内蒙古元宝山区平煤高级中学高中数学2.3.4平面向量共线的坐标表示学案(无答案)新人教A版必修4
高中数学必修四教案-平面向量共线的坐标表示
2.3.3 平面向量的坐标运算2.3.4 平面向量共线的坐标表示整体设计教学分析1.前面学习了平面向量的坐标表示,实际是平面向量的代数表示.在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.2.本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律,推导两个向量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算.推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配律.3.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,一个自然的想法是向量的某些关系,特别是向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢?前面已经找出两个向量共线的条件(如果存在实数λ,使得a=λb,那么a与b共线),本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示.这种转化是比较容易的,只要将向量用坐标表示出来,再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示.要注意的是,向量的共线与向量的平行是一致的.三维目标1.通过经历探究活动,使学生掌握平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示方法.理解并掌握平面向量的坐标运算以及向量共线的坐标表示.2.引入平面向量的坐标可使向量运算完全代数化,平面向量的坐标成了数与形结合的载体.3.在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯,以加深理解知识要点,增强应用意识.重点难点教学重点:平面向量的坐标运算.教学难点:对平面向量共线的坐标表示的理解.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.向量具有代数特征,与平面直角坐标系紧密相联.那么我们在学习直线和圆的方程以及点、直线、平面之间的位置关系时,直线与直线的平行是一种重要的关系.关于x、y 的二元一次方程Ax+By+C=0(A、B不同时为零)何时所体现的两条直线平行？向量的共线用代数运算如何体现？思路2.对于平面内的任意向量a,过定点O作向量OA=a,则点A的位置被向量a的大小和方向所唯一确定.如果以定点O为原点建立平面直角坐标系,那么点A的位置可通过其坐标来反映,从而向量a也可以用坐标来表示,这样我就可以通过坐标来研究向量问题了.事实上,向量的坐标表示,实际是向量的代数表示.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,那么向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢？推进新课新知探究提出问题①我们研究了平面向量的坐标表示,现在已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),你能得出a+b,a-b,λa的坐标表示吗?②如图1,已知A(x1,y1),B(x2,y2),怎样表示AB的坐标？你能在图中标出坐标为(x2-x1,y2-y1)的P点吗?标出点P后,你能总结出什么结论?活动:教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、减运算,教师可以让学生到黑板去板书步骤.可得:图1a+b=(x1ｉ+y1j)+(x2ｉ+y2j)=(x1+x2)ｉ+(y1+y2)j,即a+b=(x1+x2,y1+y2).同理a-b=(x1-x2,y1-y2).又λa=λ(x1ｉ+y1j)=λx1ｉ+λy1j.∴λa=(λx1,λy1).教师和学生一起总结,把上述结论用文字叙述分别为:两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差);实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.教师再引导学生找出点与向量的关系:将向量AB平移,使得点A与坐标原点O重合,则平移后的B点位置就是P点.向量AB的坐标与以原点为始点,点P为终点的向量坐标是相同的,这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系.学生通过平移也可以发现:向量的模与向量的模是相等的.由此,我们可以得出平面内两点间的距离公式: ||=||=221221)()(y y x x -+-.教师对总结完全的同学进行表扬,并鼓励学生,只要善于开动脑筋,勇于创新,展开思维的翅膀,就一定能获得意想不到的收获.讨论结果:①能. ②=-=(x 2,y 2)-(x 1,y 1)=(x 2-x 1,y 2-y 1).结论:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标. 提出问题①如何用坐标表示两个共线向量?②若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),那么2211x y x y =是向量a 、b 共线的什么条件? 活动:教师引导学生类比直线平行的特点来推导向量共线时的关系.此处教师要对探究困难的学生给以必要的点拨:设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),其中b ≠0.我们知道,a 、b 共线,当且仅当存在实数λ,使a =λb .如果用坐标表示,可写为(x 1,y 1)=λ(x 2,y 2),即⎪⎩⎪⎨⎧==.,2121y y x x λλ消去λ后得x 1y 2-x 2y 1=0. 这就是说,当且仅当x 1y 2-x 2y 1=0时向量a 、b (b ≠0)共线.又我们知道x 1y 2-x 2y 1=0与x 1y 2=x 2y 1是等价的,但这与2211x y x y =是不等价的.因为当x 1=x 2=0时,x 1y 2-x 2y 1=0成立,但2211x y x y =均无意义.因此2211x y x y =是向量a 、b 共线的充分不必要条件.由此也看出向量的应用更具一般性,更简捷、实用,让学生仔细体会这点.讨论结果:①x 1y 2-x 2y 1=0时,向量a 、b (b ≠0)共线.②充分不必要条件.提出问题a 与非零向量b 为共线向量的充要条件是有且只有一个实数λ使得a =λb ,那么这个充要条件如何用坐标来表示呢？活动:教师引导推证:设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),其中b ≠a ,由a =λb ,(x 1,y 1)=λ(x 2,y 2)⎪⎩⎪⎨⎧==⇒.,2121y y x x λλ消去λ,得x 1y 2-x 2y 1=0. 讨论结果:a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0.教师应向学生特别提醒感悟:1°消去λ时不能两式相除,∵y 1、y 2有可能为0,而b ≠0,∴x 2、y 2中至少有一个不为0.2°充要条件不能写成2211x y x y =(∵x 1、x 2有可能为0). 3°从而向量共线的充要条件有两种形式:a ∥b (b ≠0)⎩⎨⎧===⇔.01221y x y x b a λ 应用示例思路1例1 已知a =(2,1),b =(-3,4),求a +b ,a -b ,3a +4b 的坐标.活动:本例是向量代数运算的简单应用,让学生根据向量的线性运算进行向量的和、差及数乘的坐标运算,再根据向量的线性运算律和向量的坐标概念得出的结论.若已知表示向量的有向线段的始点和终点坐标,那么终点的坐标减去始点的坐标就是此向量的坐标,从而使得向量的坐标与点的坐标可以相互转化.可由学生自己完成.解:a +b =(2,1)+(-3,4)=(-1,5);a -b =(2,1)-(-3,4)=(5,-3);3a +4b =3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).点评:本例是平面向量坐标运算的常规题,目的是熟悉平面向量的坐标运算公式. 变式训练1.(2007海南高考,4) 已知平面向量a =(1,1),b =(1,-1),则向量21a 23-b 等于( ) A.(-2,-1) B.(-2,1) C.(-1,0)D.(-1,2)答案:D2.(2007全国高考,3) 已知向量a =(-5,6),b =(6,5),则a 与b …( )A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向 答案:A图2例2 如图2,已知ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是(-2,1)、(-1,3)、(3,4),试求顶点D 的坐标.活动:本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算.这里给出了两种解法:解法一利用“两个向量相等,则它们的坐标相等”,解题过程中应用了方程思想;解法二利用向量加法的平行四边形法则求得向量的坐标,进而得到点D 的坐标.解题过程中,关键是充分利用图形中各线段的位置关系(主要是平行关系),数形结合地思考,将顶点D 的坐标表示为已知点的坐标.解:方法一:如图2,设顶点D 的坐标为(x,y). ∵AB =(-1-(-2),3-1)=(1,2),DC =(3-x,4-y).由AB =DC ,得(1,2)=(3-x,4-y).∴⎩⎨⎧-=-=.42,31x x ∴⎩⎨⎧==.2,2y x∴顶点D 的坐标为(2,2).方法二:如图2,由向量加法的平行四边形法则,可知BC BA AD BA BD +=+==(-2-(-1),1-3)+(3-(-1),4-3)=(3,-1),而OD =OB +BD =(-1,3)+(3,-1)=(2,2),∴顶点D 的坐标为(2,2).点评:本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算.变式训练图3如图3,已知平面上三点的坐标分别为A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解:当平行四边形为ABCD 时,仿例二得:D 1=(2,2);当平行四边形为ACDB 时,仿例二得:D 2=(4,6);当平行四边形为DACB 时,仿上得:D 3=(-6,0).例3 已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),试判断A 、B 、C 三点之间的位置关系.活动:教师引导学生利用向量的共线来判断.首先要探究三个点组合成两个向量,然后根据两个向量共线的充要条件来判断这两个向量是否共线从而来判断这三点是否共线.