2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 教案+习题
高中数学 第二章 平面向量 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学案(含解析)
2．4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角［提出问题］已知两个向量a＝(x1,y1），b＝(x2，y2）．问题1：若i，j是两个互相垂直且分别与x轴，y轴的正半轴同向的向量，则a，b如何用i,j表示？提示：a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j。
问题2：|a｜，|b|分别用坐标怎样表示?提示：|a｜＝错误!＝错误!;|b｜＝错误!＝错误!.问题3：能用a，b的坐标表示a·b吗？提示：a·b＝（x1i＋y1j)·(x2i＋y2j）＝x1x2i2＋（x1y2＋x2y1）i·j＋y1y2j2＝x1x2＋y1y2。
问题4:垂直的条件和向量夹角能用坐标表示吗？提示：能．［导入新知]1．平面向量数量积的坐标表示若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2）,则a·b＝x1x2＋y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．2．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a＝（x1，y1)，b＝（x2,y2），则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0。
3．三个重要公式(1）向量模的公式：设a＝(x1，y1）,则|a|＝错误!。
（2)两点间的距离公式:若A（x1，y1），B(x2，y2），则|AB｜＝错误!。
（3）向量的夹角公式：设两非零向量a＝（x1,y1)，b＝（x2，y2），a与b的夹角为θ，则cos θ＝错误!。
[化解疑难]向量的模的坐标运算的实质向量的模即为向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如a＝(x，y），则在平面直角坐标系中，一定存在点A(x，y),使得OA＝a＝(x,y），故|OA｜＝|a|＝错误!,即|a｜为点A到原点的距离．同样若A（x1，y1),B（x2，y2），则AB＝(x2－x1，y2－y1),故｜AB｜＝错误!,即平面直角坐标系中任意两点间的距离公式．由此可知向量的模的运算实质即为平面直角坐标系中两点间的距离的运算．平面向量数量积的坐标运算［例1] （1）（广东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB ＝(1，－2),AD＝(2，1），则AD·AC＝( ）A．5 B．4C．3 D．2（2)已知向量a＝(1，3)，b＝(2，5）,c＝(2,1），求:①2a·（b－a)；②（a＋2b）·c.［解] (1)A(2）①∵2a＝2（1，3）＝(2，6）,b－a＝(2,5）－（1，3）＝(1,2）,∴2a·(b－a)＝（2，6)·(1，2）＝2×1＋6×2＝14.②∵a＋2b＝（1,3）＋2(2,5)＝(1,3)＋（4，10）＝（5，13),∴(a＋2b)·c＝（5，13)·(2,1）＝5×2＋13×1＝23.［类题通法]数量积运算的途径及注意点（1）进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．(2）对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解．[活学活用]已知向量a与b同向,b＝（1，2)，a·b＝10。
【期末专练】人教A版数学必修四2.4.2《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》 教案
∴ΔABC是直角三角形
两个向量的数量积是否为零，是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一。
反思与评价
通过这节课的学习，有什么收获？
通过这节课的学习：
（1）知识方面：（1）平面向量数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；⑵平面向量的模的坐标公式以及平面内两点间的距离公式；⑶两个平面向量的夹角的坐标公式；⑷向量垂直的充要条件的坐标表示
自主探索
学生通过做练习，及时巩固所学新知识，加深理解.
创设问题情境
5、推广：请思考下列问题
（1）设a=(x，y)，则|a|=? a2与|a|有何关系？
（2）设A、B两点的坐标分别为(xA，yA)，(xB，yB)，则|AB|=？
（3）设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，向量a，b的夹角为θ，则cosθ=?
教学目标
知识和能力:
（1）掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；
（2）掌握平面向量的模的坐标公式以及平面内两点间的距离公式；
（3）掌握两个平面向量的夹角的坐标公式；
（4）能用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系；
过程和方法:启发引导式.
情感态度和价值观:
（1）进一步渗透数形结合与类比的思想方法；
应用
例1．已知 ， ，求 ， ， ， 与 的夹角 .
解：
∵
∴
先让学生尝试解答，体会自主应用新知识解决问题的过程，然后给出详细解答.
应用
例2 已知A(1，2)，B（2，3），C(-2，5)，求证ΔABC是直角三角形。
证明：∵ =(2-1，3-2)=(1，1)， =(-2-1，5-2)=（-3，3），
∴ · =1×(-3)+1×3=0
人教a版高一必修4_2.4.2_平面向量数量积的坐标表示、模、夹角_作业_word版含解析
人教a 版高一必修4_2.4.2_平面向量数量积的坐标表示、模、夹角_作业_word 版含解析[A.基础达标]1．已知向量a ＝(－1，x )，b ＝(1，x )，若2b －a 与a 垂直，则|a |＝( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．4 解析：选C.由题意得，2b －a ＝2(1，x )－(－1，x )＝(3，x )，∵(2b －a )⊥a ，∴－1×3＋x 2＝0，即x 2＝3，∴|a |＝ (－1)2＋3＝2.2．已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，点P 在x 轴上，且使AP →·BP →有最小值，则点P 的坐标为( ) A ．(－3,0) B ．(2,0) C ．(3,0) D ．(4,0)解析：选C.设P (x,0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)，所以AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋2＝x 2－6x＋10，当x ＝3时，AP →·BP →取最小值，故P (3,0)，故选C.3．在△ABC 中，BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，且满足：|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，则a·b ＋b·c ＋c·a 的值为( )A ．4 B.72C ．－4D ．－72解析：选C.在△ABC 中，∵|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，∴△ABC 为直角三角形，且BC ⊥BA ，以BA ，BC 为x ，y 轴建立坐标系，则B (0,0)，A (3，0)，C (0,1)，∴a ＝BC →＝(0,1)，b ＝CA →＝(3，－1)，c ＝AB →＝(－3，0)， ∴a·b ＋b·c ＋a·c ＝－1－3＋0＝－4.4．已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( ) A.322B.3152C ．－322D ．－3152解析：选A.AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，|CD →|＝52，故AB →在CD →方向上的投影为AB →·CD →|CD →|＝1552＝322.5．在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为( ) A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．10解析：选C.AC →·BD →＝(1,2)·(－4,2)＝0，故AC →⊥BD →.故四边形ABCD 的对角线互相垂直，面积S ＝12·|AC →|·|BD→|＝12×5×25＝5. 6．已知a ＝(0,1)，b ＝(1,1)，且(a ＋λb )⊥a ，则实数λ的值是________． 解析：由(a ＋λb )⊥a ，得(a ＋λb )·a ＝0，即(λ，1＋λ)·(0,1)＝0，∴1＋λ＝0，∴λ＝－1. 答案：－17．已知a ＝(λ，2)，b ＝(－3，5)，且a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．解析：由于a 与b 的夹角为锐角，∴a·b ＞0，且a 与b 不共线同向．由a·b ＞0⇒－3λ＋10＞0，解得λ＜103.当向量a 与b 共线时，得5λ＝－6，得λ＝－65，因此λ的取值范围是λ＜103且λ≠－65.答案：{λ|λ＜103且λ≠－65}8．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角大小为________．解析：a ＋b ＝(－1，－2)，|a |＝5，设c ＝(x ，y )，而(a ＋b )·c ＝52，∴x ＋2y ＝－52.又∵a·c ＝x ＋2y ，设a 与c 的夹角为θ，则cos θ＝a·c|a |·|c |＝－525＝－12.又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.答案：120°9．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,4)． (1)求a ＋b 与a －b 的夹角；(2)若a ⊥(a ＋λb )，求实数λ的值． 解：(1)∵a ＝(1,2)，b ＝(－3,4)， ∴a ＋b ＝(－2,6)，a －b ＝(4，－2)，∴cos 〈a ＋b ，a －b 〉＝(－2，6)·(4，－2)40×20＝－2040×20＝－22.又∵〈a ＋b ，a －b 〉∈[0，π]，∴〈a ＋b ，a －b 〉＝3π4.(2)当a ⊥(a ＋λb )时，a ·(a ＋λb )＝0， ∴(1,2)·(1－3λ，2＋4λ)＝0，则1－3λ＋4＋8λ＝0，∴λ＝－1.10．平面内有向量OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)，OP →＝(2,1)，点M (x ，y )为直线OP 上的一动点．(1)用只含y 的代数式表示OM →的坐标；(2)求MA →·MB →的最小值，并写出此时OM →的坐标．解：(1)设OM →＝(x ，y )，因为点M 在直线OP 上，所以向量OM →与OP →共线． 又OP →＝(2,1)，则x －2y ＝0，即x ＝2y ，所以OM →＝(2y ，y )．(2)因为MA →＝OA →－OM →＝(1－2y,7－y )，MB →＝OB →－OM →＝(5－2y,1－y )，所以MA →·MB →＝(1－2y )(5－2y )＋(7－y )(1－y ) ＝5y 2－20y ＋12 ＝5(y －2)2－8，所以当y ＝2时，MA →·MB →取最小值－8，此时OM →＝(4,2)．[B.能力提升]1．已知a ＝(5,4)，b ＝(3,2)，则与2a －3b 平行的单位向量为( )A ．(55，255) B ．(55，255)或(－55，－255)C ．(55，－255)或(－55，255)D ．(－55，－255)解析：选B.可知2a －3b ＝(1,2)，设所求的向量的坐标为(x ，y )，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝y ，x 2＋y 2＝1，解得⎩⎨⎧x ＝55，y ＝255或⎩⎨⎧x ＝－55，y ＝－255，故选B.2．如图是函数y ＝tan(π4x －π2)的部分图象，则OB →·BA →等于( )A ．4B ．－4C ．2D ．－2解析：选B.令tan(π4x －π2)＝1，结合图象可得x ＝3，即B (3,1)．令tan(π4x －π2)＝0，结合图象可得x ＝2，即A (2,0)，从而OB →＝(3,1)，BA →＝(－1，－1)，OB →·BA →＝－4，故选B.3．若a ＝(2，－1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(3，y )，若a ∥b ，(a ＋b )⊥(b －c )，M (x ，y )，N (y ，x )，则向量MN →的模为________．解析：因为a ∥b ，所以x ＝4，所以b ＝(4，－2)，所以a ＋b ＝(6，－3)，b －c ＝(1，－2－y )． 因为(a ＋b )⊥(b －c )， 所以(a ＋b )·(b －c )＝0，即6－3(－2－y )＝0，所以y ＝－4，故向量MN →＝(－8,8)，|MN →|＝8 2. 答案：8 24．已知在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则CP →·CB →＋CP →·CA →＝________.解析：由题意可建立如图所示的坐标系，可得A (2,0)，B (0，2)，P (23，43)或P (43，23)，所以可得CP →＝(23，43)或CP →＝(43，23)，CA →＝(2,0)，CB →＝(0,2)， 所以CA →＋CB →＝(2,0)＋(0,2)＝(2,2)，所以CP →·CB →＋CP →·CA →＝CP →·(CB →＋CA →)＝(23，43)·(2,2)＝4或CP →·(CB →＋CA →)＝(43，23)·(2,2)＝4.答案：45．已知向量a ＝(2,0)，b ＝(1,4)． (1)求|a ＋b |的值；(2)若向量k a ＋b 与a ＋2b 平行，求k 的值；(3)若向量k a ＋b 与a ＋2b 的夹角为锐角，求k 的取值范围． 解：(1)∵a ＝(2,0)，b ＝(1,4)，∴a ＋b ＝(3,4)， 则|a ＋b |＝5.(2)∵a ＝(2,0)，b ＝(1,4)，∴k a ＋b ＝(2k ＋1,4)，a ＋2b ＝(4,8)；因为向量k a ＋b 与a ＋2b 平行，所以8(2k＋1)＝16，则k ＝12.(3)∵a ＝(2,0)，b ＝(1,4)，∴k a ＋b ＝(2k ＋1,4)，a ＋2b ＝(4,8)；因为向量k a ＋b 与a ＋2b 的夹角为锐角，所以⎩⎪⎨⎪⎧4(2k ＋1)＋32＞0k ≠12，解得k ＞－92或k ≠12.6．(选做题)已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标．解：设D 点坐标为(x ，y )， 则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)， BD →＝(x －3，y －2)．∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线， ∴－6(y －2)＋3(x －3)＝0， 即x －2y ＋1＝0.①又∵AD ⊥BC ，∴AD →·BC →＝0， 即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0， ∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0， 即2x ＋y －3＝0，②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴|AD →|＝(1－2)2＋(1＋1)2＝5， 即|AD →|＝5，点D 的坐标为(1,1)．。
高中数学教案 必修4教案 第二章 平面向量 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、教材分析本课的地位及作用：平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段。
它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章重点之一。
二．教学目标1．学会用平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。
理解掌握向量的模、夹角等公式。
能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题。
2．（1）通出问题，把问题的求解与探究贯穿整堂课，学生在自主探究中发现了结论（2）通过对向量平行与垂直的充要条件的坐标表示的类比，教给了学生类比联想的记忆方法。
3．经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神、三、教学重点难点重点：平面向量数量积的坐标表示.难点：向量数量积的坐标表示的应用.四、学情分析此之前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积概念及运算，但数量积是用长度和夹角这两个概念来表示的，应用起来不太方便，如何用坐标这一最基本、最常用的工具来表示数量积，使之应用更方便，就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题。
因此，本节内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个合情、合理的“生长点”。
所以，本节课采取以学生自主完成为主，教师查漏补缺的教学方法。
因此结合中学生的认知结构特点和学生实际。
我将本节教学目标确定为：1、理解掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。
理解掌握向量的模、夹角等公式。
能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题2、经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神。
五、教学方法1．实验法：多媒体、实物投影仪。
2．学案导学：见后面的学案。
3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习。
2.4.2平面向量数量积的坐标表示黑底 -
2 2 y j x1 x2i 2 x1 y2i j x2 y1i j y1 1 2 2
x1 x2 y1 y2
a b x1 x2 y1 y2
例1 已知 a 5, b 4, a 与b 的夹角
=120 ，求a b.
