三年级数学试题-思维能力：速算与巧算 全国通用

第一讲速算与巧算
【专题知识点概述】
本讲知识点属于计算板块的部分，难度并不大。

要求学生熟记加减法运算规则和运算律，并在计算中运用凑整的技巧。

一、巧算的几种方法：
分组凑整法：
就是将算式中的数分成若干组，使每组的运算结果都是整十、整百、整千......的数，再将各组的结果求和（差）
加补凑整法
1、移位凑整法：先把加在一起为整十、整百、整千……的数相加，然后再与其它的数相加。

2、借数凑整法：有些算式中直接凑整不明显，这时可“借数”或“拆数”凑整。

其他类型的巧算
二、基本运算律及公式：
两个运算律：
一、加法
加法交换律：
两个数相加，交换加数的位置，他们的和不变。

即：a＋b＝b＋a
其中a，b各表示任意一数．例如，7＋8＝8＋7＝15.
总结：多个数相加，任意交换相加的次序，其和不变．
加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再与第一个数相加，他们的和不变。

即：a＋b＋c＝（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）
其中a，b，c各表示任意一数．例如，5＋6＋8＝（5＋6）＋8＝5＋(6＋8). 总结：多个数相加，也可以把其中的任意两个数或者多个数相加，其和不变。

二、减法
在连减或者加减混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时要带数字前面
的运算符号“搬家”．例如：a－b－c＝a－c－b，a－b＋c＝a＋c－b，其中a，b，c各表示一个数．
在加减法混合运算中，去括号时：如果括号前面是“＋”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号不变；如果括号前面是“－”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号“＋”变为“－”，“－”变为“＋”．
如：a＋（b－c）＝a＋b－c
a－（b＋c）＝a－b－c
a－（b－c）＝a－b＋c
在加、减法混合运算中，添括号时：如果添加的括号前面是“＋”，那么括号内的数的原运算符号不变；如果添加的括号前面是“－”，那么括号内的数的原运算符号“＋”变为“－”，“－”变为“＋”。

如：a＋b－c＝a＋（b－c）
a－b＋c＝a－（b－c）
a－b－c＝a－（b＋c）
【重点难点解析】
1.找出题目中可以进行“凑整”的数。

2.利用运算律或者公式调整运算顺序。

【竞赛考点挖掘】
1.做复杂、多个数的连加计算时，利用运算律或者公式，尽量避免进位。

2.适当调整运算顺序。

【习题精讲】
【例1】（难度等级※）
计算：（1）117＋229＋333＋471＋528＋622
（2）（1350＋249＋468）＋（251＋332＋1650）
（3）756－248－352
（4）894－89－111－95－105－94
【分析与解】
在这个例题中，主要让学生掌握加、减法分组凑整的方法。