教师引导学生进一步理解并熟练地运用向量共线的坐标形式来判断向量之间的关系.让学生通过观察图象领悟先猜后证的思维方式.解:在平面直角坐标系中作出A 、B 、C 三点,观察图形,我们猜想A 、B 、C 三点共线.下面给出证明.∵AB =(1-(-1),3-(-1))=(2,4), =(2-(-1),5-(-1))=(3,6),又2×6-3×4=0,∴∥,且直线AB 、直线AC 有公共点A,∴A、B 、C 三点共线.点评:本例的解答给出了判断三点共线的一种常用方法,其实质是从同一点出发的两个向量共线,则这两个向量的三个顶点共线.这是从平面几何中判断三点共线的方法移植过来的.变式训练已知a =(4,2),b =(6,y),且a ∥b ,求解:∵a ∥b ,∴4y -2×6=0.∴y=3.思路2例2 设点P 是线段P 1P 2上的一点,P 1、P 2的坐标分别是(x 1,y 1)、(x 2,y 2).(1)当点P 是线段P 1P 2的中点时,求点P 的坐标;(2)当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时,求点P 的坐标.活动:教师充分让学生思考,并提出这一结论可以推广吗?即当21PP P P =λ时,点P 的坐标是什么?师生共同讨论,一起探究,可按照求中点坐标的解题思路类比推广,有学生可能提出如下推理方法: 由P P 1=λ2PP ,知(x-x 1,y-y 1)=λ(x 2-x,y 2-y), 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=--=-.1,1)()(21212121λλλλλλy y y x x x y y y y x x x x 这就是线段的定比分点公式,教师要给予充分肯定,鼓励学生的这种积极探索,这是学习数学的重要品质.时间允许的话,可以探索λ的取值符号对P 点位置的影响,也可鼓励学生课后探索.图4解:(1)如图4,由向量的线性运算可知OP =21 (OP 1+OP 2)=(.2,22121y y x x ++). 所以点P 的坐标是(.2,22121y y x x ++) (2)如图5,当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时,有两种情况,即21PP P P =21或21PP P P =2. 如果21PP P P =21,那么 图5=1OP +P P 1=1OP +3121P P =1OP +31(2OP -1OP )=321OP +312OP =(32,322121y y x x ++). 即点P 的坐标是(32,322121y y x x ++). 同理,如果21PP P P =2,那么点P 的坐标是.32,322121y y x x ++ 点评:本例实际上给出了线段的中点坐标公式和线段的三等分点坐标公式.变式训练在△A BC 中,已知点A(3,7)、B(-2,5).若线段AC 、BC 的中点都在坐标轴上,求点C 的坐标.解:(1)若AC 的中点在y 轴上,则BC 的中点在x 轴上,设点C 的坐标为(x,y),由中点坐标公式,得,025,023=+=+y x ∴x=-3,y=-5,即C 点坐标为(-3,-5).(2)若AC 的中点在x 轴上,则BC 的中点在y 轴上,则同理可得C 点坐标为(2,-7). 综合(1)(2),知C 点坐标为(-3,-5)或(2,-7).例2 已知点A(1,2),B(4,5),O 为坐标原点,OP =OA +t AB .若点P 在第二象限,求实数t 的取值范围.活动:教师引导学生利用向量的坐标运算以及向量的相等,把已知条件转化为含参数的方程(组)或不等式(组)再进行求解.教师以提问的方式来了解学生组织步骤的能力,或者让学生到黑板上去板书解题过程,并对思路清晰过程正确的同学进行表扬,同时也要对组织步骤不完全的同学给与提示和鼓励.教师要让学生明白“化归”思想的利用.不等式求变量取值范围的基本观点是,将已知条件转化为关于变量的不等式(组),那么变量的取值范围就是这个不等式(组)的解集.解:由已知AB =(4,5)-(1,2)=(3,3).∴OP =(1,2)+t(3,3)=(3t+1,3t+2). 若点P 在第二象限,则3132023013-<<-⇒⎩⎨⎧>+<+t t t 故t 的取值范围是(32-,31-). 点评:此题通过向量的坐标运算,将点P 的坐标用t 表示,由点P 在第二象限可得到一个关于t 的不等式组,这个不等式组的解集就是t 的取值范围.变式训练已知OA =(cos θ,sin θ),OB =(1+sin θ,1+cos θ),其中0≤θ≤π,求|AB |的取值范围.解:∵=-=(1+sin θ,1+cos θ)-(cos θ,sin θ)=(1+sin θ-cos θ,1+cos θ-sin θ). ∴||2=(1+sin θ-cos θ)2+(1+cos θ-sin θ)2=［1+(sin θ-cos θ)］2+［1-(sin θ-cos θ)］2=2+2(sin θ-cos θ)2=2+2(1-2sin θcos θ)=4-4sin θcos θ=4-2sin2θ.∵0≤θ≤π,∴0≤2θ≤2π.从而-1≤sin2θ≤1.∴4-2sin2θ∈［2,6］.故||的取值范围是［2,6］.知能训练课本本节练习.解答:1.(1)a +b =(3,6),a -b =(-7,2);(2)a +b =(1,11),a -b =(7,-5);(3)a +b =(0,0),a -b =(4,6);(4)a +b =(3,4),a -b =(3,-4).2.-2a +4b =(-6,-8),4a +3b =(12,5).3.(1)AB =(3,4),BA =(-3,-4);(2)AB =(9,-1),BA =(-9,1); (3)AB =(0,2),BA =(0,-2);(4)AB =(5,0),BA =(-5,0).4.∥.证明:AB =(1,-1),=(1,-1),所以AB =.所以AB ∥CD.点评:本题有两个要求:一是判断,二是证明.通过作图发现规律,提出猜想,然后再证明结论是一个让学生经历数学化的过程.5.(1)(3,2);(2)(1,4);(3)(4,-5).6.(310,1)或(314,-1). 7.解:设P(x,y),由点P 在线段AB 的延长线上,且||=23||,得 (x-2,y-3)=23(x-4,y+3), 即⎩⎨⎧+=--=-.9362.12342y y x x 解之,得⎩⎨⎧-==.15,8y x所以点P 的坐标为(8,-15).点评:本题希望通过向量方法求解,培养学生应用向量的意识.课堂小结1.先由学生回顾本节都学习了哪些数学知识:平面向量的和、差、数乘的坐标运算,两个向量共线的坐标表示.2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,定义法、归纳、整理、概括的思想,强调在今后的学习中,要善于培养自己不断探索、善于发现、勇于创新的科学态度和求实开拓的精神,为将来的发展打下良好基础.作业课本习题2.3 A组5、6.设计感想1.本节课中向量的坐标表示及运算实际上是向量的代数运算.这对学生来说学习并不困难,可大胆让学生自己探究.本教案设计流程符合新课改精神.教师在引导学生探究时,始终抓住向量具有几何与代数的双重属性这一特征和向量具有数与形紧密结合的特点.让学生在了解向量知识网络结构基础上,进一步熟悉向量的坐标表示以及运算法则、运算律,能熟练向量代数化的重要作用和实际生活中的应用,并加强数学应用意识,提高分析问题、解决问题的能力.2.平面向量的坐标运算包括向量的代数运算与几何运算.相比较而言,学生对向量的代数运算要容易接受一些,但对向量的几何运算往往感到比较困难,无从下手.向量的几何运算主要包括向量加减法的几何运算,向量平行与垂直的充要条件及定比分点的向量式等.3.通过平面向量坐标的加、减代数运算,结合图形,不但可以建立向量的坐标与点的坐标之间的联系,而且教师可在这两题的基础上稍作推广,就可通过求向量的模而得到直角坐标系内的两点间的距离公式甚至可以推出中点坐标公式.它们在处理平面几何的有关问题时,往往有其独到之处,教师可让学有余力的学生课下继续探讨,以提高学生的思维发散能力.。
高中数学 第2章 平面向量 2.3.4 平面向量共线的坐标表示教案(含解析)高一数学教案
2.3.4 平面向量共线的坐标表示学 习 目 标核 心 素 养1.理解用坐标表示两向量共线的条件．(难点)2.能根据平面向量的坐标判断向量是否共线，并掌握三点共线的判断方法．(重点)3.两直线平行与两向量共线的判定．(易混点)1.通过向量的坐标运算进行向量的线性运算，提升了学生的数学运算的核心素养；2.通过平面向量共线的坐标表示培养了学生逻辑推理的核心素养.平面向量共线的坐标表示(1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b≠0，a ，b 共线，当且仅当存在实数λ，使a ＝λb ．(2)如果用坐标表示，可写为(x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2)，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b (b≠0)共线．思考：两向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线的坐标条件能表示成x 1x 2＝y 1y 2吗？[提示] 不一定，x 2，y 2有一者为零时，比例式没有意义，只有x 2y 2≠0时，才能使用． 1．已知A (2，－1)，B (3，1)，则与AB →平行且方向相反的向量a 是( ) A ．(2，1) B ．(－6，－3) C ．(－1，2) D ．(－4，－8) D [AB →＝(1，2)，根据平行条件知选D.] 2．下列各对向量中，共线的是( ) A ．a ＝(2，3)，b ＝(3，－2) B ．a ＝(2，3)，b ＝(4，－6) C ．a ＝(2，－1)，b ＝(1，2) D ．a ＝(1，2)，b ＝(2，2)D [A ，B ，C 中各对向量都不共线，D 中b ＝2a ，两个向量共线．] 3．已知a ＝(－3，2)，b ＝(6，y )，且a ∥b ，则y ＝ ． －4 [∵a ∥b ，∴6－3＝y2，解得y ＝－4.] 4．若A (3，－6)，B (－5，2)，C (6，y )三点共线，则y ＝ ．－9 [AB →＝(－8，8)，AC →＝(3，y ＋6)，∵A ，B ，C 三点共线，即AB →∥AC →，∴－8(y ＋6)－8×3＝0，解得y ＝－9.]向量共线的判定与证明【例1】 (1)下列各组向量中，共线的是( ) A ．a ＝(－2，3)，b ＝(4，6) B ．a ＝(2，3)，b ＝(3，2) C ．a ＝(1，－2)，b ＝(7，14) D ．a ＝(－3，2)，b ＝(6，－4)(2)已知A (－1，－1)，B (1，3)，C (1，5)，D (2，7)，向量AB →与CD →平行吗？直线AB 平行于直线CD 吗？思路点拨：(1)利用“纵横交错积相减”判断． (2)判断向量AB →，CD →平行→无相关点→AB ∥CD(1)D [A 中，－2×6－3×4≠0，B 中3×3－2×2≠0，C 中1×14－(－2)×7≠0，D 中(－3)×(－4)－2×6＝0.