(鼓楼数学)2017-2018学年第一学期江苏省南京市鼓楼区高一数学期中试卷

2017-2018 鼓楼区高一上学期数学期中试卷
1.若集合 A {0,1, 2}, B {2, 4}, 则 A B _______.
2.函数 f (x) 1 的定义域为_______. 2x 1
3.计算： log2 3 log3 4 _______.
4.计算：
25 0.5 9
27 64
8.已知 a {1, 1 ,3} ，则幂函数 y xa 的图象不可能经过第_______ 象限 2
9.设实数 a 30.5, b 30.8, c 2.30.5 ，则 a, b, c 的大小关系为_______ ,（按由小到大的顺
序排列）
10.已知函数 y x2 4ax 在区间 1, 2 上单调递减，则实数 a 的取值范围是_______.
（1）求 A B ； （2）已知函数 y ln(x 3) 的定义域为 E ，求 CE (A B) 。
【答案】：（1） A B x 2 x 1
（2） CE (A B) x 3 x 2或x 1
【解析】：本题考查集合的运算。
（1）由题意知： B x x 1或x 3 ，故 A B x 2 x 1 ； （2）由题意知： E x x 3 ，由（1）知 A B x 2 x 1 ， CE (A B) x 3 x 2或x 1 。
① a 1时， f (x) 2 x3 a a 2 x3 [1, 4] ，故符合题意； ② 1 a 5 时 ， 1 a 0, 4 a 0且a 1 4 a ， 2 x3 a [0, 4 a] ， 故
2 f (x) 2 x3 a a [a, 4]，故符合题意； ③ 5 a 4 时 ， 1 a 0, 4 a 0且a 1 4 a ， 2 x3 a [0,1 a] ， 故
ab
范围.
（ 3 ） 定 义 在 p,q 上 的 一 个 函 数 m(x) ， 如 果 存 在 一 个 常 数 M 0 ， 使 得 式 子
n
m(xi )
m( xi 1 )
M
对一切大于 1
的自然数
n
都成立，则称函数 m(x)
为“ p,q 上的
H
函数”
i 1
（其中， P x0 x1 … xi1 xi … xn q ）.
f (x) 在 , 上是单调递增函数 ④对任意实数 a ,方程 f x a 0 都有解，其中正
确的有（填写序号即可）_______. 【答案】①②④
【 解 析 】 f (x) 3x 3x , f (x) 3x 3x 3x 3x , f (x) f (x) 所 以 函 数
19. （1）求函数 f (x) x2 3x 4 的零点；
（2）试确定关于
x
的方程
1 8
x2
4
log3
x
0
的解的个数；
（3）如果（2）的解记为 x0 ，且 x0 [k, k 1], k Z ，那么 k 的值是多少？
20. 已知函数 f (x) b ax (其中a，b为常量，且a 0，a 1) 的图象经过点 A(1, 2), B(3,8) . （1）求 a,b 的值； （2）当 x 2 时，函数 y (1)x 1 的图像恒在函数 y 4x m 图像的上方，求实数 m 的取值
2 3
_______.
5.已知函数 f (x), g(x) 分别由下表给出：
x
1
2
3
f(x)
2
-3
1
则 f (g(1)) _______.
x
1
2Байду номын сангаас
3
g(x)
3
2
1
6.化简式子 6 (b a)6 (a 0,b 0) 的结果是 _______.
7.函数
y
1 2
x
1(
x
3,
2)
的值域是_______.
f (2x 3) f (1) 的 x 的 取 值 范 围 ， 也 就 是 2x 3 1 的 x 的 取 值 范 围 ， 即
3
3
1 3
2x
3
1 3
，
x
4 3
,
5 3
。
12.若 4 x y 100 ，则 lg x lg y 的最大值是_______.
【答案】 4 【解析】等号两边同时取对数，得 lg（4 x y） lg100 2 ，即 1 lg x+ lg y 2 ，利用换元
【答案】二、四
【解析】当 a 1或 a 3 时，图像经过一、三象限，当 a 1 时，图像经过第二象限。 2
9.设实数 a 30.5, b 30.8, c 2.30.5 ，则 a, b, c 的大小关系为_______ ,（按由小到大的顺
序排列）
【答案】 c a b
【解析】幂函数和指数函数的单调性
4.计算：
25
0.5
9
27 64
2
3
_______.
【答案】31
9
【解析】分数指数幂的运算 25 0.5 27 −23 5 4 2 31 ( 9 ) + (64) = 3 + (3) = 9
5.已知函数 f (x), g(x) 分别由下表给出：
x
1
2
3
f(x)
2
-3
1
则 f (g(1)) _______.
