人教版八年级数学上册11.2《与三角形有关的角》课件

辅助线通常画成虚线.
思路 添加平行线 （转化法） （辅助线）
利用平行线的 性质，转移角
① 依据平角定义，得到180°； ② 两直线平行，同旁内角互补．
知识点二 运用三角形内角和定理
将正确答案填到相应的横线上。
① 在△ABC中，∠A＝30°，∠B ＝ 65°，则∠C ＝___8_5_°__ ② 在△ABC中，∠C＝ 42°，∠A ＝ ∠B，则∠B ＝ ___6_9_°__ ③ 在△ABC中，∠A＝∠B ＝∠C，则∠A ＝ ___6_0_°__ ④ 在△ABC中，∠C＝ 36°，∠A：∠B ＝ 1：2，则∠B ＝ ___9_6_°__
23 14
课堂小结
1 本节课学习了哪些主要内容？ 2 为什么要用推理的方法证明“三角形的内角和等于180”？ 3 是如何找到三角形内角和定理的证明思路的？
三角形的内 角和
三角形内角 和定理
三角形三个内角的和等于180°
命题证明步骤
1.写出已知求证（画出图形） 2.写出证明过程
数学方法
辅助线（虚线）
B
C
有两个直角三角形，它们有一组锐角对应相等，另一组锐角的 数量关系是什么？ 两个直角三角形可以组合成哪些图形？
D A
B
C
E
F
F (C)
C
B A
D
E
D (C)
A B(E)
垂直模型
B
F
D (A)
E
F
E B
E
D (A) B
C
F
F (A)
CD
例3 如图，∠C ＝∠D ＝90°，AD，BC 相交于点E， ∠CAE 与∠DBE 有什么关系？为什么？
∴∠1+∠2+ ∠3=180°（等量代换）.
三角形内角和定理
A
三角形三个内角的和等于180°．
几何语言：
B
C 在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.
观察下图拼图方法，模仿前面的证明过程，还可以怎样 证明三角形内角和定理？
A
B
图2
CAB
A 1
2 B
l
4 35
C
证法二
A 1 2 B
l
4 35
三角形三个内角的和等于180°.
画图写出
已知：△ABC.
A
已知求证
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
证明过程 ？
B
C
将三个角拼合到一起的目的是什么呢？
为了得到了一个平角. 有了平角，根据平角定义，就得到了180°.
BAC
A
A
B
C
图1
A
B
CA
B
图3
B
图2
CAB
CA B
B
C
图4
A BB C C
图5
······
解：∠A =∠C.
A
理由如下：
在 Rt△AOB 和 Rt△COD 中，
∵∠B = ∠D = 90°，
∴∠A +∠AOB = 90°，∠C +∠COD = 90°.
∵∠AOB = ∠COD，
∴∠A = ∠C.
B
O D
C （2）
如果已知一个三角形是有两个角互余．它是什么三角形？
C
你有什么猜想？ 如何证明你的猜想？
此操作过程中，直线l与边BC有什么样的位置关系？ 直线 l∥BC 依据这个启发能发现怎样的证明思路呢？
BAC
BAC
l
A
l
41 5
B
C
图1
B
C
2 B
3 C
： 证明 过点A作直线l，
思路 使得l∥BC
利用平行线的性质， 将∠B和∠C进行转移
依据平角定义， 得到 180°
命题证明
画图写出 已知求证
证明过程
＝180° － 75°－ 20°
＝85°.
例2 下图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B
岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向. 从B岛看A， C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角∠ACB呢？
北 D
80° 50°
A
? C
？
北 E
40°
？
B
? 分析：A，B，C三岛的连线构成 △ABC，所求的∠ABC ，∠ACB是 △ ABC 的 内 角 . 如 果 能 求 出 ∠ ABC ， 就能求∠ACB.
第1课时 三角形的内角和
人教版八年级上册
课前准备
任意三角形纸片、剪刀、量角器、直尺
学习目标
重点 1
经历探究活动的 过程，多角度探 索并证明三角形 内角和定理，体 会证明的必要性；
【推理能力】
难点 2
获取添加辅助线 的思路和方法， 能用平行线的性 质证明三角形内 角和等于180°；
【几何直观、推理能力】
＝ 50°＋ 40°＝ 90° ∠CAB ＝∠BAD － ∠3
＝80 °－50 °＝30 °.
∠ABC ＝ 180°－∠ACB －∠CAB ＝ 180°－90°－30°＝ 60°.