故选D.](2)[解] ∵AB →＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)， CD →＝(2－1，7－5)＝(1，2)．又2×2－4×1＝0， ∴AB →∥CD →.又AC →＝(2，6)，AB →＝(2，4)， ∴2×4－2×6≠0， ∴A ，B ，C 不共线， ∴AB 与CD 不重合， ∴AB ∥CD .向量共线的判定方法提醒：向量共线的坐标表达式极易写错，如写成x 1y 1－x 2y 2＝0或x 1x 2－y 1y 2＝0都是不对的，因此要理解并记熟这一公式，可简记为：纵横交错积相减．1．已知A (1，－3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12，C (9，1)，求证：A ，B ，C 三点共线． [证明] AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8－1，12＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7，72，AC →＝(9－1，1＋3)＝(8，4)，∵7×4－72×8＝0，∴AB →∥AC →，且AB →，AC →有公共点A ， ∴A ，B ，C 三点共线.已知平面向量共线求参数时它们是同向还是反向？思路点拨：法一：可利用b 与非零向量a 共线等价于b ＝λa (λ>0，b 与a 同向；λ<0，b 与a 反向)求解；法二：可先利用坐标形式的等价条件求k ，再利用b ＝λa 判定同向还是反向． [解] 法一：(共线向量定理法)k a ＋b ＝k (1，2)＋(－3，2)＝(k －3，2k ＋2)，a －3b ＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)，当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ， 使k a ＋b ＝λ(a －3b )．由(k －3，2k ＋2)＝λ(10，－4)，所以⎩⎪⎨⎪⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ，解得k ＝λ＝－13.当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )，因为λ＝－13<0，所以k a ＋b 与a －3b 反向．法二：(坐标法)由题知k a ＋b ＝(k －3，2k ＋2)，a －3b ＝(10，－4)，因为k a ＋b 与a －3b 平行，所以(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0， 解得k ＝－13.这时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－3，－23＋2＝－13(a －3b )，所以当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向．利用向量平行的条件处理求值问题的思路： (1)利用共线向量定理a ＝λb (b ≠0)列方程组求解． (2)利用向量平行的坐标表达式x 1y 2－x 2y 1＝0直接求解．2．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)，若c ∥(2a ＋b )，则λ＝ ． 12[由题可得2a ＋b ＝(4，2)，∵c ∥(2a ＋b )，c ＝(1，λ)， ∴4λ－2＝0，即λ＝12.故答案为12.]向量共线的综合应用α等于( )A ．3B ．－3C ．－45D ．45(2)如图所示，已知点A (4，0)，B (4，4)，C (2，6)，求AC 与OB 的交点P 的坐标． 思路点拨：(1)先由a ∥b 推出sin α与cos α的关系，求tan α，再用“1”的代换求2sin αcos α.(2)要求点P 的坐标，只需求出向量OP →的坐标，由OP →与OB →共线得到OP →＝λOB →，利用AP →与AC →共线的坐标表示求出λ即可；也可设P (x ，y )，由OP →∥OB →及AP →∥AC →，列出关于x ，y 的方程组求解．(1)C [因为a ∥b ，所以cos α×1－(－2)sin α＝0，即cos α＝－2sin α，tan α＝－12，所以2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋1＝－45.] (2)[解] 法一：(定理法)由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4，4λ)，AC →＝OC →－OA →＝(－2，6)．由AP →与AC →共线得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3，3)，所以P 点的坐标为(3，3)．法二：(坐标法)设P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4，4)，且OP →与OB →共线，所以x4＝y4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2，6)，且AP →与AC →共线，则得(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以P 点的坐标为(3，3)．应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤3.如图所示，已知△AOB 中，A (0，5)，O (0，0)，B (4，3)，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，求点M 的坐标．[解] 因为OC →＝14OA →＝14(0，5)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54，所以C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54.因为OD →＝12OB →＝12(4，3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32. 设M (x ，y )，则AM →＝(x ，y －5)， AD →＝⎝⎛⎭⎪⎫2－0，32－5＝⎝⎛⎭⎪⎫2，－72.因为AM →∥AD →，所以－72x －2(y －5)＝0，即7x ＋4y ＝20.①又CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y －54，CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4，74，因为CM →∥CB →，所以74x －4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －54＝0，即7x －16y ＝－20.② 联立①②解得x ＝127，y ＝2，故点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫127，2.共线向量与线段分点点坐标的计算1．设P 1，P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，如何求线段P 1P 2的中点P 的坐标？ 提示：如图所示，∵P 为P 1P 2的中点， ∴P 1P →＝PP 2→， ∴OP →－OP 1→＝OP 2→－OP →，∴OP →＝12(OP 1→＋OP 2→)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，∴线段P 1P 2的中点坐标是⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.2．设P 1，P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，点P 是线段P 1P 2的一个三等分点，则P 点坐标是什么？提示：点P 是线段P 1P 2的一个三等分点，分两种情况：①当P 1P →＝13P 1P 2→时，OP →＝OP 1→＋P 1P →＝OP 1→＋13P 1P 2→＝OP 1→＋13(OP 2→－OP 1→)＝23OP 1→＋13OP 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋x 23，2y 1＋y 23；②当P 1P →＝23P 1P 2→时，OP →＝OP 1→＋P 1P →＝OP 1→＋23P 1P 2→＝OP 1→＋23(OP 2→－OP 1→)＝13OP 1→＋23OP 2→ ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋2x 23，y 1＋2y 23.3．当P 1P →＝λPP 2→时，点P 的坐标是什么？提示：∵OP →＝OP 1→＋P 1P →＝OP 1→＋λPP 2→＝OP 1→＋λ(OP 2→－OP →)＝OP 1→＋λOP 2→－λOP →， ∴OP →＝OP 1→＋λOP 2→1＋λ＝11＋λ(x 1，y 1)＋λ1＋λ(x 2，y 2) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋λx 1，11＋λy 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ1＋λx 2，λ1＋λy 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋λx 21＋λ，y 1＋λy 21＋λ，∴P ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋λx 21＋λ，y 1＋λy 21＋λ. 【例4】 已知点A (3，－4)与点B (－1，2)，点P 在直线AB 上，且|AP →|＝2|PB →|，求点P 的坐标．思路点拨：点P 在直线AB 上，包括点P 在线段AB 内和在线段AB 的延长线上，因此应分类讨论．[解] 设P 点坐标为(x ，y )，|AP →|＝2|PB →|.当P 在线段AB 上时，AP →＝2PB →， ∴(x －3，y ＋4)＝2(－1－x ，2－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－2－2x ，y ＋4＝4－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝0，∴P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0.