第二章一元二次方程检测题(有答案)北师大版数学九年级上册

第二章检测题（后附答案）
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．一元二次方程x 2－4x ＋3＝0的解为( )A ．x 1＝－1，x 2＝3 B ．x 1＝1，x 2＝3
C ．x 1＝1，x 2＝－3
D ．x 1＝－1，x 2＝－3
2．用配方法解一元二次方程x 2－4x －4＝0时，下列变形正确的是( )A ．(x －2)2＝0 B ．(x －2)2＝5C ．(x ＋2)2＝8 D ．(x －2)2＝8
3．一元二次方程x 2－2x ＋b ＝0的两根分别为x 1和x 2，则x 1＋x 2为( )A ．－2 B ．b C ．2 D ．－b 4．根据下面表格中的对应值：
x 3.23 3.24 3.25 3.26ax 2＋bx ＋c
－0.06
－0.02
0.03
0.09
判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，a ，b ，c 为常数)的一个解x 的范围是( )A ．3＜x ＜3.23 B ．3.23＜x ＜3.24C ．3.24＜x ＜3.25 D ．3.25＜x ＜3.265．下列一元二次方程有实数解的是 ( )A ．2x 2－x ＋1＝0 B ．x 2－2x ＋2＝0C ．x 2＋3x －2＝0 D ．x 2＋2＝0
6．已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋2x －3＝0有实数根，则m 的取值范围是( )A ．m ≥23 B ．m<
2
3C ．m>23且m ≠1 D ．m ≥2
3
且m ≠1
7．随着互联网技术的发展，我国快递业务量逐年增加，据统计从2018年到2020年，我国快递业务量由507亿件增加到833.6亿件，设我国从2018年到2020年快递业务量的年平均增长率为x ，则可列方程为( )
A ．507(1＋2x)＝833.6
B ．507×2(1＋x)＝833.6
C ．507(1＋x)2＝833.6
D ．507＋507(1＋x)＋507(1＋x)2＝833.6
8．已知关于x 的方程x 2－(2m －1)x ＋m 2＝0的两实数根为x 1，x 2，若(x 1＋1)(x 2＋1)＝3，则m 的值为( )
A ．－3
B ．－1
C ．－3或1
D ．－1或3
9．若直角三角形的两边长分别是方程x 2－7x ＋12＝0的两根，则该直角三角形的面积是( )A ．6 B ．12 C ．12或372 D ．6或
37
2
10．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝8 cm ，BC ＝6 cm ，动点P ，Q 分别从点A ，B 同时开始运动．点P 的速度为1 cm /s ，点Q 的速度为2 cm /s ，点P 运动到点B 停止，点Q 运动到点C 后停止．经过多长时间，能使△PBQ 的面积为15 cm 2( )
A.2 s
B．3 s
C．4 s
D．5 s
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．关于x的方程2x2＋mx－4＝0的一根为1，则另一根为__ __．
12．一元二次方程x2－3x＝0的解是_ __．
13．若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2－6x＋4＝0的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是__ __．
14．若m，n是一元二次方程x2＋3x－1＝0的两个实数根，则m3＋m2n
3m－1
的值为__ __．
15．已知关于x的一元二次方程：x2－2x－a＝0，有下列结论：
①当a＞－1时，方程有两个不相等的实根；
②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根；
③当a＞－1时，方程的两个实根不可能都小于1；
④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3.
以上4个结论中，正确的结论是____．(填序号)
三、解答题(共75分)
16．(8分)用适当的方法解下列方程：
(1)x2－4x－5＝0; (2)2x2－5x＋3＝0.
