高中数学必修第一册期中考试复习
高一数学期中考试总结
高一数学期中考试总结高一数学期中考试总结1（1）考试的内容：本次考试主要考查内容为高中数学必修1全册，必修4到1。
2。
1任意角的三角函数。
从卷面上看，必修1集合部分占29分，约占总分的18%。
函数概念与基本初等函数i部分140分，约占总分的88%。
必修4三角函数部分14分，占总分约为8。
5%。
从分值分布看基本合理。
（2）考试卷面题型分析。
卷面上只有填空和解答两种题型。
第i卷第1小题“设集合m=，则m∩n= ”为集合交集问题，放在此处对于学习能力差的同学较难。
第2题考查补集、子集问题。
第3小题为计算题，根式计算问题。
4，5，6，7为一般性问题应准确性还可以。
第10题为偶函数定义域为，要考虑端点关于原点对称，有不少学生不太熟悉这种形式。
第12题是关于恒成立问题，因为组内集体备课未强调，有的人讲，有的人没有讲，但也有很同学做对。
13题为考前讲过的原题答案为，但是在考场上没有做出来的还是很多。
14题较难考虑画图后比较端点大小，没有讲过这种问题的班级做对的学生很少。
第ii卷解答题15题一般性集合问题，16题一般性二次函数问题，考查奇偶性，图象，单调区间，值域等等。
17题为三角函数问题，学生初学又没有复习深化，大多数人被扣分，对m的讨论不全。
第1小题对第2小题有诱导错误嫌疑。
18题因为没有将分段函数总结在一起扣分，其实扣分也不太合理。
19题，第1小题用定义证明单调性过程比较规范，第2小题有同学用特值法求出m的值但缺少验证奇函数过程。
20题，较难要求学生有较强的思维能力和表达能力。
一般学生只能做第1小题和部分第2小题，第3小题较难又涉及到参数和恒成立问题，全校仅有数人能完整解答出来。
（3）考试成绩分析与反思高一（2）班为普通班，入学成绩较低一些，高一（24）班为二类重点班，入学成绩介于高分与低分之间。
从考试结果看，好的入学成绩的学生基本上考出较好成绩，差的入学成绩基本上考出一个差的成绩。
无论教育制度怎么改，量化出来的分数始终是最让师生关注的，总结大会上各级领导也基本上以分数或者分差多少来评论教师的个人业绩，多少年来似乎从未改变过。
2023-2024学年高一(上)期中数学试卷(带解析)
2023-2024学年高一（上）期中数学试卷一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3} 2．（5分）已知x∈R，p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是（）A．∃x∈（﹣∞，1]，x2+2＜0B．∃x∈（1，+∞），x2+2≥0C．∀x∈（1，+∞），x2+2＞0D．∀x∈（1，+∞），x2+2≥04．（5分）下列函数中，f（x）和g（x）表示同一个函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．f（x）＝|x+2|，5．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}且x1＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集为（）A．{x|x1＜x＜x2}B．{x|x＞x2或x＜x1}C．D．或6．（5分）已知函数，若函数f（x）＝max{﹣x+1，x2﹣3x+2，x﹣1}，则函数f（x）的最小值为（）A．0B．1C．2D．37．（5分）已知正实数x，y满足2x+y+6＝xy，记xy的最小值为a；若m，n＞0且满足m+n＝1，记的最小值为b．则a+b的值为（）A．30B．32C．34D．368．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且f（1）＝a，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）的值为（）A．96B．98+a C．102D．104﹣a二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）下列不等关系一定成立的是（）A．若a＞b，则B．若，则ab＞0C．若，则a＞0＞bD．若a＞b，a2＞b2，则a＞b＞0（多选）10．（5分）已知x∈（1，+∞），下列最小值为4的函数是（）A．y＝x2﹣4x+8B．C．D．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件B．“0＜a＜4”是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件C．“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件D．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件（多选）12．（5分）已知x，y＞0且满足x2+y2+1＝（xy﹣1）2，则下列结论正确的是（）A．xy≥2B．x+y≥4C．x2+y2≥8D．x+4y≥9三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为．14．（5分）已知函数f（x）满足，则函数f（x）的解析式为．15．（5分）已知函数，则f（﹣26）+f（﹣25）+⋯+f（﹣1）+f （1）+⋯+f（26）+f（27）的值为．16．（5分）已知x，y＞0且满足x+y＝1，若不等式恒成立，记的最小值为n，则m+n的最小值为．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）当m＝3时，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝（2m2﹣m）x2m+3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）求实数m的值；（2）若不等式（a﹣1）m＜（2a﹣3）m成立，求实数a的取值范围．19．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）求不等式|f（x）|≥3的解集．20．（12分）某高科技产品投入市场，已知该产品的成本为每件1000元，现通过灵活售价的方式了解市场，通过多日的市场销售数据统计可得，某店单日的销售额与日产量x（件）有关．当1≤x≤3时，单日销售额为（千元）；当3≤x≤6时，单日销售额为（千元）；当x＞6时，单日销售额为21（千元）．（1）求m的值，并求该产品日销售利润P（千元）关于日产量x（件）的函数解析式；（销售利润＝销售额﹣成本）（2）当日产量x为何值时，日销售利润最大？并求出这个最大值．21．（12分）已知a，b，c是实数，且满足a+b+c＝0，证明下列命题：（1）“a＝b＝c＝0”是“ab+bc+ac＝0”的充要条件；（2）“abc＝1，a≥b≥c”是“”的充分条件．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝1，f（1）＝3．（1）若函数f（x）有最小值，且此最小值为，求函数f（x）的解析式；（2）记g（a）为函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，求g（a）的表达式．2023-2024学年高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3}【分析】结合交集的定义，即可求解．【解答】解：集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}＝{x|0＜x＜2}，故A∩B＝{1}．故选：B．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2．（5分）已知x∈R，p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据题意，解绝对值不等式得1＜x＜3，结合充要条件的定义加以判断，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，|x﹣2|＜1⇒﹣1＜x﹣2＜1⇒1＜x＜3，由|x﹣2|＜1可以推出1＜x＜5，且由1＜x＜5不能推出|x﹣2|＜1．因此，若p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查不等式的性质、充要条件的判断等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．3．（5分）命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是（）A．∃x∈（﹣∞，1]，x2+2＜0B．∃x∈（1，+∞），x2+2≥0C．∀x∈（1，+∞），x2+2＞0D．∀x∈（1，+∞），x2+2≥0【分析】根据命题的否定的定义，即可求解．【解答】解：命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是：∀x∈（1，+∞），x2+2≥0．故选：D．【点评】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．4．（5分）下列函数中，f（x）和g（x）表示同一个函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．f（x）＝|x+2|，【分析】观察函数三要素，逐项判断是否同一函数．【解答】解：由题意得：选项A定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）中，x≠0；选项B定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）中，x≠0；选项C对应法则不同，g（x）＝|x|；D项，三要素相同，为同一函数．故选：D．【点评】本题考查同一函数的判断，属于基础题．5．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}且x1＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集为（）A．{x|x1＜x＜x2}B．{x|x＞x2或x＜x1}C．D．或【分析】由题意可知，a＜0，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，再结合韦达定理求解即可．【解答】解：根据题意：a＜0，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，所以，，，，解得，即不等式的解集为{x|}．故选：C．【点评】本题主要考查了韦达定理的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．6．（5分）已知函数，若函数f（x）＝max{﹣x+1，x2﹣3x+2，x﹣1}，则函数f（x）的最小值为（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据函数f（x）的定义可知，在一个坐标系中画出y＝﹣x+1，y＝x2﹣3x+2，y ＝x﹣1的图象，取最上面的部分作为函数f（x）的图象，由图象即可求出函数的最小值．【解答】解：根据题意，在同一个直角坐标系中，由﹣x+1＝x2﹣3x+2，得x2﹣2x+1＝0，解得x＝1；由x2﹣3x+2＝x﹣1，得x2﹣4x+3＝0，解得x＝3或x＝1，所以f（x）＝，同时画出函数y＝﹣x+1，y＝x2﹣3x+2，y＝x﹣1，如图分析：所以函数f（x）的最小值为0．故选：A．【点评】本题考查利用函数的图象求函数的最值，属中档题．7．（5分）已知正实数x，y满足2x+y+6＝xy，记xy的最小值为a；若m，n＞0且满足m+n＝1，记的最小值为b．则a+b的值为（）A．30B．32C．34D．36【分析】由已知结合基本不等式先求出xy的范围，即可求a，然后利用乘1法，结合基本不等式可求b，进而可求a+b．【解答】解：∵xy＝2x+y+6+6，当且仅当2x＝y，即x＝3，y＝6时取等号，∴a＝18．∵m+n＝1，m＞0，n＞0．则＝6，当且仅当n＝3m且m+n＝1，即m＝，n＝时取等号，∴，∴b＝16；∴a+b＝34．故选：C．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．8．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且f（1）＝a，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）的值为（）A．96B．98+a C．102D．104﹣a【分析】由已知结合函数的对称性先求出函数的周期，然后结合对称性及周期性即可求解．【解答】解：根据题意：函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，可得函数f（x）关于点（2，2）成中心对称，函数f（x）满足f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，所以函数f（x）关于x＝1对称，所以函数f（x）既关于x＝1成轴对称，同时关于点（2，2）成中心对称，所以f（2）＝2，T＝4，又因为f（1）＝a，所以f（3）＝4﹣a，f（4）＝f（﹣2）＝f（﹣2+4）＝f（2）＝2，所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝a+2+4﹣a+2＝8，所以f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）+f（3）＝12×8+a+2+4﹣a＝102．故选：C．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，对称性及周期性在函数求值中的应用，属于中档题．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）下列不等关系一定成立的是（）A．若a＞b，则B．若，则ab＞0C．若，则a＞0＞bD．若a＞b，a2＞b2，则a＞b＞0【分析】由已知举出反例检验选项A，D；结合不等式的性质检验B，C即可判断．【解答】解：当a＝1，b＝﹣1时，A显然错误；若，则＝＜0，所以ab＞0，B正确；若，即b﹣a＜0，则＝＞0，所以ab＜0，所以b＜0＜a，C正确；当a＝2，b＝﹣1时，D显然错误．故选：BC．【点评】本题主要考查了不等式的性质在不等式大小比较中的应用，属于基础题．（多选）10．（5分）已知x∈（1，+∞），下列最小值为4的函数是（）A．y＝x2﹣4x+8B．C．D．【分析】根据二次函数的性质检验选项A，结合基本不等式检验选项BCD即可判断．【解答】解：根据题意：选项A，y＝x2﹣4x+8，根据二次函数的性质可知，x＝2时取最小值4，故选A；，当且仅当时取最小值，不在x∈（1，+∞）范围内，故选项B错误；选项C，＝，当且仅当，即x＝3时成立，故选项C正确；选项D，，令，原式为，当且仅当t＝，即t＝2时等式成立，不在范围内，故选项D错误．故选：AC．【点评】本题主要考查了基本不等式及二次函数性质在最值求解中的应用，属于中档题．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件B．“0＜a＜4”是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件C．“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件D．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义，对各个选项中的两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．【解答】解：对于选项A，a＞1，b＞1⇒a﹣1＞0，b﹣1＞0⇒（a﹣1）（b﹣1）＞0，反之，若（a﹣1）（b﹣1）＞0，则可能a＝b＝0，不能得出a＞1，b＞1．故“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件，A正确；对于选项B，ax2+ax+1＞0在R上恒成立，当a＝0时，可得1＞0恒成立，而区间（0，4）上没有0，故“0＜a＜4”不是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件，B不正确；对于选项C，f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增，可以推出是a⩽2的子集，故“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的充分不必要条件，C不正确；对于选项D，a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＝a2（a+b）﹣a（a+b）+（a+b）＝（a+b）（a2﹣a+1），，ab＞0⇎（a+b）＞0，因此，“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件，D正确．故选：AD．【点评】本题主要考查了充分条件与必要条件的判断、不等式的性质、二次函数的单调性等知识，属于基础题．（多选）12．（5分）已知x，y＞0且满足x2+y2+1＝（xy﹣1）2，则下列结论正确的是（）A．xy≥2B．x+y≥4C．x2+y2≥8D．x+4y≥9【分析】将所给等式化简整理，得到（x+y）2＝x2y2，结合x，y＞0可得x+y＝xy，．由此出发对各个选项逐一加以验证，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，x2+y2+1＝（xy﹣1）2，即x2+y2＝x2y2﹣2xy，整理得x2+y2+2xy ＝x2y2，所以x2+y2+2xy＝x2y2，即（x+y）2＝x2y2，而x、y均为正数，故x+y＝xy，可得．对于A，，两边平方得x2y2≥4xy，可得xy≥4，故A错误；对于B，由A的计算可知x+y＝xy≥4，当且仅当x＝y＝2时取到等号，故B正确；对于C，x2+y2＝x2y2﹣2xy＝（xy﹣1）2+1≥32﹣1＝8，当且仅当x＝y＝2时取到等号，故C正确；对于D，，当且仅当x＝2y，即时取到等号，故D正确．故选：BCD．【点评】本题主要考查了不等式的性质、基本不等式及其应用等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为[﹣2，1]．【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：函数∴﹣x2﹣x+2⩾0，解得﹣2⩽x⩽1．∴函数的定义域为[﹣2，1]．故答案为：[﹣2，1]．【点评】本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．14．（5分）已知函数f （x ）满足，则函数f （x ）的解析式为．【分析】利用解方程组的方法求函数解析式即可．【解答】解：根据题意：①，令代替x ，可得②，①﹣②×2得：，∴函数f （x ）的解析式为．故答案为：．【点评】本题考查求函数解析式，属于基础题．