理解数学 理解学生 理解教学
理解数学理解学生理解教学(章建跃)
（3）过分关注“题型”及对应的技巧—— 技巧，雕虫小技也，不足道也；技巧无 法穷尽，教技巧的结果可能是“讲过练 过的不一定会，没讲没练的一定不会” ；等。
理解数学理解学生理解教学
人民教育出版社 章建跃 zha• 核心：以学生的全面、和谐与可持续发 展为本——教育中的“科学发展观” • 教学目标——全面关注学生的认知、能 力和理性精神，以学生最近发展区为定 向，促进学生全面、和谐、可持续发 展——数学育人。
• 教改只能成功不能失败，因为人才的成 长没有重复机会，教育要绝对避免“折 腾”。 • 教改必须“大胆创新，谨慎实践”。 • 当前，与教育的本质相悖的“功利化” 现象还占据主导地位，需要我们共同努 力，为教育的理想而奋斗。
二、当前存在的主要问题
• 数学教学“不自然”，强加于人，对学 生数学学习兴趣与内部动机都有不利影 响； • 缺乏问题意识，对学生的创新精神和实 践能力培养不利； • 重结果轻过程，“掐头去尾烧中段” ， 关注知识背景和应用不够，导致学习过 程不完整；
• 重解题技能、技巧轻普适性思考方 法的概括，方法论层次的内容渗透 不够，机械模仿多独立思考少，数 学思维层次不高； • 讲逻辑而不讲思想，关注数学思想、 理性精神不够，对学生整体数学素 养的提高不利。
三、提高“理解数学”的水平
• 老师理解好数学是提高教学质量的前提。 • 理解数学概念的几个方面： • 从表面到本质—把握概念的深层结构上 的进步； • 从抽象到具体—对抽象概念的形象描述， 解读概念关键词，更多的典型、精彩的 例子；
数学概念教学的方法
数学概念教学的方法数学概念的教学方法可以根据学生的年龄、程度和学习方式的不同而有所区别。
以下是一些常用的数学概念教学方法。
1. 抽象化与具体化：数学概念通常是抽象的，对于学生来说可能会比较难理解。
因此，教师需要将抽象的数学概念具体化，例如通过实物、图形或具体的问题来解释概念。
例如，在教学几何中的平行线与垂直线的概念时，可以使用实际的线条或直角桌角来帮助学生理解。
2. 建立数学模型：数学概念通常具有普遍性和推广性。
为了帮助学生理解和应用概念，教师可以引导学生建立数学模型。
例如，在教学代数中的线性函数时，可以通过实际问题引导学生建立函数模型，进而解决其他类似的问题。
3. 解释与演示：在数学概念的教学中，解释和演示是非常重要的。
教师可以通过口头解释和书写步骤，清晰地解释数学概念的定义、性质和应用。
此外，教师还可以通过例题演示如何应用概念解决具体问题，以增加学生的理解和兴趣。
4. 多种教学资源的利用：教师可以利用多种教学资源来帮助学生理解数学概念。
例如，教师可以使用教科书、教具、多媒体课件、网络资源等多种教具来丰富教学内容，并提供多样性的学习体验。
这样可以激发学生的兴趣，提高学习效果。
5. 理解与记忆的结合：数学概念的教学不仅要求学生理解，还需要记忆。
为了帮助学生更好地记忆数学概念，教师可以利用一些记忆技巧和方法。
例如，通过编制简单明了的口诀、制作记忆卡片、使用彩色笔记等方式帮助学生记忆。
6. 多样性的练习：针对数学概念的教学，练习是不可或缺的环节。
通过多样性的练习，可以巩固和应用已学的数学概念。
教师可以设计不同类型的练习题，包括选择题、填空题、解答题等，以帮助学生更好地掌握数学概念。
7. 交流与合作学习：在数学概念的教学中，交流和合作学习是非常重要的。
教师可以组织学生之间的小组讨论、合作解题等活动，以促进学生之间的互动和思维碰撞。
通过交流与合作，学生可以更好地理解概念，并从中获得启发和新的思路。
8. 自主学习与探究：数学概念的教学也应该培养学生的自主学习能力和探究精神。
基于“四个理解”的观点看对勾函数教学
基于“四个理解”的观点看对勾函数教学摘要：本文以“四个理解”为导向研究对勾函数的教学，希望教师形成教学一般观念，实现教师的教和学生的学相统一，提升学生核心素养，从而落实立德树人的根本任务。
关键词：四个理解；对勾函数；核心素养面对当下有些教师在“理解教学”上不到位，“理解学生”上不深入，教学“无灵魂”，技术“不钻研”的现象。
章建跃先生提出“四个理解”是落实核心素养的关键，理解数学，理解学生，理解教学，理解技术是提高数学教学质量和效益的决定性因素[1]。
因此，作为一名教师，应秉承“教书育人”的教育观念，把学生当作有思想的人，在深入理解数学的基础上教会学生学会构建数学知识的整体框架。
本文以“探究对勾函数的图象与性质”为例。
一、理解数学，把握对勾函数内涵理解数学首先应明白数学对象是如何定义的，而后才能把握数学内容的本质以及所蕴含的思想方法。
对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲线，是形如的函数。
若将对勾函数分为与两个函数看待的话，其实就是正比例函数与反比例函数的“合成”。
因此，对勾函数的研究必定与正比例函数、反比例函数有着密不可分的联系。
而教材中并没有直接展现对勾函数的教学内容，而是设定了“探究与发现”这一栏目，即探究函数的图象与性质，将对勾函数的学习归入“数学建模与数学探究活动”中，其实也意味着提醒教师要注重学生探究发现的过程，形成研究函数的一般框架。
但从联系生活的角度看，在生产生活中都存在着对勾函数的“身影”。
因此，我们要理解对勾函数研究的必要性，学会从定义出发把握对勾函数内容的本质，探索并理解研究对勾函数所蕴含的思想方法。
二、理解学生，明确现有的知识储备理解学生，首先应把学生当作有活力有思想的个体。
在了解学生个性品质发展的同时要理解学生思维发展规律，把握学生的认知特点。
其次，应关注学生现有的知识储备，寻找搭建“知”与“不知”最近发展区的桥梁。
从而实现“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同发展”的课程理念。
如何让小学生更好地理解三年级数学教案
如何让小学生更好地理解三年级数学教案。
一、利用具体的实物形象帮助学生理解对于三年级数学教学案例中的概念和题目，教师和家长可以尝试用具体的实物形象来帮助学生理解。
例如，数形结合可以选用各种小型玩具或生活用品（如糖果、拼图、图案、积木等）来进行教学。
通过这些实物的形象展现，可以使抽象的数学概念得到很好的理解，并且提高学生的学习兴趣，让他们感到很有趣。