D
50°
3 A
答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C
岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°.
C
E
1 2 40° 4
你还能想出其他解法吗？
北 D
80° 50°
A
C
北
E
？
40°
？
B
解：∠CAB＝∠BAD－∠CAD ＝ 80°－ 50° ＝ 30°. 由AD∥BE，得 ∠BAD＋∠ABE ＝ 180°.
所以∠ABE ＝ 180°－∠BAD ＝ 180°－80°＝ 100°，
∠ABC ＝ ∠ABE －∠EBC ＝ 100° － 40°＝ 60°.
思路②的方案如何添加辅助线？ 用下列方法证明三角形内角和定理.
A
l
1 2
B
C
（备用图1）
A D
23 1
B E
（备用图2）
F
4 C
证法三
证法四
归纳小结
【证法一】
【证法二】
Al
A
【证法三】
A l
【证法四】
l
DA
F
B
CB
C
B
C
BE
C
辅助线 为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，
解：由∠CBD ＝ 45°，∠ABC是
C
∠CBD 的邻补角，很容易得到
∠ABC＝180°－∠CBD ＝ 135°．
根据三角形内角和定理，
∠ACB＝180°－∠CAB －∠ABC
30°
45°
＝15°．
A
B
D
探究新知
你能直接说出∠ACD的度数吗？
C
？
60°
30°
45°
A
B
D
知识点三 探索直角三角形的性质与判定
第2课时 三角形的两个锐角互余
人教版八年级上册
复习导入
三角形内角和定理的具体内容是什么？
A
三角形三个内角的和等于180°．
几何语言：
B
C 在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.
【课本P13 练习 第1题】
如图，从A 处观测C 处的仰角∠CAD = 30°，从B 处观测C 处的仰角 ∠CBD = 45°．从C 处观测A，B 两处的视角∠ACB 是多少度？
利用平行线的性 质，转移角
① 依据平角定义，得到180°；
你受到了什么启发？你还能用这个思路的其他方法证明此定理吗？
A
m
l
1
5
B 24 6 P
3C
图6
图7
图8
除了构造平角得到180°外，还有其他方式吗？
添加平行线 （辅助线）
利用平行线的性 质，转移角
① 依据平角定义，得到180°； ② 两直线平行，同旁内角互补．
三角形三个内角的和等于180°.
A 41 5
l
已知：△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
2 B
3 C
证明：过点A作直线l，使得l∥BC.
证法一
∵l∥BC，
∴∠2=∠4 （两直线平行，内错角相等）. 同理 ∠3=∠5. ∵∠1，∠4，∠5组成平角， ∴∠1+∠4+ ∠5=180°（平角定义）.
隐含条件：三角形三个内角的和等于180°
例1 如图，在△ABC 中， ∠BAC ＝40°, ∠B ＝75°，AD 是 △ABC的角平分线．求∠ADB 的度数．
C
解：由∠BAC ＝ 40°, AD是△ ABC
的角平分线，得
D
∠BAD ＝ 1 ∠BAC ＝ 20°.
2
在△ABD中，
A
B
∠ADB ＝180°－∠B－∠BAD
解：∵∠1+∠2+∠B= 180°，∠3+∠4+∠D=180°， ∴∠l+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D=180°+180°. ∴(∠1+∠4)+(∠2+∠3)+∠B+∠D= 360°. 即∠BCD+∠BAD+40°+40°= 360°. 则∠BCD= 360°－ 150°－80°= 130°.
【课本P13 练习 第2题】
任意一个直角三角形，两个锐角之间有怎样的数量关系？猜一猜.
A
B
C
猜想：直角三角形的两个锐角互余.
已知：_直__角__三__角__形__A_B_C_中__，___∠__C_＝__9_0_°__，
A
求证：_∠__A_＋__∠__B_＝__9_0_°__._____________
证明：在直角三角形ABC中，∠C=90°, 由三角形内角和定理，得
1
1
C. ∠A ＝ 2∠B＝ 3 ∠C
D. ∠A ＝ 2∠B∠ABC －∠CAB
＝ 180°－60°－30°＝ 90°.
答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，
从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°.
解：过点C作CF∥AD，则CF∥BE.
∠1 ＝ ∠3 ，∠2 ＝ ∠4 ，（两直线平行，内错角相等）
∴∠ACB ＝ ∠1 ＋∠2 ＝ ∠3 ＋∠4 （等量代换）
∠A＋∠B＋∠C＝180°, 即∠A＋∠B＋90°＝180°, 所以∠A＋∠B＝90°.