解： a b= a b cos 5 4 cos120 10.
例2 a 3, 4 , b 5, 2 , 求a b.
解： a b -3 5 4 2 -7
问题二
已知一个向量的坐标, 能否利用坐标求出该向量的模 ? 2 2 2 1 若 a x , y , 则 a a a x y ,
AB =
x2 x1 + y2 y1 ，
2 2
即两点间的距离公式.Fra bibliotekx2 y2
2
2
.
例4 a 1,1 , b 3,3 , 求a 与 b的夹角 .
解： cos a b a b 1 （-3） +1 3 1 +1 （-3）+3
2 2 2 2
=0，
又因为0 180 ，所以 =90 .
小结
1. 设a x1 , y1 , b x2 , y2 , a与b的夹角为，则
① a b x1 x2 y1 y2
② a⊥b a b=0 x1x2 y1 y2 0
③a
④ cos
x
2 1
y
2 1
a b a b
x1 x2 y1 y2 x12 y12 x2 2 y2 2
高中数学2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角导学案新人教A版必修4
§2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；2. 理解模长公式与解析几何中两点之间距离公式的一致性.（预习教材P106—P107） 复习：1.向量a r 与b r 的数量积a b ⋅r r = . 2.设a r 、b r 是非零向量，e r 是与b r 方向相同的单位向量，θ是a r 与b r 的夹角，则 ①a b a b ⊥⇔⋅=r r r r ；②a =r ；③cos θ= .二、新课导学※ 探索新知探究：平面向量数量积的坐标表示问题1：已知两个非零向量()()1122,,,a x y b x y ==r r ，怎样用a r 与b r 的坐标表示a b ⋅r r 呢？1. 平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量()()1122a=x ,y ,b=x ,y ,a b=⋅v v v v （坐标形式）。
这就是说：（文字语言）两个向量的数量积等于 。
问题2：如何求向量(),a x y =r ()11,A x y ，()22,B x y 间的距离？2.平面内两点间的距离公式 （1）设a=(x,y),v 则2a =v ________________或a v________________。
（2）若()11,A x y ，()22,B x y =___________________（平面内两点间的距离公式）。
问题3：如何求()()1122,,,a x y b x y ==r r 的夹角θ和判断两个向量垂直？3．两向量夹角的余弦：设θ是a r 与b r 的夹角，则cos θ＝_________＝_______________向量垂直的判定：设()()1122a=x ,y ,b=x ,y ,v v 则⇔⊥_________________※ 典型例题例1、已知()()(),4,1,2,3,1,2-C B A（1）试判断ABC ∆的形状，并给出证明.（2）若ABDC 是矩形，求D 点的坐标。
2..4..2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(教、教案)
2. 4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、教材分析本课的地位及作用：平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段。
它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章重点之一。
VU2OVWNFIq 二．教学目标1．学会用平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。
理解掌握向量的模、夹角等公式。
能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题。
VU2OVWNFIq2．<1）通出问题，把问题的求解与探究贯穿整堂课，学生在自主探究中发现了结论<2）通过对向量平行与垂直的充要条件的坐标表示的类比，教给了学生类比联想的记忆方法。
3．经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神、三、教学重点难点重点：平面向量数量积的坐标表示.难点：向量数量积的坐标表示的应用.四、学情分析此之前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积概念及运算，但数量积是用长度和夹角这两个概念来表示的，应用起来不太方便，如何用坐标这一最基本、最常用的工具来表示数量积，使之应用更方便，就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题。
因此，本节内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个合情、合理的“生长点”。
所以，本节课采取以学生自主完成为主，教师查漏补缺的教学方法。
因此结合中学生的认知结构特点和学生实际。
我将本节教学目标确定为：1、理解掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。
理解掌握向量的模、夹角等公式。
能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题2、经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神。
VU2OVWNFIq五、教学方法1．实验法：多媒体、实物投影仪。
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
引入
练1、已知 | a | 6, | b | 4, a与b的夹角为60 ,
0
求( a 2b ) ( a 3b ).
练 2、已知 | a | 3, | b | 4, 且 a与b不共线.k为 何值时, 向量a k b与a k b垂直. 练 3、已知 | a | 2, | b | 5, a b 3, 求 | a b |, |ab|.
( 3)若 a ( x1 , y1 ), b ( x 2 , y 2 ), 则a b __ __ .
举例
例1、求证 : A(1,0), B ( 5,2), C ( 8,4), D( 4,6) 为顶点的四边形是一个 矩形.
解： | AB | （ 4， 2） DC , cos AB , AD
2
( 4 , 2 )( 3 ,6 ) 4 ( 2 )
2
3 6
2
2
其余略；所以得证
向量夹角公式:
ab | a || b | x1 x 2 y1 y 2 x1 y1
2 2
cos
x2 y2
2
2
例 2、已知 | a | 3 , b ( 1 ,2 ), 且 a // b , 求 a的坐 标.
向量夹角公式:
cos ab | a || b |
2
x1 x 2 y1 y 2 x1 y1
2
x2 y2
2
2
作业
课本107页练习
新课
数量积的坐标表示 :
已知两个非零向量 ( x1 , y1 ), b ( x 2 , y 2 ), a 则a b x1 x 2 y1 y2 .