15．（5分）已知函数，则f （﹣26）+f （﹣25）+⋯+f （﹣1）+f（1）+⋯+f （26）+f （27）的值为．【分析】根据已知条件，结合偶函数的性质，即可求解．【解答】解：令函数，可得函数f （x ）＝g （x ）+2，∵函数为奇函数，∴g （﹣x ）＝﹣g （x ）⇒g （﹣x ）+g （x ）＝0，f （﹣26）+f （﹣25）+⋯+f （﹣1）+f （1）+⋯+f （26）+f （27）＝g （﹣26）+g （﹣25）+⋯+g （﹣1）+g （1）+⋯+g （26）+g （27）+2×53＝g （27）+2×53＝．故答案为：．【点评】本题主要考查函数值的求解，属于基础题．16．（5分）已知x ，y ＞0且满足x +y ＝1，若不等式恒成立，记的最小值为n ，则m +n 的最小值为．【分析】由恒成立，可知左边的最小值大于等于9，因此求的最小值，结合基本不等式求出m+n的最小值．【解答】解：∵实数x，y＞0满足x+y＝1，∴x+y+1＝2，而＝，当时，等号成立，所以，解得m⩾8．而＝，令，则原式，当时，等号成立，∴实数n的值为，可得实数m+n的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考查基本不等式及其应用，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）当m＝3时，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【分析】（1）把m＝3代入求得B，再由并集运算求解；（2）“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，得B⫋A，然后分B＝∅和B≠∅分别求解m 的范围，取并集得答案．【解答】解：（1）∵集合A＝{x|x2﹣2x﹣3⩽0}，由x2﹣2x﹣3⩽0，即（x+1）（x﹣3）⩽0，解得﹣1⩽x⩽3，∵集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}，当m＝3时，即B＝{x|2＜x＜7}，∴A∪B＝{x|﹣1⩽x＜7}．（2）“x∈A”足“x∈B”的必要不充分条件，可得集合B是集合A的真子集，当m﹣1⩾2m+1⇒m⩽﹣2时，集合B为空集，满足题意；当m﹣1＜2m+1⇒m＞﹣2时，集合B是集合A的真子集，可得，∴实数m的取值范围为{m|m⩽﹣2或0⩽m⩽1}．【点评】本题考查并集的运算，考查分类讨论思想，是中档题．18．（12分）已知函数f（x）＝（2m2﹣m）x2m+3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）求实数m的值；（2）若不等式（a﹣1）m＜（2a﹣3）m成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）结合幂函数的性质，以及偶函数的性质，即可求解；（2）结合函数的性质，即可求解．【解答】解：（1）由题意可知，2m2﹣m＝1，解得m＝或1，又∵函数f（x）关于y轴对称，当，满足题意；当m＝1⇒f（x）＝x5，此时函数f（x）为奇函数，不满足题意，∴实数m的值为；（2）函数，分析可得该函数在（0，+∞）单调递减，∴由（a﹣1）m＜（2a﹣3）m可得：．∴实数a的取值范围为．【点评】本题主要考查函数的性质，是基础题．19．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）求不等式|f（x）|≥3的解集．【分析】（1）当x＜0时，﹣x＞0，代入已知函数解析式，对比函数解析式即可求解a，b；（2）结合奇函数的对称性及二次不等式的求法即可求解．【解答】解：（1）根据题意：当x＜0时，﹣x＞0，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[（﹣x）2+2（﹣x）]＝﹣x2+2x，故a＝﹣1，b＝2；（2）当x⩾0时，|f（x）|⩾3可得f（x）⩾3，即x2+2x⩾3⇒x2+2x﹣3⩾0，解得x⩾1，根据奇函数可得：|f（x）|⩾3的解集为{x|x⩾1或x⩽﹣1}．【点评】本题主要考查了奇函数的定义在函数解析式求解中的应用，还考查了奇函数的对称性在不等式求解中的应用，属于中档题．20．（12分）某高科技产品投入市场，已知该产品的成本为每件1000元，现通过灵活售价的方式了解市场，通过多日的市场销售数据统计可得，某店单日的销售额与日产量x（件）有关．当1≤x≤3时，单日销售额为（千元）；当3≤x≤6时，单日销售额为（千元）；当x＞6时，单日销售额为21（千元）．（1）求m的值，并求该产品日销售利润P（千元）关于日产量x（件）的函数解析式；（销售利润＝销售额﹣成本）（2）当日产量x为何值时，日销售利润最大？并求出这个最大值．【分析】（1）根据单日销售额函数，列方程求出m的值，再利用利润＝销售额﹣成本，即可得出日销售利润函数的解析式．（2）利用分段函数求出每个区间上的最大值，比较即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意知，单日销售额为f（x）＝，因为f（3）＝+6+3＝+9，解得m＝，因为利润＝销售额﹣成本，所以日销售利润为P（x）＝，化简为P （x ）＝．（2）根据题意分析：①日销售利润P （x ）＝+x +3＝+（x +1）+2，令t ＝x +1＝2，3，4，所以函数为，分析可得当t ＝2时，取最大值，其最大值为；②日销售利润P （x ）＝+2x ＝+2x ＝﹣+2x ，该函数单调递增，所以当x ＝6时，P （x ）取最大值，此最大值为15；③日销售利润P （x ）＝21﹣x ，该函数单调递减，所以当x ＝7时，P （x ）取最大值，此最大值为14；综上知，当x ＝6时，日销售利润最大，最大值为15千元．【点评】本题考查了分段函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．21．（12分）已知a ，b ，c 是实数，且满足a +b +c ＝0，证明下列命题：（1）“a ＝b ＝c ＝0”是“ab +bc +ac ＝0”的充要条件；（2）“abc ＝1，a ≥b ≥c ”是“”的充分条件．【分析】（1）根据完全平方公式，等价变形，可证出结论；（2）利用基本不等式，结合不等式的性质加以证明，即可得到本题的答案．【解答】证明：（1）∵（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，充分性：若a ＝b ＝c ＝0，则ab +bc +ac ＝0，充分性成立；必要性：若ab +bc +ac ＝0，由a +b +c ＝0，得（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，所以a 2+b 2+c 2＝0，可得a ＝b ＝c ＝0，必要性成立．综上所述，a ＝b ＝c ＝0是ab +bc +ac ＝0的充要条件；（2）由a ⩾b ⩾c ，且abc ＝1＞0，可知a ＞0，b ＜0，c ＜0，由a +b +c ＝0，得，当且仅当b ＝c 时等号成立，由，得，a 3⩾4，可知≤a ＝﹣b ﹣c ≤﹣2c ，解得，因此，abc＝1且a⩾b⩾c是的充分条件．【点评】本题主要考查等式的恒等变形、不等式的性质与基本不等式等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝1，f（1）＝3．（1）若函数f（x）有最小值，且此最小值为，求函数f（x）的解析式；（2）记g（a）为函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，求g（a）的表达式．【分析】（1）根据题意，由f（0）＝1，f（1）＝3分析可得f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，由二次函数的最小值求出a的值，进而计算可得答案；（2）根据题意，由二次函数的性质分a＞0与a＜0两种情况讨论，分析g（a）的解析式，综合可得答案．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝ax2+bx+c满足f（0）＝1，f（1）＝3，则有f（0）＝c＝1，f（1）＝a+b+c＝3，变形可得b＝2﹣a，函数f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，∵函数f（x）有最小值，∴a＞0，函数f（x）的最小值为＝，解可得：a＝4或1，∴当a＝4时，b＝﹣2，函数f（x）的解析式为f（x）＝4x2﹣2x+1；当a＝1时，b＝1，函数f（x）的解析式为f（x）＝x2+x+1．（2）根据题意，由（1）的结论，f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，是二次函数，分2种情况讨论：①当a＞0时，i．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（2）＝2a+5，ii．当对称轴时，与a＞0矛盾，故当a＞0时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝2a+5；②当a＜0时，i．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（1）＝3，ii．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，iii．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（2）＝2a+5．综上所述，【点评】本题考查函数的最值，涉及二次函数的性质，属于中档题．。
高一数学期中复习题
高一数学期中复习题一、代数部分1. 代数基础- 理解实数的概念，包括有理数和无理数。
- 掌握数的四则运算，包括加、减、乘、除。
- 熟练掌握乘方和开方的运算。
2. 代数表达式- 理解代数表达式的概念，包括多项式和单项式。
- 掌握同类项和合并同类项的方法。
- 理解多项式的加减法则。
3. 代数方程- 理解一元一次方程的解法，包括移项、合并同类项、系数化为1。
- 掌握一元二次方程的解法，包括直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法。
4. 不等式- 理解不等式的概念，包括不等式的解集和解不等式的方法。
- 掌握一元一次不等式的解法。
5. 指数与对数- 理解指数的概念，包括幂的运算法则。
- 掌握对数的定义，包括对数的运算法则。
二、几何部分1. 平面几何- 理解平面图形的基本性质，包括点、线、面、角、圆等。
- 掌握三角形的内角和定理，三角形的外角定理。
- 理解相似三角形的性质和判定方法。
2. 空间几何- 理解空间图形的基本性质，包括立体图形和空间角。
- 掌握空间图形的表面积和体积的计算方法。
3. 坐标几何- 理解坐标系的概念，包括直角坐标系和极坐标系。
- 掌握点的坐标表示方法，以及点与点之间的距离公式。
三、函数部分1. 函数的基本概念- 理解函数的概念，包括函数的定义、定义域和值域。
- 掌握函数的表示方法，包括解析法、列表法和图像法。
2. 函数的性质- 理解函数的单调性、奇偶性、周期性等基本性质。
- 掌握判断函数性质的方法。
3. 基本初等函数- 理解幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的性质和图像。
4. 三角函数- 掌握正弦、余弦、正切等三角函数的定义和性质。
- 理解三角函数的图像和周期性。
5. 函数的应用- 理解函数在实际问题中的应用，包括最值问题、优化问题等。
四、解析几何部分1. 直线与圆- 理解直线的方程，包括点斜式、斜截式和一般式。
- 掌握直线的斜率、截距的概念和计算方法。
- 理解圆的方程，包括标准式和一般式。
高一上学期期中考试数学试卷(必修一)
高一期中考试数学试卷考生注意：1. 本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分120分，考试时间120分钟。
2. 答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0. 5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题 的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本试卷主要命题范围：必修1全册。
一、选择题:本题共10小题,每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。
1.已知集合 1{2,0,,3},{2}2A B x x =--=≥-，则A B = A.10,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭ B.12,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ C.13,2,0,2⎧⎫--⎨⎬⎩⎭ D.12⎧⎫⎨⎬⎩⎭2.已知函数2()3(0)x f x a a -=+≠，则()f x 的图象过定点A.(0,4)B.(2,4)C. (0,3)D. (4,3)3•函数()326x f x x =+-的零点所在的区间是A. (-1,0)B. (0,1)C. (1,2)D. (2,3) 4. 已知函数在区间[5,20]上单调递增，则实数k 的取值范围是A. {40}B. [40,160]C.(,40]-∞D.[160.)+∞5. 若11221272,,log 327a b c --⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为 A. a b c << B. a c b << C.c b a << D. c a b << 6. 函数2()log ()21x f x x g x -==-与与在同一平面直角坐标系下的图象大致是7. 某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式为20.3210(00,)x y x x N -*=⨯+<<∈，若每台产品的售价为6万元，则当产量为8台时，生产者可获得的利润为A.. 18. 8 万元B. 19. 8 万元C. 20. 8 万元D. 29. 2 万元 8.已知定义在R 上的偶函数.在上单调递减，且(2)0f =，则满足不等式()0f x x >的x 的取值范围为 A. (0,2) B.(2,)+∞C.(,2)(0.2)-∞-D.(,2)(2,)-∞-+∞9. 若函数在区间(0,1)和区间(1,2)上均存在零点，则实数的取值范围是A. ()31-，-B.3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭C.30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D.31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭10. 若函数()f x 满足()()()(,)f x y f x f y x y R +=+∈，则下列各式不恒成立的是A.()()0f x f x -<B.(4)41f f =（）C.11(1)22f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ D.(0)0f = 二、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分。
2023—2024学年第一学期高一数学期中考试复习宝典
2023—2024学年第一学期高一数学期中考试复习宝典1.已知全集{}1,2,3,4,5U=，集合{}1,3,4A =，集合{}2,4B=，则()UA B=() A．{}2,4,5B．{}1,3,4C．{}1,2,4D．{}2,3,4,5【答案】A【解析】因为{}2,5UA=，{}2,4B=，所以(){}2,4,5UA B=2.已知集合{}(){}1,20M x x N x x x=<=−>，则M N=（）A. ()0,1 B. ()(),12,−∞+∞ C. ()1,0− D. ()(),21,−∞−−+∞【答案】B【解析】解绝对值不等式1x<得，11,x−<<解一元二次不等式()20x x−>得，0x<或2,x>故集合{}|11,M x x=−<<{}|02N x x x=<>或，()(),12,M N=−∞+∞，所以选B.已知集合{(,)|}A x y y x==，2{(,)|}B x y y x==，则A B的元素个数为()A．0 B．1 C．2 D．4【答案】C【时而习之】【不亦说乎】【考点一】集合与常用逻辑用语【解析】集合{(,)|}A x y y x==，2{(,)|}B x y y x==，{(A B x∴=，2)|}{(0,0)y xyy x=⎧=⎨=⎩，(1,1)}，元素个数为21.已知集合2{|60}A x x x=+−=，B{|10}x mx=+=，若B A⊆，则实数m的取值集合是()A．11,23⎧⎫−⎨⎬⎩⎭B．11,23⎧⎫−⎨⎬⎩⎭C．11,,023⎧⎫−⎨⎬⎩⎭D．11,,023⎧⎫−⎨⎬⎩⎭【答案】C【解析】{}A3,2=−因为B A⊆①当0m=时，B=∅，满足题意②当0m≠时，B中元素可表示为1xm=−若13m−=−，13m=若12m−=，12m=−∴m组成的集合是110,,23⎧⎫−⎨⎬⎩⎭，故选C．2.已知{|25}A x x=，{|121}B x m x m=+−，B A⊆，求m的取值范围．【答案】3m【解析】当121m m+>−，即2m<时，B=∅，满足B A⊆，即2m<；当121m m+=−，即2m=时，{}2B=，满足B A⊆，即2m=；当121m m+<−，即2m>时，由B A⊆得12{215mm+−−，即23m<．所以3m【时而习之】【考点二】根据集合间的关系求参已知集合3{|5}2A x x =−<，{|1B x x =<或2}x >，U R =． （1）求A B ，()U A C B ．（2）若{|2131}C x m x m =−<+，且BC U =，求m 的取值范围． 【答案】(1)322A B x x ⎧⎫=≤>⎨⎬⎩⎭或；()3{|1}2U A C B x x =(2)113m < 【解析】（1）集合3{|5}2A x x=−<，{|1B x x =<或2}x >， ∴322AB x x ⎧⎫=≤>⎨⎬⎩⎭或 U R =，{|1B x x =<或2}x >，{|12}UC B x x ∴=．∴()3{|1}2U A C B x x = （2）依题意得：2131211312m m m m −<+⎧⎪−<⎨⎪+⎩，即2113m m m ⎧⎪>−⎪<⎨⎪⎪⎩，∴113m <1.设,a b R ∈，则()20a b a −< 是a b <的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为()20a b a −<，20a ，所以有0a b −<，a b <；若a b <，当0a =时，有()20a b a −<，所以前者是后者的充分不必要条件【不亦说乎】【时而习之】【考点三】充分必要条件的判断2. 