17．(9分)比较x2＋1与2x的大小．
(1)尝试(用“＜”“＝”或“＞”填空)：
①当x＝1时，x2＋1__ __2x；
②当x＝0时，x2＋1__ __2x；
③当x＝－2时，x2＋1__ __2x；
(2)归纳：若x取任意实数，x2＋1与2x有怎样的大小关系？试说明理由．
18．(9分)如图，学校要搭建一个矩形车棚，一边靠墙，在与墙正对的一面开了两个门．已知每个门宽度都是2米，三边围栏材料的总长为60米．
(1)如果要使车棚的面积为440平方米，且尽量使靠墙的边长一些，那么垂直墙的一边长度应为多少米？
(2)这个车棚的面积能否达到600平方米？
19．(9分)已知关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋2m －1＝0有x 1，x 2两实数根．(1)若x 1＝1，求x 2及m 的值；
(2)是否存在实数m ，满足(x 1－1)(x 2－1)＝6
m －5
？若存在，求出实数m 的值；若不存在，请说明理由．
20．(9分)阅读下列内容，并答题：
我们知道，计算n 边形的对角线条数公式为：1
2
n(n －3).如果一个n 边形共有20条对角线，
那么可以得到方程1
2
n(n －3)＝20.整理得n 2－3n －40＝0，解得n ＝8或n ＝－5，∵n 为大于等
于3的整数，∴n ＝－5不合题意，舍去．∴n ＝8，即多边形是八边形.
根据以上内容，
问：(1)若一个多边形共有14条对角线，求这个多边形的边数；(2)A 同学说：“我求得一个多边形共有10条对角线”，你认为A 同学的说法正确吗？为什么？
21．(10分)直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．
(1)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
(2)小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过(1)中的售价，则该商品至少需打几折销售？
22．(10分)为更好地发展低碳经济，建设美丽中国．某公司对其生产设备进行了升级改
造，不仅提高了产能，而且大幅降低了碳排放量．已知该公司去年第三季度产值是2300万元，
今年第一季度产值是3200万元，假设公司每个季度产值的平均增长率相同．
科学计算器按键顺序计算结果
(已取近似值)
32a b/c23＝ 1.18
1·18x2＝ 1.39
1·18y x3＝ 1.64
,解答过程中可直接使用
表格中的数据哟！
(1)求该公司每个季度产值的平均增长率；
(2)问该公司今年总产值能否超过1.6亿元？并说明理由．
23．(11分)2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A，B两款冰墩墩钥匙扣，进
货价和销售价如下表：(注：利润＝销售价－进货价)
类别
价格 A款钥匙扣B款钥匙扣
进货价(元/件)3025
销售价(元/件)4537
(1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
(2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共
80件(进货价和销售价都不变)，且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得
最大销售利润，最大销售利润是多少？
(3)冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天
可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，
才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？
答案：
第二章检测题（教师版）
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．一元二次方程x 2－4x ＋3＝0的解为( B )A ．x 1＝－1，x 2＝3 B ．x 1＝1，x 2＝3
C ．x 1＝1，x 2＝－3
D ．x 1＝－1，x 2＝－3
2．用配方法解一元二次方程x 2－4x －4＝0时，下列变形正确的是( D )A ．(x －2)2＝0 B ．(x －2)2＝5C ．(x ＋2)2＝8 D ．(x －2)2＝8
3．一元二次方程x 2－2x ＋b ＝0的两根分别为x 1和x 2，则x 1＋x 2为( C )A ．－2 B ．b C ．2 D ．－b 4．根据下面表格中的对应值：
x 3.23 3.24 3.25 3.26ax 2＋bx ＋c
－0.06
－0.02
0.03
0.09
判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，a ，b ，c 为常数)的一个解x 的范围是( C )A ．3＜x ＜3.23 B ．3.23＜x ＜3.24C ．3.24＜x ＜3.25 D ．3.25＜x ＜3.265．下列一元二次方程有实数解的是 ( C )A ．2x 2－x ＋1＝0 B ．x 2－2x ＋2＝0C ．x 2＋3x －2＝0 D ．x 2＋2＝0
6．已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋2x －3＝0有实数根，则m 的取值范围是( D )A ．m ≥23 B ．m<
2
3C ．m>23且m ≠1 D ．m ≥2
3
且m ≠1
