高二期末数学试卷(含答案)

2016-2017学年山东省潍坊市高二（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．命题p：“?x∈R，x2+2＜0”，则￢p为（）
A．?x∈R，x2+2≥0 B．?x?R，x2+2＜0 C．?x∈R，x2+2≥0 D．?x∈R，x2+2＞0
2．抛物线x2=4y的焦点坐标为（）
A．（1，0） B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（0，﹣1）
3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3+a4+a5+a6+a7=20，则S9=（）A．18 B．36 C．60 D．72
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a=2bcosC，则△ABC 的形状为（）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
5．已知原命题“若a＞b＞0，则＜”，则原命题，逆命题，否命题，逆否命题
中真命题个数为（）
A．0 B．1 C．2 D．4
6．已知函数f（x）=，则f′（x）=（）
A．B．C．D．
7．如图，为测量塔高AB，选取与塔底B在同一水平面内的两点C、D，在C、D 两点处测得塔顶A的仰角分别为45°，30°，又测得∠CBD=30°，CD=50米，则塔高AB=（）
A．50米B．25米C．25米D．50米
8．已知命题p：可表示焦点在x轴上的双曲线；命题q：若实数
a，b满足a＞b，则a2＞b2．则下列命题中：①p∨q②p∧q③（￢p）∨q④（￢p）∧（￢q）真命题的序号为（）
A．①B．③④C．①③D．①②③
9．已知抛物线C的顶点在原点，焦点为F（﹣3，0），C上一点P到焦点F的距离为9，则点P的一个坐标为（）
A．（﹣3，6）B．（﹣3，6）C．（﹣6，6）D．（﹣6，6）
10．已知实数x，y满足不等式组，则z=3x﹣y的最大值为（）A．1 B．﹣C．﹣2 D．不存在
11．已知函数f（x）=x+a，g（x）=x+，若?x1∈[1，3]，?x2∈[1，4]，使得f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围为（）
A．a≥1 B．a≥2 C．a≥3 D．a≥4
12．已知双曲线C的两焦点为F1，F2，离心率为，抛物线y2=16x的准线过双曲线C的一个焦点，若以线段F1F2为直径的圆与双曲线交于四个点P i（i=1，2，3，4），|P i F1|?|P i F2|=（）
A．0 B．7 C．14 D．21
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．双曲线﹣=1的渐近线方程是．
14．“?x∈[1，2]，x2﹣a≥0“是真命题，则实数a的最大值为．
15．已知椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成顶角为120°的等腰三角形，则椭圆的离心率为．
16．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中给出了如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐，齐去长安一千一百二十五里．良马初日行一百零三里，
日增一十三里．驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问
几何日相逢？”其大意为：“现有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和
齐的距离是1125里．良马第一天行103里，之后每天比前一天多行13里．驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇？”在这个问题中两马从出发到相遇的天数为．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．已知曲线f（x）=x3﹣ax+b在点（1，0）处的切线方程为x﹣y﹣1=0．
（I）求实数a，b的值；
（II）求曲线y=f（x）在x=2处的切线与两坐标轴围成的三角形面积．
18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcosC=acosC+ccosA．（I）求角C的大小；
（II）若b=2，c=，求a及△ABC的面积．
19．设p：集合A={x|x2﹣（3a+1）x+2a（a+1）＜0}，q：集合B={x|＜0}．（I）求集合A；
（II）当a＜1时，￢q是￢p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
20．已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣n（n∈N*）．正项等比数列{b n}的首项b1=1，且3a2是b2，b3的等差中项．
（I）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（II）若c n=a n?b n，求数列{c n}的前n项和T n．