设 x ，y ∈R ，则“ 0x y >> ”是“ 1x y> ”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】“0x y >>”⇒“1x y >”，反之不成立，例如取 2x =−，1y =−． 因此“ 0x y >> ”是“1x y> ”的充分不必要条件．设集合{|0},{|03}1x A x B x x x =<=<<−，那么‘‘m A ∈''是‘‘m B ∈''的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】第一步：()0,1A =，()0,3B =；第二步：A 是B 的真子集，所以‘‘m A ∈''是‘‘m B ∈''的充分不必要条件，选A ．【不亦说乎】1. 命题“ x ∀∈Z ，使 2210x x +−< ”的否定为( )A ． x ∃∈Z ，2210x x +−≥B ． x ∃∈Z ，2210x x +−>C ． x ∀∈Z ，2210x x ++>D ． x ∀∈Z ，2210x x +−≥【答案】A【解析】由全称命题的否定为特称命题，可得命题“ x ∀∈Z ，使 2210x x +−< ”的否定为“ x ∃∈Z ，2210x x +−≥ ”2. 已知命题“[]1,2x ∃∈ 使得 220x x a ++“为真命题，则 a 的取值范围是________．【答案】[)8,∞−+【解析】根据题意可得：()2min2a x x −− 当 []1,2x ∈ 时，根据二次函数图象性质可得：()22min 22228x x −−=−−⨯=−，故 [)8,a ∞∈−+．若对任意x R ∈，不等式23324x ax x −≥−恒成立，则实数a 的取值范围是________． 【答案】[]11a ，∈−【解析】2233322344x ax x ax x x −≥−⇔≤−+ ①当0x >时，min 32314a x x ⎛⎫≤−+ ⎪⎝⎭，因为3331231244x x x x −+≥⋅−=，所有22a ≤，即1a ≤ ②当0x =时，不等式恒成立③当0x <时，max 32314a x x ⎛⎫≥++ ⎪⎝⎭，因为333113244x x x x ⎛⎫++=−−+≤− ⎪−⎝⎭，所有1a ≥− 综上，[]11a ，∈−【时而习之】【不亦说乎】【考点四】全称量词与存在量词1. 如果00a b c d <<>>，，那么一定有A. c d a b> B. c d a b< C. c d b a > D. c d b a < 【答案】D 【解析】由题意，不妨令2121a b c d =−=−==，，，，经检验A ，B ，C 错，故选D.2.下列不等式恒成立的是( )A ．222a b ab +B ．222a b ab +−C ．2||a b ab +D ．222a b ab +−【答案】B【解析】A ．显然当0a <，0b >时，不等式222a b ab +不成立，故A 错误；B ．2()0a b +，2220a b ab ∴++，222a b ab ∴+−，故B 正确；C ．显然当0a <，0b <时，不等式2||a b ab +不成立，故C 错误；D ．显然当0a >，0b >时，不等式222a b ab +−不成立，故D 错误．已知α，β满足11123αβαβ−+⎧⎨+⎩①②，试求3αβ+的取值范围． 【答案】略 【解析】解 设3()(2)v αβλαβαβ+=+++()(2)v v λαλβ=+++．比较α、β的系数，得123v v λλ+=⎧⎨+=⎩， 【时而习之】 【不亦说乎】 【考点五】不等式性质从而解出1λ=−，2v =． 分别由①、②得11αβ−−−，2246αβ+， 两式相加，得137αβ+．故3αβ+的取值范围是[1，7]．1. 已知x ，y R +∈，且满足131x y +=，则3x y +的最小值为( ) A ．9B ．10C ．12D ．16 【答案】B【解析】解：131x y+=， 133(3)()x y x y x y ∴+=++33331010216y x y x x y x y=+++=， 当且仅当33y x x y=且131x y +=，即4x y ==时取等号，故选：D ．2.已知1x >，0y >，且1211x y +=−，则2x y +的最小值为( ) A ．9B ．10C ．11D ．726+ 【答案】B【解析】解：1x >，10x ∴−>，又0y >，且1211x y +=−， 2(1)21x y x y ∴+=−++12[(1)2]()11x y x y=−+++−22(1)61y x x y −=++− 22(1)621y x x y−+−10=， 当且仅当22(1)1y x x y −=−，即4x =，3y =时等号成立，故2x y +的最小值为10．故选：B ．【时而习之】【考点六】基本不等式已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是______ ． 【答案】45【解析】解：方法一、由22451x y y +=，可得42215y x y −=， 由20x ，可得2(0y ∈，1]，则44222222211411(4)555y y x y y y y y y −++=+==+ 221142455y y =，当且仅当212y =，2310x =，可得22x y +的最小值为45； 方法二、222222222254254(5)4()()24x y y x y y x y ++=+=+，故2245x y +， 当且仅当222542x y y +==，即212y =，2310x =时取得等号，可得22x y +的最小值为45． 故答案为：45．1. 已知不等式20+−<x bx c 的解集为{}36<<x x ，则不等式()2120−++−>bx c x 的解集为( )A. 129或⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭x x x B.129⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭x x C.129或⎧⎫<−>⎨⎬⎩⎭x x x D.129⎧⎫−<<⎨⎬⎩⎭x x 【答案】C【解析】由题可得，20+−=x bx c 的两根为123,6==x x ，根据韦达定理可得9=18−⎧⎨=−⎩b c ，解得=918，−=−b c ，则原式可化简为291720−−>x x ，解得129或⎧⎫<−>⎨⎬⎩⎭x x x 。
高中数学必修第一册期中复习【过关测试】解析版
期中复习过关测试(考试时间：120分钟试卷满分：150分)一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1∙6题每题4分，第7∙12题每题5分)考生应在答题 纸的相应位置直接填写结果.1. ___________________________________________________________ 若全集U = {1,2,3,4,5,6}, A = {2,4,5}, B = {l,2,5},则G(AUB)= __________________ ,【答案】{3,6}【分析】先计算出AU 再利用补集的定义可求出集合C(AUB).【详解】由题意可得AUB = {1,2,4,5},因此，Q r (AUB) = {3,6},故答案为{3,6}.【点睛】本题考查集合的并集与补集的运算，解题的关键就是集合并集与补集的定义，考查 计算能力，属于基础题.Z 、 ax 2+x-∖(x>2) 2. 函数f(x) = ∖ I Z "小 ____________________________ 是R 上的单调递减函数，则实数Q 的取值范围是 _______________________________________ ・7 -x + l(x≤2)1【答案】【分析】根据函数单调性定义，即可求得实数d 的取值范围.Z Xax 2 +x-l(x > 2)【详解】因为函数/(χ) = i Ir 是R 匕的单调递减函数-x + ∖(x≤2) a <0 -丄≤22a4d + 2-l≤-2 + l解不等式组可的≤冷1BIJ a ∈ Y),—一2」所以选A【点睛】本题考查了分段函数单调性的应用，根据函数单调性求参数的取值范围，属丁-中档题.3.___________________________________________________________ 若不等式√+6∕Λ-+l≥0对一切Xe(O,I恒成立，则d的最小值是_____________________ .【分析】分离参数，将问题转化为求函数/(X) = -X-丄最大值的问题，则问题得解.［详解】不等式X2 +ax + ∖≥0对一切* 4°弓成立» 等价X—丄対「•一切兀』0丄成立.设fW = -X—丄，则α ≥ /(^)maχ ・X∣λ］为函数/(Λ∙)在区间(°，# I ••是増函数，/ 1A 5 5 S所ma=f - =_亍所以α≥--,所以α的最小值为-巳•\ 2 7 2 2 2故答案为：一一・2【点睛】本题考查由一元二次不等式恒成立求参数范围的问题，属基础题.4.__________________________________________________ 若正数x,y满足x÷3y = 5x)∖则3x + 4y的最小值是 _________________________________ .=5 ♦ 【答案】51 3试题分析：∙∙∙X + 3y = 5ΛJ ∖x>O.y >0,Λ-+ —= 1,Jy JX3 V 1? V 仲仅际二盏即Z 円时取等号.考点：基本不等式5若不等式曲+&—訂。
【必考题】高一数学上期中试题(及答案)
【必考题】高一数学上期中试题(及答案)一、选择题1．已知函数()1ln 1xf x x -=+，则不等式()()130f x f x +-≥的解集为（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．11,32⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．12,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭2．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ）A ．(10)(1)-⋃+∞，， B ．(1)(01)-∞-⋃，， C ．(1)(1)-∞-⋃+∞，， D ．(10)(01)-⋃，， 3．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④ C ．①④ D ．①③4．1()xf x e x=-的零点所在的区间是（ ） A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．3(1,)2D ．3(,2)25．设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则A B =A ．{}123,4，，B ．{}123，，C ．{}234，，D ．{}134，， 6．设x ∈R ，若函数f （x ）为单调递增函数，且对任意实数x ，都有f （f （x ）-e x ）=e +1（e 是自然对数的底数），则f （ln1.5）的值等于（ ） A ．5.5B ．4.5C ．3.5D ．2.57．已知函数2()log (23)(01)a f x x x a a =--+>≠,，若(0)0f <，则此函数的单调减区间是（） A ．(,1]-∞-B ．[1)-+∞，C ．[1,1)-D ．(3,1]--8．定义在R 上的奇函数()f x 满足()1(2)f x f x +=-，且在()0,1上()3xf x =，则()3log 54f =（ ）A ．32B ．23-C ．23D ．32-9．函数()2log ,0,2,0,x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩则函数()()()2384g x f x f x =-+的零点个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．610．已知()()2,11,1x x f x f x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()2log 7f =（ ）A ．7B ．72C ．74D ．7811．函数2y 34x x =--+的定义域为（ ）A ．(41)--，B ．(41)-，C ．(11)-，D ．(11]-， 12．已知函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，若实数a 满足()()120f a f a +->，则a 的取值范围是（ ） A ．()1,1-B ．()0,1C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题13．已知函数2()121()f x ax x ax a R =+++-∈的最小值为0，则实数a =_________.14．1232e 2(){log (1)2x x f x x x ，，-<=-≥，则f （f （2））的值为____________．15．已知1240x x a ++⋅>对一切(],1x ∞∈-上恒成立，则实数a 的取值范围是______． 16．已知()f x 是定义在[)(]2,00,2-⋃上的奇函数，当0x >，()f x 的图象如图所示，那么()f x 的值域是______．17．非空有限数集S 满足：若,a b S ∈，则必有ab S ∈．请写出一个．．满足条件的二元数集S ＝________．18．已知函数42()(0)f x x ax bx c c =+++<，若函数是偶函数，且4((0))f f c c =+，则函数()f x 的零点共有________个.19．函数2()log 1f x x =-________．20．已知函数()266,34,x x f x x ⎧-+=⎨+⎩0x x ≥<，若互不相等的实数1x ，2x ，3x 满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是__________． 三、解答题21．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x <0时，()111f x x =+-. (1)求f (2)的值；(2)用定义法判断y ＝f (x )在区间(－∞，0）上的单调性． (3)求0()x f x >时，的解析式 22．已知2256x ≤且21log 2x ≥，求函数22()log log 22x xf x =⋅的最大值和最小值． 23．已知函数()f x 对任意的实数m ,n 都有()()()1f m n f m f n +=+-,且当0x >时,有()1f x >.(1)求()0f ;(2)求证:()f x 在R 上为增函数;(3)若()12f =,且关于x 的不等式()()223f ax f x x -+-<对任意的[)1,x ∈+∞恒成立,求实数a 的取值范围. 24．计算下列各式的值：（Ⅰ)322log 3lg25lg4log (log 16)++- （Ⅱ）2102329273()( 6.9)()()482-----+25．函数是奇函数．求的解析式；当时，恒成立，求m 的取值范围．26．有一种候鸟每年都按一定的路线迁陟，飞往繁殖地产卵．科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数301log lg 2100xv x =-，单位是min km ，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，0x 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．（参考数据：lg 20.30=， 1.23 3.74=， 1.43 4.66=）（1）若02x =，候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位时，它的飞行速度是多少min km ？ （2）若05x =，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（3）若雄鸟的飞行速度为2.5min km ，雌鸟的飞行速度为1.5min km ，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D 解析：D 【解析】 【分析】根据题意可得函数()f x 的奇偶性以及单调性，据此原不等式转化为()()31f x f x ≥-，求解可得x 的取值范围，即可得出结论． 【详解】根据题意，函数()1ln 1xf x x-=+， 则有101xx->+，解可得11x -<<， 即函数的定义域为()1,1-，关于原点对称， 又由()()11lnln 11x xf x f x x x+--==-=--+， 即函数()f x 为奇函数， 设11xt x -=+，则y lnt =， 12111x t x x -==-++，在()1,1-上为减函数， 而y lnt =在()0,∞+上为增函数， 故()1ln1xf x x-=+在区间()1,1-上为减函数， ()()()()13013f x f x f x f x +-≥⇒≥-- ()()3131111311x x f x f x x x ≤-⎧⎪⇒≥-⇒-<<⎨⎪-<-<⎩，解可得：1223x ≤<，即不等式的解集为12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭； 故选:D ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，解题时不要忽略函数的定义域，属于中档题．2．D解析：D 【解析】由f (x )为奇函数可知，()()f x f x x--＝()2f x x<0.而f (1)＝0，则f (－1)＝－f (1)＝0. 当x >0时，f (x )<0＝f (1)； 当x <0时，f (x )>0＝f (－1)． 又∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴奇函数f (x )在(－∞，0)上为增函数． 所以0<x <1，或－1<x <0. 选D点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内3．C解析：C 【解析】 【分析】化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案． 【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．【点睛】画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．4．B解析：B 【解析】函数f （x ）=e x ﹣1x 是（0，+∞）上的增函数，再根据f （12）2＜0，f （1）=e ﹣1＞0，可得f （12）f （1）＜0，∴函数f （x ）=e x ﹣1x 的零点所在的区间是（12，1），故选B ．点睛：判定函数的零点所在区间，只需计算区间端点处的函数值，并判断是否异号，只要异号，则区间内至少有一个零点存在.5．A解析：A 【解析】 由题意{1,2,3,4}AB ，故选A.