2022届高考一轮复习数学(新高考)课后限时集训18 导数的概念及运算 课件
《导数的概念及应用》课件
极值与导数的关系
总结词
导数的零点通常是函数的极值点，但需 满足一定的条件。在极值点处，导数的 符号发生变化。
VS
详细描述
如果一个函数在某一点的导数为零，且在 这一点的一阶导数存在，那么这个点可能 是函数的极值点。为了确定这一点是否为 极值点，需要检查该点两侧的导数符号是 否发生变化。如果导数的符号在这一点从 正变为负或从负变为正，则该点为极值点 。
曲线的凹凸性与导数的关系
总结词
二阶导数可以判断曲线的凹凸性。二阶导数 大于零的区间内，曲线是凹的；二阶导数小 于零的区间内，曲线是凸的。
详细描述
二阶导数描述了函数值随自变量变化的加速 度。当二阶导数大于零时，表示函数在该区 间内单调递增；当二阶导数小于零时，表示 函数在该区间内单调递减。因此，通过分析 二阶导数的正负，可以判断曲线的凹凸性。
详细描述
在流体动力学中，导数可以用来描述流体速度和压强的变化规律，以及流体流动的稳定性分析。在结构分析中， 导数可以用来计算结构的应力和应变，评估结构的强度和稳定性。在控制理论中，导数可以用来分析系统的动态 响应和稳定性，优化系统的性能和稳定性。
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极值的概念
函数在某点的极值表示该点附近函数值的大小变化情 况，极值可以是极大值或极小值。
导数与极值的关系
函数在极值点的导数等于零，通过求导可以找到极值 点。
极值问题的求解方法
利用导数等于零的条件，结合函数单调性判断，确定 极值点并计算出极值。
曲线的长度计算
曲线长度的概念
01
曲线长度表示曲线本身的长度，是几何学中的一个基本概念。
导数的几何意义
总结词
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线斜率。
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第3章 §3.1 导数的概念及其意义、导数的运算
2024年高考数学一轮复习课件（新高考版）第三章 一元函数的导数及其应用§3.1 导数的概念及其意义、导数的运算考试要求1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数 (形如f(ax＋b))的导数.内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练第一部分1.导数的概念f′(x0)y′| (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作或 .0x x＝(2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数)2.导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))斜率y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)处的切线的，相应的切线方程为 .3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )＝c (c 为常数)f ′(x )＝__f (x )＝x α(α∈R ，且α≠0)f ′(x )＝______f (x )＝sin xf ′(x )＝_____f (x )＝cos xf ′(x )＝______f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝______f (x )＝e x f ′(x )＝___0αx α－1cos x －sin x a x ln a e x知识梳理f(x)＝log a x(a>0，且a≠1)f′(x)＝_____ f(x)＝ln x f′(x)＝___4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有[f (x )±g (x )]′＝ ；[f (x )g (x )]′＝ ；[cf (x )]′＝ .f ′(x )±g ′(x )f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )cf ′(x )5.复合函数的定义及其导数复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y u′·u x′y x′＝，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.常用结论1.区分在点处的切线与过点处的切线(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条.(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率.( )(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( )(3)f ′(x 0)＝[f (x 0)]′.( )(4)(cos 2x ) ′＝－2sin 2x .( )×××√1.