《自动控制原理》胡寿松自动控制原理简明教程第5章详解

bm1s bm an1s an
➢ 惯性环节：1/(Ts+1)，式中T>0
➢ 一阶微分环节：(Ts+1)，式中T>0
➢ 积分环节：1/s
➢ 微分环节：s
➢ 振荡环节：1/[(s/ωn)2+2ξs/ωn+1]；式中ωn>0，0 < ξ <1 ➢ 二阶微分环节：(s/ωn)2+2 ξ s/ωn+1；式中ωn>0，0 < ξ <1
线性分度，单位是分贝（dB）；对数相频曲线的纵坐标按 φ(ω) 线性分度，单位是度（°）。由此构成的坐标系称为 半对数坐标系。
ω和lgω的关系表
① ω轴为对数分度， 即采 用相等的距离代表相等的 频率倍增，在伯德图中横 坐标按μ=lgω均匀分度。 ② ω=0在对数分度的坐标系中的负无穷远处，ω =0不可能 在横坐标上表示出来，横坐标上表示的最低频率由所感兴 趣的频率范围确定。 ③ 从表中可以看出，ω的数值每变化10倍， 在对数坐标 上lgω相应变化一个单位。 频率变化10倍的一段对数刻度 称为“十倍频程”， 用“dec”表示。
arctg
2
曲线起自幅角
为－v90°的
无穷远处。
1. 极坐标图的起点
2T T 2
2
tan
1
2T T 2 2
1
0 L 0dB
-40
0 90
0
180
L 20 lgT 2 40 lgT
180
n
1 T
90
1 10 TT
40dB dec
(a) (b)
➢ 延迟环节
Gs eTs
G j e jT G j 1 G j T
精确曲线
转折频率
3. 对数幅相曲线（Nichols）
对数幅相图的横坐标表示对数相频特性的相角，纵坐标表 示对数幅频特性的幅值的分贝数，又称尼柯尔斯曲线。
§ 5.2 典型环节和开环频率特性
§5.2.1 典型环节
典型环节 ➢ 比例环节：K
G(S)H(s)
b0 s m b1 s m1 a0 s n a1 s n1
s j
G( j) 10 j( j 3)
§5.1.2 频率特性的图示方法
频率特性的图形表示是描述系统的输入频率ω从0到∞
变化时频率响应的幅值、 相位与频率之间关系的一组曲线。
常用频率特性曲线及其坐标系
序号 1
名称 幅相频率特性曲线
图形常用名
极坐标图 奈奎斯特图
坐标系 极坐标Biblioteka 2对数频率特性曲线
伯德图
(1) 由于横坐标采用对数刻度，将低频段相对展宽了(低频段 频率特性的形状对于控制系统性能的研究具有较重要的意 义)，而将高频段相对压缩了。因此采用对数坐标既可以 拓宽视野，又便于研究低频段的特性。
(2) 当系统由多个环节串联而成时，系统的频率特性为各环 节频率特性的乘积，由于对数可将乘除运算变成加减运算。 以上两式表明，当绘制由多个环节串联而成的系统的对数 坐标图时，只要将各环节对数坐标图的纵坐标相加减即可， 从而简化了画图的过程。
10
20 dB dec
40 dB dec
0 -90
-180
➢ 微分环节
G(s) s,G( j) j
2
L(ω)=20lgω
φ(ω)=90o
j
L
20 0 0.1 1
0
0
90 0
20 dB dec
10
➢惯性环节 j
G(s)=1/(Ts+1)
G( j) 1
1
e jarctgT
(3) 在对数坐标图上，所有典型环节的对数幅频特性乃至系统 的对数幅频特性均可用分段直线近似表示。这种近似具有一 定的精确度。若对分段直线进行修正，即可得到精确的特性 曲线。
(4) 若将实验所得的频率特性数据整理并用分段直线画出对数 频率特性，则很容易写出实验对象的频率特性表达式或传递 函数。
渐近线
！高频放大
L ！抑制噪声能力下降
=20(lgω-lg1/T)
20dB dec
( ) arctgT
20
0
T
1 T
L T 20lg 2 3dB
T 45
90
1 10 100
T
T
T
45
0
➢ 振荡环节
G
s
T
2s2
1
2Ts
1
G
j
T
2
j
2
1
2
T
j
1
G j
1
1 T 22 2 2T 2
“幅值相乘、 幅角相加”的原则确定几个关键点的准确 位置， 然后绘出图形的大致形状即可。 ❖ 绘制步骤如下： (1) 将系统的开环频率特性函数G(jω)H(jω)写成指数式
A(jω)ejφ(ω)或代数式P(ω)+jQ(ω)； (2) 确定极坐标图的起点ω=0+和终点ω→∞； (3) 确定极坐标图与坐标轴的交点（若奈氏图与负实轴有
AT 1 2T2
t
eT
A sin(T - arctan T) 1 2T2
暂态分量
稳态分量
uos (t)
A sin(t-arctanT) 1 2T2