点睛:集合的基本运算的关注点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．6．D解析：D 【解析】 【分析】利用换元法 将函数转化为f （t ）=e+1，根据函数的对应关系求出t 的值，即可求出函数f （x ）的表达式，即可得到结论 【详解】 设t=f （x ）-e x ，则f （x ）=e x +t ，则条件等价为f （t ）=e+1， 令x=t ，则f （t ）=e t +t=e+1， ∵函数f （x ）为单调递增函数， ∴t=1， ∴f （x ）=e x +1，即f （ln5）=e ln1.5+1=1.5+1=2.5， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键．7．D解析：D 【解析】 【分析】求得函数()f x 的定义域为(3,1)-，根据二次函数的性质，求得()223g x x x =--+在(3,1]--单调递增，在(1,1)-单调递减，再由(0)0f <，得到01a <<，利用复合函数的单调性，即可求解. 【详解】由题意，函数2()log (23)a f x x x =--+满足2230x x --+>，解得31x -<<，即函数()f x 的定义域为(3,1)-，又由函数()223g x x x =--+在(3,1]--单调递增，在(1,1)-单调递减，因为(0)0f <，即(0)log 30a f =<，所以01a <<，根据复合函数的单调性可得，函数()f x 的单调递减区间为(3,1]--， 故选D. 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．D解析：D 【解析】 【分析】由题意结合函数的性质整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得：()354f log =()3log 23f +， 则()354f log =()31log 21f -+，且()()331log 21log 21f f +=--， 由于()3log 211,0-∈-，故()()31log 2333log 211log 232f f --=--=-=-，据此可得：()()3312log 21log 213f f +=-=-，()354f log =32-.本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．A解析：A 【解析】 【分析】通过对()g x 式子的分析，把求零点个数转化成求方程的根，结合图象，数形结合得到根的个数，即可得到零点个数．【详解】 函数()()()2384g x f x f x =-+=()()322f x f x --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的零点即方程()23f x =和()2f x =的根， 函数()2log ,0,2,0x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩的图象如图所示：由图可得方程()23f x =和()2f x =共有5个根， 即函数()()()2384g x f x f x =-+有5个零点,故选：A . 【点睛】本题考查函数的零点与方程的根的个数的关系，注意结合图象，利用数形结合求得结果时作图很关键，要标准．10．C解析：C 【解析】 【分析】根据函数的周期性以及分段函数的表达式，结合对数的运算法则，代入即可得到结论． 【详解】2222log 4log 7log 83=<<=，20log 721∴<-<，()()2log 72227log 7log 7224f f -∴=-==. 故选：C . 【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据分段函数的表达式以及函数的周期性进行转化是解决本题的关键．11．C解析：C 【解析】要使函数有意义，需使210{340x x x +>--+>，即1{41x x >--<<，所以1 1.x -<<故选C12．B解析：B 【解析】 【分析】求出函数()y f x =的定义域，分析函数()y f x =的单调性与奇偶性，将所求不等式变形为()()21f a f a >-，然后利用函数()y f x =的单调性与定义域可得出关于实数a 的不等式组，即可解得实数a 的取值范围. 【详解】对于函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，有1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<， 则函数()y f x =的定义域为()1,1-，定义域关于原点对称，()()()()ln 1ln 1f x x x f x -=--+=-，所以，函数()y f x =为奇函数，由于函数()1ln 1y x =+在区间()1,1-上为增函数，函数()2ln 1y x =-在区间()1,1-上为减函数，所以，函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--在()1,1-上为增函数， 由()()120f a f a +->得()()()1221f a f a f a >--=-，所以，11112121a a a a -<<⎧⎪-<-<⎨⎪>-⎩，解得01a <<.因此，实数a 的取值范围是()0,1. 故选：B. 【点睛】本题考查函数不等式的求解，解答的关键就是分析函数的单调性和奇偶性，考查计算能力，属于中等题.二、填空题13．【解析】【分析】设计算可得再结合图象即可求出答案【详解】解：设则则由于函数的最小值为0作出函数的大致图象结合图象得所以故答案为：【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质考查转化思想考查数形结合思想属解析：±1. 【解析】【分析】 设2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，计算可得2(),()()()2(),()()g x g x h x f x h x g x h x ≥⎧=⎨<⎩，再结合图象即可求出答案． 【详解】解：设2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，则22()()1g x x ax h x x ⎧=+⎨=-⎩， 则()()()()()f x g x h x g x h x =++-2(),()()2(),()()g x g x h x h x g x h x ≥⎧=⎨<⎩， 由于函数()f x 的最小值为0，作出函数()g x ，()h x 的大致图象，结合图象，210x -=，得1x =±， 所以1a =±， 故答案为：±1． 【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质，考查转化思想，考查数形结合思想，属于中档题．14．2【解析】【分析】先求f （2）再根据f （2）值所在区间求f （f （2））【详解】由题意f （2）=log3（22–1）=1故f （f （2））=f （1）=2×e1–1=2故答案为：2【点睛】本题考查分段函数解析：2 【解析】 【分析】先求f （2），再根据f （2）值所在区间求f （f （2））. 【详解】由题意，f （2）=log 3（22–1）=1，故f （f （2））=f （1）=2×e 1–1=2，故答案为：2． 【点睛】本题考查分段函数求值，考查对应性以及基本求解能力.15．【解析】【分析】根据题意分离出参数a 后转化为求函数的最值即可通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值【详解】可化为令由得则在上递减当时取得最大值为所以故答案为【点睛】本题考查二次函数的性质函数恒成立解析：3,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据题意分离出参数a 后转化为求函数的最值即可，通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值． 【详解】1240xxa ++⋅>可化为212224xx x x a --+>-=--，令2x t -=，由(],1x ∈-∞，得1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭， 则2a t t >--，2213()24t t t --=-++在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递减，当12t =时2t t --取得最大值为34-，所以34a >-． 故答案为3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查二次函数的性质、函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生解决问题的能力．属中档题.16．【解析】【分析】先根据函数的奇偶性作出函数在y 轴左侧的图象欲求的值域分两类讨论：；结合图象即可解决问题【详解】是定义在上的奇函数作出图象关于原点对称作出其在y 轴左侧的图象如图由图可知：的值域是故答案 解析：][()2,33,2⋃--【解析】 【分析】先根据函数的奇偶性作出函数在y 轴左侧的图象，欲求()f x 的值域，分两类讨论：0x >①；0.x <②结合图象即可解决问题．【详解】()f x 是定义在(][2,00,2-⋃上的奇函数，∴作出图象关于原点对称作出其在y 轴左侧的图象，如图．由图可知：()f x 的值域是][()2,33,2⋃--． 故答案为][()2,33,2⋃--． 【点睛】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．17．{01}或{－11}【解析】【分析】因中有两个元素故可利用中的元素对乘法封闭求出这两个元素【详解】设根据题意有所以必有两个相等元素若则故又或所以（舎）或或此时若则此时故此时若则此时故此时综上或填或【解析：{0,1}或{－1,1}， 【解析】 【分析】因S 中有两个元素，故可利用S 中的元素对乘法封闭求出这两个元素． 【详解】设{}(),S a b a b =<，根据题意有22,,a ab b S ∈，所以22,,a b ab 必有两个相等元素．若22a b =，则=-a b ，故2ab a =-，又2a a =或2a b a ==-，所以0a =（舎）或1a =或1a =-，此时{}1,1S =-．若 2a ab =，则0a =，此时2b b =，故1b = ，此时{}0,1S =． 若2b ab =，则0b =，此时2a a =，故1a =，此时{}0,1S =． 综上，{}0,1S =或{}1,1S =-，填{}0,1或{}1,1-． 【点睛】集合中元素除了确定性、互异性、无序性外，还有若干运算的封闭性，比如整数集，对加法、减法和乘法运算封闭，但对除法运算不封闭（两个整数的商不一定是整数），又如有理数集，对加法、减法、乘法和除法运算封闭，但对开方运算不封闭．一般地，若知道集合对某种运算封闭，我们可利用该运算探究集合中的若干元素．18．2【解析】因为是偶函数则解得又所以故令所以故有2个零点点睛：本题涉及函数零点方程图像等概念和知识综合性较强属于中档题一般讨论函数零点个数问题都要转化为方程根的个数问题或两个函数图像交点的个数问题本题解析：2 【解析】因为()42(0)f x x ax bx c c =+++<是偶函数，则()()f x f x -=，解得0b =，又()()4240()f f f c c ac c c c ==++=+，所以0a =，故4()f x x c =+，令4()0f x x c =+=，40x c =->，所以x =2个零点.点睛：本题涉及函数零点，方程，图像等概念和知识，综合性较强，属于中档题.一般讨论函数零点个数问题，都要转化为方程根的个数问题或两个函数图像交点的个数问题，本题由于涉及函数为初等函数，可以考虑方程来解决，转化为方程根的个数，同时注意偶函数性质在本题中的应用.19．2+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式解对数不等式得函数定义域详解：要使函数有意义则解得即函数的定义域为点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题解析：[2，+∞） 【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.详解：要使函数()f x 有意义，则2log 10x -≥，解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为[2,)+∞.点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.20．【解析】【分析】画出分段函数的图像由图像结合对称性即可得出【详解】函数的图像如下图所示不妨设则关于直线对称所以且满足则故的取值范围是【点睛】解决本题的关键是要会画分段函数的图像由图像结合对称性经过计解析：11(,6)3【解析】 【分析】画出分段函数的图像，由图像结合对称性即可得出。
高一数学期中知识点总结
高一数学期中知识点总结一、代数与函数1.1 多项式多项式的定义：一类数学表达式，由常数和变量的乘积相加或相减而得。
多项式的运算法则：加法法则、减法法则、乘法法则。
多项式的因式分解：将多项式表示成不可再分的乘积形式。
1.2 方程与不等式一元一次方程：形如ax + b = 0的方程，其中a、b为已知常数且a ≠ 0。
一元二次方程：形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知常数且a ≠ 0。
线性不等式：形如ax + b > 0或ax + b < 0的不等式。
1.3 函数与图像函数的定义：映射关系，一个集合的每个元素与另一个集合中的唯一一个元素相对应。
函数的性质：奇函数和偶函数、单调性、最大值与最小值、零点与图像在坐标轴上的交点等。
图像的平移、翻折、伸缩等变换。
二、平面几何2.1 直线与角直线与角的性质：平行线的判定条件、垂直线的判定条件、同位角、内错角等。
角的度量：角度的单位、同名弧、弧度制与角度制的转换。
2.2 三角形三角形分类：按照边长分类（等边三角形、等腰三角形、普通三角形）、按照角度分类（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）。
三角形的性质：三角形内角和定理、三角形外角和定理、三边关系（三角不等式）等。
2.3 圆与圆周角圆的构造与性质：圆心角、弦长、弦心距、切线等。
弦的性质：弦切角、弦弦角、切线与切线的性质等。
2.4 向量向量的表示与性质：向量的定义、向量的运算（加法、数乘）、向量的模、方向角和坐标表示等。
三、立体几何3.1 空间几何基础知识空间中的点、线、面的定义与性质。
3.2 四面体四面体的分类：四棱锥、正四面体、斜四面体等。
四面体的性质：四面体的顶点、棱、面、高、体积、表面积等。
3.3 圆锥与圆柱圆锥的分类：直锥、斜锥等。
圆柱的分类：直柱、斜柱等。
圆锥和圆柱的性质：底面、侧面、轴线、母线、母线长、体积等。
3.4 球与球柱球的性质：球心、球面、直径、半径、切线等。
高中数学必修一期中检测试卷 (2)
期中检测试卷(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A ＝{2,3,5,6}，集合B ＝{1,3,4,6,7}，则集合 A ∩(∁U B )等于( ) A ．{2,5} B ．{3,6} C ．{2,5,6}D ．{2,3,5,6,8}考点 交并补集的综合问题 题点 有限集合的交并补运算 答案 A解析 根据补集的定义可得∁U B ＝{2,5,8}， 所以A ∩(∁U B )＝{2,5}，故选A. 2．不等式3x －12－x≥1的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪34≤x ≤2 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪34≤x <2 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤34或x >2 D ．{x |x <2}答案 B解析 3x －12－x ≥1⇔3x －12－x －1≥0⇔4x －32－x ≥0⇔x －34x －2≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫x －34(x －2)≤0，x －2≠0 解得34≤x <2.故选B.3．“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分又不必要条件答案 A解析 因为x 2－2x ＋1＝0有两个相等的实数根为x ＝1， 所以“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的充要条件．4．命题“∃x ∈R,1<f (x )≤2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R,1<f (x )≤2 B ．∃x ∈R,1<f (x )≤2 C ．∃x ∈R ，f (x )≤1或f (x )>2 D ．∀x ∈R ，f (x )≤1或f (x )>2 答案 D解析 根据存在量词命题的否定是全称量词命题可知原命题的否定形式为“∀x ∈R ，f (x )≤1或f (x )>2”．5．若a ，b ，c 为实数，则下列命题错误的是( ) A ．若ac 2>bc 2，则a >b B ．若a <b <0，则a 2<b 2 C ．若a >b >0，则1a <1bD ．若a <b <0，c >d >0，则ac <bd 答案 B解析 对于A ，若ac 2>bc 2，则a >b ，故正确；对于B ，根据不等式的性质，若a <b <0，则a 2>b 2，故错误； 对于C ，若a >b >0，则a ab >b ab ，即1b >1a ，故正确；对于D ，若a <b <0，c >d >0，则ac <bd ，故正确．故选B.6．不等式ax 2＋2ax ＋1≤0的解集为∅，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．[0,1]C ．[0,1)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)答案 C解析 由题意知，不等式ax 2＋2ax ＋1>0恒成立， 当a ＝0时，1>0，不等式恒成立，当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0，解得0<a <1，综上有0≤a <1，故选C.7．函数f (x )＝2x ＋8x －1(x >1)，则f (x )的最小值为( )A ．8B ．6C ．4D ．10答案 D解析 f (x )＝2(x －1)＋8x －1＋2≥22(x －1)·8x －1＋2＝10，当且仅当2(x －1)＝8x －1，即x ＝3时取等号，所以当x ＝3时，f (x )min ＝10，故选D.8．