二、借助电子产品-教育型游戏的形式随着科技的飞速进步，学习和游戏也成功结合起来，在教育游戏中学习，成为很多小学生喜欢的学习方式。
对于三年级数学教学，教师可以选择适合此年龄段孩子的教育游戏，如“数学大冒险”、“数学派对”、“数学小英雄”等等。
通过这种形式，将线性和几何概念融合到游戏中，使数学学习变得轻松、有趣、容易记忆。
三、配合知识点和学习任务推荐优秀的数学科普读物数学科学读物可以作为一种补充教育形式，与其它教学内容相辅相成。
对于三年级数学教学，有很多优秀的科普读物，以小学生感兴趣的叙述方式，通俗易懂地讲解各种常见数学概念和知识点。
家长可以购买或借阅相应的科普读物，让孩子从中得到更多的数学启发，同时培养他们学习主动性和阅读能力。
四、竞技、游戏式评测法传统评测方法对于小学生来说毕竟有些枯燥，基于实际生活情境之上，将算数的知识点嵌入游戏之中，孩子们贴近生活学习的习惯深入了解知识。
例如，快题接力、塞满积木、对数游戏等等，都是好的解决方案。
评测的形式变得有趣，家长教师避免了单一的批评，轻松自然地完成了数学知识巩固。
五、通过课堂互动，提高学生学习积极性在三年级数学教学中，增强学生的参与积极意识是非常重要的。
教师可以通过多种方式，建立良好的教学气氛，增加行动、探究、合作和互相支持的因素，让学生参与到互动式教学中。
例如，利用图象、口诀、动画等形式，让学生一起完成教学，互相鼓励和支持，让学习变得有趣且有成就感。
最后总结，以上几种方法都是帮助小学生更好地理解三年级数学教案的有效方法。
如何帮助小学生理解数学概念和原理
如何帮助小学生理解数学概念和原理在小学阶段，数学是一个重要的学科。
它不仅是学生学习其他学科的基础，而且还具有在后续的学习和职业生涯中持续发挥作用的重要性。
然而，很多学生不喜欢数学，他们对数学的概念和原理感到困惑和不理解。
那么，如何帮助小学生理解数学概念和原理呢？1. 了解小学生数学学习的需求在帮助小学生理解数学概念和原理之前，我们需要了解小学生数学学习的需求。
小学生的数学学习主要包括以下几个方面：（1）初步认识数学符号和数学概念；（2）简单的加减乘除法运算；（3）初步认识几何图形和简单的几何运算；（4）对时间、长度、重量、容积等有初步的认识和了解。
因此，在帮助小学生理解数学概念和原理时，我们需要结合小学数学课程标准，制定相应的教学计划和教学方法。
2. 采用适合小学生的教学方法为了帮助小学生更好地理解数学概念和原理，我们需要采用适合小学生的教学方法。
具体来说，我们可以采用以下方法：（1）启发式教学法：启发式教学法是让学生通过自主探究、独立思考，通过寻找问题的解决方法，发现问题本质的教学方法。
这种方法可以激发小学生的学习兴趣，提高他们的学习动力。
（2）互动式教学法：互动式教学法是指在教学过程中，老师和学生之间双向互动，通过现场演示、实验、小组讨论等方式，使学习过程更加生动、互动和实际。
（3）情境教学法：情境教学法是将学习内容贴近学生的日常生活、游戏和娱乐等情境中，创造出学习环境，让学生在具体的情境中学习。
这种方法可以增加学生的学习兴趣，增强他们的记忆力和理解力。
（4）故事化教学法：故事化教学法是通过讲述故事的方式来引导学生学习。
通过讲述有趣的故事和趣味性的语言，将学习的内容融入到故事中，让学生在轻松中学习数学知识，提高学习效果。
3. 设置练习和作业只有理论知识是不够的，还需要有相应的练习和作业来巩固和加深对数学概念和原理的理解。
当然，这些练习和作业需要在教师的指导下完成，并及时纠正学生的错误，帮助学生找到正确的解题思路和方法。
有效讲解如何用简洁明了的语言让小学生理解数学概念
有效讲解如何用简洁明了的语言让小学生理解数学概念数学是一门抽象而又深奥的学科，对于小学生来说，理解数学概念常常是一项艰巨的任务。
然而，通过有效的讲解和用简练明了的语言，我们可以帮助小学生更好地理解数学概念，以便他们在学习中取得更好的成绩。
本文将探讨几种有效的讲解方法和技巧。
第一种方法是通过生活化的例子来讲解数学概念。
小学生对于抽象的概念往往感到陌生和困惑，但他们对于生活中的实际例子更加熟悉和理解。
因此，我们可以选择一些与数学概念相关的日常事物或场景，利用这些例子来帮助他们建立直观的认识。
例如，当我们讲解“加法”时，可以用一袋苹果作为例子，向学生展示在袋子中添加苹果的过程，以此来说明加法的概念。
第二种方法是运用图形和图表来讲解数学概念。
对于小学生而言，图形和图表是一种直观的表达方式，可以帮助他们更好地理解数学概念。
例如，当讲解“比例”概念时，可以通过绘制一个简单的柱状图来比较不同物体的高度或长度，从而让学生更容易理解比例的含义。
此外，运用颜色、形状等元素也可以增加图形和图表的吸引力，激发学生的学习兴趣。
第三种方法是利用故事和情境来讲解数学概念。
通过讲述有趣的故事和情境，我们可以吸引小学生的注意力并帮助他们更好地理解数学概念。
比如，在讲解“几何图形”时，可以通过讲述一个关于动物王国中各种形状动物的故事，引导学生体会和认识不同的几何图形。
故事和情境的引入可以加强学生的记忆力和联想能力，使数学概念更加生动有趣。
第四种方法是运用幽默和趣味来讲解数学概念。
幽默和趣味是吸引小学生注意力的有效方式，通过在讲解中穿插一些搞笑的小故事、谜语或趣味解题，可以缓解学生对数学的紧张和抵触情绪，让他们更加主动地参与学习。
例如，在讲解“乘法”时，可以编排一些关于动物和食物的趣味问题，让学生在解题过程中享受学习的乐趣。
最后，为了有效讲解数学概念，教师还应该注重语言的简洁明了。
小学生的语言理解能力较弱，因此我们需要使用尽可能简单明了的语言来讲解数学概念。
对新课标下“理解数学、理解学生、理解教学”的理解
对新课标下“理解数学、理解学生、理解教学”的理解作者：靳莉颖来源：《科学大众·教师版》2012年第10期摘要：理解数学是一个数学教师的基本素养，理解学生是实现学生为主体的基本要求，理解教学是进行有效教学的基本保障。
关键词：学习课程标准；研究教材；学习方式；认知基础；教学设计；积累活动经验中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1006-3315（2012）10-011-001“理解数学、理解学生、理解教学是课改的三大基石”，是张建跃老师在文章《中学数学课改的十个论题》中提出的重要理念。
下面笔者结合数学课程标准（2011年版）（以下简称课程标准）谈谈自己的理解。