2.4.2《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》导学案
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【学习目标】掌握平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及平面上两点间的距离公式和向量垂直的坐标表示，并能应用．【知识梳理】1．a ·b ＝|a ||b |cos θ(θ为a 、b 的夹角)．2．a ·b 的几何意义为：a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 上的投影的乘积或等于b 的长度|b |与a 在b 上的投影的乘积．3．若i ，j 是平面直角坐标系xOy 中分别与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，且a ＝xi ＋yj ，则a 的坐标为________答：(x ，y )．4．平面向量数量积的坐标表示若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝__________.x 1x 2＋y 1y 2；它们对应坐标乘积的和即两个向量的数量积等于_____________________5．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔________________.x 1x 2＋y 1y 2＝0【自测自评】1．(2010年高考重庆卷)若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a ·b ＝0，则实数m 的值为() A ．－32 B.32C ．2D ．62．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB →＝(k,1)，AC →＝(2,3)，则k 的值为( )A ．5B ．－5C.32 D ．－323．(2011年济宁市质量检测)已知a ＝(2,2)，b ＝(1－3，1＋3)，则有( )A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．a 与b 夹角为60°D ．a 与b 夹角为30°4．已知向量a ＝(x －5,3)，b ＝(2，x )且a ⊥b ，则由x 的值构成的集合是__________．【典型例题】题型一、向量数量积的坐标运算找清向量的坐标表示，根据公式法则运算6．三个重要公式(1)向量模公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝______.(2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝____________________.(3)向量的夹角公式：设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝_____________.例1：已知向量a 与b 同向，b ＝(1,2)，a ·b ＝10.(1)求向量a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求(b ·c )a .变式1、若本例条件不变，求(1)(a ·b )c ；(2)(b ＋c )·a .题型二、向量垂直的坐标形式的应用a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.例2、*题型三、向量的夹角或模的问题例3、已知a ＝(－2，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角α为钝角，求λ的取值范围．变式3、若本例中，a 与b 的夹角α为锐角或直角，试分别求λ的取值范围．平面内三个点A ，B ，C 在一条直线上，且OA →＝(－2，m )，OB →＝(n,1)，OC →＝(5，－1)，且OA →⊥OB →，求实数m ，n 的值．设两个不全为0的向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其夹角为θ，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22，|a |＝x 21＋y 21.方法技巧3．已知两向量的坐标，根据平面向量的数量积的定义和性质，可以求其数量积、长度和它们的夹角，此外，求解数量积的有关综合问题，应该注意函数思想与方程思想的运用．如例2失误防范1．区分开a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0与a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0，两者极易混淆．2．若a ·b <0，其夹角为钝角或平角．若a ·b >0，其夹角为锐角或零角．【课堂检测】1．已知a ＝(－3,4)，b ＝(5,2)，则a ·b ＝( )A ．23B ．7C ．－23D ．－72．(2010年高考安徽卷)设向量a ＝(1,0)，b ＝(12，12)，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a ·b ＝22C ．a ∥bD ．a －b 与b 垂直3．a 、b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a 与b 的夹角的余弦值为( ) A.865 B ．－865C.1665 D ．－16654．(2011年济南调研)已知向量m 与向量n 互相垂直且|m |＝|n |，若m ＝(2,1)，则n 等于( )A ．(1，－2)B ．(－2,1)C ．(－2,1)或(2，－1)D ．(1，－2)或(－1,2)5．已知a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为__________．6．已知a ＝(1，3)，b ＝(3＋1，3－1)，则a 与b 的夹角是__________．7．已知向量a ＝e 1－e 2，b ＝4e 1＋3e 2，其中e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)．(1)试计算a ·b 与|a ＋b |的值；(2)求向量a 与b 夹角的余弦值．1．向量问题的处理有两种思路：一种是纯向量式，另一种是坐标式，两者互相补充．2．由于两个非零向量a 、b 的夹角θ满足0°≤θ≤180°，所以用cos θ＝a ·b |a ||b |来判断，可将θ分为五种情况：cos θ＝1，θ＝0°；cos θ＝0，θ＝90°；cos θ＝－1，θ＝180°；cos θ＜0且cos θ≠－1，θ为钝角；cos θ＞0且cos θ≠1，θ为锐角．如例3*8．已知a ＝(－12，32)，OA →＝a －b ，OB →＝a ＋b ，若△AOB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，求向量b .。
2020-高中数学 第二章 平面向量 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学案(含解析)
学习资料2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角考试标准课标要点 学考要求高考要求数量积的坐标表示 cc两个向量夹角 的坐标运算 b b 平面向量模 的坐标运算bb知识导图学法指导1。
学习了本节后，我们在用向量处理平面图形问题时就有了两种方法，通过一题两解，体会基底法和坐标法的优劣及选择依据．2．通过数形结合,对向量平行与垂直条件的坐标表示的类比，培养学生联想的记忆方法.1。
两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示设向量a ＝（x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ。
数量积 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2 两个向量垂直 a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0 错误! 对数量积的坐标表示的理解(1）两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和；（2）引入坐标运算后，使得平面向量数量积的运算和两个向量的坐标运算联系起来，从而使得向量的工具性作用更强；（3）平面向量的坐标可以把几何问题转化为代数问题,用向量的坐标运算来实现几何问题的求解，数形结合的思想在数量积的应用中将体现更多．2．三个重要公式向量模公式:设a ＝(x 1,y 1）,则|a |＝ 错误!两点间距离公式：若A (x 1,y 1),B （x 2，y 2）,则|错误!｜＝错误! 向量的夹角公式：设两非零向量a ＝(x 1,y 1),b ＝（x 2，y 2），a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝错误!＝错误!状元随笔 对向量模长公式的理解（1)模长公式是数量积的坐标表示错误!·错误!＝x 1x 2＋y 1y 2的一种特例,当错误!＝错误!时，则可得｜错误!｜2＝x 错误!＋y 错误!；(2）若点A(x 1，y 1），B(x 2，y 2)，则错误!＝（x 2－x 1,y 2－y 1），所以｜错误!|＝错误!，即｜AB →｜的实质是A ，B 两点间的距离或线段AB 的长度，这也是模的几何意义．[小试身手］1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√"，错误的打“×”）（1）两个非零向量a ＝（x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，满足x 1y 2－x 2y 1＝0，则向量a ，b 的夹角为0°。
学案5：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学习目标1．理解并掌握平面向量的数量积的坐标表示及运算．2．能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直等有关的问题. 学习重点：平面向量数量积的坐标表示及运算．(重点)学习难点：用两个向量的坐标判断垂直关系．(难点)新知导学1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2).温馨提示：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)是坐标平面内的三个点，若AC ⊥AB ，则(x 3－x 1)·(x 2－x 1)＋(y 3－y 1)·(y 2－y 1)＝0. 2．三个重要公式温馨提示：利用夹角公式求夹角时，不包括a ，b 中存在零向量的情况．互动探究探究点1 已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．a ∥b 与a ⊥b 坐标表示有何区别？两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．探究点2 你能用向量法推导两点间距离公式|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2吗？题型探究类型一向量数量积的坐标运算例1 已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求：(1)向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)·b.规律方法(1)通过向量的坐标表示实现向量问题代数化，应注意与方程、函数等知识的联系．(2)向量问题的处理有两种思路：一种是纯向量式，另一种是坐标式，两者互相补充．活学活用1 已知向量a＝(1,3)，b＝(2,5)，c＝(2,1)．求：(1)a·b；(2)(a＋b)·(2a－b)；(3)(a·b)·c，a·(b·c)．类型二两向量的夹角例2 按要求作答：(1)若a ＝(3,0)，b ＝(－5,5)，求a 与b 的夹角；(2)已知三点A (2，－2)，B (5,1)，C (1,4)，求∠BAC 的余弦值．规律方法 应用向量的夹角公式求夹角时，应先分别求出两个向量的模，再求出它们的数量积，最后代入公式求出夹角的余弦值，进而求出夹角．活学活用2 设a ＝(1,2)，b ＝(－2，－3)，又c ＝2a ＋b ，d ＝a ＋m b ，若c 与d 夹角为45°，求实数m 的值．类型三 向量垂直的坐标表示例3 已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标．规律方法 将题目中的隐含条件挖掘出来，然后坐标化，运用方程的思想进行求解是解向量题常用的方法．活学活用3 已知a ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，OA →＝a －b ，OB →＝a ＋b ，若△AOB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，求向量b .感悟提升课堂达标1．已知a ＝(1，－1)，b ＝(2,3)，则a ·b ＝( )A ．5B ．4C ．－2D ．－12．设a ＝(4,3)，a 在b 上的投影为522，b 在x 轴上的投影为2，且|b |≤14，则b 为( )． A.(2,14)B.⎝⎛⎭⎫2，－27C.⎝⎛⎭⎫－2，27 D.(2,8) 3．已知A (－3,2)，B (0，－2)，则|AB →|＝________.4．已知向量OA →＝(－1,2)，OB →＝(8，m )，若OA →⊥AB →，则m ＝________.5．已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)．(1)求a 与b 的夹角的余弦；(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．课堂小结1．向量的坐标表示简化了向量数量积的运算．为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．3．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.参考答案新知导学1．它们对应坐标的乘积的和x1x2＋y1y2 x1x2＋y1y2＝0互动探究探究点1 提示若a∥b⇔x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0.若a ⊥b ⇔x 1x 2＝－y 1y 2，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．