[错解] (1－a )[(a －1)－2(－a ) 12]12＝(1－a )(a －1)－2×12(－a )12×12＝(1－a )(a －1)－1(－a )14＝－(－a ) 14.[错因] 错解中忽略了题中(－a ) 12有意义的条件，若(－a ) 12有意义，则－a ≥0，故a ≤0，这样[(a －1)－2] 12＝(1－a )－1.[正解] 由(－a ) 12有意义可知－a ≥0，故a ≤0， 所以(1－a )[(a －1)－2(－a ) 12]12＝(1－a )[(a －1)－2] 12·[(－a ) 12]12＝(1－a )(1－a )－1(－a ) 14＝(－a ) 14.1．下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是( ) A ．－x ＝(－x )12- (x ≠0)B ．x13-＝－3xC ．(x y )34-＝4 y x 3(xy ≠0)D.4y 2＝y 12(y <0) 解析：A ：－x ＝－x 12； B ：x13-＝13xC ：(x y )34-＝(y x )34＝4 y x3正确．D ：4y 2＝(－y ) 12(y <0) 答案：C2．当2－x 有意义时，化简x 2－4x ＋4－x 2－6x ＋9的结果为( ) A ．2x －5 B ．－2x －1 C ．－1D ．5－2x解析：2－x 有意义则x ≤2.原式＝ x －2 2－ x －3 2＝2－x －(3－x )＝2－3＝－1.答案：C 3．计算(2a －3b23-)·(－3a －1b )÷(4a －4b53-)得( )A ．－32b 2B.32b 2 C ．－32b 73D.32b 73 解析：原式＝14354364a b a b----＝－32b 2.答案：A4. －7 2＝________.() －3 22＝________.答案：7 95．计算：(π)0＋2－2×(214)12＝________.解析：原式＝1＋14×(94)12＝1＋14×32＝1＋38＝118.答案：1186．计算：5＋26＋7－43－6－4 2. 解：5＋26＋7－43－6－4 2＝ eq \r((\r(3))2＋2\r(3)·\r(2)＋(\r(2))2＋22－2×23＋ 3 2－22－2×22＋ 2 2＝ 3＋2 2＋ 2－3 2－ 2－2 2＝|3＋2|＋|2－3|－|2－2| ＝3＋2＋2－3－2＋ 2 ＝2 2.一、选择题1．已知m 10＝3，则m 等于( ) A.310B.103C ．±103D ．3 10答案：C2．计算[(－2)－2]12-的结果是( )A. 2B ．－ 2C.22D ．－22解析：[(－2)－2] 12-＝(2－1)12-＝212＝ 2.答案：A3．函数f (x )＝(x －5)0＋(x －2) 12-的定义域为( )A ．{x |2<x <5，或x >5}B ．{x |x >2}C ．{x |x >5}D ．{x |x ≠5且x ≠2}解析：使得函数有意义则⎩⎪⎨⎪⎧x －5≠0x －2>0，即x >2且x ≠5.答案：A4．x ＝1＋2b，y ＝1＋2－b，则y 等于( ) A.x ＋1x －1 B.x －1x C.x －1x ＋1D.x x －1解析：∵x ＝1＋2b，∴2b＝x －1. 又y ＝1＋2－b＝1＋12＝2b＋12＝x －1＋1x －1＝xx －1. 答案：D 二、填空题 5．化简： 4a 23b13-÷(－23a 13-b 13-)＝________.解析：原式＝－6a 23－(13-)b13-－(13-)＝－6a .答案：－6a6．计算：(23)－2＋(1－2)0－(338)23＋ 3－π 2＝________.解析：原式＝94＋1－(32)2＋π－3＝π－2.答案：π－2 7．若2x ＋2－6×2x －1－8＝0，则x ＝________.解析：令2x＝t ，则原方程可化为4t －3t －8＝0，t ＝8. ∴2x＝8.即x ＝3.答案：3 8．设2x＝8y ＋1,9y＝3x －9，则x ＋y ＝________.解析：由2x ＝8y ＋1得2x＝23y ＋3，所以x ＝3y ＋3① 由9y＝3x －9得32y ＝3x －9，所以2y ＝x －9② 由①②联立方程组， 解得x ＝21，y ＝6， 所以x ＋y ＝27. 答案：27 三、解答题 9．化简：÷3a－83a 15÷3a －3a －1；(2)4133223384a a b b a-+÷(1－23b a)×3a .