几个数相加，可以先把可以凑整的几个数分成一组；一个数连续减去两个数，可以先把后两个数相加凑整，再用这个数减去后两个数的和．具体分析如下：
（1）式＝（117＋333）＋（229＋471）＋（528＋622）
＝450＋700＋1150
＝（450＋1150）＋700
＝1600＋700
＝2300
（2）式＝1350＋249＋468＋251＋332＋1650
＝（1350＋1650）＋（249＋251）＋（468＋332）
＝3000＋500＋800
＝4300
（3）式＝756－（248＋352）
＝756－600
＝156
（4）式＝（894－94）－（89＋111）－（95＋105）
＝800－200－200
＝400
【例2】（难度等级※）
计算：
（1）1348－234－76＋2234－48－24
（2）1847－1936＋536－154－46
（3）1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+13+……+2006
（4）2003+2002-2001-2000+1999+1998-1997-1996+3+2-1
【分析与解】
在这个例题中，主要让学生掌握加减法混合运算分组凑整的方法，在凑整的过程中，要注意运算符号的变化或者带着符号搬家．具体分析如下：
（1）式＝（1348－48）＋（2234－234）－（76＋24）
＝1300＋2000－100
＝3200
（2）式＝1847－（1936－536）－（154＋46）
＝1847－1400－200
＝247
（3）式＝1+（2-3-4+5）+（6-7-8+9）+（10-11-12+13）+……+（2002-2003-2004+2005）+2006
＝2007
（4）式＝（2003+2002-2001-2000）+（1999+1998-1997-1996）+……+（3+2-1-0）＝4×（2004÷4）
＝2004
【例3】（难度等级※）
计算
6472－(4476－2480)＋5319－(3323－1327)＋9354－(7358－5362)＋6839－(4843－2847) 【分析与解】
原式＝（6472＋5318＋1）＋（9354＋6836＋3）－（4480－2480－4）－(3327－1327－4)－(7362－5362－4)－(4847－2847－4)
＝11790＋16190－2000－2000－2000－2000＋20
＝27980－8000＋20
＝20000
【例4】（难度等级※）
乒乓球训练所为了方便乒乓球的管理与取放，将乒乓球
放在如右图所示的容器中，已知这个容器可以放20层乒
乓球，最下面一层可以放12个，每层都比上一层多1
个，问这个容器可以盛放多少个乒乓球？
【分析与解】
因为这些乒乓球从下向上看，从第2层起，每层比下一层多1根，共有20层，所以这个容器中的乒乓球总数为：12+13+14+…+29+30+31=（12+31）+（13+30）+（14+29）+…+（21+22）=43×10=430
【例5】（难度等级※※）
有一个挂钟，一点钟敲1下，两点钟敲2下，三点钟敲3下，…十二点钟敲12下，每逢分针指向6时敲1下。

问：这个挂钟一昼夜共敲多少下？
【分析与解】
一昼夜有24个小时，把整点的与分针指向6时的分开算，整点一共敲：
1+2+3+…+10+11+12+1+2+3+…+10+11+12＝（1+2+3+…+10+11+12）×2
1+2+3+…+10+11+12＝（1+12）+（2+11）+（3+10）+…+（6+7）＝13×6＝78
78×2＝156
指向6时一共敲24下，所以，一昼夜一共敲156+24=180（下）
【例6】（难度等级※※）
计算（1）298＋396＋495＋691＋799＋21
（2）195＋196＋197＋198＋199＋15
（3）98－96－97－105＋102＋101
（4）399＋403＋297－501
【分析与解】
在这个例题中，主要让学生掌握加法运算加补凑整的方法．具体分析如下：
（1）（法1）原式＝298＋396＋495＋691＋799＋2＋4＋5＋9＋1
＝（298＋2）＋（396＋4）＋（495＋5）＋（691＋9）＋（799＋1）
＝300＋400＋500＋700＋800
＝2700
（法2）原式＝（300－3）＋（400－4）＋（500－5）＋（700－9）＋（800－1）＋21 ＝300＋400＋500＋700＋800－3－4－5－9－1＋21
＝2700
（2）（法1）原式＝（195＋5）＋（196＋4）＋（197＋3）＋（198＋2）＋（199＋1）＝200＋200＋200＋200＋200
＝1000
（法2）原式＝（200－5）＋（200－4）＋（200－3）＋（200－2）＋（200－1）＋15 ＝200＋200＋200＋200＋200
＝1000
（3）原式＝（100－2）－（100－4）－（100－3）－（100＋5）＋（100＋2）＋（100＋1）＝100－100－100－100＋100＋100－2＋4＋3－5＋2＋1
＝3
（4）原式＝（400－1）＋（400＋3）＋（300－3）－（500＋1）
＝400－1＋400＋3＋300－3－500－1
＝598
注：在（1）中，在加100时多加了1，所以要减去，这样保证结果不变，所以“多加的要减去”；（2）中，少加了2，在后面要加上，所以“少加的要加上”；（3）中，多减了2，所以要加上，所以“多减的要加上”；（4）中，少减了3，后面要再减去3，所以“少减的要再减”．
【例7】（难度等级※※）
计算：
（1）19+199+1999+......+199 (9)
1999个9
（2）2002+2001-2000-1999+…+6+5-4-3+2+1
【分析与解】
（1）原式＝2222……0-1999×1
1999个2
＝22 (20221)
1996个2
（2）原式＝2002-2000+2001-1999+…+6-4+5-3+2+1
＝2×1001+1
＝2002+1
＝2003
【例8】（难度等级※※※）
计算9+99+999+……+999999999
9个9
【分析与解】
本题可以把所有的加数均看成整十、整百、整千……的数，最后再进行补数
原式＝10+100+1000+……+10000000000-9
9个0
＝1111111110-9＝1111111101
【例9】（难度等级※※※）
计算（1）19971997＋9971997＋971997＋71997＋1997＋997＋97＋7
（2）83＋86＋95－85＋86－94＋95＋94＋86＋92＋87＋80＋93＋100－89＋83＋96＋
98
【分析与解】
（1）
（法1）原式＝（19972000－3）＋（9972000－3）＋（972000－3）＋（72000－3）＋（2000－3）＋（1000－3）＋（100－3）＋（10－3）
＝19972000＋9972000＋972000＋72000＋2000＋1000＋100＋10－8×3
＝30991110－24
＝30991086
（法2）原式＝10000000+9000000×2+900000×3+70000×4+1000×5+900×6+90×7+7×8 ＝10000000+18000000+2700000+280000+5000+5400+630+56
＝30991086
（2）原式＝83＋86＋95－83-2＋86－94＋95＋94＋86＋92＋87＋80＋93＋100－87-2＋83＋96＋98
＝90×12-4+5-2-4+5-4+2-10+3+10-2-7+6+8
＝1080+6
＝1086
总结:找“基准数”法：当几个数比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”（要注意把多加的数减去，把少加的数加上）
【例10】（难度等级※※※）
加法金字塔，计算右面数的和
【分析与解】
这一列数的前九行是从上到下、从小到大排，后九行是从下到
上、从大到小排，所以从中间对折，上、下对应的两个数字之
和是10，由此推知，个位的18个数之和是（1+9）+（3+7）+
（4+6）+…+（1+9）＝10×9＝90，同理，十位的16个数之和
是80，百位的14个数之和是70……亿位的两个数之和是10，
按照加法进位的法则，上面的金字塔的结果是1234567890。