21．近年来，某地雾霾污染指数达到重度污染级别．经环保部门调查，该地工厂
废气排放污染是形成雾霾的主要原因．某科研单位进行了科技攻关，将工业废气中的某些成分转化为一中可利用的化工产品．已知该项目每年投入资金3000万元，设每年处理工厂废气量为x万升，每万升工厂废气处理后得到可利用的化工
产品价值为c（x）万元，其中c（x）=．设该单位的
年利润为f（x）（万元）．
（I）求年利润f（x）（万元）关于处理量x（万升）的函数表达式；
（II）该单位年处理工厂废气量为多少万升时，所获得的利润最大，并求出最大
利润？
22．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为E，过F1于x轴垂直的直线与椭圆C相交，其中一个交点为M（﹣，）．
（I）求椭圆C的方程；
（II）经过点P（1，0）的直线l与椭圆交于A，B两点．
（i）若直线AE，BE的斜率为k1，k2（k1≠0，k2≠0），证明：k1?k2为定值；（ii）若O为坐标原点，求△OAB面积的最大值．
2016-2017学年山东省潍坊市高二（上）期末数学试卷（文
科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．命题p：“?x∈R，x2+2＜0”，则￢p为（）
A．?x∈R，x2+2≥0 B．?x?R，x2+2＜0 C．?x∈R，x2+2≥0 D．?x∈R，x2+2＞0
【考点】命题的否定．
【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．
【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，即?x∈R，x2+2≥0，故选：A
2．抛物线x2=4y的焦点坐标为（）
A．（1，0） B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（0，﹣1）
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】先根据标准方程求出p值，判断抛物线x2=4y的开口方向及焦点所在的
坐标轴，从而写出焦点坐标．
【解答】解：∵抛物线x2 =4y 中，p=2，=1，焦点在y轴上，开口向上，∴焦点坐标为（0，1 ），
故选C．
3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3+a4+a5+a6+a7=20，则S9=（）A．18 B．36 C．60 D．72
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】由等差数列的通项公式得a3+a4+a5+a6+a7=5a5=20，解得a5=4，从而S9=，由此能求出结果．
【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3+a4+a5+a6+a7=20，
∴a3+a4+a5+a6+a7=5a5=20，
解得a5=4，
∴S9==36．
故选：B．
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a=2bcosC，则△ABC 的形状为（）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
【考点】三角形的形状判断．
【分析】利用正弦定理以及三角形的内角和，两角和的正弦函数化简a=2bcosC，求出B与C的关系，即可判断三角形的形状．
【解答】解：a=2bcosC，由正弦定理可知，sinA=2sinBcosC，因为A+B+C=π，
所以sin（B+C）=2sinBcosC，所以sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，
sin（B﹣C）=0，B﹣C=kπ，k∈Z，
因为A、B、C是三角形内角，
所以B=C．
三角形是等腰三角形．
故选：A．
5．已知原命题“若a＞b＞0，则＜”，则原命题，逆命题，否命题，逆否命题
中真命题个数为（）
A．0 B．1 C．2 D．4
【考点】四种命题间的逆否关系．
【分析】根据逆否命题的等价性分别进行判断即可．
【解答】解：若a＞b＞0，则＜成立，则原命题为真命题，则逆否命题为真
命题，
命题的逆命题为若＜，则a＞b＞0，为假命题，当a＜0，b＞0时，结论就不成立，则逆命题为假命题，否命题也为假命题，
故真命题的个数为2个，
故选：C
6．已知函数f（x）=，则f′（x）=（）
A．B．C．D．
【考点】导数的运算．
【分析】利用导数除法的运算公式进行求导即可．
【解答】解：f'（x）=；
故选D．
7．如图，为测量塔高AB，选取与塔底B在同一水平面内的两点C、D，在C、D 两点处测得塔顶A的仰角分别为45°，30°，又测得∠CBD=30°，CD=50米，则塔高AB=（）
A．50米B．25米C．25米D．50米
【考点】解三角形的实际应用．
【分析】设AB=am，则BC=am，BD=am，根据∠CBD=30°，CD=50米，利用余弦定理建立方程，即可得出结论．
【解答】解：设AB=am，则BC=am，BD=am，
∵∠CBD=30°，CD=50米，
∴2500=a2+3a2﹣2a，