解：(1)＝3a 23a －2＝a 23÷(a 73)12÷(a －2)13＝a 23÷a 76÷a 23-＝a 2376-÷a23-＝a 12-÷a 23-＝a12-＋23＝a 16.(2)原式＝1321123333842a a b b a b a (-)++÷1133132a b a-×a 13＝a13 a13－2b13 a23＋2a13b13＋4b234b23＋2a13b13＋a23·1313123aa b-·a13＝a 13·a13·a13＝a.10．已知a 12＋a12-＝5，求下列各式的值：(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3)a2－a－2.解：(1)将a 12＋a12-＝5两边平方，得a＋a－1＋2＝5，则a＋a－1＝3.(2)由a＋a－1＝3两边平方，得a2＋a－2＋2＝9，则a2＋a－2＝7.(3)设y＝a2－a－2，两边平方，得y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝72－4＝45，所以y＝±3 5，即a2－a－2＝±3 5.。
人教A版高中数学必修一2.1.1指数与指数幂的运算1(讲案)
名言： 学习知识要善于思考，思考，再思考。
—— 爱因斯坦 1 名言：情况是在不断地变化，要使自己的思想适应新的情况，就得学习。
—— 毛泽东课题： 指数与指数幂的运算 课时：第1课时【学习目标】1. 阅读课本P48,知道指数函数模型背景及实用性、必要性；2. 阅读课本P49,学会根式的概念及表示方法；3. 阅读课本P50,理解根式的运算性质.第一环节：导入学习（激情导入）（约3分钟）复习1：边长为a 的正方形面积公式为2S a =；正方体的体积公式为3V a =。
复习2：（初中根式的概念）如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的 平方根 ，；如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的 立方根，记作。
第二环节：自主学习（知识点以题的形式呈现）（约15分钟） （一）基础学习（本课需要掌握的基础知识）1.定义：一般地，若*),1(N n n a x n ∈>= 则x 叫做a 的n 次方根，n a 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数。
2.性质：①当n 为奇数时：正数的n 次方根为正数，负数的n 次方根为负数 记作： na x =②当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个（互为相反数） 记作：na x ±= ③负数没有偶次方根，④ 0的任何次方根为0注：当a ≥0时，na ≥0，表示算术根，所以类似416=±2的写法是错误的. 3.常用公式根据n 次方根的定义，易得到以下三组常用公式： ①当n为任意正整数时，n=a.例如，3=27，5=-32.②当n 为奇数时，n n a =a ；当n 为偶数时，nn a =|a|=⎩⎨⎧<-≥)0()0(a a a a . 例如，33)2(-=-2，552=2；443=3，2)3(-=|-3|=3.③根式的基本性质：n mnpmpa a=，（a ≥0）.注意，⑶中的a ≥0十分重要，无此条件则公式不成立. 例如3628)8(-≠-.（二）深入学习（需掌握的知识转化成能力——知识运用）例1求值①33)8(-= -8 ； ②2)10(-= |-10| = 10 ； ③44)3(π-= |π-3| = 3-π ； ④)()(2b a b a >-= |a- b| = a- b . 例2、下列各式中，正确的是（C ） A.3622)2(-=- B.ππ-=-3)3(44 C. 2)2(33-=- D.12)12(66-=-a a例3、化简=-+-+-3322)1()1()1(a a a 1a - )1(≥a第三环节：互助学习（约7分钟）1．有下列说法：①1的4次方根是1； ②因为(±3)4＝81，∴481的运算结果为±3. ③当n 为大于1的奇数时，na 对任意a ∈R 都有意义； ④当n 为大于1的偶数时，na 只有当a ≥0时才有意义．其中，正确的是 ( D ) A ．①③④ B ．②③④ C ．②③ D ．③④2．(2016·成都高一检测)＝－4a －1，求实数a 的取值范围.[解析]＝|4a ＋1|＝－4a －1， ∴4a ＋1≤0，∴a ≤－14.∴a 的取值范围是(－∞，－14]．第四环节：展示学习（约7分钟）第五环节：精讲学习（学生对应的是反思学习）（约8分钟）1．根式的概念； 2．根式的运算性质：①当n 为任意正整数时，(n a )=a ；②当n 为奇数时，n n a =a ；当n 为偶数时，nn a =|a|=⎩⎨⎧<-≥)0()0(a a a a .⑶根式的基本性质：n m npmp a a =，（a ≥0）.。