若奇函数f (x )在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则2f (－6)＋f (－3)的值为( )A ．10B ．－10C ．－15D ．15 答案 C解析 ∵f (x )在[3,6]上为增函数， ∴f (6)＝8，f (3)＝－1，∴2f (－6)＋f (－3)＝－2f (6)－f (3)＝－15.9．定义在R 上的奇函数f (x )，满足f ⎝⎛⎭⎫12＝0，且在(0，＋∞)上单调递减，则xf (x )>0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－12或x >12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <12或－12<x <0 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 0<x <12或x <－12 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －12<x <0或x >12 答案 B解析 y ＝f (x )的草图如图，xf (x )>0的解集为⎝⎛⎭⎫－12，0∪⎝⎛⎭⎫0，12.10．已知正方形ABCD 的边长为4，动点P 从B 点开始沿折线BCDA 向A 点运动．设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象是( )答案 D解析 依题意可知，当0≤x ≤4时，f (x )＝2x ； 当4<x ≤8时，f (x )＝8；当8<x ≤12时，f (x )＝24－2x ，观察四个选项知选D. 11．函数f (x )＝1＋x2＋x (x >0)的值域是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫12，1 D.⎝⎛⎭⎫0，12 答案 C解析 ∵f (x )＝1＋x 2＋x ＝x ＋2－1x ＋2＝1－1x ＋2在(0，＋∞)上为增函数，∴f (x )∈⎝⎛⎭⎫12，1.12．设非空数集M 同时满足条件：①M 中不含元素－1,0,1；②若a ∈M ，则1＋a 1－a ∈M .则下列结论正确的是( )A ．集合M 中至多有2个元素B ．集合M 中至多有3个元素C ．集合M 中有且仅有4个元素D ．集合M 中至少有4个元素 答案 D解析 因为a ∈M ，1＋a1－a ∈M ，所以1＋1＋a 1－a 1－1＋a1－a ＝－1a ∈M ，所以1＋1－a 1－1－a ＝a －1a ＋1∈M ，又因为1＋a －1a ＋11－a －1a ＋1＝a ，所以集合M 中必同时含有a ，－1a ，1＋a 1－a ，a －1a ＋1这4个元素，由a 的不确定性可知，集合M 中至少有4个元素． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{a ，a 2＋3}，若A ∩B ＝{1}，则实数a 的值为________． 答案 1解析 由A ∩B ＝{1}知，1∈B ， 又因为a 2＋3≥3，所以a ＝1.14．有下列三个命题：①∀x ∈R,2x 2－3x ＋4>0；②∀x ∈{1，－1,0},2x ＋1>0；③∃x ∈N *，x 为29的约数．其中真命题为________．(填序号) 答案 ①③解析 对于①，这是全称量词命题， 因为Δ＝(－3)2－4×2×4<0，所以2x 2－3x ＋4>0恒成立，故①为真命题； 对于②，这是全称量词命题，因为当x ＝－1时，2x ＋1>0不成立，故②为假命题；对于③，这是存在量词命题，当x ＝1时，x 为29的约数成立，所以③为真命题．15．正数a ，b 满足1a ＋9b ＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是________． 答案 [6，＋∞)解析 因为a >0，b >0，1a ＋9b＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9a b≥10＋29＝16，当且仅当b a ＝9ab 即a ＝4，b ＝12时，等号成立，由题意，得16≥－x 2＋4x ＋18－m ， 即x 2－4x －2≥－m 对任意实数x 恒成立． 又设f (x )＝x 2－4x －2＝(x －2)2－6， 所以f (x )的最小值为－6， 所以－6≥－m ，即m ≥6.16．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值，则函数f (x )＝min{4x ＋1，x ＋4，－x ＋8}的最大值是________． 答案 6解析 在同一平面直角坐标系中分别作出函数y ＝4x ＋1，y ＝x ＋4，y ＝－x ＋8的图象后，取位于下方的部分得函数f (x )＝min{4x ＋1，x ＋4，－x ＋8}的图象，如图所示，不难看出函数f (x )在x ＝2时取得最大值，最大值为6.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)设A ＝{x |2x 2＋ax ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋3x ＋2a ＝0}，且A ∩B ＝{2}． (1)求a 的值及集合A ，B ；(2)设全集U ＝A ∪B ，求(∁U A )∪(∁U B )．解 (1)由交集的概念易得2是方程2x 2＋ax ＋2＝0和x 2＋3x ＋2a ＝0的公共解，则a ＝－5，此时A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，B ＝{－5,2}．(2)由并集的概念易得U ＝A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12，2.由补集的概念易得∁U A ＝{－5}，∁U B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12.所以(∁U A )∪(∁U B )＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12.18．(12分)设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a ≠0，q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解 解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，得2<x ≤3，∴q ：2<x ≤3，当a >0时，不等式x 2－4ax ＋3a 2<0的解集为{x |a <x <3a }， ∴p ：a <x <3a .∵p 是q 的必要不充分条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a >3，解得1<a ≤2. 当a <0时，不等式x 2－4ax ＋3a 2<0的解集为{x |3a <x <a }， ∴p ：3a <x <a .∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ≤2，a >3，此时无解．综上所述，a 的取值范围是(1,2]．19．(12分)已知关于x 的不等式ax 2－3x ＋2>0的解集为{x |x <1或x >b }． (1)求a ，b 的值；(2)解关于x 的不等式：ax 2－(ac ＋b )x ＋bx <0.解 (1)∵不等式ax 2－3x ＋2>0的解集为{x |x <1或x >b }， ∴a >0，且方程ax 2－3x ＋2＝0的两个根是1和b .由根与系数的关系，得⎩⎨⎧1＋b ＝3a，1·b ＝2a ，解得a ＝1，b ＝2.(2)∵a ＝1，b ＝2，∴ax 2－(ac ＋b )x ＋bx <0，即x 2－(c ＋2)x ＋2x <0， 即x (x －c )<0.∴当c >0时，解得0<x <c ； 当c ＝0时，不等式无解； 当c <0时，解得c <x <0.综上，当c >0时，不等式的解集是(0，c )； 当c ＝0时，不等式的解集是∅； 当c <0时，不等式的解集是(c,0)．20．(12分)为迎接2019年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p 万件与促销费用x 万元满足：p ＝3－2x ＋1(其中0≤x ≤a ，a 为正常数)．已知生产该产品还需投入成本(10＋2p )万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为⎝⎛⎭⎫4＋20p 元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．(1)将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数；(2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值． 解 (1)由题意知，y ＝⎝⎛⎭⎫4＋20p p －x －(10＋2p )， 将p ＝3－2x ＋1代入化简得y ＝16－4x ＋1－x (0≤x ≤a )．(2)当a ≥1时，y ＝17－⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋1＋x ＋1≤17－24x ＋1×(x ＋1)＝13， 当且仅当4x ＋1＝x ＋1，即x ＝1时，上式取等号．当0<a <1时，y ＝16－4x ＋1－x 在(0,1)上单调递增，所以当x ＝a 时，y 取最大值为16－4a ＋1－a .所以当a ≥1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大为13万元．当0<a <1时，促销费用投入a 万元时，厂家的利润最大为16－4a ＋1－a .21．(12分)设f (x )为定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝－(x －2)2＋2. (1)求函数f (x )在R 上的解析式； (2)在直角坐标系中画出函数f (x )的图象；(3)若方程f (x )－k ＝0有四个解，求实数k 的取值范围． 解 (1)若x <0，则－x >0，f (x )＝f (－x )＝－(－x －2)2＋2＝－(x ＋2)2＋2，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －2)2＋2，x ≥0，－(x ＋2)2＋2，x <0.(2)图象如图所示，(3)由于方程f (x )－k ＝0的解就是函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝k 的交点的横坐标，观察函数y ＝f (x )图象与直线y ＝k 的交点情况可知，当－2<k <2时，函数y ＝f (x )图象与直线y ＝k 有四个交点，即方程f (x )－k ＝0有四个解．即实数k 的取值范围为(－2,2)．22．(12分)已知函数f (x )＝2x ＋b ，g (x )＝x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )，h (x )＝g (x )f (x ).对任意的x ∈R ，恒有f (x )≤g (x )成立．(1)如果h (x )为奇函数，求b ，c 满足的条件；(2)在(1)的条件下，若h (x )在[2，＋∞)上为增函数，求实数c 的取值范围． 解 (1)设h (x )＝g (x )f (x )的定义域为D ，因为h (x )为奇函数，所以对任意x ∈D ，h (－x )＝－h (x )成立，解得b ＝0. 因为对任意的x ∈R ，恒有f (x )≤g (x )成立， 所以对任意的x ∈R ，恒有2x ＋b ≤x 2＋bx ＋c ， 即x 2＋(b －2)x ＋c －b ≥0对任意的x ∈R 恒成立．由(b －2)2－4(c －b )≤0，得c ≥b 24＋1，即c ≥1.于是b ，c 满足的条件为b ＝0，c ≥1.(2)当b ＝0时，h (x )＝g (x )f (x )＝x 2＋c 2x ＝12x ＋c2x (c ≥1)．因为h (x )在[2，＋∞)上为增函数， 所以任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1<x 2， h (x 2)－h (x 1)＝12(x 2－x 1)⎝⎛⎭⎫1－c x 1x 2>0恒成立， 即任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1<x 2,1－cx 1x 2>0恒成立，也就是c <x 1x 2恒成立，所以c ≤4，综合(1)，得实数c 的取值范围是[1,4]．。
2024-2025学年高一数学上学期期中真题精选(易错题8类考点专练)(人教A版2019必修第一册)
>
1
，
x
+
x
1 -1
的最小值为
3
D．函数 y = 2 + x + 1 x < 0 的最大值是 0
x
2．（多选）（23-24 高一上·广东广州·期中）下列结论正确的是（ ）
A．当 x >1时， x + 1 的最小值为 2 x
B．当 x < 0 时， x + 1 的最大值是 -2 x
C．当 0 < x < 1， x 3 - 3x 取得最大值 3
x
=
ìïax2 - 2x - a, x ³ 1
íïîa + 3 x -1, x < 1 是
R
上的减函数，则实数
a
的取值范
围是 .
4．（23-24
高一上·湖南衡阳·期中）已知
f
x
=
ì ï
x2
-
ax
+
5( x
í ïî1
+
1 x
x
³
1
<
1)
是 -¥, +¥
上的减函数，则
a
的取值范围
是
.
易错点 08 复合函数单调性忽视定义域
9 2
ù úû
D．
-¥,1
U
éêë4,
9 2
ù úû
3．（多选）（23-24 高一上·河南郑州·期中）已知集合 A = 4,8 ， B = x mx + 2 = 0 ，若 B Í A ，则实数 m
可以是（ ）
A． - 1 2
B．1
C． - 1 4
D．0
4．（23-24 高一上·河北沧州·期中）已知集合 P = x -1 < x < 3 ， Q = x 2m -1 < x < 3m - 2 ，若 Q Í P ，求
高一数学必修一期中考试试题及答案
高一数学必修一期中考试试题及答案一、选择题1.(20 13年高考四川卷)设集合a={1,2,3},集合b={ -2,2},则a∩b等于( b )(a) (b){2}(c){-2,2} (d){-2,1,2,3}解析:a∩b={2},故挑选b.(a){2} (b){0,2}(c){-1,2} (d){-1,0,2}解析:依题意得集合p={-1,0,1},(a)1个 (b)2个 (c)4个 (d)8个4.(年高考全国新课标卷ⅰ)已知集合a={x|x2-2x>0},b={x|-(a)a∩b= (b)a∪b=r解析:a={x|x>2或x<0},∴a∪b=r,故挑选b.5.已知集合m={x ≥0,x∈r},n={y|y=3x2+1,x∈r},则m∩n等于( c )(a) (b){x|x≥1}(c){x|x>1} (d){x|x≥1或x<0}解析:m={x|x≤0或x>1},n={y|y≥1}={x|x≥1}.∴m∩n={x|x>1},故选c.6.设子集a={x + =1},子集b={y - =1},则a∩b等同于( c )(a)[-2,- ] (b)[ ,2](c)[-2,- ]∪[ ,2] (d)[-2,2]解析:集合a表示椭圆上的点的横坐标的取值范围a=[-2,2],集合b表示双曲线上的点的纵坐标的取值范围b=(-∞,- ]∪[ ,+∞),所以a∩b=[-2,- ]∪[ ,2].故选c.二、填空题7.( 年高考上海卷)若集合a={x|2x+1>0},b={x||x-1|<2},则a∩b=.解析:a={x x>- },b={x|-1所以a∩b={x -答案:{x -解析:因为2∈a,所以 <0,即(2a-1)(a- 2)>0,Champsaura>2或a< .①若3∈a,则 <0,即为( 3a-1)(a-3)>0,解得a>3或a< ,①②挑关连得实数a的值域范围就是∪(2,3].答案: ∪(2,3]若a≠0,b=(- ),∴- =-1或- =1,∴a=1或a=-1.所以a=0或a=1或a=-1组成的集合为{-1,0,1}.答案:{-1,0,1}10.已知集合a={x|x2+ x+1=0},若a∩r= ,则实数m的取值范围是.解析:∵a∩r= ,∴a= ,∴δ=( )2-4<0,∴0≤m<4.答案:[0,4)11.已知集合a={x|x2-2x-3>0},b={x|x2+ax+b≤0},若a∪b=r,a∩b={x| 3解析:a={x|x<-1或x>3},∵a∪b=r,a∩b={x|3∴b={x|-1≤x≤4},即方程x2+ax+b=0的两根为x1=-1,x2=4.∴a=-3,b=-4,∴a+b=-7.答案:-7三、解答题12.未知子集a={-4,2a-1,a2},b={a-5,1-a,9},分别谋适宜以下条件的a的值.(1)9∈(a∩b);(2){9}=a∩b.解:(1) ∵9∈(a∩b),∴2a-1= 9或a2=9,∴a=5或a=3或a=-3.当a=5时,a={-4,9,25},b={0,-4,9};当a=3时,a-5=1-a=-2,不满足集合元素的互异性;当a=-3时,a={-4,-7,9},b={-8,4,9},所以a=5或a=-3.(2)由(1)所述,当a=5时,a∩b={-4,9},相左题意,当a=-3时,a∩b={9}.所以a=- 3.13.已知集合a={x|x2-2x-3≤0};b={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈r,m∈r}.(1)若a∩b=[0,3],谋实数m的值;解:由已知得a={x|-1≤x≤3},b={x|m-2≤x≤m+2}.(1)∵a∩b=[0,3],∴∴m=2.∴m-2>3或m+2<-1,即m>5或m<-3.14.设u=r,子集a={x |x2+3x+2=0},b={x|x2+(m+1)x+m=0},若解:a={x|x=-1或x=-2},方程x2+(m+1)x+m=0的根是x1=-1,x2=-m,当-m=-1,即m=1时,b={-1},当-m≠-1,即m≠1时,b={-1,-m},∴-m=-2,即m=2.所以m=1或m=2.集合的三个特性(1)无序性指集合中的元素排列没有顺序，如集合a={1,2}，集合b={2,1}，则集合a=b。
高一上学期期中考重难点归纳总结(解析版)--人教版高中数学精讲精练必修一
【答案】B
【解析】由 A 1,3, 5 ， B 3, 4, 5 ，得 A B 1,3, 4,5 ，
所以 ðU A B 2, 6 ，
故选：B
2．（2023 秋·江苏盐城·高一校联考期末）设全集U R ，集合 A x x 2 ， B x x 2 或 x 6，则
A ðU B （ ） A．x x 2
秋·辽宁抚顺·高一抚顺一中校考阶段练习）已知集合
M
x∣x
m
1 6
,m
Z
，
N
x∣x
n
1
,
n
Z
，
P
x∣x
p
1 , p Z ，则 M
，N
， P 的关系为（
）
23
26
A． M N P
B． M N P
C． M N P
D． N P M
【答案】B
【解析】因为 M
∣ x x
m1,
m
Z
所以实数 a 的取值范围是{a | 0 a 4} .