当P 在线段AB 延长线上时，AP →＝－2PB →， ∴(x －3，y ＋4)＝－2(－1－x ，2－y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝2＋2x ，y ＋4＝－4＋2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝8，∴P 点坐标为(－5，8)．综上所述，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0或(－5，8)．1．若将本例条件“|AP →|＝2|PB →|”改为“AP →＝3PB →”其他条件不变，求点P 的坐标． [解] 因为AP →＝3PB →，所以(x －3，y ＋4)＝3(－1－x ，2－y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－3－3x ，y ＋4＝6－3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝12，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.2．若将本例条件改为“经过点P (－2，3)的直线分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，且|AB →|＝3|AP →|”，求点A ，B 的坐标．[解] 由题设知，A ，B ，P 三点共线，且|AB →|＝3|AP →|，设A (x ，0)，B (0，y )， ①点P 在A ，B 之间，则有AB →＝3AP →， ∴(－x ，y )＝3(－2－x ，3)， 解得x ＝－3，y ＝9，点A ，B 的坐标分别为(－3，0)，(0，9)． ②点P 不在A ，B 之间， 则有AB →＝－3AP →，同理，可求得点A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，(0，－9)． 综上，点A ，B 的坐标分别为(－3，0)，(0，9)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，(0，－9)． 求点的坐标时注意的问题(1)设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)．若点P 是P 1P 2的中点时，则P (x ，y )为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.(2)求线段P 1P 2上或延长线上的点的坐标时，不必过分强调公式的记忆，可以转化为向量问题后列出方程组求解，同时要注意分类讨论．(3)若P 1P →＝λP 1P 2→，(λ≠0) ①0＜λ＜1时，P 在线段P 1P 2上； ②λ＝1时，P 与P 2重合；③λ＞1时，点P 在线段P 1P 2延长线上； ④λ＜0时，点P 在线段P 1P 2反向延长线上． 1．两个向量共线条件的表示方法 已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2) (1)当b ≠0时，a ＝λb . (2)x 1y 2－x 2y 1＝0.(3)当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝y 1y 2，即两向量的相应坐标成比例． 2．向量共线的坐标表示的应用两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面．(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行的不同．(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程，要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据．1．下列说法不正确的是( )A ．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a 与b 共线，则x 1x 2＝y 1y 2. B ．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且x 1y 2≠x 2y 1，则a 与b 不共线． C ．若A ，B ，C 三点共线，则向量AB →，BC →，CA →都是共线向量． D ．若A (3，－6)，B (－5，2)，C (6，y )三点共线，则y ＝－9.A [A 中，x 2或y 2为零时，比例式无意义，B 、C 很明显都正确；D 中AB →∥BC →，由AB →＝(－8，8)，BC →＝(11，y －2)，则－8(y －2)－8×11＝0，解得y ＝－9.∴D 正确．]2．已知两点A (2，－1)，B (3，1)，则与AB →平行且方向相反的向量a 可以是( ) A ．(1，－2) B ．(9，3) C ．(－2，4)D ．(－4，－8)D [由题意，得AB →＝(1，2)，所以a ＝λAB →＝(λ，2λ)(其中λ＜0)．符合条件的只有D 项，故选D.]3．已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于 ． (－4，－8) [∵a ∥b ，∴1×m －(－2)×2＝0， ∴m ＝－4，∴a ＝(1，2)，b ＝(－2，－4)， ∴2a ＋3b ＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．]4．设O 是坐标原点，OA →＝(k ，12)，OB →＝(4，5)，OC →＝(10，k )，当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？[解] ∵AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， AC →＝OC →－OA →＝(10－k ，k －12)，又A ，B ，C 三点共线，∴由两向量平行，得(4－k )(k －12)＋7(10－k )＝0， 解得k ＝－2或k ＝11.即当k ＝－2或k ＝11时，A ，B ，C 三点共线．。
人教版高一数学(必修4)导学案：2.3.4-平面向量共线的坐标表示(无答案)
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
班级： 姓名： 编者： 高一数学备课组 问题引航
1. 两向量共线用坐标表示应满足什么条件？
2. 如何进行向量共线的判定和坐标运算？
3. 如何利用向量共线的坐标表示来解决三点共线问题？ 自主探究
（1）条件定义：11(,)a x y = , 22(,)b x y =,其中
（2）结论：当且仅当 时，向量,(0)a b b ≠共线。
2.平面向量共线条件的表示方法
已知：11(,)a x y =，22(,)b x y =
（1）当0b ≠时，___a b =
（2）1221_____x y x y -=或者1221____x y x y
（3）当220x y ≠时，12
_____x x = 3、三点共线问题的解决方法
判断三点共线问题，先将问题转化到两个向量的 问题，然后再判断三点共线。
互动探究
例1. 已知a =(6,2), b =(－9, y ),且//a b 求y .
例2. 已知(1,1),(1,3),(2,5)A B C --,试判断A,B,C 三点的位置关系。
当堂检测
课本100页练习第4，5题。
2. 课本101页练习第6题。
3．课本101页练习第7题。
作业
课本101页习题第5,6,7题
自我评价
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高中数学新人教版A版精品教案《2.3.4 平面向量共线的坐标表示》
平面向量共线的坐标表示教学设计点评导学案：做的比较好的个人，小组予以表扬加分。
首先带领大家解读本节课的学习目标：1.掌握向量共线的坐标表示；学会根据向量的坐标判断向量是否共线；了解中点坐标公式.2.在理解向量共线的概念的基础上，学习用坐标表示向量共线的条件.3.了解数学知识体系的延伸、变迁与发展，并体会运用数学知识解决实际问题的方法. 学习重难点使用坐标方法判断向量的共线.运用向量共线的坐标表示，用向量解决等分点的有关问题.复习回顾，知识梳理：1. 在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量i 、j 作为基底，对于平面内的任一向量a，由平面向量基本定理可得，有且只有一对实数x、y，使得a=xi+yj。
这样，平面内的任一向量a都可以由x、y唯一确定，我们把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y）y上式叫做向量的坐标表示。
其中的x 叫做向量a 在x 轴上的坐标，y 叫做向量a 在y 轴上的坐标。
2. 向量的坐标运算：， 探究环节：探究一：向量共线的坐标表示向量的运算以及相等关系都可以用坐标表示，向量共线关系（向量共线定理）能否用坐标表示？若能，请写出表示过程设a =（x 1, y 1），b =（x 2, y 2），其中b ≠a ∥b ⇔问题: 上述过程中，λ是怎样消去的？当用坐标表示向量共线时，是否要求b ≠0？向量共线的两种表示形式各有什么特点？例1: 已知a =（4，2），b =（6，y ），且a ∥b ，求y22()b x y =，11()a x y =，12121212()()(,)a b x x y y a b x x y y a x y λλλ+=++-=--=，，11222121(,),(,),(,).A x yB x y AB x x y y =--若则思考 1: 本题中的a ，b 是同向还是反向？说出你的理由.2: 已知a =（2，-1），b =（x, 2）,c =(-3, y), 且a ∥b ∥c ，求x, y探究二：三点共线的判断例2 已知A （-1，-1），B （1，3），C （2，5），试判断A ，B ，C 之间的位置关系三点共线有哪些证法？请写下归纳小结：变式：判断下列各组的点是否共线：（1）7(1,2) (3,4)2,2A B C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭、、； （2）1(9,1) Q(1,3)8,2P R ⎛⎫- ⎪⎝⎭、、探究三：中点坐标公式例3： 设点P 是线段P 1 P 2上的一点，P 1，P 2 的坐标分别是（x 1，y 1），（x 2（1）当P 是线段P 1 P 2的中点时，求点P 的坐标；（2）当P 是线段P 1 P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标。
高中数学2.3.4平面向量共线的坐标表示1课时学案北师大版必修4
《§2.3.4 平面向量共线的坐标表示》学案学习目标：1．会推导并熟记两向量共线时坐标表示的充要条件；2．能利用两向量共线的坐标表示解决有关综合问题。
学习重难点：利用两向量共线的坐标表示解决有关综合问题。