∴a=50m．
故选A．
8．已知命题p：可表示焦点在x轴上的双曲线；命题q：若实数
a，b满足a＞b，则a2＞b2．则下列命题中：①p∨q②p∧q③（￢p）∨q④（￢p）∧（￢q）真命题的序号为（）
A．①B．③④C．①③D．①②③
【考点】命题的真假判断与应用；双曲线的简单性质．
【分析】先分别判定命题p、命题q的真假，在根据复合命题的真值表判定．【解答】解：对于命题p：若可表示焦点在x轴上的双曲线，则
3﹣a＞0，a﹣5＞0，a不存在，故命题p是假命题；
对于命题q：若实数a，b满足a＞b，则a2＞b2或a2=b2或a2＜b2，命题q为假命题；
①p∨q为假，②p∧q为假，③（￢p）∨q为真，④（￢p）∧（￢q）为真；故选：B．
9．已知抛物线C的顶点在原点，焦点为F（﹣3，0），C上一点P到焦点F的距离为9，则点P的一个坐标为（）
A．（﹣3，6）B．（﹣3，6）C．（﹣6，6）D．（﹣6，6）
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】利用抛物线的简单性质，列出方程求出P的横坐标，即可推出结果．【解答】解：抛物线C的顶点在原点，焦点为F（﹣3，0），准线方程为：x=3，C上一点P到焦点F的距离为9，
设P（x，y）可得﹣x+3=9，解得x=﹣6，则=9，可得y=．故选：D．
10．已知实数x，y满足不等式组，则z=3x﹣y的最大值为（）
A．1 B．﹣C．﹣2 D．不存在
【考点】简单线性规划．
【分析】首先画出平面区域，利用目标函数的几何意义求最大值．
【解答】解：不等式组表示的平面区域如图：目标函数z=3x﹣y变形为y=3x﹣z，此直线在y轴截距最小时，z最大，
由区域可知，直线经过图中A（0，2）时，z取最大值为﹣2；
故选C
11．已知函数f（x）=x+a，g（x）=x+，若?x1∈[1，3]，?x2∈[1，4]，使得f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围为（）
A．a≥1 B．a≥2 C．a≥3 D．a≥4
【考点】函数的最值及其几何意义．
【分析】若?x1∈[1，3]，?x2∈[1，4]，使得f（x1）≥g（x2），可得f（x）=x+a 在x1∈[1，3]的最小值不小于g（x）=x+在x2∈[1，4]的最小值，构造关于a
的不等式组，可得结论．
【解答】解：当x1∈[1，3]时，由f（x）=x+a递增，
f（1）=1+a是函数的最小值，
当x2∈[1，4]时，g（x）=x+，在[1，2）为减函数，在（2，4]为增函数，
∴g（2）=4是函数的最小值，
若?x1∈[1，3]，?x2∈[1，4]，使得f（x1）≥g（x2），
可得f（x）在x1∈[1，3]的最小值不小于g（x）在x2∈[1，4]的最小值，
即1+a≥4，
解得：a∈[3，+∞），
故选：C．
12．已知双曲线C的两焦点为F1，F2，离心率为，抛物线y2=16x的准线过双曲线C的一个焦点，若以线段F1F2为直径的圆与双曲线交于四个点P i（i=1，2，3，4），|P i F1|?|P i F2|=（）
A．0 B．7 C．14 D．21
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求出双曲线、圆的方程，联立求出|y|=，利用面积关系，即可得出结论．
【解答】解：由题意，c=4，a=3，b=，双曲线的方程为=1，
与圆x2+y2=16，可得|y|=，
∴|P i F1|?|P i F2|==14，
故选C．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．双曲线﹣=1的渐近线方程是y=±x．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】把双曲线的标准方程中的1换成0即得渐近线方程，化简即可得到所求．
【解答】解：∵双曲线方程为﹣=1的，则渐近线方程为线﹣=0，即y=±，
故答案为y=±．
14．“?x∈[1，2]，x2﹣a≥0“是真命题，则实数a的最大值为1．
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】根据全称命题的含义：“?x∈[1，2]，x2﹣a≥0“是真命题?x∈[1，2]时，x2﹣a≥0恒成立?a≤（x2）min
【解答】解：“?x∈[1，2]，x2﹣a≥0“是真命题?x∈[1，2]时，x2﹣a≥0恒成立?a≤（x2）min，又∵x∈[1，2]时（x2）min=1，∴a≤1，则实数a的最大值为1
故答案为：1．
15．已知椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成顶角为120°的等腰三角形，则椭圆的离心率为．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】利用已知条件列出不等式，然后求解椭圆的离心率即可．
【解答】解：椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成顶角为120°的等腰三角形，
可得：，，解得e=．
故答案为：．
