2020年高考二诊模拟考试数学(文科)试题 -含答案

14.设 f x , g x 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，且 f x g x (x 1)2 2x1， 则 f 1 g 1
15.直线 l 是圆 C1 : x 12 y2 1与圆 C2 : x 42 y2 4 的公切线，并且 l 分别与 x 轴正半轴 , y 轴正半轴相
年高考二诊模拟考试数学（文科）试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.总分 150 分，考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷（选择题共 60 分）
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.函数 f x 1 ln x 1的定义域为（ ）
2
∵ AD//BC, AD 2BC ，∴ EF//BC, EF BC ，
∴ BCFE 是平行四边形，∴ BE//CF ， ∵ AD//BC, AB AD ，∴ ABC BAD 90 ，
∵ AB BC, CAD 45, AC 2 ，
由余弦定理得 CD2 AC2 AD2 2AC ADcosCAD 2 ，
+1=
5 4
；
否则，可设直线 l 的方程为 y k
x
3 ，联立
x2 y2 1 4
，消 y 可得，
y
k
x
3
1+4k 2 x2 8 3k 2x 12k 2 4 0 ，
则有：
x1
x2
8 3k 2 1+4k 2
,
x1x2
12k 2 4 1+4k 2
，
所以 MN
1 k 2 x1 x1
17.已知数列an的前 n 项和为 Sn ，且满足 2Sn n n2 ( n N ).
（1）求数列 an 的通项公式；
2an ,
（2）设 bn
2
(1
an
)(1
an 2 )
,
(n 2k 1)
(n 2k) （ k N ），数列bn的前 n 项和 Tn .
若 T2n
a
1 4
n
1 2n
A． 2
B． 1
C． 1
1
D.
2
2
9.如图,用一边长为 2 的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一
个蛋巢，将体积为 4 的鸡蛋(视为球体)放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中 3
心(球心)与蛋巢底面的距离为（ ）
A. 2 2
B. 3 2
C. 2 1 2
D. 3 1 2
10.设 O 为坐标原点 , P 是以 F 为焦点的抛物线 y2 4x 上任意一点, M 是线段 PF 上的点，且 PM MF, 则直线 OM 的斜率的最大值为（ ）
30
25
5
区间 0,80 内的频率总和恰为 0.7，由样本估计总体，可得临界值 a 的值为 80.………6 分
（2）由（1）知，月用电量在 0,80 内的 70 户住户在“阶梯电价”出台前后用电量不变，节电量为 0 度；
月用电量在 80,100 内的 25 户住户，平均每户用电 90 度，超出部分为 10 度，根据题意，
1 2
， kOD
1 2
，代入上式可得， a2
4b2 .
又 a2 b2 c2 , c2 3 ，所以 a2 4,b2 1，
故椭圆的方程为 x2 y2 1 . 4
………………4 分
（2）由题意可知， F 3, 0 ，当 MN 为长轴时， OP 为短半轴，此时
1 MN
|
1 OP
|2
=
1 4
22.选修 4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系
xOy
中，曲线 C1
的参数方程为
x
y
2 2cos 2sin
(
为参数)，以原点为极点，轴
x
的非负半轴
为极轴，建立极坐标系，曲线
C2
的极坐标方程为
2
=
cos2
a
4 4sin2a
.
（1）求曲线 C1 的极．坐．标．方．程．以及曲线 C2 的直．角．坐．标．方．程．；
222n
1 2
1 4
1 4
1 6
1 2n
1 2n
2
1
1 4
n
1 1
1 2
1 2n
2
11 6
4 3
1 4
n
1 2n
. 2
4
T2n
a
1 4
n
1 2n
2
b
对
n N 恒成立，a
4 3
,b
11. 6
………………12
分
18.（1）证明：设 F 是 PD 的中点，连接 EF、CF ， ∵ E 是 PA 的中点，∴ EF //AD, EF 1 AD ，
9
则 c2 a2 b2 2ab 的值是（ ）
A. 8 3 3
B.16 8 3
C.16 8 90 分） 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13.已知向量 AB 1, 2, AC 3,1, 则 AB BC _________．
户的月用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图.根据频率分布直 方图解答以下问题（同一组数据用该区间的中点值作代表）.
（1）若该市计划让全市 70% 的住户在“阶梯电价”出台前后缴纳的电费不变， 求临界值 a ； （2）在（1）的条件下，假定出台“阶梯电价”之后，月用电量未达 a 度的住户用电量保持不变；月用电量超过 a 度的住户节省“超出部分”的 60% ，试估计全市每月节约的电量.
（2）若直线 l : y kx 与曲线 C1 、曲线 C2 在第一象限交于 P,Q 两点，且 OP 2 OQ ，点 M 的坐标为 (2，0) ， 求 MPQ的面积.
23.选修 4-5：不等式选讲
已知函数 f (x) x 1 x 2 ，记 f (x) 的最小值为 m.
（1）解不等式 f (x) 5；
n2
n
1
n
12
2
2n,
an 1 nn 2.
显然当 n 1 时上式也适合，∴ an 1 nn 1. ………………4 分
2
2 11
（2）∵ 1 an 1 an2 n n 2 n n 2 ,
∴ T2n b1 b3 b2n1 b2 b4 b2n
20 22
a
x 0 a 1 的图象的大致形状是（
）
7.如图，正三角形 ABC 内的图形来自中国古代的太极图.正三角形内切圆中的黑色部分和白色部分
关于正三角形的中心成中心对称.在正三角形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）
2
A.
9
2 3
B.
9
3
C.
18
5 3
D.
18
8.执行如图所示的程序框图，当输出的 S 2 时，则输入的 S 的值为( )
（2）求三棱锥 P BED 的体积VPBED.