故选：D
考点五 不等式的性质
【例 5】（2023 秋·上海浦东新 ）已知 a b c d ，下列选项中正确的是（ ）
A． a d b c
B． a c b d
C． ad bc
D． ac bd
【答案】B
【解析】对于选项 A，因为 a 3,b 2,c 1, d 10 ，满足 a b c d ，但不满足 a d b c ，所以选项 A
数是（ ） A．0
B．1
C．2
D．4
【答案】C
【解析】因为 A x, y x y 0 ， B x, y | x2 2y2 1 ，
所以集合 A 是直线 x y 0 上的点的集合，集合 B 是椭圆 x2 2y2 1 上的点的集合； 因为 M A B ，所以若要求 M 中的元素个数，只需联立方程即可；
人教A版高一数学必修第一册全册复习测试题卷含答案解析(21)
人教A版高一数学必修第一册全册复习测试题卷5（共30题）一、选择题（共10题）1.设实数x，y满足x+2y+1=0，则2x+4y的最小值是( )A．√2B．2√2C．3√2D．4√22.设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．b<c<a3.设a，b，c依次为方程x+3=log13x，(13)x=log13x，(13)x=x+3的实根，则有( )A．a<b<c B．c<b<a C．b<a<c D．c<a<b4.已知全集U={−2,−1,0,1,2,3}，集合A={0,1}，B={1,2}，则∁U(A∪B)=( )A．{1,2}B．{0,1,2}C．{−2,−1,3}D．{−2,−1,0,3}5.函数f(x)=x a满足f(2)=4，那么函数g(x)=∣log a(x+1)∣的图象大致为( )A．B．C．D．6.若a<1，b>1，则下列命题中正确的是( )A．1a >1bB．ba>1C．a2<b2D．ab<a+b−17.设S，T是两个非空集合，且它们互不包含，那么S∪(S∩T)等于( )A．S∩T B．S C．∅D．T8.已知集合A={1,2,4}，B={2,4,8}，则A∩B=( )A．{1,4}B．{2,4}C．{2,4,8}D．{1,2,4,8}9.函数y=x2+4∣x∣+5在定义域内有( )A．最小值1B．最大值1C．最小值5D．最大值510. 函数 y =xln∣x∣∣x∣的图象是 ( )A ．B ．C ．D ．二、填空题（共10题）11. 已知集合 A ={1,2}，集合 B 满足 A ∪B ={1,2,3}，则集合 A 的子集个数有 个；这样的集合 B 有 个．12. 已知 cos (π6−α)=13，则 cos (5π6+α)= ，sin (2π3−α)= ．13. 将函数 f (x )=sin (4x −π6) 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，得到函数y =g (x ) 的图象，则 g (x ) 的最小正周期是14. 函数 y =cosx 在区间 [−π,a ] 上为增函数，则 a 的取值范围是 ．15. 若集合 A ={x∣ ∣ x∣ <2}，B ={x ∣ 1x+1>0}，则 A ∩B = ．16. 函数 f (x )=x −12 的定义域为集合 ．17. 下列命题中，是全称量词命题的是 ；是存在量词命题的是 ．①正方形的四条边相等；②有两个角相等的三角形是等腰三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．18.设a，b为正实数，有下列命题：①若a2−b2=1，则a−b<1；②若1b −1a=1，则a−b<1；③若∣∣√a−√b∣∣=1，则∣a−b∣<1．其中正确的命题为（写出所有正确命题的序号）．19.已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x−4)=f(x)，且在区间[0,2]上f(x)=x，若关于x的方程f(x)=log a x有三个不同的实根，则a的取值范围为．20.已知全集U={x∣ 1≤x≤5}，A={x∣ 1≤x<a}，若∁U A={x∣ 2≤x≤5}，则a=．三、解答题（共10题）21.判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由．(1) 与定点A，B等距离的点；(2) 高中学生中的游泳能手．22.已知定义域为R的函数f(x)=−2x+b2x+1+a是奇函数．求a，b的值．23.画出下列函数的图象，观察其变化规律：(1) f(x)=x．①从左至右图象上升还是下降？；②在区间上，随着x的增大，f(x)的值随之．(2) f(x)=−2x+1．①从左至右图象上升还是下降？；②在区间上，随着x的增大，f(x)的值随之．(3) f(x)=x2．①在区间上，f(x)的值随着x的增大而；②在区间上，f(x)的值随着x的增大而；24.求下列函数的定义域．(1) y=log2(x2−4x−5)；(2) y=√log0.5(4x−3)．≤1,x∈R}，集合B={x∣ ∣x−a∣≤1,x∈R}．25.已知集合A={x∣∣ 2x−1x+1(1) 求集合A；(2) 若B∩∁R A=B，求实数a的取值范围．26.在平面直角坐标系中，用阴影部分表示下列集合．(1) {α∣ 30∘+k⋅360∘≤α≤60∘+k⋅360∘,k∈Z}；(2) {α∣ 30∘+k⋅180∘≤α≤60∘+k⋅180∘,k∈Z}．27.已知函数y=f(x)是R上的奇函数，x>0时，f(x)=1．求：x2+1(1) y=f(x)的解析式；(2) y=f(x)的值域．28.求下列函数的定义域．(1) y=√x2−x−2．．(2) y=√4−x+1∣x∣−1．(3) y=0√∣x∣−x29.子集（1）对于两个集合A和B，如果集合A中都属于集合B（若a∈A，则a∈B），那么集合A叫做集合B的子集，记作或，读作“ ”或“ ”．可用文氏图表示为（2）子集的性质：①A⊆A，即任何一个集合是它本身的子集；②∅⊆A，即空集是任何集合的子集．问题：集合A是集合B的子集的含义是什么？30.回答下列问题．(1) 已知f(x)是奇函数，定义域为D，g(x)是偶函数，定义域也是D．设F(x)=f(x)g(x)，判断函数F(x)的奇偶性；(2) 已知f(x)，g(x)的定义域都是D，若F(x)=f(x)g(x)是偶函数，研究f(x)和g(x)的奇偶性．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】A【知识点】均值不等式的应用2. 【答案】C【解析】因为函数y=0.6x在R上单调递减，所以b=0.61.5<a=0.60.6<1．又c=1.50.6>1，所以b<a<c．【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质3. 【答案】D【知识点】函数的零点分布4. 【答案】C【知识点】交、并、补集运算5. 【答案】C【知识点】对数函数及其性质、幂函数及其性质6. 【答案】D【解析】由a<1，b>1，得a−1<0，b−1>0，所以(a−1)(b−1)<0，即ab<a+ b−1．【知识点】不等式的性质7. 【答案】B【解析】因为(S∩T)⊆S，所以S∪(S∩T)=S．【知识点】交、并、补集运算8. 【答案】B【解析】因为集合A={1,2,4}，B={2,4,8}，所以A∩B={1,2,4}∩{2,4,8}={2,4}．【知识点】交、并、补集运算9. 【答案】C【知识点】函数的最大（小）值10. 【答案】B【解析】易知函数y=xln∣x∣∣x∣为奇函数，故排除A，C；当x>0时，y=lnx，只有B项符合．【知识点】函数图象、函数的奇偶性二、填空题（共10题）11. 【答案】4；4【知识点】交、并、补集运算12. 【答案】−13；13【知识点】诱导公式13. 【答案】π【解析】依题意可得g(x)=sin(2x−π6)，故T=2π2=π．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质14. 【答案】(−π,0]【解析】∵y=cosx在[−π,0]上是增函数，在[0,π]上是减函数，∴只有−π<a≤0时满足条件，故a∈(−π,0]．【知识点】余弦函数的性质15. 【答案】(−1,2)【知识点】交、并、补集运算16. 【答案】x∈(0,+∞)【解析】f(x)=x−12=√x f(x)有意义，则x>0，故f(x)=x−12的定义域为x∈(0,+∞)．【知识点】函数的定义域的概念与求法17. 【答案】①②③；④【解析】①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称量词命题；②是全称量词命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根都不等于0”，是全称量词命题；④是存在量词命题.【知识点】全（特）称命题的概念与真假判断18. 【答案】①【解析】对于①，由题意a，b为正实数，则a2−b2=1⇒a−b=1a+b⇒a−b>0⇒a>b>0，故a+b>a−b>0．若a−b≥1，则1a+b≥1⇒a+b≤1≤a−b，这与a+b>a−b>0矛盾，故a−b<1成立．对于②，取特殊值，a=3，b=34，则a−b>1；对于③，取特殊值，a=9，b=4时，∣a−b∣>1．【知识点】不等式的性质19. 【答案】(√6,√10)【解析】由f(x−4)=f(x)知，函数的周期为4，又函数为偶函数，所以f(x−4)=f(x)= f(4−x)，所以函数图象关于x=2对称，且f(2)=f(6)=f(10)=2，要使方程f(x)=log a x有三个不同的根，则满足{a>1,log a6<2, log a10>2,如图，解得√6<a<√10．故a的取值范围是(√6,√10)．【知识点】函数的零点分布20. 【答案】2【解析】因为A={x∣ 1≤x<a}，∁U A={x∣ 2≤x≤5}，所以A∪(∁U A)=U={x∣ 1≤x≤5}，且A∩(∁U A)=∅，所以a=2．【知识点】交、并、补集运算三、解答题（共10题）21. 【答案】(1) 是，即线段 AB 的垂直平分线．(2) 不是，因为游泳能手与不是能手没有具体的划分标准．【知识点】集合的概念22. 【答案】因为 f (x ) 是定义域为 R 的奇函数，所以 f (0)=0，即 −1+b 2+a=0，解得 b =1．从而 f (x )=−2x +12x+1+a，又由 f (−1)=−f (1)，即 −12+11+a=−−2+14+a，解得 a =2．【知识点】函数的奇偶性23. 【答案】(1) 上升；(−∞,+∞)；增大 (2) 下降；(−∞,+∞)；减小 (3) (−∞,0)；减小；(0,+∞)；增大 【知识点】函数图象、函数的单调性24. 【答案】(1) 要使函数有意义，需 x 2−4x −5>0， 即 (x −5)(x +1)>0， 所以 x <−1 或 x >5，故所求函数的定义域为 (−∞,−1)∪(5,+∞)．(2) 要使函数有意义，需 log 0.5(4x −3)≥0， 即 log 0.5(4x −3)≥log 0.51， 故 0<4x −3≤1， 解得 34<x ≤1，故所求函数的定义域为 (34,1]．【知识点】函数的定义域的概念与求法、对数函数及其性质25. 【答案】(1) 由2x−1x+1≤1，得 x−2x+1≤0，所以 A =(−1,2]．(2) ∁R A =(−∞,−1]∪(2,+∞)，B =[a −1,a +1]，由 B ∩∁R A =B ，得 B ⊆∁R A ，所以 a +1≤−1 或 a −1>2， 所以 a 的取值范围为 (−∞,−2]∪(3,+∞)． 【知识点】分式不等式的解法、交、并、补集运算26. 【答案】(1) (2)【知识点】任意角的概念27. 【答案】(1) f (x )={1x 2+1,x >00,x =0−1x 2+1,x <0． (2) (−1,1)．【知识点】函数的解析式的概念与求法、函数的值域的概念与求法、函数的奇偶性28. 【答案】(1) 由 x 2−x −2≥0 得 x ≤−1或≥2． 所以定义域为 (−∞,−1]∪[2,+∞)．(2) 因为 {4−x ≥0,∣x ∣−1≠0⇒{x ≤4,x ≠±1,所以所求定义域为 (−∞,−1)∪(−1,1)∪(1,4]． (3) 由 {x +1≠0,∣x ∣−x >0⇒{x ≠−1,x <0,所以所求定义域为 (−∞,−1)∪(−1,0)． 【知识点】函数的定义域的概念与求法29. 【答案】（1）任何一个元素；A ⊆B ；B ⊇A ；A 包含于 B ；B 包含 A（2）集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素，即由 x ∈A 能推出 x ∈B ．例如 {0,1}⊆{−1,0,1}，则由 0∈{0,1} 能推出 0∈{−1,0,1}． 【知识点】包含关系、子集与真子集30. 【答案】(1) 奇函数，(2) f (x ) 和 g (x ) 同是奇函数或同是偶函数，则 F (x ) 为偶函数；若 f (x ) 和 g (x ) 都是非奇非偶函数，F (x ) 也可以为偶函数，比如 f (x )=x +1，g (x )=x −1．【知识点】函数的奇偶性11。
人教A版 新教材高中数学必修第一册 期中检测试卷
(1)求 A∪B；
(2)若 A∩C＝∅，求 m 的取值范围．
解
(1)∵A＝{x|x2＋ax＋b＝0}＝{－1,2}，即1Leabharlann a＋b＝0，a＝－1， 解得
4＋2a＋b＝0，
b＝－2，
∴B＝{x|bx2＋ax＋1＝0}＝{x|－2x2－x＋1＝0}＝{x|2x2＋x－1＝0}＝ －1，12 ， ∴A∪B
C．当 n>0 时，幂函数 y＝xn 是增函数 D．当 n<0 时，幂函数 y＝xn 在第一象限内函数值随 x 值的增大而减小 答案 BD 解析 由题意，对于 A，例如幂函数 f(x)＝x－1 的图象不经过点(0,0)，所以不正确； 对于 B，根据幂函数的概念，可得幂函数的图象不可能过第四象限，所以是正确的； 对于 C，例如幂函数 f(x)＝x2 在其定义域上不是单调函数，所以不正确； 对于 D，根据幂函数的图象与性质，可得当 n<0 时，幂函数 y＝xn 在第一象限内单调递减， 所以是正确的． 故选 BD. 10．下列命题为真命题的是( ) A．∃x∈R，x2－x＋1≤0 B．当 ac>0 时，∃x∈R，ax2＋bx－c＝0 C．|x－y|＝|x|－|y|成立的充要条件是 xy≥0 D．“－2<x<3”是“(x2－2|x|＋4)(x2－2x－3)<0”的必要不充分条件 答案 BD
答案 D
解析 当 a≤0 时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，不满足条件，
当 a>0 时，ax＋8x≥2 ax·8x＝4 2a(x>0) ，
当且仅当 ax＝8x时，函数取得最小值，解得 x＝2 a2a，
即 2 a2a＝4 (a>0) ，解得 a＝12.
5．设 x，y∈R，则“x＋y>2”是“x，y 中至少有一个数大于 1”的( )
人教版新教材高中数学高一上学期期中考试数学试卷(共四套)
人教版新教材高中数学高一上学期期中考试数学试卷（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{0,1,2}A =，那么（ ） A ．0A ⊆B ．0A ∈C ．{1}A ∈D ．{0,1,2}A2．集合{|14}A x x =∈-<<N 的真子集个数为（ ） A ．7B ．8C ．15D ．163．命题“x ∀∈R ，||10x x -+≠”的否定是（ ） A ．x ∃∈R ，||10x x -+≠ B ．x ∃∈R ，||10x x -+= C ．x ∀∈R ，||10x x -+=D ．x ∀∉R ，||10x x -+≠4．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ） A ．62%B ．56%C ．46%D ．42%5．已知集合{|10}A x x =-≥，2{|280}B x x x =--≥，则()AB =R（ ）A ．[2,1]-B ．[1,4]C ．(2,1)-D ．(,4)-∞6．甲、乙两人沿着同一方向从A 地去B 地，甲前一半的路程使用速度1v ，后一半的路程使用速度2v ；乙前一半的时间使用速度1v ，后一半的时间使用速度2v ，关于甲，乙两人从A 地到达B 地的路程与时间的函数图像及关系（其中横轴t 表示时间，纵轴s 表示路程12v v <）可能正确的图示分析为（ ）A ．B ．C ．D ．7．若函数24()43x f x mx mx -=++的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ）A ．3(0,]4B ．3[0,]4C ．3[0,)4D ．3(0,)48．若定义在R 的奇函数()f x 在(,0)-∞单调递减，且(2)0f =，则满足(1)0xf x -≥的x 的取值范围是（ ） A ．[1,1][3,)-+∞ B ．[3,1][0,1]-- C ．[1,0][1,)-+∞ D ．[1,0][1,3]-二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．21x ≤的一个充分不必要条件是（ ） A ．10x -≤<B ．1x ≥C ．01x <≤D ．11x -≤≤10．下列各项中，()f x 与()g x 表示的函数不相等的是（ ）A ．()f x x =，()g x =B ．()f x x =，2()g x =C ．()f x x =，2()x g x x=D ．()|1|f x x =-，1(1)()1(1)x x g x x x -≥⎧=⎨-<⎩11．若函数22,1()4,1x a x f x ax x ⎧-+≤-=⎨+>-⎩在R 上是单调函数，则a 的取值可能是（ ）A ．0B ．1C ．32D ．312．下列函数中，既是偶函数又在(0,3)上是递减的函数是（ ）A ．21y x =-+B ．3y x =C ．1y x =-+D ．y =第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若{}21,,0,,b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20182018a b +=________．14．已知(1)f x +的定义域为[2,3)-，则(2)f x -的定义域是 ． 15．若12a b <-≤，24a b ≤+<，则42a b -的取值范围_________．16．已知函数21()234f x x x =-++，3()|3|2g x x =-，若函数(),()()()(),()()f x f xg x F x g x f x g x <⎧=⎨≥⎩， 则(2)F = ，()F x 的最大值为 ．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）设集合{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =-≤≤+． （1）若A B =∅，求m 的范围； （2）若A B A =，求m 的范围．18．（12分）已知命题:p x ∃∈R ，2(1)(1)0m x ++≤，命题:q x ∀∈R ，210x mx ++>恒成立．若,p q 至少有一个为假命题，求实数m 的取值范围．19．（12分）已知函数26,0()22,0x x f x x x x +≤⎧=⎨-+>⎩．（1）求不等式()5f x >的解集；（2）若方程2()02m f x -=有三个不同实数根，求实数m 的取值范围．20．（12分）已知奇函数222,0()0,0,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩． （1）求实数m 的值； （2）画出函数的图像；（3）若函数()f x 在区间[1,||2]a --上单调递增，试确定a 的取值范围．21．