若函数f(x)＝3x＋sin 2x，则√因为函数f(x)＝3x＋sin 2x，所以f′(x)＝3x ln 3＋2cos 2x.y＝(e－1)x＋2又∵f(1)＝e＋1，∴切点为(1，e＋1)，切线斜率k＝f′(1)＝e－1，即切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2.3.已知函数f(x)＝x ln x＋ax2＋2，若f′(e)＝0，则a＝ .由题意得f′(x)＝1＋ln x＋2ax，第二部分√√√对于A，[(3x＋5)3]′＝3(3x＋5)2(3x＋5)′＝9(3x＋5)2，故A正确；对于B，(x3ln x)′＝(x3)′ln x＋x3(ln x)′＝3x2ln x＋x2，故B正确；对于D，(2x＋cos x)′＝(2x)′＋(cos x)′＝2x ln 2－sin x，故D正确.(2)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，则f′(2)等于√A.1B.－9C.－6D.4因为f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，所以f′(x)＝3x2＋2xf′(1)＋2，把x＝1代入f′(x)，得f′(1)＝3×12＋2f′(1)＋2，解得f′(1)＝－5，所以f′(x)＝3x2－10x＋2，所以f′(2)＝－6.思维升华(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.√√√f(x)＝sin(2x＋3)，f′(x)＝cos(2x＋3)·(2x＋3)′＝2cos(2x＋3)，故A 正确；f(x)＝e－2x＋1，则f′(x)＝－2e－2x＋1，故B错误；f(x)＝x ln x，f′(x)＝(x)′ln x＋x(ln x)′＝ln x＋1，故D正确.命题点1 求切线方程例2 (1)(2023·大同模拟)已知函数f(x)＝2e2ln x＋x2，则曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为√A.4e x－y＋e2＝0B.4e x－y－e2＝0C.4e x＋y＋e2＝0D.4e x＋y－e2＝0所以f(e)＝2e2ln e＋e2＝3e2，f′(e)＝4e，所以曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为y－3e2＝4e(x－e)，即4e x－y－e2＝0.(2)(2022·新高考全国Ⅱ)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为_______，_________.先求当x>0时，曲线y＝ln x过原点的切线方程，设切点为(x0，y0)，解得y0＝1，代入y＝ln x，得x0＝e，命题点2 求参数的值(范围)例3 (1)(2022·重庆模拟)已知a为非零实数，直线y＝x＋1与曲线y＝ea ln(x＋1)相切，则a＝_____.(2)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)e x有两条过坐标原点的切线，(－∞，－4)∪(0，＋∞)则a的取值范围是 .因为y ＝(x ＋a )e x ，所以y ′＝(x ＋a ＋1)e x .设切点为A (x 0，(x 0＋a ) )，O 为坐标原点，0e x 0e x 0x x ＝000()ex x a x 因为曲线y ＝(x ＋a )e x 有两条过坐标原点的切线，所以Δ＝a 2＋4a >0，解得a <－4或a >0，所以a 的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞).思维升华(1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”.跟踪训练2 (1)曲线f(x)＝在(0，f(0))处的切线方程为√A.y＝3x－2B.y＝3x＋2C.y＝－3x－2D.y＝－3x＋2所以f′(0)＝3，f(0)＝－2，所以曲线f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y－(－2)＝3(x－0)，即y＝3x－2.√例4 (1)若直线l：y＝kx＋b(k>1)为曲线f(x)＝e x－1与曲线g(x)＝eln x的公切线，则l的纵截距b等于A.0B.1√C.eD.－e设l 与f (x )的切点为(x 1，y 1)，则由f ′(x )＝e x －1，得l ：y ＝ ＋(1－x 1) .同理，设l 与g (x )的切点为(x 2，y 2)，11e x x －11e x －11e x －11e x －因为k >1，所以l ：y ＝x 不成立，故b ＝－e.(2)(2023·晋中模拟)若两曲线y＝ln x－1与y＝ax2存在公切线，则正实数a 的取值范围是√设公切线与曲线y＝ln x－1和y＝ax2的切点分别为(x1，ln x1－1)，(x2，ax)，其中x1>0，令g (x )＝2x 2－x 2ln x ，则g ′(x )＝3x －2x ln x ＝x (3－2ln x )，令g ′(x )＝0，得x ＝ ，32e 当x ∈(0， )时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；32e当x ∈(，＋∞)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，32e 32e思维升华公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解.