幂函数 y x0.5 是单调递增函数，所以 2.30.5 30.5 ，又因为指数函数 y 3x 是
单调递增函数，所以 30.5 30.8 ，即 c a b
10.已知函数 y x2 4ax 在区间 1, 2 上单调递减，则实数 a 的取值范围是_______.
【答案】
,
1 2
【解析】由二次函数性质，开口向下的二次函数在区间上单调递减， 所以二次函数的对称
【答案】0,1, 2, 4
【解析】本题考查集合的交并运算
2.函数 f (x) 1 的定义域为_______. 2x 1
【答案】
1 2
,
【解析】偶次方根下内层函数非负，且分母不为 0
3.计算： log2 3 log3 4 _______.
【答案】2
【解析】对数的计算，由换底公式: log2 3 log3 4 log2 4 2
试判断函数 f (x) 是否为“ 1,3 上的 H 函数”.若是，则求出 M 的最小值；若不是，则请说明
理由.（注： n k(xi ) k(x1) k(x2) … k(xn ) ）。 i 1
2017-2018 鼓楼区高一上学期数学期中试卷 参考答案
1.若集合 A {0,1, 2}, B {2, 4}, 则 A B _______.
f (x) 3x 3x 是奇函数，由奇函数的性质，①②均正确，又
f
(x)
3 x
3x
1 3
x
3x
，
y
1 3
x
是 R 上的单调递减函数， y 3x 是 R 上的单调递增函数，由函数单调性的性质，
减函数-增函数=减函数，所以 f (x) 3x 3x 在 R 上单调递减。由因为函数值域为 R，所以
7.函数
y
1 2
x
1(
x
3,
2)
的值域是_______.
【答案】
5 4
,
9
【解析】因为 1 0,1
2
，所以函数
f
(x)
1 x 2
1(x 3, 2) 单调递减，所以值域为
f (2), f (3)
，即
5 4
,
9
8.已知 a {1, 1 ,3} ，则幂函数 y xa 的图象不可能经过第_______ 象限 2
2 f (x) 2 x3 a a [a,1] ，故不符合题意；
④ a 4 时， f (x) 2 x3 a a 2a 2 x3 [2a 4, 2a 1] ，故不符合题意。
综上所述：
a
,
5 2
15. 若集合 A x 2 x 1 ， B x (x 1)(x 3) 0 ，
轴 x 2a 在对称轴左侧，即 2a 1 ，所以 a 1 。 2
11.已知偶函数 f (x) 在区间 0, 上单调递增，则满足不等式 f (2x 3) f (1)
3
的取值范围是_______.
的x
【答案】
4 3
,
5 3
【解析】偶函数关于 y 轴对称，所以 f (x) 在区间 , 0 上单调递减，则满足不等式
元）与月处理量 x （单位：吨）之间的函数关系可近似地表示为
y
300x, 10x2
x [20, 40) 2000x 48000,
x [40,300)
，且每处理一吨二氧化碳所得的这种化工产品可获
利 200 元，如果该项目不获利，那么亏损数额将由国家给予补偿。 （1）求 x 30 时，该项目的月处理成本； （2）当 x [100, 200] 时，判断该项目能否获利？如果亏损，那么国家每月补偿数额（单位： 元）的范围是多少？
f (x) 在 , 上是单调递增函数 ④对任意实数 a ,方程 f x a 0 都有解，其中正
确的有（填写序号即可）_______.
14.已知 a R ，函数 f (x) 2 x3 a a 在区间 1,5 上的最大值是 4 ，则 a 的取值范
围是 _______.
15. 若集合 A x 2 x 1 ， B x (x 1)(x 3) 0 ，
不符合题意，故： 0 a 3 。又 f (x) x2 6x 10 (x 3)2 1 在 [0, a] 内单调递减，故：
17. 已知函数 f (x) lg 1 x 。 1 x
（1）求证： f (x) 是奇函数；
（2）已知 g(x) f (x) mx3 3 ，且 g(1 ) 5 ，试求 g( 1) 的值。