探究点2 提示 AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，∴AB →·AB →＝AB →2＝|AB →|2＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2，即|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.题型探究类型一 向量数量积的坐标运算例1 解：(1)∵a 与b 同向，且b ＝(1,2)，∴a ＝λb ＝(λ，2λ)(λ>0)．又∵a ·b ＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2,4)．(2)∵a ·c ＝2×2＋(－1)×4＝0，∴(a ·c )·b ＝0·b ＝0.活学活用1 解：(1)a ·b ＝(1,3)·(2,5)＝1×2＋3×5＝17.(2)∵a ＋b ＝(1,3)＋(2,5)＝(3,8)，2a －b ＝2(1,3)－(2,5)＝(2,6)－(2,5)＝(0,1)，∴(a ＋b )·(2a －b )＝(3,8)·(0,1)＝3×0＋8×1＝8.(3)(a ·b )·c ＝17c ＝17(2,1)＝(34,17)，a ·(b ·c )＝a [(2,5)·(2,1)]＝(1,3)·(2×2＋5×1)＝9(1,3)＝(9,27)．类型二 两向量的夹角例2 解：(1)a ·b ＝3×(－5)＋0×5＝－15，|a |＝3，|b |＝5 2.设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－153×52＝－22. 又∵0≤θ≤π，∴θ＝3π4. 即a 与b 的夹角为34π. (2)∵AB →＝(5,1)－(2，－2)＝(3,3)，AC →＝(1,4)－(2，－2)＝(－1,6)，∴AB →·AC →＝3×(－1)＋3×6＝15. 又∵|AB →|＝32＋32＝32，|AC →|＝(－1)2＋62＝37，∴cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB ||AC |＝1532·37＝57474. 活学活用2 解：∵a ＝(1,2)，b ＝(－2，－3)，∴c ＝2a ＋b ＝2(1,2)＋(－2，－3)＝(0,1)，d ＝a ＋m b ＝(1,2)＋m (－2，－3)＝(1－2m,2－3m )，∴c ·d ＝0×(1－2m )＋1×(2－3m )＝2－3m .又∵|c |＝1，|d |＝(1－2m )2＋(2－3m )2，∴cos 45°＝c ·d |c ||d |＝2－3m (1－2m )2＋(2－3m )2＝22. 化简得5m 2－8m ＋3＝0，解得m ＝1或m ＝35. 经检验m ＝1不合题意，所以实数m 的值为35. 类型三 向量垂直的坐标表示例3 解：设D 点坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)，BD →＝(x －3，y －2)，∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线，∴－6(y －2)＋3(x －3)＝0，即x －2y ＋1＝0.①又∵AD ⊥BC ，∴AD →·BC →＝0，即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0，∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0.即2x ＋y －3＝0.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1， ∴|AD →|＝(1－2)2＋(1＋1)2＝5，即|AD →|＝5，点D 的坐标为(1,1)．活学活用3 解：设向量b ＝(x ，y )．根据题意，得OA →·OB →＝0，|OA →|＝|OB →|.∴(a －b )·(a ＋b )＝0，|a －b |＝|a ＋b |，∴|a |＝|b |，a ·b ＝0.又∵a ＝⎝⎛⎭⎫－12，32， 即⎝ ⎛ x 2＋y 2＝1，－12x ＋32y ＝0. 解得⎩⎨⎧ x ＝32，y ＝12或⎩⎨⎧ x ＝－32，y ＝－12. ∴b ＝⎝⎛⎭⎫32，12或b ＝⎝⎛⎭⎫－32，－12. 感悟提升课堂达标1．【答案】D【解析】a ·b ＝1×2＋(－1)×3＝－1.2．【答案】B【解析】法一 因为b 在x 轴上的投影为2，所以b 的横坐标为2，排除C 项；又|b |≤14，排除A 项；又a 在b 上的投影为522＝|a |·cos α(α为a 与b 的夹角)． 所以cos α＝22，将D 选项代入cos θ＝a ·b |a |·|b |进行验证可排除． 法二 设向量b ＝(2，y )，由题意，得a ·b |a |·|b |＝cos α＝522|a |＝22. 将a ＝(4,3)，b ＝(2，y )代入上式计算，得y ＝－27或y ＝14.又|b |≤14，故y ＝14(舍去)， 则y ＝－27， 即b ＝⎝⎛⎭⎫2，－27. 3．【答案】5【解析】∵AB →＝(3，－4)．∴|AB →|＝32＋(－4)2＝5.4．【答案】132【解析】∵OA →·AB →＝OA →·(OB →－OA →)＝OA →·OB →－OA →2＝2m －13＝0，∴m ＝132. 5．解：(1)∵a ·b ＝4×(－1)＋3×2＝2，|a |＝42＋32＝5，|b |＝(－1)2＋22＝5，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝255＝2525. (2)∵a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，2a ＋b ＝(7,8)， 又(a －λb )⊥(2a ＋b )，∴(a －λb )·(2a ＋b )＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，∴λ＝529.。
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 学案(含答案)
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学案（含答案）24.2平面向量数量积的坐标表示平面向量数量积的坐标表示..模模..夹角夹角学习目标1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直知识点一平面向量数量积的坐标表示设非零向量ax1，y1，bx2，y2，a与b的夹角为.数量积abx1x2y1y2向量垂直abx1x2y1y20知识点二平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式向量模长ax，y|a|x2y2以Ax1，y1，Bx2，y2为端点的向量AB|AB|x2x12y2y12知识点三平面向量夹角的坐标表示cosab|a||b|x1x2y1y2x21y21x22y22.思考若两个非零向量的夹角满足cos0，则两向量的夹角一定是钝角吗答案不一定，当cos0，则两向量的夹角一定是锐角提示当两向量同向共线时，cos10，但夹角0，不是锐角3两个非零向量ax1，y1，bx2，y2，满足x1y2x2y10，则向量a与b的夹角为0.题型一数量积的坐标运算例11已知a2，1，b1，1，则a2ba3b等于A10B10C3D3考点平面向量数量积的坐标表示与应用题点坐标形式下的数量积运算答案B解析a2b4，3，a3b1,2，所以a2ba3b413210.2如图所示，在矩形ABCD中，AB2，BC2，点E在边CD 上，且DE2EC，则AEBE的值是________考点平面向量数量积的坐标表示与应用题点坐标形式下的数量积运算答案329解析以A为原点，AB所在直线为x轴.AD所在直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系AB2，BC2，A0,0，B2，0，C2，2，D0,2，点E在边CD 上，且DE2EC，E223，2.AE223，2，BE23，2，AEBE494329.反思感悟数量积坐标运算的技巧1进行数量积运算时，要正确使用公式abx1x2y1y2，并能灵活运用以下几个关系|a|2aa.abab|a|2|b|2.ab2|a|22ab|b|2.2在平面几何图形中求数量积，若几何图形规则易建系，可先建立坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积跟踪训练1向量a1，1，b1,2，则2aba等于A1B0C1D2考点平面向量数量积的坐标表示与应用题点坐标形式下的数量积运算答案C解析因为a1，1，b1,2，所以2ab21，11,21,0，则2aba1,01，11，故选C.题型二平面向量的模例2已知平面向量a3,5，b2,11求a2b及其模的大小；2若caabb，求|c|.考点平面向量模的坐标表示与应用题点利用坐标求向量的模解1a3,5，b2,1，a2b3,522,134,527,3，|a2b|723258.2ab651，cab1,6，|c|126237.反思感悟求向量ax，y的模的常见思路及方法1求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系要灵活应用公式a2|a|2x2y2，求模时，勿忘记开方2aaa2|a|2或|a|a2x2y2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化跟踪训练2已知向量a2,1，ab10，|ab|52，则|b|等于A.5B.10C5D25考点平面向量模的坐标表示与应用题点利用坐标求向量的模答案C解析a2,1，a25，又|ab|52，ab250，即a22abb250，5210b250，b225，|b|5.题型三平面向量的夹角与垂直问题命题角度1向量的夹角例3已知点A3,0，B0,3，Ccos，sin，O0,0，若|OAOC|13，0，，则OB，OC 的夹角为A.2B.4C.3D.6考点平面向量夹角的坐标表示与应用题点求坐标形式下的向量的夹角答案D解析因为|OAOC|2OAOC2OA22OAOCOC296cos113，所以cos12，因为0，，所以3，所以C12，32，所以cosOB，OCOBOC|OB||OC|3323132，因为0OB，OC，所以OB，OC6，所以OB，OC的夹角为6，故选D.反思感悟利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤1利用向量的坐标求出这两个向量的数量积2利用|a|x2y2求两向量的模3代入夹角公式求cos，并根据的范围确定的值跟踪训练3已知a1，1，b，1，若a与b的夹角为钝角，求的取值范围考点平面向量夹角的坐标表示与应用题点已知坐标形式下的向量夹角求参数解a1，1，b，1，|a|2，|b|12，ab1.又a，b的夹角为钝角，10，2121，即1，2210.0，AB2，点B的坐标是2,0，AB2,0，BCx2，yABBC1，2x21，解得x52.又SABC32，12|AB|y32，y32，C点坐标为52，32，则AC52，32，|AC|522322342，故边AC的长为342.素养评析本题通过建立直角坐标系，从而建立形与数的联系利用平面向量的坐标解决线段的长度问题，提升了学生数形结合的能力，培养了学生数学运算及直观想象的数学核心素养1已知a3,4，b5,12，则a与b夹角的余弦值为A.6365B.65C.135D.13考点平面向量夹角的坐标表示与应用题点求坐标形式下的向量的夹角答案A解析|a|32425，|b|5212213.ab3541263.设a，b夹角为，所以cos635136365.2若向量ax,2，b1,3，ab3，则x等于A3B3C.53D53考点平面向量数量积的坐标表示与应用题点已知数量积求参数答案A解析abx63，故x3.3已知向量m1,1，n2,2，若mnmn，则等于A4B3C2D1考点平面向量平行与垂直的坐标表示与应用题点已知向量垂直求参数答案B解析因为mn23,3，mn1，1，由mnmn，可得mnmn23,31，1260，解得3.4若平面向量a1，2与b的夹角是180，且|b|35，则b等于A3,6B3，6C6，3D6,3考点平面向量数量积的坐标表示与应用题点平面向量模与夹角的坐标表示的综合应用答案A解析由题意设ba，20，则|b|2225||35，又0，3，故b3,65已知三个点A2,1，B3,2，D1,4求证ABAD.证明A2,1，B3,2，D1,4，AB1,1，AD3,3又ABAD13130，ABAD，即ABAD.6已知a4,3，b1,21求a与b的夹角的余弦值；2若ab2ab，求实数的值考点平面向量平行与垂直的坐标表示与应用题点已知向量垂直求参数解1ab41322，|a|42325，|b|12225，cosa，bab|a||b|2552525.2ab4，32，2ab7,8，ab2ab，ab2ab748320，529.1平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离.角度.垂直等有关问题的有力工具2应用数量积运算可以解决两向量的垂直.平行.夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力3注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习.记忆若两非零向量ax1，y1，bx2，y2，则abx1y2x2y10，abx1x2y1y20.4事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”而忽视“两向量夹角”的范围，稍不注意就会带来失误与错误.。
高中数学必修四8.备课资料(2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角)教案课时训练练习教案课