A A()sint ()
A(ω) 称幅频特性，φ(ω)称相频特性。 二者统称为频率特性。
系统对正弦输入信号的稳态响应称频率响应。
幅频特性 相频特性
L 20lg G j
40 单位：dB
20
十倍频程 十倍频程 十倍频程
0 0.1
1
10
100
-20
180 90 十倍频程
十倍频程
十倍频程
0 0.1
1
90
180
10
100
P1 P4
P2 P5
P3
1 2 4 6 10 20 40
100
十倍频程
十倍频程
十倍频程
半对数坐标纸
对数坐标图的特点
ui t sint
Ui
s
s2
2
Uo (s)
1T s 1 T
s
2
A
2
C0 s 1
T
C1s C2
s2 2
建模 ui R i uo i Cuo
uo (t)
AT 1 2T2
t
eT
A sinT cos cosT sin
1 2T2
ui CR uo uo Ui [ CR s 1] Uo
0 ＝ 100 ＝ 0 1
＝ 5
＝ 1
＝3 ＝2
2. 对数频率特性曲线（Bode图）
又称为伯德曲线（伯德图），由对数幅频曲线和对数相 频曲线组成，是工程中广泛应用的一组曲线。
对数幅频曲线的横坐标采用对数分度（μ=lgω），单位为 弧度/秒（rad/s），纵坐标按 L() 20lg G( j) 20lg A()
半对数坐标
3
对数幅相频率特性曲线
尼柯尔斯图 对数幅相坐标
1. 幅相频率特性曲线
对于一个确定的频率，必有一个幅频特性的幅值和一个幅 频特性的相角与之对应，幅值与相角在复平面上代表一个向量。 当频率ω从零变化到无穷时，当频率ω从零变化到无穷时，相应 向量的矢端就描绘出一条曲线。这条曲线就是幅相频率特性曲 线，简称幅相曲线，又称Nyquist图。
L(ω)=20lg| G(jω)|=20lgK 和φ(ω)=0
➢ 积分环节
G(s) 1 ,G( j ) 1 1
s
j 2
j 0
L(ω)=-20lgω φ(ω)=-90o
两重积分
G( j) 1 ( j)2
L
20
lg
1
2
40 lg
G j 180
L 0
20
0 0.1 1 -20
0
G j A
P Re
频率特性、传递函数、微分方程的关系
s j
传递函数
s d dt
频率特性
系统
微分方程
G( j) G(s) s j
j d
dt
频率特性是传递函数的特例，是定义在复平面虚轴上的传
递函数，因此频率特性与系统的微分方程、传递函数一样反映
了系统的固有特性。
例： G(s) 10 s(s 3)
G( j) C( j) A()e j() R( j)
G( j) G( j) P() jQ()
幅频特性 A() | G( j) | P2() Q2()
相频特性 () G( j) tg 1 Q()
P()
实频特性 P() A() cos() 虚频特性 Q() A()sin()
Lm
Q
例：RC电路的幅相频率特性。
R
ui
C
uo
Uo ( j ) G( j ) 1 1
Ui ( j )
1 RCj 1 Tj
G(jω)=R(ω)+jI(ω) =|G(jω)|∠G(jω) =A(ω)ejφ(ω)
代数式 极坐标式
A() 1 2T 2 1
指数式 ∠G(jω)=－arctanTω
j
＝ ∞
0型系统 I型系统 II型系统
G j K
1 1 2 1 T1 2
1 2 2 1 T2 2
G
j
2
arctg1
arctg
2
arctgT1 arctgT2
G j K 1 1 2 1 2 2 1 T1 2 1 T2 2
开环含有v个 积分环节的系 统，Nyquist
G
j
2
arctg1
交点，则必须求出）; (4) 勾画出大致曲线。
奈氏图的大致规律
对于一般线性定常系统，其频率特性为
G
j
b0 j m a0 j n
b1 a1
j m1 j n1
bm1 j bm an1 j an
n阶系统
K
j
j1 jT1
1 j2 1 jT2
1 1
m n
0 1 2
例 :G(s) K (1 2s) K (1 2s) 1 1
s(1 0.1s)
s 1 0.1s
§5.2.2 典型环节的频率特性
➢ 比例环节
✓ 频率特性 G(jω)=K
j
0
k·
L
0
K>1
K=1
K<1
比例环节K的幅相曲线
0
比例环节的
对数频率特性曲线
✓ 对数幅频特性和对数相频特性分别是：
⑷ 频域分析法不仅适用于线性定常系统，还可推广应用 于某些非线性控制系统。
§ 5.1 频率特性
iR
ui t
C uo t
§5.1.1 频率特性的基本概念
ui t
0
例：RC 电路如图所示，ui(t)=Asinwt, 求uo(t)=?