19.某市约有 20 万住户，为了节约能源，拟出台“阶梯电价”制度，即制定住户
月用电量的临界值 a ，若某住户某月用电量不超过 a 度，则按平价（即原价） 0.5（单位：元/度）计费；若某月用电量超过 a 度，则超出部分按议价 b （单 位：元/度）计费，未超出部分按平价计费.为确定 a 的值，随机调查了该市 100
A．1
B． 1 2
C． 2 2
5
D.
2
11.下列命题为真命题的个数是（ ）（其中 , e 为无理数）
① e3； 2
②lnπ 2 ； 3
③ ln 3 3 . e
A. 0
B.1
C. 2
D. 3
12.在 ABC 中 a,b, c 分别是角 A, B,C 所对的边，ABC 的面积 S 2 ，且满足 a cos B b 1 cos A, B 2 ,
1 MN
1 OP 2
是否为定值？若是，求出此定值，若不是，说明理由.
21.已知函数 f (x) x | x a | ln( x 1) . （1）当 a 0 时，求函数 f (x) 的单调区间； （2）当 a 1 时，若 x [0,) ， f (x) (k 1)x2 恒成立，求实数 k 的最小值.
A．1
B．2
C．3
D．4
4.已知命题 p ： x R, 使 sin x A． x R, 使 sin x 1 x 成立
2
1 x 成立． 则 p 为（ ） 2
B． x R, sin x
1 x 均成立 2
C． x R, 使 sin x 1 x 成立 2
D． x R, sin x 1 x 均成立 2
5.已知双曲线 C :
1 k2
8 3k 2 1+4k 2
2
（4 112+k42 k24）=
4+4k 2 1+4k 2
设直线 OP
方程为
y
1
x
x2
，联立
4
y2
1
，根据对称性，
k
y1x
k
不妨得 P
2k
,
2
，
k2 4 k2 4
所以 OP
2
2k
k2 4
2
2
k2 4
4 4k2 . k2 4
每户每月节电10 60% 6 度，25 户每月共节电 6 25 150 （度）；
月用电量在 100,120 内的 5 户住户，平均每户用电 110 度，超出部分为 30 度，根据题意，
每户每月节电 30 60% 18（度），5 户每月共节电185 90 （度）. 故样本中 100 户住户每月共节电150 90 240 （度）， 用样本估计总体，得全市每月节电量约为 240 200000 480000 （度）. ………12 分
∴ AC2 CD2 4 AD2 ，∴ AC CD ，
∵ PD AC ，∴ AC 平面 PCD ，∴ AC CF ， ∴ AC BE ；………………6 分 （2） AC 平面 PCD ，
VPBED
VEPBD
1 2 VAPED
1 2 VPABD
1 2 VPACD
1 2 VAPCD
而VAPCD
交于 A, B 两点，则 AOB 的面积为
16.已知函数 f x ex x 12 , 令 f1 x f x, fn1 x fn x n N* , 若 fn x ex an x2 bn x cn , 则数列cn 的一个通项公式为
三、解答題（共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17 21题为必考题，每个试题考生都必须 作答.第 22,23 题为选考题，考生根据要求作答）
2
b
对 n N 恒成立，求实数
a,b 的值.
18. 如 图 ， 在 四 棱 锥 P ABCD 中 ， 底 面 ABCD 是 直 角 梯 形 ， AD//BC ， AB AD ，AD 2AB 2BC 2 ，PCD 是正三角形，PC AC ，E 是 PA
的中点.
（1）证明： AC BE ；
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0) 的一条渐近线方程为
y
3 x ，且其右焦点为 (5, 0) ，则双曲线 C 的方程为 4
（）
A. x2 y2 1 9 16
B. x2 y2 1 16 9
C. x2 y2 1 34
D. x2 y2 1 43
6.函数
f
x
x x
1 1
log
20.已知椭圆
C:
x2 a2
y2 b2
1a＞b＞0 的焦距为 2
3 ，斜率为 1 的直线与椭圆交于 A, B 两点，若线段 AB 的中 2
点为 D ，且直线 OD 的斜率为 1 . 2
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）若过左焦点 F 斜率为 k 的直线 l 与椭圆交于点 M , N , P 为椭圆上一点，且满足 OP MN ，问：
100
20.（1）由题意可知 c 3 ，设 A x1, y1 , B x2, y2 ，代入椭圆可得：
x12 y12 1, x22 y22 1，两式相减并整理可得，
a2 b2
a2 b2
y2 x2
y1 x1
y1 y2 x1 x2
b2 a2
，即 kAB kOD
b2 a2
.
又因为 kAB
1 3
3 4
2
2
2
6 6
.VPBED
1 2 VAPCD
6 12
.………………12
分
19.（1）由频率分布直方图，可算得各组数据对应的频率及频数，如下表：
分组
0, 20 20,40 40,60 60,80 80,100
100,120
组频率
0.04
0.12
0.24
0.30
0.25
0.05
组频数
4
12
24
（2）若正实数 a ， b 满足 1 1 ab
5
，求证：
2 a2
3 b2
2m .
1-12：CBDDB CCBDA
参考答案
CA
13. 6
14.1
15. 2
2
16. cn n2 n 1.
17.（1）①当 n 1 时，由 2S1 112 得 a1 0;
②当
n
2
时 , 2an
2Sn
2Sn1
n
2 x
A. 2 , B. 1 , 2 2,
C. 1 , 2 D. 1,2
2.复数 z i （ i 是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ） 2i
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.已知等差数列{an} 满足: a1=2 ，公差 d 0 ，且 a1, a2 , a5 成等比数列，则 d = （ ）