备课资料一、|a ·b |≤|a ||b |的应用若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则平面向量的数量积的性质|a ·b |≤|a ||b |的坐标表示为x 1x 2+y 1y 2≤2212122222121)(y y x x y x y x +⇔++≤(x 12+y 12)(x 22+y 22).不等式(x 1x 2+y 1y 2)2≤(x 12+y 12)(x 22+y 22)有着非常广泛的应用,由此还可以推广到一般(柯西不等式):(a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n )2≤(a 1+a 2+…+a n )(b 1+b 2+…+b n ).例1 已知实数x,y 满足x+y-4=0,则x 2+y 2的最小值是______;(2)已知实数x,y 满足(x+2)2+y 2=1,则2x-y 的最大值是_______.解析:(1)令m =(x,y),n =(1,1).∵|m ·n |≤|m ||n |,∴|x+y|≤222•+y x ,即2(x 2+y 2)≥(x+y)2=16.∴x 2+y 2≥8,故x 2+y 2的最小值是8.(2)令m =(x+2,y),n =(2,-1),2x-y=t.由|m ·n |≤|m ||n |,得|2(x+2)-y|≤5|4|,55)2(22≤+=•++t y x 即 解得4554-≤≤--t .故所求的最大值是5-4.答案:(1)8 (2)5-4 例2 已知a ,b ∈R ,θ∈(0,2π),试比较θθ2222sin cos b a +与(a+b)2的大小. 解:构造向量m =(θθsin ,cos b a ),n =(cosθ,sinθ),由|m ·n |≤|m ||n |得 (θθθθsin sin cos cos b a +)2≤(θθ2222sin cos b a +)(cos 2θ+sin 2θ), ∴(a+b)2≤θθsin cos 22b a +. 同类变式:已知a,b ∈R ,m,n ∈R ,且mn≠0,m 2n 2>a 2m 2+b 2n 2,令M=b a N n m +=+,22,比较M 、N 的大小.解:构造向量p =(mb n a ,),q =(n,m),由|p ·q |≤|p ||q |得 (m mb n n a ⨯+⨯)2≤(θθ2222sin cos b a +)(m 2+n 2)=222222m n n b m a +(m 2+n 2)<m 2+n 2, ∴M>N.例3 设a,b ∈R ,A={(x,y)|x=n,y=na+b,n ∈Z },B={(x,y)|x=m,y=3m 2+15,m ∈Z },C={(x,y)|x 2+y 2≤144}是直角坐标平面xOy 内的点集,讨论是否存在a 和b,使得A∩B=∅与(a,b)∈C 能同时成立.解:此问题等价于探求a 、b 是否存在的问题,它满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+==+)2.(144)1(,153222b a n b na 设存在a 和b 满足①②两式,构造向量m =(a,b),n =(n,1).由|m ·n |2≤|m |2|n |2得(na+b)2≤(n 2+1)(a 2+b 2),∴(3n 2+15)2≤144(n 2+1)⇒n 4-6n 2+9≤0.解得n=±3,这与n ∈Z 矛盾,故不存在a 和b 满足条件.二、备用习题1.若a=(2,-3),b =(x,2x),且a ·b =34,则x 等于（ ） A.3 B.31 C.31- D.-3 2.设a =(1,2),b =(1,m),若a 与b 的夹角为钝角,则m 的取值范围是（ ） A.m>21 B.m<21 C.m>21- D.m<21- 3.若a=(cosα,sinα),b =(cosβ,sinβ),则（ ）A.a ⊥bB.a ∥bC.(a +b )⊥(a -b )D.(a +b )∥(a -b )4.与a =(u,v)垂直的单位向量是（ ） A.(2222,v u u vu v++-) B.(2222,v u u vu v+-+) C.(2222,v u u vu v++) D.(2222,v u u v u v++-)或(2222,vu u v u v +-+) 5.已知向量a =(cos23°,cos67°),b =(cos68°,cos22°),u =a +t b (t ∈R ),求u 的模的最小值.6.已知a ,b 都是非零向量,且a +3b 与7a -5b 垂直,a -4b 与7a -2b 垂直,求a 与b 的夹角.7.已知△ABC 的三个顶点为A(1,1),B(3,1),C(4,5),求△ABC 的面积.参考答案:1.C2.D3.C4.D5.|a |= 23sin 23cos 67cos 23cos 2222+=+=1,同理有|b |=1.又a ·b =cos23°cos68°+cos67°cos22°=cos23°cos68°+sin23°sin68°=cos45°=22 ∴|u |2=(a +t b )2=a 2+2t a ·b +t 2b 2=t 2+2t+1=(t+22)2+21≥21.当t=22-时,|u|min =22. 6.由已知(a +3b )⊥(7a -5b )⇔(a +3b ）·(7a -5b )=0⇔7a 2+16a ·b -15b 2=0. ①又(a -4b )⊥(7a -2b )⇔(a -4b )·(7a -2b )=0⇔7a 2-30a ·b +8b 2=0. ②①-②得46a ·b =23b 2,即a ·b =.2||222b b = ③ 将③代入①,可得7|a |2+8|b |2-15|b |2=0,即|a |2=|b |2,有|a |=|b |,∴若记a 与b 的夹角为θ,则cosθ=21|||2||||||2==•b b b b a b a . 又θ∈[0°,180°],∴θ=60°,即a 与b 的夹角为60°.7.分析:S △ABC =21|AB ||AC |sin ∠BAC,而|AB |,|AC |易求,要求sin ∠BAC 可先求出cos ∠BAC.解:∵AB =(2,1),AC =(3,4),|AB |=2,|AC |=5,∴cos ∠53524032||||=⨯⨯+⨯=AC AB .∴sin ∠BAC=54. ∴S △ABC =21|AB ||AC |sin ∠BAC=21×2×5×54=4. 三、新教材新教法的二十四个“化”字诀新课导入新颖化,揭示概念美丽化;纵横相联过程化,探索讨论热烈化;探究例题多变化,引导思路发散化;学生活动主体化,一石激浪点拨化;大胆猜想多样化,论证应用规律化;变式训练探究化,课堂教学艺术化;学法指导个性化,对待学生情感化;作业抛砖引玉化,选题质量层次化;学生学习研究化,知识方法思想化;抓住闪光激励化,教学相长平等化;教学意识超前化,与时俱进媒体化;灵活创新智慧化,学生素质国际化.(设计者：房增凤)活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。
(2021年整理)2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角(教学设计)
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2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（教学设计)［教学目标]一、 知识与能力：1． 掌握平面向量数量积的坐标表示；2． 能利用平面向量数量积解决有关长度、角度的问题。
二、过程与方法：渗透数形结合的数学思想方法，培养学生转化问题的能力；借助物理背景，感知数学问题,探究知识的来龙去脉；培养学生转化问题的能力。
三、情感、态度与价值观：培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题;树立学科之间相互联系、相互促进的辩证唯物主义观点。
[教学重点］向量的数量积的坐标表示、模、夹角 ［教学难点］ 求向量的模与夹角 一、复习回顾1． 平面向量的数量积的物理背景及几何意义a ﹒b =｜a ｜｜b ｜c os ，其中是a 与b 的夹角；数量积的几何意义：数量积a b 等于a 的长度|a ｜与b 在a 的方向上的投影｜b |c os 的乘积.2． 平面向量数量积的运算律。
(1）ab = b a ； (2）（a )b =（ a b )=a (b )； （3）(a +b )c =a c +b c3．两个向量的数量积的性质：设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量,θ是与的夹角，则： 1）θcos ||=⋅=⋅2）0=⋅⇔⊥3)当a 与b 同向时，a ·b =｜a |·｜b |；当a 与b 反向时，a ·b = —|a ｜·｜b ｜。
课时作业9：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、选择题1．已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹角为( )A.π6B.π4C.π3D.π2考点 平面向量夹角的坐标表示与应用题点 求坐标形式下的向量的夹角答案 B解析 ∵|a |＝10，|b |＝5，a ·b ＝5.∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝510×5＝22.又∵a ，b 的夹角范围为[0，π]．∴a 与b 的夹角为π4.2．设向量a ＝(2,0)，b ＝(1,1)，则下列结论中正确的是( )A ．|a |＝|b |B ．a·b ＝0C ．a ∥bD ．(a －b )⊥b考点 向量平行与垂直的坐标表示的应用题点 向量垂直的坐标表示的综合应用答案 D解析 a －b ＝(1，－1)，所以(a －b )·b ＝1－1＝0，所以(a －b )⊥b .3．已知向量a ＝(0，－23)，b ＝(1，3)，则向量a 在b 方向上的投影为() A. 3 B ．3 C ．－ 3 D ．－3考点 平面向量投影的坐标表示与应用题点 利用坐标求向量的投影答案 D解析 向量a 在b 方向上的投影为a·b |b|＝－62＝－3.故选D.4．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．4考点 平面向量模与夹角的坐标表示的应用题点 利用坐标求向量的模答案 C解析 ∵(2a －b )·b ＝2a ·b －|b |2＝2(－1＋n 2)－(1＋n 2)＝n 2－3＝0，∴n 2＝3，∴|a |＝12＋n 2＝2.5．若a ＝(2，－3)，则与向量a 垂直的单位向量的坐标为( )A ．(3,2)B.⎝⎛⎭⎫31313，21313C.⎝⎛⎭⎫31313，21313或⎝⎛⎭⎫－31313，－21313D ．以上都不对考点 向量平行与垂直的坐标表示的应用题点 向量垂直的坐标表示的综合应用答案 C解析 设与a 垂直单位向量的坐标为(x ，y )，∵(x ，y )是单位向量的坐标形式，∴x 2＋y 2＝1，即x 2＋y 2＝1，①又∵(x ，y )表示的向量垂直于a ，∴2x －3y ＝0，②由①②得⎩⎨⎧ x ＝31313，y ＝21313或⎩⎨⎧x ＝－31313，y ＝－21313.6．已知a ＝(1,1)，b ＝(0，－2)，且k a －b 与a ＋b 的夹角为120°，则k 等于() A ．－1＋ 3 B ．－2C ．－1±3D ．1考点 平面向量夹角的坐标表示与应用题点 已知坐标形式下的向量夹角求参数答案 C解析 ∵|k a －b |＝k 2＋(k ＋2)2，|a ＋b |＝12＋(－1)2＝2，∴(k a －b )·(a ＋b )＝(k ，k ＋2)·(1，－1)＝k －k －2＝－2，又k a －b 与a ＋b 的夹角为120°，∴cos 120°＝(k a －b )·(a ＋b )|k a －b ||a ＋b |，即－12＝－22×k 2＋(k ＋2)2， 化简并整理，得k 2＋2k －2＝0，解得k ＝－1±3.7．已知OA →＝(－2,1)，OB →＝(0,2)且AC →∥OB →，BC →⊥AB →，则点C 的坐标是( )A ．(2,6)B ．(－2，－6)C ．(2，－6)D ．(－2,6)考点 向量平行与垂直的坐标表示的应用题点 向量平行与垂直的坐标表示的综合应用答案 D解析 设C (x ，y )，则AC →＝(x ＋2，y －1)，BC →＝(x ，y －2)，AB →＝(2,1)，∵AC →∥OB →，∴2(x ＋2)＝0，①∵BC →⊥AB →，∴2x ＋y －2＝0，②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝6，∴C (－2,6)． 二、填空题8．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(1，－2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________.考点 平面向量模与夹角的坐标表示的应用题点 利用坐标求向量的模答案 8 2解析 由题意可得a·b ＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c ＝a －(a ·b )b ＝a ＋6b ＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)， ∴|c |＝82＋(－8)2＝8 2.9．已知a ＝(3，3)，b ＝(1,0)，则(a －2b )·b ＝________.考点 平面向量数量积的坐标表示与应用题点 坐标形式下的数量积运算答案 1解析 a －2b ＝(1，3)，(a －2b )·b ＝1×1＋3×0＝1.10．设m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，规定两向量m ，n 之间的一个运算“⊗”为m ⊗n ＝(ac －bd ，ad ＋bc )，若已知p ＝(1,2)，p ⊗q ＝(－4，－3)，则q 的坐标为________．考点 平面向量数量积的坐标表示与应用题点 已知数量积求向量的坐标答案 (－2,1)解析 设q ＝(x ，y )，则p ⊗q ＝(x －2y ，y ＋2x )＝(－4，－3)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝－4，y ＋2x ＝－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1.∴q ＝(－2,1)．11．(2017·广东揭阳惠来一中、揭东一中联考)已知向量OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)(O 为坐标原点)，设M 为直线y ＝12x 上的一点，那么MA →·MB →的最小值是________．考点 平面向量数量积的坐标表示与应用题点 坐标形式下的数量积运算答案 －8解析 设M ⎝⎛⎭⎫x ，12x ，则MA →＝⎝⎛⎭⎫1－x ，7－12x ，MB →＝⎝⎛⎭⎫5－x ，1－12x ，MA →·MB →＝(1－x )(5－x )＋⎝⎛⎭⎫7－12x ⎝⎛⎭⎫1－12x＝54(x －4)2－8.所以当x ＝4时，MA →·MB →取得最小值－8.三、解答题12．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)．(1)若|c |＝25，且c 与a 方向相反，求c 的坐标；(2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ.考点 向量平行与垂直的坐标表示的应用题点 向量平行与垂直的坐标表示的综合应用解 (1)设c ＝(x ，y )，由c ∥a 及|c |＝25，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 1·y －2·x ＝0，x 2＋y 2＝20，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝－4，因为c 与a 方向相反，所以c ＝(－2，－4)．