uo t
解： G(s) Uo (s)
1
T CR
1
1T
Ui (s) CRs 1 Ts 1 s 1 T
特点
⑴ 控制系统及其元部件的频率特性可运用分析法和实验 方法获得，并可用多种形式的曲线表示，故系统分析和控制 器设计可应用图解法进行，在工程上获得了广泛应用。
⑵ 频率特性物理意义明确。对于一阶和二阶系统，频域 性能指标和时域性能指标有确定的对应关系；对于高阶系统， 可建立近似的对应关系。
⑶ 控制系统的频域设计可兼顾动态响应和噪声抑制两方 面的要求。
20dB dec
=-20(lgω-lg1/T)
T
1 T
LT 20 lg 2 3dB
0 45
T 45
90
➢一阶微分环节 G(s)=Ts+1
j
G(s)=Ts+1
ω
ω=0
0
1
L( ) 20lg 1 2T 2
ω<<1/T, L(ω)≈20lg1=0 ω>>1/T, L(ω)≈20lgωT
1 jT G( j) 1
1 2T 2
0
1 2T 2
( ) -arctgT
0
G j 10 G j 0
2
L
L() 20lg 1 2T 2
0
ω<<1/T, L(ω)≈-20lg1=0 20
ω>>1/T, L(ω)≈-20lgωT
0 1
! 低通 滤波特性
1 10 100 T TT
n
1 T
1
0 0
n
n
n
G
j
tan
1
1
2T T 2
2
tan
1
2T T 2 2
1
0 G j 10
1
T
1
T
G j 0
n
1 T
90 G( j) 1
2
G
j
T
2
j
2
1
2T
j
1
L
L 20lg 1T 22 2 2T 2 0
G
j
tan
1
1
第五章 线性系统的频域分析法
§5.1 频率特性 §5.2 典型环节和开环系统频率特性 §5.3 频率域稳定判据 §5.4 稳定裕度 §5.5 开环频率特性与时域指标的关系 §5.6 闭环系统的频域性能指标
自动控制原理课程的任务与体系结构
频域分析是在正弦输入信号作用下，考察系统稳态输出 与输入量之间的振幅比和相位差的变化规律，其基本思想是把 控制系统中的各个变量看成一些由不同频率正弦信号组合而成 的信号，系统响应为对不同频率信号的响应的总和。
0 G j 10
L
0
G j 1 0 0.1 1
L 20 lg1 0
G j
j
1 0 0
10 100
§5.2.3 开环幅相曲线的绘制(奈奎斯特Nyquist图)
❖ 系统开环幅相曲线主要用于判断闭环系统的稳定性。 ❖ 通常将系统开环传递函数写成各环节串联的形式，利用
Rs Gs Cs
r t Asint
ct Asin t
一个稳定的线性定常系统，输入正弦信号时，输
出稳定后也是同频正弦信号，并且输出信号的振幅和
相位均为输入信号频率的函数。
A
0
A
t
用R(jω)和C(jω)分别表示输入信号A sinωt和输出信号 cs(t)=A sin(ωt+φ)， 则输出稳态分量与输入正弦信号的复数比 称为该系统的频率特性函数， 简称频率特性， 记作