【例11】（难度等级※※※）
计算
（1）100－101＋102－103＋104－105＋106－107＋108
（2）123＋234＋345－456＋567－678＋789
【分析与解】
（1）原式＝100＋（102－101）＋（104－103）＋（106－105）＋（108－107）＝100＋1＋1＋1＋1
＝104
（2）（法1）原式＝123＋234＋345＋（567－456）＋（789－678）
＝123＋234＋345＋111＋111
＝234＋（123＋567）
＝234＋690
＝924
（法2）原式＝123+（123+111）+（123+222）-（123+333）+（123+444）-（123+555）+（123+666）
＝123×3+（111+222-333+444-555+666）
＝369+555
＝924
【例12】（难度等级※※※）
计算：1234＋3142＋4321＋2413
【分析与解】
原式＝（1000＋200＋30＋4）＋（3000＋100＋40＋2）＋（4000＋300＋20＋1）＋（2000＋400＋10＋3）
＝（1000＋2000＋3000＋4000）＋（100＋200＋300＋400）＋（10＋20＋30＋40）＋（1＋2＋3＋4）
＝10000＋1000＋100＋10
＝11110
【例13】（难度等级※※※）
在右图的36个格子中各有一个数，最上面一横行和最左面一竖列
中的数已经填好，其余每个格子中的数等于每个格子同一横行最
左面数与同一竖列最上面数之和（例如：a＝14＋17＝31），问这
36个数的总和是多少？
【分析与解】
（法1）第二横行的空格应该填的数字分别是11＋12，13＋12，15＋12，17＋12，19＋12，同理，下面每一横行都是用竖列的一个数与横行的每一个数相加．我们最后要求这36个格
子中的所有数字之和，第一横行的和为：10＋11＋13＋15＋17＋19＝（10＋15）＋（11＋19）＋（13＋17）＝85，第二横行的和为：12＋11＋12＋13＋12＋15＋12＋17＋12＋19＋12＝12×6＋（11＋13＋15＋17＋19）＝147，同理，第三横行的和为：14＋11＋14＋13＋14＋15＋14＋17＋14＋19＋14＝14×6＋（11＋13＋15＋17＋19）＝159，第四横行的和
为16×6＋75＝171，第五横行的和为：18×6＋75＝183，第六横行的和为：20×6＋75＝195.所以36个格子的和为85＋147＋159＋171＋183＋195＝940.
（法2）法1比较笨拙，没有体现该题解法的精髓，在我们解这道题之前，我们看看下面的
上表空格处的数等于每个格子同一横行最左面数与同一竖列最上面数之和，求这16个数之和。

