人教A版必修一1.3.1.2函数的最大(小)值

探究要点二：函数的最值与值域、单调性之间的关系 1.对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数
如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素. 2.函数的最值与单调性的关系 若函数在闭区间［a，b］上是减函数，则f（x）在［a，b］上的最 大值为f（a），最小值为f（b）； 若函数在闭区间［a，b］上是增函数，则f（x）在［a，b］上的最 大值为f（b），最小值为f（a）. 探究要点三：分段函数的最大、最小值 函数的最大、最小值是函数的“整体”的性质，而对于分段函数的 最大值或最小值，其最大值是各段上最大值中的最大者；其最小值是 各段上最小值中的最小者.
类型三：分段函数的最大（小）值
2 1 x ( x 1) 2 已知函数f（x）= 1 (1 x 2) x
求f（x）的最大值、最小值. 思路点拨：先求出f（x）在各段上的最大值和最小值，再比较，即得f（x） 的最大值、最小值.
规律方法：分段函数的最大值为各段上最大值的最大者，最小值为各段 上最小值的最小者，故求分段函数的最大值或最小值，应先求各段上的 最值，再比较即得函数的最大值、最小值.
第2课时
函数的最大（小）值
链接一：函数单调性的三种判断方法：①图象法；②定义法；③利用已知函数 的单调性来判断. 链接二：二次函数的最值
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1.最大值 （1）定义：一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：
那么，称M是函数y=f（x）的最大值. （2）几何意义：函数y=f（x）的最大值是图象最高点的纵坐标. 2.最小值 （1）定义：一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足： ①对于任意的 那么，称M是函数y=f（x）的最小值. （2）几何意义：函数y=f（x）的最小值是图象最低点的纵坐标.
探究要点一：最大值概念的理解 1.M首先是一个函数值，它是值域的一个元素.如 f（x）= 的最大值为0，有f（0）=0，注意对定义中“存在”一词的理解； 2.对于定义域内全部元素，都有f（x）≤M成立，“任意”是说对每一个值 都必须 满足不等式； 3.两条件缺一不可，若只有前者，M不是最大值，如 都有f（x）≤1成立，但1不是最大值，否则大于零的任意实数都是最大 值了.最大值的核心就是不等式f（x）≤M，故也不能只有后者； 4.若将条件中的“f（x）≤M”改为“f（x）≥M”，则需将最大值定义中的 “最大值”改为“最小值”，这就是函数f（x）的最小值的定义.
4 x 0, 解：要使函数有意义，则需 2 x 1 0,
规律方法：如何根据单调性求函数值域或最值？ ①求函数的定义域； ②证明函数在相应区间上的单调性； ③求出函数在定义域上的最值； ④写出值域. 变式训练2－1：求f（x） 在区间［2，5］上的最值.
解：任取2≤x1<x2≤5，
变式训练1－1：试求函数 解：原函数变为y=|x+1|+|x－2|
2 x 1 ( x 1) ( 1 x 2 ) 3 2 x 1 ( x 2)
的最值.
=
其图象如图所示，所以函数的最小值为3，无最大值.
类型二：函数最值的求法 求函数 的值域.
解题流程：
变式训练3－1：对于任意的实数x1，x2，min{x1，x2}表示x1，x2中较小的那个数，若
则min{f（x），g（x）}的最大值是___________.
解析：不妨设h（x）=min{f（x），g（x）}，当2－x2＞x，即－2＜x＜1时，h（x）=x；
如图，两个图象取下方的部分，即为此函数的图 象，由图象可知：当x取1时，h（x）取得最大值1， 所以min{f（x），g（x）}的最大值是1. 答案：1
1.函数 （A）1 （C） 4 解析：由函数
1
在［0，1］上的最小值是（ B
）
（B）0 （D）不存在 在［0，1］上的图象知，
在［0，1］上单调递增，故最小值为f（0）=0.故选B.
2.函数f（x）在［－2，2］上的图象如图所示，则此函数的最小 值、 最大值分 别是（ C ）
（A）f（－2），0 （B）0，2 （C）f（－2），2 （D）f（2），2 解析：由函数最值的几何意义知，当x=－2时，有最小值f（－2）； 当x=1时，有最大值2.
x 2 2 x 2 x 0 3.函数f（x）= 0 x2 x
则f（x）的最大值及最小值分别是___________. 解析：当－2≤x≤0时，0≤f（x）≤f（－1），即0≤f（x）≤1. 当0<x≤2时，0<f（x）≤2，综上0≤f（x）≤2.
4.函数
的最大值为___________.
类型一：根据函数图象求最值 如图为函数y=f（x），x
的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间.
思路点拨：解答本题可根据函数最值定义和最值的几何意义求解.
解：观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是（3，3），最低的点是 （－1.5，－2），所以函数y=f（x）当x=3时取得最大值，最大值是3，当x=－1.5 时取得最小值，最小值是－2. 函数的单调增区间为 单调减区间为 规律方法：利用函数图象求最值是求函数最值的常用方法.这种方法以函数最值的 几何意义为依据，对较为简单的且图象易作出的函数求最值较常用.