一、理解数学理解数学是进行课堂教学的前提，教师只有理解数学，才能准确地确定教学目标。
理解数学就是要“了解数学知识的背景，准确的把握数学概念、定理、法则、公式等的逻辑意义，深刻领悟内容所反映的思想方法，把握知识之间的多元联系；能挖掘数学知识所蕴涵的科学方法、理性精神和价值观资源与技术，善于区分核心知识和非核心知识，准确把握每块知识产生的背景，在教材中的地位、前后的联系、后续学习的必要性，其中蕴涵的数学思想方法有哪些，这些数学思想方法在学习其它知识时，是否可以利用、类比、推广等。
有些教师没有很好地理解课标，随意地拔高，或降低教学目标，这样会给学生加重学习的负担，造成学习的困难，或者没有达到教学要求，掌握必备的知识或技能。
例如，课标中要求：“通过实例体会反证法的含义”，并没有要求理解或掌握反证法，这里教师在制定目标时要把握好这个“度”。
又如，数学分类思想是初中阶段的一种重要的数学思想，从开始的渗透到理解再到应用，应逐步提高要求，使学生能确定分类的标准，进行分类讨论。
因此，只有理解课标，理解教材，理解数学，才能准确地确定教学目标。
二、理解学生课程标准中明确：学生是学习的主体，在积极参与学习活动的过程中不断得到发展。
学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。
为理解而教 为增值而学——小学数学理解性教学的实践策略
2019/062020/12教学策略么。
在交流反馈中，我们鼓励个性化的、与众不同的批注，甚至还有学生会给枯燥的文字加上几笔美丽的绘画。
教学中，我们只有将这两个内容定位准确，才能给学生带来最大的裨益，真正使教学目标落地。
随着阅读中思考的深入，学生的阅读感悟力、理解力和接受力会随之加深。
既然是个性化的内容，我们这些“硬方法”就不能成为学生阅读的绊脚石，而是应该成为学生阅读的“拐棍”，让它们为学生的深入阅读“服务”。
四、阅读批注形成习惯——课堂教学和课外拓展共同促进任何知识和方法的学习仅仅靠一单元三四篇课文是远远不够的，这就需要在广泛的课外阅读中去实践，去探索，去训练，去运用。
俗话说得好“得法于课内，得益于课外。
”阅读批注更是如此，需要向课外延伸。
教学实践让我们对此有深刻的认识，在单元整合教学中就专门设计了“整本书的阅读”指导课。
四年级有一本推荐必读书目《闪闪的红星》，这一单元结束后，推荐并建议学生进行批注式阅读。
两周后，我们进行专门的一节阅读指导课，相互交流反馈。
里面的主人公潘冬子和四年级的孩子一般大小，但是身处的环境和境遇却大相径庭，很能引发学生的比较和思考。
一个班级的学生一起读这本书，经常能看见他们谈论的身影。
在阅读课上，这本比较厚的书籍在孩子手中已经被翻阅得有些破损，里面有的是密密麻麻的批注，有的是零零散散的文字。
同学们踊跃交流自己的感受，对情节、人物形象都分析得头头是道，特别是还能回到文中朗读相关章节，具体谈自己的感受。
可以看出，这样的带着做批注任务的阅读大大激发了学生的思考，让他们的阅读细致度提升，阅读品质提升，更有价值的是体验了一种与往常不一样的阅读的形式，从中感受到了乐趣。
古人云：“读文无批注，即偶能窥其微妙，日后终至茫然，故评注不可已也。
”这次是我们建议学生进行的整本书的阅读，通过课上的反馈和教师的鼓励，我们更希望学生能自主使用批注的方法阅读，并成为一种阅读的习惯。
为理解而教为增值而学——小学数学理解性教学的实践策略江苏无锡市港下实验小学周晓萍XIAOXUE JIAOXUE YANJIU【摘要】在知识正以几何级数增长的当下，如何帮助学生学会高效地学习显得尤为重要。
小学数学语言理解教案
小学数学语言理解教案年级：小学一年级教学目标：1. 学生能够理解数学概念和运算符号的含义。
2. 学生能够运用数学语言描述问题和解答。
3. 学生能够理解数学问题的条件和要求。
教学重点：1. 数学概念的理解和运用。
2. 数学语言的表达和描述。
教学准备：1. 教学卡片或黑板。
2. 练习题和作业。
教学步骤：1. 导入：教师向学生介绍数学语言的重要性和应用。
通过一些简单的例子，让学生感受到数学语言在日常生活中的作用。
2. 讲解：教师讲解数学概念和运算符号的含义。
例如，加号表示两个数的和，减号表示两个数的差等等。
同时，教师引导学生用数学语言描述问题和解答。
例如，学生可以说“2加3等于5”，而不是“2+3=5”。
3. 练习：教师给出一些练习题，让学生运用数学语言描述问题和解答。
教师可以给予指导和反馈，帮助学生理解和掌握数学语言。
4. 小组讨论：学生分成小组，共同讨论一些数学问题，并用自己的语言描述和解答。
教师可以巡回指导，给予鼓励和帮助。
5. 总结：教师对学生的表现进行总结和评价，强调数学语言的重要性和运用。
教学延伸：1. 教师可以布置一些作业，让学生在家里练习运用数学语言描述问题和解答。
2. 教师可以组织一些数学游戏或竞赛，让学生在游戏中学习和运用数学语言。
教学反思：本节课通过讲解和练习，让学生了解了数学语言的含义和运用。
在教学过程中，教师要注意给予学生足够的指导和反馈，帮助学生理解和掌握数学语言。
同时，教师要鼓励学生积极运用数学语言描述问题和解答，提高他们的语言表达能力。
“函数单调性”教学应处理好“三个矛盾”
“函数单调性”教学应处理好“三个矛盾”作者：杨兴军来源：《中学数学杂志(高中版)》2014年第06期章建跃博士指出：“高水平的教学设计要建立在如下三个基本点上：理解数学、理解学生、理解教学.其中，理解数学是指对数学的思想、方法及其精神的理解；理解学生是指对数学学习规律的理解，核心是理解学生的数学思维规律；理解教学是指对数学教学规律、特点的理解.…三个理解‟是数学教师专业发展的基石.”数学教学过程总是充满了矛盾，如教与学的矛盾、学生认知特点与数学学科特点的矛盾、学生认知发展水平与数学教学内容的矛盾等.有矛盾才能有发展，其中，学生现有的知识基础、能力水平与教学要求之间的矛盾是数学教学的决定性动力.作为教师，应努力做到敏锐地发现、深刻地认识各种矛盾，进而在教学中科学合理地暴露、“创设”甚至“激化”矛盾，以帮助学生在解决矛盾的过程中发展自己的认知结构、提升自己的数学素养，这可以充分体现出教师的专业水平、教学能力与教学智慧.“函数的单调性”是反映函数变化规律的一个最基本的性质，是学生学习了函数概念后研究的第一个函数性质，也是学生在高中阶段遇到的第一个用数学符号语言刻画的概念，对学生进一步学习函数的其它性质具有示范和引领作用.