学习过程【自主学习】1、知识回顾：平面向量共线定理_____________________________________________________.2、思考：如何用坐标表示两个共线向量？【重难点探究】（一）、思考：共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ使得b =λa ，那么这个条件是否也能用坐标来表示呢？设a =(x 1, y 1), b =(x 2, y 2)（ b ≠0） 其中b ≠a由a =λb ，得________________________，即_____________________，消去λ后得:___________________________.这就是说,当且仅当______________________时,向量a 与b共线.（二）、典型例题：例1：已知(4,2)a =，(6,)b y =，且//a b ，求y ．例2：已知(1,1)A --，(1,3)B ，(2,5)C ，求证：A 、B 、C 三点共线．例3：设点P 是线段P 1P 2的中点，P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，求点P 的坐标.【归纳总结】1．平面向量共线充要条件的两种表达形式是什么?2．如何用平面向量共线的充要条件的坐标形式证明三点共线和两直线平行?【巩固提升】1、课本101页【练习】：5题 【A 组】：5、6题2、下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是（ ）A ．==-(0,0),(1,2)a bB ．=-=(1,2),(5,7)a bC ．==(3,5),(6,10)a bD ．=-=-(2,3),(4,6)a b3、已知向量=-=-(2,4) , (1,2)a b ，则a 与b 的关系是（ ）A ．不共线B ．相等C ．同向D ．反向4、已知AB =a +5b ，BC =－2a +8b ，CD =3（a －b ），则（ ）A. A 、B 、D 三点共线B. A 、B 、C 三点共线C. B 、C 、D 三点共线D. A 、C 、D 三点共线5、若向量a =(-1，x)与b =(-x ，4)共线且方向相同，则x 为________.6．已知：四点A(5，1)， B(3，4)， C(1，3)， D(5，-3) ， 求证：四边形ABCD 是梯形.【当堂检测】1、已知a =(4，2)，b =(6，y )，且a ∥b ，则y = .2、若a =(2，3)，b =(4，-1+ y )，且a ∥b ，则y =（ ）A. 6B. 5C. 7D. 83、若A (x ，-1)，B (1，3)，C (2，5)三点共线，则x 的值为（ ）A. -3B. -1C. 1D. 34、已知a =(1，2)，b =(x ，1)，若a +2b 与2a -b 平行，则x 的值为5、已知(2,3)a =，(1,2)b =-，若ka b -与a kb -平行，则k 等于（ ）．A. 1B. -1C. 1或-1D. 26、已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，试问向量AB 与CD 平行吗？直线AB 与直线CD 平行吗？。
高中数学 2.3.4平面向量共线的坐标表示导学案 新人教A版必修4
【学习目标】1、在理解向量共线的概念的基础上，学习用坐标表示向量共线的条件。
2、利用向量共线的坐标表示解决有关问题。
【学习过程】一、自主学习（一）知识链接：复习：⑴若点A 、B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y 那么向量AB 的坐标为 . ⑵若()()1122,,,a x y b x y ==，则a b += ，a b -= ，a λ=（二）自主探究：（预习教材P98—P101）探究：平面向量共线的坐标表示问题1：两向量平行（共线）的条件是什么？若,a b （0b ≠）共线，当且仅当存在实数λ，使 。
问题2：假设()()1122,,,a x y b x y ==（0b ≠），用坐标该如何表示这两个向量共线呢？ 2、设1122(,),(,)a x y b x y ==，其中0b ≠，则//a b 等价于______________________。
二、合作探究1、已知()2,4-=，()6,b y =，且//a b ，求y .变式：判断下列向量a 与b 是否共线①(2,3) (3,4)a b ==②8(2,3) (,4)3a b ==2、向量(),12OA k =，()4,5OB =，()10,OC k =，当k 为何值时，,,A B C 三点共线.变式：证明下列各组点共线：（1）7(1,2) (3,4)(2,)2A B C --（2）1(9,1) Q(1,3)(8,)2P R -3、设点P 是线段12P P 上的一点，12,P P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y .⑴当点P 是线段12P P 的中点时，求点P 的坐标；⑵当点P 是线段12P P 的一个三等分点时，求点P 的坐标. *变式： 当12PP PP λ=，点P 的坐标是什么？三、交流展示1已知(2,3),(2,1),(1,4)(7,4)A B D ----判断AB 与CD 是否共线？2、已知()()()2,1,,2,3,a b x c y =-==-，且////a b c ，求,x y 的值.3、平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，＝(4,1)，求：(1)求3a ＋b －2；(2)求满足a ＝m b ＋n 的实数m ，n ；(3)若(a ＋k )∥(2b －a )，求实数k .四、达标检测（A 组必做，B 组选做）A 组：1. 已知向量()2,4a =-，()1,2b =-，则a 与b 的关系是（ ）A.不共线B.相等C.方向相同D.共线2. 已知,,A B C 三点共线，且()()3,6,5,2A B --，若C 点横坐标为6，则C 点的纵坐标为（ ）A.13-B.9C.9-D.133. 点(),A m n 关于点(),B a b 对称点坐标为（ ）A.(),m n --B.(),a m b n --C.()2,2a m b n --D.()2,2a m b n --4. 已知()1,2a =，(),1b x =，若2a b +与2a b -平行，则x 的值为 .B 组：1、(2010·湖南长沙)已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈[0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．垂心C ．内心D ．重心 2、已知四点A (x,0)、B (2x,1)、C (2，x )、D (6,2x )．(1)求实数x ，使两向量AB →、CD →共线．(2)当两向量AB →与CD →共线时，A 、B 、C 、D 四点是否在同一条直线上？。
高中数学第二章平面向量2.3.4平面向量共线的坐标表示学案含解析新人教A版必修
学习资料2．3.4 平面向量共线的坐标表示内容标准学科素养1。
理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 2。
能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.3。
掌握三点共线的判断方法. 应用直观想象提升数学运算发展逻辑推理授课提示：对应学生用书第60页[基础认识］知识点平面向量共线的坐标表示阅读教材P98～99,思考并完成以下问题根据向量的坐标运算,向量共线如何表示？已知下列几组向量：①a＝（0，3），b＝（0,6）；②a＝(2,3），b＝(4，6);③a＝(－1，4)，b＝(3,－12）;④a＝错误!，b＝错误!.（1)将每组向量画在坐标系中，发现a与b有什么关系？提示：①②中a与b同向，③④中a与b反向．(2)每组中的a与b共线吗？提示:共线．知识梳理(1）设a＝(x1，y1)，b＝（x2，y2），其中b≠0，a，b共线，当且仅当存在实数λ，使a＝λb。
(2)如果用坐标表示,可写为(x1，y1)＝λ（x2,y2），当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b（b≠0）共线．注意:对于(2）的形式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式,可简记为：纵横交错积相减．思考若a＝（x1，y1)，b＝(x2，y2),a∥b时，一定有错误!＝错误!吗？提示:不一定，当y1＝0或y2＝0时，不成立．[自我检测］1．已知向量a＝(2，－1），b＝（x－1，2)，若a∥b，则实数x的值为(）A．2B．－2C．3D．－3答案:D2．与a＝（12，5)平行的单位向量为(）A.错误!B。
错误!C。
错误!或错误!D.错误!答案:C授课提示：对应学生用书第60页探究一向量共线的判定与证明［教材P101习题第6题]已知A(－2，－3），B(2，1)，C(1，4）,D(－7,－4)．试问错误!与错误!是否共线?解析:错误!＝(2,1)－（－2，－3)＝（4，4),错误!＝(－7，－4）－（1，4)＝（－8，－8)，∵44＝错误!.∴错误!与错误!共线．[例1］（1)下列各组向量中，共线的是(）A．a＝（－2，3），b＝(4，6)B．a＝（2，3)，b＝(3，2）C．a＝（1，－2)，b＝(7,14）D．a＝(－3，2）,b＝（6，－4）(2）在下列向量组中，可以把向量a＝(－3,7）表示出来的是（）A．e1＝（0，1)，e2＝(0，－2)B．e1＝（1，5),e2＝(－2,－10）C．e1＝(－5,3），e2＝(－2，1）D．e1＝（7，8）,e2＝（－7，－8)［解析](1）利用x1y2－x2y1＝0判定．（2)只有C不共线，可作为基底．[答案］(1）D（2）C方法技巧向量共线的判定方法跟踪探究1。
高中数学 2.3.4平面向量共线的坐标表示学案 新人教A版必修4
课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。
2、了解我国书法发展的历史。
3、掌握基本笔画的书写特点。
重点：基本笔画的书写。
难点：运笔的技法。
教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。
2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。
二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。
换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。
三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。
2、教师边书写边讲解。
3、学生练习，教师指导。
（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。
在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。