16．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中给出了如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐，齐去长安一千一百二十五里．良马初日行一百零三里，日增一十三里．驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问
几何日相逢？”其大意为：“现有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和
齐的距离是1125里．良马第一天行103里，之后每天比前一天多行13里．驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇？”在这个问题中两马从出发到相遇的天数为9．【考点】函数模型的选择与应用．
【分析】利用等差数列的求和公式与不等式的解法即可得出．
【解答】解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，
记为{a n}，其中a1=103，d=13；
驽马每日行的距离成等差数列，
记为{b n}，其中b1=97，d=﹣0.5；
设第m天相逢，则a1+a2+…+a m+b1+b2+…+b m
=103m+×13+97m+×（﹣0.5）
=200m+×12.5≥2×1125，
化为m2+31m﹣360≥0，
解得m，取m=9．
故答案为：9
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．已知曲线f（x）=x3﹣ax+b在点（1，0）处的切线方程为x﹣y﹣1=0．（I）求实数a，b的值；
（II）求曲线y=f（x）在x=2处的切线与两坐标轴围成的三角形面积．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（I）求出原函数的导函数，由曲线在x=1处的切线的斜率求得a，再由曲线和直线在x=1处的函数值相等求得b；
（II）求出曲线y=f（x）在x=2处的切线方程，即可求曲线y=f（x）在x=2处的切线与两坐标轴围成的三角形面积．
【解答】解：（I）由f（x）=x3﹣ax+b，得y′=3x2﹣a，
由题意可知y′|x=1=3﹣a=1，即a=2．
又当x=1时，y=0，
∴13﹣1×2+b=0，即b=1．
（II）f（x）=x3﹣2x+1，f′（x）=3x2﹣2，
x=2时，f（2）=5，f′（2）=10，
∴曲线y=f（x）在x=2处的切线方程为y﹣5=10（x﹣2），即10x﹣y﹣15=0，
与两坐标轴的交点为（ 1.5，0），（0，﹣15），
∴切线与两坐标轴围成的三角形面积S==．
18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcosC=acosC+ccosA．（I）求角C的大小；
（II）若b=2，c=，求a及△ABC的面积．
【考点】正弦定理．
【分析】（I）由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知
等式可得2sinBcosC=sinB，结合sinB＞0，可得cosC=，由于C∈（0，C），可求C的值．
（II）由已知利用余弦定理可得：a2﹣2a﹣3=0，解得a的值，进而利用三角形的面积公式即可计算得解．
【解答】（本题满分为12分）
解：（I）∵2bcosC=acosC+ccosA，
∴由正弦定理可得：2sinBcosC=sinAcosC+cosAsinC，可得：2sinBcosC=sin（A+C）=sinB，
∵sinB＞0，
∴cosC=，
∵C∈（0，C），
∴C=…６分
（II）∵b=2，c=，C=，
∴由余弦定理可得：7=a2+4﹣2×，整理可得：a2﹣2a﹣3=0，
∴解得：a=3或﹣1（舍去），
∴△ABC的面积S=absinC==…12分
19．设p：集合A={x|x2﹣（3a+1）x+2a（a+1）＜0}，q：集合B={x|＜0}．（I）求集合A；
（II）当a＜1时，￢q是￢p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】（Ⅰ）根据一元二次不等式的解法，讨论a的取值范围进行求解即可．（Ⅱ）根据逆否命题之间的关系将条件进行转化，结合充分不必要条件的定义建
立不等式关系进行求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）由x2﹣（3a+1）x+2a（a+1）＜0得（x﹣2a）[x﹣（a+1）]＜0，
①若2a＜a+1，即a＜1时，2a＜x＜a+1，
此时A=（2a，a+1），
②若2a=a+1，即a=1时，不等式无解，
此时A=?，
③若2a＞a+1，即a＞1时，a+1＜x＜2a，
此时A=（a+1，2a）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a＜1时，A=（2a，a+1），
B={x|＜0}={x|﹣1＜x＜3}=（﹣1，3），
若￢q是￢p的充分不必要条件，
即p是q的充分不必要条件，
即A?B，
则，即，
则﹣≤a≤2，
∵a＜1，∴﹣≤a＜1，
则实数a的取值范围是[﹣，1）．
20．已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣n（n∈N*）．正项等比数列{b n}的首项b1=1，且3a2是b2，b3的等差中项．