本节课汇集了数学教学的诸多矛盾，如何在教学中处理好这些矛盾，特别是其中的主要矛盾，对每个数学教师都是一项极具挑战性的任务.笔者认为，“函数的单调性”教学，关键是要深刻认识、科学处理以下“三个矛盾”.1 “上升”、“下降”、“单调”等名词的数学意义与学生的生活理解之间的矛盾“函数的单调性”教学，通常是从现实生活入手——展示某地某天的气温变化图、举出生活中描述“升降”变化规律的成语（如蒸蒸日上、每况愈下、此起彼伏）并画出相应的函数图象等，然后让学生观察得到：函数图象有的呈上升趋势，有的呈下降趋势，有的在一个区间内呈上升趋势，而在另一个区间内呈下降趋势，此时教师指出：函数图象的“上升”“下降”反映了函数的一个基本性质——单调性，接下来引导学生用自然语言进行描述，并体验单调性是函数的局部特征（教师可在此处提前介绍“增函数”、“减函数”、“单调区间”等名词）.这里，“上升”、“下降”、“单调”的数学意义与学生在日常生活中的理解有一定的“矛盾”：在生活中，若从A到B是“上升”，则从B到A就是“下降”，如同“上坡”“下坡”那样，仅仅考虑了铅垂方向；而在数学中，若x增大时y也随之增大，则称函数y=f（x）“上升”，若x增大时y随之减小，则称函数y=f（x）“下降”，是水平与铅垂这两个方向的“合成”.在生活中，“单调”是指“重复而缺少变化”；而在数学中，“单调”是指“随着自变量的增大，函数值始终增大或始终减小”，是不断变化的.对此，有些学生可能会因区分不清而产生错误理解.例如，对于函数y=x2（x≥0），有学生认为：x由小到大时，y是“上升”的，x由大到小时，y是“下降”的；又如，对于函数y=2，有学生认为它是“单调”的，理由是“y始终没有变化”.因此，在本节课的教学中，教师应明确地指导学生将数学名词与日常概念区分开：（1）对于同一段函数图象来说，在数学上它究竟是“上升”还是“下降”，应该是确定的，不能产生歧义.因此，我们选择x轴正方向作为参照，从左往右，沿着图象“策马前行”，函数图象的“上升”“下降”就有了统一的规则和统一的结论；（2）数学上的“单调”，其本身也含有“重复而缺少变化”的意味，但它不是指函数值始终保持不变，而是指函数在某个区间“上升”“下降”（或“增加”“减少”）具有不变的规律性，反映的是一种“变中的不变性”，当然也显得“单调”.2 学生已有的知识基础和认知习惯与新知学习的必要性之间的矛盾我们知道，“精确定量思维方式”是数学教育所能给予学生的最重要和最基本的数学素质，也是培养学生理性精神的最好体现.在高中阶段，“函数的单调性”定义之所以要进一步符号化（形式化），正是基于数学精确化、严谨性的要求.只有这样，学生才可以通过准确的计算进行推理论证，以保证结论的严密性，在此过程中逐渐培养并形成“算法的思维”.然而，学生在初中已经接触过一次、二次、反比例函数，对函数的单调性已经初步有了直观形象的认识：图象从左往右上升（y随x的增大而增大）是增函数，图象从左往右下降（y 随x的增大而减小）是减函数.他们会觉得这种定义通俗易懂、易于接受，用它解决函数的单调性问题时也没遇到过什么困难，进而产生疑问：为什么还要费尽周折地去学习符号化（形式化）定义呢？岂不是“多此一举”！学生一旦在心理上排斥新知，那么教与学的效果都将大打折扣，这是一个很重要的问题.因此，在学习抽象的定义之前，教师应针对性地设置“认知冲突”，以便让学生充分体验到学习新知的必要性，增强研究的兴趣和积极主动性.例如，可让学生依据函数单调性的图象特征或自然语言描述，尝试判断函数y=x+1x在[1，+∞）内的单调性.由于学生对该函数的图象性质并不熟悉，因此无法判断函数图象呈现什么样的变化趋势，也难以根据函数解析式描述其变化规律.此时，学生就会自然意识到自己知识上的欠缺，认识到用精确的数学语言刻画定义的必要性，从而进入一种“愤悱状态”，产生较强劲的学习动力.3 学生现有的思维水平与函数单调性定义的思维要求之间的矛盾这是本节课教学的核心矛盾.刚进入高一的学生，其思维处于从经验型水平向理论型水平转变的阶段，仍然偏于简单化、直观化，逻辑思维水平不高，抽象概括能力不强.函数单调性的定义，是数学概念形式化的典型案例，具有高度的抽象性.从“随着x增大，y也增大”这一自然语言转换到“对于某区间上任意的x1<；x2，有f（x1）<；f（x2）”这一数学符号语言，跳跃性较大，学生非常不习惯，特别是为什么要用“任意”二字，在区间上“任意”取两个大小不等的x1<；x2，通过比较f（x1）与f（x2）的大小来刻画函数的单调性，学生更是感到难以理解，容易产生思维障碍.为此，教师应精心设置一系列问题，让学生充分参与函数单调性定义的符号化过程，感悟数学的研究方法，积累基本的数学活动经验.首先，要紧紧抓住新旧知识间的内在联系，使得形式化定义是在文字语言描述的基础上自然“生长”出来的，而不是“天上掉下个林妹妹”.其次，对于单调性概念中“自变量不可能被穷尽”这一本质（也是难点），应及时唤醒学生已有经验，使他们自然想到用“任意”突破“无限”.最后，对于学生中出现的错误认识，应引导他们结合具体例子（最好是由学生自己举出）、分别用图形语言和文字语言进行辨析，以逐步形成对概念正确、全面而深刻的理解.以下是笔者施教这一环节时的具体设计：问题1 如何用符号化的数学语言来表述“当x增大时，函数值f（x）随之增大”？教师引导学生分析其中的关键词“增大”的含义及其符号表示，得出：增大，刻画的是一种相对性，说明第二个量比第一个量大，它是两个数值之间的大小比较.因此，可将x的第一个取值记为x1，第二个值记为x2，则将文字语言“当x增大时，函数值f（x）随之增大”用符号语言表示即为“当x1<；x2时，f（x1）<；f（x2）”.问题2 能否取满足x1<；x2的若干组具体数值，只要验证相应的f（x1）<；f（x2）均成立，就可以断定函数f（x）的单调性？教师应尽量放手让学生思考讨论，若学生作肯定回答，则追问“为什么”；若学生作否定回答，则让其举出反例，以不断完善学生的认知结构，必要时教师应进行引导：以函数f（x）=x2（x∈R）为例，由于自变量x的取值“无限”，因此，不论验证多少次也无法穷尽.虽然当-1<；2<；3<；…时，有f（-1）<；f（2）<；f（3）<；…，但这并不能保证f（x）=x2（x∈R）的图象从左往右始终“上升”.可见，具体验证是不可靠的.问题3 在此之前，你有没有遇到过“无法穷尽”的情况？当时是怎么处理的？