5、学生练习，教师指导。
（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。
板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。
这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。
基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。
课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。
课题：书写练习1课型：新授课教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。
2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。
重点：正确书写6个字。
难点：注意字的结构和笔画的书写。
教学过程：一、小结课堂内容，评价上次作业。
二、讲解新课：1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。
2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。
（老师读，学生读，加深理解。
2020-高中数学 第二章 平面向量 2.3.4 平面向量共线的坐标表示学案(含解析)新人教A版必
学习资料2.3.4 平面向量共线的坐标表示两向量平行的条件(1）设a ＝（x 1，y 1)，b ＝(x 2,y 2)，b ≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0。
（2)设a ＝(x 1，y 1），b ＝（x 2,y 2）,如果向量b 不平行于坐标轴，即x 2≠0，y 2≠0,则a ∥b ⇔错误!＝错误!.用语言可以表述为：两个向量平行的条件是相应坐标成比例．错误! 已知错误!＝（x 1，y 1)，错误!＝（x 2，y 2），（1)当错误!≠0时，错误!＝λ错误!。
这是几何运算，体现了向量错误!与错误!的长度及方向之间的关系．（2)x 1y 2－x 2y 1＝0.这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征．（3）当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝错误!，即两向量的对应坐标成比例．通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．[小试身手］1．判断下列命题是否正确。
(正确的打“√"，错误的打“×”)(1）设a ＝（x 1y 1),b ＝（x 2，y 2),则a ∥b 等价于x 1x 2＝错误!.（ ） (2）向量（1，2）与向量（4，8）共线．( )（3）向量(2,3)与向量(－4，－6)反向．（ ）答案：（1）× （2)√ (3)√2．下列各组向量相互平行的是( )A ．a ＝(－1,2)，b ＝(3，5)B ．a ＝(1,2），b ＝（2，1）C ．a ＝（2,－1），b ＝(3，4)D ．a ＝(－2，1），b ＝(4，－2）解析：D 中,b ＝－2a 。
答案：D3．已知a ＝(－6,2），b ＝(m ，－3)，且a ∥b ，则m ＝（ ）A ．－9B ．9C ．3D ．－3解析:因为a ＝(－6,2），b ＝(m ，－3），若a ∥b ，则－6×(－3）－2m ＝0，解得m ＝9。
内蒙古元宝山区平煤高级中学高中数学2.4.2平面向量数
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目标：1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. 知识要点：1.已知),(),,(2211y x y x ==，则=∙ 。
这就是说，两个向量的数量积等于 。
2.若),(y x a ==；或= 。
3.如果),(),,(222111y x P y x P ，则==21P P ；= 。
4.已知),(),,(2211y x b y x a ==，则⇔⊥b a 。
5.已知),(),,(2211y x b y x a ==，θ是a 与b 的夹角，则θcos = = 。
典型例题：【例1】已知)5,2(),3,2(),2,1(-C B A ，试判断ABC ∆的形状，并给出证明。
【例2】已知)4,6(),7,5(--=-=，求∙，与的夹角θ-当堂检测：1.已知)4,3(=a ，)2,5(=b ，求||a，||b ，b a ∙2. 已知)3,2(=a ，)4,2(-=b ，)2,1(--=c ，求b a ∙，)()(b a b a -∙+，)(c b a+∙， 2)(b a +23. 12||=a，9||=b ，254-=∙b a ，求a 与b 的夹角θ。
4. 8||=a ，10||=b ，16||=+b a，求a 与b 的夹角θ的余弦值。
5. 4||=a ，3||=b ，61)2()32(=+∙-b a b a，求a 与b 的夹角θ。
6.已知)cos ,1(),1,(sin θθ==b a ，22πθπ<<-，当b a ⊥时，求θ的值。
7. 已知(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，其中0αβπ<<<．求证：)()(-⊥+。
内蒙古元宝山区平煤高级中学高中数学人教必修四课件 234平面向量共线的坐标表示
y2
第十六页，编辑于星期日：六点 三十三分。
例4.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是
(x1, y1), (x2 , y2 )
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标； （2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。
解：（2）
若 P1P
另、x x1,
1 2
PP2
y y1
, 那么
1 2
x2
x,
y2
y
y P2
P P1
有x
y
x1 y1
1 2 1 2
x2 y2
x y
解有P点坐标 2x1 x2
O
, 2 y1 y2
x
3
3
第十七页，编辑于星期日：六点 三十三分。
例4.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是
(x1, y1), (x2 , y2 )
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标； （2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。
解：（2）
若
P1P
1 2
PP2
,
那么
y P2
P
1
OP OP1 P1P OP1 3 P1P2
P1
OP1
1 3
OP2
OP1
O
x
2 3 OP1
1 3 OP2
2x1 3
x2
,
2 y1 3
第七页，编辑于星期日：六点 三十三分。
向量共线的两个等价条件
a // b(b
0)
a b
或
x1 y2 x2 y1
0.
第八页，编辑于星期日：六点 三十三分。
高中数学第二章平面向量2.3.4平面向量共线的坐标表示教案
2.3.4 平面向量共线的坐标表示1.知识与技能(1)理解两向量共线的坐标表示.(2)会用两向量共线的坐标表示解决向量共线、点共线、直线平行等问题.2.过程与方法通过对平面向量共线定理的坐标表示形式的探究和应用,培养学生的分析问题、解决问题的能力和体会化归与转化的数学思想方法.3.情感、态度与价值观通过本节学习和运用实践,培养学生的探索精神,体会数学的科学价值与应用价值.重点:用坐标表示两向量共线.难点:两向量共线坐标表示的灵活应用.1.已知平面向量a=(x,1),b=(-x,x2),则向量a+b()A.平行于x轴B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y轴D.平行于第二、四象限的角平分线解析:∵a=(x,1),b=(-x,x2),∴a+b=(0,1+x2).∵a+b的横坐标为0,纵坐标为1+x2>0,∴a+b平行于y轴.答案:C2.平面上有A(2,-1),B(1,4),D(4,-3)三点,点C在直线AB上,且,连接DC延长至E,使||=|,则点E的坐标为.解析:∵,∴A为BC的中点.∴点C坐标为(3,-6).又||=|,且E在DC的延长线上,∴=-.设E(x,y),则(x-3,y+6)=-(4-x,-3-y),得解得答案:3.如图所示,已知直角梯形ABCD,AD⊥AB,AB=2AD=2CD,过点C作CE⊥AB于E,M为CE的中点,用向量的方法证明:(1)DE∥BC;(2)D,M,B三点共线.证明:如图,以E为原点,AB所在直线为x轴,EC所在直线为y轴建立直角坐标系,设||=1,则||=1,||=2.∵CE⊥AB,而AD=DC,∴四边形AECD为正方形.∴可求得各点坐标分别为E(0,0),B(1,0),C(0,1),D(-1,1),A(-1,0).(1)∵=(-1,1)-(0,0)=(-1,1),=(0,1)-(1,0)=(-1,1),∴.∴,即DE∥BC.(2)连接MB,MD,∵M为EC的中点,∴M,∴=(-1,1)-,=(1,0)-.∴=-.∴.又有公共点M,∴M,B,D三点共线.。
内蒙古元宝山区平煤高级中学高中数学2.5.1平面几何中的向量方法学案(无答案)新人教A版必修4
2.5.1平面几何中的向量方法
教学目的：
1.通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何的问题的步骤；
2.明确平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示.；
3.让学生深刻理解向量在处理平面几何问题中的优越性. 知识要点： 1.向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形中的许多性质如 、 、 、 、 等都可以由向量的线性运算及数量积表示； 2. 用向量方法解决平面几何的问题的步骤： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 知识要点： 【例1.】平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型.如图，AD AB AC += ， , -=你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？ 【例2】如图，□ ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、DC 边的中点，BE 、 BF 分别与AC 交于R 、 T 两点，你能发现AR 、RT 、TC 之间的关系吗？
2 当堂检测：
1.已知AC 为⊙O 的一条直径，∠ABC 为圆周角.求证：∠ABC ＝90o .