(2)因为(a ＋2b )⊥(2a －b )，所以(a ＋2b )·(2a －b )＝0，即2a 2＋3a ·b －2b 2＝0，所以2|a |2＋3a ·b －2|b |2＝0，所以2×5＋3a ·b －2×54＝0， 所以a ·b ＝－52.所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1. 又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π.13．平面内有向量OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)，OP →＝(2,1)，点Q 为直线OP 上的一个动点．(1)当QA →·QB →取最小值时，求OQ →的坐标；(2)当点Q 满足(1)的条件和结论时，求cos ∠AQB 的值．考点 向量平行与垂直的坐标表示的应用题点 向量平行与垂直的坐标表示的综合应用解 (1)设OQ →＝(x ，y )，∵Q 在直线OP 上，∴向量OQ →与OP →共线．又OP →＝(2,1)，∴x －2y ＝0，∴x ＝2y ，∴OQ →＝(2y ，y )．又QA →＝OA →－OQ →＝(1－2y,7－y )，QB →＝OB →－OQ →＝(5－2y,1－y )，∴QA →·QB →＝(1－2y )(5－2y )＋(7－y )(1－y )＝5y 2－20y ＋12＝5(y －2)2－8.故当y ＝2时，QA →·QB →有最小值－8，此时OQ →＝(4,2)．(2)由(1)知QA →＝(－3,5)，QB →＝(1，－1)，QA →·QB →＝－8，|QA →|＝34，|QB →|＝2，∴cos ∠AQB ＝QA →·QB →|QA →|·|QB →|＝－834×2＝－41717. 四、探究与拓展14．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(1，m )，其中m 为实数，则当a 与b 的夹角在⎝⎛⎭⎫0，π12内变动时，实数m 的取值范围是( )A ．(0,1)B.⎝⎛⎭⎫33，3C.⎝⎛⎭⎫33，1∪(1，3) D ．(1，3)考点 平面向量夹角的坐标表示与应用题点 已知坐标形式下的向量夹角求参数答案 C解析 如图，作OA →＝a ，则A (1,1)．作OB 1→，OB 2→，使∠AOB 1＝∠AOB 2＝π12， 则∠B 1Ox ＝π4－π12＝π6， ∠B 2Ox ＝π4＋π12＝π3， 故B 1⎝⎛⎭⎫1，33，B 2(1，3)． 又a 与b 的夹角不为0，故m ≠1.由图可知实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫33，1∪(1，3)． 15．已知OA →＝(4,0)，OB →＝(2,23)，OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →(λ2≠λ)． (1)求OA →·OB →及OA →在OB →上的投影；(2)证明A ，B ，C 三点共线，且当AB →＝BC →时，求λ的值；(3)求|OC →|的最小值．考点 平面向量模与夹角的坐标表示的应用题点 平面向量模的坐标表示的应用解 (1)OA →·OB →＝8，设OA →与OB →的夹角为θ，则cos θ＝OA →·OB →|OA →||OB →|＝84×4＝12， ∴OA →在OB →上的投影为|OA →|cos θ＝4×12＝2. (2)AB →＝OB →－OA →＝(－2,23)，BC →＝OC →－OB →＝(1－λ)OA →－(1－λ)OB →＝(λ－1)AB →，又因为BC →与AB →有公共点B ，所以A ，B ，C 三点共线．当AB →＝BC →时，λ－1＝1，所以λ＝2.(3)|OC →|2＝(1－λ)2OA →2＋2λ(1－λ)OA →·OB →＋λ2OB →2＝16λ2－16λ＋16＝16⎝⎛⎭⎫λ－122＋12， ∴当λ＝12时，|OC →|取最小值2 3.。
8_示范教案(2_4_2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角)
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角整体设计教学分析平面向量的数量积,教材将其分为两局部.在第一局部向量的数量积中,首先研究平面向量所成的角,其次,介绍了向量数量积的定义,最后研究了向量数量积的基本运算法则和基本结论;在第二局部平面向量数量积的坐标表示中,在平面向量数量积的坐标表示的基础上,利用数量积的坐标表示研讨了平面向量所成角的计算方式,得到了两向量垂直的判定方法,本节是平面向量数量积的第二局部.前面我们学习了平面向量的数量积,以及平面向量的坐标表示.那么在有了平面向量的坐标表示以及坐标运算的经验和引进平面向量的数量积后,就顺其自然地要考虑到平面向量的数量积是否也能用坐标表示的问题.另一方面,因为平面向量数量积涉及了向量的模、夹角,所以在实现向量数量积的坐标表示后,向量的模、夹角也都能够与向量的坐标联系起来.利用平面向量的坐标表示和坐标运算,结合平面向量与平面向量数量积的关系来推导出平面向量数量积以及向量的模、夹角的坐标表示.教师应在坐标基底向量的数量积的基础上,推导向量数量积的坐标表示.通过例题分析、课堂训练,让学生总结归纳出对于向量的坐标、数量积、向量所成角及模等几个因素,知道其中一些因素,求出其他因素基此题型的求解方法.平面向量数量积的坐标表示是在学生学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积的基础上进一步学习的,这都为数量积的坐标表示奠定了知识和方法基础.三维目标1.通过探究平面向量的数量积的坐标运算,掌握两个向量数量积的坐标表示方法.2.掌握两个向量垂直的坐标条件以及能使用两个向量的数量积的坐标表示解决相关长度、角度、垂直等几何问题.3.通过平面向量数量积的坐标表示,进一步加深学生对平面向量数量积的理解,提升学生的运算速度,培养学生的运算水平,培养学生的创新水平,提升学生的数学素质.重点难点教学重点：平面向量数量积的坐标表示.教学难点：向量数量积的坐标表示的应用.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.平面向量的表示方法有几何法和坐标法,向量的表示形式不同,对其运算的表示方式也会改变.向量的坐标表示,为我们解决相关向量的加、减、数乘运算带来了极大的方便.上一节,我们学习了平面向量的数量积,那么向量的坐标表示,对平面向量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢？由此直接进入主题.思路2.在平面直角坐标系中,平面向量能够用有序实数对来表示,两个平面向量共线的条件也能够用坐标运算的形式刻画出来,那么学习了平面向量的数量积之后,它能否用坐标来表示？若能,如何通过坐标来实现呢？平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时,平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示呢？通过回顾两个向量的数量积的定义和向量的坐标表示,在此基础上引导学生推导、探索平面向量数量积的坐标表示.推动新课新知探究提出问题①平面向量的数量积能否用坐标表示?②已知两个非零向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),怎样用a 与b 的坐标表示a ·b 呢?③怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直的条件？④你能否根据所学知识推导出向量的长度、距离和夹角公式？活动：教师引导学生利用前面所学知识对问题实行推导和探究.前面学习了向量的坐标能够用平面直角坐标系中的有序实数对来表示,而且我们也知道了向量的加、减以及实数与向量积的线性运算都能够用坐标来表示.两个向量共线时它们对应的坐标也具备某种关系,那么我们就自不过然地想到既然向量具有数量积的运算关系,这种运算关系能否用向量的坐标来表示呢？教师提示学生在向量坐标表示的基础上结合向量的坐标运算实行推导数量积的坐标表示.教师能够组织学生到黑板上板书推导过程,教师给予必要的提示和补充.推导过程如下：∵a =x 1ｉ+y 1j ,b =x 2ｉ+y 2j ,∴a ·b =(x 1ｉ+y 1j )·(x 2ｉ+y 2j )=x 1x 2ｉ2+x 1y 2ｉ·j +x 2y 1ｉ·j +y 1y 2j 2.又∵ｉ·ｉ=1,j ·j =1,ｉ·j =j ·ｉ=0,∴a ·b =x 1x 2+y 1y 2.教师给出结论性的总结,由此可归纳如下：1°平面向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ·b =x 1x 2+y 1y 2.2°向量模的坐标表示若a =(x,y),则|a |2=x 2+y 2,或|a |=22y x +.假如表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),那么a =(x 2-x 1,y 2-y 1),|a |=.)()(212212y y x x -+-3°两向量垂直的坐标表示设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0.4°两向量夹角的坐标表示设a 、b 都是非零向量,a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),θ是a 与b 的夹角,根据向量数量积的定义及坐标表示,可得 cosθ=222221212121||||y x y x y y x x b a b a +•++=•讨论结果:略.应用例如例1 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断△ABC 的形状,并给出证明.活动:教师引导学生利用向量数量积的坐标运算来解决平面图形的形状问题.判断平面图形的形状,特别是三角形的形状时主要看边长是否相等,角是否为直角.可先作出草图,实行直观判定,再去证明.在证明中若平面图形中有两个边所在的向量共线或者模相等,则此平面图形与平行四边形相关;若三角形的两条边所在的向量模相等或者由两边所在向量的数量积为零,则此三角形为等腰三角形或者为直角三角形.教师能够让学生多总结几种判断平面图形形状的方法.解:在平面直角坐标系中标出A(1,2),B(2,3),C(-2,5)三点,我们发现△ABC 是直角三角形.下面给出证明. ∵AB =(2-1,3-2)=(1,1),AC =(-2-1,5-2)=(-3,3), ∴AB ·AC =1×(-3)+1×3=0. ∴AB ⊥AC .∴△ABC 是直角三角形.点评:此题考查的是向量数量积的应用,利用向量垂直的条件和模长公式来判断三角形的形状.当给出要判定的三角形的顶点坐标时,首先要作出草图,得到直观判定,然后对你的结论给出充分的证明.变式训练在△ABC 中,AB =(2,3),AC =(1,k),且△ABC 的一个内角为直角,求k 的值.解:因为题设中未指明哪一个角为直角,故需分别讨论.若∠A=90°,则AB ⊥AC ,所以AB ·AC =0.于是2×1+3k=0.故k=32-. 同理可求,若∠B=90°时,k 的值为311; 若∠C=90°时,k 的值为2133±. 故所求k 的值为32-或311或2133±. 例2 (1)已知三点A(2,-2),B(5,1),C(1,4),求∠BAC 的余弦值;(2)a =(3,0),b =(-5,5),求a 与b 的夹角.活动:教师让学生利用向量的坐标运算求出两向量a =(x 1,y 1)与b =(x 2,y 2)的数量积a ·b =x 1x 2+y 1y 2和模|a |=2121y x +,|b |=2222y x +的积,其比值就是这两个向量夹角的余弦值,即cosθ=222221212121||||y x y x y y x x b a b a +•++=•.当求出两向量夹角的余弦值后再求两向量的夹角大小时,需注意两向量夹角的范围是0≤θ≤π.学生在解这方面的题目时需要把向量的坐标表示清楚,以免出现不必要的错误.解:(1)AB =(5,1)-(2,-2)=(3,3), AC =(1,4)-(2,-2)=(-1,6), ∴AB ·AC =3×(-1)+3×6=15.又∵|AB |=2233+=32,|AC |=226)1(+-=37,∴cos ∠BAC=.74745372315||||=•=•AC AB AC AB (2)a ·b =3×(-5)+0×5=-15,|a |=3,|b |=52.设a 与b 的夹角为θ,则cosθ=.2225315||||-=⨯-=•b a b a 又∵0≤θ≤π,∴θ=43π. 点评:此题考查的是利用向量的坐标表示来求两向量的夹角.利用基本公式实行运算与求解主要是对基础知识的巩固与提升.变式训练设a =(5,-7),b =(-6,-4),求a ·b 及a 、b 间的夹角θ.(精确到1°)解:a ·b =5×(-6)+(-7)×(-4)=-30+28=-2.|a |=74)7(522=-+,|b |=52)4()6(22=-+- 由计算器得cosθ=52742⨯-≈-0.03.利用计算器中得θ≈92°.例3 已知|a |=3,b =(2,3),试分别解答下面两个问题:(1)若a ⊥b ,求a ;(2)若a ∥b ,求a.活动:对平面中的两向量a =(x 1,y 1)与b =(x 2,y 2),要让学生在应用中深刻领悟其本质属性,向量垂直的坐标表示x 1x 2+y 1y 2=0与向量共线的坐标表示x 1y 2-x 2y 1=0很容易混淆,应仔细比较并熟记,当难以区分时,要从意义上鉴别,两向量垂直是a ·b =0,而共线是方向相同或相反.教师可多增强反例练习,多给出这两种类型的同式变形训练.解:(1)设a =(x,y),由|a |=3且a ⊥b ,得⎩⎨⎧=+==+,032,9||222x x a y x解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=,13136,1313913136,13139y x y x 或∴a =或)13136,13139(-a =.13136,13139- (2)设a =(x,y),由|a |=3且a ∥b ,得⎩⎨⎧=-==+.023,9||222y x a y x解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==13139,13136y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.13139,13136y x∴a =或)13139,13136(a =)13139,13136(--. 