或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解.跟踪训练3 (1)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝x2－m，h(x)＝6ln x －4x，设两曲线y＝f(x)与y＝h(x)在公共点处的切线相同，则m等于A.－3 B.1√C.3D.5依题意，设曲线y＝f(x)与y＝h(x)在公共点(x0，y0)处的切线相同.∵f(x)＝x2－m，h(x)＝6ln x－4x，∵x0>0，∴x0＝1，m＝5.(2)已知f(x)＝e x－1，g(x)＝ln x＋1，则f(x)与g(x)的公切线有A.0条B.1条√C.2条D.3条根据题意，设直线l与f(x)＝e x－1相切于点(m，e m－1) ，与g(x)相切于点(n，ln n＋1)(n>0)，对于f(x)＝e x－1，f′(x)＝e x，则k1＝e m，则直线l的方程为y＋1－e m＝e m(x－m) ，即y＝e m x＋e m(1－m)－1，可得(1－m)(e m－1)＝0，即m＝0或m＝1，则切线方程为y＝e x－1 或y＝x，故f(x)与g(x)的公切线有两条.第三部分1.(2023·广州模拟)曲线y＝x3＋1在点(－1，a)处的切线方程为√A.y＝3x＋3B.y＝3x＋1C.y＝－3x－1D.y＝－3x－3因为f′(x)＝3x2，所以f′(－1)＝3，又当x＝－1时，a＝(－1)3＋1＝0，所以y＝x3＋1在点(－1，a)处的切线方程为y＝3(x＋1)，即y＝3x＋3.2.记函数f(x)的导函数为f′(x).若f(x)＝e x sin 2x，则f′(0)等于√A.2B.1C.0D.－1因为f(x)＝e x sin 2x，则f′(x)＝e x(sin 2x＋2cos 2x)，所以f′(0)＝e0(sin 0＋2cos 0)＝2.3.(2022·广西三市联考)设函数f(x)在R上存在导函数f′(x)，f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程为y＝＋2，那么f(1)＋f′(1)等于√A.1B.2C.3D.44.已知函数f(x)＝x ln x，若直线l过点(0，－e)，且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的斜率为√A.－2B.2C.－eD.e设切点坐标为(t，t ln t)，∵f(x)＝x ln x，∴f′(x)＝ln x＋1，直线l的斜率为f′(t)＝ln t＋1，∴直线l的方程为y－t ln t＝(ln t＋1)(x－t)，将点(0，－e)的坐标代入直线l的方程得－e－t ln t＝－t(ln t＋1)，解得t＝e，∴直线l的斜率为f′(e)＝2.。
第4章+第2讲+导数的概念及运算2024高考数学一轮复习+PPT(新教材)
＝(x2)′ex＋x2(ex)′＝2xex＋x2ex＝(2x＋x2)ex，错误；对于 C，(xcosx)′＝cosx
－xsinx，错误；对于 D，x－1x′＝1－1x′＝1＋x12，错误．故选 A．
解析 答案
x－3 (2)(2021·贵阳模拟)已知 f(x)的导函数为 f′(x)，f(x)＝ ex ＋2f′(1)·x， 则 f′(1)＝________. 答案 －3e 解析 ∵f(x)＝x－ex 3＋2f′(1)·x，∴f′(x)＝4－ex x＋2f′(1)，∴f′(1)＝3e＋ 2f′(1)，解得 f′(1)＝－3e.
解析 由导函数图象可知两函数的图象在x0处的切线斜率相等,故选D.
解析 答案
4. (2021·长沙检测)如图所示，y＝f(x)是可导函数，直线 l：y＝kx＋3 是 曲线 y＝f(x)在 x＝1 处的切线，令 h(x)＝fxx，h′(x)是 h(x)的导函数，则 h′(1) 的值是( )
A．2
B．1
解
导数的运算方法 (1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导． (2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分 式函数，再求导． (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导． (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导． (5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导． (6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导．
的值，即ΔΔyx有极限，则称 y＝f(x)在 x＝x0 处可导，并把这个确定的值叫做 y
＝f(x)在 x＝x0 处的导数(也称为瞬时变化率)，记作 f′(x0)或 y′|x＝x0，即
f′(x0)＝ lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
fx0＋Δx－fx0
人教版高考总复习一轮数学精品课件 主题二 函数 第四章 第一节 导数的概念及其意义、导数的运算
（2）过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条.