7．随着互联网技术的发展，我国快递业务量逐年增加，据统计从2018年到2020年，我国快递业务量由507亿件增加到833.6亿件，设我国从2018年到2020年快递业务量的年平均增长率为x ，则可列方程为( C )
A ．507(1＋2x)＝833.6
B ．507×2(1＋x)＝833.6
C ．507(1＋x)2＝833.6
D ．507＋507(1＋x)＋507(1＋x)2＝833.6
8．已知关于x 的方程x 2－(2m －1)x ＋m 2＝0的两实数根为x 1，x 2，若(x 1＋1)(x 2＋1)＝3，则m 的值为( A )
A ．－3
B ．－1
C ．－3或1
D ．－1或3
9．若直角三角形的两边长分别是方程x 2－7x ＋12＝0的两根，则该直角三角形的面积是( D )A ．6
B ．12
C ．12或372
D ．6或
37
2
10．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝8 cm ，BC ＝6 cm ，动点P ，Q 分别从点A ，B 同时开始运动．点P 的速度为1 cm /s ，点Q 的速度为2 cm /s ，点P 运动到点B 停止，点Q 运动到点C 后停止．经过多长时间，能使△PBQ 的面积为15 cm 2( B )
A.2 s
B．3 s
C．4 s
D．5 s
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．关于x的方程2x2＋mx－4＝0的一根为1，则另一根为__－2__．
12．一元二次方程x2－3x＝0的解是__x1＝0，x2＝3__．
13．若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2－6x＋4＝0的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是__27__．
14．若m，n是一元二次方程x2＋3x－1＝0的两个实数根，则m3＋m2n
3m－1
的值为__3__．
15．已知关于x的一元二次方程：x2－2x－a＝0，有下列结论：
①当a＞－1时，方程有两个不相等的实根；
②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根；
③当a＞－1时，方程的两个实根不可能都小于1；
④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3.
以上4个结论中，正确的结论是__①③④__．(填序号)
三、解答题(共75分)
16．(8分)用适当的方法解下列方程：
(1)x2－4x－5＝0; (2)2x2－5x＋3＝0.
解：x1＝5，x2＝－1 解：x1＝3
2
，x2＝1
17．(9分)比较x2＋1与2x的大小．
(1)尝试(用“＜”“＝”或“＞”填空)：
①当x＝1时，x2＋1__＝__2x；
②当x＝0时，x2＋1__＞__2x；
③当x＝－2时，x2＋1__＞__2x；
(2)归纳：若x取任意实数，x2＋1与2x有怎样的大小关系？试说明理由．
解：(2)x2＋1≥2x.理由：∵x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，∴x2＋1≥2x
18．(9分)如图，学校要搭建一个矩形车棚，一边靠墙，在与墙正对的一面开了两个门．已知每个门宽度都是2米，三边围栏材料的总长为60米．
(1)如果要使车棚的面积为440平方米，且尽量使靠墙的边长一些，那么垂直墙的一边长度应为多少米？
(2)这个车棚的面积能否达到600平方米？
解：(1)设垂直墙的一边长度应为x米，则平行于墙的边长为(60－2x＋2×2)米，由题意
得：x(60－2x ＋2×2)＝440，解得x ＝10或x ＝22(不合题意舍去)，答：垂直墙的一边长度应为10米
(2)由题意得：x(60－2x ＋2×2)＝600，整理得：x 2－32x ＋300＝0，∵Δ＝(－32)2－4×1×300＝－176＜0，∴此方程无实数解，∴这个车棚的面积不能达到600平方米
19．(9分)已知关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋2m －1＝0有x 1，x 2两实数根．(1)若x 1＝1，求x 2及m 的值；
(2)是否存在实数m ，满足(x 1－1)(x 2－1)＝
6
m －5
？若存在，求出实数m 的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)根据题意得b 2－4ac ＝(－6)2－4(2m －1)≥0，解得m ≤5，∵x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝2m －1，x 1＝1，∴1＋x 2＝6，x 2＝2m －1，∴x 2＝5，m ＝3
(2)存在．∵(x 1－1)(x 2－1)＝
6m －5，∴x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝6m －5
，即2m －1－6＋1＝6
m －5
，整理得m 2－8m ＋12＝0，解得m 1＝2，m 2＝6，∵m ≤5且m ≠5，∴m ＝220．(9分)阅读下列内容，并答题：
我们知道，计算n 边形的对角线条数公式为：1
2
n(n －3).如果一个n 边形共有20条对角线，
那么可以得到方程1
2
n(n －3)＝20.整理得n 2－3n －40＝0，解得n ＝8或n ＝－5，∵n 为大于等
于3的整数，∴n ＝－5不合题意，舍去．∴n ＝8，即多边形是八边形.
