平面一般力系的平衡方程及其应用

MB 0
W1
l 2
W
l
x
FAyl
0
得
FAy 7k N
Y 0
F T
sin
FAy
W1
W
0
得
FT 34k N
X 0 FAx FT cos 0
得
FAx FT cos 29.44k N
目录
平面力系\平面一般力系的平衡方程及其应用
4) 讨论。 本题若列出对A、B两点的力矩方程 和在x轴上的投影方程，即
F，平衡锤重WQ，已知W、F、a、b、e、l，欲使起重机满载和空载
时均不致翻倒，求WQ的范围。
目录
力系的平衡\平面力系的平衡方程及其应用 【解】 1）考虑满载时的情况 受力如图所示。 列平衡方程并求解 MB=0 WQmin（a+b）WeFl=0
得 We F l
WQmin a b
目录
平面力系\平面一般力系的平衡方程及其应用
理论力学
平面力系\平面一般力系的平衡方程及其应用
平面一般力系的平衡方程及其应用
1.1 平面一般力系的平衡方程
1. 基本形式 如果平面力系的主矢和对平面内任一点的主矩均为零，则力系
平衡。反之，若平面力系平衡，则其主矢、主矩必同时为零（假如 主矢、主矩有一个不等于零，则平面力系就可以简化为合力或合力 偶，力系就不平衡）。因此，平面力系平衡的充要条件是力系的主 矢和对任一点的主矩都等于零，即
应用平面力系的平衡方程求解平衡问题的步骤如下： 1) 取研究对象。根据问题的已知条件和待求量，选择合适的研 究对象。 2) 画受力图。画出所有作用于研究对象上的外力。 3) 列平衡方程。适当选取投影轴和矩心，列出平衡方程。 4) 解方程。 在列平衡方程时，为使计算简单，通常尽可能选取与力系中多 数未知力的作用线平行或垂直的投影轴，矩心选在两个未知力的交 点上；尽可能多的用力矩方程，并使一个方程只含一个未知数。
平面力系\平面一般力系的平衡方程及其应用 2. 平面汇交力系和平面力偶系 平面汇交力系和平面力偶系也是平面一般力系的特殊情况。它
们的平衡方程也可由平面一般力系的平衡方程导出，请读者自行分 析。
目录
平面力系\平面一般力系的平衡方程及其应用 【例3.11】 塔式起重机如图所示，机架自重W，最大起重荷载
目录
平面力系\平面一般力系的平衡方程及其应用 【例3.8】图示悬臂吊车。已知梁AB重W1=4 kN，吊重W=20 kN，
梁长l=2 m，重物到固定铰支座A的距离x=1.5 m，拉杆CD的倾角＝
30。求拉杆CD所受的力和固定铰支座A处的反力。
目录
平面力系\平面一般力系的平衡方程及其应用
【解】 1）选AB为研究对象。 2）画受力图。 3）列平衡方程并求解。
2）考虑空载的情况 受力如图所示。
列出平衡方程 并求解
M A 0 WQ maxa W e b 0
得
WQ
m
ax
W
(e a
b)
因此，要保证起重机在满载和空载时均 不致翻倒，平衡锤重WQ的范围为
We Fl ab
WQ
W
e
a
b
目录
理论力学
目录
平面力系\平面一般力系的平衡方程及其应用
3）列平衡方程并求解。由图有
sin 1.693 0.484
3.5
cos 3.06 0.874
3.5
列出平衡方程
X 0 得
FAx F sin 0
FAx F sin 23.8k N 0.484 11.5k N
MA
0
FB
3.5m
F
c
os
1 2
3.5m
0
得
Байду номын сангаасFB
1 2
F
cos
1 23.8kN 0.874 10.4kN 2
目录
平面力系\平面一般力系的平衡方程及其应用
MB
0
FAy
3.5m
F
cos
1 2
3.5m
0
得