1
3.[
]′ =
−′
[ ]2
≠0 .
4.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.
自测诊断
1.下列函数的求导正确的是( B )
A. −2 ′ = −2B. cos ′ = cos − sin
C. ln 10 ′ =
A.6.8 m/s2 B.7.6 m/s2 C.7 m/s 2 D.7.8 m/s 2
[解析]因为 = . + . ，所以′ = . + . .令 = ，得
. + . = ，解得 = 或 = −
（舍去），则当
= 时，
′ = . + . × = . ，即速度首次达到 /时的加速度为. / .故选B.
函数 = 在点0 处的导数的几何意义就是曲线 = 在点 0 , 0 处的
切线的斜率
′ 0
_____________.也就是说，曲线
= 在点 0 , 0 处的切线的斜率是_______.
− 0 = ′ 0 − 0
相应的切线方程为______________________.
三、导数的运算
1.基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
= （为常数）
0
′ =___
= ( ∈ ，且 ≠ 1)
−1
′ =_______
= sin
cos
′ =______
= cos
−sin
′ =________
= ′ ⋅ .
知识拓展
高考数学一轮总复习课件：导数的概念与运算
(4)f(x)＝ 1－1 2x2；
π (5)f(x)＝cos(3x2－ 6 )．
【解析】 (1)∵f′(x)＝(2x5＋8x4－5x3＋2x2＋8x－5)′，
∴f′(x)＝10x4＋32x3－15x2＋4x＋8.
(2)∵f(x)＝11＋ －
xx＋11＋－
x x
＝（1＋ 1－xx）2＋（1－ 1－xx）2
π 5．设正弦函数y＝sinx在x＝0和x＝ 2 处的瞬时变化率为
k1，k2，则k1，k2的大小关系为( A )
A．k1>k2
B．k1<k2
C．k1＝k2
D．不确定
解析 ∵y＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx. π
k1＝cos0＝1，k2＝cos 2 ＝0，∴k1>k2.
授人以渔
题型一 导数的概念(自主学习)
(3)设切点为(x0，y0)，则切线的斜率为k＝x02＝1， 解得x0＝±1，故切点为1，53或(－1，1)． 故所求切线方程为y－53＝x－1或y－1＝x＋1. 即3x－3y＋2＝0或x－y＋2＝0.
【答案】 (1)4x－y－4＝0 (2)4x－y－4＝0或x－y＋2＝0 (3)3x－3y＋2＝0或x－y＋2＝0
状元笔记
求曲线的切线方程的两种类型 (1)在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在 点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程，在点P处的切线， 一定是以点P为切点；过点P的切线，不确定点P在不在曲线上， 点P不一定是切点． (2)求曲线过点P(x0，y0)的切线方程的步骤为： 第一步，设出切点坐标P′(x1，f(x1))；
数的平均变化率Δ Δyx的极限是否存在．
(2)利用导数定义求函数的导数时，先算函数的增量Δy，
新高考数学一轮复习课件 导数的概念及其意义、导数的运算
01
走进教材·夯实基础
梳理·必备知识 激活·基本技能
第一节 导数的概念及其意义、导数的运算
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
1．导数的概念 (1)如果当 Δx→0 时，平均变化率ΔΔyx无限趋近于一个确定的值， 即ΔΔyx有极根，则称 y＝f(x)在 x＝x0 处可导，并把这个确定的值叫做 y ＝f(x)在 x＝x0 处的导数(也称为瞬时变化率 )，记作f ′(x0) 或_y_′_|x_＝_x_0 _， 即 f ′(x0)＝Δlixm→0 ΔΔyx＝Δlixm→0 fx0＋ΔΔxx－fx0.
的实际背景.
2.通过函数图象，理解导数的几何意义.
3.了解利用导数定义，求基本初等函数的导数.
4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简
单函数的导数.