根据以上内容，
问：(1)若一个多边形共有14条对角线，求这个多边形的边数；(2)A 同学说：“我求得一个多边形共有10条对角线”，你认为A 同学的说法正确吗？为什么？
解：(1)根据题意得1
2
n(n －3)＝14，整理得n 2－3n －28＝0，解得n ＝7或n ＝－4.∵n 为大
于等于3的整数，∴n ＝－4不合题意，舍去．∴n ＝7，即这个多边形是七边形
(2)A 同学的说法是不正确的，理由如下：当1
2
n(n －3)＝10时，整理得n 2－3n －20＝0，
解得n ＝3±89
2
，∴符合方程n 2－3n －20＝0的正整数n 不存在，∴多边形的对角线不可能
有10条
21．(10分)直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．
(1)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
(2)小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过(1)中的售价，则该商品
至少需打几折销售？
解：(1)设售价应定为x元，则每件的利润为(x－40)元，日销售量为20＋10（60－x）
5
＝
(140－2x)件，依题意，得(x－40)(140－2x)＝(60－40)×20，整理，得x2－110x＋3000＝0，解得x1＝50，x2＝60(舍去).答：售价应定为50元
(2)该商品需要打a折销售，由题意，得62.5×
a
10
≤50，解得a≤8.答：该商品至少需打8
折销售
22．(10分)为更好地发展低碳经济，建设美丽中国．某公司对其生产设备进行了升级改造，不仅提高了产能，而且大幅降低了碳排放量．已知该公司去年第三季度产值是2300万元，今年第一季度产值是3200万元，假设公司每个季度产值的平均增长率相同．
科学计算器按键顺序计算结果
(已取近似值)
32a b/c23＝ 1.18
1·18x2＝ 1.39
1·18y x3＝ 1.64 ,解答过程中可直接使用
表格中的数据哟！
(1)求该公司每个季度产值的平均增长率；
(2)问该公司今年总产值能否超过1.6亿元？并说明理由．
解：(1)设该公司每个季度产值的平均增长率为x，依题意得2300(1＋x)2＝3200，解得x1＝0.18＝18%，x2＝－2.18(不合题意，舍去).答：该公司每个季度产值的平均增长率为18%
(2)该公司今年总产值能超过1.6亿元，理由如下：3200＋3200×(1＋18%)＋3200×(1＋18%)2＋3200×(1＋18%)3＝3200＋3200×1.18＋3200×1.39＋3200×1.64＝3200＋3776＋4448＋5248＝16672(万元)，1.6亿元＝16000万元，∵16672＞16000，∴该公司今年总产值能超过1.6亿元
23．(11分)2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A，B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：(注：利润＝销售价－进货价)
类别
价格 A款钥匙扣B款钥匙扣
进货价(元/件)3025
销售价(元/件)4537
(1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
(2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件(进货价和销售价都不变)，且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得
最大销售利润，最大销售利润是多少？
(3)冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？
解：(1)设购进A款钥匙扣x件，B款钥匙扣y件，依题意得：{x＋y＝30，
解得
30x＋25y＝850，
{x＝20，
答：购进A款钥匙扣20件，B款钥匙扣10件
y＝10.
(2)设购进m件A款钥匙扣，则购进(80－m)件B款钥匙扣，依题意得：30m＋25(80－m)≤2200，解得m≤40.设再次购进的A，B两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为w 元，则w＝(45－30)m＋(37－25)(80－m)＝3m＋960.∵3>0，∴w随m的增大而增大，∴当m ＝40时，w取得最大值，最大值＝3×40＋960＝1080，此时80－m＝80－40＝40.答：当购进40件A款钥匙扣，40件B款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是1080元
(3)设B款钥匙扣的售价定为a元，则每件的销售利润为(a－25)元，平均每天可售出4＋2(37－a)＝(78－2a)件，依题意得：(a－25)(78－2a)＝90，整理得：a2－64a＋1020＝0，解得a1＝30，a2＝34.答：将销售价定为每件30元或34元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元。