2019北师大版同步优化探究理数练习:第八章 第三节 圆的方程含解析
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课时作业
A组——基础对点练
1.方程x2+y2+2x-4y-6=0表示的图形是( )
11
A.以(1,-2)为圆心,为半径的圆
11
B.以(1,2)为圆心,为半径的圆
11
C.以(-1,-2)为圆心,为半径的圆
11
D.以(-1,2)为圆心,为半径的圆
解析:由x2+y2+2x-4y-6=0得(x+1)2+(y-2)2=11,故圆心为(-1,2),半径为.11
答案:D
2.若圆C的半径为1,圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称,则圆C的标准方程为( )
A.x2+y2=1 B.(x-3)2+y2=1
C.(x-1)2+y2=1 D.x2+(y-3)2=1
解析:因为圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称,故由中点坐标公式可得C(0,0),所以所求圆的标准方程为x2+y2=1.
答案:A
3.圆(x+2)2+y2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( )
A.x2+(y-2)2=5 B.(x-2)2+y2=5
C.x2+(y+2)2=5 D.(x-1)2+y2=5
解析:因为所求圆的圆心与圆(x+2)2+y2=5的圆心(-2,0)关于原点(0,0)对称,所以所求圆的圆心为(2,0),半径为,故所求圆的方程为(x-2)2+y2=5.
5
答案:B
4.设P是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q是直线
x=-3上的动点,则|PQ|的最小值为
.
解析:如图所示,圆心M(3,-1)到定直线x=-3上点的最短距离为
|MQ |=3-(-3)=6,又圆的半径为2,故所求最短距离为6-2=4.答案:4
5.(2018·唐山一中调研)点P (4,-2)与圆x 2+y 2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是
.
解析:设圆上任意一点为(x 1,y 1),中点为(x ,y ),则Error!,即Error!,代入x 2+y 2=4,得(2x -4)2+(2y +2)2=4,化简得(x -2)2+(y +1)2=1.答案:(x -2)2+(y +1)2=1
6.已知圆C 经过点(0,1),且圆心为C (1,2).(1)写出圆C 的标准方程;
(2)过点P (2,-1)作圆C 的切线,求该切线的方程及切线长.解析:(1)由题意知,圆C 的半径r ==,(1-0)2+(2-1)22所以圆C 的标准方程为(x -1)2+(y -2)2=2.
(2)由题意知切线斜率存在,故设过点P (2,-1)的切线方程为y +1=k (x -2),
即kx -y -2k -1=0,则=,|-k -3|
1+k 22所以k 2-6k -7=0,解得k =7或k =-1,故所求切线的方程为7x -y -15=0或x +y -1=0.
由圆的性质易得所求切线长为==2.PC 2-r 2(2-1)2+(-1-2)2-227.(2018·南昌二中检测)在平面直角坐标系xOy 中,经过函数f (x )=x 2-x -6的图像与两坐标轴交点的圆记为圆C .(1)求圆C 的方程;
(2)求经过圆心C 且在坐标轴上截距相等的直线l 的方程.
解析:(1)设圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0,函数f (x )=x 2-x -6的图像与两坐标轴交点为(0,-6),(-2,0),(3,0),由Error!,解得Error!,
所以圆的方程为x 2+y 2-x +5y -6=0.
(2)由(1)知圆心坐标为(,-),若直线经过原点,则直线l 的方程为
1
25
25x +y =0;若直线不过原点,设直线l 的方程为x +y =a ,则a =-=-2,即125
2直线l 的方程为x +y +2=0.综上可得,直线l 的方程为5x +y =0或x +y +2=0.
B 组——能力提升练
1.已知圆x 2+y 2-4ax +2by +b 2=0(a >0,b >0)关于直线x -y -1=0对称,则ab 的最大值是( )A. B.1218
C.
D. 1424
解析:由圆x 2+y 2-4ax +2by +b 2=0(a >0,b >0)关于直线x -y -1=0对称,可得圆心(2a ,-b )在直线x -y -1=0上,故有2a +b -1=0,即2a +b =1≥2
,解得ab ≤,故ab 的最大值为,故选B.2ab 1
81
8答案:B
2.(2018·绵阳诊断)圆C 的圆心在y 轴正半轴上,且与x 轴相切,被双曲线x 2-=1的渐近线截得的弦长为,则圆C 的方程为( )y 2
33A .x 2+(y -1)2=1 B .x 2+(y -)2=33C .x 2+(y +1)2=1
D .x 2+(y +)2=3
3解析:依题意得,题中的双曲线的一条渐近线的斜率为,倾斜角为60°,结3合图形(图略)可知,所求的圆C 的圆心坐标是(0,1)、半径是1,因此其方程是x 2+(y -1)2=1,选A.答案:A
3.已知圆C 与直线y =x 及x -y -4=0都相切,圆心在直线y =-x 上,则圆
C 的方程为( )A .(x +1)2+(y -1)2=2 B .(x +1)2+(y +1)2=2C .(x -1)2+(y -1)2=2
D .(x -1)2+(y +1)2=2
解析:由题意知x -y =0和x -y -4=0之间的距离为=2,所以r =.又|4|
222因为y =-x 与x -y =0,x -y -4=0均垂直,所以由y =-x 和x -y =0联立得交点坐标为(0,0),由y =-x 和x -y -4=0联立得交点坐标为(2,-2),所以圆心坐标为(1,-1),圆C 的标准方程为(x -1)2+(y +1)2=2.答案:D
4.已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (-2,3),B (-2,-1),C (6,-1),以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点,则该圆的方程为( )A .x 2+y 2=1B .x 2+y 2=4C .x 2+y 2=3
D .x 2+y 2=1或x 2+y 2=37
解析:如图,易知AC 所在直线的方程为x +2y -4=0.
点O 到直线x +2y -4=0的距离d ==>1,OA ==,OB ==,OC =|-4|
545
5(-2)2+3213(-2)2+(-1)25=,
62+
(-1)237∴以原点为圆心的圆若与三角形ABC 有唯一的公共点,则公共点为(0,-1)或(6,-1),
∴圆的半径为1或,
37则该圆的方程为x 2+y 2=1或x 2+y 2=37.故选D.
答案:D
5.圆心在直线x -2y =0上的圆C 与y 轴的正半轴相切,圆C 截x 轴所得弦的长为2,则圆C 的标准方程为
.
3解析:依题意,设圆心的坐标为(2b ,b )(其中b >0),则圆C 的半径为2b ,圆心到x 轴的距离为b ,所以2=2,b >0,解得b =1,故所求圆C 的标4b 2-b 23准方程为(x -2)2+(y -1)2=4.答案:(x -2)2+(y -1)2=4
6.已知圆C 过点P (1,1),且与圆M :(x +2)2+(y +2)2=r 2(r >0)关于直线x +y +2=0对称.(1)求圆C 的方程;
(2)设Q 为圆C 上的一个动点,求·的最小值.PQ
→ MQ → 解析:(1)设圆心C (a ,b ),由已知得M (-2,-2),则Error!解得Error!
则圆C 的方程为x 2+y 2=r 2,将点P 的坐标代入得r 2=2,故圆C 的方程为x 2+y 2=2.
(2)设Q (x ,y ),则x 2+y 2=2,·=(x -1,y -1)·(x +2,y +2)PQ
→ MQ → =x 2+y 2+x +y -4=x +y -2.令x =cos θ,y =sin θ,
22所以·=x +y -2=(sin θ+cos θ)-2PQ
→ MQ → 2=2sin -2,(θ+π
4)又
min =-1,
[sin (θ+π
4)]
→MQ
→
PQ
所以·的最小值为-4.。