教师引导学生回忆“子集”的证明方法：设A、B是两个无穷集合，要证明AB，逐一验证A中的每一个元素都属于B是不可能的，于是，为了突破“无限”这个障碍，就一般性地“任取”一个元素x∈A，只要能证明x∈B就行了.至此，学生不难理解，在函数f（x）的单调性中，x1、x2也应该是“任意”的.问题4 设区间D是函数f（x）的定义域I内的某个区间，如何用x1，x2，f（x1），f（x2）来刻画函数f（x）在区间D上是增函数、减函数呢？学生尝试用数学符号语言表达单调增（减）函数的定义，师生共同修正.在此过程中，学生可能会有一定的模仿的成分，这也是一种内化的过程，对初学者来说是正常的，也是必要的.问题5 请你尝试利用上述定义判断函数y=x+1x在[1，+∞）内的单调性.这是对前述“遗留问题”的呼应，由学生尽量独立完成，教师可在“作差”、“变形”等关键环节适时予以指导，解决该问题后，师生共同概括出用定义证明函数单调性的一般步骤.显然，由之前的“不能”到现在的“能”，既加深了学生对定义的理解与掌握，也体现了定义的应用价值，学生从中可以获取成功的学习体验和心理上的满足感.问题6 判断下列说法是否正确，并说明理由.（1）设函数y=f（x）的定义域为[0，+∞），若取x1=0，且对于任意的x2>；0，都有f （x2）>；f（0），则f（x）在区间[0，+∞）上是增函数；（2）下图是三个分段函数（定义域均为R）的图象，它们都是R上的增函数；（3）反比例函数y=1x的单调递减区间是（-∞，0）∪（0，+∞）.这是利用变式教学和构造反例帮助学生继续对概念进行反思辨析、进一步理解概念的内涵和外延，特别是如何才能否定一个函数的单调性尤为重要，可以加深对“任意”二字的理解，逐步实现对概念本质意义的综合贯通.结语当前，MPCK（Mathematics Pedagogical Content Knowledge，即“数学教学内容知识”）是数学教育研究的一个热点问题.如何发展数学教师的MPCK？途径之一就是致力于研究教学中的各种“矛盾”.一个数学教师，只有主动地对教学内容、学生特点等进行广泛而深入的独立思考，多反思、多质疑，才可能及时捕捉到其中的矛盾；只有对数学教育心理学等有着科学的理解并内化为自己的数学教育理念，才可能全面而深刻地剖析这些矛盾；只有遵循了数学教学规律，立足实践性反思与反思性实践，才可能创造性地处理好这些矛盾，不断地发现矛盾、分析矛盾与解决矛盾的过程，也正是教师自身的MPCK得以持续提升的过程.。
践行“四个理解” 落实核心素养
践行“四个理解” 落实核心素养作者：史承灼魏大付来源：《安徽教育科研》2019年第02期摘要：理解数学，有助于整体把握数学结构，准确确定教学目标;理解学生，才能关注学生思维的最近发展区，选择合适的教学方法;理解技术，掌握并运用信息技术辅助教学，为数学课堂教学插翅添翼;理解教学，才能科学合理地处理怎样教和为什么这样教，有助于处理好教师的教与学生的学的统一，从而使学生获得最大的学习效益。
“理解数学、理解学生、理解技术、理解教学”共同构成了理解数学课堂教学，使学生真正可以获得良好的数学教育。
关键词：理解数学;理解学生;理解技术;理解教学章建跃先生早在2010年“第五届全国高中数学教师优秀课观摩与评比活动”的大会报告中，就提出了中学数学教学的“三个理解”——理解数学，理解学生，理解教学。
2017年4月的“以‘核心素养为纲的数学教学改革’全国初中数学教学研讨会”上，章建跃先生在报告《核心素养统领下的数学教学变革》中，将其发展为“四个理解”——理解数学、理解学生、理解技术、理解教学。
“四个理解”是基于“互联网+”新时代下对“三个理解”的丰富和发展，是数学教师专业发展的基础，是在课堂教学中落实数学核心素养的关键。
本文以工作室成员魏大付老师执教的沪科版义务教育实验教科书数学九年级上册，第21章第5节“反比例函数的图像和性质”为例，谈谈如何践行“四个理解”，培养学生的数学核心素养。
一、理解数学，整体把握数学结构理解数学是备好课的前提，备好课是上好课的前提，而备好课的条件之一是理解教材。
理解数学，就是要准确把握知识点产生的背景，在教材中的地位和前后联系，对后续学习的重要作用，从整体上把握数学结构，以及其中蕴含的数学思想方法及这些数学思想方法在学习其他知识时能否类比、推广等。
理解数学，不仅要“知其然”，还要“知其所以然”，作为教师更要“知何由以知其所以然”。
否则，以师昏昏，又怎能使学生昭昭呢？函数是揭示运动变化过程中数量关系和变化规律的重要数学概念，是刻画现实世界变化规律的重要数学模型。
浅谈教学中如何让小学生理解数学概念
三、通过实践认识 事物本 质、形成概念
常言说 ，实践 出真知 ，手是脑 的老师 。学生通 过演示
授新 概念 ，学生是 容助 已有 的知识 去获取 知识 ，这 是最 高 的教学技 巧 之 所在 。 ”从 心理 学 来 分析 ，无 恐惧 心 理 ，学 生 容 易 活 跃 ；无畏难 情绪 ，易于 启发 思维； 旧知识记 忆好 ，容易 受 鼓舞 ；所 以运用 旧知识 引出新概 念教 学效果好 。例 如从求 出几个 数各 自的 “ 倍数 ”从而 引出 “ 公 倍数 ”、 “ 最小公
概 念 比较 抽 象 。 一 般 教 师 都 是 让 学 生 通 过 动 手 操 作 认 识 圆
、
直 观 形 象 地 引 入 概 念
数学 概 念 比较 抽 象 ，而 小 学 生 ，特 别 是低 年 级 小学 生 ， 由于年 龄 、知 识和 生活 的局 限 ，其 思维 处在具 体形象 思维 为主 的阶段 。认识 一个事物 、理解 一个 数学道 理 ，主 要是 凭借事 物 的具 体形象 。因此 ，教师 在数 学概念 教学 的 过程 中 ，一 定要做 到细心 、耐心 ，尽量 从学 生 日常生活 中 所 熟悉 的事 物开始 引入 。这样 ，学生 学起来 就有 兴趣 ，思 考 的积极性就会高 。 二 、运用旧知识引出新概 念 数学 中的有些概 念 ，往 往难 以直观表述 。如 比例尺 、 循环 小数等 ，但它 们与 旧知识都 有 内在 联系 。我就 充分运 用 旧知识来 引 出新 概念 。在备课 时要分 析这 个新概 念有哪
理解数学理解学生理解教学(章建跃)
学生带着问题看书：向量的加法法则的关键词是什么？你如何理解？
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汇报对定义和三角形法则、平行四边形法则的理解，其中特别要注意对“关键词”的理解，要求用自己的语言描述。