5.能求简单的复合函数(形如 f(ax＋b))的导数．
第一节 导数的概念及其意义、导数的运算
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走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
他在 0.5 秒时的瞬时速度为( )
A．9.1 米/秒
B．6.75 米/秒
C．3.1 米/秒
D．2.75 米/秒
C [h ′(t)＝－9.8t＋8，
∴h ′(0.5)＝－9.8×0.5＋8＝3.1.]
第一节 导数的概念及其意义、导数的运算
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走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
2.已知函数 f(x)的图象如图，f ′(x)是 f(x)的导函数，则下列数值排
第一节 导数的概念及其意义、导数的运算
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走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
2022版高考数学一轮复习第4章导数及其应用第1讲导数的概念及运算课件
ex x＋a
，得f′(x)＝
exx＋a－1 x＋a2
，所以f′(1)＝
ae 1＋a2
＝4e，解得a＝1.
6．曲线y＝2ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为________． 【答案】y＝2x 【解析】因为y′＝x＋2 1，所以在点(0,0)处切线的斜率为k＝2，则所 求的切线方程为y＝2x.
(2)由y＝ln x＋x＋1，得y′＝1x＋1，令1x＋1＝2，解得x＝1.所以切线 方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.
导数几何意义的综合应用
已知函数f(x)＝2x3－3x. (1)求f(x)在区间[－2,1]上的最大值； (2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切，求t的取值范围．
1)．因为y′＝2ax＋(a＋2)，所以y′|x＝x0＝2ax0＋(a＋2)．
由2aax20x＋0＋aa＋＋22x0＝＋21，＝2x0－1，
解得x0＝－21， a＝8.
【解题技巧】 1．求切线方程的方法 (1)求曲线在点P处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在点P 处的导数，然后利用点斜式写出切线方程； (2)求曲线过点P的切线，则P点不一定是切点，应先设出切点坐标， 然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程． 2．处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三 个关系列出参数的方程并解出参数：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2) 切点在切线上；(3)切点在曲线上．
3x0，且切线斜率为k＝6x
2 0
－3，所以切线方程为y－y0＝(6x
2 0
－3)(x－x0)，
因此t－y0＝(6x20－3)·(1－x0)．整理得4x30－6x20＋t＋3＝0.
设g(x)＝4x3－6x2＋t＋3，则“过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相
2024年高考数学一轮复习(新高考版)《导数的综合问题》课件ppt
③当 a>0 时，g(x)在0，a2上单调递减，在a2，4上单调递增，
若a2<4，即
0<a<8，则只能
ga2＝a－14a2－aln
a 4
＝a1－14a－ln a4＝0⇒a＝4，
若a≥8，则g(x)在(0,4]上单调递减，当x→0时，g(x)>0，
则要
g(4)＝16＋4(2－a)－aln
2<0，则
12345
(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝ax在(0,4]上有且只有一个交点，求a的取值 范围.
12345
设 g(x)＝f(x)－ax＝x2＋(2－a)x－aln 2x，x∈(0,4]， 则 g′(x)＝2x＋(2－a)－ax＝1x[2x2＋(2－a)x－a]＝1x(x＋1)(2x－a)， ①当a＝0时，g(x)＝x2＋2x，在(0,4]上无零点，不符合题意； ②当a<0时，g(x)在(0,4]上单调递增，g(2)＝4＋(2－a)×2>0， x→0时，g(x)<0， 由零点存在定理得，g(x)在(0,4]内只有一个零点，即曲线y＝f(x)与 直线y＝ax在(0,4]上有且只有一个交点.
12345
所以，当 x∈－π2，x0时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减.
所以 f(x)max＝f(x0)＝cos x0－ex0 ＝cos x0＋sin x0＝ 2sinx0＋π4.
因为 x0∈－π4，0，所以 x0＋π4∈0，π4， 所以 sinx0＋π4∈0， 22，所以 f(x0)∈(0,1). 由题意知，c≥f(x0)，所以整数c的最小值为1.
12345
(2)证明：f(x)≤x2－x＋1x＋2ln x.