每列第一个数为a,所填每列和＝3a+4+6+8，所填写各列总和＝3×(3+4+5)+(4+6+8)×3，所以除角上2以外的所有数之和为4×(4+6+8+3+4+5)，所以16格总和为 4×(4+6+8+3+4+5)+2＝122.
再类推到原题，则有：
所有数之和＝（11+13+15+17+19+12+14+16+18+20）×6+10＝940.
【例14】（难度等级※※※）
在134＋7，134＋14，134＋21，……，134＋210这30个算式中，每个算式的计算结果都是三位数，求这些三位数的百位数字之和．
【分析与解】
我们只要求百位数字之和，仔细观察这些计算结果，发现百位数字最小是1，最大是3，当134＋7×9＝134＋63时，前面的和的百位数都是1，这一共有9个数；从134＋7×10＝134＋70开始，到134＋7×23＝134＋161，这些和的百位数是2，一共有14个数；从134＋7×24＝134＋168到134＋7×30，这些和的百位数都是3，一共有7和数．所以这些算式的和的百位数字之和为：1×9＋2×14＋3×7＝58.
【例15】（难度等级※※※）
魔术师有6粒骰子，每粒骰子的6个面上写的数字如下：
256，850，157，553，454，652；
814，616，319，715，418，913；
585，387，882，189，684，783；
437，635，129，833，536，734；
168，663，267，564，762，861；
671，374，572，473，176，275
这36个数没有一个相同的，魔术师将6粒骰子随意洒在桌面上，请观众将6粒骰子顶面上的6个数相加，每次魔术师都比观众加的快，你知道为什么吗？你能做到吗？
【分析与解】
仔细观察可以发现，在每粒骰子的6个数中，十位数都相同，个位数与百位数之和也相同，6粒骰子的十位数依次为：5，1，8，3，6，7，个位数与百位数之和依次为：8，12，10，11，9，7。

当6粒骰子掷在桌面上，顶面的6个数相加，十位数之和是：5+1+8+3+6+7=30，个位数与百位数之和是：8+12+10+11+9+7=57。

将十位向百位进3加进去，得：57+3=60。

所以你只需计算这6个数的个位数之和，如果个位数之和为n，那么百位数之和为60-n，则这六个三位数之和的前两位是（60-n），后两位是n
例如6粒骰子顶面的6个数分别是：850，715，783，437，762，275，它们的个位数之和为：0+5+3+4+3+7+2+5=22，60-22=38，所以这6个数之和是3822
【作业】
1、计算：195＋196＋197＋198＋199
【答案】985
2、计算：89+899+8999+89999+899999
【答案】999985
3、11+192+1993+19994+199995所得和数的数字之和是多少？
【答案】20。

4、请从3，7，9，11，21，33，63，77，99，231，693，985这12个数中选出5个数，使它们的和等于1995。

【答案】9，77，231，693，985
5、计算：1997+1-2-3+4+5-6-7+8+9-10-11+……+1993-1994-1995+1996
【答案】1997
【答案】253-244=9，1999-253=1746，1746/9=194，194+1=195，所以减到第195次，得数恰好等于0。