如果向量a，b共线，如何作a+b？与有理数加法运算有什么关系？
向量a，b不共线，作出a+b，要求说明作法。
加强概念的联系性，从概念的联系中寻找解决问题的新思路——解题的灵活性来源于概念的实质性联系，技巧是不可靠的。
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应追求解决问题的“根本大法”——基本概念所蕴含的思想方法，强调思想指导下的操作。
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例4 向量加法运算及几何意义的教学设计
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先行组织者：类比数及其运算，引进一个量就要研究运算，引进一种运算就要研究运算律。
人民教育出版社 章建跃
理解数学理解学生理解教学
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202X
一、课改中形成的基本共识
核心：以学生的全面、和谐与可持续发展为本——教育中的“科学发展观”
教学目标——全面关注学生的认知、能力和理性精神，以学生最近发展区为定向，促进学生全面、和谐、可持续发展——数学育人。
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教学要求——个性差异与统一要求的辩证统一，但以个性差异为出发点和基础
以往做法：数轴上点的顺序定义数的大小关系，再到“基本事实”（考察两个实数的大小，只要考察它们的差），再由“利用比较实数大小的方法，可以推出下列不等式的性质”：
性质1，2，3……——证明——例题——练习、习题
“高立意低起点”的教学设计
数轴上点的顺序定义数的大小关系，再到“基本事实”（考察两个实数的大小可以统一化归为比较它们的差与0的大小）；
探索数学老师如何帮助学生理解数学概念与原理
探索数学老师如何帮助学生理解数学概念与原理在教授数学课程时，数学老师需要将抽象的数学概念与原理转化为可视、易懂的形式，以帮助学生更好地理解和应用数学知识。
本文将探索数学老师如何通过教学方法和辅助工具来帮助学生理解数学概念与原理。
一、创建良好的学习氛围与互动环境数学课堂上，数学老师应努力创造积极的学习氛围和互动环境，以鼓励学生主动参与。
老师可以通过以下方法来实现：1. 鼓励学生提问和讨论：数学概念的理解需要学生主动思考与实践，而不仅仅是被动的接受。
数学老师应鼓励学生在课堂上提问和发表自己的观点，促进学生之间的互动与交流。
2. 引导学生解决问题：数学概念的理解可以通过解决问题的方式来达到。
数学老师应提供一系列有趣和具体的问题，引导学生运用所学知识去解决，从而增强他们对数学概念的理解与应用能力。
二、使用多种教学方法与策略数学老师应灵活运用不同的教学方法与策略，以满足不同学生的学习需求，并提高他们对数学概念与原理的理解。
1. 讲解与演示：数学老师可以通过讲解和演示，将抽象的数学概念转化为具体的实例，以帮助学生更好地理解。
通过图示、实验、案例等方式，让学生能够直观地感受到数学概念的本质。
2. 归纳与总结：数学老师可以通过归纳总结的方式，概括和提炼数学概念与原理的核心要点，帮助学生理清思路，形成系统的知识结构。
3. 分组合作：数学是一门需要思维和合作的学科，数学老师可以组织学生进行小组讨论、合作解题等活动，从而培养学生的合作与沟通能力，提高他们对数学概念与原理的理解。
三、运用辅助工具与技术手段现代技术手段的应用为数学教学提供了更多可能。
数学老师可以利用各种辅助工具与技术手段，提供直观且具体的展示和实践方式，以帮助学生更好地理解数学概念与原理。
1. 数学模型与图形演示：数学老师可以使用数学模型、图表、图形等工具，将数学概念转化为可视化的形式展示给学生，帮助他们更直观地理解数学概念与原理。
2. 数学软件与应用程序：数学软件和应用程序可以提供交互式的数学学习环境，让学生能够以实践的方式学习与应用数学概念与原理。
如何帮助学生理解抽象的数学概念
如何帮助学生理解抽象的数学概念引言：数学是一门抽象而深奥的学科，对许多学生来说，理解数学概念是一项具有挑战性的任务。
然而，掌握数学概念对于学生在数学学习中的成功至关重要。
因此，教师在教授数学时需要采取一些有效策略，帮助学生更好地理解和应用抽象的数学概念。
本文将分享几种帮助学生理解抽象数学概念的方法。
一、建立现实世界的联系一个常见的问题是学生难以将抽象的数学概念与现实世界联系起来。
为了解决这个问题，教师可以利用生活中的例子，将数学概念具体化，让学生在实际中应用这些概念。
例如，在教授代数方程时，可以通过解释方程中的未知数代表什么以及方程的解代表什么，将其与求解实际问题相结合。
这样一来，学生可以更好地理解数学概念并将其应用于实际生活中。
二、使用图形和图表抽象的数学概念常常可以通过图形和图表来表示和展示。
使用图形和图表可以帮助学生可视化抽象概念，更好地理解其含义。
例如，在教授几何中的平面图形时，教师可以使用实际尺寸建模、绘制图形、测量边长和角度等活动，让学生亲自参与，加强他们对平面几何概念的理解。
三、提供具体的例子和问题在介绍抽象的数学概念时，教师应该提供具体的例子和问题，以帮助学生更好地理解。
例如，在教授概率概念时，教师可以通过投掷硬币或骰子的实验，让学生亲自观察和计算概率。
通过解决实际问题，学生可以将抽象的数学概念应用于具体情境中，加深他们对概念的理解。
四、引导学生进行讨论和合作学习学生之间的讨论和合作学习是理解抽象数学概念的有效方法。
通过让学生彼此交流和解释他们的想法，他们可以从对方那里获得新的见解和观点。
教师可以组织小组活动和讨论，鼓励学生合作解决问题，并分享他们的思考过程和策略。
这种合作学习的过程有助于学生相互激发思维，理清数学概念。
五、提供反馈和回顾为了帮助学生巩固对抽象数学概念的理解，教师应该定期提供反馈和回顾。
反馈可以是口头的，也可以是书面的。
通过反馈，学生可以了解他们对数学概念的理解程度，及时纠正错误，并改善他们的学习方法。
数学老师如何帮助学生理解数学中的实际问题
数学老师如何帮助学生理解数学中的实际问题数学是一门基础学科，也是一门应用学科。
在学习数学的过程中，学生常常会遇到难以理解的实际问题。
作为数学教师，如何帮助学生理解数学中的实际问题是非常重要的任务。