（12分）在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36台，每批都购入x 台（x 是正整数），且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值（不含运费）成正比，若每批购入4台，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费． （1）求该月需用去的运费和保管费的总费用()f x ；（2）能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．22．（12分）已知()f x 是定义在[5,5]-上的奇函数，且(5)2f -=-，若对任意的m ，[5,5]n ∈-，0m n +≠，都有()()0f m f n m n+>+．（1）若(21)(33)f a f a -<-，求a 的取值范围；（2）若不等式()(2)5f x a t ≤-+对任意[5,5]x ∈-和[3,0]a ∈-都恒成立，求t 的取值范围．【参考答案】第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B【解析】∵集合{0,1,2}A =，∴0A ∈，故A 错误，B 正确； 又∵{1}A ⊆，∴C 错误； 而{0,1,2}A =，∴D 错误． 2．【答案】C【解析】{0,1,2,3}A =中有4个元素，则真子集个数为42115-=． 3．【答案】B【解析】全称量词命题的否定是存在量词命题． 4．【答案】C【解析】由Venn 图可知，既喜欢足球又喜欢游泳的学生所占比60%82%96%46%X =+-=， 故选C ．5．【答案】C【解析】∵{|10}{|1}A x x x x =-≥=≥，2{|280}{|2B x x x x x =--≥=≤-或4}x ≥，∴{|2A B x x =≤-或1}x ≥，则()(2,1)A B =-R．6．【答案】A【解析】因为12v v <，故甲前一半路程使用速度1v ，用时超过一半，乙前一半时间使用速度1v ， 行走路程不到一半． 7．【答案】C【解析】2430mx mx ++≠，所以0m =或000m m Δ≠⎧⇒=⎨<⎩或2030416120m m m m ≠⎧⇒≤<⎨-<⎩． 8．【答案】D【解析】∵()f x 为R 上奇函数，在(,0)-∞单调递减，∴(0)0f =，(0,)+∞上单调递减．由(2)0f =，∴(2)0f -=，由(1)0xf x -≥，得0(1)0x f x ≥⎧⎨-≥⎩或0(1)0x f x ≤⎧⎨-≤⎩，解得13x ≤≤或10x -≤≤，∴x 的取值范围是[1,0][1,3]-，∴选D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．【答案】AC【解析】∵不等式21x ≤，∴11x -≤≤，“01x <≤”和“10x -≤<”是不等式21x ≤成立的一个充分不必要条件． 10．【答案】ABC【解析】A ，可知()||g x x =，()f x x =，两个函数对应关系不一样，故不是同一函数；B ，()f x x =，x ∈R ，2()g x x ==，0x ≥，定义域不一样；C ，()f x x =，x ∈R ，2()x g x x=，0x ≠，定义域不一样；D ，1(1)()|1|1(1)x x f x x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩与()g x 表示同一函数．11．【答案】BC【解析】当1x ≤-时，2()2f x x a =-+为增函数， 所以当1x >-时，()4f x ax =+也为增函数，所以0124a a a >⎧⎨-+≤-+⎩，解得503a <≤．12．【答案】AC【解析】A ：21y x =-+是偶函数，且在(0,3)上递减，∴该选项正确； B ：3y x =是奇函数，∴该选项错误；C ：1y x =-+是偶函数，且在(0,3)上递减，∴该选项错误；D ：y =第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】1【解析】由集合相等可知0ba=，则0b =， 即{}{}21,,00,,a a a =，故21a =，由于1a ≠，故1a =-，则20182018101a b +=+=． 14．【答案】[)1,6【解析】∵(1)f x +的定义域为[2,3)-，∴23x -≤<，∴114x -≤+<， ∴()f x 的定义域为[1,4)-； ∴124x -≤-<，∴16x ≤<，∴(2)f x -的定义域为[1,6)． 15．【答案】(5,10)【解析】由题设42()()a b x a b y a b -=-++，42()()a b x y a y x b -=++-，则42x y y x +=⎧⎨-=-⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩，所以423()()a b a b a b -=-++，12a b <-≤，33()6a b <-≤，24a b ≤+<，所以53()()10a b a b <-++<，故54210a b <-<． 16．【答案】0，6【解析】因为(2)6f =，(2)0g =，所以(2)0F =，画出函数()F x 的图象（实线部分），由图象可得，当6x =时，()F x 取得最大值6．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）6m >或32m <-；（2）2m <-或12m -≤≤．【解析】（1）已知{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =-≤≤+． 当B =∅时，有121m m ->+，即2m <-，满足A B =∅； 当B ≠∅时，有121m m -≤+，即2m ≥-，又A B =∅，则15m ->或212m +<-，即6m >或322m -≤<-，综上可知，m 的取值范围为6m >或32m <-．（2）∵A B A =，∴B A ⊆，当B =∅时，有121m m ->+，即2m <-，满足题意；当B ≠∅时，有121m m -≤+，即2m ≥-，且12215m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得12m -≤≤，综上可知，m 的取值范围为2m <-或12m -≤≤． 18．【答案】2m ≤-或1m >-．【解析】当命题p 为真时，10m +≤，解得1m ≤-； 当命题q 为真时，24110Δm =-⨯⨯<，解得22m -<<，当命题p 与命题q 均为真时，则有12122m m m ≤-⎧⇒-<≤-⎨-<<⎩，命题q 与命题p 至少有一个为假命题，所以此时2m ≤-或1m >-．19．【答案】（1）(1,0](3,)-+∞；（2）(2,(2,2)-． 【解析】（1）当0x ≤时，由65x +>，得10x -<≤； 当0x >时，由2225x x -+>，得3x >， 综上所述，不等式的解集为(1,0](3,)-+∞．（2）方程2()02m f x -=有三个不同实数根， 等价于函数()y f x =与函数22m y =的图像有三个不同的交点，如图所示，由图可知，2122m <<，解得2m -<<2m <<，所以实数m 的取值范围为(2,(2,2)-．20．【答案】（1）2m =；（2）图像见解析；（3）[3,1)(1,3]--． 【解析】（1）当0x <时，0x ->，22()()2()2f x x x x x -=--+-=--， 又因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-， 所以当0x <时，2()2f x x x =+，则2m =．（2）由（1）知，222,0()0,02,0x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩，函数()f x 的图像如图所示．（3）由图像可知()f x 在[1,1]-上单调递增，要使()f x 在[1,||2]a --上单调递增， 只需1||21a -<-≤，即1||3a <≤，解得31a -≤<-或13a <≤， 所以实数a 的取值范围是[3,1)(1,3]--． 21．【答案】（1）144()4f x x x=+（036x <≤，*x ∈N ）；（2）只需每批购入6张书桌，可以使资金够用．【解析】（1）设题中比例系数为k ，若每批购入x 台，则共需分36x批，每批价值为20x 元，由题意36()420f x k x x=⋅+⋅， 由4x =时，()52f x =，得161805k ==，所以144()4f x x x=+（036x <≤，*x ∈N ）． （2）由（1）知，144()4f x x x=+（036x <≤，*x ∈N ），所以()48f x ≥=（元），当且仅当1444x x=，即6x =时，上式等号成立，故只需每批购入6张书桌，可以使资金够用．22．【答案】（1）8(2,]3；（2）3(,]5-∞．【解析】（1）设任意1x ，2x 满足1255x x -≤<≤， 由题意可得12121212()()()()()0()f x f x f x f x x x x x +--=-<+-，即12()()f x f x <，所以()f x 在定义域[5,5]-上是增函数，由(21)(33)f a f a -<-，得521553352133a a a a -≤-≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪-<-⎩，解得823a <≤，故a 的取值范围为8(2,]3．（2）由以上知()f x 是定义在[5,5]-上的单调递增的奇函数，且(5)2f -=-， 得在[5,5]-上max ()(5)(5)2f x f f ==--=，在[5,5]-上不等式()(2)5f x a t ≤-+对[3,0]a ∈-都恒成立， 所以2(2)5a t ≤-+，即230at t -+≥，对[3,0]a ∈-都恒成立， 令()23g a at t =-+，[3,0]a ∈-，则只需(3)0(0)0g g -≥⎧⎨≥⎩，即530230t t -+≥⎧⎨-+≥⎩，解得35t ≤，故t 的取值范围为3(,]5-∞．人教版新教材高中数学高一上学期期中考试数学试卷（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
高中数学必修第一册期中复习【真题训练】解析版
期中复习真题训练(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．（2020·浦东新·上海师大附中高一期中）不等式1x x≤的解集是______． 【答案】{|10x x -≤<或1}x ≥【分析】利用移项通分，转化为整式不等式组，即得答案．【详解】1x x ≤，10x x ∴-≤，210x x-∴≤． ()()110x x x-+∴≥．()()0110x x x >⎧∴⎨-+≥⎩或()()0110x x x <⎧⎨-+≤⎩，1x ∴≥或10x -≤<．∴不等式1x x≤的解集是{|10x x -≤<或1}x ≥． 故答案为{|10x x -≤<或1}x ≥．【点睛】本题考查分式不等式的解法，属于简单题.2．（2020·上海市行知中学高一期末）已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则a =________． 【答案】-7分析：首先利用题的条件()31f =，将其代入解析式，得到()()2391f log a =+=，从而得到92a +=，从而求得7a =-，得到答案.详解：根据题意有()()2391f log a =+=，可得92a +=，所以7a =-，故答案是7-. 点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目. 3．（2018·兴安县第三中学高二期中）若关于x 的不等式220ax bx ++>的解集是11|23⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭x x ，则a b +=_________.【答案】14-【分析】首先根据题意得到220ax bx ++=的实数根为12-和13，再利用根系关系求出,a b 的值即可.【详解】不等式220ax bx ++>的解集是11|23⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭x x ， 所以对应方程220ax bx ++=的实数根为12-和13，且0a <， 由根与系数的关系得112311223⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩b aa，解得12a =-，2b =-.所以14a b +=-. 故答案为：14-.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，同时考查根与系数关系，属于简单题. 4．（2020·上海高三其他）已知集合2{|log 1}A x x =<，1{|0}2x B x x -=<+，则A B =________. 【答案】(0,1)【分析】根据对数不等式以及分式不等式的解法求解出对应解集即为集合,A B ，然后由交集运算计算出AB 的结果.【详解】因为2log 1x <，所以02x <<，所以()0,2A =，又因为102x x -<+，所以()()120x x -+<，所以()2,1B =-， 则()0,1AB =.故答案为()0,1.【点睛】（1）解分式不等式注意将其先转变为整式不等式的形式，然后再求解集； （2）解对数不等式时要注意到对数的真数大于零这一隐含条件.5．（2019·上海市建平中学高一期末）已知集合{}1,2,3A =，{}2,B y y x x A ==∈，则B =_______， 【答案】{}2,4,6【分析】根据集合B 中2,y x x A =∈的条件，求出对应的元素即可【详解】因为{}2,B y y x x A ==∈，当1x =时，2y =；当2x =时，4y =；当3x =时，6y = 故集合{}2,4,6B = 答案为：{}2,4,6【点睛】本题考查根据限定条件求出集合中对应元素，考点较为基础，能读懂题是关键 6．（2019·上海市南洋模范中学高三期中）函数()log 31,(0a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上（其中m ，n ＞0），则12m n+的最小值等于__________. 【答案】8【分析】由题意可得定点(2,1)A --，21m n +=，把要求的式子化为44n m m n++，利用基本不等式求得结果． 【详解】解：()log 31,(0a y x a =+->且1)a ≠令31+=x 解得2x =-，则()log 2311a y =-+-=-即函数过定点(2,1)A --，又点A 在直线10mx ny ++=上，21m n ∴+=，则1224244428m n m n n m n m n m n m n m n+++=+=+++=，当且仅当4n m m n = 时，等号成立， 故答案为：8．【点睛】本题考查基本不等式的应用，函数图象过定点问题，把要求的式子化为44n mm n++，是解题的关键，属于基础题．7．（2019·安徽省肥东县第二中学高一期中）函数2()42x x f x +=- (12)x -≤≤的最小值为______ ． 【答案】-4【分析】换元,令2x t =,则1[,4]2t ∈,24y t t =-,再利用二次函数的单调性可求最小值. 【详解】2()(2)42x x f x =-⋅ ,令2x t =, 因为12x -≤≤ ,所以1[,4]2t ∈,则224(2)4y t t t =-=--,y 在1[,2]2t ∈上递减，在[2,4]t ∈上递增，所以当t =2时函数取得最小值-4． 故答案为-4．【点睛】本题考查了二次函数在闭区间上的最值,属中档题.8．（2018·上海市宜川中学）函数y =的值域是 _____. 【答案】[0,2]【分析】先确定偶次根式被开方数范围，再确定函数值域.【详解】2404[0,2]x y ≤-=≤∴故答案为[0,2]【点睛】本题考查函数值域，考查基本分析求解能力，属基础题. 9．集合{0,1},{1,2}A B ==,则A B =___________.【答案】{1}【分析】根据交集运算的规则可得结果. 【详解】解：因为集合{}{}0,1,1,2A B ==， 所以{1}A B ⋂=.【点睛】本题考查了集合的交集运算问题，属于基础题.10．（2018·上海市吴淞中学高一期中）35,21x y ≤≤-≤≤-，则x y -的取值范围是_____________ 【答案】[4,7]【分析】先计算12y ≤-≤，再利用不等式性质得到答案.【详解】35,21x y ≤≤-≤≤-，则35,1247x y x y ≤≤≤-≤∴≤-≤故答案为[4,7]【点睛】本题考查了不等式的性质，先确定12y ≤-≤是解题的关键.11．（2018·上海市南洋模范中学高一月考）3x =-成立的x 的取值范围是________. 【答案】(],3-∞【分析】3x =-，再根据绝对值的意义即可得答案. 【详解】解：因为()22693x x x -+=-，3x =-3x - 所以33x x -=-， 所以30x -≤，即3x ≤故满足条件的x 的取值范围是(],3-∞ 故答案为：(],3-∞【点睛】本题考查根据根式化简结果求参数范围，是基础题.12．（2020·宝山·上海交大附中开学考试）如果方程2lg (lg 6)lg lg 2lg 30x x ++⋅=的两个根为1x 、2x ，那么12x x ⋅的值为________【答案】16【分析】先对方程进行因式分解变形得(lg lg 2)(lg lg3)0x x ++=，求出12,x x 的值，即可得答案；【详解】(lg lg 2)(lg lg3)0x x ++=，∴lg lg 2x =-或lg lg3x =-，∴121123x x ==，，∴1216x x =， 故答案为：16. 【点睛】本题考查对数的运算，考查运算求解能力，属于基础题.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．（2020·上海高一开学考试）一元二次不等式220ax bx ++>的解集是11(,)23-，则+a b 的值是（ ） A ．10 B ．-10C ．14D ．-14【答案】D【分析】由方程220ax bx ++=的两根为12-和13，根据韦达定理求出,a b 可得结果. 【详解】根据题意，一元二次不等式220ax bx ++>的解集是11(,)23-，则0a <，方程220ax bx ++=的两根为12-和13， 则有1123b a -+=-，11223a-⨯=，解可得12,2a b =-=-， 则14a b +=-. 故选：D ．【点睛】本题考查了由一元二次不等式的解集求参数，属于基础题.14．设函数f (x )＝246,06,0x x x x x ⎧-+≥⎨+<⎩则不等式f (x )>f (1)的解集是（ ）A ．(－3，1)∪(3，＋∞)B ．(－3，1)∪(2，＋∞)C ．(－1，1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1，3)【答案】A【分析】先求出(1)f ，再分0x ≥和0x <代入解析式解不等式，求出解集. 【详解】解：f (1)＝12－4×1＋6＝3， 当x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1； 当x <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0.所以f (x )>f (1)的解集是(－3，1)∪(3，＋∞)．【点睛】本题考查了对分段函数的理解与应用，一元二次不等式的解法，属于基础题. 15．（2018·上海市市西中学高三期中）已知非空集合M 满足：对任意x M ∈，总有2x M ∉，且x M ∉，若{}0,1,2,3,4,5M ⊆，则满足条件的M 的个数是（ ）A ．