点评:此题主要考查学生对公式的掌握情况,学生能熟练使用两向量的坐标运算来判断垂直或者共线,也能熟练地实行公式的逆用,利用已知关系来求向量的坐标.变式训练求证:一次函数y=2x-3的图象(直线l 1)与一次函数y=21-x 的图象(直线l 2)互相垂直. 解:在l 1:y=2x-3中,令x=1得y=-1;令x=2得y=1,即在l 1上取两点A(1,-1),B(2,1). 同理,在直线l 2上取两点C(-2,1),D(-4,2),于是:AB =(2,1)-(1,-1)=(2-1,1+1)=(1,2),CD =(-4,2)-(-2,1)=(-4+2,2-1)=(-2,1).由向量的数量积的坐标表示,可得AB ·CD =1×(-2)+1×2=0, ∴AB ⊥CD ,即l 1⊥l 2.知能训练课本本节练习.解答:1.|a |=5,|b |=29,a ·b=-7.2.a ·b =8,(a +b )·(a -b )=-7,a ·(a +b )=0,(a +b )2=49.3.a ·b =1,|a |=13,|b |=74,θ≈88°.课堂小结1.在知识层面上,先引导学生归纳平面向量数量积的坐标表示,向量的模,两向量的夹角,向量垂直的条件.其次引导学生总结数量积的坐标运算规律,夹角和距离公式、两向量垂直的坐标表示.2.在思想方法上,教师与学生一起回顾探索过程中用到的思维方法和数学思想方法,定义法,待定系数法等.作业课本习题2.4 A 组8、9、10.设计感想因为本节课是对平面向量的进一步探究与应用,是对平面向量几何意义的综合研究提升,所以教案设计流程是探究、发现、应用、提升,这符合新课程理念,符合新课标要求.我们知道平面向量的数量积是本章最重要的内容,也是高考中的重点,既有选择题、填空题,也有解答题(大多同立体几何、解析几何综合考查),故学习时要熟练掌握基本概念和性质及其综合使用.而且数量积的坐标表示又是向量运算的一个重要内容,用坐标表示直角坐标平面内点的位置,是解析几何的一个基本特征,从而以坐标为桥梁能够建立向量与解析几何的内在联系.以三角函数表示点的坐标,又能够沟通向量与三角函数的相互关系,由此就产生出一类向量与解析几何及三角函数交汇的综合性问题.平面向量数量积的坐标表示使得向量数量积的应用更为方便,也拓宽了向量应用的途径.通过学习本节的内容,要更加加深对向量数量积概念的理解,同时擅长使用坐标形式运算解决数量问题,尤其是相关向量的夹角、长度、垂直等,往往能够使问题简单化.灵活使用坐标形式,综合处理向量的线性运算、数量积、平行等,综合地解决向量综合题,表达数形结合的思想.在本节的学习中能够通过对实际问题的抽象来培养学生分析问题、解决问题和应用知识解决问题的意识与水平.。
课时作业8：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、选择题1．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(0，2)，若a ⊥(b －c )，则实数x 的值为( ) A ．43B ．34C ．－34D ．－432．已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(x ，4)，且a ∥b ，则|a －b|＝( ) A ．53 B ．35 C ．25D ．223．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，23)，则a 与b 的夹角是( ) A ．π6B ．π4C ．π3D ．π24．若a ＝(2，3)，b ＝(－4，7)，则a 在b 方向上的投影为( ) A ．655 B ．65 C ．135D ．135．已知正方形OABC 两边AB ，BC 的中点分别为D 和E ，则∠DOE 的余弦值为( ) A ．12B ．32C ．35D ．45二、填空题6．已知OA →＝(－2，1)，OB →＝(0，2)，且AC →∥OB →，BC →⊥AB →，则点C 的坐标是________． 7．若向量a ＝(－2，2)与b ＝(1，y )的夹角为钝角，则y 的取值范围为________． 三、解答题8．已知AB →＝(6，1)，BC →＝(4，k )，CD →＝(2，1)． (1)若A ，C ，D 三点共线，求k 的值；(2)在(1)的条件下，求向量BC →与CD →的夹角的余弦值．9．已知a＝(1，1)，b＝(0，－2)，当k为何值时，(1)k a－b与a＋b共线；(2)k a－b与a＋b的夹角为120°.参考答案一、选择题 1．A【解析】b －c ＝(x ，－4)，由a ⊥(b －c )知3x －4＝0， ∴x ＝43.故选A ．2．B【解析】∵a ∥b ，∴4＋2x ＝0，∴x ＝－2，a －b ＝(1，－2)－(－2，4)＝(3，－6)， ∴|a －b|＝3 5.故选B ． 3．C【解析】设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a||b|＝（1，3）·（－2，23）2×4＝12，解得θ＝π3.故选C ．4．A【解析】 a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝（2，3）·（－4，7）（－4）2＋72＝2×（－4）＋3×765＝655.5．D【解析】以点O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设边长为1，则D ⎝⎛⎭⎫1，12，E ⎝⎛⎭⎫12，1，于是cos ∠DOE ＝⎝⎛⎭⎫1，12⎝⎛⎭⎫12，112＋⎝⎛⎭⎫122·⎝⎛⎭⎫122＋12＝45. 二、填空题 6．(－2，6)【解析】设C (x ，y )，则AC →＝(x ＋2，y －1)， BC →＝(x ，y －2)，AB →＝(2，1)． 由AC →∥OB →，BC →⊥AB →，得⎩⎪⎨⎪⎧2（x ＋2）＝0，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝6， ∴点C 的坐标为(－2，6)．7．(－∞，－1)∪(－1，1)【解析】若a 与b 夹角为180°，则有b ＝λa (λ<0)即⎩⎪⎨⎪⎧1＝－2λy ＝2λλ<0，解得y ＝－1且λ＝－12，所以b ≠λa (λ<0)时y ≠－1；①若a 与b 夹角θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，则只要a·b<0且b ≠λa (λ<0)． 当a·b <0有－2＋2y <0解得y <1.② 由①②得y <－1或－1<y <1. 三、解答题8．解：(1)因为AC →＝AB →＋BC →＝(10，k ＋1)，由题意知A ，C ，D 三点共线， 所以AC →∥CD →，所以10×1－2(k ＋1)＝0，即k ＝4.(2)因为CD →＝(2，1)，设向量BC →与CD →的夹角为θ，则cos θ＝BC →·CD →|BC →||CD →|＝1242×5＝31010.9．解：∵a ＝(1，1)，b ＝(0，－2)， k a －b ＝k (1，1)－(0，－2)＝(k ，k ＋2)， a ＋b ＝(1，1)＋(0，－2)＝(1，－1)． (1)∵k a －b 与a ＋b 共线， ∴k ＋2－(－k )＝0，∴k ＝－1. 即当k ＝－1时，k a －b 与a ＋b 共线． (2)∵|k a －b |＝k 2＋（k ＋2）2， |a ＋b |＝12＋（－1）2＝2， (k a －b )·(a ＋b )＝(k ，k ＋2)·(1，－1) ＝k －k －2＝－2，而k a －b 与a ＋b 的夹角为120°， ∴cos 120°＝（k a －b ）·（a ＋b ）|k a －b ||a ＋b |，即－12＝－22·k 2＋（k ＋2）2，化简整理，得k 2＋2k －2＝0，解之得k ＝－1± 3. 即当k ＝－1±3时，k a －b 与a ＋b 的夹角为120°.。
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2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学习目标 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算(重点、难点).2.能根据向量的坐标计算向量的模、并推导平面内两点间的距离公式(重点).3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直(重点)．预习教材P106－107完成下面问题：知识点1两个向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2).【预习评价】(1)已知a ＝(－1,3)，b ＝(2,4)，则a ·b 的值是________． 解析 a ·b ＝(－1)×2＋3×4＝10． 答案 10(2)已知a ＝(2，－1)，b ＝(1，x )，且a ⊥b ，则x ＝________． 解析 由题意知a ·b ＝2×1＋(－1)×x ＝0，得x ＝2． 答案 2知识点2与向量的模、夹角相关的三个重要公式 1．向量的模：设a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2．2．两点间的距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2． 3．向量的夹角公式：设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22． 【预习评价】(1)已知向量a ＝(4，－1)，b ＝(x,3)，若|a |＝|b |，则x ＝________． 解析 由|a |＝|b |得42＋(－1)2＝x 2＋32，解得x ＝±22．答案 ±2 2(2)已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹角为________．解析 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝3×1＋(－1)×(－2)10·5＝22，又θ∈[0，π]，所以θ＝π4． 答案 π4题型一 数量积的坐标运算【例1】 (1)已知a ＝(2，－1)，b ＝(1，－1)，则(a ＋2b )·(a －3b )＝( ) A ．10 B ．－10 C ．3D ．－3解析 a ＋2b ＝(4，－3)，a －3b ＝(－1,2)，所以(a ＋2b )·(a －3b )＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10．答案 B(2)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( )A ．－58B ．18C ．14D ．118解析 如图，以BC 为x 轴，E 为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，易知A ⎝⎛⎭⎫0，32，B ⎝⎛⎭⎫－12，0，E (0,0)，C ⎝⎛⎭⎫12，0，D ⎝⎛⎭⎫－14，34．又DE →＝2EF →，设F (x ，y )，∴⎝⎛⎭⎫14，－34＝2(x ，y )，∴x ＝18，y ＝－38，∴F ⎝⎛⎭⎫18，－38，∴AF →·BC →＝⎝⎛⎭⎫18，－58 3·(1,0)＝18＋0＝18． 答案 B规律方法 数量积坐标运算的技巧(1)进行数量积运算时，要正确使用公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，并能灵活运用以下几个关系： ①|a |2＝a ·a ；②(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2；③(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2．(2)在平面几何图形中求数量积，若几何图形规则易建系，一般先建立坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积．【训练1】 已知a 与b 同向，b ＝(1,2)，a·b ＝10． (1)求a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求a (b·c )及(a·b )c ．解 (1)设a ＝λb ＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b ＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2,4)． (2)∵b·c ＝1×2－2×1＝0，a·b ＝1×2＋2×4＝10， ∴a (b·c )＝0a ＝0，(a·b )c ＝10(2，－1)＝(20，－10)． 题型二 平面向量的模【例2】 (1)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A ． 5B ．10C ．2 5D ．10解析 因为a ⊥c ，b ∥c ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －4＝0，2y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2，所以a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，a ＋b ＝(3，－1)，所以|a ＋b |＝10． 答案 B(2)已知点A (1，－2)，若向量AB →与a ＝(2,3)同向，|AB →|＝213，则点B 的坐标是________． 解析 由题意可设AB →＝λa (λ>0)，∴AB →＝(2λ，3λ)，又|AB →|＝213，∴(2λ)2＋(3λ)2＝(213)2，解得λ＝2或λ＝－2(舍去)． ∴AB →＝(4,6)，又A (1，－2)，∴B (5,4)．答案 (5,4)规律方法 求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算：利用|a |2＝a 2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．(2)坐标表示下的运算：若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2．【训练2】 已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |＝( ) A ． 5 B ．10 C ．5D ．25解析 ∵a ＝(2,1)，∴a 2＝5， 又|a ＋b |＝52，∴(a ＋b )2＝50， 即a 2＋2a ·b ＋b 2＝50，∴5＋2×10＋b 2＝50，∴b 2＝25，∴|b |＝5． 