四川省宜宾市普通高中2017级高三第二次诊断(理工类)数学试题及答案word版

宜宾市高2017级高三第二次诊断试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合要求的.
1．设i 是虚数单位，则=-+)i 23)(i 32(
A ．i 512+
B ．i 66-
C ．i 5
D ．13
2．已知集合{}{}22,1,0,1,2,|60A B x x x =--=--<，则A B =I
A ．{}2,1,0,1-
B ．{}2,1,0,1,2--
C ．{}3,2,1,0,1,2--
D ．{}2,1,0,1--
3．2020年初，湖北出现由新型冠状病毒引发的肺炎．为防止病毒蔓延，各级政府相继启动重
大突发公共卫生事件一级响应，全国人民团结一心抗击疫情.下图表示1月21日至3月7日我国新型冠状病毒肺炎单日新增治愈和新增确诊病例数，则下列中表述错误．．的是 A ．2月下旬新增确诊人数呈波动下降趋势 B ．随着全国医疗救治力度逐渐加大，2月
下旬单日治愈人数超过确诊人数 C ．2月10日至2月14日新增确诊人数波动
最大
D ．我国新型冠状病毒肺炎累计确诊人数在
2月12日左右达到峰值
4．已知双曲线22
221x y a b -=的一条渐近线方程为43
y x =，则双曲线的离心率为
A.
4
3
B.
5
3
C.
5
4
D.
32
第3题图
5．20世纪产生了著名的“31x +
猜想：任给一个正整数x ，如果x 是偶数，就将它减半；如果x 是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1 .如图是验证“31x + 猜想的一个程序框图，若输入正整数m 的值为40，则输出的n 的值是 A ．8 B ．9
C ．10
D ．11
6．在ABC ∆中，内角A 的平分线交BC 边于点D ，
4,8,2AB AC BD ===，则ABD ∆的面积是
A.162
B.15
C.3 D .83
7．()7
112x x
-的展开式中2x 的系数为
A.84-
B.84
C.280-
D.280
8．定义在[]2,2-上的函数()f x 与其导函数()f x '的图象如图所示，设O 为坐标原点，,A ,B ,C D 四点的横坐标依次为1,2-1,6
-1,
43，则函数()
e
x f x y =的单调递减区间是 A ．14,63⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．11,26⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
D ．()1,2
9．某人用随机模拟的方法估计无理数e 的值，做法如下：首先在平面直
角坐标系中，过点A （1，0）作x 轴的垂线与曲线e x y =相交于点B ，过B 作y 轴的垂线与y 轴相交于点C （如图），然后向矩形OABC 内投入M 粒豆子，并统计出这些豆子在曲线e x y =上方的有N 粒
()N M ＜，则无理数e 的估计值是
A.
N M N - B.M M N - C.M N
N
- D.M N
10．若函数()ln f x x =满足()()f a f b =，且0a b <<，则
2244
42a b a b
+-+的最小值是 A ．0 B ．1 C ．3
2
D ．22
11．M 是抛物线24y x =上一点，N 是圆()()22
121x y -+-=关于直线10x y --=的对称圆上
的一点，则MN 的最小值是 A ．
11
1- B ．31- C ．221- D ．
32
12．若函数22()2cos(1)37f x x x m x m m =+-+++-有且仅有一个零点，则实数m 的值为
A ．337
-- B ．
337
-+ C ．4- D ．2
第5题图
第8题图
第9题图
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.
13．已知tan 3α=，则cos2α=______.
14．已知{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和.若2312a a a =，且4a 与72a 的等差中项为3
4
，则
5S =______.
15．在ABC ∆中，已知3,2,AB AC P
==是边BC 的垂直平分线上的一点，则BC AP ⋅u u u r u u u r ＝______. 16．如图所示，在直角梯形BCEF 中，90CBF BCE ∠=∠=︒，A ,D 分别是BF ,CE 上的点，
//AD BC ，且22AB DE BC AF ===（如图①）.将四边形ADEF 沿AD 折起，连接BE ，BF ，CE （如图②）.在折起的过程中，则下列表述：
①//AC 平面BEF
②四点,,,B C E F 可能共面
③若EF CF ⊥，则平面ADEF ⊥平面
ABCD
④平面BCE 与平面BEF 可能垂直，
其中正确的是__________．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤.第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.