11B ．12C ．15D ．16【答案】A【分析】可得集合M 是集合{}2,3,4,5的非空子集，且2,4不同时出现，即可得到结论. 【详解】由题意，可得集合M 是集合{}2,3,4,5的非空子集，共有42115-=个，且2,4不能同时出现，同时出现共有4个， 所以满足题意的集合M 的个数为11个，故选A.【点睛】本题主要考查了元素与集合的关系，以及集合的子集个数的判定及应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.16．（2017·上海市南洋模范中学高一期中）设集合{}1,2M =，{}2N a =，则“1a =-”是“N M ⊆”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件. C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】解：当1a =-时，{}1N =，满足N M ⊆，故充分性成立；当N M ⊆时，{}1N =或{}2N =，所以a 不一定满足1a =-，故必要性不成立. 故选：A.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，是基础题.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（2017·上海市七宝中学高一期中）已知函数2()log (41)xf x ax =+-.（1）若函数()f x 是R 上的偶函数，求实数a 的值； （2）若4a =，求函数()f x 的零点．【答案】（1）1a =；（2）4log x =【分析】（1）由题意得()()f x f x -=，即()()0f x f x --=，根据函数解析式整理可得21log 22204xax x ax +=-+=，故得1a =．（2）当4a =时得到函数的解析式，然后根据指数与对数的关系可得4412xx+=，整理得()24410xx --=，求得4x =，于是可得41log 2x +=． 【详解】（1）∵()f x 是R 上的偶函数， ∴()()f x f x -=，即()()0f x f x --=，∴()()][()22log 41log 410x xa x ax -⎡⎤+---+-=⎣⎦，整理得241log 2041x x ax -++=+，∴21log 22204x ax x ax +=-+=， ∴1a =．（2）当4a =时，()()2log 414xf x x =+-令()0f x =，可得()2log 414xx +=，∴4412x x += 整理得()24410xx --=，解得142x =或142x =（舍去）∴4log x = 【点睛】本题考查函数的性质及函数与方程的关系，考查计算能力和转化能力，解题的关键是根据相关概念及所求将问题进行转化，逐步达到求解的目的．另外，由于题目中涉及到大量的计算，所以在求解过程中要注意运算的准确性，合理进行指数和对数间的转化． 18．（2020·上海课时练习）已知不等式2364ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >． （1）求a ，b ；（2）解不等式2()0ax ac b x bc -++<． 【答案】（1）1a =，2b =；（2）答案见解析.【分析】（1）根据一元二次不等式与对应方程之间的关系，利用根与系数的关系，列出方程组，求出a ，b 的值；（2）将a ，b 的值代入，并将不等式因式分解为(2)()0x x c --<，通过对c 与2的大小关系进行讨论，得出不等式的解集. 【详解】（1）因为不等式2364ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >， 所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1．由根与系数的关系，得3121b ab a ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩， 解得12a b =⎧⎨=⎩； （2）原不等式化为：2(2)20x c x c -++<，即(2)()0x x c --<，①当2>c 时，不等式的解集为{}2x x c <<，②当2c <时，不等式的解集为{}2x c x <<， ③当2c =时，不等式的解集为∅．【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，根与系数的关系的应用，考查了分类讨论的思想，属于基础题.19．（2019·上海徐汇·位育中学高一期中）某商场预计全年分批购入电视机3600台，其中每台价值2000元，每批购入的台数相同，且每批均需付运费400元，储存购入的电视机全年所付保管费与每批购入的电视机的总价值（不含运费）成正比，比例系数为k ，若每批购入400台，则全年需要支付运费和保管费共43600元. （1）求k 的值；（2）请问如何安排每批进货的数量，使支付运费与保管费的和最少？并求出相应最少费用. 【答案】（1）0.05k =；（2）每批进货120台，支付运费与保管费的和最少，最少费用为24000元.【分析】（1）根据每批购入400台的需要支付运费和保管费共43600元可求k 的值； （2）先求解关于进货量的所支付的费用之和，结合解析式的特点求解最值即可. 【详解】（1）由题意，当每批购入400台时，全年的运费为36004003600400⨯=， 每批购入的电视机的总价值为4002000800000⨯=（元），所以保管费为800000k ⋅（元） 因为全年需要支付运费和保管费共43600元，所以360080000043600k +⋅=，解得0.05k =. （2）设每批进货x 台，则运费为36001440000400x x⨯=，保管费为0.052000100x x ⨯=， 所以支付运费与保管费的和为1440000100x x+，因为144000010024000x x +≥=，当且仅当1440000100x x =，即120x =时取到等号，所以每批进货120台，支付运费与保管费的和最少，最少费用为24000元.【点睛】本题主要考查基本不等式的实际应用，构建数学模型是求解的关键，注意不等式求解最值时的条件，侧重考查数学建模的核心素养.20．（2020·浦东新·上海师大附中高一期中）已知集合{|A x y =，集合{}2|7120B x x x =--->，集合{|121}C x m x m =+≤≤-.(1)求AB ；(2) 若A C A ⋃=，求实数m 的取值范围. 【答案】(1) ()4,3--； (2) 2m <或6m ≥.【分析】(1) 根据定义域求得集合A ，解一元二次不等式求得集合B ，再根据数轴求交集; (2) 先将条件转化为集合包含关系: C ⊆A ，再根据空集进行讨论，最后根据数轴研究两集合包含关系. 【详解】(1)25140x x --≥，2x ∴≤-或7x ≥,即(,2][7,)A =-∞-⋃+∞,227120,7120,x x x x --->++<所以43x -<<-即(4,3)B =--,(4,3)A B ∴⋂=--(2) A C A ⋃=,所以 C ⊆A ,当211m m -<+时,即2m <时,C 为空集满足条件:2m <, 当211m m -≥+,即2m ≥时,212m -≤-或17m +≥，解得12m ≤-,或6m ≥, 又2m ≥,所以6m ≥, 综上2m <或6m ≥.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法,子集关系,分类讨论思想,容易遗漏空集,属于基础题.21．（2020·浦东新·上海师大附中高一期中）符号[]x 表示不大于x 的最大整数()x R ∈，例如:[][][]1.31,22, 1.22==-=-.(1)解下列两个方程[][]3,23x x ==-；(2)设方程: [|||1|]3x x +-=的解集为A ，集合{}22|211150B x x kx k =-+≥，AB R =，求实数k 的取值范围；(3)求方程2440[]510x x -+=的实数解.【答案】(1)[3,4)，3,12⎡⎫--⎪⎢⎣⎭；(2) 1245,{0},2556k ⎡⎤⎡⎤∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；(3) x =x =；x =x =【分析】(1)根据对符号[]x 的定义理解可得答案;(2)将[|||1|]3x x +-=化为3|||1|4x x ≤+-<,再分三种情况去绝对值解不等式可得集合A ,然后对k 分类讨论解得集合B ,再根据AB R =,列式可求得k 的范围;(3)先判断出[]0x ≥,再将[][]1x x x ≤<+平方得222([])([]1)x x x ≤<+,再结合方程2440[]510x x -+=可得不等式224([])40[]514([]1)x x x ≤-<+,解不等式可得[]2x =或[]6x =或[]7x =或[]8x =,分别代入方程2440[]510x x -+=可解得答案.【详解】 (1)[]3,[3,4)x x =∴∈3[2]3,2[3,2),,12x x x ⎡⎫=-∴∈--∴∈--⎪⎢⎣⎭,(2) [|||1|]3x x +-=，3|||1|4x x ≤+-<,当1≥x 时，有314x x ≤+-<,解得 522x ≤<, 当01x <<时，有314x x ≤+-<,[|||1|]3x x +-=无解,当0x ≤时，有314x x ≤--+<,解得: 312x -<≤- 综上所述:35,12,22A ⎛⎤⎡⎫=-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. 因为{|(25)(3)0}B x x k x k =--≥当0k >时，5,[3,)2k B k ⎛⎤=-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦因为A B R =，所以552322k k ≤<≤，解得4556k ≤≤； 当k 0<时，5(,3],2k B k ⎡⎫=-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭， 因为AB R =,所以353122k k -≤<≤-，解得: 1225k -≤≤-， 当0k =时，B R =,A B R =成立，综上: 实数k 的取值范围1245,{0},2556⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. (3)因[][]1x x x ≤<+， 又[]0x <时,方程2440[]510x x -+=不成立,所以[]0x ≥,所以222([])([]1)x x x ≤<+,所以224([])40[]514([]1)x x x ≤-<+,224([]1)40[]5104[]40[]510x x x x ⎧+-+>∴⎨-+≤⎩,所以224[]32[]5504[]40[]510x x x x ⎧-+>⎨-+≤⎩ 所以(2[]5)(2[]11)0(2[]3)(2[]17)0x x x x -->⎧⎨--≤⎩, 所以11[]2x >或5[]2x <且317[]22x ≤≤, 所以35[]22x ≤< 或1117[]22x <≤, 所以[]2x =或[]6x =或[]7x =或[]8x =,当[]2x =时,原方程化为24290x -=,所以x =当[]6x =时,原方程化为241890x -=,所以2x ==,当[]7x =时,原方程化为242290,2x x -==,当[]8x =时,原方程化为242690,2x x -==， 经检验知，这四个值都是原方程的解.故方程2440[]510x x -+=的实数解为:x =2x =或x =x =【点睛】本题考查了对新定义的理解,一元二次不等式的解法,属于难题.。
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4、常用数集：N 、N、Z、Q、R
二、集合的表示
1、列举法：把集合中的元素一一列举出 来，并放在{ }内
2、描述法：用文字或公式等描述出元素 的特性，并放在{ }内
3.图示法 Venn图
题型示例
考查集合的含义
例1 已知x {1, 2, x2},则x 0或2
数学必修第一册 期中备考知识点
第一章 集合与常用逻辑
第二章 一元二次函数 方程 和不等式 第三章 函数的概念与性质
集合知识结构
集合
含义与表示
基本关系
基本运算
列举法 描述法 图示法 包含 相等 并集 交集 素， 把一些元素组成的总体叫做集合
2、元素与集合的关系： 或
y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标叫 做该函数的零点。即f(x)=0的解。
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
零点存在定理
若y=f(x)的图像在[a,b]上是连续曲线， 且f(a)f(b)<0，则在(a,b)内至少有一个零点， 即f(x)=0在 (a,b)内至少有一个实数解。
x 3, 2
5 4 3 2 1
-8
-6
-4
-2
01
2
3
4
6
8
10
-1
x=2
-2
-3
-4
-5
二、函数的表示法
1、解 析 法 2、列 表 法 3、图 像 法
例10 (1)已知f (x) x2 4x 3,求f (x 1)
(2)已知f (x 1) x2 2x,求f (x)
x2 3
(3)已知f
(4) y d x的图象,则a,b, c, d与1的大小关系是（ B ）.
A.a b 1 c d B.b a 1 d c
C.1 a b d
D.a b 1 d c.
y
(1) (2)
(3) (4)
O
X
指数函数与对数函数
若图象C1，C2，C3，C4对应
y=logax, y=logbx, y=logcx, y=logdx,则（D ）
做a的n次方根．
当n为奇数时， x n a 当n为偶数时， x n a
负数没有偶次方根
3.根式
式子 n a (n 1， 且n N ) 叫做根式，其
中n叫做根指数，a叫做被开方数．
根式 n an对任意实数a都有意义，
当n为正奇数时， n an a
当n为正偶数时， n
an
|
a
|
a
,a 0
负数和零没有对数；
常用关系式：
log a1 0, log aa 1, aloga N N
log a a x x
对数运算性质如下：
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0 ,那么：
(1) log a (M N) log a M log a N;
(2)
log
a
M N
log a M
log
a N;
对数函数的概念
真数 自变量
函数 y=logax 叫作指数函数
底数(a>0且a≠1) 常数
指数函数与对数函数
函数 y = ax ( a＞0 且 a≠1 ) y = log a x ( a＞0 且 a≠1 )
a＞1 0＜a＜1
a＞1
0＜a＜1
图
y
y
y
y
象
1
1
1
o
1
x
o
x
0
x
0
x
定义域 R
单调性
定义域 (0, ) 相同
求： A∪B，CR(A∩B)；
一、知识结构
三要素
函数
图像
定义域 对应关系
值域
单调性
性质
奇偶性 最值
（一）函数的定义域
例3 求下列函数的定义域
3 4x
(x 4)0
1) f (x)
x 1 log 2 (x 1) 3
（二）二次函数给定区间值域问题
例4 已知函数 y x2 4x 3,求x2,4时的值域
A.0<a<b<1<c<d
B.0<b<a<1<d<c
C.0<d<c<1<b<a
D.0<c<d<1<a<b
y
C1 C2
o1
x C3
C4
3.填空题：
(1)y=log(5x-1)(7x-2)的定义域是
(2) y lg(8 x2 )的定义域是
5
变式y lg(8 x2 )的定义域是
方程的根与函数的零点的关系
a , a 0
4.分数指数幂
(1)正数的分数指数幂： a>0
m
a n n am
m
,a n
1
n am
(2)零的正分数指数幂为零，零的负 分数指数幂没有意义
5.对数
一般地，如果 ax N a 0,且a 1,那么
数x叫做以a为底N的对数，N叫做真数。
a x N x log a N.
变式 y= 5 lg(8 x2 )的定义域是
4.已知3lg(x－3)＜1,求x的范围.
5.
设f(x)=
log
a
1 1
x x
a＞0 ,
且a≠1
(1) 求f(x)的定义域;
(2) 当a＞1时,求使f(x)＞0的
x的取值范围.
指数函数与对数函数
如图是指数函数(1) y ax , (2) y bx , (3) y cx ,
2、A B {x | x A且x B}
3、CU A {x | x U且x A}
全集：某集合含有我们所研究的各个集合的全
部元素，用U表示
考查集合的运算
例4 已知 I 0,1, 2,3, 4, A 0,1, 2,3, B=2,3
求CI B ，CAB
例5、设全集为R，集合A {x | 1 x 3}, B {x | 2x 4 x 2},
（2） f (x) f (x) ，则称 y =f（x）为偶函数
注:要判断函数的奇偶性,首先要看其定
义域区间是否关于原点对称!
例12 判断下列函数的奇偶性
(1) f x x 1 x 1
(2) f x 3
x2
(3) f x x 1
x
(4) f x x 2 , x 2,3
整数指数幂 有理指数幂 无理指数幂
例2、已知集合A {x | ax2 2x 1 0, a R}, 若A中元素至多只有一个，求a的取值范围
二、集合间的基本关系
1、子集：对于两个集合A，B如果集合A中的任何
一个元素都是集合B的元素，我们称A为B的子集.
若集合中元素有n个，则其子集个数为 2n
真子集个数为 2n-1 非空真子集个数为2n-2
性 值域 (0, )
值域 R
定点 (0, 1)
定点
(1, 0)
质
在R上是增函数 在R上是减函数
在( 0 , + ∞ )上是 在( 0 , + ∞ )上是
增函数
减函数
指数函数与对数函数
图 象 间 的 关 系
指数函数与对数函数
图 像 间 的 关 系
幂函数
函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变 量，α是常数.
1、比较下列各题中两数值的大小
(1)1.72.5,1.73.
(2) 0.8-0.1 ,0.8-0.2 (3) 2.13.4 ,0.42.8
2.比较下列各组数中两个值的 大小：
(1) log0.31.8 , log0.32.7;
(2) log3 , log20.8.
3.填空题：
(1)y=log(5x-1)(7x-2)的定义域是 (2)y= lg(8 x2 ) 的定义域是
指数
对数
定义 运算性质
定义 图象与性质
定义
指数函数 对数函数
幂函数
图象与性质
返回
指数幂与根式运算
1.指数幂的运算性质
(1)a m • a n a m n
(2)(am )n amn
am (3) an
amn
(4)(ab)n an • bn
2. a的n次方根
如果 xn a，(n>1,且n N ),那么x就叫
(
x)
1
x 4
x0 x 0 ，求f [ f (4)] x0
(4)已知幂函数f (2) 8，求函数f (x)的解析式
函数单调性
y
f(x2)
f(x1)
O
x1 x2 x
在给定区间上任取 x1, x2,
x1 x2
f(x1) f(x 2 )
函数f (x)在给定区间 上为增函数。
增函数、减函数、单调函数是 对定义域上的某个区间而言的。
(3) log a M n n log a M(n R ).
几个重要公式
(1) loga
b
logc logc
b a
lg b lg a
(2)
log a
b
1 logb
a
(换底公式)
(3) logam
bn
n m
log a
b
指数函数的概念
指数 自变量
函数 y = a x 叫作指数函数
底数(a>0且a≠1) 常数
综合应用
1 已知函数 f (x) ax2 2x 在区间
[0，4]上是增函数，求实数 a 的取值
范围.
[ 1 , ) 4