答案 C方向1 向量的夹角问题【例3-1】 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(c －b )·a ＝152，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析 由a ·b ＝－10，得(c －b )·a ＝c ·a －b ·a ＝c ·a ＋10＝152，∴c ·a ＝－52，设a 与c 的夹角为θ，cos θ＝a ·c |a ||c |＝－525×5＝－12．∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°． 答案 C方向2 向量垂直问题【例3-2】 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)，若向量c 满足(a ＋c )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )A ．(79，73)B ．(－73，79)C ．(73，79)D ．(－79，－73)解析 设c ＝(x ，y )，则a ＋c ＝(x ＋1，y ＋2)，a ＋b ＝(3，－1)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－3(x ＋1)－2(y ＋2)＝0，3x －y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－79，y ＝－73.即c ＝(－79，－73)．答案 D规律方法 解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)求解方法：先利用平面向量的坐标表示出这两个向量的数量积a ·b 及|a ||b |，再由cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22直接求出cos θ．(2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝a ·b|a ||b |判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°．【训练3】 已知a ＝(1,2)，b ＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a 与b 的夹角为直角；(2)a 与b 的夹角为钝角；(3)a 与b 的夹角为锐角．解 设a 与b 的夹角为θ， 则a·b ＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ．(1)因为a 与b 的夹角为直角，所以cos θ＝0， 所以a·b ＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－12．(2)因为a 与b 的夹角为钝角，所以cos θ<0且cos θ≠－1， 所以a·b <0且a 与b 不反向．由a·b <0得1＋2λ<0，故λ<－12，由a 与b 共线得λ＝2，故a 与b 不可能反向． 所以λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12． (3)因为a 与b 的夹角为锐角，所以cos θ>0，且cos θ≠1， 所以a·b >0且a ，b 不同向．由a·b >0，得λ>－12，由a 与b 同向得λ＝2．所以λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，2∪(2，＋∞)．课堂达标1．若向量a ＝(x,2)，b ＝(－1,3)，a ·b ＝3，则x ＝( ) A ．3 B ．－3 C ．53D ．－53解析 a ·b ＝－x ＋6＝3，故x ＝3． 答案 A2．已知a ＝(－3，－1)，b ＝(1，3)，那么a ，b 的夹角θ＝( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150° 解析 cos θ＝－3－32×2＝－32，又因为θ∈[0°，180°]，所以θ＝150°．答案 D3．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A ．1 B ． 2 C ．2D ．4解析 ∵(2a －b )·b ＝2a ·b －|b |2＝2(－1＋n 2)－(1＋n 2)＝n 2－3＝0，∴n ＝±3． ∴|a |＝12＋n 2＝2．答案 C4．已知向量b 与向量a ＝(1，－2)的夹角是180°，且|b |＝35，则b ＝( ) A ．(－3,6)B ．(3，－6)C．(6，－3) D．(－6,3)解析由题意，设b＝λa＝(λ，－2λ)(λ<0)，由于|b|＝35．∴|b|＝λ2＋(－2λ)2＝5λ2＝35，∴λ＝－3，即b＝(－3,6)．答案 A5．已知a＝(－3，－2)，b＝(－4，k)，若(5a－b)·(b－3a)＝－55，试求b的坐标．解∵a＝(－3，－2)，b＝(－4，k)，∴5a－b＝(－11，－10－k)．b－3a＝(5，k＋6)，∴(5a－b)·(b－3a)＝(－11，－10－k)·(5，k＋6)＝－55－(k＋10)(k＋6)＝－55，∴(k＋10)(k＋6)＝0，∴k＝－10或k＝－6，∴b＝(－4，－10)或b＝(－4，－6)．课堂小结1．注意掌握平面向量的数量积运算的坐标表示方法及相关问题：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则：①a·b＝x1x2＋y1y2，②a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0，③cos θ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22．2．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0．基础过关1．设向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则下列结论中正确的是()A．|a|＝|b| B．a·b＝0C．a∥b D．(a－b)⊥b解析a－b＝(1，－1)，所以(a－b)·b＝1－1＝0，所以(a－b)⊥b．答案 D2．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于()A． 3 B．2 3C．4 D．12解析a＝(2,0)，|b|＝1，∴|a |＝2，a ·b ＝2×1×cos 60°＝1． ∴|a ＋2b |＝a 2＋4×a ·b ＋4b 2＝23．答案 B3．已知A ，B ，C 是锐角△ABC 的三个内角，向量p ＝(sin A,1)，q ＝(1，－cos B )，则p 与q 的夹角是( )A ．锐角B ．钝角C ．直角D ．不确定解析 因为△ABC 是锐角三角形，所以A ＋B >π2，即A >π2－B ．又因函数y ＝sin x 在(－π2，π2)上单调递增，所以sin A >sin(π2－B )＝cos B ，所以p ·q ＝sin A－cos B >0，又因为p 与q 不共线，所以p 与q 的夹角是锐角．答案 A4．已知a ＝(－1,1)，b ＝(1,2)，则a ·(a ＋2b )＝________． 解析 a ＋2b ＝(1,5)，a ·(a ＋2b )＝1×(－1)＋5×1＝4． 答案 45．若a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为________． 解析 设a ，b 的夹角为θ， 则cos θ＝2×(－4)＋3×722＋32·(－4)2＋72＝55， 故a 在b 方向上的投影为 |a |cos θ＝13×55＝655． 或直接根据a·b|b |计算a 在b 方向上的投影．答案6556．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )(x ∈R )． (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |． 解 (1)∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，即1×(2x ＋3)＋x ×(－x )＝0，解得x ＝－1或x ＝3．(2)∵a ∥b ，∴1×(－x )－x (2x ＋3)＝0， 解得x ＝0或x ＝－2．当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)， ∴a －b ＝(－2,0)，∴|a －b |＝2． 当x ＝－2时，a ＝(1，－2)， b ＝(－1,2)，∴a －b ＝(2，－4)， ∴|a －b |＝25． ∴|a －b |＝2或25．7．已知a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角α为钝角，求实数λ的取值范围． 解 ∵a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)， ∴|a |＝2，|b |＝1＋λ2，a ·b ＝λ－1．∵a ，b 的夹角α为钝角．∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－1<0，21＋λ2≠1－λ，即⎩⎪⎨⎪⎧λ<1，λ2＋2λ＋1≠0.∴λ<1且λ≠－1．∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1)．能力提升8．已知OA →＝(－2,1)，OB →＝(0,2)且AC →∥OB →，BC →⊥AB →，则点C 的坐标是( ) A ．(2,6) B ．(－2，－6) C ．(2，－6)D ．(－2,6)解析 设C (x ，y )，则AC →＝(x ＋2，y －1)， BC →＝(x ，y －2)，AB →＝(2,1)， ∵AC →∥OB →，∴2(x ＋2)＝0，① ∵BC →⊥AB →，∴2x ＋y －2＝0，②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝6，∴C (－2,6)．答案 D9．角α顶点在坐标原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，点P 在α的终边上，点Q (－3，－4)，且tan α＝－2，则OP →与OQ →夹角的余弦值为( )A ．－55B ．11525C ．55或－55D ．11525或1155解析 ∵tan α＝－2， ∴可设P (x ，－2x )，cos 〈OP →，OQ →〉＝OP →·OQ →|OP →|·|OQ →|＝5x 55|x |，当x >0时，cos 〈OP →，OQ →〉＝55，当x <0时，cos 〈OP →，OQ →〉＝－55.故选C ．答案 C10．设向量a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________． 解析 方法一 a ＋b ＝(m ＋1,3)， 又|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2．∴(m ＋1)2＋32＝m 2＋1＋5，解得m ＝－2． 方法二 由|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，得a ·b ＝0，即m ＋2＝0，解得m ＝－2． 答案 －211．设m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，规定两向量m ，n 之间的一个运算“⊗”为m ⊗n ＝(ac －bd ，ad ＋bc )，若已知p ＝(1,2)，p ⊗q ＝(－4，－3)，则q 的坐标为________．解析 设q ＝(x ，y )，则p ⊗q ＝(x －2y ，y ＋2x )＝(－4，－3)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝－4，y ＋2x ＝－3.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1.答案 (－2,1)12．已知a ＝(1,1)，b ＝(0，－2)，当k 为何值时，(1)k a －b 与a ＋b 共线？(2)k a －b 与a ＋b 的夹角为120°？解 ∵a ＝(1,1)，b ＝(0，－2)，k a －b ＝k (1,1)－(0，－2)＝(k ，k ＋2)，a ＋b ＝(1,1)＋(0，－2)＝(1，－1)．(1)∵k a －b 与a ＋b 共线，∴k ＋2－(－k )＝0.∴k ＝－1．(2)∵|k a －b |＝k 2＋(k ＋2)2， |a ＋b |＝12＋(－1)2＝2，(k a －b )·(a ＋b )＝(k ，k ＋2)·(1，－1)＝k －k －2＝－2，而k a －b 与a ＋b 的夹角为120°，∴cos 120°＝(k a －b )·(a ＋b )|k a －b ||a ＋b |， 即－12＝－22·k 2＋(k ＋2)2， 化简整理，得k 2＋2k －2＝0，解得k ＝－1±3．13．(选做题)已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)，(1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标并求矩形ABCD 两对角线所成的锐角的余弦值．(1)证明 ∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)，∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)，又∵AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD ．(2)解 AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形，∴AB →＝DC →．设C 点坐标为(x ，y )，则AB →＝(1,1)，DC →＝(x ＋1，y －4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1， 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝5.∴C 点坐标为(0,5)．由于AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)，所以AC →·BD →＝8＋8＝16>0，|AC →|＝2 5，|BD →|＝2 5．设AC →与BD →夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →|·|BD →|＝1620＝45>0， ∴解得矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为45．。