17.(12分)
为了加强环保知识的宣传，某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动．活动设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾 、“有害垃圾 、“可回收物 、“其它垃圾 ；另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称．每位参赛选手从所有卡片中随机抽取20张，按照自己的判断，将每张卡片放入对应的箱子中．按规则，每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0分．比如将写有“废电池 的卡片放入写有“有害垃圾 的箱子，得5分，放入其它箱子，得0分．从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照[0,20]，(20,40]，(40,60]，(60,80]，(80,100]分组，绘成频率分布直方图如图：
（1）分别求出所抽取的20人中得分落在组[0,20]和
(20,40]内的人数；
（2）从所抽取的20人中得分落在组[0,40]的选手中随
机选取3名选手，以X 表示这3名选手中得分不超过20分的人数，求X 的分布列和数学期望.
18.(12分)
已知数列{}n a 满足
123123252525253
n n n
a a a a ++++=----L . （1）求数列{}n a 的通项公式;
（2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ,证明：1
6n T <．
图②
图① E
A F
D B
A
第17题图
19.(12分)
将棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -截去三棱锥ACD D -1后得到如图所示几何体，O 为11C A 的中点.
（1）求证：//OB 平面1ACD ； （2）求二面角11C AD C --的正弦值.
20.(12分)
已知中心在原点O 的椭圆C 的左焦点为()11,0F -，C 与y 轴正半轴交点为A ，且1
π
3
AFO ∠=. （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过点A 作斜率为1k ，2k （120k k ≠）的两条直线分别交C 于异于点A 的两点,M N .证
明：当1
211
k k k =
-时，直线MN 过定点.
21.(12分)
已知函数cos ()x
f x x
=
,()sin cos g x x x x =+, （1）判断函数()g x 在区间()0,2π上的零点的个数;
（2）记函数()f x 在区间()0,2π上的两个极值点分别为12,x x ,求证:12()()0f x f x +<.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22.(10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]
在极坐标系Ox 中，曲线C 的极坐标方程为：
2
2sin 2sin ρθρθ
=+-，直线l 的极坐标方程为：()cos sin 1ρθθ-=，设l 与C 交于,A B 两点，AB 中点为M ,AB 的垂直平分线交C 于
,E F .以O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系xOy .
（1）求C 的直角坐标方程与点M 的直角坐标； （2）求证：MA MB ME MF ⋅=⋅.
23.(10分）[选修4-5：不等式选讲]
已知函数321)(+--=x x x f ． （1）求不等式1)(<x f 的解集;
（2）若存在实数x ，使得不等式0)(32<--x f m m 成立，求实数m 的取值范围．
宜宾市高2017级高三第二次诊断测试
理科数学参考答案
一、选择题 题号 1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
第19题图
13.45- 14. -11 15. 5
2
- 16.①③
三、解答题
17. 解（1）由题意知，所抽取的20人中得分落在组[]
0,20的人数有0.005020202⨯⨯=（人），得分落在组(]
20,40的人数有0.007520203⨯⨯=（人）． 所以所抽取的20人中得分落在组[]
0,20的人数有2人， 得分落在组(]
20,40的人数有3人。

4分 （2）X 的所有可能取值为0，1，2
()33351010C P X C ===， ()1223356
110C C P X C ===， (
)21
233
53210
C C P X C ===8分 所以X 的分布列为
所以X 的期望012 1.2101010
EX =⨯
+⨯+⨯=12分 18.解（1）令,325n n n n n S b a ==-，当2n ≥时，111
333
n n n n n b S S --=-=-=，当1n =时，
113b =，则1253n n n b a =
=-，故352
n n a +=6分 （2）Q
114411[](35)[3(1)5]3(35)3(1)5
n n a a n n n n +==-++++++， 8分 111111
[(
)()()]
315325325335353(1)5
n T n n ∴=-+-+⋅⋅⋅+-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+++4111[]383(1)56
n =-≤++ 12分 19.解（1）取AC 中点M ，连接MO ，则1MO BB P ，四边形1MOBB 为平行四边形，连接