（I）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（II）若c n=a n?b n，求数列{c n}的前n项和T n．
【考点】数列的求和．
【分析】（I）数列{a n}的前n项和s n=n2﹣n，当n=1时，a1=s1；当n≥2时，a n=s n ﹣s n﹣1．可得a n．利用等比数列的通项公式可得b n．
（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．
【解答】解：（I）数列{a n}的前n项和s n=n2﹣n，当n=1时，a1=s1=0；
当n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=（n2﹣n）﹣[（n﹣1）2﹣（n﹣1）]=2n﹣2．
当n=1时上式也成立，∴a n=2n﹣2．
设正项等比数列{b n}的公比为q，则，b2=q，b3=q2，3a2=6，
∵3a2是b2，b3的等差中项，∴2×6=q+q2，得q=3或q=﹣4（舍去），
∴b n=3n﹣1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知c n=a n?b n=（2n﹣2）3n﹣1=2（n﹣1）3n﹣1，
∴数列{c n}的前n项和T n=2×0×30+2×1×31+2×2×32+…+2（n﹣2）3n﹣2+2（n ﹣1）3n﹣1，…①
3T n=2×0×31+2×1×32+2×2×32+…+2（n﹣2）3n﹣1，+2（n﹣1）3n，…②
①﹣②得：﹣2T n=2×31+2×32+…+2×3n﹣1﹣2（n﹣1）3n
=2×
=3n﹣3﹣2（n﹣1）3n
=（3﹣2n）3n﹣3
∴T n=．
21．近年来，某地雾霾污染指数达到重度污染级别．经环保部门调查，该地工厂
废气排放污染是形成雾霾的主要原因．某科研单位进行了科技攻关，将工业废气中的某些成分转化为一中可利用的化工产品．已知该项目每年投入资金3000万元，设每年处理工厂废气量为x万升，每万升工厂废气处理后得到可利用的化工
产品价值为c（x）万元，其中c（x）=．设该单位的
年利润为f（x）（万元）．
（I）求年利润f（x）（万元）关于处理量x（万升）的函数表达式；
（II）该单位年处理工厂废气量为多少万升时，所获得的利润最大，并求出最大
利润？
【考点】函数模型的选择与应用．
【分析】（I）利用f（x）=xc（x）﹣3000，即可得出结论；
（II）分段讨论，0＜x≤50时，f（x）=xc（x）﹣3000=﹣3x2+192x﹣2980，x=32时，f（x）max=f（32）=92；x＞50时，f（x）=xc（x）﹣3000=﹣﹣2x+640=640﹣（2x+），利用基本不等式，可得结论．
【解答】解：（I）0＜x≤50时，f（x）=xc（x）﹣3000=﹣3x2+192x﹣2980，
x＞50时，f（x）=xc（x）﹣3000=﹣﹣2x+640，
∴f（x）=；
（II）0＜x≤50时，f（x）=xc（x）﹣3000=﹣3x2+192x﹣2980，x=32时，f（x）max=f（32）=92；
x＞50时，f（x）=xc（x）﹣3000=﹣﹣2x+640=640﹣（2x+）≤400，当且仅当2x=，即x=60时，f（x）max=f（60）=400，
∵400＞92，
∴该单位年处理工厂废气量为60万升时，所获得的利润最大，最大利润为400万元．
22．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为E，过F1于x轴垂直的直线与椭圆C相交，其中一个交点为M（﹣，）．（I）求椭圆C的方程；
（II）经过点P（1，0）的直线l与椭圆交于A，B两点．
（i）若直线AE，BE的斜率为k1，k2（k1≠0，k2≠0），证明：k1?k2为定值；（ii）若O为坐标原点，求△OAB面积的最大值．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
【分析】（I）由已知中椭圆通径的端点坐标，构造方程组，可得a，b的值，进而可得椭圆C的方程；
（II）经过点P（1，0）的直线l可设为x=my+1，
（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理，可得
y1+y2=，y1y2=，由椭圆的右顶点为E（2，0），可得：k1?k2=?==，进而得到答案；
（ii）由题意得：△OAB面积S=×1×|y1﹣y2|，结合对勾函数的图象和性质，可得△OAB面积的最大值．
【解答】解：（I）由已知中过F1于x轴垂直的直线与椭圆C相交，其中一个交点为M（﹣，）．
可得：c=，=，a2﹣b2=c2，
解得：a=2，b=1，
∴椭圆C的方程为：；…３分
（II）设A（x1，y1），B（x2，y2）
证明：（i）∵直线l过定点（1，0），设x=my+1，
由得：（m2+4）y2+2my﹣3=0，…５分
∴y1+y2=，y1y2=，
∵右顶点为E（2，0），
∴
k1?k2=?===
=﹣，
∴k1?k2为定值；…８分
（ii）由题意得：
△OAB面积S=×1×|y1﹣y2|=?=，
令t=，t≥，
则S==≤=，
故△OAB面积的最大值为…12分
20XX年1月30日。