FAy
1 2
F
cos
FB
10.4kN
目录
平面力系\平面一般力系的平衡方程及其应用
1.3 平面一般力系的几个特殊情况
1. 平面平行力系
M A 0
MB 0
W1
l 2
Wx
FTl sin
0
W1
l 2
W
l
x
FAyl
0
X 0 FAx FT cos 0
则同样可求解。
本题也可列出对A、B、C三点的三个力矩方程求解，即
M A 0
W1
l 2
Wx
FTl sin
0
MB 0
W1
l 2
W
l
x
FAyl
0
MC 0
FAxl
tan
W1
l 2
FR MO
0 0
上面的平衡条件可用下面的解析式表示为
X 0
Y 0
MO 0
目录
平面力系\平面一般力系的平衡方程及其应用
式中∑MO是∑MO (F)的简写。上式称为平面力系平衡方程的基本形 式，其中前两式称为力的投影方程，它表示力系中所有各力在两个 坐标轴上投影的代数和分别等于零；后一式称为力矩方程，它表示 力系中所有各力对任一点之矩的代数和等于零。
式中A、B、C三点不能共线（请读者思考理由）。 平面力系有三种不同形式的平衡方程，在解题时可以根据具体
情况选取某一种形式。平面力系只有三个独立的平衡方程，只能求 解三个未知量。任何第四个方程都不会是独立的，但可以利用这个 方程来校核计算的结果。
目录
平面力系\平面一般力系的平衡方程及其应用
1.2 平面一般力系平衡方程的应用
3）列平衡方程并求解。
M A 0 M A q 2a a M F 3a 0
得
MA＝4 kNm
X ＝0 Y ＝0 得
FAx ＝0
FAy －q×2a－F＝0
FAy＝ 4 kN
目录
平面力系\平面一般力系的平衡方程及其应用 【例3.10】 图示一楼梯板，设已将板上恒载（包括水磨石面层、
板自重和粉刷）与活载简化为沿斜面长度方向的均布荷载 q=6.8kN/m，求楼梯板两端的约束力。
目录
平面力系\平面一般力系的平衡方程及其应用 【解】 1）选取研究对象。根据楼梯
板两端约束的特点，楼梯板A端可简化为 固定铰支座，B端为活动铰支座。楼梯板 用轴线AB表示，楼梯板的计算简图如图 所示。选取斜简支梁AB为研究对象。
2）画受力图。梁上均布荷载q用它的 合力F =3.5q =(3.5×6.8)kN=23.8kN代替， 作用在跨中。FAx, FAy为固定铰支座A处的 反力，FB为活动铰支座B处的反力。这些 力组成一个平面一般力系（如图）。
若平面力系中各力作用线全部平行， 称为平面平行力系。若取y轴平行于各 力作用线，x轴垂直于各力作用线（如 图），显然平衡方程中∑X=0自然满足， 因此其平衡方程只有两个，即
Y 0 M O 0 平面平行力系平衡方程的二力矩形式为
M M
A B
0 0
式中A、B两点的连线不能平行于各力作用线。
平面平行力系只有两个独立的平衡方程，只能求解两个未知量。 目录
Wx
0
请读者自行完成，并比较三种解法的优缺点。
目录
平面力系\平面一般力系的平衡方程及其应用 【例3.9】 梁AB如图所示。已知F ＝2 kN，q ＝1 kN/m，M ＝4
kN·m，a ＝1 m，求固定端A处的反力。
目录
平面力系\平面一般力系的平衡方程及其应用
【解】 1）选取梁AB为研究对象。
2）画受力图。
2. 二力矩式 由一个投影方程和两个力矩方程组成，其形式为
X 0 (或Y 0)
M A 0
M B 0
式中A、B两点的连线不能与x轴(或y轴)垂直（请读者思考理由）。
目录
平面力系\平面一般力系的平衡方程及其应用 3. 三力矩式 由三个力矩方程组成，其形式为
M A 0 M B 0 MC 0