2.在ABC ∆中，M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且2AN NC =，AM BN 与相交于点P ，求:AP PM 的值．。
高中数学必修四教案-平面向量共线的坐标表示
2.3.3 平面向量的坐标运算2.3.4 平面向量共线的坐标表示整体设计教学分析1.前面学习了平面向量的坐标表示,实际是平面向量的代数表示.在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.2.本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律,推导两个向量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算.推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配律.3.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,一个自然的想法是向量的某些关系,特别是向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢?前面已经找出两个向量共线的条件(如果存在实数λ,使得a=λb,那么a与b共线),本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示.这种转化是比较容易的,只要将向量用坐标表示出来,再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示.要注意的是,向量的共线与向量的平行是一致的.三维目标1.通过经历探究活动,使学生掌握平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示方法.理解并掌握平面向量的坐标运算以及向量共线的坐标表示.2.引入平面向量的坐标可使向量运算完全代数化,平面向量的坐标成了数与形结合的载体.3.在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯,以加深理解知识要点,增强应用意识.重点难点教学重点:平面向量的坐标运算.教学难点:对平面向量共线的坐标表示的理解.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.向量具有代数特征,与平面直角坐标系紧密相联.那么我们在学习直线和圆的方程以及点、直线、平面之间的位置关系时,直线与直线的平行是一种重要的关系.关于x、y 的二元一次方程Ax+By+C=0(A、B不同时为零)何时所体现的两条直线平行？向量的共线用代数运算如何体现？思路2.对于平面内的任意向量a,过定点O作向量OA=a,则点A的位置被向量a的大小和方向所唯一确定.如果以定点O为原点建立平面直角坐标系,那么点A的位置可通过其坐标来反映,从而向量a也可以用坐标来表示,这样我就可以通过坐标来研究向量问题了.事实上,向量的坐标表示,实际是向量的代数表示.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,那么向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢？推进新课新知探究提出问题①我们研究了平面向量的坐标表示,现在已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),你能得出a+b,a-b,λa的坐标表示吗?②如图1,已知A(x1,y1),B(x2,y2),怎样表示AB的坐标？你能在图中标出坐标为(x2-x1,y2-y1)的P点吗?标出点P后,你能总结出什么结论?活动:教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、减运算,教师可以让学生到黑板去板书步骤.可得:图1a+b=(x1ｉ+y1j)+(x2ｉ+y2j)=(x1+x2)ｉ+(y1+y2)j,即a+b=(x1+x2,y1+y2).同理a-b=(x1-x2,y1-y2).又λa=λ(x1ｉ+y1j)=λx1ｉ+λy1j.∴λa=(λx1,λy1).教师和学生一起总结,把上述结论用文字叙述分别为:两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差);实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.教师再引导学生找出点与向量的关系:将向量AB平移,使得点A与坐标原点O重合,则平移后的B点位置就是P点.向量AB的坐标与以原点为始点,点P为终点的向量坐标是相同的,这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系.学生通过平移也可以发现:向量的模与向量的模是相等的.由此,我们可以得出平面内两点间的距离公式: ||=||=221221)()(y y x x -+-.教师对总结完全的同学进行表扬,并鼓励学生,只要善于开动脑筋,勇于创新,展开思维的翅膀,就一定能获得意想不到的收获.讨论结果:①能. ②=-=(x 2,y 2)-(x 1,y 1)=(x 2-x 1,y 2-y 1).结论:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标. 提出问题①如何用坐标表示两个共线向量?②若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),那么2211x y x y =是向量a 、b 共线的什么条件? 活动:教师引导学生类比直线平行的特点来推导向量共线时的关系.此处教师要对探究困难的学生给以必要的点拨:设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),其中b ≠0.我们知道,a 、b 共线,当且仅当存在实数λ,使a =λb .如果用坐标表示,可写为(x 1,y 1)=λ(x 2,y 2),即⎪⎩⎪⎨⎧==.,2121y y x x λλ消去λ后得x 1y 2-x 2y 1=0. 这就是说,当且仅当x 1y 2-x 2y 1=0时向量a 、b (b ≠0)共线.又我们知道x 1y 2-x 2y 1=0与x 1y 2=x 2y 1是等价的,但这与2211x y x y =是不等价的.因为当x 1=x 2=0时,x 1y 2-x 2y 1=0成立,但2211x y x y =均无意义.因此2211x y x y =是向量a 、b 共线的充分不必要条件.由此也看出向量的应用更具一般性,更简捷、实用,让学生仔细体会这点.讨论结果:①x 1y 2-x 2y 1=0时,向量a 、b (b ≠0)共线.②充分不必要条件.提出问题a 与非零向量b 为共线向量的充要条件是有且只有一个实数λ使得a =λb ,那么这个充要条件如何用坐标来表示呢？活动:教师引导推证:设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),其中b ≠a ,由a =λb ,(x 1,y 1)=λ(x 2,y 2)⎪⎩⎪⎨⎧==⇒.,2121y y x x λλ消去λ,得x 1y 2-x 2y 1=0. 讨论结果:a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0.教师应向学生特别提醒感悟:1°消去λ时不能两式相除,∵y 1、y 2有可能为0,而b ≠0,∴x 2、y 2中至少有一个不为0.2°充要条件不能写成2211x y x y =(∵x 1、x 2有可能为0). 3°从而向量共线的充要条件有两种形式:a ∥b (b ≠0)⎩⎨⎧===⇔.01221y x y x b a λ 应用示例思路1例1 已知a =(2,1),b =(-3,4),求a +b ,a -b ,3a +4b 的坐标.活动:本例是向量代数运算的简单应用,让学生根据向量的线性运算进行向量的和、差及数乘的坐标运算,再根据向量的线性运算律和向量的坐标概念得出的结论.若已知表示向量的有向线段的始点和终点坐标,那么终点的坐标减去始点的坐标就是此向量的坐标,从而使得向量的坐标与点的坐标可以相互转化.可由学生自己完成.解:a +b =(2,1)+(-3,4)=(-1,5);a -b =(2,1)-(-3,4)=(5,-3);3a +4b =3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).点评:本例是平面向量坐标运算的常规题,目的是熟悉平面向量的坐标运算公式. 变式训练1.(2007海南高考,4) 已知平面向量a =(1,1),b =(1,-1),则向量21a 23-b 等于( ) A.(-2,-1) B.(-2,1) C.(-1,0)D.(-1,2)答案:D2.(2007全国高考,3) 已知向量a =(-5,6),b =(6,5),则a 与b …( )A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向 答案:A图2例2 如图2,已知ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是(-2,1)、(-1,3)、(3,4),试求顶点D 的坐标.活动:本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算.这里给出了两种解法:解法一利用“两个向量相等,则它们的坐标相等”,解题过程中应用了方程思想;解法二利用向量加法的平行四边形法则求得向量的坐标,进而得到点D 的坐标.解题过程中,关键是充分利用图形中各线段的位置关系(主要是平行关系),数形结合地思考,将顶点D 的坐标表示为已知点的坐标.解:方法一:如图2,设顶点D 的坐标为(x,y). ∵AB =(-1-(-2),3-1)=(1,2),DC =(3-x,4-y).由AB =DC ,得(1,2)=(3-x,4-y).∴⎩⎨⎧-=-=.42,31x x ∴⎩⎨⎧==.2,2y x∴顶点D 的坐标为(2,2).方法二:如图2,由向量加法的平行四边形法则,可知BC BA AD BA BD +=+==(-2-(-1),1-3)+(3-(-1),4-3)=(3,-1),而OD =OB +BD =(-1,3)+(3,-1)=(2,2),∴顶点D 的坐标为(2,2).点评:本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算.