即直角三角形的两个锐角互余.
B
C
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以写成 Rt△ABC ．
直角三角形的性质定理
直角三角形的两个锐角互余.
A
几何语言 在Rt△ABC 中， ∵∠C ＝ 90°， ∴∠A +∠B ＝ 90°．
方法一（利用平行的判定和性质）： ∵∠B = ∠C = 90°， ∴AB∥CD， ∴∠A = ∠D.
A
B
O
方法二（利用直角三角形的性质）： ∵∠B = ∠C = 90°， ∴∠A +∠AOB = 90°，∠D +∠COD = 90°. ∵∠AOB = ∠COD， ∴∠A = ∠D.
C
D
（1）
2. 如图（2），∠B = ∠D = 90°，AD 交 BC 于点 O，∠A 与 ∠C 有什么关系？请说明理由.
A
B
猜想：有两个角互余的三角形是直角三角形.
已知：_△__A_B__C_中__，__∠__A_＋__∠__B_＝__9_0_°__.___
A
求证：_∠__C_＝___9_0_°__. _________________
证明：在△ABC中，
∠A＋∠B＋∠C＝180°,
∵ ∠A＋∠B＝90°,
∴ ∠C＝180°－90°＝90°,
数学思想
转化
把未知转化为已知 把生疏问题转化为熟悉问题 把复杂问题转化为简单问题
数学文化
A
BAC
41 5 l
在数学历史的发展 过程中，也是按照
B
C
2 B
3 C
这样的方式证明三 角形的内角和的.
泰勒斯拼图验证
毕达哥拉斯的证法
（未给出证明） A 1
A
l
D
F
23
4
2 B
35 C
欧几里得的证法
1
4
B
E
C
普罗克拉斯方案
即△ABC是直角三角形.
B
C
直角三角形的判定定理
有两个角互余的三角形是直角三角形．
A
几何语言
在△ABC 中， ∵∠A +∠B = 90°， ∴△ABC 是直角三角形．
B
C
巩固练习
1. 具备下列条件的△ABC中，是直角三角形的是（ D ）
A. ∠A＋∠B＝∠C
B. ∠ A∶∠ B∶∠ C＝1∶3∶4
重点 3
应用三角形内角 和定理解决实际 问题，提高发现 问题和解决问题 的能力.
【模型观念、推理能力】
情景导入
它们说了三角形内角和的观点，请你帮它们评判一下！
我是钝角三角形，我有一个钝 角，我的内角和最大！
我是直角三角形， 我的形状最大， 我的内角和肯 定最大！
我是锐角三角 形，我的形状 最小，我的内 角和也最小！
B F
【添加辅助线】
巩固练习
1. △ABC中，∠A : ∠B : ∠C = 1 : 2 : 3，则 ∠A=__3_0_°__，∠B = ___6_0_°_，∠C = __9_0_°__.
2. 如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其
中∠A=150°，∠B=∠D=40°. 求∠C的度数.
C
证明：延长BC，过点C作直线l，使得l∥AB.
∵l∥BC，
∴∠1=∠4（两直线平行，内错角相等）. ∠2=∠5（两直线平行，同位角相等）.
∵∠3，∠4，∠5组成平角， ∴∠3+∠4+ ∠5=180°（平角定义）. ∴∠1+∠2+ ∠3=180°（等量代换）.
以上的证明思路为，
添加平行线 （辅助线）
新知探究
知识点一 三角形内角和定理
我们在小学已经知道，任意一个三角形的三个内角的和等于180°， 是如何得出这一结论的？请你用手中的三角形纸片进行探究.
1
方法
测
量
2
方法
剪拼折叠
3
方法
几何画板
(有误差)
(只能对有限个三角形使用这些方法)
这些“验证” 不是“数学证明”，需要通过推理的方法来证明：
命题证明
解：在Rt△AEC 中， ∠CAE ＝ 90°－∠AEC ． 在Rt△BDE 中，
C D
E
∠DBE ＝ 90°－∠BED .
∵∠AEC ＝∠BED ，
A
B
∴∠CAE ＝∠DBE．
探究 1
1. 如图（1），∠B = ∠C = 90°，AD 交 BC 于点 O，∠A 与 ∠D 有什么关系？请说明理由.