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§2.1.1 指数
一．教学目标：
1．知识与技能：（1）理解分数指数幂和根式的概念； （2）掌握分数指数幂和根式之间的互化；
（3）掌握分数指数幂的运算性质； （4）培养学生观察分析、抽象等的能力.
2．过程与方法：
通过与初中所学的知识进行类比，分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质.
3．情态与价值 （1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；
（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；
（3）让学生体验数学的简洁美和统一美.
二．重点、难点
1．教学重点：（1）分数指数幂和根式概念的理解；
（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质；
2．教学难点：分数指数幂及根式概念的理解
三．学法与教具
1．学法：讲授法、讨论法、类比分析法及发现法
2．教具：多媒体
四、教学设想：
第一课时
一、复习提问： 什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？
归纳：在初中的时候我们已经知道：若2x a =，则x 叫做a 的平方根.同理，若3x a =，
则x 叫做a 的立方根.
根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如4的平方根为2±，负数没有平方根，一个数的立方根只有一个，如―8的立方根为―2；零的平方根、立方根均为零.
二、新课讲解
类比平方根、立方根的概念，归纳出n 次方根的概念.
n 次方根：一般地，若n x a =，则x 叫做a 的n 次方根（throot ），其中n ＞1，且n ∈Ｎ＊
,当n 为偶数时，a 的n 次方
根中，正数用
叫做根式.n 为奇数时，a 的n
n 称为根指数，a 为被开方数.
类比平方根、立方根，猜想：当n 为偶数时，一个数的n 次方根有多少个？当n 为奇数时呢？
n a n a n a n ⎧⎪⎨⎪⎩为奇数, 的次方根有一个,为正数:为偶数, 的次方根有两个,为
n a n a n a n ⎧⎪⎨⎪⎩为奇数, 的次方根只有一个,为负数:为偶数, 的次方根不存在.
零的n
0=
举例：16的次方根为2±
，275-的等等，而27-的4次方根不存在. 小结：一个数到底有没有n 次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n 为奇数和偶数两种情况.
根据n 次方根的意义，可得：
n a =
n a =
a n 的n
a 一定成立吗？如果不一
等于什么？
让学生注意讨论，n 为奇偶数和a 的符号，充分让学生分组讨论.
通过探究得到：n
a = n 为偶数
,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨
-<⎩
|8|8=-=-=
小结：当n
就避免出现错误：
例题：求下列各式的值
（1
）(1)
(2)
(3)
(4)分析：当n
||a =，然后再去绝对值.
n =是否成立，举例说明.
课堂练习：1. 求出下列各式的值
(1)a ≤2
1,a a =-求的取值范围.
3
三．归纳小结：
1．根式的概念：若n ＞1且*n N ∈
，则n x a x 是的次方根,n 为奇数时,
n为偶数时，x=
2．掌握两个公式：
(0)
,||
(0)
n
a a
n n a
a a
≥
⎧
==⎨
-<
⎩
为奇数时为偶数时
3．作业：P69习题2.1 A组第1题。