下面将探讨数学老师应该采取的方法和策略。
首先，数学老师应该通过引导学生观察和分析实际问题，激发他们对问题的兴趣。
有时候，学生对数学感到枯燥乏味，因为他们难以把书本上的数学知识与实际问题相联系。
因此，数学老师可以提供一些有趣的实例，让学生通过观察和思考来发现数学的应用。
比如，老师可以让学生观察到市场上不同商品的价格和数量之间的关系，引导他们通过图表或者等式来表示这种关系，从而帮助学生理解数学在实际问题中的应用。
其次，数学老师应该采用具体的实例来解释抽象的数学知识。
许多数学概念和公式对学生来说可能是抽象的和难以理解的。
为了帮助学生理解这些概念，数学老师可以选择一些与学生生活密切相关的例子来进行讲解。
比如，老师可以通过讲解买菜的例子来解释百分比的概念，让学生明白百分比是如何与实际生活中的购物行为相联系的。
通过这种方式，学生可以更容易地理解数学的概念和原理。
另外，数学老师可以鼓励学生进行实践和实验，以帮助他们更好地理解数学中的实际问题。
数学是一门需要实践的学科，只有通过实践才能真正理解其中的原理和规律。
因此，数学老师可以设置一些实践性的任务，让学生亲自动手解决实际问题。
比如，老师可以让学生设计一个小实验来验证某个数学定理，或者让学生参与数学建模活动，从而将数学应用到实际情境中。
通过这样的实践，学生可以更加深入地理解数学的应用和意义。
此外，数学老师还可以鼓励学生互相合作，通过小组讨论和合作解决问题，来帮助他们理解数学中的实际问题。
在小组讨论中，学生可以分享彼此的思考和想法，互相启发和鼓励，从而更好地理解和解决问题。
同时，通过合作解决问题，学生还可以培养团队合作和沟通能力，这对他们今后的学习和工作都是非常重要的。
最后，数学老师应该及时给予学生反馈和指导，帮助他们纠正错误，加深对数学实际问题的理解。
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理解数学理解学生理解教学作者：章建跃来源：人民教育出版社各位代表，老师们，同志们，大家好。
受本届全国高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动组委会、评委会的委托，我给大会作总结报告。
本次活动受到全国高中数学教师、数学教研部门、各会员单位的高度重视，来自全国除西藏、港澳台以外的所有省、直辖市、自治区，行业的近830名代表参加了本次活动，覆盖范围广，参与热情高。
各会员单位做了大量前期工作，很多会员单位从两年前就开始布置、落实本项活动，把工作细化在过程中，积极组织当地广大高中青年数学教师参与观摩活动，引领广大教师交流教学经验，以观摩与评比活动带动课堂教学研究，在研究中不断深化课堂教学改革，切实提高课堂教学质量和效益。
我代表组委会对各会员单位为本次活动作出的贡献表示衷心感谢。
承办方河南省教育学会中学数学教学专业委员会，河南省基础教育教学研究室为本次活动投入了很大精力，付出了辛苦的劳动。
承办大型活动非常不易，需要考虑的问题很多，需要做的具体工作很繁重，承担的风险很大。
我代表组委会对你们做出的努力表示衷心的感谢！本次大会的协办方卡西欧（上海贸易有限公司）、《中国数学教育》&《数学周报》社为本项活动提供了资金、技术、奖品以及人力、物力的大力支持，我代表组委会对他们做出的贡献表示衷心的感谢！特别要感谢各位参赛选手，你们付出了巨大的智力劳动，承受了巨大的心理压力，为本次活动做出了特殊的贡献。
我代表大会组委会、评委会对你们的付出表示衷心的感谢，祝贺你们取得优异的成绩，祝贺你们在教师专业化成长的道路上迈出了重要而坚实的一步。
由于本次活动组织方式的改变，对评委提出了高要求。
各位评委不仅要事先对参赛选手的教学设计、教学设计说明和课堂实录进行仔细阅读、观摩，在现场还要聚精会神地观察选手的表现，根据参赛选手的预设和现场生成，做出评判，并给出点评。
本次活动的圆满成功，与各位评委的无私奉献、辛勤劳动直接相关，我代表组委会对各位评委的高度热情和负责精神表示衷心感谢。
下面我就本次活动作一总结。
一、本次活动的基本成绩1．关于活动满意度的调查。
我们以问卷的方式，对本次活动的现场满意度作了调查，结果如下（问卷127份）：对本次活动的总体评价：满意57.3%，基本满意41.7%，不满意1%。
参会代表最感兴趣的环节：选手讲述4.9%，代表互动16.5%，评委点评78.6%。
这一组数据表明，广大观摩代表对评委会的期望值很高。
要达到这样的预期，真正满足大家的要求，我们评委会还需要努力！我们愿意付出努力！从上述结果看，大家对本次活动的总体评价是好的。
2．本次活动涉及的教材版本有人教A版、人教B版、北师大版、苏教版、上海版、人教大纲版。
版本的多样化从一个侧面反映了本次活动的代表性和广泛参与性。
3．内容覆盖了高中课程的所有板块，有大量的概念课，这是非常好的现象。
概念教学是我国数学课堂的薄弱环节，加强研究很有必要。
另外，有些选手选择了一些难点课题开展教学研究，例如概率、统计中的一些概念课，这是当前需要重点研讨的，希望今后有更多的选手能迎难而上。
4．各位参赛选手在理解教学内容上下了很大功夫，与往届比较，在数学理解水平上有了很大长进。
5．学生主体意识进一步加强，注重精心设计学生活动，采取问题引导学习的方式，让学生带着问题开展探索活动。
6．教学过程中，能自觉注意根据学生的认知规律安排教学活动。
特别值得一提的是，许多参赛教师都能注意根据概念教学的基本规律安排教学进程，注意通过具体事例的归纳、概括活动得出数学概念。
7．信息技术与数学教学整合的水平进一步提高，大部分教师都能做到恰当使用信息技术，帮助学生理解数学内容。
8．现场互动充分，评委事先观看了各位选手提供的完整的课堂录像，预先写好了点评提纲，并结合每一位选手的现场表现给予认真点评。
代表的参与程度高，现场气氛热烈。
摆事实、讲道理、亮观点的互动原则得到贯彻。
二、几个需要进一步思考的问题1．正确理解“三维目标”在参赛选手提供的教学设计中，教学目标的表述不尽一致。
许多老师采用了“三维目标”分别阐述的方式呈现目标。
例1“二元一次不等式表示平面区域”的教学目标。
知识与技能：(1)理解“同侧同号”并掌握不等式区域的判定方法；(2)能做出二元一次不等式表示的平面区域。
过程与方法：(1)增强学生数形结合的思想；(2)理解数学的转化思想，提高分析问题、解决问题的能力。