导数的概念及运算课件-2025届高三数学一轮复习
；
（ⅱ）[f（x）g（x）]'＝ f'（x）g（x）＋f（x）g'（x） ；
（ⅲ）
()
()
′()()−()′()
'＝
（g（x）≠0）.
[()]2
②简单复合函数的导数：由函数y＝f（u）和u＝g（x）复合而成的函数y＝f（g
f'（x）＝ －sin x
目录
基本初等函数
f（x）＝ex
f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）
f（x）＝ln x
f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）
导数
f'（x）＝
ex
f'（x）＝
axln a
f'（x）＝
1
f'（x）＝
1
ln
目录
（2）导数的运算法则
①函数和、差、积、商的导数：若f'（x），g'（x）存在，则有：
P（x0，y0）的切线”的区别：前者P（x0，y0）为切点，而后者P（x0，y0）不一
定为切点.
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｜解题技法｜
求切点坐标的思路
已知切线方程（或斜率）求切点的一般思路是先函数的导数，再让导数
等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点
的纵坐标.
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当堂检测
在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点
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二、导数的几何意义及应用
目录
二、导数的几何意义及应用
2022届新教材高考数学一轮复习4.1导数的概念与运算课件
(3)若函数f(x)＝eax＋ln (x＋1)，f′(0)＝4，则a＝________．
答案：3
答案：C
类题通法
求曲线在点P(x0，y0)处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数 在P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程，若在该点P处的导数不
存在，则切线垂直于x轴，切线方程为x＝x0.
巩固训练2：[2020·全国卷Ⅰ]函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))
第一节 导数的概念与运算
2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0， f(x0))处的切线的斜率k，即k＝ __f′_(x_0_)_ .
3．基本初等函数的导数运算
基本初等函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xα(α∈Q*)
f(x)＝sin x f(x)＝cos x
类题通法 求切点坐标的思路
已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让 导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解 析式，求出切点的纵坐标．
答案：±ln 2
角度3|求参数的值(或范围)
[例4] 函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，
f′(x)＝______
f′(x)±g′(x) f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
y′u·u′x
× × √
×
答案：AD
答案：x＋y－5＝0
题组三 易错自纠 1．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)， y＝g(x)的图象可能是( )
答案：D
答案：D
答案：－4 12x－y＋20＝0
解析：f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)＝a＝0， 故a＝0，f(－2)＝－f(2)＝－(16－12)＝－4， 当x<0时，－x>0，故f(－x)＝－2x3－3x2. f(x)＝－f(－x)＝2x3＋3x2， f′(x)＝6x2＋6x，f′(－2)＝12， 故切线方程为：y＝12(x＋2)－4， 即12x－y＋20＝0.
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所以当xa0＝＝－1，2 时，点P的坐标为(1，－1)； 当xa0＝＝2－1， 时，点P的坐标为(－1,1)．]
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三、解答题 10．已知点M是曲线y＝13x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处 的切线为l，求： (1)斜率最小的切线方程； (2)切线l的倾斜角α的取值范围．
6．(2020·合肥模拟)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－e)，
且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的斜率为( )
A．－2
B．2
C．－e
D．e
B [函数f(x)＝xln x的导数为f′(x)＝ln x＋1，
设切点为(m，n)，可得切线的斜率k＝1＋ln m，
则1＋ln m＝n＋m e＝mln mm＋e，
A．1秒末
B．1秒末和2秒末
C．4秒末
D．2秒末和4秒末
D [∵s′(t)＝t2－6t＋8，由导数的定义可知v＝s′(t)，令s′(t)
＝0，得t＝2或4，
即2秒末和4秒末的速度为零，故选D.]
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4．若曲线f(x)＝acos x与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在x＝0处有公切线，
则a＋b＝( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
C [由题意得f′(x)＝－asin x，g′(x)＝2x＋b，于是有f′(0)＝g′(0)，
即－asin 0＝2×0＋b，∴ ＝0.又f(0)＝g(0)，即a＝1，∴ a＋b＝1.]