变式训练图3如图3,已知平面上三点的坐标分别为A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解:当平行四边形为ABCD 时,仿例二得:D 1=(2,2);当平行四边形为ACDB 时,仿例二得:D 2=(4,6);当平行四边形为DACB 时,仿上得:D 3=(-6,0).例3 已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),试判断A 、B 、C 三点之间的位置关系.活动:教师引导学生利用向量的共线来判断.首先要探究三个点组合成两个向量,然后根据两个向量共线的充要条件来判断这两个向量是否共线从而来判断这三点是否共线.教师引导学生进一步理解并熟练地运用向量共线的坐标形式来判断向量之间的关系.让学生通过观察图象领悟先猜后证的思维方式.解:在平面直角坐标系中作出A 、B 、C 三点,观察图形,我们猜想A 、B 、C 三点共线.下面给出证明.∵AB =(1-(-1),3-(-1))=(2,4), =(2-(-1),5-(-1))=(3,6),又2×6-3×4=0,∴∥,且直线AB 、直线AC 有公共点A,∴A、B 、C 三点共线.点评:本例的解答给出了判断三点共线的一种常用方法,其实质是从同一点出发的两个向量共线,则这两个向量的三个顶点共线.这是从平面几何中判断三点共线的方法移植过来的.变式训练已知a =(4,2),b =(6,y),且a ∥b ,求解:∵a ∥b ,∴4y -2×6=0.∴y=3.思路2例2 设点P 是线段P 1P 2上的一点,P 1、P 2的坐标分别是(x 1,y 1)、(x 2,y 2).(1)当点P 是线段P 1P 2的中点时,求点P 的坐标;(2)当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时,求点P 的坐标.活动:教师充分让学生思考,并提出这一结论可以推广吗?即当21PP P P =λ时,点P 的坐标是什么?师生共同讨论,一起探究,可按照求中点坐标的解题思路类比推广,有学生可能提出如下推理方法: 由P P 1=λ2PP ,知(x-x 1,y-y 1)=λ(x 2-x,y 2-y), 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=--=-.1,1)()(21212121λλλλλλy y y x x x y y y y x x x x 这就是线段的定比分点公式,教师要给予充分肯定,鼓励学生的这种积极探索,这是学习数学的重要品质.时间允许的话,可以探索λ的取值符号对P 点位置的影响,也可鼓励学生课后探索.图4解:(1)如图4,由向量的线性运算可知OP =21 (OP 1+OP 2)=(.2,22121y y x x ++). 所以点P 的坐标是(.2,22121y y x x ++) (2)如图5,当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时,有两种情况,即21PP P P =21或21PP P P =2. 如果21PP P P =21,那么 图5=1OP +P P 1=1OP +3121P P =1OP +31(2OP -1OP )=321OP +312OP =(32,322121y y x x ++). 即点P 的坐标是(32,322121y y x x ++). 同理,如果21PP P P =2,那么点P 的坐标是.32,322121y y x x ++ 点评:本例实际上给出了线段的中点坐标公式和线段的三等分点坐标公式.变式训练在△A BC 中,已知点A(3,7)、B(-2,5).若线段AC 、BC 的中点都在坐标轴上,求点C 的坐标.解:(1)若AC 的中点在y 轴上,则BC 的中点在x 轴上,设点C 的坐标为(x,y),由中点坐标公式,得,025,023=+=+y x ∴x=-3,y=-5,即C 点坐标为(-3,-5).(2)若AC 的中点在x 轴上,则BC 的中点在y 轴上,则同理可得C 点坐标为(2,-7). 综合(1)(2),知C 点坐标为(-3,-5)或(2,-7).例2 已知点A(1,2),B(4,5),O 为坐标原点,OP =OA +t AB .若点P 在第二象限,求实数t 的取值范围.活动:教师引导学生利用向量的坐标运算以及向量的相等,把已知条件转化为含参数的方程(组)或不等式(组)再进行求解.教师以提问的方式来了解学生组织步骤的能力,或者让学生到黑板上去板书解题过程,并对思路清晰过程正确的同学进行表扬,同时也要对组织步骤不完全的同学给与提示和鼓励.教师要让学生明白“化归”思想的利用.不等式求变量取值范围的基本观点是,将已知条件转化为关于变量的不等式(组),那么变量的取值范围就是这个不等式(组)的解集.解:由已知AB =(4,5)-(1,2)=(3,3).∴OP =(1,2)+t(3,3)=(3t+1,3t+2). 若点P 在第二象限,则3132023013-<<-⇒⎩⎨⎧>+<+t t t 故t 的取值范围是(32-,31-). 点评:此题通过向量的坐标运算,将点P 的坐标用t 表示,由点P 在第二象限可得到一个关于t 的不等式组,这个不等式组的解集就是t 的取值范围.变式训练已知OA =(cos θ,sin θ),OB =(1+sin θ,1+cos θ),其中0≤θ≤π,求|AB |的取值范围.解:∵=-=(1+sin θ,1+cos θ)-(cos θ,sin θ)=(1+sin θ-cos θ,1+cos θ-sin θ). ∴||2=(1+sin θ-cos θ)2+(1+cos θ-sin θ)2=［1+(sin θ-cos θ)］2+［1-(sin θ-cos θ)］2=2+2(sin θ-cos θ)2=2+2(1-2sin θcos θ)=4-4sin θcos θ=4-2sin2θ.∵0≤θ≤π,∴0≤2θ≤2π.从而-1≤sin2θ≤1.∴4-2sin2θ∈［2,6］.故||的取值范围是［2,6］.知能训练课本本节练习.解答:1.(1)a +b =(3,6),a -b =(-7,2);(2)a +b =(1,11),a -b =(7,-5);(3)a +b =(0,0),a -b =(4,6);(4)a +b =(3,4),a -b =(3,-4).2.-2a +4b =(-6,-8),4a +3b =(12,5).3.(1)AB =(3,4),BA =(-3,-4);(2)AB =(9,-1),BA =(-9,1); (3)AB =(0,2),BA =(0,-2);(4)AB =(5,0),BA =(-5,0).4.∥.证明:AB =(1,-1),=(1,-1),所以AB =.所以AB ∥CD.点评:本题有两个要求:一是判断,二是证明.通过作图发现规律,提出猜想,然后再证明结论是一个让学生经历数学化的过程.5.(1)(3,2);(2)(1,4);(3)(4,-5).6.(310,1)或(314,-1). 7.解:设P(x,y),由点P 在线段AB 的延长线上,且||=23||,得 (x-2,y-3)=23(x-4,y+3), 即⎩⎨⎧+=--=-.9362.12342y y x x 解之,得⎩⎨⎧-==.15,8y x所以点P 的坐标为(8,-15).点评:本题希望通过向量方法求解,培养学生应用向量的意识.课堂小结1.先由学生回顾本节都学习了哪些数学知识:平面向量的和、差、数乘的坐标运算,两个向量共线的坐标表示.2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,定义法、归纳、整理、概括的思想,强调在今后的学习中,要善于培养自己不断探索、善于发现、勇于创新的科学态度和求实开拓的精神,为将来的发展打下良好基础.作业课本习题2.3 A组5、6.设计感想1.本节课中向量的坐标表示及运算实际上是向量的代数运算.这对学生来说学习并不困难,可大胆让学生自己探究.本教案设计流程符合新课改精神.教师在引导学生探究时,始终抓住向量具有几何与代数的双重属性这一特征和向量具有数与形紧密结合的特点.让学生在了解向量知识网络结构基础上,进一步熟悉向量的坐标表示以及运算法则、运算律,能熟练向量代数化的重要作用和实际生活中的应用,并加强数学应用意识,提高分析问题、解决问题的能力.2.平面向量的坐标运算包括向量的代数运算与几何运算.相比较而言,学生对向量的代数运算要容易接受一些,但对向量的几何运算往往感到比较困难,无从下手.向量的几何运算主要包括向量加减法的几何运算,向量平行与垂直的充要条件及定比分点的向量式等.3.通过平面向量坐标的加、减代数运算,结合图形,不但可以建立向量的坐标与点的坐标之间的联系,而且教师可在这两题的基础上稍作推广,就可通过求向量的模而得到直角坐标系内的两点间的距离公式甚至可以推出中点坐标公式.它们在处理平面几何的有关问题时,往往有其独到之处,教师可让学有余力的学生课下继续探讨,以提高学生的思维发散能力.。
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2.3.4 平面向量共线的坐标表示
教学目标：
1.复习巩固平面向量坐标的概念和平面向量的坐标运算；
2.能说出平行（共线）向量充要条件的坐标表示，并会用它解决向量平行（共线）的有关问题；
3.弄清向量平行和直线平行的区别． 知识要点：
1.设),(),,(2211y x y x ==，其中)(≠，则与共线⇔ 。
2.设),(),,(2211y x y x ==，则=⇔ 。
3.已知),(),,(222111y x P y x P ，P 是线段21P P 的中点，则点P 的坐标为 。
4.已知ABC ∆中，),(),,(),,(332211y x C y x B y x A ，G 为重心，则G 的坐标为 。
5.已知),(),,(222111y x P y x P ，当21PP P λ=)1(-≠λ时，点
P 的坐标为 。
典型例题：
【例1】已知),6(),2,4(y ==，且//，求y 。
【例2】已知)5,2(),3,1(),1,1(C B A --，判断C B A ,,三点的位置关系。
【例3】已知),(),,(222111y x P y x P ，当P 是线段21P P 的一个三等分点时，求点P 的坐标。
2
当堂检测：
1.已知点)1,2(),2,1(),0,1(),1,0(D C B A ，判断AB 与CD 的关系。
2.求线段AB 的中点坐标： ① )1,2(A ,)3,4(B ② )2,1(-A ,)6,3(B ③ )4,5(-A ,)6,3(-B
3.已知点)0,0(O ，向量)3,2(=OA ，)3,6(-=OB ，点P 是线段AB 的三等分点，求点P 坐标
4. 已知)3,2(A ,)3,4(-B ，点P 在线段AB 的延长线上，且2
3=，求点P 的坐标.
5.在△ABC 中,已知点A(3,7)、B(-2,5).若线段AC 、BC 的中点都在坐标轴上,求点C 的坐标.。