情感态度价值观：(1)通过学生的主动参与、学生的合作交流，培养学生的探索方法与精神；(2)体会数学的应用价值；(3)体会由一般到特殊、由特殊到一般的思想。
例2“基本不等式”的教学目标。
知识技能：要求学生探索基本不等式的证明过程，了解其几何意义，会解决简单的最值问题。
过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式，体会数形结合思想方法。
情感态度价值观：通过不同角度探究，培养学生积极严谨的学习态度和勇于探索的求知精神。
上述两例，从积极的方面看，老师们已经注意到教学目标必须反映内容特点，关注到显性目标与隐性目标的不同。
但这样的表述，除了目标分类不准确、表达不确切（如把“由一般到特殊、由特殊到一般”的逻辑思考方法不恰当地归入情感领域，把“培养学生积极严谨的学习态度和勇于探索的求知精神”这样的“放之四海而皆准”的目标作为一堂课的目标。
）等“技术性”问题外，最大的问题是混淆了课程目标与课堂教学目标的关系。
“三维目标”是课程目标而不是课堂教学目标。
“三个维度”具有内在统一性，都指向人的发展，它们交融互进。
“知识与技能”只有在学生独立思考、大胆批判和实践运用中，才能实现知识的意义建构；“情感、态度与价值观”只有伴随着学生对数学知识技能的反思、批判与运用，才能得到升华；“过程与方法”只有学生以积极的情感、态度为动力，以知识和技能目标为适用对象，才能体现它的存在价值。
“三维目标”是中学课程目标的整体设计思路，反映了一个学习过程中的三个心理维度，但不是教学目标的维度。
在制定教学目标时简单地套用“三个维度”将使课堂不堪重负。
教学目标取决于教学内容的特点，要在“三个维度”的指导下，综合考虑高中阶段的数学教学目的、内容特点和学生情况来确定。
课堂教学不是为了体现课程目标的“三个维度”而存在的，而是要具体而扎实地把数学课程内容传递给学生，要以数学知识教学为载体来促进学生的发展，这样才能真正实现“数学育人”。
因此，一堂数学课的教学目标，应当是以数学知识、技能为载体，在教学过程中开展数学思想、方法的教学，渗透情感、态度和价值观的教育。
只有在正确理解教学内容的基础上，才能制定出恰当的教学目标。
例3 “基本不等式”的教学目标——正确理解内容的基础上。
在制定教学目标时我们首先应思考：为什么把≤ （a,b≥0）叫做“基本不等式”？如何理解“基本”二字？我认为，这一不等式反映了实数的两种基本运算（即加法和乘法）所引出的大小变化。
这一简单朴实、平易近人的本质，恰是这一不等式变化多端、妙用无穷的源头，体现了运算带给数的巨大力量。
这一本质不仅可以从不等式的代数结构上得到表现，而且也有几何意义，由此而生发出的问题在训练学生的代数推理能力和几何直观能力上都发挥了良好的作用。
因此，必须从基本不等式的代数结构和几何意义两方面入手，才能让学生深刻理解它的本质。
认真仔细地分析教材的编写意图，也是理解内容的一个方面。
“人教A版”通过赵爽弦图引入对基本不等式的研究，并在代数证明的基础上，通过“探究”引导学生讨论基本不等式的几何意义，从而理解为什么把基本不等式叫做“算术平均数与几何平均数的关系”。
教科书引导学生经历了如下过程。
首先，以“探究”引出问题，经过抽象得到赵爽弦图，并且从图中的面积关系得到不等式a2+b2≥2ab及其等号成立的条件，再进一步地作变形（在a，b＞0的条件下用，分别代换a，b）得到基本不等式；其次，用分析法给出代数证明[如果用综合法，要从(－)2≥0开始，思路不自然]，因为不难，所以让学生填空；第三，以“探究”引导学生对基本不等式作几何解释，使学生有机会数形结合地进一步认识基本不等式。
因为基本不等式很重要，但只给代数证明非常乏味，所以教科书构建了上述过程，这是与以往教材有很大区别的地方。
基于上述内容理解，可以确定“基本不等式”的教学目标：(1)借助弦图、实际问题，经历基本不等式模型的猜想过程，提高观察能力，数学抽象能力；(2)探索基本不等式的证明方法，掌握基本不等式的代数结构及其使用条件；(3)会用基本不等式解决简单的实际问题（注重建模过程）。
这样的目标对教学有真正的定向作用，在课堂教学中紧紧围绕目标展开教学，就能使课堂做到高效。
2. 围绕概念的核心展开教学一段时间以来，大家对数学教学的有效性开展了大量研究。
如果在网上以“有效教学”为关键词搜索，那么有效教学的论文数以万计，还有许多理论专著，有效教学研究可谓一片繁荣。
然而，与之形成鲜明对照的是课堂教学的低效甚至无效。
看来，“有效教学”的研究也有“无效”之虞。
到底怎样才能实现课堂教学的有效性？我认为，只有围绕数学概念的核心展开教学，在概念的本质和数学思想方法的理解上给予点拨、讲解，让学生在理解概念及其反应的数学思想和方法的基础上，对细节问题、变化的问题进行深入思考，这样才能实现有效教学。
因为概念的核心、思想方法是不容易把握的，这是教师发挥主导作用的重点所在；具体细节正好是锻炼学生应用概念解决问题的机会，是促进学生理解概念的平台。
那种事无巨细、包打天下的做法，要把所有细节、变化都在课堂上讲完练完的企图，最终只能把关键、重点、核心淹没在细节的海洋中，不仅教学效果不佳，而且导致学生负担沉重。
例4“三角函数诱导公式”的核心。
以往我们从“三角恒等变形”的角度理解三角函数诱导公式，把它当成是“将任意角的三角函数转化成锐角三角函数”的工具。
教学中，因为诱导公式太多，学生记不住，老师们又将之进一步概括成为“奇变偶不变，符号看象限”。
实践表明，教学效果总不尽如人意。
什么原因呢？我认为，主要原因在于这样的教学没有抓住“诱导公式”的核心。
“其实，x＝cos t和y＝sin t是单位圆的自然的动态（解析）描述。
由此可以想到，正弦、余弦函数的基本性质就是圆的几何性质（主要是对称性）的解析表述。
”诱导公式本质上是圆的旋转对称性和轴对称性的解析表述，它是三角函数的一条性质——对称性。
围绕“对称性”这一核心展开教学，就可以实现诱导公式教学的以简驭繁。
例如，学生在问题“如果任意角α的引导下，可以容易地得到：β＝2kπ+π+α。
由于α的终边、β的终边与单位圆的交点关于原点对称，因此sinβ＝sin(2kπ+π+α)＝sin(π+α)＝－sinα。
的终边与任意角β的终边关于原点对称，那么它们有什么关系？它们的三角函数又有什么关系？”类似的，在问题“如果αx轴对称，它们有什么关系？它们的三角函数又有什么关系？关于y轴、或关于直线y=x、或关于直线y=－x对称呢？”的引导下，可以容易地得到其他诱导公式。