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5．(2020·重庆八中月考)放射性元素由于不断有原子放射出微粒
子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放
射性同位素铯-137衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单
位：年)满足函数关系：M(t)＝600·2 ，则铯-137含量M在t＝30时的
瞬间变化率为( ) A．－10ln 2(太贝克/年) C．－300ln 2(太贝克/年)
B．300ln 2(太贝克/年) D．300(太贝克/年)
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A [依题意，M(t)＝600·2 ，∴M′(t)＝－310×600×2 ln 2＝ －20×2 ln 2，∴铯-137含量M在t＝30时的瞬间变化率为M′(30)＝－ 20×2－1ln 2＝－10ln 2(太贝克/年)，故选A.]
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[解] (1)∵y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1， ∴当x＝2时，y′min＝－1，此时y＝53， ∴斜率最小时的切点为2，53，斜率k＝－1， ∴切线方程为3x＋3y－11＝0. (2)由(1)得k≥－1，∴tan α≥－1，
又∵α∈[0，π)，∴α∈0，π2∪34π，π.
故α的取值范围为0，π2∪34π，π.
BC [根据题意，依次分析选项： 对于A，f′(x)＝－3sin x，为奇函数，图象不关于y轴对称，不符 合题意． 对于B，f′(x)＝3x2＋1，为偶函数，图象关于y轴对称，符合题 意． 对于C，f′(x)＝1－x12，为偶函数，图象关于y轴对称，符合题 意． 对于D，f′(x)＝ex＋1，不是偶函数，图象不关于y轴对称，不符 合题意．]
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9．设函数f(x)＝x3＋ax2，若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线 方程为x＋y＝0，则点P的坐标为________．
(1，－1)或(－1,1) [由题意知，f′(x)＝3x2＋2ax，所以曲线y＝ f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线斜率为f′(x0)＝3x20＋2ax0，又切线方程 为x＋y＝0，所以x0≠0，且3x0x＋20＋x302＋axa0＝x20＝－01，， 解得xa0＝＝2－1， 或 xa0＝＝－1，2，
解得m＝e，故k＝1＋ln e＝2.]
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二、填空题 7．已知f(x)＝ax4＋bcos x＋7x－2.若f′(2 020)＝6，则f′(－2 020) ＝______. 8 [因为f′(x)＝4ax3－bsin x＋7， 所以f′(－x)＝4a(－x)3－bsin(－x)＋7 ＝－4ax3＋bsin x＋7. 所以f′(x)＋f′(－x)＝14. 又f′(2 020)＝6， 所以f′(－2 020)＝14－6＝8.]
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2．已知f′(x)是函数f(x)的导数，f(x)＝f′(1)·2x＋x2，则f′(2)＝
12－8ln 2 A. 1－2ln 2
B．1－22ln 2
()
C.1－24ln 2
D．－2
C [因为f′(x)＝f′(1)·2xln 2＋2x，所以f′(1)＝f′(1)·2ln 2＋2，
课后限时集训(十八) 导数的概念及运算
01 A组 基础巩固练
一、选择题
1．(多选)若函数f(x)的导函数f′(x)的图象关于y轴对称，则f(x)的
解析式可能为( )
A．f(x)＝3cos x
B．f(x)＝x3＋x
C．f(x)＝x＋1x
D．f(x)＝ex＋x
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8．(2020·全国卷Ⅰ)曲线y＝ln x＋x＋1的一条切线的斜率为2，则 该切线的方程为________．
y＝2x [设切点坐标为(x0，ln x0＋x0＋1)．由题意得y′＝1x＋1， 则该切线的斜率k＝x10＋1＝2，解得x0＝1，所以切点坐标为(1,2)，所 以该切线的方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.]
解得f′(1)＝1－22ln 2，所以f′(x)＝1－22ln 2·2xln 2＋2x，所以f′(2)＝
2 1－2ln
2×22ln
2＋2×2＝1－24ln
2.]
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3．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝13t3－
3t2＋8t，那么速度为零的时刻是( )