11,MB B D ，则1MB B O P ，即1MB D O P ，四边形1MBOD 为平行四边形，1MD OB ∴P ，1MD ⊂平面
1ACD ，OB ⊄平面1ACD ，OB ∴P 平面1ACD 6分
（2）连接11,B C BC 相交于F ，取1AD 中点E ，连接,EF CE
CF ⊥平面11BC D A ，1111,EF C D C D ⊥P 平面11AA D ， EF ∴⊥平面11AA D ，1AD ⊂平面11AA D ， 1EF AD ∴⊥，1CE AD ∴⊥，
则CEF ∠为所求二面角的平面角，10分
在Rt CFE ∆中2,2,6CF EF CE ==∴=，则23
sin 6CF
CEF CE
∠===
12分 20. 解：（1）22
143
x y +=3分
（2）由题不妨设:MN y kx m =+
联立22
143
x y y kx m ⎧+
=⎪⎨⎪=+⎩
方程组解1122(,),(,)M x y N x y 消去y 化简得222(43)84120k x kmx m +++-=， 且21212228412
,4343km m x x x x k k -+=-=
++5分 1212k k k k =+Q
12121212
3333y y y y ----∴
⨯=+ ,i i y kx m ∴=+代入化简得
()()()
()2
212122132330k
k x x k m x x m m -+--++-+=8分
283(3)3(3)k m m -=- 3,833(3)m k m ≠=-Q 833k
m ∴=
+10分 直线83:+
3k MN y kx =+，83
3MN 过定点(-，).12分 21. 解：（1）()cos g x x x '= 0x >Q
(0,)cos 0cos 0,()0,2
x x x x g x π
'∴∈>>>当时，，
()0,2g x π⎛⎫
⎪⎝⎭
在上单调递增；
3()cos 0cos 0,()0,22
x x x x g x ππ
'∈<<<当，时，，
3()22
g x ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
在，
上单调递减；
3(
2)cos 0cos 0,()0,2
x x x x g x ππ'∈>>>当，时，， 3()22g x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
在，上单调递增； 4分
且33(0)10,()0,()10,()0,(2)102222g g g g g ππππ
ππ=>=>=-<=-<=>
30,
22
ππ
π⎛⎫⎛⎫
∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
在，与函数()g x 不存在零点； 1,,()02x g x ππ⎡⎤
∴∃∈=⎢⎥⎣⎦
使得，
同理23,2,()02x g x ππ⎡⎤
∴∃∈=⎢⎥⎣⎦
使得
综上，()g x 在区间()0,2π上的零点的个数为2. 6分 （2）2
sin cos ()x x x
f x x +'=-
由（1）得，()sin +cos g x x x x =在区间3,222ππππ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与，
上存在零点， ()f x ∴区间3,222ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与，
上存在极值点12x x <，123,,,222x x ππππ⎛⎫⎛⎫
∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
且满足()0i g x =即sin cos 0(1,2)i i i x x x i +==其中，
1
tan i i
x x =-8分 12
121212
cos cos ()()sin sin x x f x f x x x x x ∴+=+=--9分 12322
2
x x π
π
ππ<<<
<<Q
又1211x x ∴>即12122tan tan ,tan tan =tan()x x x x x π->-<-
1223(,),,2,(,)222x x x πππππππ⎛⎫
∈∈-∈ ⎪⎝⎭
Q
∴由tan ,2y x x ππ⎛⎫
=∈
⎪⎝⎭
在上单调递增，得122x x πππ<<-<11分
再由sin ,2y x x ππ⎛⎫
=∈ ⎪⎝⎭
在上单调递减，得122sin sin()sin x x x π>-=-
12sin sin 0x x ∴+>，即12()()0.f x f x +<12分
22.解：（1）22
2
2
:22,+12
x C x y y +==即
:1l y x =-
联立C l 与的方程得;2340x x -=,解得()410,1,,33A B ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
21,33M ⎛⎫
∴- ⎪⎝⎭
.5分
(2)由（1
）得MA MB ==
89
MA MB ∴= 又设AB
的垂直平分线23:132x EF y ⎧=-
⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
，
代入C
的方程得：234
023t -=，
48
3||392
ME MF -
∴==
MA MB ME MF ∴=10分
23.解7,3()35,317,1x x f x x x x x +≤-⎧⎪
=---<<⎨⎪--≥⎩
（1）当3x ≤-时，71x +<，则6x <-；当31x -<<时，351x <－－，则21x -<<；当1x ≥时，1x <－－7，则1x ≥，综上()1f x <的解集(,6)(2,)-∞-+∞U －5分 （2）由题知，2max 3()4m m f x -<=，则m 的取值范围(1,4)-10分。